Számítógépes vizualizáció a kalkulus oktatásában* Karsai János - Forczek Erzsébet Szent-Györgyi Albert Orvostudományi Egyetem, Orvosi Informatikai Intézet, 6720 Szeged, Korányi fasor 9. Abstract. The fast graphical workstations and the scientific, visualization and multimedia softwares mean a technical basis of modernization of the education of the most theoretical subjects, like mathematics. They are new tools for illustration after the blackboard, slide projectors. It is not a new idea, but the realization is not simple at all. The show and the sight can majorize everything else, they can hide the essence of the lectures and the main ideas, they can distract the attention. Instead, the computer applications, videoclips have to help the students in understanding the theoretical problems, they must activate their thinking, but cannot control the flow of the lecture. The usage of the technical devices is not subject to the theoretical topics in general. These problems are highly accumulated in the case of mathematics because of its very abstract nature. Using the new Silicon Graphics workstations and some scientific and visualization softwares, we started a project for modernizing the educational program of biomathematics at the Faculty of Pharmacy. In our presentation we summerize the main goals, problems, and solutions from methodological, professional and technical aspects, too.
Bevezetés A gyors grafikus munkaállomások, személyi számítógépek és a rajtuk futó tudományos, vizualizációs szoftverek a tudományos kutatás nélkülözhetetlen eszközeivé váltak. Bonyolult adathalmazok grafikus megjelenítése, a vizsgált modellek számítógépes szimulációja ma már teljesen megszokott. Hasonló a helyzet az oktatásban is, bár az eredményesség nem egyértelmû, különösen az elméleti, absztrakt tárgyak eesetén. A sikeres alkalmazások [2] mellett számos sikertelen vagy részben sikeres példa mutatja, hogy a számítógépes vizualizáció oktatási célú megvalósítása korántsem egyszerû. A sikertelenség oka korábban a tökéletlen eszközbázis volt, (lassú gépek, gyenge grafika) amely inkább hátráltatott, mint segített. Manapság pedig éppen a technikai lehetõségek sokasága (3D grafika, animáció, video, audio stb.), a látványorgia könnyen féreviheti az elõadások vonalát, elvonhatja a hallgatóság figyelmét. Komoly módszertani, tervezési feladat megteremteni az oktatási célok, a tananyag, a technikai lehetõségek, az oktatási rendszer és a hallgatóság képességeinek összhangját. Nem utolsósorban, "cost-benefit" vizsgálatokra is szükség van [1]. A vázolt problémák, megfontolások halmozottan jelentkeznek az igazán elméleti tantárgy, a matematika esetében. A Szent-Györgyi Albert Orvostudományi Egyetemen a gyógyszerészhallgatók matematika oktatásában 1994-ben kezdtük alkalmazni a számítógépes vizualizáció lehetõségeit. Az elkészült számítógépes grafikákat, video- és ábraanyagot szívesen bocsájtjuk a kollégák rendelkezésére. A matematika tantárgy céljai, programja A SZOTE Gyógyszerésztudományi Karán a matematika alapozó tárgyként része a képzésnek. A tárgy majdnem húsz éves története során az oktatási célok letisztultak, a tematika lényegében kiforrott. Az alkalmazói környezettel az egyeztetések folyamatosak.
*A kutatást az Alapítvány a Magyar Felsõoktatásért és Kutatásért támogatja (Grant no. 776/94)
Az oktatott anyag tartalmazza az alapvetõ függvénytani ismereteket (egy és kétváltozós függvények), a függvényvizsgálat és modellezés alapvetõ fogalmait, módszereit (differenciálés integrálszámítás, differenciálegyenletek), a gyakorlati, grafikus interpretációkat. A tárgy oktatásának alapfeladata, hogy a hallgatók gyakorlativá konvertálható elméleti alapképzésben részesüljenek. A cél olyan matematikai alaptudás megteremtése, amely a hallgatókat alkalmassá teszi, hogy szakmájukon belül matematikai modellek, eljárások és módszerek segítségével kutatási feladatokat oldjanak meg, mérési eredményeket értelmezzenek stb. Lényegesnek tartjuk a tárgyi tudás megszerzése mellett az absztrakciós képességek, a modellalkotó, a numerikus számolási készségek és nem utolsósorban a grafikus látásmód, a vizuális képességek fejlesztését. Céljaink elérése érdekében az absztrakt fogalmakat mindig valós alkalmazásokhoz kötjük, grafikus jelentéssel ruházzuk fel. A gyakorlatokon a hallgatóknak számos függvény grafikonját kell felrajzolniuk, illetve grafikusan adott folyamatokat elemezniük. Ennek ellenére azt tapasztaljuk, hogy a hallgatóság elsajátítja ugyan az anyagot, de alkalmazni már nem mindig képes saját munkája során. Általános problémának tartjuk, hogy csak kevesekben alakul ki (vagy már sokakból kiveszett?) a megfelelõ kreativitás, vizualitás, problémamegoldó és asszociációs készség. Úgy gondoljuk, hogy a hiányolt képességek kifejlõdését, az anyag megértetését elõsegíthetjük a számítógépes vizualizációs eszközök célirányos bevetésével. A vizualizáció alapelvei, eszközei A tábla és kréta a legõsibb eszközök. Használatuk lehetõvé teszi, hogy a hallgatók kövessék az anyagot, a táblán levõ ábrákat, szövegeket jegyzetelni tudják. Korlátaik ismertek. Fényképek, bonyolult ábrák kivetítésére (de nem a tábla helyettesítésére) kiegészítésül használhatunk írásvetítõt és diavetítõt. A klasszikus eszközök statikus információk (szövegek, képletek, ábrák, fotók) megjelenítését teszik lehetõvé. Nem biztosítják a folyamatok (függvények) mozgás közben való interaktív vizsgálatát. A gyors személyi számítógépeken és grafikus munkaállomásokon futó tudományos szoftverek által készített ábrák sokkal pontosabbak, tökéletesebbek, mint a kézi rajzok, amelyeket az elõadó gyorsabban tud elkészíteni. Ezen túlmenõen, a szoftverek képesek szimbólikus, numerikus számítások végzésére, 2D, 3D grafikák, animációk készítésére, a megjelenített modellek viselkedésének interaktív változtatására. A látvány tökéletessége mellett alkalmazásuk külön haszna, hogy a hallgatóság könnyebben elhiszi a látottakról, hogy nem az elõadó fiktív okoskodásainak eredményei. Mindemellett, a számítógépek nem helyettesítik a klasszikus oktatási eszköztárat, hanem kiegészítik azt. Igen nehéz az adott célnak megfelelõ eszközök, alkalmazások kiválasztása [3, 4]. A SZOTE-n alkalmazott számítástechnikai eszközbázis. Az alkalmazások, illusztrációk megfelelõ minõségû és sebességû futtatásához gyors gépek szükségesek. Ilyenek nem találhatók az elõadótermekben. Rendelkezésre állnak videólejátszók és írásvetítõk. Animációk esetén ezért az elõre videóra felvett anyag lejátszható. Emellett gyors notebook számítógép hordozható kivetítõvel nagy rugalmasságot biztosít. Az elõadásokon használandó bonyolultabb anyagok Silicon Graphics Indigo R4400/XZ munkaállomásokon (120 MIPS, 24 MFLOPS, 24 bites 3D grafika, 1280x1024 19 monitor) készülnek. Ezeket videóra vesszük fel. Az Orvosi Informatikai Intézet számítógépes oktatótermeiben AT-486 számítógépek, SGI Indigo ZX munkaállomás és X terminálok állnak a hallgatók és a kutatók rendelkezésére.
Ezekre a Mathematica és más tudományos szoftvereket, az elkészült és vásárolt oktatóanyagokat (PC és UNIX verziók) megfelelõ számban telepíteni kívánjuk. A Mathematica az egyik legelterjedtebb matematikai szoftver. Több platformon mûködik. Programnyelve formális matematikai programok írását teszi lehetõvé. A vele készült alkalmazásoknak nagy irodalma van. A Silicon Graphics és IBM RS-6000 verzió rendelkezik a speciális „live funkcióval, amely 3D objektumok (pl. grafikonok, felületek) „élõ”, egérrel történõ mozgatását és körbejárását is lehetõvé teszi. Elérhetõk más, hasonló intelligenciával rendelkezõ szoftverek, mint pl. a Maple-V, vagy a MATLAB. Az IRIS Explorer az SGI által fejlesztett, más platformokon is mûködõ vizualizációs szoftver. Több száz moduljából a grafikus „Map Editor segítségével a modellezési sémák (programok) interaktív módon állíthatók össze. A modulok szintén intraktívan vezérelhetõk, így a modellek tulajdonságai tanulmányozás közben módosíthatók. A számítógépes vizualizáció alapelvei, módszerei A feladat a következõ: a fõ vonalaiban adott tananyaghoz az oktatás céljainak a minél tökéletesebb megvalósításához kell megválasztanunk, kidolgoznunk a megfelelõ segédeszközöket a fent vázolt elvek figyelembevételével. Ezek az eszközök különböznek az elõadás, a gyakorlatok és az önálló tanulás esetén. Általános elv, hogy a segédeszközök, a számítógépek használata nem helyettesítheti a gondolkodást. Az absztrakt fogalmak megértését kell megkönnyíteniök, a hallgatóságban az anyaggal kapcsolatos új gondolatokat kell ébreszteni. Ugyanakkor nem vehetik át az oktatás menetének az irányítását, minthogy ezen eszközök használata nem része az elméleti anyagnak. Nem tételezhetünk fel semmilyen számítógépes alapismeretet. Ezért a gyógyszerészhallgatók matematika oktatása alapvetõen nem számítógépre alapozott, nem számítógép által vezérelt, hanem általa illusztrált. Bár a szoftvereszközök lehetõvé teszik pl. a gyökkeresést, formális deriválást, integrálást, ezt a lehetõséget a hallgatók az órák alatt nem vehetik igénybe. A gépi számolás a fogalmak megtanulásának fázisában hátrányos. Itt emlékeztetünk a zsebszámológép korai használata által okozott gondokra. Alkalmazások az elõadáson A gyógyszerészhallgatók számára készült jegyzet teljes ábraanyaga (2D, 3D) az SGI munkaállomásokon készült. Ezeket írásvetítõn kivetítjük ill. videon lejátsszuk. Ezt kiegészítik a Mathematica programmal elõkészített mintaalkalmazások, amelyeket a hallgatóság szeme láttára futtatunk a hordozható számítógépen (sebesség!). A megjelenítés kivetítõn történik. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi lehetõség nagymértékben növeli a az elõadás hatékonyságát. A hallgató jegyzetelõautomatából aktív résztvevõvé válik. A felmerült ötleteket az elõadó azonnal megvalósítja. Komolyabb számítási kapacitást igénylõ 3D animációkat videora veszünk fel és azt vetítjük le. tapasztalataink szerint a videofelvételekrõl készült állóképeket is be kell mutatni, hogy a hallgató jegyzetelni tudjon. Alkalmazások a gyakorlaton. A gyakorlatokon az alkalmazások lényegében nem különböznek az eladásoktól. Itt az interaktív lehetõségek különös szerephez jutnak. A megoldandó konkrét feladatokat az oktató illusztálja a számítógép segítségével vagy a megoldás megkönnyítése vagy éppen helyességének ellenõrzésére. A géppel készített ábrák néha egészen meglepõek a diákok számára (például az exponenciális növekedés tényleges sebességét más elmondani és látni). Önálló tanulás és speciális gyakorlatok Az elõadás és a gyakorlat számára készült illusztrációk ill. teljes oktatóanyagok (pl. [2]) számítógépes kabinetben rendelkezésre állnak. A közeljövõben elkészítjük a jegyzet interaktív verzóját és egy rövid összefoglalót az alkalmazott programok használatáról is. A hallgatók újrafuttathatják az elõadáson vagy gyakorlaton átott alkalmazásokat, azokat módosíthatják illetve egyszerûbb saját alkalmazásokat készíthetnek. Az érdeklõdõ hallgatók
speciális kurzuson vehetnek részt, amelyen megtanulhatják a matematikai szoftvereknek, mint a tudományos kutatás segédeszközeinek használatát és ezáltal a számítógéppel segített modellezést. Itt kell megemlítenünk az IRIS Explorer vagy az IBM RISC családon futó Scientific Data Explorer különös jelentõségét (6a. és 6b.ábák). A tananyaghoz kapcsolódó legfontosabb számítógépes illusztrációk Elemi függvénytani ismeretek. Elemi függvények, ezek grafikonjai, mûveletek függvényekkel (elemi transzformációk, összetett függvény, inverz függvény stb.): függvények grafikonjainak menete, azok összevetése, transzformációk grafikus elvégzése (animáció), függvény és inverzének kapcsolata. Az 1a. és 1b. ábra az (x–c)2+c/2 és a cos(cx) függvényekre vonatkozó animációk kockáit mutatja. A differenciálszámítás elemei. Határátmenetek, változási ráták, a differenciálhányados fogalma interpretációi, „sima görbék, deriválási szabályok: a minden határon túli közeledés illusztrálása animációval, példák, ellenpéldák határértékre, folytonosságra; szelõk, érintõ viszonya (animáció egy erõsen konvex vagy konkáv függvényen. Az x2 függvény érintõje és szelõi közti kapcsolatot mutatja a következõ animáció (2a. és 2b. ábra). A differenciálhányados alkalmazásai: monotonitás, konvexitás, szélsõértékek, viselkedés a végtelenben. Különbözõ függvények növekedési mértékének viszonya. Exponenciális változás. Függvények közelítése, Taylor-polinomok: a grafikonok elõzetes rajzolása a sejtések megfogalmazásának megkönnyítésére, kis eltérések összevetések, aszimptotikus összehasonlítások, a függvény és Taylor-polinomjainak a viszonya a rend növekedésének a hatása (animáció, egymásra vetített ábrák), a közelítések pontossága. A cos x függvényt és Taylor-polinomjait láthatjuk a 3. ábrán. Az integrálszámítás alapjai: A határozatlan integrál mint a deriválás megfordítása. Határozott integrál, geomeriai, fizikai jelentés. Integrálfüggvény és tulajdonságai. Integrálási szabályok, technikák. Alkalmazások: terület- és térfogatszámítás, közelítõ integrálás: függvény rajzolása „érintõmezõhöz, közelítõ téglalapok, trapézok, térfogatszámítás integrálással (közelítõ téglatestek, hengerek: live show), közelítések pontossága. Differenciálegyenletek: fogalmak, feladatok, módszerek. Néhány, a gyógyszerésztudományban elõforduló egyenlet vizsgálata: iránymezõ, megoldások illeszkedése az iránymezõhöz, egyensúlyi helyzetek, paraméterek hatása a megoldásokra (animáció). Példánk az x'=x(1–x) differenciálegyenlet iránymezõjét és megoldásait mutatja (4a. és 4b. ábra).
1
1
0.75 0.5
0.5
c 2 - + (-c + x) 2
0.25
5
-6
-4
-2 -0.25
2
4
6
-6
-4
-2
2
4
6
2
4
6
2
4
6
-0.5
-0.5
4
-0.75
-1
1
1
0.5
0.5
3
-6
-4
-2
2
4
6
-6
-4
-2
2 -0.5
-0.5
-1
-1
1
1
0.5
0.5
1
-2
-1
1
2 -6
1a. ábra
-4
-2
2
4
6
-6
-4
-2
-0.5
-0.5
-1
-1
1b. ábra
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
4
3
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
-1
-0.5
1
0.5
1.5
2a. ábra
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
2b. ábra
4
2
-4
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
2
-1 -0.5
-6
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
4
2
1
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
-2
2
-2
4
6
0.5 1 1.5 2
-1 -0.5
0.5 1 1.5 2
3. ábra
2.5 2 1.5 1 0.5
2
4 4a. ábra
6
8
2.5 2 1.5 1 0.5
4b. ábra Többváltozós függvények: grafikon, parciális deriváltak, szélsõértékek keresése: grafikonok a 3D térben, síkmetszetek, érintõsík, parciális derivált illusztrációja síkmetszettel, maximum, minimum, nyeregpont (live show). Példaként az f(x,y)=x2 + cy2 függvények grafikonját mutatjuk be c[–1,1] értékek szerinti animációval (5. ábra).
1 0.5 0 -0.5 -1 -11 -0.5
1 1 0.5 0.5 1 1 1 0 0 -0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0.5 0.5 0.5 1-1 1-1 1-1
1 0.5 0 -0.5 -1 -11 -0.5
1 1 0.5 0.5 1 1 1 0 0 -0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 -1 -1 1 0 -1 0 -11 0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0 -0.5 0 0 0.5 0.5 0.5 -1 -1 1-1 1 1
1 0.5 0 -0.5 -1 -11 -0.5
1 1 0.5 0.5 1 1 1 0 0 -0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 -1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1-1 1-1 1-1
5. ábra Válogatott biológiai, kémiai modellek: a legfontosabb populációs, epidemiológiai, reakciómodellek, modellek fejlesztése; a modellegyenletek megoldásai: 2D, 3D live show, a modellbõvítés (egyenletek) interaktív elvégzése, interaktív szabályozás. Az alábbi két ábra IRIS Explorerrel készült sémákat mutat, amelyek egy térbeli vektormezõt és egy többváltozós függvény szintfelületeit jelenítik meg (6a. és 6b. ábra).
6a. ábra
6b. ábra Irodalom [1] [2] [3] [4] [5]
T. VAUGHAM: Multimedia, Making it work. Osborne, McGraw-Hill, 1994. B. DAVIS, H. PORTA, J. UHL: Calculus&Mathematica. Addison-Wesley, 1994. KOVÁCS F.: Az oktatófilm, tudományos ismeretterjesztõ film dramaturgiája. Megjelenés alatt, 1994. KUNSZENTI Á.: A mozgóképet (is) tartalmazó megjelenítés médiumai: film, video, számítógép. Megjelenés alatt, 1994. KARSAI J., FORCZEK E.: Számítógépes vizualizáció a gyógyszerészhallgatók matematika oktatásában. "Számítástechnikai és kibernetikai módszerek az orvostudományban és a biológiában" , a 17. kollokvium kiadványa, 1994.
