Sta´tnicova´ ota´zka 6, okruh 1 Vojteˇch Franc,
[email protected] 7. u´nora 2000
1
Zada´nı´
Staticke´ optimalizace. Linea´rnı´ a nelinea´rnı´ programova´nı´. Optima´lnı´ rˇ´ızenı´ a rozhodova´nı´ v dynamicky´ch syste´mech, matematicke´ programova´nı´, teorie her, optima´lnı´ rˇ´ızenı´ deterministicky´ch syste´mu˚. Opatrne´ a du˚veˇrˇive´ strategie rˇ´ızenı´. Princip maxima.
2
Staticke´ optimalizace
Optimalizacˇnı´ proble´m je obecneˇ vy´beˇr takove´ho rˇesˇenı´, ktere´ je v neˇjake´m smyslu optima´lnı´. Pro matematickou formulaci optimalizacˇnı´ho proble´mu je trˇeba vytvorˇit matematicky´ model situace syste´m, ktery´ musı´ umozˇnˇovat porovna´nı´ ru˚zny´ch variant rˇesˇenı´. Obvykle volı´me krite´rium. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe optimalizujeme situaci, ktera´ je popsa´na staticky´m modelem, jedna´ se o staticky´ optimalizacˇnı´ proble´m. Staticky´ model je popsa´n pouze algebraicky´mi vztahy mezi velicˇinami, ktere´ jsou cˇasoveˇ nepromeˇnne´ - model situace se v cˇase nemeˇnı´. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ se jedna´ o dynamicky´ model, resp. kdyzˇ optimalizujeme, tak o dynamicky´ optimalizacˇnı´ proble´m, ktery´ se take´ cˇasto nazy´va´ proble´m optima´lnı´ho rˇ´ızenı´.
3
Nelinea´rnı´ programova´nı´, matematicke´ programova´nı´
Proble´my staticke´ optimalizace jsou v podstateˇ ekvivalentnı´ s hleda´nı´m extre´mu˚ funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch (krite´ria), ktere´ podle´hajı´ ru˚zny´m omezenı´m. Teˇmto proble´mu˚m se take´ rˇ´ıka´ u´lohy matematicke´ho programova´nı´. Za´kladnı´ u´loha matematicke´ho programova´nı´ je nale´zt extre´m (maximum nebo minimum) skala´rnı´ funkce f (x), kde hledany´ vektor x je prvkem neˇjake´ mnozˇiny X. Mnozˇina X je nejcˇasteˇji urcˇena neˇjaky´mi algebraicky´mi vztahy mezi slozˇkami vektoru x. Za´kladnı´ u´loha mat. programova´nı´ je tedy min{f (x)|x ∈ X ⊂ E n }
(1)
kde E n je n-rozmeˇrny´ Euklidu˚v prostor. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe funkce f (x) je linea´rnı´ a algebraicke´ vztahy popisujı´cı´ omezenı´ X jsou linea´rnı´ (ne)rovnice, pak se jedna´ o proble´m linea´rnı´ho programova´nı´. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ (obecneˇ) se jedna´ o proble´m nelinea´rnı´ho programova´nı´. Nelinea´rnı´ho programova´nı´ je popsa´no v [3] na straneˇ 6 azˇ 30. Specia´lnı´ prˇ´ıpad, kdy f (x) je kvadraticka´ funkce, je popsa´n na straneˇ 31 azˇ 49. V uvedeny´ch kapitola´ch jsou matematicke´ veˇty a definice, ktere´ popisujı´ podmı´nky pro analyticke´ rˇesˇenı´. Veˇtsˇinu veˇcı´ jsme probı´rali v matematice, naprˇ. [2], kapitola Extre´my funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch. Zde se pokusı´m vyjmenovat a strucˇneˇ popsat nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı z nich. 1
• Podmı´nky prvnı´ho a druhe´ho rˇa´du; [2], [3], str 9-11. Ma´-li v bodeˇ x∗ funkce extre´m, pak je jejı´ prvnı´ derivace rovna 0. Hleda´me-li minimum x∗ , pak v x∗ musı´ by´t druha´ derivace kladna´ (konvexnı´ funkce). Zobecneˇnı´ teˇchto veˇt na vı´cerozmeˇrny´ prˇ´ıpad jsou podmı´nky prvnı´ho a druhe´ho rˇa´du. • Va´zane´ extre´my, Lagrangeovy multiplika´tory; [2], [3], str 11-16. Hleda´me-li extre´m funkce, kdy jsou omezenı´ da´na soustavou rovnic g(x) = 0, pak pro tento extre´m musı´ platit podmı´nky, ktere´ se vyja´drˇ´ı pomocı´ Lagrangeovy funkce L(x, λ) = f (x) + λg(x). λ jsou Lagran. multiplika´tory. • Kuhn-Tuckerovy podmı´nky; [3], str 17-19. Uda´vajı´ podmı´nky pro extre´m nelinea´rnı´ funkce f (x), kdy je omezenı´ urcˇene´ rovnicemi g(x) = 0 a nerovnicemi q(x) ≤ 0. • Prima´rnı´ a dua´lnı´ u´loha, sedlovy´ bod; [3] str 19-23. Optimalizacˇnı´ proble´m omezene´ funkce min{f (x)|g(x) ≤ 0}, lze vyja´drˇit jako min max L(x, λ),
x|g(x)≤0 λ≥0
(2)
cozˇ je prima´rnı´ u´loha. Nebo to lze vyja´drˇit jako max min L(x, λ), λ≥0 x|g(x)≤0
(3)
cozˇ se jmenuje dua´lnı´ u´loha. V prˇ´ıpadeˇ, kdy ma´ prima´rnı´ a dua´lnı´ u´loha rˇesˇenı´ ve stejne´m bodeˇ, nazy´va´ se tento bod sedlovy´. Te´to veˇci se vyuzˇ´ıva´ v numericky´ch algoritmech, prima´rnı´ u´loha se blı´zˇ´ı k rˇesˇenı´ shora a dua´lnı´ se k neˇmu blı´zˇe zdola. Vsˇechny veˇty jsme brali v matice kromeˇ Kuhn-Tuckerovy´ch podmı´nek, ktere´ jsou hodneˇ du˚lezˇite´, proto je zde uvedu v prˇesne´m zneˇnı´ jak jsou v [3]. Obecny´ prˇ´ıpad nelinea´rnı´ho programova´nı´ lze zapsat min{f (x)|h(x) = 0; g(x) ≤ 0}
(4)
Podmı´nky pro relativnı´ extre´m lze popsat pomocı´ Kuhn-Tuckerovy´ch podmı´nek. Necht’x∗ je bod relativnı´ho minima proble´mu (4) a prˇedpokla´da´me, zˇe x∗ je regula´rnı´ bod omezenı´. Pak existuje vektor λ ∈ E n a vektor µ ∈ E p , zˇe ∇f (x∗ ) + λT ∇h(x∗ ) + µT ∇g(x∗ ) = 0 T
∗
(5)
µ g(x ) = 0
(6)
µ ≥ 0
(7) (8)
(x) Kde ∇f (x) = [ ∂f∂x(x) ... ∂f ∂xn ] je gradient. 1
Kvadraticke´ programova´nı´. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe je optimalizovana´ funkce f (x) kvadraticka´ a nema´me zˇa´dne´ omezenı´ na X, lze vypocˇ´ıtat optima´lnı´ x∗ analyticky. Pro vyja´drˇenı´ rˇesˇenı´ potrˇebujeme spocˇ´ıtat inverznı´ matici. Kvadraticka´ funkce je v praxi hodneˇ pouzˇ´ıvana´, naprˇ. je trˇeba prˇi metodeˇ nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚. 2
Kromeˇ specia´lnı´ch prˇ´ıpadu˚, ktere´ se dajı´ vypocˇ´ıtat analyticky (naprˇ. neomezena´ kvadr. fce), se pro nelinea´rnı´ programova´nı´ pouzˇ´ıvajı´ numericke´ algoritmy. V [3] na straneˇ 98 azˇ 158, je jich uvedena velka´ rˇada. Pokud nenı´ funkce unimoda´lnı´ (ma´ jen jeden extre´m) jsou algoritmy schopne´ nale´zt pouze loka´lnı´ extre´m. Veˇtsˇina pouzˇ´ıvany´ch metod je zalozˇena na gradientnı´ optimalizaci, t.j. pocˇ´ıta´ se gradient optimalizovane´ funkce a v jeho smeˇru se upravuje rˇesˇenı´, to se deˇla´ tak dlouho, dokud se nenalezne extre´m. Vsˇechny tyto metody stojı´ na tom, zˇe fce f (x) je diferencovatelna´ 1
4
Linea´rnı´ programova´nı´
Za´kladnı´ u´loha linea´rnı´ho programova´nı´ (LP) ma´ tvar max{cT x|A x ≤ b}
(9)
Je to u´loha na maximum, omezenı´ jsou ve tvaru Ax ≤ b, ve ktere´ jsou prave´ strany omezenı´ neza´porne´ ´ loha linea´rnı´ho programova´nı´ ma´ neˇkolik ekvivalentnı´ch vyja´drˇenı´, vyja´drˇenı´ (9) se nazy´va´ b ≥ 0. U Norma´lnı´ u´loha LP. Na u´loha LP jednak vede mnoho prakticky´ch proble´mu˚ a jednak jsou na ni prˇeva´deˇny i proble´my, ktere´ nejsou linea´rnı´. Jejı´ vy´hodou je, zˇe existuje algoritmus Simplexova´ metoda, ktery´ ji umı´ rˇesˇit. Jejı´ popis je uveden v [3] na straneˇ 47 azˇ 71. Zde se pokusı´m strucˇneˇ popsat jejı´ princip. Mnozˇina omezenı´ X je dana´ soustavou nerovnic Ax ≤ b. Tyto nerovnice urcˇujı´ oblast v prostoru E n , ktera´ je ohranicˇena´ prˇ´ımkami (lin. rovnice urcˇujı´ prˇ´ımku). V nasˇem prˇ´ıpadeˇ, kdy je optimalizovana´ funkce linea´rnı´, musı´ jejı´ extre´m lezˇet na te´to hranici X (lze si to prˇedstavit jako rovinu, ktera´ je orˇeza´na prˇ´ımkami, takzˇe jejı´ nejvysˇsˇ´ı bod musı´ by´t na kraji). Simplexova´ metoda v podstateˇ procha´zı´ hranici urcˇenou Ax = b a hleda´ nejveˇtsˇ´ı hodnotu fce cT x.
5
Teorie her
V [3] je teorie her popsana´ na straneˇ 72-96. Zde je strucˇny´ vy´tah. Hra v norma´lnı´m tvaru je obecneˇ definova´na {Q, X1 , ..., Xn , J1 (x1 , ..., xn ), ..., Jn (x1 , ..., xn )}
(10)
kde Q = {1, 2, ..., n} jsou hra´cˇi, X1 azˇ X2 jsou mnozˇiny strategii hra´cˇu˚ 1 azˇ n, xj ∈ Xj je konkre´tnı´ strategie hra´cˇe j a Jj (x1 , ..., xn ) jsou vy´hry hra´cˇe j. Konecˇna´ hra je takova´, v nı´zˇ je mnozˇina strategiı´ konecˇna´ (hra´cˇ ma´ konecˇny´ pocˇet rozhodnutı´). Hra s konecˇny´m soucˇtem je takova´ hra, v nı´zˇ prˇi vsˇech strategiı´ch hra´cˇu˚ je soucˇet vy´her vsˇech hra´cˇu˚ konstantnı´, tj. n X
Ji (x1 , ..., xn ) = K,
∀xi ∈ Xi ,
(11)
i=1
v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ se jedna´ o hru s nekonstantnı´m soucˇtem. V [3] jsou popisova´ny konecˇne´ hry dvou hra´cˇu˚ Q = {1, 2}. Tyto hry se dajı´ popsat maticı´, jedna´ se o maticove´ hry. 1
Existuje veˇta o gradientnı´ optimalizaci se zobecneˇny´m gradientem, ktera´ umozˇnˇuje pocˇ´ıtat zobecneˇny´ gradient i nediferencovatelny´ch fcı´. Na tohle se pta´t asi nebudou, ale kdyby si chteˇl neˇkdo sˇplhnout...
3
Pro na´zornost je zde prˇ´ıklad. Hrajı´ dva hra´cˇi. Kazˇdy´ hra´cˇ ma´ trˇi mozˇna´ rozhodnutı´, pak se model hry zapsat jako matice 2 3 4 A = 3 4 4 (12) 2 1 6 Volba rozhodnutı´ (strategie) prvnı´ho hra´cˇe odpovı´da´ volbeˇ rˇa´dku matice A. Volba druhe´ho hra´cˇe, odpovı´da´ vy´beˇru sloupce matice A. Prˇi vy´beˇru i-te´ho rˇa´dku prvnı´m hra´cˇem a j-te´ho rˇa´dku druhy´m, je cena hry J(i, j) = ai,j .
5.1
Deˇlenı´ her • Antagonisticky´ konflikt. Jedna´ se o hru s konstantnı´m soucˇtem. Kazˇdy´ hra´cˇ ma´ protichu˚dne´ za´jmy. Cı´lem prvnı´ho hra´cˇe je zı´skat co nejveˇtsˇ´ı cˇa´st vy´hry, cˇ´ımzˇ se za´rovenˇ nejvı´ce posˇkodı´ protivnı´k a obra´ceneˇ (jeden maximalizuje druhy´ minimalizuje). Hra´cˇ jedna hleda´ rozhodnutı´ (rˇa´dek) i = arg maxi minj ai,j a hra´cˇ dva hleda´ rozhodnutı´ (sloupec) j = arg minj maxi ai,j . Zde jsou dva prˇ´ıpady: – V prˇ´ıpadeˇ zˇe platı´ maxi minj ai,j = minj maxi ai,j , ma´ hra sedlovy´ bod a hra´cˇi mohou volit pevne´ strategie (zvolı´ konkre´tnı´ rˇa´dek, resp. sloupec), pak se jedna´ o ryzı´ strategie. – Kdyzˇ neexistuje sedlovy´ bod, hleda´ kazˇdy´ hra´cˇ smı´sˇenou strategii, tj. pro kazˇde´ rozhodnutı´ pocˇ´ıta´ pravdeˇpodobnost, s jakou se ma´ dane´ rozhodnutı´ vybrat. Strategie nenı´ da´na konkre´tnı´m rozhodnutı´m, ale je da´na hustou pravdeˇpodobnosti pro dane´ rozhodnutı´. • Rozhodova´nı´ prˇi riziku a neurcˇitosti. Zde se prˇedpokla´da´, zˇe jen jeden z hra´cˇu˚ je inteligentnı´ a druhy´ hra´cˇ volı´ rozhodnutı´ na´hodneˇ s neˇjakou hustotou pravdeˇpodobnosti p(v). Zde mu˚zˇou nastat dveˇ mozˇnosti – Zna´-li prvnı´ hra´cˇ rozdeˇlenı´ p(v), pak se jedna´ o proble´m rozhodova´nı´ prˇi riziku. – Nezna´-li prvnı´ hra´cˇ rozdeˇlenı´ p(v), pak se jedna´ o proble´m rozhodova´nı´ prˇi neurcˇitosti. • Neantagonisticky´ konflikt. Hra s nekonstantnı´m soucˇtem. Hra´cˇi se nesnazˇ´ı posˇkodit jeden druhe´ho (antagonisticky´ konflikt), ale kazˇdy´ hra´cˇ sleduje sve´ vlastnı´ za´jmy. Modelem te´to hry je dvojmatice, prvnı´ cˇlen je vy´hra prvnı´ho hra´cˇe a druhy´ je vy´hra druhe´ho hra´cˇe. Prˇ´ıklad
−1; −1 9; −10 9; −10 0; 0 A = −10; 9 −5; 100 −10; 9 0; 0 5; 5
(13)
Neantagonisticky´ konflikt mu˚zˇe mı´t neˇkolik variant: – Hra´cˇi se mezi sebou nemu˚zˇou dohadovat, pak se jedna´ o nekooperativnı´ teorii her. – Hra´cˇi mezi sebou mohou uzavı´rat za´vazne´ dohody, pak se jedna´ o kooperativnı´ teorii her. Tento prˇ´ıpad se jesˇteˇ deˇlı´ na ∗ Kooperativnı´ teorii s prˇenosnou vy´hrou. Hra´cˇi si mohou vy´teˇzˇek z hry rozdeˇlit mezi sebe. ∗ Kooperativnı´ teorii s neprˇenosnou vy´hrou. Hra´cˇi se mohou dohodnout, ale vy´teˇzˇek ze hry si nelze prˇerozdeˇlit (u´platek nenı´ povolen).
4
6
Optima´lnı´ rˇ´ızenı´ a rozhodova´nı´ v dynamicky´ch syste´mech
V dynamicky´ch syste´mech (DS) jsou promeˇnne´ modelu situace za´visle´ na cˇase. V modernı´ teorii rˇ´ızenı´ jsou pozˇadavky na kvalitu ˇr´ızenı´ vyja´drˇeny volbou krite´ria kvality rˇ´ızenı´. Proble´m optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ je prˇeveden na optimalizacˇnı´ proble´m minimalizace krite´ria kvality rˇ´ızenı´. Prvnı´m proble´mem je volba vhodne´ho krite´ria, ktere´ zahrne vsˇechny nasˇe pozˇadavky na rˇ´ızenı´. Druhy´ proble´m je rˇesˇitelnost takto formulovatelne´ho krite´ria. Zde uvedu vy´tah z definice DS a krite´ria kvality rˇ´ızenı´ jak je uvedena v [3]: Dynamicky´ syste´m je obvykle popsa´n x(t) ˙ = f (x, u, t) y(t) = g(x, u, t)
(14)
kde x(t) je stav, u(t) je ˇr´ıdı´cı´ vektor a y(t) je vektor vy´stupu˚. Velicˇiny v syste´mu jsou obvykle omezeny x(t) ∈ X ⊂ Rm ,
u(t) ∈ U ⊂ Rn .
(15)
Krite´rium kvality rˇ´ızenı´ je obvykle Z
t1
J(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 ), u(t)) = h(x(t1 )) +
g(x(t), u(t), t)dt
(16)
t0
kde h a g jsou skala´rnı´ funkce svy´ch argumentu˚. Prvnı´ cˇlen krite´ria je za´visly´ na stavu v koncove´m bodeˇ t1 , tento cˇlen hodnotı´ cı´l. Druhy´ cˇlen je integra´l, ktery´ hodnotı´ pru˚beˇh trajektorie syste´mu zpu˚sob dosazˇenı´ cı´le. Krite´rium (16) je funkciona´l, tj. skala´rnı´ funkce, ktera´ ma´ jako argumenty funkci (v nasˇem prˇ´ıpadeˇ u(t)). Proble´m optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ je tedy ekvivalentnı´ s u´lohou hleda´nı´ extre´mu funkciona´lu. Definice proble´mu optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ je: Proble´m optima´lnı´ho rˇ´ızenı´ spocˇ´ıva´ v urcˇenı´ takove´ho rˇ´ızenı´ u(t) syste´mu (14) na intervalu t0 ≤ t ≤ t1 , aby byla splneˇna omezenı´ (15) a krite´rium kvality rˇ´ızenı´ (16) bylo minima´lnı´. Takove´ rˇ´ızenı´ je optima´lnı´. Nejvı´ce pouzˇ´ıvany´m krite´riem kvality rˇ´ızenı´ je kvadraticke´ krite´rium, ktere´ pro linea´rnı´ syste´my vede na linea´rnı´ za´kon rˇ´ızenı´ (zpeˇtnovazebnı´ regula´tor je lin. syste´m, tzv. L(inear)Q(uadratic) reguˇ ´ızenı´, viz. stejnojmenne´ skriptum [1] a la´tor). Tı´mto proble´mem se zaby´va´ prˇedmeˇt Modernı´ Teorie R vypracova´nı´ [ota´zka 5/okruh 1].
6.1
Variacˇnı´ metody
Tyto analyticke´ metody urcˇujı´ nutne´ a postacˇujı´cı´ podmı´nky, ktere´ musı´ splnˇovat extre´m funkciona´lu - krite´ria kvality rˇ´ızenı´. Popis teˇchto metod je v [3] na straneˇ 162 - 192. Prakticky´m vy´sledkem je asi to, zˇe analyticke´ metody lze pouzˇ´ıt jen v neˇktery´ch spec. prˇ´ıpadech (viz. LQ). Obecneˇ je vy´pocˇet dosti komplikovany´, takzˇe se teˇzˇko implementuje regula´tor, ktery´ by pracoval (stı´hal pocˇ´ıtat) online.
6.2
Dynamicke´ programova´nı´
Jiny´m zpu˚sobem jak rˇesˇit optimalizacˇnı´ proble´my je pouzˇitı´ dynamicke´ho programova´nı´ (DP). DP je postaveno na Bellmanoveˇ principu optimality. Zde uva´dı´m formulaci jak je v [3] na straneˇ 194
5
Princip optimality tvrdı´, zˇe optima´lnı´ posloupnost rozhodova´nı´ v mnohastupnˇove´m rozhodovacı´m procesu (ma´m na vy´beˇr vı´ce rozhodnutı´) ma´ tu vlastnost, zˇe at’ jsou jake´koliv vnitrˇnı´ stavy procesu a prˇedchozı´ rozhodova´nı´, zbyla´ rozhodova´nı´ musı´ tvorˇit optima´lnı´ posloupnost vycha´zejı´cı´ ze stavu, ktery´ je vy´sledkem prˇedchozı´ch rozhodova´nı´. Jiny´mi slovy v kazˇde´m rozhodovacı´m stupni musı´me volit optima´lnı´ rozhodnutı´, prˇicˇemzˇ vycha´zı´me ze stavu, ve ktere´m se pra´veˇ nacha´zı´me. Princip optimality je v podstateˇ jinou formulacı´ zna´me´ho prˇ´ıslovı´ ”Neplacˇ nad rozlity´m mle´kem”. Stav, ve ktere´m pra´veˇ jsme, je vy´sledkem prˇedchozı´ch rozhodova´nı´ a tento stav jizˇ nemu˚zˇeme ovlivnit, ale nasˇe dalsˇ´ı rozhodova´nı´ musı´ by´t optima´lnı´. Tento princip se nepouzˇ´ıva´ jen pro optima´lnı´ rˇ´ızenı´, ale trˇeba take´ v Umeˇle´ Inteligenci, prˇi hleda´nı´ cest v grafu atd. V [3] je uveden jednoduchy´ prˇ´ıklad na straneˇ 194 azˇ 195. Formulace a pouzˇitı´ DP na linea´rnı´ch syste´mech je v [1] na straneˇ 45 azˇ 49.
7
Princip maxima
Pontrjaginu˚v princip maxima je nutnou podmı´nkou rˇesˇenı´ proble´mu˚ dynamicke´ optimalizace. V [3] je popsa´n na straneˇ 217 azˇ 227. Je to cˇisteˇ matematicka´ za´lezˇitost, tak zˇe zde nebudu opisovat vzorecˇky. Ve strucˇnosti lze rˇ´ıci, zˇe princip maxima vyzˇaduje, aby prˇi optima´lnı´m rˇ´ızenı´ u∗ (t) byla Hamiltonova funkce H(x, p, u) v kazˇde´m okamzˇiku t maxima´lnı´ vu˚cˇi rˇ´ızenı´ u(t) (Definice Hamiltonovy funkce je na straneˇ 222 v [3]).
8
Za´veˇr
Sta´tnicova´ ota´zka 6/okruh 1, kterou jsem se zde snazˇil vypracovat, v podstateˇ zahrnuje cely´ prˇedmeˇt ORR. Jediny´ dostupny´ materia´l, ktery´m na´m prof. Sˇtecha dal (kromeˇ cizojazycˇny´ch knih) byla nedopsana´ prˇedloha skripta [3], ktere´ uzˇ meˇlo vyjı´t. Hledal jsem ho ve skripta´rneˇ, ale neu´speˇsˇneˇ. Kdyby neˇkdo chteˇl dokument [3], tak mu ho nahraju. Je tam skoro vsˇechno, kromeˇ ota´zky co to jsou du˚veˇrˇive´ a opatrne´ strategie rˇ´ızenı´. At’ jsem hledal jak jsem hledal, tak du˚veˇrˇive´ a opatrne´ strategie jsem nenasˇel ani si na neˇ nevzpomneˇl. Proto Va´s prosı´m, jestli neˇkdo vı´te o co jde, tak mi mailneˇte a ja´ to tam doplnı´m.
Reference [1] Sˇtecha Havlena. Modernı´ Teorie Rˇ´ızenı´. CˇVUT, Prague, Czech republic, 1996. [2] Pr˚ucha Jankovsky´. Matematicka´ analy´za II. CˇVUT, Prague, Czech republic, 1992. [3] J. Sˇtecha. ORR, prˇedna´sˇky v postscriptu. nepublikova´no, 1998.
6
