TOELICHTING REKENEN MET VERHOUDINGEN
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
TOELICHTING
Rekenen met verhoudingen
INLEIDING
Deze toelich ting geeft informatie over de doelen en inhouden van het werkboek Rekenen met verhoudingen en tips voor het type vragen dat u, als leerkracht, kunt stellen om het denkproces bij de leerlingen te stimuleren en/of te ondersteunen.
DOELEN
In het boek Rekenen met verhoudingen oefenen de kinderen … Leerstap 1 het rekenen met verhoudingen tussen hoeveelheden Leerstap 2 het rekenen met verhoudingen tussen gewichten en inhouden Leerstap 3 het rekenen met verhoudingen tussen afstand en tijd Leerstap 4 het rekenen met schaalverhoudingen Leerstap 5 het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten Leerstap 6 het rekenen met verhoudingen in allerlei situaties
VO O R K E N N I S
Een voorwaarde om het werkboek Rekenen met verhoudingen te kunnen maken is dat de leerling beschikt over de kennis die onder het kopje Weet je nog? wordt geactiveerd en getoetst: Wat weet de leerling al over verhoudingen? Wat weet hij nog van verhoudingen?
WEET
Begin je met dit boekje? Maak dan vooraf de opdrachten op deze pagina.
NOG?
Hoeveel kralen van elke kleur? Reken uit en kleur.
L E E R S TA P 4
Hoe hoog is de boom in werkelijkheid?
De ketting heeft 100 kralen. Van elke 10 kralen zijn 3 kralen rood en 7 kralen blauw. VA N 1 0 K R A L E N
VA N 1 0 0 K R A L E N
rood
3 kralen
30 kralen
kralen
blauw
7 kralen
70 kralen
kralen
Schaal 1 : 200 betekent: elke centimeter op de tekening is in werkelijkheid 200 centimeter.
VA N 2 0 K R A L E N
Kleur de ketting met rood en blauw in de juiste verhouding.
L E E R S TA P 2
200 cm
2 cm
4 cm cm
cm
cm hoog.
Welk deel van de kralen? Schrijf breuken en procenten.
Verdubbel en halveer de hoeveelheden.
VOOR 8 PERSONEN
pt voor sפculaastaart Voor 4 פrson הb nodig: 150 gram bor 100 gram basrdsuir 10 gram sפculaaskruin 250 gram l 4 tפls lk L E E R S TA P 3
1 cm
hoogte van de boom in werkelijkheid
De boom is in werkelijkheid
schaal 1 : 200
L E E R S TA P 5
hoogte van de boom op de tekening
VOOR 2 PERSONEN
boter
gram
gram
basterdsuiker
gram
gram
speculaaskruiden
gram
gram
meel
gram
gram
melk
eetlepels
eetlepels
5 van de 10 kralen zijn geel.
1 van de 10 kralen is blauw.
4 van de 10 kralen zijn groen.
Dat is evenveel als: 2 deel van de kralen ⁄ 1 ⁄ 150 deel van de kralen 50% van de kralen
Dat is evenveel als:
Dat is evenveel als:
L E E R S TA P 6
% van de kralen
% van de kralen
deel van de kralen
deel van de kralen
Welk antwoord is juist? Kruis aan. geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
L E E R S TA P 1
JE
Hoeveel kilometer kan de auto in 4 uur rijden? En in 1 uur?
De vrachtwagen rijdt 1 op 10. De auto rijdt 220 kilometer in 2 uur.
De vrachtwagen kan 1 kilometer rijden met 10 liter benzine. IN 2 UUR
IN 4 UUR
IN 1 UUR
De vrachtwagen kan 10 kilometer rijden met 1 liter benzine. 220 km
km
km
2
Rekenvlinder_rekenen_met_verhoudingen.indd
3
2
08-02-13
10:54 Rekenvlinder_rekenen_met_verhoudingen.indd
3
08-02-13
10:54
Zo is het van belang dat de leerling eenvoudige verhoudingstabellen en de meest gebruikte standaardmaten (her)kent voor lengte/afstand (kilometer – meter – centimeter) en tijd (uren – minuten), inhoud (liter – milliliter) en gewicht (kilogram – gram) en dat hij betekenis kan geven aan breuken als 2 ⁄ 1, 4 ⁄ 1, 4 ⁄ 3, ⁄ 110, 5 ⁄ 1 en procenten als 50%, 25%, 75% en 10%. 2
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
Als de leerling minimaal 5 van de 6 opdrachten goed maakt, heeft hij voldoende kennis om te starten met leerstap 1 van het werkboek Rekenen met verhoudingen. Voor leerlingen die minder dan 5 van de 6 opdrachten goed maken, doen we de volgende aanbevelingen: • U stelt vragen die het denkproces bij de leerling stimuleren en/of ondersteunen (zie tips). • De leerling start in een (gerelateerd) Rekenvlinderboek dat hem op een lager niveau, op maat, kan bedienen: - Betekenis geven aan verhoudingen - Betekenis geven aan breuken - Betekenis geven aan procenten - Lengte, inhoud en gewicht Na toetsing van de voorkennis kan de routing er als volgt uitzien: Minimaal 5 opdrachten goed?
Minder dan 5 opdrachten goed? Route A:
Route B:
De leerling start met leerstap 1
U stelt vragen die het denkproces
De leerling start met een van
van het werkboek Rekenen met
bij de leerling stimuleren en/of
onderstaande voorlopers:
verhoudingen.
ondersteunen (zie tips bij Weet je
• Betekenis geven aan
nog?).
verhoudingen • Betekenis geven aan breuken
Vervolgens start de leerling met
• Betekenis geven aan procenten
leerstap 1 van het werkboek
• Lengte, inhoud en gewicht
Rekenen met verhoudingen.
3
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
REFLECTIE
DIT
KAN
IK
Ben je helemaal klaar met het boekje? Kijk dan maar eens wat je nu allemaal kunt. Was de leerstap makkelijk? Kleur Was de leerstap moeilijk? Kleur Leg uit wat je makkelijk of juist moeilijk vond.
NU!
teken jezelf L E E R S TA P 1
het rekenen met verhoudingen tussen hoeveelheden
Van 40 kinderen gaan
kinderen naar Marokko.
Van 80 kinderen gaan
het rekenen met schaalverhoudingen 400
0
kleur het gezichtje:
De schaal is: 2 : 40.000
2 centimeter op de kaart is in werkelijkheid 400 meter.
of
of 1 : 20.000
kinderen naar Marokko.
Van 120 kinderen gaan
L E E R S TA P 2
L E E R S TA P 4
kleur het gezichtje:
1 van de 8 kinderen gaat op vakantie naar Marokko.
1 : 80.000
leg uit:
kinderen naar Marokko.
het rekenen met verhoudingen tussen gewichten en inhouden
1 FLES
inhoud
2 FLESSEN
6 FLESSEN
l
l
0,75 l
L E E R S TA P 5
leg uit:
het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten
kleur het gezichtje:
kleur het gezichtje:
of
of
aantal glazen deel =
leg uit:
%= 0,75 liter
kralen
van de 2 kralen =
0,125 liter
leg uit:
kralen
het rekenen met verhoudingen tussen afstand en tijd L E E R S TA P 6
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
De familie Van Beek rijdt 840 kilometer in 8 uur.
het rekenen met verhoudingen in allerlei situaties
kleur het gezichtje: kleur het gezichtje:
Deze auto rijdt 1 op 15. of
of
Deze auto rijdt 1 op 12. IN 8 UUR
IN 4 UUR
km
IN 2 UUR
km
De familie Van Beek rijdt gemiddeld
IN 1 UUR
km
Hoeveel kilometer kunnen de auto’s rijden?
leg uit: km
MET 10 LITER
MET 30 LITER
MET 60 LITER
BENZINE
BENZINE
BENZINE
km per uur.
km
km
km
km
km
km
30
Rekenvlinder_rekenen_met_verhoudingen.indd
leg uit:
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
L E E R S TA P 3
kralen
31
30
08-02-13
11:09 Rekenvlinder_rekenen_met_verhoudingen.indd
31
08-02-13
11:09
De 6 opdrachten onder het kopje Dit kan ik nu! op pagina 30 en 31 dagen de leerling uit om te reflecteren op de wijze waarop en de mate waarin hij de 6 leerstappen van het werkboek Rekenen met verhoudingen heeft verwerkt. Voor leerlingen die minder dan 5 van de 6 opdrachten kunnen maken, vindt u onder het kopje tips enkele vragen die u als leerkracht kunt stellen om het leerproces bij de leerling(en) te stimuleren en/of te ondersteunen. Na de reflectie kan de routing er als volgt uitzien: Minder dan 5 opdrachten goed?
Minimaal 5 opdrachten goed?
U bespreekt samen met de leerling opdracht 1 t/m 6 van de
De leerling start met een van onderstaande werkboeken:
leerstap(en) die de leerling moeilijk vindt en stelt daarbij
• Rekenen met procenten
vragen die het denkproces bij de leerling stimuleren en/of
• Rekenen met breuken
ondersteunen (zie tips per leerstap).
• Rekenen met decimale getallen • Breuken, procenten, decimale getallen en verhoudingen
4
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
DOELEN EN INHOUDEN L E E R S TA P 1 LEERSTAP
1
het rekenen met verhoudingen tussen Je oefent het rekenen met verhoudingen tussen hoeveelheden hoeveelheden OPDRACHT 1
Hoeveel kralen van elke kleur in de pot? Reken uit.
1 van de 5 kralen is geel. 3 van de 10 kralen zijn rood. 2 van de 5 kralen zijn groen. 1 van de 10 kralen is paars.
VA N D E 5 K R A L E N
VA N D E 1 0 K R A L E N
1 geel
VA N D E 3 0 K R A L E N
geel
2 groen
VA N D E 3 0 0 K R A L E N
geel
geel
3 rood
rood
rood
4 groen
groen
groen
paars
paars
paars
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
In leerstap 1 oefent de leerling het rekenen met verhoudingen tussen hoeveelheden. Dit gebeurt onder andere in verhoudingstabellen. Modellen die de leerling daarbij ondersteunen zijn kralen en kralenkettingen. In opdracht 7 t/m 10 wordt de leerling uitgedaagd om logisch na te denken over andere contexten waarin verhoudingen tussen hoeveelheden/aantallen centraal staan.
L E E R S TA P 2
LEERSTAP
4
het rekenen met verhoudingen tussen gewichten en inhouden OPDRACHT 1
Hoeveel heeft de kok nodig? Reken uit.
VOOR:
BLOEM
4 pannenkoeken 8 pannenkoeken pannenkoeken
MELK
200 g
EIEREN
0,5 l g
600 g
g l
20 pannenkoeken
kg
l
kg
l
pannenkoeken
3 kg
l kg
50 g
1l
48 pannenkoeken
100 pannenkoeken
BOTER
2
l
150 g 10
g 0,600 kg
30
kg kg
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
In leerstap 2 oefent de leerling het rekenen met verhoudingen tussen gewichten en inhouden. Dit gebeurt onder andere met verhoudingstabellen, in de context van recepten voor pannenkoeken (gewichten) en limonade (inhouden), het vullen van glazen (inhouden) en het vullen van zakjes meel (gewichten). In opdracht 7 t/m 10 wordt de leerling uitgedaagd om logisch na te denken over verhoudingen tussen inhoud (verf) en oppervlakte (muren). Vragen die gesteld worden: Hoeveel liter verf heb je nodig? Hoeveel muren kun je schilderen? Heb je genoeg verf? 8
5
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
L E E R S TA P 3
het rekenen met verhoudingen tussen afstand en tijd OPDRACHT 2
Wie fietst sneller? Kruis aan en leg uit.
IN 1 UUR
Cindy Cindy
Arja
IN 4 UUR
20 km
Arja
IN 8 UUR
km km
km
km 168 km
Leg uit:
In leerstap 3 oefent de leerling het rekenen met verhoudingen tussen afstand en tijd. Tevens wordt in deze leerstap het verband gelegd tussen afstand, tijd en snelheid. Vragen die aan de orde komen: Wie fietst sneller, iemand die in 1 uur 21 kilometer fietst of iemand die in 1 uur 20 kilometer fietst? Het rekenen met verhoudingen tussen afstand, tijd en snelheid gebeurt met behulp van verhoudingstabellen. In opdracht 7 t/m 10 wordt de leerling uitgedaagd om logisch na te denken over het benzineverbruik van auto’s. Wat betekent het bijvoorbeeld als een auto 1 op 12 rijdt? En welke auto gebruikt minder benzine, de auto die 1 op 12 rijdt of de auto die 1 op 15 rijdt?
L E E R S TA P 4 LEERSTAP
4
het rekenen met schaalverhoudingen Je oefent het rekenen met schaalverhoudingen
OPDRACHT 1
Hoe lang zijn de straten? Meet en reken uit. Op de kaart is de Lindenstraat 2 centimeter lang. In werkelijkheid is de Lindenstraat 400 meter lang.
Op de kaart is de Graaf van Burenstraat 4 centimeter lang. In werkelijkheid is de Graaf van Burenstraat meter lang.
0 200 m 1 centimeter op de kaart in is werkelijkheid 200 meter. 0
200 m
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
IIn leerstap 4 oefent de leerling het rekenen met kaartschalen. Het gaat daarbij om het rekenen met de verhouding tussen een afstand op de kaart en de afstand in werkelijkheid. Bijvoorbeeld: Wat betekent ‘de schaal is 1 : 20.000’? En hoe gebruik je deze informatie als je uit wilt rekenen hoe groot de afstand tussen A en B in werkelijkheid is? In opdracht 7 t/m 10 rekent de leerling met schaalverhoudingen tussen tekeningen van objecten en de maten die deze objecten in werkelijkheid hebben.
16
0
200 m
6
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
L E E R S TA P 5 LEERSTAP
5
het rekenen met verhoudingen, breuken Je oefent het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten en procenten OPDRACHT 1
Kleur de cirkelgrafiek.
50 van de 100 kralen zijn rood. 30% van de 100 kralen is geel. ⁄ 110 deel van de 100 kralen is blauw. De rest van de kralen is paars.
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
De opdrachten in leerstap 5 worden steeds formeler van aard en dagen de leerling uit om logisch na te denken over de samenhang tussen verhoudingen, breuken en procenten. Zowel cirkelgrafieken (zie opdracht 1 t/m 3) als staafgrafieken (zie opdracht 7 en 8) spelen daarbij een rol. 2 deel van de kralen is ⁄ 1
kralen van de 400 kralen.
2 van de 10 kralen is
kralen van de 400 kralen.
L E E R S TA P 6
6 met verhoudingen in allerlei het rekenen LEERSTAP
25% van de kralen is
kralen van de 400 kralen.
De rest van de kralen is
kralen van de 400 kralen.
situaties
Je oefent het rekenen met verhoudingen in allerlei situaties
20
OPDRACHT 1
Hoeveel kilometer kunnen de auto’s rijden? Reken uit.
benzineverbruik:
1 liter benzine per 10 kilometer
MET 10 LITER
MET 40 LITER
MET 80 LITER
MET 120 LITER
BENZINE
BENZINE
BENZINE
BENZINE
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
km
1 liter benzine per 12 kilometer
1 liter benzine per 15 kilometer
geen kopieermateriaal © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg
In leerstap 6 ligt de nadruk op het toepassen van kennis en vaardigheden met betrekking tot verhoudingen. Het gaat daarbij om het rekenen met verhoudingen tussen inhouden, gewichten, afstanden, oppervlaktes en geldbedragen in verschillende combinaties en situaties. Ook het vergroten en verkleinen van foto’s komt aan bod.
24
7
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
TIPS
Hieronder staan een aantal vragen die u als leerkracht kunt stellen om het leerproces bij de leerling te stimuleren en/of te ondersteunen: Weet je nog? Afhankelijk van de voorkennis van de leerling, raden we u aan om expliciet aandacht te besteden aan: • De verhoudingstabel. Ga na of de leerling begrijpt wat de getallen in de afgebeelde verhoudingstabellen betekenen en hoe hij de getallen met behulp van de verhoudingstabellen kan halveren en verdubbelen, vermenigvuldigen en delen. • De meest gebruikte standaardmaten voor het weergeven van lengte, afstand, inhoud, gewicht en tijd, zoals: kilometer – meter – centimeter (lengte/afstand) liter – milliliter (inhoud) kilogram – gram (gewicht) uren – minuten – secondes (tijd) • Het begrip snelheid. Vraag bijvoorbeeld: Welke slak gaat sneller, een slak die in 1 uur 20 centimeter aflegt of een slak die in 1 uur 25 cm aflegt? Om het vergelijken van de snelheden inzichtelijker te maken, kunt u de leerling de afstanden die de twee slakken in 1 uur afleggen, laten tekenen. • Situaties waarin schaalverhoudingen een rol spelen. Denk aan plattegronden/topografische kaarten of maquettes en het vergroten en verkleinen van foto’s/tekeningen. • De relaties tussen verhoudingen, breuken en procenten. Leg bijvoorbeeld 2 rode fiches en 6 blauwe fiches op tafel. Benadruk dat er in totaal 8 fiches op tafel liggen en vraag: Welk deel van de 8 fiches is rood? Ga na of de leerling begrijpt dat ¼ deel van de 8 fiches rood is en dat 2 van de 8 fiches evenveel is als 25% van 8 fiches. • Wat het betekent als een auto 1 op 10 rijdt? En welke auto gebruikt minder benzine, de auto die 1 op 12 rijdt of de auto die 1 op 15 rijdt? Leerstap 1 het rekenen met verhoudingen tussen hoeveelheden Ga na of de leerling begrijpt wat de getallen in de afgebeelde verhoudingstabel van opdracht 1 betekenen. Teken een kralenketting met 10 kralen. De leerling kleurt deze ketting, op basis van de gegeven getallen. Kleurt hij 2 van de 10 kralen geel en 4 van de 10 kralen groen? Begrijpt hij dat 2 gele kralen, 3 rode kralen, 4 groene kralen en 1 paarse kraal samen 10 kralen zijn? Teken een kralenketting met 20 kralen. Vraag: Hoeveel kralen worden geel? En hoeveel kralen worden groen? Hoe reken je? Benadruk dat het aantal gele kralen en het aantal groene kralen verdubbelt. Ofwel: een ketting met 20 kralen krijgt 4 gele kralen en 8 groene kralen. Vraag tenslotte: Hoeveel gele kralen krijgt een ketting met 100 kralen? Hoe reken je? Ga na of de leerling begrijpt dat een ketting met 100 kralen (10 × 2 =) 20 gele kralen bevat? Benadruk dat de verhouding tussen het aantal gele, rode, groene en paarse kralen in de ketting met 100 kralen gelijk is aan de verhouding tussen het aantal gele, rode, groene en paarse kralen in de ketting met 10 kralen. Leerstap 2 het rekenen met verhoudingen tussen gewichten en inhouden Ga na of de leerling begrijpt wat de getallen en (de afkortingen van) de maten in de afgebeelde verhoudingstabel van opdracht 1 betekenen. Stimuleer dat de leerling onderzoekt hoe hij de verhoudingstabel handig in kan vullen. Benadruk het verdubbelen, halveren, vermenigvuldigen en 8
Rekenvlinder • Rekenen met verhoudingen • Toelichting • © Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg • www.rekenvlinder.nl
delen van de gegeven getallen en maten. Bijvoorbeeld: als de kok voor 4 pannenkoeken 200 gram bloem nodig heeft, dan zal hij voor 8 pannenkoeken een dubbele hoeveelheid, ofwel 400 gram bloem, nodig hebben. Of: als de kok met 1 kg meel 20 pannenkoeken kan bakken, dan kan hij met 3 kg meel drie keer zoveel, ofwel 60 pannenkoeken, bakken. Leerstap 3 het rekenen met verhoudingen tussen afstand en tijd Vraag aan de leerling: Welke slak gaat sneller, een slak die in 10 minuten 4 centimeter aflegt of een slak die in 1 uur 30 centimeter aflegt? Stimuleer dat de leerling een manier bedenkt om de afstanden en de snelheden van de twee slakken te vergelijken. Indien nodig kunt u de leerling onderstaande verhoudingstabel verder laten invullen:
IN 10 MINUTEN
slak 1 slak 2
4 centimeter centimeter
IN 60 MINUTEN
centimeter 30 centimeter
Benadruk dat slak 2 sneller loopt. Om het vergelijken van de snelheden inzichtelijker te maken, kunt u de leerling de afstanden, die de twee slakken in 10 minuten of in 1 uur afleggen, laten tekenen. Leerstap 4 het rekenen met schaalverhoudingen Ga na of de leerling begrijpt dat 1 centimeter op de kaart van opdracht 2 in werkelijkheid 200 meter is. Vraag: Hoeveel centimeter is dat in werkelijkheid? Benadruk dat 200 meter evenveel is als 20.000 centimeter. Noteer de kaartschaal 1 : 20.000. Kan de leerling de kaartschaal correct verwoorden? (1 centimeter op de kaart is 20.000 centimeter in werkelijkheid.) Bespreek opdracht 5 samen met de leerling. Verander de kaartschaal 1 : 10.000 in 1 : 20.000 en vraag: Als de kaartschaal 1 : 20.000 is (in plaats van 1 : 10.000), is de route in werkelijkheid dan korter of langer dan 1 kilometer? (Bij een kaartschaal van 1 : 20.000 is de route in werkelijkheid 1,7 km en dus langer dan 1 kilometer.) Leerstap 5 het rekenen met verhoudingen, breuken en procenten Leg 5 blauwe en 15 rode fiches op tafel en vraag: Welk deel van de 20 fiches is blauw? Benadruk de samenhang tussen verhoudingen, breuken en procenten. ( 5 van de 20 fiches zijn blauw, ¼ deel van de 20 fiches is blauw, 25% van de 20 fiches is blauw.) Verdeel een strook papier in 4 gelijke stukken. Kleur 1 deel blauw, kleur de overige delen rood. Vraag: Welk deel van de strook is blauw? (1 van de 4 delen is blauw, ¼ deel van de strook is blauw, 25% van de strook is blauw.) Leerstap 6 het rekenen met verhoudingen in allerlei situaties Ga na of de leerling begrijpt wat het betekent als een auto 1 liter benzine per 12 kilometer verbruikt. Benadruk dat een auto die 1 op 12 rijdt, 12 kilometer kan rijden met 1 liter benzine. Vraag: Hoeveel kilometer kan de auto rijden met 2 liter benzine? En met 20 liter benzine? En met 40 liter benzine? Vraag tenslotte: Welke auto gebruikt minder benzine, een auto die 1 op 12 rijdt of een auto die 1 op 15 rijdt? Stimuleer dat de leerling vertelt of laat zien hoe hij denkt en rekent. Om het vergelijken van het benzineverbruik inzichtelijker te maken, kunt u de leerling de afstanden laten tekenen die de twee auto’s kunnen rijden met respectievelijk 1 liter, 2 liter, 20 liter en 40 liter benzine. 9
