Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 1
10. STŘEDNÍ HODNOTY Při statistickém zjišťování často zpracováváme statistické soubory s velkým množstvím statistických jednotek. Např. soubor pracovníků organizace, soubor prasat v zemědělskoobchodním družstvu (ZOD), v ČR apod. Často zpracováváme mnoho hodnot číselných statistických znaků. Např. hrubá měsíční mzda pracovníků organizace, hmotnost prasat v ZOD apod. Velké množství číselných údajů nám brání získat představu o úrovni číselných statistických znaků. Proto pomocí různých statistických charakteristik:
můžeme jedním číslem vystihnout úroveň sledovaných statistických znaků (pomocí středních hodnot), např. úroveň odměňování v organizaci, úroveň hmotnosti prasat,
můžeme provést srovnání mezi různými soubory, např. porovnat úroveň odměňování mezi různými organizacemi, porovnat úroveň hmotnosti prasat mezi různými chovy apod.
Statistických charakteristik je mnoho. S mnohými se setkáte při vysokoškolském studiu ekonomických oborů. Rozčleníme statistické charakteristiky na:
Střední hodnoty (charakteristiky polohy, charakteristiky úrovně, jimi se budeme zabývat): o průměry
aritmetický (prostý a vážený)
geometrický (prostý a vážený)
o ostatní střední hodnoty:
medián
modus
Kvantily (charakteristiky rozložení hodnot znaků v souboru, jejich pochopení není složité, nalezněte je samostatně v doporučené literatuře nebo na Internetu): o kvartily o decily o percentily
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 2
10.1 PROSTÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Význam a jedno z užití prostého aritmetického průměru ukážeme na následujícím příkladu: Příklad 10.1 Ve firmě A máme soubor nA = 3 zaměstnanců. Budeme sledovat číselný statistický znak zaměstnanců: hrubé měsíční mzdy v tis. Kč v měsíci srpnu 2012: x1 = 20, x2 = 24, x3 = 30 Ve firmě B máme soubor nB = 4 zaměstnanců. Budeme sledovat číselný statistický znak zaměstnanců: hrubé měsíční mzdy v tis. Kč v měsíci srpnu 2012: x1 = 20, x2 = 21, x3 = 24, x4 = 30 a) Kolik činí celková vyplacená hrubá mzda ve firmě A a ve firmě B? b) Ve které malé firmě je vyšší úroveň odměňování? Řešení: Ad a) Kolik činí celková vyplacená hrubá mzda ve firmě A a ve firmě B? Ve firmě A: n 3
S A xi x1 x2 x3 20 24 30 74 i 1
Celková vyplacená hrubá mzda ve firmě A činí 74 tis. Kč. Ve firmě B: n4
S B xi x1 x2 x3 x4 20 21 24 30 95 i 1
Celková vyplacená hrubá mzda ve firmě B činí 95 tis. Kč. Ve firmě B je vyšší celková vyplacená mzda, než ve firmě A. Ve firmě B je také vyšší počet zaměstnanců, než ve firmě A. Součet mezd nám nezjistí úroveň odměňování.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 3
Ad b) Ve které malé firmě je vyšší úroveň odměňování? Úroveň odměňování zjistíme tak, že:
celkovou vyplacenou mzdu vztáhneme na stejný počet zaměstnanců, například na jednoho zaměstnance,
což učiníme tak, že součet mezd dělíme počtem zaměstnanců.
Tím dostaneme průměrnou mzdu na jednoho zaměstnance, která se značí například x vyslovujeme „x s pruhem“. Řadu číselných hodnot (znaků prvků souboru) tím nahradíme hodnotou jedinou, a to aritmetickým průměrem. Ve firmě A: n 3
n
x
x x i 1
i
n
i 1
i
3
x1 x2 x3 20 24 30 74 24,66 3 3 3
V dubnu 2012 byla ve firmě A je průměrná měsíční mzda 24 666 Kč. n4
n
x
x x i 1
n
i
i 1
4
i
x1 x2 x3 x4 95 23,75 4 4
V dubnu 2012 byla ve firmě B průměrná měsíční mzda 23 750 Kč. Ve firmě A je vyšší průměrná mzda, než ve firmě B. Můžeme tedy
vyjádřit úroveň mzdy ve firmě
a mezi 2 firmami srovnávat úroveň mzdy.
Aritmetický průměr prostý a střední hodnoty všeobecně:
vyjadřují úroveň číselného znaku,
umožňují srovnání mezi soubory.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 4
Definice prostého aritmetického průměru Máme statistický soubor o n prvcích (např. n pracovníků, n prasat apod.). Prvky mají vlastnosti – číselné statistické znaky, které nabývají hodnot x1, x2, ... xn (např. jednotlivé mzdy, hmotnosti prasat apod.). Aritmetický průměr prostý x z číselných statistických znaků se počítá podle vztahu: n
x
n
x i 1
i
x i 1
i
n
x1 x2 ... xn n
x1 x2 ... xn je součet hodnot číselných statistických znaků.
Symbol velkého „sigma“ znamená součet jednotlivých hodnot xi, kde index i probíhá od hodnoty 1 do hodnoty n.
Výpočet prostého aritmetického průměru:
sečteme hodnoty číselných statistických znaků souboru (např. součet hrubých mezd, součet hmotností prasat apod.)
a výsledek vydělíme počtem prvků souboru, neboli rozsahem souboru (např. počtem pracovníků, počtem prasat apod.).
Poznámky k výpočtu prostého aritmetického průměru:
V praxi často počítáme průměr z velkého množství znaků.
Data bývají obvykle uložená v databázi.
Je možné počítat aritmetický průměr o buď v databázovém prostředí o anebo data můžeme exportovat do tabulkového procesoru a v něm data dále statisticky zpracovávat, například počítat průměry a mnohé jiné statistické ukazatele a charakteristiky (jak si ukážeme v dalších kapitolách).
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 5
Předpokládejme, že pracovník fiktivního podniku Alfa Blatná, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku s některými sledovanými atributy (vlastnostmi), které jsou vypsané v tabulce 10.1. Tuto tabulku budeme používat pro další příklady. Tabulka 10.1: Zaměstnanci malé organizace Alfa Blatná k 30. 6. 2012
Číslo pracovníka
Příjmení
Pohlaví
Titul
Stav
Počet vyživovaných dětí
Pracovní kategorie
Hrubá měsíční mzda za červen
Zbývá dní dovolené
1
Adam
1
1
0
Dělník
15 000
4
2
Bartoš
1
2
1
Dělník
12 000
8
3
Beneš
1
2
4
Dělník
24 000
9
4
Berka
1
3
0
Provozní
23 000
6
5
Bláha
1
2
2
Technický
27 000
5
6
Bohuš
1
2
0
Dělník
18 000
7
7
Bouše
1
2
1
Dělník
17 000
4
8
Boušová
2
2
2
Hospodářský
32 000
5
9
Bůbal
1
2
1
Dělník
18 000
6
10
Bureš
1
2
4
Technický
20 000
9
11
Burešová
2
2
0
Provozní
24 000
5
12
Burgerová
2
2
2
Dělník
24 000
7
13
Černá
2
1
0
Dělník
14 000
3
14
Daněk
1
1
1
Dělník
19 000
6
15
Dlask
1
2
0
Dělník
18 000
6
16
Dobeš
1
2
3
Dělník
18 000
4
17
Drobník
1
2
2
Hospodářský
40 000
9
18
Erb
1
1
2
Dělník
16 000
3
19
Fichtner
1
2
1
Dělník
16 000
6
20
Gál
1
2
1
Hospodářský
14 000
4
21
Gott
1
2
6
Dělník
29 000
5
22
Havel
1
2
0
Hospodářský
28 000
4
23
Házová
2
2
0
Dělník
10 000
3
Ing.
RNDr. Bc.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 6
24
Hejral
1
2
0
Technický
19 000
6
25
Hrubín
1
2
4
Dělník
18 000
3
26
Hubač
1
2
2
Dělník
18 000
8
27
Hupová
2
2
2
Provozní
17 000
4
28
Hus
1
2
3
Hospodářský
34 000
5
29
Janda
1
2
1
Dělník
19 000
8
30
Janků
1
2
0
Dělník
18 000
4
31
Janků
2
3
3
Provozní
14 000
3
32
Jarý
1
2
1
Dělník
19 000
6
33
Jiřinec
1
2
2
Dělník
18 000
4
34
Jonáš
1
2
3
Dělník
27 000
8
35
Kobosil
1
2
1
Hospodářský
30 000
5
36
Korousová
2
2
2
Dělník
14 000
8
37
Kos
1
2
2
Dělník
21 000
7
38
Koucký
1
2
2
Dělník
23 000
7
39
Kulíšek
1
2
1
Dělník
16 000
6
40
Lahodný
1
2
1
Dělník
24 000
4
41
Lahodová
2
2
3
Dělník
14 000
3
42
Líbenková
2
2
0
Hospodářský
12 000
5
43
Lín
1
2
3
Dělník
12 000
6
44
Linka
1
Doc.
2
2
Hospodářský
23 000
7
45
Líný
1
Mgr.
2
1
Technický
24 000
8
46
Mahel
1
2
2
Dělník
20 000
6
47
Masaryk
1
2
1
Dělník
18 000
6
48
Mocová
2
2
3
Dělník
17 000
5
49
Moravec
1
2
2
Technický
22 500
5
50
Nezval
1
2
3
Dělník
17 000
7
51
Nohavica
1
2
2
Technický
23 000
6
52
Novák
1
2
5
Dělník
19 000
6
53
Novák
1
2
2
Dělník
21 000
7
54
Nováková
2
2
0
Dělník
17 000
6
55
Ondráš
1
2
4
Dělník
17 000
5
JUDr.
Mgr.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 7
56
Prádler
1
2
1
Hospodářský
19 000
5
57
Rus
1
3
2
Technický
20 000
7
58
Svoboda
1
1
2
Technický
21 000
7
59
Tatar
1
1
2
Technický
16 000
5
60
Tomšů
1
4
3
Technický
17 000
9
x
106
Celkem
x
x
x
1 194 500
345
Vysvětlivky:
Pohlaví
Kód
muž
1
žena
2
Stav
Kód
svobodný/á
1
vdaná/ženatý
2
vdova/vdovec
3
rozvedený/á
4
Příklad 10.2 Z údajů tabulky 10.1 provedeme následující úkoly: a) Určíme průměrnou hrubou mzdu za měsíc červen. b) Učiníme slovní popis pro průměrnou hrubou mzdu za měsíc červen. c) Určíme průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012. d) Učiníme slovní popis pro průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012. Řešení: Výpočet prostého aritmetického průměru:
sečteme hodnoty číselných statistických znaků souboru x1, x2, ... xn
a výsledek vydělíme počtem prvků souboru n neboli rozsahem souboru.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 8
n
x
x
i
i 1
n
x1 x2 ... xn n
Součet hrubých mezd jsme si připravili v řádku „Celkem“: n
x i 1
i
x1 x2 ... xn
U nás součet mezd je (symbolicky uvedeme jen první, druhou a poslední uvedenou mzdu z tabulky): n
n 60
i 1
i 1
xi
x
i
x1 x2 ... x60 15 000 12 000 ... 17 000 1194 500
Při větším rozsahu souboru je výpočet na kalkulačce je obtížný, musí být bezchybný. Výhodnější je průměr vypočítat přímo v databázi, anebo v tabulkovém procesoru. Zjistíme, že součet hrubých mezd za červen je 1 194 500 Kč. Počet pracovníků je 60. Průměrná hrubá mzda se spočítá takto: n
x
x i 1
n
i
x1 x2 ... xn 1 194 500 19 908,3 n 60
Průměrná hrubá mzda za červen je 19 908 Kč. V MS Excel je pohodlnější pro výpočet užít funkci PRŮMĚR, např.: =PRŮMĚR(pole) kde pole je oblast buněk, ve které jsou hodnoty znaků, z nichž počítáme průměr, např. =PRŮMĚR(H24:H83)
Ad b) Učiníme slovní popis pro průměrnou hrubou mzdu za měsíc červen. Průměrná hrubá mzda ve firmě Alfa Blatná za měsíc červen je 19 908 Kč.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 9
Ad c) Určíme průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012. Poznámka:
Někdo může namítnout, že ve firmě mohou pracovat manželé, kteří mají společné děti.
Tyto společné děti by se započítaly dvakrát.
Ovšem firma eviduje vyživované děti psané jen na jednoho z rodičů kvůli slevě na dani.
Druhý rodič podává čestné prohlášení, že slevu na dítě na sebe neuplatňuje.
Proto v evidenci firmy je každé jedno dítě pracovníka započítáno buď právě jednou, anebo vůbec (pokud je psané na druhého rodiče či jiného zákonného zástupce mimo firmu).
Z toho důvodu lze vypočíst průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka, aniž bychom museli znát případné rodinné vazby mezi pracovníky.
Sečteme všechny děti napsané na pracovníky, výsledek je 106 dětí. Tento počet dělíme počtem pracovníků, tj. číslem 60. n
x
x i 1
n
i
x1 x2 ... xn 106 1,77 n 60
Ad d) Učiníme slovní popis pro průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012. Průměrný počet vyživovaných dětí na jednoho pracovníka k 30. 6. 2012 je 1,77 dítěte na pracovníka.
Úkol 10.1 Z údajů tabulky 10.1 provedeme následující úkoly: a) Určíme průměrný počet zbylých dní dovolené k 30. 6. 2012. b) Učiníme slovní popis průměrný počet zbylých dní dovolené k 30. 6. 2012.
Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý © Aleš Drobník
strana 10
PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte si příklady:
23AritmetickyPrumerProstyNeresene.xlsx – zde je neřešený příklad.
23AritmetickyPrumerProstyResene.xlsx – zde je ten samý příklad řešený.
23AritmetickyPrumerProstyUkol.xlsx – zde je nový neřešený příklad.
OPAKOVACÍ OTÁZKY 1. Napíšeme pomocí sumační symboliky i bez ní vztah pro prostý aritmetický průměr a objasníme všechny uvedené veličiny.
