Siapakah Phytagoras?
1
Bagian
Siapakah Phytagoras? Phytagoras yang Haus Ilmu Phytagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Pythagoras (582– 496 SM, bahasa Yunani) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.
7
Mengenal Phytagoras
Sumber: id.wikipedia.org
Gambar 1.1 Karya patung yang menggambarkan wajah Pythagoras.
Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan perjalanan, di antaranya ke Mesir. Perjalanan Phytagoras ke Mesir merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu, pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima sebagai murid oleh para imam di Thebe. Di tempat ini, ia belajar berbagai macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam Caldei untuk belajar Astronomi. Ia juga berguru 8
Siapakah Phytagoras?
kepada para imam Phoenesia untuk belajar Logistik dan Geometri, sedangkan kepada para Magi, ia belajar ritus-ritus mistik. Dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia belajar teori perlawanan. Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530, karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan sebutan ”Kaum Phytagorean.”
Kaum Phytagorean Kaum Phytagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiranpemikiran Phytagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah authos epha, ipse dixit (dia sendiri yang telah mengatakan demikian). Kaum ini diorganisasi menurut aturan-aturan hidup bersama dan setiap orang wajib menaatinya. Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup atau sarana supaya setiap orang menjadi tahir sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus. Di antara para pengikut Phytagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Aliran pertama disebut akusmatikoi (akusma artinya apa yang telah didengar; peraturan); mereka mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara saksama. Aliran kedua disebut mathematikoi (mathesis artinya ilmu pengetahuan); mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti. 9
Mengenal Phytagoras
Pemikiran Phytagoras Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Angka bukan anasir alam. Pada dasarnya, kaum Phytagorean menganggap bahwa pandangan Anaximandros tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Phytagoras. To Apeiron melepaskan unsur-unsur berlawanan agar terjadi keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Apabila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya dapata dihitung, dinilai, dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, tetapi berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonisa atau seimbang. Dengan kata lain, tata tertib terjadi melalui angka-angka. Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kakikakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena dialah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa \sqrt{2}, hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, Pythagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang 10 diajukan Hippasus.
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras?
Bagian
2
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras? Teliti Sebelum Ujian Sering kali dalam ujian, terutama untuk pelajaran matematika atau fisika, kita harus memecahkan soal yang disajikan dalam sebuah gambar. Memang, kata orang, gambar dapat menerangkan lebih baik daripada seribu kata. Akan tetapi, tentu kita jangan asal setuju dengan soal seperti itu. Jika akan ujian, kita harus memeriksa soal-soal yang akan diberikan dengan teliti sebelum dikerjakan. Ini sangat perlu diperhatikan, apakah pertanyaan yang diajukan sudah jelas? Apakah pertanyaan tidak akan membingungkan siswa? Apakah siswa akan dapat memahami apa yang sebenarnya ditanyakan oleh soal tersebut? Jelas bagi pembuat soal, belum tentu akan jelas pula bagi yang akan mengerjakan soal tersebut.
11
Mengenal Phytagoras
Sumber: mason.gmu.edu
Gambar 2.1 Contoh kekeliruan penerapan soal tentang konsep Pythagoras.
Jangan sampai terjadi seperti pada sebuah soal ulangan matematika pada gambar di atas. Dalam soal tersebut, tampaknya sang pembuat soal ingin menguji pemahaman siswa mengenai hukum/dalil Phytagoras. Akan tetapi, apa hendak dikata, dengan disertai gambar pun, ternyata soal ujian ini masih tidak cukup jelas bagi seorang murid untuk mengetahui apa yang sebenarnya ditanyakan. Namun, jangan buru-buru menyalahkan si murid. Walaupun telah memberikan jawaban asal-asalan dan (sebenarnya) salah, si murid ternyata dinilai sudah berusaha menjawab dengan baik. Buktinya, konon, Departement of Education, akhirnya menerima jawaban si murid dan bahkan memberikan instruksi pada penguji 12
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras?
untuk membuat soal dengan lebih jelas. Kalau kita lihat, tampaknya memang si murid walaupun terkesan konyol, sudah menjawab apa yang ditanyakan dalam soal tersebut. Jadi, masalahnya memang pertanyaannya saja yang tidak jelas atau membingungkan, kalau sama sekali tidak dapat dikatakan soal ini tidak benar. Yang pasti, ini bukan kesalahan Phytagoras dalam dalam merumuskan teorinya.
Sumber: mason.gmu.edu
Gambar 2.2 Sketsa Phytagoras.
13
Mengenal Phytagoras
Dalil Phytagoras Dalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras. Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur.
Pembuktian Dalil Pythagoras Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu: B
c
a
C
b
A
c2 = a 2 + b 2 atau Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus
14
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras?
Pembuktian Dalil Pythagoras ada tiga cara, yakni sebagai berikut. 1. Cara pertama: Perhatikan gambar berikut ini. b a
b
b
a a
ab 2
a
b
Pada gambar di atas, terdapat empat segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masingmasing adalah
ab , luas persegi yang di dalam (warna hitam) adalah 2
c2 dan luas persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 2. Cara kedua: Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan berikut. Luas persegi yang terluar = luas persegi yang di dalam + 4 luas segitiga siku-siku. a2 + 2ab + b2 = c2 + 4. a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab
15
Mengenal Phytagoras
a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2 a2 + b 2 = c 2 Terbukti bahwa c2 = a2 + b2 Keterangan: Luas persegi = sisi x sisi = s2 Luas segitiga = ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. Cara ketiga : Perhatikan sekali lagi gambar berikut. b
a
a
b
b
a a
b
Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas (9 kotak) atau a2. Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2. Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b. 16
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras?
25 satuan luas = 9 satuan luas + 16 satuan luas 25 satuan luas = 25 satuan luas Simpulannya: c2 = a2 + b2 Keterangan: Luas persegi = sisi x sisi = s2 Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika dua sisi yang lain diketahui. Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku: B
c
a
C
b
A
1. Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi c dapat dihitung dengan rumus : c2 = a2 + b2 2. Jika sisi b dan c diketahui, maka sisi a dapat dihitung dengan rumus : a2 = c2 – b2 3. Jika sisi a dan c diketahui, maka sisi b dapat dihitung dengan rumus : b2 = c2 – a2 17
Mengenal Phytagoras
Tripel Pytagoras Tiga buah bilangan a, b, dan c, yakni a, b merupakan bilangan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan berikut. c2 = a2 + b2 atau b2 = c2 – a2 atau a2 = c2 – b2 Perhatikan contoh berikut Manakah di antara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras? a. 9, 12, 15 b. 13, 14, 15 c. 5, 12, 13 Contoh penyelesaian a. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9 152 = 122 + 92 225 = 144 + 81 225 = 225 Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras. b. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14 152 ¹ 132 + 142 225 ¹ 169 + 196 225 ¹ 365 Jadi 13, 14, 15 bukan merupakan tripel pythagoras 18
Adakah yang Salah dengan Hukum Phytagoras?
c. Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5 132 = 122 + 52 169 = 144 +25 169 = 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras
Jenis Segitiga Hubungan nilai c 2 dengan ( a 2 + b 2 ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan : (1)
(2)
c
a
c
a
b
b (3)
a
b c
c > a + b 2
2
2
c2 = a2 + b2 c2 < a2 + b2 19
Mengenal Phytagoras
Perhatikan contoh berikut Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya: a. 6, 8, 10 b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4 c. 11, 12, 14 Contoh penyelesaian a. Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102 = 62 + 82 100 = 36 + 64 100 = 100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku. b. Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42 > 0,22 + 0,32 0,16 > 0,04 + 0,09 0,16 > 0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul. c. Untuk sisi segitiga 11, 12, 14142 < 112 + 122 196 < 121 + 144 196 < 265 Jenis segitiga adalah segitiga lancip.
20
Penjelesan Teorema Phyagoras
Bagian
3
Penjelesan Teorema Phyagoras Dalam matematika, teorema phytagoras adalah hubungan antara geometri euclidean antara tiga sisi dari segitiga siku-siku. Berikut bunyi teoremanya: In any right triangle, the area of the square whose side is the hypotenuse (the side of the triangle opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares on the other two sides. [Pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat panjang garis yang miring (sisi paling panjang segitiga, disebut hypotenuse) sama dengan penjumlahan kuadrat dua sisi lainnya]. Misalnya, panjang hypotenuse adalah c, sedangkan a dan b adalah panjang sisi lainnya sehingga teorema tersebut dapat diekspresikan dalam persamaan sebagai berikut:
21
Mengenal Phytagoras
b
a
a
b
b
a a
b
Ini artinya, kita dapat mengetahui panjang salah satu sisi dengan mengetahui panjang dua sisi yang lainnya. Sebuah paragraf dalam teori phytagoras mengatakan, ”Dalam diagram, jumlah area berwarna biru dan area berwarna merah sama dengan jumlah area berwarna ungu.” Ini berlaku untuk semua segitiga siku-siku yang berada pada bidang datar. Teorema pythagoras: Jumlah kuadrat dari dua sisi sama dengan dari kuadrat hypotenuse
Panta Artithmos Dunia filsafat Yunani Kuno mencatat Phytaghoras sebagai salah seorang tokoh filsafat pra-Sokratik, sezjaman dengan Xenophanes dan Parmenides. Tesisnya yang terkenal berbunyi: panta artithmos, artinya semua adalah bilangan. Tesis inilah yang kiranya memberikan sumbangan cukup besar dalam bidang ilmu pengetahuan, khususnya bidang matematika dan musik. 22
Penjelesan Teorema Phyagoras
Pemikiran-pemikiran lainnya yang patut pula dicatat disini adalah pemikiran tentang transmigrasi jiwa-jiwa dan kosmologi. Dalam tulisan ini, akan dibahas secara lebih jauh tentang Phytagoras, hasil-hasil pemikirannya, dasar-dasar pemikirannya, serta relevansi pemikirannya dengan dunia ilmu pengetahuan dewasa ini.
Phytagoras dan Pemikiran Matematis (Angka) Phytagoras percaya bahwa angka bukan unsur seperti udara dan air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Angka bukan anasir alam. Pada dasarnya kaum Phytagorean menganggap bahwa pandangan Anaximandros tentang to Apeiron dekat juga dengan pandangan Phytagoras. To Apeiron melepaskan unsur-unsur berlawanan agar terjadi keseimbangan atau keadilan (dikhe). Pandangan Phytagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka hal ini tidak saja berarti bahwa segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan angka dalam hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat angka-angka itu segala sesuatu menjadi harmonis, seimbang. Dengan kata lain, tata tertib terjadi melalui angka-angka. Dalam susunan ini titik-titik ini bila segala sesuatu adalah angka maka titik-titik ini merupakan kumpulan angka yang sempurna. Jumlahnya sepuluh, namanya Tetraktys. Penemuan ini dihasilkan dengan membagi tali monochord (alat musik yang mempunyai satu tali saja), lalu membandingkan ukuran bagian-bagian tali dengan
23
Mengenal Phytagoras
nada-nada yang dikeluarkan. Contoh : penemuan oktaf, kuint, kuart dalam bidang musik. Oktaf adalah perbandingan 1 dan 2. Kuint adalah perbandingan 2 dan 3. Kuart adalah perbandingan 3 dan 4. Jadi yang menentukan perbandingan ukuran tersebut adalah ke4 angka pertama, yaitu 1, 2, 3, dan 4, sehingga Tetraktys yang terdiri dari angka 1, 2, 3, dan 4 merupakan angka-angka istimewa, membentuk segitiga ilahi. Kaum Phytagorean menganggap bilangan ini sebagai sesuatu yang keramat dan konon mereka bersumpah demi Tetraktys. Menurut kalangan Phytagorean, unsur-unsur atau prinsipprinsip bilangan ialah dari hal-hal yang berlawanan. Aristoteles juga menjelaskan tabel pertentangan Phytagoras1, sebagai berikut. terbatas ganjil kanan laki-laki diam lurus terang baik bujur sangkar tunggal
24
: tak terbatas : genap : kiri : perempuan : gerak : bengkok : gelap : jahat : empat persegi panjang : jamak
Penjelesan Teorema Phyagoras
Penemuan Phytagoras ini memiliki konsekuensi yang besar karena di sini untuk pertama kalinya dinyatakan bahwa suatu gejala fisis dikuasai oleh hukum matematis. Itu berarti bahwa kenyataan atau realitas dapat dicocokkan dengan kategori-kategori matematis dari rasio manusia.
Pemikiran Mistisme Intelektual Doktrin perpindahan jiwa disebut Metapsikosis (methapsychosis). Apabila jiwa abadi dan apabila ia berpindah antarpribadi dan jenis makhluk hidup lainnya, hal-hal tertentu akan mengikutinya. Jiwa dipercaya memiliki ingatan dan kesadaran. Jiwa bersifat individual. Kalau hidupnya baik, sesudah mati ia akan memasuki badan yang lebih mulia. Sebaliknya, apabila hidupnya buruk, sesudah mati ia akan memasuki badan yang lebih hina. Misalnya, pada makhluk yang membunuh dan memangsa kita mungkin membunuh jenis kita sendiri, bahkan teman-teman dan sanak saudara kita terdahulu. Karena hal ini, kaum phytagorean mengembangkan seperangkat penjelasan yang luas mengenai makhluk-makhluk pembunuh dan pemangsa serta sejumlah larangan yang dirancang untuk memperkokoh dan mempertahankan kemurnian jiwa. Dengan menyucikan dirinya, jiwa bisa diluputkan dari nasib reinkarnasi itu. Penyucian itu dihasilkan dengan mempraktikkan Filsafat (dan ilmu pengetahuan pada umumnya), dan mengikuti berbagai macam peraturan berikut. 25
Mengenal Phytagoras
1) 2) 3) 4) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Tidak makan buncis Tidak memotong-motong roti Tidak mengobarkan bara dengan besi Tidak menyentuh ayam jago putih Tidak makan hati Tidak bercermin di dekat lampu Kalau bangun tidur tidak boleh meninggalkan bekas di tubuh Kalau mengangkat panci dari api kembalikan abunya Jangan biarkan burung walet bersarang di langit-langit rumah Jangan terlenakan oleh gelak tawa yang tidak terkendali
Pemikiran Kosmologi Menurut teori Phytagorean tentang susunan kosmos, untuk pertama kalinya dinyatakan bahwa bukan bumi yang merupakan pusat jagat raya. Menurut Mazhab Phytagorean, pusat jagat raya adalah api (Hestia). Hestia sebenarnya berarti perapian, tungku. Sebagaimana perapian sebagai pusat rumah, demikian juga api merupakan pusat jagat raya.Yang beredar di sekitar api sentral itu berturut-turut: Kontra bumi (antikhton), Bumi, Bulan, Matahari, kelima planet (Merkurius, Venus, Mars, Jupiter, dan Saturnus) dan akhirnya Langit dengan bintang-bintang tetap. Kita tidak melihat api dan kontra bumi, sebagaimana juga bagian bulan yang tidak berhadapan dengan kita tetap berpaling dari bumi. Dengan kata lain, dalam revolusinya sekitar api sentral, bumi mengadakan rotasi sekeliling sumbunya sendiri. Matahari dan bulan 26
Penjelesan Teorema Phyagoras
memantulkan api sentral. Gerhana-gerhana terjadi apabila bumi dan kontra bumi menggelapkan api sentral. Para pemikir Yunani dikemudian hari menyamakan api sentral dengan matahari sehingga kaum Phytagorean dalam bidang kosmologi menganut pendirian Heliosentrisme. Seperti diketahui, baru Copernicus (1473–1543) akan menemukan kembali teori Heliosetris dan ia sendiri tidak menyembunyikan bahwa ia mengenal Mazhab Phytagorean. Tinjauan pemikiran Phytagoras. Jika kita memulai dengan angka 1 dan kemudian menambahkan angka-angka ganjil 3, 5, dan seterusnya dalam susunan pasukan perang, maka kita akan mendapatkan bujur sangkar, sedangkan angka 2 dan angka-angka genap 4, 6, dan seterusnya akan membentuk persegi panjang. Bentuk-bentuk geometri tersebut memperkuat pandangan Phytagoras bahwa kenyataan memang angka. Berkaitan dengan peraturan yang dijalankan oleh kaum Phytagorean kita dapat memahami bahwa pada dasarnya peraturan-peraturan itu baik dan masuk akal. Contoh: kalau bangun tidur tidak boleh meninggalkan bekas di tubuh, hal ini mengajarkan agar orang selalu menjaga kerapian; tidak mengobarkan bara dengan besi, jelas bahwa besi merupakan konduktor yang baik, bisa dipastikan tangan orang yang mengobarkn bara dengan besi akan melepuh karena panas yang dihantarkan oleh besi. Peraturan-peraturan ini juga bisa dipandang dengan metafora, misalnya: tidak memotong-motong roti, maksudnya agar tidak memisahkan diri dari kelompok.
27
Mengenal Phytagoras
Tentang harmoni yang terjadi berkat angka tampak jelas dalam musik. Tinggi rendahnya suara suatu alat musik (biola, piano, dan sebagainya) selalu sebanding dengan panjang pendeknya tali. Dawai sendiri selalu mempunyai ukuran tertentu yang dapat dikatakan dengan bilangan. Ukuran (dalam bilangan) suatu dawai menentukan kualitas suaranya. Disinilah tampak bahwa bilangan itu sungguh menentukan suara. Ajaran reinkarnasi atau perpindahan jiwa (Phytagoras) itu mirip ajaran Samsara dan Pratidyasamutpada dalam ajaran Hindu, yang mengajarkan perputaran jiwa terus menerus dalam kehidupan akibat karma.
28
Teorema Pythagoras untuk Pengembangan Matematika
Bagian
4
Teorema Pythagoras untuk Pengembangan Matematika Teorema Pythagoras dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno, yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.
29
Mengenal Phytagoras
Sumber: Dokumentasi Eureka, 2007
Gambar 4.1 Pythagoras dan konsepnya.
30
Teorema Pythagoras untuk Pengembangan Matematika
Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, yang menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa ‘Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya’. Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai: a2 + b2 = c2 , yakni a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring). Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi menjadi berikut. 1. Pengetahuan dari Triple Pythagoras 2. Hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema. Sekitar 4.000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang. Sekitar 2.500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790--1750 SM), tablet Plimpton
31
Mengenal Phytagoras
Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki. Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan “Gougu Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai ‘theorem Gougu’, dan di India dinamakan “Bhaskara theorem”. Namun, hal tersebut belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini. 32
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
Bagian
5
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras If number rules the universe, number is merely our delegate to the throne, for we rule number. (Apabila bilangan mengatur alam semesta, bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.) –Pythagoras.
Pencetus dan Penguasa Nisbah dan Segitiga Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil 33
Mengenal Phytagoras
ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus. Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes. Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian, dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.
Bagaimana Pythagoras Menciptakan Kultus terhadap Angka? Di mata Phytagoras, angka adalah ibarat ”dewa”. Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput
34
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/ gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia. Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami. Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajaiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.
35
Mengenal Phytagoras
Sumber: bezzoz.com
Gambar 5.1 Pentagram
Pythagoras sebagai Pemusik Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan talitali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf (oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 36
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi) lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika. Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/ 5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah. Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara– instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai tiga kategori–pitch, loudness, dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. 37
Mengenal Phytagoras
Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu, dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat moto ”ngka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.
Para Pengikut Pythagoras (Pythagorean) Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada zamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah. Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan teorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.
38
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
Sumber: Ensiklopedia Populer, 1999
Gambar 5.2 Arsitektur seni banyak dipengaruhi peikiran Phytagoras.
Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan objek-objek yang sangat indah. Bahkan
39
Mengenal Phytagoras
sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa objek-objek yang mengandung nisbah emas tampak artistik. Nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.
Sumber: istockphoto
Gambar 5.3 Angka nol tidak mendapat tempat bagi Phytagoras.
40
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
Cacat pada Doktrin Pythagorean Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditoleransi. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep tersebut juga menyerang sudut pandang mereka, tetapi dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani. Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, yakni a, b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. 41
Mengenal Phytagoras
Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani. Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.
Penyangkalan Hippasus
42
Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Sebagian lagi menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.
Mengenal Lebih Dekat Biogafi Phytagoras
Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, hal yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini, Pythagorean menanggap bahwa bilangan irasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.
Meninggalnya Pythagoras Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri, tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, tetapi ada yang mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum. Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang.
43
Mengenal Phytagoras
Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras– seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir dua milenium. Angka nol dan bilangan irasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irasional.
Sumbangsih Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Teorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolahsekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksiomaaksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Manfaat tersebut, kelak membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya teorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994.
44
Bagian
6
Pembuktian Teorema Phytagoras Di atas sebuah bukit, Phytagoras, seorang dengan perpaduan Einstein dan Maharani, berkhutbah di hadapan delapan ratus penduduk Yunani. “Seluruh semesta adalah angka dan harmoni”, ucapnya. Dia telah membuktikannya: sebuah segiempat yang memiliki sisi-sisi tiga satuan dan empat satuan dia bagi dua secara diagonal. Hasilnya, menakjubkan! Sebuah sisi miring yang bernilai lima: sebuah angka.Teorema tersebut kini dikenal sesuai nama penemunya, Phytagoras. Syahdan, di atas kapal pesiar, Hippasus, seorang pengikut Phytagoras, mengisi waktu senggang dengan mencoret-coret lantai kapal. Dia menggambar sebuah segiempat sama sisi (bujursangkar) yang memiliki satu satuan. Terinspirasi sang ‘Imam’, bujursangkar itu dia bagi dua secara diagonal. Hasilnya adalah sebuah ‘kutukan’. Seluruh usaha untuk menyatakan panjang sisi miring tersebut, yang sekarang diketahui sebagai akar dua, sebagai angka gagal. Malapetaka pun terjadi: seluruh semesta adalah angka dan harmoni, tapi angkakah hasil oret-oretan Hippasus ini? Dunia seakan runtuh. Hippasus pun dikucilkan dan penemuannya dirahasiakan. 45
Mengenal Phytagoras
Misteri alam semesta belumlah terungkap secara sempurna. Mitos-mitos, kepercayaan-kepercayaan, sejarah dan kebudayaan manusia terus mentransformasikan diri. Teori-teori yang lebih dahulu dibangun masih harus berhadapan dengan hal-hal baru, penemuanpenemuan baru, yang pada satu sisi, akan menjawab, melengkapi, atau bahkan membantah yang sudah ada. Barangkali Teorema Phytagoras sudah tidak asing lagi bagi kita, bahkan mungkin sudah sering menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Diantara sekian banyak teorema-teorema yang ada dalam matematika, teorema ini merupakan salah satu teorema yang cukup terkenal. Namun jika ada di antara kita yang belum tahu atau lupa teorema tersebut, dapat melihat kembali teorema tersebut. Adapun teorema tersebut sebagai berikut. Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini.
c
a
b
46
Dari gambar tersebut, panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c satuan. Menurut Teorema Phytagoras, dari panjang ketiga sisi segitiga siku-siku tersebut berlaku persamaan: c2 = a2 + b2 dari persamaan tersebut juga dapat dihasilkan persamaan a2 = c 2 – b 2 atau b2 = c2 – a2 Mengapa bisa ditarik persamaan seperti itu? Apa benar seperti itu? Seandainya pertanyaan-pertanyaan tersebut muncul, barangkali jawabannya adalah pembuktian dari Teorema tersebut. Jika Teorema tersebut tidak terbukti atau ada satu kasus yang membuat kontradiksi, teorema tersebut akan gugur/ tidak berlaku lagi. Nah, bagaimana dengan Teorema Phytagoras? Ada beberapa cara membuktikan teorema tersebut. Salah satunya adalah dengan cara berikut ini. Perhatikan gambar di bawah ini. b
a
a
b
b
a a
b 47
Mengenal Phytagoras
Pada gambar diatas, terdapat 4 segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masing-masing adalah
ab luas persegi yang didalam (warna pink) adalah c2 dan luas 2
persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan yaitu: Luas persegi yang terluar = luas persegi yang didalam + 4 luas segitiga siku-siku. a2 + 2ab + b2 = c2 + 4. a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2 a2 + b 2 = c 2 Pembuktian selesai sehingga terbukti c2 = a2 + b2 Adakah di antara kita yang belum pernah mendengar tentang teorema Phytagoras? Rasa-rasanya kita sudah kenal dengan teorema tersebut sejak SD, bukan? Kali ini kita akan melakukan suatu hal yang sangat asyik di dalam matematika, yaitu pembuktian! Pembuktian kali ini sangat mudah. Bebas dari yang namanya limit, diferensial, dan integral. Kita hanya menggunakan geometri. Lihat gambar berikut.
48
B
E
A
C
D
Pembuktian: Keterangan yang perlu diketahui dari gambar tersebut, yakni segitiga ACB sebangun dengan segitiga DEC, berarti BA=CD (sebut saja panjangnya a), AC=DE (sebut saja panjangnya b), CB=EC (sebut saja panjangnya c). Perhatikan trapesium ADEB! Luas trapesium ADEB = luas Segitiga ACB + luas Segitiga DEC + luas Segitiga BCE 0.5* (AB+DE) * (AC+CD) = 0.5*AC*AB + 0.5*DE*DC + 0.5*CE*CB 0.5*(a+b)*(b+a) = 0.5*b*a + 0.5*b*a + 0.5*c*c 0.5*(a2+2ab+b2) = ab + 0.5*c2 (kalikan kedua ruas dengan 2) a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 (kurangi kedua ruas dengan 2 ab) a2 + b2 = c2 (terbukti hasilnya, bukan?)
49
Mengenal Phytagoras
Orang yang kali pertama membuktikan teoremanya Phytagoras adalah Presiden Garfield dan sudah dipublikasikan sejak tahun 1876 dan dianggap satu-satunya kontribusi di bidang matematika yang pernah dibuat oleh seorang presiden Amerika.
Segitiga Siku-Siku Salah satu topik dalam kajian geometri bidang datar, yakni teorema Phytagoras. Dalam teorema ini, disebutkan bahwa jika c sisi miring sementara a dan b dua sisi yang saling berpenyiku dalam suatu segitiga siku-siku, maka berlaku hubungan c2 = a2 + b2. Rumusan teorema Phytagoras telah banyak dikenal oleh hampir semua siswa pendidikan menengah. Namun, tidak semua guru mengajarkan pembuktian teorema Phytagoras. Makalah ini berisi pembuktian teorema Phytagoras dan penerapan teorema Phytagoras untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan segitiga bukan siku-siku. Ada beragam cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Dari beragam cara tersebut, yang paling intuitif, yaitu cara geometris. Tinjaulah kasus struktur geometri berikut.
50
b a
a
c
b a
b
c
c
c
a
b
Bangun persegi yang tersusun atas sebuah persegi yang lebih kecil dan empat buah segitiga siku-siku.
⇒
Dalam struktur di atas, panjang sisi persegi besar yaitu (a + b), sedangkan pamjang sisi kecil yaitu c. Nilai c ini sekaligus merupakan panjang sisi miring setiap segitiga siku-siku. Sementara itu, panjang sisi yang saling berpenyiku dalam setiap segitiga siku-siku yakni a dan b. Luas persegi besar sama dengan jumlah luas persegi kecil dan luas empat buah segitiga siku-siku. (a + b)2 = c2 + 4 . ([\tfrac?]12ab) a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 + c 2 ....(1) Persamaan (1) merupakan rumusan teorema Phytagoras.
51
Mengenal Phytagoras
Teorema Phytagoras dapat digunakan untuk menentukan nilai besaran-besaran fisik segitiga yang bukan siku-siku sekalipun. Dalam pasal ini, akan dijelaskan cara menentukan panjang garis tinggi dan garis berat segitiga sembarang. Tinjaulah kasus segitiga sembarang berikut.
Segitiga sembarang yang semua sudutnya merupakan sudut lancip.
Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS membagi segitiga PQR menjadi dua segitiga siku-siku, yakni segitiga QRS dan segitiga PRS . Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi segitiga PQR.
52
RS2 = QR2 – QS2 ....(2a) RS2 = PR2 – PS2 ....(2b) Dari (2a) dan (2b), dapat ditentukan hubungan berikut. PR2 – PS2 = QR2 – QS2 QR2 – (PQ – PS)2 PR2 – PS2 = QR2 – (PQ2 – 2PQ . PS + PS2) QR2 – PQ2 + 2PQ . PS – PS2 PR2 = QR2 – PQ2 + 2PQ . PS PS =
....(3)
Dari (2b) dan (3), dapat ditentukan panjang garis tinggi RS. RS
=
PR 2 − PS2
2 2 ⇒ PQ 2 + PR − 2QR 2 2 2 ⎛ ⎞⎛ PQ 2 + PR 2 − QR 2 ⎞ 2 + − PR PQ QR 2 2 QR −2PQ = PR −⎠⎟⎜ ⎟⎠ 2PQ ⎝⎜ 2PQ ⎝
....(4a)
Panjang garis tinggi RS dapat pula ditentukan dengan persamaan berikut, yang ekivalen dengan persamaan (4a). RS
=
....(4b)
53
Mengenal Phytagoras
Dari (3) dan (4a) atau (4b), dapat ditentukan panjang garis berat RT.
Persamaan (4a), (4b), dan (5) masih berlaku bahkan jika segitiga yang ditinjau memiliki sudut tumpul. Tinjau kasus segitiga berikut.
Segitiga sembarang yang salahsatu sudutnya merupakan sudut tumpul.
54
Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS membagi segitiga QRS dan segitiga siku-siku segitiga PRS . Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi segitiga PQR. RS2 = QR2 – QS2 ....(6a) 2 2 2 RS = PR – PS ....(6b) Dari (6a) dan (6b), dapat ditentukan hubungan berikut. 2 PR – PS2 = QR2 – QS2 ⇒ QR2 – (PS – PQ)2 PR2 – PS2 = QR2 – (PQ2 – 2PQ . PS + PS2) QR2 – PQ2 + 2PQ . PS – PS2 PR2 = QR2 – PQ2 + 2PQ . PS PS =
....(7)
⇒ PQ 2 + PR2 − QR2 Persamaan (7) benar-benar sama dengan persamaan (3), 2PQ sebagaimana persamaan (6a) dan (6b) sama dengan persamaan (2a) dan (2b). Dengan demikian, substitusi persamaan (7) ke persamaan (2b) akan menghasilkan persamaan yang sama persis dengan persamaan (4a). Lebih jauh lagi, maka persamaan (4b) dan (5) berlaku juga untuk segitiga sembarang yang memiliki sudut tumpul. Jika persamaan (4a), (4b), dan (5) berlaku untuk semua segitiga sembarang, maka persamaan-persamaan tersebut berlaku juga untuk segala jenis segitiga.
55
Mengenal Phytagoras
Dalam suatu konstruksi sudut, dapat dibuat sebuah garis yang membagi sudut tersebut menjadi dua sudut yang lebih kecil dan sama besarnya. Garis ini disebut garis bagi sudut. Tinjau kasus segitiga berikut.
Segitiga sembarang beserta garis tinggi dan garis bagi sudutnya.
56
Dalam struktur di samping, garis bagi sudut RV membagi segitiga PQR menjadi segitiga PRV dan segitiga QRV . Karena besar PRV dan QRV sama, berlaku hubungan berikut.
⇒
PR PU = QR QW
....(8)
Sementara itu, segitiga PUV sebangun dengan segitiga QVW. Dari hubungan ini dan (8), berlaku hubungan berikut. PV QV = PU QW
PR QR = PU QW
⇒
PU PV PR = = QW QV QR
....(9)
Dari (9), dapat ditentukan panjang ruas PV. PV =
PV . PQ (PV + QV )
=
PR . PQ (PR + QR)
....(10)
Dari teorema Phytagoras serta persamaan (3), (4a) dan (10), dapat ditentukan persamaan panjang garis bagi sudut RV.
57
Mengenal Phytagoras
RV =
RS2 + SV 2
= RS2 + ( PV − PS)2 = RS2 + PV 2 − 2PV . PS + PS2 = PR2 − X + Y X = Y =
....(11)
PR .( PQ 2 + PR2 − QR2 ) ( PR + PQ ) PR2 . PQ 2
(PR + QR)2
}
Persamaan (11), yang panjang itu, merupakan persamaan panjang garis bagi sudut suatu segitiga.
58
Glosarium 1. Astronomi (as·tro·no·mi) [n] : Ilmu tentang matahari, bulan, bintang, dan planet-planet lainnya; ilmu falak. 2. Irasional (ira·si·o·nal) [a] : Tidak berdasarkan akal (penalaran) yang sehat. 3. Substitusi (sub·sti·tu·si) [n] : Proses atau hasil penggantian unsur bahasa oleh unsur lain dalam satuan yang lebih besar untuk memperoleh unsur pembeda. 4. Segitiga (se·gi·ti·ga) [n] : Bidang yang bersisi tiga; bangun yang dibentuk dengan menghubungkan tiga buah titik P1, P2, dan P3 yg tidak segaris (sbg titik sudutnya) dng ruas-ruas garis P1 P2, P2 P3, dan P3 P1
59
Mengenal Phytagoras
Indeks A Aristoteles 24 Asumsi 24 D Diferensial 48 Doktrin 44 G Geometris 50
60
K Konstruksi 56 Kosmologi 23, 26 Kuadrat 14 P Persegi 16 Phytagoras 7, 8, 10 S Segitiga 55, 56 Substitusi 55
Daftar Pustaka Asyari, Fatah, dkk. 1991. Strategi Memahami Matematika. Bandung: Epsilon. Bertens, K. 1999. Sejarah Filsafat Yunani. Yogyakarta: Kanisius. Kahfi, M. Shohibul, dkk. 2004. Materi Pelatihan Terintegrasi Matematika. Jakarta: Depdiknas. Negoro dan B. Harapap. 2003. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Suherman. 2006. Kamus Pintar Plus Matematika untuk SMP. Bandung: Epsilon.
61
Mengenal Phytagoras
Gambar Patung Phytagoras
62
Gambar Sketsa Phytagoras
Daftar Pustaka
63
Mengenal Phytagoras
Riwayat Penulis J. Zahrani K., lahir di Bandung pada 15 Mei 1977. Penulis ini adalah alumnus Sastra Perancis, Universitas Padjadjaran. Aktivitasnya, selain mengurus anak juga menulis artikel tentang wanita dan karier serta ilmu pengetahuan. Sejumlah artikelnya pernah dimuat oleh Pikiran Rakyat, Bandung Pos, dan Galamedia. Nama J. Zahrani K. merupakan nama pena dari Hetti Restianti.
64
