Sokrészecskés rendszerekre vonatkozó egzakt megoldások

1949

Sokr´ eszecsk´ es rendszerekre vonatkoz´ o egzakt megold´ asok Egyetemi doktori (PhD) értekezés

Trencsényi Réka Témavezet˝ o: Dr. Gul´ acsi Zsolt

DEBRECENI EGYETEM Természettudományi Doktori Tanács Fizikai Tudományok Doktori Iskolája Debrecen, 2014

Ezen értekezést a Debreceni Egyetem Természettudományi Doktori Tanács Fizikai Tudományok Doktori Iskolájának Szilárdtestfizika és anyagtudomány programja keretében készítettem a Debreceni Egyetem természettudományi doktori (PhD) fokozatának elnyerése céljából.

Debrecen, 2014. 11. 24.

................................................ Trencsényi Réka jelölt

Tanúsítom, hogy Trencsényi Réka doktorjelölt 2010-2013 között a fent megnevezett Doktori Iskola Szilárdtestfizika és anyagtudomány programjának keretében irányításommal végezte munkáját. Az értekezésben foglalt eredményekhez a jelölt önálló alkotó tevékenységével meghatározóan hozzájárult. Az értekezés elfogadását javasolom.

Debrecen, 2014. 11. 24.

................................................ Dr. Gulácsi Zsolt témavezető

SOKRÉSZECSKÉS RENDSZEREKRE VONATKOZÓ EGZAKT MEGOLDÁSOK Értekezés a doktori (Ph.D.) fokozat megszerzése érdekében a fizika tudományágban Írta: Trencsényi Réka, okleveles fizikus Készült a Debreceni Egyetem Fizikai Tudományok Doktori Iskolájának Szilárdtestfizika és anyagtudomány programja keretében Témavezető: Dr. Gulácsi Zsolt

A doktori szigorlati bizottság: elnök: Dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tagok: Dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A doktori szigorlat időpontja:

......

...

........................... ........................... ........................... ...

Az értekezés bírálói: Dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........................... ...........................

A bírálóbizottság: elnök: Dr. tagok: Dr. Dr. Dr. Dr.

........................... ........................... ........................... ........................... ...........................

Az értekezés védésének időpontja:

......

........................... ........................... ........................... ........................... ........................... ...

...

"Embernek lenni

!

Csak embernek, semmi egyébnek, De annak egésznek, épnek, Föld-szülte földnek

!

És Isten-lehelte szépnek "

Szüleimnek szeretettel

Tartalom 1. A tartalomr´ ol r¨ oviden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. A tanulm´ anyozott rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. A disszertáci´ o szerkezeti felép´ıtése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Bevezet˝ o ..........................................................3 2.1. A polifenilén t´ıpus´ u láncok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Fermionikus rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. A tanulm´ anyozott rendszerek Hamilton-oper´ atorainak fel´ ep´ıt´ ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. Az alkalmazott m´ odszerek bemutat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 ´ 4.1. Attekint´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. A Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.1. A Hamilton-oper´ ator transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa . . . . . . . . . .22 4.3. Az Alapállapotot Tartalmaz´ o Altér Meghatároz´ as´ an alapul´ o m´ odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. A polifenil´ en t´ıpus´ u l´ ancok alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 5.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. A B = 0 eset t´ argyalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.1. A Hamilton-oper´ ator transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa . . . . . . . . . .34 5.3. A B 6= 0 eset t´ argyalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.1. A Hamilton-oper´ ator transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa . . . . . . . . . .43 5.4. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Az 5. fejezet eredményeinek r¨ ovid összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

6. A f´ azist´ er kiterjeszt´ ese ´ es vizsg´ alata polifenil´ en t´ıpus´ u l´ ancok eset´ eben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény kiindul´ o formája . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3. A Hamilton-oper´ ator transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.3.1. A szimmetrizált eset megold´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3.2. A nemszimmetriz´ alt eset megold´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3.3. Néh´ any gondolat az 5.2. és 6.3.1-2. alfejezetek eredményeir˝ ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.4. A fázisdiagram szemléltetése és elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.5. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A 6. fejezet eredményeinek r¨ ovid összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7. K´ etdimenzi´ os n´ egyzetes r´ accsal rendelkez˝ o nanoszerkezetek alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.2. A Hamilton-oper´ ator transzformációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.3. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.4. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A 7. fejezet eredményeinek r¨ ovid összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8. A k´ etdimenzi´ os m´ ehsejtes szerkezettel rendelkez˝ o nanostrukt´ ura alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2. A teljes H Hilbert-tér konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.3. A reduk´ alt S Hilbert-tér konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.4. A rendszer alap´ allapota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.5. S b´ azisvektorainak konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.6. Az alap´ allapot fizikai tulajdons´ agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A 8. fejezet eredményeinek r¨ ovid összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

¨ 9. Osszefoglal´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10. Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Irodalomjegyz´ ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1. F¨ uggel´ ek ˆ − Eg pozit´ıv szemidefinit mivolt´ H anak bizony´ıt´ asa . . . . . . . . . . . . . . . I

2. F¨ uggel´ ek A Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszer´ enek alkalmaz´ asa az egydimenzi´ os harmonikus oszcill´ ator eset´ eben . . . . . . . . . . . . . . . . II

3. F¨ uggel´ ek A reduk´ alt Hilbert-t´ er 70 b´ azisvektor´ anak grafikus szeml´ eltet´ ese a m´ ehsejtes nanostrukt´ ura eset´ eben . . . . . . . . . . . . . . IV

4. F¨ uggel´ ek A reduk´ alt Hilbert-t´ er 70 egyenlete a m´ ehsejtes nanostrukt´ ura eset´ eben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

5. F¨ uggel´ ek A megjelent k¨ ozlem´ enyek ´ es a konferencia-el˝ oad´ asok list´ aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

1. fejezet

1

1. fejezet

A tartalomr´ ol r¨ oviden 1.1. A tanulm´ anyozott rendszerek Doktori tanulm´ anyaim sor´ an sokrészecskés, er˝ osen kölcs¨ onhat´ o, kvantummechanikailag viselked˝ o, nemintegr´ alhat´ o, periodikus rendszerek alap´ allapoti tulajdons´ agait tanulm´ anyoztam a Hubbard-modell keretében, egzakt m´ odszerek alkalmaz´ as´ aval. A le´ır´ as elméleti szil´ ardtestfizikai apparátust igényel, ´ıgy az ”er˝ osen kölcs¨ onhat´ o” jelz˝o – a szakter¨ ulet fogalomk¨ orének megfelel˝oen – azt jelenti, hogy a kölcs¨ onhat´ as er˝ ossége sokkal nagyobb, mint a kinetikus energia járulékai. A kölcs¨ onhat´ as teh´ at nem perturbációs hat´ asként jelenik meg, hanem mérvad´ o tényez˝oként lép be a fizikai folyamatokba. Ezenk´ıv¨ ul érdemes megvilág´ıtani a ”nemintegr´ alhat´ o” jelz˝o tartalm´ at is, ami azt fejezi ki, hogy a rendszer szabadsági fokainak sz´ ama meghaladja az értelmezett mozg´ as´ alland´ ok sz´ am´ at.

a.)

b.)

c.)

...

...

...

1. ´ abra

: A tanulmányozott rendszerek sematikus ábrái.

A vizsgálatok els˝ o szakasz´ aban egy olyan kv´ azi-egydimenzi´ os strukt´ ur´ at elemeztem, amely hatsz¨ og alak´ u cellák egymáshoz kapcsolt láncolat´ ab´ ol áll az 1.a ´ abr´ an l´ athat´ o elrendezés szerint. A hatsz¨ ogek cs´ ucspontjaiban szénatomok helyezkednek el, melyekhez, a rendszer konkrét kémiai változat´ at´ ol f¨ ugg˝ oen, további atomok vagy atomcsoportok kapcsol´ odhatnak, és a hatsz¨ ogeket periodikusan egymáshoz láncol´ o kémiai kötéseket is k¨ ul¨ onféle atomok val´ os´ıthatják meg. A ”kv´ azi-egydimenzi´ os” elnevezés arra utal, hogy noha a krist´ alyszerkezet s´ıkbeli hatsz¨ ogekb˝ol ép¨ ul fel, a rendszer geometriai r´ acsa egy egydimenzi´ os láncot alkot. Azokat a szerves polimereket, melyek szerkezeti felép´ıtés¨ uk alapján az 1.a ábr´ an vázolt csoportba tartoznak, ¨ osszefoglaló néven polifenilén t´ıpus´ u vegy¨ uleteknek nevezz¨ uk. A polifenilének tanulm´ anyoz´ as´ at követ˝oen vizsgálataimat az 1.b és 1.c ábr´ akon felt¨ untetett kétdimenzi´ os r´ acscsal rendelkez˝ o nanostrukt´ ur´ akra is kiterjesztettem. Az 1.b ´ abr´ an felrajzolt négyzetes h´ aló r´ acspontjaiban olyan fématomok vannak lokaliz´ alva, melyeken nincs ered˝ o m´ agneses momentum, az 1.c ábra

2

1. fejezet

pedig egy kisméret˝ u, méhsejtes szerkezet˝ u, szénatomokb´ ol felép´ıtett grafén t´ıpus´ u rendszert mutat be. Mindh´ arom rendszer esetében egzakt m´ odszereket haszn´ altam fel az alapállapoti hull´ amf¨ uggvény és a hozz´ a tartoz´ o alap´ allapoti energia meghat´ arozás´ ara, ami azt jelenti, hogy a modellszinten vett közel´ıtésekt˝ol eltekintve a sz´ am´ıt´ asaim nem tartalmaznak approximációkat. Az eredményeim teh´ at pontos keretbe foglalj´ ak a kapott alap´ allapotok fizikai jellemz˝oit olyan kör¨ ulmények köz¨ ott, amikor a rendszerek, sokrészecskés mivoltukból ad´ od´ oan, er˝ osen korrel´ altak.

1.2. A disszert´ aci´ o szerkezeti fel´ ep´ıt´ ese A könnyebb eligazod´ as kedvéért szeretnék egy r¨ ovid rendszerez˝o áttekintést adni a dolgozatom további fejezeteinek tartalm´ ar´ ol. A bevezet˝ot mag´ aba foglaló 2. fejezetben a kutatási tém´ amhoz kapcsol´ od´ o szakirodalmi el˝ ozményeket t´ argyalom, a 3. fejezetben a tanulmányozott rendszerek Hamilton-oper´ atorainak általános felép´ıtését mutatom be, a 4. fejezetben pedig részletesen ismertetem a sz´ am´ıtások sor´ an alkalmazott egzakt m´ odszerek el˝ ot¨ orténetét és technikai lépéseit. Az ezt követ˝o négy fejezet a saját eredményeimet ¨ oleli fel az alábbi felosztás szerint: az 5. fejezet tém´ aja a polifenilén t´ıpus´ u láncok egzakt alap´ allapotainak meghat´ aroz´ asa és fizikai jellemzése, a 6. fejezet a fázistér kiterjesztésének megvalós´ıtás´ at és vizsgálat´ at taglalja polifenilén t´ıpus´ u láncok esetében, a 7. fejezet egy lehetséges elméleti magyar´ azatot prezentál a nemmágneses fématomokat tartalmaz´ o kétdimenzi´ os négyzetes r´ accsal rendelkez˝ o nanoszerkezetek ferrom´ agneses viselkedésére vonatkozóan, a 8. fejezet pedig egy kétdimenzi´ os méhsejtes szerkezettel rendelkez˝ o nanostrukt´ ura egzakt alap´ allapotainak meghat´ aroz´ as´ at és a kapcsol´ od´ o fizikai tulajdons´ agok feltár´ as´ at tartalmazza. A disszertáci´ om eredményeit a 9. és 10. fejezetekben találhat´ o magyar és angol nyelv˝ u ¨ osszefoglal´ ok s˝ ur´ıtik. Vég¨ ul, a dolgozatomat a hivatkozásokat felsorakoztat´ o irodalomjegyzék és öt f¨ uggelék zárja. Az utols´ o f¨ uggelék tájékoztat´ ast ad a megjelent közlemények és az általam tartott konferenciael˝ oad´ asok list´ ajár´ ol.

2. fejezet

3

2. fejezet

Bevezet˝ o 2.1. A polifenil´ en t´ıpus´ u l´ ancok A polifenilének oszt´ alyába sz´ amos vegy¨ ulet besorolható, példaként kiragadva megeml´ıtem a polifenil-éter, polifenilén-oxid, polifenilén-szulfid, polietilén-tereftal´ at, polibutilén-tereftal´ at, arom´ as poliamid és polifenilén-vinilén elnevezés˝ u reprezent´ ansokat. A fentebb felsorolt vegy¨ uletek speciális fizikai és kémiai tulajdons´ agaik folyt´ an rendk´ıv¨ ul széles tartom´ anyt ölelnek fel a gyakorlati alkalmaz´ asok palett´ aján. A következ˝okben szeretnék felvillantani néh´ any elemet az ipari és mérn¨ oki alkalmaz´ asok sz´ınes spektrum´ ab´ ol. A polifenil-éter (PFE) l´ ancstrukt´ ur´ ajában egy-egy oxigénatom által létrehozott kémiai kötéssel kapcsol´ odnak egymáshoz a hatsz¨ oges cellák. A PFE igen figyelemremélt´ o termikus és oxidációs stabilit´ assal rendelkezik, és ´ az ioniz´ aci´ os sug´ arz´ asokkal szemben is nagyfok´ u biztonságot mutat. Eppen ezért kiv´ al´ oan alkalmazhat´ o olyan berendezésekben és gépekben, amelyek extrém környezeti hat´ asnak vannak kitéve. Így péld´ aul folyadékként felhasználhat´ o diff´ uzi´ os pumpákban, ultramagas vákuumot el˝oáll´ıtó egységekben vagy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o h˝ o´ atad´ asi folyamatokban. Ezenk´ıv¨ ul széles körben alkalmazz´ ak turbinák, sug´ arhajtóm˝ uvek, elektromos csatlakozók vagy magas h˝ omérséklet˝ u hidraulikus rendszerek ken˝ oanyagaként is. [1-3] A polifenilén-oxid (PFO) lényegében a PFE-nek egyfajta kémiai m´ odosulata, ugyanis a PFE és a PFO közti szerkezeti k¨ ul¨ onbség csupán abban mutatkozik meg, hogy m´ıg a PFE-ben nem kapcsol´ odnak k¨ uls˝ o atomok a hatsz¨ ogekhez, addig a PFO lánc´ aban metilcsoportok (CH3 ) csatlakoznak bizonyos szénatomokhoz a lánc mentén periodikus elrendezésben. A PFO polimereket m˝ uanyag gyantákként tartják sz´ amon, amelyek polisztirénnel, u ¨veggel vagy nylonnal képzett kompozitjaikkal egy¨ utt alapvet˝o elemei a mechanikailag stabil, nagy szil´ ardság´ u, nedvességálló mérn¨ oki m˝ uanyagok gyárt´ as´ anak. Ezek f˝oként a sz´ am´ıtógépiparban, telekommunikációs eszközök kivitelezésében, illetve aut´ oalkatrészek el˝oáll´ıtás´ aban kapnak szerepet. [4] A polifenilén-szulfid (PFS) szerkezetét kénatomok által létes´ıtett kémiai kötésekkel ¨ osszekapcsolt arom´ as hatsz¨ ogek sorozata alak´ıtja ki. A PFS a termoplasztikus mérn¨ oki m˝ uanyagok egyik legkiv´ alóbb vari´ ansa, mely nagyfok´ u ellen´ all´ ast mutat a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o kémiai és termikus hat´ asokkal szemben, mint péld´ aul savak és l´ ugok, fehér´ıt˝ok, rozsdásod´ as, kop´ as, napsugárz´ as, égés. Emellett kit˝ un˝ o mechanikai tulajdons´ agokkal is rendelkezik, hiszen magas t˝ uréshat´ arig form´ azhat´ o és préselhet˝ o. A felsorolt el˝onyös sajáts´ agai miatt alapanyagul szolg´ alhat membr´ anok, töm´ıtések, csomagol´ oanyagok,

4

2. fejezet

pap´ırgyárt´ ashoz sz¨ ukséges filcek vagy szént¨ uzelés˝ u kazánokban alkalmazott f¨ ustsz˝ ur˝ ok kész´ıtésében. Elektronikai szempontb´ ol nélk¨ ul¨ ozhetetlen fontoss´ ag´ u az a kör¨ ulmény, hogy az egyébként szigetel˝ o PFS oxidációval vagy adalékanyagok hozz´ aad´ as´ aval félvezet˝ové tehet˝ o. K¨ ul¨ on érdekessége, hogy m˝ uanyag mivolta ellenére r´ au ¨téskor fémes hang hallhat´ o, amely egyedivé és könnyen felismerhet˝ ové teszi a polimert. [5] A polietilén-tereftal´ at (PET) a h˝ ore lágyuló polimerek kategóri´ ajába tartozik, ennélfogva kit˝ un˝ o alapanyagként szolg´ al szintetikus sz´ alak, mérn¨ oki gyant´ ak el˝ o´ all´ıt´ as´ aban, élelmiszeripari termékek tárol´ oedényeinek gyárt´ as´ aban (pl. ´ asványvizes palackok), és minden olyan alkalmaz´ asban, ahol h˝ oform´ az´ assal kész´ıtett komponensek funkcion´ alnak. [6,7] A polibutilén-tereftal´ at (PBT) szintén a h˝ ore lágyuló m˝ uanyagok közé sorolható, amely igen kedvez˝o kémiai és mechanikai tulajdons´ agokkal rendelkezik. Stabilan ellen´ all a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o old´ oszerek hat´ as´ anak, ugyanakkor ´ esg´ mechanikailag massz´ıv és h˝ oálló is. Eg´ atló anyagokkal kezelve éghetetlenné válik, és szigetel˝ oként els˝ osorban az elektromos és elektronikai iparban hasznosul. [7,8] Az arom´ as poliamid (Aramid) olyan sz´ alakat képez, melyekben a molekulák orient´ aci´ oja követi a sz´ al tengelyét, ´ıgy megfelel˝o m´ odon kihaszn´ alhat´ o a kémiai kötések er˝ ossége. Az Aramid speciális sz´ alas szerkezete biztos´ıtja azt a strapab´ır´ o képességet, ami elengedhetetlen péld´ aul a munkavédelmi és katonai ruházatok, golyó´ all´ o mellények, sportfelszerelések, kerékpárgumik és sz´ amos rep¨ ul˝ ogép-ipari alkalmaz´ as min˝ oségi gyárt´ as´ ahoz. Az Aramidot remek h˝ o´ all´ o tulajdons´ aga képes´ıti arra is, hogy helyettes´ıtse az azbesztot. [9] Vég¨ ul, z´ arva a vegy¨ uletek felsorakoztatás´ at, a polifenilén-vinilén (PFV), alkilált és metoxilezett sz´ armazékaival egy¨ utt, félvezet˝o tulajdons´ agai miatt értékes képvisel˝oje a polifenilén oszt´ alynak. Elektromos és optikai jellemz˝oi alapján f˝oképpen fényemitt´ aló di´ od´ ak (LED) kialak´ıtás´ ara alkalmas. A PFV-t tartalmaz´ o di´ od´ ak s´ arga-z¨ old fényt bocs´ atanak ki, a di´ oda által emittált fény frekvenci´ ajának megváltoztatás´ ahoz pedig olyan PFV-származékokat használnak, melyekben molekulák kicserélése révén biztos´ıtják a k´ıvánt sz´ınt. Ezenk´ıv¨ ul a PFV organikus napelemek elektrondonor anyagaként is hasznos´ıthat´ o. [10,11] Az el˝ oz˝ oekben részletezett hagyom´ anyos alkalmaz´ asi ter¨ uletek mellett u ´jfajta ir´ anyzatok is életre keltek a polifenilén t´ıpus´ u rendszerek vizsgálatai sor´ an, mintegy kiterjesztve és továbbfejlesztve ezzel a gyakorlatban potenci´ alisan megval´ os´ıthat´ o és kamatoztathat´ o alkalmaz´ asi m´ odozatok körét. Ezekben a közleményekben, a rendszerek bels˝ o fizikai tulajdons´ againak mélyebb megértését megcélozva, tanulm´ anyozták többek között a fotofizikai gerjesztési spektrumot [12,13], illetve fényemissziós jellemz˝oket [14], mérték az optikai gerjesztéssel induk´ alt tranziens vezet˝oképességet [15], emellett

2. fejezet

5

foglalkoztak még h˝ omérsékletf¨ ugg˝ o elaszto-hidrodinamikai sajátoss´ agok [16], fajh˝obeli frekvenciaf¨ uggés [17], valamint dinamikai korrel´ aciók [18] vizsgálatával is. Ezenk´ıv¨ ul olyan értekezések is napvilágot láttak, melyek nanotechnol´ ogiai alkalmaz´ asi lehet˝ oségeket sejtetnek [19], vagy éppen u ¨zemanyagcellák technol´ ogiai fejlesztésével kapcsolatos elemzéseket tárnak fel [20]. Megeml´ıtem tovább´ a azt is, hogy a PFE-re alapozott termoelektromos nanoeszköz¨ okkel kapcsolatos vizsgálatok arra a következtésre vezettek, hogy az elektronok köz¨ ott fellép˝ o korrel´ aciós effektusok el nem hanyagolhat´ o, lényegi szerepet t¨ oltenek be a rendszerben lejátsz´ od´ o fizikai folyamatokban [19], mint ahogyan az m´ ar kor´ abban is meg´ allap´ıtást nyert a polifenilént˝ol eltér˝ o szerkezet˝ u konjug´ alt polimerek esetében [21]. Ez is alátámasztja azon törekvéseimet, miszerint egy sokrészecskés rendszer valós´ agh˝ u le´ır´ as´ ahoz feltétlen¨ ul sz¨ ukség van a korrel´ aciós hat´ asok egzakt figyelembevételére. A polifenilén t´ıpus´ u strukt´ ur´ ak soksz´ın˝ u alkalmazhat´ os´ aga azonban kor´ antsem alkot teljes képet ezen rendszerek sajáts´ agair´ ol, hiszen a láncok lehetséges fizikai ´ allapotai és az azokat érint˝o f˝obb fizikai tulajdons´ agok tekintetében mind ez id´ aig nem álltak rendelkezés¨ unkre kiterjedt eredmények. ´ Eppen ezért t˝ uztem ki kutatásaim f˝o ir´ anyvonalaként azt a célt, hogy pontosan meghat´ arozzam a polifenilén alap´ allapotát, és megvizsgáljam az alapállapot releváns fizikai jellemz˝oit.

2.2. Fermionikus rendszerek Az er˝ osen kölcs¨ onhat´ o fermionikus rendszereket az utóbbi évtizedekben igen intenz´ıven n¨ ovekv˝ o érdekl˝odés övezte, ugyanakkor a témakör napjainkban is ˝ orzi aktualitás´ at a kondenzált anyagok fizikájának ter¨ uletén. Sz´ amos elméleti le´ır´ as sz¨ uletett, melyek az er˝ osen korrel´ alt elektronrendszerek fizikai tulajdons´ agait a Hubbard-modell [22] keretein bel¨ ul tárgyalták. A korrel´ ació természetesen a fermionok sz´ am´ anak n¨ ovelésével egyre szignifik´ ansabbá válik, azonban m´ ar a ’90-es évek elején felismerték, hogy az alacsony koncentr´ aci´ os hat´ areset nemcsakhogy megtartja a Hubbard-modell szintjén kapott rendszerviselkedés f˝obb sajáts´ agait [23,24], de alapul szolg´ alhat nemperturbat´ıv megold´ asok kifejlesztésében is [25]. Az alacsony koncentr´ aciós tartom´ any fizikai jellemz˝oinek feltérképezése kétrészecskés kör¨ ulmények figyelembevételével indult el egydimenzi´ os gy˝ ur˝ uk és kétdimenziós tóruszok [26,27], illetve a kétdimenziós kételektron-probléma [28] vizsgálata kapcs´ an. A továbbiakban kétrészecskés szinten tanulm´ anyozt´ ak az elektronok kölcs¨ onhat´ as okozta delokaliz´ acióját négyzetes láncokban [29], lyukak korreláci´ oját ¨ otsz¨ oges és hatsz¨ oges láncokban [21], az alap´ allapot stabilit´ as´ at k¨ uls˝ o potenci´ al jelenlétében [30], és emellett magnetooptikailag csapd´ azott fermionikus l´ıtiumatomok fermioniz´ aciójár´ ol is besz´ amoltak [31].

6

2. fejezet

Továbbfejlesztve a jellemzések kvalitás´ at, h´ aromrészecskés szinten is folytak vizsgálatok, melyek esetében a közlemények olyan tém´ akat tárgyaltak, mint péld´ aul h´ aromrészecske-korrel´ aciók alap´ allapotra vett hat´ as´ anak tanulm´ anyoz´ asa kétdimenziós elektrongázban [32], h´ aromrészecske-korrel´ aciók sz´ am´ıt´ asa dinamikus ´ atlagtérelmélettel [33], az energiaspektrum vizsgálata nanogy˝ ur˝ uben szennyez˝ o figyelembevételével [34], harmonikusan csapd´ azott fermionok jellemzése [35,36], ultrahideg káliumatomokkal demonstrált Efimov-effektus le´ır´ asa [37], kontaktparaméterek jellemzése két dimenzióban [38], vagy atomok viselkedése egydimenzi´ os harmonikus csapd´ aban [39]. Ezek mellett figyelemremélt´ o helyet kapott a kvantumpettyekbe zárt h´ aromelektron-rendszer elemzésének tárgyk¨ ore is, ahol megtal´ alhat´ o a p´ alyaimpulzus-momentumot érint˝ o m´ agikus sz´ amok eredeztetése [40], alap´ allapoti tulajdons´ agok elemzése szennyez˝o jelenlétében [41], m´ agneses térbeli elektronelektron korrel´ aci´ ok és alap´ allapoti szimmetriák tanulm´ anyozása [42], m´ agneses térbeli alap´ allapoti elektronstrukt´ ura és p´ alyaimpulzus-momentum vizsg´ alata [43], gyenge m´ agneses térbeli gerjesztési spektrum és spinszerkezet anal´ızise [44], valamint az energiaspektrum feltár´ asa szil´ıcium-germánium alap´ u kvantumpettyekben [45,46]. Ezenfel¨ ul, a kétdimenziós Schr¨ odingeregyenlet egzakt [47] és approximat´ıv [48] megold´ asai mellett olyan közlemények is sz¨ ulettek, melyek a h´ aromelektron-´ allapotok összefon´ odotts´ agával foglalkoztak [44,49]. Négyrészecskés szintre lépve, els˝ oként olyan publik´ aciókat eml´ıtek, melyek atomi szint˝ u keretbe foglalva tárgyalták a négyelektronos rendszereket. Ezen t´ argyk¨ orh¨ oz sorolható péld´ aul az elektronkorrel´ aciók kvantummechanikai szimmetriájának vizsgálata négyelektronos atomokban [50], négyelektronos atomok és ionok köt¨ ott állapotainak anal´ızise [51], a berilliumatom szingulett [52] és triplett [53] állapotainak tanulm´ anyozása, valamint az er˝ os korrel´ aci´ os hat´ areset [54], illetve kvantumkémiai m´ odszerek [55] megval´ os´ıt´ asa a Hook-atomban. Az atomi skálán t´ ulhaladva, sz´ amos tanulm´ any foglalkozott a kvantumpettyekbe zárt négyelektron-strukt´ ura problém´ ajával, melyek esetében példaként hozom az alacsonyan fekv˝o állapotok feltár´ as´ at [56], m´ agneses térbeli alap´ allapotok meghat´ aroz´ as´ at [57], a Kondo-effektus k´ısérleti kimutat´ as´ at [58], illetve m´ agneses térbeli energiaspektrumok és spinkonfiguráci´ ok vizsgálat´ at [59]. Ezeken t´ ulmen˝oen érdemes sz´ ot ejteni olyan értekezésekr˝ ol is, melyeknek tém´ aja az összefont állapotok k´ısérleti [60] és elméleti [59] tanulm´ anyozása, valamint a kétdimenziós elektrongáz négyrészecskés optikai gerjesztéseinek le´ır´ asa [61]. Az elméleti m´ odszerek viszonylatában értékesek az effekt´ıv térelmélet [36], a Hartree-Fock perturbáci´ os elmélet [62], illetve a reduk´ alt s˝ ur˝ uségm´ atrixok elméletének [63] eszközt´ ar´ at felvonultat´ o publik´ aciók is. A néh´ anyrészecskés jellemzésekhez kapcsol´ od´ oan fontosnak tartok még kiemelni olyan közleményeket, melyeknek tárgya a periodikus potenci´ al és

2. fejezet

7

k¨ uls˝ o m´ agneses tér hat´ asa alatt lév˝o kétdimenziós elektrongáz állapotainak le´ır´ asa [64], korrel´ alt elektronok viselkedése félvezet˝o kvantumgy˝ ur˝ uben [65], ultrahideg fermionikus atomok kvantum´ allapotainak ismertetése optikai dip´ olcsapdában [66], Kondo-effektus tanulm´ anyozása Anderson-szennyez˝ok révén létrejöv˝o kvantumpettyekben [67], inhomogén p´ arképz˝ odés fermionikus szuperfolyadékban [68], excitonok kötött állapotainak vizsgálata gyém´ antban [69], valamint nemlok´ alis Coulomb-kölcs¨ onhat´ as effektusai grafénban, szilicénben és benzolban [70]. A néh´ anyrészecskés szintr˝ ol indulva gyakorlatilag folytonosnak tekinthet˝o az ´ atmenet a sokrészecskés le´ır´ asok ir´ anyába, hiszen néh´ any tanulm´ any m´ ar a kétrészecske-probléma elemzése nyom´ an is érdemi inform´ aciókat jósolt a rendszerek sokrészecskés viselkedésére vonatkozóan [21,29,31]. A kv´ aziegydimenzi´ os strukt´ ur´ akat illet˝oen mindenképpen sikerként könyvelhet˝ o el a h´ aromszöges l´ ancok [71], a gyém´ antlánc [72], az ötsz¨ oges szerves láncok [73], valamint a cikcakk [74] és karosszék [75] t´ıpus´ u hatsz¨ oges láncok sokrészecskés egzakt alap´ allapotainak meghat´ aroz´ asa. Magasabb dimenziókban kivitelezett sz´ am´ıt´ asok pedig olyan témakör¨ oket öleltek fel, mint péld´ aul kéts´ avos rendszerek nem-Fermi-folyadék t´ıpus´ u viselkedése normál fázisban [76], kétdimenziós, kéts´ avos, rendezetlen rendszerek egzakt alap´ allapotainak bemutat´ asa [77], a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as delokalizációs effektusainak egzakt vizsgálata két dimenzióban [78], vagy a kétdimenziós [79-81], illetve a h´ aromdimenziós [79,82,83] periodikus Anderson-modell keretében egzaktul meghatározott alap´ allapotok tanulm´ anyozása. Mivel a doktori dolgozatom m´ asodik felében négyzetes és hatsz¨ oges szerkezet˝ u kétdimenziós rendszerek alap´ allapoti tulajdons´ agait tárgyalom, sz¨ ukségszer˝ unek tartom bizonyos szempontok alapján rendszerezni a jelzett strukt´ ur´ akat érint˝ o eddigi ismereteinket. A kétdimenziós r´ acsok szakirodalm´ aban roppant fajs´ ulyos helyet foglalnak el a négyzetes és hatsz¨ oges kompoz´ıciók, éppen ezért nem meglep˝ o, hogy a tém´ aban hossz´ u évtizedek sor´ an tetemes mennyiség˝ u publik´ aci´ o halmoz´ odott fel. A disszertációm véges mivoltáb´ ol ad´ od´ oan az ismeretek felsorakoztatása és rendszerezése sor´ an természetesen nem lehet szempont a teljesség igénye, mindenesetre megprób´ altam a lehet˝ o legkompaktabb form´ aban ¨ osszegy˝ ujteni a tárgyhoz tartoz´ o inform´ aciókat. A négyzetes r´ acsokat illet˝oen els˝ oként a Hubbard-modell keretében levezetett eredményeket eml´ıtek meg, melyek az elektronkorrel´ aciók csoportelméleti t´ argyal´ as´ an [84], a H¨ uckel–Hubbard korrel´ aciós diagramok elemzésén [85], illetve szupravezet˝ o ´ allapotok le´ır´ as´ an [86-93] t´ ul tanulm´ anyozták a Mott-átmeneteket [89,94,95], és felvetették a kvantum-fázis´ atalakulások létezésének lehet˝ oségét [96] is. A m´ agneses tulajdons´ agok vonatkozás´ aban kimutattak ferrom´ agneses [97] és antiferrom´ agneses [92,95] fázisokat, egzaktul meghat´ aroztak itiner´ ans ferrom´ agneses alap´ allapotokat [98], valamint megvizsg´ alt´ ak a Nagaoka-´ allapot instabilitás´ at [99] és h´ aromrészecske-kor-

8

2. fejezet

rel´ aci´ oit [100] is. A Hubbard-modellen k´ıv¨ ul a négyzetes rendszerekben sz´ amos m´ as modellkör¨ ulmény alkalmaz´ as´ at is megvalós´ıtották, péld´ aul a Hubbard–Holstein- [101], a t-J [102-107], a Heisenberg- [108-119], az Ising[120-128], a Villain- [129], az XY [130-135], az XXZ [136-139], a Union Jack [140], a Dzyaloshinskii–Moriya- [141], a spin-pálya [142], a compass [143] vagy a hard-core [144] modell keretein bel¨ ul. Elvonatkoztatva a modellszint˝ u le´ır´ asok t´ıpusát´ ol kiemelem még azt is, hogy rendk´ıv¨ ul kiterjedt vizsgálatokat folytattak a négyzetes r´ acsok fázisdiagramjainak feltár´ asa kapcs´ an, ami olyan fázisok megismerését eredményezte, mint péld´ aul spinfolyadék [109,119], Andreev–Lifshitz-féle szuperszil´ ard fázis [145,146], ferrim´ agneses [147], valamint félfém [148] állapotok. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o fázisok közötti ´ atmenetek tanulm´ anyoz´ asa is sok pozit´ıv hozadékot gener´ alt, hiszen olyan érdekességeket bocs´ atottak közre, mint péld´ aul topologikus [149,150], rend– rendezetlen [151], u ¨vegszer˝ u [133], Kosterlitz–Thouless–Berezinsky-féle [134], paramágnes–antiferrom´ agnes [124,125,127], antiferrom´ agnes–spinfolyadék [152], illetve Mott-szigetel˝o–szupravezet˝o [153] átmenetek jellemzése. Mindezek mellett foglalkoztak még a kvantum-Hall-effektus [154,155], összefont állapotok [118,156], spinhull´ amok [157], illetve nemmágneses [108,158] és fel¨ uleti [159] szennyez˝ ok hat´ asainak vizsgálatával is. A méhsejtes szerkezet˝ u, hatsz¨ oges strukt´ ur´ ak esetében is igen intenz´ıven tanulm´ anyozt´ ak a rendszer fázisdiagramjait és releváns fázis´ atalakulásait. Sz´ amos értekezés t´ argyalta a rendszer alap´ allapoti fázisdiagramjait [160170], melyeken paramágneses, ferrom´ agneses, antiferrom´ agneses és spirális fázisok is ´ abr´ azol´ odnak. Az idézett közlemények [160-170] némelyikében arr´ ol is besz´ amoltak, hogy a fázisdiagram meghat´ arozott szelvényét spinfolyadék fázis foglalja el [162,167,170], m´ıg két esetben nem találtak bizony´ıtékot az ´ allapot kialakul´ as´ ara [168,169]. Az ut´ obbi években élénk viták forr´ as´ avá vált a spinfolyadék fázis létezése kör¨ ul kialakult bizonytalans´ ag, ugyanis a spinfolyadék állapot létrejöttét meger˝ os´ıt˝o tanulm´ anyokkal [171-177] szemben megjelentek olyan értekezések is, melyek a spinfolyadék fázis hi´ anyát igazolt´ ak [178,179]. Ezeken t´ ulmen˝oen vizsgáltak szupravezet˝o [180,181] és Mott-szigetel˝o [182] állapotokat, illetve olyan speciális fázisokat is kimutattak, mint t¨ oltéss˝ ur˝ uség-hull´ amok [183], spins˝ ur˝ uség-hull´ amok [184], anom´ alis kvantum-Hall-fázis [185], ortogon´ alis Dirac-félfém [186,187] spinrés [188], Fermi-folyadék [189,190], valamint spin¨ uveg [191] állapotok. A fázisátalakulások elemzése révén is sok értékes inform´ acióval gyarapodott az ismeretanyag, hiszen a paramágnes–antiferrom´ agnes [192] és antiferrom´ agnes– ferrom´ agnes [160,164] ´ atmenetek tanulm´ anyozása mellett péld´ aul Néel–”valence bond solid” [193], félfém–szigetel˝ o [192,194], illetve –antiferrom´ agneses szigetel˝ o [195-197], félfém–szupravezet˝o [198], Kondo-szigetel˝o–spinfolyadék [199], valamint spinfolyadék–Mott-szigetel˝o [162] tranz´ıciók le´ır´ as´ aval is b˝ ov¨ ult a paletta. Ezenk´ıv¨ ul olyan publik´ aciók is sz¨ ulettek, melyek a rendszer-

2. fejezet

9

ben jelenlév˝o szennyez˝ ok elektronstrukt´ ur´ ara gyakorolt hat´ as´ at ismertették, péld´ aul m´ agneses szennyez˝ ok Kondo-modell szint˝ u figyelembevétele [200,201], vagy szennyez˝ opotenci´ al Green-f¨ uggvény m´ odszerrel történ˝ o le´ır´ asa [202] révén. További érdekességként megeml´ıtem azokat a közleményeket is, melyeknek tém´ aja a Dirac-pontok mozg´ as´ anak [203] és rejtett szimmetriáinak [204] feltérképezése, a Haldane-féle hatsz¨ oges r´ acs perem´ allapotainak és öszszefon´ odotts´ agi spektrum´ anak anal´ızise [205], valamint szupravezet˝o Josephson-´ atmenetek [206], illetve a Hofst¨ adter-pillangó [207,208] vizsgálata. Végezet¨ ul megjegyzem, hogy a négyzetes és méhsejtes szerkezet˝ u rendszerek ¨ osszehasonl´ıt´ o elemzése kapcs´ an olyan publik´ aciók is részévé váltak a szakirodalomnak, melyek fizikai [209-211] vagy éppen geometriai [212] ind´ıttat´ as´ u¨ osszevetéseket taglalnak.

10

3. fejezet

3. fejezet

A tanulm´ anyozott rendszerek Hamilton-oper´ atorainak fel´ ep´ıt´ ese G¨ ord¨ ulékenyebbé téve a kés˝ obbi fejezetek olvashat´ os´ agát, szeretnék egy r¨ ovid ´ attekintést adni a disszertációmban tanulm´ anyozott rendszerek Hamilton-oper´ atorainak természetér˝ ol. A vizsgált strukt´ ur´ ak sokrészecskés jellegéb˝ ol ad´ od´ oan célszer˝ u a le´ır´ ast kvantumtér-elméleti szinten megvalós´ıtani, ami a részecskék egyszer˝ u keltésével és elt¨ untetésével effekt´ıve kezelhet˝ obbé teszi a matematiz´ al´ ast, mint a hagyom´ anyos els˝ okvant´ alás. A kvantumtérelmélet speci´ alis formalizmus´ at m´ asodkvantál´ asnak nevezz¨ uk. Mint ismeretes, az els˝ okvant´ alt elmélet eszközei a differenci´ aloper´ atorok és a normaliz´ alt hull´ amf¨ uggvények, m´ıg a m´ asodkvantált formalizmus a lehetséges állapotokat a bet¨ oltési sz´ amok Hilbert-terének elemeiként kezeli. A betöltési sz´ amok seg´ıtségével megtestes´ıtett állapotokra azonban a differenciáloper´ atorok nem képesek hatni, ´ıgy a Hamilton-oper´ ator szerkezetének is a m´ asodkvant´ alt formalizmushoz kell igazodnia. Ennek megfelel˝oen a ˆ = H

ˆ0 + H |{z}

kinetikus tag

Vˆ |{z}

(1)

k¨ olcs¨ onhat´ asi tag

ˆ 0 kinetikus járuléka a Hamilton-oper´ ator H ˆ 0 = Tˆ0 + H

m X

Tˆn

n=1

Tˆ0 =

NΛ XX σ

i=1

ǫi n ˆ i,σ ,

Tˆn =

NΛ XX

(n)

tij cˆ†i,σ cˆj,σ

(2)

σ i,j=1 i6=j

alakot ¨ olti. (2) kifejezéseiben a cˆ†i,σ fermionikus kelt˝o oper´ ator létrehoz egy σ spinvet¨ ulettel rendelkez˝ o elektront a rendszer i csom´ opontján. cˆ†i,σ adjung´ alt p´ arja a cî,σ fermionikus annihiláló oper´ ator, amely elt¨ unteti a σ spinvet¨ ulet˝ u elektront az i csom´ opontr´ ol. n ˆ i,σ az i csom´ opont lokális részecskesz´ amoper´ ator´ at jelöli, ami form´ aját tekintve n ˆ i,σ = cˆ†i,σ cî,σ . Mindezek értelmében Tˆ0 a kinetikus energia lokális csom´ oponti járulékait tartalmazza, ahol az ǫi lokális egyrészecske-potenci´ al az i csom´ oponton tart´ ozkod´ o elektron energi´ aját reprezent´ alja. A kinetikus energia valódi dinamikus járulékait a Tˆn oper´ atorok adják, melyek az elektronok csom´ oponti ugr´ asaihoz kapcsol´ odnak.

3. fejezet

11 (n)

Az elektron j-b˝ ol i-be t¨ ortén˝ o csom´ oponti ugr´ as´ ahoz a tij hopping-mátrixelem rendelhet˝o hozz´ a, amely az i és j csom´ oponti állapotok átfedési (n) integr´ alja, és az adott ugr´ as energi´ aját hat´ arozza meg. A tij -beli n index lényegében azt jellemzi, hogy milyen távol van egymást´ ol az i és a j csom´ opont, hiszen n sz´ amértéke éppen azt fejezi ki, hogy j hanyadik szomszédja i-nek. Így ha i és j els˝ o-, m´ asod-, harmad-, ..., m-edszomszéd viszonyban van egymással, akkor n értéke rendre n = 1, 2, 3, ..., m. m értékét pedig mindig az adott strukt´ ura geometri´ aja és mérete szabja meg az´ altal, hogy mi az a legnagyobb szomszédt´ avols´ ag, ami még értelmezhet˝o a rendszerben. L´ athat´ o, hogy Tˆ0 -ban és Tˆn -ben is spinindex és csom´ oponti index szerinti ¨ osszegzés szerepel, mivel azonban fermionikus rendszereket P tárgyalunk, σ két járulékcsoportot foglal mag´ aba, nevezetesen a σ = 12 és a P uletekhez tartoz´ o komponenseket. i pedig annyi tagot sz´ aml´ al, σ = − 21 vet¨ amennyit NΛ , vagyis a rendszerben jelenlév˝o csom´ opontok maximális sz´ ama ´ definiál. Erdemes szem el˝ ott tartani azt a tényt is, hogy n n¨ ovekedésével (n) (1) (2) (3) (4) (m) rohamosan cs¨ okken tij értéke, hiszen tij -hez képest tij , tij , tij , ..., tij rendre 1, 2, 3, ..., m − 1 nagyságrenddel kisebb energi´ at ad. Ennélfogva abszol´ ut jogosan alkalmazhat´ ok olyan modellszinten vett közel´ıtések, melyek P ˆ akár m´ ar a m´ asodszomszéd járulékoktól kezd˝ od˝ oen elhanyagolják n Tn ben a magasabb rend˝ u elemeket. ˆ 0 kinetikus részének Miután ismertettem az (1) Hamilton-oper´ ator H ˆ m´ asodkvant´ alt form´ aját, ¨ osszpontos´ıtsunk a V kölcs¨ onhat´ asi tagra. Az 1.1. alfejezetben bemutatott fermionikus rendszerek tanulm´ anyozása folyam´ an mindvégig Hubbard-t´ıpus´ u modellt alkalmaztam a részecskék között kialaÛ a kuló kölcs¨ onhat´ as le´ır´ as´ ara. Ennek értelmében Vˆ = H Û = U H

NΛ X

n ˆ i,σ n ˆ i,−σ

(3)

i=1

kifejezés szerint alakul, ahol U a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségét jellemz˝o csatol´ asi álland´ o. A Hubbard-modell koncepciója a következ˝o gondolatmeneten alapszik: Ha két elektron kölcs¨ onhat´ as´ at tekintj¨ uk vákuumban, akkor a közt¨ uk hat´ o Coulomb-tasz´ıt´ as potenci´ alja a két elektron közötti távols´ ag reciprokával ar´ anyosan cs¨ okken, teh´ at a kölcs¨ onhat´ as a végtelenben válik null´ avá. Ha viszont megn¨ ovelj¨ uk az elektronok sz´ am´ at, akkor a Coulomb-tasz´ıtás a részecskék ´ altal kezd le´ arnyékolódni, és az árnyékolás ann´ al kifejezettebb, minél t¨ obb elektron van jelen. Ennek nyom´ an a Coulomb-tasz´ıtás egy r¨ ovid hat´ osugar´ u, t¨ obbnyire exponenci´ alisan lecseng˝ o kölcs¨ onhat´ ass´ a válik. A Hubbard-modell keretein bel¨ ul ezen er˝ osen lecseng˝ o f¨ uggvény sorfejtésében szerepl˝o tagok köz¨ ul csak a legnagyobb járulékokat vettem figyelembe, amik a f¨ uggvény kicsi t´ avols´ agokhoz tartoz´ o részét fedik le. Ezek a kis távols´ agok fizikailag u ´gy realiz´ al´ odnak a rendszerben, hogy két ellentétes spinvet¨ ulet˝ u

12

3. fejezet

elektron ugyanazon a csom´ oponton tart´ ozkodik, és a modell csak az egyazon csom´ oponton lév˝o elektronok közötti Coulomb-tasz´ıtást veszi figyelembe – ahogyan ez (3)-ban is megfigyelhet˝ o. Természetesen az egycsomóponti Hubbard-j´ arulékok mellett az els˝ o-, m´ asod-, harmad-, ..., m-edszomszéd elektronok köz¨ otti Coulomb-tasz´ıtás is él a rendszerben, de ezek nagysága rendre 1, 2, 3, ..., m nagys´ agrenddel kisebb az egycsomóponti tagokhoz viszony´ıtva, éppen ezért a magasabb rend˝ u, hosszabb hat´ otávols´ ag´ u járulékok elhanyagolhat´ ok a le´ır´ as sor´ an. Ezt a meg´ allap´ıtást olyan k´ısérleti adatok is al´ at´ amasztj´ ak, melyek szerint az egycsomóponti Coulomb-tasz´ıtás energi´ aja szerves periodikus rendszerekben 10 eV kör¨ uli értékre becs¨ ulhet˝ o [19,21,213215], teh´ at a lokális Hubbard-j´ arulékok valóban a leger˝ osebb kölcs¨ onhat´ ast képviselik a rendszerben. Fontosnak tartom megeml´ıteni azt is, hogy fermionikus strukt´ ur´ akban a Coulomb-tasz´ıt´ as mellett elvileg az elektron-fonon kölcs¨ onhat´ as is releváns lehet, azonban ez ´ altal´ aban nem mérvad´ o a félig tölt¨ ott szintt˝ol távol, ´ıgy kis elektronkoncentr´ aci´ oknál az elektron-fonon kölcs¨ onhat´ as figyelembevétele nem befoly´ asolja a végeredmények arculat´ at. Mivel a részecskesz´ am-koncentr´ aci´ o az ´ altalam vizsgált rendszerek mindegyikében jóval a félig töltött szint alatt maradt, a sz´ am´ıt´ asaim nem igényelték az elektron-fonon kölcs¨ onhat´ as modellbeli beiktatás´ at. ¨ Osszegezve teh´ at a fentebb le´ırtakat, az (1) Hamilton-oper´ ator kvantumtér-elméleti szinten vett kifejezése a ˆ = H

NΛ XX σ

|

ǫi n ˆ i,σ +

i=1

strukt´ ura szerint jön létre.

NΛ m X X

n=1 i,j=1 i6=j

{z ˆ0 H

NΛ X (n) n ˆ i,σ n ˆ i,−σ tij cˆ†i,σ cˆj,σ + U i=1

}

|

{z ˆ HU

}

(4)

4. fejezet

13

4. fejezet

Az alkalmazott m´ odszerek bemutat´ asa ´ 4.1. Attekint´ es Ahogyan azt m´ ar a tartalmi bevezet˝oben is eml´ıtettem, kutatásaim sor´ an nemintegr´ alhat´ o sokrészecskés rendszerek alap´ allapotait hat´ aroztam meg egzakt sz´ am´ıt´ asi technik´ akra ép¨ ul˝ o m´ odszerek seg´ıtségével. A sokrészecskés problém´ ak témaköre rendk´ıv¨ ul gazdag szakirodalmi h´ attérrel rendelkezik, azonban az értekezések t¨ obbsége integr´ alhat´ o rendszereket tárgyal [216,217]. Az integr´ alhat´ os´ ag viszont bizonyos megkötéseket r´ o ki az adott strukt´ ur´ ara, hiszen egy integr´ alhat´ o rendszerben a szabadsági fokok sz´ ama nem haladhatja meg az értelmezett mozg´ as´ alland´ ok sz´ am´ at. Ha a´that´ obban belegondolunk, akkor ez a megszor´ıtás a valós´ agos fizikai rendszerekben egyáltalán nem vagy csak speci´ alis esetekben valósulhat meg. Hogy erre tiszt´ abb r´ al´ at´ asunk legyen, a következ˝o szempontokat érdemes megfontolni: J´ ol tudjuk, hogy egy kvantummechanikai rendszerben – a Heisenberg-féle hat´ arozatlansági rel´ aci´ o értelmében – nem adhat´ o meg egyidej˝ uleg tetsz˝ oleges pontoss´ aggal a részecske koordinátája és impulzusa. Ennek egyenes következménye az, hogy az ~r- és ~p-tér szeparálódik a le´ır´ as sor´ an, ´ıgy ha péld´ aul koordinátareprezent´ acióban dolgozunk, akkor a részecske szabadsági fokainak sz´ am´ at az ~r-térbeli koordinátáinak sz´ ama adja meg. Mivel ez esetben olyan rendszereket t´ argyalunk, amelyekben Avogadro-számnyi részecske fordulhat el˝ o, a szabadsági fokok sz´ ama értelemszer˝ uen 1023 nagyságrendbe esik, ez pedig egy integr´ alhat´ o rendszer esetében nagyságrendileg 1023 sz´ am´ u mozg´ as´ alland´ ot követelne meg. A valós´ agos fizikai rendszerekben ilyesfajta feltétel nyilv´ anval´ oan nem teljes´ıthet˝ o, hiszen a természetben csak néh´ any mozg´ as´ alland´ o ´ allhat rendelkezés¨ unkre. Így az integr´ alhat´ o jelleg csak az által´ anosságot sértve, egyedi kör¨ ulmények biztos´ıtás´ aval érhet˝ o el, péld´ aul olyan speci´ alis egydimenzi´ os rendszereket alapul véve, ahol az impulzusmegmaradás t¨ orvénye skal´ aris formul´ avá egyszer˝ us¨ odik, és a részecskék u ¨tközéseik alkalm´ aval a teljes impulzusukat átadják egymásnak. Ennek nyom´ an minden részecske impulzusa megmarad, vagyis minden szabadsági fokhoz tartozik egy megmaradó mennyiség, ami garantálja az integr´ alhat´ os´ agot. Ezek fényében nem meglep˝ o, hogy az integr´ alhat´ o rendszerek igen nagy h´ anyada egydimenzi´ os [216,217]. Nem férhet kétség ahhoz, hogy az integr´ alhat´ o strukt´ ur´ akat érint˝o vizsg´ alatok sor´ an rengeteg értékes fizikai és m´ odszertani ismeret halmoz´ odott fel. Ugyanakkor, mivel a valós´ agban létez˝o képz˝ odmények többsége nem felel meg az integr´ alhat´ os´ ag kritériumának, tanulm´ anyoznunk kell a nem-

14

4. fejezet

integr´ alhat´ o rendszerek fizikáját is. Ez´ altal teljesebbé válhat a sokrészecskés kvantummechanikai rendszerekr˝ol alkotott kép¨ unk, hiszen megteremthetj¨ uk a potenci´ alis lehet˝ oségét annak, hogy eddigi ismereteinket még közelebb vigy¨ uk a természet adta val´ os´ aghoz. Mindemellett a rendszerek sokrészecskés jellegéb˝ ol ered˝ oen az is kulcsfontoss´ ag´ u kérdés, hogy a felhaszn´ alt m´ odszer milyen mértékben és milyen min˝ oségben képes valós´ agh˝ u m´ odon kezelni a korrel´ aci´ os effektusokat. Ilyen szemszögb˝ ol nézve, az er˝ osen kölcs¨ onhat´ o, nemintegrálhat´ o rendszerek egzakt le´ır´ asai fontos értéket képviselnek. Ezenk´ıv¨ ul az egzakt diszkussziók egy´ uttal a közel´ıtéses m´ odszerek eredményességét is tesztelhet˝ ové teszik az´ altal, hogy összehasonl´ıthat´ ová válnak az approximat´ıv és az egzakt met´ odussal kapott megold´ asok. Másrészr˝ ol pedig azért is játszanak fontos szerepet az egzakt sz´ am´ıtási technikák, mert viszony´ıtási pontként szolg´ alhatnak a numerikus m´ odszerek pr´ ob´ aja sor´ an is. Az egzakt eljár´ asok alkalmaz´ asa teh´ at több szempontb´ ol is hasznos és érdekes lehet, ami sz´ amomra is komoly motivációt jelentett a sz´ am´ıtásaim kivitelezésében. Az ´ altalam tanulm´ anyozott rendszerek egzakt alap´ allapotainak meghat´ arozás´ ahoz két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszert használtam fel: az egyik a Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszere (a továbbiakban PSZO m´ odszer), a m´ asik pedig az Alap´ allapotot Tartalmaz´ o Altér Meghat´ aroz´ as´ an alapul´ o m´ odszer (a továbbiakban ATAM m´ odszer). A pozit´ıv szemidefinit oper´ atorokra ép¨ ul˝ o eljár´ asoknak több válfaja létezik, és nemintegr´ alhat´ o rendszerekre vett alkalmaz´ asuk a ’90-es években kezdett el igaz´ an felfutni, miut´ an Brandt és Giesekus 1992-ben publik´ alta eredményeit [218]. Az ´ altaluk bevezetett technikának az volt a lényege, hogy a rendszer Hamilton-oper´ ator´ at pozit´ıv szemidefinit formára transzform´ alt´ ak, ami lehet˝ ové tette, hogy pontos als´ o korl´ atot adjanak az alapállapoti energi´ anak. Ezután a vari´ aciós elv alkalmaz´ as´ aval kiszám´ıtottak egy fels˝o korl´ atot is, és a kapott als´ o és fels˝o korl´ atok matematikai egyezése megadta a rendszer alap´ allapoti energi´ aját. Eredményeiket a Hubbard-, illetve a periodikus Anderson-modell péld´ aján kereszt¨ ul mutatt´ ak be. Brandt és Giesekus m´ odszerét m´ asok is sikeresen alkalmazt´ ak péld´ aul ”resonating valence bond” t´ıpus´ u alap´ allapot [219,220], paramágneses szigetel˝ o és töltéss˝ ur˝ uség-hull´ am [221], ferrom´ agneses [222,223], valamint szupravezet˝o [224, 225] alap´ allapotok kimutat´ as´ ara. A m´ odszer seg´ıtségével tanulm´ anyozták tovább´ a a Falicov–Kimball-modellt [226], a kiterjesztett Emery-modellt egy és két dimenzióban [227], illetve a periodikus Anderson-modellt egy, két és h´ arom dimenzióban [79,227-229]. A Brandt és Giesekus által bevezetett eljár´ as mellett m´ asféle technikákról is olvashatunk a szakirodalomban [76,82, 83,230-238], melyek szintén a pozit´ıv szemidefinit operátorok tulajdons´ agait használják ki. Néh´ any kivételt˝ol eltekintve a fentebbi m´ odszerek alkalmaz´ asa nem egy kiv´ alasztott rendszerre összpontosult, hanem t¨ obbnyire az volt a cél, hogy rendszerf¨ uggetlen m´ odon, az adott modell keretében egy ismert

4. fejezet

15

és meghat´ arozott t´ıpus´ u ´ allapotot mutassanak ki alap´ allapotként. Ezzel szemben a pozit´ıv szemidefinit oper´ atorokra ép¨ ul˝ o eljár´ asok azon változata, melyet én is alkalmaztam a kutatómunkám sor´ an, a tanulm´ anyozand´ o rendszert jelöli meg kiindul´ opontként anélk¨ ul, hogy az alap´ allapotr´ ol b´ armiféle el˝ ozetes ismeretet tételeznénk fel. Ez az u ´jfajta szemlélet a 2000-es években bontakozott ki. Alkalmaz´ asa els˝ oként négyzetes [72] láncok esetében valósult meg, ezt követ˝ oen pedig h´ aromszöges [71], ötsz¨ oges [73], valamint cikcakk [74], illetve karosszék [75] t´ıpus´ u hatsz¨ oges láncok vonatkozás´ aban is eredményre vezetett. Az ´ altalam alkalmazott PSZO m´ odszer a következ˝o lépések szerint hajtand´ o végre: 1.) A Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit form´ ara val´ o transzformáci´ oja. 2.) A transzformáció feltételeinek megad´ asa. 3.) Az alap´ allapoti energia kiszám´ıtása. 4.) A legáltalánosabb hull´ amf¨ uggvényb˝ol kiindulva az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ asa. 5.) Az alap´ allapot fizikai tulajdons´ againak vizsgálata. A pozit´ıv szemidefinit oper´ atorokra ép¨ ul˝ o sz´ am´ıtási technikák mellett a 2000-es években olyan m´ odszereket is kidolgoztak, melyek alkalmaz´ asa lehet˝ ové teszi, hogy a rendszer egzakt alap´ allapotát a probléma által adott Hilbert-tér egy kisméret˝ u alterében hat´ arozzuk meg. Az eljár´ as révén sz´ amottev˝o mértékben cs¨ okken a Hilbert-tér dimenziója, ´ıgy az alap´ allapot fizikai tulajdons´ againak vizsgálata a kapott altérben jóval egyszer˝ ubb és kevésbé id˝ oigényes. A m´ odszer k¨ ul¨ onb¨ oz˝o numerikus változatainak alkalmazás´ aval lehet˝ oség ny´ılt olyan eredmények bemutat´ as´ ara, melyek a rendszer méretét˝ ol f¨ uggetlen¨ ul jellemzik az egzakt alap´ allapotot. Péld´ aul az egydimenzi´ os t-J modell tanulm´ anyozásakor fázisszeparációs viselkedést figyeltek meg [239], a kétsz´ ar´ u Hubbard-létr´ ak esetében pedig k¨ ul¨ onb¨ oz˝o korrel´ aciós f¨ uggvényeket sz´ amoltak ki [240,241]. A m´ odszert analitikus formában els˝ oként a Hubbard-modell felhaszn´ alás´ aval egy kétdimenziós négyzetes r´ acs péld´ aján kereszt¨ ul prezent´ alták [242], melynek eredményeit kés˝ obb a kiterjesztett Hubbard-modell keretében is megvizsgálták [243]. Sz´ am´ıtásaimban a [242]-ben alkalmazott analitikus ATAM m´ odszert használtam fel, melynek lépései a következ˝ ok szerint foglalhatók össze: 1.) Az altér induló b´ azisvektorának konstrukci´ oja. 2.) A Hamilton-oper´ ator induló b´ azisvektorra vett hat´ as´ anak kiszám´ıt´ asa. 3.) A Hamilton-oper´ ator alkalmaz´ asa az eredményben megjelen˝o u ´j ´ allapotvektorokra. 4.) A proced´ ura folytat´ asa mindaddig, am´ıg nem z´ arul az egyenletrendszer, azaz am´ıg meg nem találjuk az altér utols´ o b´ azisvektorát. 5.) A kapott egyenletrendszer egzakt diagonaliz´ aci´ oja, ami megadja a rendszer alap´ allapoti energi´ aját és alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét. 6.) Az alap´ allapot fizikai tulajdons´ againak vizsgálata. Az al´ abbi két alfejezetben részletesen ismertetem a kutatómunkám sor´ an alkalmazott met´ odusok konkrét lépéseit. Az els˝ o alfejezetben a Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszerét taglalom, a m´ asodik alfejezetet pedig az Alap´ allapotot Tartalmaz´ o Altér Meghat´ aroz´ as´ an alapul´ o m´ odszer bemu-

16

4. fejezet

tat´ as´ anak szentelem.

4.2. A Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszere 4.2.1. A Hamilton-oper´ ator transzform´ aci´ oja Ismeretes, hogy egy Pˆ oper´ ator pozit´ıv szemidefinit abban az esetben, ha a hψ|Pˆ |ψi ≥ 0 rel´ aci´ o a H Hilbert-tér b´ armely |ψi hull´ amf¨ uggvényével telˆ jes´ıthet˝ o. A P |ψi = p|ψi sajátérték-egyenlet felhaszn´ alás´ aval, 1-re norm´ alt ˆ hull´ amvektorokat feltételezve – hψ|P |ψi ≥ 0 alapján – könnyedén beláthat´ o, hogy p ≥ 0, azaz a sajátértékek halmaza nemnegat´ıv. Ez azt jelenti, hogy Pˆ spektrum´ anak van egy jól meghat´ arozott als´ o korl´ atja, a nulla. A PSZO ˆ Hamilm´ odszer abb´ ol indul ki, hogy elvileg minden fizikai rendszert le´ır´ oH ton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit formára transzform´ alhat´ o. Bebizony´ıthat´ o ˆ spektrum´ ugyanis, hogy amennyiben Eg H anak als´ o korl´ atját (az alap´ allaˆ − Eg pozit´ıv szemidefinit, azaz H ˆ − Eg = Pˆ (Az poti energi´ at) jelöli, H áll´ıt´ as bizony´ıt´ asa az 1. F¨ uggelékben találhat´ o meg). Az ismeretlen Eg alap´ allapoti energi´ at egy C konstans formájában áttéve az egyenl˝ oség jobb oldal´ ara, kialak´ıthat´ oa ˆ = Pˆ + C H

(5)

fel´ır´ as, ami a Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit formára transzformált kifejezését adja. Ha ezen (5) transzformált Hamilton-oper´ atorral hatunk a ˆ Hilbert-tér egy tetsz˝ oleges |ψi elemére, akkor a H|ψi = (Pˆ + C)|ψi egyenlet alakul ki. A továbblépéskor nem szabad szem el˝ol téveszten¨ unk azt a t¨ orekvést, hogy rendszer¨ unket az alap´ allapotában szeretnénk analiz´ alni, ˆ éppen ezért H|ψi = (Pˆ + C)|ψi jobb oldal´ at minimum értékre kell beáll´ıtanunk. Ezt olyan m´ odon tudjuk véghez vinni, hogy kiszabjuk a Pˆ |ψi = 0

(6)

feltételt, ami pontosan azt jelenti, hogy Pˆ spektrum´ ab´ ol a legkisebb, azaz a ˆ p = 0 sajátértéket választjuk ki. Ez´ altal eljutunk a H|ψi = C|ψi sajátértékegyenlethez, ´ıgy C val´ oban a rendszer alap´ allapoti energi´ aját produkálja, vagyis C = Eg . Az Eg alap´ allapoti energi´ ahoz tartoz´ o |ψg i alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényt a (6) feltétel alapján hat´ arozhatjuk meg azáltal, hogy megkonstruáljuk azt a leg´ altal´ anosabb |ψi állapotot, amely eleget tesz a (6)-ban foglalt követelménynek. A fentiek szerint teh´ at világosan látszik, hogy a (6) kritérium kulcsfontoss´ ag´ u szerepet játszik az alap´ allapot meghat´ aroz´ as´ aban, ugyanakkor azt is realiz´ alnunk kell, hogy a (6) egyenl˝ oséget az az egyszer˝ u kör¨ ulmény h´ıvja életre, hogy Pˆ spektrum´ anak pontosan ismert als´ o korl´ atja van (p ≥ 0).

4. fejezet

17

A PSZO m´ odszer t¨ obb szemszögb˝ ol is roppant produkt´ıv. Sikeressége egyrészt abban rejlik, hogy az eljár´ as alkalmazhat´ osága abszol´ ut f¨ uggetlen a rendszer dimenzióját´ ol és a mozg´ as´ alland´ ok sz´ am´ atól, vagyis integr´ alhat´ o és nemintegr´ alhat´ o rendszerekben egyar´ ant kereszt¨ ulvihet˝o, tetsz˝ oleges dimenzi´ oban. A m´ odszer m´ asik nemtriviális erénye pedig abb´ ol sz´ armazik, hogy egzaktul képes megadni a rendszer alap´ allapoti energi´ aját anélk¨ ul, hogy b´ armiféle ismeret¨ unk lenne a (4) induló Hamilton-oper´ ator sajátértékeinek ˆ és Pˆ csak a C konstansals´ o korl´ atjár´ ol. Mivel azonban (5) szerint H ˆ ban k¨ ul¨ onb¨ ozik egymást´ ol, a H-spektrum minimum´ at a Pˆ -spektrum als´ o korl´ atjának (a null´ anak) C-vel eltolt értéke definiálja. Mindemellett szeretném azt is kiemelni, hogy az (5) szerinti átalak´ıtás sz´ amtalan m´ odon kivitelezhet˝ o, hiszen a transzformált Hamilton-oper´ ator ˆ alakj´ at a P oper´ ator konkrét bels˝ o szerkezete hat´ arozza meg, melyet nagyon sokféleképpen kialak´ıthatunk azzal a kik¨ otéssel, persze, hogy Pˆ formája pozit´ıv szemidefinit kell, hogy legyen. K¨ ovetkezésképpen az (5) transzform´ aci´ o t¨ obbféle m´ odon is el˝oállhat a ˆ 1 = Pˆ1 + C1 , H ˆ 2 = Pˆ2 + C2 , H ˆ 3 = Pˆ3 + C3 , H .. .

(7)

által´ anos fel´ır´ asnak megfelel˝oen, ahol Pˆ1 , Pˆ2 , Pˆ3 , ... egymást´ ol eltér˝ o strukt´ ur´ aj´ u pozit´ıv szemidefinit oper´ atorokat jelentenek, megalkotva ezzel a k¨ ul¨ onˆ 1, H ˆ 2, H ˆ 3 , ... transzformált Hamilton-oper´ b¨ oz˝ oH atorokat. A (7)-ben foglalt felbont´ asok természetesen csak abban az esetben lehetnek effekt´ıve helyesek, ˆ 1, H ˆ 2, H ˆ 3 , ... Hamilton-oper´ amennyiben a transzformált H atorok identikusan visszaadják a (4) induló Hamilton-oper´ atort, azaz fennállnak a ˆ ≡ H ˆ 1, H ˆ ≡ H ˆ 2, H ˆ ≡ H ˆ 3, H .. .

(8)

identikus egyenl˝ oségek. Vegy¨ uk észre, hogy (8) azonosságai kapcsolatot teremtenek az induló és a transzformált Hamilton-oper´ ator paraméterei között. Az induló Hamilton-oper´ ator paramétereit – ahogyan ez (4)-b˝ ol is le(n) ˆ 1, H ˆ 2, H ˆ 3 , ... olvashat´ o – az {ǫi , tij , U } halmaz tartalmazza, a transzformált H Hamilton-oper´ atorok paraméterkészleteit pedig jelöljék rendre a {h11 , h12 , h13 , ...; C1 }, {h21 , h22 , h23 , ...; C2 }, {h31 , h32 , h33 , ...; C3 }, ..., szettek u ´gy, hogy 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ a {h1 , h2 , h3 , ...}, {h1 , h2 , h3 , ...}, {h1 , h2 , h3 , ...}, ..., csoportok a P1 , P2 , Pˆ3 , ...

18

4. fejezet

oper´ atorokat paraméterezik. Ha tev˝olegesen is végrehajtjuk (8) egyenl˝ oségeit, akkor eredmény¨ ul olyan algebrai egyenletrendszereket kapunk, melyekben val´ oban megjelennek az induló és a transzformált Hamilton-oper´ atorok fentebb eml´ıtett paraméterei. (8) minden azonossága egyenként gener´ al egy egyenletrendszert, melyeket teljes általánossággal matematikailag szemléletesen az (n) F1 {ǫi , tij , U }, {h11 , h12 , h13 , ...; C1 } = 0, (n) F2 {ǫi , tij , U }, {h21 , h22 , h23 , ...; C2 } = 0, (n) F3 {ǫi , tij , U }, {h31 , h32 , h33 , ...; C3 } = 0, .. . (9) f¨ uggvényformul´ akba lehet beles˝ ur´ıteni, ahol az F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0, ... ˆ ≡H ˆ 1, H ˆ ≡H ˆ 2, H ˆ ≡H ˆ 3 , ... azonosságokból egyenletrendszerek rendre a H erednek. A (9)-ben szerepl˝o Fk = 0, k = 1, 2, 3, ..., egyenletrendszereket (n) mindvégig u ´gy kezelj¨ uk, hogy az induló Hamilton-operátor {ǫi , tij , U } paˆ k oper´ ramétereit ismertnek tekintj¨ uk, a H atorok paraméterei viszont (7) fel´ır´ as´ anak pillanat´ aban még ismeretlenek, ´ıgy (9) biztos´ıtja annak lehet˝ osé(n) k k k gét, hogy kifejezz¨ uk a {h1 , h2 , h3 , ...; Ck } készleteket az {ǫi , tij , U } értékeinek f¨ uggvényében. Amennyiben egy adott Fk = 0 egyenletrendszer esetén siker¨ ul matematikailag és fizikailag is helyes megold´ ast vagy megold´ asokat ˆ ˆ tal´ alnunk, akkor biztosak lehet¨ unk abban, hogy H ≡ Hk teljes¨ ul, a releváns ˆ k = Pˆk + Ck transzformáci´ H o is korrekt, és Pˆk a {hk1 , hk2 , hk3 , ...} paraméterek által válik meghat´ arozott´ a. Ellenben, ha az egyenletrendszernek nem léteznek matematikai és fizikai megold´ asai, akkor nem használhatjuk tovább az ˆ ˆ adott Hk = Pk + Ck transzformációt, helyette u ´jat kell konstruálnunk (5) szerint, és ellen˝ orizn¨ unk kell, hogy ezen u ´j konstrukció kiállja-e az egyenletrendszer megoldhatós´ ag´ anak pr´ ob´ aját. Miután pedig Fk = 0-b´ ol meghaˆ ˆ tároztuk Hk -t (lényegében Pk -t és Ck -t), következhet a (6) feltétel megval´ os´ıt´ asa, melynek sor´ an felép´ıtj¨ uk azt a legáltalánosabb |ψg ik hull´ amˆ f¨ uggvényt, amely engedelmeskedik a Pk |ψg ik = 0 kitételnek. Ekkor, az alfejezet els˝ o szakasz´ aban le´ırtaknak megfelel˝oen, |ψg ik megadja a rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét, amelyhez az Eg k = Ck alap´ allapoti energia rendelhet˝o hozz´ a. Ezenk´ıv¨ ul fontos tudnivaló még az is, hogy egy (9)-ben adott Fk = 0 egyenletrendszer megold´ asa, azaz az ismeretlen {hk1 , hk2 , hk3 , ...; Ck } elemek kiszám´ıt´ asa sor´ an olyan extra inform´ aciókhoz is hozz´ ajuthatunk, melyek (n) jól meghat´ arozott kapcsolatokat r¨ ogz´ıtenek a Hamilton-oper´ ator {ǫi , tij , U } (n) paraméterei köz¨ ott. A fenn´ alló extra rel´ aciók formálisan a Gk {ǫi , tij , U } alakba t¨ om¨ or´ıthet˝ ok, melyek matematikailag egyenl˝ oségek vagy egyenl˝ otlen(n) ségek form´ ajában jöhetnek létre. A Gk feltételek az {ǫi , tij , U } paraméterek

4. fejezet

19

által kifesz´ıtett fázistérben kelnek életre azáltal, hogy Gk rel´ aciói egyértelm˝ uen defini´ alnak a fázistérben egy olyan speciális Dk domént, ahol a kapott allapot érvényes. A fenti okfejtés természetesen az összes |ψg ik ; Eg k alap´ k = 1, 2, 3, ... index esetében helytálló lehet, ´ıgy a (9)-b˝ ol sz´ armaztatott Gk f¨ uggvénykapcsolatok a (n) G1 {ǫi , tij , U } −→ D1 −→ |ψg i1 ; Eg 1 (n) G2 {ǫi , tij , U } −→ D2 −→ |ψg i2 ; Eg 2 (n) G3 {ǫi , tij , U } −→ D3 −→ |ψg i3 ; Eg 3 .. . (10) fel´ır´ as szerint val´ osulnak meg. A |ψg i1 ; Eg 1 , |ψg i2 ; Eg 2 , |ψg i3 ; Eg 3 , ... megold´ asok teh´ at a fázistér D1 , D2 , D3 , ... tartom´ anyain léteznek, melyeket ¨ a G1 , G2 , G3 , ... feltételek jelölnek ki. Osszefoglalva teh´ at olyan |ψg ik ; Eg k alap´ allapoti megold´ asokhoz juthatunk el, amelyek a fázistér jól meghat´ arozott, lokális Dk szegmenseiben vannak értelmezve, és a kapott |ψg ik ; Eg k alap´ allapotok egyenként m´ as és m´ as fizikai tulajdons´ agokkal lehetnek felruházva. Ez´ altal létrejön annak a lehet˝ osége, hogy a Dk domének mentén haladva, z´ on´ ar´ ol z´ on´ ara feltérképezz¨ uk a teljes fázisteret, és az esetlegesen változ´ o fizikai tulajdons´ agok szerint elk¨ ul¨ on´ıts¨ uk a rendszer olyan fázisait, melyek egymást´ ol eltér˝ o fizikai sajátoss´ agokat mutatnak (pl. paramágneses – ferrom´ agneses vagy szigetel˝ o – vezet˝o átmenetek feltár´ asa). Megjegyzem, hogy nemintegr´ alhat´ o rendszerek egzakt u ´ton kapott alap´ allapotainak esetében rendszerint tipikusnak sz´ am´ıtanak azok az eredmények, amelyekben a glob´ alis megold´ as a fázistér lokális szelvényeib˝ ol ép¨ ul fel. Ezzel szemben az integr´ alhat´ o rendszerek egzakt alap´ allapotait általában egyetlen kompakt megold´ as ´ırja le, amely a fázistér egészére érvényes. Szeretném azt is vil´ ul¨ onb¨ oz˝o Dk doméneken agosan érzékeltetni, hogy k¨ értelmezett |ψg ik ; Eg k alap´ allapoti megold´ asokhoz nemcsak u ´gy juthatunk ˆ ˆ el, hogy t¨ obbféle H ≡ Hk transzformációt valós´ıtunk meg (8) azonosságai szerint, hanem olyan m´ odon is, hogy kialak´ıtunk egyetlen meghat´ arozott ˆ ˆ H ≡ Hk strukt´ ur´ at, majd megvizsgáljuk, hogy az ebb˝ ol sz´ armaz´ o Fk = 0 egyenletrendszernek létezhet-e egynél több fizikai megold´ asa. Amennyiben ′ ′′ ′ ′′ felk´ın´ alkozik az a lehet˝ oség, hogy több k¨ ul¨ onb¨ oz˝o |ψg ik ; Eg k , |ψg ik ; Eg k , ′′′ ′′′ |ψg ik ; Eg k , ... megold´ ast találjunk az Fk = 0 egyenletrendszerhez, akkor ′ ′′ ′′′ a kapott alap´ allapotok a megfelel˝o Gk , Gk , Gk , ... rel´ aciók nyom´ an létrejöv˝o ′ ′′ ′′′ Dk , Dk , Dk , ... tartom´ anyokon fognak fennállni. Hogy élesebben kirajzolódjanak a fentebb részletezett eljár´ as f˝obb mozzanatai, a következ˝ okben szeretném kézzelfoghatóbb m´ odon is kifejteni azt, hogy az 1.1. alfejezetben felv´ azolt rendszereim esetében konkrétan hogyan hajtottam végre a m´ odszer egyes lépéseit.

20

4. fejezet

Ahogy l´ attuk, els˝ o feladatunk az induló Hamilton-oper´ ator átalak´ıtása ˆ (5) szerint, ahol a transzformációt a P oper´ ator strukt´ ur´ aja hat´ arozza meg, teh´ at el˝ osz¨ or is Pˆ ”finomszerkezetét” kell megalkotnunk. Pˆ -t a tanulm´ anyozott rendszerek mindegyikében a Pˆ =

Nc XXX σ

q

Û Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ + H

(11)

p=1

formula szerint szerkesztettem meg, melyben Nc a rendszert felép´ıt˝o elemi cell´ ak sz´ am´ at definiálja, a q összegz˝ oindex értelmezési tartom´ anyát pedig minden esetben a tanulm´ anyozott rendszer geometriai tulajdons´ agai és a (n) rendszerben értelmezett ǫi , tij paraméterek t´ıpusai egy¨ uttesen hat´ arozz´ ak ´ meg. Altal´ anosan meg´ allap´ıthat´ o azonban, hogy q értelmezési tartom´ anya ˆ nem t´ ul nagy, rendszerint ugyanis cellánként néh´ any A oper´ ator (kb. 48) elegend˝ o a Hamilton-oper´ ator transzformációjának megvalós´ıtás´ ahoz. A ˆ (11)-beli HU ugyanazon Hubbard-j´ arulékokat jelen´ıti meg, amelyek az indul´ o (4) Hamilton-oper´ atorban szerepelnek, az Aˆp,q,σ oper´ atorokat pedig fermionikus annihilál´ o oper´ atorok line´ aris kombin´ aciójaként áll´ıtottam el˝o, azaz X p Aˆp,q,σ = xq,i cî,σ . (12) i∈αq

Az xpq,i koefficiensek (melyek paraméterezik Aˆp,q,σ -t, és (11) folyt´ an Pˆ -t is) p (12) fel´ır´ asakor ismeretlenként lépnek be a kifejezésbe, ezért az xq,i értékeit ki kell majd sz´ am´ıtanunk (l´ asd kés˝ obb (14)-et). Az összegzés az i csom´ oponti index szerint t¨ orténik egy olyan véges αq tartom´ anyon, amely a rendszernek csak néh´ any, egymáshoz közeli csom´ opontját foglalja mag´ aba. Így voltaképpen az egyes Aˆp,q,σ oper´ atorok a rendszer kisméret˝ u αq blokkjain vannak értelmezve, ezért Aˆp,q,σ -t kézenfekv˝o a továbbiakban blokkoper´ atornak titul´ alni. (11) felhaszn´ alás´ aval teh´ at az (5) transzformált Hamiltonoper´ ator ˆ = H

Nc XXX σ

q

Û + KN ˆ Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ + H

(13)

p=1

ˆ formában vettem alakban ´ all el˝ o, ahol l´ athat´ oan a C konstanst C = K N ˆ a teljes részecskesz´ fel. N am oper´ ator´ at jelöli, és mivel a részecskesz´ amot ˆ mindvégig mozg´ as´ alland´ oként kezelem, ´ıgy N konstans, K pedig egy olyan strukt´ ur´ aval rendelkez˝ o´ alland´ o, melyet mindig az induló Hamilton-oper´ ator paraméterei hat´ aroznak meg (utalok ismét (14)-re). A Hamilton-oper´ ator transzformáci´ oját illet˝ oen szeretném megjegyezni, hogy a disszertációmban alkalmazott (13) strukt´ ura speciálisan szétválasztja a Hamilton-oper´ ator

4. fejezet

21

kinetikus és kölcs¨ onhat´ asi járulékait, ez a tagolód´ as azonban kor´ antsem sz¨ ukségszer˝ u, hiszen a transzformáció általánosabb szintjén a kinetikus és kölcs¨ onhat´ asi tagok keveredhetnek egymással. Ahogyan azt m´ ar (7) kapcs´ an is taglaltam, az (5) transzformáció többféleképpen is megalkothat´ o. Vegy¨ uk észre, hogy (13) esetében az teszi ”képlékennyé” a transzformációt, hogy a (12) blokkoper´ atorok szerkezete többféleképpen is el˝ o´ all´ıthat´ o, hiszen az egyes αq tartom´ anyok nagysága és elrendezése t¨ obb m´ odon is megválaszthat´ o. Így a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o blokkoper´ atorszettek m´ as és m´ as transzformációt valós´ıthatnak meg, ami megfelel a (7)ben foglalt fel´ır´ asnak. Most azonban, a könnyebb áttekinthet˝ oség kedvéért, azt az esetet fogom kifejteni, amikor egyetlen transzformációt kezel¨ unk, azaz (7-10)-ben k = 1. E szerint továbbhaladva, (8) értelmében a (13) transzformált Hamiltonoper´ atornak identikusan vissza kell adnia a (4) induló Hamilton-oper´ atort. Ahhoz, hogy ezt az azonosságot fel´ırhassuk, el kell végezn¨ unk a kijel¨ olt † ˆ ˆ A A szorzatokat, majd az eredményeket összeadva Pp,q,σ P p,q,σ P ˆ† ˆ A ol tagra haladva össze kell hasonl´ıtanunk σ q p p,q,σ Ap,q,σ szerint, tagr´ ´ (13)-at és (4)-et. Igy (13) és (4) tagonkénti egyenl˝ ové tétele gener´ al egy egyenletrendszert, ami (9) értelmében az (n) F {ǫi , tij }, {xpq,i ; K} = 0 (14)

alakba s˝ ur´ıthet˝ o. (14) és (9) összehasonl´ıtása alapján láthat´ o, hogy (14)-ben nem jelenik meg az U csatol´ asi álland´ o. Ennek az az oka, hogy a (13)-ban alˆ 0 -ban foglalt kalmazott transzformáci´ o a (4) Hamilton-oper´ atornak csak a H ˆ U Hubbard-j´ kinetikus tagjait érinti, a H arulékokat viszont változatlanul hagyja, ezért a (14) egyenletrendszerben nem találunk olyan egyenletet, amely tartalmazná az U paramétert. (9) {h1 , h2 , h3 , ...} paraméterkészletét jelen esetben az {xpq,i } halmaz testes´ıti meg, a C konstans helyébe pedig, C = ˆ következtében, K lép. Mindezek ismeretében világosan látszik, hogy – KN amennyiben (14)-nek létezik fizikailag is helyes matematikai megold´ asa – a p aroz´ as´ ara (14) egyenletrendszer alkalmas az {xq,i ; K} paraméterszett meghat´ (n)

uggvényében. Továbu ´gy, hogy {xpq,i ; K} kifejezhet˝o az {ǫi , tij } értékeinek f¨ b´ a, a (14) megold´ asakor kialakul´ o extra feltételek (10) alapján a (n) G {ǫi , tij } −→ D −→ |ψg i; Eg (15) (n) alakban ad´ odnak, ahol a fázistérnek a G {ǫi , tij } kond´ıció(k) által kiallapot. Ezennel teh´ at jelölt D z´ on´ ajában jelenhet meg a |ψg i; Eg alap´ elért¨ unk ahhoz a ponthoz, amikor ismert formában rendelkezés¨ unkre állnak az Aˆp,q,σ blokkoper´ atorok, illetve (11) folyt´ an maga a Pˆ . Emellett a kapott (n) K {ǫi , tij } révén az alap´ allapoti energia is megadható (n) Eg = K {ǫi , tij } N (16)

22

4. fejezet

szerkezettel. 4.2.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa Ezek ut´ an az a feladatunk, hogy megkonstruáljuk és (6)-ot felhaszn´ alva meghat´ arozzuk azt a |ψg i alap´ allapotot, amely a fentebbi D tartom´ anyon érvényes lehet. Ehhez el˝ osz¨ or is meg kell szerkeszten¨ unk egy induló |ψi hull´ amf¨ uggvényt, amelyb˝ ol (6) alkalmaz´ as´ aval megkaphatjuk |ψg i-t. Ezen induló hull´ amf¨ uggvényt a Y † ˆm,σ |0i (17) B |ψi = m m

szerkezet szerint ép´ıtettem fel, ahol |0i a vákuum´ allapotot reprezentálja, † ˆ atorok line´ aris kombin´ aciója a Bm,σm pedig fermionikus kelt˝o oper´ † ˆm,σ = B m

X

yjm cˆ†j,σm

(18)

j∈αm † ˆm,σ ator formul´ anak megfelel˝oen. R¨ ogz´ıtett m index esetén az adott B m oper´ egyetlen, σm spinvet¨ ulet˝ u elektront helyez el a rendszerben, amely a j ∈ αm csom´ opontonok b´ armelyikén megjelenhet, és |yjm |2 megadja annak valósz´ın˝ uségét, hogy az elektron éppen a j-edig csom´ oponton tart´ ozkodik. Ennélfogva † ˆm,σ a rendszerbeli elektronok sz´ am´ at a (17) produktum´ aban jelenlév˝o B m oper´ atorok sz´ ama, azaz m hat´ arozza meg. L´ athat´ o, hogy az összegzés j futóindexe egy bizonyos αm -mel jelölt tartom´ anyon mozoghat. Ahogyan azt majd a kés˝ obbi fejezetekben is látni fogjuk, αm mérete kulcsfontoss´ ag´ u in† ˆ atorok, és ezen kereszt¨ ul az alap´ alform´ aci´ ot hordoz mag´ aban a Bm,σm oper´ lapot fizikai tulajdons´ agaira vonatkozóan, ugyanis az αm -hez tartoz´ o csom´ opontok sz´ ama (azaz a j index által érinthet˝ o csom´ opontok sz´ ama) alapvet˝oen † † ˆ ˆm,σ -et alkotó tagok kiterjedts´ e g´ e t, vagyis a B megszabja az adott B m,σm m sz´ am´ at. Ha péld´ aul αm a rendszer összes csom´ opontját tartalmazza, akkor † ˆm,σ u ´gynevezett kiterjedt ´ allapotok jönnek létre, mivel ebben az esetben B m a rendszer teljes terjedelmében él. Ha viszont αm csak blokkszer˝ uen létezhet, azaz csak néh´ any egymáshoz közeli csom´ opontot foglal mag´ aba, akkor a rendszer egy kisméret˝ u, véges tartom´ anyában lokaliz´ alt állapotok valósulnak meg. αm méretét mindig a konkrét rendszerben elvégzett sz´ am´ıtások mutatják meg, ezen m´ odszertani bevezet˝o szintjén azonban mindenképpen érdemes felfigyelni a kiterjedt és a lokaliz´ alt állapotok kialakul´ as´ anak elvi lehet˝ oségére. (18) fel´ır´ as´ anak pillanat´ aban ismeretlenként jelennek meg az yjm egy¨ utthat´ ok, ´ıgy csak pontos értékeik kiszám´ıtás´ aval válhatnak megha† m ˆ atorok. Az yj koefficiensek megad´ asa a (6) feltétel tározott´ a a Bm,σm oper´ ˆ alapján t¨ orténik, amelybe be´ırva a (11)-beli P , illetve a (17)-beli |ψi kife-

4. fejezet

23

jezését, a XXX σ

q

Û Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ + H

p

Y m

† ˆm,σ |0i = 0 B m

egyenl˝ oséghez jutunk el. Emlékezz¨ unk arra, hogy a

P P P σ

q

(19) ˆ† ˆ p Ap,q,σ Ap,q,σ

ˆ U Hubbardjárulékban cˆ†σ cˆσ t´ıpus´ u oper´ atori tagok jelennek meg, m´ıg a H † † járulékot cˆσ cˆσ cˆ−σ cˆ−σ felép´ıtés˝ u elemek alkotják. Mivel ezen eltér˝ o szerkezettel rendelkez˝ o komponensek matematikailag nem keveredhetnek, azaz nem kezelhet˝ ok egy¨ uttesen egy egyenleten bel¨ ul maradva, ´ıgy (19) kénytelen szétesni a Y XXX ˆ† B Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ m,σm |0i = 0 (a) σ

q

m

p

Û H

Y m

† ˆm,σ |0i = 0 (b) B m

(20)

egyenl˝ oségekre. (20) megold´ asaib´ ol h´ armas inform´ aciót nyerhet¨ unk: i.) kiszám´ıthatjuk az yjm koefficiensek konkrét értékeit, ii.) meg´ allap´ıthatjuk az αm domének méretét, iii.) következtethet¨ unk az alap´ allapot fizikai tulajdons´ agaira, pl. m´ agneses vagy elektromos jellemz˝okre. Koncentr´ aljunk els˝ oként a (20.a) feltételre, mely legegyszer˝ ubb m´ odon az oper´ atorok sorrendjének megfelel˝o ´ atrendezésével hajtható végre. Az oper´ atori sorrend megváltoztat´ asakor az a cél, hogy Aˆp,q,σ közvetlen¨ ul a |0i vákuum´ allapot elé ker¨ uljön, hiszen Aˆp,q,σ annihiláló természeténél fogva automatikusan teljes´ıti az Aˆp,q,σ |0i = 0 egyenl˝ oséget, melynek révén (20.a) jobb oldala val´ oban null´ avá válik. Az oper´ atorok felcserélése az

hX q

† ˆm,σ {Aˆp,q,σ , B } = 0 (a) m i † ˆm,σ = 0 (b) Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ , B m

(21)

rel´ aci´ okon kereszt¨ ul val´ os´ıthat´ o meg, melyeknek az összes p, q, m, σ, σm in† ˆm,σ o oper´ atorok dexre teljes¨ ulni¨ uk kell. Mivel Aˆp,q,σ elt¨ untet˝o, B m pedig kelt˝ line´ aris kombin´ aci´ oja, ´ıgy – fermionikus rendszerekr˝ol lévén sz´ o – a (21.a) egyenl˝ oség fel´ır´ asakor értelemszer˝ uen az elemi fermionikus kelt˝o és elt¨ untet˝o oper´ atorok köz¨ ott fenn´ all´ o {ˆ ci,σ , cˆ†j,σ } = δij antikommut´ aciós rel´ aciókat kell alkalmaznunk. Ezzel szemben (21.b) kommut´ aciós rel´ aciót ´ır el˝o, aminek az az oka, hogy Aˆ†p,q,σ Aˆp,q,σ -ban cˆ†i,σ cˆj,σ t´ıpus´ u oper´ atorszorzatok jelennek meg, ami m´ ar nem tiszt´ an elemi fermionikus járulék, ezért csak kommut´ aciós rel´ aci´ ot teljes´ıthet egy elemi fermionikus kelt˝o oper´ atorral [ˆ c†i,σ cˆj,σ , cˆ†k,σ ] = δjk cˆ†i,σ szerint. A (21) ´ altal felk´ın´ alt lehet˝ oségek köz¨ ul célszer˝ u els˝ oként a (21.a) esetet megvizsg´ alni, mivel ez a sz´ am´ıtások technikai kivitelezésének

24

4. fejezet

szempontjáb´ ol elvileg egyszer˝ ubb lehet, azonban el˝ofordulhatnak olyan esetek is, amikor (21.a) nem vezet megold´ asra. Ekkor tovább kell lépni az összetettebb strukt´ ur´ aval rendelkez˝o (21.b) feltétel ir´ anyába, és tesztelni kell, hogy teljes´ıthet˝ o-e az el˝o´ırt egyenl˝ oség. Mindenesetre (21.a) és (21.b) köz¨ ul akármelyik u ´t bizonyul is járhat´ onak, az adott antikommut´ aciós vagy kommut´ aci´ os rel´ aci´ o gener´ al egy olyan egyenletrendszert, amely matematikailag a W ({xpq,i }, {yjm }) = 0

(22)

által´ anos f¨ uggvényalakban realiz´ alhat´ o. (22) szintjén az {xpq,i } halmaz elemei m´ ar ismertek, hiszen ezeket éppen a (14)-ben foglalt egyenletrendszer megold´ asai hat´ arozt´ ak meg. Ennélfogva (22) biztos´ıtja azt a lehet˝ oséget, hogy kifejezz¨ uk az {yjm } készletet {xpq,i }, illetve – (14) okán – végs˝ o soron (n)

{ǫi , tij } f¨ uggvényében. Ezzel teh´ at (20.a) megold´ as´ anak menete véget ér, és eredményként megkapjuk az yjm egy¨ utthat´ ok értékeit, ami alapján az αm domének kiterjedése is meghat´ arozhat´ o, vagyis (20.a) m´ odot ad a fentebb eml´ıtett i.) és ii.) pontok teljes´ıtésére. Ezek ut´ an – a (20.a)-b´ ol nyert inform´ aci´ okat felhaszn´ alva – a (20.b) kritérium végrehajtás´ aval meg´ allap´ıthatjuk az alap´ allapot fizikai tulajdons´ agait, amivel a iii.) pont is elkész¨ ul, és i.), ii.), iii.) ¨ osszes´ıtésével az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényt is egzaktul megadhatjuk. Mivel a disszertáci´ omban a r´ acs által adott diszkrét geometriai térben értelmezett sokrészecskés, fermionikus rendszereket tárgyalok, ´ıgy a 4.2. alfejezetben azt mutattam be részletesen, hogy ilyen kör¨ ulmények között hogyan lehet megval´ os´ıtani a PSZO m´ odszer egyes lépéseit. Természetesen az eljár´ as elvileg b´ armilyen fizikai rendszer esetében m˝ uköd˝ oképes, de k¨ ulönb¨ oz˝ o t´ıpus´ u rendszerekben m´ as és m´ as formában alkalmazhat´ o. Hogy ezt egy egyszer˝ u péld´ an kereszt¨ ul demonstráljam, a 2. F¨ uggelékben ismertetem a m´ odszer alkalmaz´ as´ at az egydimenzi´ os harmonikus oszcill´ ator esetében, ami a folytonos geometriai térben egy egyrészecskés, bozonikus szitu´ aciót hat´ aroz meg.

4.3. Az Alap´ allapotot Tartalmaz´ o Alt´ er Meghat´ aroz´ as´ an alapul´ o m´ odszer A m´ odszer egy olyan utat k´ın´ al a rendszer egzakt alap´ allapotának meghat´ aroz´ as´ ara, amely a probléma Hilbert-tér-dimenziójának sz´ amottev˝o cs¨ okkentésével jelent˝ osen megkönny´ıti a matematikai tárgyalást és a fizikai tulajdons´ agok hatékony feltár´ as´ at. Az eljár´ as bizonyos szempontb´ ol specifikusnak tekinthet˝ o, mivel csak olyan rendszerek esetében alkalmazhat´ o, amelyekben p´ aros N sz´ am´ u elektron szingulett állapotot hoz létre, azaz

4. fejezet

25

az ¨ osszegzett spinvet¨ ulet nulla. Ez fizikailag azt jelenti, hogy a rendszert egy olyan ´ allapotba poz´ıcion´ aljuk, amely m´ agneses szempontb´ ol rendezetlen, vagyis paramágneses, teh´ at a maximális szimmetriával rendelkez˝o állapotot testes´ıti meg. A rendszerben – r¨ ogz´ıtett p´ aros N sz´ am´ u elektron esetén – a H Hilbert-tér dimenzióját az N elektron által potenci´ alisan megvalós´ıthat´ o paramágneses részecskekonfigurációk sz´ ama definiálja. Ez tulajdonképpen azt a kombinatorikai kérdést veti fel, hogy az N elektront h´ anyféleképpen helyezhetj¨ uk el a rendszer NΛ sz´ am´ u csom´ opontján u ´gy, hogy az összegzett spinvet¨ ulet nulla legyen, és a nem egyszeresen betöltött csom´ opontok esetében legfeljebb két részecske tart´ ozkodjon a csom´ oponton ellentétes spinvet¨ ulettel. Az ilyen m´ odon kialakul´ o részecskekonfigurációk összessége alkotja a teljes Hilbert-tér b´ azisvektorait. A szemléletesség kedvéért a 2. ábr´ an bemutatok néh´ any lehetséges elektronelrendez˝odést, amely az N = 6, NΛ = 18 esetet péld´ azza egy általános kétdimenziós szerkezetben.

2. ´ abra

a.)

b.)

c.)

d.)

: 6 elektron néhány lehetséges elrendez˝odése egy 18 csomópontból

all´ ´ o k´ etdimenzi´ os rendszerben.

Megfigyelhet˝ o, hogy az a.), b.), c.), d.) rajzok szerint négy alapvet˝o konfiguráci´ ot´ıpus k¨ ul¨ onb¨ oztethet˝ o meg attól f¨ ugg˝ oen, hogy h´ any duplán betölt¨ ott csom´ opont tal´ alhat´ o az adott elrendezésben. Figyelj¨ unk fel arra a kör¨ ulményre is, hogy a.)-t´ ol d.) felé haladva gyeng¨ ul az elektronok közötti kölcs¨ onhat´ as, hiszen a Hubbard-tag csak az egyazon csom´ oponton lév˝o ré´ szecskék köz¨ otti Coulomb-tasz´ıtást veszi figyelembe. Igy értelemszer˝ uen az

26

4. fejezet

a.) elektronkonfiguráci´ o azon változata reprezentálja a legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o ´ allapotot, melyben a lehet˝ o legkisebb a duplán betöltött csom´ opontok köz¨ otti t´ avols´ ag. Kombinatorikai eszközökkel egyszer˝ uen kisz´ amolhatjuk, hogy ezen N = 6, NΛ = 18 esetben a teljes Hilbert-tér dimenzi´ oja, a n´ egy konfigur´ aciót´ıpus járulékait összegezve, dimH = 18 3 + 18 16 2 18 17 4 18 6 · · + · · + · = 665856. 2 2 1 1 4 2 6 3 ´ ekelhet˝ Erz´ o teh´ at, hogy m´ ar egy kisméret˝ u, csupán 6 elektront tartalmaz´ o rendszerben is igen tekintélyes a Hilbert-tér mérete, amit matematikailag nem egyszer˝ u kezelni. Ekkor ugyanis a Hamilton-oper´ ator teljes Hilbert-térben vett m´ atrixa egy (665856 × 665856) méret˝ u kompoz´ıció, melyet egzaktul diagonaliz´ alnunk kell ahhoz, hogy megkapjuk a rendszer pontos alap´ allapot´ at. Ez ilyen viszonylatban nemcsak nehézkes, de igen komoly sz´ am´ıt´ ogépes kapacit´ ast is igényel. Mindezeknek fényében értelmet nyer a Hilbert-tér-dimenzió cs¨ okkentésének igénye, amit az ATAM m´ odszer seg´ıtségével vihet¨ unk véghez. A m´ odszer lényege abban áll, hogy a teljes Hilbert-térben meghat´ arozunk egy olyan kisméret˝ u S alteret, amely tartalmazza a rendszer alap´ allapotát. Ez azt jelenti, hogy meg kell konstru´ alnunk azokat az elektronállapotokat, melyek S b´ azisvektorait alkotják. A b´ azisvektorok megszerkesztéséhez a m´ odszer két alapvet˝o megfigyelést használ fel: • (M1) Az alap´ allapot mag´ aba foglalja a legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o részecskekonfigurációt (amikor az összes elektronp´ ar duplán bet¨ olt¨ ott csom´ opontokat produkál u ´gy, hogy a dupla betöltések közötti t´ avols´ ag minimális). • (M2) A rendszer transzlációinvari´ ans mivoltáb´ ol kiindulva, a legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o részecskekonfiguráció minden csom´ oponton ekvivalens m´ odon, ugyanolyan s´ ulyfaktorral létezhet. Megjegyzem, hogy az eddigi tapasztalatok sor´ an egyetlen olyan ellenpélda sem mer¨ ult fel, amely megc´ afolná az (M1) és (M2) észrevételek helytállós´ agát. A kiindul´ opontok szabatos r¨ ogz´ıtését követ˝oen az S altér h´ arom f˝o lépésben ép´ıthet˝ o fel, melyeket a következ˝o szakaszban ismertetek: 1. l´ ep´ es (M1) és (M2) alapján megszerkesztj¨ uk az S altér |i1 i-gyel jelölt els˝ o b´ azisvektor´ at, melyet a rendszer csom´ opontjain periodikusan megjelen˝o legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o konfigurációk összessége alkot. 2. l´ ep´ es További b´ azisvektorokat u ´gy gener´ alunk, hogy a rendszer (4) Hamiltonˆ 1 i m˝ oper´ ator´ aval hatunk |i1 i-re, azaz elvégezz¨ uk a H|i uveletet. Ennek

4. fejezet

27

eredményeképpen kialakul egy egyenlet, melyben |i1 i mellett megjelennek |i1 i-t˝ ol eltér˝ o konfiguráci´ oj´ u, u ´j |i2 i, |i3 i, ..., |ik i vektorok. Az |i1 i-b˝ ol való sz´ armaztat´ as folyt´ an ezen u ´j b´ aziselemek mindegyike rendelkezik azzal a tulajdons´ aggal, hogy az adott elektronkonfiguráció periodikusan transzlatált járulékainak ¨ osszessége ép´ıti fel. 3. l´ ep´ es Hamilton-oper´ atorunkkal hatunk az u ´jonnan kapott |i2 i, |i3 i, ..., |ik i állapoˆ ˆ ˆ |ik i által adott egyenleteket, tokra is, vagyis el˝ o´ all´ıtjuk a H|i2 i, H|i3 i, ..., H melyekben a m´ ar meglév˝o vektorok mellett u ´jabb |ik+1 i, |ik+2 i, |ik+3 i, ... ˆ k+1 i, H|i ˆ k+2 i, konfiguráci´ ok is felbukkannak. Ezek ut´ an kifejtj¨ uk a H|i ˆ k+3 i, ... egyenleteit is, és a proced´ H|i ur´ at addig folytatjuk, am´ıg be nem zárul az egyenletrendszer, azaz am´ıg meg nem találjuk a b´ aziskészlet utols´ o |iz i z´ ar´ oelemét, amire hatva a Hamilton-oper´ atorral, m´ ar nem t˝ unnek fel ˆ z i egyenletében. u ´jabb vektorok H|i ¨ Osszes´ ıtve teh´ at kialakul a ˆ 1 i = f1 (|i1 i, |i2 i, ..., |iz i) H|i ˆ 2 i = f2 (|i1 i, |i2 i, ..., |iz i) H|i ˆ 3 i = f3 (|i1 i, |i2 i, ..., |iz i) H|i .. .

ˆ z i = fz (|i1 i, |i2 i, ..., |iz i) H|i

(23)

egyenletrendszer, melyben az |i1 i, |i2 i, ..., |iz i vektorok line´ arisan f¨ uggetlenek, és 1-re normáltak. Az egyenletek jobb oldal´ an szerepl˝o fj (|i1 i, |i2 i, ..., |iz i), j = 1, 2, ..., z, f¨ uggvénykapcsolat pusztán azt hivatott jelölni, hogy kialakul az ´ allapotoknak egy olyan line´ aris kombin´ aciója, amely az |i1 i, |i2 i, ..., |iz i készletnek csak bizonyos elemeit tartalmazza, ´ıgy minden egyenletben m´ as és m´ as részhalmazai jelennek meg az |i1 i, |i2 i, ..., |iz i szettnek. A (23) által gener´ alt |i1 i, |i2 i, ..., |iz i ´ allapotok alkotják teh´ at az S altér b´ azisvektorait, ennek értelmében pedig dimS = z, amelyre teljes¨ ul a z = dimS ≪ dimH, ezért szokásos az S alteret reduk´ alt Hilbert-térnek is nevezni. A dimS ≪ dimH rel´ aci´ o sz´ amszer˝ u érzékeltetésének céljáb´ ol felsorakoztatok két konkrét esetet: 1.) Péld´ aul egy négyzetes r´ acs esetében [242], az N = 4, NΛ = 16 r¨ ogz´ıtésével dimH = 14400 és dimS = 85, ami igen figyelemreméltó, hiszen dimS két nagys´ agrenddel kisebb, mint dimH. 2.) Az 1.c ábr´ an felt¨ untetett, általam tanulm´ anyozott hatsz¨ oges rendszer esetében [244] pedig az N = 4, NΛ = 8 értékek mellett dimH = 784 és dimS = 70, ami egy nagyságrendnyi k¨ ul¨ onbséget jelent. Ezek ut´ an m´ ar csak annyi a feladatunk, hogy a reduk´ alt Hilbert-térben végrehajtott egzakt diagonaliz´ acióval meghat´ arozzuk a rendszer alap´ allapo-

28

4. fejezet

˜ egy¨ tát. Ehhez sz¨ ukség¨ unk van a (23) egyenletrendszer M utthat´ om´ atrixára, (n) amely a Hamilton-oper´ ator {ǫi , tij , U } paramétereinek f¨ uggvényeként áll el˝ o, hiszen (23) a (4) Hamilton-oper´ ator |i1 i, |i2 i, ..., |iz i vektorokra vett hat´ asa nyom´ an alakul ki. Ennek megfelel˝oen (n) ˜ ≡ M({ǫ ˜ M i , tij , U }),

(24)

˜ amely értelemszer˝ uen egy (z × z) méret˝ u m´ atrixot reprezentál. Így M egzakt diagonaliz´ aci´ ojával hozz´ ajutunk a rendszer S altérben vett pontos ˜ spektrum´ alap´ allapot´ ahoz, amit M anak legkisebb sajátértéke (alap´ allapoti enerigi´ aja) és a hozz´ a tartoz´ o alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény(ek) szolg´ altatnak. A megold´ asok helyességét a teljes Hilbert-térben elvégzett egzakt diagonaliz´ aci´ o eredményeivel val´ o egyezés igazolhatja.

5. fejezet

29

5. fejezet

A polifenil´ en t´ıpus´ u l´ ancok alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa 5.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora A tanulm´ anyozott rendszer sematikus vázát a 3. ábra jelen´ıti meg. A hatsz¨ ogek cs´ ucspontjaiban szénatomok helyezkednek el, melyekhez a rendszer kémiai ¨ osszetételét meghat´ aroz´ o atomok vagy atomcsoportok kapcsol´ odhatnak periodikus elrendezésben (l. 2.1. alfejezet). Az ábra szerint a jelöli a l´ anc Bravais-vektorát, és megfigyelhet˝ o, hogy egyetlen hatsz¨ og alkotja a rendszer primit´ıv elemi cell´ aját, mely az ábr´ an megvastag´ıtott vonallal van kiemelve. A hatsz¨ ogek oldalhosszát b, a hatsz¨ ogeket összekapcsol´ o kötések ′ hosszát pedig b jelöli. Az i csom´ oponthoz tartoz´ o elemi cellát a vektorral periodikusan eltolva tetsz˝ oleges hossz´ us´ ag´ u polimerszerkezet ép´ıthet˝ o fel. b b’

i

i+a

i+2a

i+3a

...

a

: A tanulmányozott polifenilén vázlata. A lánc polimerszerkezete az i csom´ oponthoz tartoz´ o elemi cella ~a Bravais-vektorral t¨ ort´ en˝ o periodikus

3. ´ abra

eltol´ as´ aval alak´ıthat´ o ki.

Amennyiben Nc a l´ ancot alkotó cellák sz´ ama, a rendszer geometriai r´ acsa NΛ = Nc darab r´ acscsomópontot, kristályrácsa pedig 6Nc darab csom´ opontot tartalmaz, hiszen minden elemi cellában hat b´ azisatom találhat´ o. Mivel csak egy Bravais-vektor van értelmezve, a rendszer lényegében egy egydimenzi´ os strukt´ ur´ at hat´ aroz meg. Ugyanakkor az elektronok valójában nemcsak az a vektor ´ altal kijel¨ olt ir´ any mentén mozoghatnak, hanem ezen vonalb´ ol kilépve, a hatsz¨ ogek ´ altal megszabott s´ıkban sokféle ir´ anyban poz´ıciót válthatnak az egyes csom´ opontok között. Ekkor viszont mozg´ asuk felbonthat´ o egy az a vektor ir´ anyába es˝ o és egy arra mer˝ oleges komponensre. Világos teh´ at, hogy az egydimenzi´ os jelleg mag´ at a r´ acsot jellemzi, az elektronok mozg´ astere azonban két dimenzióban terjedhet ki. Ez a magyar´ azat indokolja annak helyességét, hogy rendszer¨ unket a ”kv´ azi-egydimenzi´ os” jelz˝ovel illess¨ uk. A l´ anc tetsz˝ oleges sz´ am´ u elemi cellát tartalmazhat, és a matematikai sz´ am´ıt´ asok z¨ okken˝ omentes kivitelezése szempontjáb´ ol célszer˝ u

30

5. fejezet

periodikus hat´ arfeltételeket alkalmazni, ami jelen esetben azt jelenti, hogy a l´ anc gy˝ ur˝ uszer˝ uen viszszacsavarodik önmag´ aba. A rendszer Hamilton-oper´ ator´ at a 3. fejezet konceptusai alapján, (4) értelmében a ˆ H

Nc XX

=

σ

i=1

Nc XX

+

ˆ i+r2 ,σ + n ˆ i+r3 ,σ + n ˆ i+r5 ,σ + n ˆ i+r6 ,σ ˆ i,σ + n ˆ i+r4 ,σ + ǫ2 n ǫ1 n η

t ei 12 cˆ†i+r2 ,σ cî,σ + cˆ†i+r4 ,σ cî+r3 ,σ + cˆ†i+r5 ,σ cî+r4 ,σ + cˆ†i,σ cî+r6 ,σ

σ

i=1 i η3 cˆ†i+r3 ,σ cî+r2 ,σ t1 e

+ +

U

Nc X

+ cˆ†i+r6 ,σ cî+r5 ,σ + tc cˆ†i+a,σ cî+r4 ,σ + H.c.

n ˆ i,σ n ˆ i,−σ + n ˆ i+r2 ,σ n ˆ i+r2 ,−σ + n ˆ i+r3 ,σ n ˆ i+r3 ,−σ

i=1

+

n ˆ i+r4 ,σ n ˆ i+r4 ,−σ + n ˆ i+r5 ,σ n ˆ i+r5 ,−σ + n ˆ i+r6 ,σ n ˆ i+r6 ,−σ

(25)

kifejezés ´ırja le, melyben ǫ1 , ǫ2 a lokális egyrészecske-potenci´ alokat jelölik, t, t1 , tc els˝ oszomszéd ugr´ asokat reprezentálnak, az U csatol´ asi álland´ o értéke minden csom´ oponton azonos, H.c. pedig a hermitikusan konjugált tagok jelölésére szolg´ al. A (25) Hamilton-oper´ ator paramétereinek elhelyezkedését a 4. ´ abr´ an lehet nyomon követni, ahol a rajz els˝ o hatsz¨ ogében vannak felt¨ untetve a csom´ opontok cellán bel¨ uli poz´ıcióját megad´ o rj , j = 1, 2, ..., 6, vektorok. Az egyszer˝ uség kedvéért az i csom´ opont helyzetét jelöl˝o vektor esetén r1 = 0. Mivel egyetlen Bravais-vektor van értelmezve a 4. ábra x tengelyének ir´ anya mentén, az rj , j = 1, 2, ..., 6, vektorok hat line´ aris alr´ acsot k¨ ul¨ on´ıtenek el a hatsz¨ oges rendszerben. Megfigyelhet˝ o az is, hogy ǫ1 és ǫ2 a h´ aromel´ agaz´ as´ u, illetve a kételágazás´ u csom´ opontok egyrészecskepotenci´ aljait adja, t1 és tc az x tengellyel p´ arhuzamos elektronugr´ asokat jellemzi a hatsz¨ ogek oldalélei, illetve a hatsz¨ ogeket összeköt˝o szakaszok mentén, t pedig a hatsz¨ ogek har´ ant ir´ any´ u oldalai mentén történ˝ o ugr´ asokhoz van hozz´ arendelve.

ε2

i+r6 i+r5 i+r4

i

i+r2 i+r3

y z

.

ε2

ε1

ε1 ε2

ε2

t t

t1 t1

t

tc

t

x

4. ´ abra : A csom´ opontok helyzetvektorainak ´ es a (25) Hamilton-oper´ ator param´ etereinek szeml´ eltet´ ese.

~ indukciój´ Rendszer¨ unket a l´ anc s´ıkj´ ara mer˝ oleges, B u k¨ uls˝ o m´ agneses térbe helyezz¨ uk, mely a 4. ´ abr´ an berajzolt z tengely ir´ anyába mutat, azaz Bx =

5. fejezet

31

By = 0, Bz = B. Ezen k¨ uls˝ o tér hat´ as´ at a Hamilton-oper´ atorban a tij iχ ij hoppingokat szorz´ oe alak´ u Peierls-faktorok veszik figyelembe, ahol χij -t ~ vektorpotenci´ a k¨ uls˝ o m´ aRgneses tér A aljának vonalintegr´ alja hat´ arozza meg hc 2π j ~ ~ χij = Φ0 i Adl szerint, Φ0 = e értelmezéssel. A sz´ am´ıtások könny´ıtése ~ érdekében az A vektorpotenci´ alt a Landau-mértéknek megfelel˝oen, Ax = ~ ir´ Az = 0, Ay = Bx form´ aban választottam meg, teh´ at A anyát a 4. ábr´ an felt¨ untetett y tengely jelöli ki. Ebben az esetben a t, t1 , illetve tc hoppingok η Peierls-faktorainak exponenseiben rendre a χ = 12 , χ1 = η3 , χc = 0 értékek jelennek meg, ahol √ 3 3π 2 b B, (26) η= Φ0 melyben b a l´ anc hatsz¨ ogeinek oldalhossz´ us´ agát adja meg a 3. ábr´ anak megfelel˝oen. A következ˝ o két alfejezetben részletesen ismertetem a B = 0, illetve a B 6= 0 kör¨ ulmények köz¨ ott fennálló alap´ allapoti jellemz˝oket, amivel világosan r´ amutatok arra, hogy a k¨ uls˝ o m´ agneses tér bekapcsol´ asa miként m´ odos´ıthatja a rendszer alapvet˝ o fizikai tulajdons´ agait. A pontos alap´ allapotot mindkét esetben a 4.2. alfejezetben kifejtett PSZO m´ odszer alkalmaz´ as´ aval hat´ aroztam meg.

5.2. A B = 0 eset t´ argyal´ asa 5.2.1. A Hamilton-oper´ ator transzform´ aci´ oja Ahogyan azt m´ ar a 4.2.1. alfejezetben is bemutattam, az egzakt alap´ allapot meghat´ aroz´ as´ anak els˝ o lépéseként a rendszer induló Hamilton-oper´ ator´ at pozit´ıv szemidefinit oper´ atorokat tartalmaz´ o formára kell transzformálnunk (13) alapján. Jelen esetben (13) a ˆ = H

7 X Nc XX

ˆ U + K1 N ˆ Aˆ†i,q,σ Aî,q,σ + H

(27)

σ q=1 i=1

fel´ır´ as szerint realiz´ al´ odik, azaz cellánként hét k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szerkezet˝ u blokkoper´ atort értelmeztem, ´ıgy péld´ aul a rendszer i cellájában az Aî,1,σ = a1 cî,σ + a4 cî+r4 ,σ + a5 cî+r5 ,σ + a6 cî+r6 ,σ , Aî,2,σ = b1 cî,σ + b2 cî+r2 ,σ + b3 cî+r3 ,σ + b4 cî+r4 ,σ , Aî,3,σ = d1 cî,σ + d3 cî+r ,σ + d5 cî+r ,σ , 3

5

Aî,4,σ = e2 cî+r2 ,σ + e4 cî+r4 ,σ + e6 cî+r6 ,σ , Aî,5,σ = f1 cî,σ + f2 cî+r2 ,σ + f6 cî+r6 ,σ , Aî,6,σ = g3 cî+r ,σ + g4 cî+r ,σ + g5 cî+r ,σ , 3

4

Aî,7,σ = h1 cî+a,σ + h4 cî+r4 ,σ

5

(28)

32

5. fejezet

kifejezések érvényesek. Mivel a lánc minden cellájában hét k¨ ul¨ onb¨ oz˝o blokkoper´ ator van jelen, és a spinindex két lehetséges értéket vehet fel, ´ıgy (27) els˝ o ¨ osszegjáruléka a rendszerben összesen 2 · 7 · Nc sz´ am´ u blokkoper´ atort értelmez. A (28)-ban bevezetett {a, b, d, e, f, g, h} egy¨ utthat´ ok a (12)-ben p megadott {xq,i } halmazzal azonos´ıthat´ ok u ´gy, hogy a rendszer periodikus strukt´ ur´ aja miatt minden egyes cellát ugyanazon {a, b, d, e, f, g, h} készlet jellemez. A (28) oper´ atort´ıpusok blokkszerkezetét az 5. ábra szemlélteti, ahol az egyes rajzok az adott csom´ oponton hat´ o annihiláló oper´ ator koefficiensét is jelzik. a6 a1

a5

A1

d5 a4

b1

d1

b4

A3

A2 e6

A4

b2

b3

e4

f1

e2

d3 f6

A5 f2

g5 g4

A6

A7

h4

h1

g3 5. ´ abra

: A (28)-ban megadott blokkoperátor-t´ıpusok szemléletes rajzai. Az

{a, b, d, e, f, g, h} koefficiensek az adott csom´ oponton hat´ o elt¨ untet˝ o oper´ atorhoz tartoznak.

(27-28) birtok´ aban következhet a (14) egyenletrendszer fel´ır´ asa, mely ez esetben (27) és (25) tagonkénti azonosságáb´ ol ered, ´ıgy (14) egyenletei t = a∗1 a6 + f1∗ f6 , t = b∗2 b1 + f2∗ f1 , t = b∗4 b3 + g4∗ g3 , t = a∗5 a4 + g5∗ g4 , t1 = a∗6 a5 , t1 = b∗3 b2 , tc = h∗1 h4 , 0 = a∗4 a1 + b∗4 b1 , 0 = a∗5 a1 + d∗5 d1 , 0 = a∗4 a6 + e∗4 e6 ,

5. fejezet

33 0 = b∗4 b2 + e∗4 e2 , 0 = b∗3 b1 + d∗3 d1 , 0 = d∗5 d3 + g5∗ g3 , 0 = e∗6 e2 + f6∗ f2 , ǫ1 = ǫ1 − K1 = |a1 |2 + |b1 |2 + |d1 |2 + |f1 |2 + |h1 |2 , ˜

ǫ1 = ǫ1 − K1 = |a4 |2 + |b4 |2 + |e4 |2 + |g4 |2 + |h4 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K1 = |a5 |2 + |d5 |2 + |g5 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K1 = |a6 |2 + |e6 |2 + |f6 |2 , ˜ ǫ2 = ǫ2 − K1 = |b2 |2 + |e2 |2 + |f2 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K1 = |b3 |2 + |d3 |2 + |g3 |2 ˜

(29)

szerint alakulnak ki, melyek egyértelm˝ uen meghat´ arozz´ ak az ismeretlen {a, b, d, e, f, g, h; K1 } halmaz elemei és a (25) Hamilton-oper´ ator {ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc } paraméterei köz¨ ott fenn´ all´ o kapcsolatot. Így (29) megold´ asai megadják a (28) blokkoper´ atorok koefficienseit, illetve a (27) transzformált Hamiltonoper´ ator K1 paraméterét az {ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc } értékeinek f¨ uggvényében. Ennek megfelel˝oen, a (29) egyenletrendszert megoldva, a (28) blokkoper´ atorokra vonatkoz´ oan az α i β t 1 h γ cî+r6 ,σ − βδˆ ci+r4 ,σ , Aî,1,σ = ∗ t cî,σ + t1 cî+r5 ,σ + |b2 |2 b2 β α β t1 h i 1 t Aî,2,σ = ∗ tγˆ ci,σ + t1 cî+r3 ,σ + |b2 |2 cî+r2 ,σ + δˆ ci+r4 ,σ , b2 t1 h i γ 1 ci+r3 ,σ + cî+r5 ,σ − tt1 Aî,3,σ = d5 αˆ c ˆ i,σ , α |b2 |2 |d5 |2 h i t |b2 |2 ci+r6 ,σ − δ Aî,4,σ = e2 cî+r2 ,σ − αˆ c ˆ , i+r ,σ 4 t1 |e2 |2 i αγ − β 2 1 h β 2 − αγ 2 c ˆ + c ˆ + α|e | c ˆ , Aî,5,σ = ∗ t 2 i+r ,σ i,σ i+r ,σ 2 6 f6 β2 β 2 (γ − 1) α + δβ 2 i 1 h α + δβ 2 cî+r4 ,σ + |d5 |2 cî+r5 ,σ − αˆ ci+r3 ,σ , Aî,6,σ = ∗ t g5 α δ−1 i h 1 cî+r4 ,σ (30) Aî,7,σ = h1 cî+a,σ + tc |h1 |2 kifejezések vezethet˝ ok le, melyekbe a

2

2

|b2 |

|e2 |2 |d5 |2

β 2 − αγ + βα (γ − 1) = ǫ˜2 , β2 − α (γ − 1)(α2 − β 2 )(αγ − β 2 ) , = ǫ˜2 2 2 α (β − α)[γ(1 + β 2 ) − β 2 (1 + α1 )] h 2 1 i δ−1 2β ǫ ˜ − t , = 2 1 α − 1 + δ(1 + β 2 ) α2 |b2 |2

34

5. fejezet h 2 1 i α + δβ 2 2β ǫ ˜ − t , 2 1 α − 1 + δ(1 + β 2 ) α2 |b2 |2 α(αγ − β 2 ) = |e2 |2 , β 2 (γ − 1) h 1 1 1 α − 1 + δ(1 + β 2 ) = ǫ˜1 − t2 γ 2 1 + 2 + t21 β δ−1 ǫ˜2 α2 |b2 |2 − t21 β 2 |b2 |2 (γ − 1)(αγ − β 2 ) 1 i + t2 (31) αβ 2 |e2 |2

|g5 |2 = |f6 |2 |h1 |2

abszol´ utérték-négyzetek ép¨ ulnek be. A (30-31)-ben megjelen˝o α, β, γ, δ valós paraméterek az α(αγ − β 2 ) > 0, β 2 (γ − 1)

α + δβ 2 >0 δ−1

(32)

feltételek teljes¨ ulése mellet tetsz˝ olegesen megválaszthat´ ok. Mindemellett, (29) megold´ as´ ab´ ol ered˝ oen s α(β 4 − α2 ) |t1 |, (33) K1 = ǫ2 − [γ(β 2 − α2 ) + β 2 (α − 1)][δ(β 2 − α2 ) + α(α + 1)] és kialakul az ǫ1 =

2 2 t2 2 2 1 |b2 |2 2 (δ − 1) |g5 | 2 + t2c + K1 + t 1 + β + δ |b | 2 2 2 2 4 |e2 | α |d5 | |h1 |2 t1

(34)

extra feltétel, melybe (31) és (33) megfelel˝o kifejezései helyettes´ıtend˝ ok. Így a (34) egyenl˝ oség a (15)-ben eml´ıtett rel´ aciót testes´ıti meg, amely az alap´ allapot sz´ am´ ara egy meghat´ arozott D tartom´ anyt jelöl ki a fázistérben. 5.2.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa A 4.2.2. alfejezetben le´ırtak szerint az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ as´ ahoz els˝ oként egy induló hull´ amf¨ uggvényt kell megalkotnunk a (17)-ben foglalt formula alapján, melyet ez esetben a ˆ † |0i |ψi = B 1,σ

(35)

ˆ† kifejezésnek megfelel˝oen alak´ıtottam ki. Teh´ at kiindul´ asként egyetlen B oper´ atort helyeztem el |ψi-ben, hogy világosan kirajzolódjon egy egyed¨ uli† † ˆ ˆ ként jelenlév˝o B járuléka. B1,σ -t a (18)-ban ismertetett m´ odon ´ırtam fel a ˆ† = B 1,σ

6 Nc X X i=1 j=1

yi+rj cˆ†i+rj ,σ

(36)

5. fejezet

35

alak szerint, ami egy olyan kiterjedt oper´ atort valós´ıt meg, melynek a lánc ˆ† minden egyes csom´ opontján van komponense. A (36)-ban bevezetett B 1,σ strukt´ ur´ aját grafikusan a 6. ábra jelen´ıti meg, ahol az oper´ ator csom´ opontjaihoz hozz´ arendelt yi+rj koefficiensek is fel vannak t¨ untetve.

yi−a+r 11 00 00 11 00 11

...

6

yi−a

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

2

6. ´ abra

5

6 11 00 00 11 00 11

yi−a+r

4 00 11 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

yi−a+r

yi+r

yi−a+r

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

yi−a+r

3

yi

5

yi+r

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

yi+r

2

yi+a+r

yi+r

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

yi+r

3

4

11 00 00 11 00 11

6

yi+a

11 00 00 11 00 11

yi+a+r

11 00 00 11 00 11

5

yi+a+r

4

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

yi+a+r

2

...

00 11 11 00 00 11

yi+a+r

3

† : A (36) Bˆ1,σ oper´ ator kiterjedt szerkez´ enek illusztr´ al´ asa. Az yi+rj

egy¨ utthat´ ok az adott csom´ oponton hat´ o kelt˝ o oper´ ator szorz´ ofaktor´ at jel¨ olik.

A (36) konstrukci´ o azért el˝ onyös, mert nem t¨ untet ki egyetlen csom´ opontot † ˆ sem a rendszerben, ´ıgy nem fenyeget az a veszély, hogy a B1,σ oper´ ator szintjén b´ armiféle mesterkélt specifikum ker¨ uljön be a jellemzésbe, ami sértené az ´ altal´ anosságot. A következ˝ o lépésben (36) yi+rj koefficienseit kell kiszám´ıtanunk a (20.a)ban kijel¨ olt feltétel alapján, és ahogy láttuk, (20.a)-t a (21) kritériumok valamelyikének telejes´ıtésével hajthatjuk végre. Jelen esetben a (21.a) antikommut´ aci´ os rel´ aci´ ok nem lehetnek érvényben, mivel az általuk gener´ alt egyenletrendszer ellentmondásra vezetett. Ennek okán a (21.b) kommut´ aciós rel´ aci´ ojának megold´ as´ aval kellett megprób´ alkoznom, ami viszont sikeresnek bizonyult. Ekkor ugyanis (28) és (36) felhaszn´ alás´ aval (21.b) a 7 hX q=1

i ˆ† ′ = 0 Aˆ†i,q,σ Aî,q,σ , B 1,σ

(37)

egyenl˝ oségre vezet, melynek minden i, σ és σ ′ indexre teljes¨ ulnie kell. (37)P b˝ ol minden i-re, azaz minden cellában, a 7q=1 szerinti hét tagb´ ol ad´ od´ oan, a 0 = yi (|a1 |2 + |b1 |2 + |d1 |2 + |f1 |2 + |h1 |2 ) + yi+r2 (b∗1 b2 + f1∗ f2 )

+ yi+r3 (b∗1 b3 + d∗1 d3 ) + yi+r4 (a∗1 a4 + b∗1 b4 ) + yi+r5 (a∗1 a5 + d∗1 d5 )

+ yi+r6 (a∗1 a6 + f1∗ f6 ), 0 = yi (b∗2 b1 + f2∗ f1 ) + yi+r2 (|b2 |2 + |e2 |2 + |f2 |2 ) + yi+r3 b∗2 b3 + yi+r4 (b∗2 b4 + e∗2 e4 ) + yi+r6 (e∗2 e6 + f2∗ f6 ),

0 = yi (b∗3 b1 + d∗3 d1 ) + yi+r2 b∗3 b2 + yi+r3 (|b3 |2 + |d3 |2 + |g3 |2 ) + yi+r4 (b∗3 b4 + g3∗ g4 ) + yi+r5 (d∗3 d5 + g3∗ g5 ),

36

5. fejezet 0 = yi (a∗4 a1 + b∗4 b1 ) + yi+r2 (b∗4 b2 + e∗4 e2 ) + yi+r3 (b∗4 b3 + g4∗ g3 ) + yi+r4 (|a4 |2 + |b4 |2 + |e4 |2 + |g4 |2 + |h4 |2 ) + yi+r5 (a∗4 a5 + g4∗ g5 )

+ yi+r6 (a∗4 a6 + e∗4 e6 ) + yi+a h∗4 h1 ,

0 = yi (a∗5 a1 + d∗5 d1 ) + yi+r3 (d∗5 d3 + g5∗ g3 ) + yi+r4 (a∗5 a4 + g5∗ g4 ) + yi+r5 (|a5 |2 + |d5 |2 + |g5 |2 ) + yi+r6 a∗5 a6 , 0 = yi (a∗6 a1 + f6∗ f1 ) + yi+r2 (e∗6 e2 + f6∗ f2 ) + yi+r4 (a∗6 a4 + e∗6 e4 ) + yi+r5 a∗6 a5 + yi+r6 (|a6 |2 + |e6 |2 + |f6 |2 ), 0 = yi+r4 h∗1 h4 + yi+a |h1 |2

(38)

egyenletrendszer sz´ armaztatható, amely (36) yi+rj koefficienseit egyértelm˝ u kapcsolatba hozza a (28) blokkoper´ atorok {a, b, d, e, f, g, h} egy¨ utthat´ oival, ´ıgy explicite kibomlik a (22)-ben vázolt f¨ uggvényreláció. Vegy¨ uk észre, hogy (38)-ban megjelennek a (29) egyenletrendszer tagjai, aminek figyelembevételével (38) jóval egyszer˝ ubb alakot ölt a 0 = ˜ǫ1 yi + t(yi+r2 + yi+r6 ), 0 = tyi + ǫ˜2 yi+r2 + t1 yi+r3 , 0 = t1 yi+r2 + ǫ˜2 yi+r3 + tyi+r4 , 0 = t(yi+r3 + yi+r5 ) + ǫ˜1 yi+r4 + tc yi+a, 0 = tyi+r4 + ǫ˜2 yi+r5 + t1 yi+r6 , 0 = tyi + t1 yi+r5 + ǫ˜2 yi+r6 , 0 = tc yi+r4 + |h1 |2 yi+a

(39)

egyenleteknek megfelel˝oen. (39) megold´ asait az yi = yi+r4 = yi+a = 0, yi+r2 = −yi+r6 , yi+r2 = yi+r3 ,

yi+r3 = −yi+r5 ,

yi+r5 = yi+r6

(40)

egyenl˝ oségek adják meg azzal a feltétellel, hogy ǫ˜2 = −t1 > 0.

(41)

Mivel (40) minden i-re fennáll, világosan látszik, hogy yi és yi+r4 minden cell´ ab´ ol elt˝ unik, és csak az yi+r2 , yi+r3 , yi+r5 , yi+r6 koefficiensek maradnak meg null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o értékkel. Ezenk´ıv¨ ul az is megfigyelhet˝ o, hogy (40) utthat´ ok között, de csupán rel´ aci´ okat r¨ ogz´ıt az yi+r2 , yi+r3 , yi+r5 , yi+r6 egy¨

5. fejezet

37

sz´ amérték¨ uket nem konkretizálja. Ebb˝ol az következik, hogy (40) megold´ asa péld´ aul yi+r2 = yi+r3 = C, yi+r5 = yi+r6 = −C alakban felvehet˝ o, ahol a C 6= 0 konstans értéke, a normál´ asi feltétel figyelembevétele mellett, tetsz˝ olegesen be´ all´ıthat´ o. A (40) ´ altal felk´ın´ alt szabad paraméterezés lehet˝ oségét kihasználva, a C konstanst a legegyszer˝ ubb m´ odon C = 1 értékre r¨ ogz´ıtettem, vagyis az yi+r2 , yi+r3 , yi+r5 , yi+r6 koefficienseket az összes cellában yi+r2 = 1,

yi+r3 = 1,

yi+r5 = −1,

yi+r6 = −1

(42)

szerint választottam meg. Amennyiben C értékét nem 1-re r¨ ogz´ıtj¨ uk, u ´gy a C = 6 1 konstans értelemszer˝ uen beleolvad a normálási faktorba. A (40,42)ˆ † oper´ ben foglalt eredmények azt mutatják teh´ at, hogy a (36) B ator szét1,σ szakad olyan kisméret˝ u doménekre, melyeket a † Vî,σ = cˆ†i+r2 ,σ + cˆ†i+r3 ,σ − cˆ†i+r5 ,σ − cˆ†i+r6 ,σ

(43)

† oper´ atorok definiálnak. A Vî,σ blokkokat grafikusan a 7. ábra értelmezi.

+

Vi, σ yi+r6 yi+r5 00 11 11 00 00 11

...

00 11 11 00 00 11

...

i 11 00 00 11

11 00 00 11

00 11 00 yi+r y11 2 i+r3

+

+

00 11 11 00 00 11

00 11 11 00 00 11

...

00 11 11 00 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

Vi+a, σ

00 11 11 00 00 11

i

i−a

+

Vi, σ

Vi−a,σ

00 11 11 00 00 11

00 11 11 00 00 11

...

i+a 11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

† 7. ´ abra : A (43) Vî,σ oper´ atorok blokkszerkezet´ enek grafikus megjelen´ıt´ ese B = 0 eset´ en.

† A fels˝o rajz az i cell´ ahoz tartoz´ o Vî,σ oper´ atort illusztrálja a (40) szerint megmaradó egy¨ utthat´ okkal, ami világosan mutatja, hogy a négy csom´ opontot † tartalmaz´ o Vî,σ blokk ¨ osszes csom´ opontja az i cella hatsz¨ ogében találhat´ o, † azaz a Vˆ oper´ ator hat´ asa egyetlen cellára korl´ atozódik. Ez pedig fizikailag i,σ

† azt jelenti, hogy a Vî,σ altal keltett elektron csak az i cella megjelölt négy ´ csom´ opontjának valamelyikén tart´ ozkodhat, ´ıgy voltaképpen egy olyan elektron´ allapot jön létre, amely a hatsz¨ ogben lokalizálva van. A 7. ábra als´ o rajza

38

5. fejezet

† † ˆ† azt szemlélteti, hogy az adott i−a, i, i+a cellákhoz tartoz´ o Vî−a,σ , Vî,σ , Vi+a,σ oper´ atorok blokkjai teljes mértékben szeparáltak, teh´ at nem rendelkeznek köz¨ os csom´ opontokkal. Ezennel elérkezt¨ unk ahhoz a ponthoz, amikor a (20.a) feltételb˝ ol potenci´ alisan nyerhet˝ o inform´ aciók kézzel fogható m´ odon kikristályosodtak, hiszen megsz¨ uletett az az érdemi eredmény, hogy a (35) † ˆ † oper´ pr´ obaf¨ uggvénybe beép´ıtett (36) B ator felhasad a kapott Vî,σ oper´ a1,σ torok ´ altal determinált diszjunkt doménekre, ezért a le´ır´ as további részében ˆ † helyébe a (43) Vˆ † oper´ B a torok l´ e pnek, ´ e s ´ e rtelemszer˝ uen a rendszer1,σ i,σ † ben lév˝o elektronok sz´ am´ at az értelmezett Vˆ oper´ atorok sz´ ama adja meg. i,σ

† Mivel egy cell´ aban csak egy Vî,σ van jelen, a bevihet˝o elektronok maximális sz´ am´ at a l´ anc Nc cellasz´ ama hat´ arozza meg, azaz legfeljebb Nc darab elektron élhet a rendszerben. Ezek ut´ an m´ ar csak azt kell megvizsgálni, hogy a (20.b) kritérium mi† lyen tulajdons´ agokkal ruházza fel a (43) Vî,σ oper´ atorokat. Jelen esetben ˆ (20.b) végrehajtása roppant egyszer˝ u, ugyanis a V † oper´ atorok, speciális i,σ

szerkezet¨ uknél fogva, természetes m´ odon teljes´ıtik a (20.b) rel´ aciót. Ezt a következ˝ o gondolatmenettel támasztom alá: Ahogyan azt m´ ar a 7. ábr´ an´ al † ˆ is hangs´ ulyoztam, a Vi,σ oper´ atorok egyetlen csom´ oponton sem érintkeznek egymással, mivel teljesen szeparált m´ odon vannak jelen az egyes cellákban. Ennek az a következménye, hogy egyáltalán nem alakulnak ki olyan csom´ opontok, melyeken egyidej˝ uleg megjelenhetne két elektron. Tudvalev˝o azonban, hogy a Hubbard-tag éppen a duplán betöltött csom´ opontokat érzékeli a rendszerben, de mivel a dupla betöltések ez esetben eleve hi´ anyoznak, ´ıgy a Hubbard-tag hat´ asa automatikusan null´ at ad (20.b)-ben. Ez pedig azt † jelenti, hogy köz¨ os érintkezési pontok h´ıján az egyes Vî,σ oper´ atorok spinindexei köz¨ ott nem jön létre semmiféle korrel´ aciós effektus, azaz az oper´ atorok σ indexei egymást´ ol f¨ uggetlen¨ ul vehetik fel érték¨ uket, ´ıgy az elektronok glob´ alisan egy teljesen rendezetlen spinrendszert alkotnak. A (20.a-b) feltételek fentebb részletezett, apr´ olékos tanulm´ anyozása nyom´ an a rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét a teljes N ≤ Nc tartom´ anyon a Y † Vî,σi |0i (44) |ψg (N ≤ Nc )i0 = i

† alakban kaptam meg, ahol a Vî,σ oper´ atorokat (43) adja meg, σi tetsz˝ oleges, i |ψg i0 als´ o nullindexe pedig arra utal, hogy nincs jelen k¨ uls˝ o m´ agneses tér, teh´ at B = 0. A (44) alap´ allapot fizikai tulajdons´ agaival kapcsolatban két fontos következtetésre jutottam: I.) Az alap´ allapot lokaliz´ alt, ugyanis † ˆ |ψg i0 -ban lokaliz´ alt elektron´ allapotok élnek, hiszen az egyes Vi,σi oper´ atorok hat´ asa egyetlen cell´ ara korl´ atozódik. II.) Az alap´ allapot param´ agneses, hiszen az elektronok egymást´ ol f¨ uggetlen, tetsz˝ oleges σi spinindexszel ker¨ ul-

5. fejezet

39

¨ nek be a rendszerbe. Osszegezve a nyert ismereteket, a polifenilén t´ıpus´ u lánc k¨ uls˝ o m´ agneses tér hi´ anyában lokalizált elektronállapotok által megval´ os´ıtott paramágnesként viselkedik az alap´ allapotában, és ez a tulajdons´ ag tetsz˝ oleges N ≤ Nc részecskesz´ am esetén megmarad, hiszen N n¨ ovelésével † ˆ nem változik meg a Vi,σi oper´ atorok szeparált és lokalizált karakterisztikája. Ezek ut´ an m´ ar csak a rendszer alap´ allapoti energi´ aját kell meghat´ arozni, ehhez azonban vissza kell térn¨ unk a (41)-ben megadott feltételhez, amely ǫ˜2 = ǫ2 − K1 révén mag´ aba rejti K1 -et, ´ıgy (41) szerint K1 = ǫ2 − |t1 |.

(45)

Itt felh´ıvom a figyelmet arra, hogy (41) −t1 > 0 rel´ aciója folyt´ an t1 < 0, ezért −t1 helyébe |t1 | ´ırhat´ o. Ez a lépés azért fontos, mert ´ıgy (45) közvetlen m´ odon ¨ osszehasonl´ıthat´ o a (33)-ban kapott K1 -gyel. Tiszt´ an láthat´ o, hogy (45) csak abban az esetben teljes¨ ulhet, amennyiben α(β 4 − α2 ) =1 [γ(β 2 − α2 ) + β 2 (α − 1)][δ(β 2 − α2 ) + α(α + 1)]

(46)

fenn´ all, ami az α, β, γ, δ paraméterekre nézve pusztán egy kiegész´ıt˝o feltételt jelent a (32)-ben kirótt megszor´ıtások mellett. Így K1 végs˝ o (45) alakj´ aval megadható a rendszer alap´ allapoti energi´ aja, amely (16) értelmében Eg (N ; ǫ2 , t1 ) = (ǫ2 − |t1 |)N.

(47)

Vegy¨ uk észre, hogy a (34)-ben megadott kond´ıció kiegész¨ ul a (41) kik¨ otéssel, aminek következtében az 2 2 1 |b2 |2 t2 2 2 2 (δ − 1) |g5 | 2 + t2c + K1 , + t δ |b | 1 + β + 2 2 |e2 |2 α2 |d5 |4 |h1 |2 t1 ǫ2 = −t1 + K1 , t1 < 0 (48)

ǫ1 =

rel´ aci´ ok jelölik ki a fázistérben azt a D zón´ at, amelyben a (44,47) alap´ allapot érvényes lehet.

40

5. fejezet

5.3. A B 6= 0 eset t´ argyal´ asa 5.3.1. A Hamilton-oper´ ator transzform´ aci´ oja Az el˝ oz˝ o alfejezet részletesen tárgyalta a rendszer alap´ allapoti tulajdonságait olyan kör¨ ulmények között, amikor nincs jelen k¨ uls˝ o m´ agneses tér. Ezek ut´ an ´ ohatatlanul megfogalmazódik az az igény, hogy az alap´ allapotot k¨ uls˝ o m´ agneses tér jelenlétében is feltérképezz¨ uk. Ez a vizsgálat igen hasznos lehet, hiszen az eredmények birtokában világosan kirajzolódhat az, hogy a m´ agneses tér bekapcsol´ asa mennyiben m´ odos´ıtja az alap´ allapot fizikai jellemz˝oit a B = 0 szitu´ acióhoz képest. A m´ agneses teret a lánc s´ıkj´ ara mer˝ olegesen, a 4. ´ abr´ an berajzolt z tengely ir´ anyában vettem fel, és az 5.1. alfejezetben le´ırtaknak megfelel˝oen, a vektorpotenci´ alt Landau-mérték szerint választottam meg. Ekkor a (25) induló Hamilton-oper´ ator Peierlsfaktoraiba a (26) paraméter ép¨ ul be. Ahogyan a 4.2.1. alfejezet (7) kifejezéseivel is r´ avilág´ıtottam, az induló Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit formára történ˝ o átalak´ıtása többféleképpen is kivitelezhet˝ o, és az egyes transzformációkat a felbontásban szerepl˝o pozit´ıv szemidefinit oper´ atorok eltér˝ o strukturális kialak´ıtása teszi k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ové. Ezt felhaszn´ alva, – hogy egy (27-28)-tól eltér˝ o konstrukciót is kipr´ ob´ aljak – a (25) Hamilton-oper´ ator transzformációját ez´ uttal a ˆ = H

5 X Nc XX

ˆ U + K2 N ˆ Aˆ†i,q,σ Aî,q,σ + H

(49)

σ q=1 i=1

formula szerint val´ os´ıtottam meg, melyben cellánként öt k¨ ul¨ onb¨ oz˝o blokkoper´ ator szerepel. A rendszer i cellájában ezen oper´ atorok az Aî,1,σ = a1 cî,σ + a2 cî+r2 ,σ + a6 cî+r6 ,σ , Aî,2,σ = b2 cî+r2 ,σ + b5 cî+r5 ,σ + b6 cî+r6 ,σ , Aî,3,σ = d2 cî+r ,σ + d3 cî+r ,σ + d5 cî+r ,σ , 2

3

5

Aî,4,σ = e3 cî+r3 ,σ + e4 cî+r4 ,σ + e5 cî+r5 ,σ , Aî,5,σ = f1 cî+a,σ + f4 cî+r4 ,σ

(50)

szerkezettel rendelkeznek. Mivel a lánc minden cellájában öt k¨ ul¨ onb¨ oz˝o blokkoper´ ator van értelmezve, és a spinindexnek két értéke lehetséges, ´ıgy (49) els˝ o¨ osszegjáruléka ¨ osszesen 2 · 5 · Nc sz´ am´ u blokkoper´ atort vezet be a ´ le´ır´ asba. Ertelemszer˝ uen most a (12)-ben megjelölt {xpq,i } halmazt az (50)beli {a, b, d, e, f } koefficiensek alkotják. Tekintettel a rendszer periodikus mivolt´ ara, (50) a l´ anc ¨ osszes cellájában érvényes, vagyis minden cellához ugyanazon {a, b, d, e, f } készlet rendelhet˝o hozz´ a. Az (50) oper´ atorok felép´ıtését a 8. ´ abra demonstr´ alja az adott csom´ oponton hat´ o elt¨ untet˝o oper´ ator egy¨ utthat´ ojának jelölésével.

5. fejezet

41 a6

a1

b6

A1

d5

b5

A3

A2 b2

a2

d2

d3

e5 e4

A4

A5

f4

f1

e3 8. ´ abra

: Az (50)-ben megadott blokkoperátor-t´ıpusok szemléletes rajzai. Az

{a, b, d, e, f, } koefficiensek az adott csom´ oponton hat´ o elt¨ untet˝ o oper´ atorhoz tartoznak.

Jelen esetben (49) és (25) tagonkénti identikuss´ aga a η

tei 12 = a∗1 a6 , η

tei 12 = a∗2 a1 , η

tei 12 = e∗4 e3 , η

tei 12 = e∗5 e4 , η

t1 ei 3 = d∗3 d2 , η

t1 ei 3 = b∗6 b5 , tc = f1∗ f4 , 0 = a∗2 a6 + b∗2 b6 , 0 = b∗2 b5 + d∗2 d5 , 0 = d∗3 d5 + e∗3 e5 , ǫ1 = ǫ1 − K2 = |a1 |2 + |f1 |2 , ˜

ǫ1 = ǫ1 − K2 = |e4 |2 + |f4 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K2 = |a2 |2 + |b2 |2 + |d2 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K2 = |a6 |2 + |b6 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K2 = |b5 |2 + |d5 |2 + |e5 |2 , ˜

ǫ2 = ǫ2 − K2 = |d3 |2 + |e3 |2 ˜

(51)

egyenletrendszert produk´ alja, amely (14) aktuális reprezentációja, és kapcsolatot teremt az ismeretlen {a, b, d, e, f ; K2 ; η} halmaz, illetve a (25) Hamiltonoper´ ator ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc paraméterei között. (51) megold´ as´ ab´ ol az Aî,1,σ =

s

i η ǫ˜22 − t21 −i η 2t2 ǫ˜2 h i 12 12 c c ˆ + (e ˆ + e c ˆ ) i,σ i+r2 ,σ i+r6 ,σ , 2t˜ ǫ2 ǫ˜22 − t21

42

5. fejezet

Aî,2,σ =

s

Aî,3,σ =

s

i 2t21 ǫ˜2 h ǫ˜22 − t21 −i η ǫ˜22 + t21 −i η 3c 2c e e ˆ − ˆ c ˆ + i+r3 ,σ i+r5 ,σ , i+r2 ,σ 2t1 ǫ˜2 2t1 ǫ˜2 ǫ˜22 + t21

i η 2t2 ǫ˜2 h ǫ˜22 − t21 i η −i 12 12 c (e ˆ + e c ˆ ) c ˆ + i+r3 ,σ i+r5 ,σ , i+r4 ,σ 2t˜ ǫ2 ǫ˜22 − t21 h i p = |tc | cî+a,σ + sign(tc )ˆ ci+r4 ,σ

Aî,4,σ = Aî,5,σ

s

i 2t1 ǫ˜2 i η (˜ ǫ22 − t21 )2 h ǫ˜22 + t21 i η 2c 6c c ˆ − e ˆ − e ˆ , i+r ,σ i+r ,σ i+r ,σ 2 5 6 2˜ ǫ2 (˜ ǫ22 + t21 ) ǫ˜22 − t21 ǫ˜22 − t21

(52)

eredmények ad´ odnak az (50) blokkoper´ atorokra vonatkozóan, ahol η-t az η = (2ℓ + 1)π

(53)

egyenl˝ oségben foglalt diszkrét értékek hat´ arozz´ ak meg, melyben ℓ tetsz˝ oleges egész sz´ am. Mivel az η paraméter (26) szerint ar´ anyos a k¨ uls˝ o m´ agneses tér indukci´ ojával, ´ıgy (53) folyt´ an az (52) megold´ asok csak a Φ0 B = √ (2ℓ + 1) 3 3b2

(54)

szerint kvant´ alt m´ agneses tér esetében érvényesek. Tovább´ a, (51) megold´ asa nyom´ an n 1 K2 = ǫ1 + 2ǫ2 − |tc | + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) 3 n 2 + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) o1 o1 2 2 2 3 2 3 − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) + 3(2t + t1 ) n + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) n 2 − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) o1 o1 2 2 2 3 2 3 , (55) − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) + 3(2t + t1 )

és emellett az

(ǫ2 − K2 )2 − t21 > 0, 2t21 (ǫ2 − K2 ) >1 (ǫ2 − K2 )2 + t21

ǫ1 − K2 −

2t2 (ǫ2 − K2 ) > 0, (ǫ2 − K2 )2 − t21 (56)

feltételeknek kell teljes¨ ulni¨ uk, azaz most (15) f¨ uggvénykapcsolatai az (56) egyenl˝ otlenségek form´ ajában jönnek létre, meghat´ arozva ezzel a paramétertér azon D szegmensét, ahol az alap´ allapot kereshet˝o.

5. fejezet

43

5.3.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa Az alap´ allapot meghat´ aroz´ as´ ahoz sz¨ ukséges induló hull´ amf¨ uggvényt ez esetben is az el˝ oz˝ o alfejezetben bemutatott formul´ ak szerint szerkesztettem meg. Így a (35) kifejezéssel összhangban ˆ † |0i, |ψi = B 1,σ

(57)

melyben, (36)-nak megfelel˝oen, ˆ† = B 1,σ

Nc X 6 X

yi+rj cˆ†i+rj ,σ ,

(58)

i=1 j=1

teh´ at ez´ uttal is egy olyan ´ allapotb´ ol indultam ki, amely a 6. ábra szerint, kiterjedt m´ odon, a l´ anc minden csom´ opontját mag´ aba foglalja. Az (58)-ban szerepl˝o yi+rj egy¨ utthat´ ok kiszám´ıtás´ aban a (21.a)-ban kijelölt antikommut´ aci´ os rel´ aciók ez´ uttal eredményre vezettek. (50) és (58) felhaszn´ al´ as´ aval (21.a) az ˆ† ′ } = 0 {Aî,q,σ , B 1,σ

(59)

alakot ¨ olti, melynek minden i, q, σ és σ ′ indexre teljes¨ ulnie kell. Az (59) rel´ aci´ okat a rendszer i cell´ ajára fel´ırva, a q = 1, 2, ..., 5 eseteknek megfelel˝oen, a 0 = a1 yi + a2 yi+r2 + a6 yi+r6 , 0 = b2 yi+r2 + b5 yi+r5 + b6 yi+r6 , 0 = d2 yi+r2 + d3 yi+r3 + d5 yi+r5 , 0 = e3 yi+r3 + e4 yi+r4 + e5 yi+r5 , 0 = f1 yi+a + f4 yi+r4

(60)

egyenletrendszer ad´ odik, mely (22) szerint összekapcsolja (58) yi+rj koefficienseit az (50) blokkoper´ atorok {a, b, d, e, f } egy¨ utthat´ oival. Az (52) által megadott {a, b, d, e, f } szorz´ ofaktorok helyettes´ıtésével (60) ˜ǫ2 − t21 i η ǫ˜22 − t21 −i η e 12 yi+r2 + 2 e 12 yi+r6 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 2t1 ǫ˜2 i η ǫ˜2 + t21 i η yi+r2 + 2 e 2 yi+r5 + 22 e 6 yi+r6 , 2 ǫ˜2 − t1 ǫ˜2 − t21 ǫ˜2 + t21 −i η ǫ˜2 − t21 −i η yi+r2 + 2 e 3 yi+r3 + 2 e 2 yi+r5 , 2t1 ǫ˜2 2t1 ǫ˜2 ǫ˜22 − t21 i η ǫ˜2 − t21 −i η e 12 yi+r3 + yi+r4 + 2 e 12 yi+r5 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 yi+a + sign(tc )yi+r4

0 = yi + 0 = 0 = 0 = 0 =

(61)

44

5. fejezet

alak´ uvá válik, és (61) egyenleteib˝ ol az i t1 ǫ˜22 − t21 h ǫ˜22 −i 5η i 7η 12 − e 12 s, e t ǫ˜22 + t21 t21 h i η η ǫ˜2 yi+r2 = Z sign(tc )ei 6 − e−i 3 s, t1 yi+r3 = s, t1 ǫ˜22 − t21 h i 7η ǫ˜22 −i 5η i 12 − yi+r4 = Zsign(tc ) e e 12 s, t ǫ˜22 + t21 t21 h i η η ǫ˜2 yi+r5 = Z sign(tc ) e−i 3 − ei 6 s, t1 i 2 ǫ˜2 ǫ˜2 − t21 h 2t21 i η −i η2 2 e −e yi+r6 = Z − sign(tc ) s, t1 ǫ˜22 + t21 ǫ˜22 − t21 i−1 η ǫ˜2 ˜ǫ22 − t21 h 2t21 i η −i e 2 −e 2 Z = 1 − sign(tc ) t1 ǫ˜22 + t21 ǫ˜22 − t21 yi = yi+a = Z

(62)

megold´ asokat vezettem le, ahol az s 6= 0 paraméter értékét a normálási feltétel hat´ arozza meg. (62) kifejezései a rendszer periodikus mivoltáb´ ol ad´ od´ oan b´ armely i cellaindexre érvényesek, ´ıgy a lánc minden cellájában a (62) egy¨ utthat´ ok jelennek meg. Ez azt jelenti, hogy az egyes cellák a vektorral transzlatált, ugyanazon rj vektorral jellemzett csom´ opontjainak a koefficiensei megegyeznek, azaz ... = yi−2a+rj = yi−a+rj = yi+rj = yi+a+rj = yi+2a+rj = ..., j = 1, 2, ..., 6. Az eddigi eredmények teh´ at azt mutatják, hogy † ˆ az (58) B ator kiterjedt formában, sértetlen¨ ul egy darabban marad, 1,σ oper´ anyában nem bomlik fel több kisebb mivel nulla érték˝ u yi+rj koefficiensek hi´ méret˝ u blokkra. Ez a meg´ allap´ıtás mindenképpen el˝oremutat´ o, hiszen az m´ ar most l´ atszik, hogy az el˝oz˝o alfejezetbeli B = 0 esethez képest egy kvalitat´ıve m´ as t´ıpus´ u megold´ as bontakozik ki. Ugyanakkor (62) egyel˝ore csak egy ir´ anyjelz˝ o, a továbbhaladást seg´ıt˝o részeredmény, ami azonban még nem alkalmas arra, hogy b´ armiféle végkövetkeztetést vonjunk le a ˆ† rendszer alap´ allapot´ ara vonatkozóan. (62) folyt´ an ugyanis egyetlen B 1,σ oper´ ator ép¨ ul be az (57) hull´ amf¨ uggvénybe, ´ıgy csupán egyetlen elektron van jelen a rendszerben. Ez nyilv´ anvalóan nem elegend˝ o egy sokrészecskés jellemzéshez, ezért olyan ir´ anyban kellett tovább folytatnom a vizsgálatokat, hogy – továbbra is az (57-58) pr´ oba´ allapotb´ ol kiindulva – milyen m´ odon lehetne megsokszorozni az alap´ allapotba beilleszthet˝ o oper´ atorok (részecskék) sz´ am´ at. Ennek okán azt pr´ ob´ altam elemezni, hogy két szomszédos cella (60) t´ıpus´ u egyenleteinek ¨ osszekapcsol´ as´ aval kihozhat´ ok-e olyan megold´ asok, amelyek k¨ ul¨ onb¨ oznek a (62)-ben megadott eredményt˝ol, és biztos´ıthatják egy sokrészecskés ´ allapot kialakul´ as´ anak lehet˝ oségét. Így teh´ at (59) antikommut´ aci´ os rel´ aci´ oit két szomszédos cellára összefogva, (50) és (58) alkalmaz´ a-

5. fejezet

45

s´ aval, fel´ırtam az (i − a, i) cellap´ ar egyenleteit, melyek 0 = a1 yi−a + a2 yi−a+r2 + a6 yi−a+r6 , 0 = b2 yi−a+r2 + b5 yi−a+r5 + b6 yi−a+r6 , 0 = d2 yi−a+r2 + d3 yi−a+r3 + d5 yi−a+r5 , 0 = e3 yi−a+r3 + e4 yi−a+r4 + e5 yi−a+r5 , 0 = f1 yi + f4 yi−a+r4 , 0 = a1 yi + a2 yi+r2 + a6 yi+r6 , 0 = b2 yi+r2 + b5 yi+r5 + b6 yi+r6 , 0 = d2 yi+r2 + d3 yi+r3 + d5 yi+r5 , 0 = e3 yi+r3 + e4 yi+r4 + e5 yi+r5 , 0 = f1 yi+a + f4 yi+r4

(63)

szerint alakulnak ki, és i b´ armely cellaindexet jelölheti. (63)-ba az (52)-ben foglalt megold´ as {a, b, d, e, f } egy¨ utthat´ oit helyettes´ıtve, a ǫ˜2 − t21 i η ǫ˜22 − t21 −i η e 12 yi−a+r2 + 2 e 12 yi−a+r6 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 2t1 ǫ˜2 i η ǫ˜22 + t21 i η 2y yi−a+r2 + 2 e e 6 yi−a+r6 , + i−a+r 5 ǫ˜2 − t21 ǫ˜22 − t21 ǫ˜2 + t21 −i η ǫ˜2 − t21 −i η e 3 yi−a+r3 + 2 e 2 yi−a+r5 , yi−a+r2 + 2 2t1 ǫ˜2 2t1 ˜ǫ2 ǫ˜2 − t21 −i η ǫ˜22 − t21 i η e 12 yi−a+r3 + yi−a+r4 + 2 e 12 yi−a+r5 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 yi + sign(tc )yi−a+r4 , ǫ2 − t21 −i η ˜ ǫ˜2 − t21 i η yi + 2 e 12 yi+r2 + 2 e 12 yi+r6 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 2t1 ǫ˜2 i η ǫ˜22 + t21 i η 2y yi+r2 + 2 + e e 6 yi+r6 , i+r 5 ǫ˜2 − t21 ǫ˜22 − t21 ǫ˜2 + t21 −i η ǫ˜2 − t21 −i η yi+r2 + 2 e 3 yi+r3 + 2 e 2 yi+r5 , 2t1 ǫ˜2 2t1 ˜ǫ2 ǫ˜2 − t21 −i η ǫ˜22 − t21 i η e 12 yi+r3 + yi+r4 + 2 e 12 yi+r5 , 2t˜ ǫ2 2t˜ ǫ2 yi+a + sign(tc )yi+r4

0 = yi−a + 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 =

(64)

egyenletek ad´ odnak, és a (64) egyenletrendszer egy lehetséges megold´ as´ at az yi−a = 0, η

yi−a+r2 = −ei 6 s,

46

5. fejezet i ǫ˜2 ǫ˜22 − t21 h 2t21 i η −i η2 2 − e s, e t1 ǫ˜22 + t21 ǫ˜22 − t21 i t1 ǫ˜22 − t21 h ǫ˜22 −i 5η i 7η 12 − e 12 s, yi−a+r4 = e t ǫ˜22 + t21 t21 η ǫ˜2 yi−a+r5 = − e−i 3 s, t1 yi−a+r6 = s, ǫ˜22 −i 5η i t1 ˜ǫ22 − t21 h i 7η 12 − e e 12 s, yi = sign(tc ) t ǫ˜22 + t21 t21 η ǫ˜2 yi+r2 = sign(tc ) e−i 3 s, t1 yi+r3 = −sign(tc )s, yi−a+r3 =

yi+r4 = 0,

η

yi+r5 = sign(tc )ei 6 s, ǫ˜2 ǫ˜22 − t21 h −i η 2t21 i η i 2 − e e 2 s, yi+r6 = sign(tc ) t1 ǫ˜22 + t21 ǫ˜22 − t21 yi+a = 0

(65)

kifejezések prezent´ alják, melyekben az s 6= 0 paraméter a normálási feltétel által megszabott értéket veszi fel. A (65) eredmények tan´ us´ aga szerint érdemes volt ¨ osszekapcsolni az (i−a) és i cellák egyenleteit, hiszen yi−a, yi+r4 és yi+a zér´ ová válik, a fennmaradó t´ız koefficiens pedig nullától k¨ ul¨ onb¨ oz˝o értéket vesz fel u ´gy, hogy yi−a+rj 6= yi+rj , j = 1, 2, ..., 6. Ez pedig azt jelenti, hogy az (i− a) és i cell´ ak egy¨ utthat´ oi nem egyeznek meg. Teh´ at ez´ uttal nem olyan megold´ as jön létre, amely a (62) eredményhez hasonlóan egyetlen hoˆ † oper´ mogén B atort produkál, hanem megsz¨ uletik egy t´ız csom´ opontb´ ol 1,σ áll´ o, két szomszédos cell´ at egyes´ıt˝o blokk, melyet (65) értelmében a † Vî,σ = yi−a+r2 cˆ†i−a+r2,σ + yi−a+r3 cˆ†i−a+r3 ,σ + yi−a+r4 cˆ†i−a+r4 ,σ

+ yi−a+r5 cˆ†i−a+r5,σ + yi−a+r6 cˆ†i−a+r6 ,σ + yi cˆ†i,σ + yi+r2 cˆ†i+r2 ,σ + yi+r3 cˆ†i+r3 ,σ + yi+r5 cˆ†i+r5 ,σ + yi+r6 cˆ†i+r6 ,σ

(66)

† oper´ ator definiál. Noha a (65-66) Vî,σ által bevezetett blokk két cella járu† lékait tartalmazza, a könnyedebb átláthat´ os´ ag kedvéért Vî,σ als´ o indexében † csak az egyik cellaindexet, az i-t t¨ untettem fel, amivel Vˆ -t az (i − a, i) celi,σ

lap´ ar helyett form´ alisan az i cellához rendeltem hozz´ a azzal a kitétellel, hogy † † az (i−a) cell´ aba is ´ atny´ ulnak bizonyos járulékai. Ez´ altal a ..., Vî−2a,σ , Vî−a,σ , † † † Vˆ , Vˆ , Vˆ , ... oper´ atorok – jelölés¨ uket tekintve – az adott cellához i,σ

i+a,σ

i+2a,σ

egyértelm˝ uen hozz´ arendelt, effekt´ıve kétcellás objektumként kezelhet˝ ok. A † ˆ (65-66) Vi,σ oper´ ator grafikus megjelen´ıtését a 9. ábra fels˝o rajza mutatja be ´ a releváns koefficiensek felt¨ untetésével. Ertelemszer˝ uen a Vˆ † által keltett i,σ

5. fejezet

47

elektron a megjelölt t´ız csom´ opont b´ armelyikén megjelenhet, ´ıgy – a B = 0 eset 7. ´ abr´ an vázolt eredményéhez viszony´ıtva – az a szektor, ahol egy elektron potenci´ alisan el˝ ofordulhat, k¨ uls˝ o m´ agneses tér jelenlétében kiszélesedik egy kétcell´ as tartom´ anyra. A 9. ábra als´ o rajza a szomszédos i − a, i, i + a † † ˆ† ˆ ˆ cell´ akhoz tartoz´ o Vi−a,σ , Vi,σ , Vi+a,σ oper´ atorokat péld´ azza, ahol megfigyelhet˝ o, hogy b´ armely két szomszédos oper´ ator a vonalkázott ter¨ uleten lév˝o négy csom´ oponton érintkezik egymással. +

Vi, σ yi+r6 yi+r5

yi−a+r6 yi−a+r5 11 00 00 11 00 11

...

11 00 00 11 00 11

00 yi−a+r4 11 00 11 00 11 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

i

00 11 00 11

...

11 00 00 11 00 11 11 00 00 11 00 11

9. ´ abra

11 00 00 11 00 11

00 11 00 11

+

Vi+a, σ

Vi, σ 11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

i−a

00 11 00 11

00 00 11 y11 i+r2 yi+r3

+

+

Vi−a,σ 11 00 00 11 00 11

...

y

11 00 00 11 00 i 11

00 11 00 11 yi−a+r y 2 i−a+r3

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11 11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

i

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11 11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

...

11 00 00 11 00 11

i+a

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

† : A (66) Vî,σ oper´ atorok blokkszerkezet´ enek grafikus megjelen´ıt´ ese

B 6= 0 eset´ en.

Ezen a ponton a (20.a) feltétel tanulm´ anyozása lezárult, és a fentebb részletezett eredmények alapján ¨ osszegy˝ ujthet˝ok azok a lényegi inform´ aciók, melyek a vizsgálat ezen szakasz´ aban kulcsfontoss´ ag´ uak. Ezek szerint meg´ allap´ıthat´ o, † ˆ hogy az (57) pr´ obaf¨ uggvénybe beiktatott (58) B1,σ oper´ ator felbonthat´ oa † ˆ kapott V oper´ atorok ´ altal kijel¨ olt kétcellás doménekre, ezért a továbbii,σ

ˆ † szerepét a (65-66) Vˆ † oper´ akban B atorok veszik át, és a rendszerben 1,σ i,σ lév˝o elektronok sz´ am´ at természetesen most is az értelmezett Vˆ † oper´ atorok i,σ

sz´ ama adja meg. Mivel a l´ anc minden cellájához egyértelm˝ uen hozz´ arendel† ˆ het˝ o egy Vi,σ oper´ ator, maximálisan Nc darab elektron létezhet a rendszerben, ´ıgy a kapott (65-66) Vˆ † oper´ atorok alkalmaz´ as´ aval tényleges lehet˝ oség i,σ

ny´ılik egy val´ odi sokrészecskés állapot le´ır´ as´ ara. Ezt követ˝ oen természetesen meg kell még vizsgálni azt is, hogy a (20.b) † feltétel milyen extra inform´ aciókat hordoz a (65-66) Vî,σ oper´ atorok további tulajdons´ agaira vonatkoz´ oan. Ahogyan a 9. ábra is szemlélteti, b´ armely két † szomszédos cell´ aban jelenlév˝o Vî,σ négy csom´ oponton megosztozik, ami azt idézi el˝ o, hogy a négy köz¨ os érintkezési pont potenci´ alisan alkalmassá válik

48

5. fejezet

dupla bet¨ oltések kialakul´ as´ ara. Ez a kör¨ ulmény m´ ar sejteti azt, hogy a dupla † ˆ bet¨ oltésekre érzékeny Hubbard-tag szomszédos Vi,σ oper´ atorokra vett hat´ asa egyáltal´ an nem triviális m´ odon teljes´ıti (20.b)-t. Ahhoz, hogy ezt világosan † † kifejtsem, az i és i + a cell´ akban legyenek értelmezve a Vî,σ , illetve a Vî+a,σ 1 2 oper´ atorok u ´gy, hogy i, illetve a σ1 , σ2 spinindexek tetsz˝ olegesek. Ekkor a (20.b) feltételt a ˆ U Vˆ † Vˆ † H i,σ1 i+a,σ2 |0i = 0

(67)

† ˆ† egyenl˝ oség val´ os´ıtja meg. A kijel¨ olt Vî,σ V oper´ atorszorzatot elvégezve, 1 i+a,σ2 ˆ U tagjaival, (67)-b˝ majd hatva H ol a 2 2 0 = U yi+r cˆ† cˆ† + yi+r cˆ† cˆ† 2 i+r2 ,σ1 i+r2 ,σ2 3 i+r3 ,σ1 i+r3 ,σ2 2 2 |0i (68) cˆ† + yi+r cˆ† cˆ† + yi+r cˆ† 6 i+r6 ,σ1 i+r6 ,σ2 5 i+r5 ,σ1 i+r5 ,σ2

egyenlet sz´ armaztatható, mely alapvet˝o fontoss´ ag´ u inform´ aciót rejt mag´ aban. Pillanatok alatt felismerhet˝ o, hogy (68) kizár´ olag abban a speciális esetben adhat igaz egyenl˝ oséget, amikor σ1 = σ2 fennáll. Ekkor ugyanis, bevezetve a σ = σ1 = σ2 jelölést, a rendszer fermionikus jellegének következtében avá válik. Ez pedig gyacˆ†i+rj ,σ cˆ†i+rj ,σ |0i, j = 2, 3, 5, 6, automatikusan null´ † † korlatilag azt jelenti, hogy Vˆ és Vˆ spinindexe ugyanazon σ értékre i,σ1

i+a,σ2

† † r¨ ogz¨ ul, azaz a Vî,σ és Vî+a,σ által keltett elektronok ugyanolyan spin1 2 vet¨ ulettel ker¨ ulnek be a rendszerbe. A fentiek alapján tiszt´ an érthet˝ o, hogy (20.b) milyen szerepet játszik a rendszer fizikai arculat´ anak kialakul´ as´ aban. (20.b) hat´ asa ugyanis abban nyilv´ anul meg, hogy egymással kontaktusban † lév˝o (köz¨ os csom´ omontokat birtokló) Vî,σ oper´ atorok, illetve az általuk keltett elektronok spinindexei korrel´ alttá válnak azáltal, hogy azonos értéket kényszer¨ ulnek felvenni. Ezzel a rendszer lényegében letiltja azt a lehet˝ oséget, hogy két elektron egyazon csom´ oponton tart´ ozkodjon, ´ıgy a dupla betöltések elimin´ aci´ ojával energi´ aja minimálisra cs¨ okkenhet. Szeretném nyomatékos´ıtani, hogy a spinindexek közötti korrel´ ació létrejöttének alapfeltétele az † oper´ atorok érintkezése. Amennyiben azonban a két Vî,σ oper´ ator nem rendelkezik köz¨ os csom´ opontokkal, azaz szeparált m´ odon, egymást´ ol távolabb helyezkednek el, akkor a (67) által realiz´ alt (20.b) feltétel automatikusan teljes¨ ul anélk¨ ul, hogy b´ armiféle korrel´ aciót induk´ alna a spinindexek között. Eddig a (20.b) feltétel végrehajtás´ at az egyszer˝ ubb átláthat´ os´ ag kedvéért † ˆ csupán két Vi,σ oper´ ator viszonylatában mutattam be, de az eredmények t¨ ukrében m´ ar egyszer˝ uen nyomon követhet˝ o kett˝onél több Vˆ † jelenléte is. i,σ

† Amennyiben a Vî,σ oper´ atorok sz´ ama nagyobb mint kett˝o, de sokkal kisebb mint a rendszer cell´ ainak a sz´ ama, akkor könnyen el˝oállhat olyan eset, hogy az oper´ atorok teljesen elk¨ ul¨ on¨ ulnek egymást´ ol, ´ıgy közös csom´ opontok h´ıján spinindexeik tetsz˝ olegesek maradnak, mivel nem jön létre közt¨ uk korrel´ aciós

5. fejezet

49

† effektus. Ha azonban elkezdj¨ uk fokozatosan n¨ ovelni a Vî,σ oper´ atorok sz´ am´ at, akkor egyre nagyobb annak a valósz´ın˝ usége, hogy az oper´ atorok érintkeznek egymással, ami a fentebbiek értelmében aktiviz´ alja a spinindexek közötti korrel´ aci´ ot. Ennek az a következménye, hogy az egymással láncszer˝ uen érintkez˝ o oper´ atorok mindegyikének ugyanazon σ értékre r¨ ogz¨ ul a spinindexe, ´ıgy tulajdonképpen létrejönnek olyan klaszterek, amelyeken bel¨ ul minden spin azonos ir´ anyba mutat, de az egyes klaszterek köz¨ ott nincs spinkor† rel´ aci´ o. Azon hat´ aresetben pedig, amikor a Vî,σ oper´ atorok sz´ ama maximális, azaz a rendszer minden cellájában jelen van egy oper´ ator, akkor egyetlen kiterjedt klaszter alakul ki a láncban, melynek minden spinje azonos ir´ any´ u. A (20.a-b) feltételek fentebb kifejtett anal´ızisének eredményeképpen eljutottam a rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényéhez, melyet X Y † |ψg (N < Nc )iB = Vî,σi |0i, ωαN αN

|ψg (N = Nc )iB =

Y i

i∈αN

† Vî,σ |0i

(69)

szerint az N < Nc , illetve az N = Nc tartom´ anyokon k¨ ul¨ onb¨ oz˝oképpen ´ırtam † † ˆ ˆ fel. A (69) formul´ ak Vi,σi , Vi,σ oper´ atorait egyar´ ant (65-66) definiálja, |ψg iB als´ o indexe pedig a B 6= 0 k¨ uls˝ o m´ agneses tér jelenlétét jelzi. N < Nc esetén † αN olyan doméneket jelöl a rendszerben, melyek N darab Vî,σ oper´ atort i tartalmaznak u ´gy, hogy αN nem feltétlen¨ ul alkot összef¨ ugg˝ o tartom´ anyt, † oper´ atorok több létrejöhet diszjunkt domének uni´ ojaként is (azaz a Vî,σ i k¨ ul¨ on´ all´ o klasztert is képezhetnek), és az összegzés az összes lehetséges αN domén szerint t¨ orténik. A line´ aris kombin´ ació ωαN prefaktorait a normálási † feltétel hat´ arozza meg, a Vî,σ oper´ a torok k¨ oz¨ ul pedig csak azoknak a spinini dexe r¨ ogz¨ ul ugyanazon σi = σ értékre, melyek közös csom´ opontokon érint† keznek egymással. N = Nc esetében viszont a Vî,σ oper´ atorok σ indexe r¨ ogz´ıtett, hiszen ekkor az oper´ atorok láncszer˝ u egymásbakapcsol´ od´ asa révén egyetlen kiterjedt klaszter alakul ki. Mindezek alapján a (69) alap´ allapot fizikai jellemz˝oit illet˝ oen a következ˝o tulajdons´ agokat állap´ıtottam meg: I.) Az alap´ allapot lokaliz´ alt, de a lokaliz´ aci´ os hossz megn¨ ovekszik a m´ agneses t´ er hi´ any´ aban l´ etrej¨ ov˝ o lokaliz´ aci´ os hosszhoz k´ epest. † ˆ L´ attuk ugyanis, hogy a Vi,σ oper´ atorok hat´ asa két szomszédos cellára terjed ki, ami meghaladja a B = 0 esetben kapott, csupán egy cellára korl´ atozód´ o lokaliz´ aci´ os hosszat. II.) Az N < Nc tartom´ anyon az alap´ allapot glob´ alisan param´ agneses, az N = Nc hat´ aresetben viszont tel´ıtett ferrom´ agnest ad. Ez az áll´ıtás a fentebbi eredmények alapján világos, hiszen N < Nc esetén a klaszterek σi spinindexei nem korrel´ altak, az N = Nc esetben azonban minden elektron azonos σ spinirány´ıtással ker¨ ul be a ¨ rendszerbe. Osszefoglalva a nyert inform´ aciókat, a polifenilén t´ıpus´ u lánc alap´ allapota k¨ uls˝ o m´ agneses tér jelenlétében lokalizált, és a rendszer az

50

5. fejezet

N < Nc intervallumon paramágnesként, m´ıg az N = Nc hat´ aresetben tel´ıtett ferrom´ agnesként viselkedik. A kapott ferrom´ agnesesség rendk´ıv¨ ul k¨ ul¨ onleges, hiszen egy olyan szerves rendszer produkálja, amely egyáltalán nem tartalmaz m´ agneses alkotóelemeket. A (69) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényhez, az (55)-ben foglalt K2 felhaszn´ al´ as´ aval, (16) értelmében az ( 1 ǫ1 + 2ǫ2 − |tc | Eg (N ; ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc ) = 3 + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) n 2 + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) 1 o1 3 2 2 2 3 2 − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) + 3(2t + t1 ) + (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) n 2 − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 (ǫ1 − ǫ2 − |tc |)2 + 9(t2 − t21 ) 1 ) o1 3 2 2 2 3 2 − (ǫ1 − ǫ2 − |tc |) + 3(2t + t1 ) N (70) alap´ allapoti energia rendelhet˝o hozz´ a, és a (69-70) alap´ allapot, (56) megismétlésével, az (ǫ2 − K2 )2 − t21 > 0, 2t21 (ǫ2 − K2 ) >1 (ǫ2 − K2 )2 + t21

ǫ1 − K2 −

2t2 (ǫ2 − K2 ) > 0, (ǫ2 − K2 )2 − t21 (71)

feltételek ´ altal kiszabott fázistértartományon érhet˝ o el. Még egyszer kiemelem, hogy az 5.3. alfejezetben részletezett eredményeim csakis akkor lehetnek helytállóak, ha a m´ agneses tér indukciója (54) szerint kvant´ alt.

5.4. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete Az 5.2-3. alfejezetekben meghat´ arozott alap´ allapotok mélyebb anal´ızise céljáb´ ol tanulm´ anyoztam a rendszer nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét is, amely az r-térben fel´ırt (25) Hamilton-oper´ ator ˆ0 H

=

Nc XX σ

i=1

ˆ i+r2 ,σ + n ˆ i+r3 ,σ + n ˆ i+r5 ,σ + n ˆ i+r6 ,σ ˆ i,σ + n ˆ i+r4 ,σ + ǫ2 n ǫ1 n

5. fejezet

+

51

Nc XX σ

η

t ei 12 cˆ†i+r2 ,σ cî,σ + cˆ†i+r4 ,σ cî+r3 ,σ + cˆ†i+r5 ,σ cî+r4 ,σ + cˆ†i,σ cî+r6 ,σ

i=1

+ t1 e

i η3

cˆ†i+r3 ,σ cî+r2 ,σ + cˆ†i+r6 ,σ cî+r5 ,σ + tc cˆ†i+a,σ cî+r4 ,σ + H.c.

(72)

kinetikus járulékának k-térbe való transzformációjával térképezhet˝ o fel. Ezt az ´ atalak´ıt´ ast az elemi fermionikus elt¨ untet˝o és kelt˝o oper´ atorok

cî+rj +R,σ = cˆ†i+rj +R,σ

=

Nc 1 X √ cˆj,k,σ e−ik(i+rj +R) , Nc k=1 Nc 1 X √ cˆ†j,k,σ eik(i+rj +R) Nc k=1

(73)

alak´ u Fourier-transzform´ alt kifejezéseinek seg´ıtségével hajtottam végre. A (73) formul´ akban cˆj,k,σ és cˆ†j,k,σ a (k, σ) értékpárral jellemzett kvantumállapot elt¨ untet˝ o és kelt˝ o oper´ ator´ at reprezentálja a lánc j, j = 1, 2, ..., 6, alr´ acs´ aban, az R változ´ o pedig a 0 vagy az a értéket veszi fel. A (73) Fourier-transzform´ alt kifejezések alkalmaz´ as´ aval (72) a ˆ0 H

=

XX σ

+

k

XX σ

+ +

ˆ 2,k,σ + n ˆ 3,k,σ + n ˆ 5,k,σ + n ˆ 6,k,σ ˆ 1,k,σ + n ˆ 4,k,σ + ǫ2 n ǫ1 n η

t1 ei 3 cˆ†3,k,σ cˆ2,k,σ eik(r3 −r2 ) + cˆ†6,k,σ cˆ5,k,σ eik(r6 −r5 )

k

η

t ei 12 cˆ†1,k,σ cˆ6,k,σ e−ikr6 + cˆ†2,k,σ cˆ1,k,σ eikr2 + cˆ†4,k,σ cˆ3,k,σ eik(r4 −r3 ) cˆ†5,k,σ cˆ4,k,σ eik(r5 −r4 ) + tc cˆ†1,k,σ cˆ4,k,σ eik(a−r4 ) + H.c. (74)

alakra ´ırhat´ o´ at, melyben

kr2 = kr6 = k(r4 − r3 ) = k(r4 − r5 ) = k(r3 − r2 ) = k(r5 − r6 ) = kb,

k(a − r4 ) = kb′ .

kb , 2 (75)

A (75) kifejezések sz´ am´ıt´ asa sor´ an nem szabad megfeledkezni arr´ ol, hogy a k vektor ir´ anya megegyezik az a Bravais-vektor ir´ anyával, és a kapott eredmények, a 3. ´ abra jelöléseinek megfelel˝oen, az |a| = 2b + b′ összef¨ uggés, illetve k = |k| figyelembevételével ad´ odnak. ˆ0 A (74)-ben megadott H ˆ0 = H

XX σ

k

˜ k Ck,σ C†k,σ M

(76)

52

5. fejezet

szerint t¨ om¨ or´ıthet˝ o, ahol a

ˆ † = (ˆ C c†1,k,σ , cˆ†2,k,σ , ..., cˆ†6,k,σ ), k,σ



 ˆ k,σ =  C  

cˆ1,k,σ cˆ2,k,σ .. . cˆ6,k,σ

    

(77)

m´ atrixok a k-térben értelmezett kelt˝o és elt¨ untet˝o oper´ atorokat tartalmaz˜ zák, a hermitikus Mk m´ atrixot pedig   η η + kb ) i( − kb ) −i( ikb′ ǫ1

η

  ˜k= M   

tei( 12 +

te

kb ) 2

2

′

0

t1 e−i( 3 +kb)

t1 ei( 3 +kb)

ǫ2

η

tei( 12 +

0

tc e

η

ǫ2 η

0

te

12

0

η

te−i( 12 +

kb ) 2

kb ) 2

tc e−ikb

0

0

0

0

ǫ1 η i( 12 − kb 2 ) te

0

0

0

η −i( 12 − kb 2 )

te

0

η

t1 e

2

0

0

te−i( 12 −

12

    (78)  0  η −i( −kb) 0

kb ) 2

ǫ2 η i( 3 −kb)

t1 e

3

ǫ2

˜ k m´ determinálja. A rendszer nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét a (78) M atrix ˜ k − Ek 1) ˜ =0 det(M

(79)

˜ alak´ u szekul´ aris egyenletének Ek megold´ asai rajzolj´ ak ki k f¨ uggvényében (1 a (6 × 6)-os egységm´ atrixot jelöli). A (79) sajátérték-egyenlet ez esetben a η + (ǫ1 − Ek )(ǫ2 − Ek ) 0 = 4t2 t21 − (ǫ2 − Ek )2 t1 tc cos(ka) cos 2 2 − t2c − (ǫ1 − Ek )2 (ǫ2 − Ek )2 − t21 + 4t4 (ǫ2 − Ek )2 − 2t4 t21 [1 + cos(η)]

(80)

alakot ¨ olti, amely Ek -ra nézve egy hatodfok´ u algebrai egyenlet, ´ıgy az ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc , η paraméterek r¨ ogz´ıtett értékei mellett hat Ek,n , n = 1, 2, ..., 6, megold´ as létezik. A 10. ´ abr´ an példaként bemutatom a t1 /t = 0.9, tc /t = 0.7, ǫ1 /t = 0.5, ǫ2 /t = 1.1 értékszett esetében ad´ od´ o Ek,n megold´ asokat ka f¨ uggvényében, ahol minden energia dimenziój´ u mennyiségnek t a mértéke. Mivel Ek,n a (80)-ban szerepl˝o, cos(ka)-t tartalmaz´ o tag következtében a ka változ´ onak p´ aros f¨ uggvénye, a diszperzi´ orel´ aciókat elegend˝ o a ka ∈ [0, π] tartom´ anyon megrajzolni. Az ábra a.) része a k¨ uls˝ o m´ agneses tér nélk¨ uli, B = 0 esetet szemlélteti, amikor is (26)-tal összhangban η = 0, a b.) rajzon pedig a B 6= 0 szitu´ aci´ o eredményei láthat´ ok abban az esetben, amikor η = π. Megjegyzem, hogy a nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet B = 0 esetén, a Hamilton-oper´ ator paramétereinek megválaszt´ as´ atól f¨ uggetlen¨ ul, mindig két lapos (azaz a ka tengellyel p´ arhuzamos) s´ avot tartalmaz (egy konkrét ació nyom´ an péld´ at mutat a 10.a ´ abra), melyek a t21 − (ǫ2 − Ek )2 = 0 rel´ jönnek létre. Ekkor ugyanis (80) jobb oldala automatikusan null´ at ad, és jól látszik, hogy a t21 − (ǫ2 − Ek )2 = 0 egyenl˝ oségb˝ ol kifejezett két Ek érték nem

5. fejezet

53

f¨ ugg k-t´ ol. Ezért válik ka f¨ uggvényében konstanssá (laposs´ a) a két eml´ıtett s´ av. Ezzel szemben ha B 6= 0, akkor a nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet összes s´ avja lapos a Hamilton-oper´ ator paramétereinek b´ armely értéke esetén (egy konkrét péld´ at mutat a 10.b ábra), de érdekes m´ odon ez a karakterisztika csakis olyan speci´ alis kör¨ ulmények között teljes¨ ul, amikor η = (2ℓ + 1)π, ahol ℓ tetsz˝ oleges egész sz´ am. Így (26) értelmében a 10.b ábr´ an péld´ azott Φ0 √ agneses s´ avszerkezett´ıpus kizár´ olag a B = 3 3b2 (2ℓ + 1) szerint kvantált m´ térben ´ allhat el˝ o, ami t¨ okéletesen összhangban van az (53-54)-ben kapott feltétellel.

a.)

b.)

Ek t 3

Ek t 3

2

2

1

1

0

π/4

π/2

3π/4

π

0

ka

−1

−1

−2

−2

10. ´ abra

π/4

π/2

3π/4

π

ka

: A rendszer nemkölcsönható sávszerkezete a.) B = 0 (η = 0), illetve

b.) B 6= 0 (η = π) eset´ en. A Hamilton-oper´ ator param´ etereit mindk´ et esetben a t1 /t = 0.9, tc /t = 0.7, ǫ1 /t = 0.5, ǫ2 /t = 1.1 ´ ert´ ekek r¨ ogz´ıtik.

A nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetet illet˝o fentebbi eredmények alapján megállap´ıthat´ o teh´ at, hogy jól meghat´ arozott, diszkrét érték˝ u indukcióval jellemzett m´ agneses tér hat´ as´ ara a s´ avszerkezet összes s´ avja laposs´ a válik az ǫ1 , ǫ2 , t, t1 , tc paraméterek tetsz˝ oleges tartom´ anyán. Szeretném kiemelni, hogy a (69) |ψg (N = Nc )iB ferrom´ agneses alap´ allapot olyan elektronok által val´ osul meg, melyek a nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet legals´ o lapos s´ avj´ at félig t¨ oltik fel. Ennek felismeréséhez a következ˝oket kell meggondolnunk: Ismeretes, hogy az els˝ o Brillouin-z´ on´ at alkotó k-állapotok sz´ ama megegyezik a rendszer r-térben lév˝o r´ acscsomópontjainak a sz´ am´ aval. A polifenilén esetében éppen Nc darab i r´ acscsomópontb´ ol ép¨ ul fel a lánc, ´ıgy az els˝ o Brillouin-z´ on´ aban Nc darab k-állapot találhat´ o, amely – figyelembe véve az elektronok spinvet¨ uletének két lehetséges értékét – maximálisan 2Nc sz´ am´ u elektronnal t¨ olthet˝ o be. Mivel azonban a (69) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény N = Nc sz´ am´ u elektron esetén adhat tel´ıtett ferrom´ agnest, az elektronok a maxim´ alisan rendelkezésre a´lló 2Nc sz´ am´ u állapotnak éppen a felét foglalj´ ak

54

5. fejezet

el. Ennélfogva félig t¨ olt¨ ott als´ o s´ av alakul ki, amely alacsony részecskesz´ amkoncentr´ aci´ ot hat´ aroz meg. Ha pedig a s´ avszerkezet legals´ o s´ avja lapos és félig t¨ olt¨ ott, akkor Mielke–Tasaki-féle laposs´ av-ferromágnesességr˝ ol beszél¨ unk [245]. Ez fizikailag azt az inform´ aciót hordozza, hogy a (69)-ben foglalt |ψg (N = Nc )iB ferrom´ agneses alap´ allapot Mielke–Tasaki-értelemben vett laposs´ av-ferromágnesesség formájában valósul meg. Azonban a laposs´ avferrom´ agnesesség azon t´ıpusa, amely csak kvantált m´ agneses térben jöhet létre, meglehet˝ osen ritka jelenségnek sz´ am´ıt, de létezik a szakirodalomban olyan tanulm´ any, amely szerint gyém´ ant szerkezet˝ u láncok esetében is hasonl´ o viselkedés figyelhet˝ o meg [72]. Az 5.2-3. alfejezetekben láttuk, hogy a rendszerben legfeljebb Nc sz´ am´ u elektron lehet jelen, hiszen N minden esetben az N ≤ Nc intervallumon mozgott f¨ uggetlen¨ ul att´ ol, hogy be volt-e kapcsolva a k¨ uls˝ o m´ agneses tér. A nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet megrajzolása és elemzése folyt´ an pedig az is egyértelm˝ uvé válik, hogy N ≤ Nc kis koncentr´ aciós tartom´ anyt értelmez, ´ıgy a kapott (44,47), illetve (69-70) alap´ allapotok mindegyike alacsony részecskesz´ am-koncentr´ aci´ os intervallumon érvényes.

Az 5. fejezet eredm´ enyeinek r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa Az 5. fejezetben a PSZO m´ odszer seg´ıtségével meghat´ aroztam az Nc sz´ am´ u cell´ ab´ ol felép¨ ul˝ o kv´ azi-egydimenzi´ os polifenilén strukt´ ur´ ak egzakt alapállapotait. Periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ asa mellett arra az eredményre jutottam, hogy k¨ uls˝ o m´ agneses tér hi´ anyában az alapállapot a teljes N ≤ Nc elektronsz´ am-tartományon paramágneses és lokalizált. A lánc s´ıkj´ ara mer˝ oleges m´ agneses tér hat´ asa alatt azonban az N < Nc intervallumban az elektronok lokaliz´ aci´ os hossza megn¨ ovekszik a m´ agneses tér hi´ anyában létrejöv˝o lokaliz´ aci´ os hosszhoz képest. Ez végs˝ o soron ahhoz vezet, hogy az N = Nc hat´ aresetben a rendszer tel´ıtett ferrom´ agnesként viselkedik. Ezek alapján azt a következtetést vontam le, hogy a k¨ uls˝ o m´ agneses tér ki-/bekapcsol´ as´ aval változtathat´ o az elektronok lokalizációs hossza, és N = Nc esetén a rendszer paramágneses alap´ allapotáb´ ol átbillenthet˝ o egy ferrom´ agneses alap´ allapotba. Ez a viselkedés rendk´ıv¨ ul k¨ ul¨ onleges, hiszen a jelzett ferrom´ agnesesség egy olyan szerves rendszerben idézhet˝ o el˝o, melynek atomjai nem rendelkeznek ered˝ o m´ agneses momentummal. A nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetet érint˝ o vizsgálataim szerint a létrejöv˝o paramágneses és ferrom´ agneses alap´ allapotok a kis koncentr´ aciós részecskesz´ am-tartományon érvényesek. Elemzéseim sor´ an arra is r´ amutattam, hogy m´ agneses térben a s´ avszerkezet ¨ osszes s´ avja laposs´ a válik, ez az effektus azonban kizár´ olag kvant´ alt indukci´ oj´ u m´ agneses tér esetén jön létre. Az N = Nc sz´ am´ u elektron pedig éppen félig t¨ olti fel a s´ avszerkezet legals´ o lapos s´ avj´ at, ami azt

5. fejezet

55

jelenti, hogy a kapott ferrom´ agnesesség u ń. Mielke–Tasaki-féle laposs´ avferrom´ agnesesség form´ ajában valósul meg. A fentebbiekkel összhangban azonban a Mielke–Tasaki-féle laposs´ av-ferromágnesesség ez esetben csak kvantált m´ agneses térben alakulhat ki, ami meglehet˝ osen ritka jelenségnek sz´ am´ıt. Az 5. fejezetben bemutatott eredményeimet a [246] publik´ ació tartalmazza.

56

6. fejezet

6. fejezet

A f´ azist´ er kiterjeszt´ ese ´ es vizsg´ alata polifenil´ en t´ıpus´ u l´ ancok eset´ eben A polifenilén fajtáj´ u l´ ancok alap´ allapotának feltár´ asa ut´ an azt tanulm´ anyoztam, hogy hogyan lehetne kiterjeszteni a paramétertér azon tartom´ anyát, ahol adott t´ıpus´ u alap´ allapoti megold´ asok létezhetnek. Ez a fázistérbeli elemzés nemcsak a fizikai ismereteink b˝ ov¨ ulését szolg´ alhatja, hanem matematikai szempontb´ ol is mindenképpen hasznos és izgalmas kih´ıvás, hiszen el˝ oseg´ıtheti a sz´ am´ıtások technikai fejlesztését is.

6.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora Kiindulásként kib˝ov´ıtettem a (25) Hamilton-oper´ ator paramétereinek a halmaz´ at oly m´ odon, hogy megn¨ oveltem az értelmezett egyrészecske-potenci´ alok és hoppingok sz´ am´ at. Ennek megfelel˝oen a rendszer (4)-ben vet´ıtett Hamilton-oper´ ator´ at

ˆ H

=

Nc XX σ

+ + +

ǫ′2

i=1

ˆ i+r2 ,σ + n ˆ i+r6 ,σ ˆ i,σ + n ˆ i+r4 ,σ + ǫ2 n ǫ1 n

n ˆ i+r3 ,σ + n ˆ i+r5 ,σ

+

Nc XX

ta cˆ†i,σ cî+r6 ,σ + cˆ†i+r2 ,σ cî,σ

σ i=1 † † tb cî+r4 ,σ cî+r3 ,σ + cî+r5 ,σ cî+r4 ,σ + t1 t′1 cˆ†i+r5 ,σ cî+r3 ,σ + t′2 cˆ†i+r2 ,σ cî+r6 ,σ + t′′1

+ t′′2 + U

cˆ†i+r3 ,σ cî+r2 ,σ + cˆ†i+r6 ,σ cî+r5 ,σ cˆ†i,σ cî+r5 ,σ + cˆ†i+r3 ,σ cî,σ cˆ†i+r4 ,σ cî+r2 ,σ + cˆ†i+r6 ,σ cî+r4 ,σ + tc cˆ†i+a,σ cî+r4 ,σ + H.c.

Nc X

n ˆ i,σ n ˆ i,−σ + n ˆ i+r2 ,σ n ˆ i+r2 ,−σ + n ˆ i+r3 ,σ n ˆ i+r3 ,−σ

i=1

+ n ˆ i+r4 ,σ n ˆ i+r4 ,−σ + n ˆ i+r5 ,σ n ˆ i+r5 ,−σ + n ˆ i+r6 ,σ n ˆ i+r6 ,−σ

(81)

alokat jelölik, szerint ´ırtam fel, melyben ǫ1 , ǫ2 , ǫ′2 a lokális egyrészecske-potenci´ ′ ′ ′′ ′′ ta , tb , t1 , tc az els˝ oszomszéd, m´ıg t1 , t2 , t1 , t2 a m´ asodszomszéd hoppingokat reprezent´ alják, U értéke pedig továbbra is minden csom´ oponton azonos. A (81) Hamilton-oper´ ator paramétereit grafikusan a 11. ábra szemlélteti, ahol a l´ anc els˝ o cell´ aja tartalmazza a megszokott csom´ oponti jelöléseket. ′ u L´ athat´ o tovább´ a, hogy ǫ1 a h´ aromel´ agazás´ u, ǫ2 és ǫ2 pedig a kételágazás´ csom´ opontok egyrészecske-potenci´ aljait demonstrálja. t1 és tc az x tengellyel p´ arhuzamos hoppingokat definiálja a hatsz¨ ogek oldalélei, illetve a

6. fejezet

57

hatsz¨ ogeket ¨ osszek¨ ot˝ o szakaszok mentén, m´ıg ta és tb a hatsz¨ ogek har´ ant ′ ′ ir´ any´ u oldalai mentén van értelmezve. t1 és t2 a hatsz¨ ogeken bel¨ ul az y tengellyel p´ arhuzamos elektronugr´ asokhoz kapcsol´ odik, t′′1 és t′′2 pedig rézs´ utos ir´ anyokban t¨ ortén˝ o ugr´ asokat jellemez.

t1 ε2

i+r6 i+r5 i

ε1

i+r2 i+r3

y z

i+r4

.

11. ´ abra

ε ’2

ta ε1

ε2

ε ’2

tb t’2

t’’ t’’ 1 2 t’1 t’’ t’’ 1 2

ta

tc

tb t1

x

: A csomópontok helyzetvektorainak és a (81) Hamilton-operátor

param´ etereinek szeml´ eltet´ ese.

A Hamilton-oper´ ator paraméterhalmazának fentebbi b˝ ov´ıtése több szemsz¨ ogb˝ ol nézve is praktikus. Egyrészt biztos talaja lehet a célul kit˝ uz¨ ott fázistér-kiterjesztésnek, hiszen a paraméterek t´ıpusának és sz´ am´ anak n¨ ovelésével eleve egy szélesebb tartom´ anyon mozogva der´ıthetj¨ uk fel a fázistér egyes szegmenseit. Másrészt pedig az is detektálhat´ ová válik, hogy a m´ asodszomszéd hoppingok modellszinten vett bevezetése befoly´ asolja-e a rendszer alapvet˝ o fizikai jellegét.

6.2. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggv´ eny kiindul´ o form´ aja A (81) Hamilton-oper´ atorban az egyszer˝ ubb matematiz´ alás kedvéért nem vettem figyelembe Peierls-faktorokat, ´ıgy a le´ır´ as nem vezet be k¨ uls˝ o m´ agneses teret. Ezért az alap´ allapoti megold´ asok csakis a (44) által el˝o´ırt Y † Vî,σi |0i (82) |ψg (N ≤ Nc )i0 = i

† form´ aban kereshet˝ok, ahol a Vî,σ oper´ atorokat a (43) szerkezet alapján a i † Vî,σ = yi+r2 cˆ†i+r2 ,σi + yi+r3 cˆ†i+r3 ,σi + yi+r5 cˆ†i+r5 ,σi + yi+r6 cˆ†i+r6 ,σi i

(83)

kifejezés értelmezi (l. 7. ´ abra). Hangs´ ulyozom, hogy a (83)-ban szerepl˝o, egyel˝ ore ismeretlen yi+rj , j = 2, 3, 5, 6, koefficiensek sz´ amértéke nem feltétlen¨ ul egyezik meg (43) egy¨ utthat´ oival, teh´ at (83) pusztán az alkalmazandó oper´ atorok strukt´ ur´ aját r¨ ogz´ıti. Így (83) csak az yi+rj faktoroknak a (81) paraméterei ´ altal meghat´ arozott fázistérben történ˝ o levezetése ut´ an vethet˝ o össze (43)-mal. Ahhoz azonban, hogy össze lehessen hasonl´ıtani az 5.2. alfejezet eredményeit a kiterjesztett fázistérben ad´ od´ o eredményekkel, ez eset-

58

6. fejezet

ben is egzakt m´ odon kell meghat´ arozni a rendszer alap´ allapotát. A 4.2. alfejezet ir´ anyvonal´ at követve, a proced´ ura els˝ o lépéseként természetesen a (81) Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit transzformációját kell végrehajtani, amit a következ˝ o alfejezetben részletezek.

6.3. A Hamilton-oper´ ator transzform´ aci´ oja A (81) Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit formára történ˝ o átalak´ıtás´ at (13) értelmében a ˆ = H

7 X Nc XX

Û + KN ˆ Aˆ†i,q,σ Aî,q,σ + H

(84)

σ q=1 i=1

formul´ aval ind´ıtottam el, ahol a lánc minden cellájában a (28) szerinti Aî,1,σ = a1 cî,σ + a4 cî+r4 ,σ + a5 cî+r5 ,σ + a6 cî+r6 ,σ , Aî,2,σ = b1 cî,σ + b2 cî+r2 ,σ + b3 cî+r3 ,σ + b4 cî+r4 ,σ , Aî,3,σ = d1 cî,σ + d3 cî+r ,σ + d5 cî+r ,σ , 3

5

Aî,4,σ = e2 cî+r2 ,σ + e4 cî+r4 ,σ + e6 cî+r6 ,σ , Aî,5,σ = f1 cî,σ + f2 cî+r2 ,σ + f6 cî+r6 ,σ , Aî,6,σ = g3 cî+r ,σ + g4 cî+r ,σ + g5 cî+r ,σ , 3

4

Aî,7,σ = h1 cî+a,σ + h4 cî+r4 ,σ

5

(85)

blokkoper´ ator-t´ıpusokat értelmeztem az 5. ábr´ an szemléltetett strukt´ ur´ aknak megfelel˝oen. (84) és (81) tagonkénti azonosságáb´ ol ez´ uttal a (14)-et megtestes´ıt˝o ta = a∗1 a6 + f1∗ f6 , ta = b∗2 b1 + f2∗ f1 , tb = a∗5 a4 + g5∗ g4 , tb = b∗4 b3 + g4∗ g3 , t1 = a∗6 a5 , t1 = b∗3 b2 , tc = h∗1 h4 , 0 = a∗4 a1 + b∗4 b1 , t′1 = d∗5 d3 + g5∗ g3 , t′2 = f2∗ f6 + e∗2 e6 , t′′1 = a∗1 a5 + d∗1 d5 , t′′1 = a∗6 a4 + e∗6 e4 , t′′2 = b∗3 b1 + d∗3 d1 ,

6. fejezet

59 t′′2 = b∗4 b2 + e∗4 e2 , ǫ˜1 = ǫ1 − K = |a1 |2 + |b1 |2 + |d1 |2 + |f1 |2 + |h1 |2 , ǫ˜1 = ǫ1 − K = |a4 |2 + |b4 |2 + |e4 |2 + |g4 |2 + |h4 |2 , ǫ˜2 = ǫ2 − K = |a5 |2 + |d5 |2 + |g5 |2 , ǫ˜2 = ǫ2 − K = |a6 |2 + |e6 |2 + |f6 |2 , ǫ˜′2 = ǫ′2 − K = |b2 |2 + |e2 |2 + |f2 |2 ,

ǫ˜′2 = ǫ′2 − K = |b3 |2 + |d3 |2 + |g3 |2

(86)

egyenletrendszer sz´ armaztatható, melyben az {a, b, d, e, f, g, h; K} ismeretlen paraméterek halmaza ¨ osszekapcsol´ odik a Hamilton-oper´ ator ǫ1 , ǫ2 , ǫ′2 , ta , tb , ′ ′ ′′ ′′ t1 , tc , t1 , t2 , t1 , t2 tényez˝ oivel. (86) megold´ asa sor´ an két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o utat jártam végig. Els˝oként a fázistér azon tartom´ anyára szor´ıtkoztam, melyet az ǫ2 = ǫ′2 , ta = tb = t, t′1 = t′2 = t′ , t′′1 = t′′2 = t′′ egyenl˝ oségek jelölnek ki. Ezt az esetet a ”szimmetrizált” jelz˝ovel illettem, mivel az egyes paraméterp´ arok köz¨ otti egyenl˝ oségeket a hatsz¨ og geometri´ aja által meghat´ arozott szimmetri´ ak alapján ´ırtam fel (l. 11. ábra). Ezt követ˝oen azt az esetet is megvizsgáltam, amikor az ǫ2 , ǫ′2 , ta , tb , t′1 , t′2 , t′′1 , t′′2 paraméterek között nem állnak fenn a fentebbi egyenl˝ oségek, azaz ”nemszimmetriz´ alt” kör¨ ulmények figyelembevételével is megkerestem (86) megold´ asait. Aztán pedig (86) szimmetrizált és nemszimmetriz´ alt megold´ asainak birtokában, (83) és (85) felhaszn´ alás´ aval, a (21.a) értelmében fel´ırt † {Aî,q,σ , Vî,σ }=0 i

(87)

antikommut´ aci´ os rel´ aci´ ok alapján mindkét esetben kiszám´ıtottam a (83) induló oper´ ator yi+rj egy¨ utthat´ oit. (87) egyenleteinek természetesen az összes lehetséges i, q, σ és σi indexek esetében teljes¨ ulnie kell. (83) és (85) helyettes´ıtésével (87) a l´ anc b´ armely i cellájában a 0 = a5 yi+r5 + a6 yi+r6 , 0 = b2 yi+r2 + b3 yi+r3 , 0 = d3 yi+r3 + d5 yi+r5 , 0 = e2 yi+r2 + e6 yi+r6 , 0 = f2 yi+r2 + f6 yi+r6 , 0 = g3 yi+r3 + g5 yi+r5

(88)

egyenletrendszer form´ ajában áll el˝o, ami (22)-t reprezentálja. (88) a szimmetriz´ alt és nemszimmetriz´ alt esetekben egyar´ ant érvényes, hiszen az Aî,q,σ , † ˆ illetve a Vi,σi oper´ atorok strukt´ ur´ aja mindkét esetben (85), illetve (83) által adott. Figyelj¨ uk meg, hogy – noha (88) egyenletei a q = 1, 2, ..., 7 esetekb˝ol sz´ armaznak – (88) csupán hat egyenletet tartalmaz. Ennek egyszer˝ uen az az

60

6. fejezet

† oka, hogy q = 7 esetén az Aî,7,σ és a Vî,σ oper´ atorok nem érintkeznek közös i † csom´ opontokon, ´ıgy {Aî,7,σ , Vˆ } = 0 b´ armely i, σ és σi indexek esetén i,σi

automatikusan teljes¨ ul, teh´ at a hetedik egyenlet 0 = 0 t´ıpus´ u azonosságot ad. A (86) és a (88) egyenletrendszerek szimmetrizált és nemszimmetriz´ alt fázistértartományokon képzett megold´ asait a következ˝o két alfejezet taglalja. 6.3.1. A szimmetriz´ alt eset megold´ asa

A (86) egyenletrendszer szimmetrizált megold´ asa nyom´ an a (85) blokkoper´ atorokat az h t i p 1 c ˆ + c ˆ , Aî,1,σ = ǫ˜2 − t′ i+r ,σ i+r ,σ 5 6 ǫ˜2 − t′ h i p t1 Aî,2,σ = ǫ˜2 − t′ cî+r2 ,σ + cî+r3 ,σ , ǫ˜2 − t′ i t′′ h α2 c ˆ + c ˆ + c ˆ , Aî,3,σ = i,σ i+r ,σ i+r ,σ 3 5 α t′′ s i t2 h t′′ Aî,4,σ = t′ − 2 cî+r2 ,σ + c ˆ + c ˆ , i+r ,σ i+r ,σ 2 4 6 β t′ − βt 2 i t h β2 cî,σ + cî+r2 ,σ + cî+r6 ,σ , Aî,5,σ = β t r i (t′′ )2 h t c ˆ + c ˆ , Aî,6,σ = t′ − 2 cî+r3 ,σ + i+r ,σ i+r ,σ ′′ 2 4 5 α t′ − (tα2) h i p tc Aî,7,σ = ǫ˜1 − α2 − β 2 cî+a,σ + c ˆ (89) i+r ,σ 4 ǫ˜1 − α2 − β 2 kifejezések szerint kaptam meg, melyekben az α, β 6= 0 mennyiségek szabad paraméterként kezelhet˝ ok. Ezenk´ıv¨ ul (86) megold´ as´ ab´ ol ad´ od´ oan " t2 α2 1 (t′′ )2 β 2 + + α2 + β 2 K = ǫ1 − 2 t′ β 2 − t2 t′ α2 − (t′′ )2 s # 2 (t′′ )2 β 2 t2 α2 (90) + − α2 − β 2 + 4t2c , + t′ β 2 − t2 t′ α2 − (t′′ )2 a kapcsol´ od´ o extra feltételeket pedig a t1 = ǫ2 − K − t′ ,

t1 > 0,

ǫ1 − K − α2 − β 2 > 0,

t′ −

(t′′ )2 > 0, α2

t′ −

t2 >0 β2

(91)

rel´ aci´ ok hat´ arozz´ ak meg. Ez esetben teh´ at (15) f¨ uggvénykapcsolatait a (91) összef¨ uggések alak´ıtják ki.

6. fejezet

61

A (89) blokkoper´ atorok egy¨ utthat´ oit (88) egyenleteibe be´ırva, a t1 yi+r5 + yi+r6 , ǫ˜2 − t′ t1 0 = yi+r2 + yi+r3 , ǫ˜2 − t′ 0 = yi+r3 + yi+r5 , 0=

0 = yi+r2 + yi+r6 , 0 = yi+r2 + yi+r6 , 0 = yi+r3 + yi+r5

(92)

kapcsolatrendszer alakul ki, melynek megold´ asa lehet az yi+r2 = 1,

yi+r3 = −

ǫ˜2 − t′ , t1

yi+r5 =

ǫ˜2 − t′ , t1

yi+r6 = −1

(93)

értékhalmaz. Vegy¨ uk észre azonban, hogy (91) t1 = ǫ˜2 − t′ egyenl˝ osége folyt´ an a (93)-ban megadott yi+r3 és yi+r5 koefficiensek valójában az yi+r3 = † −1, illetve az yi+r5 = 1 értékeket veszik fel. Ebb˝ol következ˝oen a (83) Vî,σ i oper´ atorokra vonatkoz´ o megold´ as † Vî,σ = cˆ†i+r2 ,σi − cˆ†i+r3 ,σi + cˆ†i+r5 ,σi − cˆ†i+r6 ,σi i

(94)

¨ form´ ajában ´ all el˝ o. Osszehasonl´ ıtva a (94)-ben, illetve a (43)-ban foglalt eredményeket, r¨ ogt¨ on meg´ allap´ıthat´ o, hogy hab´ ar a két megold´ as, szerkezet¨ uket tekintve, kvalitat´ıve egyazon oszt´ alyba tartozik, (94) és (43) azonban line´ arisan f¨ uggetlen egymást´ ol, ´ıgy kvantitat´ıve k¨ ul¨ onb¨ oz˝o a két megold´ as. (94) birtok´ aban a rendszer (82) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét |ψg (N ≤ Nc )i0 =

Y i

cˆ†i+r2 ,σi − cˆ†i+r3 ,σi + cˆ†i+r5 ,σi − cˆ†i+r6 ,σi |0i

(95)

hat´ arozza meg, amelyhez (90) figyelembevételével, (16) alapján az " 1 (t′′ )2 β 2 t2 α2 Eg (N ; ǫ1 , t, tc , t , t ) = ǫ1 − + ′ 2 + α2 + β 2 ′ 2 2 2 tβ −t t α − (t′′ )2 s #) 2 (t′′ )2 β 2 t2 α2 (96) + − α2 − β 2 + 4t2c N, + t′ β 2 − t2 t′ α2 − (t′′ )2 ′

′′

(

alap´ allapoti energia rendelhet˝o hozz´ a. Jegyezz¨ uk meg, hogy a (95-96) alapállapot a (91) rel´ aci´ ok ´ altal kiszabott, szimmetrizált fázistértartományon lehet érvényben.

62

6. fejezet

6.3.2. A nemszimmetriz´ alt eset megold´ asa A (86) egyenletrendszer nemszimmetriz´ alt megold´ asa a (85) blokkoper´ atorok tekintetében az r h i t1 ˆ cî+r5 ,σ + γˆ ci+r6 ,σ , Ai,1,σ = γ r h i t1 Aî,2,σ = γˆ ci+r2 ,σ + cî+r3 ,σ , γ q h t′′ i Aî,3,σ = t′1 − λ2 ′ 1 2 cî,σ + cî+r3 ,σ + cî+r5 ,σ , t1 − λ q h i t′′ Aî,4,σ = t′2 − µ2 cî+r2 ,σ + ′ 2 2 cî+r4 ,σ + cî+r6 ,σ , t2 − µ i ht a Aî,5,σ = µ 2 cî,σ + cî+r2 ,σ + cî+r6 ,σ , µ h i tb Aî,6,σ = λ cî+r3 ,σ + 2 cî+r4 ,σ + cî+r5 ,σ , λ s i t2 (t′′ )2 h tc c ˆ Aî,7,σ = ǫ˜1 − a2 − ′ 1 2 cî+a,σ + i+r4 ,σ (97) 2 2 (t′′ 1) µ t1 − λ ǫ˜1 − µta2 − t′ −λ 2 1

eredményekre vezetett, ahol γ, λ, µ értéke tetsz˝ olegesen megválaszthat´ o, és (86) megold´ asa alapján " t2b 1 t2a (t′′1 )2 (t′′2 )2 K = ǫ1 − + + + 2 µ2 λ2 t′1 − λ2 t′2 − µ2 s # t2 (t′′2 )2 t2a (t′′1 )2 2 b 2 + (98) + − − + 4tc . λ2 t′2 − µ2 µ2 t′1 − λ2 Emellett az ǫ2 − K = γt1 + t′2 , t′1 − λ2 > 0,

ǫ′2 − K =

t′2 − µ2 > 0,

t1 + t′1 , γ

ǫ1 − K −

γ > 0,

t1 , t′1 , t′2 > 0,

(t′′1 )2 t2a − >0 µ2 t′1 − λ2

(99)

feltételeknek kell teljes¨ ulni¨ uk, amelyek (15) rel´ acióit aktualizálják. A (97) blokkoper´ atorok koefficienseinek a (88) egyenletrendszerbe történ˝ o helyettes´ıtése a 0 = yi+r5 + γyi+r6 , 0 = γyi+r2 + yi+r3 , 0 = yi+r3 + yi+r5 , 0 = yi+r2 + yi+r6 , 0 = yi+r2 + yi+r6 ,

6. fejezet

63 0 = yi+r3 + yi+r5

(100)

egyenl˝ oségekre vezet, melyeknek egy lehetséges megold´ as´ at az yi+r2 = 1,

yi+r3 = −γ,

yi+r5 = γ,

yi+r6 = −1

(101)

† értékek adják meg. A (101) eredmények felhaszn´ alásával a (83) Vî,σ oper´ ai torok a † Vî,σ = cˆ†i+r2 ,σi − γˆ c†i+r3 ,σi + γˆ c†i+r5 ,σi − cˆ†i+r6 ,σi i

(102)

alakot ¨ oltik, és megfigyelhet˝ o, hogy (102) speciálisan a γ = 1 pontban reproduk´ alja (94)-et. Egyébként pedig γ 6= 1 esetén (102) és (94) line´ arisan f¨ uggetlenek, ´ıgy azonos szerkezet˝ u, de kvantitat´ıve k¨ ul¨ onb¨ oz˝o megold´ asokat ´ırnak le. (102) felhaszn´ al´ as´ aval a (82) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény ez´ uttal Y † |ψg (N ≤ Nc )i0 = cî+r2 ,σi − γˆ c†i+r3 ,σi + γˆ c†i+r5 ,σi − cˆ†i+r6 ,σi |0i (103) i

szerint alakul ki, melyhez a kapcsol´ od´ o alap´ allapoti energi´ at (98) révén, (16) értelmében az " ( t2b t2a (t′′1 )2 (t′′2 )2 1 + + + Eg (N ; ǫ1 , ta , tb , tc , t′1 , t′2 , t′′1 , t′′2 ) = ǫ1 − 2 µ2 λ2 t′1 − λ2 t′2 − µ2 s #) t2 (t′′2 )2 t2a (t′′1 )2 2 b + − − (104) + + 4t2c N λ2 t′2 − µ2 µ2 t′1 − λ2 kifejezés definiálja. Ez esetben a (103-104) alap´ allapot a (99)-ben megadott feltételek ´ altal kijel¨ olt, nemszimmetriz´ alt fázistértartományon érhet˝ o el. 6.3.3. N´ eh´ any gondolat az 5.2. ´ es 6.3.1-2. alfejezetek eredm´ enyeir˝ ol Az ´ atl´ athat´ os´ ag kedvéért ezen a ponton érdemesnek tartom összegezni és fizikai szempontb´ ol értelmezni az 5.2. és 6.3.1-2. alfejezetekben bemutatott eredményeimet. L´ attuk, hogy a (48), a (91), illetve a (99) rel´ aciók által megform´ alt fázistértartományokon létez˝o (43-44), (95), illetve (103) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvények matematikai részleteiket (koefficienseiket) tekintve k¨ ul¨ onb¨ oz˝ oek (kivétel ez al´ ol a γ = 1 pont, ahol (95) és (103) azonos), szerkezeti felép´ıtés¨ uk azonban megegyezik, hiszen mindhárom megold´ as ugyanazon négy alr´ acs i + r2 , i + r3 , i + r5 , i + r6 csom´ opontjain jelentet meg járulékokat. Ez a rendszer fizikai aspektusaira levet´ıtve azt eredményezi, hogy a (4344), a (95), illetve a (103) formul´ ak olyan lokalizált elektronállapotok által létrehozott paramágneses alap´ allapotokat valós´ıtanak meg, melyek mindegyike az N ≤ Nc ´ altal definiált kis koncentr´ aciós tartom´ anyon érvényes, de

64

6. fejezet

a paramétertér m´ as és m´ as tartom´ anyán bukkannak fel. Ahogyan a 4.2.1. alfejezet negyedik bekezdésében is eml´ıtettem, nemintegr´ alhat´ o rendszerek esetében tipikusnak sz´ am´ıtanak az olyan glob´ alis alap´ allapoti megold´ asok, melyek a fázistér lokális szelvényein léteznek. A kor´ abbi alfejezetekben kapott eredmények ennek az áll´ıtásnak szemléletes megtestes¨ ulései, amikor is a (43-44), (95), (103) ´ altal globaliz´ alt alap´ allapot a (48), (91), (99) által lokaliz´ alt doméneken fordul el˝o. Szeretnék arra is r´ amutatni, hogy a m´ asodszomszéd hoppingok bevezetésével, a végeredmények tan´ us´ aga szerint, nem változott meg a rendszer alapvet˝ o fizikai karaktere, hiszen a (43-44) (ahol a levezetés kiindul´ opontja az els˝ oszomszéd hoppingokat tartalmaz´ o (25) Hamilton-oper´ ator volt) és a (95,103) alap´ allapotok (ahol a levezetés kiindul´ opontjaként szolg´ aló (81) Hamilton-oper´ ator m´ asodszomszéd ugr´ asokat is figyelembe vett) ugyanolyan tulajdons´ agokkal rendelkeznek. Ebb˝ol kiindulva arra a következtetésre jutottam, hogy az alap´ allapot fizikai jellemz˝oinek feltár´ asa szempontjáb´ ol modellszinten ténylegesen elegend˝ o az els˝ oszomszéd hoppingokat bevonni a le´ır´ asba. Ha azonban szélesebb r´ alátást szeretnénk a fázistérre, akkor péld´ aul a m´ asodszomszéd hoppingok bevezetésével kiterjesztett paraméterkészlet alkalmaz´ asa, a matematikai man˝ overek sor´ an felmer¨ ul˝ o m´ odszertani fejlesztések mellett, hatékony eszköze lehet a fizikai kép finom´ıtás´ anak is. A megjegyzéseim z´ ar´ asaként érdemes még néh´ any gondolatot kiemelni. A Hamilton-oper´ ator pozit´ıv szemidefinit átalak´ıtás´ at illet˝oen, a sz´ am´ıtások technikai lebonyol´ıt´ as´ anak szempontjáb´ ol k¨ ul¨ onbséget kell tenn¨ unk az 5. és 6. fejezet matematikai stratégiái között. Idézz¨ uk fel az 5. fejezet (27-28), illetve (49-50) transzformáci´ os formul´ ait. A két eset a (25) induló Hamiltonoper´ ator két k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o transzformációját valós´ıtja meg, ami megfelel annak, hogy (7) értelmében t¨ obbféle transzformációs u ´t is k´ın´ alkozhat. Így a két esetben (8-9) nyom´ an két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o egyenletrendszer alakult ki, melyek (29) és (51) alakj´ aban realiz´ alódtak. Az 5. fejezetben teh´ at két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o egyenletrendszert kellett kezelnem és megoldanom a B = 0, illetve B 6= 0 szitu´ aci´ onak megfelel˝oen. Ezzel szemben a 6. fejezet (81) induló Hamiltonoper´ ator´ at csak egyféleképpen alak´ıtottam át (84-85) szerint, ´ıgy (8-9)-b˝ ol egyetlen egyenletrendszer sz´ armazott, melyet (86) hozott létre. Ebben az esetben teh´ at ugyanazon egyetlenrendszer két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o megold´ asa adta a szimmetrizált és nemszimmetriz´ alt paraméterek esetén kiszám´ıtott eredményeket, ¨ osszhangban a 4.2.1. alfejezet ötödik bekezdésében megeml´ıtett észrevétellel. Mindezek fényében érzékelhet˝ o, hogy a PSZO m´ odszer meglehet˝ osen t´ ag matematikai mozg´ asteret biztos´ıt, ami változatoss´ a teheti a le´ır´ ast, hiszen – éppen a matematikai szabadságb´ ol ad´ od´ oan – több olyan megold´ as is kihozhat´ o, melyek fizikailag is helyes és elfogadható eredményre vezetnek.

6. fejezet

65

6.4. A f´ azisdiagram szeml´ eltet´ ese ´ es elemz´ ese A 6.3. alfejezet eredményeinek birtokában tanulm´ anyoztam a rendszer fázisdiagramj´ at, és ennek sor´ an azt vizsgáltam, hogy (91), illetve (99) kapcsolatai milyen mértékben terjesztik ki a (48) által meghat´ arozott fázistérbeli domént. Mivel a (81) Hamilton-oper´ ator összesen 12 változtathat´ o érték˝ u ′′ ′′ ′ ′ ′ paramétert tartalmaz (ǫ1 , ǫ2 , ǫ2 , ta , tb , t1 , tc , t1 , t2 , t1 , t2 , U ), a teljes fázisteret ezen 12 mennyiség egy¨ uttese fesz´ıti ki, azaz jelen esetben a teljes paramétertér egy 12 dimenziós sokas´ ag. Ezt h´ arom dimenzi´ oban nyilv´ an nem lehet teljes egészében szemléltetni, ezért célszer˝ u a 12 paraméterb˝ ol h´ armat kiv´ alasztani, és az ´ altaluk definiált szegmenst analiz´ alni. Mivel (48) m´ asodik, illetve (91) és (99) els˝ o rel´ aciója az ǫ˜2 , t1 , t′ paraméterh´ armast tartalmazza az 1. 2. 3.

ǫ˜2 = −t1 ,

t1 < 0, ′

ǫ˜2 = t1 + t ,

t1 > 0, ′

ǫ˜2 = γt1 + t ,

t1 > 0,

(105)

kollekci´ o szerint, ´ıgy – hogy a h´ arom tartom´ any érdemben összehasonl´ıthat´ o ′ legyen – kézenfekv˝ o az ǫ˜2 , t1 , t tengelyek által kifesz´ıtett régiót tanulm´ anyozni. (105.1), (105.2), illetve (105.3) rendre (48), (91), illetve (99) eml´ıtett athat´ o, rel´ aci´ oinak u ´jb´ oli felsorakoztatása, ahol a (105.3)-beli t′ t′2 -t jelöli. L´ hogy t1 el˝ ojele szerint (105) egyenl˝ oségei két csoportra oszthat´ ok, hiszen (105.1) a t1 < 0, m´ıg (105.2-3) a t1 > 0 tartom´ anyon érvényes. Ez azt mutatja, hogy (105.1) és (105.2-3) között nem lehet átfedés a fázistérben, ennélfogva az ǫ˜2 , t1 , t′ koordináta-rendszer t1 tengelye mentén haladva két diszjunkt domén k¨ ul¨ on´ıthet˝ o el. Els˝oként koncentr´ aljunk (105.2-3) egyenl˝ oségeire. (105.2) és (105.3) a γ = 1 pontban ugyanazt a kifejezést produkálja, viszont γ 6= 1 esetén k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o z´ on´ akat hat´ aroznak meg. Ezért a γ = 1 pontot v´ızválaszt´ onak tekintve, azt vizsgáltam meg, hogy a γ paraméter változtatás´ aval (105.3) milyen tartom´ anyokat s¨ op¨ or végig a 0 < γ < 1, illetve a γ > 1 intervallumban. Az eredményeimet a 12. ábra demonstrálja, ahol az a.), b.), c.) rajzok rendre a γ = 1, γ > 1, illetve a γ < 1 esetekben kialakul´ o s´ıkokat reprezent´ alják. A s´ıkokat mindhárom ábr´ an az A, B, C bet˝ ukkel jelölt line´ aris szakaszok fesz´ıtik ki, melyek az ǫ˜2 = 0 (A), t′ = 0 (B), illetve a t1 = 0 (C) egyenl˝ oségek által definiált koordinátas´ıkokban helyezkednek el, és meredekség¨ uk (105) formul´ ajáb´ ol olvashat´ o le. Mivel C meredeksége t1 = 0 nyom´ an f¨ uggetlen a γ paraméter értékét˝ol, C a 12.a-c rajzok mindegyikén egy egységnyi meredekség˝ u egyenesként r¨ ogz¨ ul. Ezzel szemben az A és B egyenesek γ változtatás´ aval saját s´ıkjukban mozognak, hiszen meredekség¨ uk γ-val változik. Ennek értelmében megfigyelhet˝ o, hogy ′ γ n¨ ovekedésél A a t , m´ıg B az ǫ˜2 tengelyhez közeledik (l. 12.a és 12.b ábra),

66

6. fejezet

γ cs¨ okkenése viszont A-t és B-t egyar´ ant a t1 tengely ir´ anyába mozd´ıtja el (l. 12.a és 12.c ´ abra). K¨ ovetkezésképpen az A és B szakaszok által kifesz´ıtett bevonalkázott s´ık a 12.d ´ abr´ an vázolt bevonalkázott kocka D1 térfogati tartom´ anyát s¨ op¨ orheti végig, a B és C egyenesek által kijel¨ olt sz¨ urke s´ık pedig a 12.d ´ abra sz¨ urke D2 félkockájában mozoghat. Ez teh´ at azt jelenti, hogy a (105.2-3) rel´ aci´ ok a 12.d ´ abra bevonalkázott kockája és sz¨ urke félkockája ′ által egy¨ uttesen alkotott D = D1 + D2 domént rajzolj´ ak ki a fázistérben, ´ıgy a szimmetrizált esetben kapott (95-96) alap´ allapot, illetve a nemszimmetriz´ alt esetben meghat´ arozott (103-104) alap´ allapot szint´ ugy ezen D ′ tartom´ anyon jelenhet meg.

a.)

ε2

b.)

111111111 000000000 C B 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 t’ 000000000 111111111 A 000000000 111111111 000000000 γ = 1 111111111 t1

c.)

ε2 C

1111111 0000000 0B 1 0000000 1111111 0 1 0000000 1111111 t’ 0 1 0000000 1111111 0 0000000 1111111 A 1 γ<1 0 1 0000000 1111111 t1

ε2

11111111 00000000 00000000 11111111 B 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 A 00000000 11111111 t1

C

t’

γ>1

ε2 D d.) 0000000 1111111 000 111 000 111 0000000 1111111 0000000 1111111 000 111 D1 111 D2 0000000 1111111 000 0000000 1111111 0000000 1111111 t’ 0000000 1111111 0000000 D’ = D + D 1111111 1

2

t1

12. ´ abra : A f´ azist´ er line´ aris D, illetve kiterjesztett, t´ erfogati D′ dom´ enjei, melyeken a levezetett lok´ alis ´ es param´ agneses alap´ allapot l´ etezhet. Az ´ abra a.), b.) ´ es c.) rajzain D′ kialakul´ asa k¨ ovethet˝ o nyomon.

(105.2-3) ut´ an térj¨ unk r´ a a (105.1)-ben megadott kapcsolatra, melynek ábr´ azol´ asa rendk´ıv¨ ul egyszer˝ u, hiszen az ǫ˜2 − t1 koordinátas´ıkban egy egységnyi meredekség˝ u egyenest definiál. Ezen D bet˝ uvel jelölt egyenest a 12.d ábr´ an t¨ untettem fel, ´ıgy világosan látszik D és D ′ viszonya. Emlékeztetek, hogy D azt a tartom´ anyt jelen´ıti meg a fázistérben, ahol a (43-44,47) alapállapot helytáll´ o lehet. A 12. ´ abra eredményei alapján meg´ allap´ıtottam, hogy ugyanazon fizikai tulajdons´ agokkal rendelkez˝ o – a (43-44), (95), illetve (103) által megvalós´ıtott – lokaliz´ alt és paramágneses alap´ allapot nemcsak egy sz˝ uk D vonal ′ mentén, hanem egy kiterjedtebb D térfogati tartom´ anyon is érvényes lehet.

6. fejezet

67

6.5. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete A fázistér kiterjesztését követ˝oen a (81) Hamilton-oper´ ator által definiált, kib˝ov´ıtett paraméterkészlet esetében is kiszám´ıtottam a rendszer nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét, melynek ismerete jelen esetben két szempontb´ ol is fontos lehet. Egyrészt a nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet feltár´ as´ aval hozzájuthatunk olyan inform´ aciókhoz, amik árnyalhatják vagy finom´ıthatják az alap´ allapotr´ ol kialakult fizikai képet (l. 5.4. alfejezet). Másrészt pedig az al´ abbiakban bemutatandó eredmények alapján felmérhet˝ o, hogy a paraméterek halmaz´ anak (81) szerinti kib˝ov´ıtése mennyiben befoly´ asolja, illetve m´ odos´ıtja-e az 5.4. alfejezetben kialakult s´ avszerkezet jellemz˝oit. A sz´ am´ıt´ asok elvégzéséhez els˝ oként az r-térben megadott (81) Hamiltonoper´ ator

ˆ0 H

=

Nc XX σ

+ + +

ǫ′2

i=1

ǫ1 n ˆ i,σ + n ˆ i+r4 ,σ + ǫ2 n ˆ i+r2 ,σ + n ˆ i+r6 ,σ

n ˆ i+r3 ,σ + n ˆ i+r5 ,σ

+

Nc XX

ta cˆ†i,σ cî+r6 ,σ + cˆ†i+r2 ,σ cî,σ

σ i=1 † † tb cî+r4 ,σ cî+r3 ,σ + cî+r5 ,σ cî+r4 ,σ + t1 t′1 cˆ†i+r5 ,σ cî+r3 ,σ + t′2 cˆ†i+r2 ,σ cî+r6 ,σ + t′′1

+ t′′2

cˆ†i+r3 ,σ cî+r2 ,σ + cˆ†i+r6 ,σ cî+r5 ,σ cˆ†i,σ cî+r5 ,σ + cˆ†i+r3 ,σ cî,σ cˆ†i+r4 ,σ cî+r2 ,σ + cˆ†i+r6 ,σ cî+r4 ,σ + tc cˆ†i+a,σ cî+r4 ,σ + H.c. (106)

kinetikus részének k-térbe t¨ ortén˝ o transzformációját kell megvalós´ıtani, ami az elemi fermionikus elt¨ untet˝o és kelt˝o oper´ atorok cî+rj +R,σ = cˆ†i+rj +R,σ =

Nc 1 X √ cˆj,k,σ e−ik(i+rj +R) , Nc k=1 Nc 1 X √ cˆ† eik(i+rj +R) Nc k=1 j,k,σ

(107)

alak´ u Fourier-transzform´ alt formul´ ainak alkalmaz´ as´ aval vihet˝o végig. A † (107)-beli cˆj,k,σ és cˆj,k,σ a (k, σ) értékpárral jellemzett kvantum´ allapot elt¨ untet˝ o és kelt˝ o oper´ ator´ at reprezentálja a lánc j, j = 1, 2, ..., 6, alr´ acs´ aban, az R változ´ o pedig a 0 vagy az a értéket veszi fel. A (107) által adott ˆ0 Fourier-transzform´ alt kifejezéseket (106) tagjaiba helyettes´ıtve, H ˆ0 H

=

XX σ

+

k

XX σ

k

ˆ 3,k,σ + n ˆ 5,k,σ ˆ 2,k,σ + n ˆ 6,k,σ + ǫ′2 n ˆ 1,k,σ + n ˆ 4,k,σ + ǫ2 n ǫ1 n ta e−ikr6 cˆ†1,k,σ cˆ6,k,σ + eikr2 cˆ†2,k,σ cˆ1,k,σ

68

6. fejezet + tb eik(r4 −r3 ) cˆ†4,k,σ cˆ3,k,σ + eik(r5 −r4 ) cˆ†5,k,σ cˆ4,k,σ + tc eik(a−r4 ) cˆ†1,k,σ cˆ4,k,σ + t1 eik(r3 −r2 ) cˆ†3,k,σ cˆ2,k,σ + eik(r6 −r5 ) cˆ†6,k,σ cˆ5,k,σ + t′1 cˆ†5,k,σ cˆ3,k,σ + t′2 cˆ†2,k,σ cˆ6,k,σ + t′′1 e−ikr5 cˆ†1,k,σ cˆ5,k,σ + eikr3 cˆ†3,k,σ cˆ1,k,σ (108) + t′′2 eik(r4 −r2 ) cˆ†4,k,σ cˆ2,k,σ + eik(r6 −r4 ) cˆ†6,k,σ cˆ4,k,σ + H.c.

szerint alakul ´ at, melyben a

3kb , 2 kb kr2 = kr6 = k(r4 − r3 ) = k(r4 − r5 ) = , 2 k(r3 − r2 ) = k(r5 − r6 ) = kb, kr3 = kr5 = k(r4 − r2 ) = k(r4 − r6 ) =

k(a − r4 ) = kb′

(109)

egyenl˝ oségek érvényesek. (109) eredményeinek sz´ am´ıtásakor figyelembe vettem, hogy k, melynek hossza k = |k|, a Bravais-vektor ir´ anyába mutat, és a ′ 3. ´ abra jelöléseinek értelmében |a| = 2b + b . A (108)-ban foglalt kinetikus járulék tagjait a ˆ0 = H

XX σ

˜ k Ck,σ C†k,σ M

(110)

k

kifejezés s˝ ur´ıti mag´ aba, melyben a

ˆ † = (ˆ C c†1,k,σ , cˆ†2,k,σ , ..., cˆ†6,k,σ ), k,σ



 ˆ k,σ =  C  

cˆ1,k,σ cˆ2,k,σ .. . cˆ6,k,σ

    

(111)

m´ atrixok a k-térben értelmezett kelt˝o és elt¨ untet˝o oper´ atorok sor-, illetve ˜ k m´ oszlopvektorait jelen´ıtik meg, az M atrixot pedig az 

    ˜ Mk =     

ǫ1 kb ta e−i 2 3kb t′′1 e−i 2 ′ tc eikb 3kb t′′1 e−i 2 kb ta e−i 2

kb

ta ei 2 ǫ2 t1 e−ikb 3kb t′′2 e−i 2 0 t′2

3kb

t′′1 ei 2 t1 eikb ǫ′2 kb tb e−i 2 t′1 0

′

tc e−ikb 3kb t′′2 ei 2 kb tb ei 2 ǫ1 kb tb ei 2 3kb t′′2 ei 2

3kb

t′′1 ei 2 0 t′1 kb tb e−i 2 ǫ′2 t1 eikb

kb

ta ei 2 t′2 0 −i 3kb ′′ t2 e 2 t1 e−ikb ǫ2



    (112)    

hermitikus t¨ omb ´ all´ıtja el˝ o. A nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet megrajzolás´ ahoz ˜ k m´ sz¨ ukség van a (112) M atrix ˜ k − Ek 1) ˜ =0 det(M

(113)

6. fejezet

69

szekul´ aris egyenletére, amely megadja a rendszer Ek (k) diszperzi´ orel´ acióját ˜ (1 a (6 × 6)-os egységm´ atrixot jelöli). A (113) sajátérték-egyenletet ez´ uttal a 6 X

m=0

Am Ekm +

3 X

Bm Ekm cos(ka) = 0

(114)

m=0

formula val´ os´ıtja meg, ahol az Am , m = 0, 1, ..., 6, illetve a Bm , m = 0, 1, ..., 3, koefficienseket a következ˝o kifejezések adják meg: A0

= 2ǫ1 ǫ2 ǫ′2 ǫ1 t21 + ǫ2 t2b + (t′′1 )2 + ǫ′2 t2a + (t′′2 )2 − 2t1 ta t′′1 + tb t′′2 + ǫ21 (ǫ′2 )2 (t′2 )2 + ǫ22 (ǫ′2 )2 t2c − ǫ21 ǫ22 (ǫ′2 )2 − (t′1 )2 − 2ǫ1 ǫ22 t′1 t2b + (t′′1 )2 2 2 − 2ǫ1 (ǫ′2 )2 t′2 t2a + (t′′2 )2 − ǫ21 t′1 t′2 − t21 − 2ǫ1 ǫ2 ta t′1 − t1 t′′1 2 2 2 − 2ǫ1 ǫ′2 ta t1 − t′2 t′′1 + tb t′2 − t1 t′′2 + tb t1 − t′1 t′′2 + 2ǫ1 t′1 t′2 − t21 t′1 t2a + (t′′2 )2 + t′2 t2b + (t′′1 )2 − 2t1 ta t′′1 + tb t′′2 2 + 4 ta tb − t′′1 t′′2 ǫ2 t′1 + ǫ′2 t′2 − ǫ2 ǫ′2 − t′1 t′2 + t21 2 − t2c 2ǫ2 ǫ′2 t21 + ǫ22 (t′1 )2 + (ǫ′2 )2 (t′2 )2 − t′1 t′2 − t21 ,

A1

= 2 −

− + + − + + A2

A3

ǫ1 ǫ2 + ǫ1 ǫ′2 + ǫ2 ǫ′2 ǫ1 ǫ2 ǫ′2 + 2t1 ta t′′1 + tb t′′2 − ǫ1 ǫ2 (t′1 )2 ǫ1 + ǫ2 ǫ1 ǫ′2 (t′2 )2 ǫ1 + ǫ′2 − ǫ2 ǫ′2 t2c ǫ2 + ǫ′2 − ǫ1 t21 ǫ1 ǫ2 + ǫ1 ǫ′2 + 2ǫ2 ǫ′2 ǫ2 t2b + (t′′1 )2 ǫ1 ǫ2 + 2ǫ1 ǫ′2 + ǫ2 ǫ′2 − ǫ′2 t2a + (t′′2 )2 2ǫ1 ǫ2 + ǫ1 ǫ′2 + ǫ2 ǫ′2 2 ǫ1 t′1 t′2 − t21 + ǫ2 t′1 t2b + (t′′1 )2 2ǫ1 + ǫ2 + ǫ′2 t′2 t2a + (t′′2 )2 2ǫ1 + ǫ′2 2 t2c t21 ǫ2 + ǫ′2 + ǫ2 (t′1 )2 + ǫ′2 (t′2 )2 + 2 ta tb − t′′1 t′′2 ǫ2 + ǫ′2 − t′1 − t′2 t′1 t′2 − t21 t′1 t2a + (t′′2 )2 + t′2 t2b + (t′′1 )2 − 2t1 ta t′′1 + tb t′′2 2 2 2 + ǫ1 + ǫ′2 ta t1 − t′2 t′′1 ǫ1 + ǫ2 ta t′1 − t1 t′′1 + tb t1 − t′1 t′′2 2 , tb t′2 − t1 t′′2

= −ǫ21 ǫ22 − ǫ21 (ǫ′2 )2 − ǫ22 (ǫ′2 )2 − 4 ǫ1 + ǫ2 + ǫ′2 ǫ1 ǫ2 ǫ′2 + t1 ta t′′1 + tb t′′2 2 + 2 t2a + (t′′2 )2 (ǫ′2 )2 + 2ǫ′2 ǫ1 + ǫ2 + ǫ1 ǫ2 − t′2 ǫ1 + 2ǫ′2 − t′1 t′2 − t21 2 + 2 t2b + (t′′1 )2 ǫ22 + 2ǫ2 ǫ1 + ǫ′2 + ǫ1 ǫ′2 − t′1 ǫ1 + 2ǫ2 − 4 ta tb − t′′1 t′′2 + (t′1 )2 ǫ21 + 4ǫ1 ǫ2 + ǫ22 + (t′2 )2 ǫ21 + 4ǫ1 ǫ′2 + (ǫ′2 )2 + t2c ǫ22 + 4ǫ2 ǫ′2 + (ǫ′2 )2 2 − 2t21 − (t′1 )2 − (t′2 )2 + 2t21 ǫ21 + 2ǫ1 ǫ2 + ǫ′2 + ǫ2 ǫ′2 − 2 ta t′1 − t1 t′′1 2 2 2 − tb t1 − t′1 t′′2 − ta t1 − t′2 t′′1 − tb t′2 − t1 t′′2 ,

ǫ1 + ǫ2 (ǫ′2 )2 − (t′1 )2 + ǫ1 + ǫ′2 ǫ22 − (t′2 )2 + ǫ2 + ǫ′2 ǫ21 − t2c + 4ǫ1 ǫ2 ǫ′2 − t2a + (t′′2 )2 ǫ1 + ǫ2 + 2ǫ′2 − t2b + (t′′1 )2 ǫ1 + 2ǫ2 + ǫ′2 − t21 2ǫ1 + ǫ2 + ǫ′2 + t′1 t2b + (t′′1 )2 + t′2 t2a + (t′′2 )2 + 2t1 ta t′′1 + tb t′′2 , = 2

70 A4

6. fejezet = +

− ǫ21 + ǫ22 + (ǫ′2 )2 + 4 ǫ1 ǫ2 + ǫ1 ǫ′2 + ǫ2 ǫ′2 + (t′1 )2 + (t′2 )2 + t2c 2 t2a + t2b + t21 + (t′′1 )2 + (t′′2 )2 ,

A5

=

2 ǫ1 + ǫ2 + ǫ′2 ,

A6

=

−1,

B0

=

4tc ta t′′2 ǫ′2 t21 + ǫ2 (t′1 )2 + tb t′′1 ǫ2 t21 + ǫ′2 (t′2 )2 − ǫ2 ǫ′2 ǫ2 tb t′′1 + ǫ′2 ta t′′2 t1 ta tb + t′′1 t′′2 ǫ2 ǫ′2 − ǫ2 t′1 − ǫ′2 t′2 + ǫ22 tb t′1 t′′1 + (ǫ′2 )2 ta t′2 t′′2 t′1 t′2 − t21 t1 ta tb + t′′1 t′′2 − ta t′1 t′′2 − tb t′2 t′′1 ,

+ + B1

= −

− B2

= −

B3

=

4tc ta t′′2 ǫ′2 2ǫ2 + ǫ′2 + tb t′′1 ǫ2 ǫ2 + 2ǫ′2 − 2 ǫ2 tb t′1 t′′1 + ǫ′2 ta t′2 t′′2 t1 ta tb + t′′1 t′′2 ǫ2 + ǫ′2 − t′1 − t′2 − ta t′′2 t21 + (t′1 )2 tb t′′1 t21 + (t′2 )2 ,

−4tc ta t′′2 ǫ2 + 2ǫ′2 + tb t′′1 2ǫ2 + ǫ′2 − t1 ta tb + t′′1 t′′2 − ta t′2 t′′2 tb t′1 t′′1 , 4tc ta t′′2 + tb t′′1 .

(115)

(114) Ek -ra nézve egy hatodfok´ u algebrai egyenlet, ´ıgy az ǫ1 , ǫ2 , ǫ′2 , ta , tb , t1 , tc , t′1 , t′2 , t′′1 , t′′2 paraméterhalmaz r¨ ogz´ıtett értékei mellett hat Ek,n , n = 1, 2, ..., 6, megold´ as jön létre. A ka f¨ uggvényében kialakul´ o Ek,n megold´ asokra vonatkoz´ oan a 13. ´ abra mutat be egy-egy péld´ at, ahol az a.) rajz a szimmetriz´ alt ǫ2 /ǫ1 = −2, t/ǫ1 = 0.9, t1 /ǫ1 = 1.152, tc /ǫ1 = 1, t′ /ǫ1 = 0.7, t′′ /ǫ1 = −0.7 paraméterértékek esetén kialakul´ o diszperzi´ orel´ aciókat demonstrálja, a b.) rajz pedig a nemszimmetriz´ alt ǫ1 /t1 = −1.3, ǫ2 /t1 = −4.314, ǫ′2 /t1 = −5.814, ta /t1 = tb /t1 = −2.5, tc /t1 = 1.1, t′1 /t1 = t′2 /t1 = 1.8, t′′1 /t1 = t′′2 /t1 = −0.6 paraméterkészlet által meghat´ arozott megold´ asokat szemlélteti. A 13. ábr´ an minden energia dimenziój´ u menynyiség az a.) esetben ǫ1 , a b.) esetben pedig t1 egységekben van mérve. Mivel Ek,n a (114)-ben szerepl˝o, cos(ka)-t tartalmaz´ o tag következtében a ka változ´ onak p´ aros f¨ uggvénye, a diszperzi´ orel´ aciókat elegend˝ o a ka ∈ [0, π] tartom´ anyon megrajzolni. Ahogyan a 13. ábra is péld´ azza, a kib˝ov´ıtett paraméterkészlet seg´ıtségével kiszámolt nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet a szimmetriz´ alt és a nemszimmetriz´ alt esetekben egyar´ ant strukturális hasonlós´ agot mutat a 10.a ´ abr´ an vázolt esettel, hiszen a hat s´ av k¨ oz¨ ul kett˝o mindig lapos. Ebb˝ol pedig az következik, hogy a 10.a, illetve a 13. ábr´ ak által illusztrált s´ avszerkezetek fizikailag ugyanazt a képet festik, mivel egymáshoz képest nem hordoznak t¨ obblet inform´ aciót. Így kijelenthet˝ o, hogy a paraméterhalmaz kiterjesztése nem m´ odos´ıtja a nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet

6. fejezet

71

alapvet˝ o makrokarakterisztikáját.

a.)

b.)

Ek ε1 4

Ek t1 8

3

6

2

4

1

2

0 −1

π/4

π/2

3π/4

π

0

ka

−2

−4

−3

−6

−4

−8

−5

−10

13. ´ abra

π/4

π/2

−2

3π/4

π

ka

: A rendszer nemkölcsönható sávszerkezete a Hamilton-operátor a.)

ǫ2 /ǫ1 = −2, t/ǫ1 = 0.9, t1 /ǫ1 = 1.152, tc /ǫ1 = 1, t′ /ǫ1 = 0.7, t′′ /ǫ1 = −0.7, illetve b.) ǫ1 /t1 = −1.3, ǫ2 /t1 = −4.314, ǫ′2 /t1 = −5.814, ta /t1 = tb /t1 = −2.5, tc /t1 = 1.1, t′1 /t1 = t′2 /t1 = 1.8, t′′1 /t1 = t′′2 /t1 = −0.6 ´ ert´ ekekre r¨ ogz´ıtett param´ eterei eset´ eben.

A 6. fejezet eredm´ enyeinek r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa A 6. fejezetben megn¨ oveltem a polifenilén t´ıpus´ u láncok fázisterének méretét. A kapott paramágneses és lokalizált alap´ allapot ugyanis a fázistérnek csak egy keskeny, line´ aris tartom´ anyán volt érvényes, ezért sz¨ ukségesnek tartottam megvizsg´ alni azt, hogy ez a tartom´ any kiterjeszthet˝o-e egy nagyobb doménre. Ennek érdekében kib˝ov´ıtettem a rendszer induló Hamiltonoper´ ator´ anak paraméterhalmazát, ami által a fentebb eml´ıtett line´ aris s´ avot siker¨ ult kiszéles´ıtenem egy speciális alak´ u térfogati zón´ ara. Ezzel igazoltam, hogy a paramágneses és lokalizált alap´ allapot valój´ aban a fázistérnek egy nagyobb méret˝ u tartom´ anyán él. Ez esetben is tanulm´ anyoztam a rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét, és meg´ allap´ıtottam, hogy az induló Hamilton-oper´ ator paraméterkészletének b˝ ov´ıtése nem m´ odos´ıtja a s´ avszerkezet lényegi strukt´ ur´ aját. A 6. fejezetben foglalt eredményeim alapját a [247] közlemény képezi.

72

7. fejezet

7. fejezet

K´ etdimenzi´ os n´ egyzetes r´ accsal rendelkez˝ o nanoszerkezetek alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa J´ ol ismert tény, hogy amennyiben egy nemmágneses fématomokb´ ol (pl. arany, pall´ adium) felép¨ ul˝ o minta méretét nanosk´ alán mérhet˝ o értékre cs¨ okkentj¨ uk, akkor a minta ferrom´ agneses viselkedés˝ uvé válhat [248-250]. Kutat´ asaim sor´ an arra kerestem a választ, hogy ez a nanotartományban tapasztalhat´ o effektus miként jöhet létre, és elméleti szinten, megfelel˝o matematikai apparátus felhaszn´ al´ as´ aval, megprób´ altam egy lehetséges magyar´ azatot adni a jelenség mibenlétére. Eredményeimet a következ˝okben foglalom össze.

7.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora A vizsgált rendszer felép´ıtését vázlatosan a 14. ábra mutatja be. A kétdimenziós r´ acs csom´ opontjaiban olyan fémes atomok helyezkednek el, amelyeken nincs ered˝ o m´ agneses momentum. 1

2

3

1 2

4

L−1

5

L

...

i+y y

3

i

x i+x

4 5

... L−1 L 14. ´ abra

: A vizsgált kétdimenziós négyzetes rács sematikus ábrája. Az i

csom´ opontot az x, y Bravais-vektorokkal periodikusan eltolva fel´ ep´ıthet˝ o egy (L × L) m´ eret˝ u rendszer.

7. fejezet

73

Az ´ abra értelmében az i csom´ oponthoz berajzolt x és y a r´ acs Bravaisvektorait jelöli a négyzetes strukt´ ura egymásra mer˝ oleges ir´ anyai mentén. Az x, y primit´ıv vektorok ´ altal kifesz´ıtett, négyzet alak´ u primit´ıv elemi cella x, y ir´ any´ u periodikus eltol´ as´ aval tetsz˝ oleges méret˝ u rendszer szerkeszthet˝ o (L × L) t´ıpus´ u kompoz´ıci´ oban, ´ıgy a rendszerben lév˝o r´ acscsomópontok sz´ am´ at egyszer˝ uen NΛ = L × L = L2 adja. L értéke tetsz˝ oleges lehet, és annak érdekében, hogy a rendszer peremei ne okozzanak bonyodalmakat a matematikai le´ır´ asban, praktikus x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfeltételeket alkalmazni. Ennek eredményeképpen a s´ıkban kiter´ıtett r´ acsb´ ol egy zárt fel¨ ulet jön létre a térben, ami lényegében egy metallikus szemcsét produkál. A rendszer Hamilton-oper´ ator´ at (4) strukt´ ur´ ajának megfelel˝oen a ˆ = H

NΛ XX σ

tx cˆ†i+x,σ cî,σ + ty cˆ†i+y,σ cî,σ + tx+y cˆ†i+x+y,σ cî,σ

i=1

NΛ X + tx−y cˆ†i+x−y,σ cî,σ + H.c. + U n ˆ i,σ n ˆ i,−σ

(116)

i=1

kifejezés adja meg, melyben tx , ty els˝ oszomszéd, m´ıg tx+y , tx−y m´ asodszomszéd hoppingokat jelölnek, az U csatol´ asi álland´ o értéke pedig a r´ acs minden csom´ opontján azonos. L´ athat´ o, hogy – a kor´ abbi fejezetek Hamiltonoper´ atoraival ellentétben – a (116) formul´ aban nem vettem figyelembe P P NΛ ˆ i,σ alak´ u, lokális egyrészecske-potenci´ al jelleg˝ u járulékokat. Enσ i=1 ǫi n nek oka abban keresend˝o, hogy a rendszert, homogén kémiai összetételéb˝ ol ad´ od´ oan, ekvivalens csom´ opontok alkotják, aminek következtében ǫi minden csom´ oponton ugyanolyan értéket vesz fel, azaz ǫi = ǫ. Ez pedig ahP P Λ ˆ i,σ = 2NΛ ǫ egyenl˝ oség ´ırhat´ o fel, ahol 2NΛ ǫ hoz vezet, hogy a σ N i=1 ǫi n r¨ ogz´ıtett méret˝ u rendszer esetén álland´ onak tekinthet˝ o. De tudjuk, hogy egy Hamilton-oper´ atorban addit´ıv m´ odon megjelen˝o konstans nem hordoz val´ odi fizikai tartalmat, ezért ez esetben az egyrészecske-potenci´ al t´ıpus´ u járulékok modellszinten vett elhanyagolása jogos.

i+y

i+x+y

t x−y ty i 15. ´ abra

t x+y tx

i+x

: A (116) Hamilton-operátor paramétereinek szemléltetése.

A (116) Hamilton-oper´ ator paramétereit grafikusan a 15. a´bra prezentálja,

74

7. fejezet

ahol nyomon követhet˝ o, hogy tx , illetve ty az x, illetve y ir´ anyokban történ˝ o elektronugr´ asokat definiálja a négyzetek oldalélei mentén, tx+y , illetve tx−y pedig az x + y, illetve x − y ir´ anyok szerinti hoppingokat jelöli a négyzetek átl´ oi mentén. A kiindul´ opontok r¨ ogz´ıtése ut´ an meghat´ aroztam és tanulm´ anyoztam a rendszer alap´ allapoti jellemz˝oit, amit a következ˝o szakaszban mutatok be. Az egzakt alap´ allapot meghat´ aroz´ as´ at a 4.2. alfejezetben taglalt PSZO m´ odszer lépései szerint végeztem el.

7.2. A Hamilton-oper´ ator transzform´ aci´ oja A (116) induló Hamilton-oper´ atort (13) értelmében a ˆ = H

NΛ XX σ

Û + KN ˆ Aˆ†i,σ Aî,σ + H

(117)

i=1

kifejezés szerint alak´ıtottam át, ami világosan mutatja, hogy a rendszer minden i csom´ opontjához hozz´ arendelt cellájában egyetlen blokkoper´ atort definiáltam az Aî,σ = a1 cî,σ + a2 cî+x,σ + a3 cî+x+y,σ + a4 cî+y,σ

(118)

által megadott alakban. Mivel cellánként egy blokkoper´ ator szerepel a le´ır´ asban, ´ıgy tekintettel a spinindex két lehetséges értékére, (117) els˝ o összegjáruléka 2NΛ sz´ am´ u blokkoper´ atort tartalmaz. A (12)-ben bevezetett {xpq,i } halmazt ez´ uttal (118) {a1 , a2 , a3 , a4 } koefficiensei alak´ıtják ki, és a rendszer periodikus szerkezetéb˝ ol ad´ od´ oan minden cellát ugyanazon {a1 , a2 , a3 , a4 } értékhalmaz jellemez. A r´ acs i cellájában értelmezett (118) blokkoper´ ator strukt´ ur´ aját a 16. ábra jelen´ıti meg, ahol megfigyelhet˝ o, hogy a csom´ oponti koefficiensek sz´ amoz´ asa a négyzet bal als´ o sarkában lév˝o i csom´ opontb´ ol kiindulva pozit´ıv kör¨ uljár´ asi ir´ any szerint történik.

a4

a3

Ai i

a1 16. ´ abra

a2

: A (118)-ban megadott blokkoperátor szemléletes rajza a rendszer i

cell´ aj´ aban. Az {a1 , a2 , a3 , a4 } koefficiensek az adott csom´ oponton hat´ o elt¨ untet˝ o oper´ atorhoz tartoznak.

7. fejezet

75

(117) és (116) tagonkénti azonossága nyom´ an (14) a tx = a∗2 a1 + a∗3 a4 , ty = a∗4 a1 + a∗3 a2 , tx+y = a∗3 a1 , tx−y = a∗4 a2 , K = −(|a1 |2 + |a2 |2 + |a3 |2 + |a4 |2 )

(119)

egyenletrendszer form´ ajában bomlik ki, amely egyértelm˝ u kapcsolatot hat´ aroz meg az ismeretlen {a1 , a2 , a3 , a4 ; K} készlet és a (116) Hamilton-oper´ ator tx , ty , tx+y , tx−y paraméterei között. A (119) egyenletrendszernek több k¨ ulönb¨ oz˝ o megold´ asa is létezik, most azonban csak az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény 7.3. alfejezetben bemutatandó meghat´ aroz´ as´ ahoz is felhaszn´ alt, legegyszer˝ ubb megold´ ast adom meg, amikor is tx = ty = t1 , tx+y = tx−y = t2 , illetve a1 = a2 = a3 = a4 = a. Ezen homogén és izotr´ op esetben (119) megold´ asa alapján a (118) blokkoper´ ator √ (120) Aî,σ = t2 cî,σ + cî+x,σ + cî+x+y,σ + cî+y,σ alakban ´ all el˝ o, K értékét pedig a

K = −4t2

(121)

kifejezés hat´ arozza meg. (119) homogén és izotr´ op megold´ asa a t2 =

t1 , 2

t1 , t2 > 0

(122)

extra feltételeket gener´ alja, melyek a (15)-ben vet´ıtett rel´ aciók aktuális formul´ ait adják, és az alap´ allapot sz´ am´ ara egy nem t´ ul resztrikt´ıv D tartom´ anyt jelölnek ki a fázistérben.

7.3. Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggv´ eny meghat´ aroz´ asa Az alap´ allapot meghat´ aroz´ as´ ahoz sz¨ ukséges induló hull´ amf¨ uggvényt a (17) formula alapján Y † ˆm,σ |ψi = |0i (123) B m

m

szerint konstruáltam meg, melyben m értelmezési tartom´ anya egyel˝ore is† ˆ atorokat (18) mintájára a meretlen, és a Bm,σm oper´ † ˆm,σ = B m

L X L X i=1 j=1

m † cˆ(j−1)x+(i−1)y,σm yi,j

(124)

76

7. fejezet

szerkezettel ´ırtam fel. A (124) kifejezés i és j összegz˝ oindexei az (L × ´ L) méret˝ u rendszer sor- és oszlopindexeit definiálják. Igy az yi,j faktor a r´ acs (j − 1)x + (i − 1)y poz´ıcióvektorral megjelölt (i, j) csom´ opontján hat´ o † cˆ(j−1)x+(i−1)y,σ kelt˝ o oper´ ator egy¨ utthat´ oját determinálja azzal a kitétellel, hogy a (j − 1)x + (i − 1)y vektorok orig´ oja az (i, j) = (1, 1) csom´ opontba (l. 14. ´ abra) van helyezve. Mivel (124)-ben i és j egyar´ ant az {1, 2, 3, ..., L} értékkészlet elemein fut végig, azaz (124) összege a r´ acs valamennyi csom´ o† ˆm,σ oper´ a tor kiterjedt szerkezettel pontját mag´ aba foglalja, ´ıgy minden B m † ˆm,σ ur´ aját illet˝oen a 17. ábra rendelkezik. A (124)-ben megadott B m strukt´ seg´ıti az eligazod´ ast, amely az egyes csom´ opontokhoz tartoz´ o yi,j egy¨ utthat´ ok indexelését szemlélteti.

y1,1

11 00 00 11 00 11

y2,1

11 00 00 11 00 11

y3,1

11 00 00 11 00 11

y4,1

y2,2

11 00 00 11 00 11

y3,2

11 00 00 11 00 11

y4,2

11 00 00 11 00 11

y1,3

11 00 00 11 00 11

y2,3

11 00 00 11 00 11

y3,3

11 00 00 11 00 11

y4,3

11 00 00 11 00 11

y1,4

y1,L

11 00 00 11 00 11

y2,4

11 00 00 11 00 11

y3,4

11 00 00 11 00 11

y4,4

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

...

y2,L

11 00 00 11 00 11

y3,L

11 00 00 11 00 11

y4,L

11 00 00 11 00 11

...

11 00 00 11 00 11

y1,2

11 00 00 11 00 11

yL,1

11 00 00 11 00 11

17. ´ abra

yL,2

11 00 00 11 00 11

yL,3

11 00 00 11 00 11

yL,4

11 00 00 11 00 11

yL,L

11 00 00 11 00 11

† : A (124) Bˆm,σ oper´ ator kiterjedt szerkezet´ enek szeml´ eltet´ ese az m

egyes csom´ opontokon hat´ o kelt˝ o oper´ atorok yi,j koefficienseinek megjel¨ ol´ es´ evel.

A (124) konstrukci´ o eleget tesz az általánosság kritériumának, hiszen a r´ acs minden csom´ opontját figyelembe veszi anélk¨ ul, hogy b´ armelyik csom´ opontnak kit¨ untetett szerepe lenne. Így a kiindul´ o formul´ ak szintjén nem jelenik meg olyan specializ´ aci´ o, ami eleve sértené a le´ır´ as általánosságát. (124) yi,j koefficienseinek kiszám´ıtás´ ahoz a (21.a)-ban foglalt antikommut´ aci´ os rel´ aci´ okat használtam fel. (118) és (124) helyettes´ıtésével (21.a) az † ˆm,σ }=0 {Aî,σ , B m

(125)

form´ aban kezelend˝ o, melynek minden i, m, σ és σm indexre teljes¨ ulnie kell. R¨ ogz´ıtett m index esetén a (125) által el˝o´ırt egyenletek sz´ am´ at az i index lehetséges értékei definiálják. Mivel az NΛ = L2 csom´ opontot tartalmaz´ o r´ acs minden egyes csom´ opontjához egyetlen Aî,σ oper´ ator van

7. fejezet

77

hozz´ arendelve, az i index az {1, 2, 3, ..., L2 } készletb˝ ol veheti fel az értékeit. K¨ ovetkezésképpen, r¨ ogz´ıtett σ index esetén, összesen L2 sz´ am´ u Aî,σ oper´ ator 2 van jelen a rendszerben, teh´ at (125) L darab egyenletet foglal mag´ aba, fixen tartott m és σ mellett. Ezen L2 egyenlet fel´ır´ asakor a r´ acs n = 1, 2, 3, ..., L sorindexe szerint rendeztem tömb¨ okbe az egyenleteket, azaz L darab tömb¨ ot hoztam létre oly m´ odon, hogy egy adott tömb a r´ acs egy adott sor´ aban lév˝o Aî,σ oper´ atorokkal fel´ırt (125) antikommut´ aciós rel´ aci´ okat gy˝ ujti össze. Mivel minden sorban L darab Aî,σ oper´ ator helyezhet˝ o el, minden tömb¨ ot L sz´ am´ u egyenlet alkot. Péld´ aul a rendszer n-edik sor´ ara vonatkozó (125) antikommut´ aci´ os rel´ aci´ ok a m m m m , 0 = a1 yn,1 + a2 yn,2 + a3 yn−1,2 + a4 yn−1,1 m m m m + a3 yn−1,3 + a4 yn−1,2 , 0 = a1 yn,2 + a2 yn,3 m m m m + a3 yn−1,4 + a4 yn−1,3 , 0 = a1 yn,3 + a2 yn,4 m m m m , + a2 yn,5 + a3 yn−1,5 + a4 yn−1,4 0 = a1 yn,4 .. . m m m m 0 = a1 yn,L + a2 yn,1 + a3 yn−1,1 + a4 yn−1,L

(126)

tömb¨ ot alak´ıtják ki, melyben m r¨ ogz´ıtett, n pedig az 1, 2, 3, ..., L halmazon fut végig, ´ıgy a fentebbiek értelmében (126) L2 egyenletet foglal mag´ aba. (126) teh´ at azon egyenletrendszerek kategóri´ ajába sorolható, melyek méretét a vizsgált rendszer nagys´ aga szabja meg, ezért (126) csak az L rendszerméret véges érték˝ u r¨ ogz´ıtésével zárulhat és v´ alhat matematikailag kezelhet˝ ové. Ez azonban nem jelenti azt, hogy kizár´ olag véges rendszerekre nyerhet¨ unk inform´ aci´ ot, hiszen a (126) t´ıpus´ u egyenletrendszerek kis véges L rendszerméret esetén ad´ od´ o megold´ asa általában kiterjeszthet˝o tetsz˝ oleges nagys´ ag´ u L értékekre is, biztos´ıtva ezzel a termodinamikai hat´ areset megval´ os´ıt´ as´ anak lehet˝ oségét. Ezt az ir´ anyvonalat követve, kiindul´ asképpen egy (6 × 6) méret˝ u r´ acsot vizsgáltam meg, azaz (126) egyenleteit L = 6 szerint ´ırtam fel, és a kapott eredményeket tetsz˝ olegesen nagy L értékekre is által´ anos´ıtottam. L = 6 esetén a (126) egyenletrendszer 36 egyenletet tartalmaz, melyek hatos´ aval a 1 1 1 1 0 = a1 yn,1 + a2 yn,2 + a3 yn−1,2 + a4 yn−1,1 , 1 1 1 1 0 = a1 yn,2 + a2 yn,3 + a3 yn−1,3 + a4 yn−1,2 , 1 1 1 1 0 = a1 yn,3 + a2 yn,4 + a3 yn−1,4 + a4 yn−1,3 , 1 1 1 1 0 = a1 yn,4 + a2 yn,5 + a3 yn−1,5 + a4 yn−1,4 , 1 1 1 1 0 = a1 yn,5 + a2 yn,6 + a3 yn−1,6 + a4 yn−1,5 , 1 1 1 1 0 = a1 yn,6 + a2 yn,1 + a3 yn−1,1 + a4 yn−1,6

(127)

78

7. fejezet

tömb¨ oknek megfelel˝oen tagolódnak. (127) az n = 1, 2, ..., 6 értékek folyt´ an összesen hat t¨ omb¨ ot foglal mag´ aba, és ahogy láthat´ o, az m indexet m = ˆ † oper´ 1 szerint r¨ ogz´ıtettem, kijel¨ olve ezzel a levezetend˝ o B atort, melyet 1,σ1 (124) értelmében, L = 6 figyelembevételével a ˆ† = B 1,σ1

6 6 X X

1 † cˆ(j−1)x+(i−1)y,σ1 yi,j

(128)

i=1 j=1

strukt´ ura definiál. Az Aî,σ oper´ atorok {a1 , a2 , a3 , a4 } egy¨ utthat´ oira vonat√ koz´ o, (120)-ban foglalt homogén és izotr´ op a1 = a2 = a3 = a4 = t2 megold´ ast felhaszn´ alva, (127) tömbjei a 1 1 1 1 0 = yn,1 + yn,2 + yn−1,2 + yn−1,1 , 1 1 1 1 0 = yn,2 + yn,3 + yn−1,3 + yn−1,2 , 1 1 1 1 0 = yn,3 + yn,4 + yn−1,4 + yn−1,3 , 1 1 1 1 0 = yn,4 + yn,5 + yn−1,5 + yn−1,4 , 1 1 1 1 0 = yn,5 + yn,6 + yn−1,6 + yn−1,5 , 1 1 1 1 + yn−1,6 + yn−1,1 + yn,1 0 = yn,6

(129)

egyenleteknek megfelel˝oen egyszer˝ us¨ odnek, ahol n = 1, 2, ..., 6. A (129) egyenletrendszer legegyszer˝ ubb megold´ ast´ıpusait az 1 1 1 1 1 1 1 1 y1,2 = y1,5 = y2,1 = y2,3 = y2,4 = y2,6 = y3,2 = y3,5 = 1 1 1 1 1 1 1 1 y4,2 = y4,5 = y5,1 = y5,3 = y5,4 = y5,6 = y6,2 = y6,5 = 0, 1 1 1 1 1 y1,4 = y1,6 = y2,2 = y3,4 = y3,6 = 1 1 1 1 1 y4,1 = y4,3 = y5,5 = y6,1 = y6,3 = 1, 1 1 1 1 1 y1,1 = y1,3 = y2,5 = y3,1 = y3,3 = 1 1 1 1 1 y4,4 = y4,6 = y5,2 = y6,4 = y6,6 = −1

(130)

ˆ † oper´ értékek adják, ´ıgy (130) és (128) alapján a B ator tagjai a 1,σ1 ˆ† B 1,σ1

= −ˆ c†0,σ1 − cˆ†2x,σ1 + cˆ†3x,σ1 + cˆ†5x,σ1 + cˆ†x+y,σ1 − cˆ†4x+y,σ1 − cˆ†2y,σ1 − cˆ†2x+2y,σ1 + cˆ†3x+2y,σ1 + cˆ†5x+2y,σ1 + cˆ†3y,σ1

+ cˆ†2x+3y,σ1 − cˆ†3x+3y,σ1 − cˆ†5x+3y,σ1 − cˆ†x+4y,σ1 + cˆ†4x+4y,σ1 + cˆ†5y,σ1 + cˆ†2x+5y,σ1 − cˆ†3x+5y,σ1 − cˆ†5x+5y,σ1

(131)

ˆ † oper´ kifejezés szerint alakulnak ki. A (131) B ator felép´ıtését a 18. ábra 1,σ1 illusztrálja a megfelel˝o csom´ oponti koefficiensek +1, illetve −1 értékeinek

7. fejezet

79

felt¨ untetésével, melyek fekete, illetve fehér pontokkal vannak megjelölve. Az ´ abra rendk´ıv¨ ul szemléletes, hiszen jelent˝osen megkönny´ıti annak felisˆ† merését, hogy a B oper´ ator vortexes szerkezettel rendelkezik, ami a 1,σ1

berajzolt szaggatott vonalak mentén alakul ki. Az x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ asa folyt´ an négy ekvivalens vortexcentrum jön létre, melyeket a V1 , V2 , V3 , V4 jelzésekkel ellátott négyzetek reprezentálnak. −1

−1

+1 11 00 00 11 00 11

+1 00 11

−1

11 00 00 11

−1 −1 11 00 00 11 +1 00 11

11 00 00 11 00 11

11+1 00 00 11 00 11

+1

18.

abra ´

11 00 00 11 00 +1 11

V1

V2 −1

+1

−1 11 00 00 11 00 11

+1

−1 11 00 00 11 00 11

+1 11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

+1

V4

−1

−1

V3

† : A (131) Bˆ1,σ oper´ ator vortexes szerkezet´ enek szeml´ eltet´ ese a 1

relev´ ans csom´ oponti koefficiensek megjel¨ ol´ es´ evel. V1 , V2 , V3 , V4 az oper´ ator n´ egy ekvivalens vortexcentrum´ at k´ epezi.

A vortexcentrumok jelenléte roppant hasznos, mivel r´ acsbeli poz´ıciójuk vál† ˆm,σ , m = 2, 3, 4, ..., oper´ a torok forrásai lehetnek, toztat´ as´ aval további B m melyek beép¨ ulve (123) produktum´ aba, egy valódi sokrészecskés jellemzés ´ ir´ anyába terelhetik a le´ır´ ast. Eszre kell venn¨ unk azonban, hogy a négy vortexcentrum egymáshoz viszony´ıtott elhelyezkedése r¨ ogz´ıtett, ugyanis csak ennek biztos´ıt´ as´ aval maradhat meg az oper´ atorok vortexes jellege. V1 , V2 , V3 , V4 teh´ at nem mozgathat´ o egymást´ ol f¨ uggetlen¨ ul, ´ıgy péld´ aul V1 elmozd´ıt´ asakor egy t¨ ombként váltanak poz´ıciót a r´ acsban. Mivel minden vortexk¨ ozéppont gyakorlatilag egy adott csom´ oponthoz (pl. a vortexcentrum bal als´ o sark´ aban lév˝o csom´ oponthoz) van hozz´ arendelve a r´ acsban, min† ˆm,σ , m = 1, 2, 3, ..., oper´ a torhoz n´ e gy vortexcsom´ o pont tartozik. den B m Ezért a rendszert alkot´ o NΛ csom´ opontnak effekt´ıve a negyede szolg´ alhat † † ˆ ˆm,σ oper´ a torok megszerkeszt´ e s´ e re, azaz o ¨ sszesen N /4 sz´ a m´ u B u ´j B m,σm Λ m értelmezhet˝o a rendszerben. Ez azt jelenti, hogy a vizsg´ alt (6 × 6) méret˝ u, † ˆm,σ oper´ a tor defini´ a lhat´ o. NΛ = 36 csom´ opontot tartalmaz´ o r´ acsban 9 B m Ahhoz, hogy a kilenc oper´ ator egyértelm˝ uen meghat´ arozhat´ o és megk¨ ul¨ onb¨ oztethet˝ o legyen, célszer˝ u az egy¨ utt mozg´ o négy vortexcentrum köz¨ ul egyre fókusz´ alni, és a kiv´ alasztott vortexk¨ ozéppont lehetséges poz´ıcióváltásait nyo-

80

7. fejezet

mon követni a r´ acsban. Ennek megfelel˝oen a V1 centrumra esett a választ´ asom, melynek lehetséges poz´ıcióit a 19. ábra 1-t˝ol 9-ig sz´ amozott cell´ ai jelölik ki. Ha ugyanis V1 a sz´ amozott tartom´ anyon k´ıv¨ ul es˝ o cellákra † ˆm,σ alln´ anak el˝o, melyek nem is centr´ al´ odhatna, akkor olyan B m vortexek ´ képeznek u ´j oper´ atorokat.

19. ´ abra

2

3

4

9

1

5

8

7

6

: A V1 centrum lehetséges poz´ıcióit jelöl˝o cellák számozása.

ˆ† , B ˆ† , B ˆ † , ..., B ˆ† A 19. ´ abra 1, 2, 3, ..., 9 sz´ amoz´ as´ u celláira centr´ alt B 1,σ1 2,σ2 3,σ3 9,σ9 oper´ atorok vortexeit a 20. a´bra összes´ıti, ahol folyamat´ aban is végigkövetˆ † vortexb˝ol kiindulva, a V1 centrum het˝ o, hogy a 18. ´ abr´ an is vázolt B 1,σ1 ˆ† , B ˆ † , ..., 1, 2, 3, ..., 9 sorrend˝ u tologatás´ aval hogyan képz˝ odnek az u ´j B 2,σ2

3,σ3

ˆ † oper´ B atorok. A 20. ´ abra vortexcentrumait sz¨ urke négyzetek jelölik, és 9,σ9 a 18. ´ abr´ aval ¨ osszhangban, a fekete csom´ opontok egy¨ utthat´ oja +1, m´ıg a fehéreké −1 érték˝ u. 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1

+

B1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

+

B2

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

+

B4

+

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

+

1 0 0 1

B8

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

+

B6

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

+

B9

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

20. ´ abra

1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

+

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 0 1

B7

B5

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

B3

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

+

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

† : A Bˆm,σ , m = 1, 2, 3, ..., 9, oper´ atorok vortexeinek szeml´ eltet´ ese egy m

(6 × 6)-os r´ acsban. A vortexcentrumokat sz¨ urke n´ egyzetek jel¨ olik.

7. fejezet

81

ˆ† A 20. ´ abra B ator´ at matematikailag (131) értelmezi, az u ´jonnan 1,σ1 oper´ † † † ˆ ,B ˆ ˆ megrajzolt B atorok kifejezéseit pedig a 2,σ2 3,σ3 , ..., B9,σ9 oper´ ˆ† B 2,σ2

= cˆ†0,σ2 − cˆ†3x,σ2 − cˆ†x+y,σ2 + cˆ†2x+y,σ2 + cˆ†4x+y,σ2 − cˆ†5x+y,σ2 + cˆ†x+2y,σ2 − cˆ†2x+2y,σ2 − cˆ†4x+2y,σ2 + cˆ†5x+2y,σ2 − cˆ†3y,σ2

+ cˆ†3x+3y,σ2 + cˆ†x+4y,σ2 − cˆ†2x+4y,σ2 − cˆ†4x+4y,σ2 + cˆ†5x+4y,σ2 − cˆ†x+5y,σ2 + cˆ†2x+5y,σ2 + cˆ†4x+5y,σ2 − cˆ†5x+5y,σ2 ,

ˆ† B 3,σ3

= cˆ†x,σ3 − cˆ†4x,σ3 − cˆ†y,σ3 − cˆ†2x+y,σ3 + cˆ†3x+y,σ3 + cˆ†5x+y,σ3 + cˆ†2y,σ3 + cˆ†2x+2y,σ3 − cˆ†3x+2y,σ3 − cˆ†5x+2y,σ3 − cˆ†x+3y,σ3

+ cˆ†4x+3y,σ3 + cˆ†4y,σ3 + cˆ†2x+4y,σ3 − cˆ†3x+4y,σ3 − cˆ†5x+4y,σ3 − cˆ†5y,σ3 − cˆ†2x+5y,σ3 + cˆ†3x+5y,σ3 + cˆ†5x+5y,σ3 ,

ˆ† B 4,σ4

= cˆ†2x,σ4 − cˆ†5x,σ4 + cˆ†y,σ4 − cˆ†x+y,σ4 − cˆ†3x+y,σ4 + cˆ†4x+y,σ4 − cˆ†2y,σ4 + cˆ†x+2y,σ4 + cˆ†3x+2y,σ4 − cˆ†4x+2y,σ4 − cˆ†2x+3y,σ4

+ cˆ†5x+3y,σ4 − cˆ†4y,σ4 + cˆ†x+4y,σ4 + cˆ†3x+4y,σ4 − cˆ†4x+4y,σ4 + cˆ†5y,σ4 − cˆ†x+5y,σ4 − cˆ†3x+5y,σ4 + cˆ†4x+5y,σ4 ,

ˆ† B 5,σ5

= cˆ†0,σ5 − cˆ†x,σ5 − cˆ†3x,σ5 + cˆ†4x,σ5 + cˆ†2x+y,σ5 − cˆ†5x+y,σ5 + cˆ†2y,σ5 − cˆ†x+2y,σ5 − cˆ†3x+2y,σ5 + cˆ†4x+2y,σ5 − cˆ†3y,σ5

+ cˆ†x+3y,σ5 + cˆ†3x+3y,σ5 − cˆ†4x+3y,σ5 − cˆ†2x+4y,σ5 + cˆ†5x+4y,σ5 − cˆ†5y,σ5 + cˆ†x+5y,σ5 + cˆ†3x+5y,σ5 − cˆ†4x+5y,σ5 ,

ˆ† B 6,σ6

= −ˆ c†0,σ6 + cˆ†x,σ6 + cˆ†3x,σ6 − cˆ†4x,σ6 + cˆ†y,σ6 − cˆ†x+y,σ6

− cˆ†3x+y,σ6 + cˆ†4x+y,σ6 + cˆ†2x+2y,σ6 − cˆ†5x+2y,σ6 + cˆ†3y,σ6

− cˆ†x+3y,σ6 − cˆ†3x+3y,σ6 + cˆ†4x+3y,σ6 − cˆ†4y,σ6 + cˆ†x+4y,σ6 + cˆ†3x+4y,σ6 − cˆ†4x+4y,σ6 − cˆ†2x+5y,σ6 + cˆ†5x+5y,σ6 ,

ˆ† B 7,σ7

= cˆ†0,σ7 + cˆ†2x,σ7 − cˆ†3x,σ7 − cˆ†5x,σ7 − cˆ†y,σ7 − cˆ†2x+y,σ7

+ cˆ†3x+y,σ7 + cˆ†5x+y,σ7 + cˆ†x+2y,σ7 − cˆ†4x+2y,σ7 − cˆ†3y,σ7

− cˆ†2x+3y,σ7 + cˆ†3x+3y,σ7 + cˆ†5x+3y,σ7 + cˆ†4y,σ7 + cˆ†2x+4y,σ7 − cˆ†3x+4y,σ7 − cˆ†5x+4y,σ7 − cˆ†x+5y,σ7 + cˆ†4x+5y,σ7 ,

82

7. fejezet ˆ† B 8,σ8

= cˆ†x,σ8 − cˆ†2x,σ8 − cˆ†4x,σ8 + cˆ†5x,σ8 − cˆ†x+y,σ8 + cˆ†2x+y,σ8 + cˆ†4x+y,σ8 − cˆ†5x+y,σ8 + cˆ†2y,σ8 − cˆ†3x+2y,σ8 − cˆ†x+3y,σ8

+ cˆ†2x+3y,σ8 + cˆ†4x+3y,σ8 − cˆ†5x+3y,σ8 + cˆ†x+4y,σ8 − cˆ†2x+4y,σ8 − cˆ†4x+4y,σ8 + cˆ†5x+4y,σ8 − cˆ†5y,σ8 + cˆ†3x+5y,σ8 ,

ˆ† B 9,σ9

= −ˆ c†x,σ9 + cˆ†2x,σ9 + cˆ†4x,σ9 − cˆ†5x,σ9 + cˆ†y,σ9 − cˆ†3x+y,σ9

− cˆ†x+2y,σ9 + cˆ†2x+2y,σ9 + cˆ†4x+2y,σ9 − cˆ†5x+2y,σ9 + cˆ†x+3y,σ9

− cˆ†2x+3y,σ9 − cˆ†4x+3y,σ9 + cˆ†5x+3y,σ9 − cˆ†4y,σ9 + cˆ†3x+4y,σ9 + cˆ†x+5y,σ9 − cˆ†2x+5y,σ9 − cˆ†4x+5y,σ9 + cˆ†5x+5y,σ9

(132)

formul´ ak adják meg. További elemzésekkel megmutattam, hogy a (131-132)ˆ† , B ˆ† , B ˆ† , B ˆ† , B ˆ† ben foglalt oper´ atorok köz¨ ul valójában csak a B 1,σ1 2,σ2 3,σ3 4,σ4 6,σ6 ˆ† , B ˆ† , B ˆ† , B ˆ† tekinthet˝ o line´ arisan f¨ uggetlennek, mivel a B oper´ a5,σ5

7,σ7

8,σ8

9,σ9

ˆ† , B ˆ† , B ˆ† , B ˆ† , B ˆ† torok a B aris kombin´ aciójaként 1,σ1 2,σ2 3,σ3 4,σ4 6,σ6 vortexek line´ † † † † † † † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ† el˝ o´ all´ıthat´ ok a B 5,σ5 = −B1,σ1 − B3,σ3 − B4,σ4 , B7,σ7 = B3,σ3 + B4,σ4 − B6,σ6 , ˆ† = B ˆ† − B ˆ† + B ˆ† , B ˆ † = −B ˆ† − B ˆ† − B ˆ † fel´ır´ B as sze8,σ8

2,σ2

4,σ4

6,σ6

9,σ9

1,σ1

2,σ2

3,σ3

rint. Ez azt mutatja, hogy L = 6 esetén ℓ = 5 line´ arisan f¨ uggetlen vortex értelmezhet˝o a rendszerben, teh´ at ℓ értéke közel esik L-hez, azaz a jelenlév˝o elektronok sz´ ama a rendszer line´ aris méretével ar´ anyos: ℓ ∼ L. A (131-132) oper´ atorok ´ altal prezentált vortex t´ıpus´ u megold´ asok könynyedén kiterjeszthet˝ok nagyobb méret˝ u négyzetes r´ acsokra is azzal a feltétellel, hogy L értéke csak p´ aros sz´ am lehet, ugyanis az x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfeltételek – a vortexvonalak mentén létez˝o ±1 koefficiensek vonatkoz´ as´ aban – kizár´ olag p´ aros L esetén alkalmazhat´ ok konzisztens m´ odon. A nagyobb méret˝ u rendszerekben kialakul´ o vortexvonalak szemléltetéséhez példaként felrajzoltam egy (12 × 12), illetve egy (24 × 24) nagyság´ u r´ acsban kifejl˝od˝ o vortexet, melyek a 21. ábra a.), illetve b.) blokkjain követhet˝ ok nyomon. Megfigyelhet˝ o, hogy a rendszerméret n¨ ovekedésével, a ±1 egy¨ utthat´ ok meghat´ arozott rendjét követve, a vortexvonalak sz´ ama is sokasodik, azonban a rendszer méretét˝ol f¨ uggetlen¨ ul minden esetben négy vortexcentrum van jelen, amiket az ábr´ an a sz¨ urke négyzetek pozicion´ alnak. A fekete, illetve fehér kör¨ ok ez´ uttal is a +1, illetve −1 egy¨ utthat´ oval rendelkez˝ o csom´ opontokat jelzik. Mivel b´ armely p´ aros L által meghat´ arozott rendszerméret esetén négy centrum rendelhet˝o hozz´ a egy adott vortexhez, által´ anosan kijelenthet˝ o, hogy az NΛ csom´ opont negyede alkalmas vortexek † ˆm,σ kialak´ıt´ as´ ara. Így a r´ acs méretét˝ol f¨ uggetlen¨ ul összesen NΛ /4 B m oper´ ator értelmezhet˝o a rendszerben, melyek köz¨ ul csak ℓ ∼ L sz´ am´ u vortex tekinthet˝ o line´ arisan f¨ uggetlennek. Ezzel a (20.a) feltétel teljes´ıtését maradéktalanul kimer´ıtettem, aminek eredményeképpen kider¨ ult, hogy a

7. fejezet

83

† ˆm,σ atorok – a 18. és a 21. (123) pr´ obaf¨ uggvénybe beép¨ ul˝ o (124) B m oper´ ábr´ an is péld´ azott – speci´ alis vortexes szerkezettel rendelkeznek, és az m index értelmezési tartom´ anyát b´ armely p´ aros L esetében az [1, ℓ ∼ L] inter† ˆm,σ atort (elektront) vallum jelöli ki, teh´ at (123) o¨sszesen N = ℓ ∼ L B m oper´ tartalmazhat.

a.) 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

21. ´ abra

b.)

1 0 0 1

1 0 0 1

1100 0011 0 111 00 0 1 1 0 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 1 11 0011 00 0 111 00 0 1 0 100 11 0 1 0 100 11 0 1 0 1 11 00 1 0 1 0 11 00 1 0 1 0 0011 11 00 1 011 00 1 0 1 0 0011 11 00 1 011 00 1 0 1 011 00 1 0 1 011 00 1 0 1 0 00 1 11 0 1 011 00 1 0 1 0 11 0011 00 0 111 00 0 1 0 1 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 1 11 0011 00 0 111 00 0 1 0 111 00 1 0 1 011 00 1 0 1 0 00 1 0 1 011 00 1 0 1 0 0011 11 00 1 011 00 1 0 1 011 0011 11 00 1 011 00 1 0 1 011 00 1 0 1 011 00 1 0 1 0 00 1 11 0 1 011 00 1 0 1 0 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 1 1 0 11 00 0 1 0 111 00 0 1 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 111 1 0 00 0 0 00 0 00 1 11 0 1 1 011 1 00 1 11 0 1 1 00 11 0 0 00 0 0 0 00 1 11 0 1 1 011 1 00 1 11 0 1 1 011 1 0 1 00 0 0 00 0 00 1 11 0 1 1 011 1 00 1 11 0 1 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 1 1 0 11 00 0 1 0 111 00 0 1 11 00 0 1 0 111 00 0 1 0 111 1 0 00 0 0 00 0 00 1 0 1 1 011 1 00 1 11 0 0 1 11 0 00 1 0 0 100 0 11 0 00 1 0 0 111 0 1 11 00 1 1 11 1 1 1 0 00 11 0 0 00 0 0 00 1 11 0 1 1 011 1 00 1 11 0 1 1 0 1

: (12 × 12), illetve (24 × 24) méret˝ u rendszerben kialakul´ o vortexek

rajzai. A vortexcentrumokat sz¨ urke n´ egyzetek jel¨ olik.

(20.a) végrehajtás´ at követ˝oen természetesen most sem maradhat el a (20.b) feltétel elemzése, mely a rendszer alap´ allapot´ ara nézve további értékes inform´ aci´ okat rejthet mag´ aban. (20.b) megvalós´ıtás´ at a (6 × 6)-os rendszer † ˆ atorainak péld´ aján kereszt¨ ul mutatom be u ´gy, hogy az (131-132) Bm,σm oper´ ˆ † -et és egyszer˝ ubb ´ atl´ athat´ os´ ag kedvéért két oper´ atort, péld´ aul a (131) B 1,σ1 ˆ † -et helyezem el a (123) pr´ a (132)-beli B obaf¨ uggvényben tetsz˝ oleges σ1 , 2,σ2

illetve σ2 spinindexszel. Ekkor (20.b) a Û B ˆ† B ˆ† H 1,σ1 2,σ2 |0i = 0

(133)

ˆ U -nak az elvégzett B ˆ† B ˆ† egyenl˝ oségre vezet, melyben H atorszor1,σ1 2,σ2 oper´ zatra vett hat´ asa nyom´ an a 0 = U − cˆ†0,σ1 cˆ†0,σ2 − cˆ†3x,σ1 cˆ†3x,σ2 − cˆ†x+y,σ1 cˆ†x+y,σ2 − cˆ†4x+y,σ1 cˆ†4x+y,σ2 + cˆ†2x+2y,σ1 cˆ†2x+2y,σ2 + cˆ†5x+2y,σ1 cˆ†5x+2y,σ2 − cˆ†3y,σ1 cˆ†3y,σ2

− cˆ†3x+3y,σ1 cˆ†3x+3y,σ2 − cˆ†x+4y,σ1 cˆ†x+4y,σ2 − cˆ†4x+4y,σ1 cˆ†4x+4y,σ2 + cˆ†2x+5y,σ1 cˆ†2x+5y,σ2 + cˆ†5x+5y,σ1 cˆ†5x+5y,σ2 |0i

(134)

ˆ U Hubbard-j´ tagok maradnak meg. Mivel a H arulék a duplán betöltött csom´ opontokat érzékeli nemtriviális m´ odon, ezért (134) tagjai értelemsze-

84

7. fejezet

ˆ † és B ˆ † érintkezik r˝ uen azon csom´ opontokból sz´ armaznak, melyeken B 1,σ1 2,σ2 egymással. A 20. ´ abra els˝ o két rajza alapján könnyen felismerhet˝ o, hogy ˆ † és B ˆ† B k¨ o z¨ o s (i, j) csom´ o pontjait az (1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 3), 1,σ1 2,σ2 (3, 6), (4, 1), (4, 4), (5, 2), (5, 5), (6, 3), (6, 6) koordinátáj´ u poz´ıciók hat´ arozz´ ak meg, melyek kialak´ıtják (134) 12 járulékát. (134) pedig a fermionikus rendszerek ´ altal definiált cˆ†i,σ cˆ†i,σ |0i = 0 rel´ ació folyt´ an csakis abban a speciális † † ˆ ˆ esetben teljes¨ ulhet, amikor a B és a B oper´ atorok azonos spinvet¨ ulet˝ u 1,σ1

2,σ2

elektronokat vezetnek be a rendszerbe, azaz σ1 = σ2 = σ. Ez a meg´ allap´ıt´ as természetesen nemcsak két oper´ ator viszonylatában lehet helytáll´ o. L´ attuk, hogy b´ armely p´ aros L által adott rendszerméret † ˆm,σ esetén ¨ osszesen N = ℓ ∼ L darab line´ arisan f¨ uggetlen B m vortex jelehet meg a r´ acsban, melyek ugyanazon (L × L) méret˝ u s´ıktartományban halmoz´ odnak egymásra. Ezért könnyen megeshet, hogy egy adott csom´ oponton ˆ U hat´ több oper´ ator is érintkezik egymással. Ekkor H asa a (133-134)-ben szemléltetett kétrészecskés esethez hasonlóan azt eredményezi, hogy min† ˆm,σ atornak ugyanazon σm = σ értékre r¨ ogz¨ ul den B m , m = 1, 2, 3, ..., ℓ, oper´ a spinindexe, ami azt jelenti, hogy a r´ acs összes elektronja azonos spinˆ U Hubbard-j´ vet¨ ulettel ker¨ ul be a le´ır´ asba. A H arulék hat´ asa nyom´ an teh´ at korrel´ aci´ o jön létre az elektronok spinvet¨ uletei között, ami arra vezet, hogy a rendszer a t¨ obbször¨ osen betöltött csom´ opontok kiiktat´ as´ aval minimalizálja az energi´ aját. A (20.a-b) feltételek fentebbi elemzésével összegy˝ ujtött ismeretek alapján, a (123) pr´ obaf¨ uggvényb˝ol kiindulva, az (L × L) méret˝ u rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét a |ψg i =

ℓ∼L Y

m=1

† ˆm,σ B |0i

(135)

kifejezés szerint ´ allap´ıtottam meg. (135)-ben a r¨ ogz´ıtett σ indexszel ren† ˆ delkez˝ o Bm,σ oper´ atorok speciális négycentrumos vortexeket alkotnak (l. pl. a 18. vagy a 21. ´ abr´ at), és (135) b´ armely p´ aros L által meghat´ arozott 2 (L × L) méret˝ u, NΛ = L csom´ opontot tartalmaz´ o négyzetes r´ acs esetén érvényes. Mivel az N = ℓ ∼ L sz´ am´ u vortex – a σ spinindex korrel´ aciója révén – egy spinpolariz´ alt elektronrendszert gener´ al a r´ acsban, (135) egy tel´ıtett, itiner´ ans ferrom´ agneses alap´ allapotot produkál. Hangs´ ulyozom, hogy a kapott ferrom´ agnesesség k¨ uls˝ o terek befoly´ as´ atól mentesen, spontán m´ odon alakul ki a rendszerben, hiszen a spinpolariz´ alt állapotot tiszt´ an az elektronok spinindexei köz¨ otti korrel´ aciós effektusok hozz´ ak létre. A (135) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényhez, a (121)-ben megadott K felhasznál´ as´ aval, (16) szerint az Eg (N ; t2 ) = −4t2 N

(136)

7. fejezet

85

alap´ allapoti energia kapcsolhat´ o, és a (135-136) alap´ allapot, (122) ismételt fel´ır´ as´ aval, a t2 =

t1 , 2

t1 , t2 > 0

(137)

feltételek ´ altal megszabott fázistértartományon lehet releváns. A fentebbi eredmények alapján teh´ at meg´ allap´ıthat´ o, hogy egy tetsz˝ oleges p´ aros L ´ altal meghat´ arozott (L × L) méret˝ u rendszerben N = ℓ ∼ L sz´ am´ u elektron lehet jelen, ´ıgy a részecskék koncentr´ acióját a ρ = ℓ/L2 ∼ L/L2 = 1/L r´ ata hat´ arozza meg. Amennyiben a periodikus hat´ arfeltételek révén kialakul´ o szemcse makroszkopikus, azaz line´ aris mérete L ∼ 1023 nagys´ agrendbe esik, az elektronok ρ ∼ 10−23 ∼ 0 koncentr´ aciója gyakorlatilag elhanyagolhat´ o, ezért a kapott ferrom´ agneses viselkedés makroszkopikus skál´ an (termodinamikai hat´ aresetben) elt˝ unik. Ha azonban nanoméret˝ u szemcséket tekint¨ unk, akkor péld´ aul L = 6 esetén a ρ = 1/6 érték m´ ar sz´ amottev˝o a kis koncentr´ aciós tartom´ anyban, ami azt eredményezi, hogy a ferrom´ agnesesség igaz´ ab´ ol csak nanosk´ alán válik megfigyelhet˝ ové. Így lényegében a fentebb kifejtett eredmények a nemmágneses fématomokb´ ol felép¨ ul˝ o nanoszemcsék ferrom´ agneses viselkedésének egy lehetséges – kvantummechanikai és matematikai alapokon nyugv´ o – magyar´ azatát prezentálják.

7.4. A rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezete A nanosk´ al´ an tapasztalt ferrom´ agneses alap´ allapot teljes kör˝ u vizsgálatának érdekében ez´ uttal is feltártam a rendszer nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét. A sz´ am´ıt´ asok induló lépéseként elvégeztem az r-térben fel´ırt (116) Hamiltonoper´ ator ˆ0 = H

NΛ XX

tx cˆ†i+x,σ cî,σ + ty cˆ†i+y,σ cî,σ + tx+y cˆ†i+x+y,σ cî,σ

σ

+

i=1 tx−y cˆ†i+x−y,σ cî,σ

+ H.c.

(138)

kinetikus részének k-térbeli Fourier-transzform´ acióját, melynek alapját az elemi fermionikus elt¨ untet˝ o és kelt˝o oper´ atorok szintjén realiz´ alód´ o cî,σ = cˆ†i,σ

=

√

NΛ 1 X cˆk,σ e−iki , NΛ k=1

NΛ 1 X √ cˆ†k,σ eiki NΛ k=1

(139)

86

7. fejezet

formul´ ak képezték. A (139) kifejezések cˆk,σ és cˆ†k,σ oper´ atorai a (k, σ) értékpár ´ altal megjelölt kvantum´ allapot elt¨ untet˝o és kelt˝o oper´ ator´ at jelen´ıtik meg. A (139) Fourier-transzform´ alt alakok seg´ıtségével (138) a XX ˆ0 = H tx eikx + e−ikx + ty eiky + e−iky + tx+y eik(x+y) σ k −ik(x+y)

+ e

+ tx−y eik(x−y) + e−ik(x−y) cˆ†k,σ cˆk,σ

(140)

fel´ır´ as szerint alak´ıthat´ o´ at, melyben az Ek -val jelölt

Ek = tx eikx + e−ikx + ty eiky + e−iky + tx+y eik(x+y) + e−ik(x+y) (141) + tx−y eik(x−y) + e−ik(x−y)

összeg hat´ arozza meg a rendszer diszperzi´ orel´ acióját. Mivel a tanulm´ anyozott négyzetes r´ acsot egyetlen alr´ acs alkotja, ´ıgy mag´ atól értet˝ od˝ o m´ odon (141) egyetlen Ek energiafel¨ uletet rajzol ki k f¨ uggvényében. A k vektornak az x, y Bravais-vektorokra es˝ o kx, illetve ky vet¨ uleteit a kx = kx, illetve a ky = ky jelölésekkel ellátva, és felhaszn´ alva a trigonometrikus és exponenci´ alis f¨ uggvények között fennálló cos α = (eiα + e−iα )/2 kapcsolatot, (141) az Ek = 2tx cos kx + 2ty cos ky + 2tx+y cos(kx + ky ) + 2tx−y cos(kx − ky )

(142)

alakra hozhat´ o. (142) pedig a tx = ty = t1 és a tx+y = tx−y = t2 egyenl˝ oségek ´ altal adott homogén és izotr´ op esetben, a cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β ¨ osszef¨ uggés alkalmaz´ as´ aval, Ek = 2t1 cos kx + cos ky + 4t2 cos kx cos ky

(143)

szerint ´ırhat´ o´ at. R¨ ogt¨ on felismerhet˝ o, hogy a (143) diszperzi´ orel´ aciób´ ol – a triviális t1 = t2 = 0 esett˝ ol eltekintve – semmilyen m´ odon nem t¨ untethet˝ o el a k-f¨ uggés, azaz a t1 és t2 paraméterek által definiált fázistérben sehol nem létezik olyan tartom´ any, ahol a kx − ky s´ıkkal p´ arhuzamos energiafel¨ uletek, vagyis lapos s´ avok jönnének létre. Néh´ any konkrét péld´ at szemléltet a 22. ábra, amely a (143) diszperzi´ orel´ ació térbeli ábr´ azolása a kx , ky ∈ [−π, π] intervallum ´ altal kijel¨ olt els˝ o Brillouin-z´ on´ aban az a.) t1 = 1.8, t2 = 0.9, a b.) t1 = 1.5, t2 = 0.75, a c.) t1 = 1, t2 = 0.5, illetve a d.) t1 = 0.6, t2 = 0.3 értékekre r¨ ogz´ıtett paraméterek esetében. A (143) által meghat´ arozott nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet vizsgálatának teh´ at az a legf˝obb tanuls´ aga, hogy az Ek energiafel¨ ulet semmilyen kör¨ ulmények között nem képezhet lapos s´ avot. Ez fizikailag azt jelenti, hogy a (135) ferrom´ agneses alap´ allapot nem Mielke–Tasaki-t´ıpus´ u, hiszen a spinpolariz´ alt állapot nem lapos s´ av által

7. fejezet

87

val´ osul meg a rendszerben, hanem a 7.3. alfejezetben ismertetett m´ odon, az elektronok spinkorrel´ aci´ os mechanizmus´ anak eredményeképpen alakul ki. Ezen spinkorrel´ aci´ os effektus révén létrejöv˝o spinpolariz´ alt állapot a ferrom´ agnesesség klasszikus értelemben vett változataihoz képest egy teljesen u ´jfajta mechanizmust val´ os´ıt meg, melyr˝ol els˝ oként két kor´ abbi tanulm´ anyomban [74,75] sz´ amoltam be cikcakk, illetve karosszék t´ıpus´ u hatsz¨ oges polimerl´ ancok vonatkoz´ as´ aban. b.)

a.) 12 8 4 0 -4

12 8 4 0 -4

Ek

Ek

-3 -2 -1

0

kx

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3 -3 -2 -1

ky

0

kx

1

c.)

3

-3

-2

0

1

2

3

ky

d.)

12 8 4 0 -4

12 8 4 0 -4

Ek

Ek

-3 -2 -1

kx 22. ´ abra

2

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

ky

3 -3 -2 -1

kx

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

ky

: A rendszer nemkölcsönható sávszerkezete a Hamilton-operátor a.)

t1 = 1.8, t2 = 0.9, b.) t1 = 1.5, t2 = 0.75, c.) t1 = 1, t2 = 0.5, d.) t1 = 0.6, t2 = 0.3 szerint r¨ ogz´ıtett param´ eterk´ eszlete mellett.

A 7. fejezet eredm´ enyeinek r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa A 7. fejezetben a PSZO m´ odszer alkalmaz´ as´ aval tanulm´ anyoztam a nemmágneses fématomokb´ ol felép¨ ul˝ o rendszerek nanosk´ alán tapasztalható ferrom´ agneses viselkedésének mélyebb mozgat´ orug´ oit. A vizsgált rendszert egy kétdimenzi´ os négyzetes r´ accsal rendelkez˝ o nanostrukt´ ura adta, melynek r´ acspontjaiban nemmágneses fématomok foglalnak helyet. Periodikus határfeltételek és az elektronok fel¨ uleti mozg´ as´ anak figyelembevétele mellett speci´ alis vortexes szerkezet˝ u, ferrom´ agneses alap´ allapotra bukkantam. A ”vortexes” – magyarul ”¨ orvényes” – kifejezés ez esetben arra utal, hogy az elektronok csak meghat´ arozott vortexvonalak mentén létezhetnek a rendszerben. A kapott alap´ allapot ferrom´ agneses mivoltát az elektronok spinin-

88

7. fejezet

dexei köz¨ ott létrejöv˝o korrel´ aciós hat´ asok gener´ alják. A nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet vizsgálat´ ab´ ol az is kider¨ ult, hogy a diszperzi´ orel´ aciót nem alkothatja lapos s´ av, teh´ at a kialakul´ o spinpolariz´ alt a´llapot nem produkálhat Mielke–Tasaki-értelemben vett laposs´ av-ferromágnesességet. Így a spinkorrel´ aci´ os effektus révén el˝ o´ all´ o spinpolariz´ alt állapot a ferrom´ agnesesség klaszszikus értelemben vett változataihoz képest egy teljesen u ´jfajta mechanizmust képvisel. Sz´ am´ıt´ asaim szerint az alap´ allapotban jelenlév˝o elektronok sz´ ama ar´ anyos a rendszer line´ aris méretével, aminek következtében az elektronok fel¨ uleti koncentr´ aci´ oja ford´ıtott ar´ anyban áll a line´ aris rendszermérettel. Ennélfogva a kapott ferrom´ agnesesség csak nanosk´ alán releváns (termodinamikai hat´ aresetben elt˝ unik), és a kis koncentr´ aciós részecskesz´ am¨ tartom´ anyban érvényes. Osszess´ egében véve teh´ at az eredmények a nemm´ agneses fématomokb´ ol felép¨ ul˝ o nanoszemcsékben létrejöv˝o ferrom´ agnesességnek egy lehetséges – kvantummechanikai és matematikai alapokon nyugv´ o – magyar´ azat´ at adhatj´ ak. A 7. fejezetben kapott eredmények publik´ alt form´ aban a [251] közleményben érhet˝ ok el.

8. fejezet

89

8. fejezet

A k´ etdimenzi´ os m´ ehsejtes szerkezettel rendelkez˝ o nanostrukt´ ura alap´ allapoti eredm´ enyeinek bemutat´ asa 8.1. A rendszer Hamilton-oper´ atora A szénatomokb´ ol felép¨ ul˝ o, méhsejtes szerkezet˝ u kristályrácsok a grafén t´ıpus´ u rendszerek oszt´ alyába sorolhatók, hiszen hexagonális vázuk egy olyan tömbként képzelhet˝ o el, amely egy graféns´ık n = nx × ny sz´ am´ u szomszédos hatsz¨ oget tartalmaz´ o alakzatának kimetszésével jön létre u ´gy, hogy nx (ny ) a kiv´ agand´ o idom x (y) ir´ anya mentén egymáshoz csatlakozó hatsz¨ ogek sz´ ama.

ny = 2

a.)

b.) 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

nx = 10

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

ny = 4

ny = 5 nx = 2 23.

abra ´

1 0 0 1

: a.)

1 0 0 1 11 00 00 11

nx = 6

N´ eh´ any graf´ ens´ıkb´ ol kimetszhet˝ o m´ ehsejtes rendszer il-

lusztr´ aci´ oja az n = 10 × 2 = 20, n = 2 × 5 = 10, n = 6 × 4 = 24 ´ altal adott esetekben. b.) A graf´ ens´ıkb´ ol kiv´ aghat´ o legkisebb m´ eret˝ u, nx × ny szerkezet˝ u k´ etdimenzi´ os alakzat, melyet nx = ny = 2 jellemez.

Az ily m´ odon konstruálhat´ o strukt´ ur´ ak vizualizálás´ at a 23.a ábra seg´ıti, ahol példaként h´ arom elrendezést rajzoltam fel az n = 10×2 = 20, n = 2×5 = 10, n = 6 × 4 = 24 esetek megválaszt´ as´ aval. A fenti technikával megsz-

90

8. fejezet

erkeszthet˝ o legkisebb méret˝ u kétdimenziós, méhsejtes rendszert a 23.b ábra demonstr´ alja, ahol megfigyelhet˝ o, hogy nx = ny = 2 révén a r´ acs négy hatsz¨ ogb˝ ol ép¨ ul fel. A rendszer csom´ opontjai fekete és fehér kör¨ okkel vannak megk¨ ul¨ onb¨ oztetve, ami azonban csupán azt hivatott érzékeltetni, hogy a grafén t´ıpus´ u strukt´ ura a fekete, illetve a fehér pontokból álló Ω1 , illetve Ω2 alr´ acsok uni´ ojaként is felfoghat´ o. −v

a.) 11 00 00 11 00 11

2

−v

3

00 11 11 00 00 11

6

−v

00 00 11 4 11 00 11

I.

1

11 00 00 11 00 11

2

y

1 00 11 11 00 6 00 11

II.

7 00 00 11 8 11 00 11

III.

5

b.)

5

IV. 4

R

11 00 00 11 2 00 11

3 11 00 00 11 00 11

v r v

1

x v 24. ´ abra

: a.) A rendszer hatszögeinek és csomópontjainak számozását be-

mutat´ o ´ abra. Az x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfelt´ etelek k¨ ovetkezt´ eben az Ω1 alr´ acs csom´ opontjai a v, az Ω2 alr´ acs csom´ opontjai pedig a −v ir´ anyok ment´ en ciklikusan permut´ alva k¨ ovetik egym´ ast. b.) A periodikus hat´ arfelt´ etelek eredm´ enyek´ ent a rendszer ´ altal kialak´ıtott t´ oruszfel¨ ulet, ahol R a toroid´ alis, m´ıg r a poloid´ alis k¨ orvonalat jel¨ oli.

Az I-IV. jelzéssel ell´ atott hatsz¨ ogek csom´ opontjainak sz´ amoz´ asa a 24.a ábr´ an követhet˝ o nyomon. A csom´ opontok sz´ amoz´ asakor az I. és a III. hatsz¨ og fels˝o négy cs´ ucsa ´ altal meghat´ arozott trapézokat vettem alapul u ´gy, hogy az I. trapéz 1, 2, 3, 4, illetve a III. trapéz 5, 6, 7, 8 csom´ opontjai negat´ıv kör¨ uljár´ asi ir´ any szerint követik egymást. Ezen sz´ amoz´ asi rendszer azt eredményezi, hogy az Ω1 alr´ acs a p´ aros, az Ω2 alr´ acs pedig a p´ aratlan sz´ amokkal megjelölt csom´ opontokat foglalja mag´ aba. Az x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ asa folyt´ an az Ω1 alr´ acs 2, 4, 6, illetve az Ω2 alr´ acs 1, 3, 5 csom´ opontjai egybevágnak a II. és a IV. hatsz¨ og széleit alkotó csom´ opontokkal, amit a 24.a ´ abra csom´ oponti sz´ amoz´ asa világosan t¨ ukröz. Emellett az is megfigyelhet˝ o, hogy az Ω1 alr´ acs 2, 4, 6, 8, illetve az Ω2 alr´ acs 1, 3, 5, 7 csom´ opontjai speci´ alisan, a szaggatott vonallal kijel¨ olt v, illetve −v ir´ anyok mentén ciklikus permut´ aci´ o szerint követik egymást. Gyakorlatilag teh´ at összesen nyolc csom´ opont alkotja a rendszert, melyek köz¨ ul hat csom´ opont (1, 2, 3, 4, 5, 6) –

8. fejezet

91

a rendszer hat´ arszélén lév˝o poz´ıciójuknál fogva – periodikus hat´ arfeltételek hat´ as´ anak van al´ avetve, ´ıgy a nyolcb´ ol csupán kett˝o (7 és 8) tekinthet˝ o valódi bels˝ o csom´ opontnak. Az x, y ir´ any´ u periodikus hat´ arfeltételek kiszabása tovább´ a azt idézi el˝ o, hogy az x − y s´ıkban kiter´ıtett rendszerb˝ ol egy zárt, térbeli fel¨ ulet jön létre, amely egy tóruszt fesz´ıt ki. A keletkez˝o tóruszt a 24.b ´ abra prezent´ alja, ahol a toroid´ alis körvonalat R, m´ıg a poloid´ alis körvonalat r jelöli. A t´ orusz képz˝ odése sor´ an az x tengely az r, az y tengely pedig az R körvonalra simul r´ a, aminek következtében poloid´ alis ir´ anyban nx , toroid´ alis ir´ anyban pedig ny transzlatált hatsz¨ og burkolja be periodikusan a t´ orusz fel¨ uletét. A kiindul´ opontok r¨ ogz´ıtése ut´ an fel´ırtam a rendszer Hamilton-oper´ ator´ at, amelyet (4) szerkezetét követve a ˆ = H + + + + + +

X

t cˆ†1,σ cˆ2,σ + cˆ†1,σ cˆ4,σ + cˆ†1,σ cˆ6,σ + cˆ†2,σ cˆ3,σ + cˆ†2,σ cˆ5,σ + cˆ†3,σ cˆ4,σ

σ † cˆ3,σ cˆ8,σ + cˆ†4,σ cˆ7,σ + cˆ†5,σ cˆ6,σ + cˆ†5,σ cˆ8,σ + cˆ†6,σ cˆ7,σ + cˆ†7,σ cˆ8,σ t′I cˆ†1,σ cˆ3,σ + t′I cˆ†1,σ cˆ7,σ + t′I cˆ†2,σ cˆ4,σ + t′I cˆ†2,σ cˆ6,σ + t′I cˆ†3,σ cˆ7,σ t′I cˆ†4,σ cˆ6,σ + t′II cˆ†1,σ cˆ5,σ + t′II cˆ†1,σ cˆ7,σ + t′II cˆ†4,σ cˆ6,σ + t′II cˆ†4,σ cˆ8,σ t′II cˆ†5,σ cˆ7,σ + t′II cˆ†6,σ cˆ8,σ + t′III cˆ†2,σ cˆ6,σ + t′III cˆ†2,σ cˆ8,σ + t′III cˆ†3,σ cˆ5,σ t′III cˆ†3,σ cˆ7,σ + t′III cˆ†5,σ cˆ7,σ + t′III cˆ†6,σ cˆ8,σ + t′IV cˆ†1,σ cˆ3,σ + t′IV cˆ†1,σ cˆ5,σ t′IV cˆ†2,σ cˆ4,σ + t′IV cˆ†2,σ cˆ8,σ + t′IV cˆ†3,σ cˆ5,σ + t′IV cˆ†4,σ cˆ8,σ + H.c.

+ U n ˆ 1,↑ n ˆ 1,↓ + n ˆ 2,↑ n ˆ 2,↓ + n ˆ 3,↑ n ˆ 3,↓ + n ˆ 4,↑ n ˆ 4,↓ + n ˆ 5,↑ n ˆ 5,↓ + n ˆ 6,↑ n ˆ 6,↓ (144) + n ˆ 7,↑ n ˆ 7,↓ + n ˆ 8,↑ n ˆ 8,↓

kifejezéssel definiáltam. Ami (144) paramétereit illeti, t els˝ oszomszéd, m´ıg t′I , t′II , t′III , t′IV m´ asodszomszéd hoppingokat jelen´ıtenek meg, az U csatol´ asi álland´ o pedig a r´ acs ¨ osszes csom´ opontján ugyazazt az értéket veszi fel. Ezek mellett azonban nem t¨ untettem fel lokális egyrészecske-potenci´ alokat tartalP P maz´ o σ i ǫi n ˆ i,σ alak´ u¨ osszegjárulékot. Ennek az a magyar´ azata, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes rendszer kémiai összetételét tekintve teljesen homogén, hiszen minden csom´ opontját egy szénatom tölti be, és a periodikus hat´ arfeltételek miatt minden szénatom, ekvivalens m´ odon, h´ aromel´ agazás´ u csom´ opontban foglal helyet. Így ǫi = ǫ minden csom´ oponton azonos értékkel vehet˝ o figyelembe, ami azt eredményezi, hogy a Hamilton-oper´ atorban a P P8 ǫ n ˆ = 2·8·ǫ konstans jelenik meg. Mivel azonban egy Hamiltonσ i=1 i i,σ oper´ atorbeli ´ alland´ o nem befoly´ asolja a konkrét fizikai tartalmat, az egyrészecske-potenci´ al t´ıpus´ u tagok modellszinten vett kiiktat´ asa helytálló. A (144) Hamilton-oper´ ator paramétereit grafikusan a 25. ábra mutatja be. A rajz világosan érzékelteti, hogy a rendszerben összesen 12, megvastag´ıtott vonallal jelölt t, illetve 24, szaggatott vonallal jelölt t′ hopping értelmezhet˝o,

92

8. fejezet

a bekarikázott cs´ ucspontok pedig a rendszert alkotó 8 csom´ opontot emelik ki, melyeken az U csatol´ asi álland´ o definiálhat´ o. A csom´ opontok bekarikáz´ as´ aval, illetve a hatsz¨ ogek oldaléleinek megvastag´ıtás´ aval biztos´ıthat´ o, hogy minden U -, illetve t-járulék csak egyszer szerepeljen, hiszen a be nem karikázott csom´ opontok, illetve a meg nem vastag´ıtott oldalélek figyelembevétele a periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ asa folyt´ an duplik´ alt tagokat ′ gener´ alna a Hamilton-oper´ atorban. A t hoppingok esetében a periodikus hat´ arfeltételek nem idéznek el˝o közvetlen átfedést, ´ıgy a szaggatott vonalak ´ altal reprezent´ alt elektronugr´ asok mindegyike egyszeresen ép¨ ul be a Hamilton-oper´ atorba. Mivel azonban a t′ ugr´ asok végpontjai a rendszer hat´ arszélein helyezkednek el, a Hamilton-oper´ atorban megjelennek olyan tagok, melyek azonos oper´ atori indexekkel rendelkeznek, ezért a t′ hoppingok I − IV r´ omai indexeinek felt¨ untetésével sz¨ ukségszer˝ u egyértelm˝ us´ıteni, hogy az adott m´ asodszomszéd ugr´ as melyik hatsz¨ ogben történik. A t′I , t′II , t′III , t′IV jelölés teh´ at inkább csak technikai jelleg˝ u megk¨ ulönb¨ oztetés, mert egyébként érték¨ uket tekintve minden m´ asodszomszéd ugr´ as ekvivalens, azaz t′I = t′II = ′ ′ ′ tIII = tIV = t . 11 00 00 11 00 11

I.

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

III. 11 00 00 11 00 11

t t’ U II.

11 00 00 11 00 11

IV.

11 00 00 11 00 11

00 11 11 00 00 11

11 00 00 11 00 11

25. ´ abra

: A (144) Hamilton-operátor paramétereinek szemléltetése.

A (144) Hamilton-oper´ ator által jellemzett méhsejtes r´ acsban N = 4 elektront helyeztem el, és a rendszer egzakt alap´ allapotát a 4.3. alfejezetben tárgyalt ATAM m´ odszer seg´ıtségével hat´ aroztam meg.

8.2. A teljes H Hilbert-t´ er konstrukci´ oja A 4.3. alfejezetben r¨ ogz´ıtett u ´tmutat´ asoknak megfelel˝oen, a teljes Hilbert-tér b´ azisvektorait a szingulett állapotot megvalós´ıtó N = 4 elektron lehetséges konfiguráci´ oi determinálják. Négy elektron esetén, az adott elrendezésben el˝ ofordul´ o duplán betöltött csom´ opontok sz´ ama alapján, h´ arom alapvet˝ o konfiguráci´ ot´ıpus k¨ ul¨ onb¨ oztethet˝ o meg, melyek képi megjelen´ıtéseit a 26. ´ abra szemlélteti.

8. fejezet

93 a.) 00 i 11 00 11 00 11

00 11 j 11 00 00 11

b.)

c.)

i

00 11 11 00 00 11

l 00000 11111 j 00000 11111 00000 11111

j k

26.

abra ´

00000 11111 00000 11111

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

i

k

: A négy elektron által potenciálisan létrehozható három kon-

figur´ aci´ ot´ıpus (b´ azisvektort´ıpus), melyekben a fekete k¨ or¨ ok dupla bet¨ olt´ eseket reprezent´ alnak, a szaggatott vonal antiparallel, a folytonos vonalak pedig parallel elektronp´ arokat jelen´ıtenek meg.

Az ´ abra a.), b.), c.) rajzai egy-egy péld´ at mutatnak be a h´ arom lehetséges konfiguráci´ ot´ıpusra vonatkozóan, melyekben rendre 2, 1, 0 fekete pettyel jelölt, duplán bet¨ olt¨ ott csom´ opont szerepel. A rajzok további grafikus elemeit illet˝ oen, tetsz˝ oleges (j, k) csom´ opontokat összeköt˝o szaggatott vonal mindig egy olyan antiparallel elektronp´ art definiál, melynek σ (−σ) spinvet¨ ulet˝ u elektronja a j, −σ (σ) spinvet¨ ulet˝ u elektronja pedig a k csom´ oponton jelenik meg. Tetsz˝ oleges (i, j), illetve (k, l) csom´ opontokat összekapcsol´ o folytonos vonalak pedig minden esetben olyan parallel elektronp´ arokat jelölnek, melyek tagjai az (i, j) csom´ opontp´ art σ (−σ), m´ıg a (k, l) csom´ opontp´ art −σ (σ) spinvet¨ ulettel foglalj´ ak el. A 26. ábra b´ azisvektort´ıpusai a következ˝o matematikai formul´ akkal ´ırhat´ ok le: A 26.a konfigurációt a |ψa (i, j)i = cˆ†i,σ cˆ†i,−σ cˆ†j,σ cˆ†j,−σ |0i (145) állapotvektor értelmezi, melyben |0i a vákuum´ allapotot jelöli, és i 6= j igaz. A (145) t´ıpus´ u b´ azisvektorok fel´ır´ asakor az i < j feltétel kik¨ otésével könnyedén elker¨ ulhet˝ o egyazon állapotvektor kett˝oz˝odése. A 26.b elrendez˝ odés a 1 (146) |ψb (i; j, k)i = √ cˆ†i,σ cˆ†i,−σ cˆ†j,σ cˆ†k,−σ + cˆ†k,σ cˆ†j,−σ |0i 2

kifejezéssel jellemezhet˝ o, ahol az i 6= j, i 6= k és a j 6= k egyenl˝ otlenségek teljes¨ ulése automatikusan biztos´ıtja a b´ azisvektorok egyszeres figyelembevételét. Vég¨ ul, a 26.c konstrukciót a

1 |ψc (j, i; l, k)i = √ cˆ†j,σ cˆ†i,σ cˆ†l,−σ cˆ†k,−σ + cˆ†j,−σ cˆ†i,−σ cˆ†l,σ cˆ†k,σ |0i (147) 2

b´ azisvektor definiálja oly m´ odon, hogy i 6= j 6= k 6= l, és a duplex állapotvektorok kizár´ asa érdekében célszer˝ u kiszabni a j > i, l > k kond´ıciókat. N = 4, NΛ = 8 esetén teh´ at a (145-147) formul´ akkal le´ırt, ortonormált állapotvektorok ¨ osszessége adja a teljes Hilbert-tér b´ azisvektorait, ´ıgy H di-

94

8. fejezet

menzi´ oja a (145-147)-ben foglalt h´ arom vektort´ ıpus járulékainak összegzése 8 8 7 2 8 6 nyom´ an dimH = 2 + 1 · 2 · 1 + 2 · 2 = 784.

8.3. A reduk´ alt S Hilbert-t´ er konstrukci´ oja A 4.3. alfejezet 1. l´ ep´ ese szerint, az (M1-M2) észrevételek felhaszn´ alás´ aval megszerkesztettem az S altér induló |i1 i ≡ |1i b´ azisvektorát, melyet matematikailag az |1i =

1 |ψa (2, 3)i + |ψa (6, 7)i + |ψa (8, 5)i + |ψa (4, 1)i 2

(148)

kifejezés hat´ aroz meg. (148) |ψa (i, j)i tagjainak szerkezetét a (145)-ben r¨ ogz´ıtett formula ´ırja el˝ o, és az (i, j) csom´ opontok sz´ amoz´ asa természetesen továbbra is a 24.a ´ abra jelöléseit követi. Az |1i b´ azisvektor felép´ıtését grafikusan a 3. F¨ uggelékben mellékelt F3.1 ábra els˝ o rajza demonstrálja, ahol megfigyelhet˝ o a négy ekvivalens poz´ıció, melyben a hatsz¨ ogek x tengellyel p´ arhuzamos oldalélei mentén elhelyezked˝ o duplán betöltött csom´ opontp´ ar létezhet a r´ acsban. K¨ ovetve a m´ odszer 2. l´ ep´ es´ et, a (148) induló állapotvektor birtokában, ˆ a (144) Hamilton-oper´ ator alkalmaz´ as´ aval el˝oáll´ıtottam H|1i egyenletét, amely a ˆ H|1i = 2U |1i + 2t|8i + 2t|10i + 4t′ |17i + 4t′ |18i + 4t′ |22i

(149)

alak ´ altal adott tagokat produkálja. L´ athat´ o, hogy a (149) egyenletben |1i mellett ¨ ot u ´j, line´ arisan f¨ uggetlen b´ azisvektor jelenik meg, amiket a |8i, |10i, |17i, |18i, |22i jelölésekkel láttam el, és strukt´ ur´ ajuk az F3.1, illetve az F3.2 ´ abr´ ak megfelel˝o rajzain követhet˝ o nyomon. Itt jegyzem meg, ˆ hat´ hogy a H asa nyom´ an u ´jonnan létrejöv˝o b´ azisvektorok sz´ amoz´ as´ anak kialak´ıt´ asakor nem a vektorok megjelenési sorrendjét vettem figyelembe, hanem – a könnyebb ´ atl´ athat´ os´ ag és a világos rendszerezés kedvéért – a (145147) ´ altal adott strukturális sorrend betart´ asa mellett, az állapotvektorokat szerkezeti felép´ıtés¨ uk szerint soroltam be, amit az F3.1-F3.6 ábr´ ak összessége egyértelm˝ uen t¨ ukr¨ oz. Az F3.1-F3.6 ábr´ ak b´ azisvektorait jellemz˝o matematikai kifejezések pedig a következ˝o instrukciók szerint állap´ıthat´ ok meg: i.) Egy adott vektor ¨ osszes járulékát fel kell ´ırni a (145-147)-ben deklarált szab´ alyszer˝ uségek alapján. ii.) Az ily m´ odon kapott járulékokat össze kell adni. iii.) Az ´ allapotvektorok ortonormált mivoltának biztos´ıtása végett az összeget normálni kell. Ezek ut´ an, a m´ odszer 3. l´ ep´ es´ eben megfogalmazott feladatnak megfeˆ ˆ lel˝ oen, kiszám´ıtottam a 2. l´ ep´ esben kapott u ´j b´ azisvektorok H|8i, H|10i,

8. fejezet

95

ˆ ˆ |18i, H ˆ |22i egyenleteit, melyek a H|17i, H ˆ H|8i = 2t|1i + 2t|4i + U |8i + 2t′ |10i + 2t′ |14i + t|22i + t|25i + 2t′ |27i + 2t′ |28i − 2t|37i − 2t′ |42i − 2t′ |43i − 2t′ |47i + t|52i − 2t|53i + t|57i − 2t′ |65i,

ˆ H|10i = 2t|1i + 2t|5i + 2t′ |8i + U |10i + 2t′ |15i + t|22i + t|25i + 2t′ |26i + 2t′ |28i − 2t|38i + 2t′ |41i − 2t′ |44i + 2t′ |47i + t|52i + 2t|54i + t|57i + 2t′ |66i,

ˆ H|17i = 4t′ |1i + 4t′ |3i + U |17i + 2t′ |18i + 2t′ |19i + 2t′ |20i + 2t′ |22i + t|26i + t|28i − 4t′ |29i + 2t′ |32i + 2t′ |34i

+ 4t′ |37i + t|41i + t|47i − 2t′ |50i − 2t′ |52i,

ˆ H|18i = 4t′ |1i + 4t′ |2i + 2t′ |17i + U |18i + 2t′ |19i + 2t′ |21i + 2t′ |22i + t|27i + t|28i + 4t′ |30i + 2t′ |31i + 2t′ |34i + 4t′ |38i − t|42i − t|47i + 2t′ |51i − 2t′ |52i,

ˆ H|22i = 4t′ |1i + 4t′ |7i + t|8i + t|10i + t|14i + t|15i + 2t′ |17i

+ 2t′ |18i + 2t′ |20i + 2t′ |21i + U |22i + 2t′ |31i + 2t′ |32i − 4t′ |33i − t|43i − t|44i − 2t′ |50i + 2t′ |51i − t|65i

+ t|66i + 4t′ |68i

(150)

kifejezések form´ ajában val´ osulnak meg. A (150)-ben u ´jonnan létrejöv˝o b´ azisvektorok szerkezetét az F3.1-F3.6 ábr´ ak megfelel˝o grafikái prezentálják. ˆ hat´ Vég¨ ul, (150) u ´j ´ allapotaib´ ol kiindulva, H asa nyom´ an u ´jabb és u ´jabb egyenleteket gener´ altam, és a proced´ ur´ at addig folytattam, am´ıg az egyenletrendszer be nem z´ arult, azaz am´ıg el nem érkeztem a vektorkészlet utols´ o, |iz i z´ ar´ oeleméhez, melyet ez esetben |i70 i ≡ |70i definiál. Teh´ at a reduk´ alt Hilbert-tér dimenziója dimS = 70. Az 1., 2., 3. l´ ep´ esek eredményeit egybevetve, a reduk´ alt S Hilberttérben z = 70 line´ arisan f¨ uggetlen, ortonormált állapotvektor alakul ki, melyek S b´ azis´ at alkotják, és a 70 b´ azisvektor összes´ıtett egyenleteit a 4. F¨ uggelék (F4) jelzés˝ u t¨ ombjében adom meg. Az F3.1-F3.6 ábr´ ak rajzain az (F4)-ben foglalt |1i, |2i, |3i, ..., |70i állapotvektorok mindegyike szerepel, és még egyszer pontos´ıtom, hogy a b´ azisvektorok matematikai formul´ ait az egyes vektorj´ arulékoknak a (145-147)-ben r¨ ogz´ıtett szab´ alyszer˝ uségek alapján fel´ırt, normalizált ¨ osszege hat´ arozza meg, a rajzok csom´ oponti sz´ amoz´ asait illet˝ oen pedig a 24.a ´ abra jelölései a mérvad´ ok. Az (F4) egyenletrendszerrel kapcsolatban érdemes felfigyelni arra, hogy ˆ sorozatos hat´ az |1i vektorb´ ol kiindulva, H asai folyt´ an az egyenletekben megjelennek a |2i és a |3i ´ allapotvektorok is, melyek fajtájukat tekintve az

96

8. fejezet

|1i b´ azisvektor ´ altal képviselt kategóri´ aba sorolhatók, hiszen az |1i, |2i, |3i állapotok mindegyike olyan elektronkonfigurációt val´ os´ıt meg, melyben a két duplán bet¨ olt¨ ott csom´ opont közötti távols´ ag a lehet˝ o legkisebb, azaz legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o elektronkonfigurációnak titul´ alhat´ ok (l. F3.1 ´ abra). |1i, |2i, |3i egy oszt´ alyba rendezése valóban nem alaptalan, mert az (F4) egyenletrendszer teljes egészében reprodukálhat´ o azokban az esetekben is, amikor a |2i vagy a |3i b´ azisvektort tekintj¨ uk az egyenletrendszer kiindul´ opontjának. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy |1i helyett |2i vagy |3i t¨ olti be az induló vektor szerepét, amelyre a (144) Hamilton-oper´ atorral ˆ az u hatva, majd H-t ´jonnan keletkez˝o állapotokra sorozatosan alkalmazva, (F4) identikus m´ odon visszaad´ odik. Az |1i, |2i, |3i b´ azisvektorokkal kapcsolatban még egy fontos észrevételt szeretnék megeml´ıteni. Ezen legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o |1i, |2i, |3i állapotok jellemz˝oit érdekességképpen összehasonl´ıtottam egy kor´ abbi tanulm´ any [242] eredményeivel. A szerz˝ ok [242]-ben egy NΛ = 16 csom´ opontb´ ol felép¨ ul˝ o, N = 4 elektront tartalmaz´ o négyzetes r´ acsot tanulm´ anyoztak az ATAM m´ odszer alkalmaz´ as´ aval, ahol dimH = 14400 és dimS = 85. A [242]beli legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o konfigurációk a duplán betöltött csom´ opontp´ ar adott csom´ opont kör¨ uli 90◦ -os elforgatás´ aval jönnek létre, ami egybevág azzal a kör¨ ulménnyel, hogy a rendszer maga is 90◦ -os forgási szimmetriával rendelkezik. Ennek következtében az összes legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o konfiguráció egyetlen induló állapotvektort képez. Az általam vizsgált méhsejtes rendszer esetében azonban m´ asfajta viselkedést tapasztaltam. Az F3.1 ´ abr´ an ugyanis megfigyelhet˝ o, hogy az |1i, |2i, |3i vektorok egyes komponensei a duplán betöltött csom´ opontp´ ar adott csom´ opont ◦ kör¨ uli 120 -os elforgatása révén alakulnak ki (pl. a csom´ opontp´ ar 2 sz´ am´ u csom´ opont kör¨ uli 120◦ -os elforgatásai az |1i vektor els˝ o, a |2i vektor m´ asodik, illetve a |3i vektor els˝ o rajzát eredményezik). Maga a rendszer azonban kicsi mérete miatt nem rendelkezik a méhsejtr´ acsra elv´ art szimmetriatulajdons´ agokkal, ´ıgy a 120◦ -os s´ıkbeli forgatással szemben sem mutat invarianci´ at, ezért az |1i, |2i, |3i állapotok szeparált m´ odon jelennek meg, és nem ad´ odhatnak ¨ ossze egyetlen induló vektorban. Végeredményben teh´ at a szimmetriatulajdons´ agokból ad´ od´ o k¨ ul¨ onbségek vezetnek ahhoz, hogy m´ıg a négyzetes rendszer esetében (dimH = 14400, dimS = 85) két nagyságrendnyi, addig az elemzett hatsz¨ oges pr´ obatest esetében (dimH = 784, dimS = 70) egy nagys´ agrendnyi eltérés mutatkozik a teljes és a reduk´ alt Hilbert-tér dimenziója köz¨ ott.

8. fejezet

97

8.4. A rendszer alap´ allapota A 4.3. alfejezetben jelzett (24) m´ atrix ez esetben az (F4) egyenletrendszer ˜ az egy¨ utthat´ oib´ ol ép¨ ul fel, ezért M ˜ ≡ M(t, ˜ t′ , U ) M

(151)

formula szerint argument´ alhat´ o, és (151) értelemszer˝ uen egy (70 × 70)-es méret˝ u kompoz´ıci´ ot alkot. A rendszer alap´ allapotának meghat´ aroz´ as´ ahoz fel kellett t´ arnom a (151) m´ atrix spektrum´ at, amit a 4.3. alfejezetben eml´ıtett egzakt diagonaliz´ aciós eljár´ assal sz´ am´ıtottam ki, majd a kapott spektrumb´ ol kikerestem a legkisebb sajátértékhez tartoz´ o sajátvektort. Az ily m´ odon el˝ o´ all´ıtott alap´ allapoti megold´ asok ellen˝ orzése céljáb´ ol elvégeztem a teljes Hilbert-térbeli (784 × 784)-es m´ atrix egzakt diagonaliz´ acióját is, melynek eredményeit ¨ osszehasonl´ıtottam a reduk´ alt Hilbert-térben kapott spektrummal, és meg´ allap´ıtottam, hogy a (784 × 784)-es m´ atrix ugyanazt az alap´ allapotot reproduk´ alja, mint a (70 × 70)-es. Ennek tudat´ aban teh´ at a rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvénye a |ψg i =

70 X i=1

xi |ii

(152)

összeggel adhat´ o meg, melyben az xi koefficiensek konkrét sz´ amértékei az egzakt diagonaliz´ aci´ o eredményeképpen állnak el˝o, az |ii, i = 1, 2, 3, ..., 70, b´ azisvektorokat pedig az F3.1-F3.6 ábr´ ak összes´ıtik. t′ = 0 U 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

-8.000000000000 -7.826052697604 -7.675901871093 -7.545391958586 -7.431230836069 -7.330781976775 -7.241912968838 -7.162884307355 -7.092266429238 -7.028876746763 -6.971731130272

t′ = 0.1 Eg -7.200000000000 -7.029096523521 -6.886663391590 -6.766883213589 -6.665278322743 -6.578374280956 -6.503455227928 -6.438383639055 -6.381465768299 -6.331350302916 -6.286951600765

t′ = 0.5 -8.000000000000 -7.826554868506 -7.678117036240 -7.550564402476 -7.440430706187 -7.344831780650 -7.261386257598 -7.188137025326 -7.123478675601 -7.066093843884 -7.014899323332

1. T´ abl´ azat: Eg alap´ allapoti energia´ ert´ ekek U f¨ uggv´ eny´ eben t′ = 0, ′ ′ t = 0.1, illetve t = 0.5 eset´ en.

Az 1. T´ abl´ azatban a t′ = 0, t′ = 0.1, t′ = 0.5 hoppingértékek kiv´ alasztás´ aval példaként felt¨ untettem néh´ any Eg alap´ allapoti energiaértéket az U

98

8. fejezet

csatol´ asi ´ alland´ o f¨ uggvényében u ´gy, hogy minden energia dimenziój´ u menynyiség a t egység szerint van skálázva. A tábl´ azatban szerepl˝o adatok a reduk´ alt Hilbert-térben kapott legkisebb sajátértékeket jelen´ıtik meg, melyek tökéletes egyezést mutatnak a teljes Hilbert-térben ad´ od´ o alap´ allapoti energiaértékekkel. Ez al´ at´ amasztja azt a tényt, hogy a reduk´ alt Hilbert-tér 8.3. alfejezetben részletezett konstrukciója helyes, ennélfogva az S altérben kiszám´ıtott legkisebb sajátértékek a hozz´ ajuk tartoz´ o sajátvektorokkal egy¨ utt val´ oban a rendszer alap´ allapotát definiálják.

8.5. S b´ azisvektorainak konstrukci´ oja Ebben az alfejezetben szeretnék r´ avilág´ıtani az F3.1-F3.6 ábr´ akon vázolt |1i − |70i b´ azisvektorok konstrukciójának sajátos ismérveire, melyek voltaképpen a tanulm´ anyozott rendszer kis méretének és a periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ as´ anak egy¨ uttes következményeiként ad´ odnak. A 8.1. alfejezetben ugyanis m´ ar utaltam arra, hogy a rendszer csom´ opontjainak többsége a r´ acs hat´ arszélein lév˝o poz´ıciókban helyezkedik el. Ennek következtében igen er˝ oteljesen érvényes¨ ulnek a periodikus hat´ arfeltételek hat´ asai, melyek domináns mivoltukból ered˝ oen sz¨ ukségszer˝ u lenyomatot képeznek az ´ allapotvektorok szerkezeti felép´ıtésében is. Ahogyan az F3.1-F3.6 ábr´ ak rajzain is nyomon követhet˝ o, a b´ azisvektorok maximálisan kett˝o, négy vagy nyolc grafikus komponenssel rendelkeznek, ´ıgy b´ armely |ii, i = 1, 2, 3, ...70, vektor az |ii = Ni

m max X m=1

|im i

(153)

fel´ır´ as szerint realiz´ alhat´ o. (153)-ban az Ni faktor az adott állapot normálts´ ag´ at biztos´ıtja, mmax értéke a grafikus komponensek sz´ am´ atól f¨ ugg˝ oen 2, 4 vagy 8, az |im i ´ allapotok pedig az |ii vektort alkotó Ci,m , m = 1, ..., mmax , konfiguráci´ okat prezent´ alják, melyek matematikailag a (145-147)-ben adott szab´ alyszer˝ uségek alapján megkonstruált formul´ akkal definiálhat´ ok. Az egyértelm˝ uség kedvéért megjegyzem, hogy az F3.1-F3.6 ábr´ ak rajzain egy adott |ii vektor Ci,m konfiguráci´ oi n¨ ovekv˝ o m index szerint követik egymást. A (153) |ii ´ allapotok Ci,m konfigurációinak egy egységes kép szerinti áttekintéséhez a következ˝ o szempontok figyelembevétele sz¨ ukséges: i.) Minden |ii ´ allapot sor´ aban az els˝ o konfiguráció, azaz Ci,1 adottnak tekintett. ii.) A sorban következ˝ o, további Ci,m>1 konfigurációk pedig Ci,1 -b˝ ol kiindulva, elemi szimmetriatranszform´ aciók alkalmaz´ as´ aval sz´ armaztathatók. A szimmetriam˝ uveletek értelmezéséhez négy tengelyt vettem fel a hatsz¨ oges r´ acsban, melyeket a γ = a, x, y1 , y2 jelölésekkel láttam el, és ir´ any´ıtásukat a 27. ´ abr´ an t¨ untettem fel.

8. fejezet

99

a x

y1 y2 27. ´ abra

: A rendszerben értelmezett a, x, y1 , y2 tengelyek ábrázolása.

A Ci,m>1 konfiguráci´ ok szerkesztéséhez két alapvet˝o szimmetriatranszform´ aci´ ot vezettem be, melyeket a T r(γ 6= x), illetve az R(γ 6= a) jelölés prezentál. T r(γ 6= x) egy transzláci´ ot valós´ıt meg a γ 6= x tengely mentén u ´gy, hogy az adott konfiguráci´ ot tengelyirányban eltolja b vektorral, melynek hossza megegyezik a hatsz¨ ogek m´ asodszomszéd távols´ agával. R(γ 6= a) pedig egy rot´ aci´ ot hoz létre oly m´ odon, hogy az adott konfigurációt 180◦ -os sz¨ oggel elforgatja a γ 6= a tengely kör¨ ul. A fenti konvenci´ ok alkalmaz´ as´ aval b´ armely |ii, i = 1, 2, 3, ..., 70, b´ azisvektor Ci,m>1 konfigurációi a Ci,2 = T r(y1 ) Ci,1 ,

Ci,3 = R(y1 ) Ci,1 ,

Ci,5 = [R(x)T r(a)] Ci,1 , Ci,7 = R(y2 ) Ci,5 ,

Ci,4 = T r(y1 ) Ci,3 ,

Ci,6 = T r(y2 ) Ci,5 ,

Ci,8 = T r(y2 ) Ci,7

(154)

oper´ aci´ ok nyom´ an jönnek létre. Az mmax = 8 grafikus komponenst tartalmaz´ o |ii vektorok esetében (154) Ci,m>1 konfigurációi a hatsz¨ oges r´ acs effekt´ıve k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o csom´ opontjaira pozicion´ alódnak. Ezzel szemben az mmax = 4, illetve az mmax = 2 komponenssel rendelkez˝o |ii vektorok esetében (154) bizonyos Ci,m>1 járulékai egybevágnak, ezért a Ci,2 , ..., Ci,8 által adott készlet multiplik´ alt konfigurációkat foglal mag´ aba. Az F3.1-F3.6 ábr´ ak |1i, |2i, |3i, ..., |70i készletéb˝ ol példaként kiv´ alasztottam néh´ any vektort, melyek esetében a 28. ´ abr´ an grafikusan is ábr´ azoltam a (154) transzformációk egymást követ˝ o lépéseit. Megfigyelhet˝ o, hogy az adott |ii vektor Ci,m konfiguráci´ oinak m indexe a rajzok fölé van helyezve, a P = T r, R transzform´ aci´ okat illet˝ oen pedig – a képi redundancia elker¨ ulése végett – a Ci,m′ = m P (γ) Ci,m = P (γ) jelölést alkalmaztam, amely mindig a P m (γ) transzform´ aci´ o´ altal el˝ o´ all´ıtott konfiguráció rajza alatt jelenik meg. A 28.a ábra az mmax = 8 komponenst tartalmaz´ o |8i és |31i vektorok szerkesztését mutatja be, és világosan l´ atszik, hogy nem fordulnak el˝ o multiplikált konfiguráci´ ok, azaz C8,m és C31,m , m = 1, 2, ..., 8, mindegyike egyszer jelenik meg. A 28.b ´ abr´ an az mmax = 4 komponenssel rendelkez˝o |1i és |7i vektorok konstrukci´ oja követhet˝ o nyomon, ahol jól láthat´ o, hogy mind a négy

100

8. fejezet

konfiguráci´ o kétszer szerepel, azaz C1,1 ≡ C1,3 , C1,2 ≡ C1,4 , C1,5 ≡ C1,7 , C1,6 ≡ C1,8 , illetve C7,1 ≡ C7,4 , C7,2 ≡ C7,3 , C7,5 ≡ C7,8 , C7,6 ≡ C7,7 . Vég¨ ul, a 28.c ´ abra az mmax = 2 komponensb˝ol felép¨ ul˝ o |29i és |70i vektorok el˝ o´ all´ıt´ as´ at péld´ azza, ahol észrevehet˝ o, hogy mindkét konfiguráció négyszer fordul el˝ o, azaz C29,1 ≡ C29,3 ≡ C29,6 ≡ C29,8 , C29,2 ≡ C29,4 ≡ C29,5 ≡ C29,7 , illetve C70,1 ≡ C70,4 ≡ C70,5 ≡ C70,8 , C70,2 ≡ C70,3 ≡ C70,6 ≡ C70,7 . A fentebbi okfejtés teh´ at világosan mutatja, hogy az F3.1-F3.6 ábr´ ak összes |ii vektora a (154)-ben felsorakoztatott transzformációs lépések alkalmaz´ as´ aval gener´ alhat´ o, azzal a kitétellel, hogy a megadott szimmetriatranszform´ aciók a négykomponens˝ u vektorokat duplik´ alt, a kétkomponens˝ ueket pedig kvadruplik´ alt form´ aban produk´ alják. 8 vektor 1

2

3

1 0 0 1

4

5

6

7

8

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

1

1

1

3

[R(x)Tr(a)]

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 )

1 0 0 1

1 0 0 1

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 )

31 vektor 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

3

[R(x)Tr(a)]

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 )

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 ) 28.a

1 vektor 1

2

1 0 0 0 1 1 0 1

3

4

5

6

7

8

1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0

1

1

1

3

[R(x)Tr(a)]

1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 )

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 ) 7 vektor 1

2

3

1 0 0 1

4

5

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

6

1

3

8

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

1

1

7

1 0 1 0

[R(x)Tr(a)]

1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 )

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 ) 28.b

8. fejezet

101 29 vektor 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

3

[R(x)Tr(a)]

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 )

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 )

70 vektor 1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

3

[R(x)Tr(a)]

Tr (y1 ) R (y1) Tr (y1 )

5

5

7

Tr (y2 ) R (y2) Tr (y2 ) 28.c

28. ´ abra

: A nyolckomponens˝ u |8i ´ es |31i, a n´ egykomponens˝ u |1i ´ es |7i, il-

letve a k´ etkomponens˝ u |29i ´ es |70i vektorok grafikus szerkeszt´ ese a (154)-ben osszegy˝ ¨ ujt¨ ott transzform´ aci´ os l´ ep´ esek alkalmaz´ as´ aval.

8.6. Az alap´ allapot fizikai tulajdons´ agai A reduk´ alt S Hilbert-térben meghat´ arozott (152) hull´ amf¨ uggvény és a hozz´ a tartoz´ o alap´ allapoti energia ismeretében sz´ amos alap´ allapoti tulajdonság elemezhet˝ o. A vizsgálataim sor´ an els˝ oként azt tanulm´ anyoztam, hogy az alap´ allapoti energia hogyan f¨ ugg a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségét˝ol, azaz Eg hogyan változik U f¨ uggvényében. Szakirodalmi adatok azt jegyzik, hogy a Hubbard-t´ıpus´ u modellek esetében, egydimenzi´ os [252-254] és kétdimenziós [255] rendszerekben egyar´ ant gyakran tapasztalható olyan karakterisztika, mely szerint a szingulett alap´ allapoti energia véges tartom´ anyon n¨ ovekv˝ o Uval folyamatosan n¨ ovekszik. Emellett az is ismeretes, hogy integr´ alhat´ o egydimenziós rendszerek Bethe Ansatz m´ odszerrel sz´ amolt alap´ allapoti energi´ aja az U → ∞ hat´ aresetben szaturációt mutat [256], azonban ez a viselkedés a rendszer ferrom´ agneses mivoltával kapcsol´ odik össze [257]. Mindezek alapján teh´ at azt várhatnánk, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes szerkezet˝ u, kétdimenzi´ os rendszer esetében folyamatosan n¨ ovekv˝ o Eg (U ) f¨ uggvény ad´ odik, ann´ al is inkább, mert a legnagyobb kölcs¨ onhat´ ast képvisel˝o részecskekonfigur´ aci´ ok (nevezetesen az |1i, |2i, |3i vektorok) az alap´ allapot részét képezik. Ezzel szemben az egzakt diagonaliz´ aciós eljár´ ason alapul´ o sz´ am´ıtásaim m´ as jelleg˝ u grafikonokat produk´ altak, ugyanis azt az eredményt kaptam, hogy n¨ ovekv˝ o U mellett a négyrészecskés szingulett alap´ allapoti energia tel´ıtésbe fordul. Egy konkrét péld´ at szemléltet a 29.a ábra, amely a t′ /t = 0.5 érték be´ all´ıt´ as´ aval kész¨ ult.

102

8. fejezet a.)

b.)

-6.0 -6.4

-6.8 -7.2

-7.2

-7.6

-8.0

Eg

Eg

-6.4

0 20 40 60 80 100

-8.0 0

2000 4000 6000 8000 10000

U 29. ´ abra

-10.6 -10.8 -11.0 -11.2 -11.4 -11.6 -11.8 -12.0

-10.8 -11.2 -11.6 -12.0 0 20 40 60 80 100

0

2000 4000 6000 8000 10000

U

: Az Eg alapállapoti energia tel´ıtési görbéje a kölcsönhatást jellemz˝o

U param´ eter f¨ uggv´ eny´ eben a.) hatsz¨ oges, illetve b.) n´ egyzetes r´ acs eset´ en.

További elemzéseim sor´ an az is világoss´ a vált, hogy a bemutatott tel´ıtési g¨ orbe nem kizár´ olag a grafén t´ıpus´ u rendszerek specifikuma, hiszen a négyzetes r´ acsok Eg (U ) f¨ uggvénye is hasonló tulajdons´ agot mutat. A 29.b ábra egy (4 × 4)-es kiterjedés˝ u, N = 4 elektront tartalmaz´ o négyzetes r´ acs szingulett alap´ allapoti energi´ aját jelen´ıti meg a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében. A 29.b grafikont a [242]-ben felt¨ untetett publik´ ació adatainak felhaszn´ alás´ aval rajzoltam meg. A 29. ´ abra minden mennyiségét a t egység skálázza, és mindkét rajz esetében megfigyelhet˝ o, hogy a szaturáció az 1000-es lépték˝ u skála viszonylatában elég hamar, kb. az U = 40 értéknél jelenik meg. Hangs´ ulyozom, hogy a szakirodalom nemintegr´ alhat´ o kétdimenziós rendszerek egzakt eredményeinek szintjén kor´ abban nem sz´ amolt be az Eg (U ) f¨ uggvények fentebb vázolt szaturációs jellegér˝ ol. A 29. ´ abr´ an tapasztalt sajátos karakterisztika okán természetes m´ odon vet˝ odik fel a kérdés, hogy vajon milyen fizikai okok állhatnak a tel´ıtési g¨ orbe kialakul´ as´ anak h´ atterében. Hogy erre érdemi magyar´ azatot adhassak, elkezdtem tanulm´ anyozni a (152) alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény xi koefficienseit a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében. Mivel a Coulomb-tasz´ıtás az egyed¨ uli interakci´ o, amely modellszinten értelmezve van a rendszerben, ´ıgy értelemszer˝ uen azon b´ azisvektorok xi egy¨ utthat´ oit kellett megvizsgálnom, melyek a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as szempontjáb´ ol relevánsak, azaz tartalmaznak legal´ abb egy duplán betöltött csom´ opontot, ahol az U csatol´ asi álland´ o él. Az elemzések sor´ an azt tapasztaltam, hogy a dupla betöltést tartalmaz´ o b´ azisvektorok xi koefficienseinek abszol´ utérték-négyzetei er˝ oteljes cs¨ okkenést mutatnak, miközben U n¨ ovekszik. Ez fizikailag azt jelenti, hogy az xi hez tartoz´ o |ii vektor el˝ ofordul´ asi valósz´ın˝ usége U n¨ ovelésével drasztikusan lecseng, ami egybevág azzal, hogy az alap´ allapoti energia tel´ıtésbe fordul. Eg (U ) szaturáci´ os jellegét ugyanis éppen az idézi el˝o, hogy a rendszer, a Coulomb-tasz´ıt´ ast effekt´ıve hordozó elektronkonfigurációk megjelenési val´ osz´ın˝ uségének rohamos hanyatlása miatt, U n¨ ovelése ellenére sem

8. fejezet

103

képes tovább n¨ ovelni az alap´ allapoti energi´ aját, ami végs˝ o soron Eg (U ) plat´ ojának kialakul´ as´ ahoz vezet. A 30. ábra példaként az – els˝ oszomszéd távols´ agban pozicion´ alt két dupla betöltést tartalmaz´ o – |1i b´ azisvektor 2 ′ |x1 | el˝ ofordul´ asi val´ osz´ın˝ uségét illusztrálja U f¨ uggvényében a t /t = −0.6 paraméterérték esetében, amikor is az alap´ allapot nemdegenerált. 4.0 3.5

|x1|2 (* 10-5)

3.0

|x1|2 (* 10-3)

3.0 2.5 2.0 1.5

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 20

1.0

25

30

35

40

45

35

40

50

U

0.5 0 0

5

10

15

20

25

30

45

50

U 30.

abra ´

: A hatszöges rács |1i bázisvektorának el˝ofordulási valósz´ın˝ us´ ege

a k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´ eg´ enek f¨ uggv´ eny´ eben t′ /t = −0.6 eset´ en. Az alap´ allapot nemdegener´ alt.

Hasonl´ o cs¨ okkenés mutatkozik a [242]-ben tárgyalt négyzetes r´ acs esetén is, melynek néh´ any grafikonját a 31. ábra jelen´ıti meg. Az ábra a.), b.), c.), d.) rajzai rendre az |1i, |2i, |36i, |66i vektorok el˝ofordul´ asi valósz´ın˝ uségeit prezent´ alják, melyeket a [242]-ben jelzett publik´ aci´ o adatai és vektorjel¨ olései alapján kész´ıtettem el. A négyzetes r´ acs |1i, |2i, |36i, |66i b´ azisvektorainak szerkezetét illet˝ oen, |1i két els˝ oszomszéd távols´ agban lév˝o duplán betöltött csom´ opontb´ ol ép¨ ul fel, |2i-ben egy dupla betöltés és két els˝ oszomszéd távols´ agban elhelyezked˝ o szimpla betöltés szerepel a dupla betöltést˝ ol mért els˝ oszomszéd poz´ıci´ oban, |36i két harmadszomszéd távols´ agban lév˝o dupla bet¨ oltést tartalmaz, |66i-ot pedig egy dupla betöltés és két els˝ oszomszéd távols´ agban tal´ alhat´ o szimpla betöltés alkotja a dupla betöltést˝ ol sz´ am´ıtott harmadszomszéd poz´ıci´ oban. Az ábr´ akon megfigyelhet˝ o, hogy a hatsz¨ oges rendszerhez hasonlóan, a négyzetes r´ acs esetén is igen er˝ oteljes az állapotok val´ osz´ın˝ uségének cs¨ okkenése, ami azt mutatja, hogy a két rendszer dupla bet¨ oltést tartalmaz´ o b´ azisvektorai nemdegenerált kör¨ ulmények között kvalitat´ıve hasonlóképpen viselkednek. A pontoss´ ag kedvéért megjegyzem, hogy a 30-31. ´ abr´ ak mennyiségei t egységekben értend˝ok.

104

8. fejezet

a.)

1.0 0.8 0.6 0.4

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0

1.2

20 25 30 35 40 45 50 U

0.2 0

|x2|2 (* 10-6)

|x1|2 (* 10-7)

|x1|2 (* 10-4)

1.2

b.) 1.4

|x2|2 (* 10-4)

1.4

1.0 0.8 0.6 0.4

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 20 25 30 35 40 45 50 U

0.2 0

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

U

U

c.)

1.0 0.8 0.6 0.4

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0

1.2

20 25 30 35 40 45 50 U

0.2 0

|x66|2 (* 10-6)

|x36|2 (* 10-7)

|x36|2 (* 10-4)

1.2

d.) 1.4

|x66|2 (* 10-4)

1.4

1.0 0.8 0.6 0.4

8 6 4 2 0 20 25 30 35 40 45 50 U

0.2 0

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

U 31.

abra ´

U

: A négyzetes rács |1i, |2i, |36i, |66i bázisvektorainak el˝ofordulási

val´ osz´ın˝ us´ egei a k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´ eg´ enek f¨ uggv´ eny´ eben.

Az alap´ allapot

nemdegener´ alt.

A fentebbiek alapján érzékelhet˝ o, hogy nemdegenerált alap´ allapotban a hatsz¨ oges és a négyzetes cellákból felép¨ ul˝ o rendszerek min˝ oségileg hasonló viselkedést produk´ alnak a kölcs¨ onhat´ as effektusainak viszonylatában. A továbbiakban azonban lényeges eltérések mutatkoznak a két rendszer között, melyek a méhsejtes szerkezetben megjelen˝o, |ψg,1 i és |ψg,2 i vektorok által adott, kv´ azidegenerált alap´ allapotok következményeiként könyvelhet˝ ok el. A ”kv´ azidegenerált” kifejezés arra utal, hogy a |ψg,1 i, illetve a |ψg,2 i vektorokhoz tartoz´ o Eg,1 , illetve Eg,2 alap´ allapoti energi´ ak a sz´ am´ıtások numerikus hibahatár´ an bel¨ ul kb. 12 tizedesjegyre kiterjed˝o egyezést mutatnak, teh´ at az alap´ allapot nem szigor´ uan degenerált. A kv´ azidegeneráció a fázistérnek egy meglehet˝ osen széles tartom´ anyára kiterjed, ami nem meglep˝ o, hiszen a méhsejtes szerkezet˝ u rendszerekre vonatkozóan kor´ abbi tanulm´ anyokban is fellelhet˝o hasonló inform´ ació [258-260]. A kv´ azidegenerált és ortonormált |ψg,1 i, |ψg,2 i vektorok által adott alap´ allapot esetében a 32. ábra vázolja néh´ any |xi |2 koefficiens grafikonját, melyek – a nemdegenerált szitu´ aci´ ohoz hasonlóan – er˝ oteljes lecsengést mutatnak, azonban a cs¨ okken˝ o tendenciára ez´ uttal egyfajta oszcill´ ació (reszketés) is szuperpon´ alódik. Az a.), b.), c.), d.) rajzok rendre az Eg,1 energi´ aj´ u |ψg,1 i állapot |1i, |4i, |8i, |14i b´ azisvektorainak el˝ ofordul´ asi valósz´ın˝ uségeit a´br´ azolják U f¨ uggvényében a

8. fejezet

105

t′ /t = 0.5 paraméterérték megválaszt´ as´ aval. Az |1i, |4i, |8i, |14i b´ azisvektorok strukt´ ur´ ajára vonatkozóan megeml´ıtem, hogy |1i, illetve |4i két els˝ oszomszéd, illetve m´ asodszomszéd távols´ agban lév˝o duplán betöltött csom´ opontb´ ol ép¨ ul fel, |8i, illetve |14i pedig egy dupla és két szimpla betöltést tartalmaz a dupla bet¨ oltést˝ ol mért els˝ o-, illetve m´ asodszomszéd poz´ıcióban. Ahogyan az a 32. ´ abr´ an is megfigyelhet˝ o, a reszketés |ψg,1 i minden b´ azisvektora esetében kvalitat´ıve hasonló képet mutat, és a f¨ uggvénynek minden esetben hat´ arozott maximuma van, mely az |1i vektornál az U = 2, a |4i vektorn´ al az U = 1.5, a |8i vektornál az U = 0, a |14i vektornál pedig az U = 8.5 érték ´ altal megadott pontban realiz´ alódik. Természetesen az ábra mennyiségeit ez´ uttal is a t egység skálázza.

20 25 30 35 40 45 50 U 0

5

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10 15 20 25 30 35 40 45 50

|x4|2 (* 10-6)

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0

b.)

|x4|2 (* 10-4)

|x1|2 (* 10-6)

|x1|2 (* 10-4)

a.) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1.0

20 25 30 35 40 45 50 U

0.5 0 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

U 32.

abra ´

0.5

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

U d.) |x14|2 (* 10-6)

|x8|2 (* 10-5)

|x8|2 (* 10-3)

1.5

9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 1.5 0

1.0

20 25 30 35 40 45 50 U

c.) 2.0

1.5

0

U 2.5

2.0

4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

U

: A hatszöges rács |1i, |4i, |8i, |14i bázisvektorainak el˝ofordulási

val´ osz´ın˝ us´ egei a k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´ eg´ enek f¨ uggv´ eny´ eben t′ /t = 0.5 eset´ en. Az alap´ allapot kv´ azidegener´ alt.

Megjegyzem, hogy a fentebb bemutatott reszketés a t′ = 0 esetben is megmarad, amit az |1i b´ azisvektor koefficiensének péld´ aján kereszt¨ ul a 33. ábr´ aval t´ amasztok al´ a. L´ athat˝ o, hogy a grafikon kvalitat´ıve ez esetben is a 32. ´ abra rajzaihoz hasonló karakterisztikával rendelkezik, a f¨ uggvény maximuma pedig az U = 0.5 pontban találhat´ o. Mint mindig, az ábra mennyiségei most is t egységekre vonatkoznak.

106

8. fejezet

1.6

3.0

1.4

2.5

|x1|2 (* 10-6)

|x1|2 (* 10-3)

1.8

1.2 1.0 0.8 0.6

2.0 1.5 1.0 0.5 0 20

0.4

25

30

35

40

45

35

40

50

U

0.2 0 0

5

10

15

20

25

30

45

50

U 33.

abra ´

: A hatszöges rács |1i bázisvektorának el˝ofordulási valósz´ın˝ us´ ege

a k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´ eg´ enek f¨ uggv´ eny´ eben t′ /t = 0 eset´ en.

Az alap´ allapot

kv´ azidegener´ alt.

A reszketés jelensége hagyom´ anyos értelemben véve a relativisztikus Dirac-elektron poz´ıci´ ojának id˝ of¨ uggésében megfigyelhet˝ o oszcill´ acióhoz kapcsolódik, ami a szakirodalomban Erwin Schr¨ odinger nyom´ an az u ń. Zitterbewegung (magyarul reszket˝ omozg´ as) elnevezés szerint ismert [261,262]. A jelenség lényege abban ´ all, hogy a vákuumban mozg´ o szabad, relativisztikus Dirac-elektron hull´ amcsomagját alkotó pozit´ıv és negat´ıv energi´ aj´ u állapotok interferenci´ aja fluktu´ aci´ ot idéz el˝o az elektron poz´ıciójában, ami voltaképpen egy id˝ obeli oszcill´ aci´ ot gener´ al. Az oszcill´ ació azonban nemcsak az elektron poz´ıci´ ojában nyilv´ anul meg, hiszen a reszketés a sebességben, a p´ alyaperd¨ uletben és a spinben is megmutatkozik. A Zitterbewegung – minden vonatkoz´ as´ aval egy¨ utt – rég´ ota közkedvelt tárgya a szakirodalmi cikkeknek, mégis jobb´ ara a 2000-es években vált igazán népszer˝ u tém´ avá. A tud´ osok igen intenz´ıv és kiterjedt vizsgálatokat folytattak ezen a ter¨ uleten, létrehozva ezzel egy rendk´ıv¨ ul szerte´ agazó és soksz´ın˝ u sz¨ ovevényt, melynek sz´ alai a Zitterbewegung jelensége köré fonódnak. Seg´ıtve az eddigi szakirodalmi tanulm´ anyok ´ attekintését, a következ˝o szakaszban r¨ oviden felsorakoztatom azokat a strukt´ ur´ akat és a figyelembe vett fizikai kör¨ ulményeket, melyek a Zitterbewegung kialakul´ asa szempontjáb´ ol relevánsak lehetnek. A reszketés tanulm´ anyoz´ as´ anak egyik legtermészetesebb és legkézenfekv˝obb m´ odja a Dirac-egyenlet megold´ as´ ab´ ol sz´ armaz´ o eredmények vizsgálata. Sz´ amos értekezés foglalkozott a Dirac-egyenlet problém´ ajával, melyek szabad [263,264], kezdetben lokaliz´ alt [265], lokalizált [266,267], illetve elektromágneses potenci´ alok hat´ asa alatt lév˝o [268] Dirac-részecskék oszcill´ acióját tárgyalták. Emellett az is ismert, hogy reszketés nem kizár´ olag relativisztikus kör¨ ulmé-

8. fejezet

107

nyek köz¨ ott jöhet létre, hiszen a Zitterbewegung nemrelativisztikus anal´ ogja is megfigyelhet˝ o péld´ aul kéts´ avos rendszerekben [269,270] vagy egydimenzi´ os periodikus l´ ancokban [271,272]. Igen nagyszám´ u publik´ ació sz¨ uletett a kondenz´ alt anyagok fizikájának témakörében, melyek f˝oként félvezet˝okben [273286], egyréteg˝ u [287-300] és kétréteg˝ u [287-289,299] grafénban, szén nanocs¨ ovekben [289,301], illetve szupravezet˝okben [287,302] lév˝o elektronok reszketését ´ırt´ ak le. Szil´ ardtestekben r´ amutattak a periodikus potenci´ al és a Zitterbewegung közvetlen kapcsolat´ ara [281,303], és félvezet˝ok esetében gyakran a Rashba-t´ıpus´ u [275,276,278-280,282-286], illetve a Dresselhausféle [275,276,278,279] spin-orbit kölcs¨ onhat´ as viszonylatában is elemezték a reszketési effektust. A vizsgálatok sor´ an sok esetben k¨ uls˝ o elektromos [276,278,290,291,300,304] és m´ agneses [283,285,293,294,296-300,304,305] terek hat´ as´ at is figyelembe vették, melyek lenyomatot képeznek a Zitterbewegung karakterisztikájában. Ezenk´ıv¨ ul a grafén esetében azt is tesztelték, hogy a szennyez˝ ok jelenléte hogyan befoly´ asolja a reszketést, és arra a következtetésre jutottak, hogy az oszcill´ ació t´ uléli a szennyezések által oko´ zott perturbáci´ ot [296]. Erdekess´ egképpen eml´ıtést teszek arr´ ol is, hogy néh´ any tanulm´ any az elektron reszketését egyértelm˝ u kapcsolatba hozta a spin-Hall-effektussal [276,278], illetve a Berry-f´ azissal [291,306,307], egy értekezésben pedig besz´ amoltak az elektron elektromágneses terének oszcill´ aci´ ojár´ ol is, melynek frekvenci´ aja megegyezik az elektron Zitterbewegungjának rezgéssz´ am´ aval, és egy peri´ odusra vett id˝ obeli átlaga visszaadja az elektron klasszikus Coulomb-terét [308]. Az eredmények arra is r´ avilág´ıtottak, hogy félvezet˝ okben az elektronok mellett a lyukak is képesek oszcill´ aci´ ot produk´ alni [274,279,282], s˝ ot az ut´ obbi években olyan közleményeket is publik´ altak, melyekben csapd´ azott ionok [309,310], hideg [311,312], illetve ultrahideg [313,314] atomok reszketését mutatt´ ak be. Mindemellett olyan eredmények is napvilágot láttak, melyek szerint a Zitterbewegung klasszikus hull´ amterjedési jelenségekben is megfigyelhet˝ o, péld´ aul periodikus rendszerekben halad´ o akusztikai [315,316] vagy optikai [317-321] hull´ amok esetében. Az ´ altal´ anos elméleti le´ır´ asokon [307,322] t´ ulmen˝oen sz´ amos javaslat sz¨ uletett a Zitterbewegung k´ısérleti megfigyelésére [267,275,290,298,299, 306] is. Ahogyan az a 32-33. a´br´ akon is láthat´ o, az általam tanulm´ anyozott méhsejtes szerkezet˝ u rendszerben az egyes elektronállapotok el˝ofordul´ asi val´ osz´ın˝ uségének oszcill´ aci´ oja nem id˝ obeli folyamatként jelenik meg, hanem a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ ossének f¨ uggvényében rajzolódik ki. Ez az eredmény u ´jszer˝ u jelentéstartalommal ruházza fel a reszketés jelenségét, amely mindenképpen hozz´ ajárul a Zitterbewegung palett´ ajának sz´ınes´ıtéséhez, hiszen az el˝ oz˝ o bekezdésben sorra vett, eddig megjelent k¨ ozlemények az adott objektum (elektron, lyuk, atom, ion, klasszikus hull´ am) poz´ıciójának, sebességének vagy spinjének id˝ obeli vagy térbeli oszcill´ acióját tárgyalták. A

108

8. fejezet

32-33. ´ abr´ akon figyelemmel k´ısérhet˝ o a reszketés tranziens jellege is, ugyanis a felt¨ untetett el˝ ofordul´ asi valósz´ın˝ uségek az U → ∞ hat´ aresetben gyakorlatilag null´ avá válnak, vagyis teljes mértékben lecsengenek. Mint ismeretes, a Zitterbewegung jelenségét minden esetben az adott kör¨ ulmények között érvényes interferencia idézi el˝o. Ezzel összhangban, a méhsejtes szerkezet˝ u rendszer esetében a reszketés a kv´ azidegenerált alapállapotot megvalós´ıtó |ψg,1 i és |ψg,2 i hull´ amvektorok interferenci´ ajának eredményeképpen jön létre. Ezen ´ all´ıt´ as ellen˝ orzése céljáb´ ol kiszám´ıtottam a kv´ azidegenerált |ψg,n i, n = 1, 2, alap´ allapot |ii b´ azisvektorának xi,n , n = 1, 2, koefficienseib˝ol képzett P abszol´ utérték-négyzetek n=1,2 |xi,n |2 összegét, melyet U f¨ uggvényében ábr´ azolva, folytonosan lecseng˝ o görbét kaptam, azaz a reszketés elt˝ unik. Egy konkrét péld´ at illusztrál a 34. ábra, melyen az |1i b´ azisvektorhoz tartoz´ o P 2 osszeg folytonos lefutása jelenik meg a kölcs¨ onhat´ as er˝ ossének n=1,2 |x1,n | ¨ f¨ uggvényében a t′ /t = 0.5 paraméterérték mellett. Az ábra minden mennyisége t egységben értend˝o. Az eredményeim teh´ at azt mutatják, hogy kv´ a2 zidegenerált alap´ allapot adott |ii b´ azisvektora esetén |xi,n | (n r¨ ogz´ıtett) U P f¨ uggvényében reszketve cseng le, a n=1,2 |xi,n |2 összeg azonban oszcill´ ació nélk¨ ul fogyatkozik (l. 32.a és 34. ábr´ ak). (|x1,1|2 + |x1,2|2) (* 10-6)

(|x1,1|2 + |x1,2|2) (* 10-3)

8 7 6 5 4 3 2

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 20

25

30

35

40

45

50

U

1 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

U 34.

abra ´

:

A hatsz¨ oges r´ acs |1i b´ azisvektor´ ahoz tartoz´ o

P

n=1,2

|x1,n |2

′

val´ osz´ın˝ us´ eg a k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ oss´ eg´ enek f¨ uggv´ eny´ eben t /t = 0.5 eset´ en. Az alap´ allapot kv´ azidegener´ alt.

Az alfejezetben prezent´ alt eredmények egyértelm˝ uen r´ avilág´ıtanak a hatsz¨ oges és a négyzetes r´ acsok fizikai tulajdons´ againak k¨ ul¨ onbségeire, hiszen láthatjuk, hogy a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségének kismérték˝ u vagy akár infinitezim´ alis változtat´ as´ ara a hatsz¨ oges strukt´ ura sokkal érzékenyebben reag´ al, ezért a rendszer kölcs¨ onhat´ as által befoly´ asolt sokrészecskés viselkedése alapvet˝ o eltérést mutathat a négyzetes r´ acs tulajdons´ agaihoz viszony´ıtva.

8. fejezet

109

A 8. fejezet eredm´ enyeinek r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa A 8. fejezetben az ATAM m´ odszer felhaszn´ alás´ aval, periodikus hat´ arfeltételek megval´ os´ıt´ asa mellett, meghat´ aroztam egy kétdimenzi´ os méhsejtes szerkezettel rendelkez˝ o nanostrukt´ ura alap´ allapotát. A négy hatsz¨ ogb˝ ol felép¨ ul˝ o és ¨ osszesen nyolc k¨ ul¨ onb¨ oz˝o csom´ opontot tartalmaz´ o r´ acsban négy elektront helyeztem el. Ebben az esetben a szingulett állapotokat képez˝o b´ azisvektorok egy dimH = 784 dimenziós Hilbert-teret áll´ıtanak el˝o. Az ATAM m´ odszer el˝ o´ır´ asai szerint megalkottam egy dimS = 70 dimenziós reduk´ alt Hilbert-teret, aminek kösz¨ onhet˝ oen egy nagyságrendnyi ”nyereség” könyvelhet˝ o el dimH és dimS viszonylatában. A rendszer alap´ allapotát egzakt diagonaliz´ aci´ os technikával hat´ aroztam meg, és eredményeim helyességét az bizony´ıtja, hogy az S és H terekben elvégzett sz´ am´ıtások egyez˝o megold´ asokra vezettek. A reduk´ alt Hilbert-térben analiz´ altam a rendszer alap´ allapoti tulajdons´ agait. Els˝oként azt vizsgáltam meg, hogy az Eg alapállapoti energia hogyan viselkedik a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as U csatol´ asi álland´ ojának f¨ uggvényében, és meg´ allap´ıtottam, hogy az Eg (U ) görbe tel´ıtési jel´ leget mutat. Erdekess´ egképpen egy négy elektront tartalmaz´ o négyzetes r´ acs esetében is megrajzoltam az Eg (U ) f¨ uggvényt, melynek elkész´ıtéséhez egy kor´ abbi publik´ aci´ o adatait használtam fel. Az Eg (U ) görbe ezen négyzetes r´ acs esetében is tel´ıtésbe fordul, ami azt jelzi, hogy a kapott szaturációs viselkedés nem rendszerspecifikum. Ugyanakkor mégis figyelemreméltó, mert nemintegr´ alhat´ o kétdimenziós rendszerek egzakt eredményeinek szintjén a szakirodalom kor´ abban nem sz´ amolt be hasonló karakterisztikár´ ol. Ezek ut´ an természetes m´ odon vet˝ od¨ ott fel a kérdés, hogy vajon milyen fizikai okok állhatnak a tel´ıtés kialakul´ as´ anak h´ atterében. Hogy erre érdemi magyar´ azatot adhassak, tanulm´ anyoztam az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény reduk´ alt Hilbert-térbeli b´ azisvektorainak el˝ofordul´ asi valósz´ın˝ uségét a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében. Ennek sor´ an olyan b´ azisvektorokat kellett megvizsgálnom, melyek legal´ abb egy dupla betöltést tartalmaznak, hiszen a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as csak a duplán betöltött csomópontokon érvényes¨ ul a rendszerben. Azt tapasztaltam, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes és az eml´ıtett négyzetes r´ acs esetében az ábr´ azolt val´ osz´ın˝ uségek mindegyike er˝ oteljes folytonos lecsengést produkál, ami egybevág azzal, hogy az alapállapoti energia tel´ıtésbe fordul. Eg (U ) szaturációs jellegét ugyanis éppen az idézi el˝ o, hogy a rendszer, a b´ azisvektorok valósz´ın˝ uségének rohamos hanyatl´ asa miatt, n¨ ovekv˝ o U ellenére sem képes tovább n¨ ovelni az alap´ allapoti energi´ aját. A méhsejtes rendszerben azonban, kv´ azidegenerált alap´ allapotok esetén, a b´ azisvektorok val´ osz´ın˝ uségének cs¨ okken˝ o görbéjére egyfajta oszcill´ aci´ o (reszketés) is szuperpon´ alódik, azaz megfigyelhet˝ o a Zitterbewegung jelensége. A ”kv´ azidegenerált” kifejezés arra utal, hogy az állapotokhoz tartoz´ o energi´ ak kb. 12 tizedesjegyre kiterjed˝o egyezést mutatnak, teh´ at

110

8. fejezet

az alap´ allapot nem szigor´ uan degenerált. A Zitterbewegung hagyom´ anyos értelemben véve a relativisztikus Dirac-elektron poz´ıciójának id˝ obeli oszcill´ aci´ oját jelenti, amely a Dirac-elektron hull´ amcsomagját alkotó pozit´ıv és negat´ıv energi´ aj´ u ´ allapotok interferenci´ ajának eredményeképpen jön létre. A Zitterbewegung azonban sz´ amos esetben megfigyelhet˝ o nemrelativisztikus kör¨ ulmények köz¨ ott is, péld´ aul félvezet˝obeli elektronok és lyukak, csapd´ azott ionok, hideg atomok, vagy éppen klasszikus hull´ amok id˝ obeli reszketéseként. Hangs´ ulyozom, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes rendszerben tapasztalt reszketés nem id˝ obeli folyamatként jelenik meg, hanem a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében rajzolódik ki. Ez mindenképpen u ´jszer˝ u jelentéstartalommal ruházza fel a Zitterbewegung jelenségét, amit ez esetben a kv´ azidegenerált ´ allapotok interferenci´ ajaként interpretálok. A 8. fejezet eredményeinek foly´ oiratcikk-form´ atuma a [244] hivatkozásban találhat´ o meg.

9. fejezet

111

9. fejezet

¨ Osszefoglal´ o Doktori disszertáci´ omban sokrészecskés, er˝ osen kölcs¨ onhat´ o, kvantummechanikailag viselked˝ o, nemintegr´ alhat´ o, periodikus rendszerek alap´ allapoti tulajdons´ agait tanulm´ anyoztam a Hubbard-modell keretében, egzakt m´ odszerek felhaszn´ al´ as´ aval. Vizsgálataim tárgyát az 1. fejezetben vázolt kv´ azi-egydimenzi´ os polifenilén t´ıpus´ u láncok, valamint kétdimenziós négyzetes, illetve méhsejtes szerkezettel rendelkez˝o nanostrukt´ ur´ ak képezték. A rendszerek alap´ allapotainak meghat´ aroz´ as´ ahoz a 4. fejezetben bemutatott Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszerét (PSZO m´ odszer), illetve az Alap´ allapotot Tartalmaz´ o Altér Meghat´ aroz´ as´ an alapul´ o m´ odszert (ATAM m´ odszer) alkalmaztam. Mindkét eljár´ assal egzaktul, azaz közel´ıtések nélk¨ ul produk´ alhat´ o a rendszer alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvénye a járulékos alap´ allapoti energi´ aval egy¨ utt. Az 5. fejezetben a PSZO m´ odszer seg´ıtségével meghat´ aroztam az Nc sz´ am´ u cell´ ab´ ol felép¨ ul˝ o kv´ azi-egydimenzi´ os polifenilén strukt´ ur´ ak egzakt alapállapotait. Periodikus hat´ arfeltételek alkalmaz´ asa mellett arra az eredményre jutottam, hogy k¨ uls˝ o m´ agneses tér hi´ anyában az alapállapot a teljes N ≤ Nc elektronsz´ am-tartományon paramágneses és lokalizált. A lánc s´ıkj´ ara mer˝ oleges m´ agneses tér hat´ asa alatt azonban az N < Nc intervallumban az elektronok lokaliz´ aci´ os hossza megn¨ ovekszik a m´ agneses tér hi´ anyában létrejöv˝o lokaliz´ aci´ os hosszhoz képest. Ez végs˝ o soron ahhoz vezet, hogy az N = Nc hat´ aresetben a rendszer tel´ıtett ferrom´ agnesként viselkedik. Ezek alapján azt a következtetést vontam le, hogy a k¨ uls˝ o m´ agneses tér ki-/bekapcsol´ as´ aval változtathat´ o az elektronok lokalizációs hossza, és N = Nc esetén a rendszer paramágneses alap´ allapotáb´ ol átbillenthet˝ o egy ferrom´ agneses alap´ allapotba. Ez a viselkedés rendk´ıv¨ ul k¨ ul¨ onleges, hiszen a jelzett ferrom´ agnesesség egy olyan szerves rendszerben idézhet˝ o el˝o, melynek atomjai nem rendelkeznek ered˝ o m´ agneses momentummal. A nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetet érint˝ o vizsgálataim szerint a létrejöv˝o paramágneses és ferrom´ agneses alap´ allapotok a kis koncentr´ aciós részecskesz´ am-tartományon érvényesek. Elemzéseim sor´ an arra is r´ amutattam, hogy m´ agneses térben a s´ avszerkezet ¨ osszes s´ avja laposs´ a válik, ez az effektus azonban kizár´ olag kvant´ alt indukci´ oj´ u m´ agneses tér esetén jön létre. Az N = Nc sz´ am´ u elektron pedig éppen félig t¨ olti fel a s´ avszerkezet legals´ o lapos s´ avj´ at, ami azt jelenti, hogy a kapott ferrom´ agnesesség u ń. Mielke–Tasaki-féle laposs´ avferrom´ agnesesség form´ ajában valósul meg. A fentebbiekkel összhangban azonban a Mielke–Tasaki-féle laposs´ av-ferromágnesesség ez esetben csak kvantált m´ agneses térben alakulhat ki, ami meglehet˝ osen ritka jelenségnek sz´ am´ıt.

112

9. fejezet

Az 5. fejezetben bemutatott eredményeimet a [246] publik´ ació tartalmazza. A 6. fejezetben megn¨ oveltem a polifenilén t´ıpus´ u láncok fázisterének méretét. A kapott paramágneses és lokalizált alap´ allapot ugyanis a fázistérnek csak egy keskeny, line´ aris tartom´ anyán volt érvényes, ezért sz¨ ukségesnek tartottam megvizsg´ alni azt, hogy ez a tartom´ any kiterjeszthet˝o-e egy nagyobb doménre. Ennek érdekében kib˝ov´ıtettem a rendszer induló Hamiltonoper´ ator´ anak paraméterhalmazát, ami által a fentebb eml´ıtett line´ aris s´ avot siker¨ ult kiszéles´ıtenem egy speciális alak´ u térfogati zón´ ara. Ezzel igazoltam, hogy a paramágneses és lokalizált alap´ allapot valój´ aban a fázistérnek egy nagyobb méret˝ u tartom´ anyán él. Ez esetben is tanulm´ anyoztam a rendszer nemk¨ olcs¨ onhat´ o s´ avszerkezetét, és meg´ allap´ıtottam, hogy az induló Hamilton-oper´ ator paraméterkészletének b˝ ov´ıtése nem m´ odos´ıtja a s´ avszerkezet lényegi strukt´ ur´ aját. A 6. fejezetben foglalt eredményeim alapját a [247] közlemény képezi. A 7. fejezetben a PSZO m´ odszer alkalmaz´ as´ aval tanulm´ anyoztam a nemmágneses fématomokb´ ol felép¨ ul˝ o rendszerek nanosk´ alán tapasztalható ferrom´ agneses viselkedésének mélyebb mozgat´ orug´ oit. A vizsgált rendszert egy kétdimenzi´ os négyzetes r´ accsal rendelkez˝ o nanostrukt´ ura adta, melynek r´ acspontjaiban nemmágneses fématomok foglalnak helyet. Periodikus határfeltételek és az elektronok fel¨ uleti mozg´ as´ anak figyelembevétele mellett speci´ alis vortexes szerkezet˝ u, ferrom´ agneses alap´ allapotra bukkantam. A ”vortexes” – magyarul ”¨ orvényes” – kifejezés ez esetben arra utal, hogy az elektronok csak meghat´ arozott vortexvonalak mentén létezhetnek a rendszerben. A kapott alap´ allapot ferrom´ agneses mivoltát az elektronok spinindexei köz¨ ott létrejöv˝o korrel´ aciós hat´ asok gener´ alják. A nemkölcs¨ onhat´ o s´ avszerkezet vizsgálat´ ab´ ol az is kider¨ ult, hogy a diszperzi´ orel´ aciót nem alkothatja lapos s´ av, teh´ at a kialakul´ o spinpolariz´ alt a´llapot nem produkálhat Mielke–Tasaki-értelemben vett laposs´ av-ferromágnesességet. Így a spinkorrel´ aci´ os effektus révén el˝ o´ all´ o spinpolariz´ alt állapot a ferrom´ agnesesség klaszszikus értelemben vett változataihoz képest egy teljesen u ´jfajta mechanizmust képvisel. Sz´ am´ıt´ asaim szerint az alap´ allapotban jelenlév˝o elektronok sz´ ama ar´ anyos a rendszer line´ aris méretével, aminek következtében az elektronok fel¨ uleti koncentr´ aci´ oja ford´ıtott ar´ anyban áll a line´ aris rendszermérettel. Ennélfogva a kapott ferrom´ agnesesség csak nanosk´ alán releváns (termodinamikai hat´ aresetben elt˝ unik), és a kis koncentr´ aciós részecskesz´ am¨ tartom´ anyban érvényes. Osszess´ egében véve teh´ at az eredmények a nemm´ agneses fématomokb´ ol felép¨ ul˝ o nanoszemcsékben létrejöv˝o ferrom´ agnesességnek egy lehetséges – kvantummechanikai és matematikai alapokon nyugv´ o – magyar´ azat´ at adhatj´ ak. A 7. fejezetben kapott eredmények publik´ alt form´ aban a [251] közleményben érhet˝ ok el. A 8. fejezetben az ATAM m´ odszer felhaszn´ alás´ aval, periodikus hat´ arfeltételek megval´ os´ıt´ asa mellett, meghat´ aroztam egy kétdimenzi´ os méhsejtes

9. fejezet

113

szerkezettel rendelkez˝ o nanostrukt´ ura alap´ allapotát. A négy hatsz¨ ogb˝ ol felép¨ ul˝ o és ¨ osszesen nyolc k¨ ul¨ onb¨ oz˝o csom´ opontot tartalmaz´ o r´ acsban négy elektront helyeztem el. Ebben az esetben a szingulett állapotokat képez˝o b´ azisvektorok egy dimH = 784 dimenziós Hilbert-teret áll´ıtanak el˝o. Az ATAM m´ odszer el˝ o´ır´ asai szerint megalkottam egy dimS = 70 dimenziós reduk´ alt Hilbert-teret, aminek kösz¨ onhet˝ oen egy nagyságrendnyi ”nyereség” könyvelhet˝ o el dimH és dimS viszonylatában. A rendszer alap´ allapotát egzakt diagonaliz´ aci´ os technikával hat´ aroztam meg, és eredményeim helyességét az bizony´ıtja, hogy az S és H terekben elvégzett sz´ am´ıtások egyez˝o megold´ asokra vezettek. A reduk´ alt Hilbert-térben analiz´ altam a rendszer alap´ allapoti tulajdons´ agait. Els˝oként azt vizsgáltam meg, hogy az Eg alapállapoti energia hogyan viselkedik a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as U csatol´ asi álland´ ojának f¨ uggvényében, és meg´ allap´ıtottam, hogy az Eg (U ) görbe tel´ıtési jel´ leget mutat. Erdekess´ egképpen egy négy elektront tartalmaz´ o négyzetes r´ acs esetében is megrajzoltam az Eg (U ) f¨ uggvényt, melynek elkész´ıtéséhez egy kor´ abbi publik´ aci´ o adatait használtam fel. Az Eg (U ) görbe ezen négyzetes r´ acs esetében is tel´ıtésbe fordul, ami azt jelzi, hogy a kapott szaturációs viselkedés nem rendszerspecifikum. Ugyanakkor mégis figyelemreméltó, mert nemintegr´ alhat´ o kétdimenziós rendszerek egzakt eredményeinek szintjén a szakirodalom kor´ abban nem sz´ amolt be hasonló karakterisztikár´ ol. Ezek ut´ an természetes m´ odon vet˝ od¨ ott fel a kérdés, hogy vajon milyen fizikai okok állhatnak a tel´ıtés kialakul´ as´ anak h´ atterében. Hogy erre érdemi magyar´ azatot adhassak, tanulm´ anyoztam az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény reduk´ alt Hilbert-térbeli b´ azisvektorainak el˝ofordul´ asi valósz´ın˝ uségét a kölcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében. Ennek sor´ an olyan b´ azisvektorokat kellett megvizsgálnom, melyek legal´ abb egy dupla betöltést tartalmaznak, hiszen a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as csak a duplán betöltött csomópontokon érvényes¨ ul a rendszerben. Azt tapasztaltam, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes és az eml´ıtett négyzetes r´ acs esetében az ábr´ azolt val´ osz´ın˝ uségek mindegyike er˝ oteljes folytonos lecsengést produkál, ami egybevág azzal, hogy az alapállapoti energia tel´ıtésbe fordul. Eg (U ) szaturációs jellegét ugyanis éppen az idézi el˝ o, hogy a rendszer, a b´ azisvektorok valósz´ın˝ uségének rohamos hanyatl´ asa miatt, n¨ ovekv˝ o U ellenére sem képes tovább n¨ ovelni az alap´ allapoti energi´ aját. A méhsejtes rendszerben azonban, kv´ azidegenerált alap´ allapotok esetén, a b´ azisvektorok val´ osz´ın˝ uségének cs¨ okken˝ o görbéjére egyfajta oszcill´ aci´ o (reszketés) is szuperpon´ alódik, azaz megfigyelhet˝ o a Zitterbewegung jelensége. A ”kv´ azidegenerált” kifejezés arra utal, hogy az állapotokhoz tartoz´ o energi´ ak kb. 12 tizedesjegyre kiterjed˝o egyezést mutatnak, teh´ at az alap´ allapot nem szigor´ uan degenerált. A Zitterbewegung hagyom´ anyos értelemben véve a relativisztikus Dirac-elektron poz´ıciójának id˝ obeli oszcill´ aci´ oját jelenti, amely a Dirac-elektron hull´ amcsomagját alkotó pozit´ıv és negat´ıv energi´ aj´ u ´ allapotok interferenci´ ajának eredményeképpen jön létre.

114

9. fejezet

A Zitterbewegung azonban sz´ amos esetben megfigyelhet˝ o nemrelativisztikus kör¨ ulmények köz¨ ott is, péld´ aul félvezet˝obeli elektronok és lyukak, csapd´ azott ionok, hideg atomok, vagy éppen klasszikus hull´ amok id˝ obeli reszketéseként. Hangs´ ulyozom, hogy a tanulm´ anyozott méhsejtes rendszerben tapasztalt reszketés nem id˝ obeli folyamatként jelenik meg, hanem a Hubbard-k¨ olcs¨ onhat´ as er˝ osségének f¨ uggvényében rajzolódik ki. Ez mindenképpen u ´jszer˝ u jelentéstartalommal ruházza fel a Zitterbewegung jelenségét, amit ez esetben a kv´ azidegenerált ´ allapotok interferenci´ ajaként interpretálok. A 8. fejezet eredményeinek foly´ oiratcikk-form´ atuma a [244] hivatkozásban találhat´ o meg.

10. fejezet

115

10. fejezet

Summary In my PhD thesis I studied the ground state properties of strongly interacting, quantum mechanically behaving, nonintegrable, periodic manybody systems in the framework of the Hubbard model, by application of exact methods. The subjects of my investigations were quasi-1D chains of polyphenylene type, as well as nanostructures possessing two-dimensional square, and honeycomb lattice, respectively. In order to deduce the ground states of the systems, I applied the method of Positive Semidefinite Operators (PSO method), and the method based on the Determination of the Subspace Containing the Ground State (DSCGS method), respectively. The ground state wave function of the system, together with the ground state energy can be produced with both procedures in exact terms, i.e. without approximations. By means of the PSO method I determine the exact ground states of quasi-1D polyphenylene structures containing Nc cells. Under the application of periodic boundary conditions I reached the conclusion that in the absence of external magnetic field the ground state is paramagnetic and localized in the whole domain of the electron number N ≤ Nc . However, under the influence of a magnetic field perpendicular to the plane of the chain, in the interval N < Nc the localization length of the electrons increases as compared to that in the lack of the magnetic field. This finally leads to that in the borderline case N = Nc the system behaves as a saturated ferromagnet. Based on these I concluded that the localization length of the electrons can be altered by switching on/off the external magnetic field, and in case of N = Nc the system can be tilted from a paramagnetic to a ferromagnetic ground state. This behaviour is extremely special, because the mentioned ferromagnetism can be induced in such an organic system whose atoms do not possess resultant magnetic moments. According to my investigations regarding the bare band structure, the evolving paramagnetic and ferromagnetic ground states are valid in the low concentration range of the particle number. During my analysis I pointed out, too, that in a magnetic field all bands of the band structure become flat, this effect, however comes into existence exclusively in case of a magnetic field having quantized induction. The N = Nc electrons fill the lowest flat band of the band structure even up to half, which means that the obtained ferromagnetism is realized in the form of so-called Mielke–Tasaki-like flat band ferromagnetism. In accordance with the above statements, however, the Mielke–Tasaki-like flat band

116

10. fejezet

ferromagnetism can develop in this case only in a quantized magnetic field, which is rated quite rare phenomenon. The publication in [246] contains my results. I increased the size of the phase space of the polyphenylene chains. Namely, the obtained paramagnetic and localized ground state was valid only in a narrow, linear domain of the phase space, hence I deemed it necessary to investigate the possibility to enlarge this range. To this end, I expanded the set of parameters of the starting Hamiltonian of the system, whereby I succeeded in broadening the above mentioned linear sector to a volumetrical zone having a special shape. Herewith I corroborated that the paramagnetic and localized ground state is present in fact in a larger sized domain of the phase space. I studied also in this case the bare band structure of the system, and I stated that the expansion of the set of parameters of the starting Hamiltonian does not modify the essential features of the band structure. The base of my results is given by the article in [247]. By applying the PSO method I studied the deeper drivers of the ferromagnetic behaviour of nanoscale systems consisting of nonmagnetic metal atoms. The examined system was given by a nanostructure possessing twodimensional square lattice, whose lattice sites are occupied by nonmagnetic metal atoms. Under the consideration of periodic boundary conditions and surface motion of the electrons, I found a ferromagnetic ground state having a special vortex-like character. The ”vortex-like” expression in this case refers to that the electrons can exist only along certain vortex lines in the system. The ferromagnetic nature of the obtained ground state is generated by correlation effects of spin indices of the electrons. Following the investigation of the bare band structure, it also turned out that the dispersion relation can not be created by a flat band, so the evolving spin-polarized state can not produce Mielke–Tasaki-like flat band ferromagnetism. Thus the spin-polarized state arising from the spin correlation effect, compared to the classical variants of ferromagnetism, represents a quite new type of mechanism. According to my calculations, the number of electrons presenting in the ground state is proportional to the linear size of the system, and as a consequence, the surface concentration of the electrons is in inverse proportion to the linear system size. Hence, the obtained ferromagnetism is relevant only in nanoscale (it disappears in thermodinamic limit) and valid in the low concentration range of the particle number. Overall, the results can provide a possible explanation – based on quantum mechanical and mathematical grounds – for ferromagnetism of nanograins built up by nonmagnetic metal atoms. The obtained results are available by published form in [251]. By making use of the DSCGS method, under the implementation of periodic boundary conditions, I determined the ground state of a nano-

10. fejezet

117

structure possessing two-dimensional honeycomb lattice. I placed four electrons in the lattice constructed by four hexagons and containing in all eight different sites. In this case the base vectors forming singlet states produce a dimH = 784-dimensional Hilbert space. According to the rules of the DSCGS method I composed a dimS = 70-dimensional reduced Hilbert space, which enabled a gain of one order of magnitude in the relation of dimH and dimS. I determined the ground state of the system by exact diagonalization technique, and the correctness of my results is proved by the fact that the calculations performed in spaces S and H led to matching solutions. In the reduced Hilbert space I analysed the groud state properties of the system. First I investigated how the Eg ground state energy behaves in the function of the U coupling constant of the Hubbard interaction, and I stated that the Eg (U ) curve shows saturation character. As a matter of interest, I depicted the Eg (U ) function also in case of a square lattice containing four electrons. To the preparation of the function I used the data of an earlier publication. The Eg (U ) curve turns into saturation in case of this square lattice, as well, which indicates that the obtained saturation behaviour is not system specificity. However, it is remarkable because, at the level of exact results of nonintegrable two-dimensional systems, the literature has not reported before on similar characteristic. Then, of course, the question arised what kind of physical causes can be behind the evolving of the saturation. In order to give a substantive explanation, I studied the probability of the base vectors of the ground state wave function in the reduced Hilbert space in the function of the interaction strength. During this I had to investigate such base vectors which contain at least one double occupancy, since the Hubbard interaction prevails only on the double occupied sites in the system. I experienced that, in case of the studied honeycomb and the mentioned square lattice, all of the plotted probabilities produce a strong continuous decay, which coincides with the fact that the ground state energy turns into saturation. Namely, the saturation character of Eg (U ) is caused by even the fact that the system, because of the rapid decrease of the probability of the base vectors, despite increasing U can not enhance its ground state energy. In the honeycomb lattice, however, in case of quasi-degenerate ground states, also an oscillation (trembling) is superimposed to the decreasing curve of the probability of the base vectors, i.e. the phenomenon of Zitterbewegung can be observed. The ”quasi-degenerate” expression refers to that the energies belonging to the states show a match extending for about 12 digits, thus the ground state is not strictly degenerate. The Zitterbewegung in traditional sense means the temporal oscillation of the position of the relativistic Dirac electron, which comes into existence as a result of the interference of the positive- and negative-energy states creating the wave packet of the Dirac electron. The Zitterbewegung, however, can be observed

118

10. fejezet

in many cases under nonrelativistic circumstances, as well, for example as temporal oscillation of electrons and holes in semiconductors, trapped ions, cold atoms, or even classical waves. I emphasise that the oscillation experienced in the studied honeycomb system appears not as a temporal process, but it is plotted in the function of the strength of the Hubbard interaction. This provide everyhow a novel meaning for the Zitterbewegung which I interpret in this case as an interference of the quasi-degenerate states. The results can be found in the reference [244].

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Tisztelettel megkösz¨ on¨ om a Témavezet˝omnek, Dr. Gul´ acsi Zsoltnak, hogy magas szint˝ u tud´ as´ aval és példamutat´ o becs¨ uletességével seg´ıtette a doktori tanulm´ anyaim végzését, és kösz¨ onetet mondok mindazon embereknek, akik ˝oszinte sz´ıvvel és ¨ onzetlen szeretettel támogattak a munkám sor´ an.

119

Irodalomjegyz´ ek [1] M.E. Joaquim, ”Polyphenyl Ether Lubricants” in Synthetic Lubricants and Highperformance Functional Fluids, edited by R.L. Rudnick and R.L. Shubkin, (Marcel Dekker, New York, USA, 1999), p. 239. [2] B. Jakobsen, K. Niss, and N.B. Olsen, Jour. Chem. Phys. 123, 234511, (2005). [3] S. Hamid and S.A. Burian, ”Polyphenyl Ether Lubricants” in Synthetics, Mineral Oils, and Bio-based Lubricants: Chemistry and Technology, edited by L.R. Rudnick, (Taylor and Francis Publisher, Abingdon, UK, 2006), p. 175. [4] G. Chowdhury et al., Polyphenylene Oxide and Modified Polyphenylene Oxide Membranes: Gas, Vapor and Liquid Separation, edited by G. Chowdhury, B. Kruczek, and T. Matsuura, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2001). [5] D. Parker, J. Bussink, H.T. van de Grampel, G.W. Wheatley, E.U. Dorf, E. Ostlinning, and K. Reinking, ”Polymers, High-Temperature” in Ullmann’s Encyclopedia of Industrial Chemistry, (Wiley-VCH, Weinheim, Germany, 2002). [6] E.D. Weil and S.V. Levchik, Flame Retardants for Plastics and Textiles: Practical Applications, (Hanser Publication, New York, USA, 2009), p. 106. [7] M.C. Hough et al., The Plastic Compedium, Vol. 1, Key Properties, Sources, (Rapra Technology, LTD, British Printing Company Publication, Shawbury, UK, 1995). [8] D.K. Platt, Engineering and High Performance Plastics: Market Report, (Rapra Technology, Birmingham, UK, 2003). [9] H.G. Elias and F. Vohwinkel, New Comercial Polymers, Vol. 2, (Gordon and Breach Science Publisher, Amsterdam, The Netherlands, 1986), p. 290. [10] J.H. Burroughes, D.D.C. Bradley, A.R. Brown, R.N. Marks, K. Mackay, R.H. Friend, P.L. Burns, and A.B. Holmes, Nature 347, 539, (1990). [11] J. Li, N. Sun, Z.X. Guo, C. Li, Y. Li, L. Dai, D. Zhu, D. Sun, Y. Cao, L. Fan, Jour. Phys. Chem. B 106, 11509, (2002). [12] Y. N. Gartstein, M.J. Rice, and E.M. Conwell, Phys. Rev. B 51, 5546(R), (1995). [13] A. Chakrabarti and S. Mazumdar, Phys. Rev. B 59, 4839, (1999). [14] A. Ruini, M.J. Caldas, G. Bussi, and E. Molinari, Phys. Rev. Lett. 88, 206403, (2002). [15] H. Nˇ emec, H.K. Nienhuys, E. Perzon, F. Zhang, O. Ingan¨ as, P. Kuˇ zel, and V. Sundstr¨ om, Phys. Rev. B 79, 245326, (2009). [16] T. Reddyhoff, H.A. Spikes, and A.V. Olver, Tribol. Lett. 36, 69, (2009). [17] B. Jakobsen, N.B. Olsen, and T. Christensen, Phys. Rev. E 81, 061505, (2010). [18] C. Maggi, B. Jakobsen, and J.C. Dyre, arXiv: cond-mat/1003.0341, (2010). [19] J.P. Bergfield, M. Solis, and C.A. Stafford, ACS Nano 4, 5314, (2010). [20] D. Xing and J. Kerres, Polym. Adv. Technol. 17, 591, (2006). [21] G. Brocks, J. van den Brink, and A.F. Morpurgo, Phys. Rev. Lett. 93, 146405, (2004). [22] J. Hubbard, Proc. R. Soc. (London) A, 276, 238, (1963).

120

[23] G.C. Papavassiliou and V.M. Yartsev, Chem. Phys. Lett. 200, 209, (1992). [24] L.M. Falicov and C.R. Proetto, Phys. Rev. B 47, 14407, (1993). [25] M. Fabrizio, A. Parola, and E. Tosatti, Phys. Rev. B 44, 1033, (1991). [26] C. Mei, L. Chen, Zeit. Phys. B 72, 429, (1988). [27] L. Chen, C. Mei, Phys. Rev. B 39, 9006, (1989). [28] A. Parola, S. Sorella, M. Parrinello, and E. Tosatti, Dynamics of magnetic fluctuations in high temperature superconductors, edited by G. Reiner, P. Horsch, and G. Psaltakis, (Plenum, New York, 1990). [29] J. Vidal, B. Doucot, R. Mosseri, and P. Butaud, Phys. Rev. Lett. 85, 3906, (2000). [30] F.M. Pont and P. Serra, Jour. Phys. A: Math. Theor. 41, 275303, (2008). [31] G. Z¨ urn, F. Serwane, T. Lompe, A.N. Wenz, M.G. Ries, J.E. Bohn, and S. Jochim, Phys. Rev. Lett. 108, 075303, (2012). [32] Y. Kwon, D.M. Ceperley, R.M. Martin, Phys. Rev. B 48, 12037, (1993). [33] M. Himmerich and M. Letz, Phys. Rev. B 64, 144519, (2001). [34] J.L. Zhu, S. Hu, Z. Dai, X. Hu, Phys. Rev. B 72, 075411, (2005). [35] J.P. Kestner and L.M. Duan, Phys. Rev. A 76, 033611, (2007). [36] I. Stetcu, B.R. Barrett, U. van Kolck, and J.P. Vary, Phys. Rev. A 76, 063613, (2007). [37] S. Roy, M. Landini, A. Trenkwalder, G. Semeghini, G. Spagnolli, A. Simoni, M. Fattori, M. Inguscio, and G. Modugno, Phys. Rev. Lett. 111, 053202, (2013). [38] F.F. Bellotti, T. Frederico, M.T. Yamashita, D.V. Fedorov, A.S. Jensen, and N.T. Zinner, New Jour. Phys. 16, 013048, (2014). [39] P. D’Amico and M. Rontani, Jour. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 47, 065303, (2014). [40] W.Y. Ruan, Y.Y. Liu, C.G. Bao, Z.Q. Zhang, Phys. Rev. B 51, 7942(R), (1995). [41] Y.M. Liu, G.M. Huang, and C.G. Bao, Phys. Rev. B 70, 073313, (2004). [42] B. Szafran and F.M. Peeters, Phys. Rev. B 71, 245314, (2005). [43] W. Xie, Phys. Rev. B 74, 115305, (2006). [44] Y. Li, C. Yannouleas, and U. Landman, Phys. Rev. B 76, 245310, (2007). [45] Z. Liu, L. Wang, and K. Shen, Phys. Rev. B 85, 045311, (2012). [46] Y.F. Ren, L. Wang, Z. Liu, and M.W. Wu, Phys. E 63, 329, (2014). [47] R.B. Laughlin, Phys. Rev. B 27, 3383, (1983). [48] L.L. Margolin, S. Tsiklauri, arXiv: math-ph/0710.3143, (2007). [49] X.J. Liu, X.Y. Wu, J.B. Lu, J. Ma, H. Li, S.Q. Zhang, G.H. Wang, H.M. Li, H.C. Yuan, and H.X. Gao, arXiv: quant-ph/1401.6874, (2014). [50] C.G. Bao, Phys. Rev. A 50, 2182, (1994). [51] A.M. Frolov and D.M. Wardlaw, Phys. Rev. A 78, 042506, (2008). [52] M.B. Ruiz, F. Latorre, A.M. Frolov, arXiv: physics.atom-ph/1311.2440, (2013).

121

[53] A.M Frolov, M.B. Ruiz, Chem. Phys. Lett. 595-596, 197, (2014). [54] J. Cioslowski and E. Grzebielucha, Phys. Rev. A 77, 032508, (2008). [55] C. Amovilli, N. H. March, Phys. Rev. A 83, 044502, (2011). [56] C.G. Bao, W.Y. Ruan, and Y.Y. Liu, Phys. Rev. B 53, 10820, (1996). [57] M.B. Tavernier, E. Anisimovas, F.M. Peeters, B. Szafran, J. Adamowski, and S. Bednarek, Phys. Rev. B 68, 205305, (2003). [58] G. Granger, M.A. Kastner, I. Radu, M.P. Hanson, and A.C. Gossard, Phys. Rev. B 72, 165309, (2005). [59] Y. Li, C. Yannouleas, and U. Landman, Phys. Rev. B 80, 045326, (2009). [60] C.A. Sackett, D. Kielpinski, B.E. King, C. Langer, V. Meyer,C.J. Myatt, M. Rowe, Q.A. Turchette, W.M. Itano, D.J. Wineland, and C. Monroe, Nature 404, 256, (2000). [61] A.V. Koudinov, C. Kehl, A.V. Rodina, J. Geurts, D. Wolverson, and G. Karczewski, Phys. Rev. Lett. 112, 147402, (2014). [62] F.W. Byron Jr. and C.J. Joachain, Phys. Rev. 157, 7, (1967). [63] G.P. Barnett and H. Shull, Phys. Rev. 153, 61, (1967). [64] W. Florek, Acta Phys. Pol. 99, 601, (2001). [65] T. Chwiej and B. Szafran, Phys. Rev. B 78, 245306, (2008). [66] F. Serwane, G. Z¨ urn, T. Lompe, T.B. Ottenstein, A.N. Wenz, S. Jochim, Science 332, 336, (2011). [67] P.P. Baruselli, R. Requist, M. Fabrizio, and E. Tosatti, Phys. Rev. Lett. 111, 047201, (2013). [68] P.O. Bugnion, J.A. Lofthouse, and G.J. Conduit, Phys. Rev. Lett. 111, 045301, (2013). [69] J. Omachi, T. Suzuki, K. Kato, N. Naka, K. Yoshioka, and M. Kuwata-Gonokami, Phys. Rev. Lett. 111, 026402, (2013). [70] M. Sch¨ uler, M. Rosner, T.O. Wehling, A.I. Lichtenstein, and M.I. Katsnelson, Phys. Rev. Lett. 111, 036601, (2013). [71] Z. Gul´ acsi, A. Kampf, D. Vollhardt, Prog. Theor. Phys. Suppl. 176, 1, (2008). [72] Z. Gul´ acsi, A. Kampf, and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 99, 026404, (2007). [73] Z. Gul´ acsi, A. Kampf, and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 105, 266403, (2010). [74] R. Trencs´ enyi, E. Kov´ acs, and Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. 89, 1953, (2009). [75] R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi, Eur. Phys. Jour. B 75, 511, (2010). [76] Z. Gul´ acsi and I. Orlik, Jour. Phys. A: Math. Gen. 34, L359, (2001). [77] Z. Gul´ acsi, Phys. Rev. B 69, 054204, (2004). [78] Z. Gul´ acsi, Phys. Rev. B 77, 245113, (2008). [79] I. Orlik and Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. Lett. 78, 177, (1998). [80] Z. Gul´ acsi, Eur. Phys. Jour. B 30, 295, (2002). [81] Z. Gul´ acsi, Phys. Rev. B 66, 165109, (2002).

122

[82] Z. Gul´ acsi and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 91, 186401, (2003). [83] Z. Gul´ acsi and D. Vollhardt, Phys. Rev. B 72, 075130, (2005). [84] G. Fano, F. Ortolani, A. Parola, Phys. Rev. B 46, 1048, (1992). [85] H. Zhu, Y. Jiang, Acta Chim. Sin. 51, 527, (1993). [86] J. Kishine and H. Namaizawa, Prog. Theor. Phys. 93, 519, (1995). [87] J. Ferrer and M.A. Gonz´ alez-Alvarez, Phys. Rev. B 57, 7470, (1998). [88] S. Mo, A. Sudbø, Phys. C 383, 279, (2002). [89] H. Yokoyama, M. Ogata, and Y. Tanaka, Jour. Phys. Soc. Jpn. 75, 114706, (2006). [90] K. Kubo, Phys. Rev. B 75, 224509, (2007). [91] S.R. Hassan, B. Davoudi, B. Kyung, and A.M.S. Tremblay, Phys. Rev. B 77, 094501, (2008). [92] A.H. Nevidomskyy, C. Scheiber, D. S´ en´ echal, and A.M.S. Tremblay, Phys. Rev. B 77, 064427, (2008). [93] J.M.P. Carmelo, arXiv: cond-mat/0804.2388, (2010). [94] T. Miyagawa and H. Yokoyama, Jour. Phys. Soc. Jpn. 80, 084705, (2011). [95] A. Yamada, K. Seki, R. Eder, and Y. Ohta, Phys. Rev. B 88, 075114, (2013). [96] V. Voroshilov, arXiv: cond-mat/1404.3140, (2014). [97] K. Kubo, Phys. Rev. B 79, 020407(R), (2009). [98] Y. Li, E.H. Lieb, and C. Wu, Phys. Rev. Lett. 112, 217201, (2014). [99] P. Wurth, G. Uhrig, and E. M¨ uller-Hartmann, Ann. Phys. 508, 148, (1996). [100] J. Igarashi, M. Takahashi, and T. Nagao, Jour. Phys. Soc. Jpn. 68, 3682, (1999). [101] M. Acquarone, M. Cuoco, C. Noce, A. Romano, Phys. B 261, 725, (1999). [102] J.A. Riera, Phys. Rev. B 64, 104520, (2001). [103] A. Miyanaga and H. Yamase, Phys. Rev. B 73, 174513, (2006). [104] Z. Nussinov and A. Rosengren, Phil. Mag. Lett. 87, 515, (2007). [105] D. Poilblanc, C. Weber, F. Milac, M. Sigrist, Jour. Mag. Mag. Mat. 310, 523, (2007). [106] M. Rigol, T. Bryant, and R.R.P. Singh, Phys. Rev. E 75, 061119, (2007). [107] C.P. Chou and T.K. Lee, Phys. Rev. B 85, 104511, (2012). [108] J. Behre and S. Miyashita, Jour. Phys. A: Math. Gen. 25, 4745, (1992). [109] J. Ferrer, Phys. Rev. B 47, 8769, (1993). [110] B.B. Beard, R.J. Birgeneau, M. Greven, and U.J. Wiese, Phys. Rev. Lett. 80, 1742, (1998). [111] K. Kato, S. Todo, K. Harada, N. Kawashima, S. Miyashita, and H. Takayama, Phys. Rev. Lett. 84, 4204, (2000). [112] S.E. Kr¨ uger, J. Richter, J. Schulenburg, D.J.J. Farnell, R.F. Bishop, Phys. Rev. B 61, 14607, (2000).

123

[113] A.F. Albuquerque, M. Troyer, and J. Oitmaa, Phys. Rev. B 78, 132402, (2008). [114] R. Darradi, O. Derzhko, R. Zinke, J. Schulenburg, S.E. Kr¨ uger, and J. Richter, Phys. Rev. B 78, 214415, (2008). [115] J. Richter and J. Schulenburg, Eur. Phys. Jour. B 73, 117, (2010). [116] J. Richter, R. Darradi, J. Schulenburg, D.J.J. Farnell, and H. Rosner, Phys. Rev. B 81, 174429, (2010). [117] P. Sindzingre, N. Shannon, and T. Momoi, Jour. Phys.: Conf. Ser. 200, 022058, (2010). [118] A.B. Kallin, M.B. Hastings, R.G. Melko, and R.R.P. Singh, Phys. Rev. B 84, 165134, (2011). [119] L. Wang, D. Poilblanc, Z.C. Gu, X.G. Wen, and F. Verstraete, Phys. Rev. Lett. 111, 037202, (2013). [120] C.J. Hamer, Jour. Phys. A: Math. Gen. 33, 6683, (2000). [121] W.P. Orrick, B. Nickel, A.J. Guttmann, and J.H.H. Perk, Jour. Stat. Phys. 102, 795, (2001). [122] A. Kalz, A. Honecker, S. Fuchs, and T. Pruschke, Jour. Phys.: Conf. Ser. 145, 012051, (2009). [123] A.A. Saberi, Jour. Stat. Mech.: Theor. Exp. P07030, (2009). [124] J. Yin and D.P. Landau, Phys. Rev. E 80, 051117, (2009). [125] A. Kalz and A. Honecker, Phys. Rev. B 84, 174407, (2011). [126] A. Kashuba, arXiv: cond-mat/1101.5077, (2011). [127] S. Jin, A. Sen, W. Guo, and A.W. Sandvik, Phys. Rev. B 87, 144406, (2013). [128] I.Q. Sikakana, arXiv: cond-mat/1301.2400, (2013). [129] O. Kapikranian and Y. Holovatch, Phys. Rev. B 81, 134437, (2010). [130] O. Derzhko, J. Richter, T. Verkholyak, Acta Phys. Pol. B 32, 3427, (2001). [131] O. Derzhko, T. Verkholyak, R. Schmidt, J. Richter, Phys. A: Stat. Mech. Appl. 320, 407, (2003). [132] O. Derzhko, T. Krokhmalskii, Phys. B: Cond. Mat. 337, 357, (2003). [133] V. Alba, A. Pelissetto, and E. Vicari, Jour. Stat. Mech.: Theor. Exp. P03006, (2010). [134] Y.B. Deng, Q. Gu, Chin. Phys. Lett. 31, 020504, (2014). [135] J.F. Yu, Z.Y. Xie, Y. Meurice, Y. Liu, A. Denbleyker, H. Zou, M.P. Qin, J. Chen, and T. Xiang, Phys. Rev. E 89, 013308, (2014). [136] M. Kohno and M. Takahashi, Phys. Rev. B 56, 3212, (1997). [137] D.J.J. Farnell and R.F. Bishop, arXiv: cond-mat/0606060, (2006). [138] P. Chen, C.Y. Lai, and M.F. Yang, Jour. Stat. Mech.: Theor. Exp. P10001, (2009). [139] R. Darradi, J. Richter, J. Schulenburg, R.F. Bishop, P.H.Y. Li, Jour. Phys.: Conf. Ser. 145, 012049, (2009). [140] A. Collins, J. McEvoy, D. Robinson, C.J. Hamer, and Z. Weihong, Jour. Phys.: Conf. Ser. 42, 71, (2006).

124

[141] A. Voigt and J. Richter, Jour. Phys.: Cond. Mat. 8, 5059, (1996). [142] E. Zasinas, O.P. Sushkov, and J. Oitmaa, Phys. Rev. B 64, 184431, (2001). [143] J. Dorier, F. Becca, and F. Mila, Phys. Rev. B 72, 024448, (2005). [144] N.G. Zhang and C.L. Henley, Eur. Phys. Jour. B 38, 409, (2004). [145] G. Katomeris, F. Selva, and J.L. Pichard, Eur. Phys. Jour. B 31, 401, (2003). [146] Z.A. N´ emeth and J.L. Pichard, Eur. Phys. Jour. B 33, 87, (2003). [147] W. Selke and C. Ekiz, Jour. Phys.: Cond. Mat. 23, 496002, (2011). [148] J.M. Hou, Phys. Rev. Lett. 111, 130403, (2013). [149] F. Onufrieva, P. Pfeuty, Jour. Phys. Chem. Sol. 59, 1853, (1998). [150] M. Kiselev, F. Bouis, F. Onufrieva, and P. Pfeuty, Eur. Phys. Jour. B 16, 601, (2000). [151] P. Tomczak and J. Richter, Jour. Phys. A: Math. Gen. 34, L461, (2001). [152] Y. Qi, Z.C. Gu, Phys. Rev. B 89, 235122, (2014). [153] Y. Ran, A. Vishwanath, and D.H. Lee, arXiv: cond-mat/0806.2321, (2008). [154] R. Roy, arXiv: cond-mat/0603271, (2006). [155] S.K. Maiti, M. Dey, S.N. Karmakar, Phys. Lett. A 376, 1366, (2012). [156] N.B. Christensen, H.M. Rønnow, D.F. McMorrow, A. Harrison, T.G. Perring, M. Enderle, R. Coldea, L.P. Regnault, and G. Aeppli, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 104, 15264, (2007). [157] M.Z. Ahmed, arXiv: cond-mat/1110.4369, (2011). [158] R.K. Kaul, R.G. Melko, M.A. Metlitski, and S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 101, 187206, (2008). [159] M.I. Molina, Phys. Rev. B 74, 045412, (2006). [160] R.F. Bishop and P.H.Y. Li, Phys. Rev. B 85, 155135, (2012). [161] R.F. Bishop, P.H.Y. Li, D.J.J. Farnell, and C.E. Campbell, Jour. Phys.: Cond. Mat. 24, 236002, (2012). [162] R.Q. He and Z.Y. Lu, Phys. Rev. B 86, 045105, (2012). [163] A. Kalz, M. Arlego, D. Cabra, A. Honecker, and G. Rossini, Phys. Rev. B 85, 104505, (2012). [164] P.H.Y. Li, R.F. Bishop, D.J.J. Farnell, J. Richter, C.E. Campbell, Phys. Rev. B 85, 085115 (2012). [165] P.H.Y. Li, R.F. Bishop, D.J.J. Farnell, C.E. Campbell, Phys. Rev. B 86, 144404, (2012). [166] F. Mezzacapo and M. Boninsegni, Phys. Rev. B 85, 060402(R), (2012). [167] H. Zhang and C.A. Lamas, Phys. Rev. B 87, 024415, (2013). [168] Z. Zhu, D.A. Huse, and S.R. White, Phys. Rev. Lett. 111, 257201, (2013). [169] R.F. Bishop, P.H.Y. Li, and C.E. Campbell, Phys. Rev. B 89, 214413, (2014). [170] P.H.Y. Li, R.F. Bishop, and C.E. Campbell, Phys. Rev. B 89, 220408(R), (2014).

125

[171] Z.Y. Meng, T.C. Lang, S. Wessel, F.F. Assaad, and A. Muramatsu, Nature 464, 847, (2010). [172] F. Wang, Phys. Rev. B 82, 024419, (2010). [173] D.C. Cabra, C.A. Lamas, H.D. Rosales, Mod. Phys. Lett. B 25, 891, (2011). [174] B.K. Clark, D.A. Abanin, and S.L. Sondhi, Phys. Rev. Lett. 107, 087204, (2011). [175] Y.M. Lu and Y. Ran, Phys. Rev. B 84, 024420, (2011). [176] G. Wang, M.O. Goerbig, C. Miniatura, and B. Gr´ emaud, Europhys. Lett. 95, 47013, (2011). [177] J. Carrasquilla, A. Di Ciolo, F. Becca, V. Galitski, and M. Rigol, Phys. Rev. B 88, 241109(R), (2013). [178] S. Sorella, Y. Otsuka, and S. Yunoki, Sci. Rep. 2, 992, (2012). [179] S.R. Hassan and D. S´ en´ echal, Phys. Rev. Lett. 110, 096402, (2013). [180] K. Kuroki and R. Arita, Phys. Rev. B 63, 174507, (2001). [181] Z.C. Gu, H.C. Jiang, D.N. Sheng, H. Yao, L. Balents, and X.G. Wen, Phys. Rev. B 88, 155112, (2013). [182] H.Y. Yang, A.F. Albuquerque, S. Capponi, A.M. L¨ auchli, and K.P. Schmidt, New Jour. Phys. 14, 115027, (2012). [183] N.A. Garc´ıa-Mart´ınez, A.G. Grushin, T. Neupert, B. Valenzuela, and E.V. Castro, Phys. Rev. B 88, 245123, (2013). [184] T. Li, Europhys. Lett. 97, 37001, (2012). [185] T. Duri´ c, N. Chancellor, and I.F. Herbut, Phys. Rev. B 89, 165123, (2014). [186] Y. Zhong, K. Liu, Y.Q. Wang, and H.G. Luo, Phys. Rev. B 86, 165134, (2012). [187] Y. Zhong, H.G. Luo, Int. Jour. Mod. Phys. B 27, 1361002, (2013). [188] K. Takano, Phys. Rev. B 74, 140402(R), (2006). [189] E.V. Castro, A.G. Grushin, B. Valenzuela, M.A.H. Vozmediano, A. Cortijo, F. de Juan, Phys. Rev. Lett. 107, 106402, (2011). [190] W. Wu and A.M.S. Tremblay, Phys. Rev. B 89, 205128, (2014). [191] S.L.A. de Queiroz, Phys. Rev. B 73, 064410, (2006). [192] K. Seki and Y. Ohta, arXiv: cond-mat/1209.2101, (2012). [193] S. Pujari, K. Damle, and F. Alet, Phys. Rev. Lett. 111, 087203, (2013). [194] M.T. Tran and K. Kuroki, Phys. Rev. B 79, 125125, (2009). [195] I.F. Herbut, Phys. Rev. Lett. 97, 146401, (2006). [196] F.F. Assaad and I.F. Herbut, Phys. Rev. X 3, 031010, (2013). [197] L. Janssen and I.F. Herbut, Phys. Rev. B 89, 205403, (2014). [198] B. Roy and I.F. Herbut, Phys. Rev. B 82, 035429, (2010). [199] S. Saremi and P.A. Lee, Phys. Rev. B 75, 165110, (2007).

126

[200] L. Dell’Anna, Jour. Stat. Mech.: Theor. Exp. P01007, (2010). [201] Y. Zhong, K. Liu, Y.F. Wang, Y.Q. Wang, and H.G. Luo, Eur. Phys. Jour. B 86, 195, (2013). [202] M. Sherafati, S. Satpathy, Phys. Stat. Sol. B 248, 2056, (2011). [203] Y. Hasegawa, K. Kishigi, Phys. Rev. B 86, 165430, (2012). [204] J.M. Hou, arXiv: cond-mat/1406.3800, (2014). [205] Z. Huang and D.P. Arovas, arXiv: cond-mat/1205.6266, (2012). [206] E. Granato, Phys. Rev. B 87, 094517, (2013). [207] A. Agazzi, J.P. Eckmann, G.M. Graf, Jour. Stat. Phys. 156, 417, (2014). [208] A. Mishra, S.R. Hassan, and R. Shankar, arXiv: cond-mat/1401.5295, (2014). [209] M. Ahmed, arXiv: cond-mat/1110.6488, (2011). [210] T. Li, arXiv: cond-mat/1101.1352, (2011). [211] H. Yao and S.A. Kivelson, Phys. Rev. Lett. 108, 247206, (2012). [212] P. Moree and H.J.J. te Riele, Math. Comp. 73, 451, (2003). [213] Z. Vardeny and J. Tanc, Phys. Rev. Lett. 54, 1844, (1985). [214] D. Baeriswyl, D.K. Campbell, and S. Mazumdar, Phys. Rev. Lett. 56, 1509, (1986). [215] T.O. Wehling, E.U. Sasioglu, C. Friedrich, A.I. Lichtenstein, M.I. Katsnelson, and S. Bl¨ ugel, Phys. Rev. Lett. 106, 236805, (2011). [216] D.C. Mattis, The Many-Body Problem: An Encyclopedia of Exactly Solved Models in One Dimension, (World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, 1993). [217] V.E. Korepin, F.H.L. Eßler, Exactly Solvable Models of Strongly Correlated Electrons, in: Advanced Series in Mathematical Physics, Vol. 18, (World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, 1994). [218] U. Brandt, A. Giesekus, Phys. Rev. Lett. 68, 2648, (1992). [219] H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 70, 3303, (1993). [220] A. Tanaka, Jour. Phys. A: Math. Gen. 37, 1559, (2004). [221] R. Strack, D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 70, 2637, (1993). [222] R. Strack, D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 72, 3425 (1994). [223] M. Kollar, R. Strack, D. Vollhardt, Phys. Rev. B 53, 9225, (1996). [224] L.G. Sarasua, Phys. Rev. B 75, 054504, (2007). [225] L.G. Sarasua, Phys. B 406, 3622, (2011). [226] L.G. Sarasua, M.A. Continentino, Phys. Rev. B 69, 073103, (2004). [227] R. Strack, Phys. Rev. Lett. 70, 833, (1993). [228] I. Orlik, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. B 76, 845, (1997). [229] I. Orlik, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. B 81, 1587, (2001).

127

[230] A. Kl¨ umper, A. Schadschneider, and J. Zittartz, Europhys. Lett. 24, 293, (1993). [231] J. de Boer, Phys. Rev. Lett. 75, 4298, (1995). [232] S. Albeverio, S.M. Fei, Europhys. Lett. 41, 665, (1998). [233] C. Dziurzik, A. Schadschneidera, and J. Zittartz, Eur. Phys. Jour. B 12, 209, (1999). [234] A. Montorsi, D.K. Campbell, Phys. Rev. B 53, 5153, (1996). [235] P. Gurin, Z. Gul´ acsi, Phys. Rev. B 64, 045118, (2001). [236] R.B. Laughlin, Phil. Mag. 86, 1165, (2006). [237] L. Huijse, N. Moran, J. Vala, and K. Schoutens, Phys. Rev. B 84, 115124, (2011). [238] M. Nakamura, Z.Y. Wang, and E.J. Bergholtz, Phys. Rev. Lett. 109, 016401, (2012). [239] E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. B 81, 1557, (2001). [240] E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi, Jour. Phys. A: Math. Gen. 38, 10273, (2005). [241] E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. B 86, 1997, (2006). [242] E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. B 86, 2073, (2006). [243] S. Harir, M. Bennai, and Y. Boughaleb, Fiz. A (Zagreb) 17, 59, (2008). [244] R. Trencs´ enyi, K. Glukhov, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. 94, 2195, (2014). [245] A. Mielke and H. Tasaki, Commun. Math. Phys. 158, 341, (1993). [246] R. Trencs´ enyi, K. Gul´ acsi, E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi, Ann. Phys. (Berlin) 523, 741, (2011). [247] R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi, Phil. Mag. 92, 4657, (2012). [248] B. Sampedro, P. Crespo, A. Hernando, R. Litr´ an, J.C. S´ anchez L´ opez, C. L´ opez Cartes, A. Fern´ andez, J. Ram´ırez, J. Gonz´ alez Calbet, and M. Vallet, Phys. Rev. Lett. 91, 237203, (2003). [249] P. Crespo, R. Litr´ an, T.C. Rojas, M. Multigner, J.M. de la Fuente, J.C. S´ anchez L´ opez, M.A. Garc´ıa, A. Hernando, S. Penad´ es, and A. Fern´ andez, Phys. Rev. Lett. 93, 087204, (2004). [250] S. Banerjee, S.O. Raja, M. Sardar, N. Gayathri, B. Ghosh, A. Dasgupta, arXiv: condmat/0912.3319, (2010). [251] E. Kov´ acs, R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi, Jour. Phys.: Conf. Ser. 47, 012048, (2013). [252] B. Verstichel, H. van Aggelen, W. Poelmas, S. Wouters, and D. Van Neck, Comput. Theor. Chem. 1003, 12, (2013). [253] S.G. Chung, Phys. Lett. A 361, 396, (2007). [254] M. Jemai, P. Schuck, J. Dukelsky, and R. Bennaceur, Phys. Rev. B 71, 1, (2005). [255] H. Shi and S. Zhang, Phys. Rev. B 88, 125132, (2013). [256] E.H. Lieb and F.Y. Wu, Phys. A 321, 1, (2003). [257] M. Kollar and D. Vollhardt, Phys. Rev. B 65, 155121, (2002). [258] E. McCann and V.I. Falko, Phys. Rev. B 71, 085415, (2005). [259] I. Klich, S.H. Lee, and K. Iida, Nat. Comm. 5, 3497, (2014).

128

[260] M. Zarenia, A. Chaves, G.A. Farias, F.M. Peeters, Phys. Rev. B 84, 245403, (2011). [261] E. Schr¨ odinger, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 24, 418, (1930). [262] A.O. Barut and A.J. Bracken, Phys. Rev. D 23, 2454, (1981). [263] K. Huang, Am. Jour. Phys. 20, 479, (1952). [264] B. Thaller, arXiv: quant-ph/0409079, (2008). [265] J.A. Lock, Am. Jour. Phys. 47, 797, (1979). [266] E. Romera, Phys. Rev. A 84, 052102, (2011). [267] Y.X. Wang, J. Cao, and S.J. Xiong, Eur. Phys. Jour. B 85, 237, (2012). [268] J.W. Braun, Q. Su, and R. Grobe, Phys. Rev. A 59, 604, (1999). [269] L. Ferrari and G. Russo, Phys. Rev. B 42, 7454, (1990). [270] F. Cannata, L. Ferrari, Phys. Rev. B. 44, 8599, (1991). [271] F. Cannata, L. Ferrari, G. Russo, Solid State Comm. 74, 309, (1990). [272] S.V. Vonsovskii, M.S. Svirskii, L.M. Svirskaya, Theor. Math. Phys. 94, 243, (1993). [273] N. Shmueli, A. Yacoby, and Y. Imry, Europhys. Lett. 29, 711, (1995). [274] Z.F. Jiang, R.D. Li, S.C. Zhang, and W.M. Liu, Phys. Rev. B 72, 045201, (2005). [275] J. Schliemann, D. Loss, and R.M. Westervelt, Phys. Rev. Lett. 94, 206801, (2005). [276] S.Q. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 187203, (2005). [277] W. Zawadzki, Phys. Rev. B 72, 085217, (2005). [278] P. Brusheim and H.Q. Xu, Phys. Rev. B 74, 205307, (2006). [279] J. Schliemann, D. Loss, and R.M. Westervelt, Phys. Rev. B 73, 085323, (2006). [280] E. Bernardes, J. Schliemann, M. Lee, J.C. Egues, and D. Loss, Phys. Rev. Lett. 99, 076603, (2007). [281] T.M. Rusin and W. Zawadzki, Jour. Phys.: Cond. Mat. 19, 136219, (2007). [282] J. Schliemann, Phys. Rev. B 75, 045304, (2007). [283] U. Z¨ ulicke, J. Bolte, and R. Winkler, New Jour. Phys. 9, 355, (2007). [284] V.Y. Demikhovskii, G.M. Maksimova, and E.V. Frolova, Phys. Rev. B 78, 115401, (2008). [285] J. Schliemann, Phys. Rev. B 77, 125303, (2008). [286] Z. Wilamowski, W. Ungier, M. Havlicek, and W. Jantsch, arXiv: cond-mat/1001.3746, (2010). [287] J. Cserti and G. D´ avid, Phys. Rev. B 74, 172305, (2006). [288] M.I. Katsnelson, Eur. Phys. Jour. B 51, 157, (2006). [289] T.M. Rusin and W. Zawadzki, Phys. Rev. B 76, 195439, (2007). [290] B. Trauzettel, Ya.M. Blanter, and A.F. Morpurgo, Phys. Rev. B 75, 035305, (2007). [291] R. Englman, T. V´ ertesi, Phys. Rev. B 78, 205311, (2008).

129

[292] G.M. Maksimova, V.Y. Demikhovskii, and E.V. Frolova, Phys. Rev. B 78, 235321, (2008). [293] T.M. Rusin and W. Zawadzki, Phys. Rev. B 78, 125419, (2008). [294] J. Schliemann, New Jour. Phys. 10, 043024, (2008). [295] A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov and A.K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109, (2009). [296] V. Krueckl and T. Kramer, New Jour. Phys. 11, 093010, (2009). [297] E. Romera and F. de los Santos, Phys. Rev. B 80, 165416, (2009). [298] T.M. Rusin and W. Zawadzki, Phys. Rev. B 80, 045416, (2009). [299] Y.X. Wang, Z. Yang, and S.J. Xiong, Europhys. Lett. 89, 17007, (2010). [300] P.E. de Brito, H.N. Nazareno, Phys. B 407, 1068, (2012). [301] W. Zawadzki, Phys. Rev. B 74, 205439, (2006). [302] D. Luri´ e and S. Cremer, Physica (Amsterdam), 50, 224, (1970). [303] W. Zawadzki, T.M. Rusin, Phys. Lett. A 374, 3533, (2010). [304] A.O. Barut and W.D. Thacker, Phys. Rev. D 31, 2076, (1985). [305] A. Bermudez, M.A. Martin-Delgado, and E. Solano, Phys. Rev. Lett. 99, 123602, (2007). [306] J. Cserti and G. D´ avid, Phys. Rev. B 82, 201405(R), (2010). [307] G. D´ avid, J. Cserti, Phys. Rev. B 81, 121417(R), (2010). [308] J. Vaz Jr. and W.A. Rodriguez Jr., Phys. Lett. B 319, 203, (1993). [309] L. Lamata, J. Le´ on, T. Sch¨ atz, and E. Solano, Phys. Rev. Lett. 98, 253005, (2007). [310] R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Z¨ ahringer, E. Solano, R. Blatt, and C.F. Roos, Nature 463, 68, (2010). [311] J.J. Song and B.A. Foreman, Phys. Rev. A 80, 045602, (2009). [312] D. Braun, Phys. Rev. A 82, 013617, (2010). ¨ [313] M. Merkl, F.E. Zimmer, G. Juzeli¯ unas, and P. Ohberg, Europhys. Lett. 83, 54002, (2008). [314] J.Y. Vaishnav and C.W. Clark, Phys. Rev. Lett. 100, 153002, (2008). [315] X. Zhang and Z. Liu, Phys. Rev. Lett. 101, 264303, (2008). [316] Y. Wang, S. Peng, Y. Ye, H. Jia, Z. He, M. Ke, H. Yang, C. Qiu, Z. Liu, Phys. Lett. A 374, 4933, (2010). [317] X. Zhang, Phys. Rev. Lett. 100, 113903, (2008). [318] L.G. Wang, Z.G. Wang, and S.Y. Zhu, Europhys. Lett. 86, 47008, (2009). [319] F. Dreisow, M. Heinrich, R. Keil, A. Tunnermann, S. Nolte, S. Longhi, and A. Szameit, Phys. Rev. Lett. 105, 143902, (2010). [320] S. Longhi, Opt. Lett. 35, 235, (2010). [321] S. Longhi, Jour. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 205402, (2010). [322] R. Winkler, U. Z¨ ulicke, J. Bolte, Phys. Rev. B 75, 205314, (2007).

I

1. F¨ uggel´ ek ˆ − Eg pozit´ıv szemidefinit mivolt´ H anak bizony´ıt´ asa

ˆ Hamilton-oper´ Kiindulásképpen tekints¨ unk egy H atort, melynek spektrumában Eg jelöli az alap´ allapoti energi´ at, és a H Hilbert-tér egy tetsz˝ oleges ˆ sajátérték-egyenletét a |ψi elemével ´ırjuk fel H ˆ H|ψi = E|ψi

(F 1.1)

által adott alakban. Az (F1.1)-beli E energiaértékekre fennáll az E ≥ Eg ˆ sajátértékeinek als´ rel´ aci´ o, hiszen Eg H o korl´ atját definiálja. ˆ − Eg Ezután a H Hilbert-tér egy tetsz˝ oleges |ψi elemével ´ırjuk fel H sajátérték-egyenletét is a ˆ − Eg )|ψi = E ′ |ψi (H

(F 1.2)

ˆ − Eg oper´ kifejezés szerint, ahol E ′ a H ator sajátértékeit adja meg, és nyilˆ − Eg csakis ez vánval´ oan azt kell bebizony´ıtanunk, hogy E ′ ≥ 0, mivel H esetben lehet pozit´ıv szemidefinit. Ehhez célszer˝ u (F1.2)-t átrendezni a ˆ H|ψi = (E ′ + Eg )|ψi

(F 1.3)

formul´ anak megfelel˝oen, hiszen ily m´ odon (F1.1) és (F1.3) közvetlen¨ ul kapcsolatba hozhat´ o egymással. L´ athat´ o ugyanis, hogy (F1.1) és (F1.3) bal ˆ oldal´ an ugyanzon H|ψi szerepel, aminek következményeképpen a két egyenl˝oség jobb olal´ anak is egyeznie kell. Ez pedig ahhoz vezet, hogy meg´ allap´ıthatjuk az E = E ′ + Eg

(F 1.4)

rel´ aci´ ot, amelyb˝ ol E ′ -t kifejezve eljutunk az E ′ = E − Eg

(F 1.5)

egyenl˝ oséghez. Ezzel gyakorlatilag el is kész¨ ult a bizony´ıtás, hiszen (F1.1) fel´ır´ as´ at követ˝ oen világoss´ a tett¨ uk, hogy E ≥ Eg , ´ıgy (F1.5) folyt´ an E ′ ≥ 0 val´ oban teljes¨ ul.

II

2. F¨ uggel´ ek A Pozit´ıv Szemidefinit Oper´ atorok m´ odszer´ enek alkalmaz´ asa az egydimenzi´ os harmonikus oszcill´ ator eset´ eben

Az egydimenzi´ os harmonikus oszcill´ ator Hamilton-operátor´ at – ~ = m = ω = 1 egységek esetén – a ˆ = 1 pˆ2 + 1 x ˆ2 H 2 2

(F 2.1)

kifejezés szerint ´ırhatjuk fel, ahol pˆ és x ˆ az oszcill´ ator impulzusának és poz´ıci´ ojának oper´ atorait jelölik. A pˆ = a ˆ† + a ˆ x ˆ = i(ˆ a† − a ˆ)

(F 2.2)

transzformáci´ ok alkalmaz´ as´ aval (i a komplex képzetes egység) az (F2.1) Hamilton-oper´ ator a 1 ˆ =a H ˆ† a ˆ+ 2

(F 2.3)

alakra hozhat´ o, ami éppen egyezik az oszcill´ ator Hamilton-oper´ ator´ anak m´ asodkvant´ alt form´ ajával. Ennek megfelel˝oen a ˆ† , illetve a ˆ bozonikus kelt˝o, illetve elt¨ untet˝ o oper´ ator. Ha (F2.3)-at összevetj¨ uk a m´ odszer által el˝o´ırt ˆ = Pˆ + C transzformáci´ H os formul´ aval, akkor láthatjuk, hogy ez esetben egyetlen pozit´ıv szemidefinit oper´ ator szerepel a felbontásban, nevezetesen a ˆ† a ˆ, azaz Pˆ = a ˆ† a ˆ, az alap´ allapoti energi´ at megad´ o C konstans pedig 1 egyszer˝ uen C = 2 . Az alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvény meghat´ aroz´ as´ ahoz a m´ odszer a Pˆ |ψi = 0 feltételt használja fel, melyben a kiindul´ o |ψi hull´ amf¨ uggvény a lehet˝ o leg´ altal´ anosabb konstrukci´ oval rendelkezik. Oszcill´ atorunk esetében a legáltal´ anosabb ´ allapotvektort a betöltési sz´ amok Hilbert-terében vett |ni testeˆ s´ıti meg, ´ıgy a P |ψi = 0 feltétel most a ˆ† a ˆ|ni = 0

(F 2.4)

form´ aban ´ all el˝ o. Az (F2.4) egyenl˝ oség egyed¨ uli megold´ asa az |ni = |0i állapot, hiszen ekkor a ˆ|0i = 0 defin´ıció szerint teljes¨ ul. Ez azt jelenti, hogy az oszcill´ ator alap´ allapoti hull´ amf¨ uggvényét az |nig = |0i vákuum´ allapot definiálja, melyhez a kapcsol´ od´ o alap´ allapoti energi´ at a fentebbiek értelmében az Eg = 12 érték adja. A 4.2. alfejezetben végigvezetett m´ odszertani lépések és a jelen f¨ uggelékben t´ argyalt eljár´ as ¨ osszehasonl´ıtása világosan r´ amutat arra, hogy k¨ ul¨ onb¨ oz˝o

III t´ıpus´ u rendszerek esetében mennyire eltér˝ o lehet a PSZO m´ odszer egyes lépéseinek konkrét megval´ os´ıtása, ´ıgy az is láthat´ o, hogy a sokrészecskés szil´ ardtestek problém´ ajához képest egy egyszer˝ u egydimenzi´ os, egyrészecskés esetben az eljár´ as alkalmaz´ asa m´ ar-m´ ar triviálisnak mondható.

IV

3. F¨ uggel´ ek A reduk´ alt Hilbert-t´ er 70 b´ azisvektor´ anak grafikus szeml´ eltet´ ese a m´ ehsejtes nanostrukt´ ura eset´ eben 1 1 0 0 0 1 1 0

3 :

5 :

1 0 0 1

11 1 00 0 00 1 11 0

1 :

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0

11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

7 :

111 0 00 011 1 00

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

; 4 :

1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 1

11 00 00 11 0 1 0 1

11 00 00 11

11 00 00 11 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 1 0

11 00 11 00

0 ; 6 : 1 1 0

11 00 00 11

0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 0

11 00 11 00

1 0 0 1

11 00 00 11

11 00 11 00 1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

9 :

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

0 10 : 1 0 1

0 11 : 1 0 1

11 00 11 00

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1 1 0 0 1

11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 0 1 11 00 11 00

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 1 0

11 00 00 11

13 :

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

12 :

1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11 1 0 1 0

8 :

0 ; 2 : 1 0 1

1 0 1 0

11 00 11 00

11 00 11 00 11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 11 00 00 11

1 0 0 1

F3.1 ´ abra : A reduk´ alt Hilbert-t´ er |1i − |13i b´ azisvektorainak szerkezeti fel´ ep´ıt´ ese

V 11 00 11 00

1 0 1 0 1 0 0 1

14 :

1 0 0 1

11 00 00 11 00 11

1 0 0 1 1 0 0 1

00 11 11 15 00 : 00 11

11 00 00 11

11 00 00 11

11 00 00 11 11 00 00 11

1 0 0 1

17 :

1 0 0 1 1 0 0 1

11 00 00 11 00 11

1 0 0 1

16 :

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0 11 00 00 11

1 0 18 : 0 1 11 00 00 11

11 00 00 11

19 :

1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 11 00 11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 0 1

11 00 00 11

20 :

1 0 1 0

1 0 1 0

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1 11 00 00 11

11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 0 1 1 0 0 1

0 21 : 1 0 1 1 0 0 1 11 00 00 11

22 :

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

23 :

1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 1 0

11 00 11 00

1 0 1 0 1 0 0 1

11 00 00 11


VI

0 24 : 1 0 1 11 00 00 11 11 00 00 11

25 :

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

27 :

1 0 1 0

11 00 11 00

28 :

11 00 00 11 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

26 :

1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11 00 11

1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1

11 00 00 11

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 0 11 00 00 11

11 00 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

29 :

1 0 0 1

1 0 0 1

; 30 :

31 :

32 :

33 :

34 :


VII

35 :

; 36 :

; 37 :

38 :

; 39 :

; 40 :

41 :

42 :

43 :

44 :

45 :

46 :

47 :

48 :


VIII

49 :

50 :

51 :

52 :

53 :

; 54 :

55 :

56 :

57 :

58 :

; 59 :

61 :

; 62 :

; 60 :


IX

63 :

; 64 :

65 :

66 :

67 :

68 :

; 69 :

; 70 :


X

4. F¨ uggel´ ek A reduk´ alt Hilbert-t´ er 70 egyenlete a m´ ehsejtes nanostrukt´ ura eset´ eben ˆ H|1i = 2U |1i + 2t|8i + 2t|10i + 4t′ |17i + 4t′ |18i + 4t′ |22i, ˆ H|2i = 2U |2i + 2t|11i + 2t|13i + 4t′ |18i + 4t′ |19i + 4t′ |21i, ˆ H|3i = 2U |3i + 2t|9i + 2t|12i + 4t′ |17i + 4t′ |19i + 4t′ |20i, ˆ H|4i = 2U |4i + 2t|8i + 2t|12i + 2t|14i + 4t′ |23i + 4t′ |25i, ˆ H|5i = 2U |5i + 2t|10i + 2t|13i + 2t|15i + 4t′ |24i + 4t′ |25i, ˆ H|6i = 2U |6i + 2t|9i + 2t|11i + 2t|16i + 4t′ |23i + 4t′ |24i, ˆ H|7i = 2U |7i + 2t|14i + 2t|15i + 2t|16i + 4t′ |20i + 4t′ |21i + 4t′ |22i, ˆ H|8i = 2t|1i + 2t|4i + U |8i + 2t′ |10i + 2t′ |14i + t|22i + t|25i + 2t′ |27i + 2t′ |28i − 2t|37i − 2t′ |42i − 2t′ |43i − 2t′ |47i + t|52i − 2t|53i

+ t|57i − 2t′ |65i,

ˆ H|9i = 2t|3i + 2t|6i + U |9i + 2t′ |12i + 2t′ |16i + t|20i + t|23i + 2t′ |26i + 2t′ |28i + 2t|35i + 2t′ |41i + 2t′ |47i − 2t′ |48i + t|50i + t|55i

+ 2t|63i + 2t′ |67i,

ˆ H|10i = 2t|1i + 2t|5i + 2t′ |8i + U |10i + 2t′ |15i + t|22i + t|25i + 2t′ |26i + 2t′ |28i − 2t|38i + 2t′ |41i − 2t′ |44i + 2t′ |47i + t|52i + 2t|54i

+ t|57i + 2t′ |66i,

ˆ H|11i = 2t|2i + 2t|6i + U |11i + 2t′ |13i + 2t′ |16i + t|21i + t|24i + 2t′ |27i + 2t′ |28i − 2t|36i − 2t′ |42i − 2t′ |47i − 2t′ |49i − t|51i − t|56i

− 2t|63i − 2t′ |67i,

ˆ H|12i = 2t|3i + 2t|4i + 2t′ |9i + U |12i + 2t′ |14i + t|20i + t|23i + 2t′ |26i + 2t′ |27i + 2t|29i − 2t′ |41i + 2t′ |42i + 2t′ |45i + t|50i + 2t|53i

+ t|55i + 2t′ |65i,

ˆ H|13i = 2t|2i + 2t|5i + 2t′ |11i + U |13i + 2t′ |15i + t|21i + t|24i + 2t′ |26i + 2t′ |27i − 2t|30i − 2t′ |41i + 2t′ |42i − 2t′ |46i − t|51i − 2t|54i

− t|56i − 2t′ |66i,

ˆ H|14i = 2t|4i + 2t|7i + 2t′ |8i + 2t′ |12i + U |14i + 2t′ |15i + 2t′ |16i + t|20i + t|22i + t|23i + t|25i − 2t′ |44i − 2t′ |48i + t|50i

+ t|52i + t|55i + t|57i − 2t|61i + 2t′ |66i + 2t′ |67i + 2t|69i,

XI ˆ H|15i = 2t|5i + 2t|7i + 2t′ |10i + 2t′ |13i + 2t′ |14i + U |15i + 2t′ |16i + t|21i + t|22i + t|24i + t|25i − 2t′ |43i − 2t′ |49i − t|51i

+ t|52i − t|56i + t|57i − 2t|62i − 2t′ |65i − 2t′ |67i − 2t|70i, ˆ H|16i = 2t|6i + 2t|7i + 2t′ |9i + 2t′ |11i + 2t′ |14i + 2t′ |15i + U |16i + t|20i + t|21i + t|23i + t|24i + 2t′ |45i − 2t′ |46i + t|50i

− t|51i + t|55i − t|56i − 2t|58i + 2t′ |65i − 2t′ |66i − 2t|68i, ˆ H|17i = 4t′ |1i + 4t′ |3i + U |17i + 2t′ |18i + 2t′ |19i + 2t′ |20i + 2t′ |22i + t|26i + t|28i − 4t′ |29i + 2t′ |32i + 2t′ |34i + 4t′ |37i + t|41i

+ t|47i − 2t′ |50i − 2t′ |52i,

ˆ H|18i = 4t′ |1i + 4t′ |2i + 2t′ |17i + U |18i + 2t′ |19i + 2t′ |21i + 2t′ |22i + t|27i + t|28i + 4t′ |30i + 2t′ |31i + 2t′ |34i + 4t′ |38i − t|42i

− t|47i + 2t′ |51i − 2t′ |52i,

ˆ H|19i = 4t′ |2i + 4t′ |3i + 2t′ |17i + 2t′ |18i + U |19i + 2t′ |20i + 2t′ |21i + t|26i + t|27i + 2t′ |31i + 2t′ |32i − 4t′ |35i + 4t′ |36i − t|41i

+ t|42i − 2t′ |50i + 2t′ |51i,

ˆ H|20i = 4t′ |3i + 4t′ |7i + t|9i + t|12i + t|14i + t|16i + 2t′ |17i + 2t′ |19i + U |20i + 2t′ |21i + 2t′ |22i + 2t′ |31i + 2t′ |34i − 4t′ |39i + t|45i

− t|48i + 2t′ |51i − 2t′ |52i + t|65i + t|67i + 4t′ |70i,

ˆ H|21i = 4t′ |2i + 4t′ |7i + t|11i + t|13i + t|15i + t|16i + 2t′ |18i + 2t′ |19i + 2t′ |20i + U |21i + 2t′ |22i + 2t′ |32i + 2t′ |34i − 4t′ |40i − t|46i

− t|49i − 2t′ |50i − 2t′ |52i − t|66i − t|67i − 4t′ |69i,

ˆ H|22i = 4t′ |1i + 4t′ |7i + t|8i + t|10i + t|14i + t|15i + 2t′ |17i + 2t′ |18i + 2t′ |20i + 2t′ |21i + U |22i + 2t′ |31i + 2t′ |32i − 4t′ |33i − t|43i

− t|44i − 2t′ |50i + 2t′ |51i − t|65i + t|66i + 4t′ |68i,

ˆ H|23i = 4t′ |4i + 4t′ |6i + t|9i + t|12i + t|14i + t|16i + U |23i + t|27i + t|28i − t|42i + t|45i − t|47i − t|48i + 4t′ |59i + 4t′ |64i

+ t|65i + t|67i,

ˆ H|24i = 4t′ |5i + 4t′ |6i + t|11i + t|13i + t|15i + t|16i + U |24i + t|26i + t|28i + t|41i − t|46i + t|47i − t|49i − 4t′ |60i − 4t′ |64i

− t|66i − t|67i,

XII ˆ H|25i = 4t′ |4i + 4t′ |5i + t|8i + t|10i + t|14i + t|15i + U |25i + t|26i + t|27i − t|41i + t|42i − t|43i − t|44i − 4t′ |59i + 4t′ |60i − t|65i + t|66i,

ˆ H|26i = 2t′ |9i + 2t′ |10i + 2t′ |12i + 2t′ |13i + t|17i + t|19i + t|24i + t|25i + U |26i − t|31i − t|34i + 2t′ |43i − 2t′ |45i

+ 2t′ |48i + 2t′ |49i + t|56i − t|57i,

ˆ H|27i = 2t′ |8i + 2t′ |11i + 2t′ |12i + 2t′ |13i + t|18i + t|19i + t|23i + t|25i + U |27i − t|32i − t|34i + 2t′ |44i + 2t′ |46i

+ 2t′ |48i + 2t′ |49i − t|55i − t|57i,

ˆ H|28i = 2t′ |8i + 2t′ |9i + 2t′ |10i + 2t′ |11i + t|17i + t|18i + t|23i + t|24i + U |28i − t|31i − t|32i + 2t′ |43i + 2t′ |44i

− 2t′ |45i + 2t′ |46i − t|55i + t|56i,

ˆ H|29i = 2t|12i − 4t′ |17i − 4t′ |34i + 2t|45i + 4t′ |50i, ˆ H|30i = −2t|13i + 4t′ |18i + 4t′ |34i + 2t|46i + 4t′ |51i, ˆ H|31i = 2t′ |18i + 2t′ |19i + 2t′ |20i + 2t′ |22i − t|26i − t|28i + 2t′ |32i

− 4t′ |33i + 2t′ |34i − 4t′ |35i + 4t′ |38i − 4t′ |39i − t|41i − t|47i − 2t′ |50i − 2t′ |52i,

ˆ H|32i = 2t′ |17i + 2t′ |19i + 2t′ |21i + 2t′ |22i − t|27i − t|28i + 2t′ |31i

− 4t′ |33i + 2t′ |34i + 4t′ |36i + 4t′ |37i − 4t′ |40i + t|42i + t|47i + 2t′ |51i − 2t′ |52i,

ˆ H|33i = −4t′ |22i − 4t′ |31i − 4t′ |32i + 2t|43i + 2t|44i, ˆ H|34i = 2t′ |17i + 2t′ |18i + 2t′ |20i + 2t′ |21i − t|26i − t|27i − 4t′ |29i

+ 4t′ |30i + 2t′ |31i + 2t′ |32i − 4t′ |39i − 4t′ |40i + t|41i − t|42i − 2t′ |50i + 2t′ |51i,

ˆ H|35i = 2t|9i − 4t′ |19i − 4t′ |31i − 2t|48i + 4t′ |50i, ˆ H|36i = −2t|11i + 4t′ |19i + 4t′ |32i + 2t|49i + 4t′ |51i, ˆ H|37i = −2t|8i + 4t′ |17i + 4t′ |32i + 2t|43i − 4t′ |52i, ˆ H|38i = −2t|10i + 4t′ |18i + 4t′ |31i + 2t|44i − 4t′ |52i, ˆ H|39i = −4t′ |20i − 4t′ |31i − 4t′ |34i − 2t|45i + 2t|48i, ˆ H|40i = −4t′ |21i − 4t′ |32i − 4t′ |34i + 2t|46i + 2t|49i,

XIII ˆ H|41i = 2t′ |9i + 2t′ |10i − 2t′ |12i − 2t′ |13i + t|17i − t|19i + t|24i

− t|25i − t|31i + t|34i + 2t′ |43i − 2t′ |45i − 2t′ |48i − 2t′ |49i + t|56i + t|57i,

ˆ H|42i = −2t′ |8i − 2t′ |11i + 2t′ |12i + 2t′ |13i − t|18i + t|19i − t|23i + t|25i + t|32i − t|34i − 2t′ |44i − 2t′ |46i + 2t′ |48i + 2t′ |49i + t|55i − t|57i,

ˆ H|43i = −2t′ |8i − 2t′ |15i − t|22i − t|25i + 2t′ |26i + 2t′ |28i + 2t|33i + 2t|37i + 2t′ |41i + 2t′ |44i + 2t′ |47i − t|52i − t|57i − 2t|60i

+ 2t|62i − 2t′ |66i,

ˆ H|44i = −2t′ |10i − 2t′ |14i − t|22i − t|25i + 2t′ |27i + 2t′ |28i + 2t|33i + 2t|38i − 2t′ |42i + 2t′ |43i − 2t′ |47i − t|52i − t|57i + 2t|59i

+ 2t|61i + 2t′ |65i,

ˆ H|45i = 2t′ |12i + 2t′ |16i + t|20i + t|23i − 2t′ |26i − 2t′ |28i + 2t|29i − 2t|39i − 2t′ |41i − 2t′ |47i − 2t′ |48i + t|50i + t|55i − 2t|58i

+ 2t|64i + 2t′ |67i,

ˆ H|46i = −2t′ |13i − 2t′ |16i − t|21i − t|24i + 2t′ |27i + 2t′ |28i + 2t|30i + 2t|40i − 2t′ |42i − 2t′ |47i + 2t′ |49i + t|51i + t|56i + 2t|58i

+ 2t|64i + 2t′ |67i,

ˆ H|47i = −2t′ |8i + 2t′ |9i + 2t′ |10i − 2t′ |11i + t|17i − t|18i − t|23i

+ t|24i − t|31i + t|32i + 2t′ |43i − 2t′ |44i − 2t′ |45i − 2t′ |46i + t|55i + t|56i,

ˆ H|48i = −2t′ |9i − 2t′ |14i − t|20i − t|23i + 2t′ |26i + 2t′ |27i − 2t|35i + 2t|39i − 2t′ |41i + 2t′ |42i − 2t′ |45i − t|50i − t|55i − 2t|59i

+ 2t|61i − 2t′ |65i,

ˆ H|49i = −2t′ |11i − 2t′ |15i − t|21i − t|24i + 2t′ |26i + 2t′ |27i + 2t|36i + 2t|40i − 2t′ |41i + 2t′ |42i + 2t′ |46i + t|51i + t|56i + 2t|60i

+ 2t|62i + 2t′ |66i,

ˆ H|50i = t|9i + t|12i + t|14i + t|16i − 2t′ |17i − 2t′ |19i − 2t′ |21i − 2t′ |22i + 4t′ |29i − 2t′ |31i − 2t′ |34i + 4t′ |35i + t|45i − t|48i − 2t′ |51i + 2t′ |52i + t|65i + t|67i − 4t′ |68i + 4t′ |69i,

XIV ˆ H|51i = −t|11i − t|13i − t|15i − t|16i + 2t′ |18i + 2t′ |19i + 2t′ |20i

+ 2t′ |22i + 4t′ |30i + 2t′ |32i + 2t′ |34i + 4t′ |36i + t|46i + t|49i

− 2t′ |50i − 2t′ |52i + t|66i + t|67i + 4t′ |68i + 4t′ |70i,

ˆ H|52i = t|8i + t|10i + t|14i + t|15i − 2t′ |17i − 2t′ |18i − 2t′ |20i − 2t′ |21i − 2t′ |31i − 2t′ |32i − 4t′ |37i − 4t′ |38i − t|43i − t|44i + 2t′ |50i − 2t′ |51i − t|65i + t|66i + 4t′ |69i − 4t′ |70i,

ˆ H|53i = −2t|8i + 2t|12i + 4t′ |55i − 4t′ |57i + 2t|65i, ˆ H|54i = 2t|10i − 2t|13i + 4t′ |56i + 4t′ |57i + 2t|66i, ˆ H|55i = t|9i + t|12i + t|14i + t|16i − t|27i − t|28i + t|42i + t|45i + t|47i − t|48i + 4t′ |53i − 4t′ |58i − 4t′ |61i + 4t′ |63i + t|65i + t|67i,

ˆ H|56i = −t|11i − t|13i − t|15i − t|16i + t|26i + t|28i + t|41i + t|46i + t|47i + t|49i + 4t′ |54i + 4t′ |58i + 4t′ |62i + 4t′ |63i + t|66i

+ t|67i,

ˆ H|57i = t|8i + t|10i + t|14i + t|15i − t|26i − t|27i + t|41i − t|42i − t|43i − t|44i − 4t′ |53i + 4t′ |54i − 4t′ |61i − 4t′ |62i − t|65i + t|66i,

ˆ H|58i = −2t|16i − 2t|45i + 2t|46i − 4t′ |55i + 4t′ |56i, ˆ H|59i = 4t′ |23i − 4t′ |25i + 2t|44i − 2t|48i + 2t|65i, ˆ H|60i = −4t′ |24i + 4t′ |25i − 2t|43i + 2t|49i + 2t|66i, ˆ H|61i = −2t|14i + 2t|44i + 2t|48i − 4t′ |55i − 4t′ |57i, ˆ H|62i = −2t|15i + 2t|43i + 2t|49i + 4t′ |56i − 4t′ |57i, ˆ H|63i = 2t|9i − 2t|11i + 4t′ |55i + 4t′ |56i + 2t|67i, ˆ H|64i = 4t′ |23i − 4t′ |24i + 2t|45i + 2t|46i + 2t|67i, ˆ H|65i = −2t′ |8i + 2t′ |12i − 2t′ |15i + 2t′ |16i + t|20i − t|22i + t|23i − t|25i + 2t′ |44i − 2t′ |48i + t|50i − t|52i + 2t|53i + t|55i

− t|57i + 2t|59i − 2t′ |66i + 2t′ |67i − 2t|68i + 2t|70i,

ˆ H|66i = 2t′ |10i − 2t′ |13i + 2t′ |14i − 2t′ |16i − t|21i + t|22i − t|24i + t|25i − 2t′ |43i + 2t′ |49i + t|51i + t|52i + 2t|54i + t|56i

+ t|57i + 2t|60i − 2t′ |65i + 2t′ |67i + 2t|68i + 2t|69i,

XV ˆ H|67i = 2t′ |9i − 2t′ |11i + 2t′ |14i − 2t′ |15i + t|20i − t|21i + t|23i − t|24i + 2t′ |45i + 2t′ |46i + t|50i + t|51i + t|55i + t|56i

+ 2t|63i + 2t|64i + 2t′ |65i + 2t′ |66i + 2t|69i + 2t|70i,

ˆ H|68i = −2t|16i + 4t′ |22i − 4t′ |50i + 4t′ |51i − 2t|65i + 2t|66i, ˆ H|69i = 2t|14i − 4t′ |21i + 4t′ |50i + 4t′ |52i + 2t|66i + 2t|67i, ˆ H|70i = −2t|15i + 4t′ |20i + 4t′ |51i − 4t′ |52i + 2t|65i + 2t|67i

(F 4)

XVI

5. F¨ uggel´ ek A megjelent k¨ ozlem´ enyek ´ es a konferencia-el˝ oad´ asok list´ aja

a.) A doktori dolgozat t´ em´ aj´ ahoz kapcsol´ od´ o k¨ ozlem´ enyek 1. R. Trencs´ enyi, K. Gul´ acsi, E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi ”Exact ground states for polyphenylene type of hexagon chains” Annalen der Physik (Berlin) 523, 741-750, (2011), IF: 0.841 2. R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi ”The emergence domain of an exact ground state in a non-integrable system: the case of the polyphenylene type of chains” Philosophical Magazine 92, 4657-4675, (2012), IF: 1.596 3. E. Kov´ acs, R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi ”Magnetic nano-grains from a non-magnetic material: a possible explanation” Journal of Physics: Conference Series 47, 012048-012053, (2013), IF:4. R. Trencs´ enyi, K. Glukhov, Z. Gul´ acsi ”Exact ground state for the four-electron problem in a 2D finite honeycomb lattice” Philosophical Magazine 94, 2195-2223, (2014), IF: 1.427 5. R. Trencs´ enyi, E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi ”Comparison of exact ground states of different Hubbard hexagon chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-773-8, 1-6. o., IF: XXVI. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2012. m´ arcius 29-30. 6. R. Trencs´ enyi ”Localization length tuned by external magnetic field in polyphenylene type of polymers” Acta Physica Debrecina XLVI, 165-173, (2012), IF: 7. R. Trencs´ enyi ”Some interesting remarks related to phase diagrams of polyphenylene structures” Acta Physica Debrecina XLVII, 213-221, (2013), IF: -

XVII b.) Egy´ eb k¨ ozlem´ enyek 8. R. Trencs´ enyi, E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi ”Correlation and confinement induced itinerant ferromagnetism in chain structures” Philosophical Magazine 89, 1953-1974, (2009), IF: 1.273 9. R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi ”Ferromagnetism without flat bands in thin armchair nanoribbons” European Physical Journal B 75, 511-525, (2010), IF: 1.575 10. R. Trencs´ enyi, E. Kov´ acs, Z. Gul´ acsi ”Exact ground states in hexagon chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-873-5, 57-62. o., IF: XXIII. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2009. m´ arcius 19-20. 11. R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi ”Correlation effects in armchair chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-960-2, 75-80. o., IF: XXV. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2011. m´ arcius 31. – április 01. 12. R. Trencs´ enyi, Z. Gul´ acsi ”Confinement effects in interacting chain structures” Acta Physica Debrecina XLIV, 177-182, (2010), IF: 13. R. Trencs´ enyi ”Investigation of armchair hexagon chains by exact methods” Acta Physica Debrecina XLV, 234-240, (2011), IF: -

XVIII c.) Konferencia-el˝ oad´ asok 1. XXIII. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2009. m´ arcius 19-20. R. Trencsényi, E. Kovács, Z. Gul´ acsi ”Exact ground states in hexagon chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-873-5, 57-62. o. 2. XXV. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2011. m´ arcius 31. – április 01. R. Trencsényi, Z. Gul´ acsi ”Correlation effects in armchair chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-960-2, 75-80. o. 3. XXVI. microCAD International Scientific Conference Miskolci Egyetem, 2012. m´ arcius 29-30. R. Trencsényi, E. Kovács, Z. Gul´ acsi ”Comparison of exact ground states of different Hubbard hexagon chains” UM ITTC, ISBN 978-963-661-773-8, 1-6. o. 4. Statisztikus Fizikai Nap 2010 Budapest, Magyar Tudományos Akadémia, 2010. m´ arcius 22. Trencsényi Réka ”Behat´ arolts´ ag és korrel´ aci´ ok okozta ferrom´ agnesesség egzakt eredmények t¨ ukrében” 5. Statisztikus Fizikai Nap 2012 Budapest, Magyar Tudományos Akadémia, 2012. m´ arcius 14. Trencsényi Réka ”Hexagon´ alis l´ ancok k¨ oz¨ otti hasonl´ os´ agok és k¨ ul¨ onbségek egzakt alap´ allapotok t¨ ukrében” 6. XXX. Jubileumi Orsz´ agos Tudom´ anyos Di´ akk¨ ori Konferencia Ny´ıregyh´ azi F˝oiskola, 2011. április 27-29. Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció, Szil´ ardtestfizika Tagozat Trencsényi Réka ”Hexagon´ alis cell´ aj´ u, kv´ azi-egydimenzi´ os l´ ancstrukt´ ur´ ak egzakt alap´ allapot´ anak vizsg´ alata” NYF, ISBN 978-615-5097-15-7, 138. o.

Sokrészecskés rendszerekre vonatkozó egzakt megoldások

Recommend Documents