Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky
Stanovení kritických otáček vačkového hřídele Frotoru
Řešitel: Doc. Dr. Ing. Jan Dupal
Plzeň, březen 2007
Úvod: Cílem předložené zprávy je vyšetření kritických otáček vačkového hřídele vzduchového stroje, aby bylo možné vyloučit stavy resonance při provozním režimu. Vačkový hřídel znázorněný na obr. 1, který má nosný průřez ve tvaru čtverce se zaoblenými rohy a s dírou uprostřed, byl nahrazen ekvivalentním válcovým průřezem mezikruhového průřezu. Všechny komponenty nasazené na tomto hřídeli byly uvažované jako dokonale tuhé, avšak předpokládáme, že se nepodílejí na nosnosti hřídele. Z toho plyne, že se neuvažuje jakékoliv předpětí, které tam ve skutečnosti působí. Výpočet je konzervativní, tzn., že skutečné kritické otáčky tohoto rotoru budou ležet ve vyšších oblastech
Obr. 1
Náhrada průřezu ekvivalentním mezikruhovým válcem Na obr. 2 je znázorněn průřez hřídele, jehož plocha a moment setrvačnosti se snadno vypočtou z daných rozměrů
a = 0.028 m, d = 0.006 m, R = 0.004 m, D = 2 R = 0.008 m
podle vztahů A=a −D + 2
2
πD 2 4
−
πd 2 4
= 7.4199 .10− 4 m 2 ,
(1) 2
D⎞ ⎛ 2 4 ⎟ 4 4 4 2 ⎜ ⎡ ⎤ a D D⎞ πD πD a D πd 4 2⎛ a 2 ⎜ ⎟ I= −⎢ +D ⎜ − ⎟ ⎥+ + − + − = 4.868.10−8 m 4 . 12 ⎣⎢ 12 4 ⎜ 2 2 3π ⎟ 64 ⎝ 2 4 ⎠ ⎥⎦ 64 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(2)
Obr. 2 Průřez hřídele má dvě osy symetrie, tzn., že jeho průřezové momenty setrvačnosti jsou stejné ke všem osám procházejících těžištěm průřezu. Programové vybavení pro určování kritických otáček na bázi MKP, které bylo zpracováno autorem této zprávy, bylo připraveno pro rotačně symetrické útvary a vstupními parametry jsou vnitřní a vnější průměr prvku a jeho délka. Dalšími vstupy pro každý prvek jsou materiálové parametry, jakými jsou: Youngův modul pružnosti E [Pa] hustota ρ kg / m3 Poissonova konstanta ν [−] smykový modul pružnosti G [ Pa ] .
[
]
Na "nosném" průřezu znázorněném na obr. 2 jsou nasazeny další komponenty, které jsou hmotné, avšak nepodílejí se na nosnosti průřezu. Tzn., že nejdříve je třeba vypočítat vnější a vnitřní průměry náhradních ekvivalentních válců mezikruhového průřezu, které budou mít stejnou plochu a moment setrvačnosti příčného průřezu. Ze vztahů pro výpočet plochy a momentu setrvačnosti mezikruží A=
π
(D 4
2 ekv
)
2 − d ekv ,
I=
π
(D 64
4 ekv
4 − d ekv
)
(3)
a srovnáním vztahů (3) s (1) a (2) dostaneme Dekv =
8I 2 A + = 0.0316 m, A π
d ekv =
8I 2 A − = 0.0072 m . A π
(4)
Vytvoření modelu hřídele Pro vytvoření modelu byla použita metoda konečných prvků. Celý hřídel byl rozdělen na konečné prvky a schéma takového modelu je znázorněno na obr. 3
Obr. 3 Čísla v horní části obr. 3 označují čísla konečných prvků, čísla ve spodní části čísla zobecněných posuvů odpovídající jednotlivým uzlům. Hmotnosti přidaných komponent jsou respektovány v hustotě jednotlivých dílků s ekvivalentními vnějšími a vnitřními průměry.
Nejdříve vyjádříme objem čtyřhranu
Vc = Alc = 4.1198 .10−4 m3 .
(5)
Symbolem lc jsme označili celkovou délku čtyřhranu. Celková hmotnost čtyřhranu je podle výkresu P1-1-7 rovna hodnotě mc = 3.2 kg. Hustotu čtyřhranu vypočteme podle vztahu
ρc =
mc . Vc
(6)
Hmotnost i-tého dílku můžeme vyjádřit vztahem
mi =
π
(D 4
2 ekv
2 )ρcli + m pi , − d ekv
(7)
kde li resp. m pi značíme délku resp. přídavnou hmotnost i-tého dílku. Pokud použijeme náhradní hustotu (soustředíme přídavnou hmotnost do původního objemu čtyřhranu a poté do náhradního mezikruhového válce), můžeme celkovou hmotnost i-tého dílku vyjádřit alternativním vztahem
mi =
π 4
(D
2 ekv
)
2 − d ekv ρ nili ,
(8)
kde ρ ni značí náhradní hustotu i-tého dílku. Srovnáním vztahů (7) a (8) dojdeme ke vztahu pro náhradní hustotu i-tého dílku ve tvaru
ρ ni = ρ c +
π 4
(D
m pi
2 ekv
−d
2 ekv
)l
.
i
Parametry jednotlivých dílků jsou uvedeny v tab. 1.
(9)
Tab. 1 Číslo dílku 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Délka li [m]
Přídavná hmotnost [kg]
0.051 0.050 0.020 0.020 0.070 0.035 0.035 0.070 0.026 0.026 0.026 0.026 0.026 0.026 0.026 0.026 0.028 0.011 0.011 0.026 0.023
0.38 0.26 0.085 0.085 0.56 0.225 0.225 0.85 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 0.196 0.077 0.077 0.17 0.155
Náhradní hustota kg / m3 1.7788e4 1.4760e4 1.3483e4 1.3483e4 1.8526e4 1.6413e4 1.6413e4 2.4098e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 8.0184e4 1.7181e4 1.7181e4 1.7181e4 1.6561e4 1.6830e4
[
]
Tuhosti ložisek se sice nepodařilo zjistit přesně, avšak podle zkušeností nejsou nižší, než 1.107 N / m. Uvedený výpočet má hlavně rámcový charakter a cílem je ukázat, že první kritické otáčky leží mimo oblast provozních otáček. Proto byly předpokládány tuhosti takové, že levé ložisko (jsou to vlastně dvě kuželíková ložiska vedle sebe) mají tuhost k1 = 2.107 N / m , zatímco u pravého ložiska byla předpokládána tuhost k2 = 1.107 N / m. Pro tuto konfiguraci byly určeny první čtyři kritické úhlové rychlosti otáčení a jim odpovídající kritické otáčky, které měly hodnotu
Ω1, krit = 646 rad/s, Ω 2, krit = 658 rad/s, Ω3, krit = 1000 rad/s, Ω 4, krit = 1004 rad/s,
(10)
n1, krit = 6169 ot/min, n2, krit = 6287 ot/min, n3, krit = 9553 ot/min, n4, krit = 9589 ot/min. (11)
Protože výpočet probíhal v 2n rozměrném prostoru, jsou vlastní čísla po párech komplexně sdružená a imaginární část odpovídá vlastní frekvenci. Vzhledem k tomu, že systém je torzně izolovaný (může se volně otáčet jako tuhé těleso) budou první dvě vlastní čísla nulová a pro náš účel jsou důležité imaginární části lichých vlastních čísel a jim odpovídající tvary kmitu. Proto třetí vlastní tvar odpovídá prvním kritickým otáčkám, pátý druhým, sedmý třetím a devátý čtvrtým kritickým otáčkám. Tyto tvary jsou znázorněny na obr. 4-7.
3-ty kriticky tvar kmitu, odpov. vl. cislo
4.906624e-009+646.0584i
0.1 0.05 0 -0.05
-0.1 0.1 0.05
0.8 0.6
0
0.4
-0.05
0.2 -0.1
0
Obr. 4
5-ty kriticky tvar kmitu, odpov. vl. cislo
-5.975735e-010+658.4541i
0.1 0.05 0 -0.05
-0.1 0.1 0.05
0.8 0.6
0
0.4
-0.05
0.2 -0.1
0
Obr. 5
7-ty kriticky tvar kmitu, odpov. vl. cislo
-4.3231125e-009+1000.3995i
0.1 0.05 0 -0.05
-0.1 0.1 0.05
0.8 0.6
0
0.4
-0.05
0.2 -0.1
0
Obr. 6
9-ty kriticky tvar kmitu, odpov. vl. cislo
-8.751897e-009+1004.2039i
0.1 0.05 0 -0.05
-0.1 0.1 0.05
0.8 0.6
0
0.4
-0.05
0.2 -0.1
0
Obr. 7
Na obr. 8 je znázorněn Campbellův diagram Frotoru v rozsahu úhlových rychlostí otáčení (0- 1100) rad/s, což odpovídá otáčkovému rozsahu (0-10504) ot/min. Tento diagram je závislostí imaginárních částí vybraných vlastních čísel na úhlové frekvenci otáčení. V místech, kde dochází k protnutí osy kvadrantu s uvedenými křivkami leží vlastní frekvence systému, které se rovnají frekvenci otáčení a to jsou právě kritické úhlové rychlosti. Campbelluv diagram rotoru
Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel
1200
1000
800
600
400
200
0
0
200
400 600 800 Uhlova rychlost otaceni [rad/s]
1000
1200
Obr. 8 Provedeme-li zvětšení obrázku v místech průsečíků, vidíme přesnou shodu míst průsečíků s hodnotami kritických úhlových rychlostí uvedených v (10) a jim odpovídajících kritických otáček uvedených v (11). Campbelluv diagram rotoru
Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel
670 665 660 655 650 645 640 635 640
645
650 655 660 Uhlova rychlost otaceni [rad/s]
Obr. 9
665
670
Campbelluv diagram rotoru
Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel
1010 1008 1006 1004 1002 1000 998 996 994 994
996
998
1000 1002 1004 1006 Uhlova rychlost otaceni [rad/s]
1008
1010
Obr. 10 Obr. 9 a 10 ukazují správnost výpočtu kritických otáček pomocí iterační metody, kdy frekvenčně závislé matice vždy upřesníme hodnotou imaginární části vlastního čísla z předchozí iterace.
Závěr: Vzhledem k vypočítaným hodnotám kritických rychlostí za uvedených předpokladů a k faktu, že provozní otáčky se budou nacházet v intervalu 0-6000 ot/min, můžeme konstatovat, že nedojde za provozu k rezonanci a k nárůstu amplitud vibrací v důsledku rezonancí.
Literatura: [1] Dupal, J.: Dynamický výpočet vačkového hřídele Frotoru. Výzkumná zpráva č. 2115/0001/07, Plzeň, únor 2007. [2] Výkresová dokumentace a patentový návrh vzduchového stroje Frotor.
