KTSP & K-13
matematika STATISTIKA: UKURAN LOKASI DATA Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan sebagai berikut. 1. Dapat menentukan kuartil data tunggal dan data berkelompok. 2. Dapat menentukan desil data tunggal dan data berkelompok. 3. Dapat menentukan persentil data tunggal dan data berkelompok. Ukuran lokasi dalam statistika digunakan untuk menentukan posisi relatif nilai suatu data terhadap sekumpulan data. Ukuran lokasi yang dibahas pada sesi ini adalah kuartil, desil, dan persentil, baik pada data tunggal maupun data berkelompok.
A. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak data yang membagi data terurut menjadi 4 bagian. Kuartil pertama (Q1) adalah batas 25% dari data. Nilai-nilai di bawah kuartil pertama adalah 25% data terkecil dan nilai-nilai di atasnya adalah 75% data terbesar. Kuartil pertama dinamakan sebagai kuartil bawah karena nilainya paling kecil jika dibandingkan dengan kuartilkuartil yang lain. Kuartil kedua (Q2) adalah batas 50% dari data. Nilai-nilai di bawah kuartil kedua adalah 50% data terkecil dan nilai-nilai di atasnya adalah 50% data terbesar. Kuartil kedua dinamakan sebagai median dari data karena posisinya tepat di tengah-tengah data. Kuartil ketiga (Q3) adalah batas 75% dari data. Nilai-nilai di bawah kuartil ketiga adalah 75% data terkecil dan nilai-nilai di atasnya adalah 25% data terbesar. Kuartil ketiga dinamakan sebagai kuartil atas karena nilainya paling besar jika dibandingkan dengan kuartil-kuartil yang lain. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut!
K e l a s
XI
25% bagian
25% bagian
Q1
xmin
1.
25% bagian
Q2
25% bagian
Q3
xmaks
Kuartil Data Tunggal Langkah-langkah untuk menentukan kuartil data tunggal adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Langkah 2. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. Langkah 3. Tentukan letak kuartilnya dengan rumus berikut. Qi = data ke -
i ( n +1)
Qi = data ke -
4
, untuk n ganjil
in + 2 , untuk n genap 4
Qi = kuartil ke-i dengan i = 1, 2, dan 3.
Contoh Soal 1 Tentukan nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data 4, 6, 3, 12, 6, 7, 9, 5, 3, 6, 9, 17, 20! Pembahasan: Langkah 1.
Tentukan banyak data. Banyak data n = 13 (ganjil)
Langkah 2.
Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 12, 17, 20
Langkah 3. •
Tentukan letak kuartilnya.
Kuartil pertama untuk n =13 adalah data ke-
1(13 +1) 4
atau data ke 3,5.
Data ke-3,5 terletak antara data ke-3 dan ke-4, sehingga Q1 = •
Kuartil kedua untuk n =13 adalah data ke-
2
2 (13 +1) 4
4+5 = 4,5 . 2
atau data ke-7, sehingga Q2 = 6.
•
3 (13 +1)
Kuartil ketiga untuk n =13 adalah data ke-
4
atau data ke-10,5.
9 +12 = 10,5 . 2 Jadi, nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data tersebut berturut-turut adalah 4,5; 6; dan 10,5. Data ke-10,5 terletak antara data ke-10 dan ke-11, sehingga Q3 =
Contoh Soal 2 Tentukan kuartil-kuartil dari data nilai Matematika sekelompok siswa berikut ini! Nilai
3
4
5
6
7
8
9
10
Frekuensi
6
7
8
4
7
6
8
2
Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyaknya data. Banyak data n = ∑f = 48 (genap) Langkah 2. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. Data pada tabel tersebut sudah dalam keadaan terurut. Langkah 3. Tentukan letak kuartilnya. •
Kuartil pertama untuk n = 48 adalah data ke-
1× 48 + 2 atau data ke 12,5. 4
Data ke-12,5 terletak antara data ke-12 dan ke-13, sehingga Q1 = •
Kuartil kedua untuk n = 48 adalah data ke-
4+4 =4. 2
2 × 48 + 2 atau data ke-24,5. 4
Data ke-24,5 terletak antara data ke-24 dan data ke-25, sehingga Q2 = •
Kuartil ketiga untuk n = 48 adalah data ke-
6+6 =6. 2
3 × 48 + 2 atau data ke-36,5. 4
8+8 =8. 2 Jadi, kuartil pertama, kedua, dan ketiga dari data tersebut berturut-turut adalah 4, 6, dan 8. Data ke-36,5 terletak antara data ke-36 dan ke-37, sehingga Q3 =
3
2.
Kuartil Data Berkelompok Langkah-langkah untuk menentukan kuartil data berkelompok adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n) dengan n = ∑f. Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). Langkah 3. Tentukan kelas kuartil. •
Kelas kuartil pertama adalah kelas yang mengandung data ke-
1 n. 4
1 n. 2 3 • Kelas kuartil ketiga adalah kelas yang mengandung data ke- n . 4 Langkah 4. Tentukan tepi bawah kelas kuartil (Tb).
•
Kelas kuartil kedua adalah kelas yang mengandung data ke-
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil (fkum). Langkah 6. Tentukan letak kuartilnya dengan rumus berikut. i n − fkum Qi = Tb + 4 fQ i
I
Keterangan: Qi = kuartil ke-i dengan i = 1, 2, dan 3; dan fQi = frekuensi kelas kuartil.
Contoh Soal 3 Tentukan kuartil-kuartil dari data tinggi badan siswa-siswi berikut! Tinggi Badan
Frekuensi
120−124
6
125−129
7
130−134
12
135−139
8
140−144
5
145−149
4
150−154
2
4
Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyak data (n). n = ∑f = 6 + 7 + 12 + 8 + 5 + 4 + 2 = 44 Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). I =125 –120 = 5 Langkah 3. Tentukan kelas kuartil. •
Kelas kuartil pertama adalah kelas yang mengandung data keData ke-11 terletak pada kelas ke-2.
• •
1 n atau data ke-11. 4
1 Kelas kuartil kedua adalah kelas yang mengandung data ke- n atau data ke-22. 2 Data ke-22 terletak pada kelas ke-3. 3 Kelas kuartil ketiga adalah kelas yang mengandung data ke- n atau data ke-33. 4 Data ke-33 terletak pada kelas ke-4. Tinggi Badan
Frekuensi
120−124
6
125−129
7(fQ1)
Kelas kuartil 1
130−134
12(fQ2)
Kelas kuartil 2
135−139
8 (fQ3)
Kelas kuartil 3
140−144
5
145−149
4
150−154
2
5
Langkah 4. Tentukan tepi bawah kelas kuartil(Tb). Tinggi Badan
Frekuensi
120−124
6
125−129
7
Tb = 124,5
130−134
12
Tb = 129,5
135−139
8
Tb = 134,5
140−144
5
145−149
4
150−154
2
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil. Tinggi Badan
Frekuensi
120−124
6
125−129
7
fkum = 6
130−134
12
fkum = 6 + 7 = 13
135−139
8
fkum = 6 + 7 + 12 = 25
140−144
5
145−149
4
150−154
2
Langkah 6. Tentukan letak kuartilnya. •
Kuartil pertama atau Q1: 1 n − fkum Q1 = Tb + 4 I fQ 1 1 × 44 − 6 Q1 = 124,5 + 4 5 7 Q1 ≈ 128, 07
6
•
Kuartil kedua atau Q2: 2 n − fkum Q2 = Tb + 4 I fQ 2 21 × 44 − 13 Q2 = 129,5 + 5 12 Q2 = 133, 25
•
Kuartil ketiga atau Q3: 3 n − fkum Q3 = Tb + 4 I fQ 3 3 × 44 − 25 Q3 = 134,5 + 4 5 8 Q3 = 139, 5
Jadi, kuartil-kuartil dari data tinggi badan siswa-siswi tersebut adalah 128,07; 133,25; dan 139,5.
B. Desil Desil adalah ukuran letak data yang membagi data terurut menjadi 10 bagian. Notasi untuk desil adalah Di dengan i = 1, 2, 3, ..., 9. Jika data dimisalkan sebagai sebuah garis, letak desil adalah sebagai berikut. xmin
1.
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
xmaks
Desil Data Tunggal Langkah-langkah untuk menentukan desil data tunggal adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Langkah 2. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. Langkah 3. Tentukan letak desilnya dengan rumus berikut. Di = data ke Di = desil ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., 9.
7
i ( n +1) 10
Contoh Soal 4 Tentukan nilai D3 dan D6 dari data berikut. 12, 34, 34, 65, 78, 12, 23, 16, 16, 15, 37, 46, 46, 34, 35, 56, 45. Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Banyak data n = 17 Langkah 2. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. 12, 12, 15, 16, 16, 23, 34, 34, 34, 35, 37, 45, 46, 46, 56, 65, 78 Langkah 3. Tentukan letak desilnya. •
Letak D3 ada pada urutan data ke-
3 (17 +1)
atau data ke-5,4. 10 Bagaimana cara mencari urutan data ke-5,4? Perhatikan gambar berikut! 0,4 x6
x5 x6 – x5
Urutan data ke-5,4 terletak antara data ke-5 dan ke-6. Dengan demikian, nilai data ke-5,4 adalah jumlah dari nilai data ke-5 dengan 0,4 kali selisih antara kedua data tersebut. D3 = x5,4 D3 = x5 + 0,4(x6 – x5) D3 = 16 + 0,4(23 – 16) D3 = 16 + 2,8 D3 = 18,8 •
Dengan menggunakan cara yang sama, letak D6 dapat ditentukan sebagai berikut. D6 = x 6(17+1) 10
D6 = x10,8 D6 = x10 + 0,8(x11 – x10) D6 = 35 + 0,8(37 – 35)
8
D6 = 35 + 1,6 D6 = 36,6 Jadi, nilai D3 dan D6 dari data tersebut berturut-turut adalah 18,8 dan 36,6.
2.
Desil Data Berkelompok Langkah-langkah untuk menentukan desil data berkelompok adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n) dengan n = ∑f. Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). Langkah 3. Tentukan kelas desil ke-i(Di) yang mengandung data keLangkah 4. Tentukan tepi bawah kelas desil ke-i(Tb)
i n. 10
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas desil (fkum). Langkah 6. Tentukan letak desilnya dengan rumus berikut. Keterangan: i n − fkum Di = Tb + 10 fDi
I
Di = desil ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., 9; dan fDi = frekuensi kelas desil.
Contoh Soal 5 Data berikut ini menunjukkan angka kematian berdasarkan usia tahun 2016 di kecamatan Kuda Lumping. Usia
Frekuensi
0−9
12
10 − 19
15
20 − 29
18
30 − 39
26
40 − 49
17
50 − 59
21
60 − 69
11
9
Tentukan D2 dan D7 dari data tersebut! Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyak data (n). n = ∑f = 120 Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). Panjang kelas I = 10 − 0 = 10 Langkah 3. Tentukan kelas desil. • •
2 Kelas desil ke-2, yaitu D2 adalah kelas yang mengandung data ke- × 120 atau 10 data ke-24. Data ke-24 terletak pada kelas ke-2. 7 Kelas desil ke-7, yaitu D7 adalah kelas yang mengandung data ke- × 120 atau 10 data ke-84. Data ke-84 terletak pada kelas ke-5. Usia
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif
0−9
12
12
10 − 19
15
27
20 − 29
18
45
30 − 39
26
71
40 − 49
17
88
50-59
21
109
60-69
11
120
10
Kelas Desil
Kelas D2
Kelas D7
Langkah 4. Tentukan tepi bawah kelas desil ke-i (Tb) Tepi Bawah
Usia
0
0−9
9,5
10 − 19
19,5
20 − 29
29,5
30 − 39
39,5
40 − 49
49,5
50 − 59
59,5
60 − 69
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas desil (fkum) . Usia
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif
0−9
12
12
10 − 19
15
27
20 − 29
18
45
30 − 39
26
71
40 − 49
17
88
50 − 59
21
109
60 − 69
11
120
Langkah 6. Tentukan letak desilnya. •
Desil ke-2 atau D2: 2 10 n − fkum D2 = Tb + I fD2 2 10 × 120 − 12 D2 = 9,5 + 10 15 D2 = 17,5
11
Kelas Desil
Kelas D2
Kelas D7
•
Desil ke-7 atau D7: 7 10 n − fkum D7 = Tb + I fD7 7 10 × 120 − 71 D7 = 39,5 + 10 17 D7 ≈ 47,15
Super "Solusi Quipper" 7 Kelas desil ke-7 yaitu D7 adalah kelas yang mengandung data ke- × 120 atau data ke10 84. Perhatikan ilustrasi berikut ini! Usia
Frekuensi
0−9
12
10 − 19
15
20 − 29
18
30 − 39
26
40 − 49
17
50 − 59
21
60 − 69
11
sudah sampai 71 data
Diambil 13 data dari 17 data agar mendapat data ke-84
x 13 = 10 17 130 ⇔ x= 17 Dengan demikian, diperoleh: D7 = Tb + x ⇔ D7 = 39,5 + ⇔ D7 ≈ 47,15
130 17
Jadi, nilai D2 dan D7 dari data tersebut berturut-turut adalah 17,5 dan 47,15.
12
C. Persentil Persentil adalah ukuran letak data yang membagi sekumpulan data terurut menjadi 100 bagian. Notasi dari persentil adalah Pi dengan i =1, 2, 3, ..., 99.
1.
Persentil Data Tunggal Langkah-langkah untuk menentukan persentil data tunggal adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Langkah 2. Urutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. Langkah 3. Tentukan letak persentilnya dengan rumus berikut.
Pi = data ke -
i (n +1) 100
Pi = persentil ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., 99.
Contoh Soal 6 Diketahui sekumpulan data nilai Matematika dari suatu kelas sebagai berikut. 56, 67, 75, 34, 89, 90, 23, 57, 90, 95, 34, 24, 56, 97, 12, 23, 45, 65, 69, 44, 96, 66, 23, 77, 79, 81, 59, 34, 33, 75, 78, 64, 87, 95, 23, 33, 68, 74, 55, 82. Tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-67 dari data tersebut! Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Banyak data n = 40 Langkah 2. Urutan data dari yang terkecil hingga yang terbesar. 12, 23, 23, 23, 23, 24, 33, 33, 34, 34, 34, 44, 45, 55, 56, 56, 57, 59, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 74, 75, 75, 77, 78, 79, 81, 82, 87, 89, 90, 90, 95, 95, 96 ,97.
13
Langkah 3. Tentukan letak persentilnya. •
Persentil ke-30: P30 = x 30 100
(40+1)
P30 = x12,3 P30 = x12 + 0,3( x13 − x12 ) P30 = 44 + 0,3(45 − 44) P30 = 44,3 •
Persentil ke-67: P67 = x 67 100
(40+1)
P67 = x27, 47 P67 = x27 + 0,47(x28 – x27) P67 = 75 + 0,47(77 – 75) P67 = 77 + 0,94 P67 = 77,94 Jadi, persentil ke-30 dan persentil ke-67 dari data tersebut berturut-turut adalah 44,3 dan 77,94.
2.
Persentil Data Berkelompok Langkah-langkah untuk menentukan persentil data berkelompok adalah sebagai berikut. Langkah 1. Tentukan banyak data (n) dengan n = ∑f. Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). Langkah 3. Tentukan kelas persentil ke-i (Pi) yang mengandung data keLangkah 4. Tentukan tepi bawah kelas persentil ke-i (Tb).
i n. 100
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil (fkum). Langkah 6. Tentukan letak persentilnya dengan rumus berikut. i n − fkum Pi = Tb + 100 fPi
I
Keterangan: Pi
= persentil ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., 99; dan
fPi
= frekuensi kelas persentil.
14
Contoh Soal 7 Berikut ini adalah tabel yang menunjukkan data tinggi badan siswa sekolah Harapan Maju. Tinggi Badan
Frekuensi
100 – 109
18
110 – 119
25
120 – 129
40
130 – 139
55
140 – 149
76
150 – 159
45
160 – 169
41
Tentukan persentil ke-60 dari data tersebut! Pembahasan: Langkah 1. Tentukan banyaknya data (n). Banyak data n = ∑f = 300 Langkah 2. Tentukan panjang kelas (I). I = 110 – 100 = 10 Langkah 3. Tentukan kelas persentil. Kelas persentil ke-60 yaitu P60 adalah kelas yang mengandung data ke60 × 300 atau data ke-180. Data ke-180 terletak pada kelas ke-5. 100 Tinggi Badan
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif
100 – 109
18
18
110 – 119
25
43
120 – 129
40
83
130 – 139
55
138
140 – 149
76
214
150 – 159
45
259
160 – 169
41
300
15
Langkah 4. Tentukan tepi bawah kelas persentil ke-60 yaitu P60. Tepi Bawah
Tinggi Badan
99,5
100 – 109
109,5
110 – 119
119,5
120 – 129
129,5
130 – 139
139,5
140 – 149
149,5
150 – 159
159,5
160 – 169
Langkah 5. Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil (fkum). Tinggi Badan
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif
100 – 109
18
18
110 – 119
25
43
120 – 129
40
83
130 – 139
55
138
140 – 149
76
214
150 – 159
45
259
160 – 169
41
300
Langkah 6. Tentukan letak persentilnya. 60 100 n − fkum P60 = Tb + I fP60 60 100 × 300 − 138 P60 = 139,5 + × 10 76 P60 ≈ 145, 02
16
Soal ini juga dapat diselesaikan dengan Solusi Quipper seperti pada desil, yaitu sebagai berikut.
Super "Solusi Quipper" 60 × 300 atau Kelas persentil ke-60 yaitu P60 adalah kelas yang mengandung data ke100 data ke-180. Perhatikan ilustrasi berikut ini! Tinggi Badan
Frekuensi
100 – 109
18
110 – 119
25
120 – 129
40
130 – 139
55
140 – 149
76
150 – 159
45
160 – 169
41
Sudah 138 data
Diambil 42 data dari 76 data untuk mendapatkan 180 data
x 42 = 10 76 420 ⇔x= 76 Dengan demikian, diperoleh: 420 76 ⇔ P60 ≈ 145, 02 P60 = 139,5 +
Jadi, persentil ke-60 dari data tersebut adalah 145,02.
17
