´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
´ OK, ´ ¨ ´ 1. HALMAZOK, RELACI FUGGV ENYEK 1. Bizony´ıtsuk be a halmaz-m˝ uveletek alapazonoss´agait! 2. Legyen adott az X halmaz, legyen A, B, C ⊂ X. Ha A4B := (A − B) ∪ (B − A), akkor bizony´ıtsuk be, hogy A4B = B4A, A4(B4C) = (A4B)4C. 3. Bizony´ıtsuk be, hogy ha X 0 , Y 0 6= ∅, akkor X 0 ⊂ X, Y 0 ⊂ Y ⇔ X 0 × Y 0 ⊂ X × Y, (X ∪ X 0 ) × Y = (X × Y ) ∪ (X 0 × Y ), (X × Y ) ∩ (X 0 × Y 0 ) = (X ∩ X 0 ) × (Y ∩ Y 0 ). 4. A, B ⊂ X adott halmazok. Mi annak a sz¨ uks´eges ´es elegend˝o felt´etele, hogy l´etezzen olyan Y halmaz melyre a) A ∪ Y = B, b) A ∩ Y = B, ´es hogyan adhat´o meg az ¨osszes ilyen halmaz? 5. Legyenek A, B, C ⊂ X adott halmazok. ´Irja fel azon elemek halmaz´at melyek a) csak B elemei, de nem elemei A, C–nek, b) pontosan k´et halmaz elemei, c) nem elemei mindh´arom halmaznak, d) legfeljebb egy halmaz elemei, e) legal´abb egy halmaz elemei, f) legal´abb k´et halmaz elemei, g) legfeljebb k´et halmaz elemei. 6. Legyen A = {n ∈ N | n p´aros }, B = {n ∈ N | n < 4 }, C = {n ∈ N | n > 2 } Hat´ arozza meg az X = [A − (B ∩ C)] ∪ [(A − B) − C] halmazt! 7. Az al´abbi egyenl˝os´egek k¨oz¨ ul melyek igazak minden A, B, C ⊂ X halmazra A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (B ∪ C), [A − (A − CX B)] ∪ B = A ∪ B
(CX B := X − B).
8. Legyen adott az f : X → Y f¨ uggv´eny ´es A ⊂ X, B ⊂ Y eset´en legyen f (A) := { f (a) : a ∈ A },
f −1 (B) := { x : x ∈ X, f (x) ∈ B }.
Bizony´ıtsuk be, hogy A ⊂ f −1 (f (A)), ´es egyenl˝os´eg minden A ⊂ X eset´en akkor ´es csak akkor ´all, ha f invert´ alhat´ o, f (f −1 (B)) ⊂ B, ´es egyenl˝os´eg minden B ⊂ Y eset´en akkor ´es csak akkor ´all, ha Y = f (X). 9. Legyen adott az f : X → Y f¨ uggv´eny. Bizony´ıtsuk be, hogy ha Y1 , Y2 ⊂ Y, X1 , X2 ⊂ X akkor f −1 (Y1 ∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 ), f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 ), f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 ),
f (X1 ∩ X2 )
f −1 (Y1 − Y2 ) = f −1 (Y1 ) − f −1 (Y2 ),
f (X1 − X2 ) ⊃ f (X1 ) − f (X2 ).
1
⊂ f (X1 ) ∩ f (X2 ),
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
2
10. Keress¨ uk meg az ¨osszes olyan f : R → R f¨ uggv´enyt, amely minden g : R → R f¨ uggv´ennyel felcser´elhet˝o: f ◦ g = g ◦ f. 11. Legyen A egy n−elem˝ u halmaz. H´any rel´aci´ o ´ertelmezhet˝ o A × A−ban? 2 12. Bizony´ıtsuk be, hogy a E := {(x, y)|(x, y) ∈ R , x − y ∈ Q} rel´ aci´ o ekvivalencia(rel´ aci´ o). 2 13. Bizony´ıtsuk be, hogy a R := {(x, y)|(x, y) ∈ N , x oszt´oja y − nak } rel´ aci´ o f´elig rendez´es. 14. Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o lek´epez´eseket: F
: N → N, n → 2n;
H : R → R, x → x2 ;
G : Q → Q, x → 2x; L
: N → N, n → n2 .
´ Allap´ ıtsuk meg k¨oz¨ ul¨ uk melyik injekt´ıv, sz¨ urjekt´ıv, ill. bijekt´ıv! ´ SZAMOK ´ 2. VALOS 1. Bizony´ıtsuk be, hogy ha r ∈ Q, x ∈ R − Q, akkor r + x, ´es ha r 6= 0, akkor rx ∈ R − Q. 2. Bizony´ıtsuk be, hogy x irracion´alis, ha a) x2 = 2, b) x2 = 6, c) x3 = 5. 3. Mivel egyenl˝o inf H, sup H, min H, max H, ha H = ¶ ¯ ¾ ½ n ¯ ¾ ½ µ 3 ¯ 1 ¯ n (−1) 1 − ¯ n∈N , ¯ n∈N , n n! ½ ¾ ½ ¾ ¯ m 4n ¯¯ m ¯ + ¯ m, n ∈ N , ¯ m ∈ Z, n ∈ N . n m |m| + n 4. Igazolja, hogy
T
[n, ∞[= ∅, ´es
n∈N
T n∈N
]0, n1 ] = ∅.
5. Bizony´ıtsuk be, hogy minden n ∈ N–re, vagy a megadott n–ekre n n P P (8j − 3) = 4n2 + n, 2j = 2n+1 − 2, j=1
j=1 n P
n P
j · j! = (n + 1)! − 1,
j=1
j2 =
j=1
n 1 P 2 j=1 j
≤ 2−
1 , n
n P 1 √ j j=1 n P
n(n + 1)(2n + 1) , 6
√ ≥ 2 ( n + 1 − 1),
1 n+j
>
13 (n ≥ 2), 24
n3 < 2n+1 (n > 8),
1 √ 3n + 1
≥
1 3 2n − 1 · ··· , 2 4 2n
(n + 1)! > 2n+3 , (n ≥ 5),
n3 n5 7n + + 3 5 15
4n+4 > (n + 4)4 ,
j=1
10n + 3 · 4n+2 + 5
oszthat´o 9-cel,
n3 + 5n + 6
eg´esz sz´am, oszthat´o 3-mal.
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
6. Mutassuk meg, hogy
¡n¢
3
µ ¶ µ ¶ µ ¶ n+1 n n = + , k+1 k k+1
n! . k!(n − k)! 7. Bizony´ıtsuk be, hogy b´armely a, b ∈ R ´es n = 0, 1, 2, . . . eset´en n µ ¶ X n n−k k n a b , (a + b) = k ahol
k
=
k=0
(ez Newton binomi´alis t´etele). 8. Bizony´ıtsuk be, hogy b´armely n ∈ N ´es x ≥ −1 mellett teljes¨ ul a Bernoulli-f´ele egyenl˝ otlens´eg: (1 + x)n ≥ 1 + nx. Egyenl˝os´eg pontosan akkor teljes¨ ul, ha x = 0 vagy n = 1. 9. Bizony´ıtsuk be, hogy ha a1 , a2 , . . . , an nemnegat´ıv val´ os sz´amok, akkor teljes¨ ul a sz´amtani ´es m´ertani k¨z´ep k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eg: √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 . . . an . n Egyenl˝os´eg pontosan akkor teljes¨ ul, ha a1 = a2 = · · · = an . 3. SOROZATOK 40 2n n3 n! , , , . n n2 3 n nn 2. Bizony´ıtsuk be, hogy ha (a2n+1 ) ´es (a2n ) korl´ atos, akkor (an ) is korl´ atos. 1. Korl´atos-e (an ), ha an = n2 − 30n + 90, n +
3. Hat´arozzuk meg n0 −at u ´gy, hogy (an ) monoton legyen n(> n0 ) indexekre, ha an = n2 + 30n + 90,
n+
40 , n
2n , n2
n3 , 3n
n! , nn
5n + (−4)n .
1 (a1 + · · · + an ). Igazoljuk, hogy n a) Ha (an ) korl´atos, akkor (An ) korl´ atos, de ford´ıtva nem,
4. Legyen adott (an ) ´es legyen An :=
b) Ha (an ) monoton n¨ovekv˝o, akkor (An ) monoton n¨ovekv˝ o, de ford´ıtva nem, c) Ha (an ) konvergens, akkor (An ) konvergens, de ford´ıtva nem. T 5. Legyenek (an ), (bn ) olyan sorozatok, hogy ∞ n=1 [an , bn ] 6= ∅. Igaz-e, hogy (an ) monoton n¨ovekv˝o, (bn ) monoton cs¨okken˝o? Igaz-e, hogy (an ) (ill. (bn ) ) konvergens? 6. Az (an ) sorozat konvergensnek nevezz¨ uk, ha l´etezik olyan a sz´am, amivel a k¨ovetkez˝ o teljes¨ ul: Minden ² > 0 sz´amhoz megadhat´o olyan N (²) sz´am, hogy ha n > N (²), akkor |an − a| < ². Tetsz˝olegesen adott ² > 0−hoz adjunk meg n´eh´ any N (²)−t, ha an = n+1 , n
1 1 + ··· + , 1·2 n(n + 1)
√ √ n + 1 − n,
√ n a (a > 1),
(1 +
1 n ) . n
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
4
7. Bizony´ıtsuk be, hogy ha √ 1 1 an : = 1 + √ + · · · + √ − 2 n + 1 n 2 √ 1 1 bn : = 1 + √ + · · · + √ − 2 n, n 2 akkor (an ), (bn ) monoton ´es lim an = lim bn (∈ R). √ √ 8. Ha an → a (≥ 0), akkor bizony´ıtsuk be, hogy an → a. 9. Konvergens-e (an ), (´es ha az, akkor mennyi a hat´ar´ert´eke) ha an = nk an (|a| < 1),
√ n a (a > 0),
√ n n,
an , n!
√ n n!,
10n , n2 + 1
√ √ n + 1 − n,
(−2)n + 3n , (−2)n+1 + 3n+1
2n3 − 6 √ , n4 + n + 1
5n3 − 8n + 6 √ , n2 + n + 1
2n3 − 6 √ , n6 + 1
2n2003 + n2004 √ , n2004 + n + 1
n2 , 2n
−n[2 + (−1)n ],
n 1 X (2j − 1), 2n
√ n2 ( n4 − 4 − n2 ),
n−1 P
j2
j=1
(−1)n n,
,
n3
p n 1 + 2(−1)n n ,
n
n(−1) ,
j=1
√ n4 − 4 − n2 ),
n3/2 (
√ n2 + 3n √ , 3 n3 − 2n2
µ ¶ 3 2+ , n
√ 32n − 2n ,
√ sin n + n , n+3
¶ µ 1 n 1+ , 2n
¶ 2 µ 1 n 1+ . n
√ n n 3 + 2n ,
2n
µ ¶ 1 2n 1+ , n
(−1)n−1
n P
1 , j=1 j(j + 1) n2 n2 − 2n − 1 2n + 1
10. Mit mondhatunk az (an ) sorozatr´ol, ha l´etezik olyan a ∈ R, amihez l´etezik olyan ² > 0, hogy minden n (∈ N) eset´en |an − a| < ² ? 11. Vizsg´alja meg az al´abbi sorozatok konvergenci´ aj´ at: √ a1 = 0, an+1 = 2 + an a1 = 1, an+1 = 1 + a2n , a1 = 0, an+1 =
1 , 1 + an
a1 = a, an+1 =
1 3 (a + 30), (a ∈ R) 19 n
1 1 + ··· + (n ∈ N). Igazolja, hogy (an ) monoton n¨ovekv˝ o, ´es fel¨ ulr˝ ol n+1 2n korl´atos,´ıgy konvergens! 12.
Legyen an :=
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
5
n 1 P 1 , ha n ∈ N. Igazolja, hogy |s2n − sn | ≥ , (n ∈ N) teh´at (sn ) nem Cauchy 2 j=1 j sorozat (ez´ert nem is konvergens) !.
13. Legyen sn :=
4. SOROK Legyen (an ) : N → R egy (val´os elem˝ u) sorozatP´es sn := a1 + . . . + an (n ∈ N). Az (sn ) sorozatot az (an ) sorozatb´ol k´epezett sornak nevezz¨ uk, ´es an –nel jel¨olj¨ uk. Teh´ at n X X aj . an := (sn ) = j=1
an a P sor n–edik tagja, vagy ´ altal´ anos tagja, sn a sor n–edik r´eszlet¨ osszege. A an sort konvergensnek (divergensnek) nevezz¨ uk, ha a r´eszlet¨ osszegeinek (sn ) sorozata konverP gens (divergens), konvergens sor eset´ e n az (s ) → s hat´ a r´ e rt´ e ket a an sor ¨ osszeg´enek nevezz¨ uk, ´es n P az s = ∞ jel¨ o l´ e st haszn´ a ljuk. n=1 P Ha sn → ∞ (sn → −∞) akkor azt mondjuk, hogy a anP(divergens) sor ¨osszege ∞ (−∞). Az (an ) : N ∪ {0} → R sorozatb´ol k´epezett sor jel¨ol´es´ere a 0 an szimb´ olumot haszn´aljuk. 1. A r´eszlet¨osszegek kisz´am´ıt´asa seg´ıts´eg´evel bizony´ıtsuk be az al´abbi egyenl˝ os´egeket P∞ P∞ P∞ 1 1 11 1 23 = 1, = , = , n=1 n=1 n=1 n(n + 1) n(n + 3) 18 (2n − 1)(2n + 5) 90 P∞
n=1
1 n = , (2n − 1)2 (2n + 1)2 8
P∞
n−1 n=1 (−1)
P∞
2n + 1 = 1, n(n + 1)
n n=0 x
2. Bizony´ıtand´o, hogy ha an , bn > 0, ´es lim an /bn = c, 0 < c < ∞ akkor n→∞ mindketten konvergensek, vagy mindketten divergensek. P 3. Konvergens-e an , ha an = √ 1 n5 n+ n (n!)2 −(1+ n ) n , , , , n! n2 − n (2n)! ¡a+n¢ n
(a > 0),
1 , (a > 0), 1 + an
(n!)2 , 2n2
4 · 7 . . . (3n + 1) , 2 · 6 . . . (4n − 2)
n , n+1
1 √ , 4n2 − 1
√ √ 3 n + 1 − 3 n, µ
2003 1 + 2004 n
1000n , n!
¶n ,
1 , (|x| < 1). 1−x
= P
an ,
P
bn vagy
2n · n! , nn
√ √ n+1− n , n
1000n , n!
n5 . 2n + 3n
1 , 100n + 1
(n!)2 , 2n2
n2 µ ¶ . 1 n 2+ n
P 1 4. Bizony´ıtsuk be, hogy ha an > 0, lim an = +∞, akkor konvergens! ann P 2 P 2 bn konvergensek, akkor 5. Bizony´ıtsuk be, hogy ha an , X X X |an | |an bn |, (an + bn )2 n is konvergensek.
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
6
6. Ha an > 0 ´es n ≥ n0
an+1 ≤ q < 1, akkor bizony´ıtsuk be, hogy an ∞ X 1 am ≤ an . 1−q 0 m=n
⇒
0
P 1 A Cauchy f´ele kondenz´aci´os teszt seg´ıts´eg´evel bizony´ıtsuk be, hogy akkor ´es csak akkor np P 1 konvergens, ha p > 1, tov´abb´a a 2 sor akkor ´es csak akkor konvergens, ha p > 1. n (log n)p 8. Az al´abbi sorok k¨oz¨ ul melyek abszol´ ut konvergensek, melyek felt´etelesen konvergensek ´es melyek divergensek? P (−1)n P (−1)n P (−1)n √ , , , n2 + 1 n! n2 + 1 7.
P (−1)3n+1 2n2 − 1
P (−1)n−1 √ , n+1
P (−1)n−1 ln
µ
n+1 n
¶ .
(−1)n √ konvergens, de ¨onmag´ aval val´ o Cauchy szorzatsora divergens. 0 n+1 ∞ ∞ P P 1 1 10. Az xn = (n + 1)xn = (|x| < 1), egyenl˝ os´eg alapj´an bizony´ıtsa, hogy , ha 1 − x (1 − x)2 n=0 n=0 |x| < 1. X 11. Hat´arozza meg a) az ¨osszes olyan x ∈ [0, 2π[ ´ert´eket melyre a (−3 cos x)n sor konvergens, b) 1 P −nx ¨osszes olyan val´os x ´ert´eket melyre a e sor konvergens. 9. Igazolja, hogy
P
1
12. Hat´arozza meg az al´abbi sorok konvergenciasugar´ at: n n n P x P (3 + (−2) )(x − 1)n , (p ∈ R), 1 p 1 n n µ ¶ P xn P an bn √ + 2 xn (a, b > 0), (a > 0), 1 1 n n a n
P (x + 1)n (a, b > 0), 1 n a + bn P
0 (2
+ (−1)n )n xn .
¨ ´ ´ 5. FUGGV ENYEK FOLYTONOSSAGA 1. Bizony´ıtsa be, hogy f (x) := 1/x (x ∈]0, 1]), folytonos, de nem egyenletesen - folytonos ]0, 1[−en. 2. Hol nem folytonos a
1 ha x > 0, 0 ha x = 0, sgn x := −1 ha x < 0 f¨ uggv´eny? 3. Legyen
½
0 ha x irracion´alis, x ha x racion´alis. Bizony´ıtsa be, hogy f csak az x = 0 pontban folytonos. 4. Lehet-e f + g, f g folytonos egy a pontban ugy, hogy f, g egyike sem folytonos a-ban? f (x) :=
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
7
5. Adjunk meg olyan f :]0, 1[→ R f¨ uggv´enyt mely folytonos ]0, 1[-en, de a) amely nem korl´ atos, b) amely korl´atos, de nem veszi fel a szupr´emum´ at (infimum´ at), c) amely nem egyenletesen folytonos. 6. Adjunk meg olyan f :]0, ∞[→ R f¨ uggv´enyt mely folytonos ]0, ∞[-en, de a) amely nem korl´ atos, b) amely korl´atos, de nem veszi fel a szupr´emum´ at (infimum´ at). 7. Bizony´ıtsa be, hogy ha f : R → R folytonos R-en ´es f ´ert´eke minden racion´alis pontban nulla, akkor f minden pontban nulla. 8. Bizony´ıtsa be, hogy minden p´aratlan foksz´am´ u val´ os egy¨ utthat´ os polinomnak van legal´abb egy val´os z´erushelye! ¨ ´ ´ ERT ´ ´ 6. FUGGV ENYEK HATAR EKE 1. Van-e bal- ´es jobboldali hat´ar´ert´eke az f f¨ uggv´enynek a megadott x0 pontban, ha f (x) := [x], (x ∈ R), x0 ∈ Z,
f (x) := 1/x, (R − {0}), x0 = 0,
f (x) := sgn x, (x ∈ R), x0 = 0
f (x) := [x2 ], (x ∈ R), x0 = n2 , n ∈ Z.
2. Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek szakad´ asi helyeit ´es e pontokban a bal- ´es jobboldali hat´ar´ert´eket! f (x) := (sgn x)2 , (x ∈ R) f (x) :=
f (x) := [x] + [−x], (x ∈ R)
hp i p |x| − |x| , (x ∈ [0, ∞[)
f (x) := xn , (x ∈ R) ahol n ∈ N,
f (x) := 1/x2 (x ∈ R) ha x 6= 0, f (0) = 0. 3. D¨ontse el, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyeknek l´etezik-e hat´ar´ert´eke +∞-ben ´es −∞-ben: f (x) :=
x2 , (x ∈ R), 1 + x2
f (x) := x − [x], (x ∈ R),
f (x) := xn , (x ∈ R) ahol n ∈ N,
f (x) := x−n , (x ∈ R − {0}) ahol n ∈ N.
4. Hat´arozza meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: x2 − 2x − 3 lim 2 , x→3 x − 5x + 6
√ 2− x−1 lim , x→5 x2 − 25
x3 − x , x→0 x3 + x2 + x
1 − x2 √ lim √ , x→1 x− 2−x
lim
√ 1 + 4x2 lim , x→∞ 1−x µ lim
x→∞
x+2 x−1
lim
x→∞
¶1+2x
√ x2 + 5x − x), µ
,
lim
x→∞
x3 x3 − 1
¶x3 .
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
8
¨ ´ 7. ELEMI FUGGV ENYEK 1. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely x, y ∈ R-re sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. 2. Bizony´ıtsa be, hogy b´armely x ∈ R-re | sin x| ≤ 1,
| cos x| ≤ 1.
3. Igazolja, hogy arsh x = ln(x +
p x2 + 1) (x ∈ R)
arth x =
1 x+1 ln (|x| > 1). 2 x−1
4. Rajzolja fel az f f¨ uggv´eny gr´afj´at, ha f (x) = x +
1 , x 6= 0, x
x2 + r
x , |x| 6= 1, 1 − x2
1 , x 6= 0, x
2x , (x ∈ R), 1 + x2 p (x2 − 1)(9 − x2 ),
1−x , 1+x
sin4 x + cos4 x.
x + arctg x,
Ha nincs az ´ertelmez´esi tartom´any megadva, ugy hat´arozza meg azt is (a maxim´alis lehets´eges ´ertelmez´esi tartom´anyt). ´ ´ ´ 8. DIFFERENCIALSZ AMIT AS 1. Hat´arozza meg f 0 (x)-et ha f (x) = 2x , 1 + x2
√ x 1 − x3 ,
¡ ¢ sin cos2 ( tg 3 x) ,
e−x ,
r
xa + ax + xa , (a > 0)
ln (ln(ln x)) ,
1 + x3 , 1 − x3 ³ x´ ex 1 + ctg , 2 ¡ ¢ ln ln2 (ln3 x) ,
x ln tg , 2
µ ¶ 1 ln arccos √ , x
ln x √ , x2 − 1
2
x
arctg (x +
√ 1 + x2 ),
3
,
a
x
x
xx + xa + ax , (a > 0)
logx2 (cos x),
tg x −
1 3 tg x, 3 x
ex
ex + ee + ee , ln(x +
√ x + 1),
x6 √ , 1 − x2 p x tg x).
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
2. Hat´arozza meg
9
dy -et ha dx x = sin2 t,
y = cos2 t;
x = e2t cos2 t,
y = e2t sin2 t;
t x = arcsin √ , 1 + t2
t y = arccos √ . 1 + t2
3. Hat´arozza meg az al´abbi, implicit alakban adott f¨ ugggv´enyek differenci´alh´ anyados´ at! p y x3 + 2xy − y 2 = 2x, arctg = ln x2 + y 2 . x 4. Mekkora sz¨ogben metszi az f (x) = ln x gr´afja az x tengelyt? 5. Hat´arozza meg f 00 (x)-et ha f (x) = p 2 x 1 + x2 , x ln x, e−x , arctg x/(1 + x2 ). d2 y -et ha x = 2t − t2 , y = 3t + t3 . dx2 7. Hat´arozza meg f (n) (x)-et ha f (x) = 1 √ , cos2 x, sin4 x + cos4 x, 1 − 2x 6. Hat´arozza meg
ex cos x.
8. Bizony´ıtsa be hogy b´armely x, y mellett | sin x − sin y| ≤ |x − y|, | arctg x − arctg y| ≤ |x − y|. 9. Mely szakaszokon szigor´ uan monotonok az al´abbi f¨ uggv´enyek? 2x f (x) = 2 + x − x2 , f (x) = , f (x) = x + | sin x|. 1 + x2 10. Hat´arozza meg hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek mely szakaszokon konvexek/konk´ avok ´es hol vannak inflexi´os pontjaik! p f (x) = 3x2 − x3 , f (x) = ln(1 + x2 ), f (x) = 1 + x2 . 11. Hat´arozza meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket! lim
x→0
ch x − cos x , x2
ax − asin x , (a > 0) x→0 x3 lim
1 lim x 1 + ln x ,
x→1
1 − cos x2 , x→0 x2 sin x2
x ctg x − 1 , x→0 x2 lim
lim
lim xx ,
lim
x→0+
µ lim
x→0
1 1 − x x e −1
x→0
¶
ln(cos ax) , ln(cos bx) µ
,
lim
x→1
1 1 − ln x x − 1
¶ .
´ FELADATOK A KALKULUS C. TARGYHOZ
10
12. Alkalmazhat´o-e a L’Hospital szab´aly a x − sin x lim , x→∞ x + sin x
x2 sin lim
1 x
sin x hat´ar´ert´ekekre? 13. Irja fel a P (x) = 1 + 3x + 5x2 − 2x3 polinomot x + 1 hatv´anyai szerint (nemnegat´ıv eg´esz kitev˝okkel)! 14. Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek sz´els˝ o´ert´ekeit! p √ ln2 x f (x) = 2x − x2 , f (x) = xe−x , f (x) = x ln x, f (x) = . x x→0
15. Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek sz´els˝ o´ert´ekeit a megadott intervallumon! f (x) = x2 − 4x + 5, [−3, 10],
f (x) = x + 1/x, [0, 01, 100].
1 + x2 f¨ uggv´eny infimum´ at ´es szupr´emum´ at a ]0, ∞[ intervallumon! 1 + x4 17. Egy d ´atm´er˝oj˝ u k¨or alak´ u fat¨orzsb˝ol gerend´at faragnak, melynek keresztmetszete b alap´ u ´es h magass´ag´ u t´eglalap. Mikor lesz a gerenda (bh2 -tel ar´anyos) szil´ards´ aga a maxim´alis? 18. Az R sugar´ u g¨ombbe ´ırjunk maxim´alis t´erfogat´ u hengert! 19. Hat´arozzuk meg azt a legnagyobb t´erfogat´ u k´ upot, amelynek alkot´ oja adott l hossz´ us´ ag´ u! 20. Egym´assal ϑ sz¨oget bez´ar´o egyenesek ment´en egy-egy haj´o halad ´alland´ o u ill. v sebess´eggel. Hat´arozzuk meg a haj´ok k¨ozti legr¨ovidebb t´avols´ agot, ha egy adott id˝opillanatban a haj´ok t´avols´ aga az egyenesek metsz´espontj´at´ol sz´am´ıtva a ill. b! 16. Hat´arozza meg az f (x) =
