STAROVĚKÝ EGYPT Prameny • nápisy na kamenech • papyry – Rhindův pyrus (XV. dynastie, kolem 1560 př. Kr., opis staršího spisu období 1853 až 1809 př. Kr.) – Moskevký papyrus (XIII. dynastie, asi 1797 až 1634 př. Kr., opis staršího spisu z XII. dynastie) – Káhúnské papyry (XII. dynastie, asi 1994 až 1797 př. Kr.) – Dřevěné tabulky (XII. dynastie) – Kožený svitek (XV. dynastie, asi 1634 až 1526 př. Kr.) – Berlínský papyrus (XII. dynastie) – Papyrus Anastasi I (XIX. dynastie, asi 1292 až 1186 př. Kr.) • projevy egyptské civilizace (stavby, organizace společnosti,...)
Démotické písmo ze 3. stol. př. Kr. a jeho hieroglyfický přepis
RHINDŮV (LONDÝNSKÝ) PAPYRUS • nejrozsáhlejší a nejvýznamnější matematický text ze starého Egypta • opsán kolem roku 1560 př. Kr. písařem Ahmosem z materiálu pocházejícího z doby vlády Amenemheta III. (asi 1853 až 1809) • nalezen v Thébách (oblast dnešního Luxoru) v pol. 19. stol. • při výrobě slepen ze 14 listů, po nálezu rozříznut na dvě části: 319 x 33 cm, 206 x 33 cm • 1858 jej koupil Alexander Henry Rhind (1833 – 1863) • dnes uložen v Britském muzeu v Londýně • 87 úloh s návody a řešeními, tabulka 2/n
Část Rhindova papyru
Skupiny úloh v Rhindově papyru: • úlohy na výpočet objemu sýpek • úlohy na výpočet obsahů polí • úlohy týkající se pyramid • úlohy na objemy tekutin a dělení chlebů • úlohy týkající se krmiva pro zvířata
Existence samostatných matematických textů svědčí o tom, že již v době XII. dynastie (asi 1994 – 1797 př. Kr.) byla ve starém Egyptě matematika konstituována jako samostatná disciplína zahrnující počítání s přirozenými čísly a zlomky, hledání neznámého množství, výpočty obsahů rovinných útvarů a objemů těles, výpočty velikostí úhlů, délek atd.
Začátek Rhindova papyru
MOSKEVSKÝ (GOLENIŠČEVŮV) PAPYRUS • 1893 jej získal egyptolog V. S. Goleniščev (1856 – 1947) • 1912 věnován Puškinově muzeu krásných umění v Moskvě • papyrus, který byl po odstranění původního textu použit znovu (původní text znatelný, ale nečitelný) • nový text opisem staršího textu z XII. dynastie, opsán patrně v době XIII. dynastie (asi 1797 až 1634) • 25 příkladů • bez tematického uspořádání (snad učební pomůcka či test znalostí)
Rossetská deska • nalezena 1799 u Rossety nedaleko Alexandrie napoleonskými vojsky bojujícími v Egyptě • 114 x 72 x 30 cm, 762 kg •
dnes v Britském muzeu • umožnila dešifrování egyptských hieroglyfů • popsána popsána třemi písmy: - egyptské hieroglyfy - egyptské démotické p. - kónická řečtina (Helénské období, cca 323 – 31 př. n. l.)
Kožený svitek – nalezen spolu s Rhindovým papyrem, dnes v Britském muzeu – z doby XV. dynastie, 44 x 26 xm, tabulka 26 součtů kmenných zlomků
ARITMETIKA ZÁPIS ČÍSEL NEPOZIČNÍ DESÍTKOVÁ SOUSTAVA
Egyptské hieroglyfy (3. tisíciletí př. Kr.):
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
měřicí hůl
kraví pouta
měřicí provazec
květ lotosu
ukazovák
pulec
klečící postava (bůh vzduchu a prostoru)
Zápis čísel pomocí hieroglyfů
Příklad:
Příklad:
Sčítání a odčítání
Násobení: Postupné zdvojnásobování a sečtení vhodných násobků:
Příklad: krát
\
\ \ _______________________________
Příklad:
\ krát
1
15
2
30
\
4
60
\
8
120
––––––––––– 195 \
\ \ _______________________________
Příklad: \ děleno \
1
80
10
800
2
160
4
320
––––––––––––– 1 120
\
\ _______________________________
ZLOMKY A SMÍŠENÁ ČÍSLA
Tabulka 2/n - začátek (Káhúnský papyrus)
• Problémy vedoucí na aritmetickou posloupnost
Příklad:
Je třeba rozdělit 10 měřic ječmene mezi 10 mužů tak, aby měl druhý o 1/8 více než první, třetí o 1/8 více než druhý atd.
Představa aritmetické posloupnosti
Součet: 10a = 10 ⇒ a = 1;
d = 1/16
• Problémy vedoucí na geometickou posloupnost
Příklad:
Je 7 domů, v každém domě 7 koček, každá kočka sežere 7 myší, každá myš sežere 7 klasů pšenice, z každého klasu by bylo 7 měřic zrna. Kolik je všeho dohromady?
GEOMETRIE • Obsah čtverce, obdélníka, trojúhelníka, lichoběžníka • Obsah čtyřúhelníka
• Obsah kruhu
• Objem krychle, kvádru, válce (obilnice) • Objem čtyřbokého komolého jehlanu se čtvercovou podstavou V dnešní symbolice:
OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník • základní tvar pole • co je třeba zjistit:
množství zasévaného obilí rozloha kvůli dani
Ramses II. (1279 – 1213 př. Kr.) rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň. (Hérodotos, 5. stol. př. Kr.)
Pruhová míra
obsah pole = počet vyoraných pruhů x délka pruhu Další míry:
čtvereční královský loket secat-johet = 10 000 čtverečních královských loktů (100 vyoraných pruhů)
Trojúhelník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky
převod na rovnoplochý obdélník
Lichoběžník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky
převod na rovnoplochý obdélník
Obecný čtyřúhelník Přibližný vzorec:
Kruh
Kruh V dnešní symbolice pro kruh o průměru d:
(
S = d − 1 ⋅d 9
) ( ) 2
= 8 ⋅d 9
2
= 64 ⋅ d 2 81
Slovní popis Rhindův papyrus (1560 př. Kr.), příklad č. 50: Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy Jaký je obsah plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet. Srovnání s naším vzorcem: 1 π ⋅ d 2 = 64 ⋅ d 2 , 4 81
tj.
π = 264 =& 3,1605. 81
(
S = d − 1 ⋅d 9
) ( ) 2
= 8 ⋅d 9
2
= 64 ⋅ d 2 81 Odhad obsahu kruhu:
182 − 68 = 256 = 16 2 čtverečků o straně 1 ⋅d 18
– to odpovídá čtverci o straně
(
16 ⋅ d = 8 ⋅ d = d − 1 ⋅ d 18 9 9
)
(výklad odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod.)
OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru.
Válec Objem válce byl ve starém Egyptě počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická – hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu.
Jehlan Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny.
Jehlan Moskevský papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu. Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný:
V = h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) , 3 kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy.
Možný postup:
2
(
)
1 a − b 1 a−b 1 V =b ⋅h+ 4⋅ ⋅ ⋅ b ⋅ h = ⋅ a2 + ab + b2 ⋅ h ⋅h+ 4⋅ ⋅ 3 2 2 2 3 2
– didakticky názorné, z historického hlediska problematické: nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění algebraických úprav připouštějí)
Jiné možné odvození: Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně).
Dohromady: hranol s podstavnou hranou a a výškou h
Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, který má objem b 2 h . Třetí komolý jehlan s odebranými „rohy“ přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h:
Tato tři tělesa mají dohromady objem
h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) , objem jednoho komolého
jehlanu je proto
V = h ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) 3
Ve výše uvedených úvahách jsme využívali poznatek, že objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali – ať již na základě měření či úvah o „rozřezávání“ hranolu. ¨ Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany:
U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c).
Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:
Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:
Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v 12. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách.
