Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice
MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Matematika Obor vzdělání: Ekonomika a podnikání Školní rok: 2015/2016 Třída: EKP4
1)
Číselné obory Celá čísla (počítání s celými čísly)
Př: 4 5 3 2 1 3 4 2 : 6 2
Racionální čísla (počítání se zlomky, početní příklady složených zlomků) 3 4 3 9 : 7 3 2 4 Př.: Vypočtěte 3 12 : 5 25
2)
Číselné obory Procenta (celek, část, počet procent – teorie, složené úrokování, promile) Př: Čerpadlo o výkonu 11,4 l/s má v důsledku poruchy snížený výkon o 12%. Jaký je jeho současný výkon. Mocniny s racionálním exponentem Př: Vypočtěte:
1
x 3 y 2 y x 2 x 3
3)
3 4
y
3
z4 3 2
3
z 2 2 4 z x
Číselné obory Mocniny s celočíselným exponentem Př: Upravte výraz a stanovte podmínky: a 2 b 2 b 4 c 4 c 3 2 4 a 1 a 3 b2 c a Mocniny a odmocniny s racionálními exponenty Př: Převeďte na mocniny a upravte: 7
3 2 x
3
x 7 3
2
=
4)
Číselné obory Mocniny s celočíselným exponentem Př: Upravte výraz a stanovte podmínky: a 3 c 2 b 3 a 4 a 3 2 4 b 1 a 3 c 3 c b Mocniny a odmocniny s racionálními exponenty Př: Převeďte na mocniny a upravte: 5
3
5)
3
2 a = a 4
Výrazy Početní operace s výrazy (příklady početních operací) Př: Stanovte podmínky řešitelnosti a upravte: 3a 1 3a 1 2a 2 3a 1 3a 1 9a 1 Rozklad na součin podle vzorců Př: Stanovte podmínky řešitelnosti a upravte: 2x 1 1 2 1 x 1 x 1 x
6)
Výrazy Početní operace s výrazy Př: Pro a R \ 0 upravte výraz: 2
1 2 a 1 a a 2
Lomené výrazy Př: Upravte výraz a stanovte podmínky řešitelnosti: 1 1 a 1 1 1 a 1
-2-
7)
Rovnice Lineární rovnice, ekvivalentní úpravy (rovnice s neznámou ve jmenovateli) Př: Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku: x2 3 2 x3 x2 Soustava dvou lineárních rovnic (vysvětlete princip sčítací a dosazovací metody) Př: Vyřešte soustavu rovnic: 1 1 4 x y 3 3 3 3 13 x y 4 2
8)
Rovnice Lineární rovnice, ekvivalentní úpravy Př: Vyřešte rovnici v Z a proveďte zkoušku: x 2 11x 2 x 12 x Kvadratická rovnice (obecný tvar, vliv diskriminantu na počet řešení rovnice) Př: Vyřešte rovnici (stanovte podmínky řešitelnosti): x 2 3x 2 0 3 x
9)
Rovnice Lineární nerovnice Př: Vyřešte, zapište pomocí intervalu a znázorněte na číselné ose 2m 1 m2 m m 3 4 Kvadratická rovnice (obecný tvar, vliv diskriminantu na počet řešení rovnice) Př: Vyřešte rovnici: 9x2 = - 12x – 4
10)
Rovnice Kvadratická rovnice (obecný tvar, vliv diskriminantu na počet řešení rovnice) Př: Vyřešte rovnici: y2 = 1,1y + 1,26 Soustava dvou lineárních rovnic (vysvětlete princip sčítací a dosazovací metody) Př: Vyřešte soustavu rovnic: 9 3 9 x y 2 4 4 3 x 7 y 9
-3-
11)
Funkce Př: Načrtněte grafy funkcí: y = - x a y = - x2 a určete na těchto funkcích definiční obory, obory hodnot funkce, zda jsou funkce sudé nebo liché, ve kterých intervalech rostou, klesají. Lineární funkce - D(f), H(f), graf, průsečíky s osami, průběh funkce Př: Načrtněte graf funkce a určete průsečíky s osami x a y: x 1 y 2
12)
Funkce Přímá a nepřímá úměrnost Př: Načrtněte graf přímé a nepřímé úměrnosti Stavební firma má provést zakázku za 48 dní. Má v plánu na tuto zakázku zaměstnat 112 pracovníků. Kolik pracovníků jí ke splnění úkolu bude stačit, 1 jestliže má možnost termín prodloužit o ? 6 Kvadratická funkce - D(f), H(f), graf, průsečíky s osami Př: U kvadratické funkce y = x2 – 2x – 3 vypočtěte: - průsečíky s osou x a y - načrtněte graf - určete obor hodnot funkce
13)
Goniometrické funkce Funkce sinus (vlastnosti, graf, perioda, určete, zda je funkce sudá nebo lichá, stupňová a oblouková míra) Př: Načrtněte graf funkce y = sin x v intervalu 2 ,2 Obecný trojúhelník – kosinová věta Př: Po přímé cestě jede vojenská kolona. Radiolokátor umístěný mimo cestu v bodě C registruje čelo kolony v bodě A vzdálené od bodu C 12,4 km. Konec kolony v bodě B vzdálený od bodu C 10 km. Velikost úhlu BCA je 20˚. Vypočtěte délku kolony.
14)
Goniometrické funkce Funkce kosinus (vlastnosti, graf, perioda, určete, zda je funkce sudá nebo lichá, stupňová a oblouková míra) Př: Načrtněte graf funkce y = cos x v intervalu 2 ,2 Funkce tangens (definice, graf, pro které body není funkce definována) Př: Napište definici funkce tangens, určete, pro které body není definována a načrtněte její graf v intervalu 2 , 2 .
-4-
15)
Goniometrické funkce Funkce kotangens (definice, graf, pro které body není funkce definována, stupňová a oblouková míra) Př: Napište definici funkce kotangens, určete, pro které body není definována a načrtněte její graf v intervalu 2 , 2 . Obecný trojúhelník – sinová věta Př: Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: a = 23,2 dm, α = 60˚, β = 32˚
16)
Posloupnosti Aritmetická řada (výpočet n-tého členu a součet aritmetické řady) Př: V aritmetické posloupnosti diferenci d a členy a1, a10.
a n n1 jsou dány členy a = 5, a = 15. Určete 3
8
Geometrická posloupnost Př: Určete první člen a kvocient q geometrické posloupnosti: a1 a 2 a3 9
a n n1
17)
a 4 a5 a 6 72
Planimetrie Osová souměrnost Př: Narýsujte čtverec ABCD o straně 50 mm a zobrazte ho v osové souměrnosti podle osy o, která protíná strany AB a BC. Trojúhelníky Př: Rozdělte trojúhelníky podle velikosti úhlů, podle délek stran, uveďte tvar Pythagorovy věty a Euklidových vět. Odvoďte vzorec pro výpočet velikosti výšky v rovnostranném trojúhelníku.
18)
Planimetrie Středová souměrnost Př: Narýsujte čtverec ABCD o straně 45 mm a zobrazte ho ve středové souměrnosti podle bodu B. Př: Úsek, který se ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu zakreslen úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má průměr 5 cm. Kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh?
-5-
19)
Stereometrie Výpočet objemu a povrchu kvádru Př: Zahradní bazén má hloubku 125 cm a rozměry stran 7 m na 3,8 m. Určete kolik plechovek barvy bude potřeba na natření jeho vnitřní plochy, jestliže jedna plechovka barvy stačí na 25 m2 plochy. Výpočet objemu a povrchu kužele Př: Povrch kužele je 235,5 cm2, osový řez je rovnostranný trojúhelník. Vypočtěte poloměr podstavy kužele.
20)
Stereometrie Výpočet objemu a povrchu válce Př: Válcová cisterna má délku 8 m a obsahuje 40 m3 benzínu. Jaký je její vnitřní poloměr? Výpočet objemu a povrchu jehlanu Př: Vypočtěte objem kolmého jehlanu, jehož boční hrana o délce 6 cm svírá se čtvercovou podstavou úhel o velikosti 60˚.
21)
Stereometrie Komolá tělesa Př: Jáma má tvar pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jehož podstavné hrany mají délky 14 m a 10 m. Boční stěny svírají s rovinou dna úhel o velikosti 135º. Kolik m³ zeminy bylo při hloubení jámy vykopáno? Výpočet objemu a povrchu koule Př: Železná koule má hmotnost 100 kg, hustota ρ = 7 600 kg.m-3. Vypočtěte průměr koule.
22)
Kombinatorika Uveďte rozdíl mezi kombinací, variací a permutací Př: Do finále atletického závodu nastoupilo 7 běžců. Kolik existuje variant umístění na stupních vítězů? Binomická věta – obecný tvar
y Př: Vypočtěte: x 2
4
-6-
23)
Kombinatorika Uveďte rozdíl mezi kombinací, variací a permutací Př: Třída maturantů má 10 děvčat a 11 chlapců. Mají za úkol sestavit šestičlenný přípravný plesový výbor tak, aby v něm byli přesně 3 chlapci a 3 děvčata. Kolik existuje takových možností? Kombinační čísla a n! (napište vzorce pro výpočet kombinačního čísla, n! a určete podmínky) Př: Upravte kombinační čísla a stanovte podmínky řešitelnosti: x 2 x 1 : x x 1
24)
Kombinatorika Uveďte rozdíl mezi kombinací, variací a permutací Př: Vlajka má mít tři různobarevné vodorovné pruhy (žádná barva se neopakuje). K dispozici je 6 barev (červená, modrá, žlutá, zelená, oranžová a bílá). Kolik existuje možností sestavení takové vlajky? Kolik existuje takových možností, pokud má být uprostřed modrý pruh? Kombinační čísla Př: Upravte kombinační čísla a stanovte podmínky řešitelnosti: a 1 a 2 a a 1
25)
Kombinatorika Uveďte rozdíl mezi kombinací, variací a permutací Př: Na ústní zkoušku přišlo 6 studentů. Kolik existuje možností pořadí ve kterém budou zkoušeni? O kolik se sníží počet těchto možností, jestliže první z nich je předem určen? Př: Hokejový trenér má na střídačce 12 útočníků a 5 obránců. Kolika způsoby může na led poslat 5 hráčů, tak aby 3 byli útočníci a 2 obránci?
V Ústí nad Labem 14. 9. 2015
Mgr. Pavel Caitaml v. r. ředitel školy
-7-
