SIMULACE PROCESU POLARIZACE PIEZOKERAMICKÉHO MĚNIČE

SIMULACE PROCESU POLARIZACE PIEZOKERAMICKÉHO MĚNIČE Autoři: Ing. Josef NOVÁK, Ph.D. Bc. Petr MUDRA ÚSTAV NOVÝCH TECHNOLOGIÍ A APLIKOVANÉ INFORMATIKY, TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI, [email protected]

Anotace česky Práce je zaměřena na simulaci procesu polarizace piezokeramického měniče. Jsou uvedeny základy piezoelektřiny nutné k pochopení principu modelu, posány materiálové charakteristiky piezoelektrické keramiky, geometrické parametry modelovaného měniče. Dosažené výsledky ukazují na stav měniče po jeho polarizaci. Jsou popsána místa s požadovaným směrem polarizace, místa s nežádoucími směry polarizace, oblasti nepolarizované.

Annotation The paper is focused on simulation of poling process in piezoelectric trnasducer. There are stated elementary piezoelectric relations, material properties of piezoelectric ceramic, geometric parametrs of analysed transducer. Achieved results show the state of transducer after the poling. The places with desired direction of poling, places with unwished directions of poling, non-poled places are shown.

Úvod Piezoelektrické měniče jsou důležitými součástkami moderních elektrických a elektronických zařízení. Piezoelektrické měniče se používají například jako elektroakustické měniče. Tyto měniče mají obvykle jednoduchý geometrický tvar, např. kvádr, válec. Na měniči jsou zpravidla z obou stran elektrody, které slouží jednak jako přívody elektrického napětí při vlastní činnosti měniče, jednak jako elektrody, kterými se přivádí elektrické napětí při polarizaci měniče. Měniče se vyrábějí z piezoelektrických keramik. Přesto, že je materiál měniče piezoelektrický a anizotropní, každé zrno materiálu je po vyrobení měniče polarizováno jiným směrem a tudíž na měniči nelze pozorovat makroskopické piezoelektrické vlastnosti a jeví se jako izotropní. Piezoelektrické vlastnosti získají měniče polarizací, při které dojde k jednotné orientaci zrn keramiky a tím i ke vzniku makroskopicky pozorovatelných piezoelektrických vlastností měniče. Polarizací se rozumí přivedení elektrického napětí o velikosti v řádech kilovoltů na jednu z elektrod měniče, zatímco druhá elektroda je uzemněna. V měniči je tímto způsobem indukováno elektrické pole, které je natolik silné (je překročena hodnota tzv. koercitivního elektrického pole, budeme značit E k ), že dojde k již zmíněné změně směru polarizace jednotlivých zrn keramiky. Ukázky některých typů sériově vyráběných měničů jsou na obr. 1. Protože elektrody u těchto měničů pokrývají pouze část horní či dolní strany měniče (první měnič zprava na obr. 1.), ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 1

nebo jsou z jedné strany tzv. přetažené na stranu druhou (zbývající měniče na obr. 1), dochází v měniči při polarizaci ke vzniku značně nehomogenního elektrického pole. V důsledku nehomogenního rozložení elektrického pole v měničích dochází při jejich polarizaci v důsledku piezoelektrického jevu ke vzniku elastických deformací a napětí. Tato elastická napětí jsou příčinou mechanických defektů (prasklin) v měniči v procesu jeho polarizace.

Obrázek 1. Různé typy vyráběných piezoelektrických měničů. Eliminace nejvýraznějších nehomogenit v rozložení elektrického pole při polarizaci povede k rovnoměrnosti polarizaci a k rovnoměrnějšímu rozložení elastických napětí, k menšímu riziku vzniku strukturních defektů. Jedná se především o potlačení složek elektrického pole v nežádoucích směrech polarizace měniče. Analýza procesu polarizace měniče je tedy prvním nutným krokem k optimalizaci měniče.

Analyzovaný piezokeramický měnič Měnič, který byl vybrán pro analýzu, je znázorněn na obr. 2., spolu s jeho podstatnými rozměry. Jedná se o měnič s tzv. přetaženou elektrodou, který byl diskutován již v předchozím odstavci. Konkrétní hodnoty rozměrů z obr. 2. jsou uvedeny v tab. 1.

ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 2

Obrázek 2. Analyzovaný rezonátor, jeho rozměry. Měnič je vyroben z tvrdé keramiky APC841 z produkce firmy Piezokeramika s.r.o. Libřice. Tato keramika má polární symetrii ∞ mm , viz např. [1]. Tato skutečnost se odráží ve tvaru materiálových tenzorů. Pro polární symetrii ∞ mm je tenzor relativní permitivity definován jako 11 0 0 = 0 11 0 . 0 0 33 Mimodiagonální složky jsou nulové, na hlavní diagonále jsou dvě hodnoty shodné. Relativní permitivita je bezrozměrnou veličinou. Tenzor piezoelektrických modulů má tvar

 





0 0 0 0 e15 0 e  = 0 0 0 e 15 0 0 . e31 e 31 e33 0 0 0 Jednotkou tenzoru piezoelektrických modulů je coulomb na metr čtvereční [C /m 2 ]. Tenzor elastických modulů je definován jako c11 c12 c13 0 0 0 c12 c11 c13 0 0 0 1 c  = c13 c13 c33 0 0 0 , kde c66=  c11−c 12. 2 0 0 0 c44 0 0 0 0 0 0 c44 0 0 0 0 0 0 c66

 

Jednotkou tenzoru elastických modulů je Pascal [Pa]. Hodnoty materiálových konstant pro keramiku APC841 jsou dostupné v [2] a uvedeny v tab. 2. rozměr

hodnota

rozměr

hodnota

poloměr r 1 [mm]

7,25

poloměr r 3 [mm]

12,5

9 poloměr r 2 [mm] Tabulka 1. Rozměry měniče.

tloušťka t [mm]

1,5

veličina

veličina

hodnota

hodnota

11

1484

c12 [ Pa ]

12,7e10

11

1439

c13 [ Pa ]

11,6e10

2

-8,42

c 33 [ Pa ]

12,9e10

2

7,21

c 44 [ Pa ]

9,42e10

2

21,13

c 66 [ Pa ]

3,32e10

e 31 [C /m ] e 33 [C /m ] e15 [C /m ] c11 [ Pa ]

E k [V / cm] 19,32e10 Tabulka 2. Hodnoty materiálových konstant keramiky APC841

9500

Model měniče ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 3

Vzhledem k rotační symetrii je možné pro tento typ rezonátoru použít 2D osově symetrický model. Protože však budou na modelu testovány různá konstrukční řešení elektrod, která rotačně symetrická nejsou, bude vytvořen plný 3D model. Geometrie modelu byla tvořena parametricky tak, aby bylo možné podstatné geometrické charakteristiky jednoduše měnit. Pro tvorbu sítě byl použit prvek SOLID5. Při vhodně zvoleném členění geometrie modelu lze celou oblast vysíťovat prvky ve tvaru šestistěnů – vytvořit strukturovanou sít. Geometrii modelu a síť konečných prvků je na obr. 3.

Obrázek 3. Geometrie a konečněprvková síť. Pozornost je třeba věnovat zadání materiálových vlastností. Jak je uvedeno v [3], ANSYS používá odlišnou notaci pro pořadí složek tenzorů piezoelektrických a elastických modulů. Není používáno ANSI/IEEE Standard 176–1987, který je běžný pro pro notaci materiálových vlastností. Je nutné dle pokynů uvedených v dokumentaci [3], použít při zadávání materiálových konstant jiné pořadí řádků resp. sloupců tenzorů piezoelektrických a elastických modulů. Zásadním krokem při tvorbě modelu je zohlednění materiálových vlastností reálného rezonátoru. Jak již bylo řečeno výše, předmětem simulace je samotný děj polarizace měniče. To znamená, že před zahájením procesu polarizace vzhledem k různé orientaci jednotlivých zrn keramiky je měnič makroskopicky nepiezoelektrický. Přesto, že jednotlivá zrna keramiky jsou řádově menší, než velikost hrany elementu, nelze na úrovni modelu pracovat s entitou menší než je právě jeden element. Pokud se tedy spokojíme s nepřesností, která spočívá v tom, že v modelu není obsažen řádově stejný počet elementů jako v reálném vzorku zrn keramiky, lze náhodnou orientace jednotlivých zrn. Každý element budeme považovat za zrno keramiky a přiřadíme mu materiálové tenzory transformované do náhodně zvoleného kartézského souřadného systému. Prakticky lze v ANSYSu realizovat uvedený postup dvěma způsoby: 1. Definovat značné množství typů materiálů, každý s různě transformovanými materiálovými tenzory. Definované typy materiálů náhodně přiřadit jednotlivým elementům. 2. Vytvořit lokální souřadné systémy, oproti globálnímu souřadnému systému určitým způsobem transformované. Definované lokální souřadné systémy přiřadit jednotlivým elementům. Pro realizaci první varianty je nutné napsat kód, který bude ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 4

určovat souřadný systém, do kterého budou transformovány materiálové tenzory, prostřednictvím transformačních matic transformovat materiálové tenzory do určeného souřadného systému, – transformované materiálové konstanty přiřadit k novému typu materiálu, – vytvořené typy materiálů přiřadit jednotlivým elementům. Dále by bylo vzhledem k simulaci procesu polarizace nutné např. v poli uchovávat informace o parametrech vytvořených souřadných systémů (o rotacích kolem jednotlivých os souř. systému), a jejich přiřazení k příslušným typům materiálů. – –

V případě druhé varianty musíme: – vytvořit lokální souřadné systémy, – vytvořené lokální souřadné systémy přiřadit jednotlivým elementům. Není nutné uchovávat žádné další informace o souřadných systémech, všechny potřebné informace získáme např. použitím příkazu CSLIST. Výhodnější a elegantnější je tedy zcela zřejmě varianta druhá. Prakticky byl tento algoritmus realizován následovně: 1. Pomocí příkazu LOCAL s příslušnými parametry byly vytvořeny lokální souřadné systémy (LSS) s rotací okolo souř. os X po 20°. Tzn. rotace o 0°, 20°, 40°, …., 340°. Celkem tedy 18 LSS. 2. Pomocí příkazu LOCAL s příslušnými parametry byly vytvořeny lokální souřadné systémy (LSS) s rotací okolo souř. os Y po 20°. Tzn. rotace o 20°, 40°, …., 340°. Celkem tedy dalších 17 LSS. 3. Vytvořené LSS byly prostřednictvím EMODIF přiřazeny elementům. Přiřazované číslo LSS bylo vybíráno za pomoci funkce RAND, která generuje pseudonáhodná reálná čísla v zadaném intervalu. Reálné pseudonáhodné číslo bylo upraveno na celočíselnou hodnotu pomocí dělení mod 1 (funkce MOD). Poznámka k bodu 3. Není vhodné vytvořené souřadné systémy přiřazovat jednotlivým elementům sekvenčně (vzestupně či sestupně dle číslování elementů a LSS). Vzhledem k uspořádání elementů v modelu bychom dospěli k jisté formě periodicity přiřazení lokálních souřadných systémů. Máme tedy celkem 35 souřadných systémů, které jsou specifické tím, že v každém z nich je odlišným směrem orientována osa z, která určuje směr, do kterého se polarizovaná část keramiky zorientuje. Uspořádání přiřazených LSS je znázorněno na na obr. 4.

Obrázek 4. Souřadné systémy elementů. ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 5

Okrajové podmínky Okrajové podmínky odpovídají reálnému procesu polarizace. Rezonátor je ve svém středu uchycen přívody elektrické energie, tedy na spodní straně v místě uchycení je zadána Dirichletova okrajová podmínka u x =u y =u z =0, na horní straně je zadána Dirichletova okrajová podmínka u x =u y =0. Na horní elektrodě není měnič upevněn ve směru tloušťky (osa z), protože reálné uchycení rezonátoru není ve směru tloušťky ideálně tuhé. Přetažená elektroda je uzemněná, tedy elektrický potenciál elektrody je 0V. Na horní elektrodu je aplikováno polarizační napětí. Polarizační napětí je voleno ve výši 500V až 5250V, což odpovídá elektrickému poli 3330 V/cm až 35000 V/cm v měniči. Polarizační pole je při reálné polarizaci voleno do 35000 V/cm tak, aby nebyla překročena elektrická pevnost materiálu. Z tohoto důvodu se též polarizace provádí v silikonovém oleji, který má vyšší elekrickou pevnost než vzduch. Elektrody nejsou vzhledem ke své tloušťce na modelu uvažovány. Jsou realizovány pouze zadáním příslušných okrajových podmínek.

Simulace procesu polarizace a její výsledky Proces polarizace je simulován následujícím způsobem. Postupně je v modelu zvyšováno napětí na horní elektrodě, od 500V do 5250V s krokem 250V. V každém kroku je na každém elementu vyhodnocováno, zda je překročena velikost koercitivního pole. V případě, že je velikost koercitivního pole překročena, je na základě znalosti složek vektoru elektrického pole vypočten jednotkový vektor směru elektrického pole, který je porovnáván s jednotkovým vektorem směru osy z jednotlivých souřadných systémů.

Počet elementů s překročeným koerc. polem

Na základě tohoto porovnání je elementu přiřazen souřadný systém, jehož osa z má směr nejbližší směru elektrického pole (jeho jednotkovému vektoru) v elementu. Počet elementů, ve kterých je překročeno koercitivní elektrické pole a u kterých je zorientován souřadný systém, v závislosti na aplikovaném napětí je zobrazen v grafu 1. 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Napětí na horní elektrodě [V]

Graf 1. Závislost počtu elementů, ve kterých je překročeno koercitivní elektrické pole, na napětí horní elektrody. ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 6

Z grafu je patrné, že k masivnímu nárůstu polarizovaných elementů dochází ve chvíli, kdy je dosaženo hodnoty koercitivního pole v oblasti pod horní elektrodou. Vztah mezi napětím na U horní elektrodě a jím vyvozeným polem mezi elektrodami lze vyjádřit jako E = h , kde Uh t je napětí na horní elektrodě, t je tloušťka měniče. Pro napětí 1500V na horní elektrodě, tloušťku měniče 1,5mm je tedy velikost elektrického pole 10000 V/cm, což je hodnota, která cca o 5% přesahuje hodnotu koercitivního pole. Poté dochází již pouze k mírnému nárůstu polarizovaných elementů. Dalším podstatným výsledkem jsou směry vektorů elektrického pole. Pohled na směry vektorů elektrického pole a jejich velikost v řezu kolmém na podstavu měniče jsou znázorněny na obrázku 5.

Obrázek 5. Vektory elektrického pole v řezu měničem. Z obrázku je zřejmé, že k polarizaci dochází nejen v požadovaném směru, tedy rovnoběžně s osou z globálního souřadného systému, ale i ve směrech dalších. K tomuto nežádoucímu jevu dochází především v okolí okraje horní elektrody. Oblasti, ve kterých dochází k velké změně směru polarizace jsou rizikové vzhledem ke vzniku elastických napětí. Na okrajích měniče, tedy v oblastech s přetaženou elektrodou naopak nedochází k žádné polarizaci. Z celkového počtu 12480 elementů je požadovaným směrem zorientováno 8635. V oblasti okrajů měniče, tedy v oblasti, která je kryta přetaženou elektrodou, k polarizaci nedochází. Vysvětlení je zřejmé. Přetažená elektroda má při polarizaci nulový potenciál, tedy rozdíl potenciálů, resp. velikost polarizačního elektrického pole je v této oblasti nulová. „Pracovní“ oblastí měniče (oblastí s makroskopicky pozorovatelnými piezoelektrickými vlastnostmi) je tedy pouze oblast pod horní elektrodou.

ZÁVĚR V článku byl čtenář seznámen s elementárními znalostmi piezoelektřiny a piezoelektrických materiálů nutných k pochopení simulovaného jevu. Oproti reálnému procesu polarizace jsme se v modelu dopustili jednoho významného zjednodušení. Zrna keramiky jsou výrazně menších rozměrů než konečněprvkové elementy modelu, na kterých je modelován proces simulace. Vzhledem k samotné povaze MKP nelze materiálové vlastnosti zadávat na entitách menších než je jeden element. Stejně tak množství orientací zrn piezokeramiky je řádově větší, než množství zavedených lokálních souřadných systémů. Při náhodném rozdělení souřadných systémů mezi elementy lze konstatovat, že makroskopické piezoelektrické vlastnosti modelu budou do značné míry ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 7

kopírovat vlastnosti reálné předlohy. Výsledky ukazují, že k masivnímu nárůstu polarizovaných elementů dochází ve chvíli dosažení hodnoty koercitivního elektrického pole v oblasti mezi horní a dolní elektrodou. Zřejmé je též, že k polarizaci dochází i v jiných směrech než ve směru požadovaném, resp. že jsou v měniči i oblasti bez polarizace. Krokem, který logicky bude navazovat na tuto analýzu, je vyhodnocení elastických napětí a optimalizace velikosti a tvaru elektrod za účelem minimalizace elastických napětí v měniči.

LITERATURA [1] Zelenka J. Piezoelektrické rezonátory a jejich použití, Academia, Praha 1983. [2] APC International, Ltd. [online]. 1998 , 2006 [cit. 2008-10-13]. Dostupný z WWW: . [3] ANSYS, Inc. Release 10.0 Documentation for ANSYS, 2005.

ANSYS konference 2008 16. ANSYS FEM Users‘ Meeting & 14. ANSYS CFD Users’ Meeting Luhačovice 5. - 7. listopadu 2008 8