RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR STATIKA DAN ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIK PADA SEKOLAH KEJURUAN DAN PERGURUAN TINGGI TEKNIK DENGAN TINJAUAN STRUKTUR ELEMEN FRAME (PORTAL BIDANG) Sudarmono
Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Semarang Jln. Prof. Soedarto, S.H., Tembalang Semarang 50275 Email :
[email protected]
Abstract This report presented the manufacture and tsting of the model aids the learning process matrix method of structural analysis to review the structure of frame elements (portals). The process of measuring stresses in the structures of degrees of freedom (DOF) which consists of a horizontal translation, vertical and rotation (rotation angle), the measurement is done by calculating the rotational movement of the vertical to the horizontal, so that the measurement of displacement is happening quite done it horizontally and vertically with the help of a dial gauge. Pattern load acting on the structure of this new experiment carried out with the assumption of horizontal loads such as earthquake load behavior of a node placed on the first floor. The amount of load on a node is 1 to 30 kgf. From the experimental result show that the displacement difference between testing with the theoretical results and software SAP90 still within reasonable limits. Therefore based on these results can be used for tools and practice aids analysis of the structure matrix method. But to complement these tools in order to obtain a high precision strain gauge required (strain gauge) and longer data recorder. Keywords : models, tools, fame structure (portal), DOF, translation, rotation, ASMM PENDAHULUAN Struktur adalah suatu kerangka utama sistem bangunan yang akan menyangga beban dari elemen yang lain baik secara langsung maupun tidak langsung. Pengertian struktur pada bangunan dapat dipersamakan dengan struktur jabatan pada suatu institusi baik swasta maupun negeri, misalnya struktur jabatan institusi pada politeknik dapat dianalogikan dengan struktur pada bangunan gedung, balok induk identik dengan ketua jurusan, kolom dengan asisten direktur, dan pondasi sebagai direktur sehingga di pundak direkturlah semua tanggung jawab institusi politeknik.
Mata kuliah analisis struktur metode matrik merupakan salah satu mata kuliah yang sangat memerlukan alat bantu peraga guna mempermudah pemahaman materi. Karena dasar utama teori analisis struktur metode matrik adalah masalah perpindahan yang ditunjukkan dengan DOF (degree of freedom). DOF ini dapat berupa perpindahan translasi maupun rotasi. Pada struktur truss perpindahan yang terjadi hanya berupa translasi, sedangkan rotasi tidak ada karena truss adalah tipe struktur yang dalam merespon gaya hanya akan diterima sebagai gaya aksial. Pada struktur portal (frame) perpindahan yang terjadi dapat berupa translasi maupun rotasi.
Dalam penyerapan suatu materi kuliah terkadang mudah diterima tanpa dengan alat bantu dan atau sangat diperlukan alat bantu. 17
Tujuan utama analisis struktur adalah untuk menentukan gaya luar dan gaya dalam dari sistem struktur yang akan dipergunakan untuk memperkirakan dimensi penampang elemen struktur tersebut. Gaya-gaya dalam yang merupakan respons struktur terhadap gaya luar dapat dibedakan menjadi gaya aksial, lentur , dan gaya puntir. Gaya aksial akan bekerja pada elemen struktur searah dengan sumbu batang berupa gaya tarik atau tekan, sedangkan gaya lentur akan bekerja memutar sumbu selain aksial, My dan atau Mz, gaya puntir bekerja memutar sumbu aksial batang (Mx). Selanjutnya dengan melihat perilaku elemen dalam merespons gaya luar yang bekerja padanya, maka dibedakan elemen berikut, yaitu elemen aksial, elemen lentur, dan elemen torsi. Elemen-elemen tersebut akan membentuk sistem struktur rangka, portal bidang, balok grid, dan portal ruang bergantung jumlah elemen yang digunakan. Dalam menganalisis struktur terdapat beberapa pemodelan yang bertujuan untuk menyederhanakan masalah, antara lain pada elemen frame suatu batang elemen dianggap sebagai suatu garis yang tidak mempunyai dimensi tebal dan lebar. Hal ini menyebabkan analisis tidak sesuai dengan kondisi sebenarnya dari struktur tersebut. Namun, analisis lebih lanjut dari model struktur yang meninjau tebal dan lebar elemen akan lebih tepat disebut elemen kontinum baik menggunakan elemen shell maupun solid. Elemen aksial adalah suatu elemen struktur yang di dalam merespons gaya luar akan diterima sebagai gaya tarik atau tekan yang bekerja searah dengan sumbu elemen. Secara singkat model elemen aksial digambarkan sebagai berikut. atau
sumbu elemen
Gambar 1 Model Elemen Aksial
18
Elemen lentur adalah elemen apabila ditinjau dari sifatnya dalam merespons gaya berupa momen lentur dan atau gaya lintang atau dengan kata lain repons perpindahan yang terjadi berupa displacemen dan putaran sudut ujung batang. Model elemen tersebut ditunjukkan konfigurasi gambar berikut.
z
y
x My
Dz
My Dz
Gambar 2 Model Elemen Lentur Contoh model dari sistem struktur yang menggunakan model elemen ini adalah balok di atas dua tumpuan (simple beam), sistem portal dua dimensi, portal tiga dimensi dan balok grid. Elemen torsi adalah elemen dimana dalam merespons gaya selalu memutar sumbu elemen (batang) sehingga perpindahan yang terjadi berupa putaran sudut. Gaya torsi ini pada struktur banyak dijumpai pada sistem portal balok tepi, balok tengah dengan bentang yang saling berseberangan tidak sama panjang dan as pemutar pada mesin. Dalam kenyataannya akan dijumpai sistem struktur (portal) yang merupakan gabungan dari beberapa elemen, yaitu portal 3D, 2D, dan balok grid. a. Portal 3D merupakan portal yang menggunakan elemen paling komplit dalam memodelkannya. Struktur portal ini terdiri dari elemen aksial, lentur My dan Mz serta momen torsi Mx. b. Portal 2Dl ini merupakan penyederhanaan dalam mengalisis struktur portal 3D apabila dipenuhi kondisi, yaitu susunan portal bersifat simetris sehingga model 2D dapat mewakili portal yang lain. Portal 2D ini terdiri dari elemen aksial dan elemen lentur My atau Mz. c. Balok Grid merupakan perpindahan yang terjadi pada sistem ini berupa displacement dan lentur. Struktur ini merupakan portal bidang pada bidang dua sumbu koordinat mendatar. Berdasarkan jenis elemen yang digunakan sering dibedakan sistem struktur antara lain sistem struktur rangka batang bidang (plane truss), rangka batang ruang (space truss), portal bidang, portal ruang, dan balok grid serta struktur pelat dan cangkang (
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
biasanya dianggap non struktural ). Dalam analisis sistem struktur dapat juga dilakukan analisis antara elemen frame dengan elemen kontinum secara bersamaan artinya, antara elemen frame dengan elemen kontinum disuperposisikan, dengan Tabel 1. Sistem Struktur Sistem Portal Ruang
menjumlahkan gaya dan perpindahan yang sesuai. Analisis ini biasanya menggunakan cara diskret (cara ini sering dipakai pada analisis struktur metode elemen hingga). Penggunaan elemen pada sistem struktur tersebut dapat disajikan dalan Tabel 1.
Model Elemen d3,f3
Kek. Elemen d2,f2
d9,f9
d8,f8
d1,f1 d7,f7
d4,f4 d6,f6
d5,f5
d11,f11
Portal bidang
d10,f10
d12,f12
d5,f5
d2,f2 d1,f1
d4,f4
[k]6x6{d}6x1={f}6x1
d6,f6
d3,f3
Grid
d3,f3
d6,f6 d4,f4
d1,f1
Rangka ruang
d2,f2
[k]12x12{d}12x1={f}12x1
[k]6x6{d}6x1={f}6x1
d5,f5 d2,f2
[k]2x2{d}2x1={f}2x1 bila diurai jadi orde 6
d1,f1
Rangka bidang d1,f1
Banyak metode yang dapat digunakan didalam mengalisis struktur dari yang paling sederhana sampai yang rumit dan detail. Namun, secara garis besar dapat dibedakan dengan dua cara, yaitu cara pendekatan dan cara eksak. Yang termasuk dalam kelompok cara pendekatan adalah cara cross, Takabeya, Claperron, kani, dan lain-lain. Cara-cara tersebut dalam mendapatkan gaya elemen dilakukan dengan cara iterasi berupa momen ujung batang, selanjutnya dari momen ujung batang tersebut diperoleh gaya-gaya yang lain berupa gaya aksial dan lintang. Cara ini biasanya hanya terbatas untuk menganalisis struktur dua dimensi, artinya di dalam analisis akan dilakukan penyederhanaan, misalnya struktur dianggap terwakili oleh portal dua dimensi.
d2,f2
[k]2x2{d}2x1={f}2x1 bila diurai jadi orde 4
Pada cara eksak antara lain metode matrik, metode elemen hingga, dan metode beda hingga disebut cara eksak dikarenakan di dalam mendapatkan gaya-gaya dalam pada elemen akan diperoleh secara langsung dari sistem persamaan yang melibatkan propertis penampang elemen. Cara ini sekarang berkembang pesat setelah ditemukan komputer sehingga derajat kebebasan struktur tidak menjadi kendala dalam mencari invers matrik kekakuan struktur. Bahkan, dalam metode diskret elemen hingga suatu struktur dapat dibuat DOF dari yang terkecil sampai terbesar dengan menambah joint-joint tambahan. Joint-joint tambahan tersebut bersifat nonmandatory, artinya hanya diperlukan bila ingin mendapatkan free body yang lebih rinci pada tiap jarak tertentu, misalnya tiap 50 cm atau tiap 1 meter. Jika kita mempunyai panjang elemen 5 meter, maka dengan 5 joint
RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR……..(Sudarmono )
19
tambahan akan diperoleh detail free body tiap 1 meter dan seterusnya. Analisis struktur metode matrik merupakan cara langsung mendapatkan gaya-gaya dalam elemen struktur. Hal terpenting dalam metode ini adalah menentukan kekakuan elemen lokal, kekakuan elemen struktur (global), dan menjumlahkannya menjadi kekakuan struktur serta mencari perpindahan nodal struktur akibat bekerjanya gaya. Banyak metode yang digunakan untuk mendapatkan kekakuan elemen, antara lain metode slope deflection, dan metode energi. Berdasarkan uraian di atas ternyata cukup sulit bagi mahasiswa untuk dapat menyerap secara cepat materi kuliah analisis struktur metode matrik. Oleh karena itu, pada penelitian ini telah dibuat model alat bantu guna mempermudah penyerapan dalam proses belajar mengajar. Prinsip model alat ini adalah dengan cara mengukur perpindahan (DOF) baik secara mendatar, vertikal, maupun rotasi. Alat akan dibuat untuk model elemen frame portal berupa portal 2 dimensi sampai 2 tingkat. Iahap berikutnya akan diteruskan dengan model portal 3 dimensi yang dilengkapai dengan pengukuran dengan strain gage dan perekam digital. Hingga saat ini belum ada peralatan model peraga yang dapat menunjukkan besarnya perpindahan (dof) pada analisis struktur metode matrik. Dengan dibuatnya alat ini, maka kita dapat membandingkan pola perilaku deformasi struktur dari teori dan eksperimen secara langsung. Oleh karena itu, perlu dilakukan rancang bangun model alat pengukur deformasi untuk mendapatkan nilai perpindahan sesuai arah DOF yang diasumsikan. Dengan adanya alat ini proses belajar mengajar dapat memberikan gambaran secara jelas kepada mahasiswa mengenai perilaku DOF (Derajat Kebebasan Struktur) pada analisis struktur metode matrik. Rancang Bangun model alat untuk mengukur deformasi pada analisis struktur metode matrik didasarkan asumsi berikut, yaitu: a. teori elastisistas masih berlaku; b. selama pembebanan material masih berperilaku elastis; c. penampang rata tetap rata sebelum dan sesudah penegangan (azas Bernoulli dan Navier); d. adapun bentuk model yang akan digunakan dalam pembuatan model ini adalah : 20
1. bahan pelat strip tebal 5 mm lebar 24 mm dari baja mutu standar; 2. pengukuran dilakukan secara manual untuk menentukan perpindahan mendatar dan vertikal yang ditunjukkan dengan kertas milimeter, sedangkan untuk kontrol rotasi dihitung berdasarkan perpindahan vertikal dan perpindahan horizontal dengan alat ukur dial; 3. nilai perpindahan yang didapat digunakan untuk membandingkan hasil perhitungan secara teoritis (metode matrik); 4. gambar secara singkat model adalah sebagai berikut.
H 39,5 cm
39,5 cm
Gambar 3a. Model Struktur Portal Satu Tingkat 2x39,5 cm
H1 39,5 cm
H2 34,5 cm
Gambar 3b. Model Portal 2 Dimensi 2 Lantai
Secara ringkas tujuan penelitian ini adalah membuat alat bantu kuliah bagi mahasiswa dalam pembelajaran mata kuliah Analisis Struktur Metode Matrik dengan membuat model alat peraga dan menunjukkan gambaran perilaku perpindahan joint pada struktur dengan elemen frame khususnya portal 2Dimensi. Dengan adanyamodel alat tersebut dapat meningkatkan kompetensi kelulusan mahasiswa Politeknik Negeri Semarang dalam bidang analisis struktur dalam perencanaan bangunan, melatih kemandirian staf pengajar untuk menciptakan sendiri peralatan penunjang yang diperlukan dalam proses belajar mengajar, dan dapat
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
meningkatkan kompetensi diri pengajar dalam proses tranfer ilmu pengetahuan dan teknologi serta seni kepada mahasiswa. Analaisis struktur metode matrik secara umum dibedakan dalam dua metode, yaitu metode gaya (fleksibilitas) dan metode perpindahan (kekakuan). Metode gaya dalam penyusunan persamaan matrik strukturnya didasarkan perpindahan satu satuan yang selaras. kemudian nilai perpindahan yang selaras tersebut digunakan untuk mendapatkan matrik gaya nodal, sedangkan metode perpindahan didalam persamaan matrik struktur didasarkan pada gaya nodal ekivalen yang besarnya bergantung pada beban yang bekerja. Dengan beban nodal yang diketahui atau dari beban bentang yang dikonversi ke beban nodal tersebut selanjutnya digunakan untuk mendapatkan perpindahan titik nodal dan pada akhirnya untuk mencari gaya elemen baik dalam sumbu global maupun dalam sumbu lokal. Persamaan umum metode gaya adalah [f]{P} = {X}, di mana [f]= matrik fleksibilitas (invers dari matrik kekakuan), {P}= matrik gaya, dan{X}= matrik perpindahan, sesuai dengan dof struktur yang biasanya diasumsikan satu satuan. Metode kedua adalah metode perpindahan (kekakuan). Metode ini merupakan metode yang paling disukai banyak orang karena kemudahannya untuk ditetapkan dalam program komputer, yaitu [K]{D} = {P}, dimana [K] = matrik kekakuan struktur,{D}= matrik perpindahan titik nodal, dan {P} = matrik gaya nodal. Penurunan matrik kekakuan elemen dapat dilakukan dengan beberapa metode, yaitu metode energi, metode deformasi. Selajutnya penurunan matrik kekakuan elemen yang digunakan dalam struktur terutama elemen frame (terdiri dari elemen aksial, elemen lentur, dan elemen torsi). Matrik kekakuan elemen frame dalam penurunan persamaan dibedakan dalam tiga elemen dasar, yaitu elemen aksial, lentur, dan torsi. Penurunan akan menggunakan
metode deformasi yang didasarkan pada hukum Hooke untuk elemen aksial serta teori slope deflection untuk elemen lentur serta teori geser torsi. Penurunan persamaan elemen kekakuan dengan metode energi perlu pemahaman diferensial dan intergral matrik, terutama untuk mencari integrasi fungi bentuk yang dihasilkan dari teori elemen hingga. Suatu konstruksi bangunan yang menerima pembebanan baik beban bentang maupun beban pada titik nodal, maka konstruksi tesebut akan mengalami deformasi. Besarnya deformasi ini sangat dipengaruhi oleh propertis elemen struktur tersebut. Propertis penampang ini menjadi bagian pembentuk kekakuan elemen yang sesuai. Untuk menurunkan matrik kekakuan elemen aksial, kita tinjau gambar model struktur yang menerima gaya aksial berikut : A
B
A,E
NA
NB x1
x
Gambar 4 Model Deformasi Elemen Axial Untuk mendapatkan hubungan gaya, kekakuan, dan perpindahan ditinjau masing-masing gaya yang menyebabkan deformasi yang didasarkan pada hukum Hooke F = k. x , di mana F = gaya, k= konstanta sesuai elemen (kekakuan elemen), dan x = perpindahan yang sesuai. Kukum Hooke hanya akan berlaku apabila material bersifat elastis linier. Pengertian material elastis linier, elastis nonlinier, dan plastis dapat dijelaskan dari grafik hubungan tegangan regangan berikut. σ
σ
ε
ε
ε Elastis Linier
σ
Plastis
Elastis non Linier
Gambar 5 Grafik Tegangan Regangan
RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR……..(Sudarmono )
21
Selanjutnya untuk mendapatkan matrik kekakuan elemen diturunkan dengan memisahkan akibat gaya NA dan reaksinya yang sepadan di titik B serta gaya NB dan reaksinya di titik A sebagai berikut : a. Akibat gaya NA, perpendekan sebesar x1 A
mengakibatkan
A,E
B
NB
NA x1
l
AE NA L = NB − AE L atau secara umum
NA K11 = NB − K 21
k=
AE x 1 ……………………………..... L AE NB = − x 1 ……………………………... L
NA =
b. Akibat gaya perpanjangan x2 A
NB,
A,E
(1) (2)
mengakibatkan B
NA
NB l
x2
Gambar 7 Matrik Elemen Aksial Gaya NB AE x 2 …………………………….. L AE x 2 ……………………………… NB = L NA = −
22
(8)
Persamaan (7) disebut sebagai persamaan matrik kekakuan elemen aksial. Jika batangnya lebih dari satu yang dirangkai dalam satu konstruksi, maka cara penyelesaiannya juga sama dengan berpegang prinsip setiap gaya aksi akan menimbulkan reaksi yang berlawanan arah dengan aksi tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kekakuan elemen menjadi bagian kekakuan dari struktur gabungan atau dengan kata lain bila struktur itu terdiri dari beberapa elemen, maka kekakuan struktur merupakan penjumlahan dari kekakuan elemen yang didasarkan acuan sumbu yang sama (sumbu struktur). Penjumlahan terjadi pada elemen-elemen yang saling koneksi dalam suatu nodal. L3
(4)
AE AE x1 − x2 L L ……………………… (5) AE AE x2 NB = − x1 + L L
Atau dalam bentuk matrik :
AE 1 − 1 …………………………… L − 1 1
(3)
Dengan mensuperposisikan kempat kondisi tersebut didapat persamaan : NA =
− K12 x1 …………. (7) K 22 x 2
di mana {N}= Matrik gaya nodal ujung, [K]= matrik kekakuan (selalu simetris), kecuali dimensi penampang berubah, dan {x}= matrik perpindahan atau
Gambar 6 Matrik Elemen Aksial Gaya NA Dari keseimbangan gaya diperoleh hubungan gaya sebagai berikut :
AE L x 1 ………….. (6) AE x 2 L
−
A
3
A3
F1
A1
1 x1
L1
2
F2
F3
A2
x
L2
x
Gambar 8 Matrik Gabungan Elemen Dengan cara yang sama seperti pada persamaan (5 dan 6), yaitu dengan mengekang tumpuan lain bila tumpuan 1 diberi F1 kemudian F2
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
tumpuan 1 dan 3 dikekang dan terakhir diberi gaya F3 dengan mengekang tumpuan 1 dan 2 diperoleh persamaan : F1 =
A E A E A E A1E1 x1 − 1 1 x 2 + 3 3 x1 − 1 1 x 3 L1 L3 L1 L1
F2 = − F3 = −
A E A E A E A1E1 x1 + 1 1 x 2 + 2 2 x 2 − 2 2 x 3 L2 L2 L1 L1
Sedangkan untuk elemen lentur dapat dinyatakan dengan meninjau suatu elemen balok AB yang menerima beban luar adalah a. beban tengah bentang q(x) b. beban ujung MA, VA, NA, dan MB , VB , NB y
(9)
A E A E A E A3E3 x1 − 2 2 x 2 + 2 2 x 3 + 3 3 x 3 L3 L2 L2 L3
Jika k1 =
A E A1E 1 , k2 = 2 2 L2 L1
dan k 2 =
V
q(x)
yA M
E,A,I,L
A 3E 3 L3
atau dalam bentuk matrik menjadi : F1 k 1 + k 3 F2 = − k 1 F − k 3 3
−k2 k1 + k 2 −k2
− k 3 x1 − k 2 x 2 (10) k 2 + k 3 x 3
Matrik kekakuan pada persamaan 10 di atas masih merupakan matrik kekakuan elemen dalam sumbu lokal, untuk menyusun matrik struktur diperlukan matrik kekakuan elemen dalam sumbu global yaitu dengan bantuan matrik transformasi yang meng-hasilkan matrik kekakuan elemen dalam sumbu global untuk elemen aksial sebegai berikut. c2 [K ] = EA cs2 L −c − cs
cs s2 − cs −s2
2
−c − cs c2 cs
− cs −s2 ….. (11) cs s 2
Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan (2) kita dapat menghitung gaya batang baik berdasarkan sumbu local maupun sumbu global.
E,A,I,L x
M
θA
yB
θB Gambar 9 Model Elemen Lentur
maka persamaan (9) menjadi : F1 = (k1+k3)x1 – k2x2 – k3x3 F2 = -k1x1 + (k1+k2)x2 – k2 x3 F3 = -k3 x1 – k2x2 + (k2+k3) x3
V
maka persamaan deferensial penentu dari elemen adalah : EI
d4y = q ( x ) ……………………….. (12) dx 4
Apabila yang bekerja hanya beban-beban ujung, maka persamaan menjadi : EI
d4y =0 dx 4
maka selanjutnya dengan melakukan integrasi empat kali akan diperoleh persamaan gaya lintang, momen, sudat putar, dan lendutan dengan urutan integrasi berikut.
EI
d4y = 0 (beban merata) …………… dx 4
(12)
EI
d3y = C1 (gaya lintang) ……………. dx 3
(13)
EI
d2y = C1 x + C 2 (momen lentur) …… dx 2
(14)
EI
dy x2 = C1 + C 2 x + C 3 (rotasi) …….. dx 2
(15)
EI = C1
x3 x2 + C2 + C 3 x + C 4 (lendutan) (16) 6 2
RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR……..(Sudarmono )
23
C1, C2, C3, dan C4 adalah nilai konstanta yang dicari berdasarkan kondisi batas alam elemen (boundary condition), yaitu berupa perpindahan (displacement) dan rotasi ujung batang pada x = 0 dan x = L berikut. Pada x= 0 Nilai batas alamnya adalah yA dan θA. Dengan memasukkan ke persamaan (16) didapat : y = C4 = yA
………………………….
(17)
dy = C 3 = putaran sudut = θ A … (18) EI dx x =0
Pada x= L Nilai batas alamnya adalah yB dan θB y=
1 1 C1 L3 + C 2 L2 + C 3 L + C 4 = y B …. (19) 6 2
1 dy = C1 L2 + C 2 L + C 3 = θ B … (20) EI dx x =L 2
Jadi, dengan
1 1 2 2 y B − θB * L = C2 L + θA * L + yA 3 6 3 2 1 6 C 2 = 2 (− y A + y B ) − θ A * L − θ B * L 3 3 L 6 4 6 2 C2 = − 2 y A − 2 θA + 2 y B − θB L L L L
Mengingat hubungan gaya dengan deformasi persamaan (14 dan 15) serta free body elemen, yaitu nilai MA menurut free body dari kiri adalah negatif serta MB posistif, sedangkan gaya lintang ditinjau dari kiri VA positif dan VB negatif sehingga didapat persamaan berikut. MA d2y VA d 3 y = 2 dan = EI dx EI dx 3
Pada x = 0
Selanjutnya dengan mesubstitusikan nilai C4 dan C3 kedalam persamaan (9c dan 9d) didapat persamaan dengan variabel C1 dan C2 yang merupakan dua persamaan dengan dua varibel, sehingga nilai C1 dan C2 dapat diperoleh dengan eliminisi kedua variabel secara bergantian berikut.
1 1 C1 L3 + C 2 L2 + θ A L + y A 2 6 1 1 x L θ B = C1 L2 + C 2 L + θ A 2 2 ____________________________________ −
1 1 C1 L3 + C 2 L2 + θ A L + y A 6 2 1 1 2 x L θ B = C1 L + C 2 L + θ A 3 2 ____________________________________ − yB =
−
C4 = yA dan C3 = θA
a. Eliminasi C2 didapat C1
Dengan cara yang sama, mengalikan dengan L/3 :
VA d 3 y = C1 = EI dx 3 x =0 6 6 12 12 VA = C1 EI = EI 3 y A + 2 θ A − 3 y B + 2 θ B L L L L MA d2y = C2 − = EI dx 2 x =0 6 2 4 6 yB + θB M A = −C 2 EI = EI 2 y A + θ A − 2 L L L L
Pada
x=L
yB =
d3y V − B = 3 = C1 atau syarat VA + VB = 0, karena q = 0 EI dx x = L 6 6 12 12 VB = EI − 3 y A − 2 θ A + 3 y B − 2 θ B L L L L
1 1 1 3 y B − θ B * L = − C1 L + θ A * L + y A 2 12 2 12 1 C1 = 3 (y A − y B ) + (θ A + θ B )L 2 L 12 6 12 6 C1 = 3 y A + 2 θ A − 3 y B + 2 θ B L L L L
MB d2y = = C1 L + C 2 EI dx 2 x = L 4 2 6 6 M B = EI 2 y A + θ A − 2 y B + θ B L L L L
Apabila keempat persamaan tersebut disusun dalam bentuk matrik menghasilkan
b. Eliminasi C1 didapat C2 24
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
12 EI Z L3 V A 6 EI Z M A L2 V = 12 EI Z B − M B L3 6 EI Z L 2
6 EI Z
−
L2 4 EI Z L 6 EI Z − L2 2 EI Z L
12 EI Z
−
L3 6 EI Z
−
L3 6 EI Z
L2 12 EI Z
L2
6 EI Z L2 y 2 EI Z A θ L A 6 EI Z y B − L2 θ B 4 EI Z L
bila k adalah 12 EI Z L3 6 EI Z 2 L k= 12 EI Z − L3 6 EI Z L2
6 EI Z
−
2
L 4 EI Z L 6 EI Z − L2 2 EI Z L
−
6 EI Z L2 2 EI Z L 6 EI Z − L2 4 EI Z L
12 EI Z 3
L 6 EI Z
L2 12 EI Z
−
L3 6 EI Z L2
(21)
dan k disebut sebagai matrik kekakuan elemen lentur. Gabungan (superposisi) antara elemen axial dan elemen lentur menghasilkan matrik kekakuan elemen portal dua dimensi dalam sumbu lokal, dengan persamaan sebagai berikut. x d5, fi5 d4 , f4 d6, fi6 y d2 , i d3 , d1, fi1 Gambar 10 Elemen Portal Dua Dimensi dalam Sumbu Lokal EA f 1 L i 0 f 2 i f 3 0 i 4 = EA f i − 5 L f i 6 0 f i 0
d1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6
0
0
12EI Z
6EI Z
L3 6EI Z
L2 4EI Z L
L2 0 −
12EI Z L3 6EI Z L2
0 −
6EI Z
L2 2EI Z L
−
EA L
0 12EI Z
0
−
0
−
EA L 0 0
L3 6EI Z L2 0
12EI Z −
L3 6EI Z L2
6EI Z L2 2EI Z L 0 6EI − 2Z L 4EI Z L 0
.............................................. (22)
Persamaan (21) tersebut merupakan persamaan matrik elemen struktur dalam sumbu lokal dimana tanda superscrip 1 s.d. 6 menyatakan nomor unsur perpindahan dan rotasi dan i menyatakan kode nomor elemen. Selanjutnya dengan menyusun matrik kekakuan elemen dari persamaan (22) dan menyelesaikan persamaan matrik struktur (2) didapat hasil teoritis untuk dikomparasi dengan percobaan. METODE PENELITIAN Pengembangan teori analisis struktur metode matrik dan mekanika bahan (mechanics of materials) akan menjadi acuan utama untuk pembuatan model alat pengukur deformasi pada joint dalam penelitian ini, yaitu masalah pengukuran perpindahan secara manual. Di samping itu, teori deformasi dan slop deplection juga menjadi dasar dalam penentuan matrik kekakuan elemen aksial dan elemen lentur untuk penelitian selanjutnya [1,2,3,4,7]. Penentuan dimensi model dimulai dari studi pustaka dan teori-teori pendukung agar tidak terjadi perbedaan yang mencolok antara perilaku model yang dihasilkan dengan kondisi sebenarnya, oleh karena itu diperlukan konversi dan verifikasi dari hasil pengujian model. Setelah studi pustaka dan pendimensian model perlu adanya pengujian bahan untuk mengetahui properties elemen terutama modulus Elastisitas. Untuk menganalisis alat pengukur deformasi joint pada sistem rangka batang sesuai dengan dof, dibawah ini merupakan ringkasan langkahlangkah penelitian : a. penentuan sifat material dan dimensi struktur; b. menentukan bentuk dan susunan frame model; c. menganalisis perpindahan yang terjadi pada masing-masing dof kemudian diverifikasi dengan hasil pengukuran secara elektrik dari rangkaian strain gage yang terpasang pada model; d. menentukan sistem sambungan frame apakah dengan las atau dengan sistem sok
RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR……..(Sudarmono )
25
sperti pada sambungan pipa guna mencari kondisi sambungan yang paling elastis; e. membuat frame model dan skala pengukur perpindahan dof serta memasang strain gage yang dirangkai dengan alat perekam; f. melakukan pengujian model secara manual; g. menganalisis hasil pengujian dan membuat laporan. HASIL Berdasarkan hasil eksperimen dilaboratorium untuk portal satu lantai dengan ukuran seperti pada gambar 4a diatas dihasilkan perpindahan yang ditunjukkan dalam tabel 2 dibawah ini. Agar diperoleh gambar grafik yang menunjukkan pola perilaku truktur yang masih bersifat elastis dilakukan pembebanan secara bertahap.
d2,F2
d5,F5 d3,F3
3
d6,F6
d1,F1
4
39,5 cm
1
39,5 cm
2
Gambar 11 Konfigurasi Pengujian Model Beban yang bekerja berupa beban terpusat yang diletakkan pada joint 4, sedangkan dial pengukur perpindahan vertikal dan horizontal diletakan pada joint 3 dan 4. Gambar 9 diatas menyatakan hubungan perpindahan sesuai dof yang dipasangkan dengan gaya yang sesuai.
Tabel 2 Perpindahan DOF pada Joint 3 Beban (kg) 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30
X (mm) Eksperimen Teori 0,6995 0,97821 1,3990 1,95643 2,0985 2,93464 2,7979 3,91285 3,4974 4,89106 6,9948 9,78213 10,4923 14,67319 13,9897 19,56426 17,4871 24,45532 20,9845 29,34638
Perpindahan Z (mm) Eksperimen Teori -0,0001 -0,0000000038 -0,0001 -0,0000000075 -0,0002 -0,0000000113 -0,0003 -0,0000000151 -0,0003 -0,0000000188 -0,0007 -0,0000000377 -0,0010 -0,0000000565 -0,0013 -0,0000000753 -0,0017 -0,0000000942 -0,0020 -0,0000001130
Rotasi (rad) Eksperimen Teori 0,001063 0,00248 0,002125 0,00495 0,003188 0,00743 0,00425 0,00991 0,005313 0,01238 0,010626 0,02477 0,015938 0,03715 0,021251 0,04953 0,026564 0,06191 0,031877 0,07430
Tabel 3 Perpindahan DOF pada Joint 4 Beban (kg) 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30
26
X (mm) Eksp 0,6996 1,3991 2,0987 2,7983 3,4978 6,9956 10,4934 13,9913 17,4891 20,9869
Teori 0,97829 1,95658 2,93487 3,91316 4,89146 9,78291 14,67437 19,56582 24,45728 29,34874
d4,F4
Perpindahan Z (mm) Eksp Teori -0,000067 -0,0000000038 -0,000134 -0,0000000075 -0,000201 -0,0000000113 -0,000269 -0,0000000151 -0,000336 -0,0000000188 -0,000672 -0,0000000377 -0,001007 -0,0000000565 -0,001343 -0,0000000753 -0,001679 -0,0000000942 -0,002015 -0,0000001130
Rotasi (rad) Eksp Teori 0,001063 0,0024765 0,002126 0,0049531 0,003188 0,0074296 0,004251 0,0099061 0,005314 0,0123826 0,010628 0,0247653 0,015941 0,0371479 0,021255 0,0495306 0,026569 0,0619132 0,031883 0,0742958
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
Berikut grafik yang menggambarkan pola perpindahan hasil eksperimen portal satu tingkat dikomparasi dengan hasil analisis struktur metode matrik (teoritis).
Grafik Perpindahan X Joint 3 ) m 40 m ( n30 a h a20 d in10 rp 0 e P
1
2
3
Eksp erimen Teoritis
1
2
Ekspe rimen Teoritis
3
4 5 10 15 20 25 Gaya Hori zontal (Kgf)
30
Gambar 12 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi X joint 3 Grafik Perpindahan Z Joint 3 ) m m ( n a h a d n ip r e P
Grafik Perpindahan x Joint 4 ) m 40 m ( n 30 a h 20 a 10 d n i 0 p r e P
0.00000 -0.00050
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
4
5
10 15 20 25 30
Gaya Horizontal (Kgf)
Gambar 15 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi X Joint 4
Grafik Perpindahan z Joint 4 ) m m ( n a h a d n i rp e P
0. 00000 -0. 00050
1
2
4
5 10 15 20 25 30
-0. 00150 -0. 00200 -0. 00250 Eksperimen
-0.00100 -0.00150
3
-0. 00100
Gaya Horizontal (Kgf)
Teoritis
-0.00200 -0.00250 Eksperimen
Gaya Horizontal (Kgf)
Gambar 16 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi Z Joint 4
T eoritis
Gambar 13 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi Z joint 3
Grafik Perpindahan Rotasi Y Joint 3 ) d a r( i s ta o R
0.0800 0.0600
Grafik Perpindahan Rotasi y Joint 4 ) d a R (i s a t o R
0.08000 0.06000 0.04000 0.02000 0.00000 1 Eksper ime n Teoritis
0.0400 0.0200
2
3
4
5 10 15 20 25 30
Gaya Horizontal (Kgf)
0.0000 1 Ekspe rimen
2
3
4
5 10 15 20 25 30
Gaya Horiz ontal (Kgf)
Gambar 17 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Rotasi Y joint 4
Teoritis
Gambar 14 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Rotasi Y joint 3
Berikut grafik hubungan perpindahan dengan beban bekerja pada joint 6 dan 9 untuk portal 2 lantai :
Kondisi yang sama atau hampir sama dengan keadaan pada titik 3 juga terjadi da titik 4, baik secara teoritis maupun eksperimental.
RANCANG BANGUN ALAT BANTU PROSES BELAJAR MENGAJAR……..(Sudarmono )
27
untuk kondisi pembebanan yang dalam batas-batas elastis. namun untuk batas-batas beban yang sudah mendekati leleh menunjukkan perbedaan yang cukup signifikan. Berdasarkan hasil tersebut alat dapat digunakan untuk peraga/ praktik mata kuliah analisis struktur metode matrik, namun perlu dikembangkan lagi sistem pengukuran yang lebih akurat.
Grafik Perpindahan X Joint 4 ) m 0.210 m ( n0.160 a h0.110 a d0.060 n i p r0.010 e P -0.040
1
2
3
4 5 10 15 20 25 30 Gaya Horizontal (Kgf)
Eksperime n Teoritis
Gambar 18 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi X Joint 4
Grafik Perpindahan Z Joint 4 ) m m ( n a h a d n i p r e P
0.00000 -0.00100
1
2
3
4
5 10 15 20 25 30
-0.00200 -0.00300 -0.00400 -0.00500 Eksperimen Teoritis
Gaya Horizontal (Kgf)
Gambar 19 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Translasi Z Joint 4
) d a r( i s a t o R
Grafik Perpindahan Rotasi Y Joint 4 0.0060 0.0040 0.0020 0.0000 1 Eksperim en Teo ritis
2
3
4
5
10 15 20 25 30
Gaya Hor izontal (Kgf)
Gambar 20 Hubungan Gaya dengan Perpindahan Rotasi Y joint 4 PEMBAHASAN Dari gambar grafik diatas menunjukkan bahwa pada beban yang relatif kecil hasil antara eksperimen dibanding dengan hasil teoritis hampir sama, hal ini dikarenakan sifat material.
UCAPAN TERIMA KASIH Penelitian diperlukan ketekunan, keseriusan untuk mencapai suatu hasil yang diharapkan maksimal, di samping dana yang tidak sedikit kadang-kadang juga menjadi kendala dalam keberhasilan dan kelanjutan penelitian tersebut. Selanjutnya diterapkan dalam masyarakat industri. Dalam penelitian ini atas nama tim peneliti mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak yang telah mendukung pelaksanaan penelitian ini kepada pihak Politeknik Negeri Semarang yang telah mendanai pelaksanaan penelitian ini, UP2M Polines yang telah membantu terselenggaranya penelitian, para anggota tim penliti terutama para mahasiswa yang telah bekerja keras untuk membantu proses penelitian. DAFTAR PUSTAKA 1. Ajit, K.M and Singh, 1991. Deformation of Elastic Solid. New Jersey: Prentice Hall, Englewood Cliffs. 2. Armenakas, A.E, 1991. Modern Structural Analysis The Matrix Method Approach. New York: Mc Graw-Hill, Inc. 3. Cook, R.D, 1985. Advanced Mechanics of Materials. New York: Macmillan Publishing Company. 4. Cook, R.D., 1990. Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. “ Edisi Pertama. Bandung: PT Eresco. 5. Dally, J.M and Riley, W.F, 1991, 3rd edition. Experimental Stress Analysis. New York: Mc Graw-Hill International. 6. Reddy, J.N., 1993. An Introduction to the Finite Element Method. Second Edition: New York: McGraw-Hill International. 7. Wilson E.L and Habibullah A, 2002. SAP2000 A Series Of Computer Program for the Static and Dynamic Finite Element Analysis of Structures. California: CSI, Inc, Berkeley.
SIMPULAN Dari hasil penelitian di atas menunjukkan bahwa perbedaan yang terjadi antara eksperimen dengan teoritis menunjukkan kesalahan yang relatif kecil 28
Wahana TEKNIK SIPIL Vol. 14 No. 1 April 2007: 17-28
