1
´ ˇ´ ´ VYVOJ C ISELNYCH SOUSTAV
Tento text si klade za c´ıl popsat, jak´e ˇc´ıseln´e soustavy a ˇc´ıseln´e symboly se bˇehem historick´eho v´ yvoje uˇz´ıvaly k vyj´adˇren´ı pˇrirozen´ ych ˇc´ısel a zlomk˚ u, v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se bude zab´ yvat tak´e historick´ ymi algoritmy pro prov´adˇen´ı poˇcetn´ıch operac´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı a dˇelen´ı. ´ EGYPT 1. STARY Od nejstarˇs´ıch dob Egypt’an´e uˇz´ıvali nepoziˇcn´ı des´ıtkovou soustavu. Nejstarˇs´ı z´aznamy ˇc´ısel se v Egyptˇe objevily kolem roku 3000 pˇr. n. l. V hieroglyfick´em p´ısmu existovaly hieroglyfick´e znaky pro ˇc´ıslo 1 a pro mocniny ˇc´ısla 10 aˇz do 106 . Jejich podobu vid´ıme na obr. 1. 1 Prvn´ı ze symbol˚ u na tomto obr´azku znamenal ˇc´ıslo 1 a patrnˇe pˇredstavoval mˇeˇric´ı h˚ ul. Druh´ y symbol znamenal ˇc´ıslo 10 a pˇredstavoval krav´ı pouta na nohy nebo ruku. Tˇret´ı znak vyjadˇroval ˇc´ıslo 100 a pˇredstavoval stoˇcen´ y mˇeˇric´ı provazec k vymˇeˇrov´an´ı pol´ı nebo ˇ svinut´ y palmov´ y list. Ctvrt´ y znak vyjadˇroval ˇc´ıslo 1 000 a pˇredstavoval kvˇet lotosu, kter´ y kvetl na bˇrez´ıch ˇ y symbol Nilu a byl symbolem hojnosti. P´at´ y znak vyjadˇroval ˇc´ıslo 10 000 a byl obrazem ukazov´aku. Sest´ znamenal ˇc´ıslo 100 000 a byl obrazem pulce, kter´ ych se po z´aplav´ach na Nilu objevovalo velk´e mnoˇzstv´ı. Posledn´ı znak vyjadˇroval ˇc´ıslo 1 000 000 a byl obrazem nˇekter´eho z boh˚ u. Podle nˇekter´ ych pramen˚ u existoval 7 jeˇstˇe hieroglyf pro ˇc´ıslo 10 .
Obr´azek 1: Egyptsk´e hieroglyfick´e znaky pro ˇc´ısla
Jednotliv´a pˇrirozen´a ˇc´ısla se pak zapisovala opakov´an´ım tˇechto znak˚ u, jak vid´ıme na obr. 2.
Obr´azek 2: Z´apis ˇc´ısel 2 465 a 2 123 013 v hieroglyfick´em p´ısmu
1 2
pˇrevzato z [3], str. 39 pˇrevzato z [3], str. 40
2
2
Se vznikem hieratick´eho a pozdˇeji d´emotick´eho p´ısma se zmˇenila i podoba ˇc´ıseln´ ych znak˚ u. Sˇc´ıt´an´ı dvou ˇci v´ıce pˇrirozen´ ych ˇc´ısel zapsan´ ych v des´ıtkov´e soustavˇe neˇcinilo probl´emy. Staˇcilo seˇc´ıst jednotky stejn´eho ˇr´adu (vyj´adˇren´e stejn´ ymi znaky) a deset jednotek jednoho ˇr´adu nahradit jednou jednotkou vyˇsˇs´ıho ˇr´adu. Pˇri odˇc´ıt´an´ı se obdobnˇe od sebe odˇc´ıtaly jednotky stejn´eho ˇr´adu, pˇriˇcemˇz nˇekdy bylo nutn´e nahradit jednu jednotku vyˇsˇs´ıho ˇr´adu deseti jednotkami niˇzˇs´ıho ˇr´adu. Vˇzdy se jednalo o odˇc´ıt´an´ı menˇs´ıho ˇc´ısla od vˇetˇs´ıho. Z´aporn´a ˇc´ısla a ˇc´ıslo nula Egypt’an´e neznali. Vzhledem k tomu, ˇze uˇz´ıvali nepoziˇcn´ı ˇc´ıselnou soustavu, nepotˇrebovali nulu ani k vyj´adˇren´ı pr´azdn´eho ˇr´adu. Pˇri n´asoben´ı Egypt’an´e uˇz´ıvali zdvojn´asobov´an´ı a sˇc´ıt´an´ı. Jejich metodu n´asoben´ı pˇredvedeme na pˇr´ıkladu ˇ 13 · 19 = 247. Cinitele 19 budeme postupnˇe zdvojn´asobovat, jak ukazuje n´asleduj´ıc´ı tabulka: / 1 19 2 38 / 4 76 / 8 152 dohromady 247 Posledn´ı ˇc´ıslo v lev´em sloupci tabulky nesm´ı pˇrev´ yˇsit druh´eho ˇcinitele 13. V tomto sloupci tabulky oznaˇc´ıme ta ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet je 13, to je ˇc´ısla 1, 4 a 8. Potom seˇcteme jim odpov´ıdaj´ıc´ı ˇc´ısla v prav´em sloupci, ˇc´ımˇz dostaneme v´ ysledek 247. Stejn´ ym zp˚ usobem se prov´adˇelo tak´e dˇelen´ı. Postup pˇredvedeme na pˇr´ıkladu 247 : 13 = 19. Dˇelitele 13 budeme zdvojn´asobovat, jak vid´ıme v tabulce: / /
1 13 2 26 4 52 8 104 / 16 208 dohromady 247 Posledn´ı ˇc´ıslo v prav´em sloupci tabulky nesm´ı pˇrev´ yˇsit dˇelence 247. V tomto sloupci oznaˇc´ıme ta ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet je 247, to je ˇc´ısla 208, 26 a 13. Potom seˇcteme jim odpov´ıdaj´ıc´ı ˇc´ısla v lev´em sloupci, ˇc´ımˇz dostaneme v´ ysledek 19. Ovˇsem pˇri tomto postupu lze dˇelitele vyj´adˇrit jako souˇcet ˇc´ısel v prav´em sloupci jen v pˇr´ıpadˇe, kdy se jedn´a o dˇelen´ı beze zbytku. Kromˇe pˇrirozen´ ych ˇc´ısel Egypt’an´e znali tak´e kladn´e zlomky. Pouˇz´ıvali pouze kmenn´e zlomky, tj. zlomky s ˇcitatelem 1, a zlomek 23 . Zlomky 12 a 23 mˇely zvl´aˇstn´ı symbol, ostatn´ı kmenn´e zlomky se zapisovaly tak, ˇze nad ˇc´ıslem, kter´e pˇredstavovalo jmenovatele kmenn´eho zlomku, se v hieroglyfick´em p´ısmu zakreslil znak u ´st, nˇekdy naz´ yvan´ y hieroglyf ra“. Na obr. 3 3 jsou hieroglyfick´e z´apisy zlomk˚ u 31 , 23 , 14 a 16 . V hieratick´em ” p´ısmu se m´ısto znaku u ´st zaˇcala ps´at pouze teˇcka. Ostatn´ı kladn´e zlomky se zapisovaly jako souˇcty pˇrirozen´eho ˇc´ısla, kmenn´ ych zlomk˚ u s r˚ uzn´ ymi jmenovateli a zlomku 23 . Vyj´adˇren´ı dan´eho kladn´eho zlomku t´ımto zp˚ usobem m˚ uˇze b´ yt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech 3
pˇrevzato z [3], str. 43
3
Obr´azek 3: Zlomky v hieroglyfick´em p´ısmu
pomˇernˇe n´aroˇcn´ ym poˇct´aˇrsk´ ym u ´kolem. Pro usnadnˇen´ı takov´ ych u ´kol˚ u mˇeli Egypt’an´e vypracov´any tabulky 2 rozklad˚ u zlomk˚ u n pro n lich´e od 5 do 101 na souˇcet dvou nebo v´ıce kmenn´ ych zlomk˚ u s r˚ uzn´ ymi jmenovateli. Tyto rozklady ˇcasto odpov´ıdaly vzorci 2 2 2 = + . n n + 1 n(n + 1) Napˇr´ıklad 2 1 1 = + , 5 3 15 1 1 2 = + . 7 4 28 Nˇekter´e rozklady byly mnohem n´aroˇcnˇejˇs´ı, napˇr´ıklad 2 1 1 1 1 = + + + , 83 60 332 415 498 2 1 1 1 1 = + + + , 89 60 356 534 890 2 1 1 1 = + + , 97 56 679 776 2 1 1 1 1 = + + + . 101 101 202 303 606 ych zlomk˚ u rozloˇzit mnoha r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby, ale vˇsechny dochovan´e Dan´ y zlomek n2 lze na souˇcet kmenn´ ’ egyptsk´e texty uv´adˇej´ı stejn´e rozklady. Je ot´azkou, jak Egypt an´e tyto rozklady objevili. ´ MEZOPOTAMIE ´ 2. STARA Sumerov´e a pozdˇeji Babyl´on ˇan´e, tj. n´arody ˇzij´ıc´ı ve starovˇek´e Mezopot´amii, pouˇz´ıvali kl´ınov´e p´ısmo, kl´ıny vyr´ yvali r´akosov´ ym rydlem do vlhk´ ych hlinˇen´ ych tabulek, kter´e posl´eze vypalovali na slunci ˇci v pec´ıch. Kl´ınov´e p´ısmo uˇz´ıvali i k z´aznamu ˇc´ısel. Pˇribliˇznˇe v polovinˇe tˇret´ıho tis´ıcilet´ı pˇr. n. l. zaˇcali m´ısto starˇs´ıho zp˚ usobu z´apisu ˇc´ısel uˇz´ıvat z´apis ˇc´ısel v poziˇcn´ı ˇsedes´atkov´e soustavˇe. Bˇehem nˇekolika dalˇs´ıch stolet´ı se ust´ alil z´apis ˇc´ısel pomoc´ı jen dvou znak˚ u, kter´e vid´ıme na obr. 4. Prvn´ı kl´ın oznaˇcoval ˇc´ıslo 1, druh´ y ˇc´ıslo 10.
4
Obr´azek 4: Znaky pro ˇc´ısla v kl´ınov´em p´ısmu
Opakov´an´ım tˇechto dvou kl´ın˚ u se zapsala pˇrirozen´a ˇc´ısla do 59, nˇekter´e z´apisy vid´ıme na obr. 5.
4
Obr´azek 5: Z´apis ˇc´ısel v kl´ınov´em p´ısmu
Vzhledem k tomu, ˇze se jednalo o poziˇcn´ı soustavu o z´akladu 60, znamenal prvn´ı kl´ın z obr. 4 tak´e ˇc´ısla ˇ ady se zapisovaly do ˇr´adk˚ 60, 602 , 603 , . . . . R´ u zleva doprava od nejvyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u k nejniˇzˇs´ım. Na obr. 6 5 je 3 2 uveden z´apis ˇc´ısel 147 = 2 · 60 + 27 a 424000 = 1 · 60 + 57 · 60 + 46 · 60 + 40. V Mezopot´amii pouˇz´ıvali ˇsedes´atinn´e zlomky, kter´e se zapisovaly stejn´ ym zp˚ usobem jako ˇc´ısla pˇrirozen´ a. 1 1 ˇ Prvn´ı kl´ın z obr´azku 4 tud´ıˇz oznaˇcoval tak´e ˇc´ısla 60 , 602 , . . . . Sedes´atinn´e zlomky tedy byly zaps´any form´ alnˇe stejnˇe jako ˇc´ısla pˇrirozen´a.
4 5
pˇrevzato z [3], str. 213 pˇrevzato z [3], str. 214
5
Obr´azek 6: Z´apis ˇc´ısel 147 a 424 000 v kl´ınov´em p´ısmu
Nedostatkem tohoto z´apisu ˇc´ısel byl probl´em s rozliˇsov´an´ım jednotliv´ ych ˇr´ad˚ u. Dlouho totiˇz chybˇel znak pro pr´azdn´ y ˇr´ad. Napˇr´ıklad z´apis na obr. 7 pravdˇepodobnˇe vyjadˇroval ˇc´ıslo 1 · 60 + 11 = 71, ale tak´e mohl 1 1 vyjadˇrovat ˇc´ısla 1 · 602 + 11 · 60 = 4260, 1 · 602 + 11 = 3611, 1 + 60 , 60 + 6012 a dalˇs´ı.
Obr´azek 7: Teprve kolem poloviny prvn´ıho tis´ıcilet´ı pˇr. n. l. byl zaveden znak pro pr´azdn´ y ˇr´ad, kter´ y ale nebyl uˇz´ıv´an na konci ˇc´ısla. Dneˇsn´ı pˇrepis mezopot´amsk´ ych ˇc´ısel uˇz´ıv´a konvence, kdy jsou jednotliv´e ˇr´ady od sebe oddˇeleny ˇc´arkou a cel´a ˇc´ast ˇc´ısla je od ˇsedes´atinn´ ych zlomk˚ u oddˇelena stˇredn´ıkem. Napˇr´ıklad z´apis (1, 2, 3; 4 4, 5) oznaˇcuje ˇc´ıslo 1 · 602 + 2 · 60 + 3 + 60 + 6052 . Uˇz´ıv´an´ı poziˇcn´ı soustavy je velk´ ym u ´spˇechem mezopot´ amsk´e matematiky. Poˇcetn´ı operace sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı neˇcinily probl´emy, jedin´ y probl´em mohl nastat s rozliˇsov´an´ım ˇr´ ad˚ u. ˇ R´ ad bylo nˇekdy nutn´e urˇcit z kontextu. Odˇc´ıtalo se vˇzdy menˇs´ı ˇc´ıslo od vˇetˇs´ıho, z´aporn´a ˇc´ısla nebyla zn´ ama. Na rozd´ıl od Egypt’an˚ u n´asobili v Mezopot´amii pˇr´ımo podle ˇr´ad˚ u. Mal´a n´asobilka“, jej´ıˇz znalost je pro ” n´ asoben´ı nutn´a, v ˇsedes´atkov´e soustavˇe obsahuje souˇciny od 1 × 1 do 59 × 59, to je 1 770 souˇcin˚ u. Tyto souˇciny si nemohl poˇct´aˇr pamatovat, proto se mezopot´amsk´e algoritmy pro n´asoben´ı op´ıraly o pouˇz´ıv´ an´ı tabulek n´asoben´ı, kter´e obsahovaly ˇc´ast jejich mal´e n´asobilky“. Dˇelen´ı nˇekdy prov´adˇeli pˇr´ımo, ˇcasto vˇsak ” dˇelen´ı pˇrev´adˇeli na n´asoben´ı pˇrevr´acenou hodnotou dˇelitele, pˇriˇcemˇz k nalezen´ı pˇrevr´acen´e hodnoty byly pouˇz´ıv´any tabulky. ´ 3. MAYOVE Jiˇz ve 4. stolet´ı pˇr. n. l. Mayov´e uˇz´ıvali poziˇcn´ı ˇc´ıselnou soustavu o z´akladu 20 s poz˚ ustatky dˇr´ıvˇejˇs´ı ’ pˇetkov´e soustavy a se znakem pro nulu. K z´apisu ˇc´ısel pouˇz´ıvali bud hieroglyfy nebo kombinace teˇcek a vodorovn´ ych ˇc´arek. Matematika, astronomie a kalend´aˇrn´ı v´ ypoˇcty uˇz´ıvaly druh´ y zp˚ usob z´aznamu ˇc´ısel, kde nula byla vyj´adˇrena schematick´ ym obrazem muˇsle. Symboly pro ˇc´ısla 0 aˇz 19 jsou uvedeny na na obr. 8: 6 6
pˇrevzato z [6], str. 65
6
Obr´azek 8: Maysk´e symboly pro ˇc´ısla
Pˇri z´apisu vˇetˇs´ıch pˇrirozen´ ych ˇc´ısel se ˇr´ady psaly pod sebe, pˇriˇcemˇz nejniˇzˇz´ı ˇr´ad byl zaps´ an dole. 5 4 3 2 Napˇr´ıklad z´apis na obr. 9 vyjadˇroval ˇc´ıslo 7 · 20 + 0 · 20 + 12 · 20 + 16 · 20 + 18 · 20 + 14 = 22 502 774.
Obr´azek 9: Z´apis ˇc´ısla 22 502 774 mayskou symbolikou
Nev´ıme, jak Mayov´e prov´adˇeli poˇcetn´ı operace. Rovnˇeˇz se nedochovaly informace o tom, jak´e symboly uˇz´ıvali pro zlomky. ´ RECKO ˇ 4. STARE ˇ Ve star´em Recku se uˇz´ıvala nepoziˇcn´ı des´ıtkov´a soustava. V 10. stolet´ı pˇr. n. l. se zaˇcala uˇz´ıvat tzv. ˇ herodi´ ansk´ a ˇc´ıseln´ a symbolika, kter´a mˇela dvˇe varianty - atickou a boj´otskou podle kraj˚ u Recka. Na obr. 10 vid´ıme v prvn´ım ˇr´adku symboly pro ˇc´ısla 1 (prst), 5 aticky (obraz dlanˇe s pˇeti prsty), 5 boj´otsky, 10 aticky, 10 boj´otsky, 100, 1 000 a 10 000. Spojen´ım tˇechto znak˚ u vznikly symboly pro ˇc´ısla 50, 500 a 5 000 uveden´e ve druh´em ˇr´adku. Ostatn´ı pˇrirozen´a ˇc´ısla se zapsala opakov´an´ım tˇechto znak˚ u. Ve tˇret´ım ˇr´adku je zaps´ ano ˇc´ıslo 9 821.
7
Obr´azek 10: Herodi´ansk´e ˇc´ıseln´e symboly ˇ Tento zp˚ usob z´apisu ˇc´ısel se v Recku objevoval jeˇstˇe v 1. stolet´ı pˇr. n. l. V t´e dobˇe se uˇz nˇekolik stolet´ı z´ aroveˇ n pouˇz´ıvala dalˇs´ı ˇc´ıseln´a symbolika, a to tzv. j´ onsk´y zp˚ usob z´apisu ˇc´ısel. V tomto z´apise jsou pˇrirozen´ a ˇc´ısla oznaˇcov´ana mal´ ymi p´ısmeny ˇreck´e abecedy, k nimˇz pˇripisovali pruh nebo ˇc´arku, aby je odliˇsili od p´ısmen. Zde 24 p´ısmen mal´e ˇreck´e abecedy a tˇri zastaral´e znaky oznaˇcovaly ˇc´ısla 1, 2, . . . , 9, 10, 20, . . . , 90, 100, 200, . . . , 900, jak m˚ uˇzeme vidˇet na obr. 11. 7
Obr´azek 11: J´onsk´e ˇc´ıseln´e symboly ˇ T´ımto zp˚ usobem Rekov´ e pomoc´ı 27 znak˚ u zapsali vˇsechna pˇrirozen´a ˇc´ısla do 999, pˇriˇcemˇz kaˇzd´e z tˇechto ˇc´ısel bylo zaps´ano nejv´ yˇse tˇremi znaky. Napˇr´ıklad ˇc´ıslo 834 se zapsalo takto: ω 0 λ0 δ 0 . Tis´ıce se zapisovaly jako jednotky s ˇc´arkou pˇred p´ısmenem, napˇr´ıklad 5 000 bylo zaps´ano takto: , ε. Vid´ıme, ˇze j´onsk´ a ˇc´ıseln´ a ˇ symbolika umoˇznila struˇcnˇejˇs´ı z´apis ˇc´ısel. Z´aporn´a ˇc´ısla a nulu jako ˇc´ıslo Rekov´ e neznali. 7
pˇrevzato z [6], str. 79
8
ˇ Vedle pˇrirozen´ ych ˇc´ısel Rekov´ e uˇz´ıvali kladn´e zlomky. Pouˇz´ıvali kmenn´e zlomky, kter´e dlouho zapisovali 0 slovnˇe, teprve pozdˇeji je zapisovali symboly, napˇr´ıklad 14 = δ 00 nebo δ apod. Z´apis obecn´ ych zlomk˚ u nebyl jednotn´ y, nejdokonalejˇs´ı byl zp˚ usob, kde se jmenovatel psal nad ˇcitatele (samozˇrejmˇe jeˇstˇe bez zlomkov´e ˇc´ ary). ˇ Poˇcetn´ı operace Rekov´ e prov´adˇeli na poˇcetn´ı desce, kter´a se naz´ yvala abak ˇci abacus. Na takov´e desce ˇ ˇ ısla se na byly svisl´e ˇc´ary, jeˇz oddˇelovaly jednotliv´e ˇr´ady. R´ady ˇsly zprava doleva, od niˇzˇs´ıch k vyˇsˇs´ım. C´ desce vyjadˇrovala poloˇzen´ım kam´enk˚ u nebo speci´aln´ıch poˇcetn´ıch zn´amek do sloupc˚ u mezi ˇcarami. Manipulac´ı s kam´enky potom poˇc´ıtali. Pˇri poˇc´ıt´an´ı na abaku obvykle zapisovali jen koneˇcn´ y v´ ysledek. Pouze pˇri sloˇzitˇejˇs´ıch v´ ypoˇctech zaznamen´avali i meziv´ ysledky. Pro ulehˇcen´ı poˇc´ıt´an´ı tak´e pouˇz´ıvali r˚ uzn´e tabulky. N´ asoben´ı nˇekdy prov´adˇeli egyptskou metodou. ˇ´ ´ MATEMATIKA 5. C INSKA Nejstarˇs´ı ˇc´ınsk´e z´apisy ˇc´ısel se objevuj´ı na magick´ ych kostk´ach ze 14. aˇz 11. stolet´ı pˇr. n. l. a na keramick´ ych a bronzov´ ych pˇredmˇetech a minc´ıch z 10. aˇz 3. stolet´ı pˇr. n. l. Od 4. stolet´ı pˇr. n. l. a moˇzn´ a i ˇ dˇr´ıve C´ıˇ nan´e pouˇz´ıvali k vyj´adˇren´ı ˇc´ısel tyˇcinky. Pouˇz´ıv´an´ı tyˇcinek se udrˇzelo aˇz do 13. stolet´ı n. l. V tomto zp˚ usobu z´apisu ˇc´ısel uˇz´ıvali 18 ˇc´ıseln´ ych znak˚ u pro ˇc´ısla 1 aˇz 9 a pro des´ıtky od 10 do 90. Obˇe skupiny znak˚ u jsou si velmi podobn´e, liˇs´ı se jen uspoˇr´ad´an´ım tyˇcinek. Vid´ıme je na obr. 12.
ˇ ınsk´e znaky pro ˇc´ısla Obr´azek 12: C´
Poˇc´ıt´an´ı s tˇemito ˇc´ıslicemi mˇelo poziˇcn´ı charakter. Symboly pro jednotky oznaˇcovaly tak´e stovky, des´ıtky ˇ ısla se psala do ˇr´adku. Na obr. 13 tis´ıc atd., symboly pro des´ıtky oznaˇcovaly tak´e tis´ıce, stovky tis´ıc atd. C´ vid´ıme zapsan´e ˇc´ıslo 6 728.
9
Obr´azek 13: Z´apis ˇc´ısla 6 728
Jedn´a se tud´ıˇz o nejstarˇs´ı des´ıtkovou poziˇcn´ı soustavu, kter´a ovˇsem zpoˇc´atku nebyla d˚ uslednˇe poziˇcn´ı, chybˇel totiˇz symbol pro nulu. Pˇri poˇc´ıt´an´ı na poˇcetn´ı desce pˇr´ıliˇs nevadilo, ˇze symbol pro nulu neexistoval, ˇ ıny pozdˇeji dostal z Indie, kde protoˇze odpov´ıdaj´ıc´ı m´ısto na desce z˚ ustalo pr´azdn´e. Symbol pro nulu se do C´ se v podobˇe teˇcky poprv´e objevil v 8. stolet´ı n. l. V tiˇstˇen´ ych ˇc´ınsk´ ych matematick´ ych spisech se symbol nuly ve tvaru krouˇzku poprv´e objevil ve 13. stolet´ı. ˇ ınˇe prov´adˇely na poˇcetn´ı desce pomoc´ı tyˇcinek. Poˇcetn´ı operace sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´ V´ ypoˇcty se v C´ an´ı a n´ asoben´ı se prov´adˇely nejprve s ˇc´ıslicemi nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu a postupnˇe se pˇrech´azelo k niˇzˇs´ım ˇr´ ad˚ um. To vyˇzadovalo ˇcast´e opravov´an´ı meziv´ ysledk˚ u. Pozdˇeji se pˇri v´ ypoˇctech zaˇcal pouˇz´ıvat tzv. suan-phan, kter´ y do jist´e m´ıry pˇripom´ın´a naˇse dˇetsk´e poˇc´ıtadlo. ˇ ınˇe pouˇz´ıvaly obecn´e zlomky. Zvl´aˇstn´ı symboly pro zlomky neexistovaly a Od nejstarˇs´ıch dob se v C´ m zlomek n se zapisoval slovnˇe jako m n-t´ ych d´ıl˚ u“. Pro nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´e zlomky byly vytvoˇreny zvl´ aˇstn´ı ” n´ azvy a znaky. Poˇcetn´ı operace se zlomky se tak´e prov´adˇely na poˇcetn´ı desce. Patrnˇe poprv´e v historii se ˇ ınˇe zaˇcaly pouˇz´ıvat desetinn´e zlomky. To souviselo s desetinn´ v C´ ym dˇelen´ım mˇer a vah. ´ MATEMATIKA 6. INDICKA Od nejstarˇs´ıch dob se v Indii pouˇz´ıvala des´ıtkov´a soustava. Objevily se r˚ uzn´e cifern´e z´aznamy. Zˇrejmˇe nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı z nich byly ˇc´ıslice br´ ahm´ı, kter´e se bez podstatn´ ych zmˇen uˇz´ıvaly d´ele neˇz tis´ıc let. V ˇc´ıslic´ıch br´ ahm´ı existovaly zvl´aˇstn´ı znaky pro jednotky, des´ıtky, sta a tis´ıce. Jejich podobu vid´ıme na obr. 14. 8
ˇ ıslice br´ahm´ı Obr´azek 14: C´
8
pˇrevzato z [5], str. 110
10
Existence speci´aln´ıch symbol˚ u pro ˇc´ısla od 1 do 9 je d˚ uleˇzit´ y rys indick´e matematiky, kter´ y byl pˇredpokladem pro vytvoˇren´ı des´ıtkov´e poziˇcn´ı soustavy. Vytvoˇren´ı poziˇcn´ı des´ıtkov´e soustavy je velice v´ yznamn´ ym vˇedeck´ ym i kulturn´ım u ´spˇechem n´arod˚ u Indie. Teprve tato soustava umoˇznila prov´ adˇen´ı poˇcetn´ıch operac´ı v p´ısemn´e podobˇe tak jednoduˇse, ˇze mohly konkurovat poˇc´ıt´an´ı na poˇcetn´ı desce. Proces vzniku t´eto soustavy byl dlouh´ y a nen´ı zcela objasnˇen. Patrnˇe se zde uˇz´ıvala od 6. stolet´ı n. l. V 7. stolet´ı jiˇz urˇcitˇe existovala a zpr´avy o n´ı se zaˇcaly ˇs´ıˇrit na z´apad. Koncem 8. stolet´ı byla zn´ama v Bagd´adu a arabˇst´ı matematici ji rychle pˇrijali. Nulu vyjadˇrovali Indov´e zpoˇc´atku teˇckou, ta byla posl´eze vytlaˇcena vˇseobecn´ ym pouˇz´ıv´an´ım krouˇzku jako symbolu nuly. Term´ın ˇsu ´nja, tj. pr´azdn´e“, kter´ y pro nulu uˇz´ıvali Indov´e v san” skrtu, pˇreloˇzili Arabov´e jako as-syfr a z toho poch´az´ı naˇse slovo cifra. Nelze pˇresnˇe zjistit, zda nula byla v Indii objevena ˇci zda ji Indov´e pˇrevzali od jin´ ych n´arod˚ u. Tvar symbol˚ u pro ˇc´ısla 1 aˇz 9 se v Indii mˇenil od m´ısta k m´ıstu a tak´e postupem ˇcasu. Z mnoha z´apis˚ u se nejv´ıce pouˇz´ıvaly ˇc´ıslice p´ısma devan´ agar´ı, kter´e je v Indii z´akladn´ım p´ısmem dodnes. Je pravdˇepodobn´e, ˇze vznikly postupnou u ´pravou ˇc´ıslic br´ahm´ı. V´ yvoj indick´ ych ˇc´ıslic vid´ıme na obr. 15. 9
Obr´azek 15: V´ yvoj indick´ ych ˇc´ıslic
Poˇcetn´ı operace se zprvu prov´adˇely na poˇcetn´ı desce pomoc´ı muˇsliˇcek kauri. Pozdˇeji se zaˇcaly prov´ adˇet na poˇcetn´ıch desk´ach pokryt´ ych prachem nebo p´ıskem, do kter´eho se ˇc´ıslice kreslily zaostˇrenou h˚ ulkou. Poˇcetn´ı operace se vˇetˇsinou prov´adˇely od cifer nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu, proto byly nutn´e zpˇetn´e opravy meziv´ ysledk˚ u, kter´e se prov´adˇely tak, ˇze se nepotˇrebn´e cifry v p´ısku zamazaly a m´ısto nich se nakreslily nov´e. Vzhledem k tomu nebylo moˇzn´e zkontrolovat cel´ y postup v´ ypoˇctu. To byl zˇrejmˇe d˚ uvod pro uˇz´ıv´an´ı tzv. dev´ıtkov´e zkouˇsky, kterou pouˇz´ıvaly ke kontrole spr´avnosti v´ ysledk˚ u operac´ı n´asoben´ı, dˇelen´ı, umocˇ nov´an´ı a odmocˇ nov´ an´ı. Je zaloˇzena na tom, ˇze zbytky po dˇelen´ı dan´eho pˇrirozen´eho ˇc´ısla a jeho cifern´eho souˇctu dev´ıti jsou stejn´e. Jestliˇze nazveme zkouˇskou zbytek po dˇelen´ı cifern´eho souˇctu dan´eho ˇc´ısla dev´ıti, potom napˇr. pˇri n´ asoben´ı dvou ˇc´ısel se zkouˇska jejich souˇcinu mus´ı rovnat souˇcinu zkouˇsek obou ˇcinitel˚ u. Obdobn´a vˇeta plat´ı i pro ostatn´ı operace. Mus´ıme ovˇsem poznamenat, ˇze rovnost zkouˇsek je jen nutnou, ale ne postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou spr´ avnosti v´ ysledku operace. O tom se indiˇct´ı matematici nezmiˇ novali. To bylo asi zp˚ usobeno t´ım, ˇze moˇznost selh´an´ı dev´ıtkov´e zkouˇsky je velmi m´alo pravdˇepodobn´a. Dev´ıtkovou zkouˇsku pouˇz´ıvali tak´e arabˇst´ı matematici a pozdˇeji se rozˇs´ıˇrila i do Evropy. 9
pˇrevzato z [5], str. 113
11
Pro poˇc´ıt´an´ı v poziˇcn´ı soustavˇe je nutn´e zn´at v´ ysledek poˇcetn´ıch operac´ı s nulou. Indiˇct´ı matematici patrnˇe jako prvn´ı formulovali pravidla pro poˇc´ıt´an´ı s nulou. Slovnˇe uvedli a zd˚ uvodnili n´asleduj´ıc´ı pravidla: a ± 0 = a, 0 + a = a, a − a = 0, a · 0 = 0 · a = 0, 0 : a = 0. Dˇelen´ı ˇc´ısla r˚ uzn´eho od nuly nulou povaˇzovali zpoˇc´atku za nemoˇzn´e, pozdˇeji doˇsli k z´avˇeru, ˇze dˇelen´ı nulou d´ av´a nekoneˇcno. Indov´e pouˇz´ıvali obecn´e zlomky typu m c´ıt´an´ı se zlomky podrobnˇe rozpracovali. Jejich z´apis zlomk˚ u n a poˇ se t´emˇeˇr shodoval s dneˇsn´ı formou z´apisu zlomk˚ u, ˇcitatele psali nad jmenovatele, ale jeˇstˇe nepouˇz´ıvali zlomkovou ˇc´aru. Sm´ıˇsen´a ˇc´ısla zapisovali tak, ˇze celou ˇc´ast ˇc´ısla psali nad ˇcitatele zlomkov´e ˇc´asti. Za velice v´ yznamn´ y mus´ıme povaˇzovat pˇr´ınos Ind˚ u pro poˇc´ıt´an´ı se z´aporn´ ymi ˇc´ısly. Z´aporn´ a ˇc´ısla se ˇ ınˇe pˇri ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. Je tud´ıˇz moˇzn´e, pouˇz´ıvala uˇz kolem poˇc´atku naˇseho letopoˇctu v C´ ˇ ıny, ale ˇz´adn´e doklady o tom neexistuj´ı. Jist´e je, ˇze ˇze Indov´e prvn´ı poznatky o z´aporn´ ych ˇc´ıslech pˇrijali z C´ Indov´e poznatky o z´aporn´ ych ˇc´ıslech hloubˇeji rozpracovali a poznali jejich nov´e d˚ uleˇzit´e vlastnosti. Nev´ıme, kdy se z´aporn´a ˇc´ısla v Indii poprv´e objevila. Prvn´ı zn´am´a zm´ınka o z´aporn´ ych ˇc´ıslech se vyskytuje ve spisech indick´eho matematika Br´ahmagupty, kter´ y ˇzil v 7. stolet´ı n. l. Kladn´a ˇc´ısla Indov´e naz´ yvali majetek, z´ aporn´a ˇc´ısla naz´ yvali sn´ıˇzen´ı ˇci dluh. Z´aporn´a ˇc´ısla oznaˇcovali teˇckou nad ˇc´ıslic´ı. Br´ahmagupta formuloval pravidla pro sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı, umocˇ nov´an´ı dvˇema a odmocˇ nov´an´ı dvˇema se z´aporn´ ymi ˇc´ısly. Pravidla pro umocˇ nov´an´ı a odmocˇ nov´an´ı z´aporn´ ych ˇc´ısel byla potom d´ale rozpracov´ana. Bh´ askara II. ve 12. stolet´ı uvedl, ˇze druh´a odmocnina z kladn´eho ˇc´ısla je jak kladn´a, tak z´aporn´a. Mah´av´ıra v 9. stolet´ı ˇr´ıkal, ˇze druh´a odmocnina ze z´aporn´eho ˇc´ısla neexistuje. Zruˇcnˇe poˇc´ıtali Indov´e tak´e s druh´ ymi odmocninami. Br´ahmagupta ukazoval, jak se rozˇsiˇrov´an´ım zbavit druh´ ych odmocnin ve jmenovateli zlomk˚ u. Bh´askara II. pak uvedl dalˇs´ı d˚ uleˇzit´e identity pro poˇc´ıt´ an´ı s kvadratick´ ymi iracionalitami. ´ MATEMATIKA 7. ARABSKA ˇ ıseln´e hodnoty se v arabsk´ C´ ych textech nejprve vyjadˇrovaly slovy nebo ˇreckou alfabetickou symbolikou. ˇ Slovn´ı z´apis se udrˇzel vedle poziˇcn´ıho ˇc´ıseln´eho z´apisu i v dalˇs´ıch stolet´ıch. Reck´ y alfabetick´ y z´apis ˇc´ısel ve 12. stolet´ı vymizel. V 8. stolet´ı se objevila arabsk´a numerace podobn´a ˇreck´e, kter´a se op´ırala o arabskou abecedu a do 10. stolet´ı se dosti rozˇs´ıˇrila. Jiˇz v prvn´ı polovinˇe 10. stolet´ı se zaˇc´ın´a ˇs´ıˇrit indick´ a poziˇcn´ı des´ıtkov´a soustava. Aritmetick´ y trakt´at, jehoˇz autorem byl arabsk´ y matematik al-Chw´arizm´ı, je prvn´ı zn´amou arabskou prac´ı, v n´ıˇz je vyloˇzena indick´a des´ıtkov´a poziˇcn´ı soustava. Al-Chw´arizm´ı ˇzil na pˇrelomu 8. a 9. stolet´ı a pracoval v ˇcele matematik˚ u v Domˇe moudrosti“ v Bagd´adu. Jeho aritmetick´ y trakt´at se dochoval jen ” v latinsk´em pˇrekladu z 12. stolet´ı a jedin´ y zn´am´ y rukopis tohoto trakt´atu poch´az´ı aˇz z poloviny 13. stolet´ı a nen´ı to pˇresn´ y pˇreklad p˚ uvodn´ıho arabsk´eho origin´alu. Tento rukopis je uloˇzen v knihovnˇe univerzity 12
v Cambridge. Al-Chw´arizm´ı zde nejprve podrobnˇe vysvˇetluje zp˚ usob z´apisu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel v des´ıtkov´e poziˇcn´ı soustavˇe pomoc´ı indick´ ych znak˚ u a d´av´a n´avod k vyslovov´an´ı velk´ ych ˇc´ısel. Potom n´asleduje podrobn´ y popis poˇcetn´ıch operac´ı podle indick´eho vzoru. Sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı doporuˇcuje prov´adˇet zleva doprava, tj. poˇc´ınaje nejvyˇsˇs´ımi ˇr´ady. Po odˇc´ıt´an´ı se mluv´ı o p˚ ulen´ı a zdvojn´asobov´an´ı. Tyto dvˇe operace se jako zvl´aˇstn´ı operace u al-Chw´arizm´ıho objevuj´ı poprv´e a od nˇej pˇreˇsly do cel´e stˇredovˇek´e arabsk´e a evropsk´e literatury. I al-Chw´arizm´ı s´am vˇedˇel, ˇze zdvojn´asobov´an´ı je jen zvl´aˇstn´ı pˇr´ıpad n´asoben´ı a p˚ ulen´ı zvl´aˇstn´ı pˇr´ıpad dˇelen´ı. Potom n´asleduje v´ yklad n´asoben´ı, autor naznaˇcuje i multiplikaˇcn´ı vlastnosti nuly, tj. 0 · a = a · 0 = 0. N´ asoben´ı doporuˇcuje prov´adˇet na desce pokryt´e prachem a zaˇc´ınat od cifer nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu. Rovnˇeˇz dˇelen´ı se doporuˇcuje prov´adˇet na desce pokryt´e prachem, aby bylo usnadnˇeno smaz´av´an´ı meziv´ ysledk˚ u. Spis konˇc´ı v´ ykladem operac´ı se zlomky. Autor uˇz´ıv´a hlavnˇe ˇsedes´atinn´e zlomky, kter´e se v arabsk´ ych zem´ıch uˇz´ıvaly i v n´ asleduj´ıc´ıch stalet´ıch. Od 10. stolet´ı z´apis ˇc´ısel v poziˇcn´ı des´ıtkov´e soustavˇe uˇz´ıval v´ ychodoarabsk´e ˇc´ıslice, kter´e lze povaˇzovat za urˇcitou modifikaci ˇc´ıslic br´ahm´ı. Ve stejn´e dobˇe se na Pyrenejsk´em poloostrovˇe objevily z´apadoarabsk´e ˇc´ıslice ˇc´asteˇcnˇe shodn´e s v´ ychodoarabsk´ ymi. Z´apadoarabsk´e ˇc´ıslice se naz´ yvaly dˇzubar (nˇekdy ps´ano gubar), toto slovo znamen´a v arabˇstinˇe p´ısek ˇci prach a naznaˇcuje, ˇze se tyto ˇc´ıslice psaly na desce posypan´e p´ıskem. Podobu tˇechto ˇc´ıslic uv´ad´ı obr. 16.10
Obr´azek 16: Arabsk´e ˇc´ıslice V´ ychodoarabsk´e ˇc´ıslice se dodnes udrˇzely v ˇradˇe zem´ı, napˇr´ıklad v Egyptˇe, S´ yrii, Turecku a ´Ir´ anu. Z´ apadoarabsk´e ˇc´ıslice se dodnes uˇz´ıvaj´ı v Maroku. ˇ ˇ A ´ EVROPA 8. STREDOV EK Ve stˇredovˇek´e Evropˇe se aˇz do 10. stolet´ı pouˇz´ıvaly v´ yhradnˇe ˇr´ımsk´e ˇc´ıslice, ˇr´ımsk´e zlomky a poˇc´ıtalo se na abaku. V prac´ıch o poˇc´ıt´an´ı na abaku se ˇc´ısla vyjadˇrovala slovy nebo ˇr´ımsk´ ymi ˇc´ıslicemi. Abakus tvoˇrila obvykle hladk´a deska posypan´a p´ıskem a rozdˇelen´a na nˇekolik sloupc˚ u, kter´e odpov´ıdaly jednotliv´ ym ˇr´ ad˚ um. Do sloupc˚ u se kladly nebo zakreslovaly symboly jednotek odpov´ıdaj´ıc´ıch ˇr´ad˚ u. Na rozd´ıl od starovˇek´ ych poˇcetn´ıch desek se jednotky nevyjadˇrovaly pomoc´ı nˇekolika kam´enk˚ u ˇci neoznaˇcen´ ych poˇcetn´ıch zn´ amek, ale pomoc´ı zvl´aˇstn´ıch poˇcetn´ıch zn´amek s vyobrazen´ım pˇr´ısluˇsn´ ych ˇc´ıslic. Tyto obrazy i vlastn´ı poˇcetn´ı zn´ amky se naz´ yvaly apices, coˇz je mnoˇzn´e ˇc´ıslo slova apex. Slovo apex znamen´a latinsky kromˇe jin´eho tak´e zp˚ usob psan´ı. Z´amˇena kam´enk˚ u za apices nebyla pro pˇrehlednost poˇc´ıt´an´ı pˇr´ıliˇs v´ yhodn´a a pozdˇeji se poˇct´ aˇri vr´ atili zpˇet k neoznaˇcen´ ym poˇcetn´ım zn´amk´am. Apices byly d˚ uleˇzit´e v tom, ˇze v nich vid´ıme pˇredch˚ udce modern´ıch evropsk´ ych ˇc´ıslic. 10
pˇrevzato z [5], str. 194
13
ˇ Indo-arabsk´e ˇc´ıslice zaˇcaly pronikat do Evropy nejpozdˇeji v 10. stolet´ı pˇres Spanˇ elsko pr´avˇe ve formˇe ˇ ıslice dˇzubar se do maursk´eho Spanˇ ˇ apices. C´ elska dostaly d´ıky obchodu s Orientem a byly pouˇz´ıv´ any pˇri kupeck´ ych v´ ypoˇctech na poˇcetn´ı desce. Nejprve se pouˇz´ıvaly bez symbolu pro nulu. V p´ısemn´ ych z´apisech se nad ˇc´ıslovkami dˇelaly teˇcky, jejichˇz poˇcet odpov´ıdal ˇr´adu. Des´ıtky mˇely jednu teˇcku, stovky dvˇe teˇcky atd. Pozdˇeji se objevila nula ve tvaru krouˇzku. Nejstarˇs´ı dochovan´ y evropsk´ y rukopis, kter´ y obsahuje arabsk´e ˇ ˇc´ıslice, je Codex Vigilanus, poch´az´ı z roku 976 a byl nalezen v kl´aˇsteˇre v severn´ım Spanˇelsku. Tento rukopis jeˇstˇe neobsahoval symbol pro nulu. Nov´e ˇc´ıslice se potom vyskytuj´ı v r˚ uzn´ ych rukopisech z 11. stolet´ı a dalˇs´ıch stolet´ı, pˇriˇcemˇz jejich tvar se nad´ale mˇenil a rozd´ıly v jejich tvaru mezi jednotliv´ ymi rukopisy byly dost podstatn´e. Pˇredstavu o zmˇenˇe tvaru naˇsich ˇc´ıslic n´am d´av´a obr. 17.11
Obr´azek 17: V´ yvoj tvaru arabsk´ ych ˇc´ıslic v Evropˇe Uˇz v´ıme, ˇze slovo cifra vzniklo z arabsk´eho slova as-syfr, kter´e oznaˇcovalo nulu. Stejn´ y v´ yznam mˇelo zpoˇc´atku i slovo cifra. Teprve pozdˇeji se pro nulu prosadilo slovo cephirum (z nˇej vzniklo italsk´e zero), kter´e uˇzil Leonardo Pis´ansk´ y, a slovo cifra dostalo dneˇsn´ı v´ yznam. Slovo nullus, tj. ˇz´adn´ y, se v hovorov´e ˇreˇci matematik˚ u rozˇs´ıˇrilo koncem 15. stolet´ı. Velk´ y v´ yznam pro ˇs´ıˇren´ı des´ıtkov´e poziˇcn´ı soustavy a nov´ ych ˇc´ıslic v Evropˇe mˇelo od 12. stolet´ı sezn´ amen´ı se s latinsk´ ymi pˇreklady arabsk´ ych matematick´ ych spis˚ u o aritmetice. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı z nich byl al-Chw´ arizm´ıho aritmetick´ y trakt´at. Znalost nov´e numerace se pomˇernˇe rychle ˇs´ıˇrila. V polovinˇe 12. stolet´ı jiˇz byla zn´ am´ a ˇ v Nˇemecku a Rakousku. Kromˇe Spanˇ elska byla nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım centrem ˇs´ıˇren´ı nov´e aritmetiky It´ alie. Zde vznikl roku 1202 vynikaj´ıc´ı spis Kniha o abaku (Liber abaci), jehoˇz autorem byl Leonardo Pis´ansk´ y. Je to velice podrobn´e d´ılo o aritmetice a algebˇre op´ıraj´ıc´ı se o des´ıtkovou poziˇcn´ı soustavu. Leonardo ve spise mimo jin´e podrobnˇe vykl´ad´a poˇc´ıt´an´ı s nov´ ymi ˇc´ısly. Latinizovan´a podoba jm´ena al-Chw´arizm´ıho nejˇcastˇeji byla algorithmus nebo algorismus a toto slovo se stalo n´azvem nov´e aritmetiky. Term´ın algorismus pouˇz´ıv´a i Leonardo Pis´ansk´ y. Ve stejn´e dobˇe se zaˇc´ın´ a pouˇz´ıvat slovo algoritmikov´e pro zast´ance algoristick´e aritmetiky na rozd´ıl od abacist˚ u, jak se naz´ yvali zast´anci poˇc´ıt´an´ı na abaku. Pozdˇeji se term´ın algoritmus zaˇcal pouˇz´ıvat pro libovoln´ y pravideln´ y poˇcetn´ı postup k ˇreˇsen´ı urˇcit´e skupiny u ´loh. Poˇcet prac´ı o algorismu potom v´ yraznˇe vzrostl a zaˇcaly vznikat i pr´ace v n´arodn´ıch jazyc´ıch. I pˇres tyto u ´spˇechy se nov´ y zp˚ usob z´apisu ˇc´ısel prosazoval proti ˇr´ımsk´ ym ˇc´ıslic´ım se znaˇcn´ ymi obt´ıˇzemi. Zpoˇc´atku nov´ y 11
pˇrevzato z [5], str. 343
14
zp˚ usob uˇz´ıvali jen odborn´ıci a do ˇsirˇs´ıch kruh˚ u obyvatelstva pronikal velmi pomalu. Chybˇel totiˇz jednotn´ y zp˚ usob z´apisu nov´ ych ˇc´ıseln´ ych symbol˚ u, kter´ y by omezoval padˇel´an´ı v z´apisech, to po dlouhou dobu bylo pˇrek´aˇzkou uzn´an´ı nov´ ych ˇc´ıslic. Napˇr´ıklad jeˇstˇe v roce 1299 mˇeli kupci ve Florencii zak´az´ano pouˇz´ıvat vu ´ˇcetnictv´ı nov´e ˇc´ıslice a bylo doporuˇceno ps´at ˇc´ısla slovy. Ovˇsem v´ yhody nov´eho z´apisu byly natolik velk´e, ˇze do 16. stolet´ı se nov´e poˇcetn´ı zp˚ usoby prosadily nejen mezi uˇcenci, ale i ve ˇskol´ach a v kaˇzdodenn´ım ˇzivotˇe. Tomu pomohlo tak´e ˇsirˇs´ı pouˇz´ıv´an´ı a zlevnˇen´ı pap´ıru, kter´ y se zaˇcal v Evropˇe vyr´abˇet ve 12. stolet´ı. Pak se mohly v´ ypoˇcty m´ısto na abaku prov´adˇet p´ısemnˇe na pap´ıru. Ohromn´ y v´ yznam pro definitivn´ı prosazen´ı nov´e aritmetiky i pro ˇs´ıˇren´ı matematick´ ych znalost´ı mˇel knihtisk. Spolu s des´ıtkovou poziˇcn´ı soustavou pro cel´a ˇc´ısla se do Evropy z arabsk´ ych zem´ı pˇrenesly tak´e ˇsedes´atinn´e zlomky, kter´e se pouˇz´ıvaly hlavnˇe pˇri astronomick´ ych v´ ypoˇctech. Pouˇz´ıv´an´ı syst´emu ˇsedes´atinn´ ych zlomk˚ u bylo jedn´ım z pˇredpoklad˚ u pro zaveden´ı desetinn´ ych zlomk˚ u v Evropˇe. K desetinn´ ym zlomk˚ um dospˇel poprv´e ve sv´ ych trigonometrick´ ych tabulk´ach, vydan´ ych v roce 1579, Francois Vi´ete (1540–1603), kter´ y psal nˇekdy pouze ˇcitatele desetinn´ ych zlomk˚ u. Z´asluhu o prvn´ı systematick´e zaveden´ı desetinn´ ych zlomk˚ u mˇel holandsk´ y inˇzen´ yr Simon Stevin (1548–1620), kter´ y ve vl´amˇstinˇe vydal v roce 1585 spisek s n´azvem Desetina a popsal v nˇem, jak zapisovat desetinn´a ˇc´ısla a jak s nimi poˇc´ıtat. Vedle toho se pouˇz´ıvaly zlomky obecn´e. Zlomkov´a ˇc´ara se pˇri z´apisu zlomk˚ u v Evropˇe poprv´e objevila v roce 1202 u Leonarda Pis´ansk´eho. Pˇribliˇznˇe ve stejn´e dobˇe se zlomkov´a ˇc´ara objevila i v arabsk´e matematice. ˇ ˇ E ´ POCETN ˇ ´ 9. STREDOV EK I ALGORITMY Jednou z moˇznost´ı bylo ve stˇredovˇeku poˇc´ıt´an´ı na prstech, kter´e bylo pouˇz´ıv´ano uˇz ve starovˇeku. Uˇz´ıvalo se k jednoduch´emu zn´azornˇen´ı ˇc´ısel a ke sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı. K n´asoben´ı a dˇelen´ı se prsty pˇr´ıliˇs nehodily. Dalˇs´ı moˇznost´ı, o kter´e jiˇz bylo zm´ınˇeno, bylo poˇc´ıt´an´ı na abaku, na kter´em byly svisl´e ˇc´ary, kter´e vymezovaly sloupce pro jednotliv´e ˇr´ady. Koncem 12. stolet´ı se v Evropˇe objevily m´ısto svisl´ ych ˇcar vodorovn´e ˇc´ ary, tzv. liny a zaˇcalo se pouˇz´ıvat poˇc´ıt´ an´ı na lin´ ach. Rovnobˇeˇzn´e ˇc´ary se nakreslily na tabuli, st˚ ul nebo na pap´ır. Kaˇzd´a ˇc´ara byla urˇcena pro jeden ˇr´ad. Kam´enky se kladly na ˇc´ary nebo mezi nˇe, na ˇc´aˇre mˇely kam´enky hodnotu jednotky pˇr´ısluˇsn´eho ˇr´adu, v mezeˇre mˇely hodnotu pˇeti jednotek spodn´ı ˇc´ary. M´ısto kam´enk˚ u se nˇekdy malovaly punt´ıky, kter´e bylo pˇri v´ ypoˇctu moˇzno snadno mazat. Poˇc´ıt´an´ı na lin´ach se pak prov´ adˇelo podobn´ ymi postupy jako poˇc´ıt´an´ı na abaku. Abakus a liny se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaly aˇz do 15. stolet´ı. Se ˇs´ıˇren´ım des´ıtkov´e poziˇcn´ı soustavy se zaˇcaly poˇcetn´ı operace prov´adˇet p´ısemnˇe a postupnˇe se zdokonalovaly metody pro jejich prov´adˇen´ı. Mluvilo se o poˇc´ıt´ an´ı na cifry. Teprve koncem 15. stolet´ı p´ısemn´e postupy poˇc´ıt´an´ı z velk´e ˇc´asti vytlaˇcily poˇc´ıt´an´ı na lin´ach. Pˇri poˇc´ıt´an´ı se postupovalo zleva doprava, tj. od cifer nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu. To zp˚ usobovalo, ˇze bˇehem v´ ypoˇctu bylo nutn´e opravovat ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky, protoˇze v´ ypoˇcet v niˇzˇs´ıch ˇr´adov´ ych jednotk´ach ovlivnil v´ ysledek ve vyˇsˇs´ıch jednotk´ach. Tyto postupy vˇetˇsinou mˇely sv˚ uj p˚ uvod v Indii, kde se prov´adˇely na desk´ach pokryt´ ych prachem nebo p´ıskem, coˇz umoˇzn ˇovalo snadn´e vymaz´av´an´ı meziv´ ysledk˚ u a jejich postupn´e nahrazov´an´ı dalˇs´ımi meziv´ ysledky. V Evropˇe se tyto poˇcetn´ı postupy zaˇcaly prov´adˇet na pap´ıru, takˇze soustavn´e vymaz´av´an´ı meziv´ ysledk˚ u nebylo tak snadn´e. Proto bylo vymaz´av´an´ı meziv´ ysledk˚ u nahrazeno pˇreˇskrt´av´an´ım nepotˇrebn´ ych ˇc´ıslic a nadepisov´an´ım opraven´ ych ˇc´ıslic. V´ ysledek v´ ypoˇctu byl obvykle sestaven z nejv´ yˇse napsan´ ych nepˇreˇskrtnut´ ych ˇc´ıslic.
15
Sˇ c´ıt´ an´ı Poˇct´aˇr zapisoval sˇc´ıtance pod sebe, v´ ysledek se obvykle nadepisoval nad sˇc´ıtance. Postup si uk´ aˇzeme na pˇr´ıkladu 3478 + 5673 + 9784 = 18935. Zaˇc´ın´ame sˇc´ıtat od jednotek nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu. 8 1 /7 3 5 9
9 /7 4 6 7
3 /2 7 7 8
5 8 3 4
V´ ysledek 18 935 ˇcteme ve dvou ˇr´adc´ıch, je sestaven z nejv´ yˇse napsan´ ych nepˇreˇskrtnut´ ych ˇc´ıslic. Tento zp˚ usob sˇc´ıt´ an´ı se v uˇcebnic´ıch udrˇzel aˇz do 16. stolet´ı, nˇekde i d´ele. Odˇ c´ıt´ an´ı Odˇc´ıt´an´ı se ve stˇredovˇeku prov´adˇelo nˇekolika zp˚ usoby. Prvn´ı zp˚ usob poch´azel z Indie a je podobn´ y pˇredchoz´ımu zp˚ usobu sˇc´ıt´an´ı. Menˇsenec a menˇsitel se nap´ıˇs´ı pod sebe, odˇc´ıt´a se zleva doprava, v´ ysledek se nadepisuje, nepotˇrebn´e ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky se ˇskrtaj´ı. V´ ysledek se sestav´ı z nejv´ yˇse napsan´ ych nepˇreˇskrtnut´ ych ˇc´ıslic, kter´e jsou ve dvou i v´ıce ˇr´adc´ıch. Postup uk´aˇzeme na pˇr´ıkladu 6534 − 4789 = 1745. 1 /2 6 4
7 /8 5 7
4 /5 5 3 4 8 9
Druhou moˇznost´ı je odˇc´ıt´an´ı pomoc´ı des´ıtkov´eho doplˇ nku. Tento zp˚ usob se vyvinul v Evropˇe. Des´ıtkov´ ym doplˇ nkem ˇc´ısel 1, 2, . . . , 9 jsou ˇc´ısla 9 = 10 − 1, 8 = 10 − 2, . . . , 1 = 10 − 9. Poˇct´aˇr zapsal na prvn´ı ˇr´ adek menˇsence, na druh´ y ˇr´adek menˇsitele a na tˇret´ı ˇr´adek zaznamenal rozd´ıl. V´ ypoˇcet se zde prov´adˇel zprava doleva. Pokud v menˇsenci byla vˇetˇs´ı cifra neˇz pod n´ı stoj´ıc´ı cifra menˇsitele nebo byly obˇe cifry stejn´e, pak se odeˇcetlo jako pˇri dnes bˇeˇzn´em zp˚ usobu odˇc´ıt´an´ı. Pokud vˇsak v menˇsenci byla menˇs´ı cifra neˇz pod n´ı stoj´ıc´ı cifra menˇsitele a odˇc´ıt´an´ı nebylo moˇzno takto prov´est, tak se cifra menˇsitele nahradila jej´ım des´ıtkov´ ym doplˇ nkem, kter´ y se pˇriˇcetl k cifˇre menˇsence a k dalˇs´ı cifˇre menˇsitele se pˇriˇcetla jedniˇcka. Tento postup je zaloˇzen na identitˇe a − b = a + (10 − b) − 10. Postup pˇredvedeme na pˇr´ıkladu 73627 − 56248 = 17379. V´ ysledn´ y z´apis bude vypadat takto: 7 3 6 2 7 5 6 2 4 8 1 7 3 7 9 Postup v´ ypoˇctu je n´asleduj´ıc´ı: rozd´ıl 7 − 8 nelze prov´est“, proto stanov´ıme des´ıtkov´ y doplnˇek ˇc´ısla 8, tj. 2, ” a seˇcteme 7 + 2 = 9, na m´ısto jednotek rozd´ılu zap´ıˇseme 9. Zvˇetˇs´ıme o 1 dalˇs´ı cifru menˇsitele, tj. 4 + 1 = 5, rozd´ıl 2 − 5 nelze urˇcit“, stanov´ıme tedy des´ıtkov´ y doplnˇek ˇc´ısla 5, tj. 5, a seˇcteme 2 + 5 = 7, 7 zap´ıˇseme ” na m´ısto des´ıtek rozd´ılu. Zvˇetˇs´ıme o 1 dalˇs´ı ˇc´ıslici menˇsitele, tj. 2 + 1 = 3, rozd´ıl 6 − 3 = 3 lze prov´est“, ” zap´ıˇseme 3 jako dalˇs´ı ˇc´ıslici rozd´ılu. Rozd´ıl 3 − 6 nelze vypoˇc´ıtat“, urˇc´ıme des´ıtkov´ y doplnˇek ˇc´ısla 6, tj. 4, ” a seˇcteme 3 + 4 = 7, 7 zap´ıˇseme do rozd´ılu. Pˇriˇcteme jedniˇcku k dalˇs´ı ˇc´ıslici menˇsitele, tj. 5 + 1 = 6, rozd´ıl 7 − 6 = 1, cifru 1 zap´ıˇseme jako prvn´ı cifru rozd´ılu. 16
N´ asoben´ı V´ yvoj algoritm˚ u pro prov´adˇen´ı n´asoben´ı je pestˇrejˇs´ı. Vˇetˇsina uˇz´ıvan´ ych algoritm˚ u m´a sv˚ uj p˚ uvod v Indii. Vˇsechny algoritmy n´asoben´ı pˇredpokl´adaj´ı znalost mal´e n´asobilky, tj. znalost souˇcin˚ u od 1 · 1 do 9 · 9. Zn´ at celou malou n´asobilku zpamˇeti bylo pro stˇredovˇek´e poˇct´aˇre pˇr´ıliˇs n´aroˇcn´e, proto rozvinuli metody, jak vystaˇcit se znalost´ı jen ˇc´asti mal´e n´asobilky od 1 · 1 do 5 · 5 a jak pomoc´ı tˇechto souˇcin˚ u urˇcit souˇciny a · b pro 5 < a < 10, 5 < b < 10. Chceme-li stanovit souˇcin takov´ ych dvou ˇc´ısel a, b, tak urˇc´ıme jejich des´ıtkov´e doplˇ nky 10 − a a 10 − b a vyn´asob´ıme je. Souˇcin (10 − a) · (10 − b) tvoˇr´ı jednotky hledan´eho souˇcinu a · b. ˇ ıslo a + b − 10 pak vyjadˇruje poˇcet des´ıtek souˇcinu a · b. Tento postup je zaloˇzen na identitˇe: C´ a · b = 10(a + b − 10) + (10 − a) · (10 − b). Chceme-li t´ımto zp˚ usobem urˇcit souˇcin 7 · 8, urˇc´ıme des´ıtkov´e doplˇ nky ˇc´ısel 7 a 8, to jsou ˇc´ısla 3 a 2, tyto ˇ ısla 7 a 8 seˇcteme a od souˇctu odeˇcteme doplˇ nky vyn´asob´ıme, 3 · 2 = 6, t´ım jsme dostali jednotky souˇcinu. C´ 10, tj. 7 + 8 − 10 = 5, t´ım jsme dostali des´ıtky hledan´eho souˇcinu 7 · 8 = 56. Na stejn´em principu je zaloˇzeno urˇcov´an´ı souˇcin˚ u a · b pro 5 < a < 10, 5 < b < 10 na prstech obou rukou. Tento zp˚ usob n´asoben´ı se nˇekdy naz´ yv´a cik´ ansk´ a n´ asobilka. M´ame-li urˇcit t´ımto zp˚ usobem souˇcin ˇc´ısel 7 a 8, pak na jedn´e ruce vztyˇc´ıme 2 prsty a na druh´e ruce vztyˇc´ıme 3 prsty. Obecnˇe vztyˇc´ıme tolik prst˚ u, o kolik je kaˇzd´ y z ˇcinitel˚ u vˇetˇs´ı neˇz ˇc´ıslo 5. Souˇcet vztyˇcen´ ych prst˚ u ud´av´a poˇcet des´ıtek souˇcinu, souˇcin nevztyˇcen´ ych prst˚ u (to jsou des´ıtkov´e dopˇ nky obou ˇcinitel˚ u) tvoˇr´ı jednotky souˇcinu. Jedn´ım z ve stˇredovˇeku uˇz´ıvan´ ych algoritm˚ u pro n´asoben´ı v´ıcecifern´ ych ˇc´ısel byl postup naz´ yvan´ y galea, tj. lod’, nebo batello, tj. ˇclun. Tento algoritmus n´asoben´ı poch´azel z Indie. Zaˇc´ınal se prov´adˇet od cifer nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu a vzhledem k tomu bylo nutn´e st´ale opravovat ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky. To bylo snadn´e na indick´ ych popr´aˇsen´ ych desk´ach, ale kdyˇz se v Evropˇe zaˇcaly v´ ypoˇcty prov´adˇet na pap´ıru, tak se vymaz´av´an´ı nahradilo ˇskrt´an´ım ˇc´asteˇcn´ ych v´ ysledk˚ u a nadepisov´an´ım dalˇs´ıch ˇc´asteˇcn´ ych v´ ysledk˚ u. V´ ysledn´ y z´apis pak nˇekomu pˇripom´ınal obrys lodˇe se stˇeˇzni a plachtami, odkud tento algoritmus dostal sv˚ uj n´azev. Uk´aˇzeme si tento postup na pˇr´ıkladu 246 · 387 = 95202. Nejprve zap´ıˇseme oba ˇcinitele pod sebe tak, aby prvn´ı cifra v´ yˇse napsan´eho ˇcinitele st´ala nad posledn´ı cifrou n´ıˇze napsan´eho ˇcinitele. To je takto: 3 8 7 2 4 6 Potom prvn´ı cifrou horn´ıho ˇcinitele, tj. cifrou 3, postupnˇe vyn´asob´ıme vˇsechny cifry spodn´ıho ˇcinitele 246. N´ asoben´ı prov´ad´ıme zleva doprava, ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky p´ıˇseme nad n´asoben´e ˇc´ıslice spodn´ıho ˇcinitele a mus´ıme postupnˇe opravovat ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky jako u sˇc´ıt´an´ı. Po proveden´ı tohoto kroku bude z´apis vypadat takto: 7 3 8 /6 /2 3 8 7 2 4 6 Potom znovu zap´ıˇseme cifry spodn´ıho ˇcinitele 246, ale posuneme je o jedno m´ısto vpravo, takˇze je ˇcinitel 246 zaps´an ve dvou ˇr´adc´ıch. Nyn´ı posunut´e cifry ˇcinitele 246 n´asob´ıme druhou cifrou ˇcinitele 387, tj. cifrou 8. N´ asob´ıme opˇet zleva a v´ ysledky pˇriˇc´ıt´ame k pˇredchoz´ımu ˇc´asteˇcn´emu v´ ysledku, to opˇet vyˇzaduje opravy
17
ˇc´ asteˇcn´ ych v´ ysledk˚ u. Po tomto druh´em kroku bude z´apis vypadat n´asledovnˇe: 9 /8 /7 /6 2
3 /9 /3 /2 4 2
4 /0 /8 8 3 8 7 6 6 4
Ve tˇret´ım kroku znovu zap´ıˇseme ˇc´ıslice ˇcinitele 246 posunut´e o dalˇs´ı m´ısto doprava, takˇze ˇcinitel 246 bude zaps´an ve tˇrech ˇr´adc´ıch. Posunut´e cifry ˇcinitele 246 n´asob´ıme tˇret´ı cifrou ˇcinitele 387, tj. cifrou 7. N´ asob´ıme zleva a v´ ysledky pˇriˇc´ıt´ame k pˇredchoz´ımu ˇc´asteˇcn´emu v´ ysledku a prov´ad´ıme opravy. Po tomto kroku dostaneme v´ ysledn´ y z´apis v t´eto podobˇe: 2 5 /1 /4 /8 9 /3 /4 0 /8 /9 /0 /6 /7 /3 /8 /8 2 /6 /2 3 8 7 2 4 6 6 6 2 4 4 2 Stˇredovˇek´ y poˇct´aˇr mˇel na sv´em pap´ıru pouze posledn´ı z´apis. V´ ysledek tvoˇr´ı nejv´ yˇse zapsan´e nepˇreˇskrtnut´e ˇc´ıslice. Dalˇs´ı stˇredovˇek´ y algoritmus pro n´asoben´ı v´ıcecifern´ ych ˇc´ısel se obvykle naz´ yv´a gelosia a rovnˇeˇz poch´ az´ı z Indie. Na obr. 18 je tento algoritmus pˇredveden na pˇr´ıkladu 1238 · 456 = 564528.
Obr´azek 18: N´asoben´ı metodou gelosia
18
Poˇct´aˇr nejprve zakreslil ˇctvercovou s´ıt’ a kaˇzd´ y ˇctverec s´ıtˇe rozdˇelil u ´hlopˇr´ıˇckou na dva troj´ uheln´ıky. ˇ C´ıslice jednoho ˇcinitele se zap´ıˇs´ı nad sloupce ˇctverc˚ u s´ıtˇe, ˇc´ıslice druh´eho ˇcinitele se zap´ıˇs´ı vpravo za ˇrady ˇctverc˚ u s´ıtˇe. Pak se urˇc´ı souˇciny jednotliv´ ych cifer obou ˇcinitel˚ u a zap´ıˇs´ı se do pˇr´ısluˇsn´ ych ˇctverc˚ u s´ıtˇe, des´ıtky do lev´eho horn´ıho troj´ uheln´ıku, jednotky do prav´eho doln´ıho troj´ uheln´ıku. Potom poˇct´aˇr sˇc´ıtal ˇc´ısla v jednotliv´ ych ˇsikm´ ych p´asech ve smˇeru u ´hlopˇr´ıˇcek od prav´eho doln´ıho troj´ uheln´ıku aˇz k lev´emu horn´ımu troj´ uheln´ıku, pˇr´ıpadn´e des´ıtky pˇriˇcetl k souˇctu v n´asleduj´ıc´ım p´asu a v´ ysledky zapsal pod ˇctvercovou s´ıt’ a po jej´ı lev´e stranˇe. Dˇ elen´ı Nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ım stˇredovˇek´ ym algoritmem pro dˇelen´ı v´ıcecifern´ ych ˇc´ısel byl postup naz´ yvan´ y stejnˇe jako algoritmus pro n´asoben´ı galea nebo battello. Tento algoritmus opˇet poch´az´ı z Indie, kde se prov´ adˇel na desk´ach popr´aˇsen´ ych prachem. Pˇredvedeme ho na pˇr´ıkladu 239567 : 384 = 623, zbytek 335. Nejprve se zap´ıˇse dˇelitel pod dˇelence tak, aby byly pod sebou jejich cifry nejvyˇsˇs´ıho ˇr´adu v pˇr´ıpadˇe, ˇze dˇelitel je menˇs´ı nebo roven ˇc´ıslu utvoˇren´emu ze stejn´eho poˇctu cifer dˇelence. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se prvn´ı cifra dˇelitele zapsala pod druhou cifru dˇelence. V naˇsem pˇr´ıpadˇe bude u ´vodn´ı z´apis vypadat takto: 2 3 9 5 6 7 3 8 4 Nyn´ı se provede odhad prvn´ı cifry pod´ılu, tj. odhad pod´ılu 2395 : 384, odhad nebo-li ˇc´asteˇcn´ y pod´ıl je 6, ˇ asteˇcn´ tento ˇc´asteˇcn´ y pod´ıl se zap´ıˇse za svislou ˇc´aru vpravo od dˇelence. C´ ym pod´ılem 6 se n´asob´ı jednotliv´e cifry dˇelitele a v´ ysledky se odˇc´ıtaj´ı od dˇelence. To se prov´ad´ı zleva doprava, takˇze se mus´ı ˇskrtat a opravovat ˇc´ asteˇcn´e v´ ysledky, pouˇzit´e ˇc´ıslice dˇelence a dˇelitele se ˇskrtaj´ı tak´e. Po tomto kroku vypad´a z´apis v´ ypoˇctu takto: /1 9 /5 /1 1 /2 /3 /9 /5 6 7 | 6 /3 /8 /4 Nyn´ı nejv´ yˇse zapsan´e nepˇreˇskrtnut´e cifry 91 tvoˇr´ı ˇc´asteˇcn´ y zbytek. Poˇct´aˇr znovu zap´ıˇse vˇsechny cifry dˇelitele 384, ale posune je o jedno m´ısto doprava, dˇelitel tedy bude zaps´an ve dvou ˇr´adc´ıch. Provede odhad dalˇs´ı cifry pod´ılu, tj. odhad 916 : 384, tento odhad je 2, coˇz se zap´ıˇse do pod´ılu za svislou ˇcarou za cifru 6. ˇ asteˇcn´ C´ ym pod´ılem 2 se opˇet n´asob´ı jednotliv´e cifry dˇelitele a v´ ysledky se odˇc´ıtaj´ı od dˇelence. To se prov´ ad´ı zleva doprava, takˇze se mus´ı ˇskrtat a opravovat ˇc´asteˇcn´e v´ ysledky, pouˇzit´e ˇc´ıslice dˇelence a dˇelitele se ˇskrtaj´ı tak´e. Po tomto kroku vypad´a z´apis v´ ypoˇctu takto:
/1 /5 /2 /3 /3
1 /3 /9 /1 /9 /8 /3
4 /5 /1 8 /5 /6 7 | 6 2 /4 /4 /8
Nyn´ı opˇet posuneme dˇelitele 384 o jedno m´ısto doprava, takˇze bude zaps´an ve tˇrech ˇr´adc´ıch. Provedeme ˇ asteˇcn´ odhad pod´ılu 1487 : 384, tj. 3. C´ ym pod´ılem 3 stejnˇe jako v pˇredchoz´ım kroku n´asob´ıme dˇelitele a 19
odˇc´ıt´ame od dˇelence. V´ ysledn´ y z´apis dˇelen´ı bude n´asleduj´ıc´ı:
/1 /5 /2 /3 /3
/1 /3 /9 /1 /9 /8 /3
3 /5 /4 /5 /1 /5 /4 /8 /3
3 /4 /8 5 /6 /7 | 6 2 3 /4 /4 /8
Pod´ıl je tedy 623, zbytek 335 je tvoˇren nejv´ yˇse zapsan´ ymi nepˇreˇskrtnut´ ymi ˇc´ıslicemi.
Pouˇ zit´ a a doporuˇ cen´ a literatura: [1] Balada, F.: Z dˇejin element´ arn´ı matematiky, SPN Praha 1959. [2] Beˇcv´aˇr, J. a kol.: Matematika ve stˇredovˇek´e Evropˇe, edice Dˇejiny matematiky, 19. svazek, Prometheus, Praha 2001. [3] Beˇcv´aˇr, J., Beˇcv´aˇrov´a, M., Vymazalov´a, H.: Matematika ve starovˇeku. Egypt a Mezopot´ amie, edice Dˇejiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha 2003. [4] Jel´ınek, M.: Numeraˇcn´ı soustavy, SPN Praha 1974. [5] Juˇskeviˇc, A. P.: Dˇejiny matematiky ve stˇredovˇeku, Academia, Praha 1978. [6] Kolman, A.: Dˇejiny matematiky ve starovˇeku, Academia, Praha 1969.
20
