Tartalomjegyzék Részecske detektálás alapelvei, tracking, kaloriameter 1.1 1.2
1.3
Nyalábok fajtái és el®állításuk . . . . . . . . . . . . Részecskenyaláb/sugárzás és anyag kölcsönhatása . 1.2.1 Töltött részecskék és anyag kölcsönhatása . 1.2.2 Semleges részecskék és anyag kölcsönhatása 1.2.3 EM sugárzás és anyag kölcsönhatása . . . . Detektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tracking detektorok . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Részecskeazonosító detektorok . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Gyorsítok és nyalábok ( x target, ütköz® nyalábok, e− , p+ ) 2.1
2.2
Gyorsítók . . . . . . . . . . . 2.1.1 Egyenáramú gyorsítók 2.1.2 Pulzált gyorsítók . . . 2.1.3 Vizsgálati módszerek . Relativisztikus kinematika . . 2.2.1 Fix target . . . . . . . 2.2.2 Ütköz® nyalábok . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
1
1 2 2 4 5 5 5 6
8
9 9 10 11 11 12 12
Komplex detektorrendszerek, hardver, szoftver, egy korszer¶ detektorrendszer ismertetése 13 3.1 3.2
Alapelvek, a hagymahéj-struktúra Detektorrendszerek . . . . . . . . . 3.2.1 BNL RHIC . . . . . . . . . 3.2.2 CERN LHC . . . . . . . . . 3.2.3 Neutrínó zikai kísérletek . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Néhány kiemelked®en fontos kísérlet (P, CP, J/Ψ) ismertetése 4.1
4.2
P sértés, CP sértés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Paritássértés és a V-A elmélet . . . . . . . . . . . . 4.1.2 CP-szimmetria sértés és a K 0 mezon . . . . . . . . A J/Ψ és a GIM mechanizmus . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 J/ψ , avagy a c kvark kísérleti felfedezése . . . . . . 4.2.2 c kvark létezésének egyértelm¶ kísérleti bizonyítéka
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
Geometriai szimmetria csoportok; forgáscsoport, Poincaré-csoport, tükrözések 5.1
Geometriai szimmetria csoportok 5.1.1 Forgáscsoport . . . . . . . 5.1.2 Poincaré-csoport . . . . . 5.1.3 Tükrözés . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
I
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . .
13 13 13 14 17
18
19 19 20 21 21 22
23
23 23 24 26
Szabad terek kvantumtérelmélete, szimmetriák 6.1 6.2 6.3
Történeti bevezetés . . . . . . . . . Kanonikus kvantálás . . . . . . . . 6.2.1 Fizikai értelmezés: Fock-tér Szimmetriák és a Noether-tétel . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Aszimptotikus szórásjelenségek leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Térelméleti S-mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feynman-gráfok származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 A Wick-tétel és a Feynman-diagrammok . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 A Feynman-szabályok levezetése a funkcionálintegrál-formalizmusban
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Térelméleti S mátrix, funkcionál integrálok, Feynman-gráfok 7.1 7.2
Mértékelméletek 8.1 8.2
Mértékelméletek alapgondolata és a lokális szimmetria 8.1.1 Fizikában megjelen® mértékelméletek . . . . . . Mértékelméletek kvantálása . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Faddeev-Popov kvantálás . . . . . . . . . . . .
A QED és a QCD renormálása 9.1
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
10.1 A Compton-szórás . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 A QED Feynman-szabályai . . . . . . 10.1.2 Compton-szórás hatáskeresztmetszete 10.2 További lehetséges folyamatok . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9.2
Renormálható elméletek . . . . . 9.1.1 QED renormálása . . . . 9.1.2 QCD renormálása . . . . Regularizációs módszerek . . . . 9.2.1 Levágás (Cout-o) . . . . 9.2.2 Pauli-Villars regularizáció 9.2.3 Analitikus regularizáció . 9.2.4 Térid®rács regularizáció . 9.2.5 Dimenziós regularizáció .
. . . .
Az elektron-foton kölcsönhatás (folyamatok)
27 27 27 28 29
30
31 31 32 32 33
35
35 36 36 37
38
39 40 41 42 42 42 42 42 42
43
43 43 44 46
Elektromágneses sugárzás és ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal, áthatolóképesség, záporjelenség 47 11.1 Elektromágneses sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal 11.1.1 Fotoeektus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Compton-szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Párkeltés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Összefoglalva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal . . . . . 11.3 Záporjelenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Elektromágneses záporok . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Hadronikus záporok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
47 47 47 47 48 48 50 50 50
Er®s kölcsönhatás alapjai: megmaradó mennyiségek, részecskék-rezonanciák tulajdonságai 51 12.1 Er®s kölcsönhatás alapjai . . . . . . . . 12.1.1 QCD Lagrange-függvénye . . . . 12.1.2 Kölcsönhatás potenciál képben . 12.1.3 A QCD megmaradó mennyiségei 12.2 Rezonanciák . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Breit-Wigner formula . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
51 51 52 53 54 54
Bels® szimmetriacsoportok: SU(2), SU(3) és a részecskék rendszerezése, a kvarkmodell alapjai 56 13.1 Izospin és általánosítása . . . . . . . . . 13.1.1 Izospin kiterjesztése és a ritkaság 13.2 Hadron kvarkmodellje . . . . . . . . . . 13.2.1 ∆++ paradoxon és a színtöltés .
. . . .
. . . .
Er®s kölcsönhatás dinamikája, a QCD alapjai 14.1 A QCD alapjai . . . . . . . 14.1.1 A QCD kialakulása . 14.2 A QCD dinamikája . . . . . 14.2.1 A QCD kvantálása . 14.2.2 Gráfszabályok . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
57 58 58 59
61
61 61 62 63 64
Er®s kölcsönhatások dinamikája alacsony energián, a királis szimmetria sérülése és az eektív Lagrange függvényes leírás 66 15.1 Potenciál-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Pion-nukleon szórás . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 π − N szórás naiv térelméleti leírás . . . . 15.2.2 π − N szórás rezonanciás térelméleti leírás 15.3 Királis szimmetria és sérülése . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
67 68 68 68 70
A nagyenergiájú zika elemei, renormálási csoport egyenletek és alkalmazásaik, futó csatolási állandó, mélyen rugalmatlan szórás, jet zika.
71
16.1 Renormálási csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Dimenziós regularizáció renom csoport egyenletei . . . . . . . . . 16.1.2 Renormált n-pont-függvények és a t'Hooft-Weinberg egyenlet . . 16.1.3 Futó csatolási állandó és a t'Hooft-Weinberg egyenlet megoldása 16.2 Nagyenergiás zika, mélyen rugalmatlan ütközés . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Parton modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Jetek zikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
71 71 72 72 73 74 75
A gyenge kölcsönhatások osztályozása, megmaradó kvantumszámok és kiválasztási szabályok, a β -bomlás elmélete, V-A csatolás 76 17.1 A gyenge kölcsönhatás osztályozása . . . . . . 17.2 Megmaradó kvantumszámok . . . . . . . . . . 17.2.1 Ténylegesen megmaradó mennyiségek 17.2.2 Kiválasztási szabályok . . . . . . . . . 17.3 V-A elmélet és a β -bomlás . . . . . . . . . . . 17.3.1 β -bomlás . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Az áramalgebra elemei: megmaradó vektoráram, PCAC, Cabibbo elmélet, GIM mechanizmus. 18.1 A megmaradó isovektoráram (CVC) . . . . . . . . . . . . 18.1.1 A CVC tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 CVC következményei . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 A részlegesen megmaradó axiáláram (PCAC) . . . . . . . 18.2.1 A QCD globális szimmetriái . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 PCAC tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 GIM mechanizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 J/ψ , avagy a c kvark kísérleti felfedezése . . . . . . 18.3.2 c kvark létezésének egyértelm¶ kísérleti bizonyítéka 18.3.3 Charmed részecskék bomlása . . . . . . . . . . . . 18.4 Cabbibo-elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.1 N család közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Áram×Áram elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
77 78 78 78 79 80
82
83 83 84 84 84 85 86 86 86 86 87 87 87
Az elektrogyenge elmélet alapjai: spontán szimmetriasértés, Goldstone bozonok, Higgs mechanizmus, a W és a Z tömege és csatolásai, lepton és kvarkmultiplettek. 89 19.1 Bevezet® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Spontán szimmetriasértés . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Pl.: G = SU (2) és ϕ doublet ábrázolásban . . . 19.3 Goldstone-módusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1 Pl.: G = SU (2) és ϕ doublet ábrázolásban . . . 19.4 Higgs-mechanizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.1 Pl.: Lokális G = SU (2) komplex-skalár modell 19.5 SalamWeinberg-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1 A W ± és Z 0 bozonok tömege . . . . . . . . . . 19.5.2 Lepton és kvark multiplettek . . . . . . . . . .
Rácstérelmélet alapjai és alkalmazásai
20.1 A rácstérelmélet alapjai . . . . . . . . . 20.1.1 A rácstérelméletek alapgondolata 20.1.2 Mértékterek rácson . . . . . . . . 20.1.3 Fermionok . . . . . . . . . . . . . 20.2 Számolási algoritmus . . . . . . . . . . . 20.3 Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1 Sztatikus kvark-potenciál . . . . 20.3.2 Hadronspektrum . . . . . . . . . 20.3.3 A QCD fázisdiagramja . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
89 89 90 91 91 92 92 93 93 94
95
95 95 96 97 100 101 101 102 102
Részecske detektálás alapelvei, tracking, kaloriameter 1.1
Nyalábok fajtái és el®állításuk
Az észlelni kívánt sugárzási forrásokat a következ®képpen csoportosíthatjuk
• töltött részecskék - nehéz töltött részecskék (pl.: p+ , α-részecske, atommagok) - könny¶ töltött részecskék (pl.: e− , e+ , pionok (π ±,(0) ))
• semleges részecskék (pl.: n0 , ν ) • EM-sugárzás (γ ) A tétel maga nem foglalkozik a sugárzások el®állításával, azonban megemlítés szinten mégis érdemes tudni.
• p+ elállítása: hidrogén egyetlen elektronjának eltávolításával p+ marad vissza, vagy a kés®bb tárgyalt β bomlás folyamán is keletkezhet. • α-részecske el®állítása: α-bomlás során keletkezik, mely bomlás alatt az atommagból egy 2n0 2p+ (4 He atommagja) részecske gy®zi le a Coulomb-gátat, mely a Gamow által javasolt alagutazással magyarázható (felteszi, hogy az α-részecske egy az atommagon belül négyszögés azon kívül egy exponenciálisan lecseng® potenciálban mozog, ekkor ha a részecske energiája nagyobb mint a négyszögpotenciál teteje, akkor véges valószín¶séggel kijut az α-részecske)1 . • e− , e+ ≡ β, β + el®állítása: a β -bomlás (n0 → p+ + e− + ν e ), illetve ezen folyamat átrendezettjeib®l. • ν, ν el®állítása: a β -bomlás (n0 → p+ + e− + ν e ), illetve ez folyamat átrendezettjeib®l, valamint ezekkel leptonikusan ekvivalens folyamatok. • pionok "el®állítása": kozmikus háttérsugárzásból jönnek. • n0 el®állítása: magreakciók során, pl.: két deuteron d − d 500keV energiás összelövéséb®l (neutronok lassítására a bróm, vagy jód alkalmas). • EM sugárzás el®állítása: az atommag legerjeszt®dése során egy γ sugárzást bocsájt ki, mely impulzusa az impulzus megmaradás alapján a következ® értékeket veheti fel |Igerjesztett − Ialap | ≤ Lγ ≤ |Igerjesztett + Ialap | ,
(1.1)
ahol Lγ ∈ Z+ (Lγ = 1, 2, 3, ... ≡ dipól, kvadrupól, oktopól,...). A létrejött sugárzás típusát a paritás megmaradásból adható meg (−1)Lγ : elektromos típusú πgerjesztett = πalap · πγ , πγ = (1.2) (−1)Lγ +1 : mágneses típusú ha egy folyamat során mágneses és elektromos megoldás is megengedett akkor gyelembe kell venni, hogy az elektromos sugárzások 1-gyel valószín¶bbek, mint a mágnesesek azaz E1'M2. 1 nagyobb
rendszámú atomok esetén a proton is kiszökhet, ezzel analóg módon
1
1. tétel
1.2
2
Részecskenyaláb/sugárzás és anyag kölcsönhatása
Részecske detektálási módszerek f®leg az elektromágneses kölcsönhatáson alapszanak, mivel az ilyen folyamatoknak a hatáskeresztmetszete lényegesen nagyobb, mint a gyenge- vagy er®skölcsönhatásokénak.
1.2.1 Töltött részecskék és anyag kölcsönhatása A nehéz és könny¶ részecskék együtt tárgyalhatóak, azonban a képletekben megjelen® tömeg tényez®b®l látható, hogy melyik nyalábtípusra dominál az adott folyamat. Ahhoz hogy össze tudjuk hasonlítani a folyamatok gyakoriságát vezessük be a dierenciális hatáskeresztmetszetet
1 dN dσ = , dΩ j dΩ
(1.3)
mely megadja bizonyos értelemben annak a valószín¶ségét hogy ha [j] = m12 s árams¶r¶ség¶ részecskenyaláb esik egy céltárgyra, akkor dΩ térszögben látható detektor [N ] = 1s beütést észlel. Ebb®l már meghatározható a kölcsönhatás valószín¶sége (1.4)
P = nσ∆x := w∆x , ahol n a céltárgy részecskes¶r¶sége, ∆x a céltárgy vastagsága és
1 w
a szabad úthossz.
Rutherford-szórás A Rutherford-kísérletben α-részecskékkel (hélium atommagokkal) bombáztak vékony aranylemezt, és meglep® eredményt kaptak: az α-részecskék kis hányada igen nagy eltérülést szenvedett. Ha az atommag belsejében az anyag többé-kevésbé egyenletesen oszlana el az akkor leginkább elfogadott mazsolás puding modell szerint, akkor az alfa-részecskék a lemezen, bár lassulva, de eltérülés nélkül haladnának keresztül, hasonlóan, mint a puskagolyó a vízben. Az α-részecskéknél néha jelent®s irányváltozás volt meg gyelhet®. Többségük (miközben energiájuk egy részét elveszítették) egyenesen haladt át a lemezen, néhányuk iránya azonban jelent®sen megváltozott. 1911 elején Rutherford publikálta módosított atommodelljét, a Rutherford-féle atommodellt. A meg gyelések szerint a szétszórt pozitív töltéssel rendelkez® atom modellje helytelen volt, valójában a pozitív rész kis térfogatban összpontosul. Arra következtetett, hogy az atom dönt® része üres, az atom nagy része egy kis térrészre, a magba koncentrálódik, és az elektronok ekörül a mag körül keringenek az elektrosztatikus vonzás hatására. Klasszikus számolással is már jó eredményt kapunk. A Rutherford-szórás egy b impaktparaméter¶ részecske szórását írja le egy adott szórócentrumon. Legyen a részecske és a szórócentrum között egy V (r) = −α/r vonzó kölcsönhatás. Az energia megmaradásból következik, hogy a szórási szög
ϑ α = , tan 2 mv02 b
(1.5)
ahol v0 az m tömeg¶ részecske kezdeti sebessége, így a szórási hatáskereszmetszet (hengerszimmetrikus esetben) dA 2πbdb b(ϑ) db(ϑ) σ(ϑ) = = = , (1.6) dΩ 2π sin(ϑ)dϑ sin(ϑ) dϑ amib®l a szórási hatáskeresztmetszet:
Z σ(ϑ) =
dΩσ(ϑ) =
α 4Ekin.
2
1 . sin (ϑ/2) 4
(1.7)
Fontos megjegyezni, hogy amíg a számolás klasszikus volt, addig ez az eredmény még kvantumosan is fennál.
1. tétel
3
Bethe-Bloch-formula (ionizáció) Minden töltött részecske az anyagon való áthaladásakor energiát veszít, ezt a dE dx fajlagos energia veszteséggel jellemezhetjük. Amire nagyságrendi becslést adhatunk a Bethe-Bloch formula segítségével. A Bethe-Bloch formulát a következ® naiv modellb®l származtathatjuk: vegyünk egy nehéz iont ami a közeg egy, kiszemelt elektronjától b impaktfaktor halad el. Valamint tegyük fel, hogy az ionunk pályája egyenes (nem találja el a magot és nem is vesszük gyelembe a kinyújtott hiperbola alakot), v =áll. azaz elég vékony a céltárgy ahhoz hogy jelent®sen ne lelassuljon le az ion, valamint az az atomi elektron nem mozdul el (szemléletesen mondhatjuk azt, hogy er®sen van kötve az atommaghoz). Mivel a probléma szimmetrikus, így az er® vízszintes komponensének a hatása pont kiesik, tehát csak a pályára mer®leges komponensét kell venni az ion és az elektron közt fellép® er®nek: Z Z e2 Z (1.8) p = F⊥ = k 2 cos(ϑ)dt , r ahol Z az ion rendszáma, melyb®l az egy darab elektronnak átadott energia:
E1 =
p2 2k 2 e4 Z 2 . = 2me me b2 v 2
(1.9)
Már csak azt kell meghatároznunk, hogy a legfeljebb "b" távolságra lév® elektronoknak mennyi elektront ad le az ionunk. A falban b távolságra lév® elektronok számát a következ® képen adhatjuk meg: N (b) = 2πnbdbdx , (1.10) ahol n az atom elektron s¶r¶sége. Ebb®l az ion energia vesztesége: Z dE 4πk 2 e4 Z 2 ∞ db = , dx mv 2 b 0
(1.11)
ami logaritmikusan divergens. Tehát egy alsó és fels® levágási határ; az ionizációs energiától a meglökési energiáig integráljuk ki, így:
dE 4πk 2 e4 Z 2 2mv 2 = ln . dx mv 2 Eion
(1.12)
Ha gyelembe vesszük azt, hogy a számolásunk elég naiv volt, akkor a relativisztikus korrekciókkal a következ® eredményt kapjuk: 4πk 2 e4 Z 2 dE 2mv 2 2 2 = ln − ln(1 − β ) − β . (1.13) dx mv 2 Eion Összefoglalás képen azt mondhatjuk, hogy a leadott energia fordítottan arányos az ion tömegével2 . Valamint az ion rendszámával négyzetes n® a leadott energia. Ezek alapján a megállási úthosszt a következ®képen becsülhetjük meg: Z E dx E2 R= dE ∼ 2 , (1.14) Z A 0 dE ahol A a közeg tömegszáma.
Cserenkov-sugárzás Ha a töltött részecske gyorsabban mozog mint a közegbeli fénysebesség (azaz ha √1µε ' √1ε < v ), akkor Cserenkov sugárzást bocsájt ki (kékes fény). A sugárzás egy, a haladási iránnyal szemben álló kúp, melynek a kúp nyílásszöge (Mach-szög):
cos θ =
c c0 1 = = , v nv nβ
(1.15)
2 a levezetés során sok egyszer¶sít® feltevés tettünk melynek következtében a végeredmény csak nehéz ionokra m¶ködik
1. tétel
4
a sugárzás intenzitása pedig:
4π 2 e2 2 c2 Z 1 − . (1.16) c2 v 2 n2 Szemléletesen, úgy magyarázhatjuk az el®z® eredményt, hogy a bejöv® részecske polarizálja a közeg atomjait. Az így keletkez® dipólusok visszarendez®dése során létrejön a sugárzás. Ha kicsi a részecske sebessége, akkor van id® arra, hogy a dipólusok a részecske pályára szimmetrikusan rendez®djenek vissza, így destruktív interferencia révén ne jöjjön létre sugárzás. A részecske forgáskúp tartományban sugároz, azaz a részecskéb®l kiinduló sugárzási hullámok burkolója egy forgáskúp palástja mentén helyezkedik el. I=
Fékezési sugárzás Gyorsuló, illetve lassuló töltés elektromágneses teret kell és a tér fenntartáshoz energia szükséges, melyet sugárzás formájában ad le, a sugárzás színképe tehát folytonos, a hullámhossz pedig minimummal rendelkezik: hc . (1.17) ∆Eion = ~νmax. = λmin. Ezt gyorsítók esetében Larmor- vagy ciklotron-sugárzásnak nevezzük.
Átmeneti sugárzás Az átmeneti sugárzás akkor lép fel, amikor a töltött részecske az n1 törésmutatójú közegb®l átlép egy ett®l eltér® n2 törésmutatójú másik közegbe. A töltött részecske szempontjából ez látszólagos gyorsulásoknak t¶nik, és a gyorsuló töltés sugároz. A kibocsájtott energia ' E α -val arányos, ahol α a nomszerkezeti állandó és E a részecske energiája (Lorentz tényez®).
Hadronikus záporok Nagy vonásokban a hadronikus záporok kifejl®dése sok hasonlóságot mutat az elektromágneses záporokéhoz. A lényeges különbség az, hogy itt a részecskesokszorozás nem az elektromágneses, hanem az er®s kölcsönhatás révén történik. A bejöv® hadron az abszorber atommagjaival ütközve a mager®k segítségével "robbantja" fel azokat, mivel a kirepül® másodlagos részecskék maguk is hadronok, ezért a rögtön elbomló π 0 mezonok kivételével a további lépésekben is az er®s kölcsönhatás irányítja a folyamatot. A kölcsönhatás eredményeként nemcsak elemi részecskék, hanem a magok felrobbanásakor hasadási termékként különböz® izotópok is keletkeznek. A π 0 mezonok 2 fotonra való bomlása következtében általában minden hadronikus záporban megjelenik bizonyos elektromágneses részkomponens is a tisztán hadronikus (pl: π + ) mellett. A sokszorozódás addig folytatódik, amíg elérjük a pion keletkezési küszöböt. (Ez a folyamat természetesen semleges részecskékre is fennáll).
1.2.2 Semleges részecskék és anyag kölcsönhatása A semleges részecskék az atommaggal hatnak kölcsön így detektálásukhoz az általuk indukált magreakciókat kell ismernünk.
• rugalmas szórás (lsd. Rutherford) • rugalmatlan szórás, maggerjesztés - n0 befogás: n0 +(Z, A) → γ +(Z, A+1), mely hatáskeresztmetszetére v1 +reakció csúcsok - indukált hasadás: a végtermékek a spontán hasadáshoz hasonlóak csak itt egy 3. fél is szerepet játszik. - hadronikus zápor: a már leírtak alapján zajlik a folyamat és a folyamat lépésszámát a következ®képpen határozhatjuk meg.
t = lépések száma =
ln(E/Ec ) ln 2
- ν és n0 esetén a β -bomlás illetve azok átrendezettjei
(1.18)
1. tétel
5
1.2.3 EM sugárzás és anyag kölcsönhatása Fotoeektus A fotoelektromos hatás (fotoeektus, fényelektromos jelenség) a küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például látható fény vagy ultraibolya sugárzás) által egy anyag (leginkább fém) felszínén lév® elektronok kiváltása. Nincs elektronkibocsátás a határfrekvencia alatt, mert a foton nem tud elég energiát biztosítani ahhoz, hogy kilépjenek az atomos kötésb®l. Az energiamegmaradás törvényét a következ® Einstein-egyenlet írja le: (1.19)
Te = hν − Wki ,
ahol Wki a kilépési munka, hν a foton energiája és Te a kilép® elektron mozgási energiája. A fotoelektromos hatás leginkább a bels® héjakon következik be (mivel σfotoe ∼ Z 5 ), így mindig társul hozzá egy szekunder folyamat is (mivel az atom nem szeret gerjesztett állapotban lenni).
Compton-szórás Ha a foton nem nyel®dik el teljesen, hanem csak szóródik az elektronon akkor azt Comptonszórásnak nevezzük. Az atomi elektronokat a szórás során szabadnak tekinthetjük, megfelel®en nagy fotonenergia esetében az elektron atomi kötése elhanyagolható, az elektron szabadnak tekinthet®. Az energia- és impulzusmegmaradás alapján meghatározhatjuk a foton energia változása és a szórási szög közti összefüggést (Compton képlet):
hν =
1+
hν0 hν me c2 (1 −
cos θ)
.
(1.20)
Párkeltés A párkeltés és a szétsugárzás az anyag és az energia ekvivalenciájának bizonyítéka. Ködkamra felvételb®l az látszik, hogy nagy energiájú γ -sugárzás hatására a ködkamra ugyanazon pontjából, egyszerre elektron és pozitron indul ki. Mérések alapján az ilyen elektron-pozitron pár keletkezéséhez vagy más néven a párkeltéshez legalább hf = 1.02 MeV energiájú γ -foton szükséges. A tömeg és az energia ekvivalenciája alapján (E = mc2 ) egy elektron és egy pozitron tömegének 1.02MeV energia felel meg. A párkeltést tehát úgy kell elgondolni, hogy egy atommag közelébe (kell hozzá az atommag tere, mert különben nem lehetne négyes energia megmaradás) jutó γ -foton elt¶nik, és helyette elektron-pozitron pár keletkezik, miközben az összes energia, az összes töltés és az összes impulzus megmarad. Ha a foton energiája nagyobb, mint 1.02 MeV, akkor 1.02 MeV fordítódik a párkeltésre, és a fölösleges energia a pozitron és az elektron mozgási energiáját növeli. A párkeltés hatáskeresztmetszete a közeg rendszámának második hatványával skálázik.
Összefoglalva Kis energiákon a fotoeektus dominál, majd egy E1 küszöbenergiától a Compton-eektus és E2 küszöbt®l már a párkeltés. A Z rendszám növelésével a Compton tartomány csökken (E1 n® és E2 csökken).
1.3
Detektorok
A detektorok többsége ionizációs folyamatok vagy fényjelenségek mérésére készül, ugyanis az elektromágneses kölcsönhatás valószín¶sége nagyságrendekkel nagyobb, mint az er®s vagy a gyenge kölcsönhatásé. Ez a fejezet egy rövid áttekintést szeretne nyújtani a részecske zikában használatos detektorokról.
1.3.1 Tracking detektorok A részecske pályájának meghatározása egy rendkívül fontos feladat, erre a célra szólgálnak az úgynevezett nyomkövet®, avagy tracker detektorok.
1. tétel
6
Ködkamra Az els® nyomkövet® detektor a (Wilson-féle) ködkamra volt. M¶ködése során egy kamrában gyors kitágítás által túltelített g®z keletkezik, amelyben kondenzációs magvak jelennek meg. Az ilyen metastabil állapotú anyagon áthaladó ionizáló részecskék nyomvonalán a cseppek összegy¶lnek, s¶r¶ségükb®l pedig meghatározható a leadott energia (dE/dx).
Emulzió M¶ködése során a zselé szer¶ anyagba tett ezüst-bromid vagy ezüst-klorid kristályok ionizáló részecske hatására felszakadnak, az így keletkezett lm el®hívása után pedig a µm nagyságú ezüst szemcsékb®l kialakult mintázat szabad szemmel vagy mikroszkóppal meg gyelhet®.
Buborékkamra Nyomás alatt lév® folyadékkal van töltve, nem sokkal a forráspont alá h¶tve. Egy ionizáló részecske pályája mentén ionizációs csoportok keletkeznek, amelyekb®l a kamra nyomásának rövid id®re történ® csökkentésével (túlhevítést elérve) buborékok keletkeznek és n®nek. A kialakult állapot lefényképezése után a nyomás visszaállítható, újabb mérésre el®készíthet®.
Gáztöltés¶ (proporcinális) számlálók A töltött részecskék gázokban haladva elektron-ion párokat hoznak létre. A berendezésben inhomogén elektromos teret hoznak létre. A tér hatására az elektronok egyenesen az anódszál irányába haladnának, de a gázatomokkal való ütközések valamelyest lelassítják a folyamatot. Elég közel az anódszálhoz két ütközés között elegend® energiára tesznek szert ahhoz, hogy egy újabb elektront üssenek ki a semleges atomból. Ez a folyamat többször megismétl®dik, így az elektronok száma exponenciálisan növekszik, miel®tt elérnék az anódszálat. Tölt®gázként leginkább nemesgázokat szokás használni, ionizációs potenciáljuk ugyanis megfelel®en alacsony. A gáztöltés¶ detektorok az anódfeszültség függvényében nagyon eltér® módon tudnak m¶ködni. Alacsony feszültségek mellett az elektronok és az ionok között a rekombináció jelensége dominál, az eszköz nem ad mérhet® jelet. Növelve a feszültséget az ionizáció által keltett elektronok a szálra sodródnak (driftel®dnek), sokszorozódásra viszont nem kerül sor. Tovább növelve az anód feszültségét a szál közelében már elég nagy a tér a sokszorozódáshoz, a jel így az ionizáció energiájánál jóval nagyobb, de azzal arányos (proporcionális) érték¶. Ebben a tartományban a detektort proporcionális számlálónak nevezik. Magasabb feszültségértékeknél a jel proporcionális jellege fokozatosan elt¶nik és a kezdeti ionizációtól függetlenül mindig ugyanakkora érték¶ lesz (Geiger-Müller számláló). Gáztöltés¶ detektorfajták
• MWPC - sokszálas proporcinális számló (pontosabb helyfelbontás) • TPC - id®projekciós kamra (lyan gáztöltés¶ detektor, amelyben az ionizáció által keltett elektronok homogén elektromos tér hatására egy kétdimenziós kiolvasó rész segítségével megmondható hogy kb hol és mikor érkezett be a részecske)
1.3.2 Részecskeazonosító detektorok A részecskeazonosítás (particle identi cation, PID) általában közvetett tömegméréssel valósul meg, ami történhet például az impulzus és az energia, vagy az impulzus és a sebesség együttes mérésével, így a közöttük lév® összefüggések alapján a tömeg már egyértelm¶en meghatározható.
Repülési id®-mér®k Mágneses térben a töltött részecskék pályája a Lorentz-er® miatt görbült, ennek mértéke az impulzus nagyságától függ. Típusuk (és tömegük) ezért csak a pálya alapján nem határozható meg. Tudjuk azonban, hogy az m tömeg¶ és p impulzusú részecske L távolságot
t=
L = √ βc
L p c p2 +m2 c2
1. tétel
7
id® alatt tesz meg, t tömegfüggése tehát mérhet®, ezen az elven m¶ködnek a repülési id®-mér® (Time of Flight) detektorok. A részecskék detektálása általában szcintillátorokkal történik
Cserenkov-detektorok Ha a töltött részecskék akkora mozgási energiával rendelkeznek, hogy sebességük meghaladja a közegbeli fénysebességet, elektromágneses sugárzást bocsátanak ki, amely kúp alakban, a részecske haladási irányával c0 cos(θ) = vn szöget bezárva terjed tovább. Itt v a részecske sebességét, c0 /n pedig a közegbeli fénysebességet jelöli (n a közeg törésmutatója). A sugárzás szögeloszlásából meghatározható a részecske sebessége.
Kaloriméterek A detektorok küls® rétegét általában kaloriméterek alkotják. Ezeknek a feladata az érkez® részecskék elnyelése, és a megállási út tudatában, az energiájuk meghatározása. A müon az egyetlen részecske, amely átjut a kaloriméterek több méter vasnak megfelel® anyagvastagságán.
2. tétel
8
Gyorsítok és nyalábok ( x target, ütköz® nyalábok, e−, p+) 2.1
Gyorsítók
A bemutatásra kerül® gyorsítók töltött részecskék gyorsítására alkalmasak. A gyorsítani kívánt részecskéket fajtájuk szerint különböz®képpen állíthatjuk el®:
• elektron el®állítása: pl.: katódsugárcs® • pozitron el®állítása: pl.: elektron ütköztetések, párkeltés, Na-22 pozitron sugárforrás • proton el®állítása: pl.: hidrogén gáz ionizálása • antiproton el®állítása: pl.: 7Gev-es p+ + p+ → p+ + p+ + p+ + p+ ütközések • ionok el®állítása: pl.: atomok ionizálása Minden gyorsító alapelve a
F (t) = q (E(t) + v(t) × B(t)) ,
(2.1)
er®n alapszik. Az elektromos térrel gyorsítják a részecskéket, míg a mágneses térrel tartják ®ket a megfelel® pályán.
2.1.1 Egyenáramú gyorsítók Az egyenfeszültséggel m¶köd® gyorsítókat egyenáramú gyorsítóknak nevezzük, mivel folyamatos részecskenyalábot képes el®állítani, míg a váltófeszültséggel m¶köd®ket pulzált gyorsítóknak nevezzük, mert csak részecskecsomagok gyorsíthatók vele, nem érhet® el folytonos nyaláb. Az egyenáramú gyorsítók közé tartozikik például: katódsugárcs®, Röntgen-cs®, Van de Graagenerátor.
Van der Graa A generátorban egy végtelenített, szigetel®b®l (általában gumiból) készült szalag van kifeszítve két görg® között. Az alsó fémb®l, a fels® görg® általában plexib®l készül. Az alsó görg® forgatásával a gumikötelet forgatjuk a plexi görg®n, ennek hatására dörzselektromos úton a fels® plexigörg®r®l leváló szalag negatív töltés¶ lesz. A alsó, fémgörg®r®l leváló szalag pedig pozitív töltés¶ lesz. A csúcshatás elvén m¶köd® kefék segítségével ezeket a töltések két különböz® gömbre vezetjük ki. És az így fellép® elektrosztatikus térrel a töltött részecskéket gyorsíthatjuk:
F = Eq
(2.2)
Egy síkkondenzátor két fegyverzete között fellép® elektomos tér nagysága:
E=
1 Q ε0 A
(2.3)
Az els® ilyen részecskegyorsítót és annak Van de Graa-generátorát Simonyi Károly magyar zikus építette meg 1951-ben a Soproni Egyetemen. Ez a generátor eredetileg 750 kV feszültséget állított el®. A VDG generátorok ∼ 10 Mev nagyságrendben m¶ködnek. 9
2. tétel
10
Tandem gyorsítók Lényegében kett®, vagy több egymás után kötött lineáris gyorsító. Tehát mindegyik lineáris gyorsító hat a maga (2.2) erejével a kiszemelt töltésre. El®nye, hogy nem kell nagy térer®sséget létrehozni.
2.1.2 Pulzált gyorsítók Egyenáramú gyorsítókkal nem lehet tetsz®legesen nagy energiákat elérni. Ha a feszültséget egy bizonyos érték fölé emeljük, akkor koronakisülés (a közvetlen környezetben lév® gáz ionizálódik, ún. "hideg plazma") jön létre, és az így elveszett töltést folyamatosan pótolni kell.
LinAc - Lineáris gyorsító A lineáris gyorsítóknak nevezzük azokat a pulzált gyorsítókat, amelyben a töltött részecskéket egy egyenes mentén gyorsítják. Így jött az ötlet, hogy váltakozó feszültséget használjanak, rezonancia gyorsítók. A LinAc gyorsító több gyorsítóelemb®l, úgynevezett driftcs®b®l áll.
g. 2.1: LinAc drift csövei A driftcsövek között hézagok vannak, amelyben ez elektromos mez® iránya rendszeresen változik olyan ütemben, hogy az odaérkez® részecskét mindig gyorsítsa (látható, hogy azonos frekvenciájú polaritásváltás során egyre hosszabb csövek kellenek, mivel a részecske egyre gyorsabb lesz), ezáltal a mozgási energiáját viszonylag kis lépésekben növelni tudja. Amíg a részecske a driftcsövekben tartózkodik, addig nem hat rá er®, mivel az Faraday-kalitkaként viselkedik. Ilymódon olyan energiára lehet gyorsítani a részecskét, amely egyetlen gyorsítóelemmel nem érhet® el.
Ciklotron A ciklotron olyan részecskegyorsító, amelyben töltött részecskék (például protonok, ionok) mágneses tér hatására spirális pályán haladnak belülr®l kifelé. Minden egyes körbefordulás során a váltóáram elektromos tere kétszer gyorsít a részecskén, egyre nagyobb sugarú körpályára juttatva azt. Olyan frekvenciával változtatják az elektromos teret a két D között, hogy a részecskét mindig gyorsítsa, amikor áthalad rajta. Végül egy megfelel® töltés¶ lemez segítségével a részecskét kihúzzák a gyorsítóból további felhasználásra.Amíg nincs jelent®s relativisztikus tömegnövekedés, addig állandó frekvenciájú váltóáram megfelel® a gyorsításhoz, a frekvencia független a sebességt®l: ez az úgynevezett ciklotronfrekvencia. A töltött részecske centripetális mozgását a mágneses tér által kifejtett er® biztosítja:
mv 2 = Bvq r
(2.4)
v Bq = r m
(2.5)
amib®l a következ® körfrekvenciát kapjuk:
ω=
2. tétel
11
g. 2.2: Ciklotron - Dék lemezek A sugár n® a sebességgel. A ciklotron frekvencia független a pálya sugarától, illetve a részecske sebességét®l, ami lehet®vé teszi állandó frekvenciájú RF generátor használatát.
Szinkrotron Míg a ciklotronban állandó mágneses teret használnak és állandó frekvenciájú elektromos teret, addig a szinkrotronban mindkett®t úgy változtatják, hogy a részecske pályája állandó sugarú legyen.
2.1.3 Vizsgálati módszerek A gyorsítók termékeit különféle szerkezetvizsgálati módszerekre alkalmazzák. A töltött részecske az ® karakterisztikus hullámhosszával megegyez® tartományban tudja letapogatni a világot:
λ=
~ ~c ~c = =√ p pc E 2 − m2 c4
(2.6)
ahol hc ' 197 MeV
PIXE - részecske indukált röntgen-emisszió A vizsgálandó mintát gyorsítóból nyert töltöttrészecske nyalábbal sugározzák be, és vizsgálják a mintában lév® targetatomok legerjeszt®dése során kibocsátott röntgensugárzást. A PIXE olyan kis energiájú részecskegyorsítóra épül, amelyen protonokból (protonoknak kisebb a háttérsugárzása, mint az elektronoknak), vagy néhány esetben héliumból és nehezebb ionokból álló nyalábot lehet el®állítani. Analitikai célokra általában Van de Graa típusú gyorsítók 2-3 MeV-es protonnyalábját használják.
2.2
Relativisztikus kinematika
Az elkövetkez® fejezetekben ~ = c = 1 egységrendszert használok. A folyamatok során a részecskék tömeghéjon mozognak, azaz minden id®pillanatban tejesül rájuk a tömeghéj feltétel:
Ei2 − p~i2 = m2 valamint érdemes TKP-i rendszerben dolgozni, mert ekkor ETKP pµTKP := = ~0
(2.7) minden sokkal egyszer¶bbé válik M (2.8) ~0
ahol M a rendszer össztömege, ~0 pedig a rendszer össz 3-asimpulzusa (csak akkor írható fel ilyen alakban a pµ , ha id®szer¶ eseményeket vizsgálunk, azonban ez zikai rendszerekre teljesül). Minden
2. tétel
12
rendszer jellemezhet® a
2 M 2 = ETKP = pµTKP pTKP = pµ pµ µ
(2.9)
a tömegközépponti energiával, ami Lorentz-skalárral. Továbbá a számolások során felhasználjuk, hogy a folyamat két végállapotára teljesül az energiaés impulzusmegmaradás.
2.2.1 Fix target Vegyünk egy álló m tömeg¶ céltárgyat és erre l®jünk rá egy másik m tömeg¶ részecskét T kinetikus energiával és p~ impulzussal. Ekkor a labor rendszerben a négyes impulzus: m + (T + m) µ (2.10) plabor = ~0 + p~ amib®l a már invariáns tömegközépponti energia 2 s = ETKP = pµlabor plabor = (2m + T )2 − p2 = 4m2 + T 2 + 4mT − p2 µ
(2.11)
a tömeghéj feltétel segítségével a 2 = m2 + (m + T ) p2 = m2 + Elövedék
2
(2.12)
kifejezhet® és vissza helyettesítve a (2.11) egyenletbe:
s = 2m(m + T ) = 2mElövedék
(2.13)
Tehát x targetes ütközések során az ETKP tömegközépponti energia a lövedék Elövedék energiájának a gyökével arányos.
2.2.2 Ütköz® nyalábok Két azonos tömeg¶ és Enyaláb = T + m energiájú nyaláb összelövése során a tömegközépponti négyesimpulzus 2E E+E (2.14) pµlabor = = ~0 p~ − p~ melyb®l a tömegközépponti energia 2 s = pµlabor plabor = 4Enyaláb , µ
(2.15)
azaz az ütköz® nyalábos kísérletek energetikailag kedvez®bbek, mivel az ETKP tömegközépponti energia arányos az Elövedék nyaláb energiájával, azonban a hatáskeresztmetszete kisebb mint a xtárgyas kísérleteknek, mivel az álló targetet jobban össze lehet s¶ríteni.
Komplex detektorrendszerek, hardver, szoftver, egy korszer¶ detektorrendszer ismertetése 3.1
Alapelvek, a hagymahéj-struktúra
Ütköz® nyalábos kísérleti detektorrendszerek jellemz® kialakítása a hagymahéj szerkezet, mely a térszög minél nagyobb részét lefedi. Fix céltárgyas kísérletek esetén a detektorok a céltárgy mögött helyezkednek el az el®reszórás irányában. Az ütközési pontból induló töltött részecskék pályájának és impulzusának mérésére szolgál a legbels® nyomkövet® rendszer, mely állhat többféle, az el®z®ekben leírt nyomkövet® detektorból. Egy ilyen rendszerrel kapcsolatos elvárások, hogy könny¶ elemekb®l készüljön, melyen a részecskék nagyon kis energiaveszteséggel és kevés szóródással haladhatnak át. A nyomkövet® rendszer általában mágneses térben helyezkedik el az impulzus meghatározásához. Az elektronok és fotonok energiájának mérésére szolgál az elektromágneses kaloriméter, melyben elektromágneses záporok mennek végbe. Ezzel kapcsolatos elvárások a jól szegmentáltság és a néhány sugárzási hosszt elér® méret. A hadronok energiáját a hadronikus kaloriméterrel mérjük, mellyel kapcsolatban hasonló elvárások támaszthatók, mint az elektromágneses kaloriméterrel kapcsolatban. Részecske azonosítás a rendszerben több helyen történhet a részecske fajtájától függ®en. A bels® nyomkövet® detektorban az energiaveszteség (dE/dx) alapján választhatók el egymástól egyes töltött részecskék pl. pionok, kaonok, protonok. Az elektronok és pionok szétválasztására használhatunk átmeneti sugárzás detektorokat ugyancsak a nyomkövet® rendszer részeként. A nyomkövet® rendszerhez tartozó mágneses téren kívül használhatóak a repülési id® detektorok is. A müon az egyetlen olyan részecske, ami nem nyel®dik el a kaloriméterekben, tehát a müon detektorok általában a detektor küls® részén helyezkednek el. Ezeken a f® detektorokon kívül a nagy detektorrendszerek része még az esemény válogatásra, illetve esemény karakterizációra szolgáló detektorok. Például egy minimum bias trigger, ami minden inelasztikus proton-proton ütközést jelez, általában az ütközési pont mindkét oldalán a forward régióban található egyszer¶, nagyon hatékony, gyors detektor. Fix céltárgyas nehéz-ion ütközésekben hasonló célú detektor általában a veto detektor, ami a nyaláb folytatásában van, és vétózza azon eseményeket, amikor a bombázó részecskék nem térültek el, vagyis ne történt ütközés. Ezután a néhány példa után lehet egy képünk arról, hogy milyen komplex egy részecske- és nehéz-ion zikai detektorrendszer felépítése. Ebben a fejezetben bemutatunk néhány példát a világban folyó nagy kísérletekb®l, majd a fejezet végén röviden kitérünk a más alapelveket követ® neutrínó zikai kísérletekre is.
3.2
Detektorrendszerek
3.2.1 BNL RHIC A Brookhaven Nemzeti Laboratórium (BNL) részecskegyorsítóinak legnagyobb tagja a relativisztikus nehéz-ion ütközet® (RHIC). A RHIC gy¶r¶je 4 km kerület¶, melyben a nyalábok hat 13
3. tétel
14
ponton keresztezik egymást. A berendezés 2000-ben kezdte meg m¶ködését négy kísérleti kollaborációval. A PHOBOS és a BRAHMS kísérleti programja már lezárult, ma a PHENIX és a STAR kísérletek m¶ködnek már több, mint tíz éve. Ezalatt az id® alatt a két detektor felépítésében a mérési céloknak megfelel®en történtek kisebb nagyobb változtatások.
PHENIX A PHENIX (Pioneering High Energy Nuclear Interaction eXperiment) detektor követi az általános elveknél leírt hagymahéj szerkezetet. Az középs® részben ütközési ponttól kifelé a következ® detektorok találhatóak egymást követ® rétegekben:
• Drift kamrák (DC) a részecskepályák és a részecskék impulzusának meghatározásához • Pad kamrák (PC) a részecskék pozíciójának pontos méréséhez • Ring Imaging Cherenkov (RICH) detektorok részecskék azonosítására • Repülési id® (TOF) detektor a 120 ps id®felbontással a pionok és kaonok szétválasztására • Elektromágneses kaloriméter (EMCAL) az elektronok és fotonok energiájának mérésére Az elektromágneses kaloriméternek két része van egy mintavev® és egy homogén kaloriméter. A mintavev® kaloriméter egymást követ® ólom és szcintillátor rétegekb®l épül fel. A homogén kaloriméter egy ólomüveg detektor, aminek jobb a felbontása, de drágább az el®állítása. Az ólomüvegben Cherenkov fény keletkezik, melyet fotoelektronsokszorozók olvasnak ki. Az események karakterizálására szolgáló detektor a beam-beam counter (BBC), mely az egyik legfontosabb trigger detektor is. Az id®felbontása körülbelül 40 ps, mely gyors triggerjelet szolgáltat. Az ütközési ponthoz közel helyezkedik el a két hat-hat szegmensb®l álló detektorelem. A detektorban leadott össztöltésb®l következtethetünk a nehéz-ion ütközés centralitására, a részecskék irányeloszlásából a reakciósíkra és a két detektor koincidenciája adja a triggerjelet. A zero-degree kaloriméter (ZDC) egy hasonló célokat szolgáló hadronikus kaloriméter, mely 100 m-re helyezkedik el az ütközési ponttól, így a semleges neutronokat tudja mérni, melyek az ütköz® ionokról repülnek le. A PHENIX mágnesén kívül a nyalábra mer®leges irányban találhatóak a müonok azonosítására és impulzusuk mérésére szolgáló detektorok.
STAR A STAR (Solenoidal Tracker At RHIC) detektor, ahogy a nevéb®l is látszik, a részecskék pályájának minél pontosabb mérésére speciálizálódott. A STAR részdetektorai:
• Szilícium vertex detektor • Id®projeciós kamra • Repülési id® detektor • Elektromágneses kaloriméter • Forward id®projekciós kamra
3.2.2 CERN LHC A Nagy Hadronütköztet® egy 27 km kerület¶ alagútban található 50-175 m mélyen a föld alatt a CERN-i gyorsító komplexum legnagyobb tagjaként. Az els® 7 TeV tömegközépponti energiájú proton-proton ütközések 2010 márciusában kezd®dtek. A két egymással szemben köröz® nyaláb négy ütközési pontban találkozik a négy nagy LHC kísérletnél: ALICE, ATLAS, CMS, LHCb. Ezeken kívül két kisebb kollaboráció m¶ködik az LHC-n, a TOTEM és az LHCf, melyek a CMS és az ATLAS ütközési pontokban történt ütközésekben keletkez® nagyon el®re szórt részecskéket tudják detektálni.
3. tétel
15
CMS A CMS (Compact Muon Solenoid) kísérlet a legnehezebb detektor a maga 12500 tonnás tömegével. A detektor kialakítása követi a bevezet®ben leírt hagymahéj szerkezetet, 21,6 m hosszú és 14.6 m átmér®j¶. Egyik különlegessége a 4 T er®sség¶ szolenoid szupravezet® mágnes, melyet 12000 tonna vas vesz körül, ami visszafordítja a mágneses teret. A nyalábcs®t®l kifelé haladva a következ® detekoregységek találhatóak a szupravezet® szolenoidon belül:
• Bels® nyomkövet® detektor (Inner Tracker) - pixel illetve csík (strip) detektorok: a töltött részecskék impulzusának mérése, els®dleges illetve bomlási vertexek meghatározása. • Elektromágneses kaloriméter (ECAL): elektronok és fotonok elnyelésével energiájuk mérése. • Hadronikus kaloriméter (HCAL): a müonokon kívül minden részecske elnyelésére és energiájuk mérése. A szolenoidon kívül a vas elemek között találhatóak a müon detektorok, melyek a müonok azonosítására és impulzusának mérésére szolgálnak. Ezek a detektorok teljesen körbeveszik az ütközési pontot, lefedik a 2π azimuthális szögtartományt. Nagy pszeudorapiditású el®reszóródott (forward) részecskék detektálására szolgáló detektorok találhatóak még a detektor két végénél: a HF (Hadron Forward Calorimeter), a ZDC (Zero Degree Calorimeter), a BSC (Beam Scintillator Counter) és a CASTOR. Ezeknek fontos szerep az események válogatásánál (triggerelés) és karakterizációjánál jut. A bels® nyomkövet® rendszer egy 200 m2 érzékeny felület¶ szilícium detektor, ami precíz és hatékony méréseket tesz lehet®vé. A kölcsönhatási pont körül elhelyezked® 5.8 m hosszú és 2.5 m átmér®j¶ detektor két féle technológiával készült elemeket tartalmaz. A pixel detektor 3 rétegb®l a hordó részben (barrel) és 2 lemezb®l a végsapkáknál (endcap) áll. A nagy szegmentáltságnak és jó id®felbontásnak köszönhet®en a 25 ns-onként egyszerre történ® 10-20 ütközés vertexét szét lehet választani. A csík (strip) detektor 10 hordó réteget és 9 végsapka lemezt tartalmaz, melyekben 15148 modul található. Az elektromágneses kaloriméter egy hermetikus homogén kaloriméter, amely 61200 ólom-volframát kristályból áll a hordó részen, amit 7324 kristály zár le a végsapkákban. A kristály szcintillátorokat fotodiódák olvassák ki. A nagy s¶r¶ség¶ kristály használata lehet®vé teszi, hogy a detektor gyors, jól szegmentált és ellenálló legyen a sugárzással szemben. A CMS-nek négy féle hadron kalorimétere van: a hordó részbeli HB a szolenoidon belül, a végsapka HE, a küls® HO a szolenoidon kívül és az forward HF. A kaloriméterek feladata az eseményben keletkezett jetek azonosítása, és energiájának mérése, illetve a hiányzó transzverz energia meghatározása. A HB egy mintavev® kaloriméter, ahol bronz elnyel® (absorber) rétegek és a szcintillátor rétegek követik egymást. A szcintillátorok jól szegmentáltak, így egy szegmens mérete (∆η, ∆φ) = (0.087, 0.087). A HE is mintavev® kaloriméter, mely pszeudorapiditásban a HB folytatása. A HO, küls® kaloriméterre azért van szükség, mert a szolenoid belül lév® kaloriméterek nem tudják teljesen elnyelni a nagy energiájú záporokat. A HO a vas gy¶r¶k közé beépített detektor vas absorber rétegekb®l szcintillátor lapokkal. A HF érdekessége, hogy Budapesten készült. Ennek a kaloriméternek fontos szerepe van a luminozitás meghatározásánál illetve a nehéz-ion ütközésekben a triggerelésnél és a centralitás meghatározásánál. A HF 11,2 m távolságban helyezkedik el az ütközési ponttól, ezzel lefedve a 3 < |η| < 5 pszeudorapiditás régiót. Az detektorban aktív anyagként kvarc szálak találhatóak, melyek jól bírják a hatalmas sugárzást. A CMS neve alapján is a müonok detektálására nagy hangsúlyt fordít, mert a müonokat egyszer¶ azonosítani, és nagyon sok érdekes zikai jelenség tiszta jelei lehetnek. A müonokat detektáló rendszer három féle gázdetektorból épül fel, melyek célja a müon azonosítás, müon impulzus mérés és triggerelés. A hordó részben egyszer¶ drift kamrák (DT) mérik a müonok pályáját, mert itt a háttér valószín¶sége és a müonhozam kicsi. Az egymás mellett lév® kamrák átfednek egymással, hogy ne legyen holttér a detektálási hatásfokban. A végsapkáknál, ahol a müonhozam és a háttér is jelent®sebb, valamint nem uniform a mágneses tér, CSC (cathode strip chamber) típusú kamrákat használnak a müonok detektálására. Ezeket a müonkamrákat egészítik ki az RPC (resistive plate chamber) detektorok, melyeknek a nagy energiájú müonos események kiválogatásánál van szerepük.
3. tétel
16
ATLAS Az ATLAS (A large Toroidal LHC ApparatuS) detektor négy f® részb®l áll:
• Bels® detektor, mely a töltött részecskék impulzusát méri • Kaloriméter, mely a részecskék energiáját méri • Muon spektrométer, mely azonosítja a müonokat és méri az impulzusukat • Mágnes rendszer, mely elgörbíti a töltött részecskék pályáját az impulzusméréshez A bels® detektor nagy felbontású detektorok és nyomkövet® detektorok kombinációja, melyek mind a középs®, 2 T er®sség¶ szolenoidban helyezkednek el. A legnagyobb szegmentáltságot a vertex régió körül lév® szilícium pixel detektorok érik el, amiket a szilícium csík detektorok követnek. Tipikusan minden pályához három pixel és négy strip beütés tartozik, amiket 36 nyomkövetési pont követ a straw tube tracker-ben. A bels® detektor küls® sugara 1,15 m és a teljes hossza 7 m. A hordó részben a precíziós detektorok koncentrikus henger alakban helyezkednek el a nyalábcs® körül, a végsapka részben pedig a modulok a nyalábirányra mer®leges lemezekre vannak er®sítve. A hordó részben gázdetektor szálai párhuzamosak a nyalábiránnyal, és a szálak közötti xenon gáz teszi lehet®vé az elektronok azonosítását átmeneti sugárzás révén. A kaloriméter a töltött és semleges részecskék energiáját méri. Fém lapokból (absorber) és érzékel® elemekb®l áll. Az elnyel® rétegekben részecskezápor alakul ki, melyet az érzékel® elemek detektálnak. A kaloriméter bels® részében folyékony argon az érzékel®, amiben a záporok elektronokat keltenek, amiket az elektronika összegy¶jt. A küls® részben szenzorként plasztik szcintillátorokat használnak. A müon spektrométer körbeveszi a kalorimétert és a müonok pályáját méri, hogy nagy pontossággal meghatározza az impulzusukat. Töltött részecske detektorok ezreib®l épül fel, melyek hasonlóak a bels® detektor szálaihoz, de nagyobb a csövek átmér®je. Az ATLAS mágneses rendszere két részb®l áll. A középs® szolenoid 5,3 m hosszú és 2,4 m átmér®j¶ szupravezet® mágnes, mely 2-2,6 T mágneses teret képes létrehozni. A toroid mágneses rendszer 8 hordó tekercsb®l áll, melyeknek saját krisztátja van, és 2 végsapka kriosztátból, melyekben 8-8 tekercs van.
ALICE Az ALICE (A Large Ion Collider Experiment) kísérlet, ahogy a nevében is van, az LHC nehézion kísérlete. A detektorrendszer középs® hordó része az L3 kísérlett®l megörökölt szolenoid mágnesbe van beépítve. Belülr®l-kifelé a hordó részei:
• bels® nyomkövet® rendszer (ITS), mely hat réteg nagy felbontású szilícium pixel (SPD), drift (SDD) és strip (SSD) detektorból áll • henger alakú id®projekciós kamra (TPC) • három sor részecskeazonosításra szolgáló detektor: repülési id® detektor (TOF), ring imaging Cherenkov detektor (HMPID), átmeneti sugárzás detektorok (TRD) • két elektromágneses kaloriméter: PHOS és EMCal Minden detektor kivéve HMPID, PHOS és EMCal az egész azimutális szögtartományt lefedik. A forward müon karban absorber rétegek, egy nagy dipól mágnes és 14 réteg nyomkövet® és trigger kamrák találhatóak. Sok egyéb kisebb detektor helyezkedik el kis szögeknél (ZDC, PMD, FMD, T0, V0), melyek feladata a globális esemény karakterizáció illetve triggerelés. Egy sor szcintillátort (ACORDE) az L3 mágnes tetején használnak kozmikus sugarak azonosítására.
LHCb Az LHCb (Large Hadron Collider beauty experiment) detektorrendszere kivételt képez az eddig leírtakhoz képest. A kísérlet célja a B mezonok (b kvarkot tartalmazó részecskék) vizsgálata, melyek ha keletkeznek proton-proton ütközésben, akkor a nyalábcs®höz közel indulnak el
3. tétel
17
az ütközési pontból, ezért a 20 méteres detektor a nyalábcs®re mer®leges rétegekb®l épül fel. Az ütközési pont körül helyezkedik el a vertex detektor (VELO), mely 42 szilícium detektorelemb®l épül fel. Feladata a rövid élettartamú B mezonok bomlási vertexének 10 µm pontos meghatározása. A VELO érdekessége, hogy mindössze 5 mm-re helyezkedik el a nyalábtól, emiatt ki kell venni a detektort, amíg az ütköz® protonnyalábok nem stabilak. Két RICH detektor helyezkedik el az LHCb er®s mágnesének két oldalán, melyet részecskeazonosításra használnak. A mágnes, mely az impulzusmérést teszi lehet®vé, két nagy alumínium tekercsb®l készült. Az LHCb nyomkövet® rendszere négy nagy négyszöglet¶ részb®l áll, melyek egyenként 40 m2 területet fednek le. Kétféle detektor technológiát alkalmaztak. A szilícium tracker, ami a nyalábcs®höz közel helyezkedik el, szilícium strip detektorokat használ. A küls® tracker, ami távolabb helyezkedik el a nyalábcs®t®l, több ezer szálas gázdetektorokból épül fel. Az LHCbnek is kétféle kalorimétere van, az elektromágneses és a hadronikus kaloriméter. Mindkét kaloriméter mintavev® technológiájú, tehát fém és plasztik rétegekb®l áll össze. Mivel a B mezonok bomlásaiban gyakran vannak müonok, ezért a müonok detektálása nagyon fontos a kísérletnek. A detektor távoli végén helyezkednek el a müonkamrák, melyek körülbelül 435 m2 területet fednek le. A kamrákban lév® gáz szén-dioxid, argon és tetra our-metán keveréke.
3.2.3 Neutrínó zikai kísérletek A neutrínókat tartalmazó folyamatok hatáskeresztmetszete igen kicsi, még hozzájárul az is, hogy az Univerzumból származó neutrínók intenzitása igen alacsony, ezért a háttér nagyon súlyosan esik latba. Ilyen esetekben a detektorokat több kilométerre a földfelszín alá, bányákba vagy tavak, tengerek mélyére telepítik, ahol a detektor feletti föld-, illetve vízréteg kisz¶ri a kozmikus sugárzás zavaró hatásait. Viszont a neutrínóknak mindez nem jelent akadályt, könnyen bejutnak a detektorba. A neutrínódetektorok alapvet®en két típusba sorolhatók:
• Cserenkov-detektorok: • szcintillációs-detektorok: A detektálást során a következ® kölcsönhatásokból valamelyiket szoktál általában felhasználni:
• A neutrínó rugalmas szóródása (e− , p+ , atommagon) • inverz β -bomlás illetve annak átrendezettjei
Kamiokande A Super-Kamiokande 1000 méterrel a földfelszín alatt helyezkedik el a Mozumi bányában (Kamioka Mining and Smelting Co.), Japán Gifu megyéjében. 50000 tonna tiszta vizet tartalmaz melyet nagyjából 11146 darab 20 inch átmér®j¶ fotoelektron-sokszorozó vesz körbe. (A vizet a kit¶n® ár/törésmutató arány miatt használják.) Henger alakú, mely 42 m magas és 39 m átmér®j¶. A neutrínó kölcsönhatva a víz egy atommagjának protonjával vagy neutronával
νl + n0 → l + p+
ν l + p+ → l+ + n0
(3.1)
létrehozhat egy a vízbeli fénysebességnél gyorsabban mozgó részecskét: müont vagy elektront. Az így keletkezett részecske Cserenkov-sugárzását gyelik a fotoelektron-sokszorozók.
Néhány kiemelked®en fontos kísérlet (P, CP, J/Ψ) ismertetése 4.1
P sértés, CP sértés
A részecske zika három alapvet® tükrözési szimmetriája, a töltés, a tér és az id®tükrözésével kapcsolatos. A P-tértükrözés ellenkez®jére fordítja a térkoordináták el®jelét, ami annak felel meg, mintha a rendszert a szokásos jobbkezes koordinátarendszer helyett balkezesben írnánk le. A Tid®tükrözés az id®koordinátát fordítja ellenkez®jére. A C-töltéstükrözés részecskéb®l antirészecskét csinál, tehát valamennyi töltés-típusú kvantumszám el®jelét megfordítja. Egy függvény páros, ha tértükrözés hatására nem voltozik, és páratlan, ha azonos abszolút érték mellett el®jelet vált. Összetett rendszerekben az alkotórészek paritásai összeszorzódnak. A zika jelenlegi állása szerint a három tükrözés együttes alkalmazása nem változtatja meg egy szabad zikai rendszer mérhet® tulajdonságait, azaz egy szabad antirészecske matematikailag úgy kezelhet®, mint egy térben és id®ben visszafelé mozgó részecske. A CPT -invariancia a térelmélet egyik alaptétele, sértéséhez olyan alapvet® zikai feltevésekr®l kellene lemondanunk, mint a Lorentz-invariancia vagy a kauzalitás.
4.1.1 Paritássértés és a V-A elmélet A paritássértést a Θ, τ rejtély kapcsán vették el®ször észre, ez volt az els® olyan meg gyelt folyamat ami egy diszkrét szimmetriát sértett. Majd a rejtély feloldásának kísérleti bizonyítékára Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang több kísérletet, köztük a Co-60 β -bomlásátnak vizsgálatát javasolta, mely során igazolódni látszott a sejtésük.
A Θ, τ rejtély A paritássértés felfedezése a Θ-τ paradoxonnak köszönhet®. Meg gyeltek két részecskét, amelynek valamennyi tulajdonsága azonos volt a paritásuk kivételével, ugyanis
Θ → π+ π0 + − +
τ →π π π
πΘ = (−1)(−1)
(4.1a)
πτ = (−1)(−1)(−1)
(4.1b)
Tehát a πΘ = 1, míg πτ = −1. Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang azt feltételezték hogy a τ és a Θ ugyanaz a részecske (amit ma K + mezonnak hívunk), viszont a gyenge kölcsönhatás sérti a paritásmegmaradást; és javasoltak néhány kísérletet a paritássértés ellen®rzésére.
Paritássértés kísérleti igazolása Az els® kísérleti igazolás Chien-Shiung Wu asszony nevéhez f¶z®dik, mely során Tsung-Dao Lee és Chen-Ning Yang javaslatára Co-60 izotópot mágneses térbe helyezve leh¶töttek csaknem az abszolút zérusig (0,1 K alá), és annak a β -bomlását tanulmányozták. Leon Lederman csoportja, hallván a Wu-kísérlet els® eredményeir®l, azonos elvekre épül®, azonban kísérletileg sokkal egyszer¶bb mérésbe kezdtek. Pion β -bomlását nézték
π − → µ− ν µ
π + → µ+ νµ 19
(4.2)
4. tétel
20
A müonok polarizáltan keletkeznek: mivel a pion spinje zérus és a keletkez® leptonoké 12 , az impulzusmegmaradás miatt a müon és a neutrínó spinje egymással szemben fog állni. Az impulzus beállásra viszont azt tapasztalták hogy µ+ esetben a spin és az impulzus iránya antiparallel, míg µ− ˆ p~ = −~ esetben parallel. Tehát mindkét esetben sérül a P sértés, hiszen P p, de a spin axiálvektorként ˆ transzformálódik, azaz P~s = ~s. A müon bomlásából
µ± → e± νe∓ νµ±
(4.3)
kilép® pozitronok a müon polarizációs irányában mutatnak, így azok detektálásával kimutathatták a paritássértést.
V-A elmélet alapja A paritássértés kézlegyinget®s magyarázata: a gyenge kölcsönhatásban balkezes leptonok és jobbkezes antileptonok vesznek részt. Tömeges részecskék esetén csatolás van a bal- és jobbkezes terek 1 között a tömegtagon át. Tehát az áram×áram elmélet Lagrang-függvényének leptonikus része kifejezhet® a
1 (1 + γ5 ) l(x) 2 1 lR (x) := (1 − γ5 ) l(x) 2 lL (x) :=
(4.4a) (4.4b)
terek segítségével, ahol l ∈ {e, ν}. Az új terek bevezetése után a Lagrange-s¶r¶ségben megjelen® lepton áram 1 JµV-A (lepton) (x) = l(x)γµ (1 + γ5 )νl (x) = l(x) (1 + γ5 )γµ (1 + γ5 ) νl (x) = l+ (x)γ0 (1 + γ5 )γµ νlL (x) = 2 + = l+ (x)(1 − γ5 )γ0 γµ = 2lR (x)γ0 γµ νlL (x) = 2lR (x)γµ νlL (x) .
(4.5)
Ennek segítségével leírhatjuk a paritást sért® folyamatokat, ha tudjuk hogy a kirepül® neutrínók milyen kezesek, ezáltal a spinjüket is, mivel jobbkezes részecskék esetén az impulzus és a spin egyirányba áll, míg balkezeseknél ellentétes irányításúak.
4.1.2 CP-szimmetria sértés és a K 0 mezon Röviddel a P-szimmetria sértés felfedez után azt gondolták, hogy esetleg a kombinált CPtükrözés az igazi szimmetriája a természetnek. Ezt lényegében csak az motiválta, hogy a tükrözés szimmetria valamilyen formában érvényes maradhasson. A bal fels® sarokban lev® balkezes részecske
g. 4.3: CP tükrözés elemi lépésekben P hatására jobbkezes részecskévé, illetve C hatására balkezes antirészecskévé válik. A CP együttes hatására a jobb alsó sarokban lev® jobbkezes antirészecskét kapjuk. 1 ez a terek helicitás szerinti felbontása, mivel γ sajátértéke adják meg az adott tér helicitás értékét, mely balkezes 5 terekre +1, míg jobbkezes terek esetén −1
4. tétel
21
Kaon bomlása A Θ, τ paradoxon tehát megoldódott, a két részecske azonosnak bizonyult és K-mezon (kaon) O lett a neve, melynek négyféle állapota van: K + , K − , K 0 , K . Ha igaz a CP-szimmetria, a K 0 mezon gyenge kölcsönhatásban CP-sajátállapotra bomlik. Azonban K 0 -nak nincs CP sajátállapota, hiszen (4.6) Cˆ Pˆ K 0 ≡ Cˆ Pˆ (s, d) = K 0 CP-sajátállapotok a kett® kombinációi lesznek:
1 0 K1 := √ (K 0 + K ) 2
1 0 K2 := √ (K 0 − K ) 2
(4.7)
K1 és K2 valóban CP-sajátállapot, de CP-tükrözés hatására K2 el®jelet vált, amíg K1 nem. A kaon gyenge bomlása pionokat eredményez. Mivel a pion CP-negatív, a K1 kett®, a K2 három pionra tud bomlani (egy piont az impulzusmegmaradás tilt). A háromrészecskés bomlás valószín¶sége sokkal kisebb, ezért a K2 élettartama csaknem 3 nagyságrenddel hosszabb, mint K1 é. Christenson, Cronin, Fitch és Turlay 1964-ben kimutatták, hogy az így de niált K2 is tud ha nagyon ritkán is két pionra bomlani, ami azt jelenti, hogy a gyenge kölcsönhatás a CPszimmetriát is sérti, nemcsak a paritást, bár a paritássértéssel ellentétben a CP-sértés igen gyenge.
V-A elmélettel való leírása A ritkaság váltó folyamatok áram×áram fenomenologikus képpel való leírását a hadronáramban megjelen® (4.8) JµV-A (hadron) (x) = u(x)γµ (1 + γ5 )s(x) + d(x)γµ (1 + γ5 )s(x) típusú töltött illetve semleges tagokkal vehetjük gyelembe, a többi s-t tartalmazó tag a kiválasztási szabályok sértése miatt nem lehetségesek.
4.2
A J/Ψ és a GIM mechanizmus
Az 1950-es években a paritás sértés kimutatására, az megalkották az ú.n. V-A elméletet, mely szerint felírható egy olyan eektív Lagrange s¶r¶ség ami tudja a paritás sértést:
GF Lweak = − √ lα hα 2
(4.9)
ahol a lepton-áram kvark szinten: lα (x) = l(x)γ α (1 + γ5 ) νl (x) és a hadron áram pedig: hα (x) = h(x)γ α (1 + γ5 ) h0 (x), azonban ha a Ha a V-A elméletb®l az s,d kvarkok hatáskeresztmetszetét meghatározzuk, akkor az nagyságrendekkel eltér a mért kísérleti értékekt®l. Azonban ha feltesszük, hogy létezik ez eddig ismeretlen c részecske akkor a töltött hadronáram kib®vítésével
JµV-A (hadron) (x) = u(x)γµ (1 + γ5 )d0 (x) + c(x)γµ (1 + γ5 )s0 (x) ahol
d0 s0
=
cos Θ − sin Θ
sin Θ cos Θ
d s
(4.10) (4.11)
már magyarázhatóvá vált a kísérleti érték (persze beraktunk egy újabb paramétert: mc = 1.5GeV ). Tehát ezzel megjósolhatták hogy ha létezik a c kvark akkor az milyen energia skálára tehet®.
4.2.1 J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése Csaknem egyszerre 1974-ben fedezték fel Ting vezetésével Brookhavenben és Richter vezetésével Stanforban (SLAC), hogy e− − p+ , illetve e− − e+ ütközésékkor 3095 MeV energiánál a keletkez® hadronok száma ugrásszer¶en megn®. Az így talált részecskét J , illetve ψ -nek nevezték, amit kés®bb egy Salamoni döntéssel J/ψ -nek kereszteltek át.
4. tétel
22
A J/ψ részecske bomlási rátája meglehet®sen kicsinek bizonyult (ΓJ/ψ = 6.3keV). Ez az érték úgy volt magyarázható, hogy a J/ψ részecske nem egy részecske, hanem a cc mezon, más néven charmonium, ekkor ugyanis a cc →hadron bomlás csak három gluon cserével írható le (ΓJ/ψ ∼ 3 αQCD ), hiszen ha a
• cc annihiláció után hadronná alakulna akkor a folyamat során color triplet gluon szinglet hadronokká alakulna. • ha két gluon jönne ki az annihiláció során, akkor a paritás sérülne, hiszen a két gluon paritása 1, míg a cc-é pedig -1.
4.2.2 c kvark létezésének egyértelm¶ kísérleti bizonyítéka Neutrínó befogásos kísérlet után
νµ + d → c + µ−
(4.12)
a µ detektálásával megbizonyosodtak a c létezésér®l. Ez a folyamat sin2 Θ-val el van nyomva ugyan, azonban d céltárgyat egyszer¶bb preparálni, mind s-t.
Geometriai szimmetria csoportok; forgáscsoport, Poincaré-csoport, tükrözések 5.1
Geometriai szimmetria csoportok
A kvantummechanikában a rendszer eseményalgebrája egy H Hilbert-tér Pr(H) projektorhálója, ezért a szimmetriacsoportok ezen térben megadott projektorábrázolásait kell ismernünk. Tehát a szimmetriacsoport teljes jellemzéséhez kell keresni a csoport összes irreducibilis projektorhálóábrázolását. Egy U : H → H függvény unitér, ha lineáris és skalárszorzattartó. Antiunitér, ha konjugáltlineáris, azaz U (αΨβΦ) = α∗ U Ψ + β ∗ U Φ és skalárszorzattartó. A Wigner-tételt szerint ha U : H → H olyan, hogy ∀Ψ, Φ ∈ H -ra |hU Ψ|U Φi| = |hΨ|Φi|, akkor U unitér, vagy antiunitér. Minden olyan (+) m¶velet és a hozzá tartozó V tér (a,b,c,...) elemi csoportot alkotnak ha kielégítik a csoport axiómákat
• a + (b + c) = (a + b) + c asszociativitás • ∃0 ∈ V, a + 0 = 0 + a = a egységelem létezése • ∀a ∈ V , ∃(−a) ∈ V : a + (−a) = 0 inverzelem létezése
5.1.1 Forgáscsoport A 3 dimenziós euklideszi vektortérben a skalárszorzattartó lineáris leképezések, azaz háromdimenziós forgatások O(3) csoportot alkotnak. A térbeli forgatások esetében meg kell adni a forgástengely irányát, erre a Θ, Φ szögeket használjuk. A forgatás harmadik paramétere pedig a forgatás nagysága, ezt ϕ-vel jelöljük. A Θ, Φ irányú tengely körüli ϕ szög¶ forgatást megadó mátrixot három mátrix szorzataként lehet felírni: el®ször Θ szöggel forgatunk az OZ tengely körül, azután Φ szöggel az OY tengely körül, majd ϕ szöggel az OZ tengely körül. 0 cos ϕ − sin ϕ 0 x cos Φ 0 sin Φ cos Θ − sin Θ 0 x y 0 = sin ϕ cos ϕ 0 0 1 0 sin Θ cos Θ 0 y z0 0 0 1 − sin Φ 0 cos Φ 0 0 1 z A forgatásokhoz 2×2-es mátrixot is rendelhetünk az alábbi módon. Egy általános kétdimenziós egységnyi determinánsú unitér mátrix alakja: a b U= , |a|2 + |b|2 = 1 (5.1) −b∗ a∗ Legyen a H 2×2-es mátrixok diagonális elemeinek összege, spurja nulla, akkor H-ban három független elem van. Ezt úgy használjuk ki, hogy H paraméterezésére a Pauli-mátrixokat választjuk: 0 1 1 0 0 i σx = , σy = , σy = (5.2) 1 0 0 −1 −i 0 23
5. tétel
24
így
(5.3)
H = xσx + yσy + zσz . Belátható, hogy a H = U HU módon
+
mátrix spurja is nulla, ezért a H' mátrix is felbontható az el®bbi (5.4)
H 0 = x0 σx + y 0 σy + z 0 σz . −i ϕ 2
A lényeg hogy leírható így minden forgatás, speciális választással a = e és b = 0, ez a z-tengely körüli ϕ-szög¶ forgatásnak felel meg. A dimenzió növelésével általánosan azt azt mondhatjuk, hogy minden forgatás a következ® alakban írható le: ~ U = e−iϕ~nJ , (5.5) ahol ~n a forgatás irányába mutató egységvektor, ϕ pedig a forgatás szöge és J generálja a forgatást, mely a következ® Lie-algebrát követi:
[Ji , Jj ] = ii,j,k Jk
(5.6)
Az irreducibilis unitér sugárábrázolások egyértelm¶en jellemezhet®k1 egy j ∈ N20 számmal. A jedik ábrázolás d = 2j + 1 dimenziós. Legyen Si a Ji ábrázoltja. A j-edik ábrázolásban a bázist az S3 sajátvektorainak szoktuk választani, és |j, mi-mel jelöljük, ahol
S3 |j, mi = m |j, mi ,
m = −j, −j + 1, . . . , j
(5.7)
A léptet® operátorok léptetnek az S3 sajátvektorai között:
S− = S1 − iS2
S+ := S1 + iS2 , a megszokott módon
S± |j, mi =
p
j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1i .
(5.8) (5.9)
Az ábrázolás Casimir-operátora, mellyel mindenki felcserél
S 2 |j, mi = j(j + 1) |j, mi
(5.10)
illetve ezek magasabb hatványai. Ha j egész, akkor az ábrázolás valódi unitér ábrázolása SO(3)-nak, ha j félegész, akkor csak sugárábrázolása SO(3)-nak, és csak SU(2)-nek valódi ábrázolása.
5.1.2 Poincaré-csoport A speciális relativitáselmélet metrikáját az ívelem négyzet de niálásával rögzíthetjük ds2 := ηµ,ν dxµ dxν
(5.11)
ahol ηµ,ν a metrikus tenzor. Az általános relativitáselmélet kimondja, hogy az ívelem négyzetet invariánsan hagyó transzformációkra a zikai törvények is változatlanok, az ilyen transzformációk során tehát a következ®nek kell teljesülnie ds2
ηµ,ν dxµ dxν dxµ dxν ηµ,ν 0% 0σ dx dx Mivel ennek minden x-re fen kell állnia, így
!
= ds02 0 = η%,σ dx0% dx0σ 0 = η%,σ
dx dx0 -knek
(5.12)
konstansnak kell lenniük, azaz
x0µ = Λµ,ν xν + aµ
(5.13)
lineáris transzformáció lehet a két koordináta között. Az ívelem négyzetet invariánsan hagyó transzformációkat csoportot alkotnak és ezt Poincaré-csoportnak nevezzük, melyet T (Λ, a)-val jelölünk. A Poincaré-csoport speciális részcsoportja a T (Λ, 0) Lorentz-csoport 1a
kvantumelméletben ha két állapot csak egy fázisfaktorban különbözik akkor u.a. az állapotnak tekintjük ®ket
5. tétel
25
Poincaré-csoport osztályozása Belátható, hogy a
ΛT ηΛ
= η
det(ΛT ηΛ)
=
det(η)
1
=
det(Λ)2 = (Λ00 )2 −
X (Λ0i )2
(5.14)
i
esetén elégíthet® ki az ívelem megmaradás, tehát (Λ00 )2 ≥ 1 és det(Λ00 ) = ±1. Tehát ezek alapján négy osztályt különböztethetünk meg: ha a det Λ = 1 akkor a tér irányát rendben hagyja, ha det Λ = −1 akkor tértükröz, ha Λ00 ≤ 1 akkor id®t tükröz, ellenkez® esetben hagyja. Az id® és tér irányát változatlanul hagyó Poincaré-csoportot valódi Poincaré-csoportnak nevezzük.
Valódi Poincaré-csoport Lie-algebrája Tekintsünk egy az egységelem közeli in nitezimális transzformációt: (5.15)
T (Λ, a) ' T (1 + ω, ) = Λµν = δνµ + ωνµ
az ívelem négyzet invarianciájából következ®en ω -nak teljesen antiszimmetrikusnak kell lennie az indexeiben. A Wigner-reprezentációs tétel szerint a Poincaré-transzformációk a Hilbert-tér felett egy T (Λ, a) → U (T (Λ, a)) ≡ U (Λ, a) (5.16) unitér transzformációval ábrázolhatóak. Az unitritás miatt az in nitezimális kifejtés a P és J önadjungált operátorok segítségével tehet® meg
1 U (1 + ω, ) = 1 − iωµ,ν J µ,ν + iµ P µ . 2
(5.17)
Ebben a pontban még nem tudjuk h P az energiaimpulzus és J az energiaimpulzus-momentum tenzora, vagy még is, hisz az egyik a forgást a másik az eltolást generálja. A generátorok kommutációs relációit az ábrázolás szorzási2 tulajdonságából
U (Λ, a)U (1 + ω, a)U −1 (Λ, a) = U (Λ, a)U (1 + ω, a))U (Λ−1 , −Λ−1 a) = 1 = U (Λ(1 + ω)Λ−1 , Λ − ΛωΛ−1 a) = 1 + i ΛωΛ−1 µ,ν J µ,ν + i(Λ − ΛωΛ−1 a)µ P µ 2 és abból, hogy ennek meg kell egyeznie a direkt sorfejtéssel is 1 U (Λ, a)U (1 + ω, a)U −1 (Λ, a) = U (Λ, a) 1 − iωJ + iP U −1 (Λ, a) . 2
(5.18)
(5.19)
A két egyenlet egyenl®vé tételéb®l és az P, illetve J-t tartalmazó tagokból meghatározhatjuk azok transzformációs tulajdonságát, amik megjegyezhetetlenek, így a következ® jelöléseket szoktál bevezetni, melyek már zikai tartalommal is bírnak
• energia H := P 0 • impulzus P~ := Pi • perdület J~ := (J23 , J31 , J12 ) ~ := (J01 , J02 , J03 ) • Loretz-boost K Ezekkel már memorizálható alakot öltenek
[Ji , Jj ] = ii,j,k Jk
[Ji , Pj ] = ii,j,k Pk
[Ki , Kj ] = −ii,j,k Jk
[Ki , Pj ] = −iδi,j H
2 T (Λ, a)T (Λ0 , a0 ) = T (ΛΛ0 , Λa0 + a)
és T −1 (Λ, a) = T (Λ−1 , −Λ−1 a)
[Ji , Kj ] = ii,j,k Kk [Ki , H] = −iPi
(5.20)
5. tétel
26
Tehát látható, hogy J a forgáscsoport Lie-algebráját követi, K és P a forgások alatt vektorként transzformálódik. A csoport Casimir-operátorai:
M2 W2
:= Pµ P µ 1 1 := µ,i,j,k P i J j,k · µ,i,j,k Pi Jj,k 2 2
(5.21a) (5.21b)
ahol megfelel® síkhullám ábrázolásban M a részecske spinjét és W a spinjét adja meg.
5.1.3 Tükrözés Ha minden igaz akkor a Lorentz-csoportot a P tér és T id®tükrözés generálja. Hasonló tulajdonságaik miatt együtt kezelhet®ek a tárgyalás során. A tükrözéseket de niáló operátorok ábrázolásának transzformációira kirójuk a következ®t:
P U (Λ, a)P −1 T U (Λ, a)T
−1
=
U (P ΛP −1 , P a)
= U (T ΛT
−1
, T a)
(5.22a) (5.22b)
Belátható, hogy a felhasított Poincaré-csoport generátoraira teljesül a
~ −1 = J~ ~ −1 = −K ~ P JP P KP ~ −1 = −J~ ~ −1 = K ~ T JT T KT
P P~ P −1 = −P~ T P~ T −1 = P~
P HP −1 = T HT −1 = H
(5.23a) (5.23b) (5.23c)
Az egyrészecske-állapotokon történ® ábrázolódásuk:
• Ha m = 0, azaz zérus tömeg¶ részecskék esetén P |p, σi = ησ e±iπσ |P p, −σi
(5.24)
ahol σ a helicitást jelöli és ησ a bels® paritása a részecskének és
T |k, σi = ζσ e±iπσ |P p, −σi
(5.25)
• Ha m > 0, azaz tömeges részecskék esetén P |p, σi = η |P p, σi
(5.26)
ahol η a részecske bels® paritása, feles-spin esetén ±i, egész spin esetén pedig ±1, és
T |p, σi = ζ(−1)s−σ |P p, σi
(5.27)
mivel T antiunitér így ζ -nak nincs zikai jelentése, az állapotok megfelel® fázisfaktorárral való megválasztásával kiküszöbölhet®.
Szabad terek kvantumtérelmélete, szimmetriák 6.1
Történeti bevezetés
A kvantumelmélet történetének egyik els® állomása Max Planck kvantumhipotézise: a feketetestsugárzás energiaeloszlását Planck úgy tudta levezetni, ha feltette, hogy egy üregben lév® elektromágneses sugárzás energiája nem vehet fel akármilyen értéket, a ν frekvenciájú módus energiája csak az E = hν (6.1) elemi energiakvantum egész számú többszöröse lehet. Ezután a kvantumelmélet fejl®dése a kvantummechanika irányában indult meg : a cél az atomok színképének megmagyarázása volt. Ebben az els® sikereket Niels Bohr a hatás kvantálásán alapuló elmélete tudhatta magáénak (els® kvantumelmélet). A kvantummechanika modern fegyvertárának (Hilbert-tér, állapotvektor, hullámfüggvény, operátorok) bevezetése Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, P. A. M. Dirac, P. Jordan és Neumann János nevéhez f¶z®dik. Az elmélet kiépítése a XX. század húszas-harmincas éveire tehet®Az er®terek kvantálására az elmélet - annak ellenére, hogy ez volt az egyik kiindulópontja csak a kvantummechanika kiépítése után vált alkalmassá. Mint látni fogjuk, ezt a kanonikus formalizmus tette lehet®vé : ennek segítségével a klasszikus mechanika és a klasszikus mez®elméletek formailag hasonló alakra hozhatók, és ilymódon a kvantummechanikában megismert módszerek a terek kvantumelméletébe átvihet®k. Az átvitel legegyszer¶bben a lineáris téregyenletek esetén lehetséges: ekkor egy véges térrészt vizsgálva, ott a Fourier-transzformáció segítségével a mez® oszcillátorok összegeként fogható fel, a kvantummechanika szerint az oszcillátor energiájának kvantuma ~ω , így a térkvantálás visszavezethet® az oszcillátor kvantumelméletére. Az els® nehézségek is itt léptek fel : a sugárzási tér végtelen szabadsági fokú rendszer, így az oszcillátorfelbontásában is végtelen számú oszcillátor lép fel. Ezen oszcillátorok zérusponti energiái a Hamilton-operátorban egy végtelen alapállapoti járulékot adnának. Látni fogjuk, hogy ez a Hamilton-operátor normálrendezése révén kiküszöbölhet®.
6.2
Kanonikus kvantálás
A kanonikus kvantálás alapgondolatát itt a skalármez® esetére mutatjuk be. Magasabb helicitású (például vektormez® : elektrodinamika) esetén lényegében ugyanez az eljárás alkalmazható, további nehézséget csak a mellékfeltételek (mértékválasztás, kényszerek) jelentenek. A kanonikus kvantálás kiindulópontja a Lagrange-formalizmus. A skalármez® Lagrange-függvénye:
L(x) =
1 1 ∂µ ∂ µ ϕ(x) − m2 ϕ2 2 2
(6.2)
Innen a klasszikus mechanika mintájára a kanonikus impulzus :
π=
∂L(x) ∂ϕ = ∂0ϕ = ∂(∂0 ϕ) ∂t 27
(6.3)
6. tétel
28
így a Hamilton-függvény:
H = π∂0 ϕ − L =
1 2 1 1 π + (∇ϕ)2 + m2 ϕ2 2 2 2
(6.4)
A kanonikus kvantálás során a térmennyiségeket operátorokkal helyettesítjük, és a kanonikus koordinátákra és impulzusokra kikötjük a kanonikus kommutátorrelációt: (6.5)
[ϕ(x, t), π(x0 , t)] = i~δ(x − x0 ) általában a kanonikus csererelációk
[f (ϕ(x, t)), π(x0 , t)]
= i
∂f (ϕ(x, t)) δ(x − x0 ) ∂ϕ(x, t)
(6.6a)
[ϕ(x, t), g(π(x0 , t))]
= i
∂g(π(x0 , t)) δ(x − x0 ) ∂π(x0 , t)
(6.6b)
6.2.1 Fizikai értelmezés: Fock-tér Ebben a szakaszban megmutatjuk, hogy hogyan magyarázza meg a fenti elmélet a terek részecskejellegét (ilymódon a foton létét és a Planck-féle kvantumhipotézist is). A ϕ kielégíti a
∂0 ∂ 0 ϕ = ∂0 π = i[H, π] = ∇2 φ − m2 φ ϕ + m2 ϕ =
(6.7)
0
szabad Klein-Gordon-egyenletet. Melynek megoldásait kereshetjük síkhullám alakban a (6.8)
E 2 ≡ k02 = k 2 + m2
diszperziós reláció mellett, Z Z d3 p 1 d4 −ipx † ipx 2 2 a(p)e + a (p)e δ(p −m )Θ(p ) = a(p)e−ipx + a† (p)eipx ϕ(x, t) = 2π 0 4 3 (2π) (2π) 2p0 A deltafüggvény azt biztosítja a tömeghéj (diszperziós reláció) feltételt teljesülését, a Θ függvény pedig kizárja a negatív energiás megoldásokat. A Heisenberg-féle mozgásegyenletekb®l Z d3 p π = ∂0 ϕ = −i a(p)e−ipx + a† (p)eipx (6.9) 3 2(2π) A (6.5) kommutációs relációba behelyettesítve a következ®t kapjuk a Fourier-együtthatók csererelációjára [a(p), a† (p0 )] = (2π)3 2p0 (p)δ 3 (p − p0 ) (6.10) Létezik egy olyan állapot, jelöljük |0i-val, mely ∀p-re
a(p) |0i = 0
|pi = a† |0i
(6.11) !
ezeket a feltételeket kielégít® állapotokat nevezzük Fock-vákuumnak, a Fock-vákuumot h0|0i = 1-re szokás normálni. A Fock-tér operátoraink segítéségével a p impulzusú gerjesztések számát megadó
N (p) := a† (p)a(p)
(6.12)
operátor. A négyes impulzus térelméleti de níciójából adódóan: Z Z 3 Z 3 1 d p 1 µ d p 1 µ † P µ = d3 x π∂ µ ϕ − η 0,µ L = p aa† + a† a = p a a + konst. 2 (2π) 2p0 (2π) 2p0 a most megjelen® konstansból származó végtelen egy "eltolással" kiküszöbölhet®, mivel a végtelen energia az oszcillátorok 12 ~ω alapállapoti energiájának az összegéb®l származik. Tehát vezessük be a : A : normálrendez® operátort, mely az A operátorban el®re veszi az a† -eket.
6. tétel
6.3
29
Szimmetriák és a Noether-tétel
Minden folytonos szimmetriához tartozik egy megmaradó mennyiség. Ebben a fejezetben bels® szimmetriákkal fogunk foglalkozni, azaz nem lényeges hogy hány dimenziós térben ábrázoljuk a zikai mez®ket. A Noether-tétel értelmében folytonos szimmetria esetén létezik egy megmaradó árams¶r¶ség, melyre teljesül a kontinuitás egyenlet (6.13)
~ J~ = 0 ∂µ J µ = ∂0 J 0 + ∇ melyb®l a megmaradó mennyiség, "töltés"
Z Q=
d3 xJ 0 (x, t)
(6.14)
Az elmélet szimmetriái ábrázolódnak az állapottéren, mely ábrázolások a Wigner-tétel értelmében vagy unitér:
hU Ψ|U Φi = U (ξΨ + ηΦ)
=
hΨ|Φi
(6.15a)
ξU Φ + ηU Φ
(6.15b)
vagy antiunitér
hU Ψ|U Φi = U (ξΨ + ηΦ)
=
(6.16a)
hΨ|Φi ∗
∗
ξ UΦ + η UΦ
(6.16b)
operátorokkal történik. Ekkor természetesen az ábrázolást az állapottér operátoraira is ki kell terjeszteni az O0 = U OU −1 (6.17) formulával. Ekkor egy in nitezimális szimmetria transzformációt a ta szimmetria generátorával és kis, sorfejtési paraméterrel a következ®képpen írhatunk fel
ϕ0i (x, t) = [δi,j + ia (ta )i,j ] ϕj (x, t) + O(2 ) := ϕi + δϕi
(6.18)
A transzformáció után a Lagrange-s¶r¶ség megváltozása
δL =
∂L ∂L ∂L ∂L δ(∂µ ϕi ) = ∂µ (δϕi ) δϕi + δϕi + ∂ϕi ∂(∂µ ϕi ) ∂ϕi ∂(∂µ ϕi )
felhasználva az Euler-Lagrange mozgásegyenletet ∂L ∂L ∂L δL = ∂µ δϕi + ∂µ (δϕi ) = ∂µ δϕi ∂(∂µ ϕi ) ∂(∂µ ϕi ) ∂(∂µ ϕi )
(6.19)
(6.20)
Ha a transzformáció valóban szimmetria transzformáció volt, akkor δL = 0, melybe ha behelyettesítjük a δϕ de niáló kifejezését akkor ∂L i∂µ (ta )i,j ϕj = 0 (6.21) ∂(∂µ ϕi ) melyb®l leolvashatjuk a megmaradó árams¶r¶séget és töltést
Jµa (x, t) Qa (t)
∂L (ta )i,j ϕj ∂(∂µ ϕi ) Z Z = −i d3 xJ0a = −i d3 xπi (ta )i,j ϕj = −i
(6.22a) (6.22b)
Megjegyzés: A CPT tétel kimondja, hogy minden lokális relativisztikus kvantumtérelméletnek a CPT kombinált tükrözés szimmetriája.
Térelméleti S mátrix, funkcionálintegrálok, Feynman-gráfok 7.1
Aszimptotikus szórásjelenségek leírása
A részecske kában leggyakrabban vizsgált kísérlettípus: a végtelenb®l bejönnek részecskék adott impulzussal, összeütköznek, majd a reakciótermékek kirepülnek, és kell® távolságban detektáljuk ®ket. Az alapfeltételezésünk az lesz, hogy a kölcsönhatások csak az ütközés (véges ideje) alatt jelent®sek, az in- és out-állapotokban elhanyagolhatók (aszimptotikus szórás). Az in- és out állapotok jelölése
Ψ∞
=
−∞
=
Ψ
(7.1a)
lim Ψ(t)
t→∞
(7.1b)
lim Ψ(t)
t→−∞
ahol (7.2)
H = H0 + V
perturbatív tárgyalás esetén, az aszimptotikus állapotok a H0 Ψ±∞ = EΨ±∞ sajátállapotai, míg a kölcsönhatás pillanatában az állapotfüggvény a (H0 + V )Ψ(t) = EΨ(t) sajátérték egyenletnek tesz eleget. Mivel a kölcsönhatás csak az ütközés során jelent®s, így az aszimptotikus állapotok a kölcsönhatás el®tt (illetve után) aszimptotikusan egyenl®ek a szabad részecske-állapotokkal, tehát a szabad rész szerint fejl®dnek, míg a kölcsönhatás pillanatában H fejleszti az állapotot 0
Ψ(t + t0 ) = e−iHt Ψ(t)
0
Ψ±∞ (t + t0 ) = e−iH0 t Ψ±∞ (t)
(7.3)
Bevezetve a Ω(∓∞) = e±iHt e∓iH0 t operátort :
Ψ±∞ = e±iHt e∓iH0 t Ψ(t) = Ω(∓∞)Ψ(t)
(7.4)
Abból, hogy Ω unitér (skalárszorzattartó), abból következik az aszimptotikus teljesség, azaz nincs olyan folyamat ahonnan ne jönne ki részecske (ha bement).
7.1.1 Térelméleti S-mátrix De niáljuk a szórásmátrixot, mint az in- és out-állapotok közötti transzformáció mátrixát: −∞ † Sα,β := hΨ∞ α |Ψβ i = hΨα (t)| Ω (−∞)Ω(∞) |Ψβ (t)i ≡ hΨα (t)| S |Ψβ (t)i
(7.5)
Mivel S -t a szabad részecskeállapotokból építettük fel, így belátható hogy Poincaré-csoport elemeire invariáns, azaz az aszimptotikus szórással leírt leírt folyamatok végig Poincaré-invariánsak. Az S mátrixot könnyebben kezelhet® alakra hozhatjuk, ehhez vezessük be az 0
U (t, t0 ) := eiH0 t e−iH(t−t ) e−iH0 t 31
0
(7.6)
7. tétel
32
segédoperátort, mely U (∞, −∞) limeszben vissza adja a szórási mátrixot. Valamint, látszik hogy t0 = t-re az egységoperátort adja. Véve a t szerinti deriváltját a következ® dierenciálegyenletet kapjuk i∂t U (t, t0 ) = eiH0 t V e−iH0 t U (t, t0 ) = V kh. (t)U (t, t0 ) (7.7) melyet a U (ti , ti ) = 1 mellékfeltétel mellet megoldhatunk. A megoldás során visszavezetjük integrál egyenletté és iterálva a következ® megoldást kapjuk: Rt
ˆ e U (t, t0 ) = T
melyb®l
−i
t0
dτ V kh. (τ )
,
R ˆ e−i d4 xH kh S=T
(7.8)
(7.9)
ahol V (τ ) = d3 rH kh ()x, mivel a "világ" Poincaré-invariáns, így H(x)-nak skalárként kell transzformálódnia. Azonban az id®rendez® operátor felveti a lokalitás problémáját, ahhoz hogy értelmezni tudjuk a hatását, ahhoz id®szer¶en szeparált (x2 − y 2 ) > 0 eseményekre minden érthet®, de térszer¶en szeparált (x2 − y 2 ) < 0 eseményekre ki kell róni, hogy [H(x), H(y)] = 0, azaz nincs köztük kauzális kapocslat (Ez a feltevés, vagy kirovás nem más mint a klaszter-elv).
R
Hatáskeresztmetszet számítása az S-mátrixból Már korábban de niáltuk a szórási hatáskeresztmetszetet, mely szerint dσ dP (α → β) dΓ = dΩ dΓ dΩ
(7.10)
ahol dΓ az invariáns fázistérfogat. Az átmeneti amplitúdó az S mátrixból leválasztható
Sα,β = δα,β + (2π)4 δ 4 (pβ − pα ) hβ| T |αi
(7.11)
ahol T az transzfer mátrix, azaz az olyan eseményeket írja le amikor "történt is valami". Ezek segítésével az átmenet valószín¶sége
2 P (α → β) = (2π)4 δ 4 (pβ − pα ) |Tα,β |2
7.2
(7.12)
Feynman-gráfok származtatása
A gráfszabályok megalkotásával egyszer¶bb úgynevezett gráfszámolásokat végezhetünk, az amúgy bonyolult összefüggések helyett. Ezeket a szabályokat többféleképpen is származtathatjuk; els® esetben a kvantummechanika Schödinger-tárgyalából a Wick-tétel alkalmazásaként vezetem be a gráfszabályokat, majd ezzel ekvivalens módon a funkcionálintegrál formalizmusban is megmutatom hogyan származtathatjuk ®ket.
7.2.1 A Wick-tétel és a Feynman-diagrammok A Wick-tétel segítségvel az S-mátrix
R ˆ e−i d4 xH kh. (x) S=T
(7.13)
hogyan alakítható át normálrendezett tagok összegére. Ehhez el®ször is a kezdeti és a végállapotokat felírjuk a kelt®eltüntet® operátorok segítségével: Y R Y ˆ e−i d4 xH kh. (x) hf | S |ii = h0| af T a†i |0i = Z X (−i)n Z 4 ˆ : H kh. (x1 ) : : H kh. (x2 ) : . . . : H kh. (xn ) : |ii = hf | d x1 . . . d4 xn T n! n=1
7. tétel
33
Alkalmazva a
z }| { z }| { ˆ (a(x)a† (y)) |0i = h0| : a(x)a(y)† : |0i + a(x)a(y)† = a(x)a(y)† , h0| T ahol
z }| { h0| [a† (x), a(y)]∓ |0i ha x0 > y 0 † a(x)a(y) := ± h0| [a(y), a† (x)]∓ |0i ha x0 < y 0
(7.14)
(7.15)
Wick-tételt az id®rendezett szorzat normálrendezett szorzattá játszható át, mely a vákuumon már elt¶nik, és a kommutátorokra, melyek értékeit ismerjük, így elvégezhetjük a számolást. A nem nulla skalárszorzatot gráal szemléltethetjük, mégpedig úgy, hogy minden bels® vonalhoz a G(x − y) = h0| T (Φ(x)Φ∗ (y)) |0i (7.16) propagátort rendeljük és minden kölcsönhatási ponthoz a térpont mez®inek együtthatóját, vertexét rendeljük. A ki és befutó vonalakhoz pedig befutó vonalak: kifutó vonalak:
részecske Φ(x) |pi hp| Φ∗ (x)
antirészecske Φ∗ (x) |pi hp| Φ(x)
(7.17)
Csak komplex tér esetén van antirészecske, valós tér esetén nem különbözik a részecskét®l. A gráfok megrajzolása során gyelnünk kell arra hogy teljesül a "csomóponti törvény".
7.2.2 A Feynman-szabályok levezetése a funkcionálintegrál-formalizmusban Soktestrendszerek viselkedésének vizsgálatához a standard Schödinger-egyenlet operátoros formalizmusa helyett sokszor érdemes áttérni a funkcionálintegrál módszerre. Habár a két formalizmus ekvivalens, a kanonikus formalizmussal szemben itt végig egyértelm¶en látszik a klasszikus limit. Így a zikai problémát könnyebben megérthetjük, hiszen a klasszikus határesethez társíthatunk egy szemléletes képet.
Feynman-pályaintegrál Látható, hogy az átmeneti mátrix meghatározásához a hq 0 , t0 |q, ti propagátorra van szükségünk. Abból következ®en, hogy a kanonikus koordináták kielégítik a kanonikus csererelációkat
[Qi , Qj ] = 0 = [Pi , Pj ]
(7.18a)
[Qi , Pj ] = i~δi,j
(7.18b)
találhatunk szimultán sajátfüggvény bázisokat a Qi |qi = qi |qi és Pi |pi = pi |pi komponensekhez. Valamint ismerjük az állapotok id®fejl®dését:
hq, t| = eiHt |qi (7.19) Q 1 iqi pi √ e . Ezek ismeretében meghatározhatjuk és síkhullám kifejtés esetén a bázisok átlapolása: hq|pi = 2π az elemi id®lépéses propagátort: Z hq 0 , t + ∆t|q, ti = hq 0 , t| e−iH∆t |q, ti = dp hq 0 , t| e−iH∆t |p, ti hp, t| |q, ti = Z Z = dp hq 0 , t| (1 − iH(Q, P )∆t) |p, ti hp, t| |q, ti = dp(1 − iH(q 0 , p)∆t) hq 0 , t| |p, ti hp, t| |q, ti = Z Z 1 dp −i(∂t qp−H(p,q0 ))∆t −iH(p,q 0 )∆t −i(q 0 p−qp) = dpe e = e (7.20) 2π 2π Ilyen kis id®lépésekb®l felépítve a propagátort 0
0
hq , t |q, ti :=
Z
−i
D[q, p]e
Rt0 t
dτ (∂τ qp−H)
Z =
−i
D[q, p]e
Rt0 t
dτ L(τ )
Z =
D[q, p]e−iS
(7.21)
7. tétel
34
Gráfszabályok Kölcsönható terek esetén Zβ generáló-funkcionál meghatározása során általában nem Gaussintegrálásokat kell elvégeznünk, azonban a Gauss-tól eltér® integrálokat nem ismerjük, így találnunk kell egy eljárást mely segítségével mégis valamiképpen a funkcionálintegrált Gauss-alakra hozhatjuk. Tegyük fel, hogy a hatás egy komplex tér estén Sβ [ˆ c, cˆ† ] = Sβ [ˆc, cˆ† ] + λSkh. c, cˆ† ] β [ˆ (0)
(7.22)
alakban írható, ahol Sβ0 [ˆ c, cˆ† ] a változóiban másodrend¶ kifejezéseket és Sβkh. [ˆc, cˆ† ] pedig ennél magasabb rend¶ tagokat, illetve kevert tereket tartalmaz, ekkor a generáló-funkcionálban a terek forrásuk szerinti funkcionál-deriváltjukkal való helyettesítésével a kölcsönhatási tagot leválaszthatjuk Z R δ λ kh. δ ∗ ∗ ∗ 1 1 (0) ∗ Zβ [~η , ~η ] := D[~c, ~c∗ ]e− ~ Sβ [~c,~c ]− ~ dx(~c η~+~η ~c) = e− ~ Sβ [ δ~η∗ , δ~η ] Zβ [~η , ~η ∗ ] = λ2 2 δ δ λ kh. δ δ (0) , , + 2 Skh. − ... Zβ [~η , ~η ∗ ] , = 1 − Sβ (7.23) ~ δ~η ∗ δ~η ~ δ~η ∗ δ~η ahol (0)
Zβ :=
Z
1
1
D[~c, ~c∗ ]e− ~ S0 − ~
R
dx(~c∗ η ~ +~ η ∗~ c)
1
≡ e 2~
R
dx1 dx2 η ~ ∗ (x1 )G2;β (x1 ,x2 ,τ )~ η (x2 )
(7.24)
csak Gauss-integrálokat tartalmaz. A terekhez tartozó Green-függvényt a λ = 0 szabad hatásból származtathatjuk Z (0) † ˆ (0) c Sβ [ˆ c, cˆ ] = dxˆc† (x)K (7.25) 2;β ˆ(x) ,
ˆ (0) operátor a Green-függvény operátorának ahol K 2;β Z ! ˆ (0) (x − z, τ )G ˆ (0) (z − y, τ ) = dz K δ(x − y) β 2;β
(7.26)
kernel értelemben vett inverze. Belátható, hogy R ∗ 1 X D[~c, ~c∗ ]e− ~ Sβ [~c,~c ] Zβ := = 1 + (∀ csonkolt, összefügg® gráf) , (0) R 1 (0) ∗ Zβ D[~c, ~c∗ ]e− ~ Sβ [~c,~c ] így a (7.23) perturbációs kifejezést a következ® szemléletes képpel ábrázolhatjuk; jelöljük összefügg® irányított vonalakkal1 a terekhez tartozó propagátorokat és vertexekkel a vonalak találkozását, ekkor Zβ nem más mint az összes lehetséges összefügg® küls® láb nélküli gráf összege. A gráfban szerepl® lehetséges vertexeket és azok er®sségét az Skh. -ból határozhatjuk meg, úgy megnézzük a kölcsönhatási tagban szerepl® terek szorzatait és ezek együtthatóit azonosítjuk az adott vertexek er®sségével.
1 skalár
tér esetén csak egyszer¶ vonalakkal
Mértékelméletek 8.1
Mértékelméletek alapgondolata és a lokális szimmetria
Legyen egy
L = ∂µ Φi ∂ µ Φi − U (Φ)
(8.1)
Lagrange függvénnyel jellemzett elméletünk, mely ∀g ∈ G transzformációkra nézve invariáns, ahol a G csoport unitér ábrázolását a τ a , a ∈ {1, 2, . . . , dim G} mátrixok generálják: a
g = eia τ ' 1 + ia τ a a
b
[τ , τ ] = if
a,b,c
T
c
(8.2a) (8.2b)
Mivel a helyfüggetlen, így a szimmetriacsoport elemei globális transzformációk. Azonban ha most terjesszük ki ezt a globális szimmetriát egy G(x) lokális szimmetriává az → (x). Ahhoz hogy ez a kiterjesztés megtehet® legyen be kell vezetnünk egy Aaµ mértékteret hogy kompenzáljuk a deriválás transzformációját, tehát formálisan a parciális deriváltról egy kovariáns deriváltra térünk át a ∂µ → Dµ := ∂µ δi,j − igτi,j Aaµ (8.3) az új tér bevezetésével már biztosíthatjuk, hogy !
Dµ (G(x)Φi ) = G(x)(Dµ Φi )
(8.4)
ez akkor tehet® meg, ha a mértéktér transzformációja a következ® 0 G(x) ! a a a Dµ Φi → ∂µ δi,j − igτi,j A0a µ Φ (x) = G(x) ∂µ δi,j − igτi,j Aµ Φ(x) a a a ∂µ δi,j − igτi,j A0a µ G(x)Φ(x) = G(x) ∂µ δi,j − igτi,j Aµ Φ(x) −1 a a a ∂µ δi,j − igτi,j A0a (x)G(x)Φ(x) µ G(x)Φ(x) = G(x) ∂µ δi,j − igτi,j Aµ G −1 a 0a a a ∂µ δi,j − igτi,j Aµ = G(x) ∂µ δi,j − igτi,j Aµ G (x) a −igτi,j A0a µ
=
A0a µ
'
a G(x)∂µ δi,j G−1 (x) − G(x)igτi,j Aaµ G−1 (x) 1 Aaµ − f a,b,c b (x)Acµ + ∂µ a g
(8.5)
A gauge-tér dinamikáját a Wilson-hurokból de niált a a − igFµ,ν τi,j Φj := [Dµ , Dν ]Ψi a Fµ,ν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf a,b,c Aaµ Aaν
(8.6a) (8.6b)
térer®sség tenzorral adhatjuk meg
LGauge :=
1 1 a Fµ,ν F µ,ν ≡ Fµ,ν τa Fbµ,ν τ b 4 4
(8.7)
Így a teljes Lagrange-függvény
1 L = Lkinetikus + LGauge + Lk.h. = ∂µ Φi ∂ µ Φi + Fµ,ν F µ,ν − U (Φ) 4
(8.8)
Mindig meg gyelhet®, hogy a mértéktér a részecske térhez jA ként csatolódik azaz a megmaradó áramon keresztül. 35
8. tétel
36
8.1.1 Fizikában megjelen® mértékelméletek Ebben a fejezetben a teljesség igénye nélkül megmutatom, hogy egy Ábeli (elektrodinamika) és egy nem-Ábeli (QCD) elméletben hogyan jelennek meg a mértékterek.
Elektrodinamika Az elektrodinamika, még kiterjesztetlen (8.9)
L = ψ (iγµ ∂ µ − m) ψ Lagrange-függvénye egy U(1) fázis szimmetriával rendelkezik
(8.10)
g = eiΘ
melyhez a Noether-tétel értelmében a jµ = ψγµ ψ megmaradó áram tartozik. Az U(1) szimmetriát lokálissá téve a Θ → Θ helyettesítéssel és bevezetve az e csatolási állandót, valamint az Aµ mértékteret a kovariáns derivált Dµ = ∂µ − ieAµ (8.11) ahol
1 A0µ ' Aµ + ∂µ Θ(x) e ként transzformálódik. A mértéktér térer®sség tenzora pedig
(8.12)
Fµ,ν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(8.13)
L = ψ (iγµ ∂ µ − m) ψ
(8.14)
QCD A QCD elmélet
a részecskék színtöltésében rendelkezik egy
g = eia
τa 2
(8.15)
SU(3) szimmetriával, azaz dim G = N 2 − 1 = 8, ahol τ a a GellMann-mátrixok. Ehhez a szima metriához a jµa = ψγµ λ2 ψ megmaradó áram tartozik. A szimmetria lokálissá ( → (x)) tétele után és a g csatolási állandó bevezetésével a kovariáns derivált
Dµ = ∂µ − ig
8 X λa a=1
2
(8.16)
Aaµ
ahol Aµ a szokásos módon transzformálódik (úgy hogy f a,b,c az SU(3) struktúra állandói) és a térer®sségtenzor is már az ismert alakot ölti.
8.2
Mértékelméletek kvantálása
A mértékterek
1 Lmértéktér kinetikus tagja = − (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )(∂ µ Aν,a − ∂ ν Aµ,a ) 4
(8.17)
kinetikus része miatt problémába ütközünk a kvantálásuk során, hiszen ekkor a Green-függvény kernel értelemben vett inverze K = δ a,b (∂σ ∂ σ ηµ,ν − δ µ δ ν ) → δ a,b −k 2 η µ,ν + k µ k ν (8.18) nem invertálható (mivel létezik olyan nulla sajátérték¶ vektora), azaz nincs Green-függvénye a mértéktérnek (nincs dinamikája). Míg ábeli mértékelmélet esetén a GuptaBleuler-kvantálást követve a mértéktér mozgásához hozzá adva egy teljes divergenciát
LGuptaBleuler = Lmértéktér kinetikus tagja +
λ 2 (∂µ Aµ ) 2
(8.19)
8. tétel
37
már formálisan kiküszöbölhet®vé válik a probléma, addig ez nem ábeli mértékelméleteknél nem tehet® meg ilyen egyszer¶en. Hiszen most található lenne egy olyan mértéktranszformáció amivel a hozzáadott tag eltüntethet® lenne. A problémát másképpen is megfogalmazhatjuk: Ha Aaµ -hoz keresünk a kanonikus egyenletek alapján kanonikusan konjugált impulzust, akkor azt látjuk, hogy π0a = 0, ami nem fogja tudni kielégíteni a kanonikus csererelációját Aaµ -val.
8.2.1 Faddeev-Popov kvantálás Lényegében most is egy plusz tagot fogunk majd bevezetni a Lagrange-függvénybe, de a mérték invariancia megtartásához kicsit trükköznünk kell és látni fogjuk, hogy ehhez úgynevezett szellemterek bevezetésére lesz szükségünk. Induljunk ki a rendszer naiv generálófunkcionáljából Z R 4 a a Z[J] := D[A]ei d x(L+Aµ J ) (8.20) mely deriválásával minden Green-függvény el®állítható (persze minden térhez van rendelve forrás). Az összes kon gurációra integrálva egy felesleges végtelen szorzófaktor jön be. A D[A] "mérték" mértékinvariáns, ezért elegend® a G minden orbitjából egy elemet kiválasztani, és úgy végrehajtani az integrált. Ehhez rójuk ki a a Gµ A0a (8.21) µ (x) = B (x) mértékrögzít® feltételt (ahol A0 a Θ-val jellemzett mértéktrafonáltja az A-nak), ahol Gµ és B(x) mértékrögzít® függvények (Lorentz-mérték esetén Gµ = ∂ µ és B a = 0). A funkcionál integrál Z a det MG = D[Θ]δ Gµ A0a (8.22) µ −B tulajdonságát felhasználva, a kényszer becsempészhet® az generálófunkcionálba Z Z iS a Z[0] = D[A] det MG D[Θ]δ Gµ A0a e µ −B Felhasználva, hogy det MG , függés
(8.23)
D[A]eiS mérték invariáns az egyenletb®l kitranszformálható a Θ Z Z Z[0] = D[A] det MG δ Gµ Aaµ − B a eiS D[Θ] (8.24)
így a
R
Z D[Θ] = ∞
(8.25)
konstans már elhagyható, mivel úgy is mindenhol megjelenik és normálás során kiesik. A ghostterek bevezetésével és a B a átírása α segítésével a következ® alakra hozható a generáló funkcionál Z Z R R a,b µ a 2 a a,µ 1 1 (Gµ Aa )2 +Aa J a,µ ) i dx(L− 2α µ µ := D[A, χ]ei dx(L− 2α (G Aµ ) +Aµ J −χa MG χb ) Z[J] = D[A] det MG e (8.26) ahol megint megjelent a dinamikát adó (Gµ Aaµ )2 extra tag, azonban most a χ ghost tér nem engedi kitranszformálni és helyre is teszi a mérték invarianciát. Mivel eleve a determináns reprezentációjára vezettük be ezeket, nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus részecskék, szerepük csupán annyi, hogy a determináns perturbációs sorba fejtését lehet®vé tegyék. Tehát a gráfok rajzolása során küls® lábakként nem, csak bels® lábakként jelenhetnek meg.
A QED és a QCD renormálása 9.1
Renormálható elméletek
Láttuk, hogy perturbáció számítást átfogalmazhatjuk a Feynman-gráfokra, azonban nem foglalkoztunk még azzal hogy egyes gráfok járuléka végtelen lehet. Egy igen naiv képpel, az úgynevezett hatványszámolással meghatározhatjuk, hogy az adott 1PI1 gráf UV divergens-e. Vezessük be a X dG := l · D + δv − 2nB − nF (9.1) v
ahol2
l D δv nB nF
= = = = =
P független hurkok száma (l = nB + nF − (ni − 1)) a Minkowski tér dimenziója a v vertexben lév® deriváltak száma P ni bi −NB ) a bozon propagátorok száma (nB = P 2 a fermion propagátorok száma (nF = ni f2i −NB )
felületes divergencia fokának fogalmát, mely értékének ismeretében meghatározható, hogy a G gráf divergens vagy véges. Ha
dG dG dG dG
<0 = =0 = =1 = =2 =
konvergens logaritmikusan divergens lineárisan divergens kvadratikusan divergens
a gráf. Ha egy elméletben a dG független a gráfokban található vertexek számától, akkor az elmélet renormálható, azaz esély nyílik arra hogy végesítsük az összes divergens integrált. Azok az elméletekben melyekben a vertexek számának növelése csökkenti a dG értékét azok szuperrenormálhatóak. Ahol viszont a vertexek száma növeli a dG értékét azok nem renormálhatóak, hiszen a gráf növelésével egyre több divergenciát kéne kiküszöbölnünk. Regularizáció: a Green-függvényekben fellép® végtelen tagok végessé tétel, azaz a bennük lév® nem de niált (végtelen) integrálok végessé tétele. Különböz® regularizációs eljárásra van módunk: dimenziós regularizálás, levágás, ellentagos, ... Renormálás: A renormálásnak nincs köze a végtelenekhez, olyan térelméletben is elvégezhet® lenne, ahol ahol minden impulzus-integrál véges. A renormalizáció alapvet®en csak arra szolgál, hogy egy tetsz®leges mez®b®l számolt S-mátrix elemek megfelel®en legyenek normálva, úgy ahogy a szokásos Feynman-szabályoknál szerepelnek, és akkor használhatjuk is ezeket a Feynmanszabályokat. Csak éppen véletlenül, miközben a fenti renormáláson dolgozunk, az egy-hurok számolásokban fellép® végtelenek éppen kiesnek, ha olyanná alakítjuk a mez®ket és a tömegüket, hogy teljesüljenek rájuk a következ® feltételek: - a renormált mez® propagátorának pólusa ugyanott van, mint a szabad mez®é, a zikai tömegnél - és egységnyi a reziduuma. 1 olyan gráfok, menyben egy tetsz®leges 2 ahol az i minden vertexen fut végig, b
fermionok száma
i
bels® vonal elvágásával még összefügg® gráfot kapunk az i. vertexben található bozonok száma és fi az i. vertexben található
39
9. tétel
40
A zikai mennyiségek már nem függhetnek a regularizációs sémáktól, ezeket majd a kés®bb tárgyalt T'Hooft egyenletek biztosítják. A Ward-Takahashi azonosságok pedig biztosítják hogy rendr®l rendre lehessen renormálni és a renormálás során ne változzanak meg az elmélet szimmetria tulajdonságai.
9.1.1 QED renormálása Megint ® az állatorvosi ló, majd ezt nézzük meg nem ábeli mértékelméletekre is. Mint mindig most is induljunk ki a QED Lagrange-függvényéb®l 1 LQED = ψ(iγµ Dµ − m)ψ − Fµ,ν F µ,ν (9.2) 4 ahol Fµ,ν = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) és Dµ = ∂µ − ieAµ . Ebb®l meghatározhatóak a Feynman-szabályok:
• elektron propagátor (fermion) iSF (p) = i
p2
γp + m − m2 + iε
(9.3)
−η µ,ν k 2 + iε
(9.4)
• foton propagátor (bozon) iDFµ,ν (k) = i • vertex (2 fermion, 1 bozon)
X i∆µ = −ieγ µ (2π)4 δ 4 ( p)
(9.5)
persze vannak még a hurok, csomóponti, a küls®- és bels®-lábak,... de ezek most elegend®ek számunkra, hiszen ezekb®l láthatjuk hogy csak egyetlen vertex van és b = 1, f = 2, δ = 0, tehát a 3 dQED = 4 − NF − NB (9.6) 2 felületes divergencia foka alapján csak a következ® gráfokat kell végesíteni
• két elektron lábat tartalmazó gráfok (elektron sajátenergiája) • két foton lábat tartalmazó gráfok (foton sajátenergiája) • két elektron és egy foton lábat tartalmazó gráfok (vertex korrekció) • 4 foton lábat tartalmazó gráfok (foton-foton csatolás) ha ezeket együttesen sikerül regularizálni akkor rendben is vagyunk.
Foton sajátenergiája - vákuum polarizációja Az egzakt fotonpropagátort a buborék összegzést (0)
(0)
(0)
i(DF )µ,ν = iDF + iDF iπiDF + ...
(9.7)
kell elvégezni, ahol π a vákuum-polarizációs diagram (azaz az egy hurokszint¶ csonkolt foton propagátor), mely Z d4 k 1 1 µ,ν µ ν iπ = Tr (−ieγ ) (−ieγ ) (9.8) (2pi)4 γk − m + iε γk − γq − m + iε kihasználva, hogy csak Lorentz-invariáns lehet és hogy a fotonnak nem generálódhat tömeg (mert akkor borulna a valószín¶ségi értelmezés /negatív normás állapotok keletkeznének/, mérték invariancia elromlik) a számolás során
πµ,ν = (q 2 ηµ,ν − qµ qν )π(q 2 )
(9.9)
alakú lehet. Ennek meghatározható (Takácsnál a feladat volt) a Pauli-Villars-regularizáció segítségével ment, melynek során az egzakt fotonpropagátorra a következ®t átskálázást kaptuk:
Λ α ln ) (9.10) 3π m2 ahol Λ a bevezetett végtelen levágás. Tehát a fotontér egy Z3 renormálási konstanst kapott. (0)
iDF = iZ3 DF ,
Z3 = (1 −
9. tétel
41
Elektron sajátenergiája - tömeg és hullámfüggvény renormálása Takácsnál, ezt a számolási feladatot kaptam, itt is −ηµ,ν −ηµ,ν −ηµ,ν i 2 →i 2 +i 2 k k − µ2 k − Λ2
(9.11)
Pauli-Villars regularizációs eljárást kellett követni, azonban a vákuum-polarizációs diagramja helyett most az Z 1 γp − γk + m µ d4 k γ γ (9.12) − iΣ(p, µ) = (−ie)2 µ (2π)4 k 2 − µ2 (p − k)2 − m2 elektron sajátenergiáját lehetett leválasztani, melyet úgy kellett normálni hogy a reziduuma egy legyen3 (ekkor továbbra is teljesülnek majd a kanonikus csererelációk) −1/2
ψ
(9.13)
mR = m + δm
(9.14)
ψR = Z2 és a pólusa a zikai tömegnél4 legyen
Vertex korrekció - Ward-azonosság A vertex korrekciót is buborékszinten való növelgetéséb®l a csatolási állandó kap egy
eR =
1 e Z1
(9.15)
renormálási konstanst. Azonban most úgy néz ki hogy attól függ®en hogy milyen teret nézünk más és más renormálási konstansokat kell bevezetni, ez sértené az univerzalitást. Azonban az állítás hogy az egész renormálás átjátszható a csatolási állandó renormálására Z2 p eR = Z3 e (9.16) Z1 a Ward azonosság (Z2 = Z1 ) következtében pedig már csak a Z3 renormálási konstans marad, meg azaz a renormálás részecske független lehet és az univerzalitás rendbe jön.
9.1.2 QCD renormálása Megint induljunk ki a rendszer Lagrange-függvényéb®l
L = LGluon + LGauge- xing + LF-P ghost + Lfermion 1 1 (∂µ Aµ )2 + (∂ µ χa∗ )Dµa,b χb + ψ(iγDµ − m)ψ = − Fµν F µ,ν − (9.17) 4 2α melyb®l származtathatjuk a Feynman-szabályokat lsd. kés®bb. Négy fajta vertexet kapunk: 3 gluon-, 4 gluon-, 2 ghot és 1 gluon-, 2 fermion és 1 gluon-csatolások. Ha rendesen elvégezzük a gráfszabályok meghatározást akkor a felületes divergencia fokára a következ®t kapjuk 3 dQCD = 4 − Ngluon − (NF-P ghost + NFermion ) (9.18) 2 Tehát ez is egy renormálható elméletnek bizonyul, mely során a következ® 8 gráfot kell egyszerre regularizálni Ngluon 0 2 0 0 1 1 3 4 3 hullámfüggvény renormálás 4 tömeg renormálás
Nghost 0 0 2 0 2 0 0 0
Nfermion 0 0 0 2 0 2 0 0
d 4 2 1 1 0 0 1 0
elnevezés vákuum diagram gluon sajátenergia ghost sajátenergia elektron sajátenergia
9. tétel
42
Az el®z®ekhez hasonlóan itt is minden végig játszható, csak sokkal bonyolultabb számolásokat kell elvégezni a sok index miatt, remélhet®leg nem is kell majd.
9.2
Regularizációs módszerek
A Green-függvények számolása során divergens integrálokba ütközhetünk, ezeket regularizációs módszerekkel végesíthetjük, azonban gyelni kell arra hogy ha végtelen rendben végeznénk el a számolást akkor ezek már ne befolyásolják a zikailag mérhet® mennyiségeket
9.2.1 Levágás (Cout-o) A divergens integrálba bevezetünk egy levágást, így az improprius integrálunk csak véges tartományra terjed ki. Ezzel elrontjuk a mérték invarianciát, és mindig bizonygatni kell, hogy a zikai mennyiségek ett®l függetlenül még mérték invariánsak. Tehát mértékelméletek esetén nem célszer¶ használni.
9.2.2 Pauli-Villars regularizáció A divergens integrál propagátorát helyettesíthetjük egy, már jól viselked®vel
k2
1 1 1 → 2 − 2 2 + iε k − µ + iε k − Λ2 + iε
(9.19)
ahol µ → 0 és Λ → ∞. Így az IR és UV divergenciák is kiküszöbölhet®k. Ez az eljárás tudja a Lorentz-invarianciát, azonban nem-Ábeli mértékelméletek mérték invarianciáját ez is elrontja.
9.2.3 Analitikus regularizáció Ötletét tekintve hasonlít az el®z®re, azonban a propagátort nem ellentaggal, hanem a divergens változó hatványának módosításával teszi helyre:
m2
1 1 → 2 2 −k (m − k 2 )α
(9.20)
ha Reα > 1, akkor megint sikerült végesítenünk, azonban ez a módszer is sérti a mérték invarianciát.
9.2.4 Térid®rács regularizáció A folytonos térid®t egy a rácsállandóval diszkretizáljuk, azaz az integrál szummába megy át, ahol a szumma az impulzustérbeli ∼ a1 levágást tartalmaz. Ez se a Lorentz-invarianciát, se a mértékinvarianciát nem ®rzi meg. Azonban ilyen módszerekkel lehet nem pertubálható elméleteket is kezelni (elméleti jóslat az állandók értékeire).
9.2.5 Dimenziós regularizáció A térid® szimmetriáját lesz¶kítjük egy D dimenzióra, azaz d4 k dD k → (2π)4 (2π)D
(9.21)
azonban ennek hatására a konstansok is változnak
γµ γ µ = D,
γµ γν γ µ = (2 − D)γν ,
g 2 = g02 µ4−D
(9.22)
ahol µ egy energia dimenziós renormálási skála, azért kell bevezetni, mert az integrál dimenziójának megváltoztatását korrigáljuk, így S továbbra is dimenziótlan legyen. Ez a regularizációs eljárást minden zikailag fontos tulajdonságot meg®riz.
Az elektron-foton kölcsönhatás (folyamatok) 10.1
A Compton-szórás
Ebben a tételben egy folyamat, a Compton-szórás végigszámolását fogom bemutatni, melyb®l további tesztöleges, de hasonló számolási elveken alapuló mennyiségek meghatározás is következik. A példaszámolás során a QED Feynman-szabályaival, a gamma mátrixok tulajdonágával és tipikus integrálok meghatározásaival kell megismerkednünk.
10.1.1 A QED Feynman-szabályai A QED Lagrange-függvénye
1 1 L = LEM + LE + Lkh. = − Fµ,ν F µ,ν + ψ(iγµ ∂ µ − m)ψ + eψγµ Aµ ψ − (∂µ Aµ )2 4 2α
(10.1)
ahol az utolsó tag a kényszert adja, mely α paramétere a kvantálási mérték el®írástól függ; ha α = 0 akkor Landanu-mérték, ha α = 1 akkor Feynman-mérték, és ha α = ∞ akkor unitér mérték. Ezekb®l leolvashatjuk a Feynman-szabályokat
• Vertex (2 elektron, 1 foton) (10.2)
i∆µ = −ie(2π)4 (γµ )α,β δ(p1 + k − p2 )
ahol α, β a be-, illetve kimen® elektronok Lorentz-indexei és a δ az 4-es energia megmaradást biztosítja.
• Propagátorok (bels® vonalak) γ pµ +m
e− /e+ propagátor: iSF = p2µ−m2 +iε η γ propagátor: iDµ,ν = i k2µ,ν +iε
(10.3)
• Küls® vonalak Részecske típusa
Bejöv® részecske
Kimen® részecske
e−
ψ(x) |p, σ, e− i =
1 u (x)e−ipx (2pi)3/2 α
hp, σ, e− | ψ(x) =
1 u (x)eipx (2π)3/2 α
e+
ψ(x) |p, σ, e+ i =
1 v (x)e−ipx (2pi)3/2 α
hp, σ, e+ | ψ(x) =
1 v (x)eipx (2π)3/2 α
γ
Aµ (x) |k, , γi =
1 √1 (x)e−ikx (2pi)3/2 2 k0 µ
ahol u, v a Pauli-bispinorok és µ a foton polarizációs vektora. 43
hk, , γ| Aµ (x) =
1 √ 1 ∗ (x)eikx (2π)3/2 2k0 µ
10. tétel
44
10.1.2 Compton-szórás hatáskeresztmetszete Minden olyan folyamat melyben a valóban1 résztvev® részecskék élettartama sokkal hosszabb mint a kölcsönhatás ideje2 , azok tárgyalhatóak az aszimptotikus szórás elméletével, tehát a Feynman-gráokkal leírhatóak. Egy ilyen folyam a Compton-szórás is mely egy e− és γ rugalmas ütközését írja le, melynek átmeneti mátrixelemét a perturbáció számítás szerint
ˆ e−i hp , k | T 0
0
R
d4 xH kh
1 |p, ki = hp , k | 1db + 1 vertex + 2db vertex |p, ki 2! 0
0
(10.4)
képpen bonthatunk fel végtelen összegre, ahol H kh. = e : ψγ µ ψ : Aµ . Látható, hogy a nullad-rend azt írja le, hogy nem történt semmi, az els®-rend nem ad járulékot mert a vertexnek csak 3 lába van és nekünk a folyamat leírására négy kell (kett® be, kett® ki), tehát egy másodrend¶ folyamatot kell számolnunk, tehát O(α2 ) rend¶ eredményt kell hogy kapjunk. Másod-renben
két olyan gráf is van, mely leírja a kívánt szórást3 . A két gráf járulékának meghatározása során ugyanúgy kell eljárni, így a gráfszabályok alapján csak az els® gráfot írom fel Compton
S1
i(γλ q λ + m)α,β 0 d4 q · × (2π)4 q 2 − m2 + iε
=
u(p0 , σ 0 )β 0 u(p, σ)α 0∗ µ ν √ √ · · · · 3/2 3/2 00 3/2 (2π)3/2 (2π) (2π) 2k (2π) 2k 0
×
−ie(2π)4 (γ ν )β 0 ,β δ(p0 + k 0 − q) · −ie(2π)4 (γ µ )α,β 0 δ(q − p − k)
Z
(10.5)
Tehát az els® tényez® a kimen® elektron-, majd a kimen® foton-, majd a bejöv® elektron és bejöv® foton-láb, ezek után integrálunk a bels®, virtuális elektron impulzusára majd a virtuális elektron terjedésének propagátora és végezetül az utolsó, illetve az els® vertexek. A delta segítésével elvégezhetjük az integrálást és az összetartozó indexeket egymás mellé rendezve, valamint a második gráf járulékát is hozzáadva Compton
S1+2
= +
−ie2 γλ p λ + γλ k λ + m µ 4 0 0 0 0 √ δ (p + k − p − k)u(p , σ ) γ ν 0∗ γ µ + ν (p + k)2 − m2 + iε (2π)2 2k 0 2k 00 γλ pλ − γλ k 0λ + m µ 0∗ γ ν ν γ (10.6) µ u(p, σ) (p − k)2 − m2 + iε
mivel k, k 0 fényszer¶ vektorok (k 2 = 0) és p tudja a tömeghéj feltétel (p2 = m2 ), a nevez® tovább egyszer¶síthet® S Compton = −2πiδ 4 (p0 + k 0 − p − k)M (10.7) ahol
M=
e2 √
4(2π)3
λ λ γλ pλ − γλ k 0λ + m µ 0∗ ν 0∗ γλ p + γλ k + m µ ν u(p , σ ) γ ν γ µ − γ ν γ µ u(p, σ) pσ k σ pσ k σ k 0 k 00 0
0
Ebb®l a dierenciális hatáskeresztmetszet dσ = (2π)4 |M |2 δ 4 (p0 + k 0 − p − k)d3 p0 d3 k 0 1 nem virtuálisan 2 ahol ez nem teljesül ott rezonanciák jönnek létre (lsd. kés®bb) 3 a második gráf elég gnóm lett, de azért még talán érthet® (mivel
nincs négy fotonos kölcsönhatás)
(10.8)
10. tétel
45
Spin polarizációs összeg A kísérleti eredmények nem mérik a végállapot elektron spinjét, így azokra
X
összegzés:
(10.9)
σ=± 21
összegeznünk kell. Valamint a bejöv® részecskék ezen paramétereit se ismerjük, tehát azokra átlagolás:
1 X 2 1
(10.10)
σ=± 2
átlagolnunk kell.
|M |2 =
1X 1X |M |2 := u(p0 , σ 0 )Au(p, σ) · u† (p, σ)A† u† (p0 , σ 0 ) 2 0 2 0 σ,σ
(10.11)
σ,σ
ahol
A = γ ν 0∗ ν
γλ pλ + γλ k λ + m µ γλ pλ − γλ k 0λ + m µ 0∗ ν γ − γ γ µ µ ν pσ k σ pσ k σ
(10.12)
felhasználva hogy (γ 0 )2 = 1 a második tagot kib®víthetjük, úgy hogy ott is megjelenjenek a u = u† γ 0 Dirac-konjugáltak, valamint ismerve a
uα (p0 , σ 0 )uβ (p0 , σ 0 ) = uα (p0 , σ 0 )uβ (p0 , σ 0 ) =
γλ pλ + m 2p0
(10.13) α,β
bispinorok szorzási tulajdonságát a következ®t kapjuk
γλ pλ + m 0 + 0 γλ p0λ + m 1 γ A γ |M | = Tr A 2 2p0 2p00 2
(10.14)
Most ezt kéne meghatározni, úgy hogy tudjuk hogy a foton transzverzális rezgést végez, azaz k = k 0 0 = 0, valamint hogy olyan rendszerben dolgozunk ahol a foton áll, a bispinor kielégíti
(γp + m)u = 0 = u(γp + m)
(10.15)
a Dirac egyenletet és a gamma mátrixok a Cliord algebrát követik
{γ µ,ν , γ ν,µ } = 2η ν,µ → γaγb = −γbγa + 2ab
(10.16)
tehát páratlan gamma szorzatának a nyoma nulla és γaγa = a2 , így használhatjuk majd a (γk)2 = 0 = k és (γ) = −1 összefüggéseket és megkapjuk a Klein-Nishina formulát
α2 dσ = 4m2
ω0 ω
2
ω ω0 0 2 + + 4 (~ ~) − 2 + O(α2 ) ω0 ω
(10.17)
ahol
ω0 = ω
1+
1 − cos Θ)
ω m (1
(10.18)
ahol Θ a ~k és ~k 0 hármas vektorok bezárt szöge, ami nem relativisztikus limeszben igen egyszer¶ dσ '
α2 0 2 (~ ~) 4m2
(10.19)
10. tétel
46
Foton polarizációs összeg A foton polarizációját se detektáljuk, így rájuk is X összegzés:
(10.20a)
=1,2
átlagolás:
1 X 2 =1,2
(10.20b)
összegezni, illetve átlagolni kell. Jelen esetben csak a következ® azonosságot kell ismerni (lsd Patkós: sug-rész, vagy Asbi: cQED) X (~ 0~)2 = 1 − (~k 0~k)2 = 1 − cos2 Θ (10.21) ,0
így
α2 dσ = 4m2
10.2
ω0 ω
2
ω0 ω 2 + − 1 + cos Θ + O(α2 ) ω0 ω
(10.22)
További lehetséges folyamatok
A fentiekhez hasonló módon további folyamatok hatáskeresztmetszete is kiszítható, csak a példa kedvéért:
• Párkeltás és annihiláció (fejreállított Compton szórás) • Möller-szórás (elektron-elektron szórás foton propagátorral) • Bhabha-szórás (elektron-pozitron szórás foton propagátorral)
Elektromágneses sugárzás és ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal, áthatolóképesség, záporjelenség 11.1
Elektromágneses sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal
Az els® tételben tárgyaltak alapján három kölcsönhatást különböztetünk meg az átadott energia függvényében: fotoeektus, Compton-szórás, párkeltés.
11.1.1 Fotoeektus A fotoelektromos hatás (fotoeektus, fényelektromos jelenség) a küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például látható fény vagy ultraibolya sugárzás) által egy anyag (leginkább fém) felszínén lév® elektronok kiváltása. Nincs elektronkibocsátás a határfrekvencia alatt, mert a foton nem tud elég energiát biztosítani ahhoz, hogy kilépjenek az atomos kötésb®l. Az energiamegmaradás törvényét a következ® Einstein-egyenlet írja le: (11.1)
Te = hν − Wki ,
ahol Wki a kilépési munka, hν a foton energiája és Te a kilép® elektron mozgási energiája. A fotoelektromos hatás leginkább a bels® héjakon következik be (mivel σfotoe ∼ Z 5 ), így mindig társul hozzá egy szekunder folyamat is (mivel az atom nem szeret gerjesztett állapotban lenni).
11.1.2 Compton-szórás Ha a foton nem nyel®dik el teljesen, hanem csak szóródik az elektronon akkor azt Comptonszórásnak nevezzük. Az atomi elektronokat a szórás során szabadnak tekinthetjük, megfelel®en nagy fotonenergia esetében az elektron atomi kötése elhanyagolható, az elektron szabadnak tekinthet®. Az energia- és impulzusmegmaradás alapján meghatározhatjuk a foton energia változása és a szórási szög közti összefüggést (Compton képlet):
hν =
1+
hν0 hν me c2 (1 −
cos θ)
.
(11.2)
11.1.3 Párkeltés A párkeltés és a szétsugárzás az anyag és az energia ekvivalenciájának bizonyítéka. Ködkamra felvételb®l az látszik, hogy nagy energiájú γ -sugárzás hatására a ködkamra ugyanazon pontjából, egyszerre elektron és pozitron indul ki. Mérések alapján az ilyen elektron-pozitron pár keletkezéséhez vagy más néven a párkeltéshez legalább hf = 1.02 MeV energiájú γ -foton szükséges. A tömeg és az energia ekvivalenciája alapján (E = mc2 ) egy elektron és egy pozitron tömegének 47
11. tétel
48
1.02MeV energia felel meg. A párkeltést tehát úgy kell elgondolni, hogy egy atommag közelébe (kell hozzá az atommag tere, mert különben nem lehetne négyes energia megmaradás) jutó γ -foton elt¶nik, és helyette elektron-pozitron pár keletkezik, miközben az összes energia, az összes töltés és az összes impulzus megmarad. Ha a foton energiája nagyobb, mint 1.02 MeV, akkor 1.02 MeV fordítódik a párkeltésre, és a fölösleges energia a pozitron és az elektron mozgási energiáját növeli. A párkeltés hatáskeresztmetszete a közeg rendszámának második hatványával skálázik.
11.1.4 Összefoglalva Kis energiákon a fotoeektus dominál, majd egy E1 küszöbenergiától a Compton-eektus és E2 küszöbt®l már a párkeltés. A Z rendszám növelésével a Compton tartomány csökken (E1 n® és E2 csökken).
11.2
Ionizáló sugárzás kölcsönhatása kondenzált anyaggal
Coulomb-szórás A Rutherford-kísérletben α-részecskékkel (hélium atommagokkal) bombáztak vékony aranylemezt, és meglep® eredményt kaptak: az α-részecskék kis hányada igen nagy eltérülést szenvedett. Ha az atommag belsejében az anyag többé-kevésbé egyenletesen oszlana el az akkor leginkább elfogadott mazsolás puding modell szerint, akkor az alfa-részecskék a lemezen, bár lassulva, de eltérülés nélkül haladnának keresztül, hasonlóan, mint a puskagolyó a vízben. Az α-részecskéknél néha jelent®s irányváltozás volt meg gyelhet®. Többségük (miközben energiájuk egy részét elveszítették) egyenesen haladt át a lemezen, néhányuk iránya azonban jelent®sen megváltozott. 1911 elején Rutherford publikálta módosított atommodelljét, a Rutherford-féle atommodellt. A meg gyelések szerint a szétszórt pozitív töltéssel rendelkez® atom modellje helytelen volt, valójában a pozitív rész kis térfogatban összpontosul. Arra következtetett, hogy az atom dönt® része üres, az atom nagy része egy kis térrészre, a magba koncentrálódik, és az elektronok ekörül a mag körül keringenek az elektrosztatikus vonzás hatására. Klasszikus számolással is már jó eredményt kapunk. A Rutherford-szórás egy b impaktparaméter¶ részecske szórását írja le egy adott szórócentrumon. Legyen a részecske és a szórócentrum között egy V (r) = −α/r vonzó kölcsönhatás. Az energia megmaradásból következik, hogy a szórási szög α ϑ = , (11.3) tan 2 mv02 b ahol v0 az m tömeg¶ részecske kezdeti sebessége, így a szórási hatáskereszmetszet (hengerszimmetrikus esetben) dA 2πbdb b(ϑ) db(ϑ) σ(ϑ) = = = , (11.4) dΩ 2π sin(ϑ)dϑ sin(ϑ) dϑ amib®l a szórási hatáskeresztmetszet: Z σ(ϑ) = dΩσ(ϑ) =
α 4Ekin.
2
1 . sin4 (ϑ/2)
(11.5)
Fontos megjegyezni, hogy amíg a számolás klasszikus volt, addig ez az eredmény még kvantumosan is fennál.
Bethe-Bloch-formula (ionizáció) Minden töltött részecske az anyagon való áthaladásakor energiát veszít, ezt a dE dx fajlagos energia veszteséggel jellemezhetjük. Amire nagyságrendi becslést adhatunk a Bethe-Bloch formula segítségével. A Bethe-Bloch formulát a következ® naiv modellb®l származtathatjuk: vegyünk egy nehéz iont ami a közeg egy, kiszemelt elektronjától b impaktfaktor halad el. Valamint tegyük fel, hogy az ionunk pályája egyenes (nem találja el a magot és nem is vesszük gyelembe a kinyújtott hiperbola
11. tétel
49
alakot), v =áll. azaz elég vékony a céltárgy ahhoz hogy jelent®sen ne lelassuljon le az ion, valamint az az atomi elektron nem mozdul el (szemléletesen mondhatjuk azt, hogy er®sen van kötve az atommaghoz). Mivel a probléma szimmetrikus, így az er® vízszintes komponensének a hatása pont kiesik, tehát csak a pályára mer®leges komponensét kell venni az ion és az elektron közt fellép® er®nek: Z Z e2 Z (11.6) p = F⊥ = k 2 cos(ϑ)dt , r ahol Z az ion rendszáma, melyb®l az egy darab elektronnak átadott energia:
E1 =
p2 2k 2 e4 Z 2 . = 2me me b2 v 2
(11.7)
Már csak azt kell meghatároznunk, hogy a legfeljebb "b" távolságra lév® elektronoknak mennyi elektront ad le az ionunk. A falban b távolságra lév® elektronok számát a következ® képen adhatjuk meg: N (b) = 2πnbdbdx , (11.8) ahol n az atom elektron s¶r¶sége. Ebb®l az ion energia vesztesége: Z 4πk 2 e4 Z 2 ∞ db dE = , dx mv 2 b 0
(11.9)
ami logaritmikusan divergens. Tehát egy alsó és fels® levágási határ; az ionizációs energiától a meglökési energiáig integráljuk ki, így:
dE 4πk 2 e4 Z 2 2mv 2 = ln . dx mv 2 Eion
(11.10)
Ha gyelembe vesszük azt, hogy a számolásunk elég naiv volt, akkor a relativisztikus korrekciókkal a következ® eredményt kapjuk: 4πk 2 e4 Z 2 dE 2mv 2 2 2 = ln − ln(1 − β ) − β . (11.11) dx mv 2 Eion Összefoglalás képen azt mondhatjuk, hogy a leadott energia fordítottan arányos az ion tömegével1 . Valamint az ion rendszámával négyzetes n® a leadott energia. Ezek alapján a megállási úthosszt a következ®képen becsülhetjük meg: Z E dx E2 R= dE ∼ 2 , (11.12) Z A 0 dE ahol A a közeg tömegszáma.
Cserenkov-sugárzás Ha a töltött részecske gyorsabban mozog mint a közegbeli fénysebesség (azaz ha √1µε ' √1ε < v ), akkor Cserenkov sugárzást bocsájt ki (kékes fény). A sugárzás egy, a haladási iránnyal szemben álló kúp, melynek a kúp nyílásszöge (Mach-szög):
cos θ =
c c0 1 = = , v nv nβ
(11.13)
a sugárzás intenzitása pedig:
4π 2 e2 2 c2 Z 1 − . (11.14) c2 v 2 n2 Szemléletesen, úgy magyarázhatjuk az el®z® eredményt, hogy a bejöv® részecske polarizálja a közeg atomjait. Az így keletkez® dipólusok visszarendez®dése során létrejön a sugárzás. Ha kicsi a részecske sebessége, akkor van id® arra, hogy a dipólusok a részecske pályára szimmetrikusan rendez®djenek vissza, így destruktív interferencia révén ne jöjjön létre sugárzás. A részecske forgáskúp tartományban sugároz, azaz a részecskéb®l kiinduló sugárzási hullámok burkolója egy forgáskúp palástja mentén helyezkedik el. I=
1 a levezetés során sok egyszer¶sít® feltevés tettünk melynek következtében a végeredmény csak nehéz ionokra m¶ködik
11. tétel
50
Fékezési sugárzás Gyorsuló, illetve lassuló töltés elektromágneses teret kell és a tér fenntartáshoz energia szükséges, melyet sugárzás formájában ad le, a sugárzás színképe tehát folytonos, a hullámhossz pedig minimummal rendelkezik: hc ∆Eion = ~νmax. = . (11.15) λmin. Ezt gyorsítók esetében Larmor- vagy ciklotron-sugárzásnak nevezzük. A leadott energia arányos a részecske energiájával dE E − = (11.16) dx r0 ahol r0 az úgynevezett sugárzási hossz, melynek megoldása x
E(x) = E0 e− r0
(11.17)
Gyors részecskék esetén ez az energia veszteség dominál, hiszen ekkor a Bethe-Bloch formula energia vesztesége logaritmikus, míg ez lineáris függést mutat a részecske energiájával, a közegre jellemz® kritikus energia 600 MeV Ec ' (11.18) Z ami alatt az ionizációs energia veszteség dominál.
Átmeneti sugárzás Az átmeneti sugárzás akkor lép fel, amikor a töltött részecske az n1 törésmutatójú közegb®l átlép egy ett®l eltér® n2 törésmutatójú másik közegbe. A töltött részecske szempontjából ez látszólagos gyorsulásoknak t¶nik, és a gyorsuló töltés sugároz. A kibocsájtott energia ' E α -val arányos, ahol α a nomszerkezeti állandó és E a részecske energiája (Lorentz tényez®).
11.3
Záporjelenségek
11.3.1 Elektromágneses záporok Adott hosszúságú szakaszonként a részecskék száma megduplázódik (fékezés sugárzás és párkeltésnek köszönhet®en: bemegy egy foton, majd elektront és pozitront kelt, a részecskék fékezési sugárzása után mindegyikr®l 1-1 foton leszakad, így most már 2 részecskénk és két fotonunk van,...). Tehát minden lépésben duplázódik a részecskék száma. Az N. lépésben 2N részecske van, ez addig ismétl®dik míg a részecske kezdeti E energiája nem megy Ec alá
Nmax =
ln EEc ln 2
(11.19)
ahol Ec a két elektron keltési küszöb 2 · 511keV.
11.3.2 Hadronikus záporok Most a bees® hadron rugalmatlan szóródása során másodlagos hadronokat kelt. Míg az EM detektorokban közel az összes leadott energia összegy¶jthet®, addig most csak olyan 30%-a (persze, mert az EM folyamatok hatáskeresztmetszete sokkal nagyobb mint a hadronoké). Most Ec a két pion keltési küszöb 2 · 140MeV.
Er®s kölcsönhatás alapjai: megmaradó mennyiségek, részecskék-rezonanciák tulajdonságai 12.1
Er®s kölcsönhatás alapjai
A kvarkmodell jóslata alapján megtalálták a ∆++ = |u↑ , u↑ , u↑ i kétszeresen töltött 32 spin¶ hadron rezonanciát. A Pauli-elv értelmében feles spin miatt a hullámfüggvénynek teljesen antiszimmetrikusnak kéne lennie, azonban ez az eddigi kvantumszámokkal nem volt megvalósítható, így az anomália kiküszöbölésére egy új kvantumszámot kellett bevezetni
Ψ∆
++
1 = √ εi,j,k ui uj uk 6
(12.1)
Továbbá a π 0 → 2γ bomlás elméletileg számolt bomlási valószín¶sége a egy nagyságrenddel a kísérleti értékek alatt volt, de három szín bevezetésével az egész kap egy 9-es faktort. Az e+ és e− ütköztetések hatáskeresztmetszeteib®l
R :=
X σ(e− e+ → hadron) = N Q2q σ(e+ e− → µ+ µ− ) q
(12.2)
a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet® kvarkok és Qq a q kvark töltése. A mélyen rugalmatlan szórásoknál azt tapasztalták, hogy a hadronok impulzusának csak 40%-át adják a kvarkok, tehát hadronokon kívül más, gluonok is rész vesznek a folyamatban → Yang-Mills: nem-Ábeli mértékelmélet megalkotása, ahol a gluonok a mértékbozonok. A meg gyelhet® részecskék color-szingletek, mely a kvark-gluon bezárással magyarázhatóvá váltak. Eddig a QCD jóslatait csak 10% pontossággal sikerült ellen®rizni, azonban elfogadottsága annak köszönhet®, hogy felváltotta a πN N elméletet egy pertubálható, valamint a QED-vel szemben1 ez egy önkonzisztens egyenlet, mert az aszimptotikus szabadság miatt a nagyenergiás viselkedése is ismert.
12.1.1 QCD Lagrange-függvénye A standard-modell az er®s kölcsönhatás és elektro-gyenge kölcsönhatásokat egyesítette egy SU (3) × SU (2) × U (1) mértékelméletbe, ahol az SU (3) mértékelmélet írja le az er®s kölcsönhatást, tehát (12.3) Lkvark (x) = q(x) (iγ µ Dµ − m) q(x) melyben a kovariáns deriváltat a szokásos módon de niálhatjuk
Dµ := ∂µ − ig
λa a A 2 µ
(12.4)
1 olyan magas energián veszti el az önkonzisztenciáját, ahol egyéb eektusok is belépnek (ez kb végtelen, így ez is önkonzisztensnek mondható)
51
12. tétel
52
ahol λa GellMann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai (a = 1, ..., 8), melyek (12.5)
T r(λa λb ) = δa,b vannak normálva és Lie-algebrájuk2
(12.6)
[λa , λb ] = if a,b,c λc a −i λ2
a
εa (x) A mértékteret úgy vezettük, be hogy invariáns legyen a U (x) = e ' 1 − iεa (x) λ2 lokális mértéktranszformációra. Azaz az új térnek úgy kell transzformálódnia, hogy !
Dµ (U (x)qi ) = U (x)(Dµ qi )
(12.7)
Ez akkor tehet® meg, ha a mértéktér transzformációja a következ® λa a λ a 0a 0 U (x) ! Aµ q (x) = U (x) ∂µ δi,j − ig Aµ q(x) Dµ qi → ∂µ δi,j − ig 2 i,j 2 i,j a λ λa a ∂µ δi,j − ig A0a U (x)q(x) = U (x) ∂ δ − ig A q(x) µ i,j 2 i,j µ 2 i,j µ λ a 0a λa a ∂µ δi,j − ig Aµ U (x)q(x) = U (x) ∂µ δi,j − ig Aµ U −1 (x)U (x)q(x) 2 i,j 2 i,j a λa a λ A0a A = U (x) ∂ δ − ig U −1 (x) ∂µ δi,j − ig µ i,j 2 i,j µ 2 i,j µ λ a a −1 λ a 0a Aµ = U (x)∂µ δi,j U −1 (x) − U (x)ig A U (x) −ig 2 i,j 2 i,j µ 1 A0a ' Aaµ − f a,b,c εb (x)Acµ + ∂µ a (12.8) µ g A gauge-tér dinamikáját a Wilson-hurokból de niált
λa qj := [Dµ , Dν ]qi 2 i,j = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf a,b,c Aaµ Aaν
a − igFµ,ν a Fµ,ν
(12.9a) (12.9b)
térer®sség tenzorral adhatjuk meg
LGauge :=
1 1 a Fµ,ν F µ,ν ≡ Fµ,ν τa Fbµ,ν τ b 4 4
(12.10)
Így a QCD teljes Lagrange-függvény
1 LQCD (x) = − Tr(Fµ,ν F µ,ν ) + q(x) (iγ µ Dµ − m) q(x) 4
(12.11)
ahol q = q † γ 0 Dirac-konjugált.
12.1.2 Kölcsönhatás potenciál képben Egy igen naiv képpel a potenciál képpel jellemezhetünk egy kölcsönhatást, ennek inkább kísérleti szempontból van jelent®sége, hiszen ez pillanatszer¶ kölcsönhatást feltételezne. Tegyük fel, hogy a kölcsönhatás közvetít® részecskéken keresztül történik, ekkor bevezethetünk egy hatótávolságot és egy er®sséget a kölcsönhatás jellemzésére, a következ®képpen; feltéve hogy a közvetít® részecske kielégíti a rá vonatkozó E 2 = m2 c4 + p2 c2 (12.12) tömeghéj feltételt, akkor az ehhez a diszperziós relációhoz tartozó (p = −i~∇, E = i~∂t ) kvantummechanikai egyenlet: 1 m2 c2 − 2 ∂t2 Ψ(r, t) + ∇2 Ψ(r, t) − 2 Ψ(r, t) = 0 (12.13) c ~ 2 persze csak f struktúra állandó ismeretében adnám meg
12. tétel
53
melynek statikus megoldása olyan mintha egy kölcsönhatást írna le, hiszen ez egy álló részecskeképet ad g −r/R U (r) = e (12.14) 4πr ~ ahol g a kölcsönhatás csatolási állandója és R = mc a kölcsönhatás karakterisztikus hossza. Er®s kölcsönhatás esetén a közvetít® részecskéket gluonoknak nevezzük, mely a kvarkok színét cseréli. Mivel QCD esetén kvarkbezárás gyelhet® meg, így az el®z® naiv képet tovább kell kozmetikáznunk és g −r/R e U QCD (r) = + kr (12.15) 4πr g ' 1, azaz nem pertubálható elmélet. Persze ez mind diszjunkt a térelméleti leírással, de ahol 4π azért egy jó becslést ad.
12.1.3 A QCD megmaradó mennyiségei Általánosan azt mondhatjuk, hogy minden olyan folyamat végbe mehet amit valamilyen megmaradási törvény nem sért. Ebben fejezetben ezeket a megmaradási tételeket vesszük sorra. Azonban egy gyors áttekintést ad a következ® táblázat: Megmaradás Energia-impulzus Elektromos töltés Barionszám Leptonszám Izospin Ritkaság Bájosság ˆ) Paritás (P ˆ Töltés konjugálás (C) Cˆ Pˆ Cˆ Pˆ Tˆ
Er®s kölcsönhatás √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
EM kölcsönhatás √ √ √ √
Gyenge kölcsönhatás √ √ √ √
× √ √ √ √ √ √
∆I = 1, 12 ∆S = 1, 0 ∆C = 1, 0 × × √ √
Valamint ezen felül ha a kezdeti állapot csak bozonokat tartalmazott akkor a végállapot is csak bozonokból fog állni, ugyan így fermionokra is.
Barionszám minden kvark barionszáma 1/3, míg minden antikvarké −1/3. Tehát a hadronok bariontöltése B = 1 Barion, B = 0 mezon, B = −1 antibarion lehet, míg leptonoké mindig nulla.
Leptonszám Háromfajta leptonszám van: Le , Lµ , Lτ , melyeket a következ® képen osztunk ki a folyamat során +1 : i, νi (12.16) Li = −1 : i, ν i ahol i ∈ {e− , µ− , τ − }.
Cˆ töltéskonjugálás A részecskék minden töltését (-1) szeresére változtatva, azaz a részecskét antirészecskére cserél.
12. tétel
12.2
54
Rezonanciák
Egy folyamat lezajlásának az idejét az aszimptotikus szóráselméletb®l számolhatjuk Z 1 = Γ = dΩ|M |2 τ
(12.17)
ha a folyamatban résztvev® részecskék élettartama ennél lényegesen hosszabb, akkor m¶ködik az aszimptotikus szóráselmélet. Azonban a 12.4 ábrán látható csúcsok rezonanciák megjelenésér®l árulkodnak, azaz feltehetjük hogy rövid id®re össze áll a rendszer egy rezonancia részecskévé és akkor egy eektív elmélettel kell dolgoznunk. Például nukleon pion szórás esetén egy ∆ rezonanciát vezetünk be, és ennek segítségével az eektív Lagrange
L∆N π (x) =
g∗ i ∆ (x)N (x)∂ ν πi (x) mN ν
(12.18)
A kés®bbiekben majd láthatjuk az eektív elméletek megkonstruálásának szabályait, de néhány dolgot most is megállapíthatunk a feltételezett rezonanciáról.
12.2.1 Breit-Wigner formula A formula segítségével a szórási hatáskeresztmetszet ismeretében megtudhatjuk a rezonancia tömegét és élettartamát. Az aszimptotikus szórásnál megtanultak alapján tudjuk, hogy
Sf,i = δf,i + (2π)4 δ 4 (pf − pi )Tf,i
(12.19)
ahol T a reakció mátrix, melyet a Feynman-gráfok segítségével meghatározhatjuk és a következ® függést mutatja 1 (12.20) Tf,i = hf | T |ii ∼ s−m ˜ 2∆ ahol m ˜ ∆ a rezonancia tömege. Tegyük fel hogy a rezonancia tömege egy kis képzetes résszel bír
m ˜ ∆ = m∆ − i
Γ∆ , 2
ekkor az átmeneti mátrixelem
Tf,i ∼
s−
m2∆
Γ∆ > 0 1 + im∆ Γ∆
(12.21)
(12.22)
melyb®l a hatáskeresztmetszet
σ∼
1 √ 4m2∆ [( s − m2∆ )2 + 41 Γ2∆ ]
(12.23)
√ ahol felhasználtuk, hogy s = m∆ + δ → s = m2∆ + 2m∆ δ = m2∆ + 2m∆ | s − m∆ |. Tehát a rezonanciák helye a részecske tömegének felel meg, a csúcs félérték szélessége pedig annak élettartamának a reciproka.
12. tétel
55
g. 12.4: µ, µ+ ütközések hatáskeresztmetszet
Bels® szimmetriacsoportok: SU(2), SU(3) és a részecskék rendszerezése, a kvarkmodell alapjai 13.1
Izospin és általánosítása
Heisenberg a mager®k töltésfüggetlenségének magyarázatára bevezette az izospin fogalmát, mivel a magban fellép® er®s kölcsönhatás szempontjából a p+ és a n0 egyformának tekinthet®, azaz elképzelhetjük ®ket úgy, mint egy |N i részecske (nevezzük nukleonnak) két megjelenési formáját ˆ a,b |N i |N ia = U (13.1) b
ˆ egy 2×2-es unitér, egységdeterminánsú mátrix, azaz U ˆ ∈ SU(2) ahol a csoport generátorai ahol U a a ˆI operátorok, tehát ˆ = eiεaˆIa U (13.2) ahol ε egy tetsz®legesen kis paraméter. A generátor elemek
[ˆIa , ˆIb ] = ia,b,cˆIc
(13.3)
kommutációs relációjának ismeretében teljesen jellemezhetjük a szimmetria csoportot. Ilyen algebra mellett (forgás csoport) a generátorok el®állíthatóak a pauli mátrixok segítségével
ˆIa = 1 σ ˆa 2 ahol
~σ = (ˆ σx , σ ˆy , σ ˆz ) =
0 1
1 0
0 , i
(13.4)
−i 0
1 , 0
0 −1
ebben a reprezentációban jelöljük a nukleon két állapotát a következ® bázisvektorokkal 1 0 + 0 |p i = , |n i = , 0 1
(13.5)
(13.6)
ˆ z saját állapotai lesznek, ± 21 sajátértékkel, tehát ˆIz olvassa ki a nukleon állapotát. így ezek ˆIz = 12 σ A szokásos módon léptet® operátorokat is de niálhatunk ˆI± = ˆIx ± iˆIy . Az ábrázolás Kazimír2 2 2 2 operátora ˆI = ˆI + ˆI + ˆI , mely az ábrázolás minden generátorával felcserél 1
2
3
2 [ˆI , ˆIa ] = 0
(13.7)
2 sajátértéke pedig (ˆI visszajátszható ˆIz , ˆI± operátorok kombinációjára és ebb®l már megállapíthatjuk)
ˆI2 |N i = I(I + 1) |N i
(13.8)
megadja az ábrázolás 2I + 1 dimenzióját. Mivel most két lehetséges nukleon állapotunk van, azaz kétdimenziós ábrázolást vizsgálunk, így I = 12 , szokás ezt is feltünteti az állapot jellemezése során
1 1 pl.: n0 = | , − i 2 2
|N ia ≡ |I, Iza i , 57
(13.9)
13. tétel
58
Vegyük észre, hogy az izospin segítségével kifejezhetjük a nukleonok töltését
Q ≡ Iz +
B 1 = Iz + 2 2
(13.10)
ahol B a részecskék barion száma, ami esetünkben 1, mivel minden nukleon három kvarkból áll (ekkor még nem tudtak a kvarkokról, így csak azért kapták ezt a számot, mert a magban vannak).
13.1.1 Izospin kiterjesztése és a ritkaság Az el®z® fejezetben láttuk, hogy (közel) azonos1 tömeg¶ részecskék felfogóhatóak úgy, mint egy anyarészecske két állapota. Azonos tömeg esetén az adott kölcsönhatást leíró Lagrange-függvény ˆ transzformációra nézve. szimmetrikus az egyik részecskéb®l a másikba viv® U Tehát az azonos tömeg¶ részecskéket azonos ábrázolásba csoportosították. Pionok esetén három azonos tömeg¶ részecskét gyeltek meg: π ±,0 , így egy I = 1 háromdimenziós ábrázolásba foglalták ®ket, ekkor az Ia generátorok a háromdimenzióra kiterjesztett Pauli-mátrixok lettek (GellMannmátrixok), és minden részecskét egy háromdimenziós vektorral írhatunk le. Azonban ekkor elromlik a töltés formula, de nem csak pionra hanem a kaonokra és a Λ részecskére is. Tehát bevezettek egy új kvantumszámot, mely rendbe teszi a töltésformulát
1 1 Q := Iz + (B + S) := Iz + Y 2 2
(13.11)
ahol S a ritkaság kvantumszám és Y az úgynevezett hipertöltés.
13.2
Hadron kvarkmodellje
A részecske zikában hadronnak nevezzük az olyan összetett szubatomi részecskéket, amelyeknek összetev®i kvarkok és gluonok. Az el®z® gondolatmenet alapján elkezdték osztályozni és ábrázolni a meg gyelt részecskéket aszerint, hogy milyen a spinjük, paritásuk, tömegük, hipertöltésük, izospin vetületük. A rendszerezés következtében a 13.6, 13.7 ábrákat találták. Ekkor még a Bariondekupletben szerepl® Ω részecskét nem találták, de csak ezzel lenne teljes a kvark-kép. A kvarkmodell szerint (Gell-Mann, Zweiget, 1964) minden részecske kvarkokból épül fel, melyek barion töltése 1/3 és 1/2 spin¶ek. Az u, d kvark egy ábrázolásba tartozik, így az izospinjük Iu,d = 1/2, Izu = 1/2, Izd = −1/2, míg az s egyedül van, tehát izospinje I s = 0. Az s ritkasága S s = −1, míg a többié S u,d = 0. Töltésük pedig Qu = 2/3, Qd = −1/3, Qs = −1/3, tehát az SU(3) csoport de náló és konjugált ábrázolása
g. 13.5: Az SU(3) csoport de náló és konjugált ábrázolása 1A
n −mp = 1%o tömegkülönbségét Katzék az EM kölcsönhatással magyarázták, tehát az proton és neutron m mn +mp er®s kölcsönhatás szempontjából tényleg azonosak
13. tétel
59
Ezek segítségével minden típusú részecske el®állítható:
Ψ = Φ(térrész)χ(spinrész)γ( avour-,íz-komponens)
(13.12)
Továbbá nevezzük (q, q, q ) barionoknak az olyan részecskéket amik három kvarkot tartalmaznak és (q, q ) mezonoknak az olyanokat, melyek egy kvark és antikvark pár alkot. Ekkor minden ábra részecskéit legyárthatjuk, ha kiválasztunk egyet és a léptet® operátorok ± ± Sˆ , ˆI segítségével bejárjuk az egész hatszöget, vagy piramist ( gyelve arra, hogy fermionok esetén teljesüljön a hullámfüggvény teljes antiszimmetriája és bozonok esetén a teljes szimmetriája).
13.2.1
∆++
paradoxon és a színtöltés
∆++ = (u, u, u) és s = 3/2, tehát teljesen antiszimmetrikusnak kell lennie, viszont mivel csak u↑ kvarkokból épül fel, így (13.12) módon nem tudunk teljesen antiszimmetrikus kombót képezni. Ahhoz hogy ez megtehet® legyen egy új kvantumszámra, a színtöltésre van szükségünk, ekkor ++
Ψ∆
= Φ(u↑ )i Φ(u↑ )j Φ(u↑ )k γ(u↑ , u↑ , u↑ )i,j,k
(13.13)
már választható teljesen antiszimmetrikus hullámfüggvény. Továbbá a kvarkmodell megengedi hogy a barion és mezonokon kívül legyenek még más hadronok is, de ez is rendbe tehet® a színtöltéssel, ha kimondjuk hogy csak fehér szín¶ (szinglet) állapotok gyelhet®ek meg, mivel csak ennek a két állapotnak van szinglet ábrázolása
(q, q)
=
3⊗3=1⊕8
(13.14)
(q, q, q)
=
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10
(13.15)
Tehát
Ψ(x, σ, Y, Iz , 1) = Φ(térrész)χ(spinrész)γ( avour-,íz-komponens)δ(szín komponens)
(13.16)
az antiszimmetria feltételéb®l következ®en legalább három színre van szükségünk, azonban
R :=
X σ(e− e+ → hadron) = N Q2q σ(e+ e− → µ+ µ− ) q
(13.17)
szóráskísérletek alapján a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet® kvarkok és Qq a q kvark töltése.
13. tétel
60
g. 13.6: pszeudoskalár Mezon-oktet (0− ,0 spin¶, P Ψ = (−1)Ψ)
(a) barion-oktet ((1/2)+ ,1/2 spin¶, P Ψ = (+1)Ψ)
(b) barion-oktet ((3/2)+ ,3/2 spin¶, P Ψ = (+1)Ψ)
g. 13.7: Barionok
Er®s kölcsönhatás dinamikája, a QCD alapjai 14.1
A QCD alapjai
Az er®s, gyenge és elektromágneses kölcsönhatást is magába foglaló elmélet a Standard Modell. Ez egy nemábeli-mértékelmélet, mértékcsoportja az SU(3)c ×SU(2)×U(1). Ebb®l az SU(3)c a QCD (Quantum Chromodynamics, kvantumszíndinamika) mértékcsoportja. A c index a színre utal. A kísérletek és a számolások pontossága az egyes elméletek esetében (kb. ugyanolyan pontosan tudjuk mérni ®ket, mint számolni):
• QCD pontossága: O(10%) • gyenge kölcsönhatás pontossága: O(10−1 %) • QED pontossága: O(10−8 %) Ezekben az elméletben futó csatolási állandó található. Ez azt jelenti, hogy a csatolási állandó függ az s-t®l, a tömegközépponti energia négyzetét®l. A QCD csatolási állandója αs viszont az aszimptotikus szabadság és a kvarkbezárás tulajdonságával rendelkezik: aszimptotikus szabadság: kvark bezárás:
lims→∞ αs (s) = 0 lims→0 αs (s) = 0
(14.1)
Az aszimpotikus szabadság miatt a nagyenergiás szórásokat jól lehet perturbatívan számolni (mert ott kicsi a csatolási állandó, tehát a perturbációs sor "konvergál"), így kaphatunk egy konzisztens elméletet. A QCD három f® irányba kezdett el fejl®dni; perturbatív QCD (pQCD), nemperturbatív QCD (pl.: rács-QCD) és véges h®mérséklet¶ QCD. A továbbiakban a pQCD-vel fogok foglalkozni (esetleg az utolsó tételben említés szinten rátérek a rács-QCD-re).
14.1.1 A QCD kialakulása A teljesség igénye nélkül bemutatom a QCD-hez vezet® kísérleti eredményeket és azoknak a kihatását az elméletre.
Parton modell A hadronspektrum szabályosságai miatt arra a következtetésre jutottak a zikusok, hogy a hadronok kisebb alkotórészekb®l, ún. partonokból állnak. A hadronok bels® szerkezetét nagyenergiájú mélyen rugalmatlan hadronlepton ütközésekkel vizsgálták. Ezen szóráskísérletekben a totális hatáskeresztmetszet olyannak adódott, ami megegyezik pontszer¶ alkotórészeken való szóródás totális hatáskeresztmetszeteinek inkoherens összegével. Azaz a leptonok els® közelítésben a hadronokban lev®, szabadnak tekinthet® partonokon szóródnak. Az a tény, hogy a partonok a hadronok belsejében szabadnak tekinthet®k, az aszimptotikus szabadságra enged következtetni. 61
14. tétel
62
A szín bevezetése A partonmodell nyomán felépített additív kvarkmodell jó közelítéssel visszaadta a hadronspektrumot, és például a proton és neutron mágneses momentumát is. Azonban akadtak problémák. Például a ∆++ spinje S = 3/2 és izospinje I = 3/2, így a hullámfüggvénye az additív kvarkmodell szerint Ψ = u↑ u↑ u↑ (14.2) Ez azonban teljesen szimmetrikus, de a ∆++ fermion, így a Pauli-elv nem teljesülne. Ezért ha bevezetünk egy plusz kvantumszámot, a színt, amely 3 féle értéket vehet fel, akkor már kielégíthetjük a Pauli-elvet Az e+ és e− ütköztetések hatáskeresztmetszeteib®l
R :=
X σ(e− e+ → hadron) =N Q2q + − + − σ(e e → µ µ ) q
(14.3)
a színek száma N = 3-nak adódott, ahol q az egyes, adott energián keletkezhet® kvarkok és Qq a q kvark töltése.
Kvark bezárás Továbbá a kvarkmodell megengedi hogy a barion és mezonokon kívül legyenek még más hadronok is, de mégse találtak már részecskéket. A kvarkok az SU(3)-nak a 3, az antikvarkok a 3 ábrázolásával transzformálódnak. Tehát ha feltesszük hogy csak fehér szín¶ (szinglet) állapotok gyelhet®ek meg
(q, q)
=
3⊗3=1⊕8
(14.4)
(q, q, q)
=
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10
(14.5)
akkor már megmagyarázhatóak a kísérleti meg gyelések, hiszen csak ennek a két kombinációnak van szinglet ábrázolása.
Elméleti fejl®dés rövid áttekintése Elméleti fejlemények. A klasszikus nem-Ábeli mértékelméleteket Yang és Mills dolgozták ki (1954). Ezeket azonban nagyon sokáig nem tudták kvantálni. A mértékelméletek kvantálása Faddeev és Popov nevéhez f¶z®dik (1967). A nemábeli mértékelméletek renormálhatóak (t'Hooft 1971), és jellemz® rájuk az aszimptotikus szabadság (t'Hooft 1972, GrossWilczek és Politzer 1973). Ezen tulajdonságai miatt a nemábeli mértékelméletek voltak a legjobb jelöltek arra, hogy a kvarkok közötti kölcsönhatást leírják. GellMann, Fritzsch: a szín legyen az SU(3) nemábeli mértékcsoport. Lényegében ekkor született meg a QCD.
14.2
A QCD dinamikája
A kísérletek alapján a kvarkok feles spin¶ek. 6 különböz® kvark-íz van: u, d, c, s, t és b, és három színnel: piros, kék, zöld rendelkeznek. Tehát így összesen 2·6·3 q(x) hullámfüggvényünk van a Lkvark (x) = q(x) (iγµ ∂ µ − m) q(x) (14.6) 0 szabad Lagrange-függvényben. Mértékcsoportként az SU(3)-mat vesszük, ábrázolásnak a háromdimenziós önábrázolást tenzorszorozva az íz és Dirac indexekben lev® identitással. Az mértéktranszformáció lokálissá tétele
U = eiεa
λa 2
→
U (x) = eiεa (x)
λa 2
(14.7)
után a mértéktérnél elmondottak alapján a következ® kovariáns derivált jelenik meg
Dµ := ∂µ − ig
λa a A 2 µ
(14.8)
14. tétel
63
ahol λa A GellMann-mátrixok, melyek a szín indexekben hatnak. Ekkor a terek a következ®képpen transzformálódnak a (14.9)
q 0 (x)
= U (x)q(x) λa a λa a A0µ (x) = Aµ = U (x) A − 2 2 µ λa a,b,c b ' Aµ + f ε (x)Acµ − 2
i −1 U (x)∂U (x) U −1 (x) ' g λa 1 ∂µ εa (x) 2 g
(14.10)
mértéktrafó alatt. A mértéktér dinamikáját meghatározó térer®sség
− igFµ,ν q(x)
:=
a Fµ,ν
=
(14.11)
[Dµ , Dν ]q(x) ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf a,b,c Abµ Acν
(14.12)
így a QCD Lagrange-függvénye:
1 LQCD (x) = − Tr(Fµ,ν F µ,ν ) + q(x) (iγ µ Dµ − m) q(x) 2
(14.13)
ahol q(x) = q † (x)γ 0 .
14.2.1 A QCD kvantálása A mértékterek
1 Lmértéktér kinetikus tagja = − (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )(∂ µ Aν,a − ∂ ν Aµ,a ) 4
(14.14)
kinetikus része miatt problémába ütközünk a kvantálásuk során, hiszen ekkor a Green-függvény kernel értelemben vett inverze K = δ a,b (∂σ ∂ σ ηµ,ν − δ µ δ ν ) → δ a,b −k 2 η µ,ν + k µ k ν (14.15) nem invertálható (mivel létezik olyan nulla sajátérték¶ vektora), azaz nincs Green-függvénye a mértéktérnek (nincs dinamikája). Míg ábeli mértékelmélet esetén a GuptaBleuler-kvantálást követve a mértéktér mozgásához hozzá adva egy teljes divergenciát
LGuptaBleuler = Lmértéktér kinetikus tagja +
λ 2 (∂µ Aµ ) 2
(14.16)
már formálisan kiküszöbölhet®vé válik a probléma, addig ez nem ábeli mértékelméleteknél nem tehet® meg ilyen egyszer¶en. Hiszen most található lenne egy olyan mértéktranszformáció amivel a hozzáadott tag eltüntethet® lenne. A problémát másképpen is megfogalmazhatjuk: Ha Aaµ -hoz keresünk a kanonikus egyenletek alapján kanonikusan konjugált impulzust, akkor azt látjuk, hogy π0a = 0, ami nem fogja tudni kielégíteni a kanonikus csererelációját Aaµ -val.
Faddeev-Popov kvantálás Lényegében most is egy plusz tagot fogunk majd bevezetni a Lagrange-függvénybe, de a mérték invariancia megtartásához kicsit trükköznünk kell és látni fogjuk, hogy ehhez úgynevezett szellemterek bevezetésére lesz szükségünk. Induljunk ki a rendszer naiv generálófunkcionáljából Z R 4 a a Z[J] := D[A]ei d x(L+Aµ J ) (14.17) mely deriválásával minden Green-függvény el®állítható (persze minden térhez van rendelve forrás). Az összes kon gurációra integrálva egy felesleges végtelen szorzófaktor jön be. A D[A] "mérték" mértékinvariáns, ezért elegend® a G minden orbitjából egy elemet kiválasztani, és úgy végrehajtani az integrált. Ehhez rójuk ki a a Gµ A0a (14.18) µ (x) = B (x)
14. tétel
64
mértékrögzít® feltételt (ahol A0 a Θ-val jellemzett mértéktrafonáltja az A-nak), ahol Gµ és B(x) mértékrögzít® függvények (Lorentz-mérték esetén Gµ = ∂ µ és B a = 0). A funkcionál integrál Z a (14.19) det MG = D[Θ]δ Gµ A0a µ −B tulajdonságát felhasználva, a kényszer becsempészhet® az generálófunkcionálba Z Z iS a Z[0] = D[A] det MG D[Θ]δ Gµ A0a e µ −B Felhasználva, hogy det MG , függés
R
D[A]eiS mérték invariáns az egyenletb®l kitranszformálható a Θ Z
Z[0] =
(14.20)
D[A] det MG δ G
µ
Aaµ
−B
a
e
iS
Z D[Θ]
(14.21)
így a
Z D[Θ] = ∞
(14.22)
konstans már elhagyható, mivel úgy is mindenhol megjelenik és normálás során kiesik. A ghostterek bevezetésével és a B a átírása α segítésével a következ® alakra hozható a generáló funkcionál Z R µ a 2 a a,µ 1 Z[J] = D[A] det MG ei dx(L− 2α (G Aµ ) +Aµ J ) := Z R a,b µ a 2 a a,µ 1 := D[A, χ]ei dx(L− 2α (G Aµ ) +Aµ J −χa MG χb ) (14.23) ahol megint megjelent a dinamikát adó (Gµ Aaµ )2 extra tag, azonban most a χ ghost tér nem engedi kitranszformálni és helyre is teszi a mérték invarianciát. Mivel eleve a determináns reprezentációjára vezettük be ezeket, nem tartoznak hozzájuk aszimptotikus részecskék, szerepük csupán annyi, hogy a determináns perturbációs sorba fejtését lehet®vé tegyék. Tehát a gráfok rajzolása során küls® lábakként nem, csak bels® lábakként jelenhetnek meg. Mindent egybevetve a QCD teljes generálófunkcionálja Z R 4 QCD a a,µ a∗ ∗ ∗ Z[J, ξ, ξ ∗ , η, η ∗ ] = D[A, χ, χ∗ , q, q ∗ ]ei d x(Ltot. +Aµ J +χ ξ +q η+h.c.) (14.24) ahol
1 1 2 µ,ν − (∂ µ Aµ ) + (∂ µ χa∗ )Dµa,b χb + q(iγ µ Dµ − m)q LQCD tot. = − Fµ,ν F 4 2α
(14.25)
14.2.2 Gráfszabályok A gráfszabályok a perturbációszámítás szemléletes képét adják, így átláthatóbb számolási módszert kapunk. Az ehhez szükséges elemeket fogjuk most végig venni.
Propagátorok A propagátorok meghatározása a csatolás nélküli Lagrange függvényekb®l történnek mégpedig a következ® képpen
Lkvark (g = 0)
:= −q(−i∂µ γ µ + m)q
Lgluon (g = 0)
:= Lmértéktér + Lkényszer
Lghost (g = 0)
:= −χa∗ δ a,b χb
(14.26) 1 a := − Aµ (−gν,µ + (1 − 1/α)∂µ ∂ν ) Abν (14.27) 2 (14.28)
a terek közti operátorok kernel értelemben vett inverze adja a propagátorokat.
14. tétel
65
Vertexek A
QCD Lkh. := LQCD tot (g 6= 0) − Ltot (g = 0)
(14.29)
kölcsönhatási Lagrange-függvényb®l származtathatjuk a vertexeket. A következ® négyfajta vertexet olvashatjuk le ekkor
• 3 gluon-vertex • 4 gluon-vertex • 1 gluon - 2 ghost vertex • 1 gluon - 2 kvark vertex
Er®s kölcsönhatások dinamikája alacsony energián, a királis szimmetria sérülése és az eektív Lagrange függvényes leírás 15.1
Potenciál-modell
Akkor lehet a protont és neutront együtt tárgyalni N nukleonként, ha csak er®s kölcsönhatás vesz részt a folyamatban. Ugyanis a tapasztalat szerint az er®s kölcsönhatás töltésfüggetlen. A kölcsönhatást az biztosítja a két nukleon között, hogy kicserélnek egy semleges objektumot. Ezen kép segítségével a Yukawa-potenciál megkapható. A következ® közelítést alkalmazzuk. Feltételezzük, hogy a két nukleon jóval nagyobb tömeg¶, mint a közvetít® részecske. Így azon feltevéseinket jogosnak gondoljuk, hogy a két nukleon meg sem moccan a részecskecsere folytán, hanem rögzítve marad, továbbá hogy a folyamat során nem keletkeznek és nem t¶nnek el nukleonok. A közvetít® részecskét egy valós skalármez®nek tételezzük fel (φ), amelynek forrása az η nukleonok. Azaz a közvetít® részecske Lagrange-függvénye 1 L = − (∂ν φ)2 + µ2 φ2 − ηφ (15.1) 2 ahol µ a közvetít® részecske tömege. Ezután a Hamilton-operátort felírjuk a† (k) és a(k) segítségével, majd másodrend¶ perturbációszámítást végzünk arra vonatkozóan, hogy az η nélküli szabad Hamilton operátor alapállapotának energiáját mennyivel emeli meg a Hamiltonhoz hozzádott η -t tartalmazó perturbáló tag. Ekkor azt kapjuk, hogy ha a két nukleon relatív helyzete x, akkor a köztük ható Yukawa-potenciál Z d3 k eikx 1 e−µ|x| U (|x|) = = (15.2) 3 2 2 (2π) |k | + µ 4π |x| látható, hogy µ1 az er® karakterisztikus hatótávolsága. Kölcsönhatás nem csak semleges, hanem töltött pionnal is megvalósulhat, mely a különböz® nukleonok kölcsönhatását írja le. Tehát összességében a N-N közti kölcsönhatásokat a π ±,0 közvetítheti. A nukleonokat izodublettként ábrázolva a köztük ható potenciál a pauli mátrixok segítségével felírható 1 (1) (1) (2) (2) (15.3) UN1 −N2 (|x1 − x2 |) = − g 2 σN1 σN2 + σN1 σN1 U (|x1 − x2 |) 2 Itt a σ fels® index azt jelenti, hogy melyik Pauli mátrixról van szó, az alsó pedig azt, hogy melyik nukleonra hat. Tehát az UN1 −N2 mátrixelemei izodublet ábrázolásban n−n n−p p−n p−p n−n 0 0 0 0 2 UN1 −N2 = n − p (15.4) 0 0 −g U (|x1 − x2 |) 0 p−n 0 −g 2 U (|x1 − x2 |) 0 0 p−p 0 0 0 0 A fels® sorban vannak a bemen® állapotok felsorolva, az els® oszlopban pedig a kimen® állapotok. 67
15. tétel
15.2
68
Pion-nukleon szórás
Amíg a pion kinetikus energiája 250MeV alatt van, addig rugalmas szórásról beszélhetünk, hiszen nincs elegend® energiája ahhoz, hogy N + 2π végállapot legyen. A nukleon izospin szempontjából spinor (I = 1/2), a pion vektor (I = 1), ezért a szórásban a lehetséges izospincsatornák I = 1/2, 3/2. Tehát a kezdeti és végállapot a |I, Iz i kvantumszámokkal jellemezhet®. Ha a Iz megmarad a szórás során, akkor a WignerEkart-tétel miatt az S szórásmátrix nem függhet Iz -t®l. A lehetséges végállapotokat a léptet® operátorok segítségével meghatározhatjuk
3 3 1 3 1 |π , pi = | , i → |π + , ni = √ | , i + 2 2 3 2 2
r
+
2 1 1 | , i → ... 3 2 2
(15.5)
tehát ezek alapján meghatározhatjuk a mindenféle szórások hatáskeresztmetszeteit. (15.6)
hN, π| T |N 0 , π 0 i = ...
ahol T transzfer mátrixot nem ismertjük, csak azt tudjuk meghatározni hogy az adott szórásban melyik mátrixeleme mekkora súllyal szerepel, ezek alapján az egyes szórások hatáskeresztmetszeteinek arányára eredményt adhatunk, pl
σ(π + p → π + p) '9 σ(π − p → π − p)
15.2.1
π−N
(15.7)
szórás naiv térelméleti leírás
Több fajta ötlet is volt arra, hogy a N-π csatolásokat direkt kapcsolattal írják le, ebb®l most kett®t megmutatok
• pszeudoskalár csatolás
Lps = igN (x)γ5 N (x)π(x)
(15.8)
ahol N (x) a nukleon tér, lényegében N (x)γ5 N (x) ez volt az η forrása és π(x) a pion tér. Az i szorzóval tettük hermetikussá a Lagrange függvényt és a γ5 miatt a pszeudo elnevezés. Ez egy renormálható elmélet.
• pszeudovektor csatolás Lpv = i
fπ N (x)γ5 γµ N (x)∂ µ π(x) mπ
(15.9)
látható, hogy itt a deriválásból és a gamma mátrixból képzünk vektort majd ezek összeejtésével lesz skalár a Lagrange. Mindkét azonos dierenciális hatáskeresztmetszetre vezet, ha
g 2mN
=
dσ g4 1 = 2 dΩ (4π) 4m2N
fπ mπ ,
ekkor (15.10)
mely energia független és s-hullámot ír le, a kísérletileg tapasztalt p-hullám helyett. Tehát az egész úgy rossz ahogy van, perturbációszámítással se megyünk semmire, mert a csatolási állandó túl nagy. Más elmélet kell, erre vezették be a rezonanciás leírási képet.
15.2.2
π−N
szórás rezonanciás térelméleti leírás
Láttuk, hogy a naiv direkt leírás nem m¶ködik tehát új elmélet kell. A rezonanciás leírásban feltesszük, hogy a kezdeti részecskék egy új rövid élettartamú részecskévé állanak össze, majd az bomlik tovább.
15. tétel
69
Parciális hullám analízis Csótónál többször is volt, mikor bejön egy síkhullám és egy pontszer¶ szórócentrumon szóródik, ekkor a szórás hatáskeresztmetszet a következ®képpen adható meg:
σ=
4π X (2l + 1) sin2 δl k2
(15.11)
l
ahol . Kis energián csak az s és p hullám jöhet szóba (azaz l = 0, 1). Az amplitúdó δ = π/2 fáziseltolódásnál maximális, ilyenkor rezonanciáról beszélünk.
Alacsony energia és a ∆ rezonancia A parciális hullám analízisb®l és igazán a Breit-Wigner formula alapján rezonanciákat vezethetünk be a leíráshoz. A rezonanciákat stabil részecskéknek tekintve a következ® csatolást írhatjuk fel g∗ i L∆,N,π = ∆ (x)N (x)∂ ν π i (x) (15.12) mN ν ahol i az izospin indexeken fut, ν pedig a Lorentz-indexeken. Ez az elmélet csak alacsony energián m¶ködik, ott ahol még nem tud két pion keletkezni. A ∂ ν miatt ez már fogja tudni a p-hullámot és ha a rezonancia tömegét m∆ =115MeV-nek válaszuk, akkor a szórási hatáskeresztmetszetet is jól adja vissza.
Magasabb energia és a % rezonancia ∗
g ' 15, így nem növelhetjük az energiát. Ha Az el®z® elmélet elégé csak eektív volt, mivel 4π elérjük a két pion keltési küszöböt akkor már új folyamat mehet végbe, persze ami most adunk az is csak alacsony energián m¶ködik, azaz addig amíg a pion kinetikus energiája a N tömegével összemérhet®. Nézzük a következ® folyamatot
π + N → % + N → 2π + N
(15.13)
a kísérletekb®l megint meghatározható a rezonancia paraméterei és %-nak adódott. Ekkor vegyünk két tagod, egy hogy a rezonancia hogyan csatolódik a két pionhoz és hogy a nukleonok hogyan csatolódnak a %-hoz σ L%,N,2π (x) = ig%,2π %µ (x) (π(x) × ∂ µ π(x)) + ig%,2N %µ (x) N (x)γ µ N (x) (15.14) 2 ekkor a következ® gráfot ismerjük
g. 15.8: N − π → N − 2π gráf melyben az id® balról jobbra telik. Az univerzalitás miatt g%,2π = g%,2N mely a kísérleti mérések is igazolnak.
15. tétel
15.3
70
Királis szimmetria és sérülése
A QCD kvark-gluon kölcsönhatását a következ® Lagrange-függvénnyel írhatjuk le X L= q i (x) (iγµ Dµ − mi ) q i (x)
(15.15)
i
ahol a kvark ízeken fut végig a szumma. Minden teret bontunk a már ismert módon
q i (x) =
1 − γ5 i 1 + γ5 i i i q (x) + q (x) := qL (x) + qR (x) 2 2
(15.16)
jobb és balkezes vetületekre, ezekkel kifejezve a Lagrange-függvény X X i i i i L= q iL (x) (iγµ Dµ ) qL (x) + q iR (x) (iγµ Dµ ) qR (x) − mi q iL (x)qR (x) + q iR (x)qL (x) i
i
vezessük be a következ® királis globális transzformációkat 0 qL = U L qL ,
0 qR = U R qR
(15.17)
Az elmélet közelít®s szimmetriája az UL (N avour ) × UR (N avour ) (U-kat megint a N avour családnak megfelel® Pauli-mátrixok generálják), a tömeg tagokban romolhat el az egész. 2-3 család közelítésben még közelít® szimmetriáról beszélhetünk, míg további ízcsaládok belevételével ez elromlik. Látható hogy ha sérül a szimmetria az spontán szimmetriasértésen át történik, melyhez de niálhatunk egy rendparamétert h0| qq |0i = 6 0 mely segítségével egy eektív Lagrange-függvény, a szigma-modell írható fel. Ha a királis szimmetria nem sérülne akkor megmaradó áramaink lennének, de ha sérül akkor a tömegtagok elhagyásával felírhatunk áramokat és ezek algebráit vizsgálhatjuk (lsd. kés®bb).
A nagyenergiájú zika elemei: renormálási csoport egyenletek és alkalmazásaik, futó csatolási állandó, mélyen rugalmatlan szórás, jet zika. 16.1
Renormálási csoport
Miután a regularizációt és a renormálást elvégezzük, a kiszámolt Green-függvények renormálási skála függ®ek lettek, dimenziós regularizáció esetén ez µ függést jelent. Azonban ezek nem befolyásolhatják a zikai mennyiségeinket. Tehát azt akarjuk hogy a Lagrange-függvényb®l kiszámolt renormált Green-függvényekb®l adódó S mátrix azonos legyen bármely regularizáció esetén végtelen rendben (adott rendig menve meg csak az legfeljebb utolsó rend tartalmazzon skála függést), azaz 0 S(p, gR , m0R , µ0 ) = S(p, gR , mR , µ) (16.1) ahol a vessz® arra utal, hogy másfajta séma alapján lettek végesítve. A különböz® sémák közti transzformációk csoportot alkotnak és ezt nevezzük renormálási csoportnak (nem-Ábeli mértékelméletek esetén sokszor nem létezik inverz, így csak félcsoportot alkotnak).
16.1.1 Dimenziós regularizáció renom csoport egyenletei Vegyük a dimenziós regularizációt, ekkor d4 k →dD k helyettesítéssel élünk, melynek során be kell vezetnünk egy µ energia dimenziójú renormálási skálát. A renormálási skálát úgy vezettük be, hogy kompenzálja az integrál dimenziójának változását, azaz 4−D
g → g0 µε0 = g0 µ0 2
(16.2)
ahol g0 már dimenziótlan. Ehhez hasonlóképpen a g R = Zg−1 g renormált csatolási állandóról is leválaszthatjuk az energia függést
gR
→ g0R µε = Zg−1 g → Zg−1 g0 µε0
átrendezés után
g0R
=
Zg−1
−1/2
µ0 µ
ε g0
(16.3) (16.4) (16.5)
továbbá felhasználva, hogy a tömeg mR = Zm m is renormálódik. Ezen dimenziótlanított mennyiségek kifejezhet®ek a renormálási állandók segítségével, ezek µ-függésére kapunk két dierenciál egyenletet, melyeket t'Hooft renormálási csoport egyenleteknek nevezünk: ε dZ (µ) µ dgµ dg0R dg0R d µ0 −1 β := ≡µ =µ Zg (µ) g0 = −εg0R − (16.6a) d ln µ dµ dµ µ Zg (µ) dmR dmR d −1/2 µ dZm (µ) − mR γm := ≡µ =µ Zm (µ)m = −mR (16.6b) d ln µ dµ dµ 2Zm dµ 71
16. tétel
72
ahol felhasználtam, hogy ddgµ0 = 0 = ddm µ , hiszen ezek a csupasz mennyiségek renormálási skála függetlenek. Minimális csatolás és módosított minimális csatolás esetén ezek γ(g R ) és β(g R ) tömegfüggetlenek, tehát a t'Hooft egyenletek szétcsatolódnak.
16.1.2 Renormált n-pont-függvények és a t'Hooft-Weinberg egyenlet Felhasználva hogy a csupasz n-pont-függvények se függhetnek a renormálási skálától, megkapjuk a t'Hooft-Weinberg egyenlet egyenletet. Tehát induljunk ki abból, hogy n/2
ΓR n (p, gR , mR , µ) = Z3 −1/2
mivel minden hullámfüggvény Z3 csupasz függvény skála független d Γn (p, g, m) dµ
= = +
(16.7)
Γn (p, g, m)
-del renormálodik. Átrendezés után és és kihasználva hogy a
0 −n/2 dZ3 ∂ ∂g R d −n/2 R ∂ −n/2 Z3 Γn (p, gR , mR , µ) = + Z3 + R + dµ dµ ∂µ ∂g ∂µ g,m ∂ ∂mR R (16.8) Γ (p, g , m , µ) R R n R ∂m ∂µ g,m n/2
megszorozva az egyenletet µZ3 -vel és felismerve a t'Hooft egyenleteknél bevezetett mennyiségeket ∂ ∂ ∂ R µ (16.9) + β R − γm mR − nγ Γ (p, g , m , µ) R R n R ∂µ ∂g ∂m g,m µ ∂Z3 ahol γ = 2Z . ∂µ 3 g,m
16.1.3 Futó csatolási állandó és a t'Hooft-Weinberg egyenlet megoldása A (16.9) t'Hooft-Weinberg egyenletek megoldásából a következ® impulzus függés olvasható le t ΓR n (e p, g, µ, m
= 0) =
ΓR n (p, g(t), µ, m
(4−n)t−n
= 0)e
Rt
dt0 γ(t)
0
(16.10)
Rt m = 0 megtehet® nagy energiákon, és g(t), valamint n dt0 γ(t) adja a divergencia mentes elméletek0
t®l való eltérést. β viselkedését®l függ®en lehet egy elmélet aszimptotikusan szabad, vagy nem nézzük meg két megoldást (renormálási konstansokból következik a különbség (ahol látható, hogy β0 1 el®jele szabja meg a viselkedés milyenségét)): ∞: t→∞ β QED = (16.11) 0 : t → −∞ 0: t→∞ β QCD = (16.12) ∞ : t → −∞ látható, hogy a QED kis impulzusok esetén szabaddá válik, míg nagyokra
g 2 (t) =
g2 1 − 2β0 g 2 t
(16.13)
a csatolási állandó a kialakuló Landau-pólus miatt elszáll, így nem lehet perturbatíve kezelni. A QCD viszont nagy impulzusokra szabaddá válik (aszimptotikus szabadság)
g 2 (t) =
g2 1 + 2β0 g 2 t
szabaddá válik, ami egyhurok szinten. 1 onnan
határozhatjuk meg hogy megnézzük a β függvény skálázását: β(t) = −β0 g3 (t) + . . .
(16.14)
16. tétel
16.2
73
Nagyenergiás zika, mélyen rugalmatlan ütközés
A nagyenergiás zika a mélyen rugalmatlan ütközéseket (DIS) tárgyalja, melyeket a pQCD, jetek, parton- vagy fragmentnációs-modellekkel ír le. Ebben a fejezetben a jetek és partonmodell alapjait mutatom be. El®ször nézzük meg egy rugalmatlan ütközés leírását és vizsgáljuk meg, hogy szimmetria- és Lorentz-invarianciából miket tudunk elmondani a hatáskeresztmetszetének az impulzus függésér®l. Ezt a függést rákényszerítve a számolásra bevezethetjük az úgynevezett H1 , H2 struktúra függvényeket. Határozzuk meg az ábrán látható lepton-Nukleon mélyen rugalmatlan szórás hatáskeresztmetszetét
g. 16.9: l − N mélyen rugalmatlan szórásának Feynman-gráfja ami egy inkluzíve folyamat, hiszen a végén csak a leptont fogjuk detektálni. Tehát a következ® három változó segítségével kijelölhetjük a szórás zikai tartományát
s = (p + k)2 ' M 2 + 2M E lepton 0 2
2
q = (k − k ) ' −4E 2
2
lepton
E
2
0lepton
Minv. = (p + q) ' M + 2M (E
(16.15a)
→ s ≥ M2 2
→q ≤0
cos Θ/2
lepton
−E
0lepton
(16.15b)
2
)+q
2
2
→ Minv. ≥ M
2
(16.15c)
a nukleon invariáns tömegnégyzete helyett szokás a
ξ=
−q 2 , 2pq
0≤ξ≤1
(16.16)
Björken-x-et használni, ennek majd kés®bb fogjuk látni a fontosságát. Áram×áram eektív Lagrange-függvénnyel dolgozva az invariáns amplitúdó a következ® Z M = hf | d4 xLkh. |ii = hX| ⊗ hl0 | J µ Jµ |li ⊗ |N i ' hl0 | J lepton Jlepton |li · hX| J hadron Jhadron |N i ahol
(16.17)
J = J hadron + J lepton
(16.18)
Tehát az inkluzíve dierenciális szórási hatáskeresztmetszet
1 dσ 1X 1 = |M |2 δ(px + k 0 − k − p) ∼ 2 Lµ Hµ 3 0 k0 d k 2 s q
(16.19)
ahol az 1q faktor az árammegmaradás következménye. A Lorentz-invarianciát és az áramalgebrát kihasználva arra jutunk
1 dσ α2 4(pk)(pk 0 ) 2 2 H (q ) + H (q ) = 1 2 k0 d3 k 0 q2 −M 2 q 2
(16.20)
16. tétel
74
alakra hozható, ahol Hi -k struktúra függvények és csak a q 2 skalártól függhetnek, melyek nagy q 2 -re (úgy hogy közben ξ állandó) a következ® értékre állnak be
H1 (q 2 ) M H2 (q 2 ) pq
= ξe2 δ(1 − ξ) =
2M e2 δ(1 − ξ)
(16.21) (16.22)
tehát nagy energián a Björken-x-el skáláznak (itt pusztán kísérleti adatok alapján elhisszük ezt a függést, de a fénykúp kifejtéssel meg is mutatható).
16.2.1 Parton modell Feynman azt az észrevételt tette, hogy a hadron mátrixelem skálafüggvénye olyan, mintha pontszer¶ részecskéken való szórást vizsgálnánk. Tehát tegyük fel, hogy a nukleon nem elemi részecske és 1/2 spin¶ pontszer¶ részecskék alkotják melyek tömege ξi M = mi . Egyetlen pontszer¶ szórócentrumból adódó struktúra függvények
H1 (q 2 ) = ξe2 δ(1 − ξ) m H2 (q 2 ) = 2me2 δ(1 − ξ) pq
(16.23) (16.24)
azonban ha feltételezzük, hogy a mag pontszer¶ partonokból áll akkor ezek koherens összegével írhatjuk fel a szórási struktúra függvényeket. Legyen minden parton impulzusa pi = ξi p és a nukleonban forduljanak el® Pi dξi valószín¶séggel, ekkor a struktúra függvények X H1 (q 2 ) = e2 ξi P (ξi ) (16.25) i
m H2 (q 2 ) pq
=
2e
2
X
mi P (ξi )
(16.26)
ahol P i (ξ) az úgynevezett parton eloszlás függvény (PDF), mely meghatározható és az ábrán látható értékeket vesz fel, a lényeg h kis ξ -re a gluonok dominálnak, majd utána az u és d kvarkok.
g. 16.10: PDF-ek (x-tengelyen a ξ Björken-skála és az y-tengelyen a Pi dξi látható) Ekkor egy összetett folyamatot a következ® képpen írhatunk le Z dσ(p+ p+ → π) X 1 dσ(i + j → k + l) = dξ1 dξ2 Pi,p+ Pj,p+ (Dk,π + Dl,π ) d3 p d3 p 0 i,j
(16.27)
16. tétel
75
ahol Pi,p+ annak a valószín¶sége hogy egy protonban található i parton és Dk,π annak a valószín¶sége, hogy k partonból pion alakul ki. A parton szórási hatáskeresztmetszetet a pQCD-b®l számolhatjuk.
16.2.2 Jetek zikája Mivel q és g nem tudunk szabad állapotukban mérni, így a folyamatok leírására bevettük a parton-modellt melyben a folyamatok két lépésben játszódnak le. Els® lépés egy kemény (nagy impulzusátadás) folyamat, mely során q, q, g -kat tartalmazó végállapotot kapunk. Majd második lépésben a q -ok szoft folyamaton keresztül hadronokká alakulnak, pl ez Feynman-ötlete alapján végbemehet úgy hogy a kvark folyamatosan mezont sugároz és így veszti el a teljes energiáját.
Els® lépcs®: kemény folyamat Tehát els® lépésben q, q, g részecskék keletkeznek. Alacsony rendben (αs0 ) egy q − q pár keletkezik, melyek az ütközés középpontját szimmetrikus hagyják el, ekkor úgynevezett két jet állapotot kapunk. Magasabb rendben akár több jet is kialakulhat, például αs1 rendben még egy gluon is kiszökhet és ha a gluon iránya lényegesen eltér a kvarkokétól akkor már három jet-es folyamatot gyelhetünk meg. Ahhoz hogy eldönthessük, hogy mit nevezünk elég nagy eltérésnek a következ® jellemz® mennyiségeket szokás bevezetni
S T
P f 2 3 i (ptrans ) min P := f 2 2 ~n i |pi | P f |p ~n| := max Pi if 2 ~ n i |pi |
(16.28) (16.29)
ahol i a végállapot részecskéi (hadron,parton). A teljesen gömbszimmetrikus határesetben S = 1 és T = 1/2 és két jet esetén S = 0 és T = 1. Ezek segítésével kísérletileg jól de niálhatóan elkülöníthet® a 2 és 3 jetes végállapot. Fontos megjegyezni, hogy 3 jet mérésekb®l αs jobban mérhet®, hiszen a hatáskeresztmetszetben lineárisan szerepel Z dΩ3 dE3 (16.30) σ3 := σ − σ2 = αs E3 (1 − cos Θ1,3 )(1 − cos Θ2,3 ) míg a többi esetben legalább másodfokú kifejezésben.
A gyenge kölcsönhatások osztályozása, megmaradó kvantumszámok és kiválasztási szabályok, a β -bomlás elmélete, V-A csatolás 17.1
A gyenge kölcsönhatás osztályozása
Minden olyan folyamatot melyben ν szerepel vagy a kezdeti kvarkok íze megváltozik, az gyenge kölcsönhatás révén következhet be. A standard modell szerint azt a kölcsönhatást a W ± , Z 0 bozonok közvetítik, azonban általában találhatunk egy eektív elméletet melyb®l az adott energia tartományra ezek kiküszöbölésével is dolgozhatunk. A gyenge kölcsönhatás csatolási er®ssége kb 10−5 -szer gyengébb az elektromágneses folyamatoknál. A gyenge kölcsönhatást osztályozhatjuk a benne résztvev® részecskék szempontjából ezen csoportosítás szerint kett® csoportot különböztethetünk meg:
• nem leptonos folyamatok: olyan szórások, bomlások melyek során vagy a kezdeti vagy a végállapotban leptonok fordulnak el®, folyamat például a β -bomlás n0 → p+ + e− + ν e
(17.1)
• szemileptonos folyamatok: melyben csak hadronok (mezonok, barionok) vesznek részt, például egy ilyen bomlás a K 0 → π+ π−
(17.2)
Továbbá osztályozhatóak a szerint is a gyenge folyamatok, hogy éppen milyen kvantumszámot nem ®riznek meg, ezek alapján lehet,
• ritkaság váltó: A kezdeti állapot összritkasága a kiválasztási szabályokat betartva ∆S = 1 változik • ritkaság ®rz®: A kezdeti állapot összritkasága a kölcsönhatás során megmarad • bájosság váltó: A kezdeti állapot összbájossága a kiválasztási szabályokat betartva ∆C = 1 változik • bájosság ®rz®: A kezdeti állapot összbájosság a kölcsönhatás során megmarad Persze a nem diszjunkt halmazok keverhet®ek, így elképzelhet® például egy ritkaság ®rz® bájosság tartó szemileptonos folyamat. 77
17. tétel
17.2
78
Megmaradó kvantumszámok
A megmaradó kvantumszámok és a kiválasztás szabályok a kísérleti eredmények kiértékelése során szerzett tapasztalatokból alkották meg, így a kés®bbi modelleknek ezeket vissza kell adniuk. Az olyan folyamatok, melyek nem sértik ezeket a megmaradási törvényeket, vagy kiválasztási szabályokat, azokról elhisszük hogy végbe mehetnek.
17.2.1 Ténylegesen megmaradó mennyiségek Egyes mennyiségeknek szigorúan meg kell maradnia, mert különben az egész zikai képünk elromlana valamint nem gyelték meg a sérülésüket, ezeket összesítem ebben a fejezetben.
Geometriai eredet¶ mennyiségek megmaradása Ide sorolhatjuk azokat a mennyiségeket, melyek a tér homogenitásából és izotrópiájából (Poincaréinvariancia) adódóan megmaradnak (Noether-tétel).
• energia, impulzus megmaradás, melyek a négyes térid® eltolás szembeni invariancia következményei • impulzusnyomaték, mely a forgásszimmetria következménye • elektromos töltés, barionszám megmaradás a globális fázis szabadság következményei
CPT-invariancia A CPT-tétel szerint egy relativisztikusan invariáns, lokális kvantumtérelméletnek CPT-invariáns kell legyen. A CPT-transzformáció visz át anyagból antianyagba
ˆP ˆT ˆ |arészecske i |aanti i = C
(17.3)
ˆ részecske mátrixelemei megegyeznek az antirészecskéivel ennek következtében a H † ˆ |ai = hb| C ˆP ˆT ˆ H ˆ C ˆP ˆT ˆ |ai = hb| H ˆ |ai hb| H
(17.4)
tehát a stabil részecskék tömege megegyezik az antirészecskéjének a tömegével, valamint az instabil részecske bomlási ideje megegyezik az antirészecske bomlási idejével (ez 10−3 pontossággal ki is mérték).
Leptonszám megmaradás A gyenge kölcsönhatás külön-külön meg®rzi az egyes családok leptonszámait. Helicitás mérésekb®l tudják, hogy a leptonok és neutrínóik leptonszámai megegyeznek (mivel nem gyeltek meg olyan folyamatot, melyben a leptonszám máshogy teljesült volna). Három leptoncsalád van; elektronikus, müonikus, taunikus, ezek a leptonszámok a következ®képpen vannak kiosztva: +1 : i− , νi −1 : i+ , ν i (17.5) li = 0 : ∀ másra ahol i ∈ {e, µ, τ } azonban a neutrínó oszcilláció miatt mégse teljesen maradnak meg ezek a kvantumszámok, de ha ∀mνi = 0-t feltételezünk akkor már teljesen megmaradna.
17.2.2 Kiválasztási szabályok Bizonyos kvantumszámok a gyenge kölcsönhatás során nem maradnak meg, de csak adott módon változnak, ezeket rögzíthetjük a kiválasztási szabályokban.
17. tétel
79
A ∆Q = ∆S szemileptonos folyamatok A kezdeti hadronok és a végtermék hadronja között fenn kell állni annak hogy az össztöltés és az összritkaság azonos mértékben változott. Ezek alapján vizsgáljuk meg a következ® két példafolyamatot √ : K 0 → π − l+ νe (17.6)
×:
K 0 → π + l+ ν e
(17.7)
az els® folyamatban ∆S = Sπ− − SK 0 = (0 − 1) = −1 és ∆Q = Sπ− − SK 0 = (−1 − 0) = −1, míg ez nem teljesül a második folyamatban. Kísérletileg a két folyamat közt er®s elnyomást gyeltek meg (a megengedett kb 25-ször kedvez®bbnek bizonyult).
A ∆S = 0, ±1 szemileptonos és nem-leptonos folyamatok Azon folyamatok dominálnak ahol a hadronok ∆S = ±1, 0 ritkaság váltáson mennek át, kísérletileg itt er®sebb elnyomást gyeltek meg
Γ(Ξ− → nπ − ) ' 0.001 Γ(Ξ− → Λ0 π − )
(17.8)
A ∆I = 1/2 szemileptonos és nem-leptonos folyamatok Eszerint ha egy bomlás során az izospin ∆I = 1/2 megváltozása végbe mehet, akkor ez fog dominálni, itt is az el®z®höz hasonló arányt vettek észre
Γ(K + → π + π 0 ) ' 0.001 Γ(K + → π + π − )
(17.9)
A K az I = 1/2-es ábrázolásba tartozik, míg a π -on az I = 1-esbe. A kétpionos végállapot 1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2 lehet, ahol a 0, 2 ábrázolás szimmetrikus, míg az 1-es antiszimmetrikus. A Paulielv miatt a végállapotnak teljesen szimmetrikusnak kell lennie (mivel a két pion spinje egyenként feles, de együtt már egész). Az els® folyamat az Iz = 1 miatt tehát biztosan a 2-ben van. A másik esetben Iz = 0 ami a 0 és 2 ábrázolásban is lehet. A lényeg hogy a második ábrázolásban van arra mód, hogy ∆I = 1/2 legyen, így ® fog dominálni.
17.3
V-A elmélet és a β -bomlás
A QED analógiája alapján Fermi egy
GF LFermi = √ (p(x)γµ n(x)e(x)γ µ νe (x) + h.c.) 2 ahol
Z e(x) =
d3 p 1 (2π)3 2p0
X
eipx vσ (p)b†σ (p) + e−ipx uσ (p)aσ (p)
(17.10)
(17.11)
σ=±1/2
4 fermionos csatolást javasolt a β -bomlás leírására, azonban ebben a csatolási állandó a tömeg dimenziójának negatív hatványával skálázott, így biztosan nem renormálható elméletet alkotott, tehát ennek elkerülése érdekében új elméleteket gyártottak. Azonban ez a Lagrange-függvény jó volt arra hogy meghatározzák az átrendezett β -bomlás hatáskeresztmetszetét, és a kísérleti értékkel egyezett. Gamow ennek egy általánosítását javasolt, úgy hogy a β -bomlás és azok átrendezettjein túl más szemileptonikus folyamatokat is leírhassanak. Megtartotta az áramhadron ×áramlepton alakot azonban tovább általánosította, úgy hogy felírt minden olyan Lagrange-függvényt ami áram×áram alakú és tudja a Lorentz invarianciát: 5 GF X LGamow = √ (gi p(x)Mi n(x) × e(x)Mj νe (x) + fi p(x)Mi n(x) × e(x)Mj γ5 νe (x) + h.c.) 2 i=1 (17.12)
17. tétel
80
ahol Mi ∈ {I-skalár, γ ν -vektor, σµ,ν -tenzor, γ µ γ 5 -axiálvektor, γ 5 -pszeudoskalár}-okból olyan {i, j} kombinációkat választunk hogy a Lagrange-függvény már skalár legyen, gi és fi tetsz®leges együttható függvények1 . A Gamow-által felírt Lagrange-függvény nem tudja a paritás sértést, mert senki se hitt benne, azonban kis módosítást után már felírható a V-A Lagrange-függvénye GF gA γ5 n(x) × e(x)γ µ (1 + γ5 ) νe (x) + h.c. LV-A = − √ p(x)γ µ 1 + (17.13) gV 2 ahol ggVA ' 1.255 kísérleti értéke, tehát eltér 1-t®l, így a hadron rész áram és axiál áram aránya eltér a leptonos részét®l. A V-A elnevezés arra utal, hogy ggVA -t negatív el®jellel várták, szóval ma már lehetne V+A elmélet is akár. Gyenge kölcsönhatás univerzalitása abban mutatkozik meg hogy a V-A elméletben szerepl® e és hozzá tartozó ν bármilyen lepton-ν párra lecserélhet®.
17.3.1
β -bomlás
A lepton áram rész már ovi óta jól tudjuk
Jµlepton = he− , ν e | Hk.h |0i = e(x)γµ (1 + γ5 )νe (x)
(17.14)
A hadron részhez ismernünk kéne a hadronok (n = (ddu) és p = (duu)) kvarktartalmát, azonban ezt a nemismerésünket az fi és gi függvényekbe rejthetjük, a Lorentz-invariancia megfontolásoknak eleget téve és felhasználva, hogy kis impulzusátadás történik a hadronrész csak a következ® tagot tartalmazza (itt csalás történt, elhagytuk a f2 , g2 , f3 , g3 tényez®ket tartalmazó tagokat, ezt még igazolnunk kell hogy megtehet® volt)2 gA Jµhadron = gv p(x)γµ 1 + γ5 n(x) (17.15) gV melyb®l az invariáns amplitúdó
G gA G γ5 )n(x) × e(x)γ µ (1 + γ5 )νe (17.16) M = √ cos Θc Jµhadron × J lepton,µ = √ cos Θc p(x)γµ (1 + g 2 2 V melyb®l a bomlási ráta dΓ =
|M |2 dΩ 2Mn0
(17.17)
mivel a neutrínókat nem detektáljuk, így azokra ki kell integrálnunk és a következ® Fermi-spektrumot kapjuk: A spektrum farkának az elemzéséb®l 2 becslést kaphatunk a neutrínó tömegére. Az e és νe szögének szögkorrelációs méréséb®l ggVA mérhet®. Ha polarizációs mérést végzünk el, azaz n0 spinjét beállítjuk valamilyen irányba és úgy vizsgáljuk a bomlást akkor ggVA is mérhet®.
1 az id®tükrözés megköveteléséb®l következik, hogy g , f ∈ R és a tértükrözés megköveteléséb®l hogy f = 0 de a i i i paritás sértés óta tudjuk hogy a második feltétel nem kell hogy teljesüljön 2 Ezt úgy tehetjük meg hogy f, g értékeire megmutatjuk, hogy q függetlenek és mikor M -b®l vektorokat (mert a i lepton rész valami miatt csak vektor lehet) képezünk akkor azt a q impulzusátadás bevezetésével tesszük és az a q kicsi (persze miért q nem p... kicsit Pallás kézlenget®s magyarázkodás volt)
17. tétel
81
g. 17.11: Fermi-spektrum: dΓ(dEe )
Az áramalgebra elemei: megmaradó vektoráram, PCAC, Cabibbo elmélet, GIM mechanizmus. 18.1
A megmaradó isovektoráram (CVC)
A CVC mögött az izospin szimmetria húzódik, az u, d ez u q= d
(18.1)
isodubletet alkotnak, ekkor a tömörebb írás kedvéért érdemes bevezetni a Pauli mátrixokat (hiszen ®k a doublet ábrázolás generátorai) 0 1 0 −i 1 0 σx = σy = σz = (18.2) 1 0 i 0 0 −1 (18.3) a léptet® operátorok pedig
1 1 σ + = √ (σx + iσy ) = √ 2 2
0 0
1 0
1 1 σ − = √ (σx − iσy ) = √ 2 2
0 1
0 0
(18.4)
ezek segítéségével kifejezhetjük az áramokban el®forduló kvark kombinációkat
u(x)γµ d(x)
= q(x)γµ σ + q(x)
(18.5)
d(x)γµ u(x)
= q(x)γµ σ q(x)
(18.6)
u(x)γµ u(x) − d(x)γµ d(x)
= q(x)γµ σz q(x)
(18.7)
−
Továbbá az hadronok elektromágneses kölcsönhatásának isovektor része 2 1 1 1 EM,µ µ µ µ µ eAµ J = eAµ (x) u(x)γ u(x) − d(x)γ d(x) = aAµ (x) q(x)γ σz q(x) + q(x)γ q(x) 3 3 2 6 ahol az els® tag az SU(2)-re (iso)vektor harmadik komponenseként, míg a második tag skalárként transzformálódik. Ebben a közelítésben csak az u,d kvarkok hordoznak isospint, a többi kvark skalárként transzformálódik.
18.1.1 A CVC tétel A QCD Lagrange-függvénye
X 1 LQCD = − Tr(Fµ,ν F µ,ν ) + q i (iγµ Dµ − mi ) qi 2 i
(18.8)
melynek, attól függ®en hogy hány kvark tömege egyezik meg más és más szimmetriája van. Jelen esetben az u, d kvarkok tartoznak egy izodoubletbe, így az ® tömegük azonos, ekkor a szimmetriát 83
18. tétel
84
generáló mátrixok felépíthet®ek a Pauli-mátrixokból, hiszen háromfajta szimmetria lehetséges u → d, vagy d → u vagy helyben hagy, ezeket a következ® unitér trafóval írhatjuk le a
U q = eiεa σ q ' (1 + iωa σ a )q
a ∈ {±, z}
(18.9)
több kvark tömeg megegyezése esetén magasabb szimmetriákat gyelhetünk meg (2-3 kvarktömeg még kb megegyezik, de tovább terjesztve az egy ábrázolásba tartozó kvarkokat már nagyon romlik a szimmetria). Ekkor a Noether-tétel értelmében a szimmetriához megmaradó áramok tartoznak, mely jelen esetben
Ji±,z = −i
∂L σ ±,z qj = −i(qi iγµ )ti j ±,z qj = qi γµ t±,z i,j qj ∂(∂µ qi ) i,j
(18.10)
ez a három isovektor áram.
18.1.2 CVC következményei A
vektoráram mátrixelemei transzverzálisak, azaz hf | u(x)γµ d(x) |ii
transzláció inv. i(pf −pi )x
=
e
hf | u(0)γµ d(0) |ii
(18.11)
véve mindkét oldal deriváltját
hf | ∂ µ (u(x)γµ d(x)) |ii = ei(pf −pi )x i(pf − pi )µ hf | u(0)γµ d(0) |ii
(18.12)
ahol a baloldal a megmaradás miatt nulla, így tehát a jobboldalra is fennáll
0 = iq µ Vµ = i(pf − pi )µ hf | u(0)γµ d(0) |ii
(18.13)
Ennek segítségével a β -bomlás fi konstansaiból kisz¶rhetünk egyet, ugyanis a hadron áram rész qβ qµ µ µ 0 = q Vµ = q · p(x) γµ f1 + f2 σµ,β + f3 n(x) (18.14) 2M 2M az els® tag a Dirac-mozgásegyenletek miatt automatikusan nulla, valamint a második tag is elt¶nik, mert σ antiszimmetrikus az indexekben, míg a q µ q β szimmetrikus. Csak az utolsó tag maradna meg, azonban a CVC miatt ennek nullának kéne lennie, tehát f3 = 0. A Wigner-Echart tétel értelmében meghatározhatók az átmenet mátrixelemeinek ClebschGordon-együtthatói: Z p hI, Iz + 1| d3 xuγ0 d |I, Iz i = I(I + 1) − Iz (Iz + 1) hI, I3 + 1|I, I3 + 1i (18.15) ahol Iz mindig a kisebb vetület. Ezt az egyenl®séget minden folyamatra felírhatjuk (értelemszer¶ általánosítással).
18.2
A részlegesen megmaradó axiáláram (PCAC)
A CVC-nél csak az árammegmaradást láttuk be, mivel az axiál áram nem marad meg, azonban valamit mégis mondhatunk róla
18.2.1 A QCD globális szimmetriái A királis szimmetriáknál láttuk, hogyha minden (adott ábrázolásba tartozók) kvarktömeg nulla akkor kétfajta szimmetriatranszformációja van a QCD Lagrange-függvényének:
δqi
= iεaV (τa )i,j gj
(18.16)
δqi
= iεaA (τa )i,j γ5 gj
(18.17)
ahol εA/V az axiál-, illetve vektor-áram invariancia transzformációihoz tartozó kis paraméterek és a ∈ {1, . . . F 2 − 1}, ahol F az azonos tömeggel rendelkez® kvarkok száma (u, d, . . . ) és i, j ∈
18. tétel
85
{1, . . . F }. Ezekhez tartozó Noether-áramok JµV,a JµA,a
= q i γµ (τ a )i,j qj a
= q i γµ γ5 (τ )i,j qj
(18.18) (18.19)
Nulla kvarktömegek esetén mindkét áram megmarad, azonos (de nem nulla) kvarktömegek esetén csak a vektoráram marad meg, azonban tudjuk hogy mit ad a divergenciájuk X ∂µ JµV,a = q i (mi − mj )(τ a )i,j qj (18.20) i,j
∂µ JµA,a
=
X
q i (mi + mj )γ5 (τ a )i,j qj
(18.21)
i,j
A hadron világ azonos tömegek (mu , md , ms ) esetén az SUL (3)×SUR (3) szimmetriát sérti le spontán SU(3)-ra, mely 8db Goldston-módust eredményez, ezeket azonosíthatjuk a 8 pszeudoskalár mezon oktettel, melyek tömege explicit sértésb®l (Higgs-mechanizmus) származik, mivel az s-nek sokkal nagyobb a tömege mint az u, d kvarkoknak így a szimmetria sért® hamilton operátort tovább bonthatjuk H = H0 + λH 0 = H0 + λH1 + λH2 (18.22) ahol H0 nem sérti az SUL (3)×SUR (3) szimmetriát,
λH1 = mu uu + md dd
(18.23)
nem sérti az SUL (2)×SUR (2) szimmetriát, míg
λH2 = ms ss
(18.24)
mindkét szimmetriát sérti, ezek alapján arra következtethetünk, hogy a π tömege csak az u, d kvarktól függ.
18.2.2 PCAC tétel A pion bomlásának leírására a V-A elmélet alapján a következ®t tehetjük
Jµhadron = h0| áram |πi + h0| axiáláram |πi
(18.25)
a folyamat vektor része nulla, mivel a pion egy pszeudoskalár részecske, a mátrixelem csak pπ -t®l függhet, melyb®l skalárt vagy 4-es vektort tudunk csak képezni, de pszeudoskalárt nem. Tehát csak az axiál rész lehet nem nulla, erre is el® kell írni hogy 4-es vektorként transzformálódjon, tehát egy axiáláramra van szükségünk
Jµhadron = h0| JµA |πi := fπ (p2π )(pπ )µ
(18.26)
a tömeghéj feltétel miatt fπ (p2π ) = fπ (konstans)=konstans. Véve mindkét oldal divergenciáját
h0| ∂ µ JµA |πi = fπ (p2π )(pπ )µ (pπ )µ = fπ (p2π )m2π
(18.27)
Azonban a jobb oldal "megfelel®" normálás választás esetén a következ®képpen is írható
fπ (p2π )m2π = h0| π(p) |π(p)i
(18.28)
ezt a két összefüggést absztrahálhatjuk egy operátor egyenletté (nagyon vad dolog, és kísérletekkel ellen®rizni kell) ∂µ Aa,µ = fπ m2π π a (18.29) kísérleti mérések 10% pontossággal igazolták a tételt.
18. tétel
18.3
86
GIM mechanizmus
A ritkaság váltó nem leptonos bomlásokra az áram×áram elmélet eektív elméletre a √ L∆S=1 = 2G sin Θ cos Θ · uL (x)γ µ dL (x) × sL (x)γµ uL (x) (18.30) eektív Lagrange-függvényt, mely az s → d átmenetet túl (107 -szer nagyobb) nagy csatolással írja le. Azonban új kvark bevezetésével kiküszöbölhet® ez a probléma: Az u, d és s kvarkon kívül legyen egy c kvark, melynek töltése 2/3 és feles spin¶. Ekkor a hadron áram a következ®képpen egészíthet® ki (18.31) Jµhadron = uγµ (1 + γ5 )d0 + cγµ (1 + γ5 )s0 = uL γµ d0L + cL γµ s0L ahol
d0 cos Θc sin Θc d = s0 − sin Θc cos Θc s így az s → d átmenetre a következ®t hatáskeresztmetszetet kapjuk
(18.32)
G2F 2 2 G2F 2 2 2 (m − m ) sin Θ cos Θ ' m sin Θ cos2 Θ c u 16π 2 16π 2 c melyb®l illeszthetjük az új kvark tömegét (mc ' 1.5Gev) σ∼
(18.33)
18.3.1 J/ψ, avagy a c kvark kísérleti felfedezése Csaknem egyszerre 1974-ben fedezték fel Ting vezetésével Brookhavenben és Richter vezetésével Stanforban (SLAC), hogy e− − p+ , illetve e− − e+ ütközésékkor 3095 MeV energiánál a keletkez® hadronok száma ugrásszer¶en megn®. Az így talált részecskét J , illetve ψ -nek nevezték, amit kés®bb egy Salamoni döntéssel J/ψ -nek kereszteltek át. A J/ψ részecske bomlási rátája meglehet®sen kicsinek bizonyult (ΓJ/ψ = 6.3keV). Ez az érték úgy volt magyarázható, hogy a J/ψ részecske nem egy részecske, hanem a cc mezon (tömege alapján azonosíthatták a GIM mechanizmusban bevezetett részecskével), más néven charmonium, 3 ), hiszen ekkor ugyanis a cc →hadron bomlás csak három gluon cserével írható le (ΓJ/ψ ∼ αQCD ha a
• cc annihiláció után hadronná alakulna akkor a folyamat során color triplet gluon szinglet hadronokká alakulna. • ha két gluon jönne ki az annihiláció során, akkor a paritás sérülne, hiszen a két gluon paritása 1, míg a cc-é pedig -1.
18.3.2 c kvark létezésének egyértelm¶ kísérleti bizonyítéka A J/ψ kísérletek a GIM-mechanizmustól függetlenül folytak, de a két elmélet összeillesztése nagyon szép lett volna így megindult a kísérletezés abba az irányba hogy kimutassák a c-kvark létezését. Neutrínó befogásos kísérlet után (18.34)
νµ + d → c + µ−
a µ detektálásával megbizonyosodtak a c létezésér®l. Ez a folyamat sin2 Θ-val el van nyomva ugyan, azonban d céltárgyat egyszer¶bb preparálni, mind s-t.
18.3.3 Charmed részecskék bomlása Ezek bomlását a GIM-mechanizmus és az áram×áram elméletb®l adódóan a következ® képpen írhatjuk fel L = cL γµ s0L (Jlepton + Jhadron ) (18.35) ahol
Jlepton Jhadron
= =
(18.36)
ν e γµ e + ν µ γµ µ 0
0
uγµ (1 + γ5 )d + cγµ (1 + γ5 )s
(18.37)
Ha itt is meghatározzuk az egyes átmeneteket akkor azt láthatjuk, hogy a ∆C = ∆S van kitüntetve, tehát ha változik a c-szám akkor az a s-változásának a mértékével szeret változni.
18. tétel
18.4
87
Cabbibo-elmélet
Az energia növelésével az e-on túl további leptonokat és hozzájuk tartozó neutrínókat gyeltek meg, ezeket f®leg a leptonok bomlásából azonosíthatták, például és
µ → νµ e− ν e
τ → ντ µ− ν µ
(18.38)
Továbbá a kvarkok is növekv® számot mutattak. A hadronok gyenge bomlását, a kvarkok bomlásaival, próbálták magyarázni (a mag β -bomlásával analóg módon, ott is vissza vezették a nukleonok bomlásaira), azonban pusztán a β -bomlások tanulmányozásával nem lehetett leírni a ritkaság váltó folyamatokat. Így feltették hogy az azonos töltés¶ kvarkok egy családba tartoznak (Q = 2/3 : u, c, t) és (Q = −1/3 : d, s, b) ezek határozott tömeg¶ részecskék kevert állapotai vesznek részt a gyenge kölcsönhatások során, tehát a hadron áram a következ®képpen írható
ˆq = Jµ = qγµ (1 + γ5 )K
N X
ˆ i,j β j αiL γµ K L
(18.39)
i,j
ahol α a 2/3-töltés¶ kvarkok és β az −1/3-töltés¶ek, N a folyamatban résztevet® családok száma (energia függ®). Így magyarázhatóvá vált a
GF = 0.98 Gµ
(18.40)
azaz a GF hadronok-leptonok közti csatolás és Gµ leptonok közti csatolás 1-t®l való (univerzalitás) eltérése, hiszen így az arány cos Θ-val egyenl® (két család esetén). Valamint a ritkaság váltó folyamatokból sin Θ-s tudták mérni (két család esetén) és ez pont jónak adódott.
18.4.1 N család közelítés ˆ N×N-es unitér mátrix a SW-modellb®l már kijön, itt csak mint egy fenomenologikus Az el®bb felírt K kép vezettük be. Összesen 2·N2 valós paraméterrel jellemezhetjük, de az unitaritás miatt már csak N2 szabad paraméterünk van, tovább van egy globális fázis szabadságunk qk → eiδk qk (ez további 2N-1 paramétert old fel, mert hol az egyik hol a másik kvarkok forgatom és ugyanakkora szöggel nem lehet), ez tovább redukálja a szabad paramétereket így összesen f = 2N 2 − N 2 − (2N − 1) = (N − 1)2
(18.41)
szabad paraméterünk van. Ezeket a következ®képpen csoportosíthatjuk Cabbibo-szög (forgatás): Fázis szabadság:
1 N (N − 1) 2
(18.42)
1 1 (N − 1)2 − N (N − 1) = (N − 1)(N − 2) 2 2
(18.43)
Tehát két család esetén 1db forgatás, Cabbibo-szög van és 0db fázistrafó, míg N = 3 család esetén 3db forgatás és 1db fázistranszformáció van, tehát három család esetén cos Θ1 sin Θ1 0 1 0 0 1 0 0 sin Θ2 − sin Θ1 cos Θ1 0 0 cos Θ3 sin Θ3 qL Jµhadron = q L γµ 0 cos Θ2 0 − sin Θ2 cos Θ2 0 − sin Θ3 cos Θ3 0 0 eiδ ahol q = (u, c, t).
18.5
Áram×Áram elmélet
Az áram×áram elmélet szerint minden gyenge kölcsönhatás leírható a következ® Lagrangefüggvénnyel ×áram Láram := Ltöltött + Lsemleges + h.c. (18.44) W
18. tétel
88
melyben az elektromosan töltött folyamatokat a
GF GF Ltöltött = √ J †,µ Jµ = √ h†,µ + l†,µ (hµ + lµ ) 2 2
(18.45)
Lagrange-függvény jellemzi, ahol a hadron és lepton áram
hµ
=
uγµ (1 + γ5 )d0 + cγµ (1 + γ5 )s0 + tγµ (1 + γ5 )b0
(18.46)
lµ
=
eγµ (1 + γ5 )νe + µγµ (1 + γ5 )νµ + τ γµ (1 + γ5 )ντ
(18.47)
és az elektromosan semleges folyamatokat pedig a
GF Lsemleges = √ J 0,µ Jµ0 2 Lagrange-függvénnyel írhatjuk le, ahol X i i J0 = gL i(x)γµ (1 + γ5 )i(x) + gR i(x)γµ i(x)
(18.48)
(18.49)
i
i ∈ {∀ lepton, ∀ neutrínó, ∀ kvark}. Tehát a zárójelek felbontása után észrevehetjük a tisztán hadronos és a semileptonos folyamatok Lagrange-függvényét is Lsemileptonos Lhadronikus
GF = − √ (hµ lµ + h.c.) 2 GF µ = − √ (h hµ + h.c.) 2
(18.50) (18.51)
Az elektrogyenge elmélet alapjai: spontán szimmetriasértés, Goldstone bozonok, Higgs mechanizmus, a W és a Z tömege és csatolásai, lepton és kvarkmultiplettek. 19.1
Bevezet®
Áram×áram elmélet nagy energián, azaz mikor GF s ' 1 már nem adja jól vissza a 4-fermion kölcsönhatások (pl.: e− e+ → νe ν e , ν, e szórás) hatáskeresztmetszetét, mivel
G2F s (19.1) π jósol, ami azt jelentené, hogy a tömegközépponti energia növelésével a teljes hatáskeresztmetszet minden határon túl növelhet®. Továbbá a dimenziós csatolási állandó miatt nem tudjuk magasabb rend¶k korrekciók számolásával rendbe tenni a kapott eredményt. Azonban ha bevezetünk Z 0 , W ± közvetít® bozonokat, amik a pontszer¶ ütközést váltják fel azzal, hogy egy rövid id®re ®k jelennek meg, majd tovább bomlanak a végállapoti részecskékre, akkor már rendbe tehet® a hatáskeresztmetszet, mert σ=
σ=
G2F m4W s 2 π mW (m2W + s)
(19.2)
GF konstans értékre, míg adódik. Az így kapott hatáskeresztmetszet nagy s-re beáll a σ = m 2 W kis s-re vissza adja a korábbi eredményt. A SalamWeinbeg-modell bemutatásával adunk egy ilyen elméletet, továbbá a csatolási állandó is dimenziótlan lesz. Tehát egy renormálható elmélet megtalálása a cél, ami nagy és kis energiákon is jól leírja a gyenge kölcsönhatást, a modell tárgyalása el®tt néhány fogalom bevezetésére van szükségünk.
19.2
Spontán szimmetriasértés
Akkor beszélhetünk spontán szimmetriasértésr®l, ha az alapállapot nem rendelkezik a dinamika összes szimmetriájával. Egy tetsz®leges, renormálható rendszer teljes dinamikáját mindig leírható egy 2 1 L= ∂µ ϕi − V (ϕ) (19.3) 2 alakú Lagrange-függvénnyel, ahol ϕi az egyes önkölcsönható skalár függvények (vagy vektorterek esetén azok komponensei) és V (ϕ) a renormálhatóság miatt legfejlebb negyedfokú függvénye ϕnek. Legyen G szimmetria csoportja az el®bb említett Lagrange-függvénynek (dinamikának), mely 89
19. tétel
90
szimmetriatranszformáció alatt a tér egy N dimenziós vektorként transzformálódik (19.4)
ϕ0i = Ui,j (g ∈ G)ϕj melyet a τ a csoportgenerátorokkal a következ®képpen ábrázolhatunk
U (g) = eiε
a a
(19.5)
τ
ahol a ∈ {1, . . . , N 2 − 1 és i, j ∈ N . A generátorok Lie-algebrát követnek ([τ a , τ b ] = if a,b,c τ c ), tehát f a,b,c antiszimmetrikus struktúra állandóval megadhatjuk a csoportot. Ha V (ϕ) ≥ 0 pozitív de nit, akkor az Z 1 1 3 2 2 (19.6) E[ϕ] = d x (∂0 ϕi ) + (∇ϕi ) + V (ϕ) ≥ 0 2 2 energia funkcionál is korlátos, ekkor az alapállapot egy természetes választásának az olyan ϕ0 adódik, mely konstans és E[ϕ0 ] = 0, azaz (V (ϕ0 ) = 0). A Lagrange-függvény szimmetriájából következ®en V (ϕ00 ) = V (ϕ0 ) (19.7) tehát ha ϕ0 alapállapot volt akkor ϕ00 is az, jelöljük az alapállapotok halmazát (19.8)
M = {ϕi0 |V (ϕ0 ) = 0} Az alapállapot szimmetriái pedig, melyek invariánsan hagyják az alapállapotot
(19.9)
Hφ0 = {g ∈ G|gϕi0 = ϕi0 }
Spontán szimmetriasértés osztályozását a sérülés mértékét®l függ®en megtehetjük, eszerint három csoportba sorolhatjuk ®ket
• a G szimmetria csoport nem sérül, ha H = G • teljesen sérül, ha H = I • részlegesen sérül, ha H < G a Ezeknek megfelel®en indexeljük át a (τi,j ) G csoport generátorait: legyen a = 1, . . . , dim H a H csoport generátorai és a = dim H + 1, . . . , dim G a G/H coset generátorok. Ekkor a sértetlen és sértett szimmetriák generátoraira a következ® teljesül
hϕ0 cϕ0
= ϕ0 (h ∈ H) 6= ϕ0 (c ∈ G/H)
19.2.1 Pl.:
G = SU (2)
a j δϕi0 ' τi,j ϕ0 = 0
→ →
δϕi0
'
a j τi,j ϕ0
6= 0
a = 1, . . . , dim H
(19.10)
a = dim H + 1, . . . , dim G (19.11)
és ϕ doublet ábrázolásban
ϕ doublet ábrázolásban egy két komponens¶ komplex tér, azaz Ψ1 + iΨ2 ϕ= Ψ3 + iΨ4 ekkor egy általános SU (2) transzformáció a következ® c d g= −d∗ c
(19.12)
(19.13)
ahol az egységnyi determináns miatt |c|2 + |d|2 = 1. A g trafó alatt invariánsan maradó V (ϕ) 4 P potenciál csak ϕ† ϕ = |Ψi |2 tagokat tartalmazhat, tehát a legáltalánosabb renormálható és invariáns potenciál
i
V (ϕ) =
λ i,† i (ϕ ϕ − a2 )2 4
(19.14)
19. tétel
91
alakú. Melyb®l az alapállapot megtaláláshoz a
M = {ϕ0 |U (ϕ0 ) = 0} = {ϕ0 |
4 X
|Ψi |2 − a2 = 0}
(19.15)
i
egyenletet kell megoldani, melynek egy lehetséges megoldás a 0+i·0 0 ϕ0 = = a+i·0 a
(19.16)
a h meghatározásához a hϕ0 = ϕ0 egyenletet kell megoldani, mely az el®bb kiválasztott speciális állapotra is teljesülnie kell, tehát a szimmetria trafó megtalálásához a következ®t kell megoldani 0 0 h = (19.17) a a felhasználva, hogy h a (19.13) alakban kereshet®, teljes sértést kapunk, azaz h = I.
19.3
Goldstone-módusok
Ha egy relativisztikusan invariáns elmélet egy folytonos globális szimmetriája spontán sérül, akkor 0 tömeg¶ részecskék jelennek meg, ezeket a részecskéket Goldstone-bozonoknak nevezzük. Minden dim H, . . . , dim G-hez tartozik egy Goldsonte-módus (minden sértett generátorhoz egy). Induljunk ki abból hogy a g transzformációra a potenciál
V (ϕ0 ) ' V (ϕ) +
∂V (ϕ) ∂V (ϕ) a a ∆ϕ ' V (ϕ) + τ ϕ ∂ϕ ∂ϕ
(19.18)
ként transzformálódik, de g szimmetria volta miatt a megváltozásnak nullának kell lennie
∂V (ϕ) a τ ϕj = 0, ∂ϕi i,j
a = 1, . . . , dim G
(19.19)
véve mindkét oldal ∂ϕk dierenciálját
∂ 2 V (ϕ) a ∂V (ϕ) a τ ϕj + τ =0 ∂ϕi ∂ϕk i,j ∂ϕi i,k
(19.20)
vegyük most a ϕ = ϕ0 esetet, ekkor a második tag elt¶nik, hiszen a potenciálnak ϕ0 -ben van minimuma ∂ 2 V (ϕ) a j τi,j ϕ0 = 0 (19.21) ∂ϕi ∂ϕk ϕ=ϕ0
ahol a ϕ0 oszcillációk tömegmátrixa 2 Mi,j
∂ 2 V (ϕ) := ∂ϕi ∂ϕj ϕ=ϕ0
(19.22)
a j a szimmetria miatt τi,j ϕ0 = 0, ha a = 1, . . . , dim H , azonban a coset esetben látható az (19.21) ˆ -nek létezik nem triviális nulla sajátérték¶ sajátvektorai is, ezeket azonosíthatjuk egyenlet alapján, hogy M a Goldsonte-bozonokkal a j Φa := ϕi (x)τi,j ϕ0 (19.23)
19.3.1 Pl.:
G = SU (2)
és ϕ doublet ábrázolásban
Bármilyen g ∈ SU (2)/I elem választása esetén sérült a szimmetria, tehát az SU (2) minden generátorához tartozik, egy-egy Goldstone bozon. Az SU(2)-t a Pauli-mátrixok generálják, így nézzük meg a iσy -hez tartozó módust (nyilván bármilyen számmal megszorozhatóak) 0 1 0 Φy = ϕ(x) = a(Ψ1 + iΨ2 ) (19.24) −1 0 a
19. tétel
19.4
92
Higgs-mechanizmus
A mértékelméleteknél láttuk, hogy a kölcsönhatások közvetítésére mértékbozonokat vezettünk be, azonban ezekhez nem rendeltünk tömeget, így végtelen hatótávolságú kölcsönhatás írnának le, amit a természetben nem gyelünk meg. A vektorbozonokhoz nem csaphatunk egyszer¶en hozzá egy tömegtagot, mert akkor a propagátoruk p p
Dµ,ν = −
µ ν gµ,ν + m 2 2 2 p −m
(19.25)
alakú lesz, mely a hurokok számolásakor logaritmikus divergenciákat okoz ami valami miatt nem küszöbölhet® ki. Szóval más folyamat során kell hogy tömegeket kapjanak, erre bevezethetjük a Higgs-mechanizmust. A Higgs-mechanizmus nem más mint egy spontán sértett mértékelméletben tömegtagok generálódása a mértékbozonoknak. Tehát induljunk ki egy tetsz®leges mértékelméletb®l
L=
1 1 Dµ ϕi Dµ ϕi − Fµ,ν F µ,ν − V (ϕ) 2 4
(19.26)
ahol V (ϕ) a dinamika G szimmetriáját H -ra spontán lesérti. Ekkor a G/H -hoz tartozó dim G dim H darab mértékbozonnak tömeg generálódik, a generált tömeg a csatolási állandóval és a Goldstone-tér vákuum várhatóértékének a szorzatával lesz arányos. Ahhoz hogy bármilyen konkrét kijelentést tehessünk nézzünk meg egy példát.
19.4.1 Pl.: Lokális G = SU (2) komplex-skalár modell Ekkor a dinamikát leíró Lagrange függvény
1 1 L = − Fµ,ν F µ,ν + Dµ ϕ∗ Dµ ϕ − λ(2|ϕ|2 − a2 )2 4 2 Dµ = ∂µ − ieAµ Θ(x) 1 ϕ(x) = √ (a + η(x))ei a 2
(19.27) (19.28) (19.29)
melyben a dinamika szimmetriáját spontán sért® V -t már az el®z®ek alapján beírtam. Az elmélet mértékinvariáns (mivel A-t úgy vezettük be), így a következ® transzformációkkal szemben invariánsak
ϕ → Aµ
→
1 ϕ(x) = √ (a + η(x)) 2 e Bµ := Aµ + ∂µ Θ(x) a ϕ0 := e−i
Θ(x) a
az áttranszformált mez®k segítségével kifejezhetjük a kovariáns deriváltat Θ(x) Θ(x) ∂µ η(x) a + η(x) √ Dµ ϕ = ei a Dµ ϕ0 = ei a + ieBµ √ 2 2
(19.30) (19.31)
(19.32)
Tehát a Lagrange-függvényb®l kitranszformálható a Θ függés
1 1 e2 λ L = − Fµ,ν (B)F µ,ν (B) + ∂µ η∂ µ η + Bµ B µ (a2 + 2aη + η 2 ) − η 2 (2a + η)2 4 2 2 2
(19.33)
viszont látható, hogy a B tereknek mB = ea meghatározott tömeg generálódott. A szabadsági fokok végig megmaradtak, mármint ezzel ellen®rizhetjük, hogy nem történt csalás, csak egyszer¶ átbet¶zés. Kezdetben 2 skalártér (Θ, η ) és egy 1 tömegtelen vektortér (Aµ ) volt, majd ez alakult át 1 tömeges skalár térré (η ) és 1 tömeges vektortérré (Bµ ). Ami a szabadsági fokok nyelvén a következ® átalakulás 2 · 1 + 2 → 1 + 3.
19. tétel
19.5
93
SalamWeinberg-modell
A SalamWeinberg-modell (SW) a gyenge kölcsönhatás és az elektomágneses kölcsönhatást egyesítette egyetlen mértékelméletben. Törekedve arra, hogy minimális bonyolultságú legyen. Egy mértékelmélet minden lokális G szimmetriájához tartozik egy mértékbozon így elektromágneses Aµ fotontér leírására ez U(1), a gyenge kölcsönhatás Z 0 , W ± bozonjainak leírásához SU(2) mértékelméletre van szükség. Tehát a SW modell egy SU(2)×U(1) mértékelmélet. A mértékelmélet szerint a mértéktér a Nother-áramokhoz csatolódik, így a következ® csatolásokat kell gyelembe vennünk
LEM-csat Lgyenge (töltött)-csat gyenge (semleges)-csat
L
µ = −eAµ JEM
(19.34)
= g(Jµ W µ + Jµ† W µ )
(19.35)
=
gJ0µ Zµ
(19.36)
ahol
1X l(x)γµ l(x) 2 l X = ν l γµ (1 + γ5 )l(x)
J EM
(19.37)
=
J
(19.38)
l
J0
=
X ν l γµ (1 + γ5 )νl (x) − lγµ (1 + γ5 )l(x)
(19.39)
l
(19.40) ahol a J -ben szerepl® vektor- és axiálvektor-áram csak közelít®leg marad meg, a vektoráram akkor maradna meg ha ml = mνl az axiáláram pedig akkor ha ml = 0. Ekkor az egyes csoportokat a következ® generátorok generálják: SU(2): U(1):
izospin generátok T± , T0
(19.41)
gyenge hipertöltés Y = 2(Q − T0 )
(19.42)
ahol T± a J∓ nulladik komponensének az integrálja (izospin és hipertöltés jó kvantumszám), szóval a hozzá tartozó töltés és Q a J EM nulladik komponensének az integrálja, míg T3 a J0 nulladik komponensének integrálja. Ekkor [Y, Ti ] = 0 és [T+ , T− ] = 2T3 . Azaz a kovariáns derivált ezek segítségével kifejezhet® Y τa − ig 0 Bµ ) (19.43) Dµ ϕ(x) = (∂µ − igAaµ 2 2
19.5.1 A W ± és Z 0 bozonok tömege Az SU(2)×U(1) szimmetriát lesértjük egy H = U (1) szimmetriára, egy potenciál bevezetésével, tehát
V (ϕ) = −µ2 ϕ† ϕ + λ(ϕ† ϕ)2
(19.44)
L = (Dµ ϕ)† (Dµ ϕ) − V (ϕ)
(19.45)
egy mértéktranszformáció segítségével a komplex fázis megint kitranszformálható (megint komplex doublet ábrázolásban dolgozunk) olyan alakra hozzuk a tömeges részeket, hogy beazonosíthassuk a tereket: 1 2 † µ 1 2 µ 1 Ltömeg = MW W µ W + M Z Z Z µ + · 0 · Aµ Aµ (19.46) 2 2 2 akkor a következ® kombinációk t¶nnek fel g2 v2 1 02 2 W ± := √ (A01 MW = (19.47) µ ± iAµ ) 4 2 0 2 Z := cos Θw A03 MZ2 = MW cos−2 Θw (19.48) µ − sin ΘW Bµ
A
:=
0 sin Θw A03 µ + cos ΘW Bµ
MA2 = 0
(19.49)
ahol tan Θw = g 0 /g A szabadsági fokok megint megmaradtak, mivel csak átbet¶zés történt. Aµ a fotontér operátora, a többi meg értelemszer¶.
19. tétel
94
19.5.2 Lepton és kvark multiplettek Egycsalád közelítésben: e, νe , u, d részecskék vesznek rész, a SW-modell szerint a gyenge-kölcsönhatásban a jobbkezes antirészecskék és a balkezes részecskék vesznek rész, ahol
ΨL/R =
1 (1 ± γ5 )Ψ 2
(19.50)
a neutrínó tömegtelenségét kívülr®l tehetjük, bele úgy hogy nem vesszük bele a részecskékbe a jobbkezes komponenst, így tehát 15 darab részecske van egycsalád közelítésben: (νe )L , eL , eR , 3 · (uL , uR , dL , dR ), ahol a hármas szorzó abból adódik, hogy minden kvark három színnel rendelkezik. Mivel a terek mértékterekkel vett kölcsönhatásai helicitás ®rz®ek, így SUL (2)⊗UL (1)⊕SUR (2)⊗UR (1) szimmetriája van a rendszernek. Ahol az SU(2) a követk® multipletekre izospinjének variálására vonatkozik lL = (νe , e)L qL = (u, d)L (19.51) minden más izoszingletként transzformálódik. Szeretnénk ha az elmélet tudná az SU(2)⊗U(1) globális szimmetriát, így a fermionok tömegei csak spontán szimmetriasértésb®l származhatnak. Belátható, hogy az el®z®ek alapján
2 1 1 2 Tr(Q) = −1 − 1 + 3 + 3 − 3 − 3 = 0 3 3 3 3
(19.52)
ez azért fontos mert ekkor anomális az elmélet. A dinamika három elemb®l áll; (DΨ)2 mely leírja a terek kinetikus részét valamint a mértéktérrel vett csatolásuk, a F 2 mértéktér dinamikája és egy spontán szimmetria sért® potenciál, mely során a fermionok tömegeket kapnak. Több család közelítés esetén családonként még 15-15 részecskéket hozzá adunk, a következ® képpen:νµ , µ, c, s és ντ , τ, t, b ekkor a következ® részecske kombinációk fognak doubletet alkotni az SU(2) íz transzformáció alatt t c νµ ντ u , (19.53) , , , , b0 L s0 L d0 L µ L τ L ahol a vessz®s terek már tömeg sajátállapotok, melyeket a vesz®tlen terekb®l (izospin sajátállapotok) képeztünk (KM-mátrix) a spontán szimmetria sértés után a W ± , Z 0 , Aµ terek bevezetésénél látottak alapján.
Rácstérelmélet alapjai és alkalmazásai 20.1
A rácstérelmélet alapjai
A kvantumtérelméletek matematikai megfogalmazásában a részecskék mint mez®k szerepelnek, az xµ térid®- koordináták függvényei, ahol x0 -t tekintjük az id®nek. Ezek dinamikáját leíró klasszikus mez®egyenletek dierenciálegyenletek. A numerikus kezeléshez e dierenciálegyenleteket diszkretizáljuk a rácsállandóval. Ennek megfelel®en dierenciál-operátorok helyett dierenciaoperátorokat használunk, és a mez®ket csak a térid®-rács pontjaiban értelmezzük. Z -t komplex id®ben írjuk fel, ekkor mint egy állapotösszeg értelmezhet® és a statisztikus zika módszereit alkalmazhatjuk. Továbbá a rendszerünk teljesen analóg lesz egy klasszikus statisztikus rendszerrel, ezáltal az ott jól bevált Monte Carlo módszerek alkalmazhatóak.
20.1.1 A rácstérelméletek alapgondolata A kvantálás a Feynman-féle pályaintegrál módszerrel történik. Ebben a megközelítésben a ˆ operátor vákuumbeli várható értékét. kiszámolandó mennyiséget el®ször kifejezzük, mint egy A R D[ψ, ψ, Aµ ]O(ψ, ψ, Aµ )e−S(ψ,ψ,Aµ ) ˆ h0| A |0i = (20.1) R D[ψ, ψ, Aµ ]e−S(ψ,ψ,Aµ ) Mivel Minkowski helyett képzetes id®t bevezetve Euklideszi térid®t használunk, így az integrandusban megjelen® oszcilláló eiS tényez® helyett a numerikusan is könnyebben kezelhet® e−S szerepel. Ha a térid®pontok számát végessé tesszük, akkor az integrál már numerikusan elvégezhet®. Az integrál a ψ és A mez®k értékeit futja végig minden térid®pontban. A térid®pontok számát úgy tesszük végessé, hogy kiválasztunk egy 4 dimenziós téglát a térid®b®l, és kockarácsnak megfelel®en diszkretizáljuk. A folytonos (x, t) térid®koordináták indexelt (xi , ti ) vagy (ni a, nt a) rácskoordinátákká válnak, ahol a a rácspontok közötti legrövidebb távolság, a rácsállandó. A hatást szintén diszkretizálni kell. A Lagrange-s¶r¶ség a mez®ket és azok deriváltjait tartalmazza. A mez®ket kicseréljük a rácspontokban vett értékeivel, a deriváltakat pedig a véges dierenciákkal. A LagrangeR 4 s¶r¶ség P 4 térid®re vett integrálját pedig az összes rácspontra vett szummával helyettesítjük: d x → a . i
Elkerülhetetlenül fellépnek diszkretizációs hibák, mert a rács Lagrange-függvény csak az a = 0 esetben egyezik meg a kontinuum Lagrange-függvénnyel. Nem nulla a esetén nemkívánt extra tagok jelennek meg a Lagrange-függvényben. Jelöljön R egy dimenziótlan meg gyelhet® mennyiséget. Ennek a rácson vett várható értéke különbözik a kontinuum várható értékét®l egy ap rend¶ taggal:
Rrács = Rkontinuum + O(ap )
(20.2)
ahol a hiba p kitev®je attól függ, hogy hogyan diszkretizáltuk a hatást. Ha a hatás tisztán bozonikus, vagy pedig staggered fermionokat használunk, akkor p = 2, ha pedig Wilson-fermionokat használunk, akkor p = 1. A diszkretizáció kicsit másképp megfogalmazva: a rács egy ultraibolya levágást okoz az impulzus térben, mivel az impulzus nem lehet nagyobb, mint πa (a hullámhossz kisebb lenne, mint a). Ezzel egy természetes regularizációját valósítja meg az ultraibolya divergenciáknak. A számítások 95
20. tétel
96
során az eredmények végesek maradnak, és így valósítható meg a kontinuum limesz. A rács-megfogalmazásra az egyik legegyszer¶bb példa a skalármez®. Ennek euklideszi Lagrangefüggvénye 1 1 L = (∂µ φ)2 + m2 φ2 + λφ4 (20.3) 2 2 Ennek megfelel®en a diszkretizált rács-hatás 2 4 X X φ − φ 1 1 i−j i+j + m2 φ2i + λφ4i (20.4) S= a4 2 2a 2 j=1 i ahol j a ej irányú, rácsállandó nagyságú vektor, tehát az i + j rácspont az i rácspontnak a ej irányban lev® szomszédja. A paramétereket és a mez®ket átskálázzuk a rácsállandó hatványaival, hogy azok dimenziótlanok legyenek. Ekkor minden rács-egységekben lesz kifejezve. A skalármez®nél a dimenziótlan mennyiségek φ0 = φa, m0 = ma és λ0 = λ. Ekkor 4 X 1X 1 2 0 04 S= φ0i−j − φ0i+j + m02 φ02 (20.5) i + λ φi 2 2 i j=1 Az átskálázásnak az az eredménye, hogy a hatásban a rácsállandó nem jelenik meg explicit módon. A számolás a rácsállandó ismerete nélkül zajlik, annak értéke általában azután derül ki, hogy a számolás eredményeit a kísérleti eredményekkel összehasonlítjuk.
20.1.2 Mértékterek rácson A mértékelméleteknek a leglényegesebb eleme a lokális mértékinvariancia. Ezért oly módon kell a diszkretizációjukat megoldani, hogy a lokális mértékinvariancia a rácson is megmaradjon. A mértéktérnek a kontinuum esetben az a szerepe, hogy a lokális mértéktranszformációk hatását kiegyensúlyozza. Ezért ha a fermionok a rácspontokon vannak, akkor természetesnek adódik, hogy a mértékterek a rácspontokat összeköt® linkeken ülnek. A kontinuum leírásban a mértéktereket leíró Aµ (x) valójában n darab kovektormez® (ahol n dimenziós a G mértékcsoport), az Aaµ (x) együtthatók szorzata a G Lie-algebrájának n darab τa generátorával. A rácson a Lie-algebra elemei helyett a linkeken célszer¶bb magukat a mértékcsoport elemeit venni. A rácson a mértéktereket Aµ (x) helyett így Uj (x)−szel jelöljük, ahol ej a link irányát mutatja, x pedig a link kezd®pontjának rács-koordinátáit. A rács és a kontinuum mez®k között a kapcsolat exponenciális Uj (x) = eiagAj (x) (20.6) ahol a a rácsállandó, g pedig a (csupasz) csatolási állandó. Egy link két rácsponthoz is csatlakozik, így egy linkre kétféleképpen tekinthetünk. Ha az x rácspontból induló, az x-et az x+ej rácsponttal összeköt® ej irányú linken a mértékmez® értéke Uj (x), akkor az x + ej -ból induló ugyanezen linken lev® U−j (x + ej )-re U−j (x + ej ) = Uj−1 (x) = Uj† (x) (20.7) A mértékmez®knek ezen formája lehet®vé teszi, hogy az egzakt mértékinvarianciát a rácson is meg®rizzük. Egy lokális mértéktranszformációt itt ugyanis úgy hajthatunk végre, hogy minden rácspontban megadunk egy G(x)∈G transzformációs mátrixot, majd a mérték- és fermionmez®ket az
Ui0 (x) ψi0 0 ψi
:= G(x)Ui (x)G† (x + ej )
(20.8)
:= G(x)ψi
(20.9)
†
:= ψ i G (x)
(20.10)
képletek szerint transzformáljuk. Könnyen megmutatható, hogy ez a mértéktranszformáció ekvivalens a kontinuum
i A0j (x) = G(x)Aj G† (x + ej ) − (∂j G(x))G† (x + ej ) g
(20.11)
20. tétel
97
mértéktranszformációjával. Mértékinvariáns mennyiségek könnyen formálhatók a rácson, például zárt mértéktér-hurkokból, vagy olyan mértékterekb®l álló útvonalakból, amelyeknek egyik végén egy fermion, másik végén pedig egy antifermion található, lsd ábra.
g. 20.12: Mértékinvariáns mennyiségek A tiszta mértékelmélet hatása a kontinuumból átültetve rácsra a Wilson-hatás Z X 1 1 Sgkontinuum = d4 x TrFµ,ν F µ,ν → Sgrács = β (1 − Re(Tr[Up ])) 2 3 p
(20.12)
ahol β = g62 , Up az 1×1-es zárt hurok, az ún. plakett. Ez egy G-beli mátrix, amelyet a négyzet 4 oldalát alkotó linkeken lev® mértékmez® értékek megfelel® sorrendbeli összeszorzásával kapunk. A j, k síkban fekv® plakett, amelynek az egyik sarka i, az
Up (x) = Uj (x)Uk (x + ej )Uj† (x + ek )Uk† (x)
(20.13)
módon néz ki.
20.1.3 Fermionok A kölcsönhatásokban nem csak a mértékmez®k, hanem fermionok is részt vesznek, ezért a fermionok rácstérelméletével is foglalkoznunk kell. Amellett, hogy a fermionoknak a hatásba történ® bevétele jelent®sen megnöveli a számítási igényt, a fermion jellegük miatt több más nehézséggel is szembe kell néznünk. A legszembet¶n®bb probléma, amely már szabad fermionok esetén is jelentkezik az ún. fermionmegkett®z®dés. Egy szabad fermionmez® kontinuum hatása Z Sf = d4 xψ(γ µ ∂µ + m)ψ (20.14) Ezt naív módon diszkretizálva az
Sfnaiv = a4
X i
X ψi+j − ψi−j ψi γj + mψ i ψi 2a j
(20.15)
rács-hatást kapjuk. Ezen hatásból adódó rácspropagátor inverze −1 Gnaiv = iγi
sin pi a +m a
(20.16)
Könnyen láthatóvá válik a probléma, ha ezt összevetjük a (20.14) kontinuum hatásból adódó µ G−1 kontinuum = iγµ p + m
(20.17)
propagátorral. A két inverz propagátor az (20.13) látható egy dimenziós tömegtelen fermion esetére az els® Brillouin-zónában. A nemnulla rácsállandó miatt a p = π/a és p = −π/a pontok
20. tétel
98
g. 20.13: Propagátorok inverzei periodikusan csatoltak. A p = 0 pontban mind a rács-, mind a kontinuum propagátornak pólusa van. Ezen pont környékén a rács-eredmény összhangban van a kontinuummal. A rácspropagátornak azonban a p = −π/a pontban is pólusa van, és ebben a pontban szintén egy kontinuum-szer¶ egyenes húzható. Tehát egy dimenzióban a rácson egy helyett kett®, egy 4 dimenziós rácson pedig egy helyett már 24 = 16 kontinuum-szer¶ fermiont találunk. Itt a valódi fermion mellett 15 másolat jelent meg. Ezt hívjuk a fermion-megkett®z®dés problémájának.
Wilson fermionok A fermion-megkett®z®dés kikerülésére több különböz® mód létezik. Ezek közül az alkalmazásokban az egyik legelterjedtebb a Wilson fermionhatás. A hatáshoz adott Wilson-tag teljesen kiküszöböli a másolatokat azáltal, hogy azoknak ma-nál sokkal nagyobb tömeget ad, így azok nem adnak járulékot. A Wilson-tag lényege, hogy második deriváltat tartalmaz, így a dimenziótlanság meg®rzése érdekében a-nak eggyel magasabb hatványával kell szorozni, mint a többi tagot: r X SfWilson = Sfnaiv − a5 ψ i ψi (20.18) 2 i ahol
ψi =
X ψi+j − 2ψi + ψi−j a2 j
(20.19)
Az r az ún. Wilson paraméter, amit legtöbbször 1-nek választanak. A Wilson-hatásból számolt propagátor inverze 2r X 2 −1 G−1 sin (pi a/2) (20.20) Wilson = Gnaiv + a2 i alakú. Ezt a p = 0 körül sorba fejtve
G−1 Wilson (p ' 0) = iγi pi + m +
ra X 2 p 2 i i
(20.21)
Ezt a (20.17) kontinuum esettel összevetve azt láthatjuk, hogy az a → 0 esetben az r-et tartalmazó tag elt¶nik, és az m tömegre a megfelel® értéket kapjuk. Vizsgáljuk meg a másolatokat. Ha q jelöli a p és π/a különbségét, akkor a másolatoknál sorbafejtve q szerint
G−1 Wilson (q = p − π/a ' 0) = iγi qi + m +
br a
(20.22)
20. tétel
99
adódik, ahol b lehetséges értékei 2, 4, 6 vagy 8, attól függ®en, hogy melyik másolatot vizsgáljuk. Tehát ha a → 0, akkor a másolatok tömege végtelenhez tart, így a hatás valóban egy fermiont ír le. Az ψ 0 = a3/2 ψ dimenziótlanítás után a Wilson-hatás:
SfWilson
X X ψi [(γj − r)ψi+j − (γj + r)ψi−j ] + (ma + 4r)ψ i ψi =
(20.23)
j
i
alakot ölti. A tömeghez hasonló√szerepe miatt szokás bevezetni a κ = 1/(2ma + 8r) ún. hopping paramétert,vés a fermionmez®t 2κ-val átskálázni. A mértékmez®khöz csatolva a fermionok minden egyes rácspontban már n(mérték)×4(spin) dimenziós vektorok lesznek. Az U mértékmez®t úgy lehet mértékinvariáns módon betenni a hatásba, hogy egy szomszédos ψ és ψ közé írjuk. Így a teljes mértékinvariáns Wilson hatás:
S Wilson
X X = κ ψ i (γj − r)Uj (x)ψi+j − ψ i+j (γj + r)Uj† (x)ψi + ψ i ψi i
(20.24)
j
A Wilson hatás nagy el®nye, hogy a fermion-megkett®z®dés során keletkez® összes másolatot megszünteti. Ezen el®nye mellett azonban hátrányai is vannak. A Wilson tag a királis szimmetriát explicit módon sérti. Ha a → 0, akkor a szimmetria visszaáll, de a valódi, a = 0 melletti rácsszámolásokban a királis szimmetria hiánya sokszor nehézséget okozhat. A Wilson hatás egy másik hátránya, hogy használatakor nagy diszkretizációs hibák léphetnek föl. A naiv hatás használatakor a zikai mennyiségek várható értékének hibája a2 -tel arányos. A hatáshoz adott Wilson-tag azonban a-val arányos, azaz SfWilson = Sfkont. + O(a), így a kapott hibák itt a-val lesznek arányosak.
Staggered fermionok Amint azt fentebb láttuk, a fermion-megkett®z®dés abból ered, hogy a naiv rács-propagátor inverzének a Brillouin-zóna szélein is zérushelyei vannak. Ezáltal felmerül az a lehet®ség, hogy a nemkívánt másolatokat a Brillouin-zóna méretének csökkentésével távolítsuk el. Ez elérhet®, ha a fermion szabadsági fokokat a rácspontok között oly módon osztjuk szét, hogy az eektív rácsállandó kétszerese legyen az eredetinek, és a kontinuum határesetben visszakapjuk a kontinuum hatást. Az eredetileg egy rácspontban lev® különböz® spinkomoponenseket szétosztjuk egy rácsállandó elhosszúságú hiperkocka csúcsaiba. Egy d dimenziós hiperkockának 2d csúcsa van, így a rendelkezésre álló szabadsági fokok száma 2d . A Dirac-spinoroknak d dimenzióban 2d/2 komponense van, így egy hiperkocka minden csúcsába egy komponenst írva 2d /2d/2 = 2d/2 fermionmez®t tudunk leírni. A d = 4 dimenziós térid®ben tehát 24 /2 = 4 degenerált fermiont kapunk. Az eredeti ψi mez®k helyett minden rácspontban bevezetjük a n(mérték)×1(spin) komponenssel rendelkez® χi mez®t, melyekre a mértékinvariáns teljes staggered (KogutSusskind) hatás:
Sfstaggered =
X i
χi
1 X 2
h
i
ηi,j Uj (x)χi+j − Uj† (x − ej )χi−j + maχi
(20.25)
j
ahol j−1 P
ni,j = (−1)
ν=1
xν
(20.26)
Ez a hatás 4 degenerált (azonos tömeg¶) fermiont ír le, de az ízek (a 4 fermion) szétválasztása az egy hiperkocka csúcsaiban lev® 16 különböz® χ értékb®l bonyolult feladat. A Staggered hatásnak azonban van egy maradék királis szimmetriája, aminek következtében jobban kezelhet®, és gyorsabban lehet vele dolgozni, mint a Wilson hatással. Továbbá a staggered hatás esetén a diszkretizációs hibák a2 -tel arányosak, csak úgy, mint a naív hatás esetében.
20. tétel
20.2
100
Számolási algoritmus
ˆ pedig egy csupán a mértékmez®kt®l függ® Egyel®re tekintsük csak a mértékmez®ket a rácson, A operátor, aminek a várható értékét szeretnénk meghatározni. Ekkor a Feynman pályaintegrál a R ˆ e−Sg D[U ]A ˆ (20.27) h0| A |0i = R D[U ]e−Sg alakú. Ezen pályaintegrál kiszámításához generálunk véletlen Uα mértékmez® kon gurációkat, majd kiszámítjuk a P ˆ −S g Aα e α α ˆ h0| A |0i = P −S g (20.28) e α α
ˆ α az A ˆ operátor értéke, S g pedig az Sg hatás értéke az α kon gurációban. súlyozott átlagot. Itt A α A kon gurációk összességét sokaságnak hívjuk. A véletlenszer¶en generált mértéktér-kon gurációk többségére azonban Sα nagyon nagy, így azok nagyon kis járulékot adnak a (20.28) átlaghoz. Ilyen módon számolva tehát nagyon sok felesleges számolást végeznénk. Célszer¶bb a kon gurációkat eleve olyan eloszlással el®állítani, g hogy az Uα kon guráció e−Sα valószín¶séggel kerüljön el®. Ezt hívjuk fontossági mintavételezésnek, mert ekkor minden egyes kon guráció olyan gyakorisággal kerül el®, amekkora járulékot ad a várható érték képzésében. Ha ilyen eloszlással állnak rendelkezésünkre a kon gurációk, akkor ˆ |0i = h0| A
N 1 Xˆ Aα N α=1
(20.29)
ˆ operátornak az egyes kon gurációkban vett értékének az átlaga. Ha a tehát az eredmény az A √ kon gurációk N , akkor a számolás relatív statisztikus hibája 1/ N nagyságú. Többféle algoritmus létezik a kon gurációk e−S eloszlású generálásához. A legkorábbi és egyben a legegyszer¶bb eljárás a Metropolis algoritmus. Els® lépésként generálunk egy véletlenszer¶ kon gurációt. Ebb®l kis véletlenszer¶ változtatással el®állítunk egy következ® kon gurációt, és közben gyeljük a hatás ∆S változását. Ha S csökken, akkor az újonnan kapott kon gurációt elfogadjuk. Ha S n®, akkor az új kon gurációt e−∆S valószín¶séggel fogadjuk el. Ezt ilyen módon folytatva minden egyes elfogadott kon gurációban végezhetünk "méréseket, azaz kiértékelhetjük a ˆ operátorok várható értékét. különböz® A Itt fontos megemlítenünk, hogy minden kon gurációt egy el®z® kon gurációból kis változtatással hoztunk létre, ezért az egyes kon gurációk nem tekinthet®k statisztikusan függetlennek. Figyelembe kell venni tehát a termalizációs id®t és az autokorrelációs id®t. A termalizációs id® az ahhoz szükséges lépések száma, hogy a kon gurációk sorozata elérje a kiindulási kon gurációtól függetetlen e−S egyensúlyi eloszlást. Az autokorrelációs id® azt mutatja meg, hogy két kon guráció között hány lépésnek kell megtörténnie ahhoz, hogy az azokban mért mennyiségek már egymástól statisztikusan függetlennek, korrelálatlannak tekinthet®k legyenek. Az autokorrelációs ˆ operátornak a kon gurációk sorozatán mért értékeib®l. Ez általában függ id® megállapítható az A ˆ operátortól. Ha például A ˆ olyan zárt mértékmez® hurok, ami szinte az egész rácsot bejárja, az A akkor hosszabb lesz az autokorrelációs ideje, mint ha csak néhány egymáshoz közeli linken haladna. Ahogy csökkentjük az a rácsállandót, a kontinuum határesethez haladva fellép a kritikus lelassulás jelensége. Ez annak a következménye, hogy a-t csökkentve egy adott tipikus zikai távolság, mint például egy hadron mérete, rács-egységekben mérve nagyobb lesz, azaz több rácspontnyi távolságnak felel meg. Ahhoz, hogy két kon guráció ugyanazon a zikai méretskálán korrelálatlan maradjon, kisebb rácsállandó esetében több lépésnek kell közöttük eltelnie. Ha a számolásban már a fermionokat is gyelembe vesszük, akkor azok fermion jellege miatt újabb nehézséggel találjuk szembe magunkat. A fermionokat ugyanis a Pauli-elv miatt nem hagyományos számok, hanem egymással antikommutáló Grassmann-változók írják le helyesen. A fermionmez®k kvadratikusan szerepelnek a (20.18) Wilson és a (20.25) staggered hatásokban, ezért a teljes (mértékterekre és fermionokra vonatkozó) rácshatás az S[U, ψ, ψ] = Sg (U ) − ψM (U )ψ
(20.30)
20. tétel
101
alakba írható, ahol Sg a tiszta mértéktér rácshatása, M (U ) pedig a mértéktér-kon gurációtól függ® fermionmátrix. Ekkor az állapotösszegben a fermionokra történ® integrálást analitikusan elvégezve: Z Z −Sg (U )+ψM (U )ψ Z = D[U, ψ, ψ]e = D[U ]e−Sg eln det M (U ) (20.31) Tehát a mértékmez®kre vonatkozó eektív hatás tehát az
S e. = Sg − ln det M (U )
(20.32)
alakot ölti. A számolás ezek után úgy történik, hogy a mértéktér-kon gurációkat ezen hatás szerinti e− S ef f. eloszlással generáljuk.
20.3
Alkalmazások
A rácstérelmélet segítségével numerikusan (elméleti úton) olyan paraméterek értékét l®hetjük, melyekre analitikusan nem sok esélyünk van.
20.3.1 Sztatikus kvark-potenciál Ha ki akarjuk számolni a sztatikus kvarkpotenciált, azaz azt, hogy két, egymástól R távolságban elhelyezett nyugvó kvark között mekkora potenciál lép fel (a QCD miatt), akkor azt a következ®képpen kell csinálni. De niáljuk a CR,T Wilson hurkot, az ábrán látható módon.
g. 20.14: Mértékinvariáns mennyiségek Vegyünk egy x és egy y pontot a rácson úgy, hogy x és y távolsága R legyen. Az x és y pontokat toljuk el id®irányban T-vel, így kapunk egy téglalapot, melynek oldalai R és T nagyságúak. A nyilak irányában sorban haladva vegyük a linkeken lev® gluonmez®k (amelyek most SU(3) mátrixok) szorzatát, majd annak a nyomát. Vegyük ezen mennyiségeknek a várható értékét, és legyen ez a W (CR,T ) Wilson-hurok értéke. Ez mértékinvariáns, és független attól, hogy a hurkon hol kezdjük a szorzást. A Wilson hurok az ún. területi szabályt követi, azaz
lim W (CR,T ) ∼ e−αRT
R,T →∞
(20.33)
ahol (RT a téglalap területe.) A statikus kvarkpotenciált a
V (R) = lim
T →∞
1 ln W (CR,T ) T
(20.34)
képlet adja meg. Szokták mondani, hogy nagy távolságokon a kvarkok között ható er® állandó, azaz a potenciál lineárisan n®, ún. string köti össze a két kvarkot, ez az α string-állandó:
α = lim
R→∞
V (R) R
(20.35)
20. tétel
102
20.3.2 Hadronspektrum A QCD hadronállapotainak tömegét rácstérelmélet segítségével meg lehet határozni. Válasszunk ˆ operátort, amelynek jó átfedése van a |P i hadronállapottal, azaz egy olyan A
ˆ |P i = h0| A 6 0
(20.36)
de a |P i-vel azonos kvantumszámokkal rendelkez® más állapotokkal kicsi az átfedése. Ekkor számoljuk ki az id®szelet korrelációs függvényt: E XD ˆ (x, t)A ˆ † (0, 0) C(t) := A (20.37) x
Ezt úgy csináljuk, hogy minden egyes kon gurációban vesszük a fenti szummát (lényegében a t-hez tartozó id®szeletre szummázunk), majd vesszük a kon gurácikókra vett átlagot. ˆ és a A ˆ† Ebb®l a C(t)-b®l a tömegspektrum a következ®képpen kapható meg. Írjunk be az A közé hadron-állapotok egy teljes rendszerét. Ekkor az eltolás invarianciából következ®en
X | h0| A ˆ |P i |2 1 d3 k ˆ (x, t) |P (k)i hP (k)| A ˆ † (0, 0) |0i = h0| A eiEP (0)t 3 2E(k) (2π) 2E (0) P x P P (20.38) Az EP (0) ismeretében a tömeghéj feltételb®l mP -t is ismerjük. Ha t → ∞, akkor lényegében a legkisebb tömeg¶ állapot fogja a legjelent®sebb járulékot adni (feltéve hogy a mátrixeleme nem nulla). Ezért az adott kvantumszámokkal rendelkez® legkisebb tömeg¶ állapot tömegére C(t) =
XXZ
1 1 ln C(t) = − lim t→inf ty t m0
(20.39)
Nagyobb tömeg¶ állapotok tömegének meghatározása variációs módszerekkel történik. Ehhez kell ˆ i operátorokból álló bázist, ahol mindegyik operátor nagyjából jól megfelel valamevennünk egy A lyik állapotnak. Ekkor a rácson kiszámoljuk a korrelátorok mátrixát E XD ˆ i (x, t)A ˆ † (0, 0) Ci,j (t) = A (20.40) j i
és a tömegek durván a C −1 (t)C(t + 1) transzfermátrix diagonalizálásából adódnak.
20.3.3 A QCD fázisdiagramja A QCD fázisdiagramjának feltérképezésére is rácstérelméleti módszereket használnak. A fázisdiagramról a jelenlegi ismereteink a következ®:
g. 20.15: QCD fázisdiagramja
20. tétel
103
Tehát kis (T ) h®mérsékleten és kis (µ) kémiai potenciálon (ami egyébként kis s¶r¶séget jelent) van az ún. hadronikus fázis. Ebben a fázisban a kvarkok szín-semleges hadronokat képeznek (az atommagban is ez a fázis van). Nagy s¶r¶ségen de kis h®mérsékleten szín-szupravezetés van sejtve. Kis s¶r¶ségnél és nagy h®mérsékleten azonban kvark-gluon plazma fázis van. Ebben felszabadulnak az eddig bezárt kvarkok és gluonok, és szabad kvarkok és gluonok alkotnak itt egy plazmaszer¶ állapotot. (Megjegyzés: sem a szín-szupravezetést, sem a kvark-gluon plazmát még nem igazolták kísérletileg, már amennyire ezeket egyáltalán lehet kísérletileg igazolni.) Az ábrán a vonal egy els®rend¶ fázisátmenetet jelent, amely egy végpontban végz®dik (abban a pontban másodrend¶ az átmenet), és azon túl pedig nincs valódi fázisátmenet, hanem egy gyors, de analitikus átmenet van a két fázis között. Ez a következ®képpen történik. Az egész rendszert egy statisztikus rendszernek tekintjük, amely két paramétert®l függ: T és µ. Figyelve bizonyos mennyiségek várható értékének viselkedését, ill. azok szuszceptibilitását, azok a fázishatárokon kritikus viselkedést mutatnak, amely alapján megtalálható a fázishatár, és annak típusa is. Az egyik ilyen jellemz® mennyiség például a plakett, annak
várható értékének változása szépen meghatározza a fázishatárt. Egy másik ilyen pl. a ψψ . Ez durván a mezonban kötött kvarkok számának várható értéke. A hadronikus fázisból a kvark-gluon plazmába átmenve ennek értéke esik egy nagyot.
