SYNTÉZA MEMRISTIVNÍHO SYSTÉMU S PŘEDEPSANÝM TYPEM HYSTEREZNÍ SMYČKY

D. Biolek a kol.: Syntéza memristivního systému …

6

Slaboproudý obzor Roč. 70 (2014) Číslo 3

SYNTÉZA MEMRISTIVNÍHO SYSTÉMU S PŘEDEPSANÝM TYPEM HYSTEREZNÍ SMYČKY Prof. Ing. Dalibor Biolek, CSc.1, 2, Ing. Zdeněk Biolek, Ph.D.2, Ing. Viera Biolková3, Prof. Dr. Ing. Zdeněk Kolka3, Ing. Zdeněk Kincl, Ph.D.3, Ing. Tomáš Teska2 1

Katedra elektrotechniky; Fakulta vojenských technologií, UO Brno, [email protected]

2

Ústav mikroelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT Brno, [email protected]

3

Ústav radioelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT Brno, {biolkova, kolka}@feec.vutbr.cz

Abstrakt

Abstract

V článku je navržen jeden z možných postupů získání modelu memristivního systému, který by za podmínek definovaného buzení harmonickým signálem vykazoval hysterezní smyčku v souřadné soustavě napětí-proud s předepsanými vlastnostmi. Při syntéze se využívá nově odhalených souvislostí mezi matematickým modelem obecného memristivního systému, spektrálním složením napětí a proudu na svorkách memristivního systému a typem příslušné hysterezní smyčky. Popsaná syntéza je prvním krokem k návrhu memristivních systémů pro konkrétní nelineární analogové aplikace.

One possible procedure of obtaining the model of a memristive system, exhibiting v-i pinched hysteresis loop with prescribed parameters under conditions of defined excitation by a sinusoidal signal, is proposed. Newly disclosed connections between the mathematical model of general memristive system, the spectral content of terminal voltage and current and the type of the pinched hysteresis loop are utilized for the synthesis. The method described is a first step towards designing memristive systems for concrete non-linear analog applications.

Klíčová slova: memristivní systém, memristor, spektrum, hysterezní smyčka

Keywords: memristive system, memristor, spectrum, pinched hysteresis loop

1

smyček a jejich charakteristických parametrů lze získat řadu informací o memristivním systému. Například podle charakteru chování smyčky v okolí počátku souřadné soustavy napětí-proud mohou být smyčky buď typu I (křížení ramen smyčky) nebo typu II (dotyk bez křížení) [4]. Ideální memristor podle Chuy [2] vykazuje pouze smyčky typu I, které navíc musí být symetrické (tzv. lichá symetrie). O smyčkách typu II se začalo hovořit docela nedávno [4] v souvislosti se studiem termistorů jako speciálních případů memristivních systémů. Ukazuje se, že smyčky typu II jsou charakteristické pro memristivní systémy, jejichž memristance závisí na výkonu, tedy součinu napětí a proudu [15]. Jde o příklad, kdy z charakteru hysterezní smyčky lze usuzovat na strukturu matematického modelu memristivního systému. Toho lze využít pro potřeby syntézy takového modelu, který by byl schopen generovat předepsaný typ hysterezní smyčky. Protože hysterezní smyčka memristivního systému je Lissajousův obrazec, složený z periodických signálů typu u (napětí) a i (proud), nabízí se analyzovat souvislost mezi typem, případně tvarem smyčky a spektrálním složením signálů, které ji vykreslují. Výhodou tohoto přístupu je znalost spektra odezvy (například proudu) na buzení (například napětí), které lze tvarovat volbou vhodné smyčky tak, aby to bylo optimální pro danou aplikaci (například vytvoření dominantní vyšší harmonické pro násobič kmitočtu). Protože memristivní systém zavádí nelineární zkreslení signálu, zejména v režimech typu „hard switching“, objevují se práce, zabývající se analýzou tohoto zkreslení, zejména v kmitočtové oblasti. V [16] je ukázáno, že ve spektru odezvy memristivního systému na sinusové buzení mohou být za jistých podmínek zastoupeny významné vyšší harmonické složky, což je potenciálně využitelné ke konstrukci analogových systémů, pracujících na principu obohacení spektra nelineárním obvodem a následné kmitočtové filtraci. V článku [17] je studováno generování druhé a vyšších harmonických složek v odezvě pasivního memristoru na harmonické buzení v konfiguracích jak s jedním

Úvod

Vývoj nanosoučástky v laboratořích Hewlett Packard v roce 2008 [1], připomínající svým chováním memristor, ideální obvodový prvek, zavedený do teorie obvodů v roce 1971 L. Chuou [2], inicioval intenzívní výzkumné práce v oblasti memristivních systémů [3] zejména směrem k vývoji nevolatilních pamětí pro počítačový průmysl [4]. Protože však memristor je analogovým obvodovým prvkem, byla publikována i řada studií o potenciálních aplikacích memristivních systémů pro analogové zpracování signálů [5], [6]. Protože tyto systémy dosud nejsou běžně dostupné jako komerční produkty, významnou roli ve výzkumu hrají především jejich modely pro simulace v prostředích simulačních programů typu SPICE a dalších [7], [8], případně jejich hardwarové emulátory [9], [10]. Práce se softwarovými či hardwarovými modely memristivních systémů vycházejí z toho, že model je vytvořen na základě kopírování vyrobeného memristivního systému, případně na základě napodobování charakteristických poznávacích znamení ideálního obvodového prvku. Pokroky v nanotechnologiích však vedou k stavu, který umožní návrh a realizaci memristivního systému s předepsaným chováním. Objevují se například práce, popisující „HP memristor“ se speciálně upravenou geometrií, která umožní syntézu memristoru s nelineární závislostí memristance na integrálu svorkového napětí [11], [12]. Práce tohoto typu, zabývající se cíleným návrhem memristivního systému, který by vykazoval předepsané vlastnosti, využitelné pro konkrétní aplikace, se však objevují velmi sporadicky. Typickým poznávacím znamením memristivního systému je jeho „skřípnutá hysterezní smyčka“ (pinched hysteresis loop) v souřadné soustavě napětí-proud, která je dobře pozorovatelná za podmínek periodického buzení [13]. Hysterezní smyčky mohou nabývat různých specifických tvarů i pro daný konkrétní systém za různých podmínek jeho buzení a mohou záviset i na výchozím vnitřním stavu systému [14]. Analýzou



memristorem, tak i s čtveřicí memristorů v můstkovém zapojení. Je ukázáno, že v porovnání s klasickými zapojeními s diodami mohou memristivní obvody vykazovat podstatně vyšší poměry výkonů vyšších harmonických ve vztahu k výkonu budicího signálu. Tento článek ukazuje jednoduchý příklad syntézy memristivního systému, který je schopen generovat hysterezní smyčku s tzv. dotykem vyššího řádu v počátku. Při syntéze se využívá poznatku, že tento typ dotyku je možný pouze při specifickém spektrálním složení proudu memristivním systémem. Uvedená metodika je využitelná i pro různé modifikace zadání a slouží jako úvodní studie do problematiky syntézy memristivního systému s předepsaným typem chování.

2

Uvažujme memristivní systém 1. řádu řízený napětím, popsaný portovou a stavovou rovnicí

i (t ) = g ( x, v)v(t ) ,

(1)

dx = f ( x, v ) . dt

(2)

Zde i, v a x jsou obvodové proměnné typu proud, napětí a vnitřní stavová proměnná, g je memduktance a f je po částech spojitá funkce. Závěry z tohoto článku lze použít i pro duální případ memristivního systému řízeného proudem. S výjimkou speciálních případů, jakým je zejména ideální memristor ve smyslu jeho axiomatické definice [2], je obor hodnot stavové proměnné x omezen na určitou podmnožinu Rx reálných čísel. Je to dáno principem fungování mem-systému. Například v známém modelu TiO2 memristoru [1], [8] je stavovou proměnnou normovaná šířka dopované vrstvy, která může nabývat hodnot z intervalu (0,1). Předpokládejme, že v čase t = 0 začneme memristivní systém, který je v počátečním stavu x0 ϵ Rx, budit ze zdroje sinusového napětí o rovnici v(t) = Vmax sin( ω t ),

(3)

kde Vmax je amplituda, ω = 2π/T je kruhový opakovací kmitočet, a T je opakovací perioda. Dále se zabývejme pouze takovými memristivními systémy (1), (2), u nichž za daných podmínek dojde k přechodu do periodického ustáleného stavu, popsatelnému periodickou funkcí x(t) ϵ Rx, jejíž základní harmonická složka bude mít opakovací kmitočet ω. Pak proud i v (1) bude periodickou funkcí času, kterou lze rozložit do Fourierovy řady

[

Základní podmínkou správné funkce memristivního systému je nulový proud při nulovém napětí, neboli průchod hysterezní smyčky počátkem souřadné soustavy napětí-proud. Pro buzení (3) a odezvu (4) z toho vyplývá podmínka pro kosinové složky proudu ∞

I 0 + ∑ I kc = 0 .

(5)

k =1

Pro ideální memristor k tomu přistupuje další obecná podmínka: je-li napětí vyjádřené lichou funkcí času, pak i proud musí být lichou funkcí času [18]. Z toho plyne zjednodušení spektra proudu pro ideální memristor

I 0 = 0, I kc = 0, k = 1, 2, ... .

Teoretická východiska syntézy

∞

7

]

i (t ) = I 0 + ∑ I kc cos(kωt ) + I ks sin( kωt ) .

(4)

k =1

Skřípnutá hysterezní smyčka v souřadnicích v – i je Lissajousovým obrazcem, vykreslovaným sinusovým napětím v a periodickým proudem i podle (3), (4). Obrázek 1 shrnuje základní klasifikaci bodů dotyku ramen smyčky v počátku souřadné soustavy podle [19]. Kromě bodů dotyku typu I a II je vhodné dále rozlišovat, zda v bodech dotyku jsou strmosti ramen smyčky různé nebo stejné. V prvním případě hovoříme o dotyku nultého řádu (shodují se pouze souřadnice křivek v místě dotyku), v druhém případě o dotyku vyššího řádu n ≥ 1 neboli dotyku tangenciálním (n je nejvyšší řád shodných derivací obou křivek).

(6)

Z toho mimo jiné plyne, že ideální memristor buzený signálem (3) nemůže vykazovat smyčky typu II [18]. Pro obecný memristivní systém omezení (6) neplatí.

Obr. 1.

a)

b)

c)

d)

Různé typy bodů dotyku: a), b) typ I, c), d) typ II; b), c), d) dotyk vyššího řádu (n≥1, tangenciální) [19].

Podle [20] jsou pro typ smyčky (I nebo II) rozhodující velikosti derivací rozdílového signálu id(t) = i(t)-i(T/2-t) v čase 0 podle schématu typ I (n = 0): id(t) = 0, did(t)/dt ≠ 0 typ II (n = 1): id(t) = 0, did(t)/dt = 0, d2id(t)/dt2 ≠ 0 typ I (n = 2): id(t) = 0, did(t)/dt = 0, d2id(t)/dt2 = 0, d3id(t)/dt3 ≠ 0

(7)

typ II (n = 3): id(t) = 0, did(t)/dt = 0, d2id(t)/dt2 = 0, d3id(t)/dt3 = 0, d4id(t)/dt4 ≠ 0 … Ze schématu je patrné, že smyčka typu I (II) musí být vždy s dotykem sudého (lichého) řádu v počátku. Podle výše uvedeného tedy platí, že ideální memristory mohou při buzení (3) vykazovat pouze smyčky typu I s dotykem sudého řádu v počátku. Vyjádříme-li diferenční proud id podle řady (4) a postupně derivujeme podle (7), dospějeme k soustavám rovnic

pro kosinové a sinové harmonické složky proudu, které musí být splněny pro daný typ smyčky [15]: ∞

∑I k =0 ∞

k =1 ∞

=0,

c 2 k +1

∑ 2kI

s 2k

2

k =0

a) Vybereme množinu sinových a kosinových složek proudu, která vyhovuje vzorcům (8) pro daný řád dotyku n. b) Formálně zapíšeme memduktanci systému g jako poměr

i g= = v

(8a)

I 2ck +1 = 0 ,

typ I (n sudé): ∞

n −1

k =1 ∞

I 2sk = 0 ,

∑ (2k + 1) k =0 ∞

∑ ( 2k )

n +1

n

I

k =1

I 2ck +1 = 0 ,

s 2k

(8b)

≠ 0.

∞

k =0 ∞

∑ ( 2k ) k =1 ∞

n

I 2ck +1 = 0 ,

I 2sk = 0 ,

∑ (2k + 1) k =0

n −1

n +1

(8c)

I 2ck +1 ≠ 0 .

Porovnáním první rovnice v 8(a) s podmínkou (5) zjišťujeme, že i součet kosinových složek proudu sudých řádů se stejnosměrnou složkou musí být nulový: ∞

I 0 + ∑ I 2ck = 0 .

(9)

k =1

Rovnice (8) a (5), případně (9) představují teoretická východiska pro syntézu memristivního systému.

3

cos(kωt ) + I ks sin( kωt ) Vmax sin(ωt )

]

.

(10)

Obecný postup syntézy

Vzorce (8) pro sudý nebo lichý řád dotyku n představují soustavu n +1 rovnic o nekonečně mnoha neznámých, s omezující podmínkou ve tvaru nerovnosti (8b), resp. (8c). Soustava má nekonečně mnoho řešení, kterým odpovídá nekonečně mnoho různých memristivních systémů s danou spektrální skladbou proudu při sinusovém buzení (3). Úkolem je nalezení modelu systému se smyčkou s dotekem n-tého řádu, který vybereme z uvedené množiny na základě dalších konkrétních omezujících podmínek. Příklady omezujících podmínek: 1) Systém musí být ideálním memristorem (pokud je to ale principiálně možné, tedy jen pro sudé n). 2) Šířka pásma proudu musí být co nejmenší. 3) Současné splnění podmínek 1) a 2), pokud je to principiálně možné. Syntézu příslušného memristivního systému bez ohledu na řád dotyku je možné provést následujícím postupem:

cos(kωt ) = Tk (cos(ωt )) ,

(11)

sin( kωt ) = sin(ωt ) U k −1 (cos(ωt )) ,

(12)

kde Tk a Uk jsou Čebyševovy polynomy prvního a druhého druhu. Pak memduktance bude nelineární funkcí sinu a kosinu úhlu ωt:

∑ [I ∞

g=

typ II (n liché):

∑ (2k + 1)

k =1

c k

c) Kosiny a siny vícenásobných úhlů k ωt vyjádříme pomocí sinů a kosinů jednoduchých úhlů ωt. K tomu je možno využít řady známých vzorců, například [21]

jejichž pokračování závisí na typu smyčky:

∑ ( 2k )

∑ [I ∞

= 0,

∑ (2k + 1) …



8

k =1

c k

Tk (cos(ωt )) + sin(ωt ) I ksU k −1 (cos(ωt )) Vmax sin(ωt )

]

(13)

Je tedy zřejmé, že čitatel (13) je mocninným polynomem sinů a kosinů úhlu ωt a jako takový jej lze dále různě upravovat s využitím známých pouček typu sin2(α) = 1cos2(α). Do dalšího kroku syntézy tak může vstupovat celá řada různých tvarů vzorců (13), které povedou na různé modely memristivních systémů. Všechny však budou mít identické chování při dodržení konkrétní podmínky (typ buzení a počáteční stav). Všechny matematické úpravy musí být naprosto korektní, neboli musí vycházet z identit, které jsou platné pro jakýkoliv rozsah argumentů funkcí. Například známé identity

sin(α ) = 1 − cos 2 (α ) ,

(14)

cos(α ) = 1 − sin 2 (α )

(15)

nejsou korektní, protože odmocnina generuje pouze nezáporné číslo. Korektní verze identit (14), (15) jsou

sin(α ) = sgn(sin(α )) 1 − cos 2 (α ) ,

(16)

cos(α ) = sgn(cos(α )) 1 − sin 2 (α ) ,

(17)

kde sgn je znaménková funkce, která je rovna 1 pro kladný argument, -1 pro záporný argument a 0 pro nulový argument. Korektně upravené vzorce (13) mohou generovat třídu modelů memristivních systémů s jednotným a korektním chováním za výše popsaných podmínek. d) Funkci sin( ωt) v korektně upraveném vzorci (13) pro memduktanci nahradíme podle (3) normovaným napětím, tedy v/Vmax, a funkci cos(ωt) stavovou proměnnou x. Memduktance (13) pak bude mít po příslušné úpravě tvar (1). Pro stavovou proměnnou x bude platit diferenciální rovnice

ω , x ∈ − 1,1 , dx v =− dt Vmax

(18)

kde ω, Vmax jsou parametry (tedy konstanty) budicího signálu, použitého k tvorbě hysterezní smyčky. Korektní řešení této



rovnice, tedy signál cos( ωt), získáme při uvažování počáteční podmínky x0 = 1. Rovnice (18) spolu s rovnicí pro memduktanci, která je závislá na stavové veličině a napětí, již představují úplný matematický model (1), (2) navrženého memristivního systému. Tento model je většinou nutné v závěrečné fázi optimalizovat s cílem maximálního možného zjednodušení. Základní možnosti spočívají v transformaci stavového popisu (18) (přechod na jinou stavovou proměnnou, který by znamenal zjednodušení modelu), v úpravě výchozí formule (13) pro memduktanci (detaily viz níže) nebo v dodatečné modifikaci spektrální skladby proudu, která by vedla k zjednodušení vzorce pro memduktanci (13).

4

Příklad syntézy memristivního se smyčkou s dotykem 3. řádu

systému

Postup syntézy objasníme na příkladu hledání modelu memristivního systému, který je schopen generovat při buzení (3) hysterezní smyčku typu II s dotykem 3. řádu. Pak vzorce (8) pro spektrální složky proudu mají tvar:

2 I 2s + 4 I 4s + 6 I 6s + 8 I 8s + 10 I 10s + ... = 0 , I 1c + 9 I 3c + 25 I 5c + 49 I 7c + 81I 9c + ... = 0 ,

g=

a)

g ( x, v ) =

Odhlédneme-li od nerovnosti (20), pak (19) je soustava čtyř rovnic o nekonečně mnoha neznámých. Jedná se ovšem o dvě nezávislé soustavy rovnic, tj. dvě rovnice pro kosinové složky a dvě rovnice pro sinové složky proudu:

g ( x, v ) =

I + 9 I + 25 I + 49 I + 81I + ... = 0 , c 3

c 5

c 7

c 9

I + 8I + 27 I + 64 I + 125I + ... = 0 . s 4

s 6

s 8

s 10

Ic [cos(ωt ) − 1,5 cos(3ωt ) + 0,5 cos(5ωt )] . Vmax sin(ωt )

8I c cos(ωt )(1 − cos 2 (ωt ))Vmax sin(ωt ) = 2 Vmax ,

(27)

(

)

3 8I c cos(ωt ) sgn(sin(ωt )) 1 − cos 2 (ωt ) = Vmax .

(28)

c

8I x(1 − x 2 ) 3 / 2 sgn(v) Vmax

g=

Is 8I c cos(ωt ) sin 3 (ωt ) + 1 . Vmax Vmax

(29)

Volba první sudé harmonické

I1s >

(22)

(23)

kde Ic je volný parametr. Toto řešení současně vyhovuje nerovnosti (20). V zájmu maximálního zjednodušení syntézy v této první fázi uvažujme triviální řešení soustavy (22), tj. všechny sinové složky proudu budou nulové. Dále vynulujeme i všechny ostatní složky spektra, na nichž nezávisí splnění podmínek dotyku (21). Po dosazení (23) do (10) dostáváme pro memduktanci

g=

(26)

Rozborem vztahů (26) –(28) pro memduktance zjistíme, že memduktance může nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Pak by se příslušné hysterezní smyčky vykreslovaly i mimo prostor 1. a 3. kvadrantu v souřadné soustavě napětí – proud. Pokud by měl být předmětem syntézy pasivní memristivní systém, postačí rozšířit čitatel (10) o vhodný člen, který současně nenaruší podmínky dotyku 3. řádu (19) a (20). Například přidáním první sinové harmonické dojde k následnému rozšíření vzorce (25) pro memduktanci

(21)

Každé netriviálního řešení soustavy (20) je představováno minimálně trojicí nenulových kosinových složek proudu. Vyberme za tuto trojici harmonické složky řádu 1, 3 a 5 a předpokládejme, že všechny vyšší kosinové složky jsou zanedbatelné. Pak (19) poskytuje řešení v tvaru

I1c = I c , I 3c = −1,5 I c , I 5c = 0,5 I c ,

3

c)

I 2s + 2 I 4s + 3I 6s + 4 I 8s + 5I10s + ... = 0 , s 2

(V sin(ωt ) ) = 8I c xv 3 , 8I c cos(ωt ) max 3 4 Vmax Vmax Vmax

8I c = 2 x(1 − x 2 )v Vmax

I 1c + I 3c + I 5c + I 7c + I 9c + ... = 0 , c 1

(25)

b)

(19)

(20)

8I c cos(ωt ) sin 3 (ωt ) . Vmax

Nyní máme několik možností, jak funkcím typu sinus a kosinus v (25) přiřadit stavovou proměnnou a budicí napětí. Níže uvedeme tři z nich.

=

8I 2s + 64 I 4s + 216 I 6s + 512 I 8s + 1000 I10s + ... = 0 , I1c + 81I 3c + 625I 5c + 2041I 7c + 6561I 9c + ... ≠ 0 .

S využitím (11) a po úpravách vyjde

g ( x, v ) =

I 1c + I 3c + I 5c + I 7c + I 9c + ... = 0 ,

9

(24)

3 3 c I ≈ 2,598 I c 2

(30)

zajistí pasivitu systému. Z hlediska modelů (26)-(28) má pak poslední přidaný člen v (29) význam kladné fixní vodivosti, která posouvá obor hodnot memduktance do intervalu kladných čísel. Je zřejmé, že analogickým způsobem je možné vyjít při syntéze z požadavků na sinové, nikoliv kosinové spektrální složky proudu (rovnice 22). Dospěli bychom tak k další množině memristivních systémů s ekvivalentním chováním za daných podmínek. Navržené memristivní systémy (26)-(28) byly podrobeny analýze v SPICE. Výsledky jsou shrnuty v další části.

5

Simulace

Pro systémy (26) – (28), syntetizované v části 4, byly sestaveny SPICE modely a provedeny simulace pro tyto numerické hodnoty parametrů: Vmax = 1V, f = ω/(2π) = 1 Hz, Ic = 2 mA, I1s = 7 mA.



10

Schéma, na jehož základě byl sestaven model memristivního systému (26) pro implementaci v SPICE, je uvedeno na obr. 2. Schémata pro další modely (27) a (28) jsou prakticky shodná, liší se jen ve vzorci pro proměnnou část memduktance, která je modelována řízeným proudovým zdrojem Gmem. Fixní část je modelována rezistorem R0. Vmax*sin(2*π*F*time) 1610-3*v(x)*v(in)**3 in

12 I[mA]

1.2 V [V] 0.6

6

0

0

-0.6

-6

a)

-1.2 0

R0 Gmem

_ Cint

+

time [s]

0.6

0.8

1.0

-12

G [mS] 10

{1/(710-3)} vir

0.4

15

Vin

2*π*v(in)

0.2

x

5

1F IC=x0 Gint limit(A*v(vir),-1,1)

b)

0

Ea

0.2

0

0.4

time [s]

0.6

0.8

1.0

12 I[mA] 6

.πaram A= -200k x0=1Vmax=1 F=1 Obr. 2.

Východisko pro konstrukci SPICE modelu memristivního systému o rovnicích (18) a (26).

V spodní části obrázku je model diferenciální rovnice (18). Stavová proměnná x je modelována napětím uzlu x. Řízený zdroj Ea modeluje operační zesilovač v invertujícím zapojení, vytvářející s kapacitorem Cint převodník proudu zdroje Gint na napětí, které je rovno časovému integrálu proudu. Zesilovač má implementovánu limitací výstupního napětí v intervalu 〈-1, 1〉, čímž je zabezpečena limitace stavové proměnné v tomto intervalu podle rovnice (18). Výsledky simulací jsou znázorněny na obr. 3. Z hysterezní smyčky je dobře patrný její tangenciální charakter v okolí počátku souřadnic. Spektrální analýza potvrzuje spektrální skladbu proudu, která vstupovala do procesu syntézy. Všimněme si, že memduktance vykazuje dvojnásobný opakovací kmitočet oproti kmitočtu budicího signálu. Totožné výsledky získáme simulací memristivních systémů (27) a (28) za stejných podmínek buzení a počátečního stavu x0. Odlišné chování budou mít dané systémy při jiných parametrech modelu, odlišných od výchozího nastavení {Vmax, F, x0} = {1, 1, 1}. Zvlášť zajímavé chování je možné pozorovat u memristivního systému (28), kdy vhodnou volbou parametrů lze dosáhnout různých speciálních tvarů hysterezních smyček a jim příslušejících spektrálních čar proudů.

6

Syntéza ideálních memristorů

U ideálních memristorů buzených signálem (3) jsou podle (6) všechny kosinové spektrální složky proudu nulové. Pak lze vzorec (13) pro memduktanci redukovat na tvar 1 ∞ s (31) g= ∑ I k U k −1 (cos(ωt )) . Vmax k =1

0 -6

c)

-12 -1

-0.5

v [V]

0

0.5

1

4 Ic [mA] 2 0 -2

d)

-4

0

2

4

f [Hz]

6

8

10

8 Is [mA] 4

e)

0 -2

Obr. 3.

0

2

4

f [Hz]

6

8

10

Výsledky simulací modelu z obr. 2 v SPICE: a) časové průběhy napětí a proudu; b) časový průběh memduktance; c) hysterezní smyčka typu II s dotykem 3. řádu v počátku souřadnic; d) a e) spektrální čáry kosinových a sinových složek proudu.



g ( x) = G6sU 5 ( x) = G6s (32 x 5 − 32 x 3 + 6 x) .

Při uvažování stavové proměnné x = cos(ωt), která vyhovuje diferenciální rovnici (22), můžeme psát ∞

g ( x) = ∑ G ksU k −1 ( x) ,

(32)

k =1

kde

G kS =

I kS , k = 1, 2, … Vmax

(33)

jsou konstanty, mající význam dílčích vodivostí, poměrů příslušných sinových složek proudu. Pak memduktance příslušného ideálního memristoru závisí pouze na stavové proměnné a je určována těmito vodivostmi, váhovanými příslušnými Čebyševovými polynomy druhého druhu. Navrhněme memristor, buzený ze sinusového zdroje napětí (3) o amplitudě 1V a kmitočtu 1 Hz, který by generoval jedinou spektrální složku proudu, a to na kmitočtu 6 Hz. Jinými slovy, pokusíme se o syntézu násobiče kmitočtu o násobícím faktoru 6, který by pracoval bez nutnosti použití dodatečné kmitočtové filtrace. Pak podle (32) a (33) bude platit

12 I[mA]

1.2 V [V]

11 (34)

Pro SPICE simulaci je možné opět použít model z obr. 2 s vynecháním rezistoru R0 a s vzorcem (34) pro proud řízeného zdroje Gmem. Výsledky pro G6s jsou uvedeny

na obr. 4. Z obrázku je zřejmé, že memristor skutečně generuje pouze šestou harmonickou proudu, ale memristor funguje jako aktivní prvek, protože jeho memduktance nabývá jak kladných, tak i záporných hodnot, a příslušná hysterezní smyčka se nachází ve všech čtyřech kvadrantech. Odpomocí může být posunutí memduktance do kladných hodnot jejím doplněním o kladnou konstantní složku G1s , například 10 mS. To ale podle vzorce (33) znamená přidání dominantní první harmonické do spektra proudu. Příslušné výsledky simulací jsou uvedeny na obr. 5. Simulační experimenty ukazují, že k zajištění požadované funkce navržených memristorů je nutné relativně přesné dodržení výchozích podmínek návrhu, tj. parametrů budicího signálu a počátečního stavu paměti memristoru x0.

12 I[mA]

1.2 V [V]

0.6

6

0.6

6

0

0

0

0

-0.6

-6

-0.6

-6

-12

-1.2 0

-1.2 0

0.2

0.4

time [s]

0.6

0.8

1.0

10

20

G [mS]

G [mS]

0 0

0.2

0.4

time [s]

0.6

0.8

1.0

12 I[mA]

12 I[mA]

6

6

0

0

-6

-6

-12 -1

Obr. 4.

0.4

0.2

0.4

time [s]

0.6

0.8

1.0

0.6

0.8

1.0

-12

10

0

-10

0.2

-0.5

v [V]

0

0.5

1

Výsledky simulací modelu memristoru (34) jako násobiče kmitočtu: časové průběhy napětí a proudu, memduktance a hysterezní smyčka.

0

-12 -1

Obr. 5.

-0.5

time [s]

v [V]

0

0.5

1

Výsledky simulací modelu (34) po jeho doplnění o vodivost G1s = 10 mS: časové průběhy napětí a proudu, memduktance a hysterezní smyčka.


12

7

Závěry

V článku jsou naznačeny souvislosti mezi spektrálním složením proudu memristivním systémem, buzeným sinusovým napětím, a modelem systému, tj. jeho stavovou rovnicí a závislostí memduktance na stavu a na svorkovém napětí. Přestože jsou všechny závěry platné pro memristivní systém řízený napětím, s využitím principu duality je lze aplikovat i na memristivní systémy řízené proudem, buzené z proudového zdroje. Navržený postup syntézy je založen na některých zjednodušeních. Jejich důsledkem je nalezení jen některých z mnoha memristivních systémů, které vyhovují požadavkům zadání. Navržené memristivní systémy generují proudovou odezvu na sinusové buzení v ohraničeném frekvenčním pásmu, což však vyplývalo ze záměrů syntézy, a stavová veličina je vybírána tak, aby odpovídala stavové veličině ideálního generického memristoru [13]. Navrhovaná metoda však vychází z obecných souvislostí mezi charakteristikami memristivních systémů a spektrálním složením jejich branových signálů, takže v sobě skrývá potenciál k překonání uvedených omezení.

Poděkování Článek vznikl v rámci akce COST IC1103. Výzkum je finančně podporován MŠMT grantem č. LD14103.

Literatura [1] Strukov, D. B., Snider, G. S., Stewart, D. R., Williams, R. S. The missing memristor found. Nature (London), vol. 453, May 2008, p. 80 - 83. [2] Chua, L. O. Memristor – The Missing Circuit Element. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, No. 5, September 1971, p. 507 - 519. [3] Chua, L. O., Kang, S. M. Memristive Devices and Systems. Proceedings of the IEEE, vol. 64, No. 2, February 1976, p. 209 - 223. [4] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Memory effects in complex materials and nanoscale systems. Advances in Physics, vol. 60, no. 2, 2011, p. 145 - 227. [5] Biolek, D., Polcrová, J. Analogové aplikace memristivních systémů. Slaboproudý obzor, ročník 69 (2013), č. 4, s. 16 - 24. [6] Biolek, D., Biolková, V., Kolka, Z. Memristive systems for analog signal processing. In Proc. of ISCAS 2014, Melbourne, Australia, 2014, p. 2588 - 2591. [7] Biolek, D., Di Ventra, M., Pershin, Y. V. Reliable SPICE Simulations of Memristors, Memcapacitors and Meminductors. Radioengineering, vol. 22 (2013), no. 4, p. 945 - 968. ISSN 1210-2512. [8] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. SPICE model of memristor with nonlinear dopant drift. Radioengineering, vol. 18, no. 2, Part II, p. 210 - 214, June 2009. ISSN 1210-2512.


[9] Biolek, D. Memristor emulators. Kapitola v knize Memristor Networks (Ed. A. Adamatzky), Springer International Publishing, New York, USA, 2014, p. 487 503. DOI: 10.1007/978-3-319-02630-5_22. [10] Kim, H. et al. Memristor emulator for memristor circuit applications. IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 59, no. 10, 2012, p 2422-2431. [11] Bratkovski, A. M., Stuke, M., Yang, J., Wang, S. Y. Memristors with Asymmetric Electrodes. Patent Application No. PCT/US2009/051936, 10.02.2011, Hewlett-Packard Development Company, L.P., Dostupné na: http://www.wipo.int/patentscope/search/en/ WO2011016794. [12] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. Analytical Solution of Circuits Employing Voltage- and Current- Excited Memristors. IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 59, no. 11, 2012, p 2619 - 2628. [13] Chua L. O. If it’s pinched it’s a memristor. Semiconductor Science Technology, vol. 29, 2014, 104001 (42pp). [14] Chua, L. O. Resistance switching memories are memristors. Applied Physics A, vol. 102, no. 4, 2011, p. 765 - 783, DOI: 10.1007/s00339-011-6264-9. [15] Biolek, D., Biolek, Z., Biolková, V., Kolka, Z. Some Regularities of the Spectral Content of the Responses of Memristive Systems to Sinusoidal Excitation. In Proc. IEEE Conf. EMS2014 (Mathematical Modelling and Computer Simulation), Pisa, Italy, Oct. 2014 (to be published). [16] Joglekar, Y. N., Meijome, N. Fourier Response of a Memristor: Generation of High Harmonics with Increasing Weights. IEEE Trans. on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol. 59, no. 11, 2012, p. 830 - 834. [17] Cohen, G. Z., Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Second and higher harmonics generation with memristive systems. arXiv:1202.4727v1, [cond-mat.mes-hall], 21st February 2012. [18] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. Pinched hysteretic loops of ideal memristors, memcapacitors and meminductors must be 'self-crossing'. Electronics Letters, vol. 47, no. 25, 2011, p. 1385 - 1387. [19] Biolek, D., Biolková, V., Kolka, Z. Memristor Pinched Hysteresis Loops: Touching Points, Part II. In Proc. Applied Electronics, Pilsen, Czech Republic, 2014, p. 41 - 44. [20] Biolek, Z., Biolek, D. How Can the Hysteresis Loop of the Ideal Memristor Be Pinched? IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol. 61, no. 7, 2014, p. 491 - 495. [21] Multiple-Angle Formulas. Wolfram MathWorld, Dostupné na: http://mathworld.wolfram.com/MultipleAngleFormulas.html.

SYNTÉZA MEMRISTIVNÍHO SYSTÉMU S PŘEDEPSANÝM TYPEM HYSTEREZNÍ SMYČKY

Recommend Documents