Soal Jawab Fisika Teori OSN 2015 Yogyakarta, 20 Mei Oleh : Davit Sipayung (DS)

Soal – Jawab Fisika Teori OSN 2015 Yogyakarta, 20 Mei 2015 Oleh :

Davit Sipayung (DS) 1.

(12 poin) Tinjau sebuah bola salju yang sedang menggelinding. Seperti kita tahu, fenomena menggelindingnya bola salju diikuti oleh pertambahan massa bola tersebut. Biarpun massa bertambah, kita asumsikan bahwa bola salju selalu berbentuk bola sempurna, memiliki rapat massa persatuan volume ρ yang konstan, dan selalu menggelinding tanpa slip. f f

ω r

θ Sekarang, kita meninjau bola salju yang berjari-jari sesaat r, dan kecepatan sudut ω, serta gaya gesek f, menggelinding pada sebuah bidang dengan kemiringan θ (lihat gambar di samping). Tentukan : a. besar gaya total (dengan arah sejajar bidang) b. besar torsi total (dipusat massa bola) c. persamaan gerak bola salju! Ini disebut sebagai SBBE (simple snow ball equation). Nyatakan SSBE dalam θ, r, ω, dan t ! Untuk memudahkan perhitungan , selanjutnya kalian tinjau bola salju tersebut menggelinding pada sebuah bidang datar. d. Jika kecepatan sudut ω0 (dan sudah tidak slip tentunya) dan jari-jari bola awal adalah R0, tentukan jari-jari bola salju sebagai fungsi kecepatan sudut! Untuk mudahnya, diasumsikan bahwa setiap bergesekan dengan tanah, massa bola akan bertambah dengan konstan sehingga dm/dx = K = konstan. e. Tentukan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu (nyatakan dalam K, ρ, R0, dan ω0)! 2. (12 poin) Gambar di bawah menampilkan dua benda silinder tegak dengan kedua sumbunya parallel satu sama lain dan mula-mula secara terpisah masing-masing silinder tersebut sedang berotasi (spinning) ke arah yang sama dengan kecepatan sudut ω0. Kedua silinder tersebut kemudian secara perlahan di sentuhkan satu sama lain sehingga pada awalnya keduanya saling mengalami sliding dengan gaya normal konstan N. Koefisien gesek antara permukaan-permukaan kedua silinder adalah . Diketahui silinder dengan jari-jari R1 memiliki momen inersia I1 dan silinder dengan jari-jari R2 memiliki momen inersia I2.

Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com

ω0

ω0

R1

R2

a. Gambarkan gaya-gaya yang bekerja pada kedua silinder . Tuliskan persamaan gerak (hokum kedua Newton tentang rotasi) untuk masing-masing silinder. b. Tentukan syarat/kondisi agar kedua permukaan silinder berhenti untuk tidak mengalami sliding pada saat/waktu t = ta . Tentukan nilai ta tersebut. Tentukan kecepatan sudut akhir kedua silinder , yaitu ω1a dan ω2a. Sekarang anggap kedua silinder bermassa sama, yaitu M. Silinder pertama merupakan silinder pejal dengan jari-jari R1 = 2R dan silinder kedua merupakan silinder kosong berdinding tipis dengan jari-jari R2 = R. c. Tuliskan momen inersia masing-masing silinder. d. Tentukan kecepatan sudut masing-masing silinder sebagai fungsi waktu t, yaitu ω1(t) dan ω2(t). Gambarkan skets grafik ω1(t) dan ω2(t). e. Tentukan energi yang hilang akibat kedua silinder bergesekan. 3.

(14 poin) Sebuah cincin bermassa m1 dapat bergerak bebas sepanjang batang licin horizontal. Sebuah partikel bermassa m2 dihubungkan dengan cincin melalui tali tegar tak bermassa. Mula-mula partikel m2 bersentuhan dengan batang, kemudian dilepas dan jatuh karena pengaruh gravitasi g. Setelah dilepas, ketika cincin tersebut telah bergeser sejauh x, sudut yang dibentuk antara tali dengan batang horizontal adalah θ. Tentukan : a. posisi x dinyatakan dalam sudut θ. b. persamaan gerak untuk θ (tidak mengandung variabel x beserta turunannya) c. besar tegangan tali dan gaya normal pada cincin untuk θ = 300. cincin m1 g Tali tak bermassa

m2

batang

x=0

4.

(14 poin) Terdapat tiga buah plat dengan luas penampang A tersusun seperti gambar di bawah (tampak atas). Plat tengah memiliki muatan listrik yang terdistribusi merata sebesar Q dan ia bisa bergerak bebas tanpa gesekan ke kanan dan ke kiri, sedangkan plat disebelah kiri dan kanan dihubungkan ke ground dan fix (diam). Pada kondisi awal, plat tengah tepat berada pada jarak L dari plat kanan maupun kiri. Pada kedua ruangan yang dibentuk di sisi kanan dan kiri terdapat udara (anggap permitivitasnya sama dengan ruang hampa = ε0) yang memiliki tekanan masing-masing sebesar p0 . Kondisi ini merupakan kondisi dimana plat tengah berada pada kondisi kesetimbangan labil. Anggap tidak ada celah yang mengakibatkan udara di sebelah kanan dan kiri saling mengalir atau pun keluar dari system. Tentukanlah :


a. Dimana plat mengalami kondisi kesetimbangan stabil (x) dihitung dari posisi plat pada kondisi kesetimbangan labil, b. Jika pada posisi kesetimbangan stabil tersebut, plat tengah diganggu dengan simpangan ∆x ( dimana ∆x << x, dan ∆x << L), maka tentukan frekuensi osilasi plat tengah! (Hint : konsep termodinamik tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan soal ini) Plat tengah

L

L

Q

5.

(18 poin) Sebuah bola basket berjari-jari r ( anggap saja bola berongga), dilempar oleh seseorang dengan kecepatan horizontal v dan kecepatan sudut ω (dimana ωr < v) dari ketinggian h (lihat gambar). Bola basket tersebut memantul secara vertikal pada lantai dengan koefisien pantul e. Namun sebelum memantul, bola tersebut bergerak slip dengan waktu yang singkat. Tepat ketika bola mulai menggelinding sempurna, ia memantul dan membuat gerak parabola. Tentukan : a. Sudut pantul (θ) yang terbentuk tepat sesaat bola menggelinding sempurna, b. Jumlah putaran (n) yang dialami bola tersebut selama bersentuhan dengan lantai, c. Jarak total (x) yang ditempuh bola hingga menyelesaikan gerak parabolanya! ω v

h θ x


Penyelesaian Fisika Teori OSN 2015 Yogyakarta, 20 Mei 2015 1.

Penyelesaian : a. Diagram gaya pada bola salju :

f f

θ

N

θ mg θ

Besar gaya sejajar bidang adalah F mg sin f b. Torsi total terhadap pusat massa bola adalah fr c. Persamaan gerak translasi bola salju adalah dp F dt Massa bola salju berubah, sehingga dv dm F m v dt dt dv dm mg sin f m v dt dt Persamaan gerak rotasi bola salju adalah dL dt Momen inersia salju berubah, sehingga d dI I dt dt d dI fr I dt dt Bola salju menggelinding tanpa slip, kecepatan sesaat bola salju adalah dx d v r r dt dt Percepatan sesaat bola salju adalah dv d dr a r dt dt dt Momen inersia sesaat bola salju adalah 2 2 I mr 5

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)


Laju perubahan momen inersia bola salju adalah dI 2 2 dm 4 dr r mr dt 5 dt 5 dt Massa sesaat bola adalah 4 m r3 3 Laju perubahan massa bola salju adalah dm dr 4 r2 dt dt Besar gaya gesek yang bekerja pada bola salju sesuai pers.(4) adalah Id dI f r dt r dt Substitusikan pers.(7) dan pers.(8) ke pers.(11), kita akan peroleh 2 d 2 dm 4 dr f mr r m 5 dt 5 dt 5 dt Substitusikan pers.(12) ke pers.(3), kita akan peroleh 2 d 2 r dm 4 dr dv v dm g sin r 5 dt 5 m dt 5 dt dt m dt Substitusikan pers.(6) dan pers.(10) ke pers.(13), kita akan peroleh 2 d 6 dr 4 dr d dr dr g sin r r 3 5 dt 5 dt 5 dt dt dt dt dr 7 d 6 r g sin dt 5 dt d. Untuk permukaan salju datar (θ=0), dari pers.(14) kita peroleh dr 7 d 6 r 0 dt 5 dt dr 7 d r 30 Integralkan kedua ruas pers.(15) untuk mendapatkan bahwa r dr 7 d r 30 0 R0 ln

r R0

7 ln 30

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

0

7 30

r 0 R0 Jari-jari bola sebagai fungsi kecepatan sudut adalah r

R0

0

7 30

(16)

e. Massa bola bertambah secara konstan menurut persamaan, dm K dx dm dx K dt dt


dm (17) K r dt Gabungan pers.(10), pers.(16) dan pers.(17) akan menghasilkan dr K 37 30 (18) dt 4 R0 07 30 Persamaan gerak bola salju pada bidang datar (θ=0) sesuai dengan pers.(14) adalah dr 7 d (19) 6 r 0 dt 5 dt Substitusikan pers.(16) dan pers.(18) ke pers.(19) untuk mendapatkan K

6

37 30

7 R0 5

0

7 30

d dt

0 4 R0 15K 37 15 dt d 2 7 15 14 R0 0 Integralkan kedua ruas pers.(21) untuk mendapatkan penyelesaian ω(t). (t ) t 15K 37 15 dt d 14 R02 07 15 0 0 7 30 0

15 K 15 1 1 t 2 7 15 22 15 22 15 14 R0 0 22 (t ) 0 Kecepatan sudut bola salju sebagai fungsi waktu adalah

1 2.

(22)

0

(t ) 11K 7

0

R02

t

(21)

(23)

15 22

Penyelesaian : a. Gambar gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing silinder : ω1(t)

ω2(t) f N

R1

R2

N f

Besar gaya gesek yang bekerja pada masing-masing silinder sebelum berhenti sliding N. adalah f Hukum kedua Newton pada silinder pertama adalah f R1 I1 1 (1) Hukum kedua Newton pada silinder kedua adalah f R2 I 2 2 (2) b. Syarat agar kedua silinder tidak mengalami sliding lagi adalah kelajuan silinder sama, tetapi arah kecepatannya berlawanan. v1 v2 1a

R1

2a

R2

(3)


Kecepatan sudut akhir kedua silinder , yaitu ω1a dan ω1a. Kedua permukaan silinder berhenti untuk tidak mengalami sliding pada waktu t = ta . Percepatan angular silinder pertama adalah 1a

0

(4)

1

ta Percepatan angular silinder kedua adalah 2a

0

(5)

2

ta Gabungan pers.(1) – pers.(5) akan menghasilkan I1 R22 I 2 R1 R2 1a

I1 R22

(6)

0

I 2 R12

I1 R1 R2 I 2 R12 (7) 2a 0 I1 R22 I 2 R12 Nilai ta adalah I1 1a I1 1a I1 I 2 R1 R2 0 0 ta (8) fR1 NR1 N I1R22 I 2 R12 c. Momen inersia silinder pertama merupakan silinder pejal adalah 1 1 2 (9) I1 MR12 M 2R 2MR 2 2 2 Momen inersia silinder kedua merupakan silinder berongga adalah 1 (10) I2 MR22 MR 2 2 MR 0 d. Nilai waktu ta untuk I1 2MR 2 dan I 2 MR 2 adalah ta . Kecepatan angular N kedua silinder ketika berhenti sliding untuk I1 2MR 2 dan I 2 MR 2 adalah 0. Percepatan angular masing-masing silinder adalah 1a 2a N N 1a 0 2a 0 dan 2 . Kecepatan sudut masing-masing 1 ta MR ta MR silinder sebagai fungsi waktu adalah N t (11) 1 t 0 1t 0 MR N (12) t 2 t 0 2t 0 MR ω2

ω1

ω0

ω0

ta

t

ta

t


e. Energi yang hilang karena gesekan kedua silinder sama dengan perubahan energi mekanik sistem sampai mencapai kondisi tidak sliding. Kecepatan awal kedua silinder adalah ω0, dan kecepatan kedua silinder saat tidak sliding adalah nol. Energi yang hilang karena gesekan kedua silinder adalah 1 1 3 Ehilang I1 02 I 2 02 MR 2 02 2 2 2

3.

Penyelesaian : a. Gambar diagram gerak cincin dan partikel. x

N m1 θ

x=0

T L

m1g

T θ m2g

Komponen posisi cincin adalah x1

x dan y1 0 . L sin . Komponen posisi partikel adalah x2 x L cos dan y2 Posisi pusat massa sistem pada arah horizontal tidak berubah karena gaya total pada sumbu horizontal sama dengan nol. m1 0 m2 L m1 x1 m2 x2 m1 m2 m1 m2 m2 L m1 x m2 x L cos Posisi x dinyatakan dalam fungsi θ adalah m2 L 1 cos x m1 m2 b. Komponen kecepatan cincin adalah m2 L sin  x1 x m1 m2 y1 0 Komponen percepatan cincin adalah m2 L  x1 x cos  2 sin  m1 m2 y1 0 Komponen kecepatan partikel adalah m2 L sin  m1 L sin  x2 x L sin  L sin  m1 m2 m1 m2 y L cos  2


Komponen percepatan cincin adalah m1 L  x2 cos  2 sin  m1 m2  y L sin 2 L cos  2

Persamaan gerak cincin, sumbu-x : T cos

m1x1 atau T cos

m1 g sumbu-y : N T sin Persamaan gerak partikel,

sumbu-x : T cos

m1m2 L cos  2 sin  m1 m2

0

m2 x2 atau T cos

m1m2 L cos  2 sin  m1 m2

m2 g m2 y2 sumbu-y : T sin Persamaan gerak sistem untuk θ adalah m1m2 L cos  2 sin  sin m2 g m2 L sin  2 L cos  m1 m2 cos m2 L cos sin  2 m1 m2 cos 2 L g m1 m2 cos 0 c. Energi total sistem sebagai fungsi θ adalah 1 1 E m1 x12 y12 m2 x22 y 22 m2 gL sin 2 2 2 m2 L sin  m2 L sin  1 1 E m1 m2 2 m1 m2 2 m1 m2

2

L cos 

2

m2 gL sin

1 1 m22 L2  2 sin 2 m2 L2  2 m2 gL sin 2 2 m1 m2 Energi awal sistem (θ = 0) adalah Eawal 0 Energi akhir sistem (θ = 300) adalah 1 1 m22 L2  2 1 Eakhir m2 L2  2 m2 gL 2 8 m1 m2 2 E

1 4m1 3m2 m2 L2  2 8 m1 m2 Kekekalan energi mekanik, Eawal Eakhir Eakhir

0



1 4m1 3m2 m2 L2  2 8 m1 m2

1 m2 gL 2

1 m2 gL 2

4 g m1 m2 L 4m1 3m2

Persamaan gerak sistem untuk θ = 300 adalah


m2 L

1 1 4 g m1 m2 3 2 2 L 4m1 3m2

m1

3m2  1 L g m1 m2 3 4 2

0

2 3g m1 m2 4m1 5m2 2 L 4m1 3m2 Tegangan tali untuk θ = 300 adalah m1m2 L T cos  2 sin  m1 m2 cos 2m1m2 g T 12m1 11m2 2 4m1 3m2 Gaya normal pada cincin untuk θ = 300 adalah m1m2 g 1 N m1 g T sin 300 m1 g T m1 g 12m1 11m2 2 2 4m1 3m2 Penyelesaian : a. Misalkan plat tengah bergeser sejauh x ke kanan. Ketiga plat konduktor membentuk dua kapasitor plat sejajar dengan kapasitas C1 dan C2. Kapasitas total kedua kapasitor adalah 2 0A 0A 0A C C1 C2 L x L x L2 x 2 Energi potensial total capasitor adalah 1 Q 2 1 Q 2 L2 x 2 U 2 C 4 0A Besar gaya elektrostatik dalam sistem adalah dU 1 Q 2 Q 2 x Fe dx 2 C 2 0 A Karena konduktor adalah penghantar panas yang baik, kalor dapat berpindah melalui plat tengah sehingga proses dapat berlangsung secara isothermal. Tekanan mula-mula ruang disebelah kiri dan kanan plat tengah adalah p0. Tekanan ruang disebelah kiri dan kanan plat tengah setelah plat tengah bergeser sejauh x ke kanan , berturut-turut adalah p1 dan p2 . Hukum boyle pada ruang di sebelah kiri plat tengah : p0V0 p1V1 

4.

p0 AL

p1 A1 L x

p0 L L x Hukum boyle pada ruang di sebelah kanan plat tengah : p0V0 p2V2 p1

p0 AL

p2 A2 L x

p0 L L x Gaya karena perbedaan tekanan kedua ruang adalah 2 Ap0 Lx Fp p2 p1 A L2 x 2 p2


Ketika plat tengah dalam posisi setimbang stabil, gaya elektrostatik sama dengan gaya karena perbedaan tekanan kedua ruagan. Q 2 xs 2 Ap0 Lxs 2 0A L2 xs Posisi plat tengah saat kondisi kesetimbangan stabil adalah 4 p0 A2 0 xs L 1 Q2 b. Gaya total yang bekerja pada plat tengah ketika plat tengah disimpangkan ∆x ke kanan dari posisi setimbang adalah F Fe Fp F

Q 2 xs x 2 0A

Karena

F

Q2 2 0A

2 Ap0 L xs L2

xs

x x

2

2 Ap0 L , maka L2 xs2

Q 2 xs x L2 xs2 1 2 0A L2 xs x

2

Gunakan pendekatan bahwa xs

F

Q 2 xs x 1 2 0A

2x x 1 2s 2 L xs

x

2

Q 2 xs x 2 0A

2 xs x , kita peroleh hubungan

1

2x x Gunakan pendekatan bahwa 1 2 s 2 L xs F

xs2

1

1

2 xs x , kita peroleh hubungan L2 xs2

2 xs x L2 xs2

Q 2 xs2 x 2 xs2 0A L Persamaan terakhir ini adalah bentuk persamaan gerak harmonik dengan konstanta efektif adalah Q 2 xs2 kef 2 xs2 0A L Frekunsi osilasi plat adalah 1 kef Qxs 1 f 2 2 m 2 xs2 0A L F

5. Penyelesaian: a. Gambar diagram gerak bola basket :


ω v v'y

h

ω'

ω

θ

vx

f

v'x

h1

x

vy

Kecepatan vertikal bola basket sesaat sebelum menumbuk bola lantai adalah vy 2 gh Kecepatan bola basket sesaat setelah memantul adalah vy evy e 2 gh Komponen kecepatan horizontal bola basket sesaat menyetuh lantai adalah vx v Kecepatan horizontal bola basket sesaat bola mulai menggelinding sempurna adalah vx r Kekekalan momentum angular : mvx r I mvx r I 2 2 2 2 vx mr mvx r mr 3 3 r 2 3 vx r v 5 5 Sudut yang dibentuk oleh bola basket sesaat memantul adalah vy tan vx mvx r

5e 2 gh 2r 3v b. Karena ωr < v, maka arah gaya gesek berlawanan dengan arah gerak bola. Percepatan bola basket saat menggelinding slip adalah a g Jarak yang ditempuh oleh bola selama slip adalah x2. vx2 vx2 2ax2 tan

2 r 5

1

3 v 5

2

v 2 2 gx2 2

25v 2

2r 3v x2 50 g Jumlah putaran bola basket adalah n

x2 2 r

25v 2

2r 3v 100 gr

2


c. Jarak horizontal yang ditempuh bola basket dari posisi awal ke posisi titik pantul pertama adalah 2h x1 v g Ketinggian maksimum bola setelah pantulan ke-n adalah hn e2n h Waktu yang dibutuhkan dari pantulan ke-n sampai ke pantulan ke-(n+1) adalah 2hn 2h tn , n 1 2 2en g g Bola akan memantul terus-menerus sampai berhenti memantul. Bola menggelinding sempurna pada setiap pantulan berikutnya, sehingga komponen kecepatan horizontal benda tidak berubah. Bola basket bergerak lurus beraturan pada arah horizontal. Waktu yang dibutuhkan bola sampai berhenti memantul adalah ttot t1,2 t2,3 t3,4 

ttot

2e

2h g

2e2

2h g

2e3

2h  g

2h 1 e e2  g Gunakan rumus jumlah deret tak berhingga untuk mendapatkan bahwa 1 . Jadi, 1 e e2  1 e 2e 2h ttot 1 e g Jarak horizontal yang ditempuh oleh bola basket dari pantulan pertama sampai berhenti memantul adalah 2ev 2h x3 vttot 1 e g Jarak horizontal total yang ditempuh oleh bola basket adalah ttot

x

2e

x1 x2

1 e x v 1 e

2h v g

x3 2h g

25v 2

25v 2

2r 3v 50 g

2r 3v 50 g

2

2ev 2h 1 e g

2


Soal Jawab Fisika Teori OSN 2015 Yogyakarta, 20 Mei Oleh : Davit Sipayung (DS)

Recommend Documents