SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN ESTIMASI CADANGAN MINYAK DI LAPANGAN X Diyah Rosiani STEM “Akamigas”, Jl. Gajah Mada No. 38, Cepu E-mail :
[email protected]
ABSTRAK Estimasi cadangan minyak merupakan hal yang penting, khususnya dalam perencanaan pengembangan lapangan. Ketersediaan data menjadi hal yang sangat menentukan dalam perhitungan estimasi cadangan. Pada kegiatan eksplorasi, data yang tersedia masih terbatas sehingga akurasi dari data yang diperoleh cenderung tidak pasti. Pendekatan secara probabilistik dapat mengurangi faktor ketidakpastian. Metode yang digunakan adalah Simulasi Monte Carlo dimana perhitungannya dilakukan berulang-ulang dengan menggunakan bilangan random dalam jumlah yang besar pada variabel input yang diekspresikan sebagai distribusi probabilitas untuk menghasilkan output yang sesuai dalam bentuk distribusi probabilitas juga. Estimasi cadangan minyak di lapangan X dengan menggunakan simulasi Monte Carlo menghasilkan rata-rata sebesar 115,33 MMST. Cadangan minimum sebesar 13,66 MMSTB dan cadangan maksimum sebesar 311,27 MMSTB. Distribusi probabilitas untuk variabel input net pay, porositas dan saturasi air adalah berdistribusi normal terpotong (Truncated Normal Distribution), sedangkan parameter luas area menggunakan distribusi segiempat (Uniform). Kekonvergenan simulasi Monte Carlo dicapai dengan menggunakan 50.000 bilangan random pada masingmasing set data variabel input. Kata kunci: simulasi monte carlo, cadangan minyak.
ABSTRACT Oil reserves estimation is important for planning field development. Therefore, the data availability is needed for calculating oil reserves estimation. In exploration, the accuracy of the data is still uncertain, so that probabilistic approach is used to minimize this condition. The method used is Monte Carlo Simulation, in which the calculation is done repeatedly by using a large amount of random numbers on input variable which is expressed as probability distribution, in order to create suitable output. The average estimation of oil reserves by using Monte Carlo estimation is 115.33 MMSTB. The minimum reserve is 13.66 MMSTB and the maximum reserve is 311.27 MMSTB. Probability distributions for the input variables of net pay, porosity and water saturation are Truncated Normal Distribution, while the parameter area using rectangular distributions (uniform). Monte Carlo simulation convergence is achieved by using 50,000 random numbers for each input variable data sets. Keywords: monte carlo simulation, oil reserves.
1.
besar volume hidrokarbon yang dapat diperoleh (recoverable volume) atau sering disebut reserves atau cadangan. Kebutuhan data dan informasi mengenai suatu lapangan ataupun reservoir minyak pada kegiatan eksplorasi mutlak diperlukan untuk mengestimasi cadangan hidrokarbon. Setiap data dan informasi yang diperoleh selalu memiliki
PENDAHULUAN
Besarnya volume awal hidrokarbon yang terakumulasi di batuan reservoir ini menjadi faktor yang sangat penting dalam pengembangan dan perencanaan produksi minyak dan gas bumi. Perkiraan besar volume awal hidrokarbon ini dapat menentukan
11
Jurnal ESDM, Volume 5, Nomor 1, Mei 2013, hlm. 11-18
faktor ketidakpastian. Simulasi Monte Carlo adalah metode statistik yang biasa digunakan untuk mengestimasi cadangan hidrokarbon. Simulasi Monte Carlo ini membutuhkan bilangan random yang cukup besar untuk simulasinya. Berpijak dari permasalahan tersebut, maka penelitian ini akan digunakan metode simulasi Monte Carlo untuk mengestimasi cadangan minyak dilapangan X. Ruang lingkup pembahasan penelitian ini adalah : 1. Parameter yang digunakan sebagai variabel input meliputi net pay, porositas, saturasi air, luas area, faktor volume formasi minyak dan faktor perolehan (recovery factor). 2. Metode yang digunakan adalah Simulasi Monte Carlo 3. Tidak ada interaksi antara parameter variabel input 2.
datanya terbatas dan hanya diketahui nilai minimum, nilai maksimum dan nilai yang paling mungkin muncul (most probable), maka distribusi yang sering digunakan adalah distribusi segiempat (distribusi uniform) dan distribusi segitiga. Distribusi lainnya yang sering digunakan juga adalah distribusi normal dan distribusi log normal. Ciri distribusi ini adalah tiap-tiap nilai antara nilai maksimum dan nilai minimum mempunyai nilai mungkin atau probability value yang sama, sedangkan nilai mungkin diluar selang antar nilai maksimum dan nilai minimum adalah nol. Sehingga nilai mungkin dari suatu variabel antara nilai maksimum dan nilai minimum adalah merata, tidak ada yang lebih tinggi atau lebih rendah.3) Persamaan yang digunakan adalah mencari harga X dengan membangkitkan bilangan acak (random number) adalah: X Xmin (RN) (Xmax Xmin ) ............. (1)
METODE
Distribusi ini dicirikan oleh adanya nilai yang paling mungkin muncul atau most probable, yang terletak antara nilai minimum dan nilai maksimum.3) Jika Xmin X Xmode, maka cumulative probability dari X diberikan dengan:
Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom di Los Alomos tahun 1940. Simulasi adalah suatu teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada suatu komputer digital yang berkaitan dengan dasar perhitungan matematik dan model logika tertentu.1) Simulasi Monte Carlo (MC) adalah metode yang khas untuk model ketidakpastian pada input dan output.2) Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) yang diketahui distribusinya. Karena simulasi ini dikembangkan dari bentuk distribusi statistik yang ada, sehingga output yang dihasilkan dari model akan membentuk distribusi statistik juga. Simulasi ini menggunakan bilangan acak (random number) untuk penyelesaian pada modelnya, atau sering disebut sebagai ”simulasi stokastik”.1) Karena keterbatasnya data input yang ada, sehingga diperlukan bilangan random yang dibangkitkan dengan distribusi probabilitas tertentu, untuk mensimulasikan proses data sampling dari populasi sebenarnya. Distribusi input diusahakan dipilih yang paling sesuai dengan data yang dimiliki. Distribusi input ini tergantung dengan kondisi data yang ada, jika
X Xmin FX Xmax Xmin
2
Xmode Xmin .................... (2) X max Xmin
Harga F(X) didapat dari bilangan acak (RN) dan jika RN m X mod e X min , maka: X max X min
X X min X max X min RN m ................ (3)
Jika Xmode X Xmax, maka cumulative probability dari X diberikan dengan: X max X F X 1 X max X mod e
2
X max X mode X max X min
........(4)
Harga F(X) didapat dari bilangan acak (RN) dan jika RN m X mod e X min , maka: X max X min
X Xmin Xmax Xmin 1 1 RN1 m
12
..........(5)
Rosiyani, Simulasi Monte Carlo Estimasi...
Distribusi normal sering disebut dengan distribusi Gaussian adalah salah satu jenis distribusi probabilitas kontinyu yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran data. Berbagai eksperimen mengikuti distribusi probabilitas yang normal atau yang sangat mendekati distribusi normal.4) Fungsi distribusi normal atau yang disebut probability density fuction (pdf) adalah sebagai berikut:
f x; ,
2
1 2 2
1 x e 2
mudian X dengan syarat a < X < b memiliki distribusi normal terpotong. Distribusi log normal adalah distribusi kemungkinan dari variabel acak yang logaritmanya terdistribusi secara normal. Jika X adalah variabel acak dengan distribusi normal, maka exp(X) memiliki distribusi log normal. Probability density function (pdf) untuk a<X
2
1 x , x R ....(6)
Kolmogorov Smirnov (KS) Test digunakan untuk menguji apakah suatu data berdistribusi normal atau tidak. Misalkan sampel terdiri dari n pengamatan. Pengamatan diurutkan x1 x2 x3 … xn. Dari sampel diperoleh nilai mean μ dan varians σ2, dan distribusi normal kumulatif pada xk adalah xk .
Distribusi log normal sama seperti distribusi normal memiliki dua distribusi parameter, yaitu rata-rata (μ) dan standart deviasi (σ). Probability density function (pdf) dari distribusi log normal adalah sebagai berikut:
f x; ,
Statistik KS dirumuskan sebagai berikut:
2
1 x 2
2
e
1 ln(x ) 2
2
1 ln( x) , x 0 ...(9)
Data hasil simulasi kemudian ditabelkan dalam tabel distribusi frekuensi. Dari tabel distribusi frekuensi dapat digunakan untuk membuat histogram. Sumbu mendatar (sumbu X) pada histogram menyatakan interval kelas dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan frekuensi.5) Distribusi frekuensi relatif dibuat, dimana frekuensi relatifnya diperoleh dengan membagi frekuensi interval kelas dengan total frekuensi keseluruhan. Terakhir adalah membuat distribusi frekuensi relatif kumulatif dimana frekuensi relatif kumulatifnya didapat dengan menjumlahkan frekuensi relatif pada distribusi frekuensi relatif. Distribusi frekuensi relatif kumulatif dapat menggambarkan besarnya tingkat kepercayaan dari cadangan minyak bumi yang dimiliki.7) Besarnya cadangan terbukti atau proven reserves dinyatakan dengan P1 atau besarnya cadangan ketika frekuensi relatif kumulatifnya sama dengan 10%. Besarnya cadangan mungkin atau probable reserves dinyatakan dengan P2 atau besarnya cadangan ketika frekuensi kumulatifnya sama dengan 50% dikurangi dengan besarnya P1. Sedangkan besarnya cadangan harapan atau possible reserves dinyatakan
k x xk k 1 . KS, max k , 1 k n n n
(7)
Hipotesis dari K-S Test adalah: H0 : Data mengikuti sebaran normal. H1 : Data tidak mengikuti sebaran nomal. Sebuah hipotesis statistik adalah asumsi tentang parameter populasi. Dimana asumsi ini mungkin benar atau mungkin tidak benar. Para peneliti biasanya memeriksa sampel acak dari populasi. Jika data sampel yang tidak konsisten dengan hipotesis statistik, hipotesis ditolak. Dalam probabilitas dan statistik, distribusi normal terpotong (Truncated Normal Distribution) adalah distribusi probabilitas dari variabel acak yang terdistribusi normal yang nilainya dibatasi di bawah atau di atas (atau keduanya). Distribusi normal terpotong memiliki aplikasi luas dalam statistik dan ekonometrik. Misal X ~ N(μ,σ2) mempunyai distribusi normal yang terletak dalam interval. Ke-
13
Jurnal ESDM, Volume 5, Nomor 1, Mei 2013, hlm. 11-18
dengan P3 atau besarnya cadangan ketika frekuensi relatifnya sama dengan 90% dikurangi dengan P1 dan P2. Analisis estimasi cadangan minyak di lapangan X dengan menggunakan simulasi Monte Carlo menggunakan bantuan software Ms.Excel. Alur penelitian dengan simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut : 1. Mengidentifikasi parameter variabel input yang akan digunakan untuk menentukan respon. Parameter variabel input yang digunakan untuk simulasi Monte Carlo pada penelitian ini adalah net pay, porositas, saturasi air, luas area, faktor volume formasi minyak dan faktor recovery. 2. Membuat model yaitu dengan menentukan persamaan estimasi cadangan yang digunakan untuk menghitung respon. Model persamaan yang digunakan adalah persamaan estimasi cadangan minyak volumetrik. N pa
Mulai Identifikasi Semua Variabel Input Membuat Model Dengan Persamaan Cadangan Mendefinisikan Distribusi Variabel Input Melakukan Simulasi Dengan Menggunakan Bilangan Acak Beberapa Kali Untuk Masing-Masing Variabel Mengalikan Bilangan Acak Dengan Masing-Masing Harga Variabel Sesuai Distribusi
Menghitung Cadangan Membuat Histogram
Membuat Kurva Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif Diperoleh Cadangan Minimum, Cadangan Maksimum, Cadangan Rata-Rata, P10, P50 Dan P90
7758 x A x h x x (1 Sw ) x RF .......... (10) Boi
Selesai
3. Mengidentifikasi distribusi parameter variabel input. Distribusi yang digunakan tergantung kondisi data dari masing-masing variabel input yang dipakai. Pemilihan distribusi tepat akan memberi pengaruh yang besar terhadap hasil respon. 4. Melakukan simulasi dengan menggunakan bilangan random beberapa kali untuk masing-masing variabel. 5. Mengalikan bilangan acak dengan masing-masing harga variabel input sesuai dengan distribusi yang digunakan. 6. Menghitung besarnya cadangan minyak dengan model persamaan yang telah ditentukan pada point 2. 7. Membuat histogram berdasarkan hasil estimasi cadangan yang sudah diperoleh. 8. Membuat histogram berdasarkan hasil estimasi cadangan yang sudah diperoleh. 9. Membuat distribusi frekuensi relatif kumulatif berdasarkan hasil dari estimasi cadangan yang sudah diperoleh. 10. Diperoleh cadangan minimum, cadangan maksimum, cadangan rata-rata, nilai P10, nilai P50 dan nilai P90.
Gambar 1. Alur Simulasi Monte Carlo. 3.
PEMBAHASAN
Lapangan minyak X terletak di wilayah Jawa Timur. Reservoir merupakan batuan karbonat yang terendapkan pada awal Miocene ( 21 juta tahun yang lalu). Lapisan produktif terletak pada kedalaman sekitar 8520 ft–8960 ft. Batuan Reservoir-nya merupakan limestone, sehingga pada sumursumur yang ada dilapangan X memiliki limestone/karbonat. Data yang digunakan adalah data pada tahap eksploitasi 19 sumur dengan harapan supaya hasil dari perkirakan cadangan yang diperoleh merupakan kondisi estimasi cadangan yang mendekati sebenarnya. Data yang diperoleh meliputi data luas area, ketebalan (net pay), porositas, saturasi air, faktor volume formasi minyak dan perolehan (recovery). Besarnya parameter cadangan terdistribusi secara heterogen dengan
14
Rosiyani, Simulasi Monte Carlo Estimasi...
nilai minimum, maksimum, rata-rata dan standar deviasi dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Data Variabel Input. Parameter
Min.
Maks
Ratarata
Standard Deviasi
Net pay (h), ft Porositas (), % Saturasi air (Sw), % Luas (A), acre
34 10,5
377 18,7
189.25 14.27
78.19 0.0208
24,33
34,57
30.96
0.0252
2780
3075
rungan distribusi dari data yang dimiliki dapat diamati dari histogram dari masingmasing variabel input. Berdasarkan histogram pada Gambar 2 sampai 4, kecenderungan distribusi probabilitas dari parameter net pay, porositas dan saturasi air adalah berdistribusi normal. Hisogram Net Pay 12
Besarnya recovery factor adalah 34%, yang dipengaruhi oleh tenaga pendorong reservoir yaitu water drive. Selain tenaga pendorong, korelasi empirik faktor perolehan diperoleh dengan metode J.J. Arps. Sedangkan besarnya faktor volume formasi minyak nilainya tetap yaitu 1,253 bbl/STB. Data dari parameter net pay, porositas dan saturasi air diperoleh dari kegiatan logging sumur. Luas area reservoir X mempunyai range antara 2780 acre sampai 3075 acre. Range luas area ini diperoleh setelah 13 tahun kegiatan pemboran dengan jumlah sumur sebanyak 24 sumur. Range yang relatif kecil ini diakibatkan semakin banyaknya jumlah sumur yang sudah dibor tersebut. Simulasi Monte Carlo (MC) adalah suatu metode yang melakukan perhitungan berulang-ulang dengan menggunakan bilangan random dalam jumlah yang besar pada variabel input yang diekspresikan sebagai distribusi probabilitas untuk menghasilkan output yang sesuai dalam bentuk distribusi probabilitas juga. Langkah awal sebelum melakukan simulasi MC adalah menentukan parameter cadangan dan distribusi probabilitas dari parameter cadangan tersebut. Parameter cadangan tersebut adalah adalah net pay, area, porositas, saturasi air, recovery factor dan faktor volume formasi minyak. Besarnya recovery factor (RF) dan faktor volume formasi minyak (Boi) diasumsikan nilainya konstan. Empat parameter yang digunakan sebagai variabel input simulasi MC dalam mengestimasi besarnya cadangan minyak adalah net pay, porositas, saturasi air dan luas area, dapat dilihat pada Tabel 1. Distribusi probabilitas dari parameter cadangan harus dapat mencerminkan distribusi dari data yang dimiliki. Untuk itu kecende-
Frequency
10 8 6 4 2 0 34
119.75
205.5
291.25
More
Gambar 2. Histogram Net Pay.
Frequency
Histogram Porositas 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.105
0.1255
0.146
0.1665
More
Gambar 3. Histogram Porositas. Histogram Saturasi Air 8 7
Frequency
6 5 4 3 2 1 0 0.243333333 0.268916667
0.2945
0.320083333
More
Gambar 4. Histogram Saturasi Air. Untuk membuktikan distribusi probabilitas dari variabel input diatas adalah distribusi normal, maka dilakukan pengujian distribusi normal dengan Kolmogorov Smirnov (KS), hipotesis: H0 : Data berdistribusi normal H1 : Data tidak berdistribusi normal.
15
Jurnal ESDM, Volume 5, Nomor 1, Mei 2013, hlm. 11-18
Apabila plot mendekati garis lurus dari sudut kiri bawah menuju kanan atas, atau jika nilai p-value > α (sebesar 5%), maka dapat dikatakan data berdistribusi normal. Dengan bantuan software minitab diperoleh hasil:
meter net pay, porositas dan saturasi air adalah normal. Karena distribusi normal dari ketiga parameter tersebut dibatasi oleh range nilai minimum sampai maksimum, maka distribusi probabilitas yang paling cocok untuk parameter net pay, porositas dan saturasi air adalah metode distribusi normal terpotong (Truncated Normal Distribution). Distribusi normal terpotong ini untuk menghindari adanya nilai diluar range minimum dan maksimum, maka nilai yang kurang dari nilai minimum akan disamakan dengan nilai minimum, sebaliknya nilai yang lebih besar dari nilai maksimum akan disamakan dengan nilai maksimum. Sedangkan untuk variabel input luas area, data yang tersedia sangat terbatas yaitu data minimum dan maksimum, sehingga distribusi probabilitas untuk luas area menggunakan distribusi segiempat (uniform). Secara analitik persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut:
Probability Plot of net pay (ft) Normal
99
Mean StDev N KS P-Value
95 90
189.2 78.19 19 0.148 >0.150
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
0
100
200 net pay (ft)
300
400
Gambar 5. Normal Probability Plot Net Pay. Probability Plot of porositas Normal
99
Mean StDev N KS P-Value
95 90
0.1427 0.02079 19 0.163 >0.150
A Amin (RN A ) ( Amax Amin) .................(11)
Percent
80 70 60 50 40 30
Karena keterbatasan data input yang ada, sehingga diperlukan bilangan random yang cukup besar. Kekonvergenan dicapai dengan menggunakan sekitar 50.000 bilangan random pada masing-masing set data variabel input. Selanjutnya parameter tersebut dimodelkan dengan persamaan estimasi cadangan minyak, sebagai berikut:
20 10 5
1
10.00%
12.00%
14.00% 16.00% porositas
18.00%
20.00%
Gambar 6. Normal Probability Plot Porositas. Probability Plot of saturasi air Normal
99
Mean StDev N KS P-Value
95 90
0.3096 0.02520 19 0.117 >0.150
N pa
Percent
80
7758 x A x h x x (1 Sw ) x RF ..(12) Boi
70 60 50 40 30
Dengan mensubtitusikan nilai RF sebesar 34% dan Boi sebesar 1.253 bbl/STB diperoleh persamaan estimasi cadangan minyak sebagai berikut:
20 10 5
1
25.00%
27.50%
30.00% 32.50% saturasi air
35.00%
37.50%
Gambar 7. Normal Probability Plot Saturasi Air.
Npa
7758x A x h x φ x (1 S w ) x 0,34 ..(13) 1,253
Besarnya perhitungan cadangan minyak yang diperoleh dengan secara berulang-ulang menggunakan Persamaan (13). Deskripsi besarnya cadangan yang diperoleh dengan simulasi MC dapat dilihat pada Tabel 2.
Berdasarkan hasil ketiga gambar plot normal, menunjukkan garis lurus yang terbentuk dan nilai dari p-value > 5%, sehingga dapat disimpulkan bahwa distribusi para-
16
Rosiyani, Simulasi Monte Carlo Estimasi...
Tabel 2. Deskripsi Cadangan dengan Simulasi Monte Carlo Variabel
Jumlah RN
Minimum (MMSTB)
Maksimum (MMSTB)
Median (MMSTB)
Standart Deviasi (106)
Most Probable (MMSTB)
Rata-rata (MMSTB)
Cadangan
50.000
13,66
311,27
112,71
49,59
105,75
115,33
Cadangan minyak yang dihasilkan oleh simulasi MC dengan 50.000 random number diperoleh cadangan minimum sebesar 13,66 MMSTB dan cadangan maksimum sebesar 311,27 MMSTB dengan standar deviasi sebesar 49,59 juta. Cadangan rata-ratanya sebesar 115,33 MMSTB dan besarnya cadangan pada persentil 50 (P50) adalah 112,71 MMSTB. Besarnya cadangan dengan frekuensi relatif terbesar (most probable) adalah 105,75 MMSTB. Dengan melihat nilai rata-rata dan median yang tidak sama, maka cadangan minyak yang dihasilkan cenderung mendekati distribusi log normal. Histogram adalah grafik yang biasa digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi. Sumbu mendatar (sumbu X) pada histogram menyatakan interval kelas dari cadangan minyak dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan frekuensi cadangan minyak. Histogram distribusi frekuensi cadangan minyak dapat dilihat pada Gambar 8.
Variabel input yang mempunyai distribusi probabilitas uniform dan truncated normal distribution, menghasilkan suatu output nilai cadangan yang cenderung mempunyai distribusi probabilitas log normal. Selanjutnya adalah membuat distribusi frekuensi relatif kumulatif berdasarkan besarnya cadangan dengan simulasi MC yang dapat dilihat pada Gambar 9.
Histogram
Besarnya frekuensi relatif kumulatif menggambarkan besarnya tingkat kepercayaan dari cadangan minyak yang dimiliki yang terbagi menjadi P10, P50 dan P90. Semakin tinggi nilai frekuensi relatif kumulatif maka tingkat ketidakpastian akan semakin tinggi. Dengan kata lain, nilai cadangan P10 akan memberikan tingkat kepastian yang lebih baik dari pada nilai cadangan P90. Estimasi cadangan pada P10 sebesar 51,03 MMSTB, P50 sebesar 112,71 MMSTB dan P90 sebesar 180,48 MMSTB.
Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif 1.00 Frekuensi Relatif Kumulatif
0.90
200 100
301.9275347
285.9128898
253.8836
269.8982449
237.8689551
221.8543101
205.8396652
189.8250203
173.8103754
157.7957305
141.7810856
125.7664407
109.7517957
93.73715083
0
77.72250592
0.30 0.20
50
100
150
200
250
300
350
Gambar 9. Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif dengan Simulasi Monte Carlo.
300
61.70786101
0.40
Cadangan (MMSTB)
400
45.69321609
0.50
0
500
29.67857118
0.60
0.00
600
13.66392627
0.70
0.10
700
Frequency
0.80
Cadangan (MMSTB)
Gambar 8. Histogram dengan Simulasi Monte Carlo.
4. SIMPULAN
Histogram distribusi frekuensi dapat menunjukkan nilai most probable dari cadangan. Berdasarkan bentuk histogram, cadangan minyak X cenderung mempunyai distribusi log normal.
Simpulan pada penelitian ini adalah distribusi probabilitas dari variabel input net pay, porositas dan saturasi air yang berdistribusi normal terpotong (Truncated Normal Distribution). Sedangkan parameter untuk
17
Jurnal ESDM, Volume 5, Nomor 1, Mei 2013, hlm. 11-18 a b
luas area, distribusi probabilitasnya menggunakan distribusi segiempat (Uniform). Kekonvergenan simulasi Monte Carlo dicapai dengan menggunakan sekitar 50.000 bilangan random pada masing-masing set data variabel input. Cadangan minimum sebesar 13,66 MMSTB dan cadangan maksimum sebesar 311,27 MMSTB. Cadangan rata-ratanya sebesar 115,33 MMSTB dan besarnya cadangan pada persen-til 50 (P50) adalah 112,71 MMSTB. Se-dangkan frekuensi relatif terbesar (most pro-bable) dari cadangan adalah 105,75 MMSTB. Estimasi cadangan pada P10 sebesar 51,03 MMSTB, P50 sebesar 112,71 MMSTB dan P90 sebesar 180,48 MMSTB.
(-) Npa A h Sw Boi RF Amin Amax RNA
5. DAFTAR PUSTAKA 1. Rubinstein, R. Y. Simulation and the Monte Carlo Method, John Wiley & Sons, lnc, Canada;1981 2. Mishra, S. Alternative to Monte Carlo Simulation for Probabilistic Reserves Estimation and Production Forecasting, SPE 49313;1998 3. Rachmat, S. Simulasi Monte Carlo dan Analisis Resiko untuk Pengembangan Lapangan Minyak Bumi, Proceeding Simposium Nasional IATMI;2001. 4. Waluyo, S.D. Statistika Untuk Pengambilan Keputusan, Ghalia Indonesia Jakarta;2001. 5. Hasan, M. I., Pokok-Pokok Materi Statistik 1, PT Bumi Aksara, 2002;47-66 6. Partowidagdo, W. Migas dan Energi di Indonesia, Development Studies Foundation;2009. Daftar Simbol X Xmin Xmax RN
= = = =
e μ σ k n
= = = = = = =
nilai x yang dicari batas nilai x yang terkecil batas nilai x yang terbesar bilangan acak yang berfungsi sebagai parameter probability kumulatif 2,71828 3,1415 nilai rata-rata standart deviasi sampel ke-k jumlah sampel distribusi normal kumulatif
18
= batas bawah interval = batas atas interval = probability density function (pdf) dari distribusi normal standart = cumulative distribution function (cdf) = cadangan minyak, bbl = luas area, acre = ketebalan bersih (net pay), ft = porositas = saturasi air konat (connate water) = faktor volume formasi minyak, bbl/stb = recovery factor (faktor perolehan) = nilai minimum luas area = nilai maksimum luas area = bilangan acak (random number) untuk parameter luas area
