TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Algemene Wetenschappen. Onderafdeling der Wiskunde WISKUNDE 10. bestemd voor. BDK-1, WSK-1, N-1, E-1 en T-1

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdeling Algemene Wetenschappen

Onderafdeling der Wiskunde

WISKUNDE 10

bestemd voor

BDK-1, WSK-1, N-1, E-1 en T-1

Najaarssemester 1974

ENKELE NOTITIES

bij WISKUNDE 10 De cursus Wiskunde 10 uit 1971 verschilt nauwelijks van de 1969 versie van Wiskunde I. De afdeling Bouwkunde wilde na 1970 niet meer meedoen met het algemene wiskundeonderwijs voor alle afdelingen. Als teken des onderscheids werd een dubbelcijferige codering voor de basis-wiskundevakken ingevoerd. Bouwkunde zou echter voorlopig de enige dissident blijven. De definitieve sloop van het algemeen wiskundeonderwijs op academisch niveau zou pas dik twintig jaar later, bij Werktuigbouwkunde, een aanvang nemen. In 1973 werd een nieuwe opzet ontworpen voor het Ie-jaars wiskundeonderwijs zoals dat voor alle afdelingen zou moeten zijn: De commissie B74 bestaande uit dr. W. van der Meiden(voorzitter), drs. H.G. ter Morsche(secretaris), prof. dr. S.T.M. Ackermans, prof. dr. J. Boersma, dr. ir. M.L.J. Hautus, drs. Ligtmans, drs J.H. Timmermans en dr. P.G. Vroegindeweij produceerde een manuscript met de gewenste le-jaarsstof. Voor de 1974editie van Wis 10 werd al geput uit het B74-manuscript. In 1975 verscheen hiervan een flink uitgebreide versie om een betere aansluiting aan het VWO te verkrijgen. In 1978 verscheen de variant die stand zou houden tot in 1982 de 2-fasen structuur werd ingevoerd. Let, bijvoorbeeld, in de 1978-variant toch eens op dat schitterende en efficiënte hoofdstuk 6 over 2e-orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Vol illustratieve voorbeelden ten behoeve van de faculteiten. Dat was nog echt academische vorming!

JdG, 4 Juli 2005

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde

WISKUNDE 10

(nieuwe stijl)

bestemd voor BDK-1 , WSK-1 , N-1 , W-1 , E-1 en T-1

Najaarssemester 1974

INHOUDSOPGAVE

WISKUNDE 10 blz.

Hoofdstuk I.

Inleiding

l.I. Symbolen en definities

1.2. Natuurlijke getallen, volledige inductie

3

1.3. Het tellen van verzamelingen en functies

6

1.4. De reële getallen 2 l.S. JR en JR 3

2S

1.6. CoÖrdinatenstelsels in JR 2 en JR 3

28

Hoofdstuk 2.

Functies lR

15

+ lR

33

2.1. Inleiding

33

2.2. Polynomen

34

2.3. Eigenschappen van functies

38

2.4. Limieten van functies

40

2.5. ContinuÏteit

46

2.6. Differentiaalrekening

SI

2.7. Numerieke oplossing van vergelijkingen

62

2.8. Integraalrekening

68

2.9. Techniek van het integreren

81

2.10.Numerieke integratie

92

Hoofdstuk 3.

Reeksen

99

3. I. Convergentie en divergentie 3.2. Reeksen met uitsluitend niet negatieve termen 3.3. Reeksen met zowel positieve als negatieve termen

lOS

3.4. Machtreeksen

108

3.S. Numerieke sommatie van reeksen

I

Hoofdstuk 4.

Complexe getallen

99 102

17

122

4.1. Inleiding

122

4.2. Invoering der complexe getallen

122

4.3. Complexe polynomen, algebraÏsche vergelijkingen

128

4.4. Analyse in het complexe vlak

133

4.5. De functie ez

136

4.6. Meetkunde in het complexe vlak

139

Hoofdstuk 5.

Differentiaalvergelijkingen

142

5. I. Inleiding

142

5.2. Scheiding van variabelen

145

5.3. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

149

5.4. Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten

152

5.5. Trillingen

161

INHOUDSOPGAVE

WISKUNDE 20

2 Functies lR + JR , lR + JR 3 en functies JR 2 + lR, JR 3 + lR 2 3 6. I. Functies lR +lR,lR+lR

Hoofdstuk 6.

6.2. Functies van twee variabelen

5

6.3. Differentieerbaarheid van functies van twee variabelen

9

6.4. Functies van drie variabelen

21

6.5. Impliciete functies

23

6.6. Richtingaafgeleide en gradiënt

27

6.7. Extrema

30

6.8. Extrema onder nevenvoorwaarden

34

Hoofdstuk 7.

Lineaire algebra

36

7. I. Voorwoord

36

7.2. Bewerkingen met matrices

36 48

7.3. Voorbeelden en toepassingen 7.4. Analytische meetkunde inJR 3 en meetkundige terminologie in lRn met n > 3

58

7.5. Vectorruimten

65

7.6. Afhankelijkheid en onafhankelijkheid, bases

70

7.7. Lineaire afbeeldingen

85

7. 8. Lineaire afbeeldingen lRn + lRn

93

7.9. Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

106

Hoofdstuk 8.

Meervoudige integralen

126

8. I. Integratiegebieden en infinitesimale elementen

126

8. 2. Lijnintegralen

132

8.3. Oppervlakte-integralen

136

8.4. Volume-integralen

145

8. 5. Oneigenlijke meervoudige integralen

151

8.6. Gammafunctie, betafunctie

157

8.7. Integralen met een parameter

163

-

I -

Hoofdstuk I. Inleiding l.I. Symbolen en definities A := B

A is per definitie gelijk aan B

D

einde van een bewijs.

Logische symbolen: implicatie

als ••• dan

coimplicatie; dan en slechts dan als

<==.> A

en

V

of niet

"3

existentiële quantor; er is

3!

er is precies een ...

al-quantor

; voor alle ••• ~~

Speciale verzamelingen:

0

de lege verzameling

lN

de verzameling der natuurlijke getallen

7L

Ol lR

IE lR+ lP

" "

"

" gehele

"

"

" " " "

" " " "

" "

" " "

rationale reële

" complexe

"

reële getallen die

" reële getallen die

;, 0

zijn

> 0 zijn.

Verzamelingstheoretische symbolen: €

a € V

a is element van V

i

a i V Ac B

a is geen element van V A is deelverzameling van B· V • X€A [x B is deelverzameling van A

c ::>

#

A" B # A

het aantal elementen van A.

E

B]

- 2 -

Het aangeven van verzamelingen (voorbeelden:): de verzameling met als elementen a, b, c, d

{a,b,c,d,e}

en e; x 2 ,;; 10}

{x E :Dl.

de verzameling van de reële getallen die aan 2

{x E lN {(cos

q>,

I

x

2

,;;

sin '~')

x $ 10 voldoen; de verzameling van de natuurlijke getallen die aan x 2 ,;; 10 voldoen, dus {1,2,3}; 2 de verzameling van de punten in R die af-

10}

1

o " '~' < zrr l

stand I tot de oorsprong hebben. Bewerkingen met verzamelingen: n

doorsnede

A n B :={xl(xEA) als A n B =

1!1

(xEB)}

A

dan heten A en B disjunct

u

vereniging

A u B := {x I (xEA)

\

verschil

*

complement

x

cartesisch product

A \ B := {x I (xEA) A (xiB)} A* := {x I x i A) A x B := {(x' y) I X E A, y E B}

(xEB)}

V

I

AxBxC := {(x,y,z) A

2

3

:= A x A, A

x E A, y E B, z E C} enz.

:= A x A x A

enz.

Afbeeldingen Definities. Laat A en B verzamelingen zijn. Een afbeelding f van A in B notatie f: A+ B - is een voorschrift volgens hetwelk aan elk element van A precies één element van B wordt toegevoegd. Is b (E B) het element dat aan a (E A) wordt toegevoegd, dan schrijven we b = f(a) en ook wel f: ar+ b. We noemen b het beeld van a. De afbeelding f: A+ B is gelijk aan g: C + D indien: (i) A= C; (ii) B = D; (iii) f(a) = g(a) voor alle a E A. Slordig spreekt men vaak van de afbeelding f i.p.v. f: A + B. "Functie" is voor ons synoniem met "afbeelding".

Het beeld van een deelverzameling. Is f: A+ B, A cA, dan is 0 f(A ) := { f(x)l x E A }. 0 0 Injectief. De afbeelding f: A+ B heet injectief (of één-éénduidig, ook wel een injectie) als voor alle x,y E A uit f(x) = f(y) volgt x

= y.

- 3 -

Surjectief. De afbeelding f: A+ B heet surjectief (ook: f heet een surjectie; f

beeldt A

Bijectief.

~

B af) indien f(A) = B.

Een afbeelding die zowel injectief als surjectief is heet bi-

jectief (ook: een bijectie). Inverse afbeelding. Als f: A+ B een bijectie is dan heet de afbeelding +

f : B +A gedefinieerd door: f+(b) = a dan en slechts dan als f(a)

b, de inverse van f.

Samengestelde afbeelding. Laat g: A + B en f: C

+

D afbeeldingen zijn en

laat A := {x € A I g(x) E C}, dan heet de afbeelding f o g : A + D gede0 0 finieerd door (f o g)(x) := f(g(x)) de samengestelde afbeelding van f eng.

1.2. Natuurlijke getallen, volledige inductie De verzameling der natuurlijke getallen wordt gegeven door lN

{1,2,3, ••• }.

=

N.B. In sommige leerboeken wordt ook het getal 0 tot de natuurlijke getallen gerekend. We beschouwen de algebraïsche bewerkingen (optellen, aftrekken, enz.) en de ordening (ongelijkheden) voor natuurlijke getallen als bekend. We vermelden slechts de volgende eigenschap: 1.2.1. Beginsel der volledige inductie. Als voor een deelverzameling V van lN en voor zekere n

lN geldt

E

I) n

E

V,

2) \;lkEV [k+l dan is V

:o

{k

E

lN

I

E

V],

k <: n}.

Men kan 2) ook formuleren met: "Als k k

E

E

V dan k +I

E

V"; de veronderstelling

V heet inductieveronderstelling.

Deze eigenschap wordt vaak gebruikt op de volgende manier. Stel dat men van een bewering, die een veranderlijke bevat die de natuurlijke getallen doorloopt, kan bewijzen: I) De bewering is waar voor n

E

lN •

2) Als de bewering waar is voor k, dan geldt zij ook voor k+l. Dan kan men concluderen dat de bewering waar is voor alle natuurlijke

- 4 -

getallen

n. Een bewijs dat op deze redenering berust noemt men een

~

bewijs door volledige inductie. Voorbeeld 1. Beschouw de som J

2

+ 2

2

+ ••• + n

2

n

=:

l: i=l

•2

l

We bewijzen door volledige inductie, dat voor elke n' n

L

i

2

=

~

geldt:

~n(n+l)(2n+l)

( 1)

i=l 1) Voor n = 1 is formule (1) juist. 2) Laat formule (1) juist zijn voorn= k. Dan volgt: k+l

l:

2 i

k

l:

=

i=l

.2

l

+ (k+l)

2

1 2 = 6k (k+l)(2k+l) + (k+l) =

i=l = ~ (k+l)(k+2)(2k+3)

d.w.z. de formule geldt ook voorn= k+l. We concluderE!n dat formule (1) voor alle n '

~

geldt.

Voorbeeld 2. Zij h

~

-1. We bewijzen dat voor n '

~

geldt:

+ nh •

1) Als n = 1 geldt het gelijkteken. 2) Als de ongelijkheid geldt voorn= k, d.w.z. als (l+h)

k

~

1 + kh,

dan volgt: 1 2 (l+h/+ = (l+h)(l+hl ~ (l+h)(l+kh) = 1 + (k+l)h+kh ~ 1 + (k+l)h. Opgave. De bekende rij getallen van Fibonacci,d ,d , ••• wordt gedefinieerd 1 2 door: dl := d2 := d := d + d n+l n n-1

(n

~

2).

De rij van Fibonacci begint dus als volgt: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ••••

- 5 -

De getallen van Fibonacci hebben vele fraaie eigenschappen die wiskundigen en puzzelaars eeuwenlang gefascineerd hebben. Bewijs bijv. door volledige inductie dat voor elke n E lN geldt:

Er bestaan verschillende varianten van het beginsel der volledige inductie. 1.2.2. Stelling. Als voor V c lN geldt I) I

E

V,

2) uit I E V, 2 E V, ••• , k E V volgt k+ I E V, dan is V = lN • Bewijs. Zij W := {k E lN

I

{1,2, ... ,k} cV}. Het is duidelijk dat Wc V.

We bewijzen dat Wvoldoet aan 1.2.1, voorwaarden I) en 2) met n =I. I) I E W omdat I E V.

v, ... ,k EV. Uit het E v, ... ,k E v, k+l EV.

2) Als k E W, dan geldt I E volgt k+l EV. Dus: I

gegeven van de stelling We zien dat k+l E

w.

We mogen dan het beginsel der volledige inductie toepassen en concluderen dat W =lN. Uit Wc V c lN volgt dan V= lN.

D

I .2.3. Stelling. Een niet lege deelverzameling V van lN heeft een kleinste element, Bewijs. Neem aan dat V geen kleins te element heeft. Zij W : = lN \ V. Dan geldt: I E

w,

E W (anders was I het kleinste element van V). Verder, als 2 E

w, •.. ,k

E

w dan

is ook k+l

element van V zou zijn. Uit 1.2.2

€

w omdat

anders k+l het kleinste

volgt W = lN, dus V= 0 in strijd met

D

het gegeven.

Merk op dat deze eigenschap niet geldt voorZ., lR of lP, omdat deze verzamelingen zelf geen kleinste element hebben. Een ander tegenvoorbeeld is de verzameling {I, ~ , ~ , ••• } = {~ Stelling 1.2.3

In

E

lN} in Ql.

wordt soms gebruikt om te bewijzen dat een verzameling leeg

is. Men neemt nl. aan dat de verzameling niet leeg is en derhalve een kleinste element heeft. Uit beschouwingen m.b.t. het kleinste element komt men tot een tegenspraak.

-

Voorbeeld 3

6 -

(ontbinding in factoren). Een natuurlijk getal p > I heet een

priemgetal als er geen getallen a,b

E

m met a

<

p, b < p bestaan waarvoor

geldt: ab = p. De getallen 2, 3, S, 7, 11, 13, 17 zijn bijv. priemgetallen. Stelling. Elk natuurlijk getal n

~

2 is te schrijven als een product van

priemgetallen (dit product kan bestaan uit één factor, als n zelf een priemgetal is; ook kan een priemgetal meerdere malen in het product voorkomen, bijv. 12 = 2•2•3), Bewijs, Neem aan dat de verzameling V der natuurlijke getallen n

~

2, die

niet in zo'n gedaante te schrijven zijn, niet leeg is. Zij m het kleinste element van V. Dan is m geen priemgetal. Er bestaan dus getallen a,b met ab = m. Omdat m het kleinste element van V is, geldt a

t

<

m

V, b f. V, Er be-

staan dus priemgetallen p , ••• ,pk met a= p ••• pk' en q , ••• ,q met 1 1 1 2 b = q ••• q • Maar dan is m = p ••• pk q ••• q ook een product van 1 2 1 1 2 priemgetallen in strijd met het feit dat m € V. We concluderen dat V= 0, zodat de eigenschap bewezen is.

0

Het uitschrijven van een natuurlijk getal als product van priemgetallen noemt men ontbinding in factoren, Men kan bewijzen dat de ontbinding in factoren eenduidig is, afgezien van de volgorde waarin de priemfactoren worden geschreven.

1.3. Het tellen van verzamelingen en functies. In deze paragraaf beschouwen we alleen eindige verzamelingen. 1.3.1. Ei!lenschaEEen. Als er een bijectie f: A+ B bestaat dan is "!f'A = #B •. Als #A = "/FB en f: A + B is een injectie, dan is f een bij ectie. Als #A = '#-B en f: A + B is een surjectie, dan is f een bijectie. Grondregel van het tellen, .Indien er n mogelijke wijzen zijn om een handeling a te verrichten en als er na elke uitvoering van een handeling a, mmogelijke manieren zijn voor het verrichten van handeling S, dan zijn er nm mogelijke manieren om achtereenvolgens a en S te verrichten. Een analoge regel geldt voor het aantal manieren om meer handelingen te verrichten.

- 7 -

!,3.2. Stelling. Zij #A= n, #B = m met n > 0, m > 0, dan is het aantal afbeeldingen van A in B gelijk aan mn. Bewijs. Zij A= {a , ••• ,an}. We kunnen een afbeelding van A in B vormen door 1 achtereenvolgens aan a ,a , ••• ,an een element van B toe te voegen. Aan a 1 1 2 kan men op m verschillende manieren een element van B toevoegen. Daarna kan men aan a

eveneens op m verschillende manieren een element toevoegen enz. 2 n Volgens de grondregel van het tellen kan men derhalve m•m ••• m = m af-

0

beeldingen vormen van A in B.

Voorbeeld I. Het invullen van een kolom van de voetbaltoto is equivalent met het geven van een afbeelding t: V

~

A, waar V een verzameling is bestaande 13 uit 13 te spelen wedstrijden en A= {1,2,3}. Er zijn dus 3 manieren om de toto in te vullen. Voorbeeld 2, Het werpen met meerdere dobbelstenen kan ook beschouwd worden als het geven van een afbeelding. Als we bijv. 4 dobbelstenen hebben, genummerd I, 2, 3, 4, dan is een worp een afbeelding w: D ~A, waarD= {1,2,3,4} 4 en A= {1,2,3,4,5,6}. Er zijn dus 6 worpen mogelijk. Voorbeeld 3. Uit een kaartspel trekt men achtereenvolgens tien kaarten met teruglegging, d.w.z. elke kaart die getrokken is wordt teruggestoken voordat de volgende kaart wordt getrokken. Er is hier sprake van een afbeelding t: A+ K waar A= {I ,2, ••• ,10} enK de verzameling der kaarten is. Als er 52 kaarten zijn, dan is het aantal mogelijke trekkingen 52 10 • 1.3.3. Stelling. Het aantal deelverzamelingen van een verzameling A met gelijk aan 2n.

~A=

nis

Bewijs. Elke deelverzameling B van A correspondeert met een afbeelding xB: A+ {0,1} gedefinieerd door xB(a) := I als a E B en xB(a) := 0 als a i B. xB wordt de karakteristieke functie van B genoemd. Omgekeerd is elke afbeelding~=

A+ {0,1} de karakteristieke functie van een deelverzameling van A,

nl. van {a

E

A

I

~(a) = 1}. Het aantal deelverzamelingen van A is dus gelijk

aan het aantal afbeeldingen van A in {0,1}. Uit 1.3.2

volgt nu het gestelde,

0

- 8 -

Voorbeeld 4. De verzameling {1,2,3,4} heeft als deelverzamelingen:

0 {I

},{2),{3},{4}

4

{I ,2},{ I ,3},{ I ,4},{2,3),{2,4},{3,4}

6

{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}

4

{I

,2,3,4}

Het totale aantal is

4 + 4 + 6 + 4 + I = 16 = 2 •

Definitie. De functie n!

(spreek uit n faculteit) wordt gedefinieerd

door: 0! : = I ; n! : = I • 2 • 3 •' • n ( n

E

JN)

1.3.4. Stelling. Zij 1/- A = n, 1/- B = m met n > 0. Het aantal injecties f: A-+ B is gelijk aan (

als m ; : : n

m'

als m

<

n

Bewijs. Het is duidelijk dat er geen injectie Beschouw vervolgens het geval m

~

f: A+ B bestaat als m < n.

n dan is

m! (m _ n)! = m(m- I) • • • (m- n + I). Zij A= {a , ••• ,an}. Aan elk element van A moeten we een element van B toe1 voegen, zodanig dat bij twee verschillende elementen van A niet hetzelfde element van B hoort. Aan a

1

kunnen we op m verschillende manieren een ele-

ment toevoegen. Als we één zo'n toevoeging hebben gekozen, hebben we nog m-1 mogelijkheden om aan a

een element toe te voegen. Zo kunnen we door2 gaan, totdat tenslotte nog m-n+l mogelijkheden overblijven om aan het ele-

ment a

n

een element toe te voegen. In totaal vinden we dus m(m-1) ••• (m-n+l)

mogelijke injecties.

0

Gevolg. Zij 11- A = n met n > 0. Dan is het aantal bijecties f: A-+ A gelijk aan n!. Bewijs. Uit 1.3.1

volgt dat injecties van A in A ook bijecties zijn. Het

aantal injecties van A in A is

(n _n!n)! = n.'

0

- 9 -

Een bijectie

van een eindige verzameling A in zichzelf heet een permutatie

van A. Als A= {l, ••• ,n}, kunnen we zo'n 2

[~

~(3)

= 4,

2 : ~(4)

:) beschrijft de

= 3.

als volgt aangeven:

• n ) • ~(n)

~(2)

bijv.

permutatie~

permutatie~

waarvoor

~(I)=

2,

~(2)

=I,

Soms laat men de bovenste rij weg omdat ze toch vast is.

Men schrijft dan (2

4

3). Het geven van een permutatie van een verza-

meling A= {l, ••• ,n} is dus equivalent met het opschrijven van de elementen 1,2, ••• ,n in een bepaalde volgorde. Men kan derhalve bovenstaand gevolg ook als volgt formuleren: "Het aantal mogelijke volgorden waarin de getallen 1,2, ... ,n kunnen staan is gelijk aan n!".

Voorbeeld 5. In een kaartspel met 52 kaarten kunnen de kaarten op 52! verschillende volgorden liggen. Voorbeeld 6. Het aantal getallen van 5 cijfers bestaande uit de cijfers 1,2,3,4,5 zonder herhaling is gelijk aan 5! = 120. Opgave I. Op hoeveel manieren kunnen vier brieven in vier enveloppen worden gestoken? Opgave 2. Elke dag entbij ten er acht mensen op een bank. Ze besluiten elke dag in een andere volgorde te gaan zitten. Wanneer zijn alle mogelijkheden uitgeput als ze beginnen op I september 1974? We beschouwen nu weer de algemenere situatie van stelling 1.3.4. Een injectie van de verzameling A:= {l, ••• ,n} in B zullen we een variatie vannuit de objecten van B noemen. Een variatie

~kan

op de volgende manier aangegeven

worden: 2 ~

• • •

n

)

(2) • • • ~ (n)

analoog als bij een permutatie. Als bijv. n = 5, B = {1,2, ••• ,10}, dan is 2

3

4

7

9

2

- I0 -

een variatie. Ook hier kan zonder bezwaar de eerste rij weggelaten worden. Voor bovenstaande variatie schrijven we dus (3

7

9

2

1). Het geven van

een variatie vannuit de objecten b , ••• ,bm is dus equivalent met het vor1 men van een geordende rij van n verschillende objecten uit de gegeven verzameling B

= {b 1, ••• ,bm}.

Voorbeeld 7. Uit een kaartspel trekt men achtereenvolgens 10kaarten zonder teruglegging, d.w.z. een kaart die getrokken wordt, wordt niet meer teruggestoken. We krijgen zo een variatie van 10 uit de 52 kaarten. Het aantal mogelijke manieren om dit te doen is:

~;; = 52•51 ••• 43. Let wel, dat de

volgorde van trekken hier van belang is. Als dezelfde verzameling van 10 kaarten in een andere volgorde wordt getrokken, dan noemen we dat een andere variatie.

Voorbeeld 8. Een getal van vijf cijfers gekozen uit de cijfers. 1,2, ••• ,9 zonder herhaling is een variatie van 5 uit de getallen 1,2, ••• ,9. Het aantal 9' getallen van deze gedaante is dus: 7T = 9•8•7•6•5 = 15!20.

4.

Opgave 3. Op hoeveel verschillende manieren is het mogelijk in een gezelschap bestaande uit 6 jongens en 9 meisjes, dat alle jongens een meisje trouwen? 1.3.5. Stelling. Het aantal deelverzamelingen van k elementen uit een verzameling met n elementen is n! k! (n- k)! •

n! Bewijs. Het aantal injecties van {I,2, ••• ,k} in {a 1, ••• ,an} is ~(~n--~k~)T! • (De elementen a. zijn alle verschillend.) Het aangeven van een injectie kan 1

opgevat worden als het verrichten van twee handelingen: eerst het bepalen van een deelverzameling van {a , ••• ,an} met k elementen; daarna het aangeven 1 van een injectie van {l, ••• ,k} in deze deelverzameling. Voor de eerste handeling is het aantal mogelijkheden x; voor de tweede is n! het k!. Volgens de grondregel van het tellen is: xk! = (n _ k)! • n! Du s x = ,....,.....::.:.,...,...,. k! (n- k)! •

D

- 11 -

Zij A= {a , ••• ,an}; B = {b , ••• ,bm}. Laat k 1 , ••• ,km een nJ niet negatieve 1 1 gehele getallen zijn (ki E {0,1,2, ••• }) met de eigenschap k + ••• + k m = n. 1 We zijn geÏnteresseerd in het aantal afbeeldingen van A in B met de eigenschap dat er precies k. elementen in A zijn die op b. worden afgebeeld. l.

l.

Als bijv. A= {I , ••• ,6}, B = {1,2,3,4}, k

= 3, k

=I, k

2 3 1 geeft de navolgende figuur twee toegestane afbeeldingen.

A

B

A

= 2, k

4

=

0, dan

B

Voordat we het aantal van zulke afbeeldingen bepalen geven we een paar voorbeelden. Voorbeeld 9. In een rij met 10 huizen moeten 4 deuren wit, 3 deuren groen en 3 deuren rood geverfd worden. Op hoeveel manieren kan dit? Het betreft hier afbeeldingen van de verzameling bestaande uit 10 huizen, die we gemakshalve met {1,2, ••• ,10} aanduiden, in de verzameling {wit,groen,rood}. Hierbij is kl = 4, k2

= 3,

k3 = 3.

Voorbeeld 10. Hoeveel woorden kan men vormen uit de letters van het woord "koekoek". Hierbij is het niet van belang of het woord al of niet betekeni~ heeft, bijv. kkkooee is een toegestaan woord. Hier kunnen we een woord interpreteren als een afbeelding van de verzameling {1, ••• ,7} (de plaats van de letter in het woord) in de verzameling {e,k,o}. Hierbij is k k3

1

= 2,

k

2

= 3,

= 2.

Om een heuristische afleiding voor het aantal toegestane afbeeldingen te

krijgen beschouwen we voorbeeld 10. We zullen daarin een letter die meermalen voorkomt van een index voorzien: k o e k o e k • Nu zijn alle symbolen ver1 1 1 2 2 2 3 schillend. Er zijn 7! volgordes waarin deze symbolen kunnen staan. Als we de

- 12 -

indices weglaten vallen sommige van die mogelijkheden samen, bijv. k k o e k o e en k k o e k o e • Vervanging van k ,k 2 ,k door een wille3 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 2 keurige permutatie (3: stuks) laat het woord dus onveranderd. Op grond daarvan moeten we het oorspronkelijke aantal mogelijke volgordes door 3:. delen. Op dezelfde rnanier moeten we het aantal door

z:

delen vanwege de

permutaties van o ,o en analoog door 2: vanwege e en e 2 • Het aantal woor1 1 2 7! den dat gevormd kan worden is dus: 2 ! 2! 3 ! - 210. In het algemeen geldt: 0, B = {b 1 , ... ,bm}' # B =men k , ... ,km niet 1 negatieve gehele getallen zijn met de eigenschap k + + km = n, dan is 1 het aantal afbeeldingen A+ B met de eigenschap dat er voor i= !, ... ,m pre-

1.3.6. Stelling. Als #A= n met n

>

cies ki elementen op bi worden afgebeeld, gelijk aan

n: k • m

Bewijs. Een afbeelding met de gewenste eigenschap is te verkrijgen als het resultaat van m achtereenvolgens uit te voeren handelingen: eerst het aangeven van de k

originelen van b ; daarna het aangeven van de k originelen 2 1 1 van b onder de n-k overgebleven elementen van A; vervolgens het aangeven 2 1 van de k originelen van b onder de n-k -k overgebleven elementen van A 3 3 1 2 enz. Stelling 1.3.5 geeft het aantal mogelijkheden voor elk van deze handelingen. De grondregel van het tellen geeft voor het totaal aantal toegelaten afbeeldingen:

n:

(n-kl- ••• -km-1): k : 0:

=

m

= k I 1•k 2n: I• • • •

k

D

!

m

In voorbeeld 9 zien we dat er

!I 0:! ! = 4200 mogelijkheden zijn om de deuren

4 3 3

te verven.

Voorbeeld !I,

Een spel van 52 speelkaarten wordt gedeeld. Vier personen

krijgen ieder 13 kaarten. Op hoeveel manieren kan dit gebeuren? Hier is een afbeelding gegeven die de verzameling der kaarten afbeeldt op de spelers:

- 13 -

{1, ... ,52} + {N,O,Z,W} met kl = k 2 = k 3 . dUS 52! 1S 4 (13!)

k

4

=

13. Het aantal mogelijkheden

Voorbeeld 1·2. 10 knikkers, genunnnerd 1,2, ... ,10, worden in 7 verschillende dozen gelegd, zodanig dat resp. 3,3,2,1,1,0,0 knikkers worden geplaatst in de le,2e, ••• ,7e doos. Het aantal mogelijkheden om dit te doen is I O! 3!3!2!1!1!0!0! = 50400 • Definitie, Als k, n gehele getallen zijn met 0 s k s n, dan is (n) n! k := k!(n-k)! bijv. (~) = I, (~) = n, (~) = !n(n-1); (~)wordt uitgesproken als "n over k".

Op grond van 1.3.6 is het aantal afbeeldingen van een verzameling A={a 1 , ... ,a 1 in een verzameling B = {b ,b } met de eigenschap dat b het beeld van precies 1 2 1 k elementen ai is, gelijk aan(~). ( n)

Eigenschappen. i)

k

=(

n )

n-k

i i) (n+ I ) = (n)

k

k

( n ) k-1

+

(Pascal)

Bewijs. i) volgt onmiddellijk uit de definitie. +

i i)

=

(k - I )

n'•

! (n -

k +I)

!

=

n! [( k I) k] (n+ l)n! _ (n+l) k!(n-k+i)! n- + + = k!(n-k+i)!k

0

Op eigenschap ii) is de zg. driehoek van Pascal gebaseerd: (0) 0 (I)

(I )

0

(2) 0

2 3 6

4 10

5 6

3

IS

I

enz.

4

s

10 20

I

(2)

IS

6

(2) 2

-

14 -

Door vergelijken van 1.3.3 en 1.3.5 volgt n

z: k=O Beide leden geven het totale aantal deelverzamelingen van een verzameling A met

~

A = n. Bovengenoemde gelijkheid is een speciaal geval van het binomium

van Newton: 1.3.7. Stelling. Als a,b

E

JR., n

E

lN, dan geldt:

Vanwege deze gelijkheid worden de getallen (~) binomiaalcoëfficiënten genoemd. IntuÏtief kunnen we deze stelling als volgt inzien: Werk het n-voudige product (a+b) ••• (a+b) uit op de bekende wijze. Maak daartoe in elke factor een keuze: a of b, en vermenigvuldig de gekozen waarden. We krijgen op die manier een term van de gedaante an-\k. Deze term komt tot stand door n-k keer a en k keer b te kiezen. Bij vaste k correspondeert deze keuze met een afbeelding van {l, ••• ,n} in {a,b} waarbij precies k elementen worden afgebeeld op b. Op

grond van 1.3.6 zijn er(~) van deze afbeeldingen, d.w.z. er zijn(~) termen . over k volgt an-k ·o k d"1e tezamen de b"1J"d rage (n) k an-kbk 1everen. Na sommat1e het gestelde. Formeel kunnen we de stelling als volgt bewijzen: Bewijs. We gebruiken volledige inductie. Als n Laat de stelling juist zijn voor n -I, d.w.z.

oftewel (a+b)n-1

=

I is het gestelde evident.

-

15 -

Vermenigvuldig met a,b, a(a + b)

n-1

b(a+b)n-l en tel op, dan is

Hierbij is gebruik gemaakt van de formule van Pascal n-1 n n-1 n terwijl verder ( 0 ) = ( 0 ) = (n-l) = (n) = I •

0

Er geldt de volgende generalisatie van het binomium van Newton: (x I + x2 + ••• + x )

n

m

...

n! = L k ik i ••• I• 2•

k

x

m

m

waar gesommeerd wordt over alle m-tupels k ,k , ••• ,km van,niet negatieve 1 2 gehele getallen met k + k + ••• +km= n. We laten het bewijs achterwege. 1 2 heten multinomiaalcoëfficiënten.

1.4. De reële getallen We gaan er van uit dat de verzamelingen van de gehele, rationele en reële getallen -

notatie~.

We richten

de

Ql, lR - bekend zijn van de middelbare school.

aandacht nu op de reële getallen. De algebraïsche bewer-

kingen (optelling,

vermenigvuldiging, deling) en de ordening (ongelijk-

heden, absolute waarde of modulus) van de reële getallen beschouwen we als bekend.

De reële getallen corresponderen met de punten op een

rechte: de getallenrechte. Van twee getallen a en bis la-bi de afstand van hun beeldpunten op de getallenrechte. Drie belangrijke stellingen over ongelijkheden zijn: I)

la+bl,; lal+ lbl

2)

I lal

3)

lal :> lbl dan en slechts dan als a

- lbll ,; la-bi 2

,; b

2

•

- 16-

Bekende deelverzamelingen van R zijn de zg. intervallen. We geven een lijst van typen en hun notaties: {x

a < x < b} =: (a,b)

{x

a ,; x < b} =: [a,b)

{x

a < x

,;

b} =: (a, b J

{x

a ,; x

,;

b} =: [a,b]

{x

a < x} =: (a,oo)

{x

a

,; x} =:

{x

x

< b} =: (-oo,b)

{x

x ,;

[a,oo)

b} =: (-oo,b]

De eerste vier van deze intervallen heten begrensd, de andere onbegrensd. (a,b), (a,oo), (-oo,b) heten open intervallen; [a,b], [a,oo) en (-oo,b] heten gesloten intervallen (zie ook onder). Bij de notatie (a,b) enz. wordt stilzwijgend verondersteld dat a en b zo zijn dat het betreffende interval niet leeg is. Open verzamelingen in R 1.4.1. Definitie. Een verzameling V heet open als er bij elkeacVeen open interval (c,d) is met a E (c,d) c V. Gelijkwaardige formulering: V is open als er bij elke a c V een getal ó > 0 bestaat zodat (a-ó, a+ó) ={x

J

lx-al< 6} cV

Het is deze laatste formulering die we in 1.5 zullen generaliseren. Merk op dat open intervallen,

~.

lli,

open zijn. Een interval [a,b] is niet open. Het

is evident dat elke vereniging van open verzamelingen open is. We zullen bewij zen:

1.4.2. Stelling. De doorsnede van twee open verzamelingen is open. Bewijs. Laat V en W open zijn en neem aan dat V n W f 0 (als V n W = 0 is > 0 zodat (a-o ,a+o ) cV en 1 1 1 er is een 6 > 0 zodat (a-o ,a+6 ) c W. Als nu ó := min(6 ,o 2 ), dan is 1 2 2 2 (a-ó,a+ó) cV n W. Deze redenering geldt voor elke a cV n W. V n W is der-

V n W open). Zij a E V n W, dan is er een o

halve open.

0

- 17 -

Definitie. Is V open en a

E

V, dan heet V een omgeving van a.

Als p f q dan zijn er open verzamelingen U en V met p E U, q E V, U n V =

0.

Met het oog op een generalisering in 1.5 merken we op dat voor een willekeurig open interval (a,b) geldt: (a,b) = (!(a+b) - !(b-a), !(a+b) + j(b-a)) = =

waarin

m

(m-ê,m+ê) = {x

= !(a+b),

ê

=

J

lx-mi

<

ê}

j(b-a).

Het open interval (a,b) is dus de verzameling van alle x die tot m een afstand kleiner dan ê hebben. Definitie. Een punt p uit een verzameling A heet een inwendig punt van A als er een omgeving V van p bestaat met V c A. Gevolg. Is W open en p

W dan is p inwendig punt van W. De inwendige punten

E

van zowel [a,b] als (a,b] als [a,b) zijn alle punten uit (a,b). Definitie. Een punt p uit een verzameling A heet een geÏsoleerd punt van A als er een omgeving V van p bestaat met V n A = {p}. Intervallen hebben geen geÏsoleerde punten. Van lN en 'Z is elk punt geÏsoleerd. Ook van

{!n I

n

E

JN}

is elk punt geÏsoleerd (ga na!).

Definitie. Zij A een verzameling en p een punt, dan heet p een randpunt van A als voor elke omgeving V van p geldt V n A f Van een interval [a,b] of (a,b] of (a,b) isoleerd punt is ook randpunt. Van B :=

0

Z~Jn

{!n I

en V n A* f

0.

de randpunten a en b. Een gen

E

JN}

is de verzameling der

randpunten B u {O}. Definitie. Zij A een verzameling en peen punt,dan heetpeen verdichtingspunt van A als voor elke omgeving V van p geldt A n (V\{p}) f

0.

Elk inwendig punt van een verzameling is ook verdichtingspunt. Alle punten van [a,b] zijn verdichtingspunten van zowel [a,b] als (a,b] als (a,b). Als een randpunt van A niet tot A behoort is het een verdichtingspunt van A. Van

{-nI I

n

E

JN}

is 0 het enige verdichtingspunt.

1.4.3. Definitie. Een verzameling W heet gesloten indien R\W open is. Gesloten intervallen, R en

0,

zijn voorbeelden van gesloten verzamelingen.

Merk op dat er verzamelingen zijn die noch open noch gesloten zijn, zoals het interval [a,b). R en

0 zijn zowel open als gesloten.

-

18 -

I .4.4. Stelling. Is W gesloten en p een verdichtingspunt van W dan is P E W.

t

w*. w* is open, p is inwendig punt van w* zodat er een omgeving V van p bestaat met V c w*. Voor deze omgeving Bewijs. Neem aan p

W dan is p E lR\ W =

V geldt dan W n (V\{p}) = tingspunt. Dus is p

0,

in tegenspraak met de definitie van verdich-

D

W.

E

Definitie. Een verzameling U heet begrensd indien er een getal M > 0 bestaat zó dat U

c

[-M,M].

Begrensde intervallen zijn begrensde verzamelingen. Rijen reële getallen I .4 .5. Een oneindige rij reële getallen is een afbeelding lN _,. lR • Als I,.._,. a , 2 ,_,. a , ••• noteren we de rij op een van de volgende wijzen: 2

1

(a). n

De getallen a. heten de elementen van de rij. 1

Voorbeelden. I,

2I , 3 , •••

I, I , I '

r~) is n

f- nI ) n

a

n

=

...

de rij I ,

even

I (n n

E

lN)

(n

E

lN)

I

4, 9,

· de 1s rij

2 ' 4 ' 6 ' •· · ·

N.B. In het laatste voorbeeld worcit een uitbreiding van de notatie geintroduceerd. Een oneindige rij reële getallen a ,a , ••• heet begrensd indien er een ge1 2 talM bestaat zodat la I :SM voor elkenE lN. n

De rij a ,a , ••• met an = (-I)n is begrensd; de rij met an =nis niet be1 2 grensd. Als voor de rij (a ) lN geldt: 3M lR V lN [a < M], dan heet de rij n nE E ne: n naar boven begrensd. Analoog is te definiëren het begrip naar beneden begrensde rij. Een rij a ,a , ••• is begrensd dan en slechts dan als de verzameling 1 2 {a ,a , ••• } begrensd is. 1 2

-

19 -

N.B. Omdat de elementen van een rij niet noodzakelijk verschillend zijn, kan {a ,a , ••• } best een eindige verzameling zijn. 1

Als a a

1

~

1

a

2

a

<

2

~

<

2

a

3

a

< •••

,dan heet de rij (an) monotoon stijgend; als

3 ~ ••• ,dan heet de rij monotoon niet dalend. Analoog zijn te

definiëren de begrippen monotoon dalend en monotoon niet stijgend. We zeggen dat de elementen van de rij (an) op den duur (afgekort o.d.d.) in de verzameling V liggen indien

Gelijkwaardig geformuleerd: a veel waarden van n geldt a Analoog: a

n

n

f.

ligt o.d.d. in V indien voor slechts eindig

v.

heeft o.d.d. de eigenschap E.

n

n

Voorbeelden. 2

> 1000 o.d.d. I

Voor elke ö > 0 geldt

(-ö,ö) o.d.d. Het is niet waar, dat (-1) > 0 o.d.d. ~ E

n

Lemma. Als voor (a) geldt a --n n a E V n W o.d.d.

E

V o.d.d. en ook a

n

E

W o.d.d., dan geldt

n

Bewijs. Krachtens het gegeven bes taan er getallen N

1

voorn> N geldt an 1

V, en voorn> N

E

geldt derhalve zowel a

2

n

E

V als a

n

E

an

W, dus a

E

n

E

lN en N 2

E

lN

zodat

W; voorn> N := max(N ,N ) 1

E

2

0

V n W.

Limieten van rijen reële getallen Dit begrip is reeds bekend; we geven eerst een van de vele vormen van de definitie. 1.4.6. Definitie. lim a

n--

o.d.d.

n

=a

In plaats van lim a n n-

betekent dat voor elke omgeving V van a geldt a

=a

zeggen we ook: a

n

..,.

a als n

-+

oo; a

n

n

E

V

nadert tot a.

1.4.7. Stelling. De volgende beweringen zijn gelijkwaardig: I) lim a

n

=

a.

n-2) Voor elke € > 0 geldt a E (a-€ 0 a+€) o.d.d. n 3) Voor elke € > 0 1s er een N E lR zodanig dat voor n > N geldt

Ia n -a I

<

€.

/

- 20 -

o.

4) lim (a -a) n

Ia n - a I

5) lim

= 0.

Het bewijs is triviaal. 1 lim - -n = 0.

-nI = o·'

Voorbeelden. lim n->oo

n-+«> 2

Om het laatste resultaat te bewijzen moeten we bij elke e > 0 een N E lR aan1 1 2 I geven zodat voor n > N geldt = - - < E• Het is duidelijk dat N = log E 2n 2n voldoet.

1--1

lim (-!)

n

bestaat niet; lim n

2

bestaat ook niet.

In de situatie van het laatste voorbeeld zeggen we wel: n 2 Definitie. an an

+ - oo

+

als n

Voorbeelden.

als n

oo

+

oo,

In-+

+ oo,

+

oo

als n

betekent dat voor elke ME lR geldt an

>

+ oo.

M o.d.d.;

betekent dat voor elke ME lR geldt an < M o.d.d.

oo als n -+ oo;

lim (-1) 0

- IÏÏ-+ - oo

rn bestaat

als n + oo;

niet, ook is niet: (-l)n

rn +

00

of

n+oo

(-l)n

rn +

-oo

als n

Als de rij (an) een limiet a

E

+

oo.

lR heeft, dan heet de rij convergent; als de

rij geen limiet in lR heeft, dan heet de rij divergent; in het bijzonder zegt men in geval an

+ oo

(resp.-

oo)

als n

!.4.8. Stelling (standaardlimieten). I)

Als p

>

. I = 0j 0, dan is 1 1mn+oo

2) als

Iq I

< I,

np

dan is lim qn = 0; n-+«>

3) als a>

o,

dan is limra= 1. n-+«>

+

oo,

dat an naar

oo

(resp. -

oo)

divergeert.

- 21 -

,_I_oJ np

Bewijs. I) Zij c > 0; opdat n > (!)l/p =: N.

1-

=np

c is het voldoende dat

<

c

Met deze waarde vanNis dus aan formulering.3) van 1.4.7 voldaan. 2) Als q = 0 is het triviaal; neem verder aan dat q f 0 is.

Zij c

>

0; opdat lqn- OI <

loglqln < log c. Met N

E

ofwel lqln

< E

is het voldoende dat

:=~is aan formulering 3) voldaan.

3) Zij c > 0; volgens 1.2, voorbeeld 2 is (l+e)n ~ l+ne, zodat lim (l+e)n = oo. Daaruit volgt n->oo

-....;..-= (I +c)

a

<

<

(l+c)

n

o.d.d.

n

+

E

<

E

+ c

Ta<

I + c o.d.d.

Ta-

<

I < e o.d.d.

en

:la-

I

11

<

c o.d.d.

D

1.4.9. Stelling (bewerkingen met limieten). Als lim a n->«>

I)

lim (a + b ) = a + b; n n n.-

2)

lim (a b ) = ah; n n n->oo

3)

I 1.lmI mits a a =

n->oo

4)

n

lim la I n n->oo

a

n

= a, lim b = b, dan is n->oo n

f 0

I a I en lim n->oo

lfaJ n = /faT.

Bovendien geldt: 5) Als a n s bn o.d.d. dan is a s b. Bewijs. We schrijven alleen de bewijzen van I) en 5) uit. 0; nu is lan - al < je o.d.d. zeg voor n zeg voorn> N • Voorn> max(N ,N ) is dan 2 1 2

I) Zij

E

>

>

N ; lbn - bI < je o.d.d. 1

- 22 -

5) Bewijs uit het ongerijmde: stel b an

E

(j(b+a),oo) o,d,d. en dus bn

a dan geldt b

<

j(b+a)

<

4 5 n +2 n

-

-4n + 5 Voorbeelden. lim = lim 2 n-+oo 2n Sn + 3 n-+oo 2

-

(/n 2 +n-1

lim n-+oo

1

<

-

5

n

+.1..2

=

0

2=

n

I •

IJ _

n

Zij lim a n->«>

=p,limb

n

gelden: a s y s b o.d,d., Dan is lim y = p. n n n n->oo n

n-.oo

n

= p; laat voor (y ) n

(p-o,p+o) o.d.d, (zeg voor n > NI)' b E (p-o,p+o) o.d.d. (zeg voorn> N ), terwijl a s y s b o.d.d. (zeg n 2 n n n voorn> N3 ). Op den duur (nl. voorn> max(N ,N ,N )) is dan p-o
> 0; dan is an

.

2n - 2 In - n + I) = lim --;:;~=:::;~-==;;;==::; n->oo/2 '12 ' v'n + n- I + v'n - n + I

n

Bewijs, Zij

0

1

I 2

i __

1.4.10. Stelling (insluitstelling).

D

an o.d.d,, tegenspraak.

2 - ~ n 2 =lim-;;:===;-~==~ = "_....:::......,. + I n->oo + I_'+ ! +~ n 2 n ~

v;

(-oo,j(b+a)) o.d.d.,

E

n

Voorbeelden, lim sin n n n->oo

E

I n

= 0 daar -

,;

sin n

n

,;

D

I n

lim ~2n + 3n' = 3 daar n->oo 3 =

v:-3n

<

n, n V2n + 3 < ï3n + 3n = 3;rz en

lim ;rz= I n--

.

Stelling. Is (a ) convergent, dan is (a ) begrensd. n

n

Bewijs. Zij lim a

= a, dan is a n Dan geldt voor elke n E JN, n--

n

E

(a-J,a+l) o.d,d,, zeg voor n > N

E

lN.

D

- Z3 -

1.4.11. Grondeigenschap der reële getallen. Een monotone begrensde rij in lR is convergent

Deze grondeigenschap zullen we opvatten als een axioma. Ze postuleert het bestaan van de limiet; ze geeft ons geen middel de limiet ook te berekenen.

N.B. Een monotoon niet dalende rij is begrensd (en dus convergent) dan en slechts dan als de rij naar boven begrensd is. Een analoge bewering geldt voor monotoon niet stijgende rijen, Za Voorbeeld. De rij (an) zij gedefinieerd door: a 1 := O, an+l := (n E lN) , De rij (a ) is convergent.

n

+ 4

--~---

3

n

(i)

We bewijzen door volledige inductie dat (a ) monotoon stijgend is. n

I) a

1

= 0,

a

4

2

=~ ,

dus a

1

<

a • 2

2) We zullen laten zien dat uit a

ii)

a

<

n+ 1

volgt a +I < a n

n+ 2

•

is

Nu

a

n

n+2

-a

n+l

=

2an+l + 4 3

We bewijzen eveneens doorvolledige inductie dat (an) naar boven begrensd is. We moeten daartoe een bovengrens M vinden die zo ruim is, dat uit a

n

M volgt

+ 4

Za

a

~

n = --.::."3---

n+l

~

2M + 4 3 ~ M ;

dus M ;, 4. Het inductiebewijs van lfn l)a

1

E

lN

[an

~ 4]

verloopt dan aldus:

=0~4.

2) Als a

~ 4, dan is a

n

+ 4

2a n+l

= __.;;n"__

3

~

2·4 + 4 3

=4

Overeenkomstig de grondeigenschap 1.4.11 bestaat nu lim a n =: Uiteraard is ook lim a = 1; maar dan is n+l n->oo + 4

Za

1 =

lim a n-+=

waaruit volgt

n+l ~

21 + 4 n = lim .......:::."..- = 3

4

lim a n-+=

Opmerking. In ment van

~

~

~.

n

3

= 4.

bestaan er begrensde monotone rijen die niet naar een ele-

convergeren.

- 24 -

:= Voorbeeld. Beschouw de rij (b ) gedefinieerd door: b := 2, b n n+l 1 = j(bn + b2 ), We bewijzen eerst door volledige inductie dat b n E lil en n

2:>b 2 :>4. n

I ) bi = 2, dus b E 1

lil en 2 ,; b2 ,; 4. I

2 2) Zij b E lil en 2 ,; b2 ,; 4. Dan i s - E lil. n n b n b2 + 2 n 2 Schrijf bn+l dan is bn+l - 2 • 2b n Als 2

,;

b2 n

,;

4, dan volgt 0

2 bn+l

,;

Uit het voorgaande volgt tevens b

n+l

- b

en dus bn+l E lil·

2 oftewel 2 ,; b 2 ,; 4. n+ 1

2 ,;

n

=

2 - b2

b n ,; 0. De rij (bn) is dus 2 n

monotoon niet stijgend.

Stel nu dat er een limiet ~ E ~ zou bestaan, dan was ~ = ~~ +

t,

dus ~ 2 = 2.

Er is echter geen rationaal getal waarvan het kwadraat gelijk aan 2 is. Opmerking, Beschouwt men (bn) als een rij in

~

dan is deze wel convergent

+ .f2 als n + oo, De rij getallen (b ) is de rij die men verkrijgt als n n men beginnend met b = 2, .f2 benadert volgens de methode van Newton-Raphson 1 (zie 2. 7. voorbeeld I ) •

en b

Uit 1.4.11 volgen vele belangrijke eigenschappen van de reële getallen. We bespreken er één van.

1.4.12. Stelling (stelling van het intervallen-nest). Laat de rijen (a) en (b) -

n

n

voldoen aan

VnElN [a n ,; an+l ,; b n+l ,; b n ] d.w.z. ~

a

n

~

a

n+l

:::;:

,; b

n+l

:::;: b

n

:S •••

en zij lim (b -a ) = 0. U-+<xl n n Dan is er precies één c met c E [a , b ] voor alle n E lN. n n Bewijs. De rij (a ) is n 1.4.11 bestaat dan lim n-+«> voor elke m, is a ,; b n vinden zo: a E [a , b ] n n

monotoon niet dalend en naar boven begrensd. Volgens

a

n

(b

=: a, terwijl a n

,;

a voor elke n. Daar tevens a

m

is de limiet van de constante rij b • b •••• ) • We n n n voor alle n E lN.

,;

b

n

- 25 -

Analoog is in te zien dat lirn b n->oo

Uit lirn (b -a ) n.-

n

n

=0

volgt b

n

=: b bestaat en b E [a ,b] voor allenE N. n

n

= a.

Definieer nu c := a = b, dan is: c E [a ,b ] voor alle n E lN. n

n

We tonen nog aan dat c eenduidig is. Als immers voor een zekere d geldt: d E [a , b ] voor alle n E lN, dan volgt a ,;; d ,; b en dus d = a = b = c. n n

D

Maximum, minimum Zij V een begrensde verzameling van reële getallen. Dan heet M E V het maximurn van V indien x ,; M voor elke x E V; analoog: rn E V heet het minimum van V als rn,; x voor elke x EV. Niet elke begrensde verzameling heeft een maximurn (of minimum). Als voorbeeld noemen we V := (0,1). Indien ME V het maximurn van V zou zijn dan was M < I. In dat geval is echter M <

M+l -z
M+l 2

zodat --- EVen M niet het maxi-

murn is.

Conclusie: V heeft geen maximum; V heeft evenmin een minimum.

We zullen nu een deel van de beschouwingen uit 1.4 uitbreiden tot lR

2

: = { (x, y)

Ix

E

lR , y

E

lR}

lR x lR

en JR

3

:= {(x,y,z)

Ix

E JR, y E JR, zE lR}.

Het getallenpaar (x,y) resp. getallentripel (x,y,z) wordt opgevat als de k enta 11 en van een vector. lR 2 ,

~

3

. . d an vectorru1mten. . I n d eze ru1mten . ZlJn

kiezen we voorlopig als vaste bases, JR JR

2

~I=

(1,0),

~2

3

~I=

(1,0,0),

= (0,1)

~2

= (0,1,0),

~3

= (0,0,1) •

De kentallen van de vectoren sternmen dan overeen met de componenten t.o.v. 2 3 de orthogonale bases {~ .~ } c JR , {~ .~ .~) c lR • 1 2 1 2 . een afstand gedefinieerd die met de stelling van Pythagoras In lR 2 en lR3 1s eenvoudig berekend kan worden:

- 26 -

1S

a =

lR2 (bl,b2)' dan is de afstand van a tot b in

(al,a2),~=

d(~.~)

:= lca -b ) 1 1

is c = (cl ,c2,c3)' d(!:.~)

2

+ (a2-b2)

2

;

= (d ,d ,d ), dan is de afstand van c tot d in lR3 1 2 3

~

:= /ccl-d1)2+ (c2-d2)

2

+ (c3- d3)

2

.

Merk op dat deze afstand voldoet aan de zg. driehoeksongelijkheid:

/2 = Va + 1 Dan is d(~.~l d(~,Q)

2 2 a +a noteren we als 2 3 = I~- ~I·

Open verzamelingen in JR Definitie. Zij ~

E

JR

2

2

en JR

(of ~

E

1!!1,

de lengte van a.

3 JR

3

) en o > 0, dan heet

de open bol (schijf, bal) met middelpunt a en straal o, 2 Het begrip open bol is een analogon in JR -, JR 3 van het begrip open interval uit lR , We gaan verder ook analoog te werk: 1.5.1. Definitie. Een verzameling V c JR ~ E

V een ó

>

0 bestaat zó dat

2

3 (of V c JR ) heet open indien bij elke

B(~,o)

cV.

Gelijkwaardige formulering: V is open als V een vereniging is van open bollen.

1.5.2, Definitie. Is V open Stelling.

en~ E

Een open bol is een open verzameling.

Bewijs. Zij b

E

B(~,

ó), dan is

We zullen laten zien dat en derhalve

V, dan heet V een omgeving van a.

d(~ 0 !:)

";;

B(~,o

o. Nu is: óI := ó - d(~.~) > o. B(~,ó). Is c E B(~,o ) dan is d(~.!:)

d(~.~) <

1)

c

d(~.~) + d(~.!:) <

1

d <~.~) + ól = ó, dus

C E

B(~,o).

<

ól D

- 27 -

Voorbeelden van open verzamelingen:

I

1 < x

I

2

+ x

1

1 < x

2 1

2

< 4}

2

+ x

2 2

+ x

2

< 4} •

3

De definities van de begrippen inwendig punt, geÏsoleerd punt, randpunt en verdichtingspunt zijn letterlijk dezelfde als in 1.4. 2 3 1.5.3. Stelling. I) JR , JR en 0 zijn open. 2) De doorsnede van twee open verzamelingen is open. ~ ~ ~.

3) Is

dan zijn er open verzamelingen U en V met a

E

U, b

4) W is dan en slechts dan open als bij elke a E W een o

>

0 bestaat

0.

U n V =

V(~,o)

zó dat

V,

E

c w.

Bewijs. De bewijzen zijn niet moeilijk; we volstaan met enkele opmerkingen. 2) Als a 3) Als

E

a~~.

cv,

B(~,o )

1

V n wen

B(~,jd(~,~))

dan is

2 c

B(~,o )

4) B(~,o) c V(~,o) c B(~,o/k)

B(~,jd(~,~))

n

(~

I .5.4. Definitie. Een verzameling W c JR

2

w, dan is

E

=

B(~,min{o ,o

1 2 })

0.

cV n w.

0

lRk, k = 2,3, o > 0).

of Wc JR

3

2 heet gesloten indien JR \w resp.

3

lR \ W open is. Voorbeelden:

2

JR , JR

3

, 0, {~

I d(~,~)

,; 6} zijn gesloten.

Definitie. Een verzameling U heet begrensd indien er een M > 0 bestaat zó dat U c B( Q,M) • Voorbeelden:

B(~,o), V(~,

a) zijn begrensd.

2 3 Rij en punten in JR , JR 1 .5.5. Definitie. lim a

n-+oo -n

a geldt a

-

Zij

~n =

-n

E

= a in lR

2

3

(of lR ) betekent dat voor elke omgeving U van

U o.d.d.

(aln'a2n)'

~ = (al,a2)

E

lR2 of !!n = (aln'a2n'a3n)'

~=(al ,a2,a3)

E

lR3

- 28 -

1.5.6. Stelling. De volgende beweringen zijn gelijkwaardig: I ) lim a

n"""

-n

a.

=

2) Voor elke

E >

0 geldt a -n

E

B(!!,E) o.d.d.

3) Voor elke

E >

0 geldt a -n

E

V(!!,E) o.d.d.

4) lim (a -a) = Q.. -n n""" 5) lim d (a , a) =

n"""

-n -

6) lim aln = al

n"""

Q. en lim a n = a2 2 n"""

(en lim a3n = a3) n"""

.

Het bewijs is niet moeilijk. Een rij (a ) heet begrensd indien {!!,•!!z••••} een begrensde verzameling -n 2 Een aantal van de stellingen uit 1.4 zijn nog uit te breiden tot JR en We zullen daar niet verder op ingaan •

.. d.1natenste 1 se 1 s 1n . JR 2 I .6. Coor

Op de middelbare school is de analytische meetkunde meestal bedreven met 2 3 (x,y resp. x,y,z). Als men problemen cartesische coÖrdinaten in JR en JR bestudeert met "cirkel- of bolsynnnetrie", dan zijn andere coÖrdinaten vaak handiger. I. 6. 1. PoolcoÖrdinaten in JR

2

We leggen een punt P in het vlak vast door zijn afstand tot 0 = (0,0) en door de hoek die de verbindingslijn ÓP maakt met de positieve x-as. De afstand heet gewoonlijk r, de hoek

~;

onbepaald is in 0 en dat in andere punten vouden van kozen dat 0

2~

$

((r,~)

en

(r,~+2~)

~

of

-~

< 2~

< ~

s

uit de definitie volgt dat r ~

~

0,

slechts bepaald is tot op veel-

is hetzelfde punt). Meestal

wordt~

zo ge-

~.

0 noemt men wel de pool, de positieve x-as de poolas, r de voerstraal van P en

~

het argument van P.

~

- 29 -

Het verband tussen cartesische coÖrdinaten (x,y) en poolcoÖrdinaten (r,~) lS

rx = r cos = r sin

h

~.

r = Vx2 + y 2

~.

(jl

=

arctan(y/x)

(jl

=

arctan(y/x) +

Cjl

=

arctan(y/x)

y

'

-

als x

~

7f

als x

<

7f

als x

<

0, 0' y 0, y

o, o.

> <

P tr. 4>>

y

Voor problemen waarin cirkelsymmetrie voorkomt zijn poolcoÖrdinaten erg handig: . x2 + y2 De c1rkel

= a2

heeft als vergelijking in poolcoÖrdinaten: r = a.

constant zijn cirkels om o'; krommen

Krommen r

=

door~(~

zelf uitgezonderd).

Een vergelijking r

= r(cp)

constant half-rechten

stelt in het algemeen een kromme voor.

We geven enkele voorbeelden: a) r

= -(jlI

(jl

>

o.

We zien dat r als y

=


~ oo

als cp + 0 maar daar y = r s1n


=

sin (jl


,

geldt y

~

+ 0 (zie 2.4, voorbeeld 6); er is dus een horizontale asymptoot

I. De kromme heet hyperbolische spiraal. y

--------------------

- 30 -

b) r

2(1

-cos~).

De kromme heet cardio1de. y

De kromme ontstaat (zie figuur) als de baan van het punt P op de rechter cirkel als deze cirkel (met straal I) zonder slip langs de vaste cirkel met middelpunt (-1,0) en straal

rolt, y

In cartesische coÖrdinaten is de vergelijking van de cardioide: 2 2 2 2 2 (x +y +2x) = 4(x +y ) hetgeen veel ingewikkelder is. 1.6.2. Cylindercoördinaten in JR

3

Deze zijn de uitbreiding van poolcoördinaten in het (x,y)-vlak met een z-coÖrdinaat.

- 31 -

z z

r

I

I I

T

x

De cylindercoÖrdinaten van P zijn

(r,~,z);

de samenhang met cartesische coÖrdinaten is:

rx

= r

l: =

= r

cos

'I'

sin

q>

z.

CylindercoÖrdinaten zijn gemakkelijk bij meetkundige figuren die axiale symmetrie hebben (omwentelingsfiguren:). De cylinder x r

2

+

y

2

= a

2

heeft als vergelijking in cylindercoÖrdinaten:

= a.

De kegel z ..

.

2

2

2

.

3

=x + y

I •• 6 3. Bolcoord1naten 1n R

heeft ·als vergelijking z

2

2

= r , z = ± r.

Voor figuren met een punt van symmetrie (bolsymmetrie) zijn de volgende coÖrdinaten erg handig.

- 32 -

z

z

P
~---------7~-------y

T

x

3

~

Een punt P in

wordt bepaald door: afstand p tot

positieve z-as, hoek

~

~.

hoek 8 van eP met de

van de projectie van aP op het (x,y)-vlak met de

positieve x-as. Krachtens definitie is p

~

0, 8 tussen 0 en

~

te nemen en

~

bepaald tot op

veelvouden van 2~; meestal wordt cp zo gekozen dat 0,; ~ < 2~, Voor cp

bepaald; voor de andere punten op de z-as is 8 = 0 of 8 =

~

cl

is 8 noch

en cp onbepaald.

De samenhang met cartesische coÖrdinaten is

(:

= p sin 8

cos cp

= p sin 8

sin cp

= p

cos 8.

Uit de bekende eigenschappen van een rechthoekige driehoek volgt namelijk

fff

p sin e,

p

= constant

cp

=

PT = p cos 8, zie figuur. is de vergelijking van een bol om

~.

constant is de "helft" van een vlak door de z-as (de z-as zelf uitgezondereD.

8

=

constant is een halve kegel (uitgezonderd de top d) met de z-as als as.

- 33 -

Hoofdstuk 2. Functies lR

->

lR

2.1. Inleiding Het begrip afbeelding is algemeen gedefinieerd in l.I. In dit hoofdstuk beschouwen we meer in het bijzonder afbeeldingen van de gedaante f : A waarbij A

c: lR

en B

c:

+

B,

JR. We noemen f dan een reële functie van één reële

variabele, of kortweg functie, A heet de definitieverzameling van de functie f; notatie DOM f. Voorbeelden. f

lR

+ JR, f(x)

lP +

f

JR, f(x)

[-1,2)+ R,

f

~~ ~

log x

::

"'' -(

-x

als -I ,; x < 0 als x 0 ~

als 0 < x < 2 •

N.B. Met log x wordt de natuurlijke logarithme van x bedoeld, d.i. de logarithme met grondtal e, In sommige leerboeken wordt ook wel de notatie ln x gebruikt. In het vervolg zullen we een functie f ook wel definiëren door middel van een formule zonder expliciete vermelding van de definitieverzameling. In dat geval zal DOM f bestaan uit die waarden waarvoor de formule zinvol is, Voorbeeld.

f(x) ~ IX, dan is DOM f ~ lR+.

Vaak wordt een functiewaarde f(x) met een aparte letter y aangegeven; men schrijft dan y

~

f(x).

We geven nog een korte samenvatting van de verdere inhoud van dit hoofdstuk. Eerste onderwerp vormen de polynomen of veeltermen als meest eenvoudige voorbeelden van functies. Daarna volgt een uitvoerige behandeling van functies waarbij achtereenvolgens aan de orde komen: eigenschappen van functies, limieten, continuÏteit, differentiaal- en integraalrekening van functies van één variabele, Tenslotte wordt aandacht geschonken aan numerieke aspecten in een tweetal paragrafen over numerieke oplossing van vergelijkingen en over numerieke integratie.

- 34 -

2.2. Polynomen 2.2.1. Definitie. Een polynoom is een functie p: R

~R,

die we als volgt kunnen

schrijven:

=

p(x)

waarin a 0 ,a 1 , ••• ,an reële getallen zijn en an ~ 0. Deze getallen worden coëfficiënten genoemd. Het gehele getal n ~ 0 heet de graad van het polynoom (notatie gr(p)). Ook de nulfunctie:

x~

0, zullen we opvatten als een polynoom, het zg.

~­

polynoom. We geven geen definitie voor de graad van het nulpolynoom. Een uitspraak zoals: zij p een polynoom met gr(p)

= n,

impliceert dat p niet het

nulpolynoom is.

Voorbeelden. I) p(x) 2) p(x) = x

I0

+ x

5

2 is een polynoom met gr(p) = 0.

+ I is een polynoom met gr(p) = 10.

n-1 n + a n x , dan is de afgeleide van p 0 + a 1x + "· + an- 1x het polynoom gegeven door

3) Als p(x) = a

Ook de tweede afgeleide p" = (p')', de derde afgeleide p"' , in het algemeen dek-de afgeleide. p(k) zijn polynomen, Men ziet gemakkelijk dat p

(k)

(x) = k!~ + 2•3 ••• (k+l)~+lx + ... + (n-k+l)(n-k+2)

2.2.2. Stelling. Zij p een polynoom met gr(p) dan is er een polynoom r met gr(r)

<

=n

end een polynoom met gr(d)

na x n

= m,

gr(d) of r is het nulpolynoom èn er 1s

een polynoom q zodat p(x) = q(x)d(x) + r(x) voor alle x ER.

n-l

- J5 -

Bewijs. Als m

>

n is q het nulpolynoom en r = p.

Als m $ n dan bewijzen we de stelling door volledige inductie naar n. In geval n = 0 zal gelden: p(x) = a

0

r

0, d(x) = b

0

r

O, q(x) = a /b en 0 0

r(x) = 0. Neem aan dat de bewering waar is voor polynomen met graad$ n-1. Stel p(x) = anxn + ••• + a

0

en d(x) = bmxm + ••• + b , dan is 0

a

n n-m p(x) =i) x d(x) + r (x), 1 m

een polynoom is met gr(r ) $ n-1 of r is het nulpolynoom. a 1 1 n n-m Indien r het nulpolynoom is of als gr(r ) < gr(d) dan voldoet q(x) = i) x 1 1 m en r = r I .

waarin r

1

Zij nu gr(d) $ gr(r ) dan (inductieveronderstelling) zijn er polynomen q en 1 1 r met gr(r ) < gr(d) of r is het nulpolynoom, zó dat r (x)=q (x)d(x)+r (x). 2 2 2 2 1 1 Na substitutie volgt a

n

p(x) = [i) x m

n-m

+ q (x)]d(x) + r (x) • 1 2

Het polynoom r wordt in de regel de

El!l d(x)

=

r(x) q(x) + d(x)

Als r(x)

=

~

0

genoemd en we noteren

0 voor alle x dan heet d een deler van p.

Voorbeelden. 4) Neem d(x) = x- a, dan is p(x) = (x-a)q(x) + r(x) waarbij r(x) een polynoom met graad 0 of het nulpolynoom is; r(x) is dus een constante. Substitueer x= a dan vinden we r(x)

~

p(a), waarna volgt

p(x) = (x-a)q(x) + p(a) (reststelling). Als p(a) = 0, dan is (x- a) een deler van p(x); we noemen x = a dan een nulpunt van p(x). is een nulpunt van p (x) = x 3 2x 2 + x = (x- I) (x 2 - x). 2 We zien dat x= I ook nulpunt is van x -x, en p(x) = (x- 1) 2x. We zeggen

5) De waarde x

dat x = I een tweevoudig nulpunt van p(x) is.

- 36 -

2.2.3. Definitie. Het getal a

E ~heet

een k-voudig nulpunt (of: nulpunt met multi-

pliciteit k) van een polynoom p, indien er een polynoom q bestaat met q(a) 1 0 èn p(x) ~ (x- alq(x). Opgave. Het getal a c ~ is een k-voudig nulpunt van een polynoom p dan en sle-chts dan als p(a) ~ p'(a) ~ ,,, ~ p(k-l)(a) ~ 0 èn p(k)(a) 1 0; toon dit aan.

Het is bekend dat een vierkantsvergelijking hoogstens twee reële wortels bezit. Deze regel laat de volgende generalisatie toe: 2.2.4. Stelling. Een polynoom p met gr(p)

~

n heeft ten hoogsten reële nulpunten.

Bewijs. We bewijzen deze stelling door volledige inductie naar n.

=0

1 0, dus p heeft geen nulpunten. 0 Stel de bewering in de stelling is waar voor polynomen met graad~ n-1. In geval n

is p(x)

~

a

Zij nu p een polynoom met gr(p) ~ n en zij a een nulpunt van p, dan is er een polynoom q met gr (q)

~

n- I zodat p (x)

(x- a)q (x). Het polynoom q

heeft ten hoogsten- I reële nulpunten (inductieveronderstelling), dus p heeft ten hoogste I + n- I

~

n reële nulpunten.

0

Voorbeelden. 6) In het (x,y)-vlak kunnen we door twee punten een rechte lijn construeren, door 3 punten (met verschillende x-coÖrdinaten) een rechte lijn of een parabool. Algemeen: bij n + I gegeven punten (x 0 ,y 0 ),(x 1 ,y 1), ••• ,(xn,yn)' waarvan de coÖrdinaten x ,x , •.• ,xn ver0 1 schillend zijn, bestaat er precies één polynoom p met gr(p) ~ n, of p is het nulpolynoom, zodat p(xk)

~

yk voor k

~

O,l, ••• ,n.

Bewijs. We construeren eerst een polynoom p, dat aan de eisen voldoet en laten vervolgens zien dat p eenduidig bepaald is. Zij t. het polynoom gege1

ven door

- 37 -

(x-x 0 )(x-x 1 ) ... (x-xi_ 1 )(x-xi+l) " ' (x-xn) 2.2.5, L (x) = ~(~x-i___x_O~)~(~x-i----x~l~)-----(rx-i---~x~i~--~~)~(x-1-.~-~x~i~+-l~)--.-.-.~(x-1~.~--x-n~) ' 1 = 0 voor k = O,l, ••• ,i-l,i+l, ••• ,n en ~.(x.)= I, We nemen 1 1 1 nu voor p het polynoom gegeven door p(x) = y ~ (x) + y ~I (x)+ •. • + Yn~n (x) •

dan is

~.(xk)

0 0

(Laat zien dat p aan de eisen voldoet,)

1

Laat q een polynoom zijn dat eveneens aan de eisen voldoet, dan geldt voor het polynoom p- q

dat

p(xk) -q(xk) = 0 voor k

= O,l, .. ,,n,

Het polynoom p-q

heeft dus n+ I verschillende nulpunten, hetgeen in strijd is met 2.2.4,tenzij p- q het nulpolynoom is; dus p = q,

0

Het polynoom p heet het interpolatiepolynoom van Lagrange door de punten (xk,yk)' k = O,l, ... ,n. 7) We construeren vervolgens een polynoom waarvan de functiewaarde en de

eerste tot en met de n-de afgeleide in een punt zijn voorgeschreven: p(a) = b , p'(a) = b , ••• ,p (n) (a)= b, waarin b ,b , ••• ,b gegeven re0

1

n

ele getallen zijn. Een polynoom p met gr(p)

0

~

1

n

-

n kunnen we aangeven door

Differentieer p(x) k-maal dan vinden we (k+ I) ~+I (x-a) + ••• + (n-k+ I) (n-k+2) .. • na (x-a) n-k , n

dus (p(O)(a) := p(a)), I

Derhalve is~= kT bk voor k = O,l, ••• ,n. Het polynoom p is dus voor te stellen door n

2. 2,6 •

p(x)

= L k=O

p (k) (a)

k!

(x- a)

k

,

Deze betrekking heet de formule van Taylor voor polynomen.

- 38 -

2.3. Eigenschappen van functies In deze paragraaf releveren we een aantal deels bekende eigenschappen van functies. 2.3.1. Definitie (begrensdheid). Een functie f heet begrensd op een verzameling V c DOM f, indien 3M

lR

E

"x

E

I

V [ f (x)

of anders geformuleerd: f(V)

I ,; c

M]

lR

is een begrensde verzameling.

Een functie f heet begrensd, indien f begrensd is op DOM f, dus als f(DOM f) een begrensde verzameling is. 2

h(x) = arctan x, t(x) = ~ zijn voorbeelden van begrensde functies. De functie f(x) = e -x is begrensd op lR+, de functie zelf is echter niet begrensd.

Voorbeelden. f(x) = sin x, g(x)

= e -x

.

2.3.2. Definitie (monotonie) • (i)

Een functie f heet monotoon stijgend, indien "'x,y

(ii)

E

DOM f [x< y

'*'>

f(x) < f(y)].

Een functie f heet monotoon dalend, indien ':/x,y

E

DOM f [x < y""" f(x)

>

f(y)],

(iii) Een functie f heet monotoon niet dalend, indien "'x,y (iv)

E

DOM f [x< y - f(x) ,; f(y)],

Een functie f heet monotoon niet stijgend, indien Vx,y

E

DOM f [x< y => f(x) ;, f(y)].

De functie f heet monotoon, indien zich een van de gevallen (i), (ii), (iii) of (iv) voordoet. De functie f heet strikt monotoon, indien zich een der gevallen (i) of (ii) voordoet. als 0 ,; x < Voorbeelden. I) f: [0,1]

+ JR,

f(x) = {: als

!

! ,; x ,;

is een monotoon niet stijgende functie. 2) f: [-1,1]

+

JR, f(x) = arcsin x, is een monotoon stijgende functie.

- 39 -

Strikt monotone functies zijn voorbeelden van injectieve afbeeldingen. Immers als x# y, dus x< y of x> y, dan is f(x) < f(y) of f(x) > f(y), in ieder geval f(x) # f(y). Is fbovendien surjectief, dan heeft f een .

.

monotone

str~kt

~nverse

+

f •

Voorbeelden. 3) f: [- j11,j11]

+

[-1,1], f(x) =sin x.

De functie f heeft een inverse gegeven door +

f : [-1 ,I] 4) f:

1T

22!,) 2

<2

+

+ [-

+

j11, j11 ], f (x) = arcsin x.

lR, f(x) = tan x. De functie f heeft een inverse gegeven

door

5) f: [O,oo)

2 [O,oo), f(x) =log(! +x ). De functie f heeft een inverse

+

gegeven door

2.3.3. Definitie (convexiteit). Een functie f heet convex op een interval I c DOM f, indien vx,yEI VÀE[O,I] [f(>.x+(l->.)y),.; >.f(x) + (1->.)f(y)]. Een functie f heet concaaf op I indien de functie -f convex is op I. We merken op dat voor de grafiek van f convexiteit betekent dat het lijnstuk, dat de punten (x,f(x)) en (y,f(y)) verbindt, boven de grafiek ligt. Voorbeelden. (Ga na aan de hand van grafieken; 6) f: [-1,1]

+

zie ook 2.6.9.)

[0,11], f(x) = arccos x. De functiefis convex op [-1,0] en

concaaf op [0,1]. 7)

f: lP

+

lR, f(x) = log x. De functie f is concaaf op lP.

2.3.4. Definitie (even of oneven). Een functie f heet even indien (i)

'1:/x E lR [x E DOM f =<> -x E DOM f], d.w.z. DOM f ligt symmetrisch t.o.v. 0;

(ii) Vx E DOM f [f(-x) = f(x)], dus de grafiek van f is symmetrisch t.o.v. de y-as.

- 40 -

Een functie f heet oneven indien (i) geldt en (ii') I;/x<: DOM f [f(-x) = -f(x) ], (Wat betekent dit voor de grafiek van f?) Voorbeelden. 8) f(x) = arctan x; de functie f is oneven. 1T

f(x) = arccos x-- ; de functie f is oneven, 2 2 -x 10) f(x) = e ; de functie f is even.

9)

IJ) Polynomen waarin louter even machten van x voorkomen, zijn even functies,

Tenslotte introduceren we nog de hyperbolische functies: sinh x, cash x, tanh x, coth x (spreek uit sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, enz.). Deze functies worden gedefinieerd door x -x x -x e - e e + e si nh x : = .::...--,.,.::.• co s h x : = .::..__;"...::;...._ 2

sinh x tanh x : = .:c;,:o;;:s:;.:h~x

2

cash x ' coth x := sinh x

De hyperbolische functies zijn gedefinieerd voor alle x c

~

behalve dat

coth x niet gedefinieerd is voor x = 0. Schets de grafieken van deze functies en merk op dat cash x een even functie is terwijl sinh x een oneven functie 2 2 is. Omdat cosh t - sinh t = I is x = cash t, y = sinh t, -~ < t < ~, een parametervoorstelling van een tak van de hyperbool x 2 - y 2 = I. (Evenals x= cos t, y =sint, 0,; t < 21T een.parametervoorstelling van de cirkel x 2 +y 2 = I is, zie 6.1.)

Dit verklaart de naam van de ingevoerde functies,

2.4. Limieten van functies Reeds op de middelbare school is kennis gemaakt met het begrip limiet van een functie. We geven een aantal definities. 2.4.1. Definitie. Zij a E

~

en a een verdichtingapunt van DOH f. Dan betekent

lim f(x) = L, dat er voor iedere omgeving V van L een omgeving U van a bex+a staat zodat voor alle x E U n DOM f met x I a geldt: f(x) EV. In plaats van lim f(x) = L noteren we ook wel f(x) + L (x+ a), x+a

- 41 -

Definitie. Zij a

E ~

en a een verdichtingspunt van (a,oo) n DOM f.

Dan betekent lim f(x) = L, dat er voor iedere omgeving V van L een omgeving U x+a van a bestaat zodat voor alle x E U n DOM f met x > a geldt: f(x) E V. Deze limiet heet de rechterlimiet van f(x) in a. Definitie. Zij a

E ~

en a een verdichtingspunt van (-oo,a) n DOM f.

Dan betekent lim f(x) = L, dat er voor iedere omgeving V van L een omgeving U xta van a bestaat zodat voor alle x E U n DOM f met x < a geldt: f(x) E V. Deze limiet heet de linkerlimiet van f(x) in a. Bewijs zelf de stelling: Stelling. Als lim f(x) = L en lim f(x) = L, dan is lim f(x) = L, x+a x+a xta Opmerking. Indien de rechterlimiet en de linkerlimiet van f(x) in a bestaan doch verschillend zijn, dan bestaat lim f(x) niet, x+a We geven nu de definitie van limiet in geval a = +oo (b,oo) n DOM f
2.4.2. Definities. Zij voor elke b

E

~:

x E DOM f met x > M geldt: f(x) E V. Zij voor elke b E

~:

(-oo,b) n DOM f
voor iedere omgeving V van L een M E x

<

~

f(x) = L, dat er

bestaat zodat voor alle x E DOM f met

M geldt: f(x) EV.

2.4.3. Stelling. Zij lim f(x) = L. Voor iedere rij (a ) c DOM f met a f a, n n x+a lim a = a geldt dan: lim f(a ) = L. n -+<::o

n

n-+«>

n

Bewijs. Zij V een omgeving van L, dan is er volgens 2.4.1 een omgeving U van a zodat voor alle x E U n DOM f met x f a geldt: f(x) E V. Nu betekent lim a n~

n

=a dat a

n

EU o.d.d., dus f(a) n

E

V o.d.d. Daaruit volgt lim f(a )= L. n~

n

0 Opmerking. De stelling is ook geldig in geval a = "" (resp.- oo) en an +oo (resp.- oo) als n _,. oo,

- 42 -

Met behulp van 2.4.3 is soms eenvoudig vast te stellen dat een limiet niet bestaat. I

Voorbeeld. lim sin bestaat niet. x-+0 x I Beschouw namelijk de rijen (a ) 1 (b ) gegeven door a = b = ..,.."...:....,~ n n n mr ' n (2n+Dn '

n

lN. Dan is lim sin ;}- = 0 1 lim sin

E

n-+oo

n

n-+oo

f-

= I

en deze limieten zijn ver-

n

schillend. Analoog kan men inzien dat lim sin x niet bestaat. 2.4.4. Stelling. De volgende beweringen zijn gelijkwaardig:

= L.

I) lim f(x)

x+a 2) a is een verdichtingspunt van DOM f en

3

ó .., lf(x)-LI

< E].

We gebruiken formulering 2) van 2.4.4. Voor I

~x ~

V

E>O

ó>O

V

XEDOM f

3) lim (f(x)- L) =

x+a

[0

<

lx-al

<

o.

4) lim lf(x) -LI = 0. x+a Bewijs deze stelling.

oe~ave.

Voorbeelden. I) lim x-+2

Zij

E

3 geldt:

4 > 0, dan geldt voor alle x met 0 < lx -21 < ó := min(l, 5d dat

2) lim cos x

I. Zij

E

> 0, dan is

x+O 2 2 IJ-cos xl = 2 sin jx ~ 2(jx) = voor lxl

<

ó :=

!x 2

<

E

r'ZE.

Opmerking. We hebben gebruik gemaakt van de bekende ongelijkheid Isin xl ~ lxl voor alle x

E

lR.

- 43 -

3) lim

h

x.fO lxl

= I , lim

h

xtO lXI

= -I ,

lim h bestaat niet, x-+0 IX I

4) Twee standaardlimieten: . I 11m- = 0 voor p > 0, lim XP = 0 voor p > 0, (Ga na,)

x->oo xp

x+O

I 1 5) lim -....:.......,.. = "'• We zeggen: divergeert naar "' als x tot I nadert. 2 2 x+l (x-1) (x-1)

Dit wordt gepreciseerd in de volgende definitie. Definitie. Zij a ER en a een verdichtingspunt van DOM f. Dan betekent f(x) +"' als x+ a, dat er voor alle K ER een omgeving U van a bestaat zodat voor alle x E U n DOM f met x

r a geldt:

f(x) > K.

Analoog is te definiëren f(x) +-"' als x+ a. Ook de definities met x + ±"' i.p.v. x + a liggen onmiddellijk voor de hand.

2.4.5. Stelling (insluitstelling). Zij lim f(x) = L, lim h(x) = L. Laat er een x4a

omgeving U van a bestaan zó dat f(x)

x+a $

g(x)

$

h(x) voor alle x E U n A met

x ra; hierin is A de gemeenschappelijke definitieverzameling van f, g, h, Dan geldt: lim g(x) = L. x+a Bewijs. Zij V een omgeving van L, V := (L-E,L+E) waarin E er omgevingen f(x) x

E

E

u1

u1 ,u 2

c U van a zodat voor alle x

E

u1

>

0. Dan bestaan

nA met

x~

a geldt

V, en voor alle x E u n

u2

L- E
nA met x $

g(x)

5

fa

n A met x ~ a geldt h(x) E V, Voor alle 2 is dan f(x), h(x) EVen vervolgens

D

h(x) < L+E, dus g(x) EV.

De insluitstelling is gemakkelijk uit te breiden tot het geval a=±.,, Indien a = "'bijv. dient er een ME R te bestaan zó dat f(x) voor alle x E A met x

>

M,

$

g(x)

$

h(x)

- 44 -

Voorbeelden. Twee standaardlimieten: sin x

6) lim .=.::.....:=. = I . x

x-+0

Maak gebruik van de ongelijkheid cos x <

sin x

(I )

< 1•

x

geldig voor - j1r < x < j~r en x f 0. Deze volgt uit: sin x tan x

x voor 0

>

<

x

!n ;

<

<

x voor x

>

0,

bedenk voorts dat de leden van (I) even func-

ties zijn. Vanwege lim cos x= I, lim I =I is dan op grond van 2.4.5, x-+0

sin x __ • lim .=.;.;...;;. 1

x-+0

x-+0

7) lim log x = 0 voor p > 0. x-+<x>

xp

Voor y

>

0 is log y

<

y, dus

geldt dan de ongelijkheid 2

0 <

I

<- - -

Pxh

. 2 I Vanwege lim 0 = 0, l ~m - --r::x->oo P x 1P x->oo

=

. dan lim log x = 0. 0, voor p > O, 1s x-+oo xp

Opmerking. De ongelijkheid log y

< y

voor y

>

0, volgt uit 2.6, voor-

beeld 4.

2.4.6. Stellin!;l (bewerkingen met limieten). Als lim f(x) = L, lim g(x) = M, x-+a x-+a dan is : I ) lim { f (x) + g (x)} x-+a

L + M;

2) lim {f (x) g (x) } = LM·

•

x-+a . f (x) x-+a g(x)

3) 11 m - =

4) lim x-+a

L mits M f 0; M

If <xl I = ILI

en lim v'lf(x) x-+a

I = ![LT.

(N.B. Stilzwijgend 1s ondersteld dat f(x) en g(x) dezelfde definitieverzameling hebben.)

- 45 -

Bewijs. We schrijven alleen het bewijs van 4) uit. 4) Zij e > 0, dan is er een omgeving u

van a zodat voor alle x

1

E

u

1

n DOM f

met x# a geldt: Jf(x)-LJ < e, dus ook JJf(x)J-JLJJ,; Jf(x)-LJ < E. Er is ook een omgeving u van a zodat Jf(x)-LJ < e2 voor alle,xcu n DOM f 2 2 2 2 met x# a. Maak nu gebruik van de ongelijkheid Jp-qJ ,; vlp -q J, geldig voor p

~

0, q

~

0 (verifieer deze ongelijkheid). Dan volgt

v'iii'J " /JJf(x)

I-

JLJJ' "VJf(x) - LJ

voor alle x< u

< E

met x # a.

2

n DOM f

0 I 2

'

Voorbeelden. 8) lim (Vx +3x+l - x)

3x + I = lim -;:::::::=:j-1

X""""

X""""

3+!

= lim ~======x~--X""""./

3

,• VI+-+-+ x 2

~ 2 +3x+l + x

3 + 0

YJ

=

+ I

=

3 2

x

9)

. 2! I - cos x = 1 im 2 s1nx lim ,;;,_.....:;;;r....;.;; 2 2 x+O x x+O x

lim x+O

10) Standaardlimiet: lim xpe-x = 0 voor alle p < lR. X""""

Bewijs. Als p

<

0, dan is lim x p

=

0 èn lim e ~

=

0, dus lim x p~ e

=

0.

X""""

Als p

0, dan is lim xpe-x

y >

e

-x

= 0.

x-><»

X""""

Zij p

= lim

De functie f(x) = ex is monotoon stijgend; uit log y < y voor 0 volgt dan e loo:~ y < .e y , oftewel e y > y. Derhalve is > 0.

I

-x e

Voor x

2p

> >

....!...) 2p 2p [ 2p x

•

0 geldt dus de ongelijkheid

p -x 0 < x e < (2p)2p _,

xp Vanwege lim 0 x-+«>

=

0, lim -

I

x-+oo xp

= 0 voor p

>

p -x

0, is dan lim x e X-i-00

=0 •

0

- 46 -

2.5. ContinuÏteit 2.5.1. Definitie. Een functie f heet continu in a E DOMfindien er voor iedere omgeving V van f (a) een omgeving U van a bestaat zó dat voor alle x EU n DOM f geldt: f(x)

€

V.

Bewijs zelf de stelling: 2.5.2. Stelling. Zij a

E

DOM f een verdichtingapunt van DOM f, dan is f continu in

a dan en slechts dan als lim f(x)

= f(a).

x+a

als x -1 0 Voorbeelden. I) f: lR

+

lR , f (x)

als x = 0 is continu in x = 0 omdat lim .::s..:i.:.:n..;x::. =

x+O

= f(O).

x

als x < 0 2) f: lR +JR,

+ I als x ;, 0 is niet continu in x

=0

'

omdat lim f(x)

lim f(x) bestaat niet.

x.fO

=

en lim f(x) xtO

= 0,

dus

x+O Definities. Een functie f heet continu op een verzameling V als f continu is in elk punt van V, Een functie f heet continu als f continu is op DOM f. Voorbeelden, Polynomen, de goniometrische functies sin x, cos x, de exponentiële functie ex, de hyperbolische functies sinh x, cash x, de cyclometrische functie arctan x, zijn voorbeelden van functies die overal continu zijn. De functie log x is continu op lP. De cyclometrische functies arcsin x, arccos x, zijn continu op [-1,1]. De volgende stelling geeft ons een mogelijkheid om snel in te zien of een functie continu is.

2.5.3. Stelling. Zijn de functies f eng continu in a, dan zijn ook f+g, U (À

E

JR)

fg, f/g (mits g(a) -1 0) continu in a. Is f continu in b = g(a) en g continu in a, dan is f

o

g continu in a.

- 47 -

Bewijs. Het eerste deel van de stelling volgt eenvoudig uit 2.5.2 en 2.4.6. We bewijzen nu dat f

u1

is er een omgeving f(y)

€

E

van g(a) zodat voor alle y

~

u1

n DOM f geldt:

u2

n DOM g geldt:

V. De functie g is continu in a, dus bij de omgeving u van g(a) be-

staat er een omgeving g(x)

g continu in a is. Zij V een omgeving van f(g(a)) dan

o

u1 •

Voor x

€

u2

u2

van a zodat voor alle x

n DOM(f

~

g) geldt dan: f(g(x))

o

Voorbeelden. 3) Een rationale functie f(x) zijn, is continu in a als q(a)

~

=~ q(x)

1

€

V.

0

waarin p en q polynomen

0 is.

2 2 4) f(x) = log(x +I). De functie f is continu omdat de functies h(x) = x + 1 ' g(x) • log x continu zijn en f = g o h. Uit 2.5.3 volgt onmiddellijk: I) Zij f

o

g gedefinieerd in een omgeving van a, g continu in a en f continu

in g(a), dan is lim f(g(x)) = f(g(a)). x+a 2) Zij f o g gedefinieerd in een interval van de vorm (M,oo) met M € lR en zij f continu in b. Als lim g(x) (Analoog: lim

= b,

dan is lim f(g(x)) x-

= f(b).

f(g(x)).)

Deze resultaten zijn bruikbaar bij het berekenen van limieten. Voorbeelden. 5) lim arctan x x x+O

= lim

y

y+O sin y

y) y = lim arctan(tan = lim tan y tan y y+O y+O cos y

=I

=

.

6) lim log(!+ sin x) = O, omdat lim ~ = 0 en f(x) = log(l+x) continu is x-too

x

x-+cx~

x

in 0 met f(O) = log(I+O) = 0. Definitie (continue voortzetbaarheid). Zij a een verdichtingapunt van DOM f, a i DOM f. De functie f heet continu voortzetbaar in a, indien er een functie F met definitieverzameling DOM f u {a} bestaat zó dat F continu is in a en F(x) = f(x) voor alle x

€

DOM f.

Eigenschap. Zij a een verdichtingapunt van DOM f, a

i DOM f. Dan is f continu

voortzetbaar in a, dan en slechts dan als lim f(x) bestaat. x+a

- 48 -

Voorbeelden. 7) f(x) =sin x, x~ 0. Definiëren we f(O) = 1, dan is f x

continu (voortgezet) in 0 omdat lim f(x) = 1. x-+0

8) f(x)

cos x als x

< 0

x

>

={

als x

0

De functie f is niet continu voortzetbaar in 0 omdat lim f(x) niet bestaat; x-+0

immers lim f(x) = 0 en lim f(x) = 1.

x+O

xtO

2.5.4. Stelling. Zij f continu op [a,b] en zij (a ) een rij getallen met a n n voor alle n E JN, lim a = c. Dan is lim f(a ) = f(c). n n_.." n n->oo

E

[a, b]

Bewijs. De stelling volgt eenvoudig uit 2.5.2 en 2.4.3.

1 1 Voorbeelden. 9) lim log(!+-) = o, omdat lim = 0 en f(x) = log ( 1+x) n n n_.." n-continu is in 0 met f(O) = log(J+O) = o. JO) lim ~= 1 • omdat f(x) = e n_.."

x

continu is en dus

0 lim ~= lim exp(l log n) = exp(lim log n) = e = 1 • n n n_.." n_.." n-x (zie 2.4, voorbeeld 7). Hierbij is ingevoerd de notatie exp(x) := e ; deze wordt vooral gebruikt als de exponent een samengestelde uitdrukking Laat de functie f continu zijn op een interval [a,b]. De grafiek van y is dan een "doorlopende" kromme die elke rechte y

=c

= f(x)

met c tussen f(a) en

f(b), snijdt. Deze eigenschap wordt geformuleerd in de volgende stelling. 2.5.5. Stelling (tussenwaardestelling). Zij f continu op [a,b] en n een getal t'ussen f(a) en f(b), dan is er een

~ E

(a,b) zó dat

Bewijs. Beschouw eerst het geval f(a)

<

vallen-nest (zie 1.4.12) dat de gezochte

n

<

f(~)

= n.

f(b). We construeren een inter-

waarde~

bevat.

Definieer a 1 :=a, b 1 := b. Halveer [a ,b J en onderzoek f(j(a +b )), Als 1 1 1 1 f(j(a 1 +b )) s n dan stellen we: a := !(a +b ), b := b ; als 2 1 1 1 2 1 f(!(a 1 +b 1)) > n dan stellen we: a := a , b := !(a +b ). In beide geval2 1 1 1 2 len zal gelden f(a 2) s n, f(b ) > n. 2

- 49 -

Pas dezelfde procedure opnieuw toe op [a ,b J, Afhankelijk van f(J(a +b )) 2 2 2 2 definiëren we [a 3 ,b J als die intervalhelft waarvoor f(a ) s n, f(b ) > n• 3

3

3

Zet dit halveringsproces voort dan ontstaat er een rij van intervallen [ an, bn] waarbij f (an) s n, f (bn)

n voor alle n E

>

lN,

Deze intervallen vor-

men een intervallen-nest als beschouwd in 1.4.12; merk op dat b -a n

n

=

=

(b- a)/2n-l zodat lirn (bn- an) = 0. Volgens 1.4.12 is er precies één ~ met

~

E [an,bn] voor allenE lN;

n-+oo

volgt dan tenslotte f(O

=

f(~)

=

tevens geldt lirn an = lirn bn = n-+oo

lirn f(a ) s n, n

f(~)

~·

Met 2.5.4

n-+oo

=

lirn f(b ) « n, zodat

n-+oo

n.

n

In het geval f(a) > n > f(b) is het bewijs op analoge wijze te voeren.

0

o2rnerkina. Indien f niet continu is op [a, b] dan hoeft f niet elke waarde tussen f(a) en f(b) aan te nemen. Beschouw bijv. de functie f gedefinieerd op [0,1] volgens f(x) f(O =

!.

=

t

als 0 s x als

<

! s x s

! I '

• Er

is dan geen

~

E (0,1) waarvoor

Voorbeeld. Zij f continu op [a,b] met f(a) ;, a en f(b) s b, dan is er een ~

E [a,b] zó dat

f(~)

= ~.

Dit volgt eenvoudig door toepassing van de tus-

senwaardestelling (2.5.5) op de functie f(x) - x. We definiëren nu de begrippen maximurn en minimum van een functie, In plaats van maximurn en minimum gebruiken we ook wel de omvattende benaming extrernurn van een functie.

2.5.6, Definities, Een functie f heeft een locaal maximurn in c omgeving U van c bestaat zodat f(x) s f(c) voor alle x Een functie f heeft een globaal maximurn in c alle x E DOM f,

E

E E

DOM f, indien er een U n DOM f.

DOM f, indien f(x) s f(c) voor

De definities van locaal minimum, globaal minimum in c zijn dezelfde met vervanging van f(x) s f(c) door f(x) « f(c). De existentie van globale extrema wordt verzekerd door de volgende stelling van Weierstraas die we niet bewijzen.

- 50 -

2.5.7. Stelling (Weierstrass). Zij f continu op [a,b], dan heeftfop [a,b] een globaal maximum en een globaal minimum, d.w.z. er bestaan punten c ,c 1

2

E

[a,b] zodat f(c ) 1

5

f(x)

5

f(c ) voor alle x 2

E

[a,b].

Opmerking. Als f niet continu is op [a,b] dan hoeft f geen globaal maximum te hebben. Beschouw bijv. de functie f gedefinieerd op [0,1] volgens _ {x als 0 5 x f(x) 0 a 1s x = 1

<

I , Dan heeft f geen maximum op [0,1].

Ook als het interval begrensd maar niet gesloten is kan men een voorbeeld geven van een continue functie die geen maximum heeft; f(x) = tan x gedefico,!~),

nieerd op

heeft geen maximum.

Gevolg. Zij f continu op [a,b] dan is f([a,b]) = [m,M] waarbij m het globale minimum en M het globale maximum van f op [a,b] is. Dit resultaat volgt uit de tussenwaardestelling (2.5.5) en de stelling van Weierstrass (2.5.7).

Laat f continu en monotoon stijgend zijn op [a,b]. Krachtens het gevolg is dan f([a,b]) = [f(a),f(b)], d.w.z. fis een surjectie. Uit de monotonie van f volgt dat f een injectie is (zie 2.3.2). De functie f: [a,b] is dus een bijectie en de inverse functie f+: [f(a),f(b)] .

..

Het is du1del1Jk dat f

+

+

+

[f(a),f(b)]

[a,b] bestaat.

eveneens monotoon stijgend is. Zonder bewijs vermel-

den we dat f+ continu is op [f(a),f(b)], We vatten een en ander samen in de volgende stelling: 2.5.8. Stelling. Zij f continu en monotoon stijgend op [a,b], dan bestaat de inverse functie f+ en f+ is continu en monotoon stijgend op [f(a),f(b)]. Een analoge stelling geldt voor continue, monotoon dalende functies. Een functie die continu is op [a,b] en een inverse bezit, is strikt monotoon (probeer dit zelf te bewijzen met behulp van de tussenwaardestelling 2.5.5), zodat we de stelling kunnen formuleren: Stelling. Zij f continu op [a,b]. Als f een inverse bezit, dan is ook f+ continu.

- 51 -

2.6. Differentiaalrekening 2.6.1. Definitie. Zij f gedefinieerd in een omgeving U van a. De functie f heet differentieerbaar in a, indien er een getal A

E

R bestaat en een functie p

gedefinieerd in een omgeving V van 0, zodanig dat (i)

= f(a) p(h) = 0.

f(a+h)

(ii) lim

+ Ah + hp(h) voor alle h

E

V,

h~

Als f differentieerbaar is in a, dan is A

= lim

f(a+h) - f(a)

h~

h

We geven het getal A aan door f'(a), de afgeleide vanfin a. Bewijs de volgende stelling: 2.6.2. Stelling. Zij f gedefinieerd in een omgeving van a, dan is f differentieerbaar in a dan en slechts dan als lim f(x) - f(a) bestaat. Deze limiet is x-a x+a gelijk aan f'(a).

vanfin a; notatie f'(a+}.

x+a

Analoog is te definiëren de linkerafgeleide vanfin a; notatie f'(a-). Bewijs zelf de stelling: Stelling. Zij f gedefinieerd in een omgeving van a, dan is f differentieerbaar in a dan en slechts dan als f'(a+) = f'(a-). Definities. Een functie f heet differentieerbaar op (a,b) als f differentieerbaar is in elk punt van (a,b). Is bovendien de afgeleide f' continu op (a,b) dan heet f continu differentieerbaar op (a,b).

- 52 -

Voorbeeld. De funtie f(x)

=

sin x >S differentieerbaar in elke a

S>n x - sin a = lim sin(a+h) - sin a lim ~~~--~~~ x-a h~ h x-+a =

lim h~

2 sin !h

-=-~:....i..:.:.

E

m,

immers

=

cos(a+!h) =cos a.

h

We noteren f'(x) =cos x voor alle x. Zij de functie f differentieerbaar in a. Indien we f benaderen door de lineaire functie

~(x)=

f(a) + f'(a)(x-a), dan maken we in de buurt van a een

fout gegeven door (x-a)p(x-a), waarbij p(x-a)-+ 0 (x-+ a). We zeggen dat f in a lineair benaderbaar is. Grafisch betekent dit dat de grafiek van rechte: y

= f(a)

~

+ f' (a) (x-a)) raakt aan de grafiek van f in x = a.

Bewijs zelf nu de stelling: Stelling. Als f differentieerbaar is in a, dan is f continu in a. De omgekeerde bewering is niet waar, getuige het voorbeeld f(x) = !x!. Deze functie is continu in 0, echter niet differentieerbaar. De functie heeft wel een rechter- en linkerafgeleide in 0, gelijk aan I resp. -1. We kennen reeds de afgeleiden van een aantal functies:

(de

- 53 -

2.6.3. Tabel f(x) x

f' (x)
(l


sin x

cos x

cos x

- sin x

tan x

2

cos x sinh x

cash x

cash x

sinh x

tanh x

2

cash x arcsin x

-1

arccos x

arctan x +x

loglxl e

2

x

x

e

x

g(x)

Jg(x)dx

Met behulp van de nu volgende regels voor het differentiëren en de voorafgaande tabel van afgeleiden zijn we in staat om de afgeleiden van een groot aantal functies te berekenen. 2.6.4. Regels voor het differentiëren. Als f, g differentieerbaar ZlJn in a, dan zijn ook f + g,

Àf(À E

lR), fg, f/g (mits g(a) .f 0) differentieerbaar in a en

hun afgeleiden worden gegeven door

- 54 -

I)

(f+g)'(a) =f'(a)+g'(a)

2)

(H)'(a) = H' (a)

3)

(fg)' (a) = f' (a)g(a) + f(a)g' (a)

4)

(!)'(a)= f'(a)g(a) - f(a)g'(a) g g 2 (a)

'

'

.

Als g differentieerbaar is in a en f differentieerbaar is in g(a), dan is f

o

5)

g differentieerbaar in a met afgeleide (f

o

g)' (a) = f' (g(a))g' (a)

(kettingregel),

Als f differentieerbaar is in a met f'(a) # 0, dan is f+ differentieerbaar in b := f(a) met afgeleide + ' I ( f ) (b) = f ' (a)

6)

In plaats van f' (x) noteren we ook wel df dx of 21. dx of y'. Een continue functie f gedefinieerd op [a,b], heeft volgens de stelling van Weierstraas (2.5.7) op [a,b] een globaal maximum en een globaal minimum. Een belangrijke stelling die het zoeken naar extrema vergemakkelijkt is de volgende. 2.6.5. Stelling. Zij f gedefinieerd op [a,b]. Als f een locaal extremum heeft in c

E

(a,b) en fis differentieerbaar in c, dan is f'(c) = 0.

Bewijs. Onderstel dat f in c een locaal maximum heeft. Dan is er een omgeving U van c zodat f(x) ~ f(c) voor alle x terafgeleide in c,

E

U. Daaruit volgt voor de rech-

f'(c+) = lim f(x)- f(c) ~ 0, x - c x+c en voor de linkerafgeleide in c, f'(c-) = lim f(x)- f(c) ~ 0 xtc

x - c

De functiefis differentieerbaar in c zodat f'(c+) = f'(c-) = f'(c), dus f'(c)=O. In het geval dat f in c een locaal minimum heeft, is het bewijs op analoge wijze te voeren. 0 Volgens 2.6.5 is "f'(c) = 0" een nodige voorwaarde opdat een (differentieerbare) functie f een locaal extremum heeft in c. De voorwaarde is echter niet

- ss -

voldoende zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld: voor de functie f(x) = x 3 is f'(O) = 0 maar f heeft geen extremum in 0. Is de functie f gedefinieerd op [a,b] dan zijn alleen de randpunten a,b, de punten waarin f niet differentieerbaar is en de punten waarin de afgeleide f' gelijk is aan nul, kandidaten voor extrema. Zij f'(c)

=

0 dan is met behulp van het

teken van de afgeleide in een omgeving U van c vast te stellen of f in c een maximurn dan wel een minimum heeft. Als f' (x) > 0 voor x

E

U en x < c en

f'(x) < 0 voor x EU en x> c, dan heeftfin c een locaal maximum; als f'(x)

0 voor x EU en x< c en f'(x) > 0 voor x EU en x> c, dan heeft f

<

in c een locaal minimum; zie ook 2.6.8. 2.6.6. Stelling (Rolle), Zij f continu op [a,b] en differentieerbaar op (a,b), Als f(a)

= f(b),

een~ E

dan is er

(a,b) met

f'(~)

= 0.

Bewijs, Als f(x) = f(a) voor alle x E [a,b], dan kunnen we voor

~

ieder getal

uit (a,b) nemen. Als f(x ) > f{a) voor zekere x

(a,b) dan heeft f een globaal maximum in

E

1

1 een punt~ E (a,b),en f'(~) = 0. Als f(x ) < f(a) voor zekere x E (a,b) dan 1 1 punt~ E

heeft f een globaal minimum in een

(a,b), en

f'(~)

= 0.

D

Een belangrijk gevolg van deze stelling zullen we formuleren in de nu volgende middelwaardestelling. 2.6.7. Stelling (middelwaardestelling). ~ E

op (a,b), dan is er een Bewijs. Zij 1jJ : [a,b] lji{x)

=

Zij f continu op [a,b] en differentieerbaar

(a,b) zodat f(b) - f(a) = (b- a)f'

(~).

de functie, gegeven door

->- lR

f(x) - f(b) - f(a) (x- a) b-a '

dan is 1jJ continu op [a,b] en differentieerbaar op (a,b). Voorts geldt dat lji(a)

= w(b) = f(a), o

=

w'
dus er is = f'(~)

een~ E

_ f(b) - f(a) b-a

2.6.8. Gevolgen. Als f'(x) > 0 voor alle x (a,b). Als f'(x) < 0 voor alle x Als f'(x)

=0

voor alle x

Immers, zij a< x f(x 2 )

= f(x 1)

1

< x

E

E

E

2

1

(a,b), dan is f monotoon stijgend op

(a,b),dan is f monotoon dalend op (a,b).

(a,b),dan is f een constante op (a,b).

+ f'(~)(x -x ).

een~ E

(x ,x ) zodat 1 2 In de drie gevallen zal dan gelden resp.

< b, dan is er

2

(a,b) met

f(x ) > f(x ), f(x ) < f(x ), f(x ) = f(x ). 2 1 2 1 2 1

D

- 56 -

Hogere afgeleiden. De afgeleide van een differentieerbare functie f kan opnieuw differentieerbaar zijn en we noemen de afgeleide hiervan de tweede 2 d f

d

2

afgeleide van f, genoteerd als f" of - - of ~ • In het algemeen geven we 2 dx dx (n) (n) de n-de afgeleide van f aan met f , dus f = ( f (n-1))' ; naast f (n) komt n

2...z

of y (u) dxn We zeggen dat een functie n-maal continu differentieerbaar is op (a,b) inook voor de

dien de functie n-maal differentieerbaar i.s op (a,b) en de n-de afgeleide continu is op (a,b). De regel voor het differentiëren van een product kunnen we uitbreiden tot: n

(f(x)g(x))(n)

= I k=O

(formule van Leibniz). Opgaven. 1) Bewijs de formule van Leibniz. 2) Zij f(x) = arcsin x. Bewijs dat voor alle x

E

(-1,1) en alle n

E

lN geldt:

Met behulp van het teken van de tweede afgeleide kunnen we vaststellen of een functie convex of concaaf is; daarvoor

de volgende stelling.

2.6.9. Stelling. Zij f tweemaal differentieerbaar op een open interval I, dan geldt: f is convex op I <=<> f"(x) ;, 0 voor alle x

E

I.

Bewijs. (<=), Uit f"(x) ;, 0 volgt dat f' monotoon niet dalend is op I. Zij x,y

E

I met x< y, en zij À

(2.6.7) is er f(Àx

een~ +

met

x<~

E

(0,1). Op grond van de middelwaardestelling

< ÀX + (1-À)y zodat

(1-À)y)- f(x)

=

(1-À)(y-x)f'(~)

( 1)

en een n met ÀX + (1-À)y < n < y zodat

•

f(y)- f(Àx + (1-À)y)

= À(y-x)f'(n)

(2)

Vermenigvuldig (1) met À en (2) met (1-À), en trek af dan vinden we f(Àx + (1-À)y) - Àf(x) - (1-À)f(y)

= À(1-À)(y-x)(f'(~)

- f'(n)),

- 57 -

Wegens~<

f'(~)

nis

~

f'(n) waarna volgt

f(Àx + (1-À)y)

~

Àf(x) + (1-À)f(y)

Conform de definitie 2.3.3 is f dan convex op I. (~).

Zij f convex op I dan geldt voor x,y f(Àx + (1-À)y)

~

met x< y, en À

E I

E

(0,1):

Àf(x) + (1-À)f(y)

Herschrijf deze ongelijkheid als volgt: f(Àx + (1-À)y) - f(x) (1-À)Cy-x)

~

f(y) - f(Àx + (1-À)y) À(y-x)

Neem hierin de limiet voor À+O resp. Àtl dan vinden we f'(x) ~ f(y)- f(x) ~ f'(y) • y-x Dus f' is monotoon niet dalend en daaruit volgt (ga na) f"(x) <: 0 voor alle x

E

I.

D

Opgave. Onderzoek nogmaals de voorbeelden na 2.3.3. Zij de functie f differentieerbaar op een open interval I en zij a we f benaderen door de constante functie g(x)

= f'(~)(x-a),

f(x)- f(a)

waarin~

= f(a),

I. Indien

E

dan maken.we een fout:

een punt is gelegen tussen a en x. Is de

functie f (n+l)-maal differentieerbaar op I, dan kunnen we f benaderen door een polynoom p zodanig dat p(k)(a) = f(k)(a) voor k = O,I, .•• ,n. Overeenkomstig 2.2, voorbeeld 7, is p voor te stellen door p(x)

=

f (a) + f' (a) (x-a) +

f" (a)

2•

2

f (n) (a)

(x-a) + ••• + .::_~p.. (x-a) n • n.

De volgende stelling doet een uitspraak over de fout f(x) - p(x), die we maken bij deze benadering. 2.6.10. Stelling (Taylor). Zij f (n+l)-maal differentieerbaar op een open interval I en zij a

E

I, x

E

I. Dan .is er een ~ := a +

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + waarin R n

=

f(n+l) CO n+l . (x-a ) (n+I)!

f" (a)

2!

e (x-

(x-a)

a) met

2

e

E

(0 ,I), zodat

f (n) (a)

+ ••• +

n.

(x-a)

n

+

R

n

- 58 -

Bewijs. Indien x= a, dan is de stelling triviaal. Zij nu x

~

a. Definieer

het getal R(x) door n+J f (n) ( ) n a (x-a) , 4(n...:+~!"")... !- R(x) := Rn = f(x)- f(a)- f' (a) (x-a)-,,.n. (x-a )

functie~:

Veronderstel x> a en voer in de

~R,

[a,x]

gegeven door

(x-t)n+l f(n)(t) n f"(t) 2 (x-t) + .. , + .:..........,~ (x-t) + (n+J)! R(x) • n. 2.

q>(t) = f(t) + f'(t)(x-t) + Dan is

~

~(a)

q>(x) = f(x), Volgens de stelling van Rolle (2.6.6) is er dus een

~

:=

continu op [a,x] en differentieerbaar op (a,x), terwijl

a+ 6(x-a) met e E (0,1), zodat

q> 1 (~)

= 0. Na uitwerking

van~·

vinden

we

[f(n+l)(~) - R(x)], waaruit v6lgt R(x) = f(n+l)(~). In het geval x
n dan is R = 0 en de for-

$

n

mule gaat over in de formule van Taylor voor polynomen (zie 2.2,6), Voorbeelden.!) De functie f(x) =ex is willekeurig vaak differentieerbaar op R met f(k) (x) = ex voor k = 0, I ,2, . . . . Uit de formule van Taylor met a= 0 volgt: voor alle x ER en n e Nu is e

x

ex

e

x

2

x + x + 2!'+

= >

o,

>

2 x I + x+ï!'+

...

is ereene E (0,1) zodat

n n+l x x ex + '::T+ (n+J)! e n.

dus voor alle x

...

= 0,1,2, ...

>

0 geldt

n + x n!

2) De functie f(x) = sin x is willekeurig vaak differentieerbaar op R met f(n) (x) = sin(x + lnrr) (bewijs dit door volledige inductie), dus f(Zk)(O) = 0 en f( 2k+I)(O) = (-J)k voor k = 0,1 ,2, . . . . Voor alle x ER ennE lN is er een 8 sin x

x -

x

3

E

(0,1) zodat x5

x7

TI'+ 5!' - 7T + " ' + (- 1)

2n+l x + ( 2n+J)! sin(8x + (n+j)rr) •

n-1

xzn-J "'(.:;:2-n--""1...,.).,..! +

- 59 -

Neem n = 4; voor 0 < x < !rr geldt dan sin x

>

3 5 7 x x x x -OT+ s:-7!"

3.

3) De functie f(x) = cos x is willekeurig vaak differentieerbaar op ~ met

f(n)(x) = cos(x + !mr) (ga na!), dus f( 2k)(O) = (-I)k en f( 2k+I)(O) = 0 voor k = 0,1,2, •••• Voor alle x e zodat x

=

cos x

2

x

4

x

2.

n = 0,1,2, ••• is er een 6 e (0,1)

6

4!"-6!"+

-OT+

~en

• • • + (- 1)

n

2n '<"'"2n"""')-.-! + x

2n+2 + ( 2n+ 2 )! cos(Bx + (n+I)n) • x

4) De functie f(x) = log(I+x) is willekeurig vaak differentieerbaar op (-I ,oo) met

= (-I )k-J (k-1)!

..>......:~___,.:......:..:..:..

(k = 1,2,3, ••• ) •

(I+x)k

Voor alle x> -I enne lN is er een 6 " (0,1) zodat 2

3 4 x x x log(l+x) =x - + ---+ 2

+

3

(-I) n

x

-'-+n+l

n+l

(I +ex)n+I

Hieruit volgt dat voor x x

4

>

0 geldt

2

x - 2

< log(l+x) <x • x

2

2 -I- x 5) Bereken lim ~--~~~ e

x->0 cos x - I + !x Voor alle y is er een e

=I

ey

2

+ y +

x

2 I +x

2

e (0,1) zodat 3

fr + f!-

dus voor alle x geldt e

1

2

+ (-I)n-1 xn + n

- 60 -

Voor alle x is er een 82 cos x

=

x

2

-ïT

I

( 0, I ) zodat

E

+ x

4

x

6

4!"-6!"

cos 8 x 2

.

Bedenk dat de getallen 8 I • 8 van x afhangen! Nu geldt: 2 2

x 2 e I - x lim 2 x->0 cos x - I + i x

-

x

4

= lim 2

6 e x x 1 +6 e

x->0 x

7T-

4.

x

6

6!'

2

=

e2x

cos

2 I+~

=

2 6 lim - - - ' ;2; - - - - - = 12 • x->0 I x 4!"-6!'

Bedenk hierbij dat 2 x

$;

2

x e

' -x

2

::;; x

2

cos

e2x

s x

2

zodat

= o,

lim x->0

lim x

2

cos

ezx = 0 •

x->0

op grond van de insluitstelling 2.4.5. Interpolatieformule van Lagrange. Zij de functie f continu op [a,b] en (n+l)-maal differentieerbaar op (a,b), We benaderen f door een polynoom p met gr(p)

~

n of p is het nulpolynoom, zodanig geconstrueerd dat

p(xk) = f(xk) voor k = O,l, ••• ,n. Hierin zijn x ,x , ••• ,xn gegeven getallen 0

met a~ x 0 < x 1 < ••• geven door

<

xn

~

n

p (x) =

L

k=O waarin

1

b. Overeenkomstig 2.2, voorbeeld 6 wordt p ge-

f (xk) ~(x) ,

- 61 -

Het polynoom p heet het interpolatiepolynoom van Lagrange, We voeren nog in de notatie

... (x-xn )

•

2.6.11. Stellinil. Zij f continu op [a,b] en (n+l)-maal differentieerbaar op (a,b), Voor alle

X

E

[a, b] is er dan een

~ E

n

f(n+I)(O

l:

f(x) =

(a,b) zodat

f(xk) tk (x) +

(n+ I)!

k=O

t(x)

.

(interpolatieformule van Lailranile). Bewijs, Zij x

E

[a,b], x f xk (k = O,l, ••• ,n), Definieer het getal R(x) door

t(x) (n+l)! R(x) := f (x) Voer in de functie

[a,b]

~

n

L

k=O lR, gegeven door

-+

n ~

z: f(xk)

( t) = f -

k=O Dan

is~

~

( t)

~k(t) - (n+l)! R(x) •

continu op [a,b] en (n+l)-maal differentieerbaar op (a,b). Uit de

constructie van het interpolatiepolynoom en de definitie van 2 volgt ~(xk)

= 0 voor k = O,l, ••• ,n (ga dit na). Tevens is

~(x)

= 0. De

functie~

heeft dus n+2 verschillende nulpunten in [a,b]. Volgens de stelling van Rolle (2.6.6) ligt tussen elke twee opeenvolgende van~

nulpunten

een nulpunt

van~·.

De

afgeleide~·

heeft dus·minstens n+l

verschillende nulpunten in (a,b). Op dezelfde gronden heeft

~"minstens

n

verschillende nulpunten in (a,b), enz. Na herhaald toepassen van de stelling van Rollevinden we dat er een~ E (a,b) is zodat ~(n+l)(~) = 0. Werk ~(n+l)

U ~~t en bedenk dat ",k(n+l)(t) --

0 voor k-- 0 , I , ••• , n, ",(n+l)( t ) -- ( n+ I)'••

We vinden dan ~ (n+l (é)

waaruit volgt R(x) = f(n+l)(~). Als x= xk voor zekere k men voor

~

E

{O,I,,,,,n} dan is de bewering triviaal en kan

ieder getal uit (a,b) nemen.

Opmerkinil, Het getal

~

in de interpolatieformule hangt af van x.

0

- 62 -

2.7. Numerieke oplossing van vergelijkingen Methode van successieve substitutie. Als voorbeeld beschouwen we de verge~

lijking F(x)

2 log(l+x) -x

~

0. Met behulp van de grafiek van F is een-

voudig in te zien dat de vergelijking slechts één wortel a

>

0 bezit, We

wensen a numeriek te bepalen, Schrijf daartoe de vergelijking F(x) de vorm

x~

=2

f(x), waarbij f(x)

=0

in

log(l+x). Ga nu uit van een beginschatting

voor a en bepaal a := f(a ) als een eerste, hopelijk betere, benadering. 0 1 0 Als tweede benadering nemen we a :~ f(a ), enz. De berekening van a ,a , ••• 2 1 2 1 is grafisch voorgesteld in onderstaande figuur. Uit de figuur blijkt dat de a

rij (an) convergeert naar a indien we uitgaan van een beginschatting a

0

>

0.

y: x

y

I I

I I

ao

a,

a2

a3

I

'

'I

I

I

' a*I

a'I

x

a*

0

a* 2

Beschouw nu algemeen een vergelijking van de vorm x

~

f(x), waarin f continu

is. Zij a

een schatting voor een wortel van deze vergelijking. Vorm dan met 0 de methode van successieve substitutie de rij (a ) bepaald door: a :~ f(a ) n n+ 1 n voorn~ 0,1 ,2, •••• We hopen nu dat de rij (a ) convergeert naar een wortel n

.

van de vergelijking. 2.7.1. Stelling. Als lim a

n-+oo

n

~

a, dan is a

~

f (a).

~

f (a),

Bewijs. Daar f continu is geldt a

~

lim a n+l n-+oo

~

lim f(a ) n n-+oo

D

- 63 -

Opmerking. Als de vergelijking x

= f(x)

meer dan één wortel bezit en lim an n-><»

bestaat, dan hangt het van de beginschatting a

af naar welke wortel de rij

0 (a ) convergeert. Een nadere precisering is te geven met behulp van de n

grafiek van y

= f(x).

De methode van successieve substitutie is voorbeeld van een zg. iteratie-

:= f(a ) heet iteratieformule en men noemt a 0 de n+ 1 n startwaarde van het iteratieproces.

methode. De formule a

Opgave I. Voer de methode van successieve substitutie grafisch uit voor de vergelijking x = f(x) in de volgende gevallen: f(x) = 0.9x + 0. I , startwaarde ao = O· ' -x startwaarde a = O; 2) f(x) = e 0 2 3) f(x) = x • startwaarde a = 2· 0 ' 2 startwaarde 4) f(x) = ! (x+ ao = I. I)

x).

De figuren verkregen bij het uitwerken van opgave I, suggereren dat het iteratieproces convergeert als lf'(xll < I voor alle x in een omgeving van de wortel a, en divergeert als lf'(xll

> I

in een omgeving van a. Voorts

blijkt dat de rij (a) monotoon is als f'(a) > 0 en oscillerend om a als n

f'(a)
>

0 en zij lf'(xll 5L< I

voor alle x E I. Zij a

0

E I en a

n

:= f(a

) voor allenE lN, dan geldt: n- 1

(i) (i i)

lim a n-><»

n

a.

Bewijs. (i) Met de middelwaardestelling (2.6.7) volgt eenvoudig:

waarin

s

een getal is gelegen tussen a

0

en a. Wegens L < I is a

1

E I.

- 64 -

Maak nu gebruik van volledige inductie. Onderstel dat an-I E I en I an-I- ex I ,; Ln-ll a - ex I, dan volgt analoog aan het voorafgaande: 0

en an E I. (i i) Wegens 0

,; L <

I is lim Ln = o, zodat lim an = ex. n->«> n+«>

0

Ü!;!merkin!jen. I) Als f continu differentieerbaar is op een omgeving van a. en lf'(ex)l

0,; L

<

I, dan is er een interval I := (ex-p,ex+p) en een getal L met zodat lf'(x) I ,; L voor alle x EI; 2.7.2 is dan van toepassing.

<

De stelling garandeert slechts locale convergentie, d.w.z. de rij (a ) n

convergeert naar ex mits de startwaarde a wordt (a

0

voldoende dicht bij a gekozen 0

E I).

2) De ongelijkheid (i) uit 2.7.2 levert geen praktische schatting voor de fout omdat we a en dus het rechterlid van (i) niet kennen. In plaats van (i) beschouwen we de ongelijkheid

waaruit volgt (i')

I an- a I ,; I

~L

I an-I - anI .

Als L bekend is, hebben we hiermee een bruikbare schatting van de fout in an, uitgedrukt in de waarden an en an-I' Opgave 2. De rij (a ) wordt bepaald door de iteratieformule 2 n - 3a a : = a3 n n-1 n- 1 + 3an- 1 , n E N, Bepaal de mogelijke waarden van lim a n . n-;oo

Noem deze waarden a 1 ,a 2 ,a , in opklimmende grootte. Bepaal een interval I 3 zodat lim an = a2' als ao E I. n->«>

Uit de figuren verkregen bij de uitwerking van opgave I, blijkt dat de rij (an) des te sneller convergeert naar de wortel a, naarmate lf' I kleiner is in een omgeving van a. Als maat voor de convergentiesnelheid kiezen we lim n->«>

an+l- ex

a - ex n

- 65 -

a heet lineair convergent als

2. 7.3. Definitie. Een rij (an) met liman n->=

a - a 1 im n->«>

n

-"'--- = A a -a n- I

met 0

<

lAl

<

I •

A heet de asymptotische convergentiefactor. De definitie drukt uit dat o.d.d. geldt an- a ""A(an-l- a). Als bijv. A= 0.8 dan neemt het aantal correcte cijfers in a met I toe bij elke 10 iteratie10 n stappen ( log 0.8 =- 0.0197). We beschouwen nogmaals de methode van successieve substitutie toegepast op de vergelijking x= f(x) met wortel a. Volgens 2.7.2 is liman= a, indien n-+<» lf 1 (x)l ~ L < voor alle x in een omgeving van a. Voorts geldt (iii)

f(an_ 1)-f(a) an- a. = lim _ _..::.....:._ _ __ = f 1 (a) , lim a -a a -a n->oo n- 1 n-1

zodat de rij (an) lineair convergeert als f 1 (a)

~

0 is, met asymptotische

1

convergentiefactor f (a). Met behulp van (iii) bepalen we nog de limieten a -a n

(iv)

an _ - a_ = lim _ __::::.....:. an-I ___ - a lim _.:.:._ = f 1 (a) I - f 1 (a) ' _ an - a n->oo a n- I - a n n-+<» 1 a -a n-1 a n -a

(v)

a n -an-1

a

n-1

-a

- I

lim = lim n->oo a n-1 -a n-+<» a n-1 -an-2 - I a n-2 -a

a a

n-1 n-2

-a -a

= f 1 (a)

0

De laatste limiet is van groot belang omdat de getallen

A

n

an- an-I :=

an-I - an-2

tijdens het iteratieproces berekend kunnen worden; voor voldoend grote n is A te gebruiken als benadering voor f 1 (a). Uit de limiet (iv) volgt dan dat n

o.d.d. geldt (a

n- 1

-a ) .

n

- 66 -

Hiermee is een schatting van de fout in an verkregen, uitgedrukt in enkel an' a

n- 1

en a

n- 2

. Vergeleken met de eerdere schatting (i') in opmerking 2 hoeft

nu de waarde van L niet bekend te zijn. Een getallenrij kan ook sneller dan lineair convergeren.

2.7.4. Definitie. Een rij (a) met lim a =a heet kwadratisch convergent als n n n->«>

a

- a.

1 im --'n"-----:;- = A 2 n->= (a -a.) n- 1

fo 0 •

2 De definitie drukt uit dat o.d.d. geldt A( an -a.) "' [A( a n- - a.)J . Het aantal 1 correcte cijfers achter de komma in Aan wordt verdubbeld bij elke iteratiestap. Het is duidelijk dat kwadratische convergentie superieur is aan lineaire convergentie. Methode van Newton-Raphson. Beschouw de vergelijking F(x) = 0 waarvan we een wortel a. wensen te bepalen. Schrijf de vergelijking in de vorm x= f(x), waarbij f(x) = x-

~(x)F(x)

met

~(x)

1 0 in een omgeving van a.. Los de verge-

lijking x = f(x) op met de methode van successieve substitutie, i.e. construeer de rij (a) volgens an +I := f(a n ). Deze rij zal snel convergeren n indien jf'(a.)j klein is. We kiezen daarom~ zodanig dat f'(a.) = I-

~'(a.)F(a.)- ~(a.)F'(a.)

wordt. Als F'(a.) fo 0 is vinden we door

~(x)=

~(a.)=

= I-

~(a.)F'(a.)

= 0

1/F'(a.), hetgeen we kunnen bereiken

1/F'(x) te kiezen, Met deze keuze

van~

gaat de formule

an+l := f(an) over in de iteratieformule van Newton-Raphson: 2. 7. 5.

Meetkundig is an+l het snijpunt met de x-as van de raaklijn in het punt (a ,F(a )) aan de grafiek van y = F(x), zie figuur. n

n

y

x

- 67 -

De rij (an) convergeert naar a mits de startwaarde a 0 voldoende dicht bij a ligt (locale convergentie). De convergentie is kwadratisch als F" (a) # 0 is. Met gebruikmaking van de stelling van Taylor (2.6. 10) volgt namelijk an - ex

lim -.....::.---;;n - (a

n- 1

- a)

2

lim

f(an_ )-f(a) 1

--~--~- =

(a

n-

l-a)2

lf"(a)

F"(a) 2F'(a) '

waarin Çn-l een getal is gelegen tussen a en an-I· Voorbeelden. I) Worteltrekken: F(x)

= x 2 - b = 0 heeft een wortel a = lb.

De iteratieformule van Newton-Raphson wordt in dit geval,

Toon grafisch aan dat lim an = lb voor elke startwaarde a > 0. 0 n->oo Uitwerken van het iteratieproces voor b = 2 en ao = I leidt tot de volgende benaderingen voor 12: ao

= 1.000 000 000

a3

= I • 414 215 686

al

I .500 000 000

a4

I • 414 213 562

a2

= I. 416 666 667

as

= I • 414 213 562

De onderstreepte decimalen zijn correct. 2) "Delen zonder te delen": F(x)

= ~- b = 0 heeft als wortel a =

t

De iteratieformule van Newton-Raphson wordt in dit geval,

Onderzoek grafisch de convergentie van de rij (an) in afhankelijkheid van de startwaarde ao· Dit proces werd wel gebruikt bij automatische rekenmachines die geen ingebouwde deling hadden.

- 68 -

2.8. Integraalrekening Op de middelbare school is reeds kennisgemaakt met de Riemannintegraal b

J f(x)dx a

van een begrensde functie f gedefinieerd op het interval [a,b]. Als de integraal bestaat dan heet f integreerbaar over [a,b]. De definitie wordt als volgt uitgebreid tot de gevallen waarin a >

J

b, dan

b.

a

b

Als a

~

J

f(x)dx := -

a

b

= b,

f(x)dx en als a

J

dan

f(x)dx := 0.

a

b

2.8.1. Eigenschappen. (De functies in de volgende eigenschappen genoemd worden verondersteld integreerbaar te zijn over de betreffende intervallen. b I.

a

J

b [Àf(x) +

a

J ~

III. Zij b

f(x)dx +

~

a

c f(x)dx + b a en f(x)

b

J

=ÀJ

~g(x)]dx

b II.

b

f(x)dx

~

~

J

a

J

g(x)dx voor alle

À,~

c

= J

f(x)dx

f(x)dx •

a

0 voor alle x

E

[a,b], dan is

0 •

a

IV.

Als f integreerbaar is over [a,b], dan is f integreerbaar over elk deelinterval [c,d] van [a,b].

Een aantal belangrijke gevolgen van deze eigenschappen zullen we nu gaan afleiden. Gevolgen. I) Zij b

~

a en f(x)

b

J a

~

g(x) voor alle x

b

f(x)dx

~ J a

g(x)dx •

E

[a,b], dan is

E

JR.

- 69 -

Definieer de functie h door h(x) = f(x) - g(x), dan is h(x) alle x

~

0 voor

[a,b], dus

E

0

f

5

b

b

b

f

=

h(x)dx

g(x)dx •

a

a

a

f

f(x)dx -

2) Zij b ~ a en m 5 f(x) 5 M voor alle x E [a,b], dan is b

J

m (b-a) =

b

b

f

m dx 5

a

f(x)dx

f

5

M dx = M (b-a)

•

a

a

3) Zij b ;::: a, dan is

b

If

b f(x)dxl

f a

5

a

Voor alle x

E

if(x)ldx.

5

f(x)

b

b

-f

-I f(x) I

[a,b] geldt

if(x) ldx

a

lf(x)l, dus

b f(x)dx

f a

5

5

5

f a

if(x)ldx.

4) Zij b > a, f continu op [a,b] en f(x) ~ 0 voor alle x E [a,b], Indien

f(é)

>

0 voor zekere é

a

t

[a,b], dan is

E

f(x)dx > 0.

Omdat f continu is op [a,b], bestaat er een deelinterval [c,d] van [a,b] met

~ E

[c,d], zó dat f(x)

~

!f(é) voor alle x

E

[c,d]. Vervolgens is

dan d

b

J

f(x)dx

a

~ J

f(x)dx

~ !f(~)(d-c)

>

0 ,

c

Voorbeeld. We bewijzen nogmaals de ongelijkheid: log(l+x) Voor alle x

>

0 geldt x

log(l+x) =

f 0

dt

ï+t

I dt = x •

<

x voor alle x

>

0.

- 70 -

Bij het opschrijven van een integraal

a

Jb f(x)dx dienen we te verifiëren of

de integraal bestaat, De volgende stelling geeft aan dat voor een belangrijke klasse van functies de integreerbaarheid is verzekerd. 2,8,2, Stelling. Zij f begrensd op [a,b] en continu op [a,b] met uitzondering van een eindig aantal punten, dan bestaat

a

Jb

f(x)dx.

Deze stelling bewijzen we niet. Indien de integrand f continu is op [a,b] geldt ook nog de volgende stelling. 2.8.3. Stelling (middelwaardestelling van de integraalrekening). Zij f continu op [a,b], dan is er een s

E

[a,b] zodat

b

J f(x)dx

=

f(s)(b-a) •

a

Bewijs. Volgens de stelling van Weierstrass (2.5.7) heeftfop [a,b] een globaal maximum M en een globaal minimum m. Wegens m s f(x) s M voor alle x

E

[a, b] geldt b

J

m(b-a) s

f (x)dx s M(b-a) •

a

Er is dan een ll

E

lR met m s ll s M, zodat

b

J

f(x)dx

= )l(b-a)

•

a

Met de tussenwaardestelling (2.5.5) volgt dat ll

= f(s)

voor zekere s

E

[a,b],

Stelling 2.8.3 drukt uit dat de gemiddelde waarde b

I

b=ä'

f(x)dx

a

van een continue functie f op [a,b], gelijk is aan een functiewaarde, De verbinding tussen differentiaal- en integraalrekening wordt gelegd door de zg. hoofdstelling der integraalrekening, Deze stelling vormt tevens een belangrijk hulpmiddel voor de berekening van integralen. Als voorbereiding op de hoofdstelling bewijzen we eerst nog de volgende stelling,

D

- 71 -

2.8.4. Stelling. Zij f integreerbaar over [a,b] en zij F door F(x) :=

a

Jx

[a 1 b]

lR gedefinieerd

+

f(t)dt.

Dan is F continu op [a,b]. Als bovendien f continu is op [a,b] dan is F differentieerbaar op (a,b) met F' = f.

Bewijs. (i) De functie f is begrensd op [a,b], dus er is een M > 0 zodat lf(x) I

$

M voor alle x

E

[a,b]. Derhalve geldt voor alle x,y

[a,b]:

E

y

IF(y) - F(x) I

t

J

f(t)dtl

$

Mly-xl.

x

Daaruit volgt: lim IF(y) - F(x) I = 0 1 dus F is continu in x. y+x (i i) Zij bovendien f continu op [a,b]. Op grond van de middelwaardestelling (2.8.3) geldt dan voor alle x,y

(a,b) met y I x :

E

=I_!_ y-x

I

F(y)-F(x)- f(x)t y-x

Jy f(t)dt-f(x)l

lf(ç;)- f(x)

1,

x

waarin ç; een getal is gelegen tussen x en y. Daaruit volgt:

=0

lim IF(y)-F(x) - f(x)l y-x y+x

,

dusFis differentieerbaar in x met afgeleide F'(x)

= f(x)

•

0

We bewijzen nu de hoofdstelling. 2.8.5. Hoofdstelling. Zij f continu op [a,b], zij eerbaar op (a,b) met

~·

b

J

f(x)dx =

= f,

~(b)

~

continu op [a,b] en differenti-

dan is

-

~(a)

~(x)

=:

b

a

a

Bewijs. We definiëren de functie F

[a,b] +lR door F(x) := afx f(t)dt,

dan is

b

F' = f, F(a)

J

0, F (b)

f(t)dt •

a

De functies

~

en F hebben dezelfde afgeleide op (a,b), dus F-

op (a,b), zie 2.6.8. Omdat F en stant op [a,b].

~

~

continu zijn op [a,b], is F-

is constant ~

ook con-

- 72 -

Hieruit volgt b

J

~(b)

f(x)dx = F(b) - F(a) =

-

~(a)

0

•

a

Door de hoofdstelling is de berekening van de integraal afb f(x)dx met f continu op [a,b], teruggebracht tot het vinden van een zg. primitieve functie van f, d.i. een functie met als afgeleide f, Nu volgt uit de middelwaardestelling 2.6.7 (zie ook 2.6.8) dat een primitieve functie op een constante na is bepaald, De verzameling van primitieve functies noteren we als de onbepaalde integraal /f(x)dx en we schrijven Jf(x)dx =

~(x)

~'(x)=

als

+ C

f(x)

hierin is C een willekeurige constante. De hierna volgende regels voor het

onbepaald integreren en tabel 2.6.3

maken het mogelijk om een groot aantal onbepaalde

integralen te berekenen. À,~ E ~

2.8.6. Regels voor het onbepaald integreren. I) Voor alle is J[Àf(x) +

~g(x)]dx

= ÀJf(x)dx +

~Jg(x)dx,

2) Partiële integratie:

Jf(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- Jf'(x)g(x)dx. 3) Substitutieregel:

Jf(g(x))g'(x)dx = als Jf(y)dy =

~(y)

+

~(g(x))

+

C

c .

Voorbeelden. I) Jaresin x dx = J<x)' arcsin x dx =

--

.

x arcs1n x -

arcs1n fx < .x)' dx

=

x arcsin x -

Jx

__ dx

IJ -x2

((À,~)

~

(0,0))

- 73 -

Substitueer y = x 2 dan gaat de integraal over in x arcsin x - !

2)

J

ex dx = 2x I +e

J~ = vT=Y

J_J__2 dy

=

x arcsin x.+ 11-y + C = x arcsin x +

arctau y + C = arctau e

x

Q

+ C.

+ C ,

I +y

= ex

waarbij de substitutie y

is toegepast.

3) Zij f (n+l)-maal continu differentieerbaar op een open interval I en zij

a 2. 8. 7.

€

I. Voor alle x

€

I is dan

f (x) = f(a) + f' (a) (x-a) +

f"(a) 2

(x-a)

•

2

+ ••• +

f(n)(a) n n. (x-a) +

x

+

a

J

(x-t) n n.

f(n+l) (t)dt.

Bewijs. Door herhaalde partiële integratie vinden we x

x

f(x)

= f(a)

J

+

= f(a)- J

f'(t)dt

a

(x-t)'f'(t)dt

=

a

x

x

f(a) - (x-t)f' (t)

J

+ a

(x-t)f"(t)dt =

a

x =

J

f(a) + f'(a)(x-a)-!

2 ((x-t) )'f"(t)dt =

a x =

f(a) + f 1 (a)(x-a) + !f''(a)(x-a)

2

2

+! a

J

(x-t) f"' (t)dt, enz.

Na n-maal partieel integreren ontstaat er juist de te bewijzen formule. 0 Opmerking. Formule 2.8.7 stemt overeen met de formule van Taylor (2.6.10), waarbij nu de restterm R wordt voorgesteld door een integraal. n

Opgave. Bewijs 2.8.7 door volledige inductie.

- 74 -

Oneigenlijke integralen. De definitie van de Riemann-integraal afb f(x)dx veronderstelt dat [a,b] een begrensd interval is en dat de integrand f begrensd is op [a,b]. We gaan nu het integraalbegrip uitbreiden in twee richtingen. De eerste uitbreiding betreft integralen over een onbegrensd interval van de vorm [a,oo) of (-oo,a]. 2.8.8. Definitie. Zij f integreerbaar over [a,A] voor elke A > a, dan defin~ëren we

A

00

f a

f(x)dx := lim

A- a

f

f(x)dx ,

mits de limiet bestaat. In dat geval zeggen we dat de oneigenlijke integraal

afoo

f(x)dx bestaat of convergent is; indien de limiet niet bestaat heet de

integraal divergent. Analoog is te definiëren

-oofa

f(x)dx.

De tweede uitbreiding betreft integralen over een begrensd interval [a,b] waarbij de integrand niet begrensd is in de buurt van één der eindpunten a of b. 2.8.9. Definities. Zij f integreerbaar over [c,b] voor elke c met a< c < b, dan definiëren we b

b

f a

J

f(x)dx := lim ei a

f(x)dx ,

c

mits de limiet bestaat. Zij f integreerbaar over [a,c] voor elke c met a < c < b, dan definiëren we b

a

J

c

f(x)dx

= lim J ctb

f(x)dx ,

a

mits de limiet bestaat. Als de limiet bestaat dan zeggen we dat de oneigenlijke integraal afb f(x)dx bestaat of convergent is; indien de limiet niet bestaat heet de integraal divergent.

- 75 -

Opmerking. Als f integreerbaar is over [a,b] dan is b

c

J

1 i.m

ctb

J

f (x)dx =

f(x)dx

a

a

op grond van 2.8.4, De oneigenlijke integraal

a

Jb

f(x)dx stemt dan overeen

met de (eigenlijke) integraal. Er is daarom geen bezwaar tegen om voor beide integralen dezelfde notatie te gebruiken. A

J ~dx

Voorbeelden, 4)

J

A-+=

l+x

0 =

lim

=

lim arctan A A._

0

I

A-+-~

lim

log 1:=;

A+ -

oo

I

I

)

=

0

A-+=

J

( - - -)dx = lim x-1 x-2

J

6)

lim arctan x

0 I

=

=

= !~.

0 5)

A

~dx l+x

=

lim A+

I

(log

! -log~~=;

-

dx

x"

lim

ö+Oo

J

I)

= -

log 2.

-oo

I I

=

A

0 A

I

(i'=T - i=Z)dx

- 1- dx = lim _!._ x l-a x" O+O 1-a

. I = 1l i D - 0+0 1-a

als a

< I,

als a

> I.

II

=

<5

Als a = 1 • dan is I

0

· 1 De 1ntegraa

0

J

I - a dx = lim [-log <5] = o+o x

f 1 x -adx

7) Toon zelf aan dat a o> I .

~

1's convergent voor a < 1 en d'1vergen t voor a ;;, I ,

foox_" dx convergent is voor a

1

>

I en divergent voor

- 76 -

We kunnen het integraalbegrip nog verder uitbreiden, hetgeen we aan de hand van een aantal voorbeelden doen, zonder de definities expliciet op te schrijven. 0

00

Voorbeelden. 8)

I := -2 dx l+x

J

-oo

-oo

J

--z dx l+x

+ 0

x := -2 dx l+x

J -oo

J -oo

I --z dx I +x

J

0

00

9)

00

I

Tf = - + !!: =

2

2

"·

00

x x -2 dx + J l+x l+x 0

--z dx

00

Evenwel, 0

J

x --z dx I +x

bestaat niet wegens

00

0

!

x = lim -2 dx A->co l+x

J

2 log(! +A ) = oo,

00

dus

x is divergent. -2 dx J l+x -oo I

10) 0

J

I dx := x (I -x)

J!

I dx = x (I -x)

J!

I I dx + x(l-x)

0

!J

I dx • x(J-x)

Nu is

0

J!

I ( I- + -)dx 1-x x

0

lim ötO

log[l~x)

! ê

=

00

•

I dus ook 0

J 00

I I) 0

omdat

J

x(l-x)

dx is divergent.

I I dx := J (I + v'X)2v'X 0

00

dx + (I+ ,/X)2,/X

I

J

I dx = 2 (I+ ,/X)2,/X

- 77 -

I I

J

dx = lim

en ~

I dx (I+ /X)2/X

J

=

I 12) -I

J

=

ó+O 1 + rx ó

(l+<x/rx

0

-2

lim

A._

r

2 +/XI

I

0 loglxldx :=

-I

J

.

I

=

loglxldx +

0

J

log x dx

= -2

omdat

I log x dx

J

= lim [x log x - x]
0

ó

= -I

en

I

0 -I

J

loglxldx =

J

log x dx

= -I

.

0

We hebben steeds het integratie-interval zodanig gesplitst dat op elk van de delen één der definities 2,8,8 of 2.8.9 van toeoassing is.

In de voorafgaande voorbeelden is de convergentie van oneigenlijke integralen vastgesteld door middel van expliciete berekening van de integraal. Deze ~ cos x dx methode is niet te gebruiken indien we de convergentie van bijv. 2 I x willen onderzoeken. Daarom zullen we nu een vergelijkingastelling afleiden

J

waarmee de convergentie van een grote klasse van oneigenlijke integralen eenvoudig kan worden vastgesteld.

2.8.10. Definitie, Een oneigenlijke integraal IJ f(x)dx heet absoluut convergent indien IJ lf(x)ldx convergent is. Hierbij is I een interval van de vorm [a,~),

(-~,a]

(-~,a]

of (a,b).

of [a,b]. Impliciet onderstellen we dat f continu is op

[a,~),

2.8.11. Stelling. Een absoluut convergente oneigenlijke integraal is tevens convergent.

- 78 -

Bewijs. We geven het bewijs alleen voor een oneigenlijke integraal van het type

a

Joo f(x)dx. De functie f is continu op [a,oo), dus is fen ook lfl in-

tegreerbaar over [a,A] voor elke A > a. We schrijven f(x) = [f(x) + lf(x)IJ- lf(x)l, dan is A

A

A

J f(x)dx = J [f(x)

I f (x) Idx •

a

a

a

J

+ lf(x) IJdx-

De tweede integraal in het rechterlid heeft voor A + oo de limiet a

Joo lf(x)ldx, volgens het gegeven van de stelling.

Definieer nu A

J

F(A) :=

[f(x) + lf(x) IJdx ,

a

dan is F monotoon niet dalend op [a,oo) wegens f(x) + lf(x)l ~ 0 voor alle x

~a.

F is tevens begrensd op [a,oo), immers A

= J

0 s F(A)

A

[f(x)

+

J

lf(x) IJdx s 2

lf(x) ldx.

a

a

a

J

lf(x)ldx s 2

Analoog aan de grondeigenschap der reële getallen (1.4.11) geldt de stelling: zij g monotoon en begrensd op [a,oo) dan bestaat lim g(x). Pas deze stelling toe op F, dan bestaat

x-+oo

A

= lim J

lim F(A) A-+oo

A-><x>

[f(x) + lf(x)IJdx.

a

Uit het voorgaande volgt dat lim

A-+<x> a

vergent.

JA f(x)dx bestaat, dus

a

Joo f(x)dx is con0

2.8.12. Stelling (vergelijkingsstelling). Zij f continu op [a,oo). Laat er een M;;, a

bestaan zodat lf(x)l s g(x) voor alle x~ M. Indien Mjoo g(x)dx convergent is,dan is

a

Joo f(x)dx absoluut convergent.

Bewijs. Definieer A

J \f (x) ldx.

F(A) := a

- 79 -

Voor alle A

" M geldt

nu de ongelijkheid

A 0 ,; F(A) =

lt(x) ldx =

J a

a

F is dus begrensd op

I f (x) ldx +

J a A

M ,;

A

M

lt(x) ldx +

J

M g(x)dx

J

M

[M,~).

lt(x) ldx

J M

$

a

~

lt (x) Idx +

J

J

g(x)dx •

M

Voorts is F monotoon niet dalend op

[a,~)

wegens

lt(x) I " 0 voor alle x " a. Daaruit volgt dat lim F(A) bestaat, dus A-+
a

r

0

Bewijs zelf de volgende stelling. 2.8.13. Stelling (vergelijkingsstelling). Zij f continu op (a,b]. Laat er een interval (a,a+ó], ó a

Ja+ó

>

0 bestaan zodat lt(x) I ,; g(x) voor alle x E (a,a+ó]. Indien

g(x)dx convergent is, dan is

J

Voorbeelden. 13)

Jb

f(x)dx absoluut convergent.

cos x dx is absoluut convergent (en dus convergent), x

I

Ico:z x I ,; 2xI

omdat

a

2

voor x ;::: I en I

I

I 2x dx convergent is.

I 14)

0

lO!j (I + x)

J

dx

convergent, omdat 0

1S

,;

log(l+x)

x/X

x/X

,;

IX

voor 0 < x ,;

I en 0

J

rx

dx convergent is.

IS) Zij f continu op [a,~). Indien lim x~f(x) bestaat voor zekere

a>

1,

x-+«>

dan is af~ f(x)dx absoluut convergent en dus convergent.

= L,

Immers, zij lim xaf(x)

dan bestaat er een getal M > max(a,O) zodat

x-><»

voor alle x " M geldt: lxaf(x)l ,; ILI +I oftewel lf(x) I

,; !L!

+

x ~

Bedenk voorts dat

J M

-k dx convergent is voor

a

a>

I, zie voorbeeld 7,

x

16) Zij f continu op (a,b]. Indien lim (x-a)af(x) bestaat voor zekere dan is

a

Jb

a<

1,

x+a

f(x)dx absoluut convergent en dus convergent. Toon dit zelf aan.

- 80 -

Opmerking. De omkering van 2.8.11 hoeft niet waar te zijn, i.e. een convergente oneigenlijke integraal hoeft niet absoluut convergent te zijn. m sin x Als voorbeeld beschouwen we f x dx. 0 We tonen eerst aan dat deze integraal convergent is. Met partiële integratie leiden we af, A

sin x dx = x

J

A

A

cos x x

J

1

1 00

COS

Omdat is

1

f

1 oo

J

X

x2

A-+«>

We tonen vervolgens aan dat

lsi~

Joo sin x d . x x 1s convergent.

nTT

N x' dx =

0

ar lsi~ XI

NTT

J

x

cos A dx absoluut convergent is (zie voorbeeld 13) en lim --A---= O,

sin x x dx convergent. Dus ook

0

cos x dx • 2

L:

J

n=1

dx divergent is. Zij N

Isi~ XI

L:

n=1

(n-1)TT

lN dan is

TT

N dx =

E

0

J

sin ~ y+(n-1 )TT dy '

waarbij de subs ti tut ie x = y + (n-1)TT is toegepast. Nu geldt TT 0

J

n+1

TI sin l:

y+(n-1)TT

dy

sin y

;,

0

J

nTI

2

dy = nTI

2 ;,

TI

n

J

1 dx , x

waarna volgt

NTI 0

J

Jsi: xl

dx

;,

2 TI

n+1

N L:

n=1

n

J

Het is dan duidelijk dat lim ofNTT 'si~ is divergent.

N-+«>

N+1 2 1 dx = x TI

XI

J

1 2 dx = log(N+1). x TI

dx niet bestaat, dus of~ lsi~

XI

dx

- 81 -

2.9. Techniek van het integreren In deze paragraaf bespreken we grotendeels aan de hand van voorbeelden, enige kunstgrepen en methoden voor het berekenen van onbepaalde en bepaalde integralen. 2.9.1. De volgende formules zijn door differentiëren direct te bewijzen,

Jx

"d

1 = o;+1

x

Jex dx

d2

o;+1 +

c,

#< -1

o;

Jaxdx

+ C

= -cos

= tan

dx

dx

x + C

= cash

. = arcs1n

J

D

. 2 Js1n x

Jcash

x + C

x +

=

c >

0, a #< 1

= sin x + c

c

-cot x +

x dx = sinh x + C

c

arctan x + C

;-:;---;; 4 4

+ Vx +a

Ist~

+

a = log a + C, a

Jcos x dx

x + C

cos x

Jsinh x dx

J~ = log[x[ x

= ex

Jsin x dx

J

x

)

+ C

x = log[tan !x[ + C.

2.9.2. Herhaalde partiële integratie Voorbeeld 1, I=

e

J

ax

dx

cos bx dx 1 ax = - e cos

a

J

. = Je ax s1n

bx dx

bx +

b

a

e

J

= ax . s1n bx dx ,

1 = a J(eax)'sin bx dx = b 1 ax = a e sin bx - a Je ax cos bx dx •

Dus I

= a1

e

ax

cos bx +

b ax . b 2a e s1n X -

waaruit volgt

- 82 -

ax e bx dx = .....;;-". (a cos bx + b sin bx) + C , a 2+ b2

J =

ax ax . bx dx = ...,;e~". (a sin bx - b cos bx) + C • e s1n a 2+b2

I

Zo is, voor a > O,

0

J

e

-a x

cos bx dx

cos bx + b sin bx -ax e a 2 + b2

= lim N-+oo

a

2

a +b

2 •

Voorbeeld 2. Voor n # -1 is I = ii+ï

Jxn log x dx

= x

n+l

Jfx n+l)' log x dx = x

e

J

-!:x_ _", + C •

(n+ I )

2

-x n

x dx =: In.

In= Je-xxndx

= -J(e-x)'xndx

n -x -x e + ni

=

log x I n+l - n+l

n+l

1og x

n+l

Voorbeeld 3. Bereken

n+l

= -xne-x + n Je-xxn-ldx =

n- 1

Dit is een zg. recurrente betrekking voor I • n

Zo is bijv.

0

J

e

-x n x

n -x

J

e -x x n-1 dx = n

dx = lim [ -x e N-+oo

0

J

= n(n-1)

e

0 J • n

-x n-2 x dx

=

n! •

e

-x n-1

x

dx =

- 83 -

dx

= arctan x- !Jx

= arctan

n

I

I

! Jx (l+x2) dx =

! arctan x + -~x'-..- + C. 2 2(1+x )

= arctan x + De berekening van J

x +

is analoog:

J

-

n-1

Jn-1 + 2(n-l)

= J

n-1

+

I

x (l+/)n-1

2(n-l)

I

2 (n-1)

J

n-1

=

2n-3 x I + = 2 (n-1) J 2 (n-1) ( +x2) n-1 n-1 1 Zo hebben we een recurrente betrekking gekregen, met behulp waarvan J berekenen is, omdat J

1

bekend is (J

1

= arctan x+ C).

2.9.3. Rationale integrand, splitsing in partiële breuken Voorbeeld I •

Jx 2 -

7x-l d = Z /x-2 dx + 6 x 2 Jx -2x+5 2x + 5

= 7 2

J<x~-2x+5)'

dx + 6

x -2x+5

7 2 =zlog(x-2x+5)+3

.

=

27

Jl-..-:!:dx~-

=

x -2x+5 dx

J (x-1) 2 + 4

=

J !(x- I) 1 U (x- I)] 2 + I

dx=

2 log (x - 2x + 5) + 3 are tan !(x-1) + C ,

n

te

- 84 -

Voorbeeld 2.

I

z7x-l

(x - 2x + 5)

2

dx = 72

J (x

2

2x-2 - 2x + 5)

2

2

dx + 6

7 J<x -2x+5)'

= Ï

2

(x -2x+5)

3 2 dx + -

J

4

= _ --~--~7_____

+ ~ 4 2(x - 2x + 5)

J

2

!(x-1)' dx = I )' + I ] 2

[(x;

dt waarin t=!(x-1). 2 2 (t +1 )

Voor de laatste integraal verwijzen we naar 2.9.2, voorbeeld 4. Uitkomst :

83

3x-l 7

arctan !{x-1) +

+ C •

2

4 (x - 2x + 5)

Alle integralen van rationale functies zijn te herleiden tot de volgende vijf grondtypen: a) Jp(x)dx waarbij p(x) een polynoom is. b) Jdx = logjx-aj + C. x-a c)

J dx

=

(x-a) n

d)

J 2 Px+Q

I

-------:- +

(n-1 ){x-a)n-l

c

(n


I),

2

dx met positief definiete noemer x + px + q,

x + px + q

De integraal is te herleiden tot !P

I

/x+p dx + (Q- jpP) x + px + q

I

---2";d:.::x:..,__""l'2 • (x + lP) + q - lP 2 De eerste integraal is gelijk aan !P log(x +px+q); de tweede integraal is te herleiden tot een arctau-functie na de substitutie x + lP = tlq-!p 2• e)

J

2Px+Q n dx met positief definiete noemer x (x + px + q)

2

+ px + q en n

>

I.

De integraal is te herleiden tot !P

I

/x+p dx + {Q- jpP) 0 (x +px +q)

J [(x+jp)

2 dx + q-

2

iP ]0

•

De eerste integraal is direct te berekenen, terwijl de tweede integraal door de substitutie x + !P = beeld 4 behandeld is.

r--2 overgaat in

tvq-~p-

J(t 2+I) -ndt

welke in 2.9,2, voor-

- 85 -

We beschouwen nu algemeen de integraal met rationale integrand: + a x 1 + b x 1

m-1 + n-1

+ a

+

x + a

m- 1

+ b

m dx =

x + b

n- 1

n

T(x) d

J

N(x)

x •

De berekening van de integraal geschiedt in vier stappen.

= gr(N).

Stap

Zorg, door deling, dat m = gr(T) < n

Stap 2

Ontbind de noemer N(x) in reële factoren van de eerste graad en reële positief definiete factoren van de tweede graad.

Stap 3

Schrijf T(x)/N(x) als de som van een aantal breuken, waarvan de noemers zijn de eerstegraadsfactoren van N(x), de definiete tweedegraadsfactoren van N(x), of machten daarvan. De teller van deze breuken is constant in geval de noemer een eerstegraadsfactor is of een macht daarvan; de teller is van de eerste graad in geval de noemer een tweedegraadsfactor is of een macht daarvan. Deze herleiding van de integrand T(x)/N(x) heet splitsing in partiële breuken. Zonder bewijs vermelden we dat een dergelijke splitsing altijd mogelijk is.

Stap 4

Integreer de afzonderlijke partiële breuken; de betreffende integralen zijn juist de vijf genoemde grondtypen.

Voorbeeld 3.

x

J

x

3

2

+I

dx

+I

=

x3

J

+~-x+ x

= !x2-

+I

!

J ~x x

= !x

Voorbeeld 4.

J~ x -1

=

2

I dx =

x dx -

J

dx +

+I

J~x~2 --~1~ x

J x

2dx

dx =

+I

=

+I

2

- ! log (x + I ) + are tan x + C.

!J~-! x- I

=! log[x-1[-! log[x+l[ + C =! logl:::l + C.

Voorbeeld 5.

J

x-l dx = 2 3x + 5x- 2

x-1

J(3x-l)(x+2)

dx .•

- 86 -

x-1

A

B

Schrijf nu ()x-I)(x+ 2 ) =~)~x~-~, + -x-+-2 , dan is x-

= A(x+2) + B(3x-I),

= 2A

= A + 3B, -1

- B, dus A =

De integraal wordt nu 2

- 7 Voorbeeld 6.

f3x-dx I

+

x+l

fx(x+S) 2 dx;

~ fx~x2

2 =- 2 1 logl3x-ll +

~

loglx+21 + C.

de noemer van de integrand bevat een meervoudige

eerstegraadsfactor. De breuksplitsing verloopt dan als volgt: x+l x(x+S)2

A x

B x+ S

D (x+S)2 '

__;;......;"'-,; = - + - - +

-~~

2 x + I = A(x + I Ox + 2S) + B(x 2 + Sx) + Dx, dus A+ B = 0, IOA +SB+ D =I, 25A =I,

De integraal wordt x+l

fx(x+5) 2

Voor bee ld 7 •

fx

+I 32x 2 +x 2

d

J

x = .

- x + 3x + 5

2x 2 +x + I dx • 2 (x + I ) (x - 2x + 5)

De breuksplitsing verloopt nu als volgt: 2

2x +x+ I ___.:;.:;;_--;;;....;....:.____ = -A(x+l)(x 2 -2x+5)

2x

2

x+l

+

Bx +D 2 • x - 2x + 5

2

+ x + I = A(x - 2x + 5) + ( Bx + D) (x + I ) ,

dus A+ B

2, -2A + B + D =I, SA+ D =I , I

4

- 87 -

De integraal wordt

J2

l4

+

7x-l

dx =

x - 2x + 5 =

! log Ix+ II + 87 log( x 2 - 2x + 5) + ! arctan !{x-1) +

C

op grond van voorbeeld I uit deze sub-paragraaf,

Voorbeeld 8.

J

dx 2

x(x + I)

de noemer van de integrand bevat een meervoudige

2

tweedegraadsfactor. De breuksplitsing verloopt dan als volgt: -....,...:.1--,. = ~ + .:B;.;;xc..+;..::.D + x (x 2 + I ) 2 x x2 + I 4

2

3

I= A(x +2x +I)+ (Bx+D)(x +x)+ (Ex+F)x, dus A+ B A

= I'

= 0, D = O, 2A + B B

+ E

= O, D + F = 0, A= I,

= E = -I , D = F = o.

De integraal wordt

I

dx 2 2 x(x + I)

= Jdx _ x

=

I

x dx x2 +I

J

dx 2x 2 (x + I)

=

2 1 loglxl -!log(x +1) +--i;- - + 2(x2 +I)

c .

2.9.4. Goniometrische integralen De integraal jR(sin x, cos x)dx waarin R een rationale functie voorstelt, is door de substitutie tan !x = t te herleiden tot een integraal met rationale integrand, immers sin x =

' cos x =

- t

2

---2. l+t

dx dt

2

= _+.;;_t""z

- 88 -

. 2 s1n x

Voorbeeld I. J 1 +cos x dx

1-t

=

2

+ l+t 2

-2

=

t

I ] ' dt --z

J [I

2t 2 + 2 arctan t +

= -

I + t

+ t

c1

=

-sinx+x+C.

Hoewel deze methode feilloos werkt, is zij meestal zeer omslachtig en is het aan te bevelen om haar slechts toe te passen wanneer alle andere middelen zijn uitgeput, Die andere middelen zijn: eenvoudige substitutie; gebruik van goniometrische formules; graad verlagen door overgang op sin 2x, cos 2x; substitutie tan x

= t,

2 sin x

Voorbeeld 2,

L

Voorbeeld 3.

fl

+cos

x

sin x +cos

x

dx =

dx =

f (I

-cos x) (I + cos x) dx = x - sin x + I +cos x

- J<~ +cos x)' x +cos

c.

dx = - log(l+cos x) + C.

Voorbeeld 4. Jsin px sin qx dx = ! Jcos(p-q)x dx - ! Jcos(p+q)x dx =

= sin(p-S)x 2(p-q

_ sin(p+S)x + C 2(p+q •

mits p f q en p f -q is, Voorbeeld 5.

I dx . 2 2 2 = b2 a s ~n x + b cos x

J2

L 2

ab

2 cos x

2

- tan x+ I b2 a

=

dx

JJ

b2

(tan x)' dx = 2 tan x+ I

Eigenlijk hebben we hier de substitutie tan x

=

t

=

a äb arctan[b tan x] + c.

toegepast.

In het volgende voorbeeld blijkt dat de substitutie tan !x meevalt.

=t

ook wel eens

- 89 -

Voorbeeld 6.

dx 1 + 2 cos x J

2 __::.....".2 d t = 2

J

13 + tan !x 13- tan !x

if(l+cos

4 Voorbeeld 7. Jcos x dx = =

=

I

4

Jdx +

Jees 2x dx +

I

+ C•

2 J(l+2 cos 2x+cos 2x)dx =

M(I + cos

4x)dx =

= Jcos 4x

cos x dx

= Jcl-sin 2x) 2 (sin

2 4 sin x+sin x) (sin x) 1 dx = sin

J(1-2

Voorbeeld 9.

=

.

s~n

J

x)'dx

=

x-~ sin3 x + ~ sin 5x + c.

2

2 x + cos x dx 4 cos x

dx 2 cos x

2.9.5. Integrand

=i

=

3 x + I sin 2x + I sin 4x + C. 8 4 32

5 Voorbeeld 8. Jcos x dx =

~

2 2x) dx

dt 2

3- t

+ t

= 3I

3

tan x + tan x +

c.

R(x,~x 2 +bx+c)

2 De integraal /R(x,lax +bx+c)dx waarin Reen rationale functie voorstelt, is door kwadraat afsplitsen te herleiden tot één van de volgende drie typen: a) JR(x,Q)dx; verdere herleiding door de substitutie x = sin

~.

2

b) /R(x,lx -l)dx; verdere herleiding door de substitutie x = c)

/R(x,~)dx;

cos

verdere herleiding door de substitutie x = tan

N.B. Let op het teken wanneer wortels worden getrokken!

~

~·

I

I

- 90 -

!\

We beperken ons tot enige voorbeelden van bepaalde integralen.

I 'I

I

JQ

Voorbeeld I.

i

dx.

0

= sin

Substitueer x

~

overgaat in 0 5

~

en neem

zo, dat het integratie-interval 0

~

5 1~. Op dit interval geldt

Q

= lcos ~ 2

=

5

cos

x

5

'I'•

De integraal wordt dan

I IJ

-x

2

dx

I

=

0

=

!~

~~

I

2

cos 'I' d
=!

0

Cl~ +

I

=

2~)d~

(l+cos

0 !~

! sin 2

= !~;

0

de integraal is te interpreteren als de oppervlakte van een kwart cirkel roet straal I.

J

Voorbeeld 2.

dx

(a > 0).

a

=a

Substitueer x in

tan

zo, dat het interval a


5

x <

~

overgaat

x

<

oo

1~ 5 ~ < 1~.

De integraal wordt dan 00

a

3

~d~

f

sl.n

~

00

Voorbeeld 3.

J 0

5


dx

J 0 = 2/cos

Substitueer x+Z in 0

00


en neem


zo, dat het interval 0

5

< 1~.

De integraal wordt dan j1T 0

J

~~.;:,d
d'l' jm A cos ,

=!

tan

!'Piol~

=! .

overgaat

- 90 -

Een functie y(x) is een oplossing als de grafiek in ieder punt een raaklijn heeft waarvan de richting samenvalt met de richting van het richtingsveld in dat punt. We kunnen ook zeggen: de grafiek raakt in elk punp· aan het richtingsveld. Vanuit deze meetkundige beschouwingswijze wordt 1het duidelijk waarom men I

I

veelal krommen die overal aan het richtingsveld raken (zg. integraalkrommen) als oplossingen beschouwt (zie voorbeeld 4), Bovendien breidt men het richtingaveld uit met verticale richtingen; (zie ook voorbeeld 4), Van groot nut bij het bepalen van het richtingsveld zijn de meetkundige plaatsen van ;

punten met een gelijke richting, de

1 tangens

zg.

~soklinen.

De vergelijking van de

isokline van de richtirtg waarvan de C is, is f(x,y) = C. \ I We besluiten deze paragraaf met een a'antal voorbeelden. ·).

\

Voorbeeld. 4)

\

x

y' = , we zien dat y \<# y gratie vinden we y

2

= -x

2

+ c

De constante C is

~

digheid zegt men 2 cirkels: x + y 2

X2 +

0

y

.

c~rkel

x2 + y2 = I

functies geven: y =

~

en

de differentiaalvergelijking voldoen. is de vergelijking

de richting

Met een zeer gebruikelijke slor-

o lossingen aan wil geven, dan kan men

=-~die

x C : - - = C; y

y2

t de o lossing is een stelsels concentrische

Als men werkelijk f .. b ~JV. op d e

zijn, Dan 2yy' = -2x 1 dus door inte-

an de isokline met richting

I

ë

x, an het veld in

door t:r met richting loodrecht op

d horizontaal is in punten

merken apart op dat het en verticaal in pun-

ten Van

-x

y

..

Z~Jn

d US d e isoklinen

krommen zijn cirkels met de oorsprong als Voor de figuur zie volgende bladzijde.

door de oorsprong; integtaaliddelpunt,

- 91 -

2.9.6. Integrand R(x, {Y(;;:~+b)/(c.x+d)) De integraal 1s door de

jR(x,~)dx

waarinReen rationale functie voorstelt,

substitut~:+t =~te herleiden

tot een integraal met ra-

tionale integrand.

rx

J T+X dx. 2 dx Substitueer IX = t, dan is x = t ! dt = 2t,

Voorbeeld I.

en de integraal wordt

IX dx

Jl+x

2 2 dt = 2 Jt ;l-l dt = 2t- 2 arc.tan t + C = 2 J t 2 l+t t +I

=

= 2/X- 2 arc.tan

Voorbeeld 2. 0

I

I

J

J

0

3

/x ' Vï=X

Substitueer t =

rx +

c.

l~x - -dx.

x

1-x

2

dan is x =

!

dx 3t d t = _(....;t3;;.:+:..1_).,..2

!

en de integraal wordt I

0

J

00

10-x - dx = 3 x- 1-x 0 00

= 0

r

I J _t+ I

-

J

00

dt t 3+1 =

r

0

I

J l t+T-

t-2

] dt =

t -t+l

t-! 3/2 ] d = + 2 (t-!)2+1 t t -t+l

2 r.:2t-l = lim [log I t+ll - ! log(t -t+l) + r3 arc.tan ----]

13

N-><><>

= lim N-><><>

I) [! 1 og (N+ 2

2

N -N+I

r;:2N-I n 2n + r3 arc.tan - 3- ] + --- =

213

13

N =

0

- 92 -

2.10. Numerieke integratie De Riemann-integraal Zo kunnen we bijv.

a

!

I

Jb

f(x)dx is niet altijd in gesloten vorm te berekenen, 2

-x dx niet bepalen omdat er geen e elementaire functie

0 -x2 bestaat die primit1eve functie is van e • We bespreken dàarom nu enige .

numerieke integratiemethoden voor de berekening van een benadering voor Jb f(x)dx. Deze methoden komen er op neer dat we afb f(x)dx benaderen door a b J p(x)dx, waarin p het interpolatiepolynoom van Lagrange is bepaald door a

p(xk) = f(xk) voor k = 0, I, ... ,n; hierbij zijn x ,x , ••• ,xn gegeven getallen 0 1 met a < x < ••• < xn 5 b. Overeenkomstig 2.2, voorbeeld 6, wordt p ge1 geven

waarin t., i= O,l, ••• ,n, het polynoom is gegeven in 2,2,5, Integreerpover 1

[a,b] dan is de uitkomst van de gedaante b

J

p(x)dx = c f(x ) + c f(x ) + ••• + cnf(xn) , 1 0 0 1

a

waarin c ,c , ••• ,cn zekere getallen zijn, onafhankelijk van f. 0 1 Als f een polynoom is met graad 5 n, dan is f = p. We kunnen nu de getallen c ,c , ••• ,cn eenvoudig berekenen door middel van de voorwaarde 0 1 b

J

q(x)dx = c q(x ) + c 1q(x ) + ••• + cnq(xn) 0 0 1

a

voor alle polynomen q met gr(q)

5

n.

We beperken ons verder tot de afleiding van twee eenvoudige integratieformules, I) Neem n = 1, a= x

0

= 0 en x

1

= b =I.

Zij q(x) =a + Bx, dan worden de getallen c ,c bepaald door de voorwaarde 0 1 I

J

q(x)dx =a + !S = c a + c (a+S) 1 0

0

voor alle a,S

E

lR. We vinden dan c

0

=

!

en c

1

=

!.

waarna volgt

- 93 -

I

I

f(x)dx

~

j[f(O) + f(l)]

0

als benadering voor de integraal. Beschouw nu algemeen de integraal a+h

I

I

J

f(x)dx = h

a

f(a+hy)dy ,

0

Toepassing van de zojuist afgeleide benadering leidt tot de trapeziumregel, a+h

J

2.10.1.

f(x)dx = jh[f(a) + f(a+h)] +ET ,

a

waarin ET

de~

voorstelt. Deze fout zal nog nader onderzocht worden.

De trapeziumregel is exact i.e. ET= 0, indien f een polynoom is met

graad~

I.

De benadering volgens de trapeziumregel is meetkundig te interpreteren als de oppervlakte van het trapezium met hoekpunten (a,O), (a+h,O) op de x-as, en (a,f(a)), (a+h,f(a+h)) op de grafiek van y = f(x), aangenomen dat f(x) is op [a,a+h]. 2) Neem n = 2, a= x

~

0

= -1, x

= 0 en x = b =I. 2 1 Zij q(x) =a+ Sx + yx, dan worden de getallen c ,c ,c bepaald door de 0 1 2 voorwaarde 0

2

I

-I

I

voor alle a, S,y

E

q(x)dx

lR. We vinden dan c

0

=

3,

en c 2 =

3,

waarna

volgt

I

I

f(x)dx

~~

[f(-1) + 4f(O) + f(J)]

-1

J1 x 3dx = 0, zodat de bena1 dering ook nog exact is als f een polynoom van de derde graad is. als benadering voor de integraal. Merk op dat _

Pas nu deze benadering toe op de algemenere integraal a+2h a

I

I

f (x)dx = h -1

I

f(a+h+hy)dy ,

- 94 -

dan volgt de regel van Simpson, a+2h

J

2. I 0. 2.

h 3 [f(a) + 4f(a+h) + f(a+2h)J + E5 ,

f(x)dx

a

waarin ES de fout voorstelt. De regel van Simpsen is exact, i.e. E5 dien f een polynoom is met graad $ 3.

= 0,

in-

We onderzoeken nu de fout ET bij toepassing van de trapeziumregel. Als van de functie f slechts gegeven is dat ze integreerbaar is over [a,a+h], kunnen we niets zeggen over de fout. Onderstel nu dat f tweemaal continu differentieerbaar is op een open interval I

~

[a,a+h]. Laat p het interpolatiepolynoom zijn bepaald door

p(a) = f(a), p(a+h) = f(a+h). Overeenkomstig 2.6.11 geldt dan voor alle x

E

[a,a+h]: f (x) - p (x)

voor zekere Ç

E

! f" (0 (x-a) (x-a-h)

=

(a,a+h); bedenk dat Ç afhangt van x. Zij M het globale maxi-

mum en m het globale minimum van f" op [a,a+h], dan volgt jm(x-a) (a+h-x) voor alle x

E

$

-

[f(x)- p(x)]

$

jM(x-a) (a+h-x)

[a,a+h], Integreer de laatste ongelijkheid over [a,a+h]; we-

gens a+h

J

(x-a)(a+h-x)dx

a

vinden we dan I

TI mh

3 :5 -E I

oftewel ET = - TI

~h

< _I_ Mh3

T - 12

3

, waarbij

~

een zeker getal is uit [m,M]. Omdat f" con-

tinu is op [a,a+h], bestaat er volgens de tussenwaardestelling (2.5.5) een getal n

E

(a,a+h) zodat

~ =

f"(n) en daarmee

- 95 -

De fout ES bij toepassing van de regel van Simpsen is op analoge wijze te onderzoeken. In eerste instantie verwachten we een voorstelling voor ES van 4 (3)

de vorm ES= eh f

.

(n), waar1n c een constante is ennE (a,a+2h). Door een

subtielere analyse (waarop we hier niet ingaan) kan men echter afleiden de nauwkeurigere voorstelling:

voor zekerenE (a,a+2h). Hierbij is ondersteld dat f viermaal continu differentieerbaar is op een open interval IJ [a,a+2h], Merk op dat f( 4)(n) = 0 en dus Es = 0, als f een polynoom is met graad

~

3, in overeenstemming met

een eerdere opmerking. Uit de voorstellingen voor ET en ES volgt dat voor kleine h de regel van Simpsen een nauwkeuriger benadering geeft dan de trapeziumregel. De fout bij toepassing van de voorgaande integratieformules is des te kleiner naarmate h kleiner is. Bij de numerieke integratie van

a

Jb f(x)dx zullen

we daarom meestal het interval [a,b] verdelen in gelijke delen ter lengte h = (b-a)/n en vervolgens op ieder deelinterval de trapeziumregel of de regel van Simpsen toepassen. Op deze wijze komen we tot de volgende samengestelde integratieformules: b

I

2.10.3.

f(x)dx

a

met fout n-1

I

j=O

f"(!;.) J

'

!;.

J

E (a+jh,a+(j+l)h) voor j = O,l, ... ,n-1

b

I

2. I 0. 4.

f(x)dx

a

met fout __ I h5

90

n. J

c

(a+2jh,a+(2j+2)h) voor j = O,I, •.• ,jn-1

-----------------------------------------------

- 96 -

Hierin is fk := f(a+kh), k = 0,1, •.. ,n, terwijl in 2.10.4 is ondersteld dat neven

~s.

Als f" bekend is, kan men een schatting geven voor de fout ET. Zij M2 het globale maximum van jf"j op [a,b], dan geldt

Evenzo geldt voor de fout Es:

4 waarin M het globale maximum van jf( )1 op [a,b] is. 4 In praktische gevallen zijn de voorgaande schattingen voor ET' ES meestal erg onrealistisch. Bovendien zijn de afgeleiden f" of f( 4 ) niet altijd eenvoudig beschikbaar. In de (praktische) numerieke wiskunde wordt daarom een andere methode gevolgd waarbij een realistische schatting voor de fout wordt verkregen. Beschouw de integraal I :=

Jb f(x)dx. Met behulp van de samengestelde trapea ziumregel berekenen we twee benaderingen voor I: I(h) := jh[f + 2f 1 + 2f 2 + ••. + 2fn-l + fn] , 0

waarin fk : = f (a+ kh), h = (b-a) /n. De benadering I (jh) correspondeert met een verdeling van [a,b] in 2n gelijke delen ter lengte jh. De fout ET van deze benaderingen is voor te stellen door resp. __ I h3

12

n-1

I

j=O

f"(t;.) J

i;.

J

E

(a+jh,a+(j+l)h) ,

2n-l

I

j =0

t;.* J

E

(a+jjh,a+!(j+l)h) •

Veronderstel nu dat f" op elk der deelintervallen (a+jh,a+(j+l )h) weinig varieert (voor kleine h is dit een reële veronderstelling), dan geldt bij benadering j = 0, I , ••• , n- I ,

- 97 -

waaruit volgt

Nu is I = I (jh) + ET(jh) ,

I

en dus

Daarmee is verkregen ET(jh)

'"i [I(jh)- I(h)]

als schatting voor de fout ET(jh) bij benadering van I door I(jh). Opmerkingen. I) Op analoge wijze als boven kan men een realistische schatting geven voor de fout E bij toepassing van de samengestelde regel van 5 Simpson. 2) De verkregen schatting voor ET(jh) vormt in het algemeen een "goede" benadering voor de fout. Bedenk daarbij dat een foutschatting in veel gevallen best 10- 50% mis mag zijn. De schatting voor ET(jh) is geen zekere schatting, d.w.z. ze kan er helemaal naast zijn als niet voldaan is aan de voorwaarde dat f" weinig varieert op de dee !intervallen. In de praktijk van het numerieke rekenen komt dit echter slechts sporadisch voor. Voorbeeld. Numerieke integratie van

0

J1

f(x)dx, f(x) =

4 l+x

2

,

Verdeel [0,1] in deelintervallen van gelijke lengte h, waarbij achtereenvolgens h

=

I,

!, j, 1/8, 1/16. Bereken met behulp van de samengestelde trape-

ziumregel de bijbehorende benadering I(h) voor de integraal: h

I(h)

i [I(h)- I(2h)]

3.0000

0.6667

0.5

3.1000

0.0333

0. 166 7

0.25

3. 1312

0.0104

0.0417

0. 125

3. 1390

0.0026

0.0104

0.0625

3. 1409

0.0006

0.0026

- 98 -

In de derde en vierde kolom is een schatting voor de fout gegeven, gebaseerd op de voorgaande theorie. In dit geval blijkt na eenvoudige berekening max If" (x) I = 8. Vergelijk I(h) met de exacte waarde van de intexE[0,1] graal: I= n = 3.141592 ... , dan blijkt de foutschatting volgens de derde ko-

M 2

lom zeer goed te zijn, terwijl de schatting volgens de vierde kolom ongeveer viermaal de werkelijke fout is.

- 99 -

Hoofdstuk 3, Reeksen 3,1. Convergentie en divergentie Eindig veel getallen a , ••• ,aN hebben een som, zeg SN' d.w.z. 1 N

I

a

n=l Beschouw nu de rij (a )

nnE

s1

sommen:

s2

:= a , 1 De uitdrukking

n

lN en vorm de rij (S )

:= a +a , 2 1

+ ...

= I

n=l

s3 a

nnE

lN van de zg. partiële

:= a +a +a , enz. 1 2 3

n

noemen we een reeks; SN heet de N-de partiële som van de a

reeks; de getallen

heten de termen van de reeks.

n

3,1 ,I, Definitie, Als lim SN bestaat en gelijk is aan S dan heet de reeks N400 oo a 1 + a 2 + , , • + an + , , , convergent met som S en we schrijven L a = S; als n n=l lim SN niet bestaat dan heet de reeks divergent en dan heeft hij geen som. N400

Ln

Voorbeelden, I)

is divergent omdat SN = I + 2 + , , , + N = !N(N+I) ..,. oo(N + oo),

n=l 2)

\' rn-l (-- L\' r n) heet meet k un d ~ge · L ree k s. n=l n=O N-1

sN =

I

r

n

n=O

=

I- r 1-r

N

I som-- en als Ir I 1-r

als r f I. Als Ir I ;;,

<

I is de reeks convergent met

is de reeks divergent,

00

3)

L

n=l

n(;+l) =I, want

I SN = N

I I + 2. 3 + • • • + "'N"'(N,.:-+,.,1..,..)

+I(N+oo),

__ I

N+l

..,.

- 100 -

00

I

4)

rn

n=l

is divergent omdat I I + - + ... ... + -" IN IN IN

I SN = I + - +

12

5)

I

I n=l

I

N

IN

IN

+ -= -=

IN.

de harmonische reeks, is divergent.

n

s2k - s2k-1 sI

=

=

I -.:-i-- + ....,.....;...1_ + ••• 2k-l + I 2k-l + 2

+

= 2I , + ••• +

+ •• • + ( I +

"

dus

n n - > 2

2.

Hieruit volgt SN

-

2n I+ I

+ ••• +

+oo (N + oo),

00

6) I - I + I - I + I - I +

1.~

=

( - I )n-1 1s . d.1vergent.

n=l zijn nl. afwisselend I en O, dus lim SN bestaat niet.

De partiële sommen

N+oo 7)

I

I

- 2

+

I 3

00

...

I + 4

I

=

n=l

(-I )n-1 n

Voor de partiële sommen van deze reeks geldt

s1

>

s3

>

s5

>

>

0 en

s2

<

s4

<

s6

<

<

1

Volgens de grondeigenschap der reële getallen (1.4.11) bestaan de limieten lim SZN-I =: S

o

N.-+co

Omdat

en lim

s2N - s2N-I

Noemen we S = S o

IS- SN I < N+ï

•

e

N-+oo -I

s 2N =:

S • e

= ZN zijn S0 en Se gelijk en convergeert de reeks.

= I

n=l

(-I )n-1

n

=: S dan blijkt bovendien dat

Later (3. 4, voorbeeld 9) zullen we afleiden dat S = log 2 •

- 101 -

00

L

3.1.2. Stelling. Als

n=l

a

n

convergent is, dan is lim a

Bewijs. an = S - S -

n

n-1

n--

(n

~S-S

~

= 0.

n

0

oo),

N.B. We kunnen deze stelling alleen gebruiken om van sommige reeksen te bewijzen dat ze divergent zijn. De voorbeelden 4 en 5 laten zien dat uit 00

lim a

n

= 0 niet geconcludeerd kan worden dat de reeks 00

00

alle a, S

E

L

de reeks

lR

n=l 00

I

n

+ Sb ) = ex n

n

convergent is.

en L bn convergent, dan is voor n n=l

+ Sb ) eveneens convergent en

n

n

00

(aa

a

n=l (aa

a

00

L

Opmerkingen. I) Zijn de reeksen

n=l

I

n=l

00

I

a

n=l

n

I

+ S

n=l

b • n

(Opgave: bewijs dit.)

2) Als we in een convergente (divergente) reeks een eindig aantal termen wijzigen dan is de zo gevormde reeks weer convergent (divergent); hetzelfde geldt voor het toevoegen of weglaten van eindig veel termen. (Opgave: bewijs dit,) 3) We noemden de termen van de reeks a ,a , •••• Soms is het handiger de 1 2 00

nummering van de termen met 0 te beginnen: a

0

+ a

1

+ ••• =

I

n=O

an •

Een van de eerste doeleinden die we nastreven is stellingen te bewijzen die ons in staat stellen tot convergentie of divergentie van een reeks te besluiten op grond van direct te controleren eigenschappen van de termen en met omzeiling van het vaak moeizame of zelfs ondoenlijke uitrekenen van de partiële sommen. De zojuist bewezen stelling 3,1.2 is een voorbeeld van een dergelijke stelling. In 3.2 en 3.3 zullen we een aantal van zulke stellingen bewijzen. Tot nog toe waren de termen van een reeks getallen; men kan ook reeksen beschouwen waarvan de termen functies zijn. In 3.4 bestuderen we een speciale klasse van zulke reeksen; de termen zijn daar n

functies van de gedaante f (x) = a x • De reeksen uit 3.4 heten machtreeksen; n

n

de partiële sommen van een machtreeks zijn polynomen. Tenslotte is 3.5 gewijd aan numerieke berekeningen in verband met reeksen.

- 102 -

3.2. Reeksen met uitsluitend niet negatieve termen N.B. Alle reeksen in deze paragraaf hebben niet negatieve termen. 3.2.1. Stelling, Een reeks met niet negatieve termen is convergent dan en slechts dan als de rij van de partiële sommen begrensd is. Bewijs. De rij van de partiële sommen is monotoon niet dalend zodat de

0

stelling uit de grondeigenschap der reële getallen (1.4.11) volgt. 3.2.2. Stelling (integraalkenmerk). Laat f(x) een continue, monotoon dalende, niet 00

negatieve functie zijn op [l,oo), dan is

I

f(n) dan en slechts dan conver-

n=l gent als

Joo f(x)dx convergent is. 1

Bewijs. Zij IN :=

1JN f(x)dx (N

€

lli)

dan ziet men gemakkelijk dat

lim IN bestaat. Ir f(x)dx Ndan en slechts dan convergent is als N_,.., Zij SN :=

I

n=l

f(n). De rijen I , IZ' !3' ... en 1

SI ' SZ' s3, ... zijn beide

monotoon niet dalend. De begrensdheid (en dus convergentie) van een van beide heeft de begrensdheid van de andere tot gevolg omdat n+l

f(n+l)

~ J

f(x)dx

~

f(n)

n

en dus IN+I

~SN~

f(l) +IN

(zie figuur),

0

y

2

3

N

N+l

x

- 103 -

00

L

3.2.3. Stelling.

is convergent als p > I en divergent als p s I.

n=l np Bewijs. Voor p s 0 volgt de divergentie uit 3,1.2. Voor p

0 passen we

>

3.2.2 toe met f(x) = x-p, zie tevens 2.8, voorbeeld 7.

D

"" a en "" b I n n=l I n n=l

3.2.4. Stellin!! (vergelijkingsstelling). Beschouw de reeksen

""

00

I) Als

2) Als

I n=l ""

b

n

convergent is en a

b

$

n

I n=l

o.d.d., dan is

n

a

n

.

convergent.

00

I

b

n=l

n

divergent is en a

"

n

b

N

n

a

n=l

n

divergent.

N

I

Bewijs. I ) Stel SN :=

I

o.d.d., dan is

a

n=l

I

:= n' TN

b

n=l

en T := lim TN. N->«>

n

s bn vanaf zekere N E lN en TN s T voor alle N E lN is 1

S TN - TN

en SN S SN I

+ T - T

NI

I

voor alle N <: NI , De rij (SN) is 00

I

dus begrensd. Uit 3.2.1 volgt nu de convergentie van

a

n=l 00

2) Als

n

00

a

n

L

zou convergeren dan zou volgens I) ook

bn convergeren;

n=l

tegenspraak.

D 00

3.2.5. Gevol!!• Indien voor de reeksen

I n=l

a

00

a

en n

I

n=l

b

n

geldt:

lim bn bestaat en is f 0, dan zijn de reeksen beide convergent of beide n....,.

n

divergent. 00

Voorbeelden. I) 00

nElNen~

I n=l 2I

.

I

s1n 2

.

is convergent, omdat 0 s s1n

n

I I 2n s 2n voor alle

convergent is (3,2,3).

n=l n 2)

I

(arctan n)e

-n

is convergent want 0 s (arctan n)e

n=l ""

I n=l

e

-n

is een convergente meetkundige reeks.

-n

s !rr e

-n

en

- 104 -

3)

1 sin sin - is divergent want lim-....!!. = 1 en

I n=1

n

1

""""

n

00

1 is divergent, n=1 n

I

Convergentiekenmerken voor reeksen met niet negatieve termen 3.2.6, Kenmerk van Cauchy: Als lim {7;;- = R-, dan is de reeks I a convergent als i n n n->oo n=1 alsR->1.

<

1 en divergent

3.2.7. Kenmerk van d'Alembert: a

n+1 Als 1 l m - = R-, dan is de reeks

I

0

n-+o:l

an als R, > 1 •

a

n=1

n

convergent als i < 1 en divergent

3.2.8. Als lim npa bestaat en# 0 is, dan is de reeks I a convergent als p > 1 n n n->oo n=1 en divergent als p 5 1. Bewijzen. (3.2.6). Als R, < 1 en P := !(R,+1) dan is o.d.d.

dus a Als

n

R,

5 p

n

00

. Omdat n=1I

> 1 dan is

n

~< p < 1 •

n

00

n

convergent is

p

n

v;;-

en

< p < i

I

n=1 n

>

a

n

convergent (3.2.4).

a. d.d., dus a

p

n

;,

pn o.d.d. In dit ge-

00

val is a

n

+

(n

00

+ oo)

en

I

a

n=1

OEmerkinjj. Als

R,

=

n

is divergent (3.1.2).

n of als lim ~niet bestaat, moeten we de convergentie n n->oo

op een andere manier onderzoeken. Voor de convergente reeks 00

voor de divergente reeks

L n=1

(3.2.7). Als De rij

r~}

P zodat o.d.d,

R, <

1

1 zowel als 2 n=1 n

is de limiet uit 3.2.6 gelijk aan 1.

n

a

1 en p := j(R-+1) dan is o.d.d.

n+1 a

n

a

< p < 1,

dus~ pn+1

is o.d.d. monotoon dalend. Er bestaat dan een constante C a n n 5 c oftewel a 5 Cp . Door vergelijking met de convergente n

Pn

I pn volgt het gestelde. Als i > 1 dan 1s o.d.d. n=1 an+ ;, pan. Divergentie volgt nu uit 3o1.2. 1 a n+1 OEmerking. Als i = 1 of als 11m - - n1.et bestaat, geeft het kenmerk van a n-n

meetkundige reeks C

0

0

-

I 05 -

d'Alembert geen uitsluitsel. We verwijzen nogmaals naar de voorbeelden ~

I n=l

~

n

L 2I n=l n

en

, waarvoor de limiet uit 3.2.7 gelijk aan I is.

0

(3.2.8). Combineer 3.2.5 en 3.2.3. ~

Voorbeelden. 4)

I nn! is convergent volgens 3.2.7 omdat L n=l n

lim _"(n"'+-'l'-')'-'!-::n7n;- = lim (I + l) -n = I < I • n-- n! (n+l )n+l n-n e ~

5)

I

(arctan n)

-n

is convergent volgens 3.2.6 omdat

n=l 2 lim \Y(arctan n)-n = lim = TI arctan n n-n--

I

<

. 2

~

6)

n

L --2--

(n

is convergent volgens 3.2.8 want --2-- _,. n=l n +I n +I

+ ~).

In dit voor-

beeld kan men de convergentie ook bewijzen door op te merken dat ---2 n +I

<

I

2n

en 3.2.3 en 3.2.4 toe te passen, en ook door 3.2.2 te gebruiken ~

met f(x) =

I

I --zwaarvoor x

+I

dx --z= !rr

=

- irr

jn.

x +I

Opmerking. Voor reeksen waarvoor 3.2.8 tot een conclusie leidt, falen 3.2.7 en 3.2.6. Als voorbeeld van een reeks waarvoor ook 3.2.8 niet bruikbaar is N

~

vermelden we (N

+ ~)

L

n= 2 n log n

Uit 3.2.2 en

J

dx x log x

=

log log N- log log 2 +

~

2

volgt dat de reeks divergent is.

3.3. Reeksen met zowel positieve als negatieve termen ~

De fini tie. Een reeks van het type heet een alternerende reeks.

I

n=l

(-1 )n-l a

n

waarin a

n

>

0 voor elke n

€

JN,

- 106 -

00

3.3.1. Stelling (Leibniz). Als de alternerende reeks

L

(-l)n-la

n=l (i)

lima

(ii)

an;, an+l voor allenE ll,

n

voldoet aan

=0,

n

dan is de reeks convergent en voor de somS geldt 0 ,; (-I)N(S- SN) ,; ~+I voor alle N E lN. Bewijs. (Vergelijk 3.1, voorbeeld 7.)

Voor de partiële sommen geldt:

" 0.

Volgens de grondeigenschap der reële getallen (I .4.11) bestaan de limieten lim s 2N-I =: S0 en Nl~ s 2N =: Se. Omdat s 2N ~

N-><»

s 2N-I = -a 2N zijn S0 en se

gelijk en convergeert de reeks. Men ziet gemakkelijk dat: +

0

0

•

s;

~+I"

D

Voorbeeld I.

oo

I n=Z

(-I )n

is convergent.

log n

We beschouwen nu het algemene geval van reeksen met zowel positieve als negatieve termen.

00

3.3.2. Definitie. Een reeks convergent is.

L n=l

un heet absoluut convergent indien

=

L Iun I

n=l

3.3.3. Stelling. Een absoluut convergente reeks is tevens convergent.

-

L

Bewijs. Laat

107 -

Iu n I convergent zijn, dan is te bewijzen dat ook

n=l

N

I

convergent is, d.w.z. dat SN := L u naar een limiet nadert als N + n=l n Voer in de notaties N

u

n=l

n

oo.

N

I

I

n=l

n=l

.

We schrijven un = (un+lunl)- lunl' waaruit na sommatie volgt SN= QN-PN. Volgens het gegeven van de stelling is de rij (PN) convergent, zeg PN als N +

oo.

De rij (QN) is monotoon niet dalend wegens u

n

+ Iu I n

~

+

P

0.

De rij (QN) is tevens begrensd, immers N

0 ,; Q

N

=

I n=l

N

(u +Iu I> ,; 2 n

n

I

Iu n I =

n=l

2P.

Daaruit volgt dat lim QN bestaat. N+oo Omdat lim PN en lim QN bestaan, bestaat ook lim SN' i.e. I u is convergent. N+oo N+oo N+oo n=l n

D Uit 3.2.4 volgt onmiddellijk: Stelling (vergelijkingsstelling). Als lunl

:5 v

n

o.d.d. en

00

L

is, dan is

u

n=l

I

n=!

v

n

convergent

absoluut convergent.

n 00

Voorbeelden. 2)

I

(-l)nsin

n=l

~is absoluut convergent (en dus convergent), n

:;1 ,; 2

I

l ~ convergent is. n=l n (!)ncos n is absoluut convergent, omdat I (j)ncos nl ,; (j)n voor alle

o:dat !(-l)nsin

voor alle n

€

lN en

n

L

3)

n=l n

E

00

lN en

I

(! ) n convergent is.

n=l 00

Opmerking. De reeks

L

(-I )n-1

.

ts wel convergent maar niet absoluut conver-

n n=l gent. Dergelijke reeksen noemt men relatief convergent.

-

00

Als we van de reeks

L

u

n=l

n

weten dat lim ~

L n=l

00

L

n=l

u n

u

n

~u~+ I I

is of lim n-+«>

<

n

n->o>

dan volgt uit 3.2.6 of 3.2.7 dat 3.3.3 dat

108 -

is,

< I

n

absoluut convergent is, en daarna uit

~u~+ll

convergent is. Als lim ~ > I of lim n-+<» n n-+«>

> I,

dan

n

00

L Iu I divergent is. Ook de reeks I u n zelf n=l n n=l is divergent omdat in beide gevallen u niet naar 0 nadert als n (3.1.2). volgt uit 3.2.6 of 3,2,7 dat

n

Deze opmerking maakt duidelijk hoe de convergentiekenmerken van Cauchy en d'Alembert gebruikt kunnen worden bij reeksen met zowel positieve als negatieve termen. 00

00

I

3.3.4. Stellins (Cauchy-product). Zijn de reeksen vergent

met som

s

00

n

I

n=O

u

n=O

n

I

en

V

n=O

n

absoluut con-

resp. T, dan is de reeks

I

(I)

< ukvn-k) k=O

absoluut convergent met som ST. 00

00

(De reeks (I) heet het Cauchy-product van

I

n=O

u

n

en

I

n=O

V

n

•)

Het bewijs van deze stelling wordt achterwege gelaten. 3.4. Machtreeksen 00

Een reeks van de vorm

I

a x

n

heet een machtreeks. We onderzoeken voor n=O welke waarden van x deze reeks convergeert resp. divergeert. Elke machtn

reeks is convergent voor x= 0. We spreken namelijk af: 0°

I n=O

a x n

n

= a

0

voor x = 0.

I, zodat

-

I09 -

I a n xn convergent is voor x = ~ ~ 0, dan is n=O de reeks absoluut convergent voor alle x met lxl < I~ I·

3.4.I. Stelling. Als een machtreeks

~

I a ~n convergent is, is lim a ~n = 0. De rij (a ~n) is dus n=O n n->= n n begrensd, d.w.z. er bestaat een M > 0 zodat la ~nl ~ M voorn= O,I,2, ••••

Bewijs. Omdat

n

convergent is voor lxl < I~

voor

Ix I

<

I~

I,

"' a xn absoluut convergent is L n

volgt dat

n=O

1.

0

Gevolg. Bij de convergentie van machtreeksen doen zich drie mogelijkheden voor. I) De machtreeks is convergent alleen voor x= 0 en divergent voor alle

x~

0.

2) De machtreeks is absoluut convergent voor alle x. 3) Er bestaat een getal R > 0 zó dat de machtreeks absoluut convergent is voor lxl < Ren divergent voor lxl

>

R. De existentie van een dergelijke

R berust op de voorgaande stelling en de stelling van het intervallennest (I.4.I2). We laten het bewijs achterwege. Het getal R heet de convergentiestraal van de machtreeks. In de gevallen I) en 2) stellen we R = 0 resp. R =

~.

Er is geen algemene uitspraak te doen over de convergentie of divergentie van een machtreeks voor x = ± R; deze dient bij elk voorbeeld apart onderzocht te worden. 3.4.2. Stelling. Laat de machtreeks I) Als lim n...,., ~

=

a x n

n=O

n

een convergentiestraal R hebben.

i

als

~

=~

als

~ ~

=

~.

dan is R =

ana+II --

~.

dan is R

f 0 en R

~

als

~

=

=~

als

~

=0

=

0 (R

=0

als

=0

als

~).

2) Als lim n...,., ~

~

I

l

0 en R

(R

n

= ~).

Bewijs. Het bewijs is eenvoudig te geven met behulp van 3.2.6, 3.2.7, ga dit na.

0

- IJ 0 -

00

I

Voorbeelden. I) voor !x I 2)

I

x

!x!

<

n

xn is absoluut convergent voor Jx! < I en divergent n=O I, dus R = I. Voor x =±I is de reeks divergent.

>

2

2

is absoluut convergent voor Jx! < I, wegens Jxn

I

~ Jx!n voor

n=O I; derhalve is R ~I. Omdat de reeks divergent is voor x= I, is

ook R 3)

I

n=l

~

1, zodat R = 1. De reeks is ook divergent voor x= -1.

[~)n n+l

2

xn heeft een convergentiestraal R = e omdat

lim n->oo

~: [ I

=

)-n

1

+;;

J

=

~

Voor x = ± e is de reeks divergent want

e

00

4)

I

n=l

x

n

I n=l

> I

n n

n x

is convergent alleen voor x = 0 en divergent voor alle x ; 0.

I

a x

n=O convergent voor !x!

I n=O

a x n

<

n

n

een convergentiestraal R hebben, dan is de reeks

R. De som is een functie van x die we noteren als

n

3.4.3. Stelling (termsgewijs differentiëren). De machtreeksen hebben dezelfde convergentiestraal, R te noemen. 00

Zij S(x) :=

I.

is de reeks divergent, voor x = -1 relatief convergent.

Laat de machtreeks

S(x) :=

.

heeft een convergentiestraal R = I omdat lim~ n+l n->oo

n

Voor x = 5)

n

I n=O

a x n

afgeleide S' (x) =

n

voor Jx!

00

I n=l

na x n

<

n-1

Deze stelling bewijzen we niet.

I n=O

a x n

n

en

I n=l

na x n

R, dan is S differentieerbaar op (-R,R) met

n-1

-

111 -

De stelling drukt uit dat we een machtreeks binnen zijn convergentie-interval (-R,R) termsgewijs mogen differentiëren. Een onmiddellijk gevolg van 3.4.3 is dat de som S willekeurig vaak differentieerbaar is op (-R,R). Dek-de afgeleide S(k) wordt verkregen door termsgewijze differentiatie: ~

n-k \ n! (n-k)! a n x n=k L

Een direct gevolg is ook de volgende stelling. 3.4.4. Stelling (termsgewijs integreren). Laat de machtreeks gentiestraal R hebben, dan geldt voor lxl x 0

J

<

x

< L: n=O

L: n=O

R: ~

J 0

L: an x n=O

n

een conver-

a n n+l -x

L: n+l n=O

00

Voorbeelden. 6) Vonr

Ix I

nx

n

heeft een convergentiestraal R = I.

n=I

geldt dan

<

I

n=l ~

7)

I

(-I)n-1 x

n

n

n=l

heeft een convergentiestraal R = I.

Noem de som S(x) dan is voor lxl

<

I,

~

S' (x) =

I

n=l Integreer S'(x) dan volgt

I

n=l

n

(-I) n-1 lL n

x

J

= S(x) = S(O) +

S'(t)dt

0

geldig voor lxl < I; vergelijk met 2.6, voorbeeld 4.

log (I +x),

- 112 -

8)

I

n=O

2n+l n x (-1) 2n+l heeft een convergentiestraal R ~I.

Noem de som S(x) dan is voor lxl
L n=O

(-l)nx2n = --2 l+x

Integreer S'(x) dan volgt ~

L

n=O

(-I

x

2n+ I 2n+l = S(x) = S{O) +

oo

)n x

0

J

S'{t)dt = arctau x,

geldig voor lxl < I. a x resp. L b xn absoluut convergent n=O n n=O n voor lxl < R resp. lxl < R , met som s (x) resp. s (x). Dan is de product1 2 1 2

3.4.5. Stelling. Zij de machtreeks

L

0

n

reeks

Ix I

I

c xn waarin c n

n

n=O min(R ,R ) met som < 1 2

I a.b ., absoluut convergent voor j=O J n-J s 1 (x)S 2 (x). :=

Bewijs. De stelling volgt eenvoudig uit 3.3.4.

D

Zonder bewijs vermelden we nog de volgende stelling over de som van een machtreeks in een randpunt van het convergentie-interval. 3.4.6. Stelling (Abel). Laat de machtreeks

L

. l R a x n een convergent1estraa n

n=O hebben en zij S(x) de som van de reeks. Als de reeks convergent is voor x= R, dan geldt: lim S(x) = S(R). xtR Uit 3.4.3, 3.4.6 en 2.5.2 volgt dat de som van een machtreeks continu is in elk punt waar de reeks convergeert. Voorbeelden. 9) Volgens voorbeeld 7 is voor lxl < I, 00

L n=l

(-l)n-1 x

n

n

= log(l+x).

De machtreeks is ook nog convergent voor x= I (zie 3.1, voorbeeld 7), zodat

-

L

log 2 =

(-I )n-1

4I +

=

..l..-.:.f--

n

n=l

113 -

••• •

10) Volgens voorbeeld 8 is voor \x\ < I, 2n+l "L (-l)n !....__ 2n+ 1 = arctan x. n=O w

De machtreeks is ook nog convergent voor x = ± I, zodat (-1 )n

I

4" = I

=I

~'-:-

2n+l

n=O

- I

3 +

I

5-

I

7 + ••• •

Als de functie f willekeurig vaak differentieerbaar is in een omgeving van a dan heet de machtreeks

I

n=O

of Taylorreeks.

f(n)(a) n (x-a) de Taylorontwikkeling van f rond a n.

3.4.7. Stelling. Zij f willekeurig vaak differentieerbaar op (a-t, a+t) en het globale maximum van f(N) op I := [a-p, a+p] waarbij 0 < p < t. N

Als lim p

~/N!

I n=O convergent

= 0 dan is de Taylorreeks

f(n)(a) n (x-a) n.

op I met som f(x).

Bewijs. Volgens de stelling van Taylor (2.6.10) geldt voor elke N elke x

E

zij~

E

lN en

I: N f (x) =

f(n)(a)

L

=----r~

n.

n=O

(x-a)

n

+

R__

-1l

,

waarin

f

~=

voor zekere

e

E

(N+I)

N+I (a+8 (x-a)) (x-a ) (N+I).

(0,1). Voor x

E I

is dan [RN\

~

N+l p ~+ 1

/(N+I)!,

dus

lim RN = 0. Daaruit volgt N-+<» w f(n)(a) n f(x) = I (x-a) n. n=O voor alle x

E

I.

D

- 114 -

Voorbeelden. 11) De functie f(x) =ex is willekeurig vaak differentieerbaar (N)

op lR met f lf(N)(x)

I ,;

(x)= e

x

voorN= 0,1,2, •••• Zijp> 0, dan is

ep voor alle x EI:= [-p,p]. Omdat lim pNep/N! = 0, is de N->«>

Taylorontwikkeling van ex rond 0 convergent op I met som ex. Aangezien p willekeurig te kiezen is, geldt e

x

00

I

=

x

n

x

ÏÏT;::

I +;"T+ I•

n=O

+ ••• •

voor alle x E JR.; zie ook 2.6, voorbeeld 1. 12) De functie f(x) = sin x is willekeurig vaak differentieerbaar op JR. met f(N)(x) = sin(x+!Nn), zie 2.6, voorbeeld 2. Nu is lf(N)(x) x

E

I ,;

I voor alle

lR • Omdat lim PN /N! = 0 voor elke p > 0, is de Taylorreeks van sin x N-+oo

convergent voor alle x

JR., i.e.

2n+l

00

sin x

E

x

( _ 1) n ...,.;;;x____,c-:-r

= I

(2n+ I)! = ;"T I•

n=O

-

x

3

x

5

x

7

3!+ ö'Ts. 7!"+

... .

...

~ ~

13) Op grond van 3.4.3 is cos x = (sin x)' =[Ï(-I)n

n=O 2 4 6 x x x + = I -OT+ 7"1'"2. 4. 6T voor alle x

E

x 2n+l (2n+l)!

r

=

00

I n=O

(-1 )n

x 2n = (211)!

...

zie ook 2.6, voorbeeld 3.

JR.;

14) De functie f(x) = (l+x)~ is willekeurig vaak differentieerbaar op (-l,oo) met f(k)(x) = ~(~-1) ••• (>~-k+l)(l+x) >~-k voor k = 0,1,2, •••• Voer nu in de notatie

uit te spreken als

11

\.l

over k"; voor

J..l

= n, n gehee 1, n ;:: k, stemt deze

notatie overeen met de binomiaalcoëfficiënt (~)ingevoerd in 1.3. Dan is f(k)(O) = k!(~) en met behulp van de stelling van Taylor (2.6.10) volgt: N

f(x) =

L

k=O

(~)xk + ~

- IJ 5 -

voor alle x> -1. Men kan nu bewijzen (met behulp van een meer verfijnde formule voor de restterm~) dat lim ~ = 0 voor lxl < I. We vinden dus N->oo

de volgende Taylorontwikkeling ~

~ L

( l+x ) ll =

(llk)xk =

k=O geldig voor lxl

< I.

Deze reeks heet de binomiaalreeks. Indien

= n met n = 0,1 ,2, ••• , breekt

11

de binomiaalreeks af na de term met k = n en gaat de reeks over in het binomium van Newton (1.3.7). 15) Zij f(x) = arcsin x, dan is f' (x) =

I

_..;~

Q

=

l:

n=O

geldig voor lxl < I. Integreer termsgewijs (3.4.4) dan volgt ~

arcsin x =

n

3

5

I x 1•3 x (-1) (!)x2n+l =x+ 2 3 + - -5+ 2n+l n 2•4 n=O

I

x

7

T

+ ••• '

geldig voor lxl < I. ~

Zij S(x) =

L

a (x-a)n voor lx-al < R, dan is a n

n=O terrosgewijze differentiatie volgt: S (k) (x) =

l: n=k

n

=

s(n)(a)

n.

• Immers door

n-k n! (n-k)! an(x-a) '

dus S(k)(a) = k!ak voor k = 0,1,2, ••• · We zien hieruit dat de machtreeks som S rond a is.

l: n=O

a (x-a) n

n

de Taylorontwikkeling van zijn

We geven nog enkele voorbeelden van Taylorontwikkelingen rond een punt verschillend van 0.

- 11 6 -

Voorbeelden. 16) De Taylorontwikkeling van sin x rond n wordt gegeven door 00

sin x = -sin(x-n) geldig voor alle x

€

(-I )n+l

l: n=O

( x-rr )

(2n+l)!

2n+ I

,

lR.

17) De Taylorontwikkeling van log(4+x) rond I wordt gegeven door: 00 ( -1) n-1 n x-1 (x-!) , log(4+x) = log(5+x-l) =log 5 +log(! +-) =log 5 + L~ 5 n=l

geldig voor alle x met lx-1

I

<

5.

3.4.8. Berekening van limieten met behulp van machtreeksen. Laat de machtreeks 00

l: n=O

00

a xn een convergentiestraal R hebben, dan heeft ook n

l: n=k

a x

n

n-k

een con-

vergentiestraal R. Voorts geldt op grond van continu'i te i t: 00

= ak. Deze resultaten worden lim L a n x n-k x-+0 n=k herhaaldelijk toegepast bij de berekening van limieten met behulp van machtreeksen.

x

x

Voorbeelden. 18) lim x->0

2

x

3

2T +'IT

e -I -x = lim I -cos x x-+0

x

2

2T

-

+

...

x 7T + 4. 3

19) lim x-+0

tan x- x = lim 3 x

sinx~x-cos

3 x cos x

x-+0

(x -

x= lim x->0

5 x + 3- 30 I = = lim 2 3 x-+0 3 x xO-z-+ ••• ) x

3

...

= lim x-+0 5

2

4

x x x x 3T + 5T- ... ) - x (I - 2T + 4!'- ... ) 2 3 x x ( l - z : + .•• )

- 117 -

20) lim x->0

e

- I -x = lim 2 x x->0

x

3

x

x

x-+0

...

=

5

. 2

-'IT+ST-···

lim

=

2 3 sin x + sin x + 2. "'3: 2 x

(sin x -x) +

sin x

+ lim

2

s1n x

x->0

x

2

I sin x ( 2 + 3! + ••• ) =

3.5. Numerieke sommatie van reeksen 00

altijd in gesloten vorm l: u is niet n= I n N te berekenen. Evenwel, elke partiële som SN = l: un is te gebruiken als n=l numerieke benadering voor S. Bij deze benadering maken we een fout, de zg.

De som S van een convergente reeks

00

l: u n • Aan de hand van voorbeelden introduceren n=N+l we vier methoden om de afbreekfout te schatten: afbreekfout E := S-S

N =

a) Maak gebruik van een expliciete formule voor E. In het geval van een Taylorreeks bijv. kan de formule voor de restterm (zie 2.6.10) als zodanig gebruikt worden.

I

b) Vergroot de termen van de reeks

u

n=N+l

reeks ontstaat.

n

zodanig dat er een meetkundige

00

l: u door middel van een integraal. n=N+l n d) In het geval van een alternerende reeks L (-I)n-la met lim a = 0 en n n n= I N n-+oo a ;:: a 2:0 voor alle nElN, geldt: Os(-!) (S-SN)S~+l; zie 3.3.1. n n+ 1 c) Geef een

schatting voor

00

Voorbeelden. I) Bereken e met een fout van ten hoogste 10 Uitgaande van 2.6, voorbeeld e

=

1 + I +

I 2!

+ ••• +

is

3

<

10

-4

I

;:;"T"

voor zekere 6 E (0,1), Nu is e (N+I)!

-4 •

N.

e

<

e

+

e

(N+ I ) ! e

<

3 en we kiezen N zodanig dat

is. Hieraan is voldaan als N = 7.

- 118 -

We vinden dan als benadering voor e: I I I I _I_ + e "' I + I + 2 + 6 + 24 + 120 + 7 20

I

I 3 700

'S'ö'4ci = 5040

3

met een fout van ten hoogste

40320 Vaak vervangt men de gewone breuk door een decimale breuk, dus bijv. 13700 ~door 2,71825, Bij deze vervanging wordt meestal nog een afrondingsfout gemaakt. Door de decimale breuk op te geven in een voldoend aantal decimalen, kan men zorgen dat de afrondingsfout kleiner is dan de afbreekfout. 2) Bereken log 0.9. Met behulp van de reeksontwikkeling voor log(l+x) (3.4, voorbeeld 7) volgt

Breek de reeks af na de tweede term dan vinden we als benadering: log 0,9 "'-

~- 2 ~ 0

= -0.105, met afbreekfoutE te schatten volgens ••• <

3) Bereken

"'

I

.. ·] =

2/oo •

~met een fout van ten hoogste 10-2

n=l n Breek de reeks af na N termen dan geldt voor de afbreekfout (vergelijk met het bewijs van 3.2.2),

2(N+l )

2

J

=

dx

3<

N+l

x

I n=N+l

I

3

<

I ---=--....3

(N+ I)

n

+

N+l

J

dx I x3 = -(-N+..:.l-).,.. 3 + 2(N+I) 2 •

Als we de som van de reeks benaderen door SN dan is de afbreekfout E ten I + _......;.!_.,.. hoogste Een betere benadering voor de som wordt gegeven 3 (N+I) 2(N+I) 2 • 2(N+I)

1 voor de fout geldt nu IE I < - -:..........." 3 2(N+I)

+ _ _:...1--;;

I

gegeven door SN +

3

2(N+I)

2

Nemen we bijv. N = 4 dan volgt

l: n=l met

I I _I + I + B + 2'i + 64

foutschatting

IE I

<

I

I

Tiä + SO = I • 202 '

2~0

---------------------------------------------------·--

-

- 119 -

4) Uit de reeksontwikkeling voor arctan x (3.4 1 voorbeeld 8) volgt I

arctan ÏÖ = 10 10- 7 ~ E ~ 0 op grond van 3.3.1.

Bij afbreken na de derde term is-~

Afspraak. Zij S de som van een convergente reeks. De berekening vanS 1n p decimalen zal als volgt worden uitgevoerd: I) Breek de reeks af zodanig dat de absolute waarde van de afbreekfout ten I -p hoogste 2 • 10 is. 2) Bepaal de aldus verkregen partiële som door in p + I decimalen te rekenen

(de extra decimaal dient om de invloed van afrondingsfouten verwaarloosbaar te maken; zonodig kan in meer extra decimalen worden gerekend). 3) Rond het verkregen resultaat af op p decimalen; hierbij treedt een afrondingsfout op van ten hoogste

2I • I 0-p •

Indien de afrondingsfouten geintroduceerd onder 2) verwaarloosbaar zijn t.o.v. de fouten gemaakt onder I) en 3), dan heeft de aldus berekende waarde vanS een fout van ten hoogste 10-p, Voorbeelden. 5) Bereken sin ~ in 5 decimalen. . ïO I a f na twee termen, dan is Breek de reeksontwikkeling voor s1n .

sLn

I ïO

~

I ïO -

599

-----3 ::: 6000 3! I 0

= 0.099833,

met een afbreekfout van ten hoogste

I 0- 5

~ <

Dus sin~= 0.09983 met een fout ~ 10- 5 6) Ga uit van de betrekking arctan ~ + arctan; = arctan I=~ n. Met behulp van de reeksontwikkeling voor arctan x (3.4, voorbeeld 8) volgt

Breek de reeks af na de derde term dan vinden we als benadering voor n: 3. I 46, 4

1 7

met een afbreekfout van ten hoogste -( (-) 7 2 Dus n

= 3.15

met een fout s 0.01.

1 7 I 2 + (-) ) = 0.0047 < - • 10- ,

3

2

- 120 -

Opmerking I. Voor de

practis~he

berekening van logarithmen is de reeksont-

wikkeling van log(l+x) (3.4, voorbeeld 7) niet erg geschikt, omdat de reeks alleen snel convergeert voor kleine waarden van Jx J. Door aftrekken van de reeksen 00

log(l+x) =

I

n=l log (1-x) = -x

3 4 2 (-I )n-1 n x = x- ~+ ~-~+ 2 3 4 n

x

2

x

3

x

4

- T- T -4-

...

...

•

•

volgt I +x) = log [ ï=X

3 5 x x -+ -+ 3 5

... J

geldig voor JxJ
I

log(y+l) =log y + 2---+ + [ 2y+l 3(2y+l )3 geldig voor y

>

0. De laatste reeksontwikkeling is zeer geschikt om uitgaande

van een bekende waarde log y vervolgens log(y+l) te berekenen. Voorbeeld 7. Bereken log 2 in 2 decimalen. Met behulp van de hierboven afgeleide reeksontwikkeling volgt I I I log 2 = log I +2-+---+---+ [3 3 5 3·3

5·3

... ] .

Breek de reeks af na de tweede term dan is de afbreekfout E te schatten volgens =_I_< _21•10-2. 540 We vinden nu de volgende benadering voor log 2: 2 2 log 2 "" 3 + ST = 0. 691 ,

dus log 2 = 0.69 met een fout$ 0.01; nauwkeuriger onderzoek leert dat de fout $ 0.004 is.

-

2. Laat S de te berekenen som zijn van een convergente reeks

o~:merkinil ~

u

121 -

~

.

Zij

L:

V

L: L: V n een tweede reeks met bekende som en met de eigenschap n n=l n=l dat Iu -v I klein is ten opzichte van Iu I· In dat geval is s te benaderen n n n

N

door

n=l

n

+

(u -v ) ; deze benadering zal veelal nauwkeuriger zijn dan

L:

n=l

n

n

N L:

de benadering door de partiële som

n=l

Voorbeeld 8. De som S :=

-zI is

u •

n

nauwkeuriger te benaderen door eerst de

n=l n reeks

n~l

(n-0\n+!} met som 2, af te trekken. Als benadering voor S vinden N

we dan: 2 +

L:

n=l

[~-+)= n n -!

N

2 -

I 4

2 2

L:

n=l

n (n

-j)

•

met afbreekfout ~

I

4

L

n=N+I

~

I

I

2 n=N+I -n---~ = -4-(N_+_I.:. .,)2..-(-N+_!_) L:

- 122 -

Hoofdstuk 4. Complexe getallen 4. I • Inleiding In de verzameling der reële getallen heèft de vergelijking x 2 = -1 geen oplossing. Op zichzelf hoeft dit feit nog geen aanleiding te zijn tot het ontwerpen van een nieuw getalsysteem. Maar al in de 16e eeuw werd ontdekt, dat men, rekenend met een uitbreiding van het systeem der reële getallen, allerlei resultaten kon afleiden, die zonder deze nieuwe getallen niet of slechts met veel moeite te verkrijgen waren. Het bekendste voorbeeld vormen de formules van Cardano voor de wortels van een derdegraadsvergelijking. In tegenstelling tot de reële (= werkelijke) getallen, noemde men de nieuwe getallen imaginair (=denkbeeldig). Wij zullen om redenen, die na 4.2 vanzelfsprekend zullen zijn, de naam complexe getallen gebruiken. Het heeft geruime tijd geduurd voor men een mathematisch bevredigende beschrijving van de invoering van de complexe getallen gegeven heeft. De eerste geslaagde poging daartoe van Argand (± 1800) bleef onopgemerkt. Eerst na een publicatie van Gauss uit 1831 werd een goed gefundeerde opbouw van het complexe getallensysteem algemeen bekend. 4.2. Invoering der complexe getallen We gaan uit van de twee-dimensionale ruimte ~ 2 (zie 1.5). In dit hoofdstuk zullen we de elementen van~ 2 complexe getallen noemen. Een complex getal is dus een vector (a,b), waarin a en b reële getallen zijn. De vector (1,0) zullen we aangeven met I, de vector (0,1) met i. Omdat we de vectoren als getallen zullen behandelen, laten we de onderstrepingen weg. De relatie (a,b) = a(I,O) + b(O,I) = al +bi schrijven we als (a,b) =: a+ ib. In het bijzonder schrijven we (a,O) =a. Dit houdt in, dat we de x-as in~ 2 identificeren met de reële getallenrechte ~. We zeggen dan ook dat (a,O) = a een reëel getal is. Een getal van de gedaante (O,b) = ib noemen we zuiver imaginair. Van een willekeurig getal z = a + ib noemen we a het reële deel (notatie a=: Re z) en b het imaginaire deel (b =: Im z); bedenk

d~

Im z een re-

eel getal is! Twee complexe getallen z 1 en z zijn gelijk, i.e. z = z , als 2 1 2 Re z 1 = Re z 2 en Im z 1 = Im z 2 • De verzameling der complexe getallen wordt

in het vervolg aangegeven als ~ (i.p.v. ~ 2 ). Complexe getallen zijn meetkun-

dig voor te stellen door punten in een vlak, het zgn. complexe vlak. Het getal a + ib (a

E ~.

b

E ~)

wordt voorgesteld door het punt met cartesische

-

I23 -

coÖrdinaten x = a, y = b (dit punt is tevens eindpunt van de vector (a, b) E JR 2 ). Verder noemen we de x-as de reële as en de y-as de imaginaire as in het complexe vlak. In~

kunnen evenals inlR rekenkundige bewerkingen worden ingevoerd. Voor

vectoren inlR2 is al een optelling gedefinieerd. Deze zullen we handhaven, als we de vectoren als complexe getallen beschouwen: 4. 2. I. Definitie. Als zi = a+ ib, z

2

= c + id (a

E

JR, b

E

JR, c

E

lR, d

E

lR), dan is

zi + z 2 := (a+c) + i(b+d). Verder zullen we in ~ een vermenigvuldiging definiëren, hetgeen niet gebeurd is inJR 2 • Bij de definitie van de vermenigvuèdiging gaan we uit van de volgende eisen: a) Voor reële getallen blijft de vermenigvuldiging zoals deze reeds bekend is.

b) De voor de vermenigvuldiging van reële getallen bekende rekenregels blijven gelden (zi(z 2 +z 3 ) = ziz 2 + ziz 3 , enz.).

c) i 2 = -I •

Als we deze voorwaarden toepassen bij de berekening van z I z

2

met z I = a+ ib,

z 2 = c + id, vinden we: {a+ ib)(c+ id) = ac + iad + ibc + i 2bd = =

(ac- bd) + i (ad + bc) •

Zo komen we tot de volgende definitie. 4.2.2. Definitie. Als zi = a+ ib, z 2 = c + id (a

E

JR, b

E

JR; c

E

JR, d

E

JR), dan is

ziz 2 := (ac-bd) + i(ad+bc) • Het is gemakkelijk in te zien, dat deze vermenigvuldiging inderdaad aan de gestelde eisen voldoet. De in b) geëiste rekenregels kunnen als volgt worden samengevat:

- 124 -

4.2.3. Stelling. I)

zl (z2z3) = (zlz2)z3

2)

zlz2 = z2zl

3)

I z = z, Oz = 0

4)

zl(z2+z3)

zlz2 + zl z3

Opmerking. InR 2 is ook een scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd, d.w.z. een vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector. Als we in 4.2.2 aannemen dat z

reëel is (d.w.z. b = 0) dan volgt onmiddellijk z z = az 2 = 1 1 2 = ac + iad, hetgeen overeenkomt met scalaire vermenigvuldiging. In

~

kan ook een deling worden gedefinieerd. Eerst laten we zien dat bij elk

~ 0 er precies één getal z = x + iy bestaat met de 2 1 eigenschap z z = !. De vergelijking z z = I luidt (a+ ib) (x+ iy) = I, dus 1 2 1 2

getal z

1

= a+ ib met z

ax - by =

bx + ay = 0 Als z

1

~

0, dan heeft dit stelsel een eenduidige oplossing: y

4.2.4. Definitie. I) Als z =a+ ib :=

z 2) Als z I' z2

€

-b

= ~

0 (a ER, b ER), dan is

_"a'-,;---=-ib"_ a 2 + b2


o,

dan is

zz

I := z 2 ·zzl 1

Het is gemakkelijk in te zien dat z /z 1 de eenduidige oplossing is van de 2 vergelijking z 1z = z 2 ~n z, Ook kan men verifiëren dat voor reële getallen de deling overeenkomt met de reeds in R bekende deling.

-

Een vector in ~

2

125 -

kan men behalve door cartesische coÖrdinaten ook beschrij-

ven met behulp van poolcoÖrdinaten (zie 1.6.1): ~ = (a,b) = (r cos~. r sin~), waarin r

1~1 de lengte van ~voorstelt en ~ de hoek die de vector x met de

=

positieve x-as maakt. In de notatie van de complexe getallen schrijft men z

=r

cos

~

+ i(r sin

= r(cos

~)

~

+ i sin

~)

•

Men noemt r de modulus of de absolute waarde van z (notatie r =: het argument van z (notatie r = la2 +bz.

Iz I),

en ~

=: arg z), Als z = a + ib, dan is dus

~

Opmerkingen. I) Voor het getal 0 wordt geen argument gedefinieerd. 2) Het argument ~ van een complex getal z is slechts bepaald op veelvouden

van

2~

na. Een van de waarden van

~

voldoet aan de eis

-~ < ~

~.

$

Deze

waarde heet de hoofdwaarde van het argument van z. De volgende stelling is eenvoudig te bewijzen. 4.2.5. Stelling. Als z

Als verder r

2

1

= r 1 (cos

~I

+i sin

~ ),

1

z

2

=

r (cos 2

~

2

+ 1 s1n

q> ),

2

dan 1s

1 0, dan is

=

Gevolg.

lz 1z 2 1 = lz 1 1 • lz 2 1

arg(z 1z 2 ) = arg z

1

+ arg z

2

;

lz/z 2 1 = lz 1 1 I lz 2 1 , arg(z 1/z 2 ) = arg z 1 - arg z • 2 4.2.6. Definitie. Als z =a+ ib (a

E ~.

b

E ~),dan

heet

~ = a - ib

de complex geconjugeerde van z. In de navolgende figuren wordt de meetkundige betekenis van de verschillende begrippen ge1llustreerd.

- !25a y-as

ib

z:a+ib:r(cos ljl +i sin ljl) o

1

1

/I

<

I

I

1

I

I I

I

Ijl

* 0/ / /

Y;

*

/

V,

a

x -as

I

I

'Z=a-ib

y-as

I I

x -as

- 126 -

De volgende eigenschappen zijn gemakkelijk te bewijzen.

a:,

4. 2. 7, Stelling. Als z c I)

lzl + z21 ,;

2)

zl

3)

zlz2

4)

= z

5)

z + z

6)

(z = z)

7)

I"ZI =

8)

zz

-

=

+ z2

=

z

1

a:,

c

I2 1 I

z

2

a:,

E

+ lz2l

dan geldt: 11 z j

•

I - 1z 2 11

,; lzl- z21

•

zl + z2 zl/z2

zlz2

= z/z2

mits z2

f 0

•

z

=

=

2 Re z

2i Im z

•

(z is reëel) •

<='>

arg z

lzl

Iz 12

=

z - z

-- l-zl

- arg z ,

2

Voorbeelden. I)

(4 + 3i) + (5- 4i) = 9- i ;

2)

(4 + 3i) -

3)

(4+3i)(5-4i) = 32-i

4)

4 + 3i = ...§_ + l!.. i 5-4i 41 41

5)

(4+3i)(5-4i) = 8 + 31i .3

6)

7)

(5- 4i) = - I+ 7i

~

= -

Re (3 + 2i) = 3 13 + 2i 1 =

m,

.

l

.4

1

i 4 k = I (k c :Z)

Ilil(3 + 2i) = 2 (niet 2i)

arg(3 + 2i) = arctan

8)

I +i = 12(cos i'+ i sin

9)

[/r(cos

!~

=

+ i sin

32

( N.B. 1. 0 := I )

3 + 2i = 3 - 2i

+ 2krr (k

E

ll) ;

i)

h)J 2

= r(cos

~

+ i

sin~)

.

Door middel van volledige inductie volgt uit 4.2.5 dat [r(cos ~ + i s1n ~)]n = rn(cos n~ + i sin n~) Hieruit volgt de formule van De Moivre

n

E

JN •

- 127 -

(cos ~ + i sin ~)n = cos n~ + i sin n~ •

4. 2. 8.

Het is gemakkelijk in te zien dat het binomium van Newton:

ook geldt voor complexe getallen. Het bewijs gegeven in 1.3.7 kan nl. letterlijk worden overgenomen. Combinatie van de binomiaalformule en de formule van De Moivre geeft een gemakkelijk methode om cos

n~

en sin

n~

uit te drukken in machten van cos

~

en

sin ~· Voorbeeld. cos 3~ + i sin 3~ = (cos ~ + i sin ~) 3

10)

= cos 3~ Splitsing

~n

+

3"~ cos 2~

.

s~n ~

- 3 cos

~

=

. 2

-

s~n ~

~

. 3

s~n ~

het reële en imaginaire deel geeft: 3 cos

" 3 ~- - 3 cos 2~

s~n

.

s~n ~

. 2

~

s~n ~

-

s~n

4 cos

3

· 3~ --3" s~n

~

- 3 cos

~

" 3~ - 4 s~n

~

4.3. Complexe polynomen, algebraÏsche vergelijkingen Analoog aan 2.2.1 is: 4.3.1. Definitie. Een complex polynoom is een functie p:

~+~.die

we als volgt

kunnen schrijven: p(z) = a z n

n

+ an-1 z

n-1

+ ••• + al z + ao '

waarin a 0 ,a 1 , .•• ,an complexe getallen zijn en ani 0. Deze getallen worden coëfficiënten genoemd. Het gehele getal n 2: 0 heet de graad van het polynoom (notatie gr(p)). Een aantal definities en eigenschappen uit 2.2 kunnen zonder meer worden overgedragen op complexe polynomen. Zo heet z

E ~ een nulpunt van p als 0 p(z 0 ) = 0. Voor complexe polynomen geldt ook de reststelling (zie 2.2, voorbeeld 4): Als p(z 0 ) = 0, dan bestaat er een complex polynoom q(z) zodat

p(z)

=

(z- zo)q(z).

- 128 -

Analoog aan 2.2.3 definiëren we: 4.2.3. Definitie. Het getal z

0

E ~heet

een k-voudig nulpunt (of: nulpunt met mul-

tipliciteit k) van een complex polynoom p, indien er een complex polynoom q bestaat met q(z ) 0

0 en p(z) = (z-z )k q(z). 0

<#

De volgende belangrijke eigenschap van complexe polynomen geldt niet voor polynomen als beschouwd in 2.2. 4.3.3. Stelling (hoofdstelling van de algebra). Een complex polynoom met positieve graad heeft tenminste een nulpunt. We zullen deze stelling niet bewijzen. Uit 4.3.3 volgt: 4.3.4. Stelling. Zij p(z) een complex polynoom met gr(p) = n, n ~I, en met coëfficiënt van zn gelijk aan a. Dan is p(z) te ontbinden 1n lineaire factoren:

Bewijs. We bewijzen de stelling door volledige inductie naar n.

=

In geval n

I

is p(z)

= az

+ b en de ontbinding wordt: p(z)

= a(z

+ b/a).

Veronderstel nu dat de stelling juist is voor polynomen met graad n- I. Zij p(z) een complex polynoom met gr(p) = n en met coëfficiënt van zn gelijk aan a. Volgens 4.3.3 heeft p(z) dan tenminste een nulpunt, zn te noemen. Uit de reststelling volgt dat er een complex polynoom q(z) bestaat zodat p(z) = (z- z )q(z). Het polynoom q(z) is van de graad n- I en de coëfficiënt n

van zn-l is gelijk aan a. Op grond van de inductieveronderstelling is q(z) dan te ontbinden in lineaire factoren: q(z) = a(z-z )(z-·z ) 1

Daaruit volgt: p(z)

•• •

2

(z- z

n- 1

).

(z- z ) • n

0

De getallen z ,z 2 , ••• ,zn optredend in de ontbinding van p(z), zijn juist de 1 nulpunten van p(z). Deze nulpunten hoeven niet alle verschillend te zijn. Indien we een eventueel k-voudig nulpunt k keer tellen, dan heeft een complex polynoom met graad n dus precies n nulpunten. Indien een polynoom p(z) = anz

n

n-1

+ an_ z 1

+ ••• + a z + a meer dan n nulpunten heeft, dan is 1 0

p (z) het nulpolynoom.

In de volgende stelling geven we een aantal eigenschappen van complexe polynomen met reële coëfficiënten.

- 129 -

·· 4.3.5. Stelling. Zij p(z) = anz n + an-lz n-1 + •.• + a 1z + a 0 een polynoom met reele coëfficiënten a ,a , .•. ,an. Dan geldt: 0 1 a) Als z b) p(z)

E

=

JR, dan is p(z)

E

p(z) voor alle z

JR. E ~.

E ~een k-voudig nulpunt is van p(z), dan is ook z een k-voudig 0 0 nulpunt van p(z).

c) Als z

d) p(z) is te ontbinden in polynomen met graad s 2 en met reële coëfficiënten.

Bewijs. a) Triviaal. b)

p(z)

-n-1 + z + an-lz = a n-n

...

+ ao

n-1 + = a n z n + a n- 1z

n-1 + a zn + a z n n- 1

...

+ ao

= p(z)

...

+ ao =

c) Zij z

E ~ een k-voudig nulpunt van p(z), dan bestaat er een complex po0 lynoom q(z) met q(z 0 ) # 0 en p(z) = (z- z ) k q (z). Met behulp van b)

0

volgt nu: p(z)

= p(z) =

-

(z- zo)

k

-

-

q(z) = (z- zo)

k

-

q(z)

Omdat q(z ) # 0, is z dan k-voudig nulpunt van p(z). 0 0 d) Onderscheid de nulpunten van p(z) in reële nulpunten xi' i = I ,2, •.• ,r, met multipliciteit m., en niet-reële nulpunten. De laatste komen voor 1n pa1

ren z., z., j = 1,2, ••• ,s, met multipliciteit k .• Bedenk nu dat J

J

J

(z-z.)(z-z.) J

J

z

2

- (z. + z.)z + z.z. J J J J

z

2

- 2z Re z. + lz-1 J J

2

Het polynoom is dan op grond van 4.3.4 als volgt te ontbinden: P (z)

(z

2

- 2z Re z 2 +

I z 2 12 ) k2

• • • (z

2

- 2z Re z

s

2 k +lzl)s.O s

Opmerking. Uit het bewijs van 4.3.5 d) volgt dat een polynoom met oneven graad en reële coëfficiënten, tenminste één reëel nulpunt heeft. Leid dit resultaat ook af met behulp van de tussenwaardestelling (2.5.5).

-

130 -

Een algebra"ische vergelijking is een vergelijking van de vorm p(z)

=

0,

waarbij p(z) een complex polynoom is. Indien gr(p) = n, dan heet de vergelijking van de graad n. E ~ een k-voudig nulpunt is van het polynoom p, dan heet z = z 0 0 een k-voudige wortel van de vergelijking p(z) = 0.

Indien z

Uit 4.3.4, 4.3.5 volgt onmiddellijk: 4.3.6. Stelling. Een algebra"ische vergelijking van de graad n heeft n wortels; hierbij zijn meervoudige wortels net zo vaak geteld als hun multipliciteit bedraagt. E ~ een k-voudige wortel is van een algebraÏsche vergelij0 king met reële coëfficiënten, dan is ook een k-voudige wortel van de ver0 gelijking.

4. 3. 7. Stelling. Als z

z

Als eenvoudigste voorbeeld van een algebraïsche vergelijking beschouwen we de binomische vergelijking

waarbij a

E ~en

ar 0 (voor a= 0 is de vergelijking triviaal),

Ter oplossing van deze vergelijking schrijven we z = r(cos

~

+ i

sin~)

waarna de vergelijking zn rn(cos n~

+

,

a= r (cos a+ i sin a) , 0

a overgaat in:

i sin n~)

= r 0 (cos

Bedenk nu dat twee complexe getallen

(r

i sin

a +

a)

•

0) dan en slechts dan gelijk zijn

als ze dezelfde modulus en hetzelfde argument (afgezien van een veelvoud van 2rr) hebben. We vinden dus r

n

n~

\nr-

r = vr, 0

a + 2krr ,

~

=n

2krr

+ -n

(k

E

:lZ) ,

De vergelijking zn = a heeft dan de wortels k

E

;2 ,

- 131 -

Merk op dat zk = zk+n' We kunnen daarom volstaan met achtereenvolgens k = O,l, ..• ,n-1 te stellen; aldus vindenwen verschillende wortels van de vergelijking zn = a. Voorbeelden. I) Los op de vergelijking z 3 =-i. Bepaal J-iJ= I, arg(-i)=-jn, en stel z = r(cos cp +i sin cp),

dan is de

vergelijking te herleiden tot 3 r (cos 3cp +i sin 3cp) = l(cos(-jn) +i sin(-jn)) met oplossing r = I, cp =-in+~ kn, k

E

z.

Substitueer achtereenvolgens k = 0,1,2, dan vinden we de wortels + i sin(-.!. n) = j / 3 - j i , 6

k

k = I : z2 = cos jn + i sin ln = i 7 k = 2: z3 = cos n + i sin 67 n = 6

j/3-ji.

Substitutie van k = 3 levert opnieuw de wortel z • 1 2) Los op de vergelijking z 4 = -1. Bepaal j-1 J = I, arg(-1) = n. Schrijf z = r(cos cp +i sin cp), dan vinden we als oplossing r = I, cp = !n + jkn, k

E

z.

Substitutie van k = 0,1,2,3

levert de wortels z

= jv'2(1 +i), z = jv'2(- I +i), z = jv'2(- 1- i), 1 2 3 z 4 = jv'2(1- i); deze wortels zijn weergegeven in de navolgende figuur. Merk op dat z 1 = z , z = z , in overeenstemming met 4.3.7. Overeenkom2 4 3 stig 4.3.5 d) is het polynoom z 4 + I te ontbinden in twee kwadratische factoren met reële coëfficiënten: z

4

+ I = (z = (z

2 2

- 2z Re z -

1

2 2 + Jz j )(z - 2z Re z + jz j 2 ) = 1 2 2

12. z + I) (z 2 + v'2 z + I) •

- 132 -

De vergelijking (az + b) waarbij a,b,c

E ~

n

= c ,

en a f 0, is eenvoudig te herleiden tot een binomische ver-

gelijking. Stel nl. w = az + b, dan ontstaat er de vergelijking wn = c die op de hierboven beschreven wijze is op te lossen. In het bijzonder kan men aldus elke vierkantsvergelijking oplossen d.m.v. kwadraatafsplitsing. . "k"1ng z 2 + z + Voorbeeld 3. De verge 1 lJ

(z+!)

2

=-!.

De wortels zijn z

1

= -

0 kan worden beschreven als

=

! + ji/:ï en z 2

i - ji/3.

= -

4.4. Analyse in het complexe vlak We hebben ~ gedefinieerd als

m2

met als extra bewerking de vermenigvuldi2 ging. We kunnen daarom alle bekende convergentiebegrippen uit m (zie 1.5) zonder meer in

~

overnemen. We beschouwen dus de begrippen open bol, open

verzameling, omgeving, gesloten verzameling, begrensde verzameling, rij, convergentie van een rij en begrensde rij bekend. We merken op dat we voor sommige begrippen een iets andere notatie zullen gebruiken dan in 1.5. Zo wordt bijv. de afstand van twee complexe getallen z

en z aangegeven door 2 1 [z - z 2 [. Alle eigenschappen die in I .5 zijn afgeleid blijven geldig. Uit 1 1.5.6 volgt dat een rij complexe getallen (zn) convergent is, dan en slechts

dan als de reële rijen (Re z ) en (Im z ) convergent zijn. De bewijzen van n

n

de volgende stellingun zijn analoog aan die van 1.4.8, 1.4.9. 4.4.1. Stellin!li (standaardlimiet). Als fa[

<

I ' dan is lim a

4.4.2. Stelling. Als lim a = a, lim b = b (a n n n.- n u.I)

lim (an + bn) = a+b n.-

2)

lim anbn = ab ; n-+oo

3)

lim I /a = 1/a mits a f 0 n n-+oo

4)

lim fan[ = [af n.-

.

n

o.

=

n.-

E

1!:, b

n

E

~.

a

E

~.

b

E

IC) ' dan lS

- 133 -

Een complexe functie van één reële variabele is een afbeelding f: A ~ waarbij

Ac~.

~.

A heet de definitieverzameling van f; notatie DOM f,

Onder de afbeelding f wordt aan elke t

E

DOM f een getal f(t)

E ~

toegevoegd.

De functie f(t) is dan te schrijven als f(t) = u(t) + iv(t), waarbij de reele functies u(t), v(t) het reële resp. imaginaire deel van f(t) zijn. De functiewaarde f(t) is voor te stellen door een punt in het complexe vlak. De puntverzameling {f(t)

I

t

E

DOM f} is een kromme in het complexe vlak. De

functie f(t) heet een parametervoorstelling van deze kromme, met parameter t. Vaak wordt een functiewaarde f(t) met een aparte letter z aangegeven; men schrijft dan z = f(t), Voorbeeld !. De eenheidscirkel in het complexe vlak wordt beschreven door de parametervoorstelling f(t) =cos t +i sint, 0 s·t <

2~.

Voorbeeld 2. De parametervoorstelling van een rechte luidt z = a + bt, t

E

~.

waarbij a en b complexe constanten zijn.

Voorbeeld 3. De functie f(t) = a cos t + ib sin t, 0 s t b

E ~.

< 2~,

met a

E ~.

is parametervoorstelling van een ellips.

De definitie van de afgeleide en van de integraal van een complexe functie ligt onmiddellijk voor de hand, Zij f(t) = u(t) + iv(t), waarbij u(t) en v(t) reële functies zijn, dan is f' (t) := ~~ := ~~ :=u' (t) + iv' (t) b

J a

b

b

J u(t)dt + i J v(t)dt

f(t)dt := a

a

aangenomen dat de afgeleiden resp. integralen van u, v bestaan. Analoog aan 2.6.4, 2.8.6 gelden de volgende regels voor het differentiëren en integreren van complexe functies. 4.4.3. Regels voor het differentiëren. Als de complexe functies f, g differentieerbaar zijn in a, dan zijn ook f + g, H (À

E

a:), fg, f/g (mits g(a)

ferentieerbaar in a en hun afgeleiden worden gegeven door I)

(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a),

<#

0) dif-

- 134 -

2)

{U)'(a) = U'(a) ,

3)

(fg) '(a) = f'(a)g{a) + f{a)g' (a)

4)


f

I

(a)

= f'(a)g{a)- f{a)g'(a) g2(a)

Bewijs. We bewijzen alleen regel 3). Schrijf f(t) = u 1(t) + iv 1(t), g(t) = u {t) + iv (t), waarbij u , u , v , v reële functies zijn. Dan is 2 2 2 2 1 1

Voor de afgeleide (fg)'(a) vinden we nu, met weglating van het argument a: u' v'v ( fg)' = u'u 12 +u 1212

De overige regels volgen op analoge wijze uit de overeenkomstige regels

0

2. 6. 4.

Ook de navolgende regels voor het integreren zijn eenvoudig af te leiden uit de overeekernstige regels voor reële functies (zie 2.8.1, 2.8.6). 4.4.4. Regels voor het integreren. I) Als de complexe functies f, g integreerbaar zijn over [a,b], dan geldt voor alle b

J [H(t) + ~g(t)]dt

À,~ E ~:

b

J f(t)dt

À

a

b

+

~ J

g(t)dt

a

a

2) Partiële integratie:

b f(t)g' (t)dt J a

b

b = f{t)g{t) a

a

J

f' (t)g(t)dt

Een complexe reeks is een reeks waarvan de termen complex zijn. Evenals in

L a (a n=l n n rij (SN) van partiële sommen SN :=

3.1 noemen we een reeks

E 0: N

I

k=l dan heet S de som van de reeks.

voor elke n ~

E

lN)

convergent als de

een limiet heeft; indien lirn SN = S N->«>

- 135 -

~

I

Analoog aan 3. 1.2 kan men bewijzen dat liman= 0 als

I

We noemen een reeks

an convergent is.

n=l

U700

I

a absoluut convergent als fan/ convergent is. 0 n=l n=l (N.B. Hier betekent Janl de modulus van het complexe getal an.)

~

4.4.5. Stelling. Als

I

n=l

00

a

absoluut convergent is, dan is

n

Bewijs. Er geldt jRe a I n

Jan i en Jrm an I

~

~

3.2.4 en 3.3.3 volgt dan dat halve

lS

ook

I

I

n=l

n= I

I

n=l ~

Iani

a

n

convergent.

voor elke n

E

JN.

Uit

~

Re a en n

I

n=l

Im an convergent zijn. Der-

I

n= I

0

convergent.

Opmerking. Stelling 3.3.4 (Cauchy-produkt) geldt ook voor complexe reeksen. ~

Een reeks van de vorm

I n=O

a zn waarbij z een complexe variabele is, heet een n

complexe machtreeks. ~

Analoog aan 3.4.1 geldt de stelling: Als een complexe machtreeks

I

a zn n

n=O convergent is voor z = ç # 0, dan is de reeks absoluut convergent voor alle z met jzj

<

JçJ. Het bewijs van deze stelling is gelijk aan dat van 3.4.1.

We concluderen dat bij de convergentie van machtreeksen zich de volgende drie mogelijkheden kunnen voordoen: I) De machtreeks is convergent alleen voor z = 0 en divergent voor alle z

# 0.

2) De machtreeks is absoluut convergent voor alle z, 3) Er bestaat een getal R

>

0 zó dat de machtreeks absoluut convergent is

voor !z/
>

R.

Het getal R heet weer de convergentiestraal van de machtreeks. In de gevallen I) en 2) stellen we R = 0 resp. R =

oo,

Ook hier is geen algemene uitspraak te doen over de convergentie of divergentie van een machtreeks op de zgn. convergentiecirkel jzj = R; deze dient bij elk voorbeeld apart onderzocht te worden.

- 136 -

De waarde van R kan vaak worden bepaald door middel van de kenmerken van d'Alembert of Cauchy, zie 3.4.2. Uit het voorgaande volgt in het bijzonder: Als de (reële) machtreeks

"'

I

a xn een convergentiestraal R heeft, dan heeft ook de complexe machtn

n=O reeks

"'

I a zn een convergentiestraal R. Dit geeft ons de mogelijkheid om ·n=O n een functie f, die som is van een reële machtreeks met convergentiestraal R, ook te definiëren voor lzl

<

Rinhet complexe vlak. Zo kunnen we bijv. voor

willekeurige complexe z definiëren ez, sin z, cos z, en voor lzl

< I

de

functies log(!+ z), arctan z. We zullen ons in dit hoofdstuk beperken tot de bestudering van één van deze functies, nl. ez,

4.5. De functie ez 00

4.5. I. Definitie. ez :=

I n=O

z

n

n!

voor z

E

a:.

Uit 4.4 volgt dat ez is gedefinieerd voor alle z is fundamenteel. 4.5.2.

Stellin~.

z w z+w e e = e voor alle z, w

E

a:.

De volgende eigenschap

E IC.

Bewijs, Volgens 3.3.4 is ezew

=

[

n)[ oo I ; I n=O n. n=O oo

00

n

I n=O

I k=O

f)

00

I

n=O

( kn) zkwn-k

Uo "'

I n=O

k n-k ) z k! (:- k)! = (z+w)n z+w = e n!

waarbij gebruik gemaakt is van het binomium van Newton (1.3.7). We bepalen het reële en imaginaire deel van ez. Eerst beschouwen we het geval dat z zuiver imaginair is. 4.5.3. Stelling (formule van Euler). Als y ER, dan is eiy

cos y + i sin y •

0

- 137 -

inyn

Bewijs. Volgens 4.5.1 is e iy

n!

Daar 1. 2n = ( - 1) n en 1. 2n+ I =

I

(-l)n

n=O

vinden we

k 2n

+i

I

n=O

Gevolg. Voor willekeurige z = x + iy met x,y e

z

2n+l "7'!:--7"<"T (2n + I) !

(-1 )n

= e x+iy = e x (cos

E ~.

= cos

y + i sin y •

kunnen we schrijven:

y + i sin y)

Hieruit kunnen we een aantal eigenschappen afleiden.

4.5.4. Stelling. I ) Als y

E

~.

dan 1s · leiyl = I.

2) Als z = x + iy met x,y e

x

E ~.

arg e

z

dan is

=y

.

(Dit argument is in het algemeen niet de hoofdwaarde.) 3) Als y E ~. dan lS

~ (eiy + e -iy )

iy

cos y

Re e

sin y

Im elY =

2i

(eiy

-

e

-iy

)

4) Een complex getal z # 0 is te schrijven als z ~

=

waarbij r

Iz I •

arg z.

Als we 1n de produktregel 4.5.2 stellen z we cos(u +v)

= iu,

w = iv, u,v E

~.

dan vinden

cos u cos v- sin u sin v

sin(u +v) = sin u cos v + cos u sin v 1.e. de bekende somformules voor goniometrische functies. De formule van De Moivre (4.2.8) volgen direkt uit de formule van Euler (4.5.3), immers (cos

~

+ i sin

~)

n

=

(e i~ ) n __

ein~

__

cos

n~

+ i sin n~ .

0

-

138 -

We kunnen de relaties tussen de functie e

2

en de goniometrische functies be-

nutten om (cos x)n en (sin x)n te schrijven als een som van de gedaante cos kx, sin kx.

Voorbeeld I. cos 5 x -- [eix

=

I ( 5ix + 5 e 3ix + 10 e ix + e -ix + e-3ix + e -5ix) 10 5 32 e

=

I ï6 (cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x) •

Hieruit '' volgt

J

~

5 cos x dx =


+ C

_vergelijk dit met 2.9.4, voorbeeld 8. De functie ez is ook nog op andere wijze te gebruiken om integralen te berekenen. We merken op dat voor b

.2.. ( ibt) dt e

E

m geldt

d ( cos b t + '~ sin bt) = - b sin bt + ib cos bt = = dt

=

ib(cos bt + i sin bt)

=

ibeibt

Samen met de bekende eigenschap d~ eat = aeat voor a d (e(a+ib)t) dt

E

m,

volgt hieruit:

at ibt + 1 'b eate ibt

=aee

( a + ~'b) e (a+ib) t . We zien dus dat d

dt e

at

geldig voor elke a

ae

at Derhalve is ook

E 1[;,

b

J a

eatdt =

a

e

at

b a

mits a " 0 .

- 139 -

Voorbeeld 2. Als a,b

E

:R, a > 0, dan is

00

0

I

00

e -at cos bt dt

= Re

f 0

e(-a+ib)tdt

= Re -a+ ib e(-a+ib)tl: =

= Re a- ib = Re a + ib = a a2 + b2 a 2 + b2 ' zoals we ook in 2.9.2, voorbeeld I vonden.

4.6. Meetkunde in het complexe vlak Meetkundige figuren in het complexe vlak zijn vaak eenvoudig te beschrijven door middel van complexe getallen. We lichten dit toe aan de hand van een aantal voorbeelden. Voorbeeld !. In de navolgende lijst is links aangegeven een verzameling van complexe getallen die aan een bepaalde voorwaarde voldoen, en rechts de bijbehorende meetkundige figuren in het complexe vlak: I)

Re z

=

2) Im z

2

rechte door 2 evenwijdig aan de imaginaire as;

-3

rechte door -3i evenwijdig aan de reële as;

=

3) 1z + 2i 1

4) arg(z- i)

cirkel met middelpunt -2i en straal I; TI

=4

halfrechte door i (i zelf uitgezonderd) onder een hoek n/4 met de positieve reële as;

5)

Re z >

6)

1z + zi 1

7) I z + 31

2

=

halfvlak rechts van de lijn Re z

>

gebied buiten de cirkel

= I z- i I

Iz + Zil

2;

= I;

middelloodlijn van het lijnstuk dat -3 en i verbindt;

8) I z +si + 1z + 3i 1

z- 3 9) Re --. z+1

=

0

8

ellips met brandpunten -5 en -3i en lange as 8; cirkel met het lijnstuk van -i naar 3 als middellijn, en

10)

lezl

~et

uitzondering van -i;

imaginaire as.

-

I 40 -

Een complexe functie van één complexe variabele is een afbeelding f: A waarbij

Ac~.

~.

B c

Beschouw de complexe functie w

=

~

B,

f(z), dan zijnzen w

meetkundig voor te stellen door punten in het complexe z-vlak resp. w-vlak. Als hulpmiddel voor het onderzoek van f(z) kan men nu van bepaalde puntverzamelingen in het z-vlak (bijv. rechten evenwijdig aan de reële of imaginaire as, cirkels) het beeld in het w-vlak bepalen. Voorbeeld 2. Bepaal het beeld van de volgende verzamelingen onder de afbeel. z d1ng w = e : I) rechte Re z = a,

2) rechte Im z

b,

=

3) halfrechte arg z

4) halfvlak Re z

"· 0'

<

I

5) verzameling {z E C:

Re z

>

0, IIm zl < rr}.

Met gebruikmaking van de relaties le

2

1

e

Re z

arg e

z

= Im z, vinden we als

beeld in het w-vlak, achtereenvolgens: I) Cirkel lwl = ea, d.i. cirkel met middelpunt 0 en straal ea. 2) Halfrechte arg w 3) Zij ei"

=

= b.

a + ib, dan heeft de halfrechte arg z = a als parametervoor-

stelling: z

(a+ ib)t, t > 0. Daaruit volgt r := lwl = lezl = eat en

~ := arg w = arg ez = bt. Door eliminatie van t vinden we r = ea~/b, d.i. de vergelijking van een spiraal mits b # 0. (Wat is het beeld als b

4) Cirkelschijf lwl 5) Verzameling {w

0?)

I, met uitzondering van 0.

<

I

=

lwl < 1, larg wl < rr}, d.i. de cirkelschijf lwl
uitzondering van het lijnstuk van -1 naar 0. Voorbeeld 3. Bepaal het beeld van de eenheidscirkel lzl = I onder de afbeelit ding w I I (I + z). De eenheidscirkel wordt geparametriseerd door z = e -rr <

t s rr. We vinden dan w =

-~..,..

+e

it

=

e

-!it

-,..;:.,-...,~

e

-jit

+e

-

jit -

cos !t - i sin !t 2 cos !t

! -

Het beeld is blijkbaar de rechte Re w = j. Merk op dat Im w als t

+ rr

(resp. -rr) (d.w.z. z

+

-1).

!i tan lt • +

-<»

(resp. oo)

-

141 -

Opmerking. Men kan aantonen, dat bij een afbeelding van de vorm w -

met ad

~

+b = az d cz +

bc, een rechte of een cirkel in het z-vlak wordt getransformeerd in

een rechte of een cirkel in het w-vlak. Opgave. Bepaal het beeld van de eenheidscirkel onder de afbeelding w =

z- 1 z+1

- 142 -

Hoofdstuk 5. Differentiaalvergelijkingen 5.1. Inleiding Een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde is een relatie van de vorm y 1 = f(x,y) .

(I)

Hierbij is f een functie van twee variabelen, die aan elke (x,y) uit een 2 verzameling in IR een reëel getal f(x,y) toevoegt, De verzameling waarop f(x,y) is gedefinieerd zullen we in analogie met 2.1 aangeven met DOM f. Een functie y(x) gedefinieerd en differentieerbaar op een interval (a,b) heet een oplossing van (I) op (a,b), als (x,y(x)) voor alle x

E

DOM f en y 1 (x)= f(x,y(x))

E

(a,b). Op analoge wijze noemen we

y (n) = f( x,y 1 ,y " , ••• ,y (n-1)) een gewone differentiaalvergelijking van de n-de orde. Voorbeelden. I) y 1 = -y/x. Alle functies van de vorm y(x) = C/x, waarbij C een willekeurige constante is, zijn oplossing op (O,oo) en op (-oo,O). 2) De functies sin x en cos x zijn op IR oplossingen van de tweede orde differentiaalvergelijking y" = -y, 3) De vergelijking van Van der Pol (1927) y" -

)1

(I -

2

y )y I + y = 0

heeft als oplossing o.m. y(x) = 0 voor alle x. Er bestaan ook andere oplossingen van deze vergelijking, maar deze zijn niet in een eenvoudige gesloten vorm weer te geven (althans als

1l

# 0),

Een differentiaalvergelijking van de vorm

heet een lineaire differentiaalvergelijking. De functies an(x), ••. ,a (x) 0 heten de coëfficiënten. Als deze constant zijn en a # 0, dan spreken we n

van een n-de orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.

-

Als f(x)

~

143 -

0 voor alle x, dan heet de vergelijking homogeen, anders

inhomogeen. De differentiaalvergelijking uit voorbeeld I) is dus lineair homogeen van de eerste orde, met niet-constante coëfficiënten. De vergelijking uit voorbeeld 2) is lineair homogeen van de tweede orde met constante coëfficiënten. De vergelijking van Van der Pol uit voorbeeld 3) is nietlineair (in dit geval spreekt men niet over homogeen of inhomogeen en over al dan niet constante coëfficiënten). Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde laten een eenvoudige meetkundige interpretatie toe. Door de vergelijking wordt in ieder punt E

DOM f een richting gedefinieerd, nl. die van de rechte door

met richtingscoëfficiënt f(x ,y ); zie fig. 1. 0 0

/

-- --- --- --/

:tcx 0 ,y0 !

-

I

- J

cxo' Yol

fig. I

/

.....-

-- -

-

"'

fig. 2

Men kan zeggen dat aan ieder punt (x ,y ) E DOM f een vector is toegevoegd, 0 0 nl. (1, f(x ,y )). Op deze manier is het vlak (voorzover de differentiaal0 0 vergelijking is gedefinieerd) bezaaid met pijlen; zie fig. 2. We spreken daarom van een richtingsveld. Voor de differentiaalvergelijking uit voorbeeld I) is het bijbehorende richtingaveld getekend in fig. 3. y

~\

\

\\ \

-........."'-- fig. 3

...........

x

-

-

fig. 4

-

-

- 144 -

Een functie y(x) is nu oplossing van de differentiaalvergelijking, indien de grafiek van y(x) "past" in het richtingsveld, d.w.z. indien in elk punt van de grafiek de raaklijk de richting van de in dat punt gedefinieerde pijl heeft; zie fig. 4. De grafiek van een oplossing y(x) heet een oplossingskromme of integraalkromme van de differentiaalvergelijking. De meetkundige interpretatie van de differentiaalvergelijking (I) suggereert dat het hele (x,y)-vlak is opgevuld met oplossingskrommen, d.w.z. dat er door elk punt precies één oplossing gaat, Men kan bewijzen dat dit inderdaad het geval is onder redelijke aanamen over f(x,y). Het blijkt dat een differentiaalvergelijking in het algemeen vele oplossingen heeft. Vaak kan men alle oplossingen aangeven in één formule, waarin y behalve van x ook van een parameter C afhangt: y

=

~(x,C)

;

We zeggen dan dat deze formule de algemene oplossing van (I) voorstelt. Indien we voor C een bepaalde waarde substitueren dan vinden we een zg. particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking. De differentiaalvergelijking (I) wordt vaak vergezeld door een zg. beginvoorwaarde van de vorm y(a) = y , waaraan de oplossing moet voldoen. Door 0 deze voorwaarde wordt in het algemeen de parameter C vastgelegd. Bij een differentiaalvergelijking van de n-de orde hangt de algemene oplossing van n parameters af:

Deze parameters kunnen worden vastgelegd door het voorschrijven van n beginvoorwaarden y(a) = y , y ' (a)= y , .•• ,y (n-1) (a)= Yn-I' 0 1 In 5.2 en 5.3 bespreken we twee typen van vergelijkingen van de eerste orde. In 5.4 worden hogere orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten behandeld. Tenslotte geven we in 5.5 een toepassing in de theorie van de lineaire trillingen.

- - -

-

------..,.--------

I45 -

5.2. Scheiding van variabelen Een differentiaalvergelijking van het type y

, =

f(x) g(y)

(I )

kunnen we schrijven als g(y)y'

= f(x)

(2)

Zij Geen onbepaalde integraal vang en Feenonbepaalde integraal van f, dus G(y)

= Jg(y)dy,

F(x)

= Jf(x)dx

,

Voor een oplossing y(x) van (2) geldt dan volgens de kettingregel: d: G(y(x))

= G'(y(x))y'(x) = g(y(x))y'(x) = f(x) = F'(x) ,

zodat G(y(x)) = F(x) + C .

(3)

Door deze vergelijking is y(x) impliciet als functie van x gegeven. Gewoonlijk gaat men bij het oplossing van (I) op de volgende formele manier te werk. Men schrijft ~ =

dx

f(x) g(y) '

waaruit volgt g(y)dy

= f(x)dx

,

( 4)

Jg(y)dy = Jf(x)dx , G(y) = F(x) + C Hoewel (4) alleen formele betekenis heeft zien we door vergelijken met (3), dat op deze manier toch het juiste resultaat wordt gevonden.

- I46 -

Een differentiaalvergelijking van de vorm y' (x) = f(x)h(y)

(5)

wordt van de gedaante (I), als we g(y) := I/h(y) stellen. Hierbij nemen we geldt h(y ) = O,dan is de con0 oplossing van (5). Deze oplossing wordt niet terug-

dan aan dat h(y) # 0 is. Als voor zekere y

= y0

stante functie y(x)

0

gevonden als men de vergelijking op de hierboven beschreven wijze oplost. Daarom moet deze oplossing apart worden vermeld.

= -x/y.

Voorbeelden. I) y' We schrijven

2ydy = -2xdx , waaruit volgt y

2

= -x

2

+ C

De integraalkrommen zijn cirkels met de oorsprong als middelpunt. Hierbij moeten punten op de x-as worden uitgezonderd omdat daar de differentiaalvergelijking niet is gedefinieerd. Voor iedere C > 0 vinden we dus twee oplossingen gedefinieerd op het interval (-11:, 11:), nl. y

=: Vc -x2.

2) xy' - y = 0.

We delen door xy: ~ =

y

dx x

dan volgt na integratie

Let wel, dat y = 0 voor alle x, ook een oplossing is, die we hebben verduisterd omdat we door y hebben gedeeld. Derhalve vinden we de algemene oplossing y

= Dx

,

waarbij D een willekeurige constante is.

--------------------------------------------------- 14 7 -

3) y' = 1 + y

2

heeft als algemene oplossing y = tan(x + C). Merk op dat geen

enkele oplossing over een interval met een lengte groter dan

TI

is gede-

finieerd, hoewel de differentiaalvergelijking overal is gedefinieerd. 4) Laat het aantal individuen van een bepaalde (dieren- of planten-) soort

in een gegeven milieu op het tijdstip t gegeven worden door p(t). Een eenvoudig model van het verloop van p(t) als functie van t, krijgen we, als we veronderstellen dat de relatieve groei een positieve constante is: p(t)/p(t) =

À

(N.B. Differentiatie naar t, in het bijzonder als t de tijd voorstelt, geeft men vaak aan door een punt in plaats van een accent.) Dit levert de differentiaalvergelijking p(t) = Àp(t) , die volgens bovenstaande methode kan worden opgelost: p(t) = CeÀt . We zien dat de populatie "exponentieel" toeneemt. Gewoonlijk zal echter tengevolge van overbevolking de relatieve groei afnemen als de populatie toeneemt. Een eenvoudig model is p(t)/p(t) = a- bp(t) , waarbij a en b positieve constanten zijn. Dan is 2 p(t) = ap(t) - bp (t) , met oplossing d~

f ap- bp 2 = f dt

,

log

p = t + a- bp

p(t) =

a

1

a

b +De at

,

c ,

-

148 -

waarbij D (=! e-aC) een willekeurige constante is. De waarde D = 0 correspondeert met de constante oplossing p(t) = a/b, die we in bovenstaande afleiding hebben verduisterd. In de navolgende figuur zijn een aantal oplossingskrommen geschetst, p (t)

t

Merk op dat p < 0 als p

>

a/b en p

>

0 als p < a/b. We zien dat in de

stationaire toestand de populatie gelijk is aan a/b. 5) Een kapitaal staat uit tegen een constante rente p%. Het beginkapitaal (op tijdstip t = 0) is K • Op het tijdstip t is de kapitaalsgroei even0 redig met het kapitaal:

K

= ~K.

De oplossing is K(t) = K e~t

We kunnen

0

K(l) - K(O) = K e~ - K

0

~

bepalen uit

0

dus ~

= log(l +p/100) ,

6) De snelheid van desintegratie van een radioactieve stof is evenredig met de aanwezige hoeveelheid, Als dus y(t) de op het tijdstip t aanwezige hoeveelheid radioactieve stof is, dan geldt -y = .\y •

De oplossing is y(t) = y(O)e-Àt, À heet de desintegratieconstante. De halfwaardetijd Tl berekent men uit y(Tj) = ly(O), dus Tl= lo~ 2

-

149 -

5.3. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde We beginnen met de homogene lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde: (I)

y'(x) + f(x)y(x) = 0. Deze vergelijking kunnen we oplossen d.m.v. scheiding van variabelen:

!!l. y

= -f (x) dx

•

waaruit volgt

(2)

y(x) = D exp(-Jf(x)dx) .

Zij nu u(x) een willekeurige niet-triviale oplossing van (1), dus een functie van de vorm (2). De algemene oplossing van (I) is dan te schrijven als

= Cu(x)

y(x)

(3)

waarbij C een willekeurige constante

~s.

Beschouw nu de inhomogene vergelijking y' + f(x)y

=

g(x)

(4)

Deze zullen we oplossen met de methode van variatie van constanten. Vervang daartoe de constante C in (3) door een functie c(x) en zoek een oplossing van (4) van de vorm

= c(x)u(x)

y(x) Als we (5)

~n

,

(5)

(4) substitueren en daarbij gebruiken dat u' (x)+ f(x)u(x) = 0,

dan vinden we

y'

=

c'u + cu'

= -fcu

+ g ,

dus c'u = g,

c' = g/u ,

waaruit we c(x) kunnen bepalen door ingegratie.

(6)

- 150 -

Merk op dat u(x) 1 0 voor alle waarden van x

€

DOM f (zie (2)), Daarom is

het geen beperking te veronderstellen, dat de oplossing y(x) van (4) van de gedaante (5) is. Alle oplossingen van (4) zijn zo te schrijven. We vinden de algemene oplossing van (4) door voor c(x) de algemene oplossing van (6) te nemen. De algemene oplossing van (6) is van de gedaante c(x) = co(x) +

c •

zodat de algemene oplossing van (4) wordt gegeven door y(x) = c (x)u(x) + Cu(x) , 0

(7)

5.3.1. Conclusie. De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking (4) is gelijk aan een particuliere oplossing van de inhomogene vergelijking (nl. c (x)u(x)) plus de algemene oplossing van de homogene vergelijking (!). 0 Voorbeelden. I) y'

x+! --xy =x-

2 x ,

De bijbehorende homogene vergelijking x+!

y' - - - y = 0 x

heeft als oplossing

J

7

x+l d

=

J -x-

x

loglyl =x+ loglxl + C , y = Dxex . De oplossing y

x 0 correspondeert met D = 0. We kiezen u(x) = xe

Zoek nu een oplossing van de inhomogene vergelijking van de vorm x y(x) = c(x)u(x) = c(x)xe .

Na substitutie in de inhomogene vergelijking vinden we c'(x)xe waaruit volgt

x

x x x+l x 2 +c(x)(e +xe)c(x)xe =x-x x

-

x-x

c 1 (x)

xe

c(x) =

x

151 -

2 = (l -x) e

J (1 -x) e -xdx

-x

= xe

,

-x +

C •

De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking luidt nu y(x)

= x2

Cxe

+

x

,

waarbij C een willekeurige reële constante is. 2) In een stroomkring met constante zelfinductie L en weerstand R loopt een

stroom i(t) onder invloed van een spanningsbron L di + Ri dt

e(t). Er geldt

e(t)

=

R

Zij

À :=

Ce -a •

R/L. Dan is de algemene oplossing van de homogene vergelijking

sub st~tut~e · ·

van ~· ct )

· = c
d e ~n · h omegene verge 1·~J·k·~ng

levert Lc 1 =

e(t)e Àt ,

dus t

c(t) =

~ J

e(1)e

ÀT

d1 + c(O)

0

en t

i ( t) = i(O)e-H +

l

L

0

J

e À(t-T) e ( T )d t

•

- 152 -

De eerste term stelt de stroom voor als e(t) de stroom als i(O)

= 0.

Als e(t)

=E

(t

>

= 0,

de tweede term geeft

0), dan vinden we

waarbij C een constante is, die van de beginwaarde i(O) afhangt. De voorgaande oplossing is verkregen door e(t)

=E

te substitueren in de

algemene oplossing en de integraal uit te rekenen. Men kan dit resultaat eenvoudiger afleiden door op te merken dat de constante stroom i(t) = E/R een particuliere oplossing is van de inhomogene vergelijking. De algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking is dan te schrijven als de som van de particuliere oplossing i(t) gemene oplossing Ce

-H

= E/R

en de al-

van de homogene vergelijking. In de navolgende

figuur is het verloop van i(t) als functie van t geschetst voor een aantal waarden van i(O).

Merk op dat de algemene oplossing nadert tot de stationaire oplossing E/R als t +

oo

5.4. Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten 5.4.1. Vergelijkingen van de eerste orde. De vergelijking y' - ay = f

(I )

waarin a een constante is, laat zich oplossen met de methode uit 5.3. We vinden als algemene oplossing: y(x) = yp(x) + Cyh(x), waarbij yp een particuliere oplossing is van (I), yh een oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking y' - ay ax neemt men yh(x) = e

=0

en C een willekeurige constante. Gewoonlijk

- 153 -

Vaak is het eenvoudiger om een particuliere oplossing y

p

te bepalen door

"proberen", in plaats van met de methode uit 5.3 (vergelijk 5.3, voorbeeld 2). Zo ken men in geval f

=

b

beren. Substitutie van y

constant, ook voor y een constante functie pro-

=

=a

in (I) levert

a=

-b/a, dus y

p

+ -b/a (als

a 1 0), Op analoge wijze kan men ook voor andere rechterleden f geschikte functies y

p

proberen als particuliere oplossing van (1). Een en ander is

samengevat in de volgende tabel: y (x)

f(x) p (x)' gr(p)

= n, a 1

0

q(x), gr (q)

p(x), gr(p)

= n, a =

0

xq(x), gr(q) S sin x + 1

b sin x + b2 cos x 1 e e

bx

, b 1 a

ae

ax

p (x) e p(x)e

xe bx ax

s2

=n cos x

bx ax bx

, gr(p)

= n, b 1 a

q (x) e

,

=n

xq(x)e

gr(p)

=n

, gr(q)

ax

, gr(q)

=n =n

In deze tabel zijn p(x) en q(x) polynomen. Als men op deze manier een particuliere oplossing y gevonden heeft, luidt de algemene oplossing van (1): ax P y + Ce . p

We merken op dat deze procedure geldig blijft als a en f complex zijn. We vinden dan natuurlijk complexe functies y(x) als oplossingen. 5.4.2. Vergelijkingen van hogere orde. Een differentiaalvergelijking van hogere orde met constante coëfficiënten is te herleiden tot een vergelijking van de eerste orde. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld. I) y" - 3y' + 2y

= 0 ,

We voeren in de differentiaaloperator D Dy:=y', dan is

(!)

- 154 -

2

D y := D(Dy) = Dy' = y" . De differentiaalvergelijking (1) is nu als volgt te schrijven 2

(D - 3D + 2)y = 0 of (D-1)(D-2)y = 0. Stel (D- 2)y = z. Dan is (D- 1)z = 0, dus z = Cex. De vergelijking voor y wordt dus (D- 2)y = Cex

of y' - 2y = Ce

x

,

Een particuliere oplossing van deze vergelijking wordt verkregen door te . 1 evert a = 2 + pro b eren: y = aex • D1t

c.

De algemene oplossing van de homogene 2 vergelijking y' - 2y = 0 luidt: y = se x. Derhalve is de algemene oplossing van (1): y(x)

=

ae

x

waarin a,S willekeurige reële constanten zijn. De formele rekenwijze die hier is gevolgd kan men eenvoudig verifiëren, Zo 1s bijv. (D- 1) (D-

2)y

(D- 1)(y'- 2y) =Dy' - D(2y)- y' + 2y = y"- 2y'- y' + 2y.= y"- 3y' + 2y.

5.4.2.1. Stelling. De homogene lineaire differentiaalvergelijking (1)

heeft als algemene oplossing

waar c ,c willekeurige constanten zijn. 1 2 Als de karakteristieke vergelijking

- 155 -

À

twee verschillende oplossingen

À ,À

1

Als de oplossingen samenvallen (À

2

heeft, dan is y 1

=e

x 1

1 = Àz =À), dan is y 1 = e

, Yz

ÀX

=e

.\ x 2

, Yz = xe

ÀX

De inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

=f

y'' + a y' + by I

(4)

heeft als algemene oplossing

waar y

een particuliere oplossing van (4) is en yh

om (2) van de corresponderende homogene vergelijking (1). p

de algemene oplossing

Bewijs. We schrijven (4) als

waarbij

(D -

À

en

À

I

(D -

)

À

2

)

y

= f

wortels van de karakteristieke vergelijking (3) zijn. 2 Dan stellen we (D- À )y = z, zodat z moet voldoen aan 2 Àl

Op grond van 5.4.1 luidt de oplossing van deze vergelijking z = z

p

waarbij zp een particuliere oplossing is en

c1

een willekeurige constante.

Derhalve moet y voldoen aan À

y' - À y

2

=

z

p

+ Ce

x

1

(5)

Zij u een oplossing van u' -

À

2

u

z

p

( 6)

en v een oplossing van v' -

À

v 2

(7)

- 156 -

Dan is y =u+

c 1v

een oplossing van (5), zoals men door substitutie kan

verifiëren. Omgekeerd kan men elke oplossing van (5) op die manier verkrijgen. Als immers y een oplossing van (5) is en u een willekeurige oplossing van (6), dan voldoet v := y- u aan (7). Het oplossen van (5) is dus herleid tot het oplossen van (6) en (7). De algemene oplossing van (6) is

waar yp een particuliere oplossing is. Als À f Àz dan is de algemene op1

lossing van (7):

De algemene oplossing van (5) (en dus van (4)) is dus

waar

c4

en

c5

willekeurige constanten zijn en yp een particuliere oplossing

van (4). (Dit laatste volgt uit het feit dat (D-À 1 )(D-À 2 )y := (D-À 1 )z =f.) . p p Als À = À , dan is de algemene oplossing van (7) (zie 5.4.1) 1 2

zodat de algemene oplossing van (4) gegeven wordt door y

= yp

In het homogene geval is y

p

= 0 een particuliere oplossing.

D

Wanneer men nu de differentiaalvergelijking (4) wil oplossen, zoekt men eerst de algemene oplossing van de corresponderende homogene vergelijking (1). Daartoe lost men de karakteristieke vergelijking op, waarna de algemene opÀ x À x 1 2 y = c c e of (als À = À ): e + ( 1) de gedaante lossing van 2 1 1 2 À X À x 1 1 + c e heeft. y = c xe 2 1

- 157 -

Let wel dat deze oplossingen complex kunnen zijn ook al zijn de coëfficiënten a,b van de differentiaalvergelijking reëel. De karakteristieke vergelijking (3) kan immers complexe wortels hebben. Als echter a en b reëel zijn en y is een complexe oplossing van (1) (of (4)), dan zijn Re yen Im y reële oplossingen van (1) (resp. (4)). Dit volgt onmiddellijk door substitutie. Als dus À = a + iS en À = a - iS de wortels zijn van (3) met 8 # 0 (de wortels zijn toegevoegd complex, omdat a en b reëel zijn (zie 4.3.5)), dan zijn eÀX en . Xx complexe op l oss1ngen . . e a x cos Sx en e ax Sln . Sx van ( 1) , Maar d an ZlJn e reële oplossingen van (1) en de algemene reële oplossing van (1) luidt dan:

waarbij

c1

en

c2

willekeurige reële constanten zijn.

Als men de algemene oplossing van (1) heeft gevonden, dan zoekt men een particuliere oplossing y

p

van (4), waarna volgens 5.4.2.1 de algemene oplossing

van (4) wordt gegeven door y

= yp

+ y

hom

•

Een particuliere oplossing van (4) kan men vinden door "proberen" zoals in 5.4.1 is gedaan. We kunnen een analoge tabel geven: y (x)

f (x) p(x), gr(p) = n, (À ,À 2 # O) 1 p(x), gr(p) = n, (À 1 p(x), gr(p)

o,

À2 f 0)

n, (À 1 = À2 = 0)

b sin x+ b cos x (À 1 ,À 2 f i) 2 1 e e

tx

q(x), gr(q) = n xq(x), gr(q) = n 2 x q (x), gr(q) = n

s1sin

(À ,À f t) 1 2

ae

(À 1 f À2)

xe

Àx 1 ÀJX

e p (x) e

(À 1 = À2 ) tx

, gr(p) = n(À ,À #t) 1 2

x +

s2cos

x

tx ÀJX

2 Àlx x e q (x) e

Ook hier zijn p(x) en q(x) polynomen.

tx

, gr(q)

n '

-

158 -

Op ana1oge wij ze kan men lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten van hogere orde oplossen. De karakteristieke vergelijking van (8)

luidt (9)

À.X Als À , ••• ,Àn verschillende wortels zijn dan is y. (x) := e J voor 1

j

=

J

J, ..• ,n een oplossing en de algemene oplossing van (8) wordt gegeven

door (I 0)

Als À! = ••• = Àk en Àj 1 Àk voor j

>

k, dan zijne

ÀJX

xe

ÀJX

, .•• ,x

k-J ÀIX e

oplossingen. Op deze manier krijgt men steedsnoplossingen y , ••• ,yn met de 1

eigenschap dat de algemene oplossing van (8) wordt gegeven door (JO). Als a , ••• ,an reëel zijn en een van de wortels, bijv. a 1

1 dan is ook À! een wortel en y 1 ( x ) = e ax cos Sx, Yz ( x )

=a+ iS, complex is,

· Sx z•Jn · · reee .. 1e = e o.x s•n

oplossingen. Op deze manier kan men steeds n reële oplossingen van (8) vinden, zodat de algemene reële oplossing van (8) wordt gegeven door (JO). De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking (IJ)

wordt dan weer gegeven door

waar y

p

een particuliere oplossing van (IJ) is en yh

om

de algemene oplossing

van (8). Voorbeeld 2. Bepaal de algemene reële oplossing van yl' _ y' + y = e x

)

2 De karakteristieke vergelijking is À - À + I

= 0.

Deze heeft wortels

l + li/3, zodat de algemene reële oplossing van de homogene vergelijking gegeven wordt door

- 159 -

met

c1

en

c2

reëel. x

Een p·articuliere oplossing van de inhomogene vergelijking is y = e . De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking is dus

met

c1

en

c2

reëel.

Voorbeeld 3. Bepaal de algemene oplossing van y" + 5y' + 6y

= e -2x

De karakteristieke vergelijking is Àz + 5À + 6 À

= -2

en

À

= -3.

=0

en heeft als wortels

De algemene oplossing van de hornogene vergelijking wordt

dan gegeven door

Zoals aangegeven in de tabel van blz. 158 is er een particuliere oplossing -2x van de inhomogene vergelijking van de gedaante y = axe Dan moet geldeto (-4ae ae

-2x

= e -2x

-2x

+ 4axe

-2x

) + 5(ae

-2x

- 2axe

-Zx

) + 6axe

-2x

=

e

-2x

dus a = 1 .

De algemene oplossing van de vergelijking is dus

waarbij

c 1 en c2 willekeurige reële constanten zijn.

De volgende stelling is soms handig om een particuliere oplossing van de vergelijking y" + ay' + by = f te vinden als in f goniometrische functies voorkomen.

- 160 -

5.7.8, Stelling. Laat y

p

een particuliere oplossing van de differentiaalvergelij-

king y" + ay 1 + by = f met a en b reëel zijn. Dan is Re yp een particuliere oplossing van y" + ay' + by = Re f, en Im y een particuliere oplossing van p

y" + ay 1 + by = Im f. Bewijs, Uit y" + ay 1 + by = f volgt p p p Re (y" + ay 1 + by ) = Re f , p

p

p

1 Re(y") p + aRe(y p ) + bRe y p -- Re f •

(Re y )" + a(Re y ) 1 + bRe y = Re f , p p p Analoog tonen we aan dat Im y y" + ay 1 + by

p

een particuliere oplossing is van

D

Im f.

=

Voorbeeld 6. Bepaal alle reële oplossingen van y"

+·

y

=

x sin x .

De karakteristieke vergelijking

2

À

+ I

=0

heeft wortels! i. De algemene op-

vergelijking is dus y = c 1 cos x+ czsin x. Daar 1 x sin x = Im(xe x) zoeken we eerst een particuliere oplossing van de vergelossing van de

~omogene

lijking y" + y

=

xe

lX

Er 1s nu een particuliere oplossing (Za+ Zi(Zax + b) - (ax (4aix + Za + Zbi)eix

Z xe

y

=

(ax

+ bx))e

ix

Z

+ bx)e

+ (ax

Z

ix

, Substitutie levert

+ bx)e

ix

=

xe

ix

lX

zodat a = ~i = -!i, b = !. ix Een particuliere oplossing van de vergelijking y" + y xe is dus 2 C-!ix + !x)(cos x+ i sin x), zodat een particuliere oplossing van y" + y = x sin x is

Im(-jixz + jx)(cos x+ i sin x)

= -!x zcos

x + !x sin x .

De algemene reële oplossing van y" + y =,x sin x is dus

•

y

= !x sin x - !xzcos x

+ a cos x+ S sin x met _a en S reëel .

- 161 -

5.5. Trillingen Voorbeeld 1. We bescyouwen een stoffelijk punt met massa m, dat kan bewegen langs een rechte lijn (de x-as). We beschouwen x als functie van de tijd. Op het punt werken verschillende krachten. Een kracht die op het punt werkt noemen we positief als ze werkt in de richting van toenemende x. Als de kracht werkt in de richting waarin x afneemt (dus naar de negatieve x-as wijst), dan spreken we van een negatieve kracht (in positieve richting). De volgende krachten werken op het punt. i)

een veerkracht F F

1

~

1

evenredig met x:

-kx met k

> 0 •

Merk op dat de kracht steeds naar de oorsprong gericht is als x f 0. ii)

een dempingskracht F F2

~

-bx

~

2

evenredig aan de snelheid

dx -b -dt met b

>

0 .

iii) een tijdsafhankelijke uitwendige kracht F

3

~

f(t).

Volgens de wet van Newton is de som van de krachten gelijk aan het product van massa en versnelling, dus

-kx- b~(t) + f(t) ~ mX(t). Voorbeeld 2. We beschouwen de uitwijkingshoek 6 van een slinger als functie van de tijd (zie figuur).

mg

-

162 -

Met behulp van de wet van Newton vinden we op analoge manier als in voorbeeld 1: mt~

= -mg

sin e - bte + f(t)

waar 2 de lengte van de slinger is, g de versnelling van de zwaartekracht, b een dempingscoëfficiënt en f(t) een tijdsafhankelijke uitwendige kracht. Voorbeeld 3. In een electrisch circuit zijn opgenomen een spanningsbron met electramotorische kracht e(t), een condensator met capaciteit C, een spoel met coëfficiënt van zelfinductie L en een weerstand R.

i (t) + e
L

R

De grootheid e(t) wordt positief gerekend als aan de + kant de potentiaal hoger is dan aan de - kant. De stroomsterkte i(t) door het circuit wordt positief geteld als de stroom loopt in de richting van de pijl. Het teken van de potentiaal over de passieve elementen (L, C, R) wordt zo gekozen dat een positieve stroom loopt van een hogere potentiaal naar een lagere. Met deze tekenafspraken is de spanning op het tijdstip t over de weerstand, di I - Jt i(T)dT, waarbij v de spoel en condensator resp. Ri, L dt en v + c 0 0 0 beginspanning (op het tijdstip t = 0) over de condensator voorstelt. We vinden hieruit t

e ( t) =

vo

+

I

c

f 0

i(T)dT + Ri + 1 di dt

en na differentiëren R di + I i = de dt c dt In bovenstaande voorbeelden zijn we gestuit op een differentiaalvergelijking van de vorm

- 163 -

(I )

met a

1

" 0, b

1

" 0, m > 0. ~e delen (I) door m en we voeren nieuwe grootheden

in: a:= a /m, b := b /m, f(t) = f (t)/m. Dan gaat (I) over in 1 1 1

x+

ax + bx

= f(t)

(2)

met a " 0, b " 0. Eerst onderzoeken we het gedrag van de homogene vergelijking (d.w.z. het geval f(t) = 0 voor alle t). De karakteristieke vergelijking luidt (3)

We onderscheiden vier gevallen: A) a= 0, b

>

0. De karakteristieke wortels (d.w.z. de wortels van de karakte-

= ! iw , waarbij w := lb. De algemene reële 0 0 oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is ristieke vergelijking) zijn

À

waarbij p en q willekeurige constanten zijn. Door de vector (p,-q) in poolcoÖrdinaten te schrijven, d.w.z. (p,-q) = (A cos ~O' A sin ~ ), vinden we 0

0

als oplossing

0

d.w.z. een harmonische trilling met amplitude A , beginfase ~Oen hoekfre0 quentie w • De grootheid T := 2rr/w heet de trillingstijd (of de periode) 0 0 en v := 1/T = w /(2rr) heet de frequentie van de trilling. De trilling is 0 grafisch weergegeven in figuur I. x

fig. i

-

B) 0

<

a

2

<

w0 :~ lb

164 -

4b. De karakteristieke wortels zijn nu

À

~ -ja + iw 0 , waarbij

!aZ, De algemene reële oplossing wordt x(t)

(A cos ~O' A sin ~ ) hebben geschreven. Dit is een 0 0 0 gedempte trilling met beginamplitude A , beginfase ~O en hoekfrequentie w . 0 0 Ook hier heet T :~ 2rr/w de trillingstijd en v ;; 1/T de frequentie, 0 Een grafische voorstelling van de trilling wordt gegeven in figuur 2.

waarbij we weer (p,-q)

~

x

fig. 2

C) 0

<

a

2

4b. Er is één karakteristieke wortel

À ;

is x(t) ~ (pt +q)e-lat , zie figuur 3. x

q

fig. 3

-ja. De algemene oplossing

-

D) a

2

>

4b

>

165 -

0. De karakteristieke wortels zijn

À

= -ja

+ c, waarbij

c := /ja2- b. De algemene oplossing is x(t) = pe -(ja-c)t + qe -(ja+c)t zie figuur 4. x

p

fig. 4 Men noemt het systeem in het geval A) engedempt

B) onderkritisch gedempt C) kritisch gedempt

D) bovenkritisch gedempt. In de gevallen A en B heeft de functie x(t) oneindig veel nulpunten, d.w.z., de evenwichtsstand wordt oneindig vaak gepasseerd, terwijl dat in de gevallen C enD hoogstens één keer gebeurt (ga na).

We beschouwen nog twee bijzondere gevallen: E) b = 0, a > Q, De karakteristieke wortels zijn Àl

0,

Àz

= -a.

De algemene oplossing is x(t) z1e figuur 5.

=p

+ qe

-at x

t

fig. 5

- 166 -

F) a = b = 0. Er is één karakteristieke wortel, nl.

À

= 0.

De algemene oplossing is x(t)=p+qt, zie figuur 6.

fig. 6

Figuur 7 geeft een overzicht van de verschillende gevallen in het eerste kwadrant van het (a,b)-vlak. b

a

fig. 7

We beschouwen nu de inhomogene vergelijking (2) en wel voor het geval f(t) =A cos wt met A > 0, w > 0. We nemen eerst aan dat a= 0, b > 0. Dit correspondeert met het geval A bij de homogene vergelijking. We schrijiwt ven f(t) = Re Ae • We bepalen nu een particuliere oplossing x van x(t) + bx(t) = A cos wt door de vergelijking

( 4)

- 167 -

y(t) + by(t) = Aeiwt

(5)

op te lossen en vervolgens x(t) = Re y(t) te stellen. Probeer als particuliere oplossing van (5): y(t) = Beiwt, dan volgt na substitutie in (5): 2

2 0

B(-w +w ) =A, waarbij w

0

r.-

:= vb. De laatste vergelijking heeft een oplos-

sing als w # w . In dat geval vinden we 0

Y(t)

= -~A:._". 2 2

eiw t

wo-w

als particuliere oplossing van (5). De functie x(t)

A

--"2.::.::...-". cos wt 2 wo-w

1s derhalve een particuliere oplossing van (4). De algemene oplossing van (4) is (6)

In het algemeen is de oplossing alleen periodiek als A = 0. 0 2 De amplitude van de periodieke oplossing is B =A/lw~- w 1, de fase is w , ~O = 7f als w > w . 0 0 In figuur 8 is de amplitude uitgezet als functie van de hoekfrequentie w. ~O

= 0 als w

<

A

w

fig. 8

-

168 -

De algemene oplossing (6) is een combinatie van periodieke functies. Het gedrag van zo'n functie is in het algemeen zeer onregelmatig. We onderzoeken nu het speciale geval dat w dicht bij w ligt. Het blijkt dat 0 de amplitude periodiek varieert met periode 2rr/lw -w 0 1. We kunnen dit als volgt inzien, Zij w = w + 6 en schrijf 0 Dan vinden we x(t) = B cos wt + A cos(wt + 0 - A sin 0

~(t)) =

~(t)sin

(B +A cos 0

~(t) =

~(t))

ot +

~o·

cos wt-

wt = R(t)cos(wt + a(t)) ,

waarbij R(t) en a(t) worden gegeven door B + A cos 0 A sin 0

~(t)

~(t)

=

=

R(t)cos a(t) ,

R(t)sin a(t) ,

21e figuur 9.

fig. 9

Als 6 klein is, dan verandert

~en

derhalve a erg langzaam. Verder geldt

2 2 2 R (t) = B + AO + 2AOB cos

~(t)

.

In figuur 10 is de grafiek geschetst van de trilling x(t) als gegeven door (6).

-

169 -

--,-/

/

/

'

/ /

\

'

/

/

/

'

\

'

'

'

''

/ /

fig. I 0

Als w = w , dan proberen we als particuliere oplossing van (5): y = Bte Ï<.;t . 0 iw t Substitutie in de vergelijking y + w;y Ae 0 levert B = -AIn dit 2iw0 geval is A

x( t) = - -

2wo

t sin w t + A cos (w t + 0 0 0

~ )

0

de algemene oplossing van (2); zie figuur 11. x

/

/

fig. 11

We kunnen ons deze situatie ontstaan denken door o naar nul te laten naderen in het eerder genoemde geval (vergelijk fig. 10, 11).

-

170 -

We beschouwen nu het geval a > 0, b > 0, f(t) = A cos wt. We zoeken eerst een particuliere oplossing van de vergelijking

y+ van de vorm y

= Aeiwt

ay + by

= Be iwt .

,

Na substitutie volgt voor B de vergelijking

2 (-w +iaw+b)B

A,

met oplossing

B = ----~A~--2 . b- w + 1aw

= Qeia

waarbij A

Q :=

' a

:= arg

De algemene oplossing van de vergelijking

A

2

. b- w + 1aw

x+

ax + bx

A cos wt luidt dan

x(t) = Q cos(wt +a) + x (t) 0 waarbij x (t) de algemene oplossing 1s van de homogene vergelijking. De 0 expliciete gedaante van x (t) hangt af van de parameters a en b (zie de 0 gevallen B, C enD van de homogene vergelijking), maar steeds zal gelden x (t) + 0 (t + oo), We zien dat op den duur alle oplossingen heel veel gaan 0 lijken op de particuliere oplossing x(t)

=

Q cos(wt+a).

Deze oplossing is ook de enige periodieke oplossing van het systeem. Men noemt Q cos(wt +a) de stationaire oplossing van de vergelijking; fysisch beschrijft deze oplossing de zg. gedwongen trilling van het systeem. De term x (t) in de algemene oplossing correspondeert met een inschakel0 verschijnsel dat na zekere tijd verwaarloosbaar wordt t.o.v. de gedwongen trilling. 2 heet de resonantiekromme. Als b ~ ja , 2 0. Als b > Ja , dan is Q maximaal voor

De grafiek van de functie Q dan is Q maximaal voor w w

w

lt, -Ja 2 , 2 "'o .- lt,- la

res

wres <

:=

=

= Q(w)

de resonantiehoekfrequentie. In dit geval geldt (zie geval B van de homogene vergelijking).

- 171 -

We nocwen

''Jo

de eigenhoekfrequentie van het systeem. Verder noemen we

'res .- ''res/(2•) de resonantiefrequentie en v van het systeem. Gewoonlijk is a wres "'w

0

"'

lb. Herkop dat voor

a • -n/2. In figuur 12 a •

2, I ,

2

l, l

:• w /(2n) de eigenfrequentie 0 veel kleiner dan b. In dat geval is 0

w • /b geldt B = A/(ia/b), dus Q •A/(a/b) en

zijn een aantal resonantiekrommen getekend voor

en b • I •

Q

w

fig. 12

Tenslotte bespreken we nog een voorbeeld van een inhomogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, waarbij het rechterlid een discontinue functie bevat. Voorbeeld 4. x + x

voor 0

~

t :::;; T ,

x + x

0 voor t

>

T

onder de beginvoorwaarden x(O) = ~(0) • 0; (de constanten in de algemene oplossing dienen zo te worden gekozen, dat x(O) = ~(0) • 0). In dit geval kan men niet van de oplossing eisen dat ze twee keer differentieerbaar

~s ~n

t • T. Wanneer in een differentiaalvergelijking het rechterlid een sprong maakt, dan neemt de hoogste afgeleide die in de differentiaalvergelijking voorkomt, deze sprong over. De lagere orde afgeleiden blijven continu in het sprongpunt. In bovenstaande vergelijking zal x(t) een sprong vertonen int= T, en ~(t), x(t) zullen daar continu zijn. We bepalen nu eerst de

-

172 -

oplossing op [O,T) en we gebruiken daarna x(T)

=

lim x(t) en i(T) = l im ~ ( t) ttT tt'l'

als beginwaarden om het probleem op (T,oo) op te lossen, De algemene oplossing van de homogene vergelijking is x(t)

a cos t + b sin t ,

=

(7)

Een particuliere oplossing van de vergelijking

x+

x

=

I is x(t)

=

I voor

alle t. De algemene oplossing van deze vergelijking luidt dan x(t)

=

I + a cos t + b sin t

We dienen nu a,b zodanig te bepalen dat de oplossing x(t) voldoet aan x(O)

= 0,

i(O)

= 0,

Dit levert twee vergelijkingen voor a en b: I + a

= 0,

b = 0. De gevraagde oplossing x(t) luidt dus x(t)

=

I - cos t voor 0 < t < T.

Bepaal nu

=

lim x(t) ttT Op het interval

t

I - cos T, lim i(t) ttT

= sin

T .

> T is de differentiaalvergelijking homogeen met algemene

oplossing (7). De constanten a en b dienen zo bepaald te worden dat x(T)

=a

i(T)

= -a

cos T + b sin T

=

I - cos T ,

sin T + b cos T = sin T ,

Uit deze twee vergelijkingen zijn a en b eenvoudig op te lossen: a = cos T- 1, b = sin T. De gezochte oplossing van de differentiaalvergelijking luidt dan x(t) = (cos T- !)cos t + sinT sin t = cos(t- T) - cos t voor t> T.