statistiky Základy Aplikace v technických a ekonomických oborech Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž

Grada Publishing, a. s., U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail: [email protected], www.grada.cz

Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž

ZÁKLADY STATISTIKY

Publikace Základy statistiky přináší elementární poznatky z teorie statistiky a objasňuje podstatu statistického zpracování dat. Podává výklad statistiky jednoduchým způsobem, který akcentuje základy statistické práce a usuzování, přitom však přiměřeně respektuje exaktní pozadí této disciplíny. Dělá to prostřednictvím vhodně strukturovaného obsahu a vyjadřuje se jednoduchým a srozumitelným jazykem. Pozornost nevěnuje jenom třem pilířům statistiky – pravděpodobnosti, teoretickým modelům a empirickým modelům – ale především jejich vzájemnému propojení, na jehož pozadí objasňuje podstatu statistického myšlení. Kniha je určena především studentům ekonomicky a technicky zaměřených fakult vysokých škol, užitečná však bude všem dalším zájemcům o statistiku. Každá kapitola je v úvodu prakticky motivována, obsahuje stručný teoretický úvod a typické vzorové řešené příklady a příklady k procvičení. V publikaci je statistika prezentována také jako disciplína předurčená k užití počítačů a je zde proto přímo podporována elektronickou aplikací STAT1, která pracuje v excelovském prostředí a umožňuje každému čtenáři interaktivně vnímat popsané statistické metody.

říž K h ic ř ld O , lačík d e S k e r a M , ubauer

Jiří Ne

Základy

statistiky Aplikace v technických a ekonomických oborech

• • • • • •

měření a zjišťování teoretické modely empirické modely základy induktivní statistiky počítačové zpracování dat praktické užití statistiky

Základy

statistiky Aplikace v technických a ekonomických oborech

Jiří Neubauer Marek Sedlačík Oldřich Kříž

Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno.

Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž

Základy statistiky

Aplikace v technických a ekonomických oborech Tiráž tištěné publikace: Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, Praha 7 [email protected], www.grada.cz tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 jako svou 4901. publikaci Odpovědný redaktor Petr Somogyi Počet stran 240 První vydání, Praha 2012 Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s. © Grada Publishing, a.s., 2012 Cover Design © Grada Publishing, a.s., 2012 Názvy produktů, firem apod. použité v knize mohou být ochrannými známkami nebo registrovanými ochrannými známkami příslušných vlastníků. ISBN 978-80-247-4273-1 Tiráž ELEKTRONICKÉ publikace: ISBN 978-80-247-7063-5 (ve formátu PDF) ISBN 978-80-247-7266-0 (ve formátu EPUB)

Obsah

1

´ vod do statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 1.1 Historicky´ prˇehled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vy´znam a pojetı´ modernı´ statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Statisticka´ jednotka a statisticky´ soubor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Statisticky´ znak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 17 21 24

2

Popisna´ statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Vyjadrˇovacı´ prostrˇedky statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Za´kladnı´ zpracovańı´ cˇ´ıselnyćh dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Charakteristiky polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Charakteristiky variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Charakteristiky koncentrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kompletnı´ zpracovańı´ dat pomocı´ aplikace STAT1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 32 39 45 51 54

3

Pravdeˇpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Za´klady kombinatoriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Na´hodny´ pokus a na´hodny´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Pravdeˇpodobnost na´hodne´ho jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Klasicka´ definice pravdeˇpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Geometricka´ definice pravdeˇpodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Podmıńeˇna´ pravdeˇpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Pravidlo o na´sobenı´ pravdeˇpodobnostı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Pravidlo o scˇ´ıtańı´ pravdeˇpodobnostı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ plna´ pravdeˇpodobnost a Bayesu˚v vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 U

59 59 63 67 68 72 75 76 79 83

4

Na´hodna´ velicˇina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Na´hodna´ velicˇina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Distribucˇnı´ funkce na´hodne´ velicˇiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diskre´tnı´ na´hodna´ velicˇina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Spojite´ na´hodne´ velicˇiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 88 89 93

5

6

4.5 4.6 4.7

Charakteristiky polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Charakteristiky variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Charakteristiky koncentrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5

Modely rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnostı´ pro diskre´tnı´ na´hodne´ velicˇiny . . . . . . . . . . 107 5.1 Poissonovo rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Alternativnı´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Binomicke´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4 Hypergeometricke´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6

Modely rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnostı´ pro spojite´ na´hodne´ velicˇiny . . . . . . . . . . . . 117 6.1 Rovnomeˇrne´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2 Exponencia´lnı´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 Norma´lnı´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.4 Normovane´ norma´lnı´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.5 Logaritmicko-norma´lnı´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.6 Rozdeˇlenı´ neˇkteryćh funkcı´ na´hodnyćh velicˇin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7

Teoreticke´ za´klady statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.1 Za´kon velkyćh cˇ´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2 Soucˇet neza´vislyćh na´hodnyćh velicˇin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3 Centra´lnı´ limitnı´ veˇty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.4 Veˇty o norma´lnı´m rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8

Vy´beˇrova´ sˇetrˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.1 Druhy vy´beˇrove´ho sˇetrˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2 Na´hodny´ vy´beˇr a vy´beˇrove´ charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.3 Vy´beˇrova´ rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4 Populace, vy´beˇr a statisticke´ usuzovańı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9

Odhady charakteristik za´kladnı´ho souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.1 Bodove´ odhady parametru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.2 Intervalove´ odhady parametru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.3 Intervalove´ odhady parametru˚ norma´lnı´ho rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.4 Intervalovy´ odhad strˇednı´ hodnoty pro vy´beˇry velke´ho rozsahu . . . . . . . . . . . . 180 9.5 Intervalovy´ odhad parametru alternativnı´ho rozdeˇlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10

Testovańı´ statistickyćh hypote´z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.1 Pojem hypote´zy a podstata testovańı´ hypote´z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2 Jednovy´beˇrove´ testy hypote´z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.3 Dvouvy´beˇrove´ testy hypote´z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.4 Testy hypote´z o rozdeˇlenı´ za´kladnı´ho souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Pouzˇite´ zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Rejstrˇ´ık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

O autorech

Mgr. Jirˇ´ı Neubauer, Ph.D. (∗ 1975) Vystudoval Prˇ´ırodoveˇdeckou fakultu Masarykovy univerzity v Brneˇ. Dizertacˇnı´ praći v doktorske´m studijnı´m oboru aplikovana´ matematika obha´jil v roce 2006 na Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulteˇ Ostravske´ univerzity v Ostraveˇ. Od roku 2008 absolvoval odborne´ sta´zˇe postupneˇ na Institute of Statistics, Graz University of Technology, Graz, Rakousko, na Department of Statistics, Faculty of Science, University of Malta, Malta a na University of Maribor, Maribor, Slovinsko. V soucˇasne´ dobeˇ pracuje na Univerziteˇ obrany jako vedoucı´ skupiny Katedry ekonometrie. Veˇnuje se problematice analy´zy cˇasovyćh rˇad se zameˇrˇenı´m na vıćerozmeˇrne´ modely a detekci zmeˇn v na´hodnyćh procesech. V pedagogicke´ oblasti se veˇnuje vyúce za´kladnıćh statistickyćh metod. Podı´lı´ se na rˇesˇenı´ vy´zkumnyćh projektu˚ v ra´mci sve´ specializace. Publikuje v domaćıćh i zahranicˇnıćh cˇasopisech. RNDr. Marek Sedlacˇı´k, Ph.D. (∗ 1975) Vystudoval Prˇ´ırodoveˇdeckou fakultu Masarykovy univerzity v Brneˇ. Dizertacˇnı´ praći ve studijnı´m oboru Obecne´ ota´zky matematiky obha´jil roce 2006 na Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulteˇ Masarykovy univerzity v Brneˇ, rovneˇzˇ rigoro´znı´ praći v oboru Statistika a analy´za dat obha´jil na MU v Brneˇ. Od roku 2008 absolvoval odborne´ sta´zˇe postupneˇ na Institute of Statistics, Graz University of Technology, Graz, Rakousko, na Department of Statistics, Faculty of Science, University of Malta, Malta a na National University of Public Service, Budapest, Mad’arsko. V soucˇasne´ dobeˇ pracuje na Univerziteˇ obrany jako poveˇrˇeny´ vedoucı´ Katedry ekonometrie. Veˇnuje se problematice mnohorozmeˇrnyćh statistickyćh metod se zameˇrˇenı´m na klasifikacˇnı´ techniky. Garantuje a vede vyúku v ra´mci akreditovane´ho studia. Podı´lı´ se na rˇesˇenı´ veˇdeckyćh projektu˚ v ra´mci sve´ specializace. Publikuje v domaćıćh i zahranicˇnıćh cˇasopisech. RNDr. Oldrˇich Krˇ´ızˇ (∗ 1945) Vystudoval Prˇ´ırodoveˇdeckou fakultu Palacke´ho univerzity v Olomouci. V roce 1993 absolvoval specializovane´ studium statistiky na Fakulteˇ informatiky a statistiky Vysoke´ sˇkoly ekonomicke´ v Praze a v roce 1997 absolvoval licencˇnı´ studium Pocˇ´ıtacˇove´ zpracovańı´ dat prˇi kontrole a rˇ´ızenı´ jakosti na Fakulteˇ chemicko-technologicke´ Pardubicke´ univerzity. Od roku 2004 pu˚sobil na katedrˇe ekonometrie Fakulty ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brneˇ. Ve vy´zkumne´ oblasti rˇesˇil u´koly v souvislosti s distancˇnı´m vzdeˇla´vańı´m statistiky a podı´lel se na rˇesˇenı´ projektu˚ v oblasti senzoricke´ analy´zy potravin. Publikoval v domaćıćh i zahranicˇnıćh cˇasopisech. Je autorem a spoluautorem rˇady didaktickyćh titulu˚. V soucˇasne´ dobeˇ spolupracuje s katedrou externeˇ.

7

´ vodnı´ slovo recenzenta U

Kniha Za´klady statistiky, ktera´ se cˇtena´rˇi dosta´va´ do rukou, prˇedstavuje modernı´ pojetı´ za´kladnı´ho kurzu statistiky zalozˇene´ na du˚sledne´m propojenı´ popisne´ statistiky, teorie pravdeˇ´ vodnı´ kapitola podobnosti a u´vodu do matematicke´ statistiky. Ucˇebnice obsahuje 10 kapitol. U elegantneˇ shrnuje historii statistiky s na´vaznostı´ na vysveˇtlenı´ hromadnyćh jevu˚ a souvisejıćıćh pojmu˚. Dalsˇ´ı kapitola je veˇnovańa popisne´ statistice a kapitoly 3–6 pravdeˇpodobnostnı´mu apara´tu, ktery´ je pak du˚sledneˇ vyzˇ´ıvań v kapitolaćh 7–10, kde se autorˇi veˇnujı´ za´kladu˚m matematicke´ statistiky, zejmeńa bodovy´m odhadu˚m, intervalovy´m odhadu˚m a testovańı´ statistickyćh hypote´z. Jednotlive´ kapitoly jsou vzˇdy v u´vodu du˚sledneˇ prakticky motivovańy tak, aby cˇtena´rˇ meńeˇ zbeˇhly´ v matematicke´ teorii mohl bez proble´mu˚ sledovat na´sledujıćı´ forma´lneˇjsˇ´ı matematicky´ vy´klad. Pro usnadneˇnı´ pochopenı´ jednotlivyćh teoretickyćh partiı´ je vy´klad prolozˇen rˇadou ilustrativnıćh rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ a doplneˇn rˇadou prˇ´ıkladu˚ k procvicˇenı´. Velky´m prˇ´ınosem prˇedlozˇene´ publikace je, zˇe cˇtena´rˇi a uzˇivateli statistickyćh metod se za´rovenˇ s ucˇebnicı´ dosta´va´ do rukou vy´pocˇetnı´ statisticka´ aplikace STAT1. Ta byla autory ucˇebnice vytvorˇena v Excelu a umozˇnˇuje bezprostrˇednı´ vy´pocˇet statistickyćh charakteristik, bodovyćh a intervalovyćh odhadu˚, prova´deˇnı´ statistickyćh testu˚ pro na´hodne´ vy´beˇry z norma´lnı´ho a asymptoticky norma´lnı´ho rozdeˇlenı´ a da´le pak umozˇnˇuje prova´deˇnı´ testu˚ dobre´ shody. Tedy vesˇkera´ statisticka´ teorie, ktera´ je v ucˇebnici popsańa, je doplneˇna mozˇnostı´ prova´deˇt vlastnı´ statisticke´ analy´zy vcˇetneˇ grafickyćh vy´stupu˚ v excelovske´m prostrˇedı´. To je dostupne´ prakticky na kazˇde´m pocˇ´ıtacˇi. Tedy k procvicˇenı´ za´kladnıćh statistickyćh analy´z si cˇtena´rˇ nemusı´ porˇizovat obvykle velmi na´kladny´ statisticky´ software. Jsem prˇesveˇdcˇen, zˇe knihu Za´klady statistiky zameˇrˇenou na aplikace v ekonomickyćh i technickyćh oborech budou vyuzˇ´ıvat nejen studenti nematematickyćh oboru˚, kterˇ´ı si chteˇjı´ osvojit principy statisticke´ho uvazˇovańı´, ale take´ uzˇivatele´ za´kladnıćh statistickyćh metod pra´veˇ kvu˚li snadne´mu zı´skańı´ prˇ´ıstupu k odpovı´dajıćı´mu softwarove´mu vybavenı´.

Doc. RNDr. Jaroslav Micha´lek, CSc. ´ stav matematiky, Fakulta strojnı´ho inzˇeny´rstvı´, Vysoke´ ucˇenı´ technicke´ v Brneˇ U

8

Prˇedmluva

Autorˇi knihy, kterou pra´veˇ drzˇ´ıte v ruce, se vyúce statistiky na vysoke´ sˇkole veˇnujı´ jizˇ rˇadu let. Ve snaze prˇedat svoje zkusˇenosti studentu˚m, ale i dalsˇ´ım uzˇivatelu˚m statistiky, vytvorˇili prˇedlozˇeny´ text. Hlavnı´m cı´lem prˇi jeho prˇ´ıpraveˇ byla snaha podat vy´klad statistiky jednoduchy´m zpu˚sobem, ktery´ by akcentoval za´klady statisticke´ praće a usuzovańı´, prˇitom vsˇak prˇimeˇrˇeneˇ respektoval exaktnı´ pozadı´ te´to veˇdnı´ disciplıńy. Proto je kniha vhodna´ prˇedevsˇ´ım pro studium za´kladu˚ statistiky zejmeńa na fakultaćh s ekonomicky´m nebo technicky´m zameˇrˇenı´m. Statistika je veˇdnı´ disciplıńa, ktera´ je vybudovana´ na trˇech pilı´rˇ´ıch: teorii pravdeˇpodobnosti, teorii na´hodne´ velicˇiny a popisne´ statistice. Abychom dobrˇe porozumeˇli smyslu statistiky a jejı´mu mozˇne´mu uplatneˇnı´, musı´me pochopit podstatu pravdeˇpodobnosti, nebot’ vsˇechny za´veˇry, ke ktery´m statistika svy´mi metodami a prostrˇedky dojde, neplatı´ s exaktnı´ matematickou prˇesnostı´, ale majı´ vzˇdy platnost pouze s jistou pravdeˇpodobnostı´ – hovorˇ´ı se o spolehlivosti. Slovo „pouze“ neprˇedurcˇuje statistice vy´znam mensˇ´ı nezˇ matematice, ale jiny´ nezˇ matematice. Statistika je totizˇ disciplıńa velmi prakticka´ a zaby´va´ se vsˇemi takovy´mi rea´lny´mi situacemi, ve kteryćh se potrˇebujeme oprˇ´ıt o nezna´me´ informace. Ty jsou zjednodusˇeneˇ rˇecˇeno zatı´m skryte´ v tzv. teoretickyćh modelech, popisujıćıćh tzv. na´hodne´ velicˇiny. Odkry´vańı´ nezna´myćh informacı´ v nejru˚zneˇjsˇ´ıch rea´lnyćh situacıćh na´m umozˇnı´ popisna´ statistika, ktera´ pracuje s nameˇrˇeny´mi nebo zjisˇteˇny´mi daty a informace o nich shrne do tzv. empiricke´ho modelu. Na prvnı´ pohled je zrˇejme´, zˇe vyjmenovane´ pilı´rˇe tu „pravou“ statistiku jesˇteˇ netvorˇ´ı. Vztah mezi teoreticky´m a empiricky´m modelem prˇ´ımo souvisı´ s filozofiı´ statistiky. Takova´ statistika ma´ totizˇ induktivnı´ charakter a zaby´va´ se tı´m, jak odhadnout ty vlastnosti teoreticke´ho modelu, ktere´ na´s zajı´majı´ a prˇitom je nezna´me, pomocı´ modelu empiricke´ho. Vy´klad cele´ problematiky v te´to ucˇebnici je proto zalozˇen na vybudovańı´ za´kladnıćh pojmu˚ a vztahu˚, srozumitelne´m popisu za´kladnıćh metod a je protkań rˇadou rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚. Teoreticke´ za´klady se opı´rajı´ zejmeńa o vlastnosti norma´lnı´ho rozdeˇlenı´ a o centra´lnı´ limitnı´ veˇtu. Potrˇeba zpracova´vat pozorovańı´ cˇi meˇrˇenı´, shrnout data a postihnout, co rˇ´ıkajı´, zanedbat nepodstatne´ detaily a odhalit spolecˇne´ vlastnosti je prˇ´ıtomna´ v mnoha veˇdnıćh oborech. Proto nacha´zı´ metody matematicke´ statistiky prakticke´ uplatneˇnı´ v sˇiroke´ trˇ´ıdeˇ oblastı´, prˇi rˇesˇenı´ neprˇeberne´ho mnozˇstvı´ praktickyćh proble´mu˚. Neusta´le se proto i v textu zdu˚raznˇuje nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı atribut statistiky, a tı´m je prakticka´ a rea´lna´ podoba rˇesˇenyćh proble´mu˚.

9

10

Prˇedmluva

Soucˇa´stı´ dnesˇnı´ho modernı´ho sveˇta je uzˇitı´ vy´pocˇetnı´ techniky ve vsˇech sfe´raćh zˇivota. Statistika je, pra´veˇ s ohledem na praći s datovy´mi mnozˇinami, prˇ´ımo prˇedurcˇena k vyuzˇitı´ pocˇ´ıtacˇu˚. Na tuto skutecˇnost reaguje i prˇ´ıstup pedagogu˚ k vyúce statistiky na mnoha fakultaćh. Vy´klad a rˇesˇenı´ praktickyćh u´loh je v te´to ucˇebnici prˇ´ımo podporovań elektronickou aplikacı´ STAT1, ktera´ pracuje v excelovske´m prostrˇedı´ a umozˇnˇuje kazˇde´mu studentovi interaktivneˇ vnı´mat popsane´ statisticke´ metody. U vybranyćh prˇ´ıkladu˚ je pouzˇitı´ te´to aplikace podrobneˇ popsane´. Aplikaci je mozˇne´ pouzˇ´ıt i na analy´zy vlastnıćh dat. Aplikaci STAT1 spolu se statisticky´mi tabulkami najdete na adrese http://k101.unob.cz/stat1/. ´ stavu mateRa´di bychom podeˇkovali kolegovi doc. RNDr. Jaroslavu Micha´lkovi, CSc. z U matiky FSI VUT Brno, ktery´ se ujal u´lohy lektora, knihu pozorneˇ prˇecˇetl a doporucˇil neˇkolik u´prav.

V Brneˇ 29. 6. 2012

Autorˇi

Kapitola 1

´ vod do statistiky U

Prvnı´ kapitolu te´to knihy veˇnujeme u´vodnı´mu sezna´menı´ se statistikou. Prˇedstavı´me si statistiku jako veˇdnı´ disciplıńu, ktera´ se vyvinula z pu˚vodnıćh staroveˇkyćh scˇ´ıtańı´ obyvatel a majetku azˇ k soucˇasnosti. Dozvı´me se, co si vlastneˇ ma´me prˇedstavit pod pojmem statistika a jakou roli hraje statistika v modernı´ spolecˇnosti. Zacˇneme si budovat odborny´ slovnı´k a zavedeme si za´kladnı´ pojmy, abychom se v odborne´m prostrˇedı´ domluvili a take´ rozumeˇli tomu, co se kde ve „statisticke´m jazyku“ pı´sˇe cˇi mluvı´.

1.1 Historicky´ prˇehled Slovo statistika pocha´zı´ z italske´ho stato, pu˚vodneˇ s vy´znamem stav, od konce strˇedoveˇku take´ sta´tnı´ u´zemı´, resp. sta´t. Jako prvnı´ jej patrneˇ pouzˇil Girolamo Ghilini (1589–1669) v praći Ristretto della civile, politica, statistica e militare scienza (Shrnutı´ civilnı´, politicke´, statisticke´ a vojenske´ veˇdy), ve ktere´ shroma´zˇdil ru˚zne´ znalosti te´ doby o sta´tu, o jeho obyvatelıćh, zˇivoteˇ, pra´vu, obchodu i vy´robeˇ, na´bozˇenstvı´ i arma´deˇ. Prˇedevsˇ´ım v tomto smyslu se potom slovo stato rozsˇ´ırˇilo i do jinyćh jazyku˚, naprˇ. ve tvaru state, Staat, e´tat, estato. Podneˇty pro vznik statistiky Prvnı´ historicke´ zmıńky o cˇinnostech, ktere´ z dnesˇnı´ho pohledu prˇipomıńajı´ statistiku, pocha´zejı´ uzˇ ze staroveˇku. Za´znamy o scˇ´ıtańı´ obyvatel a majetku mu˚zˇeme najı´t uzˇ v pı´semnostech staryćh Babylonˇanu˚ z obdobı´ prˇed rokem 3800 prˇ. n. l. Historicky nejstarsˇ´ım smeˇrem ovlivnˇujıćı´m take´ vznik statistiky byla existence prvnıćh meˇstskyćh sta´tu˚ v 3. a 2. tisıćiletı´ prˇ. n. l. ve ˇ ecko nebo R ˇ ´ım. staroveˇkyćh civilizacıćh, jaky´mi byly Egypt, Cˇ´ına, Mezopota´mie, Palestina, R Se vznikem meˇstskyćh sta´tu˚ vznika´ take´ potrˇeba jejich spra´vy, se kterou jsou spojene´ nemale´ na´klady, proto se zvysˇuje vy´beˇr danı´. K urcˇenı´ jejich vy´sˇe je ale nezbytne´ mı´t cˇ´ıselne´ u´daje o u´zemı´, obyvatelstvu, zemeˇdeˇlstvı´, obchodu, rˇemeslech apod. Tyto informace se zı´ska´vajı´ zejmeńa na za´kladeˇ soupisu obyvatelstva a dalsˇ´ıch sˇetrˇenı´, ktera´ majı´ z dnesˇnı´ho pohledu charakter statistickyćh sˇetrˇenı´. Jednu z prvnıćh zmıńek o statisticke´m sˇetrˇenı´ nalezneme take´ v Bibli, kde je ve Stare´m za´koneˇ ve 4. knize Mojzˇ´ısˇoveˇ informace o scˇ´ıtańı´ provedene´m Mojzˇ´ısˇem po odchodu izraelske´ho na´roda z Egypta a obsahuje konkre´tnı´ pocˇty bojovnı´ku˚, oddı´lu˚ a velitelu˚. Pozdeˇji take´ narˇ´ıdil scˇ´ıtańı´ lidu motivovane´ vojensky kra´l David.

11

12

1.1 Historicky´ prˇehled

ˇ ´ımeˇ v 5. stoletı´ prˇ. n. l. Scˇ´ıtańı´ meˇli na starosti Velke´ scˇ´ıtańı´ lidu zavedli take´ ve staroveˇke´m R vysocı´ u´rˇednıći, nazy´vanı´ cenzorˇi. Scˇ´ıtańı´ (cenzy) se konala kazˇdyćh peˇt let a zjisˇt’ovaly se nejen pocˇty obyvatel a jejich majetek, ale take´ naprˇ. pocˇet otroku˚. Podobne´ pru˚zkumy se postupneˇ rozsˇirˇovaly i na dalsˇ´ı evropske´ zemeˇ azˇ do obdobı´ strˇedoveˇku. Od 16. stoletı´ byly zrˇizovańy cı´rkevnı´ matriky, ktere´ se na dlouhou dobu staly za´kladnı´m zdrojem informacı´ o obyvatelstvu. Trˇi korˇeny statistiky Vlastnı´ termıń statistika se zacˇal pouzˇ´ıvat azˇ v 18. stoletı´ v Neˇmecku pro oznacˇenı´ nauky o sta´tu. Tato veˇdecka´ disciplıńa se zacˇala rozvı´jet v 16. stoletı´ na univerzitaćh v Ita´lii a pozdeˇji take´ pra´veˇ v Neˇmecku, proto se jı´ rˇ´ıka´ univerzitnı´ statistika. Tehdejsˇ´ı statisticke´ studie obsahovaly prˇedevsˇ´ım u´daje o evropskyćh sta´tech – geograficke´, politicke´, ekonomicke´ a dalsˇ´ı. Na rozdı´l od dnesˇnı´ statistiky neobsahovaly mnoho cˇ´ısel, veˇtsˇina zaznamenanyćh u´daju˚ meˇla charakter slovnı´. Jedno z prvnıćh sta´toveˇdnyćh deˇl O vla´deˇ a spra´veˇ v ru˚znyćh kra´lovstvıćh a republikaćh vysˇlo v roce 1562 v Bena´tkaćh a napsal je Francesco Sansovina. Prˇesneˇ o sto let pozdeˇji uverˇejnil Ludwig von Seckendorff svou sta´toveˇdnou knihu Neˇmecky´ knı´zˇecı´ sta´t. Na jejich praće navazuje nejvy´znamneˇjsˇ´ı teoretik statistiky v neˇmecke´ jazykove´ oblasti Gottfried Achenwall (1719–1772). Byl profesorem statistiky na univerziteˇ v Go¨ttingenu a autorem popula´rnı´ ucˇebnice statistiky, ktera´ byla prˇedepsańa pro prˇedna´sˇky statistiky i na Karloveˇ univerziteˇ v Praze. V Anglii mezitı´m vznikl zcela jiny´ okruh statistiky, a to takzvana´ politicka´ aritmetika, ktera´ vycha´zela z u´daju˚ o narozenıćh a u´mrtıćh, a na tomto za´kladeˇ se pokousˇela pozorovat a srovna´vat informace o obyvatelstvu za delsˇ´ı cˇasove´ u´seky. Tyto pru˚zkumy vycha´zely z u´daju˚ tehdejsˇ´ıch cı´rkevnıćh matrik a na jejich za´kladeˇ se snazˇily odvodit neˇktere´ obecneˇ platne´ za´konitosti (naprˇ. zˇe se rodı´ obecneˇ vıće chlapcu˚ nezˇ deˇvcˇat). Jejı´ nejvy´znamneˇjsˇ´ı prˇedstavitele´ jsou William Petty (1623–1687) a John Graunt (1620– 1674). Petty je povazˇovań za prˇedchu˚dce modernı´ statistiky i klasicke´ politicke´ ekonomie. Jeho nejvy´znamneˇjsˇ´ı dı´lo Peˇt esejı´ o politicke´ aritmetice bylo vydańo posmrtneˇ (1960). Graunt byl obchodnı´k a zaby´val se prˇedevsˇ´ım demografiı´. Napsal prvnı´ ucelenou demografickou studii s poneˇkud pochmurny´m na´zvem Prˇirozena´ a politicka´ pozorovańı´ zalozˇena´ na seznamech zemrˇelyćh (1662). V 18. stoletı´ se toto zameˇrˇenı´ statistiky zacˇalo prosazovat i v Neˇmecku a obeˇ statisticke´ sˇkoly se zacˇaly vza´jemneˇ ovlivnˇovat a postupneˇ sblizˇovat. Statistika zacˇala ve veˇtsˇ´ı mı´rˇe pouzˇ´ıvat cˇ´ısla a prˇestala se zaby´vat pouze popisem sta´tnıćh pozoruhodnostı´. Postupneˇ zacˇala pronikat i do jinyćh veˇdeckyćh disciplıń, aby se nakonec prosadila jako samostatna´ veˇda. Neza´visle na statistice se od 17. stoletı´ zacˇala rozvı´jet jesˇteˇ jina´ teoreticka´ disciplıńa, ktera´ vznikla jako soucˇa´st matematiky – teorie pravdeˇpodobnosti. Zatı´mco statistika zkouma´ hromadne´ jevy, teorie pravdeˇpodobnosti se naopak zaby´va´ jevy individua´lnı´mi, jedinecˇny´mi. Pravdeˇpodobnost je cha´pańa jako cˇ´ıselne´ ohodnocenı´ sˇance – nadeˇje, zˇe sledovany´ konkre´tnı´ jev nastane. Ve skutecˇnosti vsˇak statistika a teorie pravdeˇpodobnosti prˇedstavujı´ dva pohledy na stejny´ proble´m. Kazˇdy´ hromadny´ jev je totizˇ tvorˇen jednotlivy´mi jevy individua´lnı´mi, a naopak opakovańı´m individua´lnı´ho jevu zı´ska´me jev hromadny´. V soucˇasne´ dobeˇ nelze


13

teorii pravdeˇpodobnosti a statistiku od sebe oddeˇlit – teorie pravdeˇpodobnosti je povazˇovańa za teoreticky´ za´klad statistiky. Rozvoj teorie pravdeˇpodobnosti byl zpocˇa´tku inspirovań hlavneˇ hazardnı´mi hrami. Za jejı´ pocˇa´tek se povazˇuje slavna´ vy´meˇna dopisu˚ mezi matematiky Blaisem Pascalem (1623– 1662) a Pierrem de Fermatem (1601–1665) zaha´jena´ roku 1654. Sˇlo jim tehdy o ota´zku, jak spravedliveˇ rozdeˇlit bank mezi hraćˇe, jestlizˇe se´rie hazardnıćh her musela by´t prˇedcˇasneˇ prˇerusˇena. Tehdy rozvı´jene´ teorii pravdeˇpodobnosti dnes rˇ´ıka´me klasicka´ pravdeˇpodobnost. Mezi dalsˇ´ı osobnosti, ktere´ se veˇnovali teorii pravdeˇpodobnosti, patrˇ´ı sˇvyćarsˇtı´ matematici (bratrˇi) Jacob Bernoulli (1656–1705) a Johann Bernoulli (1667–1748), francouzsˇtı´ matematici Abraham de Moivre (1667–1754), Pierre Simon de Laplace (1749–1827) a take´ Simeón Denis Poisson (1781–1840), se ktery´m se setka´me v 5. kapitole – viz Poissonovo rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti, ktere´ je vhodne´ pro popis jevu˚ s nı´zkou pravdeˇpodobnostı´ jevu prˇi znacˇne´m rozsahu vy´beˇrove´ho souboru. Vy´znamny´ prˇ´ıspeˇvek k teorii chyb prˇedlozˇil take´ vynikajıćı´ neˇmecky´ matematik Carl Friedrich Gauss (1777–1855), ktery´ prˇispeˇl k formulovańı´ tzv. norma´lnı´ho rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti – viz 6. kapitola. Statistika jako nova´ veˇda Postupny´m sply´vańı´m nauky o sta´tu, politicke´ aritmetiky a teorie pravdeˇpodobnosti vznikla v 18. a 19. stoletı´ statistika jako samostatna´ veˇdnı´ disciplıńa, ktera´ popisovala hromadne´ jevy v noveˇ vznikajıćıćh veˇdaćh – prˇ´ırodnıćh, technickyćh i ekonomickyćh. Statistika tohoto obdobı´ se zaby´vala prˇedevsˇ´ım popisem zkoumanyćh hromadnyćh jevu˚, proto se take´ nazy´va´ popisna´ – deskriptivnı´ statistika. Metodou statistickyćh pru˚zkumu˚ byla vycˇerpa´vajıćı´ sˇetrˇenı´ prova´deˇna´ podle za´sady: cˇ´ım vıće u´daju˚ zı´ska´me, tı´m prˇesneˇjsˇ´ı budou za´veˇry. Toto pravidlo ve statistice prˇevla´dalo azˇ do konce 19. stoletı´. Vy´znamnou osobnostı´ nove´ statistiky byl belgicky´ matematik Adolphe Jacques Que´telet (1796–1874), ktery´ je zakladatelem prvnı´ho na´rodnı´ho statisticke´ho u´rˇadu (1841) v Evropeˇ. Mimo jine´ se veˇnoval rozsa´hle´mu sbeˇru dat o lidske´ populaci a prezentoval svu˚j pojem „pru˚meˇrne´ho cˇloveˇka“ jako centra´lnı´ hodnoty, kolem ktere´ se meˇrˇene´ teˇlesne´ mı´ry shlukujı´ podle Gaussovy krˇivky – viz 6. kapitola. V te´ souvislosti zavedl take´ pojem index teˇlesne´ hmotnosti pouzˇ´ıvany´ dodnes pro stanovenı´ mı´ry obezity a zna´my´ pod zkratkou BMI (body mass index). Naznacˇil tak budoucı´ smeˇrˇovańı´ statistiky k norma´lnı´mu rozdeˇlenı´, strˇednı´ hodnoteˇ a rozptylu. Pomohl rovneˇzˇ zave´st statisticke´ techniky do kriminalistiky, pomocı´ statisticke´ analy´zy porozumeˇl Que´telet vztahu mezi zlocˇinem a ostatnı´mi sociologicky´mi faktory. Na prˇelomu 19. a 20. stoletı´ vsˇak docha´zı´ ve vy´voji statistiky k za´sadnı´ zmeˇneˇ. Zacˇala e´ra matematicke´ – induktivnı´ statistiky, ktera´ na za´kladeˇ teorie pravdeˇpodobnosti umozˇnˇuje zı´skat kvalifikovane´ za´veˇry – odhady o sledovane´m jevu i z male´ho dostupne´ho vzorku u´daju˚. Nove´ statisticke´ postupy otevrˇely mozˇnosti pro nejru˚zneˇjsˇ´ı typy pru˚zkumu˚, ve kteryćh se z vlastnostı´ cˇa´sti usuzuje na chovańı´ celku. Na ba´zi induktivnı´ statistiky vznikly take´ extrapolacˇnı´ – prognosticke´ metody, ktere´ na za´kladeˇ znalosti dat z minulosti umozˇnı´ vytvorˇit kvalifikovany´ odhad chovańı´ v budoucnosti. Teˇzˇisˇteˇ rozvoje induktivnı´ statistiky se do znacˇne´ mı´ry prˇesunulo do anglo-americke´ oblasti a je spojeno prˇedevsˇ´ım se jmeńem anglicke´ho statistika sira Ronalda Aylmera Fishera (1890–1962), ktery´ sta´l u vzniku mnoha dnes obvyklyćh metod statisticke´ analy´zy. Je pova-

14


zˇovań za zakladatele teorie plańovańı´ experimentu˚ v biologicke´m a zemeˇdeˇlske´m vy´zkumu. Vy´znamnyćh vy´sledku˚ dosa´hl i dalsˇ´ı anglicky´ statistik William Sealy Gosset (1876–1937), ktery´ pracoval jako chemik v irske´m pivovaru Guinness a tam vymyslel postup, ktery´ umozˇnil prova´deˇt z malyćh vy´beˇru˚ pouzˇitelne´ za´veˇry, prˇinejmensˇ´ım vsˇak poznat, jak posuzovat vypovı´dacı´ hodnotu takovyćh vy´beˇru˚. Gosset se pod sva´ pru˚kopnicka´ dı´la podepisoval pseudonymem „Student“, protozˇe jeho firma mu publikovańı´ vy´sledku˚ pod vlastnı´m jmeńem zaka´zala. Dalsˇ´ı vy´znamnı´ prˇedstavitele´ anglicke´ statisticke´ sˇkoly byli Francis Galton (1822–1911) a Charles Pearson (1857–1936), kterˇ´ı polozˇili za´klady zkoumańı´ za´vislostı´ mezi hromadny´mi jevy. K rozvoji matematicke´ statistiky prˇispeˇli take´ rusˇtı´ matematici: Pafnutij Lvovicˇ Cˇebysˇev (1821–1894), Andrej Andrejevicˇ Markov (1856–1922) a Andrej Nikolajevicˇ Kolmogorov (1903–1987), ktery´ je povazˇovań za zakladatele modernı´ teorie pravdeˇpodobnosti. U na´s dosa´hli pozoruhodnyćh vy´sledku˚ dveˇ osobnosti. Prvnı´m byl profesor Jaroslav Janko (1893–1965). Svou celozˇivotnı´ cˇinnostı´ velmi vy´znamneˇ prˇispeˇl k rozvoji matematickostatistickyćh metod, k jejich nanejvy´sˇ uzˇitecˇne´mu uplatneˇnı´ ve vy´zkumu a praxi, a zapsal se tak do historie matematicke´ statistiky u na´s. Zna´ma´ jsou jeho dı´la Jak vytva´rˇ´ı statistika obrazy sveˇta a zˇivota, Za´klady statisticke´ indukce a Statisticke´ tabulky. Druhy´m je profesor Jaroslav Ha´jek (1926–1974), ktere´ho lze povazˇovat za nejvy´znamneˇjsˇ´ıho cˇeske´ho statistika v historii cˇeske´ matematiky. Jeho odborne´ aktivity byly zameˇrˇene´ na neparametricke´ statisticke´ metody. Soucˇasna´ statistika Statistika dnes prˇedstavuje veˇdnı´ disciplıńu se sˇiroky´m prakticky´m uplatneˇnı´m. Pouzˇ´ıva´ se zejmeńa jako du˚lezˇity´ na´stroj zı´ska´vańı´ informacı´ ve verˇejnyćh sfe´raćh nasˇeho zˇivota, ale i jako du˚lezˇity´ na´stroj rˇesˇenı´ nejru˚zneˇjsˇ´ıch odbornyćh proble´mu˚, zejmeńa technickyćh, prˇ´ırodoveˇdnyćh, ekonomickyćh, vojenskyćh, socia´lnıćh. Je tomu tak proto, zˇe modernı´ statistika vyuzˇ´ıva´ vsˇech postupu˚ a metod, ktere´ beˇhem sve´ho dlouhe´ho vy´voje vytvorˇila nebo si osvojila. Pouzˇ´ıva´ jak prvky klasicke´ popisne´ statistiky, zalozˇene´ na analy´ze hromadnyćh dat, tak i prvky modernı´ matematicke´ statistiky, postavene´ na teorii pravdeˇpodobnosti. Proto statistiku vnı´ma´me nejen jako na´stroj poznańı´ (velky´ neprˇehledny´ soubor dat doka´zˇe nahradit neˇkolika vy´stizˇny´mi charakteristikami), ale take´ jako na´stroj rozhodovańı´ v neurcˇitosti (na za´kladeˇ vlastnosti vzorku usuzuje na vlastnosti cele´ho souboru, poprˇ. z informacı´ o minulosti prˇedvı´da´ vy´voj v budoucnosti). Velky´ vy´znam pro rozvoj a vyuzˇitı´ statistickyćh metod meˇl na´stup vy´pocˇetnıćh technologiı´, zejmeńa osobnıćh pocˇ´ıtacˇu˚. Pocˇ´ıtacˇ vı´teˇzı´ nad cˇloveˇkem prˇedevsˇ´ım v teˇch u´konech, ktere´ jsou pro cˇloveˇka tradicˇneˇ nejzdlouhaveˇjsˇ´ı – trˇ´ıdeˇnı´, vyhleda´vańı´ a vy´pocˇty s velky´m mnozˇstvı´m dat. Pocˇ´ıtacˇu˚m jsou vlastnı´ take´ mozˇnosti tabulkove´ho zpracovańı´ a graficke´ho vyjadrˇovańı´. Mezi nejzna´meˇjsˇ´ı profesiona´lnı´ statisticke´ programy se sˇiroky´m portfoliem metod a technik patrˇ´ı Statistica, SPSS, SAS, Statgraphics, Minitab a dalsˇ´ı, z cˇeskyćh produktu˚ QCExpert. Pro potrˇebu vyúky statistiky vyuzˇ´ıva´ rˇada sˇkol i tabulkovy´ kalkula´tor MS Excel, ktery´ patrˇ´ı k za´kladnı´ vy´baveˇ osobnı´ho pocˇ´ıtacˇe. Nasˇe ucˇebnice bude podporovana´ jednoduchou aplikacı´ STAT1, vytvorˇenou pra´veˇ v excelovske´m prostrˇedı´. Statistika byla zpocˇa´tku vyuzˇ´ıvańa spı´sˇe ve veˇdaćh prˇ´ırodnıćh (fyzika, chemie) a technickyćh, v poslednıćh letech vsˇak zaznamena´va´ u´speˇch take´ v disciplıńaćh humanitnı´ho charakteru, naprˇ´ıklad v psychologii, sociologii, pedagogice, ale take´ v ekonomii, ktera´ pu˚-


15

vodneˇ vznikla jako veˇda socia´lnı´, beˇhem cˇasu se svy´mi metodami prˇiblı´zˇila spı´sˇe veˇda´m prˇ´ırodnı´m. K vy´razneˇjsˇ´ımu rozvoji statistickyćh metod dosˇlo na prˇelomu 19. a 20. stoletı´, a to zejmeńa dı´ky novy´m objevu˚m ve statistice (zejmeńa na´stupu metod matematicke´ statistiky). To vedlo k dalsˇ´ımu prˇiblizˇovańı´ statistiky rea´lne´mu zˇivotu a prudke´mu rozvoji aplikacı´ statistiky v nejru˚zneˇjsˇ´ıch oborech lidske´ cˇinnosti. Vznikaly tak postupneˇ specia´lnı´ statisticke´ metody, ktere´ tvorˇily za´klad specia´lnıćh veˇdnıćh disciplıń. Pod na´zvem biostatistika, resp. biometrika se naprˇ. rozumı´ aplikace statistiky na biologicke´ proble´my, zatı´mco pro analy´zu chemickyćh dat se spı´sˇe uzˇ´ıva´ termıń chemometrie. Hlavnı´m cı´lem aplikacı´ statistickyćh metod v biomedicıńske´m vy´zkumu je zajistit spra´vnost a odbornost statisticke´ho vyhodnocovańı´ dat a interpretace zı´skanyćh vy´sledku˚. Pouzˇ´ıvańı´ pocˇ´ıtacˇu˚ k teˇmto ućˇelu˚m je v dnesˇnı´ dobeˇ samozrˇejme´. Aplikacı´ statistickyćh metod na ekonomicka´ a socia´lneˇ-ekonomicka´ data vznikla samostatna´ statisticka´ disciplıńa, ekonomicka´ statistika. Prˇedmeˇtem ekonomicke´ statistiky je analy´za stavu a vy´voje jevu˚ v hospoda´rˇske´ oblasti jako vyćhodiska k hospoda´rˇske´mu rozhodovańı´ cˇi stanovenı´ hospoda´rˇske´ politiky. Na vyuzˇitı´ statistickyćh metod je zalozˇeny´ pru˚zkum trhu, plańovańı´ vy´roby, prognostika, kontrola kvality vy´roby, persona´lnı´ politika, vy´rocˇnı´ zpra´vy (urcˇene´ akciona´rˇu˚m). Jesˇteˇ k vysˇsˇ´ı kvaliteˇ ekonomicke´ analy´zy vede disciplıńa oznacˇovana´ jako ekonometrie. Ta prˇedstavuje synte´zu ekonomicke´ teorie, informatiky, matematiky a statistiky. Tato synte´za nenı´ vsˇak mechanicky´m spojenı´m ekonomicke´ analy´zy s apara´tem matematiky a statistiky, resp. elektronicky´mi prostrˇedky, ale jde o propojenı´ vza´jemneˇ se podminˇujıćıćh veˇdnıćh disciplıń. ˇ eskyćh zemıćh Statistika v C Statistika je s historiı´ nasˇeho u´zemı´ spjata jizˇ od nepameˇti. Du˚vody jsou zcela prakticke´ a zrˇejme´. Kazˇdy´ vla´dce chteˇl mı´t prˇehled, jaky´ ma´ majetek, kolik ma´ k dispozici muzˇu˚ do vojska cˇi od kolika poddanyćh mu˚zˇe vyma´hat daneˇ. Ale du˚vody pro statisticke´ zjisˇt’ovańı´ byly mnohdy i zcela jine´ho, humańneˇjsˇ´ıho ra´zu. Naprˇ´ıklad za vla´dy cı´sarˇe Rudolfa II. v roce 1583 vypukla v cˇeskyćh zemıćh epidemie moru. V jejı´m du˚sledku bylo zaha´jeno sˇetrˇenı´ o „zdravı´ populace“, ktere´ meˇlo zmapovat vznik a rozvoj zhoubnyćh epidemiı´ a umozˇnit prˇijı´mańı´ vcˇasnyćh protiopatrˇenı´. Jako vy´znamny´ meznı´k lze oznacˇit datum 13. rˇ´ıjna 1753, kdy byl vydań patent cı´sarˇovny Marie Terezie o kazˇdorocˇnı´m scˇ´ıtańı´ lidu. Zdokonalenı´ evidence obyvatel souviselo s rozsa´hlou reformnı´ cˇinnostı´ Marie Terezie (1717–1780), nebot’ k provedenı´ cˇetnyćh reforem bylo nutne´ zı´skat objektivnı´ informace o obyvatelstvu. Za vla´dy Marie Terezie dosˇlo take´ k reformeˇ evidence narozenyćh a zemrˇelyćh. V te´to souvislosti byla zavedena i prvnı´ jednoducha´ statisticka´ klasifikace prˇ´ıcˇin u´mrtı´. ˇ ada Jak uzˇ vı´me, prvnı´ statisticky´ u´rˇad v Evropeˇ byl zalozˇen v roce 1841 v Belgii. R evropskyćh zemı´ Que´teletu˚v u´rˇad na´sledovala. V roce 1897 byl zrˇ´ızen Zemsky´ statisticky´ u´rˇad Kra´lovstvı´ cˇeske´ho, ktery´ se stal prvnı´m skutecˇneˇ statisticky´m u´rˇadem na u´zemı´ dnesˇnı´ Cˇeske´ republiky. Poprve´ byla soustrˇedeˇna na jednom mı´steˇ vsˇechna statisticka´ pracovisˇteˇ, ktera´ azˇ do te´ doby pu˚sobila v ra´mci ru˚znyćh ministerstev a dalsˇ´ıch institucı´. Brzy po vzniku samostatne´ho Cˇeskoslovenska, uzˇ v roce 1919, byl zalozˇen Sta´tnı´ u´rˇad ´ S) jako novy´ orgań poveˇrˇeny´ celosta´tnı´mi statisticky´mi sˇetrˇenı´mi, mezi neˇzˇ statisticky´ (SU ´ rˇad se v obdobı´ mezi sveˇtovy´mi va´lkami patrˇilo jako jedno z nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch i scˇ´ıtańı´ lidu. U

:

16


rozvı´jel, zdokonaloval a rozsˇirˇoval svoji cˇinnost. K tomu prˇispeˇlo i u´zke´ sepeˇtı´ se statistickou teoriı´. Ve 20. a 30. letech 20. stoletı´ byla te´meˇrˇ polovina kapacity statisticke´ho u´rˇadu veˇnovańa veˇdecke´ a teoreticke´ cˇinnosti. V obdobı´ 2. sveˇtove´ va´lky se cˇinnost statistiky v Cˇechaćh a na Moraveˇ omezila a odpovı´dala va´lecˇny´m podmıńka´m i postavenı´ nasˇeho u´zemı´. Perzekuovańa byla rˇada pracovnı´ku˚ ´ S, neˇkterˇ´ı z nich byli popraveni (naprˇ. prˇedseda u´rˇadu Dr. Jan Auerhan byl 6. 6. 1942 zaSU tcˇen gestapem a 9. 6. 1942 zastrˇelen), jinı´ zemrˇeli v nacistickyćh veˇznicıćh a koncentracˇnıćh ta´borech. Bezprostrˇedneˇ po skoncˇenı´ 2. sveˇtove´ va´lky byla cˇinnost Sta´tnı´ho u´rˇadu statisticke´ho obnovena, s cı´lem vra´tit jej na prˇedva´lecˇnou u´rovenˇ. Po roce 1948 se cˇeskoslovenska´ statistika (zejmeńa v ekonomicke´ oblasti) zameˇrˇovala zejmeńa na u´koly na´rodohospoda´rˇske´ evidence a kontrolu plneˇnı´ plańu. Po pa´du komunisticke´ho rezˇimu v roce 1989 se obnovily prˇedpoklady pro budovańı´ objektivnı´, nestranne´ a nestranicke´ sta´tnı´ statisticke´ sluzˇby. K 1. 1. 1993, se vznikem CˇR, prˇevzal ´ ) vsˇechny kompetence na´rodnı´ho statisticke´ho u´rˇadu. Jeho u´koly Cˇesky´ statisticky´ u´rˇad (CˇSU a postavenı´, stejneˇ jako za´sady a u´koly fungovańı´ sta´tnı´ statisticke´ sluzˇby v CˇR, upravil za´kon cˇ. 89/1995 Sb., o sta´tnı´ statisticke´ sluzˇbeˇ, ktery´ byl jesˇteˇ novelizovań k 1. 1. 2001. Jeho hlavnı´m u´kolem je shromazˇd’ovat a zverˇejnˇovat statisticke´ informace o socia´lnı´m a ekonomicke´m rozvoji Cˇeske´ republiky a obstara´vat statisticke´ informace pro potrˇeby dalsˇ´ıch orgańu˚ sta´tnı´ ´ v Praze existujı´ krajske´ respra´vy a u´zemnı´ samospra´vy. Vedle centra´lnı´ho pracovisˇteˇ CˇSU ˇ ´ byl cˇechokanad’an Edvard prezentace ve vsˇech 14 krajskyćh meˇstech. Prvnı´m prˇedsedou CSU Outrata (*1936). Mimo oficia´lnı´ soustavu sta´tnı´ statistiky stojı´ rˇada specializovanyćh komercˇnıćh agentur, ktere´ se prˇedevsˇ´ım zaby´vajı´ statisticky´mi pru˚zkumy (naprˇ. marketingovy´mi) pro podnikatelske´ subjekty, ale jsou take´ poveˇrˇovańy u´koly pro sta´tnı´ statistiku. V soucˇasnosti existujı´ orgańy statisticke´ sluzˇby prakticky ve vsˇech zemıćh Evropy. Jejich konkre´tnı´ podoba a struktura se vsˇak mu˚zˇe sta´t od sta´tu lisˇit, i kdyzˇ v poslednı´ dobeˇ docha´zı´ ke koordinaci sta´tnıćh statistik v ra´mci vsˇech cˇlenskyćh i prˇidruzˇenyćh zemı´ EU. Centra´lnı´m statisticky´m orgańem Evropske´ unie je EUROSTAT, ktery´ ma´ sı´dlo v Lucemburku, jeho soucˇasny´m genera´lnı´m rˇeditelem je Walter Radermacher (*1952). Shromazˇd’uje statisticke´ informace o cˇlenskyćh zemıćh Evropske´ unie, ale take´ o dalsˇ´ıch evropskyćh zemıćh. Sˇest strˇedoevropskyćh zemı´ (CˇR, Mad’arsko, Polsko, Rumunsko, Slovinsko a Slovensko) spolupracuje na vy´meˇneˇ statistickyćh informacı´ take´ prostrˇednictvı´m spolecˇne´ nadna´rodnı´ instituce CESTAT.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ ´ (www.czso.cz), jaky´ 1. Zjisteˇte na strańkaćh CˇSU je v CˇR aktua´lnı´ pocˇet obyvatel. 2. Jaka´ instituce zabezpecˇuje v CˇR scˇ´ıtańı´ lidu? 3. Kdy byl zalozˇeny´ Zemsky´ statisticky´ u´rˇad Kra´lovstvı´ cˇeske´ho? 4. Je mozˇne´ souhlasit s na´sledujıćı´mi vy´roky? a) Zacˇa´tky statistiky spadajı´ do 18. stoletı´. b) Za prvopocˇa´tky statistiky lze povazˇovat za´znamy o scˇ´ıtańı´ lidu a majetku ve staroveˇku. c) Pravdeˇpodobnost dnes prˇedstavuje neoddeˇlitelnou soucˇa´st statistiky.

d) Oznacˇenı´ deskriptivnı´ a induktivnı´ statistika prˇedstavuje z prakticke´ho pohledu tote´zˇ. e) Stav a vy´voj v ekonomicke´ oblasti sleduje disciplıńa oznacˇovana´ jako ekonometrie. f) Vrcholny´ statisticky´ u´rˇad EU je Eurostat. 5. Vyjmenujte neˇktere´ historicke´ korˇeny statistiky. Rˇesˇenı´. 2. Cˇesky´ statisticky´ u´rˇad; 3. 1897; 4. a) ne; b) ano; c) ano; d) ne; e) ne; f) ano; 5. neˇmecka´ sta´toveˇda, anglicka´ politicka´ aritmetika a teorie pravdeˇpodobnosti.

1.2 Vy´znam a pojetı´ modernı´ statistiky

17

1.2 Vy´znam a pojetı´ modernı´ statistiky V soucˇasne´ dobeˇ se pojem statistika pouzˇ´ıva´ v ru˚znyćh vy´znamech, v ru˚znyćh souvislostech a take´ s ohledem na ru˚zne´ prakticke´ situace. V prakticke´m zˇivoteˇ se mu˚zˇeme setkat se cˇtyrˇmi ru˚zny´mi vy´znamy, ktere´ spolu souvisı´. Statistikou se rozumı´: a) veˇdnı´ disciplıńa, ktera´ se zaby´va´ sbeˇrem, zpracovańı´m a vyhodnocovańı´m statistickyćh u´daju˚, b) cˇ´ıselne´ i necˇ´ıselne´ u´daje nebo souhrn u´daju˚ o hromadnyćh jevech, c) prakticka´ cˇinnost, ktera´ vede k zı´skańı´ informacı´ – u´daju˚ o zkoumanyćh jevech, d) instituce, ktera´ prova´dı´ praktickou statistickou cˇinnost nebo tuto cˇinnost rˇ´ıdı´. Abychom si udeˇlali korektnı´ obra´zek o tom, co budeme pod pojmem statistika rozumeˇt a v jakyćh souvislostech cˇi situacıćh budeme tento pojem pouzˇ´ıvat, podı´vejme se na na´sledujıćı´ odstavce. Hromadna´ pozorovańı´ a hromadne´ jevy Prˇi studiu statistiky budeme vycha´zet, jak uzˇ bylo zmıńeˇno, z teorie pravdeˇpodobnosti, kterou si blı´zˇe popı´sˇeme ve 3. kapitole. Za´kladnı´m pojmem pravdeˇpodobnosti jsou tzv. na´hodne´ pokusy, tj. takove´ pokusy, jejichzˇ vy´sledky nelze prˇedem stanovit. Pro vy´sledky jednotlivyćh na´hodnyćh pokusu˚ zavedeme oznacˇenı´ na´hodne´ jevy. Pro statisticke´ pozorovańı´ – neˇkdy se take´ hovorˇ´ı o statisticke´m sˇetrˇenı´ – jsou typicke´ hromadne´ jevy. Prˇ´ıvlastkem hromadny´ zdu˚raznˇujeme, zˇe se statistika zaby´va´ pouze takovy´mi na´hodny´mi jevy, ktere´ se v prostoru a cˇase mohou mnohokra´t opakovat nebo se vyskytujı´ ve velke´m pocˇtu prˇ´ıpadu˚. To tedy znamena´, zˇe jevy jedinecˇne´ (neopakovatelne´) statistika do sve´ho zkoumańı´ nezahrnuje. Hromadne´ jevy jsou tedy vy´sledky hromadnyćh pozorovańı´, ktera´ se uskutecˇnˇujı´ v podstateˇ dveˇma zpu˚soby: a) jako vy´sledky opakovanyćh pokusu˚ – tj. za sta´lyćh podmıńek opakujeme na´hodny´ pokus a po kazˇde´m pokusu zaznamena´me jeho vy´sledek; naprˇ. 35× opakovaneˇ meˇrˇ´ıme koncentraci urcˇite´ la´tky v roztoku, 60× opakovaneˇ meˇrˇ´ıme hodnotu elektricke´ho proudu v obvodu, 14× opakovaneˇ meˇrˇ´ıme vzda´lenost dvou bodu˚ v tereńu apod., b) jako vy´sledky pozorovane´ na velke´m pocˇtu jednotek – tj. na vsˇech (mnoha) jednotkaćh, ktere´ ma´me k dispozici, provedeme meˇrˇenı´ nebo zjisˇteˇnı´ hodnoty a vsˇechny takto zı´skane´ hodnoty si poznamena´me; naprˇ. zmeˇrˇ´ıme dobu reakce na jisty´ podneˇt u 15 rˇidicˇu˚, zmeˇrˇ´ıme vy´kon 23 atletu˚ ve skoku do da´lky z mı´sta, zjistı´me meˇsıćˇnı´ prˇ´ıjem u 80 zameˇstnancu˚, zjistı´me na´zor 150 vysokosˇkola´ku˚ na bulva´rnı´ denı´k apod. Pokud jde o vyjadrˇovańı´ vy´sledku˚ pokusu˚, hovorˇ´ıme cˇasto o obmeˇnaćh (variantaćh). Pro statistiku je obvykle´ dvojı´ vyjadrˇovańı´ obmeˇn – cˇ´ıselne´ a slovnı´. Naprˇ. prˇi va´zˇenı´ rohlı´ku vyja´drˇ´ıme vy´sledek, tj. hmotnost rohlı´ku, ve tvaru 47,8 g (vyja´drˇenı´ cˇ´ıselne´: 47,8), prˇi zjisˇt’ovańı´ vy´sledku zkousˇky z ekonomie vyja´drˇ´ıme vy´sledek ve tvaru „C“ (vyja´drˇenı´ slovnı´: dobrˇe). Zpu˚sobu˚m vyjadrˇovańı´ vy´sledku˚ na´hodnyćh pokusu˚ se ale budeme jesˇteˇ da´le veˇnovat podrobneˇji (viz podkapitola 1.4). Prˇi popisu vy´sledku˚ hromadnyćh pozorovańı´ stojı´ za povsˇimnutı´ dveˇ jejich formy – meˇrˇenı´ a zjisˇt’ovańı´. Prˇi meˇrˇenı´ zpravidla zı´ska´va´me vy´sledky v cˇ´ıselne´ podobeˇ jako hodnoty z meˇrˇicı´ho prˇ´ıstroje. Hodnoty jsou vyja´drˇene´ v urcˇityćh jednotkaćh – fyzika´lnıćh, chemickyćh cˇi jinyćh. V souladu s matematicky´mi a odborny´mi pravidly je lze take´ vza´jemneˇ prˇeva´deˇt. Naprˇ. prˇi meˇrˇenı´ rychlosti auta dostaneme 83,7 km/hod., prˇi meˇrˇenı´ vy´sˇky postavy novoro-

18


zence dostaneme 49 cm, prˇi meˇrˇenı´ tvrdosti vody dostaneme 1,8 mmol/l, prˇi meˇrˇenı´ velikosti proudu dostaneme 12,5 mA, prˇi meˇrˇenı´ obsahu tuku v mle´ku dostaneme 1,48 g/l, atd. Vlastnı´ zpracovańı´ celyćh mnozˇin takovyćhto cˇ´ıselnyćh informacı´ – dat – uzˇ prova´dı´me bez jednotek (viz kapitola 2 – Popisna´ statistika). Prˇi zjisˇt’ovańı´ zı´ska´va´me vy´sledky v cˇ´ıselne´ nebo slovnı´ podobeˇ jako hodnoty zı´skane´ z prˇedem definovane´ mnozˇiny obmeˇn. Neˇkdy take´ hovorˇ´ıme o popisu sledovanyćh objektu˚. Naprˇ. prˇi pru˚zkumu v obchodu zjistı´me pocˇet za´kaznı´ku˚ u jedne´ pokladny: 6, prˇi proveˇrˇovańı´ sˇkolnıćh vy´sledku˚ zjistı´me pocˇet bodu˚ z pı´semne´ho testu u jednoho studenta: 28, prˇi pru˚zkumu kvality pracı´ho pra´sˇku zjistı´me na´zor jedne´ za´kaznice: velmi dobry´, prˇi prˇedvolebnı´m pru˚zkumu zjistı´me preferenci jednoho volicˇe: strana B, atd. Zdroje statistickyćh dat Prˇi rˇesˇenı´ konkre´tnı´ho proble´mu rea´lne´ho sveˇta se setka´me cˇasto s potrˇebou prove´st statisticke´ sˇetrˇenı´, jehozˇ vy´sledkem jsou statisticka´ data. Podle typu konkre´tnı´ho proble´mu bude zdrojem takovyćh dat experiment, dotazovańı´, vy´kaznictvı´, pozorovańı´ cˇi tzv. sekunda´rnı´ data. Experimentem budeme rozumeˇt cı´leneˇ prova´deˇnou cˇinnost zpravidla za ućˇelem oveˇrˇenı´ vlivu urcˇite´ho faktoru na zkoumany´ ukazatel. Naprˇ. budeme experimentem oveˇrˇovat vliv nove´ technologie vy´roby na jistou vlastnost vy´robku, vliv pouzˇite´ho hnojiva na objem rostlinne´ produkce, mu˚zˇeme testovat vy´robek na nove´ podmıńky uzˇitı´, v ra´mci experimentu mu˚zˇeme sledovat chovańı´ zkoumanyćh osob v ru˚znyćh modelovyćh situacıćh apod. Dotazovańı´ je jednoduchy´ zpu˚sob zı´ska´vańı´ statistickyćh dat, ktery´ se prova´dı´ pı´semneˇ (dotaznı´ky, internetove´ dotaznı´ky) nebo u´stneˇ (osobneˇ, telefonicky, ve skupinaćh). Takto je mozˇne´ zı´skat informace hromadne´ho charakteru od tzv. respondentu˚, tj. osob na´hodneˇ urcˇenyćh k dotazovańı´. Naprˇ. vedenı´ strˇednı´ sˇkoly mu˚zˇe prostrˇednictvı´m dotaznı´ku zı´skat informace o na´zorech na vyúku toho cˇi onoho prˇedmeˇtu, vedenı´ podniku mu˚zˇe zı´skat informace o jazykovyćh schopnostech svyćh pracovnı´ku˚ apod. V neˇkteryćh prˇ´ıpadech by´va´ ućˇelne´ dotazovańı´ organizovat anonymneˇ. Na principu dotazovańı´ jsou zalozˇene´ take´ tzv. ankety, ktere´ vsˇak nelze povazˇovat za reprezentativnı´ sˇetrˇenı´. Vyplneˇnı´ anketnı´ho dotaznı´ku je totizˇ naprosto dobrovolne´, proto zı´skany´ obraz o rˇesˇene´m proble´mu mu˚zˇe by´t pouze orientacˇnı´. Naprˇ. vydavatel cˇasopisu˚ se takto bude zajı´mat o za´jem cˇtena´rˇu˚ o jednotlive´ rubriky, vy´robce na´poju˚ si takto mu˚zˇe zjistit na´zory na kvalitu jeho limona´d apod. Vy´kaznictvı´ je mozˇne´ vnı´mat jako specifickou formu dotazovańı´. Vy´kazy slouzˇ´ı ke sledo´ na vańı´ ekonomicke´ cˇinnosti ru˚znyćh subjektu˚. Jejich odevzda´vańı´ a vyhodnocovańı´ rˇ´ıdı´ CˇSU za´kladeˇ za´kona cˇ. 89/1995 Sb., podle ktere´ho majı´ ekonomicke´ subjekty tzv. zpravodajskou povinnost. Na te´to formeˇ statisticke´ho sˇetrˇenı´ se podı´lı´ take´ jednotliva´ ministerstva a jejich odborne´ orgańy. Prˇi pozorovańı´ se obvykle sleduje chovańı´ lidskyćh subjektu˚ v ru˚znyćh situacıćh prostrˇednictvı´m smyslu˚ – sledovańı´, ochutna´vańı´, poslouchańı´, cˇichańı´ apod. Vy´sledek pozorovańı´ je zpravidla subjektivnı´ a za´visı´ na osobeˇ pozorovatele a na okamzˇiku, kdy je pozorovańı´ prova´deˇno. Naprˇ. se formou pozorovańı´ prova´dı´ tzv. senzoricke´ analy´zy, kdy se prostrˇednictvı´m ochutna´vek hodnotı´ na´poje a potraviny. Podobneˇ lze takto hodnotit vu˚ni sledovane´ho parfe´mu. Vsˇechny vy´sˇe uvedene´ formy statisticke´ho sˇetrˇenı´ vyuzˇ´ıvaly tzv. prima´rnı´ data. V neˇkteryćh prˇ´ıpadech je mozˇne´ vyuzˇ´ıt i sekunda´rnı´ data, tj. data, ktera´ byla zı´skańa za jiny´m


19

ućˇelem v minulosti (naprˇ´ıklad v ra´mci jine´ho pru˚zkumu). Sekunda´rnı´ data lze zı´skat z ru˚znyćh tisˇteˇnyćh i elektronickyćh materia´lu˚ (statisticke´ rocˇenky, firemnı´ materia´ly, novinove´ zdroje, pocˇ´ıtacˇove´ databa´ze, datove´ nosicˇe, apod.). Vztah pravdeˇpodobnosti a matematicke´ statistiky Jesˇteˇ jednou se vrat’me k pravdeˇpodobnosti. I kdyzˇ pocˇa´tky pravdeˇpodobnosti jsou spojene´ s rˇesˇenı´m cˇasto zajı´mavyćh proble´mu˚ z oblasti hazardnıćh her, v soucˇasne´ dobeˇ nejcˇasteˇjsˇ´ı aplikace pocˇtu pravdeˇpodobnosti smeˇrˇujı´ do oblasti statistiky. Okolo na´s existuje mnoho veˇcı´, jevu˚, uda´lostı´, ktere´ nelze prˇedvı´dat – jsou du˚sledkem na´hody. Ota´zkami na´hody a na´hodnyćh deˇju˚ se zaby´vajı´ dveˇ matematicke´ disciplıńy: teorie pravdeˇpodobnosti a matematicka´ statistika. Teorie pravdeˇpodobnosti je matematicka´ disciplıńa, jejı´mzˇ vyćhodiskem je zkoumańı´ na´hodnyćh pokusu˚. Prˇi na´hodne´m pokusu nenı´ vy´sledek jednoznacˇneˇ urcˇen jeho pocˇa´tecˇnı´mi podmıńkami. Na´hodnost urcˇite´ho pokusu je teoreticky spojena s nedostatecˇnou znalostı´ teˇchto pocˇa´tecˇnıćh podmıńek. Na´hoda vsˇak neznamena´ subjektivnı´ neveˇdomost, nastoupenı´ kazˇde´ho na´hodne´ho jevu lze prostrˇednictvı´m matematicke´ho apara´tu1 cˇ´ıselneˇ „ocenit“, tedy prˇirˇadit mu pravdeˇpodobnost. Teorie pravdeˇpodobnosti je tedy tou cˇa´stı´ matematiky, ktera´ prˇina´sˇ´ı do zˇivota matematicky´ apara´t pro pocˇ´ıtańı´ s na´hodny´mi uda´lostmi. Je tak teoreticky´m za´kladem pro dalsˇ´ı disciplıńy, ktere´ s na´hodou pracujı´, jako je teorie na´hodnyćh velicˇin a matematicka´ statistika. Proto jsou uzˇitecˇne´ take´ modely ru˚znyćh rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnostı´ (naprˇ. binomicky´, norma´lnı´, exponencia´lnı´ atd. – viz kapitoly 5 a 6). Matematicka´ statistika je naproti tomu veˇda, ktera´ zahrnuje studium dat vykazujıćıćh na´hodna´ kolı´sańı´, at’ uzˇ jde o data zı´skana´ pecˇliveˇ prˇipraveny´m pokusem provedeny´m pod sta´lou kontrolou experimenta´lnıćh podmıńek v laboratorˇi, cˇi o data pocha´zejıćı´ prˇ´ımo z tereńu. Statistika se tedy zaby´va´ zı´ska´vańı´m informacı´ z empirickyćh dat, jejı´m principem je ucˇinit na za´kladeˇ vzorku za´veˇr o celku. Prˇedpokla´da´, zˇe data obsahujı´ neprˇesnosti a nejistoty, ktere´ jsou zpu˚sobeny na´hodny´mi vlivy. Matematickou statistiku tvorˇ´ı soubor metod pro zpracovańı´ hromadnyćh dat, v nichzˇ se za´veˇry vyvozujı´ na za´kladeˇ teorie pravdeˇpodobnosti. Pra´veˇ teˇmto u´kolu˚m statistiky (a take´ v teˇchto souvislostech) se budeme veˇnovat v dalsˇ´ıch cˇa´stech te´to ucˇebnice – viz kapitoly 7, 8, 9 a 10. Soucˇa´sti matematicke´ statistiky Jak jsme uzˇ naznacˇili, v ra´mci hromadnyćh pozorovańı´ prova´dı´me meˇrˇenı´ nebo zjisˇt’ovańı´ sledovane´ velicˇiny u velke´ho pocˇtu jistyćh objektu˚. Vy´sledkem pozorovańı´ jsou potom hromadna´ empiricka´ data, ktera´ v sobeˇ zahrnujı´ (spı´sˇe skry´vajı´) rˇadu informacı´ o sledovane´ velicˇineˇ. Tyto informace vsˇak „na prvnı´ pohled“ nejsou zrˇejme´, data totizˇ prˇedstavujı´ neusporˇa´danou, azˇ chaotickou „horu“ u´daju˚ a nelze z nich prakticky zˇa´dne´ informace vycˇ´ıst. Proto je trˇeba data nejprve zpracovat a informace v nich obsazˇene´ zı´skat. Zpracovańı´m empirickyćh dat se zaby´va´ popisna´ statistika (viz da´le kapitola 2). Vyuzˇ´ıva´ k tomu ru˚zne´ tabulky a grafy, ktere´ poma´hajı´ objevit vy´znamne´ vlastnosti sledovane´ velicˇiny. Hovorˇ´ıme cˇasto o tabulkove´m cˇi graficke´m vyja´drˇenı´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´. Neˇktere´ tabulky poskytujı´ zdrojova´ data 1

Axiomaticka´ teorie pravdeˇpodobnosti publikovana´ v roce 1933 A. N. Kolmogorovem je zalozˇena´ na teorii mı´ry, alternativnı´ bayesovska´ teorie publikovana´ v roce 1955 E. T. Jaynesem je zalozˇena´ na klasicke´ logice pro prˇ´ıpad vy´roku˚, jejichzˇ pravdivostnı´ hodnota nenı´ jen 0 nebo 1, ale lezˇ´ı mezi teˇmito hodnotami.

20


pro tvorbu grafu˚. Dalsˇ´ım prostrˇedkem popisu hromadnyćh empirickyćh dat jsou tzv. cˇ´ıselne´ charakteristiky, ktere´ vyjadrˇujı´ urcˇite´ vlastnosti sledovane´ velicˇiny jediny´m cˇ´ıslem. K urcˇenı´ takovyćh cˇ´ısel pouzˇijeme jen elementa´rnı´ matematicke´ operace. Cı´lem popisne´ statistiky je tedy zprˇehledneˇnı´ informacı´ obsazˇenyćh v datove´m souboru. Dalsˇ´ı soucˇa´stı´ matematicke´ statistiky jakozˇto veˇdnı´ho oboru je tzv. matematicka´ statistika v uzˇsˇ´ım slova smyslu, ktera´ se systematicky zaby´va´ (zejmeńa pomocı´ teorie pravdeˇpodobnosti) matematicky´mi metodami vhodny´mi pro analy´zu statistickyćh dat. Obecneˇ ma´ deduktivnı´ povahu, prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu je vzˇdy urcˇity´ celek, tzv. za´kladnı´ soubor (viz podkapitola 1.3), ale cesta, kterou se k neˇmu dostaneme, ma´ naopak vy´hradneˇ induktivnı´2 charakter. Du˚lezˇity´mi soucˇa´stmi matematicke´ statistiky jsou: a) Teorie odhadu – zaby´va´ se urcˇovańı´m odhadu˚ nezna´myćh parametru˚ za´kladnı´ho souboru pomocı´ hromadnyćh empirickyćh dat zı´skanyćh na´hodny´m vy´beˇrem (viz podkapitola 8.1) a studuje ru˚zne´ prˇ´ıstupy k zı´skańı´ bodovyćh a intervalovyćh odhadu˚ (viz podkapitoly 9.1 a 9.2). b) Testovańı´ statistickyćh hypote´z – zaby´va´ se statisticky´mi procedurami pro oveˇrˇovańı´ hypote´z o za´kladnı´m souboru a o srovna´vańı´ vıće souboru˚ z ru˚znyćh hledisek pomocı´ hromadnyćh dat zı´skanyćh na´hodny´m vy´beˇrem (viz kapitola 10 – Testovańı´ statistickyćh hypote´z). c) Statisticka´ predikce – zaby´va´ se statisticky kvalifikovany´mi odhady budoucı´ho vy´voje sledovane´ velicˇiny na za´kladeˇ jejı´ soucˇasne´ dynamiky. Na za´veˇr vy´kladu o vy´znamu a pojetı´ modernı´ statistiky jesˇteˇ prˇipojme jednu za´sadnı´ mysˇlenku. V minulosti se statistika cˇasto ztotozˇnˇovala s pouhy´m zjisˇt’ovańı´m, sumarizacı´ a publikovańı´m zjisˇteˇnyćh u´daju˚. V soucˇasne´ dobeˇ lze prˇedpokla´dat, zˇe modernı´ statistika ma´ vsˇechny atributy veˇdnı´ disciplıńy schopne´ v podstatneˇ veˇtsˇ´ım meˇrˇ´ıtku respektovat potrˇeby kvalifikovanyćh rozhodovacıćh procesu˚. Proto nezapomenˇme: statistiku nelze ztotozˇnˇovat s pouhy´m elementa´rnı´m zpracovańı´m u´daju˚! Statistiku musı´me spojovat s ohledem na jejı´ vy´razneˇ prakticky´ charakter s sˇirokou sˇka´lou metod a technik, ktere´ umozˇnˇujı´ kvalifikovane´ rozhodovańı´ na ba´zi kvantitativnıćh informacı´ o prakticke´m proble´mu.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Rozhodneˇte, zda je mozˇne´ definovane´ jevy povazˇovat za jevy hromadne´: a) hruby´ meˇsıćˇnı´ prˇ´ıjem ucˇitelu˚ na strˇednıćh sˇkolaćh v CˇR, b) pocˇet deˇtı´ v cˇeskyćh rodinaćh, c) pocˇet nezameˇstnanyćh v Jihomoravske´m kraji v za´rˇ´ı 2011, d) dennı´ trzˇba v prodejneˇ, e) pocˇet dosazˇenyćh go´lu˚ konkre´tnı´m hraćˇem za za´pas v hokejove´ lize 2011/2012, f) rychlost prˇipojenı´ k internetu u vlastnı´ho pocˇ´ıtacˇe. 2

2. Posud’te, jaky´m zpu˚sobem je mozˇne´ u popsane´ho veˇcne´ho proble´mu zı´skat statisticka´ data: a) vliv pouzˇite´ho krmiva na zˇive´ prˇ´ıru˚stky sledovanyćh prasat, b) dennı´ spotrˇeba vody v domaćnosti, c) meˇsıćˇnı´ trzˇba v soukrome´m obchodu, d) na´zor na u´rovenˇ za´kladnıćh sluzˇeb mobilnı´ho opera´tora, e) hodnocenı´ sveˇtle´ho vyćˇepnı´ho piva z cˇeskyćh pivovaru˚, f) vliv druhu benzıńu na vy´kon motoru,

Prˇi induktivnı´m zpu˚sobu mysˇlenı´ nale´za´me prˇi zkoumańı´ jednodusˇsˇ´ıch konkre´tnıćh prˇ´ıpadu˚ pomocı´ abstrakce jejich spolecˇnou obecnou za´konitost – v induktivnı´ statistice to probı´ha´ tak, zˇe z vlastnostı´ vy´beˇrove´ho souboru budeme usuzovat na vlastnosti za´kladnı´ho souboru.

21

1.3 Statisticka´ jednotka a statisticky´ soubor

g) porovnańı´ cenove´ hladiny v neˇkolika supermarketech. 3. Je anketa reprezentativnı´ statisticke´ sˇetrˇenı´? 4. Vyjmenujte neˇktere´ hromadne´ jevy: a) z oblasti vasˇ´ı profesnı´ cˇinnosti, b) z oblasti vasˇ´ı za´jmove´ cˇinnosti, c) z oblasti verˇejne´ho za´jmu (zdroje: noviny, rozhlas, televize, internet).

Rˇesˇenı´. 1. a) ano; b) ano; c) ne; d) ano; e) ne; f) ano; 2. a) experiment; b) pozorovańı´; c) vy´kaznictvı´; d) dotazovańı´; e) pozorovańı´; f) experiment; g) pozorovańı´; 3. nenı´.

1.3 Statisticka´ jednotka a statisticky´ soubor V podkapitole 1.2 jsme uvedli, zˇe u´kolem statistiky je prova´deˇt hromadna´ pozorovańı´ a sledovat hromadne´ na´hodne´ jevy. Protozˇe statistika je veˇda velmi prakticka´, budeme hromadna´ pozorovańı´ prova´deˇt na rea´lnyćh objektech nebo subjektech, ktere´ jsou z urcˇite´ho konkre´tnı´ho du˚vodu prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu. Pozornost proto budeme veˇnovat nejprve statisticky´m jednotka´m a jejich jednoznacˇne´mu vymezenı´, potom si vysveˇtlı´me pojmy za´kladnı´ soubor a vy´beˇrovy´ soubor. Definice 1.3.1 Jednotlive´ objekty nebo subjekty, ktere´ jsou prˇi statisticke´m zkoumańı´ sledovane´, se nazy´vajı´ statisticke´ jednotky. Kazˇda´ statisticka´ jednotka musı´ by´t jednoznacˇneˇ vymezena, aby nemohlo dojı´t k dvojı´mu nebo jinak zkreslene´mu vy´kladu zjisˇteˇnyćh u´daju˚. Statisticke´ jednotky se vymezujı´ z hlediska: • veˇcne´ho, • prostorove´ho, • cˇasove´ho. Prˇ´ıklad 1.3.2 Statisticky´mi jednotkami mohou by´t: – osoby, le´pe rˇecˇeno jiste´ kategorie osob – novorozenci, zˇaći, volicˇi, zameˇstnanci podniku, du˚chodci, pacienti. . . , – veˇci a prˇedmeˇty – vy´robky, stroje, budovy. . . , – organizace – podniky, u´rˇady, sˇkoly, obce. . . , – zvı´rˇata – psi, ryby, sloni. . . , – rostliny nebo plody – psˇenice, ru˚zˇe, brˇ´ızy, jablka. . . , – uda´losti, jevy – sportovnı´ vy´kony, poruchy, meteorologicke´ jevy. . . . Prˇ´ıklad 1.3.3 Proved’te veˇcne´, prostorove´ a cˇasove´ vymezenı´ teˇchto statistickyćh jednotek: a) vsˇechna osobnı´ auta projı´zˇdeˇjıćı´ v u´tery´ mezi 14. a 16. hodinou 110. km da´lnice D1 smeˇrem na Brno; b) vsˇechna deˇvcˇata ze 6. trˇ´ıd znojemskyćh za´kladnıćh sˇkol v cˇervnu roku 2012; c) vsˇichni kaprˇi v jihocˇeske´m rybnı´ku Bezdrev v listopadu 2010; d) vsˇechny 50gramove´ rohlı´ky z ty´dennı´ produkce pekarˇe Jecˇmıńka v ty´dnu od 12. do 17. 3. 2012; uvazˇujme da´le, zˇe vy´roba teˇchto rohlı´ku˚ bude za nezmeˇneˇnyćh podmıńek (stejna´ mouka, stejna´ voda, stejna´ teplota pecı´, stejna´ smeˇna. . . ) pokracˇovat i v dalsˇ´ım obdobı´; e) vsˇechny hypoteticke´ vy´sledky vy´konove´ho testu u jednoho volejbalisty – vy´skok s dohmatem odrazem snozˇmo z rozbeˇhu – v obdobı´ letnı´ treńinkove´ prˇ´ıpravy 2011.

22


Rˇesˇenı´. Vymezenı´ statistickyćh jednotek v jednotlivyćh prˇ´ıpadech: a) veˇcne´: osobnı´ vozy, prostorove´: 110. km da´lnice D1 smeˇr Brno, cˇasove´: konkre´tnı´ u´tery´ v dane´m 2hodinove´m intervalu, b) veˇcne´: zˇa´kyneˇ 6. trˇ´ıd, prostorove´: ZSˇ ve Znojmeˇ, cˇasove´: cˇerven 2012, c) veˇcne´: kaprˇi, prostorove´: rybnı´k Bezdrev, cˇasove´: listopad 2010, d) veˇcne´: 50gramove´ rohlı´ky, prostorove´: pekarˇstvı´ Jecˇmıńek, cˇasove´: obdobı´ ty´dne od 12. do 17. 3. 2012, resp. obdobı´ od 19. 3. 2012 da´le, e) veˇcne´: vy´skok s dohmatem odrazem snozˇmo z rozbeˇhu, prostorove´: treńinkova´ hala, cˇasove´: le´to 2011. Definice 1.3.4 Mnozˇina statistickyćh jednotek stejne´ho typu a shodne´ho vymezenı´ tvorˇ´ı statisticky´ soubor. V ra´mci statisticke´ho sˇetrˇenı´ budeme rozlisˇovat dva typy souboru˚: • za´kladnı´ soubor (populace) – mnozˇina vsˇech shodneˇ vymezenyćh statistickyćh jednotek, • vy´beˇrovy´ soubor (vy´beˇr, vzorek) – podmnozˇina za´kladnı´ho souboru, tedy vybrana´ cˇa´st populace. O za´kladnı´m souboru se take´ hovorˇ´ı jako o statisticke´m souboru, ktery´ je prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu a o jehozˇ vlastnostech se majı´ cˇinit za´veˇry. Mu˚zˇe by´t bud’ rea´lny´, pokud vsˇechny jeho statisticke´ jednotky rea´lneˇ existujı´, nebo hypoteticky´, ktery´ je sice obecneˇ definovań, ale prˇi statisticke´m zkoumańı´ rea´lneˇ jeho statisticke´ jednotky neexistujı´ nebo jich existuje pouze cˇa´st – viz prˇ´ıklad 1.3.5. Z charakteru za´kladnı´ho souboru bezprostrˇedneˇ vyply´va´, zˇe mu˚zˇe mı´t konecˇny´ rozsah nebo mu˚zˇe by´t nekonecˇny´. Prˇi prˇ´ıpraveˇ statisticke´ho sˇetrˇenı´ je jednı´m z nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch pozˇadavku˚ na kvalitnı´ analy´zu homogenita za´kladnı´ho souboru. Ta je z valne´ cˇa´sti zabezpecˇena´ pomocı´ shodne´ho vymezenı´ vsˇech jednotek v za´kladnı´m souboru. Je trˇeba mı´t na pameˇti, zˇe chyby ve vymezenı´ za´kladnı´ho souboru se potom prˇena´sˇ´ı na vy´beˇrovy´ soubor, se ktery´m se da´le pracuje. To vsˇak vede k nespolehlivy´m azˇ chybny´m za´veˇru˚m – viz prˇ´ıklad 1.3.6. Pocˇet jednotek za´kladnı´ho souboru je vesmeˇs velky´. Prˇipomenˇme si, zˇe v zacˇa´tcıćh statistiky bylo cı´lem vycˇerpa´vajıćı´ sˇetrˇenı´, neboli cely´ za´kladnı´ soubor. Azˇ teprve matematicka´ statistika prˇinesla mozˇnost prova´deˇt pouze vy´beˇrova´ sˇetrˇenı´ a namı´sto cele´ populace pracovat se vzorkem. To, zˇe se da´va´ dnes prˇednost vy´beˇrove´mu sˇetrˇenı´ prˇed vycˇerpa´vajıćı´m sˇetrˇenı´m, ma´ hned neˇkolik du˚vodu˚: • du˚vody ekonomicke´ – vy´beˇrove´ sˇetrˇenı´ sˇetrˇ´ı cˇas i penı´ze; zejmeńa u rozsa´hlyćh souboru˚ by meˇrˇenı´ nebo zjisˇt’ovańı´ na vsˇech statistickyćh jednotkaćh nebylo cˇasoveˇ mozˇne´ nebo by bylo velmi drahe´ (naprˇ. va´zˇenı´ 85 000 kusu˚ rohlı´ku˚), • du˚vody technicke´ – prˇi prova´deˇne´m meˇrˇenı´ se statisticka´ jednotka mu˚zˇe znehodnotit (naprˇ. prˇi degustaci masove´ konzervy se musı´ konzerva otevrˇ´ıt, cˇ´ımzˇ se znehodnotı´), • du˚vody prakticke´ – v situacıćh, kdy je za´kladnı´ soubor zcela nebo z cˇa´sti hypoteticky´, je potom meˇrˇenı´ prakticky nemozˇne´ (naprˇ. sportovnı´ vy´kony nenı´ mozˇne´ nekonecˇneˇ mnohokra´t opakovat). S metodami porˇizovańı´ vy´beˇrovyćh souboru˚ se sezna´mı´me pozdeˇji (viz podkapitola 8.1). Prˇ´ıklad 1.3.5 V prˇ´ıkladu 1.3.3 jsme provedli veˇcne´, prostorove´ a cˇasove´ vymezenı´ popsanyćh statistickyćh jednotek. Definujte ve stejnyćh situacıćh za´kladnı´ a vy´beˇrovy´ soubor.


23

Rˇesˇenı´. a) Za´kladnı´ soubor: hypoteticky´ – mnozˇina vsˇech osobnıćh vozu˚, ktere´ dany´m mı´stem v dane´ dobeˇ projı´zˇdı´ (jejich pocˇet vsˇak konkre´tneˇ stanovit prˇed meˇrˇenı´m nelze, teoreticky budeme za´kladnı´ soubor povazˇovat za nekonecˇny´), vy´beˇrovy´ soubor: naprˇ. 80 na´hodneˇ vybranyćh vozu˚; b) za´kladnı´ soubor: rea´lny´ – mnozˇina vsˇech zˇa´kynˇ 6. trˇ´ıd na vsˇech ZSˇ ve Znojmeˇ v cˇervnu 2012 (jejich pocˇet je 345, za´kladnı´ soubor ma´ tedy rozsah konecˇny´), vy´beˇrovy´ soubor: naprˇ. 25 na´hodneˇ vybranyćh zˇa´kynˇ; c) za´kladnı´ soubor: rea´lny´ – mnozˇina vsˇech kapru˚ v rybnı´ku Bezdrev v listopadu 2010 (jejich pocˇet rea´lneˇ stanovit nelze, z praktickyćh du˚vodu˚ lze vsˇak prˇedpokla´dat, zˇe pocˇet je konecˇny´!), vy´beˇrovy´ soubor: naprˇ. 50 na´hodneˇ vybranyćh kapru˚; d) za´kladnı´ soubor: rea´lny´ i hypoteticky´ – mnozˇina vsˇech rohlı´ku˚ vyrobenyćh v pekarˇstvı´ Jecˇmıńek v ty´dnu od 12. do 17. 3. 2012 (85 000 kusu˚) a mnozˇina dalsˇ´ıch rohlı´ku˚, jejichzˇ vy´roba bude da´le pokracˇovat (za´kladnı´ soubor je tedy nekonecˇny´), vy´beˇrovy´ soubor: naprˇ. 120 na´hodneˇ vybranyćh kusu˚; e) za´kladnı´ soubor: hypoteticky´ – fiktivnı´ mnozˇina vsˇech mozˇnyćh vy´skoku˚ s dohmatem odrazem snozˇmo z rozbeˇhu (jejich pocˇet je mozˇne´ si pouze teoreticky prˇedstavit, rea´lneˇ neexistuje), vy´beˇrovy´ soubor: naprˇ. 10 provedenyćh vy´skoku˚ s dohmatem beˇhem jednoho treńinku. Prˇ´ıklad 1.3.6 Rozhodneˇte, zda konstruovane´ za´kladnı´ soubory jsou s ohledem na sledovanou velicˇinu homogennı´ a rozhodnutı´ zdu˚vodneˇte: a) vsˇechna osobnı´ auta projı´zˇdeˇjıćı´ 110. km da´lnice D1 v u´tery´ odpoledne ve smeˇru na Brno i na Prahu – sledovat budeme rychlost, b) vsˇichni zˇaći 6. trˇ´ıd znojemskyćh za´kladnıćh sˇkol v cˇervnu roku 2012 – sledovat budeme vy´sledky testu z fyziky a vy´kony v beˇhu na 60 m, c) vsˇichni kaprˇi v jihocˇeske´m rybnı´ku Bezdrev v listopadu 2010 a 2011 – sledovat budeme hmotnost kapra, d) vsˇechny 50gramove´ rohlı´ky z produkce pekarˇe Jecˇmıńka v obdobı´ od 12. do 31. 3. 2012 – sledovat budeme hmotnost rohlı´ku. ˇ Resˇenı´. a) Provoz na da´lnici v obou smeˇrech je obecneˇ odlisˇny´ – za tohoto prˇedpokladu je prostorove´ vymezenı´ chybne´, za´kladnı´ soubor je tedy nehomogennı´, b) prˇi sledovańı´ veˇdomostı´ zˇa´ku˚ ZSˇ se u chlapcu˚ a deˇvcˇat obecneˇ neocˇeka´vajı´ ru˚zne´ vy´sledky – za tohoto prˇedpokladu je veˇcne´ vymezenı´ spra´vne´, za´kladnı´ soubor je homogennı´; prˇi sledovańı´ sportovnıćh vy´konu˚ u chlapcu˚ a deˇvcˇat (obecneˇ u muzˇu˚ a zˇen) existujı´ biochemicke´, anatomicke´, fyziologicke´ a jine´ odlisˇnosti zdu˚vodnˇujıćı´ ru˚zne´ sportovnı´ vy´kony – za tohoto prˇedpokladu je veˇcne´ vymezenı´ chybne´, za´kladnı´ soubor je nehomogennı´, c) podmıńky chovu ryb ve dvou ru˚znyćh letech obecneˇ shodne´ by´t nemohou – za tohoto prˇedpokladu je cˇasove´ vymezenı´ chybne´, za´kladnı´ soubor je nehomogennı´; rea´lne´ a smysluplne´ je vsˇak definovat dva ru˚zne´ homogennı´ za´kladnı´ soubory, v kazˇde´m roce jeden, s cı´lem porovnańı´ hmotnosti kapru˚ v obou letech, d) uvazˇujme, zˇe vy´roba probı´ha´ v cele´m obdobı´ za zcela shodnyćh podmıńek – za tohoto prˇedpokladu je cˇasove´ vymezenı´ spra´vne´, za´kladnı´ soubor je homogennı´.

24

1.4 Statisticky´ znak

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Proved’te veˇcne´, prostorove´ a cˇasove´ vymezenı´ na´sledujıćıćh statistickyćh jednotek se sledovanou vlastnostı´ a posud’te, zda je za´kladnı´ soubor homogennı´: a) rychlost aut jedoucıćh denneˇ po 15. hodineˇ v Brneˇ, ulice Provaznı´kova; b) vy´sˇka smrku˚ v oblasti Brˇeznı´k NP Sˇumava v roce 2010; c) napeˇtı´ v elektricke´ sı´ti v domaćnostech na sı´dlisˇti Jizˇnı´ Svahy ve Zlıńeˇ v za´rˇ´ı 2011; d) vy´kon v beˇhu na 12 minut absolventu˚ Strˇednı´ policejnı´ sˇkoly v Praze v roce 2012. 2. Pro statisticke´ zjisˇt’ovańı´ prova´deˇne´ prostrˇednictvı´m formula´rˇe urcˇete, s jaky´mi statisticky´mi jednotkami toto zjisˇt’ovańı´ pracuje a vymezte je veˇcneˇ, prostoroveˇ a cˇasoveˇ: a) v prˇ´ıpadeˇ danˇove´ho prˇiznańı´, b) v prˇ´ıpadeˇ povinne´ho rucˇenı´ motorove´ho vozidla. 3. Rˇesˇte na´sledujıćı´ u´koly: a) Posud’te, zda je z pohledu statistiky prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu za´kladnı´ soubor nebo vy´beˇrovy´ soubor.

b) Jak musı´ by´t vymezene´ statisticke´ jednotky v za´kladnı´m souboru? Rˇesˇenı´. 1. a) Vsˇechna auta jedoucı´ dany´m mı´stem, Provaznı´kova ulice Brno, kazˇdy´ den po 15. hodineˇ, nehomogennı´ (protozˇe hustota provozu se obecneˇ kazˇdy´ den lisˇ´ı); b) vsˇechny smrky v dane´ oblasti, Brˇeznı´k, 2010, homogennı´; c) vsˇechna hypoteticka´ meˇrˇenı´ v elektricke´ sı´ti, domaćnosti v domech na sı´dlisˇti, za´rˇ´ı 2011, homogennı´ (ale za prˇedpokladu shodne´ technologie meˇrˇenı´); d) vsˇechny hypoteticke´ vy´sledky beˇhu na 12 minut absolventu˚ SPSˇ Praha, 2012, homogennı´. ´ Olo2. a) Pla´tce daneˇ, vypocˇ´ıtana´ cˇa´stka daneˇ, FU mouc, duben 2012; b) majitel motorove´ho vozidla, vy´sˇe pojistky, CˇSOB pojisˇt’ovna, 2012. 3. a) Za´kladnı´ soubor; b) veˇcneˇ, prostoroveˇ a cˇasoveˇ shodneˇ.

1.4 Statisticky´ znak Uzˇ bylo rˇecˇeno, zˇe statistiku budeme vyuzˇ´ıvat prˇi rˇesˇenı´ konkre´tnıćh a praktickyćh proble´mu˚ z rea´lne´ho zˇivota. Z formulace proble´mu na´m musı´ by´t jasne´, jake´ vy´robky, osoby, zvı´rˇata, rostliny, uda´losti, organizace jsou prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu, ale take´ o jake´ jejich vlastnosti se budeme zajı´mat. V dalsˇ´ı cˇa´sti se tedy zameˇrˇ´ıme pra´veˇ na tyto vlastnosti, tzv. statisticke´ znaky, a to jak z pohledu jejich vyja´drˇenı´, tzv. hodnot a obmeˇn, tak take´ z pohledu statistickyćh operacı´ s nimi. Definice 1.4.1 Vlastnosti, ktere´ u statistickyćh jednotek budeme v ra´mci statisticke´ho sˇetrˇenı´ sledovat, nazy´va´me statisticke´ znaky neboli statisticke´ promeˇnne´. Ru˚zne´ hodnoty, kteryćh mu˚zˇe statisticky´ znak naby´vat, nazy´va´me obmeˇny neboli varianty. Podle zpu˚sobu vyja´drˇenı´ hodnot deˇlı´me statisticke´ znaky na: • cˇ´ıselne´ – meˇrˇitelne´, • slovnı´ – kategoria´lnı´. Podle typu vztahu˚ mezi hodnotami a obmeˇnami budeme rozlisˇovat statisticke´ znaky: • metricke´ – meˇrˇitelne´, • ordina´lnı´ – porˇadove´, • nomina´lnı´ – jmenovite´. V ra´mci statisticke´ho sˇetrˇenı´ (meˇrˇenı´, pozorovańı´) vyja´drˇ´ıme mı´ru sledovane´ vlastnosti u kazˇde´ jednotky statisticke´ho souboru prostrˇednictvı´m tzv. hodnoty statisticke´ho znaku.


25

Aktua´lnı´ – nameˇrˇene´ hodnoty promeˇnne´ jsou data. Pocˇet nameˇrˇenyćh hodnot odpovı´da´ rozsahu vy´beˇrove´ho souboru. Hodnotu znaku ve smyslu vyja´drˇenı´ ru˚zne´ho stupneˇ dane´ vlastnosti oznacˇ´ıme jako obmeˇnu – variantu statisticke´ho znaku. Pocˇet obmeˇn je zpravidla mensˇ´ı, nejvy´sˇe roven rozsahu souboru. Naprˇ. k ota´zce zavedenı´ sˇkolne´ho na VSˇ se vyja´drˇilo 73 studentu˚ 1. rocˇnı´ku˚ ze 2 fakult jedne´ VSˇ: souhlası´m – 25 studentu˚, nesouhlası´m – 34 studentu˚ a je mi to jedno – 14 studentu˚; vy´sledky pru˚zkumu jsou vyja´drˇene´ 3 obmeˇnami (souhlası´m, nesouhlası´m, je mi to jedno), celkovy´ pocˇet nameˇrˇenyćh (zjisˇteˇnyćh) hodnot je 73. Statisticke´ znaky lze klasifikovat podle neˇkolika hledisek. Prˇedevsˇ´ım se nabı´zı´ hledisko vyja´drˇenı´ hodnot znaku cˇ´ıselneˇ nebo slovneˇ. Lze-li hodnoty znaku vyja´drˇit cˇ´ıselneˇ, rozumı´ se tedy numericky, jde o znak cˇ´ıselny´ (naprˇ. pocˇet zˇa´ku˚ ve trˇ´ıdeˇ, spotrˇeba vody v domaćnosti za rok). Pokud se hodnoty znaku vyjadrˇujı´ slovneˇ, hovorˇ´ıme o znaku slovnı´m (naprˇ. barva ocˇ´ı cˇloveˇka, druh vlastnictvı´ bytu). Slovnı´ promeˇnne´ se cˇasto oznacˇujı´ jako kategoria´lnı´. Takove´ cˇleneˇnı´ statistickyćh znaku˚ nenı´ samoućˇelne´, protozˇe pro cˇ´ıselne´ a slovnı´ znaky budou konkre´tnı´ statisticke´ postupy a metody vesmeˇs rozdı´lne´. Prˇi zpracovańı´ dat hraje roli take´ to, zda data prˇedstavujı´ hodnoty znaku nespojite´ho (diskre´tnı´ho) nebo spojite´ho. Nespojite´ znaky naby´vajı´ pouze konkre´tnı´ cˇ´ıselne´ nebo slovnı´ hodnoty (naprˇ. pocˇet dvojchyb tenisty v za´pase, pocˇet vadnyćh vy´robku˚ v se´rii, sta´tnı´ prˇ´ıslusˇnost studenta VSˇ). Spojite´ statisticke´ znaky mohou naby´vat libovolnyćh hodnot v ra´mci urcˇite´ho intervalu (naprˇ. doba cˇekańı´ na obsluhu v restauraci, obsah tuku v mle´ku, sladkost limona´dy). Vıće se o vztahu mezi spojity´mi a nespojity´mi znaky dozvı´me pozdeˇji. Na tuto za´kladnı´ klasifikaci statistickyćh znaku˚ (promeˇnnyćh) u´zce navazuje trˇ´ıdeˇnı´ podle typu vztahu˚ mezi hodnotami a obmeˇnami znaku˚. Podle tohoto krite´ria deˇlı´me promeˇnne´ na metricke´, ordina´lnı´ a nomina´lnı´. Metricke´ neboli meˇrˇitelne´ promeˇnne´ jsou takove´ promeˇnne´, ktere´ naby´vajı´ vy´hradneˇ cˇ´ıselnyćh hodnot a vyjadrˇujı´ tedy velikost meˇrˇene´ vlastnosti. Jejich dalsˇ´ı deˇlenı´ se prova´dı´ podle oboru jejich hodnot. Pokud jsou tyto hodnoty vyja´drˇene´ pouze kladny´mi cˇ´ısly (naprˇ. rychlost auta na da´lnici, vy´kon ve skoku do vy´sˇky), promeˇnnou oznacˇ´ıme jako kardina´lnı´. V cˇeske´ literaturˇe se take´ pouzˇ´ıva´ pojem pomeˇrova´ promeˇnna´. Jejı´ kazˇde´ dveˇ hodnoty lze porovna´vat jak rozdı´lem, tak i podı´lem. Je tedy mozˇne´ stanovit, o kolik jednotek je jedna hodnota veˇtsˇ´ı (event. mensˇ´ı) nezˇ druha´, a take´ kolikra´t je jedna hodnota veˇtsˇ´ı (event. mensˇ´ı) nezˇ druha´. Druhou skupinu metrickyćh promeˇnnyćh tvorˇ´ı takove´ promeˇnne´, ktere´ naby´vajı´ kladne´ i nekladne´ cˇ´ıselne´ hodnoty (naprˇ. teplota vzduchu ve ◦ C, pocˇet deˇtı´ v rodineˇ). Tyto promeˇnne´ jsou nekardina´lnı´, zpravidla se oznacˇujı´ jako intervalove´. U teˇchto promeˇnnyćh lze kazˇde´ dveˇ hodnoty porovna´vat jen rozdı´lem, lze tedy stanovit, o kolik jednotek je jedna hodnota veˇtsˇ´ı (event. mensˇ´ı) nezˇ druha´. Porovnańı´ podı´lem nenı´ mozˇne´ zpravidla proto, zˇe mnozˇina obmeˇn obsahuje nulu. Ve statistice vsˇak rozdı´l mezi pomeˇrovou a intervalovou promeˇnnou nehraje velkou roli. Je totizˇ zrˇejme´, zˇe kazˇdou nekardina´lnı´ metrickou promeˇnnou lze vhodnou (a jednoduchou) transformacı´ prˇeve´st na promeˇnnou kardina´lnı´. To se prakticky odra´zˇ´ı v tom, zˇe pro obeˇ kategorie metrickyćh promeˇnnyćh se vesmeˇs pouzˇ´ıvajı´ shodne´ metody statistickyćh analy´z. Rozdı´l mezi nimi se ty´ka´ azˇ prakticke´ interpretace zı´skanyćh vy´sledku˚. Prˇi zpracovańı´ metrickyćh dat povazˇujeme veˇtsˇinou odpovı´dajıćı´ promeˇnne´ za spojite´, jako kdyby mohly naby´vat ktere´koliv hodnoty z cˇ´ıselne´ho intervalu, i kdyzˇ prˇi prakticke´m meˇrˇenı´ tomu tak nenı´. Dokonce i u velicˇin, ktere´ principia´lneˇ spojite´ jsou, jako rozmeˇr nebo cˇas, musı´me prˇi prakticke´m meˇrˇenı´ volit konecˇnou jednotku rozlisˇenı´, takzˇe i tyto promeˇnne´

26


se chovajı´ navenek jako diskre´tnı´ (nespojite´). Prˇesto prˇi statisticke´m zpracovańı´ budeme veˇtsˇinou uzˇ´ıvat pro metricke´ promeˇnne´ postupy matematicky odvozene´ pro velicˇiny spojite´. Prˇ´ıklad 1.4.2 Pomeˇrove´ znaky jsou naprˇ. cena benzinu Natural 95, vy´sˇka dospeˇle´ho muzˇe, obvod kmene javoru, de´lka kapra, hmotnost jablka dane´ odru˚dy, pocˇet zameˇstnancu˚ podniku, pocˇet cˇlenu˚ domaćnosti atd. (Vsˇimneˇte si, zˇe u vsˇech uvedenyćh znaku˚ prˇedstavuje obor hodnot mnozˇinu pouze kladnyćh cˇ´ısel!) Prˇ´ıklad 1.4.3 Intervalove´ znaky jsou naprˇ. pocˇet chyb v dikta´tu, chyba prˇi zaokrouhlenı´ ceny na´kupu (na cele´ Kcˇ), pocˇet prodanyćh televizoru˚ za den, vy´sˇe kapesne´ho zˇa´ka 4. trˇ´ıdy ZSˇ, rok narozenı´ apod. (U vsˇech uvedenyćh znaku˚ obsahuje mnozˇina hodnot znaku nulu!) Ordina´lnı´ neboli porˇadove´ promeˇnne´ jsou slovnı´ (kategoria´lnı´) promeˇnne´, u jejichzˇ obmeˇn ma´ smysl jejich usporˇa´dańı´, lze je tedy jednoznacˇneˇ serˇadit od varianty vyjadrˇujıćı´ nejnizˇsˇ´ı u´rovenˇ sledovane´ vlastnosti azˇ do varianty s u´rovnı´ nejvysˇsˇ´ı, nebo naopak (naprˇ. dosazˇene´ vzdeˇlańı´: za´kladnı´, strˇednı´, vysoke´). Toho se cˇasto vyuzˇ´ıva´ k tomu, zˇe slovneˇ vyja´drˇeny´m obmeˇna´m ordina´lnı´ promeˇnne´ se podle jejich porˇadı´ prˇirˇazujı´ porˇadova´ nebo jina´ cˇ´ısla (stupneˇ, body, procenta apod.), ktera´ vyjadrˇujı´ porˇadı´ slovnıćh variant (naprˇ. sˇkolnı´ klasifikace: vy´borneˇ – 1, chvalitebneˇ – 2, dobrˇe – 3, dostatecˇneˇ – 4 a nedostatecˇneˇ – 5). Rozdı´l dvou hodnot ordina´lnı´ promeˇnne´ potom vyjadrˇuje rozdı´l v jejich porˇadı´! Proto je du˚lezˇite´ pracovat s porˇadovy´mi cˇ´ısly jako s urcˇitou formou kvantifikace teˇchto obmeˇn a zohlednˇovat skutecˇnost, zˇe nelze nikdy stejnou hodnotu u dvou ru˚znyćh statistickyćh jednotek povazˇovat za zcela totozˇnou (naprˇ. dva studenti byli u zkousˇky hodnoceni stupneˇm dobrˇe – z toho vsˇak nelze usoudit, zˇe oba studenti majı´ zcela shodne´ veˇdomosti). To je za´sadnı´ rozdı´l mezi porˇadovy´m a metricky´m znakem, ktery´ vyvola´va´ potrˇebu poneˇkud odlisˇnyćh metod zpracovańı´. Prˇ´ıklad 1.4.4 Ordina´lnı´ znaky s mozˇny´m oborem hodnot: – rychlost chemicke´ reakce (+, ++, +++), – odpoveˇd’ na konkre´tnı´ ota´zku v sociologicke´m pru˚zkumu (naprosto souhlası´m, spı´sˇe souhlası´m, ma´m neutra´lnı´ postoj, spı´sˇe nesouhlası´m, naprosto nesouhlası´m), – kategorie vojenskyćh hodnostı´ v ACˇR (muzˇstvo, poddu˚stojnıći, rotmistrˇi, praporcˇ´ıci, nizˇsˇ´ı du˚stojnıći, vysˇsˇ´ı du˚stojnıći, genera´love´), – porˇadı´ v souteˇzˇi vyćviku psıćh plemen (1. porˇadı´, 2. porˇadı´, pracovnı´, nehodnoceny´), – kategorie kurˇa´ku˚ (pocˇet vykourˇenyćh cigaret za den: do 5, do 10, do 20, nad 20). Nomina´lnı´ neboli jmenovite´ promeˇnne´ jsou slovnı´ (kategoria´lnı´) promeˇnne´, ktere´ nelze vza´jemneˇ porovna´vat, tedy u jejichzˇ obmeˇn nelze stanovit zˇa´dne´ porˇadı´. Lze pouze stanovit shodu nebo neshodu v hodnoteˇ znaku u kazˇdyćh dvou statistickyćh jednotek (naprˇ. druhy masa: veprˇove´, hoveˇzı´, telecı´, kurˇecı´, jine´). Neˇkdy se hodnoty nomina´lnı´ho znaku mohou vyja´drˇit take´ cˇ´ısly, nemajı´ vsˇak zˇa´dny´ kvantitativnı´ vy´znam (naprˇ. cˇ´ısla tramvajı´: 1, 6, 7 a 12). Data odpovı´dajıćı´ hodnota´m nomina´lnı´ho znaku vzˇdy vyzˇadujı´ zpracovańı´ specificky´mi metodami. Prˇ´ıklad 1.4.5 Nomina´lnı´ znaky s mozˇny´m oborem hodnot: – dominance ruky (prava´k, leva´k), – barva vy´robku (cˇerveny´, modry´, jiny´),

27


statisticke´ znaky

cˇ´ıselne´ metricke´

intervalove´

slovnı´ kategoria´lnı´

pomeˇrove´ kardina´lnı´

porˇadove´ ordina´lnı´

jmenovite´ nomina´lnı´

alternativnı´

mnozˇne´

Obr. 1.1 Klasifikace statistickyćh znaku˚

– rodinny´ stav muzˇe (svobodny´, zˇenaty´, rozvedeny´, vdovec), – cizı´ sta´tnı´ obcˇanstvı´ (Slovensko, Polsko, Rakousko, Neˇmecko, jine´), – kategorie prˇ´ıvlastkovyćh vıń (kabinetnı´, pozdnı´ sbeˇr, vy´beˇr z hroznu˚, vy´beˇr z bobulı´, vy´beˇr z cibe´b, ledove´ a sla´move´). Trˇetı´m krite´riem trˇ´ıdeˇnı´ promeˇnnyćh je hledisko pocˇtu obmeˇn. Smysluplne´ je to prakticky jen pro slovnı´ promeˇnnou: pokud naby´va´ pouze dvou obmeˇn, mluvı´me o alternativnı´m znaku (naprˇ. pohlavı´: muzˇ, zˇena; odpoveˇd’na ota´zku v referendu: ano, ne), je-li pocˇet obmeˇn veˇtsˇ´ı nezˇ dveˇ, jedna´ se o znak mnozˇny´ (naprˇ. fakulty UO v Brneˇ: FEM, FVT a FVZ; dosazˇene´ vzdeˇlańı´: ZSˇ, SSˇ, VSˇ-Bc, VSˇ-Mgr, VSˇ-Ph.D.). Z cˇisteˇ praktickyćh du˚vodu˚, bez matematicke´ho pozadı´, se alternativnı´ promeˇnna´ neˇkdy vyjadrˇuje jako numericka´ promeˇnna´ s obmeˇnami 0 a 1. Jedna jejı´ obmeˇna se oznacˇ´ı cˇ´ıslicı´ 1 (zpravidla ta, ktera´ na´s v dane´ souvislosti vıće zajı´ma´) a druha´ potom cˇ´ıslicı´ 0. Hovorˇ´ı se o nulajednicˇkove´ promeˇnne´. Pro tyto promeˇnne´ je vyvinuta´ rˇada metod, ktere´ vyuzˇ´ıvajı´ pra´veˇ jiste´ho zjednodusˇenı´ prostrˇednictvı´m dvojice obmeˇn. Proto se take´ mnozˇne´ promeˇnne´ neˇkdy prˇeva´deˇjı´ na alternativnı´ promeˇnne´, a to tak, zˇe se vıće obmeˇn spojı´ do jedne´ varianty, ktera´ na´s s ohledem na ućˇel zkoumane´ho proble´mu vıće zajı´ma´, a zby´vajıćı´ obmeˇny se spojı´ do druhe´ obmeˇny (naprˇ. dosazˇene´ vzdeˇlańı´: nizˇsˇ´ı = ZSˇ + SSˇ a vysˇsˇ´ı = Bc + Mgr + Ph.D.). Na alternativnı´ promeˇnnou lze, pokud je to s ohledem na zkoumany´ proble´m uzˇitecˇne´, prˇeve´st i jakoukoli metrickou promeˇnnou. Prˇi takove´ „transformaci“ meˇrˇitelne´ promeˇnne´ na promeˇnnou slovnı´ musı´me vsˇak pocˇ´ıtat s urcˇitou ztra´tou informace obsazˇene´ v pu˚vodnıćh datech (naprˇ. hruby´ meˇsıćˇnı´ prˇ´ıjem le´karˇu˚: vsˇechny hodnoty prˇevedeme do dvou kategoriı´, prˇ´ıjem pod a nad cˇa´stkou 35 tis. Kcˇ). Klasifikaci statistickyćh znaku˚ je mozˇne´ zjednodusˇeneˇ vyja´drˇit sche´matem – viz obra´zek 1.1. Statisticky´ znak naby´va´ vzˇdy slovnıćh nebo cˇ´ıselnyćh hodnot a je zjisˇt’ovań u kazˇde´ statisticke´ jednotky statisticke´ho souboru. Jestlizˇe ve statisticke´m souboru pracujeme jen s jednı´m znakem (s jednou promeˇnnou), rˇ´ıka´me, zˇe se jedna´ o jednorozmeˇrny´ soubor. Zkouma´me-li soucˇasneˇ dva nebo vıće znaku˚, jde o dvourozmeˇrny´, resp. obecneˇ vıćerozmeˇrny´ soubor (naprˇ.

28


prˇi sledovańı´ vy´voje 10letyćh deˇtı´ se zjisˇt’uje vy´sˇka a hmotnost postavy, prˇi vy´robeˇ dutinovyćh cihel se sleduje na´sledujıćıćh peˇt vy´robnıćh parametru˚: typ, skutecˇna´ de´lka, objemova´ hmotnost, vy´skyt „kveˇtu˚“ a pevnost v tlaku za sucha).

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Urcˇete typ na´sledujıćıćh cˇ´ıselnyćh znaku˚: a) tepova´ frekvence plavce po za´vodeˇ, b) pocˇet praće neschopnyćh v podniku za meˇsıć, c) pru˚tok vody v dane´m mı´steˇ rˇeky a v dane´m cˇase, d) vzda´lenost poslednı´ho golfove´ho drivu od jamky, e) zisk podniku za ty´den, 2. Urcˇete typ na´sledujıćıćh slovnıćh znaku˚ a uved’te k nim mozˇny´ obor hodnot: a) intenzita bolesti, b) na´rodnost uva´deˇna´ v zˇa´dosti o praći, c) stupenˇ povodnˇove´ho ohrozˇenı´, d) plavecka´ dovednost, e) velikost odeˇvu, f) dominance ruky. 3. Urcˇete typ na´sledujıćıćh statistickyćh znaku˚: a) provozovany´ sport studentu˚ na VSˇ, b) celkovy´ pocˇet vyhranyćh gemu˚ v tenisove´m za´pase, c) senzoricke´ hodnocenı´ sala´mu Vysocˇina, d) tvrdost vody (mmol/l > 0), e) registracˇnı´ znacˇka auta, f) obvod hrudnı´ku dospeˇle´ho muzˇe, g) pocˇet obdrzˇenyćh go´lu˚ v za´pase lednı´ho hokeje.

4. Rozhodneˇte, ktera´ tvrzenı´ jsou pravdiva´: a) Statisticky´ znak, jehozˇ obmeˇny nelze usporˇa´dat, se nazy´va´ nomina´lnı´ znak. b) Metricke´ znaky rozlisˇujeme pomeˇrove´ a intervalove´. c) Alternativnı´ znak naby´va´ jednu nebo dveˇ obmeˇny. 5. Definujte konkre´tnı´ statisticke´ znaky z oblasti vasˇ´ı profesnı´, resp. za´jmove´ cˇinnosti a stanovte jejich typ a odpovı´dajıćı´ obor hodnot: a) slovnı´ znaky, b) cˇ´ıselne´ znaky. Rˇesˇenı´. 1. a) kardina´lnı´; b) intervalovy´; c) kardina´lnı´; d) kardina´lnı´; e) intervalovy´; 2. a) ordina´lnı´ (mı´rna´, vy´razneˇjsˇ´ı, silna´, velmi silna´ zvladatelna´, velmi silna´ nezvladatelna´); b) nomina´lnı´ (cˇeska´, slovenska´, polska´, neˇmecka´, mad’arska´, jina´); c) ordina´lnı´ (1. stupenˇ – bdeˇlost, 2. stupenˇ – pohotovost, 3. stupenˇ – ohrozˇenı´); d) nomina´lnı´ (plavec, neplavec); e) ordina´lnı´ (S, M, L, XL, XXL, XXXL); f) nomina´lnı´ (prava´k, leva´k). 3. a) nomina´lnı´; b) intervalovy´; c) ordina´lnı´; d) kardina´lnı´; e) nomina´lnı´; f) kardina´lnı´; g) intervalovy´. 4. a) pravda; b) pravda; c) nepravda.

Kapitola 2

Popisna´ statistika

Prakticka´ statistika zacˇ´ına´ v okamzˇiku, kdy si ujasnı´me, jaky´ proble´m chceme rˇesˇit, jaky´ za´kladnı´ soubor je prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu, jake´ velicˇineˇ budeme veˇnovat pozornost, jak provedeme na´hodny´ vy´beˇr a co udeˇla´me s vy´sledny´m meˇrˇenı´m nebo zjisˇt’ovańı´m. V te´to kapitole se budeme pra´veˇ veˇnovat ota´zce, jak nameˇrˇena´ nebo zjisˇteˇna´ data zpracovat a jak z nich vyteˇzˇit informace, ktere´ na´s zajı´majı´. Vyćhodiskem je sledovany´ statisticky´ znak. Pokud ma´me k dispozici vy´sledky provedene´ho meˇrˇenı´ nebo zjisˇt’ovańı´ v cˇ´ıselne´ cˇi slovnı´ podobeˇ, budeme hovorˇit o statistickyćh datech. V pu˚vodnı´ neusporˇa´dane´ podobeˇ z nich ale zˇa´dne´ informace o sledovane´ velicˇineˇ nenı´ mozˇne´ prakticky zı´skat. Data musı´me vhodny´m zpu˚sobem setrˇ´ıdit, u cˇ´ıselnyćh dat zpravidla usporˇa´dat podle velikosti, nejza´kladneˇjsˇ´ı informace shrnout do vhodne´ tabulky a prˇ´ıpadneˇ graficky zna´zornit. Kromeˇ toho veˇnujeme pozornost tzv. cˇ´ıselny´m charakteristika´m, pomocı´ nichzˇ je mozˇne´ rˇadu vlastnostı´ datovyćh souboru˚ popisovat. Na prˇ´ıkladech si uka´zˇeme, jak tyto charakteristiky pocˇ´ıtat (rucˇneˇ cˇi pomocı´ pocˇ´ıtacˇe) a jak je vhodneˇ interpretovat. Pu˚jde tedy o to, zı´skat z dat co mozˇna´ nejvıće uzˇitecˇnyćh informacı´ o sledovane´m statisticke´m znaku.

2.1 Vyjadrˇovacı´ prostrˇedky statistiky Jak uzˇ bylo uvedeno, pokud ma´me data statisticky zpracovat, musı´me si nejprve uveˇdomit, o jaky´ typ dat se jedna´, a podle toho vybrat vhodne´ vyjadrˇovacı´ prostrˇedky. Data lze obvykle setrˇ´ıdit, prˇ´ıpadneˇ (pokud je to mozˇne´) usporˇa´dat podle velikosti. Prˇi statistickyćh zkoumańıćh se da´le zameˇrˇujeme na charakterizovańı´ a popis sledovane´ho statisticke´ho znaku prostrˇednictvı´m tzv. cˇetnostı´. Absolutnı´ cˇetnostı´ budeme rozumeˇt informaci o tom, kolikra´t byla kazˇda´ jedna obmeˇna obsazˇena v souboru, resp. kolik hodnot se nacha´zı´ v jiste´m prˇedem definovane´m intervalu hodnot. Relativnı´ cˇetnost potom urcˇuje podı´l konkre´tnı´ obmeˇny, resp. podı´l hodnot z jednoho intervalu na celkove´m pocˇtu nameˇrˇenyćh nebo zjisˇteˇnyćh hodnot. V mnoha situacıćh budou uzˇitecˇne´ take´ informace o kumulativnıćh cˇetnostech, ty prˇedstavujı´ „pru˚beˇzˇne´“ soucˇty absolutnıćh cˇetnostı´, podobneˇ relativnı´ kumulativnı´ cˇetnosti prˇedstavujı´ procentovy´ podı´l kumulativnıćh cˇetnostı´ z celku. Informace o teˇchto cˇetnostech pote´ zpracova´va´me do ru˚znyćh tabulek a vyjadrˇujeme pomocı´ ru˚znyćh grafu˚. K dispozici jsou ru˚zne´ typy tabulek a cela´ sˇka´la grafu˚. Kazˇdy´ se vsˇak hodı´ ke zna´zorneˇnı´ jine´ho typu dat. Vhodne´ graficke´ zobrazenı´ dat je pro statisticke´ zpracovańı´

29

30

2.1 Vyjadrˇovacı´ prostrˇedky statistiky

velice du˚lezˇite´, poda´va´ rychlou a na´zornou informaci o rozdeˇlenı´ dat, o prˇ´ıtomnosti odlehlyćh pozorovańı´ a o cele´ rˇadeˇ dalsˇ´ıch vlastnostı´ dat.V na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech si uka´zˇeme, jak lze tabulkoveˇ i graficky vyja´drˇit nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı informace o kategoria´lnı´ promeˇnne´. Prˇ´ıklad 2.1.1 Redakce studentske´ho cˇasopisu se rozhodla udeˇlat pru˚zkum ty´kajıćı´ se plańovanyćh zmeˇn v rˇa´du pro ubytovańı´ na kolejıćh. Na´hodneˇ bylo osloveno 280 studentu˚. Kazˇdy´ student vyja´drˇil svu˚j na´zor pomocı´ trˇ´ı nabı´zenyćh odpoveˇdı´: souhlası´m, nesouhlası´m, nevı´m. Byly zı´skańy tyto vy´sledky: 152 souhlası´, 51 nesouhlası´, 77 nevı´. Urcˇete absolutnı´ a relativnı´ cˇetnosti jednotlivyćh odpoveˇdı´ a vyja´drˇete je jako rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ tabulkou a pomocı´ kolaćˇove´ho grafu. Rˇesˇenı´. Jedna´ se o kategoria´lnı´ data, na´zor studentu˚ lze povazˇovat za nomina´lnı´ mnozˇny´ znak. Cˇetnosti odpovı´dajıćı´ jeho trˇem obmeˇna´m lze usporˇa´dat do tabulky. Absolutnı´ cˇetnosti ni vyjadrˇujı´, kolik studentu˚ odpoveˇdeˇlo na polozˇenou ota´zku jednou z nabı´dnutyćh variant (souhlası´m – nesouhlası´m – nevı´m). Relativnı´ cˇetnosti pi urcˇujı´ podı´l dane´ho typu odpoveˇdi k celkove´mu pocˇtu odpoveˇdı´. Naprˇ´ıklad pro odpoveˇd’ „souhlası´m“ zı´ska´me relativnı´ cˇetnost . jako podı´l 152/280 = 0,543, tedy z celkove´ho pocˇtu odpoveˇdı´ 54,3 % studentu˚ souhlası´ s plańovany´mi zmeˇnami. Odpoveˇdi

Absolutnı´ cˇetnost ni Relativnı´ cˇetnost pi 152 . Souhlası´m 152 280 = 0,543 51 . Nesouhlası´m 51 280 = 0,182 Nevı´m

77

Celkem

280

77 280

= 0,275 1

Tab. 2.1 Vy´sledky pru˚zkumu

Obr. 2.1 Kolaćˇovy´ graf

Prˇ´ıklad 2.1.2 Studenti poslednı´ho rocˇnı´ku byli pozˇa´dańi, aby vybrali jednu ze svyćh kazˇdodennıćh cˇinnostı´, kterou by ra´di omezili. Byly zı´skańy tyto odpoveˇdi: 58 studentu˚ by omezilo sledovańı´ televize, 21 cˇtenı´ dennı´ho tisku, 14 telefonovańı´, 7 rˇ´ızenı´ auta, 3 nakupovańı´ a 12 studentu˚ uvedlo jinou cˇinnost. Urcˇete absolutnı´ a relativnı´ cˇetnosti jednotlivyćh odpoveˇdı´ a vyja´drˇete je jako rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ tabulkou a pomocı´ sloupcove´ho grafu.

31

2.1 Vyjadrˇovacı´ prostrˇedky statistiky

Rˇesˇenı´. Absolutnı´ a relativnı´ cˇetnosti odpovı´dajıćı´ 6 obmeˇna´m dane´ho nomina´lnı´ho znaku lze usporˇa´dat do tabulky – viz tabulka 2.2. Cˇinnost Absolutnı´ cˇetnost Relativnı´ cˇetnost Sledovańı´ televize 58 50,44 % ˇ Ctenı´ dennı´ho tisku 21 18,26 % Telefonovańı´ 14 12,17 % Rˇ´ızenı´ auta 7 6,09 % Nakupovańı´ 3 2,61 % Jine´ 12 10,43 % Tab. 2.2 Tabulkove´ vyja´drˇenı´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´

Toto rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ da´le vyja´drˇ´ıme pomocı´ sloupcove´ho grafu. Sloupce v grafu zna´zornˇujı´ absolutnı´ cˇetnosti jednotlivyćh cˇinnostı´ – viz obr. 2.2; obdobny´ graf dostaneme prˇi vyuzˇitı´ relativnıćh cˇetnostı´.

Obr. 2.2 Sloupcovy´ graf

Pozna´mka 2.1.3 Vytvorˇenı´ sloupcove´ho grafu se v programu MS Excel provede tak, zˇe se oznacˇ´ı datove´ pole jako oblast (1. sloupec musı´ obsahovat obmeˇny, 2. sloupec cˇetnosti) a potom se pouzˇije posloupnost prˇ´ıkazu˚ Vlozˇenı´ – Grafy – Sloupcovy´ – Dvojrozmeˇrny´ sloupcovy´. Kolaćˇovy´ graf se vytvorˇ´ı zcela analogicky. Na´sledneˇ je mozˇne´ prove´st potrˇebne´ u´pravy grafu – vlozˇit na´zev grafu, pojmenovat osy, upravit sˇ´ırˇku a barvu sloupcu˚ apod.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Podle u´daju˚ Cˇeske´ho statisticke´ho u´rˇadu bylo v roce 2006 v Cˇeske´ republice vyprodukovańo celkem 29 435 tisıć tun odpadu. Tabulka uva´dı´ procentua´lnı´ zastoupenı´ jednotlivyćh druhu˚ odpadu.

Druh odpadu

Procenta

Odpad ze zemeˇdeˇlstvı´ a lesnictvı´ 4,43 % Odpad z dolovańı´ a teˇzˇby 1,56 % Odpad z u´pravy a rozvodu vody 22,34 % Pru˚myslovy´ odpad 1,40 % pokracˇovańı´ na dalsˇ´ı strańce

32

2.2 Za´kladnı´ zpracovańı´ cˇı´selnyćh dat

0 B A 0

pokracˇovańı´ Druh odpadu

Procenta

Stavebnı´ a demolicˇnı´ odpad Odpad z energetiky Odpad z cˇisˇteˇnı´ meˇsta Komuna´lnı´ odpad Jiny´ odpad

29,50 % 6,95 % 4,65 % 13,52 % ?%

Urcˇete, kolik procent prˇipada´ na jiny´ odpad. Druhy odpadu˚ usporˇa´dejte podle jejich podı´lu na celkove´m objemu odpadu. Na za´kladeˇ u´daju˚ v tabulce sestrojte kolaćˇovy´ a sloupcovy´ graf. 2. Na´sledujıćı´ tabulka zachycuje, jaky´m zpu˚sobem se pracovnıći jedne´ firmy dopravujı´ do praće. Zpu˚sob dopravy

Abs. cˇetnost

Autem sa´m Autem spolecˇneˇ s neˇky´m jiny´m Autobusem Vlakem Jinak

24 15 10 5 4

Vypocˇteˇte relativnı´ cˇetnosti jednotlivyćh zpu˚sobu˚ dopravy a zkonstruujte kolaćˇovy´ graf. 3. Na transfu´znı´ stanici prˇisˇlo beˇhem dne celkem 40 dobrovolnyćh da´rcu˚ krve s teˇmito krevnı´mi skupinami:

0 0 A 0

A B AB A

B 0 A A

A 0 B A

0 A A 0

A 0 A A

A 0 0 0

A A 0 0

0 A A AB

Sestrojte tabulku rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ jednotlivyćh krevnıćh skupin, urcˇete relativnı´ cˇetnosti a zna´zorneˇte je pomocı´ kolaćˇove´ho grafu. 4. Na fakulteˇ byl provedeny´ pru˚zkum za´jmu o jisty´ konkre´tnı´ prˇedmeˇt s tı´mto vy´sledkem: Za´jem o prˇedmeˇt Velice meˇ zajı´ma´ Spı´sˇe meˇ zajı´ma´ Ma´m k neˇmu neutra´lnı´ postoj Spı´sˇe meˇ nezajı´ma´ Vu˚bec meˇ nezajı´ma´

Abs. cˇetnost 17 20 14 10 5

Vypocˇteˇte relativnı´ cˇetnosti jednotlivyćh stupnˇu˚ za´jmu a zkonstruujte sloupcovy´ graf.

Rˇesˇenı´. 1. 15,65; 2. 0,41; 0,26; 0,17; 0,09; 0,07; 3. 0: 16(0,40); A: 18(0,45); B: 4(0,10); AB: 2(0,05); 4. 0,26; 0,30; 0,21; 0,15; 0,08.

2.2 Za´kladnı´ zpracovańı´ cˇı´selnyćh dat Vedle kategoria´lnıćh dat budeme velmi cˇasto pracovat s daty cˇ´ıselny´mi. V te´to podkapitole si uka´zˇeme, jak tato cˇ´ıselna´ data nejefektivneˇji zpracova´vat. Rozhodovat se prˇitom budeme podle toho, zda sledovany´ statisticky´ znak je spojity´ nebo nespojity´ a jak velky´ je zpracova´vany´ statisticky´ soubor. S ohledem na tyto skutecˇnosti budeme data zpracova´vat jako neroztrˇ´ıdeˇna´ data, nebo provedeme bodove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, resp. intervalove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´. Rozsah souboru (pocˇet dat v souboru) budeme oznacˇovat n. Nameˇrˇene´ nebo zjisˇteˇne´ hodnoty sledovane´ho statisticke´ho znaku budeme obecneˇ znacˇit x. Neroztrˇ´ıdeˇna´ data Ma´me-li zpracovat datovy´ soubor, jehozˇ rozsah je maly´ (zpravidla n < 30), mu˚zˇeme data usporˇa´dat podle velikosti a pote´ zobrazit pomocı´ diagramu rozpty´lenı´ (viz obr. 2.3). Tento diagram zı´ska´me tak, zˇe na vodorovnou osu budeme postupneˇ vyna´sˇet hodnoty znaku x. Prˇ´ıklad 2.2.1 Na 15 vzorcıćh mle´ka byl nameˇrˇen obsah tuku s teˇmito vy´sledky (v g/l): 14,85 14,68 15,27 14,77 14,83 14,95 15,08 15,02 15,07 14,98 15,15 15,49 14,83 14,95 14,78 Sestavte diagram rozpty´lenı´.

33


Rˇesˇenı´. Z grafu je mozˇne´ vycˇ´ıst, zˇe nameˇrˇene´ hodnoty lezˇ´ı prˇiblizˇneˇ v intervalu od 14,7 do 15,5. I kdyzˇ je pocˇet meˇrˇenı´ 15, pocˇet bodu˚ na ose je 13 – to je du˚sledek 2 dvojic totozˇnyćh hodnot. Z rozlozˇenı´ bodu˚ na ose je zrˇejma´ zvy´sˇena´ „hustota“ v leve´ polovineˇ cele´ho grafu.

Obr. 2.3 Diagram rozpty´lenı´ obsahu tuku v mleće

Bodove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ V prˇ´ıpadeˇ, zˇe datovy´ soubor x1 , x2 . . . , xn (xi , i = 1, . . . , n), ktery´ ma´me zpracovat, ma´ veˇtsˇ´ı rozsah (zpravidla n > 30), data majı´ charakter nespojite´ho statisticke´ho znaku a pocˇet variant (obmeˇn) tohoto znaku obvykle neprˇekracˇuje hodnotu 15, urcˇ´ıme cˇetnosti n j jednotlivyćh variant x j ( j = 1, . . . , k) a vy´sledky shrneme do tabulky, prˇ´ıpadneˇ vyja´drˇ´ıme graficky. Definice 2.2.2 Meˇjme usporˇa´dany´ datovy´ soubor o rozsahu n prvku˚. • Absolutnı´ cˇetnost n j prˇedstavuje pocˇet vy´skytu˚ varianty x j v souboru. Pro absolutnı´ cˇetnosti platı´ ∑kj=1 n j = n, kde k je pocˇet variant. • Relativnı´ cˇetnost p j je dańa vztahem pj =

nj n

a prˇedstavuje podı´l vy´skytu˚ varianty x j v souboru. Pro relativnı´ cˇetnosti platı´ ∑kj=1 p j = 1. • Absolutnı´ kumulativnı´ cˇetnost N j je dańa vztahem N j = n1 + · · · + n j a uda´va´ soucˇet cˇetnostı´ vsˇech pozorovańı´, ktera´ neprˇekracˇujı´ hodnotu x j . • Relativnı´ kumulativnı´ cˇetnost Fj je urcˇena vztahem Fj =

Nj = p1 + · · · + p j n

a uda´va´ podı´l cˇetnostı´ vsˇech pozorovańı´, ktera´ neprˇekracˇujı´ hodnotu x j .

Prˇ´ıklad 2.2.3 V ra´mci antropometricke´ho pru˚zkumu bylo podle metodiky le´karˇske´ komory provedeno meˇrˇenı´ teˇlesne´ vy´sˇky u 15meˇsıćˇnıćh deˇtı´. U 50 vybranyćh chlapcu˚ byly nameˇrˇeny tyto hodnoty (v cm):

34


83 82 83 83 81

85 82 82 80 85

81 80 83 82 83

82 82 82 85 79

84 80 82 81 81

82 82 82 83 81

79 83 81 81 81

84 84 80 81 84

80 82 82 83 81

81 79 82 82 82

Sestavte tabulku rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a graficky jej zna´zorneˇte. Rˇesˇenı´. Nejprve k obmeˇna´m 79, 80, ..., 85 stanovı´me absolutnı´ cˇetnosti a da´le urcˇ´ıme relativnı´, kumulativnı´ a relativnı´ kumulativnı´ cˇetnosti, a vsˇe usporˇa´da´me do tabulky – viz tabulka 2.3. Z te´to tabulky potom mu˚zˇeme sestrojit grafy: polygon rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ , ktery´ zachycuje rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, a soucˇtovou krˇivku zobrazujıćı´ kumulativnı´ cˇetnosti. Hodnota Absolutnı´ Relativnı´ Abs. kum. Rel. kum. znaku x j cˇetnost n j cˇetnost p j cˇetnost N j cˇetnost Fj 79 3 0,06 3 0,06 80 5 0,10 8 0,16 81 11 0,22 19 0,38 82 16 0,32 35 0,70 83 8 0,16 43 0,86 84 4 0,08 47 0,94 85 3 0,06 50 1,00 50 1,00 — — ∑ Tab. 2.3 Tabulka bodove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ vy´sˇky 15meˇsıćˇnıćh chlapcu˚

Obr. 2.4 Polygon cˇetnostı´ a soucˇtova´ krˇivka vy´sˇky 15meˇsıćˇnıćh deˇtı´

Z tabulky a z polygonu cˇetnostı´ je mozˇne´ vycˇ´ıst neˇktere´ zajı´mave´ vlastnosti sledovane´ho znaku vy´sˇka 15meˇsıćˇnıćh chlapcu˚. Tak naprˇ. nameˇrˇene´ vy´sˇky se pohybujı´ od 79 do 85 cm. Nejcˇasteˇjsˇ´ı vy´sˇka u danyćh 50 chlapcu˚ – 82 cm – je nameˇrˇena celkem 16kra´t. Take´ je zcela zrˇetelne´, zˇe rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ je prˇiblizˇneˇ symetricke´.


35

Kromeˇ grafu˚ na obr. 2.4 je mozˇne´ sestrojit naprˇ. krabicovy´ graf , ktery´ zobrazuje nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu znaku, da´le mediań (prˇ´ıpadneˇ aritmeticky´ pru˚meˇr), hornı´ a dolnı´ kvartil. S teˇmito charakteristikami se podrobneˇji sezna´mı´me v dalsˇ´ıch podkapitolaćh.

Obr. 2.5 Krabicovy´ graf a empiricka´ distribucˇnı´ funkce vy´sˇky 15meˇsıćˇnıćh deˇtı´

Rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ je take´ mozˇne´ zna´zornit pomocı´ empiricke´ distribucˇnı´ funkce, kterou mu˚zˇeme definovat vztahem N(xi ≤ x) Fn (x) = , n kde vy´raz v cˇitateli znacˇ´ı pocˇet prvku˚ vy´beˇru, jejichzˇ hodnota je mensˇ´ı nebo rovna x. Tato funkce uda´va´ pro hodnotu x sledovane´ho znaku soucˇet cˇetnostı´ vsˇech pozorovańı´, ktera´ majı´ hodnotu xi mensˇ´ı nebo rovnu x, deˇleny´ celkovy´m rozsahem souboru n. Je to neklesajıćı´ funkce s hodnotami mezi 0 a 1. Vsˇimneˇte si souvislosti mezi touto funkcı´ a relativnı´ kumulativnı´ cˇetnostı´ a soucˇtovou krˇivkou. Intervalove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ Pokud datovy´ soubor, ktery´ ma´me zpracovat, ma´ veˇtsˇ´ı rozsah (zpravidla n > 30) a data reprezentujı´ spojity´ znak nebo diskre´tnı´ znak s velky´m pocˇtem variant (obmeˇn), je vhodne´ nejprve data usporˇa´dat podle velikosti a zjistit nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotu xmin a xmax sledovane´ho znaku. Odtud lze urcˇit variacˇnı´ rozpeˇtı´ R = xmax − xmin uda´vajıćı´ sˇ´ırˇku intervalu, ve ktere´m se data nacha´zejı´. S ohledem na rozsah datove´ho souboru a na hodnoty xmin a xmax sestrojı´me na sebe navazujıćı´ intervaly, zahrnujıćı´ vsˇechny hodnoty zkoumane´ho znaku, a pote´ urcˇ´ıme, kolik hodnot lezˇ´ı v na´mi zkonstruovanyćh intervalech (intervaly budou zleva otevrˇene´ a zprava uzavrˇene´). Pro urcˇenı´ optima´lnı´ho pocˇtu (k) intervalu˚ existuje neˇkolik pravidel, naprˇ.: • Sturgesovo pravidlo k ≈ 1√+ 3,32 log n, • Yuleovo pravidlo √ k ≈ 2,5 4 n, • jina´ pravidla k ≈ n, prˇ´ıp. k ≈ 5 log n. Odtud zvolı´me podle uva´zˇenı´ vhodne´ k a orientacˇneˇ stanovı´me sˇ´ırˇku intervalu˚ ze vztahu h = Rk . Da´le stanovı´me pocˇa´tek prvnı´ho intervalu (ozn. a) a sˇ´ırˇku intervalu˚ zvolı´me tak, aby nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnota padly do prvnı´ho a poslednı´ho intervalu. Doporucˇuje se,

36


aby strˇedy intervalu˚ byly hodnoty se stejnou prˇesnostı´ (rˇa´d nejmensˇ´ıch jednotek) jako nameˇrˇena´ data. Jak pocˇet intervalu˚, tak i sˇ´ırˇka intervalu˚ nejsou dańy jednoznacˇneˇ, vzˇdy za´lezˇ´ı na osobeˇ, ktera´ data zpracova´va´, ma´ tedy subjektivnı´ charakter. Snahou by vsˇak meˇla by´t takova´ konstrukce intervalu˚, aby odpovı´dajıćı´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ doka´zalo vypovı´dat alesponˇ o za´kladnıćh vlastnostech sledovane´ho znaku. Prˇ´ıklad 2.2.4 Prˇi kontrole dodrzˇovańı´ hygienickyćh norem v kuchyni se prova´deˇl odbeˇr vzduchu a pomocı´ filtru Pallflex se meˇrˇilo mnozˇstvı´ prachovyćh cˇa´stic. Ze 60 vzorku˚ vzduchu jsme dostali na´sledujıćı´ vy´sledky (v µg/m3 ): 1,23 1,51 1,41 1,14 1,47

1,10 1,53 1,22 1,34 1,24

1,54 1,31 1,27 1,16 1,45

1,34 1,23 1,37 1,51 1,29

1,06 1,31 1,14 1,58 1,17

1,09 1,27 1,22 1,33 1,63

1,41 1,17 1,43 1,31 1,39

1,48 1,27 1,40 1,04 1,02

1,52 1,34 1,41 1,58 1,38

1,37 1,27 1,51 1,12 1,39

1,37 1,09 1,51 1,19 1,43

1,63 1,01 1,47 1,17 1,28

Sestavte tabulku intervalove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a graficky jej zna´zorneˇte. Rˇesˇenı´. Mnozˇstvı´ prachovyćh cˇa´stic je spojity´ statisticky´ znak, pro sestavenı´ tabulky rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ musı´me urcˇit pocˇet intervalu˚ a jejich sˇ´ırˇku. Celkovy´ rozsah souboru je n = 60, nejmensˇ´ı hodnota xmin = 1,01, nejveˇtsˇ´ı hodnota je xmax = 1,63. Variacˇnı´ rozpeˇtı´ je rovno R = xmax − xmin = 0,62. Urcˇ´ıme si optima´lnı´ pocˇet intervalu˚ podle zmıńeˇnyćh pravidel: . • Sturgesovo pravidlo k ≈ 1√+ 3,32 log n = 7, . 4 • Yuleovo √ .pravidlo k ≈ 2,5. n = 7, • k ≈ n = 8, k ≈ 5 log n = 9. Na za´kladeˇ uvedenyćh pravidel zvolı´me naprˇ. pocˇet intervalu˚ k = 7, sˇ´ırˇku intervalu h = 0,1 a pocˇa´tek prvnı´ho intervalu a = 1. Te´to konstrukci intervalu˚ odpovı´da´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ uvedene´ v tabulce 2.4 a na obra´zku 2.6. Interval (1,00; 1,10i (1,10; 1,20i (1,20; 1,30i (1,30; 1,40i (1,40; 1,50i (1,50; 1,60i (1,60; 1,70i ∑

Strˇed Absolutnı´ Relativnı´ Abs. kum. Rel. kum. intervalu x∗j cˇetnost n j cˇetnost p j cˇetnost N j cˇetnost Fj 1,05 7 0,177 7 0,117 1,15 8 0,133 15 0,250 1,25 11 0,183 26 0,433 1,35 14 0,233 40 0,667 1,45 9 0,150 49 0,817 1,55 9 0,150 58 0,967 1,65 2 0,033 60 1,000 — 60 1 — —

Tab. 2.4 Tabulka intervalove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ – mnozˇstvı´ prachovyćh cˇa´stic

Z tabulky rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ i z grafu˚ je mozˇne´ vycˇ´ıst alesponˇ za´kladnı´ vlastnosti sledovane´ho znaku mnozˇstvı´ prachovyćh cˇa´stic v µg/m3 (koncentrace prachu). Zejmeńa je zrˇejme´, zˇe nameˇrˇene´ mnozˇstvı´ prachu se pohybuje mezi hodnotami 1,1 a 1,7. Nejveˇtsˇ´ı cˇa´st vy´sledku˚ lezˇ´ı v intervalu 1,3–1,4. Rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ je pomeˇrneˇ symetricke´, v histogramu je mozˇne´


37

Obr. 2.6 Histogram a soucˇtovy´ histogram koncentrace prachu

videˇt, zˇe rozdeˇlenı´ nenı´ vy´razneˇ sˇpicˇate´ – je spı´sˇe plosˇsˇ´ı. Smysluplne´ je take´ „srovnańı´ “ s norma´lnı´m rozdeˇlenı´m, tj. srovnańı´ histogramu s Gaussovou krˇivkou (viz da´le podkapitola 6.3). To bude slouzˇit k posouzenı´, zda je zı´skana´ data mozˇne´ povazˇovat za realizaci na´hodne´ho vy´beˇru z norma´lnı´ho rozdeˇlenı´. Tomu vsˇemu se vsˇak budeme jesˇteˇ veˇnovat pozdeˇji. Pozna´mka 2.2.5 Pro konstrukci tabulky bodove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, resp. intervalove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a konstrukci odpovı´dajıćıćh grafu˚ popsanyćh v te´to podkapitole pouzˇijeme excelovskou aplikaci STAT1, jejı´zˇ uzˇitı´ je popsańo v podkapitole 2.6. Tabulku rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ (pro bodove´ i intervalove´ rozdeˇlenı´) lze take´ v Excelu zkonstruovat pomocı´ funkce CˇETNOSTI, samotny´ histogram lze vytvorˇit pomocı´ analyticke´ho na´stroje „Histogram“.

Obr. 2.7 Krabicovy´ graf a empiricka´ distribucˇnı´ funkce koncentrace prachu

38


Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Prˇi vy´robnı´ kontrole bylo provedeno meˇrˇenı´ de´lky 15 kusu˚ pu˚lmetrovyćh lat’ovek (v cm): 49,8 50,2 50,3 49,5 50,0 49,3 50,0 50,9 50,4 50,0 49,7 50,6 50,2 49,9 50,1 Usporˇa´dejte data podle velikosti a stanovte hodnoty x(5) x(10) a x(11) (najdeˇte pa´tou, desa´tou ’ a jedenaćtou hodnotu v usporˇa´dane´m datove´m souboru). Sestrojte diagram rozpty´lenı´. Co vypovı´da´ tento diagram o koncentraci a soumeˇrnosti dat? 2. Bylo provedeno 50 chemickyćh analy´z na oveˇrˇenı´ koncentrace urcˇite´ chemicke´ la´tky prˇi praći s jednı´m typem roztoku s teˇmito vy´sledky (v %): 41 42 43 39 41

42 43 42 44 40

41 41 42 43 44

44 41 40 42 39

41 43 41 40 42

41 41 42 42 44

39 42 42 42 42

43 45 43 40 41

45 42 42 42 45

41 40 43 42 43

Sestavte tabulku rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a stanovte absolutnı´, relativnı´, kumulovane´ a relativnı´ kumulovane´ cˇetnosti. Sestrojte polygon cˇetnostı´ a soucˇtovou krˇivku. Jake´ vlastnosti nasˇeho znaku koncentrace la´tky lze z rozdeˇlenı´ vycˇ´ıst? 3. Test z matematiky obsahuje 10 ota´zek. U kazˇde´ ota´zky je nabı´dnuto 5 odpoveˇdı´, prˇicˇemzˇ jen jedna je spra´vna´. U 60 studentu˚ byly zaznamenańy na´sledujıćı´ vy´sledky (pocˇet spra´vnyćh odpoveˇdı´): 5 5 5 8 2

3 10 8 4 6

6 6 9 6 4

7 6 3 6 7

4 8 3 3 7

8 6 7 7 9

8 6 5 4 7

6 4 7 9 5

7 7 8 4 7

6 3 7 7 4

6 7 9 6 6

7 9 7 4 6

Sestavte tabulku rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a stanovte absolutnı´, relativnı´, kumulovane´ a relativnı´ kumulovane´ cˇetnosti. Sestrojte polygon cˇetnostı´, soucˇtovou krˇivku a empirickou distribucˇnı´ funkci. Jake´ vlastnosti nasˇeho znaku pocˇet spra´vnyćh odpoveˇdı´ lze z rozdeˇlenı´ vycˇ´ıst? 4. Ma´me k dispozici u´daje o vy´znamnyćh zemeˇtrˇesenıćh v Kalifornii (uvedeno ve stupnıćh Richterovy stupnice):

6,8 6,6 6,2 6,1 8,3

6,6 6,2 6,1 5,3 8,0

7,5 5,3 6,0 6,6 6,8

6,2 5,9 6,1 5,8 6,3

6,5 6,0 5,5 7,7 8,3

7,1 5,3 6,4 5,9 7,0

6,1 5,9 5,9 7,1 7,0

5,8 6,2 5,7 6,3 7,0

5,5 6,4 5,9 7,0 6,5

6,9 7,0 5,9 6,3

Sestrojte intervalove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, urcˇete absolutnı´, relativnı´, kumulovane´ a relativnı´ kumulovane´ cˇetnosti. Rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ zobrazte pomocı´ histogramu a soucˇtove´ho histogramu. Sestrojte empirickou distribucˇnı´ funkci. Co lze z vasˇeho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ usoudit o sledovane´m znaku sı´la zemeˇtrˇesenı´? 5. Na jiste´m u´seku da´lnice byla meˇrˇena rychlost projı´zˇdeˇjıćıćh osobnıćh aut (v km/h): 147 138 120 155 139 157 152

125 116 134 130 122 142 157

127 122 131 145 122 117 133

134 142 126 133 128 134 158

126 115 142 121 136 126 143

143 132 104 137 159 150 111

134 125 120 116 139 129 136

129 128 141 146 167 115 120

151 129 114 140 158 146 164

143 163 130 118 132 153 118

Sestrojte intervalove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, urcˇete absolutnı´, relativnı´, kumulovane´ a relativnı´ kumulovane´ cˇetnosti. Rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ zobrazte pomocı´ histogramu a soucˇtove´ho histogramu. Sestrojte empirickou distribucˇnı´ funkci. Ma´ na´sˇ sledovany´ znak rychlost auta symetricke´ rozdeˇlenı´? Jake´ vlastnosti tohoto znaku lze jesˇteˇ z rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ vycˇ´ıst? 6. Pro data z prˇ´ıkladu 2.2.4 (mnozˇstvı´ prachovyćh cˇa´stic) proved’te jine´ intervalove´ rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, naprˇ. pro volbu k = 8, prˇ´ıpadneˇ i k = 9. Porovnejte vasˇe rˇesˇenı´ s uvedeny´m rˇesˇenı´m prˇ´ıkladu a posud’te, jaky´ to ma´ vliv na sledovane´ vlastnosti znaku. Rˇesˇenı´. K rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚ pouzˇijte aplikaci STAT1. 1. 49,9; 50,2; 50,2; 2. 39: 3; 40: 5; 41: 11; 42: 16; 43: 8; 44: 4; 45: 3; 3. 2: 1; 3: 5; 4: 8; 5: 5; 6: 14; 7: 15; 8: 6; 9: 5; 10: 1; 4. naprˇ. pro k = 7, h = 0,5, a = 5,1: (5,1; 5,6i: 5; (5,6; 6, 1i: 15; (6,1; 6,6i: 14; (6,6; 7,1i: 10; (7,1; 7,6i: 1; (7,6; 8,1i: 2; (8,1; 8,6i: 2; 5. naprˇ. pro k = 7, h = 10, a = 100: (100, 110i: 1; (110, 120i: 12; (120, 130i: 17; (130, 140i: 16; (140, 150i: 12; (150, 160i: 9; (160, 170i: 3.

39

2.3 Charakteristiky polohy

2.3 Charakteristiky polohy Jak je uvedeno v prˇedchozı´m vy´kladu, tabulky a grafy poskytujı´ uzˇitecˇne´ informace o sledovane´m statisticke´m znaku, ktery´ je prˇedmeˇtem nasˇeho za´jmu. Nositelem teˇchto informacı´ je statisticky´ soubor – datova´ mnozˇina. Zejmeńa prakticke´ du˚vody na´s vsˇak vedou k tomu, vyjadrˇovat prostrˇednictvı´m tohoto souboru dalsˇ´ı informace v koncentrovane´ formeˇ, tj. v podobeˇ urcˇityćh charakteristik. Cı´lem je jednoduchy´m zpu˚sobem popsat dalsˇ´ı ru˚zne´ vlastnosti sledovane´ho znaku. U cˇ´ıselnyćh znaku˚, ktery´m nynı´ veˇnujeme pozornost, budeme uzˇ´ıvat tzv. popisne´ charakteristiky, vesmeˇs cˇ´ıselne´. ´ rovenˇ jevu vyja´drˇene´ho cˇ´ıselny´m znakem se popisuje pomocı´ tzv. charakteristik polohy U (u´rovneˇ). Promeˇnlivost cˇ´ıselne´ho znaku, tj. kolı´sańı´ hodnot znaku (zpravidla okolo jiste´ konstanty), se popisuje pomocı´ charakteristik variability – viz podkapitola 2.4. Du˚lezˇitou vlastnostı´ cˇ´ıselne´ho znaku je take´ koncentrace hodnot znaku, tj. urcˇita´ „hustota“ hodnot znaku v ra´mci jednotlivyćh cˇa´stı´ datove´ osy. Tato vlastnost se popisuje pomocı´ tzv. charakteristik koncentrace – viz podkapitola 2.5. Charakteristiky polohy (u´rovneˇ) meˇrˇ´ı obecnou velikost hodnot znaku v souboru a deˇlı´ se na pru˚meˇry (pocˇ´ıtane´ ze vsˇech dat) a ostatnı´ mı´ry polohy (pocˇ´ıtane´ z vybranyćh hodnot). Pru˚meˇry Definice 2.3.1 Aritmeticky´ pru˚meˇr x hodnot x1 , x2 , . . . , xn je definovań vztahem n

∑ xi x=

i=1

n

,

(2.1)

n je celkovy´ pocˇet pozorovańı´. Aritmeticky´ pru˚meˇr se uzˇije tehdy, pokud ma´ logicky´ smysl soucˇet nameˇrˇenyćh hodnot ∑ni=1 xi , tzv. u´hrn, naprˇ. celkova´ hmotnost va´zˇenyćh rohlı´ku˚, celkova´ spotrˇeba studene´ vody ve vybranyćh domaćnostech, celkova´ vy´sˇe vyplacenyćh mzdovyćh prostrˇedku˚ apod. Jsou-li hodnoty statisticke´ho znaku usporˇa´dańy do tabulky bodove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, urcˇ´ıme aritmeticky´ pru˚meˇr pomocı´ vztahu k

∑ nj ·xj x=

j=1

n

,

(2.2)

kde n1 , n2 , . . . , nk jsou cˇetnosti jednotlivyćh variant znaku x1 , x2 , . . . , xk , k je pocˇet teˇchto variant. Tyto cˇetnosti uda´vajı´ va´hu jednotlivyćh variant znaku x j , proto mluvı´me o va´zˇene´m aritmeticke´m pru˚meˇru. Jsou-li hodnoty statisticke´ho znaku popsane´ prostrˇednictvı´m intervalove´ho rozdeˇlenı´ cˇetnostı´, nahradı´me jednotlive´ obmeˇny znaku x j ve vzorci (2.2) strˇedy x∗j jednotlivyćh intervalu˚ a va´zˇeny´ aritmeticky´ pru˚meˇr urcˇ´ıme potom pomocı´ vztahu

40

2.3 Charakteristiky polohy k

∑ n j · x∗j

x=

i=1

n

,

(2.3)

kde n1 , n2 , . . . , nk jsou jednotlive´ intervalove´ cˇetnosti, k je pocˇet teˇchto intervalu˚. Protozˇe va´zˇeny´ aritmeticky´ pru˚meˇr (2.3) nebude v tomto prˇ´ıpadeˇ odpovı´dat skutecˇne´mu pru˚meˇru pocˇ´ıtane´mu podle vzorce (2.1), pouzˇijeme jej pouze v krajnı´m prˇ´ıpadeˇ, kdy vy´pocˇet ze vsˇech hodnot nebude mozˇny´ (naprˇ. data nebudou k dispozici). Aritmeticky´ pru˚meˇr ma´ tyto za´kladnı´ vlastnosti: • soucˇet jednotlivyćh odchylek hodnot znaku xi od aritmeticke´ho pru˚meˇru je nulovy´, n

∑ (xi − x) = 0,

i=1

• jsou-li jednotlive´ hodnoty znaku xi konstantnı´ (vsˇechny shodne´), potom je jejich aritmeticky´ pru˚meˇr roven te´to konstanteˇ, 1 n ∑ c = c, n i=1 • prˇicˇteme-li k jednotlivy´m hodnota´m znaku xi konstantu c, zvy´sˇ´ı se o tuto konstantu i aritmeticky´ pru˚meˇr, 1 n ∑ (xi + c) = c + x, n i=1 • na´sobı´me-li jednotlive´ hodnoty znaku xi konstantou c, je touto konstantou na´soben i aritmeticky´ pru˚meˇr, 1 n ∑ c · xi = c · x. n i=1 Aritmeticky´ pru˚meˇr vsˇak nenı´ jediny´m druhem pru˚meˇru, existujı´ i jine´, jezˇ se pouzˇ´ıvajı´ ve specia´lnıćh prˇ´ıpadech. Definice 2.3.2 Harmonicky´ pru˚meˇr xH kladnyćh hodnot x1 , x2 , . . . , xn je definovań vztahem n xH = n , ∑ x1i i=1

kde n je celkovy´ pocˇet pozorovańı´. Harmonicky´ pru˚meˇr ma´ specificke´ uplatneˇnı´ v situacıćh, kdy ma´ logicky´ vy´znam soucˇet prˇevraćenyćh hodnot znaku. Bude tomu tak tehdy, kdy pru˚meˇrovana´ velicˇina ma´ charakter cˇa´sti z celku, tedy pru˚meˇrovat ma´me tzv. pomeˇrna´ cˇ´ısla. Naprˇ. pru˚meˇrnou hustotu h obyvatelstva na km2 v kraji, zna´me-li pocˇet obyvatel p a hustotu h v okresech, urcˇ´ıme ze vztahu h = ∑∑ pr , kde rozloha r = hp , nebo pru˚meˇrnou rychlost v auta v km/hod., zna´me-li dra´hu s a jı´ odpovı´dajıćı´ rychlost v, urcˇ´ıme ze vztahu v =

∑s , ∑t

kde cˇas t = vs .

statistiky Základy Aplikace v technických a ekonomických oborech Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž

Recommend Documents