Stavov´ y popis, linearizace Teorie dynamick´ ych syst´em˚ u
Obsah ´ 1 Uvod
1
2 Pˇ r´ıklady
2
3 Dom´ ac´ı u ´ lohy
14
Reference
15
1
´ Uvod
Stavov´ e rovnice neline´ arn´ıho syst´ emu � � x(t) ˙ = f x(t), u(t), t � � y(t) = g x(t), u(t), t ,
(1)
kde prvn´ı rovnice se naz´ yv´a stavov´ a rovnice a druh´a v´ystupn´ı rovnice. Vektor u rozmˇeru r je vstupn´ı vektor, x rozmˇeru n je stavov´ y vektor a y rozmˇeru m je v´ ystupn´ı vektor. Pokud, pˇredpokl´ad´ame stacion´arn´ı nebo t´eˇz ˇcasovˇe nepromˇenn´ y (t-invariantn´ı) syst´em, zap´ıˇseme rovnice (1) ve tvaru � � x(t) ˙ = f x(t), u(t) � � y(t) = g x(t), u(t) . Stavov´ e rovnice line´ arn´ıho syst´ emu x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t)
(2)
y(t) = Cx(t) + Du(t), kde matice A rozmˇeru (n × n) je matice syst´emu, matice B rozmˇeru (n × r) je matice ˇr´ızen´ı a matice C rozmˇeru (m × n), D rozmˇeru (m × r) jsou v´ ystupn´ı matice. Pokud je model
ˇcasovˇe promˇenn´ y, jsou nˇekter´e z tˇechto matic funkc´ı ˇcasu A = A(t), B = B(t), C = C(t), D = D(t). 1
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
2
� Linearizace syst´emu V okol´ı nˇejak´e nomin´aln´ı trajektorie (x0 , u0 ) m˚ uˇzeme prav´e strany neline´arn´ıch rovnic (1) zapsat v Taylorovˇe rozvoji
� �� � � �� � � � ∂f x(t), u(t), t �� ∂f x(t), u(t), t � f x(t), u(t), t = f x0 (t), u0 (t), t + � δx(t)+ � δu(t)+ � � ∂x(t) ∂u(t) �
0
0
� �� � � �� 2 2 � � �2 ∂ f x(t), u(t), t � ∂ f x(t), u(t), t � � 2 + δx(t) + δu(t) +. . . . � � � � ∂x2 (t) ∂u2 (t) �
0
(3)
0
� �� � �� � � � � ∂g x(t), u(t), t �� ∂g x(t), u(t), t �� g x(t), u(t), t = g x0 (t), u0 (t), t + � δx(t)+ � δu(t)+ � � ∂x(t) ∂u(t) 0
0
� �� � �� �2 ∂ 2 g x(t), u(t), t �� � �2 ∂ 2 g x(t), u(t), t �� � + δx(t) + δu(t) +. . . . � � � � ∂x2 (t) ∂u2 (t) 0
(4)
0
Zanedb´ame-li kvadratik´e a vyˇsˇs´ı ˇcleny v tomto rozvoji, z´ısk´ame v okol´ı nomin´aln´ı trajektorie (x0 , u0 ) linearizovan´ y odchylkov´y model (2).
2 2.1
Pˇ r´ıklady Stavov´ y popis line´ arn´ıch syst´ em˚ u
Pˇ r´ıklad 2.1: Uvaˇzujte elektrick´ y obvod podle obr. 1 se dvˇema vstupn´ımi (nez´avisl´ ymi) veliˇcinami – napˇet´ı u1 (t), u2 (t) a dvˇema v´ ystupn´ımi veliˇcinami – proudy i1 (t), i2 (t). Odpor rezistoru je R = 1 Ω, indukˇcnost c´ıvky je L = 0, 2H a kapacita kondenz´atoru je C = 100µF.
+
L
~
C
R
~
Obr´azek 1: Elektrick´ y obvod Urˇcete stavov´ y popis tohoto elektrick´eho syst´emu a naleznˇete ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku uC (0) = u0 , iL (0) = i0 . Urˇcete pˇrenos tohoto syst´emu za pˇredpokladu nulov´ ych poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek.
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
3
ˇ sen´ı: Metodou uzlov´ Reˇ ych napˇet´ı m˚ uˇzeme pro napˇet´ı u(t) v uzlu mezi c´ıvkou a kondenz´atorem ps´at −L
d iL (t) = u(t) − u1 (t) , dt � d uC (t) � u(t) = R iL (t) − C , dt u(t) = u2 (t) + uC (t) .
Po dosazen´ı tˇret´ı rovnice do prvn´ı a druh´e, dostaneme soustavu dvou diferenci´aln´ıch rovnic d iL (t) 1 1 1 = − uC (t) + u1 (t) − u2 (t) , dt L L L d uC (t) 1 1 1 = iL (t) − uC (t) − u2 (t) . dt C RC RC Nyn´ı zvolme napˇr´ıklad za stavov´e promˇenn´e proud c´ıvkou x1 = iL a napˇet´ı na kondenz´atoru x2 = uC . Stavov´a rovnice pak vypad´a takto � � � �� � � �� � 1 1 x˙ 1 (t) 0 − L1 x1 (t) − u (t) 1 L = 1 + L . 1 1 x˙ 2 (t) − x (t) 0 − u (t) 2 2 C RC RC
(5)
Protoˇze se proud i1 rovn´a proudu c´ıvkou iL a pro proud i2 plat´ı i2 (t) = iL (t) −
uC (t) + u2 (t) , R
m˚ uˇzeme zapsat v´ ystupn´ı rovnici syst´emu takto � � � �� � � �� � y1 (t) 1 0 x1 (t) 0 0 u1 (t) = + . y2 (t) 1 − R1 x2 (t) 0 − R1 u2 (t)
(6)
Rovnice (5), (6) jsou ve standardn´ım tvaru stavov´ ych rovnic popisuj´ıc´ıch line´arn´ı syst´emy (2). Jejich ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme nal´ezt tak, ˇze provedeme Laplaceovu transformaci tˇechto dvou rovnic, pot´e vyeliminujeme stavov´ y vektor a provedemem zpˇetnou Laplaceovu transformaci. Obdrˇz´ıme tak vektor v´ ystupn´ıch proud˚ u jako funkci poˇca´teˇcn´ı podm´ınky stavov´ ych promˇenn´ ych a vektoru vstupn´ıch napˇet´ı. Tak´e m˚ uˇzeme k ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıt prostˇred´ı Simulink programu Matlab. My zde vˇsak uk´aˇzeme numerick´e ˇreˇsen´ı pomoc´ı programu Matlab pro vstupn´ı sign´al u1 (t) = �
0 pro t < 1s 1 pro t ≥ 1s
,
u2 (t) = �
0 pro t < 2s 1 pro t ≥ 2s
a pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky uC (0) = 1V a iL (0) = 0,5A. K´od pro toto ˇreˇsen´ı by mohl v Matlabu vypadat n´asledovnˇe.
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace clc; clear; close all; %----- Parametry elektrickeho obvodu R = 1; L = 0.2; C = 100E-06; %----- Matice spojiteho systemu A = [0, -1/L; 1/C, -1/(R*C)]; B = [1/L, -1/L; 0, -1/(R*C)]; C = [1, 0; 1 -1/R]; D = [0, 0; 0, -1/R]; %----- Diskretizace s periodou vzorkovani Ts pro numericke reseni Ts = 0.01; [Ad, Bd, Cd, Dd] = ssdata(c2d(ss(A,B,C,D),Ts)); %----- Pocatecni podminka x0 iL0 = 0.5; uC0 = 1; x = [iL0; uC0]; %----- Vstupni signal u = [zeros(1,100), ones(1,200); zeros(1,200), ones(1,100)]; %----- Reseni stavovych rovnic N = size(u,2); yh = zeros(size(C,1),N); xh = zeros(size(A,1),N); for k = 1 : 1 : N y = Cd*x + Dd*u(:,k); %--- ulozani dat pro vykresleni yh(:,k) = y;
xh(:,k) = x;
x = Ad*x + Bd*u(:,k); end %----- Vykresleni vysledku CasovaOsa = (0:1:size(u,2)-1)*Ts; figure(1); subplot(2,1,1); stairs(CasovaOsa,u(1,:)’,’r’); axis([xlim, -0.1 1.1]); xlabel(’Cas - t’); ylabel(’u 1’); title(’Vstupni napeti’); subplot(2,1,2); stairs(CasovaOsa,u(2,:)’,’r’); axis([xlim, -0.1 1.1]); xlabel(’Cas - t’); ylabel(’u 2’); title(’Vstupni napeti’);
4
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
5
figure(2); subplot(2,1,1); stairs(CasovaOsa,yh(1,:)’,’r’); axis([xlim, -0.1 1.1]); xlabel(’Cas - t’); ylabel(’y 1’); title(’Vystupni proud’); subplot(2,1,2); stairs(CasovaOsa,yh(2,:)’,’r’); axis([xlim, -0.1 1.1]); xlabel(’Cas - t’); ylabel(’y 2’); title(’Vystupni proud’); %----- Export figury do EPS print(1, ’-depsc2’, ’Vstup’); print(2, ’-depsc2’, ’Vystup’);
Na obr´azc´ıch 2, 3 a 4 jsou zobrazeny postupnˇe pr˚ ubˇehy vstupn´ıch, stavov´ ych a v´ ystupn´ıch veliˇcin. Porovnejte tyto v´ ysledky s pr˚ ubˇehy z´ıskan´ ymi pomoc´ı spojit´e simulace v prostˇred´ı Simulink. Vstupni napeti 1
u1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
2
2.5
3
2
2.5
3
Vstupni napeti 1
u2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
Obr´azek 2: Pr˚ ubˇeh vstupn´ıch napˇet´ı – u1 (t), u2 (t)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
6
Proud civkou 1
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
2
2.5
3
2
2.5
3
Napeti kondenzatoru 1
x2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
Obr´azek 3: Pr˚ ubˇeh stavov´ ych veliˇcin – x1 (t) = iL (t), x2 (t) = uC (t)
Vystupni proud 1
y1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
2
2.5
3
2
2.5
3
Vystupni proud 0
−0.4
y
2
−0.2
−0.6 −0.8 −1 0
0.5
1
1.5 Cas (s)
Obr´azek 4: Pr˚ ubˇeh v´ ystupn´ıch proud˚ u – y1 (t) = i1 (t), y2 (t) = i2 (t)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
7
Za pˇredpokladu nulov´ ych poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek urˇc´ıme pˇrenos naˇseho syst´emu pomoc´ı vztahu
�
G(s) = C sI − A
�−1
� � C adj sI − A B � � +D. B+D = det sI − A
� � Spoˇc´ıtejme nejprve det sI − A �� � � �� s 0 0 − L1 1 1 det − 1 = s2 + s + . 1 RC LC 0 s − RC C � � D´ale urˇc´ıme adj sI − A adj
��
s
1 L
− C1
s +
V´ ysledn´ y pˇrenos G(s) tedy je � �� 1 0 s + G(s) =
1 − R1
1 RC
1 RC
− L1
1 C
s2 +
s
1 RC
��
s +
=
��
1 LC
=
�
�
s +
1 RC
1 C
1 L
− L1
1 0 − RC
1 s L
+
s
�
+
�
1 RCL
1 s L s2 +
�
− L1
1 RC
.
0
0
0 − R1 − L1 s
− R1 s2 − s +
1 LC
1 L
�
s
= �
. ✷
Pˇ r´ıklad 2.2: Uvaˇzujte stavov´ y popis line´arn´ıho, ˇcasovˇe nepromˇenn´eho syst´emu druh´eho ˇra´du ve tvaru stavov´ ych rovnic (2) � � x˙ 1 (t) x˙ 2 (t)
y(t)
= A = C
�
�
x1 (t) x2 (t) x1 (t) x2 (t)
�
�
+ B u(t) + D u(t) .
Napiˇste tyto rovnice pro nov´ y stavov´ y vektor z(t) = [z1 (t), z2 (t)]T, pro jehoˇz sloˇzku plat´ı z1 (t) = k1 x1 (t),
z2 (t) = k2 x2 (t) ,
kde k1 a k2 jsou libovoln´e nenulov´e re´aln´e konstanty. ˇ sen´ı: Nejprve pˇrep´ıˇseme transformaci stav˚ Reˇ u do maticov´eho z´apisu � � � �� � � � � �� � z1 (t) k1 0 x1 (t) x1 (t) k1−1 0 z1 (t) = , ⇒ = . z2 (t) 0 k2 x2 (t) x2 (t) 0 k2−1 z2 (t)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
8
Nyn´ı dosad´ıme do p˚ uvodn´ıho stavov´eho popisu � �� � � �� � k1−1 0 z˙1 (t) k1−1 0 z1 (t) = A + Bu(t) 0 k2−1 z˙2 (t) 0 k2−1 z2 (t) � �� � k1−1 0 z1 (t) y(t) = C + Du(t) . 0 k2−1 z2 (t) Nyn´ı uˇz jen stavovou rovnici vyn´asob´ıme zleva transformaˇcn´ı matic´ı a z´ısk´ame stavov´ y popis pro transformovan´ y stavov´ y vektor z(t) = [z1 (t), z2 (t)]T � � � � � �� � z˙1 (t) k1 0 k1−1 0 z1 (t) = A + Bu(t) z˙2 (t) 0 k2 0 k2−1 z2 (t) � �� � k1−1 0 z1 (t) y(t) = C + Du(t) . 0 k2−1 z2 (t) Ovˇeˇrte spr´avnost transformace simulacemi v Matlabu.
✷
Pˇ r´ıklad 2.3: Uvaˇzujte stavov´ y popis line´arn´ıho, ˇcasovˇe nepromˇenn´eho syst´emu druh´eho ˇra´du ve tvaru stavov´ ych rovnic (2). Pˇredpokl´adejte, ˇze chceme zmˇenit ˇcasov´e mˇeˇr´ıtko podle vztahu (napˇr´ıklad z [s] na [ms]) τ = k t, kde k je libovoln´a nenulov´a re´aln´a konstanta. Naleznˇete stavov´ y popis po t´eto transformaci. ˇ sen´ı: Pro ˇcas t plat´ı t = τ /k. Upravujeme tedy stavovou rovnici takto Reˇ dˆ x(τ ) dτ = Aˆ x(τ ) + B u ˆ(τ ) , dτ dt dˆ x(τ ) k dτ
= Aˆ x(τ ) + B u ˆ(τ ) ,
dˆ x(τ ) 1 1 = Aˆ x(τ ) + B u ˆ(τ ) . dτ k k V´ ystupn´ı rovnice je yˆ(τ ) = C x ˆ(τ ) + D u ˆ(τ ) . Matice transformovan´eho syst´emu tedy jsou ˆ = 1 A, A k
ˆ = 1 B, B k
ˆ =C, C
Ovˇeˇrte spr´avnost transformace simulacemi v Matlabu.
ˆ = D. D ✷
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
2.2
9
Linearizace
Pˇ r´ıklad 2.4: Model kyvadla na voz´ıku zn´azornˇen´ y na obr. 5 je mechanick´ y syst´em s jednou vstupn´ı veliˇcinou (napˇet´ı motoru – u) a dvˇema v´ ystupn´ımi veliˇcinami (poloha voz´ıku – x, v´ ychylka ramene kyvadla – ϕ).
|y(t)|
Obr´azek 5: Kyvadlo na voz´ıku
Pohyb ramene kyvadla s pohybliv´ ym z´avˇesem m˚ uˇzeme popsat diferenci´aln´ı rovnic´ı druh´eho ˇra´du
3 x¨(t) cos ϕ(t) , (7) 2l kde x¨ [m·s−2 ] je zrychlen´ı z´avˇesu kyvadla ve smˇeru osy x, δ [s−1 ] je koeficient u ´tlumu kmit˚ u ϕ(t) ¨ + 2δ ϕ(t) ˙ + ω02 sin ϕ(t) = −
a ω0 [s−1 ] je vlastn´ı u ´hlov´a frekvence kyvadla ω0 =
�
3g , 2l
kde g [m·s−2 ] je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı a l [m] je d´elka ramene kyvadla. ´ Uhel natoˇcen´ı hˇr´ıdele ϑ [s−1 ] stejnosmˇern´eho cize buzen´eho motoru m˚ uˇzeme popsat diferenci´aln´ı rovnic´ı tˇret´ıho ˇra´du ... R ¨ k2 ˙ k + ϑ(t) = u(t) , ϑ (t) + ϑ(t) L JM L JM L
(8)
kde R [Ω] je elektrick´ y odpor motoru, L [H] je indukˇcnost motoru, JM [kg·m2 ] je moment setrvaˇcnosti rotoru a k je konstanta motoru. Uvaˇzujme, ˇze voz´ık s motorem se chovaj´ı jako tvrd´ y zdroj polohy (pohyb kyvadla zpˇetnˇe neovlivˇ nuje pohyb voz´ıku) a ˇze hmotnost voz´ıku je zanedbateln´a v porovn´an´ı se setrvaˇcnost´ı rotoru. Pak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt vztah mezi zrychlen´ım z´avˇesu kyvadla a zrychlen´ım motoru ¨ . x¨(t) = r ϑ(t)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
10
Odvod’te stavov´ y popis tohoto syst´emu a proved’te jeho linearizaci v doln´ı (ϕ = 0) a horn´ı (ϕ = π) poloze kyvadla. Porovnejte (napˇr´ıklad v simulinku) skuteˇcn´ y (neline´arn´ı) model s linearizovan´ ym (odchylkov´ ym) modelem v doln´ı i horn´ı poloze. Tabulka 1: Parametry kyvadla na voz´ıku Parametr Hodnota Rozmˇer l
1
m
g
9,81
m·s−2
δ
0,025
s1
R
1
Ω
L
0,1
H
JM
10
kg·m2
k
1
r
0,1
m
ˇ sen´ı: Nejprve pro jednoduchost pˇreznaˇc´ıme konstanty v rovnici motoru Reˇ a1 =
R , L
a0 =
k2 , JM L
b0 =
rk . JM L
Nyn´ı zavedeme 5 stavov´ ych promˇenn´ ych: • x1 = x = r ϑ – poloha voz´ıku, • x2 = x˙ = r ϑ˙ – rychlost voz´ıku, • x3 = x¨ = r ϑ¨ – zrychlen´ı voz´ıku, • x4 = ϕ – v´ ychylka ramene kyvadla, • x5 = ϕ˙ – u ´hlov´a rychlost ramene kyvadla. Stavov´e rovnice sestav´ıme tak, ˇze spoj´ıme model motoru a ramene kyvadla. x˙ 1 (t) = x2 (t) x˙ 2 (t) = x3 (t) x˙ 3 (t) = −a0 x2 (t) − a1 x3 (t) + b0 u(t) x˙ 4 (t) = x5 (t) x˙ 5 (t) = −ω02 sin x4 (t) − 2δx5 (t) −
3 x3 (t) cos x4 (t) 2l
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
11
Zavedeme stavov´ y vektor x = [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ]T a zap´ıˇseme tyto stavov´e rovnice v maticov´em z´apisu 0 1 0 0 0 1 x˙ = 0 −a0 −a1 0 0 0 0 0 0 V´ ystupn´ı rovnice je
y(t) =
0
0
0
0
0 0 0 . 0 0 x(t)+ b0 u(t)+ 0 0 1 0 0 3 2 0 −2δ 0 −ω0 sin x4 (t) − 2l x3 (t) cos x4 (t) 0
�
x(t) ϕ(t)
�
=
�
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
�
x(t) +
�
0 0
�
u(t) .
(9)
(10)
Tento stavov´ y model je neline´arn´ı, respektive jeho posledn´ı rovnice je neline´arn´ı. Provedeme tedy nyn´ı linearizaci tohoto modelu ve stacion´arn´ıch bodech. Ty nalezneme podle rovnice x˙ = 0 . ˇ sen´ım t´eto rovnice obdrˇz´ıme dva stacion´arn´ı body Reˇ x01 = [0, 0, 0, 0, 0]T,
x02 = [0, 0, 0, π, 0]T,
kter´e odpov´ıdaj´ı doln´ı, respektive horn´ı, poloze kyvadla. � � Zap´ıˇseme-li p´atou stavovou rovnici ve tvaru x(t) ˙ = f x(t), u(t) , pak Taylor˚ uv rozvoj (3) t´eto rovnice m˚ uˇzeme zapsat jako � � �� � �� ∂f x(t), u(t) � x˙ 5 (t) = f x(t), u(t) �x=x0 + � � ∂x(t)
� �� ∂ 2 f x(t), u(t) �� ∆x(t)+ � � ∂x2 (t)
x=x0
∆x2 (t)+. . . . x=x0
Zanedb´ame-li v tomto rozvoji kvadratik´e a vyˇsˇs´ı ˇcleny, z´ısk´ame ve stacion´arn´ıch bodech linearizovan´ y odchylkov´y model � ∆x˙ 5 (t) =
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂x3
∂f ∂x4
∂f ∂x5
�
x=x0i
∆x(t) .
Zb´ yv´a jiˇz jen dosadit za x0i a z´ısk´ame dva stavov´e popisy pro dva stacion´arn´ı body. Pro ϕ01 = 0 plat´ı
0
1
0
0
0
0 0 1 0 0 ∆x(t) ˙ = 0 −a0 −a1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 2l3 −ω02 −2δ
0
0 ∆x(t) + b0 u(t) . 0 0
(11)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
12
Pro ϕ02 = π plat´ı
0
1
0
0
0
0 0 1 0 0 ∆x(t) ˙ = 0 −a0 −a1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 ω02 −2δ 2l
0
0 ∆x(t) + b0 u(t) . 0 0
(12)
Tyto stavov´e rovnice jsou spolu s v´ ystupn´ı rovnic´ı (10) ve standardn´ım tvaru (2). Nyn´ı porovn´ame neline´arn´ı model s linearizovan´ ym v okol´ı doln´ı polohy ramene kyvadla. Pro simulaci byl zvolen obd´eln´ıkov´ y sign´al (viz obr. 6), kter´ y postupnˇe rozhoup´av´a kyvadlo. Z obr´azk˚ u 8 a 9 vid´ıme, ˇze linearizovan´ y model je spr´avn´ y pouze v okol´ı pracovn´ıho bodu ϕ01 = 0. Pro velk´e v´ ychylky je tento model nespr´avn´ y, protoˇze jsme v Taylorovu rozvoji zanedbali kvadratick´e a vyˇsˇs´ı ˇcleny. Pr˚ ubˇeh polohy voz´ıku na obr. 7 je samozˇrejmˇe stejn´ y pro oba modely, protoˇze rovnice motoru je line´arn´ı. Porovnejte neline´arn´ı model s linearizovan´ ym v okol´ı horn´ı polohy ramene kyvadla. Zvolte vhodn´ y pr˚ ubˇeh vstupn´ıho napˇet´ı (v horn´ı poloze je syst´em nestabiln´ı).
Vstupni napeti
10
U
5
0
−5
−10 0
5
10
15
20
25
Cas (s)
Obr´azek 6: Vstupn´ı napˇet´ı motoru – u(t)
30
35
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
13
Poloha voziku 0.4
0.35
0.3
x
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05 Linearizovany model Nelinearni model
0 0
5
10
15
20
25
30
35
30
35
Cas (s)
Obr´azek 7: Poloha voz´ıku – x(t)
Vychylka ramene kyvadla 30
20
φ [°]
10
0
−10
−20 Linearizovany model Nelinearni model
−30 0
5
10
15
20
25
Cas (s)
Obr´azek 8: V´ ychylka ramene kyvadla – ϕ(t)
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
14
Uhlova rychlost ramene kyvadla 2
1.5
1
ω
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 Linearizovany model Nelinearni model
−2 0
5
10
15
20
25
30
35
Cas (s)
´ Obr´azek 9: Uhlov´ a rychlost ramene kyvadla – ω(t) ✷
3
Dom´ ac´ı u ´ lohy
Pˇ r´ıklad 3.1: V elektrick´em obvodu na obr. 1 (pˇr´ıklad 2.1) zamˇen ˇte c´ıvku s kondenz´atorem. Urˇcete stavov´ y popis tohoto elektrick´eho syst´emu a naleznˇete ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku uC (0) = u0 , iL (0) = i0 . Urˇcete pˇrenos tohoto syst´emu za pˇredpokladu nulov´ ych poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek. Proved’te simulace tohoto modelu. Pˇ r´ıklad 3.2: Uvaˇzujte elektrick´ y obvod, kde je ke zdroji napˇet´ı u(t) (vstup syst´emu) pˇripojen v s´erii rezistor s elektrick´ ym odporem R a kondenz´ator s kapacitou C. Urˇcete stavov´ y popis tohoto elektrick´eho syst´emu. Naleznˇete ˇreˇsen´ı tohoto modelu pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku uC (0) = u0 . Urˇcete pˇrenos tohoto syst´emu za pˇredpokladu nulov´ ych poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek. Pˇ r´ıklad 3.3: Uvaˇzujte elektrick´ y obvod, kde je ke zdroji napˇet´ı u(t) (vstup syst´emu) pˇripojen v s´erii rezistor s elektrick´ ym odporem R a c´ıvka s indukˇcnost´ı L. Zvolte za stavovou promˇennou elektrick´ y proud i(t), kter´ y prot´ek´a rezistorem a urˇcete stavov´ y popis tohoto elektrick´eho syst´emu. Naleznˇete ˇreˇsen´ı tohoto modelu pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku iL (0) = i0 . Urˇcete pˇrenos tohoto syst´emu za pˇredpokladu nulov´ ych poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek.
´ ´ U ˚ – Stavov´ TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM y popis, linearizace
15
Pˇ r´ıklad 3.4: Pˇredpokl´adejte zjednoduˇsen´ y model popisuj´ıc´ı v´ yvoj populace dravc˚ u a obˇet´ı v nˇejak´e uzavˇren´e oblasti x˙ 1 (t) = −x1 (t) + 0, 01 x1 (t) x2 (t) , x˙ 2 (t) =
x2 (t) − 0, 01 x1 (t) x2 (t) ,
kde x1 je mnoˇzstv´ı dravc˚ u a x2 je mnoˇzstv´ı obˇet´ı. Vykreslete f´azov´ y portr´et (vyuˇzijte funkci stateportrait.m viz [2]) tohoto neline´ arn´ıho modelu. Naleznˇete rovnov´aˇzn´e stavy tohoto mo-
delu. Proved’te linearizaci v tˇechto rovnov´aˇzn´ ych stavech a rozhodnˇete o stabilitˇe. Porovnejte line´arn´ı a neline´arn´ı model.
Reference ˇ [1] Stecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ u. Praha: Vydavatelstn´ı ˇ CVUT, 1999. ´k, Z. a Hromc ˇ´ık, M.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ [2] Roubal, J., Hura u [online]. Posledn´ı revize 2006-03-01 [cit. 2006-03-01], �http://dce.felk.cvut.cz/tds/�.
