A háromszög nevezetes köreinek sugaraival kapcsolatos feladatok
ÖSSZEÁLLÍTOTTA: KUBATOV ANTAL © 2003 / 2006
Előzetes tudnivalók
Előzetes tudnivalók Az összefüggések leírására a következő ábra jelöléseit használjuk:
I.
Minden háromszögben érvényes összefüggések:
t D = rs
t D = ra (s - a ) = rb (s - b ) = rc (s - c ) t D = s (s - a )(s - b )(s - c ) abc 4R x= s-a
tD =
y = s -b
z = s-c
E1 E 2 = (s - b ) + (s - c ) = a tg
II.
AE2 = s
a ra r = = 2 s s-a
Minden háromszögben:
a b g a b g + cgt + cgt = cgt cgt ctg 2 2 2 2 2 2 a b b g g a tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 ctg
minden nem derékszögű háromszögben:
tga + tgb + tgg = tga × tgb × tgg
III.
Hegyesszögű háromszögben a magasságpont és bármely két csúcs köré írt kör sugara ugyanakkora, mégpedig egyenlő a háromszög köré írt körének sugarával.
IV.
A magasságpont oldalakra illetve oldalközéppontokra vonatkozó tükörképei a háromszög köré írható körén vannak.
1
Feladatok
Feladatok 1.
Bizonyítsuk be az alábbi összefüggések helyességét minden háromszögre! a.)
1 1 1 1 = + + r m a mb m c
b.)
1 1 1 1 = + + r ra rb rc
c.) ra + rb + rc - r = 4 R d.) sin a + sin b + sin g =
s R
e.) r × ra × rb × r = t 2 f.) a 2 b 2 c 2 = 16 R 2 × r × ra × rb × rc g.) t = r 2 × ctg
a b g × ctg × ctg 2 2 2
h.) ra rb + rb rc + rc ra = s 2
ær i.) çç a è ma
2.
2
ö æ rb ÷÷ + çç ø è mb
2
ö æ rc ÷÷ + çç ø è mc
2
ö 8R 2 + r 2 ÷÷ = 2r 2 ø
A következő feladatok derékszögű háromszögekre vonatkoznak (c az átfogó). a.) r = 14 rc = 99
a; b; c = ?
b.) c = 73 r = 15
a; b = ?
c.) r = 10 a = 28
b; c = ?
d.) r = 3
a; b; c = ?
k = 40
3.
Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai 3; 10 és 15 egység. Mekkora a háromszög kerülete?
4.
Szerkesztendő az ABC háromszög ha adott az AB oldal, a beírt kör sugara, továbbá az AB oldalhoz hozzáírt kör sugara.
5.
Adott egy konvex szögtartomány és rajta kívül egy P pont. Szerkesszük a P ponton keresztül olyan egyenest, mely a szögtartományból adott kerületű háromszöget vág le!
2
Feladatok
6.
Adott az ABC háromszög és a köré írt egységnyi sugarú kör. Van egy olyan körzőnk, mellyel csak egységnyi sugarú köröket tudunk szerkeszteni. Szerkesszük meg a háromszög magasságpontját csak ennek a körzőnek a segítségével!
7.
Szerkesszünk háromszöget, ha adott a c oldal, a hozzátartozó mc magasság, és a másik két oldal összege: d ( = a + b )!
8.
Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik szöge, az ezt felező egyenes háromszögbe eső szakasza és a háromszög kerülete!
9.
Szerkesszünk háromszöget, ha adott a beírt körének, valamint két hozzáírt körének középpontja!
10.
Tekintsük az ABC háromszöget oldalait érintő négy kör közül az a kettőt, amely az AB oldalt érinti. Bizonyítsuk be, hogy e két kör sugarának mértani közepe nem lehet nagyobb az AB oldal felénél!
11.
Mutassuk meg, hogy az ABC háromszöget érintő körök közül bármelyik három középpontján átmenő kör sugara az ABC háromszög köré írható körének átmérőjével egyenlő!
12.
Az ABC háromszögbe írt kör a BC oldalt D pontban, a körnek BC-vel párhuzamos érintője E pontban érinti. Az AE egyenes a BC oldalt az M pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy BM = CD!
13.
Az ABC háromszög oldalait a beírt kör K1, K2 és K3 pontokban érinti. A hozzáírt körök középpontjai O1, O2 és O3. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög területe mértani közepe K1K2K3 és O1O2O3 háromszögek területeinek!
14.
Egy háromszög egyik oldala egyenlő a másik két oldal összegének harmadával. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti háromszögbe és a középháromszögbe írt körök érintik egymást!
15.
Az ABC háromszögbe írt kör középpontja O, a hozzáírt köröké O1, O2, O3. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont közül bármelyik három ponton átmenő kör sugara ugyanakkora!
16.
Egy háromszög hozzáírt köreinek középpontjából állítsunk merőlegeseket a háromszög érintett oldalaira. Bizonyítsuk be, hogy a három egyenes egy pontban metszi egymást!
3
Feladatok
17.
Kössük össze a háromszög egyik csúcsát a beírt kör és a szemközti oldalhoz tartozó hozzáírt kör középpontjával. Bizonyítsuk be, hogy a két távolság szorzata egyenlő a választott csúcs és a másik két hozzáírt kör középpontja közti távolságok szorzatával!
18.
A háromszög oldalait belülről érintő körhöz az a, b, c oldalakkal párhuzamosan húzott érintőknek a háromszög belsejében lévő szakaszai legyenek a1, b1, c1. Bizonyítsuk be, hogy
a1 b1 c1 + + = 1! a b c
19.
A 18. feladatban leírt módon keletkezett „kis háromszögekbe” is rajzoljuk meg a beírható köröket. Határozzuk meg a négy kör területének összegét az eredeti háromszög oldalainak segítségével!
20.
Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
21.
Bizonyítsuk be, hogy a hegyesszögű háromszög területe egyenlő a köré írt kör sugarának és a talpponti háromszög félkerületének szorzatával!
22.
Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben cos a + cos b + cos g = 1 +
cos a + cos b + cos g £
r ! R
3 2
1 ) 8 R cos a + R cos b + R cos g = R + r
( Sugáregyenlőtlenség: cos a cos b cos g £
23.
Legyen A1 , A2 , L An tetszőleges n oldalú húrsokszög, melyet egymást nem metsző átlói (n-2) darab háromszögre bontanak. Igazoljuk, hogy a háromszögekbe beírt körök sugarainak összege nem függ a felbontástól!
24.
Egy háromszög oldalai egész számok, beírt körének sugara egységnyi. Határozzuk meg a háromszög oldalait!
25.
Egy háromszög oldalainak, valamint beírt köre r és hozzáírt körei ra, rb, rc sugarainak mértékszámai egész számok, a sugarakéi párosak. Határozzuk meg a háromszög oldalait, ha
r × ra × rb + r × rb × rc + r × rc × rc + ra × rb × rc = r × ra × rb × rc !
4
Feladatok
26.
Valamely háromszögről a következőt tudjuk: r = 1; ra , rb , rc Î Z + ; t Î Z + . Határozzuk meg a háromszög a háromszög oldalait!
27.
Egy derékszögű háromszög oldalainak mértékszámai egészek, melyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk. Az átfogóhoz hozzáírt kör sugara 420. Határozzuk meg az oldalak mértékszámát!
28.
Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M, oldalai a, b, c. Mutassuk meg, hogy
a b c a b c + + = × × ! MA MB MC MA MB MC
29.
30.
Állapítsuk meg az
Bizonyítandó:
ra2 + rb2 + rc2 tört minimumát! s2
r r1 r2 r × × ..... × n = r1 r 2 rn r
(A felosztó egyenesek tetszőlegesek; r az ABC háromszögbe írt kör sugara; r az ABC háromszöghöz hozzáírt kör sugara)
31.
Egy négyzetbe írjunk egy olyan általános négyszöget, melynek átlói merőlegesek egymásra. A beírt négyszög oldalai és az átlói a négyzetet nyolc háromszögre bontja, melyekbe megrajzoljuk a beírt köröket és az egyes háromszögeket az ábra szerint pirosra és kékre színezzük. Igazoljuk, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak az összege megegyezik a kék háromszögbe írt körök sugarainak az összegével!
32.
Jelölje P egy szabályos háromszög tetszőleges belső pontját. P-ből az oldalakra állított merőlegesek talppontjai A1, B1 és C1. A keletkezett hat kis háromszöget kiszínezzük pirossal és kékkel felváltva valamelyik körüljárást követve, majd megrajzoljuk mindegyik kis háromszög beírható körét. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak az összege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak az összegével!
5
Feladatok
33.
Az ABCD érintőtrapézt átlói négy háromszögre bontják. A két-két szemközti háromszöget színezzük pirosra és kékre, majd megrajzoljuk mindegyik kis háromszögbe írható kört. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszegével!
34.
Egy tetszőleges háromszögben megrajzoljuk a súlyvonalakat, majd a keletkezett kis háromszögeket valamelyik körüljárást követve felváltva pirosra és kékre színezzük és megrajzoljuk mindegyik beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszegével!
35.
Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög derékszögű, akkor az oldalegyeneseket érintő körök sugarai közül az egyik egyenlő a másik három érintő kör sugarának összegével!
6
Megoldások
Megoldások Feladat 1. Bizonyítsuk be az alábbi összefüggések helyességét minden háromszögre! a.)
1 1 1 1 = + + r m a mb m c Induljunk ki a háromszög területét kifejező összefüggésekből:
t=
ama 2
t = rs
Þ
1 a = ma 2t
Þ
s 1 = t r
A többi oldalra is felírva, majd összeadva őket:
1 1 1 a b c a + b + c 2s s 1 + + = + + = = = = ma mb mc 2t 2t 2t 2t 2t t r 1 1 1 1 + + = □ ma mb mc r b.)
1 1 1 1 = + + r ra rb rc Induljunk ki a háromszög területét kifejező összefüggésekből:
t = ra (s - a )
Þ
1 s-a = ra t
t = rs
Þ
s 1 = t r
A többi oldalra is felírva, majd összeadva őket:
1 1 1 s - a s - b s - c 3s - (a + b + c ) s 1 + + = + + = = = ra rb rc t t t t t r 1 1 1 1 + + = □ ra rb rc r
7
Megoldások c.)
ra + rb + rc - r = 4 R Induljunk ki a háromszög területét kifejező összefüggésekből:
t = ra (s - a )
Þ
1 s-a = ra t
t = rs
Þ
s 1 = t r
Þ
abc = 4R t
R=
abc 4t
A többi oldalra is felírva, majd összeadva őket:
ra + rb + rc - r =
t t t t + + - = s - a s -b s -c s
=
t[ s ( s - b)(s - c ) + s ( s - a)( s - c) + s ( s - a )(s - b) - ( s - a )(s - b)(s - c )] = s (s - a )(s - b)(s - c )
=
t[ s ( s - c )(s - b + s - a ) + (s - a )(s - b)(s - s + c)] = s ( s - a )(s - b)(s - c )
=
t × c( s 2 - c × s + s 2 - a × s - b × s + a × b) = t2
=
c 2s 2 - (a + b + c )s + ab c 2 s 2 - 2 s 2 + ab abc = = = 4R t t t
(
) (
)
ra + rb + rc - r = 4 R □ d.)
sin a + sin b + sin g =
s R
Induljunk ki a színusztételből:
sin a =
a 2R
A többi oldalra is felírva, majd összeadva őket:
sin a + sin b + sin g =
a b c a+b+c s + + = = 2R 2R 2R 2R R
sin a + sin b + sin g =
s □ R 8
Megoldások e.)
r × ra × rb × r = t 2 Használjuk a következő összefüggéseket:
abc R= 4t t2 =
Þ
abc t= 4R
2
Þ
a 2b 2 c 2 æ abc ö t =ç ÷ = 16 R 2 è 4R ø 2
t4 t4 t t t t = = × × × = r × ra × rb × rc □ 2 t s (s - a )(s - b )(s - c ) s s - a s - b s - c
f.)
a 2 b 2 c 2 = 16 R 2 × r × ra × rb × rc Használjuk fel az e.) részben kapott összefüggéseket:
a 2b 2 c 2 t = = r × ra × rb × rc 16 R 2 2
a 2 b 2 c 2 = 16 R 2 × r × ra × rb × rc □ g.)
t = r 2 × ctg
a b g × ctg × ctg 2 2 2
Használjuk fel az ábráról is leolvasható ismert összefüggéseket:
ctg
a s-a = 2 r
t = rs A többi oldalra is felírva, majd alakítva:
t 2 s (s - a )(s - b )(s - c ) t= = = t r×s = r2 ×
s-a s-b s-c a b g × × = r 2 ctg ctg ctg r r r 2 2 2
t = r 2 ctg
a b g ctg ctg □ 2 2 2
9
Megoldások Ha továbblépünk, és másképpen is felírjuk a területet
t = rs = r (3s - 2s ) = r ((s - a ) + (s - b ) + (s - c )) =
a b gö a b gö æ æ = r ç rctg + rctg + rctg ÷ = r 2 ç ctg + ctg + ctg ÷ 2 2 2ø 2 2 2ø è è a b gö æ t = r 2 ç ctg + ctg + ctg ÷ 2 2 2ø è Ez az állítás is minden háromszögre teljesül. Összevetve az előbb kapott azonossággal kapjuk:
a b g a b gö æ ctg ctg = r 2 ç ctg + ctg + ctg ÷ 2 2 2 2 2 2ø è a b g a b g ctg ctg ctg = ctg + ctg + ctg 2 2 2 2 2 2
t = r 2 ctg
ami minden háromszögre érvényes. (Teljesen hasonló módon megkaphatjuk a minden nem derékszögű háromszögre érvényes
tga + tgb + tgg = tgatgbtgg összefüggést.) h.)
ra rb + rb rc + rc ra = s 2 Használjuk a következő összefüggéseket:
ra =
t s-a
t 2 = s (s - a )(s - b )(s - c ) s (s - a ) =
t2 (s - b )(s - c )
Ezt a többi oldalra is felírva és felhasználva:
ra rb + ra rc + rb rc = =
t t t t t t × + × + × = s-b s-c s-a s-c s-a s-b
=
t2 t2 t2 + + = s (s - a ) + s (s - b ) + s (s - c ) = (s - b )(s - c ) (s - a )(s - c ) (s - a )(s - b )
10
Megoldások
= s ((s - a ) + (s - b ) + (s - c )) = s (3s - 2 s ) = s 2 s 2 = ra rb + ra rc + rb rc □ Ha a bizonyított állításunkat tovább rendezzük:
s 2 = ra rb + ra rc + rb rc 1=
ra rb ra rc rb rc × + × + × s s s s s s
1 = tg
a b a g b g tg + tg tg + tg tg 2 2 2 2 2 2
összefüggéshez jutunk. i.)
æ ra çç è ma
2
2
2
ö æ rb ö æ rc ö 8R 2 + r 2 ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ = 2r 2 ø è mb ø è mc ø
Használjuk a következő összefüggéseket:
t=
ama = ra (s - a ) = rs 2
ra a s - (s - a ) s 1 r 1 r -r = = = - = a - = a m 2(s - a ) 2(s - a ) 2(s - a ) 2 2r 2 2r Ezt a többi oldalra is felírva és felhasználva:
æ ra çç è ma =
2
2
ö æ rb ö æ rc ÷÷ + çç ÷÷ + çç ø è mb ø è mc
2
2
2
3r 2 - 2r (ra + rb + rc ) + ra2 + rb2 + rc2 = 4r 2
felhasználva a c.) és a h.) feladat eredményeit
(ra + rb + rc - r ) 2 - 2(ra rb + ra rc + rb rc ) + 2r 2 = = 4r 2 16 R 2 - 2s 2 + 2r 2 8 R 2 + r 2 - s 2 = = 4r 2 2r 2 æ ra çç è ma
2
2
ö æ rb ö æ rc ÷÷ + çç ÷÷ + çç ø è mb ø è mc
2
ö æ ra - r ö æ rb - r ö æ rc - r ö ÷÷ = ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ = ø è 2r ø è 2r ø è 2r ø
2
ö 8R 2 + r 2 - s 2 ÷÷ = □ 2r 2 ø
11
Megoldások
Feladat 2. A következő feladatok derékszögű háromszögekre vonatkoznak (c az átfogó). a.)
r = 14 rc = 99
a; b; c = ?
Írjunk fel összefüggéseket az ismeretlenekre!
c = s - (s - c ) = 99 - 14 = 85 Tehát
x + y = 85 A Pitagorasz-tételét felírva:
( x + 14) 2 + ( y + 14 ) = 852 = ( x + y ) 2 2
xy = 1386 Ugyanezt megkaptuk volna, ha a területet írjuk fel kétféle módon
t = rs = A kapott egyenlterendszert megoldva
ì x1 = 63 í î y1 = 22
ì x2 = 22 í î y 2 = 63
Tehát a háromszög befogói 77 illetve 36 egységnyiek. □ b.)
c = 73 r = 15
a; b = ?
Számítsunk ki adatokat:
c = 73 = x + y s=
(x + 15) + ( y + 15) + (x + y ) = x + y + 15 = 88 2
Írjuk fel a területet kétféle módon
t = rs =
(x + 15)( y + 15) 2
12
(x + 14 )( y + 14 ) 2
Megoldások
(x + 15)( y + 15)
15 × 88 =
2
xy = 1320 A kapott egyenlterendszert megoldva
ì x1 = 33 í î y1 = 40
ì x2 = 40 í î y 2 = 33
Tehát a háromszög befogói 55 illetve 48 egységnyiek. □ c.)
r = 10 a = 28
b; c = ?
Írjuk fel a pitagorasz-tételt
(x + 10 )2 + 28 2 = (x + 18)2 20 x + 100 + 784 = 36 x + 324 x = 35 Tehát a keresett oldalak: b = 45 és c = 53 . □ d.)
r =3
k = 40
a; b; c = ?
Számítsunk ki adatokat:
s = 20 =
2x + 2 y + 6 = x+ y+3 2
x + y = 17 Írjuk fel a területet kétféle módon
t = rs = 3 × 20 =
(x + 3)( y + 3) 2
(x + 3)( y + 3)
Þ
2
xy = 60
A kapott egyenlterendszert megoldva
ì x1 = 2 í î y1 = 5
ì x2 = 5 í î y2 = 2
Tehát a háromszög befogói 8 illetve 15 egységnyiek. □
13
Megoldások
Feladat 3. Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai 3; 10 és 15 egység. Mekkora a háromszög kerülete? Az 1/h. feladat alapján
3 ×10 + 15 × 3 + 10 ×15 = s 2 s = 15
Þ
k = 30 □
Feladat 4. Szerkesztendő az ABC háromszög ha adott az AB oldal, a beírt kör sugara, továbbá az AB oldalhoz hozzáírt kör sugara. Az ábra alapján:
E1 E2 = E1 A + AE2 = s - a + s - b = c E1 E2 = c E1 E2 Oc O szerkeszthető, tehát a háromszög is szerkeszthető. □
Feladat 5. Adott egy konvex szögtartomány és rajta kívül egy P pont. Szerkesszük a P ponton keresztül olyan egyenest, mely a szögtartományból adott kerületű háromszöget vág le! Az ábra alapján: A c oldalhoz hozzáírt kör könnyen szerkeszthető, hiszen
E1 és E2 is s távolságra van a C-től. Ezután P-ből érintőt szerkesztünk k-hoz. (Nincs megoldás, ha nem szerkeszthető érintő.) □
Feladat 6. Adott az ABC háromszög és a köré írt egységnyi sugarú kör. Van egy olyan körzőnk, mellyel csak egységnyi sugarú köröket tudunk szerkeszteni. Szerkesszük meg a háromszög magasságpontját csak ennek a körzőnek a segítségével!
14
Megoldások Az ábra alapján: Tudjuk, hogy M oldalakra vonatkozó tükörképe k-n van. Ezért KM ' = KM ' ' = KM ' ' ' = 1 . Így, ha az oldalakra tükrözzük pl. KM ' -t, akkor a tükörkép is egységnyi. Tehát K-t tükrözzük két oldalra (K’;K’’), majd K’ és K’’ körüli egységnyi sugarú körök metszéspontjaként megkapjuk M-et. □
Feladat 7. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a c oldal, a hozzátartozó mc magasság, és a másik két oldal összege: d ( = a + b )! Az ábra alapján:
s=
c+d szerkeszthető 2
c × mc = r × s
Þ
mc s = r c
azaz r szerkeszthető (negyedik arányos szerkesztése). Így a szerkesztés menete például:
CEOD szerkesztése,ebböl a beírható kör szerkesztése,majd C középpontú, mc sugarú kör felvétele.A két kör közös külső érintője a c oldal. □
Feladat 8. Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik szöge, az ezt felező egyenes háromszögbe eső szakasza és a háromszög kerülete! Az ábra alapján: G szerkesztése;az a oldalhoz hozzáírt kör szerkesztése; G-ből érintő szerkesztése a körhöz. □
15
Megoldások
Feladat 9. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a beírt körének, valamint két hozzáírt körének középpontja! Az ábra alapján:
Ob -ből merőleges szerkeztése Oa O -ra, Oa -ból merőleges szerkesztése Ob O -ra. Az így kapott egyenesek metszéspontja
Oc .ABC az Oa Ob Oc talpponti háromszöge. □
Feladat 10. Tekintsük az ABC háromszöget oldalait érintő négy kör közül az a kettőt, amely az AB oldalt érinti. Bizonyítsuk be, hogy e két kör sugarának mértani közepe nem lehet nagyobb az AB oldal felénél! Az ábra alapján:
c = OOc2 . - (rc - r ) ³ 2
(r + rc )2 - (rc - r )2
= 2 rrc
c ³ 2 rrc c ³ rrc □ 2 És ezt kellett bizonyítanunk!
Feladat 11. Mutassuk meg, hogy az ABC háromszöget érintő körök közül bármelyik három középpontján átmenő kör sugara az ABC háromszög köré írható körének átmérőjével egyenlő! Az ábra alapján: Triviális, hogy az Oa Ob Oc háromszög mindig hegyesszögű melynek O a magasságpontja.Az O; Oa ; Ob ; Oc pontok közül bármely három köré írható kör sugara megegyezik(lásd Geometriai feladatok gyüjteménye I., 1082.feladat). Másrészt az ABC háromszög köré írt kör az Oa Ob Oc háromszög Feuerbach köre, s így sugara fele az Oa Ob Oc háromszög köré írt sugarának. □
16
Megoldások
Feladat 12. Az ABC háromszögbe írt kör a BC oldalt D pontban, a körnek BC-vel párhuzamos érintője E pontban érinti. Az AE egyenes a BC oldalt az M pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy BM = CD! Az ábra alapján: Ha megmutatjuk, hogy M a hozzá írt kör érintési pontja akkor készen vagyunk, hiszen a beírt kör érintési pontja olyan messze van az egyik csúcstól, mint a hozzáírt kör érintési pontja a másiktól. A beírt kör a felső kis háromszögnek hozzá írt köre. Tekintsük azt a középpontos hasonlóságot (középpont: A), mely a kis háromszöget a nagy háromszögbe viszi. Ez a hozzá írt kör E érintési pontját is átviszi az M-be, a nagy háromszög hozzáírt körének érintési pontjába. □
Feladat 13. Az ABC háromszög oldalait a beírt kör K1, K2 és K3 pontokban érinti. A hozzáírt körök középpontjai O1, O2 és O3. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög területe mértani közepe K1K2K3 és O1O2O3 háromszögek területeinek! Használjuk a következő jelöléseket:
toa ob oc = T t ABC = t t K 1K 2 K 3 = t Ekkor felírhatjuk a következőket
æ (s - a )2 × sin a (s - b )2 × sin b (s - c )2 × sin g t = t - çç + + 2 2 2 è t=
a × b × sin g Þ 2
sin g =
ö ÷ ÷ ø
2×t a ×b
æ (s - a )2 (s - b )2 (s - c )2 ö ÷= t = t - t × çç + + ÷ bc ac ab è ø
æ a × b × c - a × (s - a )2 - b × (s - b )2 - c × (s - c )2 ö ÷= = t × çç ÷ a × b × c è ø
17
Megoldások
æ a × b × c - a × s 2 + 2 × a 2 × s - a3 - b × s 2 + 2 × b 2 × s - b3 - c × s 2 + 2 × c 2 × s - c3 ö ÷÷ = = t × çç a×b×c ø è
(
)
(
)
æ - (a + b + c ) × s 2 + 2 × a 2 + b 2 + c 2 × s - a 3 + b 3 + c 3 + a × b × c ö ÷÷ = = t × çç a ×b ×c ø è =
2 × (s - a ) × (s - b ) × (s - c ) a ×b ×c
Tudjuk, hogy
r a (s - a ) = t T=
Þ
ra =
t s-a
a × ra b × rb c × rc b c a ×b ×c ×t 1æ a ö + + +t = ç + + + 2÷ ×t = 2 2 2 2è s - a s -b s - c 2(s - a )(s - b )(s - c ) ø
T ×t = t 2 □
Feladat 14. Egy háromszög egyik oldala egyenlő a másik két oldal összegének harmadával. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti háromszögbe és a középháromszögbe írt körök érintik egymást! Az ábra alapján:
b=
a+c 3
Þ
CAF1 F2 érintőnégyszög,
tehát F1 F2 érinti a beírható kört.
T1F2 = F1T2 (a beírt illetve a hozzáírt kör érintési pontjainak csúcsoktól való távolsága alapján). Jelölje k 2 az F1 BF2 háromszög beírt körét. A k 2 kör tükörképe F1 F2 felezőpontjára k3 . F1 F2 a k1 és k3 közös érintője
T2 -ben. Tehát k1 és k3 T2 -ben érinti egymást. □
Feladat 15. Az ABC háromszögbe írt kör középpontja O, a hozzáírt köröké O1, O2, O3. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont közül bármelyik három ponton átmenő kör sugara ugyanakkora! Az O1O2 O3 háromszög mindig hegyesszögű valamint lásd a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1082. feladatának megoldását! □
18
Megoldások
Feladat 16. Egy háromszög hozzáírt köreinek középpontjából állítsunk merőlegeseket a háromszög érintett oldalaira. Bizonyítsuk be, hogy a három egyenes egy pontban metszi egymást! Az ábra alapján: A hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszögben az eredeti háromszög talpponti háromszög. Ha megmutatjuk, hogy a háromszög csúcsaiból a talpponti háromszög oldalaira emelt merőlegesek egy pontban metszik egymást, akkor készen vagyunk. Megmutatjuk, hogy ezek az egyenesek átmennek a háromszög köré írható kör középpontján. Legyen M 1 illetve M 2 az M tükörképe AB -re illetve BC -re (rajta vannak k -n).
MB = M 1 B = M 2 B így M 1 BM 2 egyenlőszárú, tehát a B -ből induló M 1 M 2 -re merőleges egyenes felezi az M 1 M 2 húrt, s így átmegy k középpontján is. M 1 M 2 T1T2 (hisz M középpontú ½-szeres középpontos hasonlóság adja), így az M 1 M 2 felező merőlegese merőleges T1T2 -re, azaz a csúcsokból a talpponti háromszög oldalaira bocsátott egyenesek átmennek a kör középpontján. □
Feladat 17. Kössük össze a háromszög egyik csúcsát a beírt kör és a szemközti oldalhoz tartozó hozzáírt kör középpontjával. Bizonyítsuk be, hogy a két távolság szorzata egyenlő a választott csúcs és a másik két hozzáírt kör középpontja közti távolságok szorzatával! Az állítás így is írható:
COb CO
=
COc COa
Az ábra alapján:
Ob OC D ~ COc OaD Ob COÐ = Oa COc Ð = 90 o COb OÐ = COc Oa Ð ß COb COc □ = CO COa
19
Megoldások
Feladat 18. A háromszög oldalait belülről érintő körhöz az a, b, c oldalakkal párhuzamosan húzott érintőknek a háromszög belsejében lévő szakaszai legyenek a1, b1, c1. Bizonyítsuk be, hogy
a1 b1 c1 + + =1 a b c ! Az ábra alapján: A kis háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, a hasonlóságuk aránya a hozzáírt körök érintési pontjait a távolabbi csúcsokkal összekötő szakaszok aránya.
c1 s - c = c s a1 b1 c1 s - a s - b s - c 3s - (a + b + c ) =1 □ + + = + + = a b c s s s s
Feladat 19. A 18. feladatban leírt módon keletkezett „kis háromszögekbe” is rajzoljuk meg a beírható köröket. Határozzuk meg a négy kör területének összegét az eredeti háromszög oldalainak segítségével! Az előző észrevételt felhasználva:
r1 s - a = r s
r2 s - b = r s
r3 s - c = r s
Így
æ (s - a )2 + (s - b )2 + (s - c )2 + s 2 ö ÷= r12p + r22p + r32p + r 2p = r 2p çç 2 ÷ s è ø Héron képlet 2 2 2 ( s - a ) + (s - b ) + (s - c ) + s 2 = ps (s - a )(s - b )(s - c ) 4
s
□
Feladat 20. Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? Tegyük fel, hogy
r £ ra £ rb £ rc
20
Megoldások Ekkor
ra rc = r rb
Þ
t t s-a = s-c t t s s -b
s s-b = s-a s-c s2 - s × c = s2 - a × s - b × s + a × b s × (a + b - c ) = a × b
(a + b )2 - c 2 2
= a ×b
a2 + b2 + 2 × a × b - c2 = 2 × a × b a 2 + b2 = c2 Tehát a háromszög legnagyobb szöge 90 o .□
Feladat 21. Bizonyítsuk be, hogy a hegyesszögű háromszög területe egyenlő a köré írt kör sugarának és a talpponti háromszög félkerületének szorzatával! I. megoldás: Az ábra alapján: A megoldás hasonló ahhoz, ahogyan a legkisebb kerületű beírható háromszöget szerkesztjük. ,
"
T3 BT3 D ~ AKCD T3' B = T3" B = T3 B = mb
T3'T3" = k
k b = Þ b × mb = k × R mb R t=
b × mb k × R = 2 2
K a köréírt kör középpontja k a talpponti háromszög kerülete. □
21
Megoldások II. megoldás: Azt használjuk fel, hogy a magasságpontnak az oldalra vonatkozó tükörképei a köréírt körön vannak. Az AM’ BM” CM”’ hatszög területe kétszerese az ABC háromszög területének ( a tükrözés miatt). Ez 3 deltoidból rakható össze.( PL. KM’ AM’’’ deltoidból mert KM”’= KM’=R és AM’ és AM”’ ugyanakkora kerületi szögekhez tartozó húrok.) Így a hatszög területe:
R× =
M 'M" M ' M"' M " M '" + R× + R× = 2 2 2
R × (M ' M "+ M ' M " '+ M " M " ') 2
Másrészt az M’M”M”’ háromszög a talpponti háromszög 2-szeres nagyítása M-ből. Így kerülete is 2-szerese annak. Tehát a hatszög területe:
R R×k × 2 × k Þ t ABC = □ 2 2 III. megoldás: Tudjuk, hogy az eredeti ABC magasságvonalai a talpponti háromszög szögfelezői. Ez azt is jelenti, hogy pl. AB külső szögfelező, hiszen merőleges a belső (T1C) szögfelezőre. Ebből következik, hogy B a talpponti háromszög T1T2 oldalához írt kör középpontja.
k T3 E = 2 sin b =
Þ
k cos(90o - b ) = 2 mb
b 2× R
azaz
k b = 2 × mb 2 × R t ABC =
R×k □ 2
Feladat 22. Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben:
cos a + cos b + cos g = 1 +
r ! R
22
Megoldások
cosa + cos b + cos g = 1 +
r R
[1]
b2 + c2 - a 2 a 2 + c 2 - b2 a 2 + b2 - c 2 = + + 2×b×c 2× a ×c 2×a ×b
t 4 ×t2 4 × s × (s - a )(s - b )(s - c ) s 1+ = 1+ = 1+ a ×b ×c s × a ×b ×c s × a ×b ×c 4 ×T Már könnyen belátható.
r 1 £ R 2 (sugáregyenlőtlenség) az egyenlőség akkor teljesül, ha a háromszög szabályos. A sugáregyenlőtlenségből következik, hogy a háromszög Feuerbach-féle körének sugara(R/2) nem lehet kisebb a beírt kör sugaránál(r). A fentiekből következik:
cos a + cos b + cos g £
3 2
1 cosa + cos b + cos g 3 ³ ³ cosa × cos b × cos g 2 3 1 ³ cos a × cos b × cos g 8
[1] -et rendezve: R × cosa + R × cos b + R × cos l = r + R R cos a : K oldaltól való előjeles távolsága ha a < 90°
ha a = 90°
ha a > 90°
cos a = 0
cos( 180° - a ) = - cos a
Vagyis az állítás megfogalmazható így is: d1 + d 2 + d3 = R + r ahol d k a köréírható kör közzépontjának előjeles távolsága a megfelelő oldaltól. □
23
Megoldások
Feladat 23. Legyen A1 , A2 , L An tetszőleges n oldalú húrsokszög, melyet egymást nem metsző átlói (n-2) darab háromszögre bontanak. Igazoljuk, hogy a háromszögekbe beírt körök sugarainak összege nem függ a felbontástól! Alkalmazzuk az előző észrevételt minden háromszögre! Minden – átlóhoz tartozó – szakasz pontosan két háromszögben szerepel, egyszer pozitív, egyszer negatív előjellel, így ha összegezzük minden háromszögre, akkor n -2
å (R + r ) = d
' 1
i
i =1
+ d 2' + ... + d n'
Ahol d1' a sokszög oldalainak távolsága a középponttól, és az adott sokszög esetén állandó. Így a fenti egyenletből: n -2
n
i =1
i =1
å ri = å d i' - (n - 2) R állandó □ Feladat 24. Egy háromszög oldalai egész számok, beírt körének sugara egységnyi. Határozzuk meg a háromszög oldalait! A következők jelöléseket használjuk:
x = s - a;
y = s - b;
z = s-c
r =1 t D = r × s = s × (s - a )(s - b )(s - c ) s = (s - a )(s - b )(s - c ) x+ y + z = x× y×z Mivel a, b, c pozitív egészek x, y, z vagy egészek vagy k + a.) x, y, z
k+
1 alakúak 2
2x, 2y, 2z páratlanok
4 × (2 x + 2 y + 2 z ) = 2 x × 2 y × 2 z 1442443 14243 páros
páratlan
Ellentmondásra jutottunk, tehát:
24
1 alakúak. 2
Megoldások
b.) x, y, z egész Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy x ³ y ³ x. Ekkor
3x ³ x + y + 1 = x × y × z 3 ³ y×z
(y,z pozitív egészek)
x
y
z
2
1
3
3
1
2
-
1
1
Tehát a háromszög oldalai 3,4 és 5 egységnyire. □
Feladat 25. Egy háromszög oldalainak, valamint beírt köre r és hozzáírt körei ra, rb, rc sugarainak mértékszámai egész számok, a sugarakéi párosak. Határozzuk meg a háromszög oldalait, ha r × ra × rb + r × rb × rc + r × rc × rc + ra × rb × rc = r × ra × rb × rc !
r × ra × rb + r × ra × rc + r × rb × rc + ra × rb × rc = r × ra × rb × rc 1 1 1 1 + + + =1 r ra rb rc 14243
2 =1 r
Þ
r=2
1 r
Tehát t = r × s egész
Þ
r × ra × rb × rc négyzetszám
1 1 1 1 + + = ra rb rc 2 ha ra = rb = rc = 6 , akkor 2 × 6 × 6 × 6 nem négyzetszám
Þ
ellentmondás!
Az általánosság megszorítása nélkük feltehetjük, hogy ra £ rb £ rc
3 1 1 1 1 ³ + + = Þ ra ra rb rc 2
ra £ 6 (az r=6 esetet már vizsgáltuk)
ra = 4 (hiszen páros és ra > r = 2 ) 1 1 1 + = rb rc 4
Þ
4 × rb + 4 × rc = rb × rc
25
Þ
rb =
4 × rc 16 = 4+ rc - 4 rc - 4
Megoldások
rc - 4
rc
rb
16
20
5
8
12
6
4
8
8
2
6
12
-2
2
-
-4
0
-
-8
-4
-
-16
-12
-
rb páros és rc ³ rb
rb páros és rc ³ rb
Ha rc = 12 és rb = 6 , akkor ra = 4 és r = 2 , ekkor
t D2 = 2 × 4 × 6 ×12
Þ
t D = 24
és
s=
24 = 12 2
s-a =
24 24 24 = 6; s-b = = 4; s -c = =2 4 6 12
a = 6; b = 8; c = 10 Ha rc = 8 és rb = 8 , akkor ra = 4 és r = 2 , de ekkor a szorzatuk nem négyzetszám Tehát a háromszög oldalai 6, 8, és 10 egységnyiek. □
Feladat 26. Valamely háromszögről a következőt tudjuk: r = 1; ra , rb , rc Î Z + ; t Î Z + . Határozzuk meg a háromszög a háromszög oldalait!
1 1 1 1 = + + r ra rb rc t D2 = r × ra × rb × rc 1 1 1 + + =1 ra rb rc ha
ra = rb = rc = 3
Þ
t D = 27
ÏZ+
ha nem mindegyik sugár 3, akkor kell, hogy legyen egy, amely 2 (kisebb nem lehet, hiszen r=1).
26
Megoldások Például ra = 2
1 1 1 + = rb rc 2
Þ
2rb + 2rc = rb rc
Þ
rb =
2rc 4 = 2+ rc - 2 rc - 2
Ebből :
rc - 2
rc
rb
4
6
3
2
4
4
Szorzatuk gyöke (t) nem egész!
1
3
6
Szorzatuk gyöke (t) nem egész!
-1
-
-
-2
-
-
-4
-
-
Tehát
rc = 6 ; rb = 3 ; ra = 2 ; r = 1 és ekkor
t = 1× 2 × 3 × 6 = 6 valamint
s=
t =6 3
s-a =
t t t ; s-b = ; s-c = ra rb rc
Tehát a háromszög oldalai 3, 4, és 5 egységnyiek. □
Feladat 27. Egy derékszögű háromszög oldalainak mértékszámai egészek, melyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk. Az átfogóhoz hozzáírt kör sugara 420. Határozzuk meg az oldalak mértékszámát! Az oldalak relatív prímek
Þ
pithagoras-i alaphármas:
m 2 - n 2 ; 2 × m × n; m 2 + n 2 (m,n külömbözö paritású) rc = s = m × n + m 2 = m × (n + m) m × (1 n2 +3 m) = 420
420 = 4 × 3 × 5 × 7
Þ
páratlan
m+n > m
Þ
m + n > 420
m < 420
Þ
m £ 20
27
4|m
Megoldások
m + n ³ 21 Másrészt:
m + n < 2×m m × 2 × m > 420 m > 210
Þ
m ³ 15
Tehát m = 16;20 Mivel 420 nem osztható 16-tal m = 20
Þ
n =1
Tehát a=399, b=40, c=401 □
Feladat 28. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja M, oldalai a, b, c. Mutassuk meg, hogy
a b c a b c + + = × × ! MA MB MC MA MB MC I. Megoldás Szíznusztétel felhasználva:
sin a =
a 2× R
(
)
sin 90 o - a =
ü ïï ý ( ABMD )ïï þ
( ABCD) AM 2R
Þ
tga =
A többi oldalra felírva kapjuk, hogy
tgb =
b MB
tgg =
c MC
Használjuk fel az ismert összefüggést
tga + tgb + tgc = tga × tgb × tgc a b c a b c + + = × × □ MA MB MC MA MB MC II. Megoldás Megint felhasználjuk a Geo. I. 1082. feladatát!
t D = t ABM + t BCM + t ACM abc c × MA × MB a × MB × MC b × MA × MC = + + 4R 4R 4R 4R a b c a b c × × = + + □ MA MB MC MA MB MC
28
a MA
Megoldások
Feladat 29. ra2 + rb2 + rc2 Állapítsuk meg az tört minimumát! s2 2
2
2
ra2 + rb2 + rc2 æ ra ö æ rb ö æ rc ö =ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ = s2 èsø èsø èsø Használjuk a következő triviális egyenlőtlenséget:
a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + ac + bc
Û
(a - b )2 + (b - c )2 + (a - c )2 ³ 0
valamint az 1.h feladatot
= tg 2
a b g a b a g b g + tg 2 + tg 2 ³ tg × tg + tg × tg + tg × tg = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Minimális a tört, ha az egyenlőség teljesül, vagyis ha a háromszög szabályos. □
Feladat 30. Bizonyítandó:
r r1 r2 r × × ..... × n = r1 r 2 rn r
A beírt kör érintési pontja olyan messze van az egyik csúcstól, mint a hozzáírt kör érintési pontja a másiktól
r1 = (s - a1 )tgj ü ý r1 = (s - a1 )tge þ
Þ
r1 tgj = r1 tge
analóg módon
r2 tge = r 2 tgd felhasználva az összefüggéseket
r1 r2 tgj tge tgj × = × = r1 r 2 tge tgd tgd Ezt folytatva egymás után a többire is kapjuk
r r1 r2 tgj r × × ... × n = = □ r1 r 2 r n tgd r
29
Megoldások
Feladat 31. Egy négyzetbe írjunk egy olyan általános négyszöget, melynek átlói merőlegesek egymásra. A beírt négyszög oldalai és az átlói a négyzetet nyolc háromszögre bontja, melyekbe megrajzoljuk a beírt köröket és az egyes háromszögeket az ábra szerint pirosra és kékre színezzük. Igazoljuk, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak az összege megegyezik a kék háromszögbe írt körök sugarainak az összegével! A feladat megoldásához két segédtételt használunk fel: 1. segédtétel: A derékszögű háromszögbe írt kör átmérője és oldalai között fennáll a
2r = a + b - c összefüggés, ahol c jelöli a derékszögű háromszög átfogóját, a és b pedig a befogóit. Igazolás: Az alábbi ábráról ez könnyen leolvasható
2. segédtétel: Egy négyzetbe rajzolt egymásra merőleges szakaszok által a szemközti csúcsoknál keletkező szakaszok összege egyenlő, azaz DQ + DS +PB + BR = CQ + CR + AP + AS. Igazolás: Az alábbi ábrát használva: DQ + DS +PB + BR =a+e+d+e+b+c= =b+d+e+a+c+e= CQ + CR + AP + AS Az ismert, hogy PQ = RS (Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. 34. oldal 475. feladat.) Az állítás igazolása ezek után a rajzról közvetlenül leolvasható. □
Feladat 32. Jelölje P egy szabályos háromszög tetszőleges belső pontját. P-ből az oldalakra állított merőlegesek talppontjai A1, B1 és C1. A keletkezett hat kis háromszöget kiszínezzük pirossal és kékkel felváltva valamelyik körüljárást követve, majd megrajzoljuk mindegyik kis háromszög beírható körét. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak az összege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak az összegével! A megoldás során ismét felhasználjuk a 31.feladat első segédtételét!
30
Megoldások Számoljuk ki először a piros háromszögekbe írt körök sugarainak a kétszeresének az összegét:
2(r1 + r3 + r5 ) = AC1 + PC1 - PA + + BA1 + PA1 - PB + CB1 + PB1 - PC Hasonlóan járunk el a kékek összegénél:
2(r2 + r4 + r6 ) = BC1 + PC1 - PB + + CA1 + PA1 - PC + AB1 + PB1 - PA Az egyenlőség belátásához elegendő belátni, hogy a háromszög oldalain keletkező „piros” és „kék” szakaszok hosszának az összege egyenlő, azaz
AC1 + BA1 + CB1 = BC1 + CA1 + AB1 (Egyébként ez egy ismert feladat, az elemi megoldás rámutat a feladat hátterére is.) Tekintsük a következő ábrát, amely az előzőből úgy állt elő, hogy a P ponton át párhuzamosokat húztunk a szabályos háromszög oldalaival. Az egyenlőség trivialitása már leolvasható, hiszen a keletkező szimmetrikus trapézok szárai egyenlők és más-más színűek, ugyanígy a párhuzamosság miatt a P körül keletkező három kisháromszög is szabályos, és a merőleges felezi a megfelelő oldalt, amelyek szintén különböző színűek. Ezzel az állítást beláttuk. □ Megjegyzés: Máshogy is igazolható ez az állítás, ha felírjuk csak „piros” és csak „kék” szakaszokkal a
PA 2 + PB 2 + PC 2 összeget a Pithagorasz-tétel segítségével, és ezeket egyenlővé tesszük, és ha a háromszög oldalát a-val jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy
AC1 + BA1 + CB1 =
3a = BC1 + CA1 + AB1 2
31
Megoldások
Feladat 33. Az ABCD érintőtrapézt átlói négy háromszögre bontják. A két-két szemközti háromszöget színezzük pirosra és kékre, majd megrajzoljuk mindegyik kis háromszögbe írható kört. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszegével! Felhasználjuk a háromszögbe írt kör sugarára az ismert
1 s = r t
(1)
összefüggést, továbbá az ABCD » CDED hasonlóságából adódó (2)
t3 c 2 = t1 a 2
(3)
r1 c = , r3 a
valamint a
t 2 BE a = = t 3 ED c
(4)
összefüggéseket. Továbbá felhasználjuk a triviális
t2 = t4
(5) egyenlőséget.
Az ábra jelöléseit felhasználva az z állítás:
1 1 1 1 + = + r1 r3 r2 r4
Tekintettel arra, hogy az adott trapéz érintőtrapéz, ezért a + c = b + d . Ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldalához hozzáadjuk az AE; BE ; CE ; DE szakaszokat, továbbá a t i területű kis háromszögek félkerületét s i -vel jelöljük, ahol i = 1;2;3;4, akkor azt kapjuk, hogy s1 + s3 = s 2 + s 4 Induljunk ki az állítás jobb oldalából:
s 1 1 s 2 s 4 s 2 + s 4 s1 + s3 s1 + s3 s + = + = = = = 1 + 3 = a a a r2 r4 t 2 t 4 t2 t2 t3 t3 t3 c c c =
s1 c s a 1 c 1 r 1 r 1 1 1 + × 3 = × + × = 1× + 3× = + □ 2 a t 3 c r1 a r3 r3 r1 r1 r3 r1 r3 a c × t1 c a2
32
Megoldások
Feladat 34. Egy tetszőleges háromszögben megrajzoljuk a súlyvonalakat, majd a keletkezett kis háromszögeket valamelyik körüljárást követve felváltva pirosra és kékre színezzük és megrajzoljuk mindegyik beírt körét. Bizonyítsuk be, hogy a piros háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszege megegyezik a kék háromszögekbe írt körök sugarainak a reciprokösszegével! Használjuk fel az előző feladat (33.) összefüggését, továbbá hogy a súlyvonalak által létrejött hat háromszög területe egyenlő. Használjuk az ábra jelöléseit: Jelölje továbbá az ri sugarú beírt körrel rendelkező kis háromszögek félkerületét s i , kerületét k i , területét t i , ahol i = 1;2;3;4;5;6. Ekkor az igazolandó,
1 1 1 1 1 1 + + = + + állítás a területekre tett megjegyzés felhasználásával r1 r3 r5 r2 r4 r6
az s1 + s3 + s5 = s2 + s 4 + s 6 összefüggésbe megy át, ami ekvivalens a k1 + k 3 + k 5 = k 2 + k 4 + k 6 összefüggéssel. Utóbbit fogjuk belátni.
1 2 1 2 1 2 k1 + k3 + k 5 = AF1 + CF1 + AF2 + BF2 + AF2 + BF3 + CF3 + BF3 + CF1 = 3 3 3 3 3 3 = AF1 + BF2 + CF3 + AF2 + BF3 + CF1 = AF3 + BF1 + CF2 + AF2 + BF3 + CF1 = = k 2 + k4 + k6
Feladat 35. Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög derékszögű, akkor az oldalegyeneseket érintő körök sugarai közül az egyik egyenlő a másik három érintő kör sugarának összegével! Használjuk a szokásos jelöléseket. Tegyük fel, hogy az rc =
t sugár a legnagyobb. s-c
Ekkor azt kell belátni, hogy
t t t t = + + s - c s s - a s -b azaz
33
Megoldások
1 1 1 1 - =0 s-c s s-a s-b A bal oldalt rendezve
s - s + c s -b + s - a c c = s (s - c ) (s - b )(s - a ) s (s - c ) (s - a )(s - b ) Utóbbi akkor és csak akkor nulla, ha
s (s - c ) - (s - a )(s - b ) = 0 s (a + b - c ) - ab = 0
(a + b + c )(a + b - c ) - 2ab = 0 (a + b )2 - c 2 - 2ab = 0 a 2 + b2 - c 2 = 0 Utóbbi egyenlőség a feltétel miatt egy igaz állítás. Ebből kiindulva, visszafelé, ekvivalens átalakításokkal eljuthatunk a bizonyítandó állításhoz, ezért az is igaz.
34
Felhasznált irodalom
Felhasznált irodalom · KÖMAL · Reimann I.: A geometria és határterületei · KVANT · Molnár E.: OKTV feladatok · Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok…
35
Felhasznált irodalom
Tartalom Előzetes tudnivalók .............................................................................................................. 1 Feladatok.............................................................................................................................. 2 Megoldások .......................................................................................................................... 7 Feladat 1. .......................................................................................................................... 7 Feladat 2. ........................................................................................................................ 12 Feladat 4. ........................................................................................................................ 14 Feladat 6. ........................................................................................................................ 14 Feladat 7. ........................................................................................................................ 15 Feladat 8. ........................................................................................................................ 15 Feladat 9. ........................................................................................................................ 16 Feladat 10........................................................................................................................ 16 Feladat 11........................................................................................................................ 16 Feladat 12........................................................................................................................ 17 Feladat 13........................................................................................................................ 17 Feladat 15........................................................................................................................ 18 Feladat 16........................................................................................................................ 19 Feladat 17........................................................................................................................ 19 Feladat 18........................................................................................................................ 20 Feladat 19........................................................................................................................ 20 Feladat 20........................................................................................................................ 20 Feladat 21........................................................................................................................ 21 Feladat 22........................................................................................................................ 22 Feladat 23........................................................................................................................ 24 Feladat 24........................................................................................................................ 24 Feladat 25........................................................................................................................ 25 Feladat 26........................................................................................................................ 26 Feladat 27........................................................................................................................ 27 Feladat 28........................................................................................................................ 28 Feladat 29........................................................................................................................ 29 Feladat 30........................................................................................................................ 29 Feladat 31........................................................................................................................ 30 Feladat 32........................................................................................................................ 30 Feladat 33........................................................................................................................ 32 Feladat 34........................................................................................................................ 33 Feladat 35........................................................................................................................ 33 Felhasznált irodalom ......................................................................................................... 35
36
