Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky
Dynamický výpočet vačkového hřídele Frotoru Výzkumná zpráva č. 2115/0001/07 Řešitel: Doc. Dr. Ing. Jan Dupal
Plzeň, únor 2007
Úvod: Cílem předložené zprávy je vyšetření kinematicko-geometrických poměrů na lopatkách vzduchového stroje a následný dynamický výpočet namáhání vačkového hřídele v jednotlivých rozhraních mezi uchyceními lopatek na hřídeli. Pro prověření různých variant návrhu byl vytvořen parametrický model a příslušné programové vybavení pro zobrazení tvaru vzduchové komory a animaci pohybu lopatek ve vzduchové komoře. To znamená, že připravený programový modul umožňuje operativně reagovat na kvantitativní změny vstupních parametrů, jakými jsou např. počet párů lopatek, poloměr řídicí kružnice (kružnice, po které se pohybují středy lopatek), délky lopatek, otáčky, délky pouzder lopatek hmotnost lopatek atd.
Obr. 1
Geometrie vačkového hřídele Na obr. 1 je znázorněn vačkový hřídel vzduchového stroje, jehož excentricky umístěné válcové vačky unášejí středy lopatek tak, že jeden pár lopatek má středy hmotnosti vždy navzájem na opačné straně řídicí kružnice a každý pár lopatek je v navzájem kolmé poloze viz obr. 2. Kinematické poměry mezi pohybem středu a otáčením lopatky jsou nastaveny tak, že úhlová rychlost středu je dvakrát větší, než úhlová rychlost druhotné rotace lopatky. Na obr. 2 je zeleně znázorněna trajektorie koncových bodů lopatek tvořící konchoidu a modře kružnice se středem v pravém krajním bodu řídicí kružnice a poloměrem rovným délce poloviny lopatky.
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Obr. 2 Obr. 2 odpovídá rozměrům:
a = 0.2 m R = 0.02 m
polovina délky lopatky poloměr řídicí kružnice (nejmenší kružnice na obr. 2) * poloměr rotoru unášejícího lopatky (prostřední kružnice na obr. 2) R = a − 2R R1 = a poloměr největší kružnice na obr. 2 (snahou je, aby se konchoida co nejvíce blížila kružnici Rovnice řídicí kružnice, která má na obr. 3 poloměr R, určíme jako trajektorii (parametricky závislý radiusvektor - parametrem je úhel ϕ) bodu E, který odpovídá středu lopatky. Rovnice konchoidy se snadno určí podle obr. 3, protože odpovídá trajektorii bodu A.
Obr. 3 Trajektorie všech významných bodů na obr. 3 se mohou napsat ve tvaru: 1 + cos ϕ ⎤ ϕ⎤ ⎡ ⎡ ϕ R a cos + ϕ R a cos cos + ⎥ ⎢ ⎢ 2 2⎥ = ⎢ ⎥, rA = ⎢ ϕ⎥ ⎢ ϕ − 1 cos ⎥ ⎢ R sin ϕ + a sin ⎥ R sin ϕ + a ⎥⎦ 2 ⎦ ⎢⎣ ⎣ 2 1 + cos ϕ ⎤ ϕ⎤ ⎡ ⎡ R a ϕ − cos R a ϕ − cos cos ⎢ ⎥ ⎢ 2 2⎥ = ⎢ ⎥, rB = ⎢ ϕ⎥ ⎢ ϕ − 1 cos ⎥ ⎢ R sin ϕ − a sin ⎥ R sin ϕ − a ⎥⎦ 2 ⎦ ⎢⎣ ⎣ 2 1 − cos ϕ ⎤ ϕ⎤ ⎡ ⎡ − + R a ϕ cos R a ϕ − + cos sin ⎢ ⎥ ⎢ 2 2⎥ = ⎢ ⎥, rC = ⎢ ϕ⎥ ⎢ + ϕ 1 cos ⎥ ⎢ − R sin ϕ − a cos ⎥ − R sin ϕ − a ⎥⎦ 2 ⎦ ⎢⎣ ⎣ 2 1 − cos ϕ ⎤ ϕ⎤ ⎡ ⎡ R a ϕ − − cos R a ϕ − − cos sin ⎢ ⎥ ⎢ 2 2⎥ = ⎢ ⎥. rD = ⎢ ϕ⎥ ⎢ ϕ + 1 cos ⎥ ⎢− R sin ϕ + a cos ⎥ − R sin ϕ + a ⎥⎦ 2 ⎦ ⎢⎣ ⎣ 2 ⎡ R cos ϕ ⎤ rE = ⎢ ⎥. ⎣ R sin ϕ ⎦
Pro kreslení a animaci pohybu jedné lopatky byl zpracován jednoduchý programový modul anim.m , který je vylistován na následujících řádkách. % anim.m % programek pro kresleni trajektorie koncoveho bodu vzduchoveho stroje Fi=0:pi/100:4*pi; a=0.2; R=0.02; %R=0.1;
%R=0.05; %a=4*R; R1=a-2*R; k=0; hold off MAMA=moviein(length(Fi)); for fi=Fi k=k+1; xk=R*cos(Fi); yk=R*sin(Fi); x01=R*cos(fi); y01=R*sin(fi); plot(xk,yk) axis([-0.3 0.3 -0.3 0.3]) axis('equal') hold on x=R*cos(fi)+a*cos(fi/2); y=R*sin(fi)+a*sin(fi/2); x1=R*cos(fi)-a*cos(fi/2); y1=R*sin(fi)-a*sin(fi/2); plot(x01,y01,'bo') vekx=[x x1]; veky=[y y1]; plot(vekx,veky,'r') xkonch=R*cos(Fi)+a*cos(Fi/2); ykonch=R*sin(Fi)+a*sin(Fi/2); plot(xkonch,ykonch,'g') xkruz=a*cos(Fi)+R; ykruz=a*sin(Fi); xkruz=a*cos(Fi)+R; ykruz=a*sin(Fi); plot(xkruz,ykruz,'b') xstar=R1*cos(Fi)-R; ystar=R1*sin(Fi); plot(xstar,ystar,'b') axis([-0.3 0.3 -0.3 0.3]) MAMA(:,k)=getframe; hold off end movie(MAMA,5);
Jedna pozice lopatky při animaci je znázorněna na obr. 4
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Obr. 4 Konchoida vždy nemusí být tak blízká křivka kružnici. Na obr. 5 je např. znázorněna zeleně konchoida pro R = 0.1 m, přičemž ostatní veličiny mají zachované hodnoty jako na obr. 2. 0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
-0.2
-0.1
0
Obr. 5
0.1
0.2
0.3
Tento příklad však slouží jen jako ukázkový a nemá praktický význam. Na obr. 2, 3 a 5 je vždy vykreslen jen jeden pár lopatek. Pro animaci pohybu jednoho páru lopatek slouží programový modul anim1.m , který je zpracován v prostředí MATLAB a je vylistován na následujících řádkách. % anim1.m % vzduchovy stroj % programek pro animaci pohybu dvou pridruzenych lopatek Fi=0:pi/100:4*pi; a=0.2; R=0.02; R1=a-2*R; k=0; hold off MAMA=moviein(length(Fi)); for fi=Fi k=k+1; xk=R*cos(Fi); yk=R*sin(Fi); plot(xk,yk) axis([-3/2*a 3/2*a -3/2*a 3/2*a]) axis('equal') hold on x01=R*cos(fi); y01=R*sin(fi); x02=-x01; y02=-y01; x=R*cos(fi)+a*cos(fi/2); y=R*sin(fi)+a*sin(fi/2); x1=R*cos(fi)-a*cos(fi/2); y1=R*sin(fi)-a*sin(fi/2); x2=-R*cos(fi)+a*sin(fi/2); y2=-R*sin(fi)-a*cos(fi/2); x3=-R*cos(fi)-a*sin(fi/2); y3=-R*sin(fi)+a*cos(fi/2); vekx=[x x1]; veky=[y y1]; plot(vekx,veky,'r') plot(x01,y01,'bo') plot(x02,y02,'bo') vekx=[x2 x3]; veky=[y2 y3]; plot(vekx,veky,'r') xkonch=R*cos(Fi)+a*cos(Fi/2); ykonch=R*sin(Fi)+a*sin(Fi/2); plot(xkonch,ykonch,'g') xkruz=a*cos(Fi)+R; ykruz=a*sin(Fi); xkruz=a*cos(Fi)+R; ykruz=a*sin(Fi); plot(xkruz,ykruz,'b') xstar=R1*cos(Fi)-R; ystar=R1*sin(Fi); plot(xstar,ystar,'b') axis([-3/2*a 3/2*a -3/2*a 3/2*a]) MAMA(:,k)=getframe; hold off end movie(MAMA,5);
Protože všechny parametry vačkového hřídele jsou volitelné a tudíž i počet párů lopatek nd , byl pro tento účel zpracován modul anim2.m , který slouží k animaci pohybu vačkového hřídele s volitelným počtem párů lopatek. Tento modul je vylistován na následujících řádkách. % anim2.m % vzduchovy stroj % programek pro animaci pohybu dvou pridruzenych lopatek Fi=0:pi/100:4*pi; a=0.2; R=0.02; R1=a-2*R; %R=0.05; % velmi zajimave %a=2*R; % myslim, ze je to kardioida
% pocet dvojic lopatek nd=2; k=0; hold off MAMA=moviein(length(Fi)); for fi=Fi k=k+1; xk=R*cos(Fi); yk=R*sin(Fi); plot(xk,yk) axis([-3/2*a 3/2*a -3/2*a 3/2*a]) axis('equal') hold on for fi1=fi:pi/nd:fi+(nd-1)*pi/nd x01=R*cos(fi1); y01=R*sin(fi1); x02=-x01; y02=-y01; x=R*cos(fi1)+a*cos(fi1/2); y=R*sin(fi1)+a*sin(fi1/2); x1=R*cos(fi1)-a*cos(fi1/2); y1=R*sin(fi1)-a*sin(fi1/2); x2=-R*cos(fi1)+a*sin(fi1/2); y2=-R*sin(fi1)-a*cos(fi1/2); x3=-R*cos(fi1)-a*sin(fi1/2); y3=-R*sin(fi1)+a*cos(fi1/2); vekx=[x x1]; veky=[y y1]; plot(vekx,veky,'r') plot(x01,y01,'bo') plot(x02,y02,'bo') vekx=[x2 x3]; veky=[y2 y3]; plot(vekx,veky,'r') end xkonch=R*cos(Fi)+a*cos(Fi/2); ykonch=R*sin(Fi)+a*sin(Fi/2); plot(xkonch,ykonch,'g') xkruz=a*cos(Fi)+R;
ykruz=a*sin(Fi); xkruz=a*cos(Fi)+R; ykruz=a*sin(Fi); plot(xkruz,ykruz,'b') xstar=R1*cos(Fi)-R; ystar=R1*sin(Fi); plot(xstar,ystar,'b') axis([-3/2*a 3/2*a -3/2*a 3/2*a]) MAMA(:,k)=getframe; hold off end movie(MAMA,5);
Jedna poloha stroje pro počet párů lopatek nd = 2 je znázorněna na obr. 6 0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Obr. 6 Na všech obrázcích malé kružnice ležící pravidelně rozloženy na obvodu řídící kružnice jsou pohybující se středy lopatek. Kdyby se odstředivé síly od dvojic lopatek přenášely na vačkový hřídel v jedné rovině (kolmé na osu vačkového hřídele), pak by se tyto síly od lopatek v páru navzájem vyrušily a v případě rovnoměrné rotace, kdy vačkový hřídel i excentrický buben konají rovnoměrnou rotaci, by nedocházelo ke smykovému a ohybovému namáhání vačkového hřídele. Pak by materiál byl namáhán jen elementárními odstředivými silami. Protože se však odstředivé síly od jednoho páru lopatek nepřenáší na vačkový hřídel v jedné rovině, vzniká od každého páru lopatek dvojice sil. Tato dvojice sil má svoji opačnou partnerku na druhé straně hřídele (vačkový hřídel je symetrický podle jedné roviny kolmé na jeho osu), takže výsledný moment vymizí, avšak tyto dvě dvojice namáhají svým ohybovým a smykovým účinkem vačkový hřídel.
Silové poměry na vačkovém hřídeli Na obr. 7 jsou znázorněny setrvačné účinky, které se přenášejí z lopatek na vačkový hřídel. Roviny, ve kterých působí setrvačné síly od jednotlivých párů lopatek, jsou navzájem pootočeny o úhel
ϕ=
π
, kde, jak už bylo uvedeno, nd je počet párů lopatek. Čísla nd u kótovacích čar napravo v obrázku značí číslo páru lopatek a polovina délky označená příslušnou kótou odpovídá délce pouzdra jedné lopatky, která patří mezi vstupní parametry odpovídajícího softwaru. Předpokládá se, že délky pouzder jednotlivých lopatek jsou stejné. Druhá svislá řada čísel zprava obsahuje čísla rozhraní (odpovídají místům, ve kterých budeme vyhodnocovat ohybový moment a smykovou sílu. Počet rozhraní je roven pr = 2nd − 1. Za předpokladu, že je celý stroj vyvážen, platí, že celková setrvačná síla a setrvačná dvojice působící na vačkový hřídel je rovna nule a tudíž i reakce ve vazbách ložisek jsou nulové (vlastní tíhu zanedbáváme). Pak, jak je zřejmé z obr. 7, smyková síla v sudých rozhraních je nulová. Setrvačné účinky působící na jednu lopatku stanovíme pomocí základního rozkladu na unášivý pohyb posuvný (střed hmotnosti se pohybuje konstantní rychlostí v = Rω po kružnici
ω
okolo středu 2 hmotnosti. Symbolem ω je označena úhlová rychlost vačkového hřídele, která je dvojnásobná oproti úhlové rychlosti lopatkového bubnu. Z toho plyne, že jediný setrvačný účinek působící na jednu lopatku je odstředivá síla D = mRω 2 působící ve středu hmotnosti každé lopatky. Výsledné smykové síly a momenty působící v cr -tém rozhraní vzniknou sumací všech příslušných sil a momentů působících na levé straně od tohoto rozhraní. Ramena jednotlivých sil se vypočtou podle jednoduchého předpisu r = a/2 pro cr = 1 1⎞ ⎛ ri = a⎜ cr − i − ⎟, i = 0, 1, ..., cr − 1, pro cr = 2, 3, ......, 2nd − 1. 2⎠ ⎝ Platnost uvedených vztahů je možno dokázat jednoduchým dosazením. Jako příklad si uveďme stroj se 6 páry lopatek a výpočet smykových sil a momentů v 8. a 9. rozhraní. Jednotlivé hodnoty parametrů jsou následující: not = 6000 1 / min otáčky vačkového hřídele m = 1.1 kg hmotnost jedné lopatky T = 0.1 s celková doba sledování děje dt = 0.0001 s časový krok a = 0.025 m polovina délky pouzdra lopatky nd = 6 počet párů lopatek cr = 8, 9 čísla rozhraní o poloměru R) a druhotný rotační pohyb konstantní úhlovou rychlostí
Na obr. 8 jsou znázorněny průběhy ohybových momentů a smykových sil v rozhraní 8. Jak bylo výše uvedeno, smykové síly jsou v sudých rozhraních rovny nule a ohybové momenty jsou fázově posunuty.
D cos [(nd − 1)ϕ ] 2 D sin [(nd − 1)ϕ ] 2
D sin[(nd − 1)ϕ ] 2 D cos [(nd − 1)ϕ ] 2
2n d − 6 D cos 2ϕ 2 D sin 2ϕ 2 D cos ϕ 2 D sin ϕ 2 D 2
D 2
Obr. 7
D sin 2ϕ 2 D cos 2ϕ 2 D sin ϕ 2 D cos ϕ 2
2n d − 5 2n d − 4 2n d − 3
2(nd − 1) 2n d − 1
Moment Mz 400
200
200 [Nm]
[Nm]
Moment My 400
0 -200
-200 0
0.05 Cas [s] Smykova sila Sy
-400
0.1
1
1
0.5
0.5
0
0
[N]
[N]
-400
0
-0.5 -1
0
0.05 Cas [s] Smykova sila Sz
0.1
0
0.05 Cas [s]
0.1
-0.5 0
0.05 Cas [s]
-1
0.1
Obr. 8 Na obr. 9 jsou znázorněny tytéž veličiny v rozhraní 9 Moment Mz 400
200
200 [Nm]
[Nm]
Moment My 400
0 -200
-200 0
0.05 Cas [s] Smykova sila Sy
-400
0.1
5000
5000
0
0
-5000
[N]
[N]
-400
0
0
0.05 Cas [s]
0.1
-5000
Obr. 9
0
0.05 Cas [s] Smykova sila Sz
0.1
0
0.05 Cas [s]
0.1
V rozhraní 9 jsou smykové síly nenulové a jsou také fázově posunuty. Programový modul umožňující výpočet ohybových momentů a smykových sil se nazývá namah.m. Pro zobrazení průběhů momentů a smykových sil v závislosti na otáčkách byl zpracován modul namah1.m , který tuto závislost zobrazuje jako plochy. Pro ukázku jsou tyto závislosti zobrazeny na obr. 10-13 Prubeh My v 9 -em rozhrani podel casove osy pro ruzne otacky
400 200 6000
0 -200 4000 -400 0.1 0.08
0.06
2000 0.04
0.02 0
Cas [s]
Otacky n/min
0
Obr. 10 Prubeh Mz v 9 -em rozhrani podel casove osy pro ruzne otacky
500 6000 0 4000
-500 0.1 0.08
2000
0.06 0.04 0.02 Cas [s]
0
Obr. 11
0
Otacky n/min
Prubeh Sy v 9 -em rozhrani podel casove osy pro ruzne otacky
5000 6000
0 4000
-5000 0.1 0.08
2000
0.06 0.04 0.02 Cas [s]
Otacky n/min
0
0
Obr. 12 Prubeh Sz v 9 -em rozhrani podel casove osy pro ruzne otacky
5000 6000
0 -5000
4000
0.1 0.08 0.06
2000 0.04 0.02 Cas [s]
Otacky n/min 0
0
Obr. 13
Závěr Předložená zpráva uvádí použitou metodiku pro řešení kinematických poměrů na vačkovém hřídeli a lopatkách s příslušným programovým vybavením včetně animace pohybu. Toto programové vybavení odpovídá parametrickému modelu, kde vstupní parametry se mohou libovolně měnit a umožňuje posouzení vhodnosti konstrukčního návrhu vzduchového stroje. V druhé části je obsažena příslušná metodika a programové vybavení pro určení vnitřních účinků, jako jsou smykové síly a ohybové momenty včetně aplikací.
Reference [1] Výkresová dokumentace a patentový návrh vzduchového stroje Frotor.
