Sub Pokok Bahasan Bilangan Bulat

MODUL MATERI PELAJARAN MATEMATIKA

Sub Pokok Bahasan Bilangan Bulat Kelas : VII (tujuh) Semester: 1 (ganjil) Kurikulum KTSP

Disusun Oleh: Seri Rahmawati, S.Pd NIP. 19791101 200212 2 001 MTsN SELAT KUALA KAPUAS TAHUN PELAJARAN 2010/2011

Modul Matematika: Materi Bilangan Bulat Kelas VII MTsN Selat Kuala Kapuas

Bilangan bulat Pengertian Bilangan Bulat Bilangan bulat ditulis

sebagai

Contoh: Hitunglah penjumlahan bilangan bulat di bawah ini: 6 + (-4) = …. (bilangan yang terbanyak

:

....,  4,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ....

Letak bilangan bulat dalam garis bilangan seperti berikut:

adalah bilangan positif (yaitu +6), maka hasil penjumlahannya adalah bilangan positif).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

= 6  4  (kedua bilangan beda jenis

Pengerjaan hitung pada bilangan bulat: 1. Penjumlahan Menjumlahkan bilangan bulat dapat dilakukan menggunakan beberapa cara, diantaranya: a. Metode garis bilangan Contoh: Hitunglah penjumlahan bilangan bulat di bawah ini: 6 + (-4) = ….

(positif 6 dan negatif empat), maka operasinya menjadi pengurangan. (hasilnya)

= 2 Latihan: Selesaikan penjumlahan bilangan bulat dibawah ini dengan menggunakan Metode Nilai Tertinggi: 1)  2   4  ... 2) 4  (  6 )  ... 3) (  12 )  (  7 )  ...

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4)  9   9  ... 2. Pengurangan Mengurangi a dengan b sama artinya dengan menambah a dengan lawan dari b. Secara umum dirumuskan :

6 + (-4) = 2

Latihan: Selesaikan penjumlahan bilangan bulat dibawah ini dengan menggunakan Metode Garis Bilangan: 1)  2   4  ... 2) 4  (  6 )  ... 3) (  12 )  (  7 )  ...

a  b  a  (b) a  (  b )  a  lawan dari (  b )  ab

4)  9   9  ...

Contoh: Selesaikan pengurangan bilangan bulat di bawah ini: a) 9  (  3)  ... Penyelesaian:

b. Metode nilai terbanyak Cara menggunakan metode nilai terbanyak yaitu sebagai berikut:  Selidiki jenis bilangan yang akan dijumlahkan, apakah bilangan bulat positif (+) atau bilangan bulat negatif (-). Jika kedua bilangan sejenis (negatif dan negatif, atau positif dan positif), maka operasinya menjadi penjumlahan, dan  Jika kedua bilangan tidak sejenis (berbeda), maka operasinya menjadi pengurangan.  Selidiki nilai bilangan yang nilainya terbanyak, jika yang terbanyak bil. negatif, maka hasil penjumlahannya adalah bilangan negatif juga, dan jika yang terbanyak bil. positif, maka hasilnya bilangan positif juga.

9  (  3 )  ... 93  12

b)

 12  (  9 )  ...

Penyelesaian:  12  (  9 )  ...   12  9   12  9   3

3. Perkalian dan pembagian Hal yang perlu diperhatikan dalam perkalian dan pembagian bilangan bulat adalah tanda dari hasilnya (positif atau negatif). Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku: 1

Modul Matematika: Materi Bilangan Bulat Kelas VII MTsN Selat Kuala Kapuas

axb (-a) x b a x (-b) (-a) x (-b) a:b (-a) : b a : (-b) (-a) : (-b)

= = = = = = = =

axb -(a x b) -(a x b) axb a:b -(a : b) -(a : b) a:b

p

 aa

a

3

 aaa

n

 p

mn

4

2

p

m

 p

n

p

m

 p

n

p

m

 p

n

 p

3 3  3 4

2

p  m

n

2 

2

6 faktor

 2

6

 6561

Dengan menggunakan rumus:

  9    9    9 

2 

3 2

2

3 2

2

6

d. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagian Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka:

  729

 p  q m

 5    5  5  5    125 3

 p   q

 5    5  5  5  5    625 4

 p

m



p

m

q

m

m

q

m

;q  0

Contoh: 2 a.  2  6   2 2  6 2  4  36  144

Sifat-sifat bilangan berpangkat: a. Sifat perkalian bilangan berpangkat Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka:

n

mn

 2 2  2  2 2 2

  81  9 

 p

 p

     2  2 2   2  2 2        3 faktor   3 faktor 

 81    9 

m

2

     2  2  2     3 faktor 

2

 9  9  9  9

 9  9     9 

p

3 9

Contoh:

 81  81

n

42

c. Sifat perpangkatan bilangan berpangkat Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka:

 9  9   9  9 

 p

mn

Contoh:

  9   9    9   9 

m

6

 m  n  faktor

3

p

3

 p  p  ... p  

2  222  8

 9 

4 2

      p  p  p  p  ... p    p  p  p  ... p                m faktor n faktor    

Contoh :

3

3

b. Sifat pembagian bilangan berpangkat

3

 9  4

4 2

3 3  3

4. Pangkat dan akar Pangkat merupakan perkalian berulang a

 p

Contoh:

Contoh : 5 x (-2) = - (5 x 2) = -10 -14 : -7 = 14 : 7 = 2 Latihan: Selesaikan perkalian dan pembagian di bawah ini: 1. 23 x -4 = … 2. -44 : -11= …

2

m

3

b.

      p  p  p  p  ... p    p  p  p  ... p                m faktor n faktor      p  p  p  p  ... p  p  p  p  ... p              m  n  faktor

2

3

2 8 2    3  27 3 3

Modul Matematika: Materi Bilangan Bulat Kelas VII MTsN Selat Kuala Kapuas

c. n – 4  – 3 d. n – (–9)  5

Akar merupakan kebalikan dari Pangkat: Jika a 2  b , maka b  a Jika a 3  b , maka 3 b  a Contoh: 1) 25  ... Penyelesaian: Bilangan kuadrat yang menghasilkan nilai 25 adalah (-5)2 dan 52, sehingga: 25    5  atau

B. Perkalian dan Pembagian 1. Hitunglah! a. 7  (–18)  ... b. (–12)  (–15)  ... c. (–16)  9  ... d. 25  0  ... e. (–24)  (–11)  ... 2. Hitunglah! a. – 108 : (–18)  ... b. – 72 : 4  ... c. 52 : 0  ... d. 0 : (–49)  ... e. 51 : (–3)  ... 3. Hitunglah nilai variabel yang belum diketahui! a. m  – 13  – 104 b. – 16  m  112 c. 8  m  – 136 d. m  12  156 4. Jika a = 3, b = –2, dan c = 4, tentukan nilai dari

25  5

81  ...

2)

Bilangan kuadrat yang menghasilkan nilai 81 adalah …… dan ……, sehingga: atau 81  ... 81  ... 3)

3

27  ...

Bilangan pangkat tiga (bilangan kubik) yang menghasilkan 81 adalah 3…, sehingga: 3 27  ... . 4)

3

 27   ...

Bilangan pangkat tiga (bilangan kubik) yang menghasilkan 81 adalah (-3)…, sehingga: 3

 27   ...

a. Latihan mandiri: Selesaikan soal-soal di bawah ini: A. Penjumlahan dan Pengurangan 1. Hitunglah! a. 6  (–9)  ... b. (–4)  (–7)  ... c. 8  (–2)  ... d. – 6  10  ... e. 23  (–19)  37  ... f. 32  (–27)  (–43)  ... 2. Hitunglah! a. 9 – 3  ... b. – 15 – 9 – 13  ... c. 5 – 8  ... d. 32 – 21 – 14  ... e. – 13 – 9  ... f. – 18 – 11 – (–24)  ... g. 16 – (–6)  ... 3. Hitunglah nilai variabel yang belum diketahui dari persamaan di bawah ini! a. 4  x  – 3 b. x  (–5)  6

b. c.

bc a a b c bca a

C. Pangkat dan Akar 1. Hitunglah hasil dari bentuk pangkat berikut. 3 a.   2  b. 3 4 c. 7 3  7 4 d. 5 3 : 5 2 2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. a. 5 2  5 5  ... 4 b. 3  4   .... c. y 5  y 3 : y 4  ... d. ((–2) 5  (–2 3 )) 2  ... e. (4 6 : 4 3 ) 4 f. (–4 : 2) 2  4 2

3

Modul Matematika: Materi Bilangan Bulat Kelas VII MTsN Selat Kuala Kapuas

KELIPATAN DAN FAKTOR PERSEKUTUAN A. KELIPATAN 1. Pengertian Kelipatan Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A Contoh:

Cara 3: Metode Pohon Faktor 2 2

3 1

3

4 1

Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut:

3 3  9 4  3  12 , dst.

Maka bilangan Asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, ….

Latihan: Hitunglah KPK dari bilangan-bilangan di bawah ini (Gunakan salah satu metode saja) 1. 3, 4, dan 9 2. 12, 14 dan 20 3. 14, 8 dan 26 4. 3, 6, 10, dan 24

2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q. Contoh: Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4 Penyelesaian: Cara 1: Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …. Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, …. Ternyata kelipatan 2, 3, dan 4 bersekutu (memiliki anggota yang sama) pertama kali pada bilangan 12. Jadi KPK dari 2, 3, 4 adalah 12.

B. FAKTOR 1. Pengertian Faktor Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k . Contoh : a) Tentukan semua faktor dari 25 Penyelesaian: 25  1  25 25  5  5

Faktor dari 25 adalah 1, 5 dan 25.

Cara 2 : Metode pembagian

2 3

2

3

4

1

3 (tidak habis dibagi 2)

2 (masih berupa bilangan prima)

3

1

1

1

1 (tidak cukup dibagi dengan 2 1

1

2=2x1 3=3x1 4 = 22 x 1 KPK = 3 x 22 x 1 = 3 x 4 x 1 = 12

23  6

2

2 2

1 3  3

Pembagi Prima

2

b) Tentukan semua faktor dari 60! Penyelesaian: 60 60 60 60 60 60

 1  60  2  30  3  20  4  15  5  12  6  10

Semua faktor dari 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.

Bagian yang diarsir adalah bilanganbilangan penyusun KPK dari 2, 3, dan 4. Jadi, KPK 2, 3 dan 4 adalah

2. Faktor Prima Bilangan prima adalah bilangan yang hanya terdiri dari dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh:

2  2  3  1  1  1  2  2  3  12

1  11

4

Bukan bilangan prima, mengapa

Modul Matematika: Materi Bilangan Bulat Kelas VII MTsN Selat Kuala Kapuas

2  1 2

4  1 4 4  22

Bilangan prima, faktornya 1 dan 2

Penyelesaian: a. FPB dari 24 dan 30

Bukan bilangan prima, 4 terdiri

Faktor Persekutuan prima

dari 3 faktor yaitu 1, 2, dan 4 5  1 5

bilangan prima, faktornya 1 dan 5

24 30

2 12 15 3 4 5 Bagian yang diarsir adalah faktor prima persekutuan dari 24 dan 30, jadi FPB dari 24 dan 30 adalah

Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan yang merupakan anggota himpunan bilangan prima.

23  6

Contoh: Perhatikan semua faktor dari 60 di atas, faktor prima dari 60 adalah 2, 3, dan 5

b. FPB dari 48 dam 54 Faktor Persekutuan Prima

48 54

2 24 27 3 8 9 FPB dari 48 dan 54 adalah 2 x 3 = 6.

Faktorisasi prima adalah semua perkalian semua faktor-faktor dari suatu bilangan, contoh: a. Faktorisasi prima dari 60 adalah: Faktor Prima 60 2 30 2 15 3 5 5 1

c. FPB dari 36, 52 dan 60 Faktor Persekutuan Prima

36 52 60

2 18 26 30 2 9 13 15 FPB dari 36, 52 dan 60 adalah 2 x 2 = 4.

Faktorisasi prima dari 60  2 2  3  5

KPK dan FPB Perhatikan contoh dibawah ini: Tentukan KPK dan FPB dari 36, 52 dan 60 Cara 1: Faktorisasi prima dari

b. Faktorisasi Prima dari 40 Faktor Prima 40 2 20 2 10 2 5 5 1 Faktorisasi Prima dari 40 adalah 2 3  5

36  2  3 2

2

52  2  13 2

60  2  3  5 2

KPK nya = 2 2  3 2  5  13  2340 FPB nya  2 2  4

3. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut.

Cara 2:

Tentukan FPB dari pasangan-pasangan bilangan di bawah ini: a. 24 dan 30 b. 48 dan 54 c. 36, 52 dan 60

Faktor Persekutuan Prima

36 52 60

2 2 3

18 26 30 9 13 15 3 5

KPK nya  2  2  3  3  13  5  2  3  13  5  2340 FPB nya  2  2  4 2

5

2