Statica in een notendop

Statica in een notendop Systematische Probleem Analyse (SPA) 1. 2. 3. 4.

5. 6.

Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematische tekening van het probleem. Gevraagd: Schrijf puntsgewijs alle dingen op waar naar gevraagd wordt. Diagrammen: Maak een VLS (vergeet het assenstelsel niet) en eventueel andere benodigde diagrammen. Uitwerking: Begin met het kiezen van de te gebruiken kernbetrekkingen: welke formules zijn nodig voor de oplossing van de gestelde vraag? Werk het antwoord uit zonder getallen in te vullen. In de meeste gevallen zal het antwoord van deze stap zijn: [gevraagde grootheid] = [formule met slechts bekende grootheden]. Het is nuttig om tussentijds de eenheden te controleren. Antwoorden en conclusies: Vul getallen in bij de uitwerking van vraag 4. Schrijf het antwoord inclusief eenheid op. Trek eventueel conclusies. Controle: a. heb ik antwoord gegeven op alle gestelde vragen? b. zijn mijn antwoorden plausibel? i. Is het teken/de richting aannemelijk? ii. is de grootte van het antwoord aannemelijk? c. staan bij alle antwoorden eenheden?

Krachten/Momenten (HS 2) Krachten in een willekeurige richting kun je altijd ontbinden in verschillende richtingen. In een 2D situatie met assen die loodrecht op elkaar staan (een orthogonaal assenstelsel) geldt: F = Fx ⋅ i + Fy ⋅ j Als er meerdere krachten zijn geldt voor de resultante: R = F1 + F2 = (Fx1 + Fx2 ) ⋅ i + Fy1 + Fy2 ⋅ j

(

)

Een moment is gelijk aan kracht*arm. Met de arm gelijk aan de loodrechte afstand (loodlijn) van de werklijn van de kracht naar het momentpunt.

Krachten mogen altijd verschoven worden langs hun werklijn.

Als een kracht loodrecht op de werklijn verschoven wordt, moet er tevens een moment geïntroduceerd worden.

Denk aan twee-krachtselementen: Grootte: FA = FB Richting: evenwijdig aan lijn AB De vorm van het lichaam zelf is onbelangrijk, zolang er maar niet meer krachten/ momenten op werkzaam zijn. Resultante kracht/moment R = ∑ Fi Mo = ∑ Fd i i = R⋅d

d = de loodrechte afstand van de werklijn van de kracht tot het aangrijpingspunt Koppel Twee krachten die even groot zijn, alleen tegengesteld van richting en waarvan de werklijnen niet samenvallen, stellen een koppel voor. Dit kan worden gezien als een moment waarvoor geldt: M = F ⋅ d .

Statica in een notendop

1/5

Evenwicht (HS3) en Gestellen (§4.6) Evenwicht houdt in dat de lineaire- of rotatieversnelling gelijk aan 0 is. Dit betekent: snelheid gelijk aan 0 of snelheid constant. In een 2D situatie kun je maximaal 3 evenwichtsvergelijkingen per Vrij Lichaam Structuur (VLS) toepassen, namelijk de wetten van Newton: ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Mo = 0 Met deze 3 vergelijkingen kunnen dus ook maximaal 3 onbekenden uitgerekend worden per VLS. Ook kan de momentenvergelijking tweemaal worden toegepast met 1 krachtenvergelijking of driemaal een momentenvergelijking. Zie hiervoor het boek. Bij gestellen moet je soms meer dan 3 krachten/momenten berekenen. In dat geval heb je meerdere VLS’en nodig om het antwoord te berekenen. Let er ook op dat je de regel ‘actie = -reactie’ hier goed toepast.

Het maken van een correct VLS 1. 2. 3.

4.

Maak een keuze over welk lichaam je vrij wilt maken. Het gekozen lichaam zal over het algemeen met een of meerdere van de onbekende grootheden te maken hebben. Maak het lichaam ‘los’ van zijn omgeving door (eventueel denkbeeldig) een gesloten contour om het lichaam te trekken. Breng op plaatsen waar het lichaam contact heeft met zijn omgeving krachten/momenten aan (gebruik eventueel het schema met standaard VLS’en hieronder). Teken de krachten die door de omgeving op de contour uitgeoefend worden en niet de krachten die de contour op de omgeving uitoefent! Breng ook volumekrachten als de zwaartekracht aan. De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt. Weersta de neiging om krachten/momenten die er op het eerste gezicht gezicht niet lijken te zijn of die je niet nodig denkt te hebben voor de berekeningen weg te laten! Dit is vragen om fouten te maken! Als van tevoren al duidelijk is in welke richting een kracht/moment werkt, teken dan de vector meteen in de goede richting. Als het niet meteen duidelijk is, is het vaak handig om de positieve richting (aan de hand van je gekozen assenstelsel) te nemen. Bepaalde belangrijke grootten/namen van hoeken/lengtes kunnen ook aangegeven worden op het VLS, maar probeer het geheel wel overzichtelijk te houden. Geef met een assenstel bij het VLS aan welke richtingen jij positief noemt (zie het plaatje).

TIP: In sommige gevallen is het handiger om niet het ‘standaard’ x-y-assenstelsel te nemen (zoals in de figuur hierboven), maar het assenstelsel juist te roteren of te spiegelen. Even nadenken over de keuze van het assenstelsel kan je veel rekenwerk besparen. TIP: Denk eraan dat wanneer een heel lichaam in evenwicht is, ook alle delen van dat lichaam in evenwicht zijn. Hiervan kun je gebruik maken bij het kiezen van een deel voor het VLS. TIP: Kies als momentpunt voor de som van de momenten het liefst een punt waar zoveel mogelijk werklijnen van onbekende krachten doorheen gaan, want op deze manier vallen al deze krachten uit de vergelijking. TIP: Geef aan om welk punt je de som van de momenten bepaalt met de naam van het punt in subscript (bv. ΣMo). Als het punt dat je gebruikt geen naam heeft, dan kun je een vlaggetje gebruiken om het punt aan te geven in het VLS, de bijbehorende evenwichtsvergelijking wordt dan ΣM2 =0. TIP: Voor de bepaling van een moment van een willekeurig gerichte kracht, kan het handig zijn om de componenten van deze kracht te gebruiken: M = ±Fd = ±Fx dy ± Fy dx (zie de figuur hiernaast).

‘Standaard’ VLS’en Constructie

VLS

Opmerking(en)

Kabel

Trekkracht evenwijdig aan kabel

Glad oppervlak

Duw-normaalkracht (loodrecht op oppervlak)


2/5

Ruw oppervlak

Duw-normaalkracht en wrijvingskracht (evenwijdig aan oppervlak en tegengesteld aan neiging tot bewegen)

Roloplegging

Duw-normaalkracht

Vrij glijdende constructie

Normaalkracht

Scharnier (zonder wrijving)

Resultante met componenten in 2 richtingen

Inklemming

Axiale kracht, dwarskracht en moment

Zwaartekracht

Kracht ter grootte m⋅g in massamiddelpunt

TIP: In een kabel is de kracht overal gelijk. Dit gegeven is nodig om o.a. problemen met katrollen op te lossen.

Zwaartepunten/Massamiddelpunten (§5.1-§5.4) Het massamiddelpunt van een lichaam kan uitgerekend worden (continu) met: ∫ xdA = x ∫ dA . A

A

Met x het massamiddelpunt per oppervlaktedeel en x het massamiddelpunt van het gehele oppervlak. Voor samengestelde lichamen kan gebruik worden gemaakt van (discreet): x-coördinaat y-coördinaat Massa Oppervlak Lengte Massa Oppervlak Lengte ∑ ximi ∑ xi A i ∑ xili ∑ yimi ∑ yi A i ∑ yili x= x= x= y= y= y= ∑ mi ∑ Ai ∑ li ∑ mi ∑ Ai ∑ li Bij oppervlakken/ massa’s geldt dat ze negatief genomen moeten worden als er op die plaats juist geen oppervlak/ massa is. Deze moeten dus van de rest afgetrokken worden. TIP: Let altijd op symmetrie. Als er namelijk een symmetrievlak/-lijn/-punt te ontdekken is, dan ligt het zwaartepunt hier altijd in/op.


3/5

Voorbeelden ligging massamiddelpunten in lokale coördinatenstelsels van enkele ‘standaard’ lichamen: Rechthoekig oppervlak Driehoek ¼ van een ellips

Zwaartepunt ligt precies in het midden Deel van een cirkelvormig opp.

a+b h en y = 3 3 Deel van een cirkelboog x=

x=

4a 4b en y = 3π 3π

Oppervlakte cirkel: A = πr 2 Omtrek cirkel: O = 2πr Oppervlakte driehoek: ½bh Graden/radialen: 3600 ≡ 2π rad r sin α α α in radialen! x=

2 3

r sin α α α in radialen! x=

V- en M-lijnen (§5.7) Voor een stukje balk geldt (zie figuur): dV = − w ⇒ dV = − wdx dx dM = V ⇒ dM = Vdx dx Met: w = kracht per lengte-eenheid (verdeelde belasting) [N/m] Ofwel: de afgeleide van de dwarskrachten lijn is gelijk aan de verdeelde belasting met een min-teken en de afgeleide van de momentenlijn is gelijk aan de dwarskrachtenlijn.

LET OP! Bovenstaande vergelijking gelden alleen tussen discontinuïteiten! Voor de V-lijn is een dwarskracht een discontinuïteit, voor de M-lijn is een puntmoment een discontinuïteit. Positieve tekenafspraak bij balken:

Stappenplan voor het bepalen van de V-/M-lijn 1. Bepaal steunpuntsreacties 2. Bepaal V-lijn mbv. doorsnijding en integraal 3. Bepaal M-lijn mbv. V-lijn en discontinuïteiten. Vaak is het ook handig om tussentijds belangrijke punten te berekenen. 4. Controleer V-/M-lijn. TIP: Bij het maken van een doorsnede om evenwicht te bepalen, ben je vrij om zowel de linker- als de rechterkant van de doorsnede te bekijken. Kies bij doorsnedes vlak bij een uiteinde van de balk altijd het korste deel omdat hier over het algemeen de minste krachten/momenten werken, wat het invullen van de evenwichtsvergelijkingen vergemakkelijkt. CONTROLE: Als er aan het uiteinde van de balk geen externe dwarskracht of moment werkt, moeten zowel de V- als M-lijn op nul uitkomen. Werkt er wel een externe dwarskracht of extern moment aan het uiteinde dan moet de waarde hiervan opgeteld bij de waarden van de V- resp. M-lijn op dat punt nul zijn. CONTROLE: Op een plaats waar de dwarskracht gelijk aan 0 is, treedt een maximum/minimum op in de M-lijn.


4/5

Wrijving (HS 6) Als het voorwerp stilstaat:

Fw ≤ µ sN

Als het voorwerp op punt van bewegen staat:

Fw = Fw,s max = µ sN

Als het voorwerp beweegt

Fw,k max = µkN

Het bepalen of een voorwerp stil blijft staan of gaat bewegen, gaat het makkelijkst door met behulp van de evenwichtsvergelijkingen te bepalen hoe groot de wrijvingskracht moet zijn om het voorwerp in evenwicht te houden. Vervolgens kan je bepalen hoe de benodigde wrijvingskracht zich verhoudt tot de maximale wrijvingskracht, door Fw,s max te berekenen.

Algemene tips / Handige wiskunde (zie ook appendix C boek) •

•

•

Wanneer in een som bijvoorbeeld staat: ‘De grootte van de massa van het lichaam is m,’ dan weet je niet de getalswaarde van de massa, maar de massa mag je wel als bekend aannemen. Dat wil zeggen: je moet straks het antwoord uitdrukken in m. Wordt er niet gesproken over de massa van een lichaam, dan betekent dat, dat je de massa van het lichaam mag verwaarlozen. Bij een driehoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 180°. ‘Standaard’ driehoeken:

Een stelsel vergelijkingen is oplosbaar als je evenveel vergelijkingen als onbekenden hebt. Om het stelsel op te lossen is het soms nodig om uit één vergelijking een vergelijking voor een variabele als functie van andere variabelen te halen en deze dan in een andere vergelijking in te vullen (substitutie). In de meeste problemen echter kun je door slim een momentpunt te kiezen, met de vergelijking voor de som van de momenten meteen een waarde voor een variabele vinden en deze gebruiken om andere vergelijkingen op te lossen.


5/5

Statica in een notendop

Recommend Documents