Számítógéppel irányított rendszerek elmélete hatodik házi feladat Beadási határidő: 2014. 04. 03. A megoldásokat kézzel kell kiszámolni és az ábrákat kézzel kell megrajzolni! Számítógépes programok használhatóak önellenőrzés céljából, de minden feladatnak tartalmaznia kell a megoldások levezetését!
Feladatok 1. Adott a következő doboz diagram. u
1 s+2
-
s−2 s
y
1 s−3
(a) Számolja ki az eredő átviteli függvényt, G(s)-t! Megoldás: 1 (s) , A visszacsatolt rész átviteli függvénye 1+HH 1 (s)H2 (s) mellyel sorosan van kapcsolva a harmadik doboz, ezért G(s) =
H1 (s) 1+H1 (s)H2 (s)
· H3 (s) =
1 s+2 1 1 1+ s+2 · s−3
·
s−2 s
=
(s−2)(s−3) s(s2 −s−5)
(b) Adjon meg egy állapottér realizációt a G(s) átviteli függvényhez! Megoldás: Az átviteli függvényben a zárójelek felbontásával kapjuk, hogy G(s) = amely alapján azonnal felírható a controller form realizáció. −1 A= 1 0
1 1 5 0 0 B = 0 C = 1 0 1 0
−5
6
s2 −5s+6 s3 −s2 −5s
(c) Minimális-e ez az állapottér realizáció? Megoldás: Mivel az átviteli függvény nem egyszerűsíthető, és az A mátrix sorainak illetve oszlopainak száma megegyezik a nevező polinom fokszámával, ezért a rendszer minimális realizáció. Más megoldás: Egy realizáció pontosan akkor minimális, ha irányítható és megfigyelhető. Egy controller form realizáció mindig irányítható, így elég csak a megfigyelhetőséget megvizsgálni. 1 −5 6 5 −→ det(O3 ) = −140 6= 0 O3 = −6 7 13 −1 −30 Tehát a rendszer megfigyelhető, így a fentiek alapján minimális. 1
(d) Adja meg a rendszer pólusait, zérusait! Megoldás: A rendszer zérusai az átviteli függvény számlálójának, a pólusai pedig a nevezőjének gyökei. Ez alapján zérusok: 2, 3 √ √ pólusok: 0, 1+2 21 , 1−2 21 2. Adott az ötödik házi feladatban megismert DC motor modell. A házi feladat megoldása során kiszámoltuk, hogy adott paraméterek mellett a rendszer átviteli függvénye a következő H(s)
=
s2
2 + 7s + 10
(1)
(a) Adjon meg egy olyan, a DC motor modelljét tartalmazó szabályzókört, ahol a szabályzókör állandósult állapotbeli erősítése egy, azaz G(j · 0) = 1! Megoldás. Ahogy az már a 6. gyakorlaton is szerepelt, a H(s) rendszer elé kössük be a HI (s) = 1s integrátort, úgy hogy ezt az egészet negatívan visszacsatoljuk (1. ábra). Ekkor a visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye: 1
G(s)
=
G(j · 0)
=
2
2 HI (s)H(s) 2 = s s1 +7s+10 = 3 2 2 1 + HI (s)H(s) s + 7s + 10s + 2 1 + s s2 +7s+10 2 =1 2
(2) (3)
(b) Rajzolja meg doboz algebra segítségével a szabályzókör doboz diagramját. Kiemelten figyeljen a megfelelő jelölésekre és az egyes részrendszereket is megfelelően jelölje! Megoldás. Lásd 1. ábra. r=1
e -
HI (s) =
u
1 s
H(s) =
2 s2 +7s+10
y
y
Figure 1: 2b. feladat, a szabályzókör doboz diagrammja. A rendszer az adott referencia jel mellett tart 1-be. 3. Adott egy aluláteresztő szűrő, ahol az R = 50 Ω és a C=500 µF . (a) Adja meg a rendszer átviteli függvényét! Megoldás. A 2. ábrán látható egy első rendű aluláteresztő szűrő kapcsolási rajza. Ennek átvieteli függvénye: H(s) =
C = sR + C
s C R
1 +1
(4)
Behelyettesítve: H(s) =
0.0005 = 50s + 0.0005
2
1 s 10−5
+1
(5)
R
vin
vout
C
Figure 2: Aluláteresztő szűrő kapcsolási rajza (b) Adja meg a szűrő törési frekvenciáját és erősítését f = 0 Hz frekvencián! Megoldás. Mivel az elsőrendű szűrő átviteli függvénye a következő alakú: H(jω) =
jω C R
1 = +1
1 jω 10−5
+1
(6)
,
a szűrő törési frekvenciája a következő ωc =
C = 10−5 R
Ha f = 0 Hz, akkor ω = 0 rad/s, ezért H(jω = 0) =
j·0 ωc
1 = 1, +1
vagyis az erősítését f = 0 Hz frekvencián 1. (c) Rajzolja meg a szűrő Bode-diagramjának tört vonalas közelítését! Megoldás. A Bode-diagram amplitúdó karakterisztikájának ábrázolásához fel kell rajzolnunk az 1 AdB (ω) = 20 log10 H(jω) = 20 log10 jω (7) ω + 1 c erősítés függvényt dB-ben, ω szerint 10-es alapú logaritmikus skálán. A fázisátmenet karakterisztikát a H(jω) komplex függvény argumentuma (forgásszöge) adja meg: ϕ(ω) = H(jω),
ahol a + bj = arctan
b a
(8)
A szűrő Bode-diagramjának képe a 3. ábrán látható, mely a 4. ábrán feltüntetett Matlab script-el lett generálva.
3
Amplitúdó karakterisztika
amplitúdó karakterisztika vágási frekvencia -3dB erősítés
0 −10 −20 −30 −40 10−7
10−6
10−5
Fázismenet karakterisztika
10−4
10−3
fázismenet karakterisztika vágási frekvencia π 4 fázismenet
0
−0.5 −1 −1.5 10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
Figure 3: 3c. feladat, Bode-diagram, feltünteve a vágási frekvenciát. A vágási frekvencia az amplitúdókarakterisztikát -3dB szinten vágja, a fázismenet karakterisztikát pedig π4 -ben.
4
npd dec nrd w = for
= 20; = -7:-3; = numel(dec); zeros(1, npd*nrd); k = 1:nrd-1 w(k*npd+1:(k+1)*npd) = linspace(10^dec(k), 10^dec(k+1), npd);
end H = C ./ (1j*w*R + C); w_cut = C / R; w_max = 10^dec(end); figure, subplot(211) semilogx(w,20*log10(abs(H))), axis tight, hold on plot([w_cut, w_cut],[0, -1000], ’Color’, [1 0.7 0.7]) semilogx(w, w*0-3, ’Color’, [0.6 0.8 0.4]) set(gca,’xscale’,’log’), legend(’Amplitúdó karakterisztika’, ’vágási frekvencia’, ’-3dB erősítés’) title(’Amplitúdó karakterisztika’) subplot(212) semilogx(w,angle(H)), axis tight, hold on plot([w_cut, w_cut],[0, -1000], ’Color’, [1 0.7 0.7]) semilogx(w, w*0-pi/4, ’Color’, [0.6 0.8 0.4]) set(gca,’xscale’,’log’), legend(’Amplitúdó karakterisztika’, ’vágási frekvencia’, ’pi/4 fázismenet’) title(’Amplitúdó karakterisztika’)
Figure 4: Matlab kód, mellyel a fent látható Bode-diagram generálható.
5
