Slide 1 Mijnheer de Rector Magnificus, Leden van de Universiteitsraad, Waarde Collega’s, Geachte Dames en Heren, Op 1 februari 1973 werd ik aan deze universiteit aangesteld met als leeropdracht Systeem- en Regeltheorie. Het is lang geleden, want toen werd je nog door de Kroon benoemd. Als je het privilege hebt gehad om dertig jaar mee te draaien, dan zijn er bij een afscheidscollege te veel zaken waarover je iets wil zeggen. Over het onderwijs, over de bestuurscultuur, over de situatie bij de wiskunde en in je eigen vakgebied, enzovoort. Mijn inzicht in die zaken is echter niet beter dan dat van menigeen. Ik heb er daarom voor gekozen om u 1
deze namiddag college te geven over mijn onderzoek. Ik heb me gedurende mijn hele wetenschappelijke loopbaan met slechts e´ e´ n onderwerp bezig gehouden, te weten, open dynamische systemen. Ik wil u in mijn afscheidscollege een idee geven wat dat inhoudt en wat mij daarin bezig heeft gehouden. Ik spreek vandaag voor een zeer gemˆeleerd publiek. Sommigen onder u behoren tot de ‘fine fleur’ van de systeemtheorie wereldwijd. Voor anderen is wiskunde iets dat ergens in het wazige verleden ligt. Wiskundige begrippen en symbolen vermijden kan echt niet, maar ik zal mijn best doen om de idee¨en zoveel mogelijk ook in gewone woorden uit te leggen. 2
Voor een aantal onder u is het Nederlands niet uw moedertaal. Om u tegemoet te komen heb ik de lichtbeelden, zoals we die in Vlaanderen plachten te noemen, in het engels gemaakt. In ‘open dynamische systemen’ komen drie begrippen voor, namelijk ‘systeem’, ‘dynamisch’, en ‘open’. Ik zal eerst deze begrippen in het kort uitleggen. Slide 2 overlay 1 ‘Systeem’ verwijst naar het object dat we willen bestuderen. Dat kan van alles zijn, een mens, een auto, een chemisch proces, een gebouw, een nationale economie, een satelliet, en zo voort. Slide 2 overlay 2 3
‘Dynamisch’ verwijst er naar dat de evolutie in de tijd van de variabelen van het systeem een centrale rol speelt. Slide 2 overlay 3 ‘Open’, tenslotte, betekent dat we systemen bestuderen die be¨ınvloed worden door hun omgeving, en zelf hun omgeving be¨ınvloeden. Op de aspecten ‘dynamisch’ en ‘open’ zal ik later uitgebreid ingaan. Hoe geraken we vanuit een intu¨ıtief begrip, zoals ‘dynamisch systeem’, naar een streng wiskundig concept? In wiskunde kun je twee soorten begrippen onderscheiden. Enerzijds begrippen die ik ‘intern’ wiskundig zou willen 4
noemen, zoals polynomen, groepen, lichamen, enzovoort. Deze begrippen richten zich niet op de realiteit. Een tweede soort wiskundige begrippen zou ik ‘extern’ willen noemen. Voorbeelden hiervan zijn getal, volume, kans, complexiteit, vaagheid, hoeveelheid informatie, enzovoort. Dergelijke begrippen proberen wel degelijk iets uit de werkelijkheid te formaliseren, en horen dus te doen wat ze pretenderen. Een ‘open dynamisch systeem’ is een voorbeeld van een dergelijk extern wiskundig begrip. Voor sommige begrippen, zoals volume, is de formalisering dwingend - althans in hoofdlijnen. Maar voor andere, denk maar aan kans, of aan hoeveelheid informatie, ligt dat veel subtieler. De vertaling van het intu¨ıtieve begrip 5
‘dynamisch systeem’ naar een wiskundig kader is, weliswaar na een lange ontwikkelingsfase, tot een bevredigend eindpunt gekomen, bevredigend, althans wat mij betreft. De rode draad die door dit college loopt is hoe deze formalisering tot stand is gekomen. Slide 3 overlay 1 Het plaatje dat u nu op het scherm ziet toont schematisch wat ik bedoel met een ‘open systeem’. Het bestaat uit twee delen. Enerzijds het systeem dat zwart, als een spreekwoordelijke black-box is aangeduid. En anderzijds gebeurtenissen, in het Engels ‘events’ genoemd. Deze heb ik blauw gekleurd. U mag deze gebeurtenissen beschouwen als de waarneembare variabelen, of als 6
de variabelen waardoor het systeem verbonden is met zijn omgeving. Het is de evolutie van deze variabelen die we willen bestuderen. Slide 3 overlay 2
Ik ga er in mijn voorbeelden van uit dat de tijd continue verloopt, en dat de gebeurtenissen vectorvariabelen zijn, zoals we dit in de wiskunde noemen. Dus op ieder ogenblik vinden tegelijkertijd meerdere events plaats. Een opeenvolging van gebeurtenissen noemen we een trajectorie. Door de interne wetmatigheden van het systeem, zullen gebeurtenissen elkaar niet op een willekeurige manier in de tijd kunnen opvolgen. Slide 3 overlay 3 7
De verzameling van alle mogelijke trajectorie¨en noemen we het ‘gedrag’ van het systeem. Slide 3 overlay 4 Wiskundig identificeren we dus een dynamisch systeem met een gedrag, een verzameling trajectorie¨en. Ik zal in de loop van mijn verhaal een paar wiskundige voorbeelden bespreken. Maar eerst een woordvoorbeeld, speciaal gekozen voor diegenen die per automobiel hierheen gekomen zijn. Het systeem is uw auto. De events die we willen beschrijven zou de positie van uw auto kunnen zijn in relatie met de stand van het stuur, het gaspedaal, de rem, en de versnellingspook, de windsnelheid en -richting, en het profiel van het wegdek 8
waarover de auto rijdt. Dit voorbeeld is best ingewikkeld, maar de wetten van de mechanica laten ons toe de mogelijke trajectorie¨en als ‘t moet heel nauwkeurig te beschrijven. De definitie van een open dynamisch systeem als een familie van tijdstrajectorie¨en heb ik ongeveer 20 jaar geleden voorgesteld. Het is een keerpunt geweest voor mijn onderzoek. Sinds die tijd is praktisch al mijn werk en dat van mijn promovendi, gericht geweest op het ontwikkelen van een theorie van systemen met als uitgangspunt het gedrag van een systeem. Het was mijn bedoeling geweest om op dit moment uit te leggen hoe een aantal problemen, zoals het maken van modellen, regelbaarheid en regelaars, waarneem9
baarheid en filters, toestandsconstructie, enz. in dit kader worden gesteld. Echter, ik heb hier de tijd niet voor. Ik zal deze onderwerpen opnemen in de uitgebreide versie van dit afscheidscollege die binnenkort van mijn webpagina zal kunnen worden gedownload. Het concept van een dynamisch systeem als een gedrag wijkt in belangrijke mate af van wat gebruikelijk is, zowel binnen de systeemtheorie, als binnen de wiskunde. Slide 4 Binnen de systeemtheorie zijn de theorie¨en van open dynamische systemen gericht geweest op het idee van oorzaak/gevolg, van stimulus/response. De gebeurtenissen bestaan in deze context uit twee types, enerzijds stimuli, ook inputs genoemd, 10
en anderzijds responses, ook outputs genoemd. Het idee is dat de stimulus vanuit de omgeving wordt opgelegd, en dat het systeem op die input reageert. Deze reactie is de output. Het geheel heeft iets heel menselijks: u bent het systeem, ik ben de omgeving. Ik zeg iets, u reageert. Zeg ik iets grappigs, dan barst u in lachen uit. In het voorbeeld van de auto zou je de stand van het stuur en het gaspedaal als stimuli kunnen zien, en de positie en snelheid van de auto als responses. Aansluitend bij de gangbare terminologie zal ik deze systemen input/output systemen noemen. De ontwikkeling van input/output systemen is begonnen op het eind van de 19-de eeuw, Slide 5 overlay 1 11
met het werk van Rayleigh, in het kader van akoestiek, Slide 5 overlay 2 maar vooral dat van Heaviside. Heaviside was een pionier van de telegraaf, die op prachtige wijze engineering, fysica, en wiskunde wist te combineren. Heaviside is een van mijn helden, ondanks zijn gebrek aan wiskundige rigueur. Slide 5 overlay 3 De wiskundige Norbert Wiener heeft rond de jaren 50 het denken over systemen als stimulus/response blackboxen tot een soort filosofie weten te verheffen, waardoor het ook buiten de elektrotechniek, bijvoorbeeld in de biologie, ingeburgerd is geraakt. Hij noemde deze tak 12
van wetenschap de Cybernetica. Niettegenstaande het mooie woord is Cybernetica niet veel meer gebleken dan tweede hands kleren van de keizer. De theorie van stimulus/response systemen heeft een aantal ernstige tekortkomingen. Een van de voornaamste is dat de response van een systeem eigenlijk nooit van de stimulus alleen afhangt, maar ook van de toestand van het systeem. Als ik grapje vertel, dan zal uw reponse niet alleen afhangen van het grapje zelf, maar ook van uw humeur, of u het grapje al eens eerder gehoord hebt, enzovoort. Het heeft tot rond 1960 geduurd voor een formeel wiskundig kader is ge¨ıntroduceerd waarin de output van een systeem niet alleen van de input, maar ook van de toestand van het systeem afhangt. Deze 13
theorie van input/toestand/output systemen kwam niet uit het niets, Slide 5 overlay 4 maar het werk van Kalman is in deze ontwikkeling duidelijk de drijvende kracht is geweest. Hoe lastig het komen tot tussen aanhalingstekens ‘juiste’ concepten kan zijn, en hoe hardnekkig en taai achterhaalde concepten standhouden wordt ge¨ıllustreerd door het feit dat het meer dan een halve eeuw heeft geduurd tot het inzicht is ontstaan dat de toestand een integraal deel van een systeemmodel hoort te zijn. Er zijn nauwelijks fysische voorbeelden te bedenken waarin een systeem echt een input/output afbeelding is. En toch wordt het idee van input/output opera14
tor nog regelmatig geponeerd als mathematische formalisering voor input/output systemen. De introductie van input/state/output systemen rond 1960 heeft tot een echte renaissance geleid. Nieuwe problemen konden worden opgelost, nieuwe algoritmen ontstonden, nieuwe concepten werden ge¨ıntroduceerd. Het onderzoek in kende een enorme bloei. Systeemtheorie groeide uit tot een discipline. Ik heb het geluk gehad in deze beginperiode als onderzoeker te zijn gevormd. Ik was in Gent als ingenieur afgestudeerd, en vervolgens naar Amerika gegaan, waar ik na een paar jaar als promovendus terecht kwam in de afdeling elektrotechniek van het Massachusetts Institute of Technology. 15
Slide 6, overlay 1 Wij beseften dat toen niet echt, maar het waren heel bijzondere tijden. Ik heb het eerste college op MIT over lineaire toestandsmodellen gevolgd. In Berkeley waren ze daar reeds een paar jaar eerder mee begonnen. Amper tien jaar later had iedere zich zelf respecterende elektrotechniek afdeling in de wereld een reeks colleges waarin systeemtheorie vanuit dit standpunt werd onderwezen. Na een voltooien van mijn proefschrift in 1968 werd ik aangesteld als assistant professor, Slide 6, overlay 2 en later heb ik een jaar als postdoc doorgebracht in het andere Cambridge, in En16
geland. Daar heb ik twee voor mij belangrijke artikelen geschreven, een over de Algebra¨ısche Riccati vergelijking, en een over dissipatieve systemen. Over dit laatste onderwerp wil ik u iets vertellen. Een concept dat in de vele deelgebieden van de wiskunde een belangrijke rol speelt is stabiliteit. Ruw gesproken noemen we een systeem stabiel indien kleine veranderingen kleine invloed zullen hebben. Slide 7 overlay 1 Een belangrijke naam in de ontwikkeling van de theorie van stabiliteit van dynamische systemen is die van de Russische wiskundige Lyapunov. 17
Slide 7 overlay 2 Centraal in stabiliteitstheorie staat het idee van een Lyapunov functie, een soort energiefunctie die langs trajectorie¨en van een systeem afneemt. Intu¨ıtief: een systeem is stabiel indien de energie die opgeslagen is in het systeem altijd afneemt. Maar voor open systemen kun je zoiets niet verwachten. Open systemen kunnen immers energie opnemen uit hun omgeving. Dus rijst de vraag: wat zou de veralgemening zijn van het begrip Lyapunov functie voor open systemen? Dit leidt tot dissipatieve systemen. Slide 8 overlay 1 Zeer ruw gesproken heet een systeem dissipatief indien wat wordt toegevoerd 18
in een gegeven tijdsinterval groter is dan het verschil van wat is opgeslagen in het begin en het eind van het interval. Slide 8 overlay 2 Ik heb dit begrip ingevoerd en er een uitgebreide theorie omheen ontwikkeld. Het desbetreffende artikel is binnen het vakgebied opmerkelijk goed onthaald. Slide 8 overlay 3 Het is onlangs opgenomen in een millennium boek met de 25 invloedrijkste artikelen in de regeltheorie van de 50 jaar tussen 1932 en 1981. Of dat terecht is of niet, laat ik in het midden, maar het streelt je ego om een artikel te hebben in een boek naast auteurs als Bellman, Bode, Kalman, Nyquist, Pontryagin, Wiener, 19
Zames. Of, zoals collega Broer zou zeggen, het is heerlijk slecht voor je karakter. Ik kan niet nalaten om hier als intermezzo enige overpeinzingen van algemene aard aan toe te voegen. Toen ik als postdoc in Cambridge was, maakte ik deel uit van een heel kleine onderzoeksgroep. Er was geen druk om met-wie-weet-ik-al-niet samen te werken, geen netwerken, hoogstens een paar conferenties per jaar, geen jaarverslagen, geen email. Ik herinner me zelfs dat de Britse post het uithaalde om in die periode zes weken te staken. Dat was uiteraard voor de tijd dat de Margaret Thatcher aan dergelijke frivoliteiten paal en perk stelde. Er werd toen ook veel minder beoordeeld, 20
maar je motivatie en zeker je concentratie waren er niet minder om, integendeel. Wetenschappers worden tegenwoordig voortdurend beoordeeld. De VSNU beoordeelt namens het ministerie iedere 5 jaar elke onderzoeksgroep, cijfermatig, zoals op school. Uiteraard moet er gepubliceerd worden, en moeten docenten goed voorbereid onderwijs geven, en uiteraard moeten personen die tijd krijgen en claimen voor onderzoek tonen dat dat ook gebeurt. Maar je mag er, lijkt me, verder van uit gaan dat de mensen hun best doen. Het laatste wat de wetenschapsbeoefening nodig heeft is meer druk, meer activiteit, meer publiceren. Waar vooral behoefte aan is, is tijd voor reflectie. Slide 9 overlay 1 21
Iets wat de laatste 10 jaar erg in de mode is geraakt zijn citatieanalyses. Voor diegenen die niet in dit circuit meefietsen, artikel A krijgt een citatie iedere keer een ander artikel naar artikel A verwijst. Publiceert u wel in hoge impact tijdschriften? Wordt u wel vaak genoeg geciteerd? Typische vragen die bij beoordelingen, benoemingen, en bevorderingen aan de orde zijn. Een aantal aspecten hiervan heeft bizarre vormen aangenomen. Neem bijvoorbeeld de impact factor van een tijdschrift. Het probleem is dat deze dingen al snel een eigen leven gaan leiden. De impact factor wordt ge¨ıdentificeerd met de kwaliteit van een tijdschrift. Het is best interessant om even naar de definitie te kijken: 22
Slide 9 overlay 2 Zoals u ziet worden in de impact factor alleen citaties meegenomen binnen de eerste twee jaar na publicatie van een artikel. Dus de impact factor voor 2003 meet de kwaliteit van een tijdschrift aan de hand van de citaties naar artikelen die er in 2001 en 2002 zijn verschenen. Je vraagt je af wie zo een indicator bedenkt. De horizon waarover gemeten wordt, de twee meest recente jaren, is absurd kort. Een tijdschrift dat er op mikt om artikelen te publiceren die zo snel, binnen een horizon van twee jaar, vaak geciteerd worden, doet er goed aan om alle artikelen met originele idee¨en direct af te wijzen. Voor de individuele citatieanalyses per auteur, neemt men typisch een horizon 23
van vijf of tien jaar. Ik had me natuurlijk wel eens afgevraagd of dit redelijk is, en hoe het mij zou zijn vergaan met deze tellingen. Hoe snel komen citaties eigenlijk? Na 2, na 5, of na 10 jaar? Tot een paar maand geleden wist ik het antwoord niet, maar ik heb het nagezocht voor het artikel over dissipatieve systemen, het artikel waar ik het net over heb gehad. Zoals ik al heb gezegd, mag ik niet klagen over de aandacht die dit artikel heeft gekregen. Het is ongeveer 330 keer geciteerd wat zeker niet slecht is in een vakgebied waar naar mijn weten slechts e´ e´ n artikel meer dan 1000 keer is geciteerd. Zeer leerzaam voor de citatieanalyse is echter de verdeling van de citaties over de jaren. Deze kunt u nu op het scherm zien. 24
Slide 9 overlay 3 Zoals u ziet komt de citatiestroom voor dit artikel slechts na 20 jaar op gang, maar dat is veel te lang voor onze beoordelaars. Die willen snel resultaten zien. De boodschap van de mannen met hun telraam is duidelijk: het werk moet aandacht trekken, dus sluit je aan bij het meest populaire onderwerp van het moment, maar originaliteit is van ondergeschikt belang. Ik keer nu terug naar de hoofdlijn van mijn verhaal. Slide 10 overlay 1 Slide 10 overlay 2 Enige tijd na mijn terugkeer uit Cam25
bridge, kreeg ik op MIT een brief van Professor Sparenberg van de Rijksuniversiteit Groningen. Hij schreef dat mijn naam door e´ e´ n van de zusterfaculteiten was genoemd voor een vacature Systeemen Regeltheorie, en of ik mijn Curriculum Vitae wou opsturen. Ik heb dat gedaan, en vier maanden later kreeg ik weer een brief dat de commissie mij had gekozen. Terwijl ik over dit aanbod aan het nadenken was, besprak ik dit met een Vlaamse vriend die ook op MIT zat. Hij vertelde me enthousiast dat hij als student elektrotechniek naar Groningen op studiereis was geweest. Hij had daar alles zo prachtig gevonden, en de studenten waren zo gastvrij. Had je een fiets nodig, dan mocht je gewoon de eerste de beste nemen die voor een kroeg geparkeerd stond. Ik 26
heb dat altijd een beetje een raar verhaal gevonden. Als elektrotechnisch ingenieur naar Groningen op studiereis? Het deel over de fietsen klopte trouwens best aardig, heb ik later moeten ervaren. Onze studiereis, toen ik student was, ging naar het grauwe Ruhrgebied. Staal, chemie, hoogovens, schoorstenen. Ik heb toen besloten dat ik voor theorie in de wieg was gelegd. Slide 10 overlay 3 Wiskunde in Groningen leek me dus wel wat, en op 1 februari 1973 ben ik hier begonnen. Ik heb de wiskundige omgeving altijd zeer verrijkend en inspirerend gevonden, al zij het soms wat traag in het opnemen van nieuwe ontwikkelingen. 27
Een van de gebieden waar in Groningen zeer interessant werk werd gedaan, en ik toen diepgaand kennis mee gemaakt heb, zijn de gesloten dynamische systemen. Dit is een speciale klasse van open systemen. Dit lijkt gek, een systeem hoort open of gesloten te zijn. Maar in de wiskunde zijn dergelijke oxymorons heel gewoon. Een verzameling kan tegelijkertijd open en gesloten zijn, een lineair systeem is een speciaal geval van een niet-lineair systeem, stochastiek sluit determinisme niet uit. Ik spreek zelf trouwens liever van een autonoom systeem dan van een gesloten systeem. Slide 11 Een systeem heet ‘autonoom’ indien het 28
verleden van een systeemtrajectorie in het gedrag eenduidig de toekomst van de trajectorie vastlegt. Dergelijke systemen kunnen dus niet door hun omgeving worden be¨ınvloed. Vandaar de terminologie ‘autonoom’, of ‘gesloten’: ze evolueren volledig spontaan onder invloed van hun interne dynamica. Een mooi voorbeeld van een autonoom systeem zijn de planetenbanen. Slide 12 overlay 1 Al sinds de oudheid vragen de mensen zich af wat de banen zijn van de planeten, die rare sterren die zich op schijnbaar onvoorspelbare manier over het firmament bewegen. Pas in het begin van de 17-de eeuw is de Duitse natuuren wiskundige Johannes Kepler erin geslaagd om de mogelijke planeetbanen heel 29
nauwkeurig te beschrijven. Slide 12 overlay 2 Kepler stelde dat een baan dan en slechts dan een legale planeetbaan is, als aan drie wetten is voldaan: Slide 12 overlay 3 ten eerste moet de baan een ellips zijn, met de zon in e´ e´ n van de brandpunten; Slide 12 overlay 4 ten tweede moet het lijnstuk van de zon naar de planeet gelijke oppervlakten in gelijke tijden bestrijken. Op het plaatje ziet u vier standen van de planeet, A,B,C, en D. Dus als het in paars gekleurd oppervlak even groot is als het groen gek30
leurde, dan zal de planeet even veel tijd nodig hebben om van A naar B als van C naar D te komen. De tweede wet van Kepler wordt in het Nederlands de perkenwet genoemd. Uit de eerste twee wetten kan worden afgeleid dat de planeet een periodieke baan rond de zon beschrijft. Slide 12 overlay 5 De derde wet vertelt ons dat het kwadraat van de omloopperiode gedeeld door de derde macht van de diameter van de ellips voor alle planeten in ons zonnestelsel gelijk is. Dus: hoe verder van de zon, hoe meer tijd de planeet krijgt om een rondje te draaien. Het gedrag van dit systeem is eenduidig 31
door deze drie wetten bepaald. De planetenbanen vormen een mooi voorbeeld van een autonoom systeem. Uit het verleden van de periodieke baan kunnen we eenduidig de toekomst afleiden. Zoals beloofd door de wetten van Kepler, kan niets de planeet uit haar periodieke baan brengen. Wat er ook gebeure, onverstoord draait de planeet verder. Vrij naar Weremeus Buning: Slide 13 Troja, Hiroshima, Srebrenica, Maar de planeet zij draaide voort! Ik kan niet nalaten dit systeem even verder te analyseren. Het geeft inzicht in de toestandsconstructie en ook in de rol van open versus gesloten systemen. 32
Wat is de toestand van het planetensysteem? Voor autonome systemen komt dit neer op het ontdekken van variabelen zodanig dat gegeven die variabelen op een bepaald tijdstip, de trajectorie eenduidig bepaald is. Slide 14 Het is makkelijk om je ervan te overtuigen dat voor de planeten de plaats en de snelheid toestandsvariabelen zijn. Dus gegeven een positie en een snelheid is er hoogstens e´ e´ n planeet die zich op een bepaald tijdstip op de gegeven plaats bevindt, en zich daar met de gegeven snelheid voortbeweegt. Deze toestandsconstructie betekent ook dat alle, maar dan ook alle, variabelen die te maken hebben met de planeet33
baan door de instantane positie en snelheid worden bepaald. Dus ook de versnelling. Drukken we dit wiskundig uit, dan krijgen we de vergelijking die u nu te zien krijgt. Slide 15, overlay 1 Wiskundigen noemen dit een tweede orde differentiaalvergelijking. Het feit dat planetenbanen aan een tweede orde differentiaalvergelijking voldoen is dus een direct gevolg van de wetten van Kepler. Maar ook de precieze uitdrukking van de versnelling als functie van de positie en de snelheid is een direct gevolg van Kepler’s wetten. Het achterhalen van de exacte uitdrukking vraagt weliswaar wat rekenwerk, maar er zijn geen fundamentele moeilijkheden. 34
Slide 15, overlay 2 Het leidt tot de vergelijking die u nu te zien krijgt. Ik zal dit niet verder toelichten. De afleiding van deze differentiaalvergelijking werd het eerst door Sir Isaac Newton himself gedaan. Slide 16, overlay 1 U ziet hier subtiel de pecking order van wiskundigen in actie. Foto’s en portretten hebben we van iedereen, kijk maar in de zaal hiernaast. Als je op een postzegel prijkt, dan ben je heel bijzonder. Zoals Lyapunov, en Kepler. Maar een wiskundige op een bankbriefje dat is pas echt klasse. Zoals Newton hier op het Britse pond. Euler staat trouwens ook op een bankbriefje, en Gauss stond er op een tot de euro het 35
Europese gelijkheidsideaal: niemand meer op bankbriefjes, implementeerde. Newton was er heel trots op dat hij deze differentiaalvergelijking had verkregen door naast Kepler’s wetten, verder alleen wiskunde te gebruiken. Slide 16, overlay 2 Vandaar het: “Hypotheses non fingo”. In het Nederlands vertaald, betekent dit: “Ik heb deze vergelijkingen niet uit mijn duim gezogen”. Zoals ik het hier vertel lijkt dit allemaal niet erg indrukwekkend. Het begrip toestand gecombineerd met wat rekenwerk leidt linea recta tot deze differentiaalvergelijking. De jongeren onder u moet ik er echter op wijzen dat Newton, had hij dit zo willen doen, en passant ook het begrip afgeleide had moeten 36
uitvinden, om over snelheid en versnelling op een bevredigende manier te kunnen praten. Dat heeft hij trouwens ook gedaan. Zoals ik het persoonlijk ervaar komt nu het dramatische moment. Het planetensysteem is zoals gezegd een gesloten systeem. We kunnen het echter beschouwen als een interconnectie van twee open systemen. Slide 17, overlay 1 Het eerste systeem legt een verband tussen kracht en plaats. De kracht is evenredig met de versnelling, de tweede afgeleide van de positie. Dit is Newton’s tweede hoofdwet, wellicht de meest nuttige van alle vergelijkingen uit de fysica. Niets in deze vergelijking zegt waar de kracht vandaan komt. Ik mag u tot op nano37
eenheden nauwkeurig het verleden van de kracht en de positie geven, maar dat is onvoldoende om de toekomstige kracht en positie te bepalen. Dit is de gedragsvergelijking van een open systeem. Slide 17, overlay 2 Hetzelfde geldt voor de gravitatiewet. Slide 17, overlay 3 Het is door de interconnectie te bekijken van deze twee open systemen, Newton’s tweede hoofdwet en de gravitatiewet, met de interconnectie gegeven door de derde wet, dat we Kepler’s gesloten systeem krijgen. Slide 17, overlay 4 38
Er bestaan natuurlijk heel veel analoge manieren om de differentiaalvergelijking te verkrijgen die we hebben afgeleid uit Kepler’s wetten. De tweede hoofdwet en de gravitatiewet impliceren Kepler’s wetten, maar ze volgen er absoluut niet uit. Door deze wetten ook als universele wetten te poneren wordt iets heel wezenlijks aan Kepler’s wetten toegevoegd. Binnen het kader van gesloten systemen kun je mijns inziens geen recht doen aan de essentie van de Newtonse mechanica. En toch worden in de wiskunde dynamische en in het bijzonder mechanische systemen steevast als gesloten systemen geformaliseerd, Slide 18 beginnende met Poincar´e rond het jaar 39
1900, en later doorgezet door Birkhoff, Smale, en vele anderen. Deze theorie is mooi, diep, en belangrijk. Chaostheorie, om een voorbeeld te noemen, is een verrassende theorie, maar richt zich op gesloten systemen. Dus je kunt mijns inziens niet praten over een auto, of een chauffeur, of een elektriciteitsnet, of een aandelenkoers met chaotische dynamica. Ik heb nooit goed kunnen begrijpen hoe fysisch geori¨enteerde, rigoureuze denkers zoals Poincar´e er zeker e´ e´ n was, tot een formalisering van dynamische systemen zijn kunnen komen waarin Newton’s tweede hoofdwet en Maxwell’s vergelijkingen niet passen. Theorema’s worden in de wiskunde met grote zorgvuldigheid bewezen. Maar bij het opzetten van theorie¨en laat die zorgvuldigheid, vind ik, 40
wel eens te wensen over. Ik keer nu even terug naar de evolutie van het begrip dynamisch systeem. Het opstellen van input/toestand/output modellen ligt een stuk lastiger dan het op het eerste gezicht lijkt. Immers, wat is de toestand eigenlijk? Bij het begrip toestand krijgen we allen weliswaar een zeker intu¨ıtief gevoel, maar in wiskunde moeten woorden een duidelijke definitie krijgen. Verder, hoe construeren we de toestand van een systeem, en van welke systeembeschrijving kunnen we daarbij uitgaan? De tijd ontbreekt me om dit vandaag in detail uit de doeken te doen. Slide 19 41
Laat ik het bij de volgende mededeling houden: als we het gedrag van een systeem als uitgangspunt nemen, krijgen we een consistente theorie die op al deze problemen een bevredigend antwoord geeft. Dit is binnen geen enkele andere theorie mogelijk gebleken. Ik heb u reeds een mooi voorbeeld gegeven van een systeem met een duidelijk gedefini¨eerd gedrag, de planetenbanen. Laat ik, als laatste stukje wiskunde in dit college, nog een voorbeeld geven. Dit voorbeeld heb ik speciaal gekozen ter ere van de universiteit waarvan ik vandaag afscheid neem. Het gaat over een probleem gesteld door Johann Bernoulli. Slide 20 overlay 1 Wat Johann Bernoulli voor ons in Gronin42
gen zo bijzonder maakt, is dat hij 10 van zijn meest vruchtbare jaren, van 1695 tot 1705, in Groningen hoogleraar is geweest. Johann Bernoulli was een telg uit een oorspronkelijk uit Antwerpen afkomstige familie die in Basel in Zwitserland was gesetteld. De familie Bernoulli heeft een uitzonderlijk aantal vooraanstaande wis- en natuurkundigen voortgebracht, waarvan Johann, zijn broer Jakob, en Johann’s in Groningen geboren zoon Dani¨el, de meest bekende zijn. Dani¨el is trouwens die van DE wet van Bernoulli. Het kroonjuweel in Johann Bernoulli’s werk is het brachistochrone probleem dat hij in 1696 heeft geformuleerd en opgelost. Slide 20 overlay 2 43
De vraag om de baan te bepalen waardoor een vallend balletje zo snel mogelijk vanuit stilstand in een punt A naar een lager gelegen punt B zal rollen. Uiteraard zal een balletje dat in punt A wordt losgelaten prompt vertikaal naar beneden donderen. U moet zich echter voorstellen dat er een platformpje of een soort spaghettibuisje is geconstrueerd dat het balletje in zijn val leidt. Vooraleer ik verder ga, wil ik de indruk wegnemen dat de motivatie van ons onderzoek bij oubollige problemen uit de zeventiende eeuw ligt. Niets is minder waar. Ten eerste zijn deze problemen allerminst oubollig. Kepler’s wetten spelen bijvoorbeeld een belangrijke rol bij het bepalen van de baan van de satellieten die u nodig hebt om te communiceren met uw mobieltjes. En het bereke44
nen van start-up procedures voor chemische reactoren gebeurt met methoden die in essentie nauwelijks verschillen van de manier waarop de Bernoulli’s het brachistochrone probleem hebben opgelost. Mijn keuze van voorbeelden is dus wat ze noemen pedagogisch en historisch verantwoord. Slide 21 In de praktijk, zoals ze dat noemen, gaat het om industri¨eel verantwoorde voorbeelden. Maar ook in deze gevallen, is het mij persoonlijk altijd om theorievorming te doen geweest. Ik zal u niet uitleggen wat de oplossing van het brachistochrone probleem is. Wel de relatie met de systeemtheorie. 45
Slide 22 overlay 1 De eerste vraag die bij het zoeken naar de optimale baan naar voren komt is wat de mogelijke banen zijn, of, in onze terminologie, wat het gedrag van dit systeem is. Noem h, voor hoogte, de verticale verplaatsing, en x de horizontale verplaatsing van het balletje. Welke verticale en horizontale verplaatsingen kunnen als functie van de tijd optreden? In andere woorden, wat is het gedrag? Dit is in dit voorbeeld mooi uit te drukken in een wiskundige formule. Bij het vallen wordt het verlies aan hoogte, en dus de potenti¨ele energie, omgezet in kinetische energie, en deze is evenredig met het kwadraat van de snelheid. Dit leidt tot de gedragsvergelijking die u op het volgende plaatje ziet. 46
Slide 22 overlay 2 Het punt dat ik wil maken is dat deze formule eenduidig zegt welke tijdtrajectorie¨en mogelijk zijn, wat het gedrag is. Het kwadraat van de snelheid moet ten alle tijde gelijk zijn aan de verticale verplaatsing. Mijn voorbeelden van de planetenbanen en de brachistrochrone zijn niet toevallig gekozen: ze passen geen van beiden in de standaard definities van systemen. In Kepler’s wetten ziet u geen toestand, in het brachistochrone voorbeeld ziet u geen input. De definitie van systemen in termen van het gedrag neemt het resultaat van het modelleren als beginpunt van de wiskundige analyse. Er liggen geen zwarte gaten tussen. 47
Fysische systemen leggen compatibiliteitswetten op tussen variabelen, het zijn gewoon geen stimulus/response algoritmen. Soms kunnen ze als input/output systemen worden beschouwd. Dat is echter zeker niet altijd het geval, denk maar aan het Bernoulli voorbeeld. En wanneer dit wel kan, is het vaak kunstmatig en afhankelijk van de toepassing, en dus niet eigen aan het systeem zelf. Ook de interconnectie van fysische systemen, in tegenstelling tot logic-based systemen, kan niet op een adequate wijze binnen het input/toestand/output kader gebeuren. Interconnectie van fysische systemen gebeurt niet door onderlinge input/output communicatie, maar door het gemeenschappelijk maken van zekere variabelen. De theorie van stimulus/response systemen schiet schromelijk tekort bij 48
wat een van de meest elementaire operaties zou moeten zijn in de systeemtheorie: het opbouwen van complexe fysische systemen uit deelsystemen, uit bouwstenen. Wat niet wegneemt dat zeker in de moderne technologie stimulus/response systemen een heel belangrijk speciaal geval zijn. De grondregel die in mijn onderzoek voortdurend centraler is komen te staan, is de volgende. Wiskundige begrippen en de wiskundige constructies moeten in vakken zoals systeemtheorie heel nauw aansluiten bij de fysische of economische realiteit. Laten we maar stellen, met Salieri en Strauss, 49
Slide 23, overlay 2 Slide 23, overlay 3 Eerst de fysica, dan de wiskunde. Voor ‘t gemak gebruik ik hier ‘fysica’ als synoniem van ‘realiteit’. Dames en heren, ik ben aan het eind gekomen van mijn afscheidscollege. Ik heb gepoogd u een indruk te geven van mijn bijdragen aan de systeemtheorie. Slide 24 overlay 1 Ik heb het gehad over de conceptualisering van een open dynamisch systeem als een gedrag, als een verzameling van trajectorie¨en. Ik vind dit mijn belangrijkste bijdrage aan het vakgebied. 50
Slide 24 overlay 2 Ik heb u getoond hoe Kepler’s wetten, een gesloten systeem, leidden tot Newton’s tweede hoofdwet, een open systeem. De achterliggende redenering is waar ik zelf uit mijn hele werk het meest van hou. Slide 24 overlay 3 En ook heb ik u het een en ander verteld over dissipatieve systemen. Slide 24 overlay 4 Maar ik heb ook veel onderzoek gedaan dat de tand des tijds niet heeft weerstaan. Tot slot, enige woorden van dank. 51
Ik ben dankbaar dat ik bij deze instelling 30 jaar heb mogen werken. Ik heb hier de volle ruimte gekregen om mijn onderzoekslijnen naar eigen inzicht te kiezen. Ik heb de kans gekregen om werkzaam te zijn in een klassieke wiskundige omgeving met een hoogstaande traditie. Dat is niet veel personen met een elektrotechniek achtergrond gegund. Ik dank de staf van het Instituut voor Wiskunde en Informatica, de onderzoeksgroep systeem- en regeltheorie, en in het bijzonder Harry Trentelman voor de samenwerking, en voor het organiseren van de systeemtheoriedag en de feestelijkheden rond mijn afscheidscollege. Slide 25 overlay 1 Verder dank ik al mijn afstudeerders, 52
promovendi en coauteurs, en speciaal Paolo, Ivan, Harry, Paula, Shiva, Jan Willem, en Arjan voor de samenwerking op het gebied van onderzoek die zich nu nog altijd doorzet. Slide 25 overlay 2 Het grootste project in termen van FTEtijd van mijn loopbaan was het schrijven van het ‘gele boek’ met Jan Willem Polderman. Jan Willem, ik dank je voor jouw geduld en doorzettingsvermogen die dit project tot een goed einde hebben gebracht. Daarnaast dank ik Bart en Joos die me de kans hebben gegeven om in een nieuwe omgeving aan de K.U. Leuven wetenschappelijk actief te blijven. 53
En tenslotte wil ik de talloze collega’s in binnen- en buitenland bedanken met wie ik soms al aan de ontbijttafel idee¨en kon uitwisselen. Ik wil ook de personen bedanken die direct aan mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen. Zij die daarbij de grootste directe invloed op me hebben gehad, zijn Slide 25 overlay 3 Charlie Desoer, Slide 25 overlay 4 George Zames, Slide 25 overlay 5 Rudolf Kalman, 54
Slide 25 overlay 6 en bovenal mijn promotor, Roger Brockett. U, dames en heren, dank ik voor uw komst vandaag en voor uw aandacht en uw geduld, speciaal diegenen voor wie wiskunde abracadabra is. Hiermede sluit ik dit college. Slide 26
55
