Seznámit studenty se základními zákonitostmi statiky

Základy mechaniky, 1. přednáška Obsah přednášky :

úvod do mechaniky, členění mechaniky síla - základní veličina statiky účinky síly, operace se silami

Doba studia :

asi 1,5 hodiny Cíl přednášky :

Seznámit studenty se základními zákonitostmi statiky.

Základy mechaniky, 1. přednáška

Úvod Něco z historie

Mechanika je jedním z nejstarších oborů fyziky. Čtenář se doví něco málo z její historie.

Nezbytné znalosti

Pro studium dynamiky jsou nezbytné některé znalosti, zejména z matematiky. Které to jsou ? Text je doprovázen animacemi. Klepnutím na tento symbol se animace spustí.

Výklad

Samotný text první přednášky.


Něco z historie Mechanika je jedním z nejstarších vědních oborů, jimiž se lidstvo odpradávna zabývalo. Již v antických dobách se lidé zajímali o vztah mezi silou a pohybem, touto silou způsobeným. Filosof pozoruje káru, taženou otrokem a vidí, že dva otroci káru táhnou rychleji. Loď s více veslaři pluje rychleji. Tato každodenní zkušenost nutně vedla k domněnce (nejčastěji připisované Aristotelovi), že čím větší síla působí na těleso, tím větší rychlostí se toto těleso pohybuje. Nulová síla pak znamená nulovou rychlost (když veslaři přestanou veslovat, loď se zastaví). Toto pravidlo bylo bezvýhradně přijímáno (mimo jiné i pro obrovskou autoritu Aristotelovu) až do dob renesance. Prvním, kdo toto pravidlo zpochybnil, byl italský hvězdář a myslitel Galileo Galilei. Ten nechal po mírně skloněné rovině kutálet válec a v pravidelných časových intervalech si dělal značky, určující okamžitou polohu válce. (Traduje se, že v době neexistence přesné časomíry, zejména pro krátké časy, použil k určení shodných časových intervalů vlastní tep.) Zjistil, že dráha válce v jednotlivých časových úsecích se zvětšuje, a tedy i rychlost se neustále zvětšuje, přestože působící síla (zemská přitažlivost) je stále stejná. Pravidlo, že čím je větší síla, tím je větší rychlost, tedy nemůže být správné, jakkoliv velkým filosofem Aristoteles byl.


Něco z historie K tomuto závěru mohl koneckonců dojít i Aristoteles, kdyby provedl následující myšlenkový pokus : Táhne-li otrok káru, tato se pohybuje určitou rychlostí. Když ji pustí, kára se zastaví. Přesně vzato, zastaví se na určité dráze. Jak bychom mohli tuto dráhu prodloužit ? Nejsnáze tak, že cestu před károu urovnáme a odstraníme překážky. Jestliže cestu nejen urovnáme, ale dokonce vydláždíme rovnými dlaždicemi, bude brzdná dráha ještě větší. Až doposud si všechno můžeme skutečně ověřit reálným pokusem. Zkusme si však představit, že cestu před károu budeme pořád zdokonalovat (a brzdná dráha se bude stále prodlužovat), až bude cesta dokonale hladká ! (To však si můžeme právě jenom představit, reálně se nám to nikdy nepodaří.) Bude-li cesta dokonale hladká, pak se kára zřejmě nikdy nezastaví. To nás vede k závěru, ke kterému dospěl poprvé právě Galileo, že nulová síla neznamená nulovou rychlost, ale nulovou změnu rychlosti (rychlost je konstantní). Čím pak je větší síla, tím je větší nikoliv samotná rychlost, ale její změna.


Něco z historie Počátky moderní mechaniky byly úzce spojeny s astronomií, dalším prastarým vědním oborem. Laskavý čtenář se jistě nebude zlobit, uděláme-li si malý výlet do historie astronomie. Již od starověku lidé vzhlíželi ke hvězdám a snažili se porozumět jejich pohybu po nebeské báni. Vedla je k tomu potřeba spolehlivého kalendáře, který by určoval, kdy sít, kdy sklízet, atd. Později, s rozvojem námořní plavby, k tomu přibyla potřeba navigace. Další příčinou rozvoje astronomie byla víra, že poloha planet tak či onak předurčuje lidský osud. Astrologie se tak stala “živitelkou” astronomie. Jedním z prvních modelů, popisujících a vysvětlujících pohyb hvězd a planet, byl geocentrický model, pocházející od Ptolemaia. Podle něj se Slunce, stejně tak jako hvězdy, společně otáčejí okolo Země. Tomuto modelu dobře odpovídal zdánlivý pozorovaný pohyb stálic. Horší už to bylo s pohybem Slunce, Měsíce a planet, “bludných hvězd”, jejichž poloha vůči ostatním hvězdám se mění. Tento problém se snažila antická astronomie odstranit zavedením tzv. “sfér”. V centru všehomíra samozřejmě zůstávala Země. Pak však následovaly sféry Měsíce, Merkuru, Venuše, Slunce, Marsu, Jupiteru a Saturnu (více planet tehdy nebylo známo) a teprve pak sféra stálic. Každá ze sfér se otáčela samostatně. Tento model vysvětloval měnící se polohu Slunce, Měsíce a planet jak vůči sobě, tak vůči “pozadí” stálic.


Něco z historie Teprve Mikuláš Koperník a jeho heliocentrický model přinesl náhled zásadně odlišný. (Dlužno říci, že ani tento model nebyl zcela nový. I představa Země, obíhající okolo Slunce, byla formulována již ve starověku. Byla však zavržena a zapomenuta.) Následovalo období bouřlivých diskusí, vášnivého přesvědčování a zatracování. Tato diskuse byla nejen vědecká, astronomická, ale též navýsost teologická. Vždyť kdyby Země nebyla středem Vesmíru, proč by právě na ní Bůh stvořil život ! Průlom do sporu přinesli Galileo Galilei, Tycho Brahe a především Jan Kepler. Galileo Galilei bývá označován za vynálezce dalekohledu. To není tak docela pravdou. Galileo dostal z Nizozemí jakýsi ne zcela fungující vzorek “dívací trubičky”. Po jejím podrobném studiu se mu podařilo trubičku zdokonalit tak, že byla použitelná. Touto trubičkou (jejíž přibližovací schopnost zhruba odpovídala divadelnímu kukátku, a která ještě neměla ani jméno) poprvé pozoroval čtyři měsíce Jupiterovy (bylo to roku 1609). Tím přinesl obrovský argument ve prospěch heliocentrického modelu. Neboť jestliže existují alespoň čtyři vesmírná tělesa, jež prokazatelně neobíhají okolo Země, proč by ostatní měla. (Galileovi odpůrci argumentovali např. také tím, že se přece nepotřebují dívat do Vesmíru jakousi trubičkou, protože chtějí-li se o něm něco dovědět, mohou si to přečíst v bibli.)


Něco z historie Jedním z vědeckých účastníků sporu byl dánský šlechtic Tycho Brahe. Ten byl především astronomem - pozorovatelem. Na ostrově Hven pozoroval výbuch supernovy v souhvězdí Kassiopea a tím rozmetal představy o neměnnosti Vesmíru. Poté, co se nepohodl s novým dánským králem, přestěhoval se do Prahy na dvůr císaře Rudolfa II, kde se stal jeho dvorním hvězdářem. Dvacet let života věnoval pečlivému měření poloh planet, čímž poskytl obrovský studijní materiál Keplerovi. Už jenom způsob vedení vědeckého sporu pomocí pozorování a měření objektivní skutečnosti, namísto filosofických a teologických disputací byl v té době něčím zcela novým. Tycho Brahe byl zastáncem geocentrické teorie. Spor zatím neměl jednoznačné řešení, protože ani ptolemaiovský, ani koperníkovský model zcela neodpovídaly pozorované a měřené skutečnosti. Vida tyto disproporce, vytvořil Brahe svůj vlastní model modifikací geocentrického modelu. Podle něj se měly planety otáčet okolo Slunce a spolu s ním pak rotovat okolo Země. Budiž Brahovi přičteno k jeho vědecké cti, že měření prováděl naprosto poctivě, jakkoliv jím samým změřené hodnoty neodpovídaly jeho vlastní teorii. Skloňme se též před jeho houževnatostí, se kterou po léta prováděl rutinní měření, aniž by si mohl být jistý, že tato činnost povede k nějakým užitečným závěrům.


Něco z historie Tycho Brahe vytvořil rozsáhlé tabulky, zachycující polohu jednotlivých planet na hvězdné obloze v různých ročních dobách. Tyto tabulky popisovaly velmi detailně subjektivně pozorovanou skutečnost. Tycho Brahe však nebyl natolik matematicky vybaven, aby z tohoto obrovského množství dat byl schopen odvodit nějaké pravidlo. Tohoto úkolu se ujal Brahův současník a Rudolfův dvorní matematik Jan Kepler. (Začal zkoumáním dráhy planety Mars, což bylo velmi šťastné, neboť právě tato planeta vykazuje značnou excentricitu své dráhy, narozdíl např. od dráhy Venuše.) Po šesti letech trpělivé práce, po smrti Brahově, který se již nedočkal plodů své práce, dospěl Kepler k řešení, které publikoval ve svém díle Astronomia Nova roku 1609. Musel pro to odvrhnout všechna vžitá dogmata, včetně toho nejzakořeněnějšího. Ať už se astronomové, astrologové, filosofové a teologové jakkoliv přeli, ať už věřili, že Slunce obíhá okolo Země nebo naopak, v jednom se vždy vzácně shodli. Dráhou, po které to či ono těleso obíhá, je kružnice, tato nejdokonalejší křivka. Bůh si jistě nemohl zvolit jinou křivku, než právě kružnici.

Zdánlivá dráha planety Mars na pozadí vzdálených hvězd.

Teprve když Kepler připustil, že dráha planet by nemusela být nutně kružnice, ale její obecnější podoba, začaly mu výpočty konečně souhlasit s Brahovými čísly. (Uvědomíme-li si, že všechny poměrně náročné výpočty dělal ručně, nejen bez kalkulačky, ale i bez logaritmického pravítka, musíme smeknout.)


Něco z historie Nejprve na Marsu, pak na ostatních planetách se přesvědčil, že polohu každé planety v kterýkoliv okamžik lze vypočíst z jednoduchého modelu, vyjádřeného dvěma pravidly, později nazývanými První a Druhý Keplerův zákon : 1. Každá planeta obíhá okolo Slunce po eliptické dráze, v jejímž jednom ohnisku se Slunce nachází. 2. Obvodová rychlost planety se mění tak, že její plošná rychlost je konstantní. Plošnou rychlostí je myšlena plocha, vyplněná průvodičem planety od Slunce, za jednotku času. K těmto pravidlům později Kepler přidal další, Třetí Keplerův zákon : 3. Čtverce oběžných dob planet jsou úměrné trojmocím hlavních poloos dráhy. Tento konečný model Vesmíru působil jako bomba. Náhle všechno do sebe zapadalo. Každé z nesčíselného množství Brahových měření bylo možno zpětně vypočíst podle jednoduché teorie. Konečně byly planety tam, kde by podle teorie měly být. Bylo jasné, že Vesmír vypadá právě takto. (O existenci jiných planetárních soustav, neřkuli jiných galaxií, se tehdy nevědělo. Prvním, kdo předpověděl jejich existenci, byl Giordano Bruno, a ten byl jako nebezpečný radikál a kacíř inkvizicí upálen. I Galileo měl s inkvizicí problémy.)


Něco z historie Vraťme se však k mechanice. Její základní kámen položil britský vědec, sir Isaac Newton svými třemi zákony, publikovanými poprvé r. 1687 v historickém díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematické principy přírodních věd). Prvním z nich se vracíme ke Galileovi a k jeho myšlence, že nepřítomnost působící síly neznamená nulovou rychlost, ale nulovou změnu rychlosti.

Newton ji formuloval ve svém Prvním Newtonově zákonu, zákonu setrvačnosti : 1. Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.


Něco z historie Právě ono „nebo rovnoměrného přímočarého pohybu“ zdůrazňuje nulovou změnu rychlosti a tedy konstantní (byť nenulovou) rychlost. Druhý Newtonův zákon nám pak říká jaký je ten vztah mezi působící silou a změnou rychlosti, touto silou způsobenou. Známe ho jako zákon síly : 2. Změna rychlosti tělesa je přímo úměrná působící síle, konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Změnu rychlosti, vztaženou na jednotku času, dnes nazýváme zrychlením. V Newtonově době se však tento pojem ještě nepoužíval. Třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce, vypovídá o vzájemném silovém působení mezi tělesy : 3. Dvě tělesa, která jsou v interakci, na sebe navzájem působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.


Něco z historie K těmto zákonům přibývá ještě všeobecně známý (viz historka o jablku) zákon gravitační : Dvě tělesa jsou k sobě navzájem přitahována silou přímo úměrnou jejich hmotnosti a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi nimi. Tyto zákony jsou nejen zákony „nebeské mechaniky“, podle nichž se pohybují planety na své pouti okolo Slunce, ale obecně platnými „zákony pohybu“, podle nichž také např. kmitá tenká membrána telefonního sluchátka.

Skutečnost, že veškerý pohyb, počínaje pohybem galaxií, hvězd a planet a konče např. pohybem míče, poskakujícího po hřišti, se řídí jediným jednoduchým pravidlem, nás nemůže nepřivést k myšlenkám o Bohu.


Něco z historie Prvním důkazem platnosti Newtonových zákonů byla potvrzená předpověď anglického astronoma Edmonda Halleyho, Newtonova současníka a kolegy. Ten roku 1703 právě na základě aplikace čerstvé vědecké novinky, Newtonových zákonů, předpověděl návrat komety, která podnes nese jeho jméno, v roce 1758 (předtím byla pozorována naposledy v r. 1682). Britský patriot Halley ve své předpovědi vyjádřil víru, že ... „Upřímné potomstvo jistě neodmítne přiznat, že toto bylo poprvé objeveno Angličanem.“ Když byla kometa na vánoce uvedeného roku, šestnáct let po Halleyho smrti, skutečně pozorována, byla tím nejen jeho předpověď, ale hlavně Newtonovy zákony pohybu stvrzeny. Dnes víme, že tyto zákony nejsou obecně platnými pravidly, že pouze dobře popisují velmi širokou škálu fyzikálních jevů. Existují však dvě okrajové skupiny jevů, které nelze vysvětlit pomocí Newtonových zákonů. Jsou to jednak jevy, týkající extrémně velkého prostoru a extrémně velkých rychlostí, např. galaxie (relativistická fyzika), jednak jevy, týkající se extrémně malých těles, atomových částic (kvantová fyzika). Je však zřejmé, že v běžné technické praxi zcela vystačíme s klasickou, tzv. newtonovskou mechanikou, nádhernou svou jednoduchostí. zpět na úvod


Nezbytné znalosti Diferenciální počet, derivace, integrály, jejich symbolické značení.

dx = x& dt dy = y′ dx r d r r& =r dt

∫ f (t ) ⋅ dt

derivace x podle t (podle času)

derivace y podle x (podle souřadnice)

derivace vektoru r podle t (podle času)

integrál funkce f v čase (časový integrál)

t2

∫ f (t )⋅ dt t1

určitý integrál funkce f v čase (časový integrál v mezích)


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací.

r r r r =r

r ry

pouze velikost vektoru,

r r r r r r r r = rx + ry + rz = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k r r r r složky vektoru r , rx , ry , rz x , y,z rr r i , j,k

y

vektor - má velikost a směr,

r j r rz

r k

r r r i

z

úseky na osách x, y a z (souřadnice bodu), jednotkové vektory - mají velikost 1 a směr os x, y a z.

r rx

x


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Velikost vektoru je :

r r =r=

r 2 r 2 r rx + ry + rz

2

2

2

2

= rx + ry + rz = x 2 + y 2 + z 2

Směr vektoru je dán směrovými úhly :

y

α - úhel od osy x k vektoru r, β - úhel od osy y k vektoru r, γ - úhel od osy z k vektoru r.

r α = arccos x r

β = arccos

β r r

ry r

r γ = arccos z r

Velikosti složek jsou naopak :

rx = r ⋅ cos α

ry = r ⋅ cos β

rz = r ⋅ cos γ

γ z

α

x


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. V rovině je situace podstatně jednodušší.

Velikost vektoru je :

r r =r=

r 2 r rx + ry

2

2

2

= rx + ry = x 2 + y 2

Směr vektoru je dán směrovým úhlem : α=φ - úhel od osy x k vektoru r,

φ = arctan

y

ry

r ry

rx

r j

r r α=φ r i

Velikosti složek jsou naopak :

rx = r ⋅ cos φ

ry = r ⋅ sin φ

r rx

x


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Skalární a vektorový součet a součin.

Vektorový součet :

r r r c =a+b= r r r r r r = x a ⋅ i + ya ⋅ j + za ⋅ k + x b ⋅ i + yb ⋅ j + z b ⋅ k = r r r = (x a + x b ) ⋅ i + (y a + y b ) ⋅ j + (z a + z b ) ⋅ k = r r r = x c ⋅ i + yc ⋅ j + zc ⋅ k

y r b r k z

kde :

xc = xa + xb

yc = ya + yb

Výsledkem vektorového součtu je vektor.

zc = za + zb

r j r i

r c r a x


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Skalární součin :

r r d = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos φ

Skalární a vektorový součet a součin. r b φ

Skalární součin dvou rovnoběžných vektorů (φ=0) :

r r d = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos 0 = a ⋅ b

Skalární součin dvou kolmých vektorů (φ=90º) :

r r d = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos 90° = 0

Výsledkem skalárního součinu je skalár (číslo).

r a


Nezbytné znalosti Pojem skaláru a vektoru, vektorová algebra. Vektorová veličina je charakterizována velikostí, směrem a orientací. Vektorový součin :

r i v r v c = a × b = xa

r j ya

Skalární a vektorový součet a součin.

r k za =

r c

r b

φ zb r a r r r = (y a ⋅ z b − y b ⋅ z a ) ⋅ i + (z a ⋅ x b − z b ⋅ x a ) ⋅ j + (x a ⋅ y b − x b ⋅ y a ) ⋅ k

xb

yb

r r r r c = x c ⋅ i + yc ⋅ j + zc ⋅ k

x c = ya ⋅ zb − yb ⋅ za yc = za ⋅ x b − zb ⋅ x a zc = x a ⋅ yb − x b ⋅ ya

Výsledkem vektorového součinu je vektor.

r c = a ⋅ b ⋅ sin φ


Nezbytné znalosti Použité značení. označení : g = 9.81 t s, x, y, ... v a φ ω ε F G m

I J p, H

I A E f

jednotka : [m/s2] [s, min, hod, ...] [m, mm, km, ...] [m/s, km/hod] [m/s2] [º, rad] [rad/s, s-1] [rad/s2] [N] [N] [kg, t] [kg·m2] [m4] [kg·m/s] [N·s] [J, kg·m2/s2] [J] [-, Hz]

fyzikální veličina : - gravitační zrychlení - čas - dráha - rychlost - zrychlení - úhel natočení (někdy označován jako úhlová dráha), fázový posuv - úhlová rychlost, kruhová frekvence - úhlové zrychlení - síla - gravitační síla - hmotnost - hmotový moment setrvačnosti - plošný moment setrvačnosti - hybnost hmoty - impuls síly - mechanická práce - energie - koeficient smykového tření, frekvence


Nezbytné znalosti Základní jednotky. jednotka : [m] [s] [kg] [A] [K] [cd] [mol]

{metr} {sekunda} {kilogram} {ampér} {kelvin} {kandela} {mol}

doplňkové jednotky : [rad] {radián} [srad] {steradián}

fyzikální veličina : - délka v mechanice vystačíme s těmito třemi - čas - hmotnost - elektrický proud - teplota - svítivost - látkové množství

- úhel - prostorový úhel

1 rad = (180/π)º ≅ 57,3 º r

r

1 rad

r


Nezbytné znalosti Řecká abeceda : Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ

α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ μ

alfa beta gamma delta epsilon dzéta éta théta ijóta kappa lambda mí

Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

ný ksí omikron pí ró sigma tau ypsilon fí chí psí omega

zpět na úvod

Základy mechaniky, 1. přednáška Mechanika je spolu s astronomií nejstarším oborem fyziky. Některá její pravidla byla na empirické úrovni známa již stavitelům pyramid. Pojednává o působení sil na tělesa a o účincích tohoto působení. Podle charakteru tohoto působení a podle charakteru samotných těles se pak mechanika dělí do dalších odvětví.

Mechanika vnějších sil (někdy se označuje jako „mechanika absolutně tuhých těles“) pojednává o působení sil na tělesa „zvnějšku”. (Tyto síly mohou způsobit např. pohyb tělesa.)

Mechanika vnitřních sil (někdy se označuje jako „mechanika poddajných těles“) pojednává o tom jak se vnější síly, na těleso působící, přenáší vnitřním objemem tělesa a jak je materiál tělesa namáhán. (Namáhání může vést až k destrukci tělesa, jeho rozbití, zlomení, roztržení apod.)

Na VŠB - Technické univerzitě Ostrava se mechanikou vnějších sil zabývají předměty, vyučované katedrou mechaniky (např. základy mechaniky a další). Mechanikou vnitřních sil se pak zabývají předměty, vyučované katedrou pružnosti a pevnosti (např. pružnost a pevnost a jiné). Tento učební text se bude zabývat mechanikou vnějších sil, v menší míře pak vybranými kapitolami mechaniky vnitřních sil.

Základy mechaniky, 1. přednáška Mechanika vnějších sil

V mechanice vnějších sil bývá obvyklé formulovat předpoklad absolutně tuhých těles. Těleso pokládáme za absolutně tuhé (nedeformovatelné). Nebereme v úvahu změnu tvaru, způsobenou vnějšími silami. Je zřejmé, že tento předpoklad není zcela správný, neboť každé skutečné těleso se působením sil deformuje. V mnoha případech však je možno tuto deformaci a její účinky zanedbat (je-li těleso z tuhého materiálu, jako je např. ocel). Pokud naopak deformace tělesa vlivem působících sil není zanedbatelná (např. je-li těleso z měkké pryže), pak tento zjednodušující předpoklad přijmout nelze. Mechanika vnějších sil, působících na poddajná tělesa, je přirozeně podstatně složitější a přesahuje rámec tohoto učebního textu. Poznámka : V mechanice vnitřních sil se předpoklad absolutně tuhého tělesa nezavádí, protože namáhání materiálu tělesa (jeho napětí) je příčinně svázáno s jeho deformací.

Základy mechaniky, 1. přednáška Mechaniku vnějších sil pak lze dále dělit na statiku a dynamiku.

mechanika statika

Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu.

dynamika

Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa a vyšetřováním pohybu těles v závislosti na působících silách.

Základy mechaniky, 1. přednáška Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727) ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687). Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů. 1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti. Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. 2. Newtonův zákon - zákon síly. Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle, přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :

r r m⋅a = F

tedy

hmotnost · zrychlení = síla

3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Základy mechaniky, 1. přednáška Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. V matematické podobě pak :

m1 ⋅ m 2 G = κ⋅ r2 κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 m1 m2 r

r G

r G

- gravitační konstanta, - hmotnost jednoho tělesa, - hmotnost druhého tělesa, - vzdálenost mezi tělesy.

m1

Na povrchu Země pak je : m1 = 5,98·1024 kg r = 6 378 km

- hmotnost Země, - poloměr Země.

Přitažlivá (tíhová) síla pak je : kde g je gravitační zrychlení :

G = m⋅g m1 g = κ ⋅ 2 = 9,81 m ⋅ s − 2 r

m2 r

Základy mechaniky, 1. přednáška V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Bod

- je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).

Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem. Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.

Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.

V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa. To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná. Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.

Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit.

Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Základy mechaniky, 1. přednáška Tento učební text bude rozčleněn do tří úseků. 1. přednáška

Statika

2. přednáška

Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na tělesa, která jsou v klidu.

3. přednáška 4. přednáška 5. přednáška 6. přednáška 7. přednáška 8. přednáška

Pružnost a pevnost

9. přednáška

Zde se budeme zabývat důsledky silového působení na vnitřní namáhání materiálu.

10. přednáška 11. přednáška

Dynamika

12. přednáška

Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na pohybující se tělesa, vztahem mezi silami a pohybem.

13. přednáška 14. přednáška

Statika


Statika je přirozeným základem mechaniky. Začala se vyvíjet historicky nejdříve a dává nám základní nástroje pro analýzu silového působení. Těmito nástroji je vyšetřování silové rovnováhy a uvolňování vazeb. (Oba tyto postupy budou dále podrobně vysvětleny.) Ve statice se postupně seznámíme se dvěma základními okruhy problémů : Síla, její charakteristiky, účinky, operace se silami. Silové soustavy, jejich klasifikace, výslednice, rovnováha. Vazby, uvolňování, výpočet reakcí. Přenos silových účinků mezi navzájem vázanými tělesy.

Kromě těchto základních problémových okruhů budou probrány ještě některé doplňkové kapitoly.

Statika

Základy mechaniky, 1. přednáška Síla, silová soustava

Síla - základní fyzikální veličina ve statice

Pro jednoznačnost dalšího výkladu by bylo vhodné definovat pojem „síla“. Přijmeme-li za jeden ze základů mechaniky druhý Newtonův zákon ve tvaru :

hmotnost · zrychlení = síla kde zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti, změnu pohybu, je možno definovat :

„Síla je příčina změny pohybového stavu hmotného objektu.“ Hmotným objektem zde samozřejmě rozumíme hmotný bod, těleso nebo soustavu těles. Sílu při číselném vyjádření uvádíme v jednotkách 1 newton. V praxi se toto označení zkracuje na 1 N. Síla 1 N udělí tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m/s2. Těleso o hmotnosti 1 kg je přitahováno k Zemi gravitační silou 9,81 N.


Statika

Síla je charakterizována svou velikostí a směrem působení. Je to tedy vektorová veličina (podobně jako rychlost, intenzita elektrického pole apod.). Opakem jsou skalární veličiny, charakterizované pouze svou velikostí (hmotnost, elektrický náboj apod.). Sílu označujeme nejčastěji písmenem někdy však také jinými písmeny :

r F r G r D

z anglického slova force - síla gravitační síla dynamická síla, apod.

Ve schematických náčrtech sílu symbolicky zobrazujeme jako šipku.

r F

Šipka svou délkou symbolizuje velikost síly, svým směrem určuje směr působení síly. Hovoříme-li o směru síly, odlišujeme pojmy „směr“ a „orientace“ síly. Např. směr je vodorovný, orientace je doprava nebo doleva, směr je svislý, orientace je nahoru nebo dolů. V tomto smyslu je při určitém směru vždy jen dvojí možná orientace. Síla vždy působí v určitém konkrétním bodě, který nazýváme působiště síly. Závěrem lze tedy shrnout, že : Síla je určena svou velikostí, směrem, orientací a působištěm.

Statika

Základy mechaniky, 1. přednáška Účinky síly

Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem (viz předchozí strana). Momentový účinek - moment síly.

Představme si obraz, visící na stěně, a uvažujme dva odlišné případy působení síly na tento obraz (není myšlena tíhová síla). V obou případech se jedná o stejně velkou sílu, působící stejným směrem (svisle dolů). Obě síly mají tedy stejný silový účinek.

Síla působí ve středu spodní vodorovné hrany obrazu.

Síla působí v rohu obrazu.

Odlišný účinek obou sil je zřejmý : V prvním případě se s obrazem nebude nic dít, ve druhém případě se obraz natočí.

Statika


Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly.

Tento příklad názorně demonstruje odlišný momentový účinek obou sil. Rozdíl je v kolmé vzdálenosti mezi závěsným bodem a silou. Je zřejmé, že zatímco silový účinek je zcela určen samotnou silou, momentový účinek je kromě síly určen také polohou tohoto závěsného bodu. Ten se v mechanice obecně nazývá momentový bod.

Statika



Jestliže přímku, na níž leží vektor síly, označíme jako nositelku síly, a kolmou vzdálenost momentového bodu od nositelky síly označíme jako rameno síly, můžeme definovat moment síly : Moment síly je dán součinem síly a ramene síly.

M = F⋅r F

moment síly

nositelka síly

r rameno síly momentový bod

Rameno síly je kolmá vzdálenost momentového bodu od nositelky síly.

Statika



Je zřejmé, že jedna určitá síla, se zcela jednoznačným, určitým silovým účinkem, má různé momentové účinky k různým momentovým bodům. Naproti tomu síly stejné velikosti a směru, ležící na stejné nositelce, mají k danému momentovému bodu stejný momentový účinek. Lze tedy definovat důležitou vlastnost síly : Síla je volná po své nositelce.

nositelka síly

F

moment síly

momentový bod

Statika



To znamená, že jestliže určitou sílu posuneme po její nositelce, její účinky se nezmění. Silový účinek se nezmění, protože síla má pořád stejnou velikost a směr, momentový účinek se nezmění, protože síla působí pořád na stejném rameni, (přestože se změnilo její působiště). Síla je volná po své nositelce.

nositelka síly

F

moment síly

momentový bod

Přeložíme-li však sílu na jinou nositelku, její momentový účinek se změní.

Statika



Povšimněme si odlišného smyslu orientace síly a momentu. Síla je orientována nahoru nebo dolů, doprava nebo doleva. Moment síly je orientován ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Dvě síly stejného směru mají k momentovému bodu, ležícímu mezi nimi, opačný moment.

Statika

Základy mechaniky, 1. přednáška Operace se silami, skládání a rozklad sil

Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil. Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil. Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník, výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka. Matematický zápis této operace má tvar:

r r r FV = F1 + F2

r FV

r F2

Výslednici můžeme určit dvěma způsoby : Postup grafický - ve zvoleném měřítku přesně narýsujeme rovnoběžník sil, změříme úhlopříčku a opět pomocí měřítka určíme velikost výslednice; směr výslednice je dán přímo směrem úhlopříčky.

r F1

r FV

r F2

α

δ

α r F1

Postup početní - vektorový obrazec doplníme o úhel α mezi silami F1 a F2 a úhel δ mezi silou F1 a výslednicí FV. Velikost a směr výslednice FV pak vyplývají z cosinové a sinové věty. 2

2

FV = F1 + F2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos α

δ = arcsin

F2 ⋅ sin α FV

Statika

Základy mechaniky, 1. přednáška Operace se silami, skládání a rozklad sil

Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil. Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil. Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník, výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka.

r F2

r FV r F1

Samotný fakt, že výsledný silový účinek dvou sil je dán stejným pravidlem, jakým se řídí rozměry jednoduchých geometrických obrazců, je zajímavou hříčkou přírody. Nutně nás vede k úvahám o hlubším řádu bytí.


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil

Opačným postupem, než je skládání sil, je rozklad síly do dvou směrů. Vektorový obrazec, jakož i uvedené vzorce, mají stejnou platnost, jako při skládání. r r r Jde však o postup opačným směrem : F1 + F2 → FV r r r jednu výslednici FV rozkládáme na dvě dílčí síly - složky F1 a F2.

FV → F1 + F2

2 r FV

1

r F2

r FV r F1

Nejprve vedeme počátečním a koncovým bodem rozkládané síly rovnoběžky se směry 1 a 2, do nichž chceme sílu rozložit. Průsečíky rovnoběžek pak určují koncové body jednotlivých složek rozkládané síly.


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání rovnoběžných sil. Z vektorového obrazce, představujícího složení dvou rovnoběžných sil (rovnoběžník se „zploštil“), vyplývá, že skládání rovnoběžných r sil je jediným případem, kdy se síly prostě sčítají.

F2

r r r FV = F1 + F2

r F1

r FV

Rovněž uvedené vzorce pro velikost a směr výslednice se pro úhel α = 0º podstatně zjednoduší : 2

2

2

2

FV = F1 + F2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos 0° = F1 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 + F2 =

(F1 + F2 )2

= F1 + F2

cos 0 = 1 sin 0 = 0

F ⋅ sin 0° δ = arcsin 2 = arcsin 0 = 0° FV

Velikost výslednice dvou rovnoběžných sil je tedy dána prostým součtem obou sil, její směr je shodný se směrem těchto sil. Velmi podobně se skládají dvě rovnoběžné, avšak opačně orientované síly (α = 180º).

r FV

r r r FV = F1 + F2 2

r F2 2

r F1 2

2

FV = F1 + F2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos 180° = F1 − 2 ⋅ F1 ⋅ F2 + F2 = δ = arcsin

F2 ⋅ sin 180° = arcsin 0 = 0° Souhrnně lze tedy říci, že FV

cos 180º = -1 sin 180º = 0

(F1 − F2 )2

= F1 − F2

rovnoběžné síly se prostě sčítají s ohledem na znaménko (což znamená, že opačně orientované síly se odečítají).


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání kolmých sil. I pro skládání (nebo rozklad) kolmých sil použijeme pravidlo rovnoběžníka a dříve uvedené vzorce pro α = 90º.

r r r FV = F1 + F2

r F2

r FV

δ r F1 2

2

2

FV = F1 + F2 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos 90° = F1 + F2

δ = arctan

2

F1 = FV ⋅ cos δ

F2 F1

F2 = FV ⋅ sin δ

cos 90º = 0 sin 90º = 1

Se skládáním a rozkládáním kolmých sil se setkáme v souvislosti s kartézským souřadným systémem x-y. Složky pak obvykle označíme Fx a Fy.

r r r F = Fx + Fy

r Fy

r F δ r Fx


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil. V praxi zřídka kdy vystačíme se skládáním dvou sil. Obvykle je třeba nalézt výsledný silový účinek soustavy více než dvou sil.

r F2

r F1

r F3

r r FV = ∑ Fi i

r F4

Postup grafický - vektory sil ve zvoleném měřítku za sebou „řetězíme“ tak, že ke koncovému bodu jedné síly připojujeme počáteční bod další síly. Takto pokračujeme se všemi silami. Výslednice je pak dána počátečním bodem první síly a koncovým bodem poslední síly. Vzniklý vektorový obrazec se obvykle nazývá „složkový obrazec“.

r F3 r F1

r F2 r F4 r FV


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil.

Postup početní - lze rozdělit do tří kroků : 1) Každou sílu Fi rozložíme na složky Fix a Fiy ve směru os x a y.

y

Fix = Fi ⋅ cos φ i Fiy = Fi ⋅ sin φ i

r F1y

r F1

φ

2) Prostým součtem x-ových a y-nových složek všech sil dostaneme x-ovou a y-novou složku výslednice. FVx = ∑ Fix = ∑ Fi ⋅ cos φ i i

i

i

i

r F1x

x

FVy = ∑ Fiy = ∑ Fi ⋅ sin φ i 3) Z jednotlivých složek výslednice FV vypočteme její velikost a směr. 2

FV = FVx + FVy φ = arctan

FVy FVx

2

y

r FVy

r FV φ r FVx

x


Statika


Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel). 1) rozklad jednotlivých sil

0) zadání [º]

Fix=Fi·cos φi [N]

Fiy=Fi·sin φi [N]

16

22º

→ 14,84

5,99

2

7

135º

→ -4,95

4,95

3

5

-112º

→ -1,87

-4,64

4

10

-17º

→ 9,56

-2,92

11º

↓ ← 17,58

↓ 3,38

i y r φ2 F2 r F3 φ3

r F1 r φ4 F4

φ1

F [N]

1 r FV x

Σ

17,9

φi

3) výslednice výslednice FV = 17,9 N, úhel φV = 11º

2) součet složek jednotlivých sil

úhel φ se měří od osy x kladně proti směru hodinových ručiček, záporně ve směru hodinových ručiček


Statika


Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel). Poznámka : Při vyhodnocování funkce arctan je třeba brát v úvahu nejen samotnou hodnotu argumentu, ale také podílem jakých čísel argument vznikl. Např. arctan(1/2)=arctan(0.5)=26.6º, ale arctan(-1/-2)=arctan(0.5)=-153.4º. Podobně arctan(-1/2)=arctan(-0.5)=-26.6º, ale arctan(1/-2)=arctan(-0.5)=153.4º. Obecně pro funkci je-li : - jmenovatel j<0 + jmenovatel j>0 arctan platí :

+ čitatel č>0 Funkce arctan je obvykle naprogramována tak, že dává výsledek v intervalu 〈-90º,+90º〉. Je-li jmenovatel kladný, je tento výsledek správný. Je-li jmenovatel záporný, je třeba výsledek posunout o 180º.

výsledek ∈ 〈90,180º〉

výsledek ∈ 〈0,90º〉

č>0

č>0 j<0

- čitatel č<0

výsledek ∈ 〈-180º,-90º〉

j<0 č<0

j>0

výsledek ∈ 〈-90º,0〉

j>0 č<0


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Silová dvojice.

Silová dvojice jsou dvě síly stejně velké, stejného směru ale opačné orientace. Je zřejmé, že výslednice těchto dvou sil je nulová. Výsledný silový účinek silové dvojice je nulový. Síly však mají rovněž momentový účinek. M = F ⋅ (r + a ) − F ⋅ a = F ⋅ r Silový účinek silové dvojice je nulový. Momentový účinek silové dvojice je dán součinem velikosti síly a ramene síly.

r F

r F

r M a

momentový bod

Rameno je kolmá vzdálenost mezi nositelkami obou sil. Výsledný vzorec neobsahuje rozměr a, určující polohu silové dvojice vůči momentovému bodu. Momentový účinek tedy nezávisí na poloze momentového bodu. Lze tedy definovat důležitou vlastnost silové dvojice : Silová dvojice je volná v rovině.

To znamená, že silová dvojice má stejné účinky, ať se nachází kdekoliv v rovině. Její silový účinek je nulový, momentový účinek je k libovolnému bodu stejný.


Statika

Operace se silami, skládání a rozklad sil Přeložení síly mimo nositelku.

Zavedení pojmu „silová dvojice“ nám umožňuje překládat sílu mimo její nositelku. Konstatovali jsme, že síla je volná na své nositelce. To jest posuneme-li sílu kamkoliv po její nositelce, účinky síly se nezmění. Nelze jednoduše překládat sílu mimo její nositelku, aniž by se její účinky změnily. Lze však sílu přeložit mimo její nositelku, doplníme-li její momentový účinek.

r F r

r F

rovnocenné nahrazení

M = F⋅ r


Obsah přednášky :

úvod do mechaniky, členění mechaniky síla - základní veličina statiky účinky síly, operace se silami

Seznámit studenty se základními zákonitostmi statiky

Recommend Documents