Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

MATEMATIKA

LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER

X IBROHIM AJI KUSUMA

Pendekatan Saintik

Nama Kelas

Buku Guru

No. Absen

Matematika Lembar Kerja Siswa Program Linier Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP – Standar Isi 2006) Berdasarkan Pendekatan Saintifik

untuk Siswa SMK Kelas X

Penulis

: Ibrohim Aji Kusuma

Cover Designer

: Ibrohim Aji Kusuma

Pembimbing

: Drs. Sahid, M.Sc.

Penilai

: Nur Insani, M.Sc. Nur Hadi Waryanto, S.Si., M.Eng. Anis Widiyanti, S.Si.

Ukuran buku: 21 x 29,7 cm (A4) LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis Dengan menggunakan Microsoft Office Word 2013

Standar Kompetensi • Menyelesaikan masalah program linier. Kompetensi Dasar • Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. • Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal). • Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier. • Menerapkan garis selidik.

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. • Siswa mampu menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal). • Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan titik pojok. • Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik.

i

Kata Pengantar Lembar Kegiatan Siswa (LKS) berbasis Pendekatan Saintifik pada materi Program Linier ini dapat dijadikan sebagai acuan dalam pembelajaran bagi siswa Sekolah Menengah kejuruan (SMK) dan Madrasah Aliyah (MA) kelas X. LKS ini dikemas untuk bisa digunakan sebagai lembar kegiatan agar siswa dapat menemukan konsep-konsep pada materi Program Linier. Agar mudah dipelajari, LKS ini disajikan secara sistematis dengan pendekatan saintifik dan tampilan yang menarik. LKS ini menitikberatkan pada penemuan konsep-konsep dengan kemampuan manipulasi aljabar dan penerapannya dalam persoalan-persoalan nyata di kehidupan sehari-hari. Selain itu, LKS ini memfokuskan pada aktivitas siswa dalam mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Masalah diberikan kepada siswa bertujuan untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa. Aktivitas kelas bertujuan agar siswa denga aktivitas yang dilakukannya dapat memahami konsep dan mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Latihan bertujuan agar siswa dapat berlatih soal-soal dari mengenai konsep yang sedang dipelajari. Rangkuman berisi ringkasan dari materi yang sedang dipelajari dan masih ada berbagi fitur yang terdapat pada LKS ini. Penyusun meyadari bahwa LKS ini masih memiiki kekurangan. Namun, peyusun berharap LKS ini dapat bermanfaat bagi siswa SMK yang menggunakannya. Kritik dan saran sangat diharapkan guna mengembangkan LKS ini ke arah yang lebih baik lagi.

Penyusun,

Ibrohim Aji Kusuma

ii

FITUR LKS

Pembuka Pertemuan Pembuka pertemuan berisi topik pembelajaran, kompetensi dasar, indikator, tujuan pembelajaran, petunjuk pembelajaran dan identitas pembelajaran.

Judul Sub-Bab Judul sub-bab menerangkan tentang sub-bab yang akan dipelajari dalam materi program linier.

D. NILAI OPTIMUM

Masalah Masalah digunakan sebagai sarana untuk memfasilitasi peserta didik dalam proses menemukan konsep.

iii

Ingat Kembali Ingat kembali berfungsi sebagai apersepsi yang membantu peserta didik untuk mengingat materi yang pernah dipelajari.

Catatan Catatan bertujuan untuk membantu peserta didik untuk memahami materi yang dipelajari.

Aktivitas Kelas Aktivitas kelas menuntun peserta didik agar dapat memahami penyelesaian masalah yang disajikan dan mengkonstruksi sendiri pengetahuannya melalui langkah-langkah yang runtut dan rinci. Latihan Soal Latihan soal bertujuan untuk memberikan penguatan tentang materi yang telah dipelajari serta menambah pemahaman peserta didik tentang materi tersebut.

iv

Ringkasan Ringkasan berisi kesimpulan umum yang didapat setelah menyelesaikan semua masalah yang disajikan pada LKS

Uji Kompetensi Uji kompetensi merupakan bagian yang berisi soal terkait kompetensi pengetahuan materi yang telah dipelajari, hal ini berguna sebagai evaluasi pembelajaran harian.

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i KATA PENGANTAR ..................................................................................................... ii FITUR LKS ..................................................................................................................iii DAFTAR ISI..................................................................................................................vi PETA KONSEP ............................................................................................................vii LKS 1 A PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................................ 1 LKS 2 B SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER ............................................................. 13 LKS 3 C MODEL MATEMATIKA ................................................................................ 23 LKS 4 D NILAI OPTIMUM ......................................................................................... 53 LKS 5 E GARIS SELIDIK ............................................................................................. 83 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 94

vi

`

Peta Konsep Program Linier

Prasyarat:

Model Matematika

Sistem Pertidaksamaan Linier

Nilai Optimum: Titik Pojok

Nilai Optimum: Garis Selidik

MOTIVASI Dalam menjalankan aktivitas produksi dalam suatu perusahaan pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, sarana produksi dan sebagainya. Seorang pengusaha harus mengkombinasikan semua faktor-faktor tersebut untuk menghasilkan suatu produk yang berkualitas namun paling menguntungkan bagi perusahaannya. Pemahaman yang baik tentang konsep program linier sangat membantunya untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut.

vii

viii

Program Linier | Matematika SMK

Pertidaksamaan Linier A

Kompetensi Dasar • Membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.

Indikator • Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier.

Petunjuk Pembelajaran • Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. • Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. • Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar.

1


A. PERTIDAKSAMAAN LINIER Pada semester sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier baik yang menggunakan satu variabel maupun dua variabel. Kali ini akan kita bahas kembali mengenai pertidaksamaan linier secara lebih detail dengan ditambah grafik daerah penyelesaiannya. Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus, lowogan pekerjaan yang mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas kecepatan maksimal kendaraan pada jalan raya dan sebagainya. Perhatikan masalah berikut! Masalah 1.1 Harga motor Andi lebih mahal daripada harga motor Doni, tetapi lebih murah dibanding harga motor Roni. Harga motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni. Harga motor Budi lebih murah daripada harga motor Andi. Anton berencana mengurutkan harga motor Andi, Budi, Doni, dan Roni berdasarkan harga motor yang lebih mahal. Dapatkah kamu membantu Anton dalam mengatasi permasalahan tersebut? Alternatif Penyelesaian: Pertama, kamu dapat memisalkan variabel-variabelnya sebagai berikut: Harga motor Andi = A Harga motor Doni = D Harga motor Budi = B Harga motor Roni = R Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut. a. Motor Andi lebih mahal dibanding motor Doni  A > D atau D < A b. Motor Andi lebih murah daripada motor Roni  A < R atau R > A c. Motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni  B > D atau D < B d. Motor Budi lebih murah daripada motor Andi  B < A atau A > B Dengan mengamati pola di atas, yaitu A > D, R > A, B > D, dan A > B atau D < A, A < R, D < B dan B < A Urutan harga motor mereka dari termahal ke termurah adalah R > A > B > D. Jadi, kesimpulannya adalah motor Roni lebih mahal dibanding motor Andi, motor Andi lebih mahal daripada motor Budi dan motor Budi lebih mahal dibanding motor Doni. Diskusi 1 Diskusikan masalah urutan berikut menggunakan caramu sendiri! Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung banyak ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih daripada banyak ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap? 2


Kamu pasti sudah sering menjumpai soal di atas atau sejenisnya. Itulah yang disebut dengan pertidaksamaan linier. Kerjakanlah aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier! Aktivitas Kelas 1.1. Pertidaksamaan linier satu variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 1.1

Perhatikan gambar berikut ini!

Tulislah panjang, lebar dan tinggi dari kerangka balok tersebut! Panjang = 𝑦 + 8 cm Lebar

= 𝑦 cm

Tinggi

= 𝑦 − 5 cm

Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Berapa nilai 𝑦?

Jika panjang kawat yang digunakan untuk membuat kerangka balok tidak lebih dari 156 cm, tentukan nilai 𝑦 dan gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis bilangan! Jawab: 4𝑝 + 4𝑙 + 4𝑡 ≤ 156 4(𝑦 + 8) + 4(𝑦) + 4(𝑦 − 5) ≤ 156 4𝑦 + 32 + 4𝑦 + 4𝑦 − 20 ≤ 156 12𝑦 + 12 ≤ 156 12𝑦 ≤ 144 𝑦 ≤ 12

3


Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari balok tersebut? Jawab: Karena 𝑦 ≤ 12 maka, 𝑝 ≤ 12 + 8 → 𝑝 ≤ 20 𝑙 ≤ 12 𝑡 ≤ 12 − 5 → 𝑡 ≤ 7

Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri! Jawab: 𝑦 ≤ 12, panjang maksimum adalah 20 cm lebar maksimum adalah 12 cm tinggi maksimum adalah 7 cm

Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Ingat Kembali

Catatan Pertidaksamaan linier yang mengandung satu variabel yang tidak diketahui disebut dengan pertidaksamaan linier satu variabel. Sedangkan pertidaksamaan linier dua variabel adalah pertidaksamaan linier yang mengandung dua variabel yang tidak diketahui.

Pertidaksamaan Linier adalah kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung " <, >, ≤, ≥ ".

4


Aktivitas Kelas 1.2. Pertidaksamaan linier satu variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 1.2

Perhatikan gambar berikut ini!

Tulislah panjang dan lebar persegi panjang tersebut! Panjang = 𝑥 + 8 cm Lebar

= 𝑥 − 2 cm

Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Berapa nilai 𝑥?

Jika keliling persegi panjang tidak lebih dari 50 cm, tentukan nilai 𝑥 dan gambarlah himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis bilangan! Jawab: 2 (𝑝 + 𝑙) ≤ 50 2𝑝 + 2𝑙 ≤ 50 2(𝑥 + 7) + 2(𝑥 − 2) ≤ 50 2𝑥 + 14 + 2𝑥 − 4 ≤ 50 4𝑥 + 10 ≤ 50 4𝑥 ≤ 40 𝑥 ≤ 10

5


Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari persegi panjang tersebut? Jawab: Karena 𝑥 ≤ 10 maka, 𝑝 ≤ 10 + 8 → 𝑝 ≤ 17 𝑙 ≤ 10 − 2 → 𝑙 ≤ 8

Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri! Jawab: 𝑥 ≤ 10, panjang maksimum adalah 17 cm lebar maksimum adalah 8 cm

Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2. Apa yang kamu ketahui mengenai pertidaksamaan linier? Ada berapa variabel dalam aktivitas-aktivitas tersebut? Nah, karena hanya ada satu variabel, maka disebut dengan pertidaksamaan linier satu variabel. Mudah kan? Bagaimana jika pertidaksamaan liner memiliki dua variabel? Ya, kalian tahu itu disebut dengan pertidaksamaan linier dua variabel. Mari kita lanjutkan tentang pertidaksamaan linier dua variabel.

6


Masalah 1.2 Sandi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang dimiliknya sebesar Rp 13.000,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang sehingga Sandi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup ia beli dengan uang yang dimilikinya. Berdasarkan daftar harga, jika Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku tulis maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan Sandi tersebut? Alternatif Penyelesaian: Dengan memisalkan harga satu pensil = x rupiah dan harga satu buku = y rupiah, sehingga jika Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku dan mendapatkan uang kembalian, maka permasalahan di atas dapat dimodelkan menjadi 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000. Kamu dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variable tersebut menggunakan metode grafik, caranya adalah sebagai berikut. 1. Gambarlah terlebih dahulu garis 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. a. Ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000 menjadi 2𝑥 + 5𝑦 = 13.000. b. Carilah titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat kartesius, kamu akan mendapatkan titik (6.500,0) dan (0,2.600). Hubungkan kedua titik tersebut seperti pada gambar di bawah ini.

Ingat Kembali

𝑥

0

2.600

0 𝑦 6.500 Sehingga, titik potongnya adalah (0, 6.500) dan (2.600, 0)

Titik potong dengan sumbu x, syaratnya adalah 𝑦 = 0. Titik potong dengan sumbu 𝑦, syaratnya adalah 𝑥 = 0.

2600

6500

7


2. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Gunakan beberapa titik uji

untuk menentukannya. Daerah yang diarsir itulah daerah penyelesaiannya

Catatan

Subtitusikan titik (0,0) pada pertidaksamaan 2𝑥 + 5𝑦 < 13.000.

Akan lebih mudah jika kamu menggunakan 0,0 sebagai titik uji. Cobalah!

2(0) + 5(0) < 13.000 0 < 13.000 (Benar)

Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua varibel tersebut seperti terdapat pada gambar dibawah ini.

2600

6500

Kerjakanlah aktivitas kelas 1.3 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier dua variabel!

8


Aktivitas Kelas 1.3. Pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 1.3 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rp?

Rp?

Gambar 1.5

Di sebuah toko, Ani membeli permen dan lampu seperti gambar disamping. Ani membayar dengan menyerahkan uang Rp 6.000,00 dan masih mendapatkan kembalian. Jumlah permen yang dibeli Ani adalah 6 Jumlah lampu yang dibeli Ani adalah 2

Menanya Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa harga masing-masing permen dan lampu? Mencoba Buatlah bentuk pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalahan tersebut! Misal x = harga permen dan y = harga lampu Model matematikanya menjadi: 6𝑥 + 2𝑦 < 6.000 Gambarlah daerah penyelesaiannya! 6𝑥 + 2𝑦 = 6.000 X

0

1.000

Y

3.000 0

9


Jika harga satu permen adalah Rp500,00. Tentukan harga maksimum dari lampu tersebut! Jawab: 6𝑥 + 2𝑦 < 6.000 6 (500) + 2𝑦 < 6.000 3000 + 2𝑦 < 6.000 2𝑦 < 3.000 𝑦 < 1.500

Jadi, harga maksimum lampu adalah Rp 1.500,00

Mengasosiasi Dari aktivitas mencoba yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan katakatamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier! Jawab: Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel menggunakan metode grafik. a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan linear dua variabel. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua variabel tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel. e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Latihan 1 Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! 1. 4 − 2𝑥 > 5𝑥 − 3. 2. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12. 10


Ringkasan 1. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dengan cara menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen. 2. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, dapat dilakukan menggunakan metode grafik. 3. Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel menggunakan metode grafik. a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan linear dua variabel. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua variabel tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel. e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel tersebut.

11


12


Sistem Pertidaksamaan Linier B

Kompetensi Dasar • Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.

Indikator • Sistem pertidaksamaan linier dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel.


13


B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier satu variable dan pertidaksamaan linier dua variabel. Kali ini kita akan membahas sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel serta menggambar daerah penyelesaiannya di bidang koordinat kartesius. Perlu diingat, sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linier dua variabel. Sebelum kamu mempelajari materi program linier, kamu perlu untuk memahami sistem pertidaksamaan linier dua variable terlebih dahulu. Masalah 2.1 Perhatikan tabel ongkos perbaikan kendaraan berikut ini! Jenis Motor Ongkos maksimal (Rp) Bengkel Motor Matic (Rp) Motor Biasa (Rp) A 100.000 50.000 150.000 B 50.000 100.000 200.000 Tentukanlah grafik daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut!

Alternatif penyelesaian: Pertama, misalkan 𝑥 = banyaknya motor matik dan 𝑦 = banyaknya motor biasa. Dari tabel di atas kamu dapat mengubah ongkos perbaikan kendaraan menjadi sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut. 100.000𝑥 + 50.000𝑦 ≤ 150.000 dan 50.000𝑥 + 100.000𝑦 ≤ 200.000, atau dapat disederhanakan menjadi 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4. Kedua, ubahlah pertidaksamaan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 3 menjadi 2𝑥 + 𝑦 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 menjadi 𝑥 + 2𝑦 = 4. Selanjutnya, carilah titik potong kedua pertidaksamaan tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y. 2𝑥 + 𝑦 = 3,

𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑥

0

3 2

𝑥

0

4

𝑦

3

0

𝑦

2

0

3

(2 , 0) dan (0,3) dari 2𝑥 + 𝑦 = 3 serta titik (4,0) dan (0,2) dari 𝑥 + 2𝑦 = 4.

14


Ketiga, gambarlah grafik dari sistem pertidaksamaan linier menggunakan titik potong yang kamu dapatkan.

Keempat, dengan menggunakan beberapa titik uji, tentukanlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel sebagai berikut.

Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variable ditunjukkan seperti pada gambar di atas. Kerjakanlah aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas kelas 2.2 supaya kamu lebih memahami bagaimana menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.

15


Aktivitas Kelas 2.1. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 2.1 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Komposisi pembuatan jus tersebut disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut. Jenis Jus Buah Apel (Kg) Strawberry (Kg)

Jus Aberry 1 2

Jus Apstra 2 1

Persediaan (Kg) 12 12

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 1 : 2. Persediaan Apel sebanyak 12 kg. Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 2 : 1. Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

16


Mencoba Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra. Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 2𝑥 + 𝑦 ≤ 12 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan! Jawab: 𝑥 + 2𝑦 = 12 X

0

12

Y

6

0

2𝑥 + 𝑦 = 12 X

0

6

Y

12

0

17


Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel! Jawab: Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut.

Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

18


Aktivitas Kelas 2.2. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 2.2 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jenis Tablet Vitamin B C

I (unit) 3 2

II (unit) 2 3

Kebutuhan (unit) 18 17

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

19


Mencoba Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II. Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi: 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan? Jawab: 3𝑥 + 2𝑦 = 18 X

0

6

Y

9

0

2𝑥 + 3𝑦 = 17 X

0

Y

17 3

17 2 0

20


Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel! Jawab: Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas 2.2. Apa yang kamu ketahui tentang sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Latihan 2 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut dengan baik dan benar. 1. 4𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 2. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 12; 𝑥 + 5𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

21


Ringkasan  



Sistem pertidaksamaan linear adalah himpunan pertidaksamaan linear yang saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-bilangan real. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel dengan koefisien bilangan real. Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut.

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut! a. b. c. d. e.

𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. 6𝑥 + 5𝑦 ≥ 30; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

22


Model Matematika C

Kompetensi Dasar • Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).

Indikator • Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. • Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya.

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu membuat model matematika dari soal cerita (kalimat verbal) dan menentukan grafik daerah penyelesaiannya.


23


C. MODEL MATEMATIKA Setelah kalian memahami cara menentukan daerah penyeleseian dari sistem pertidaksamaan linier, sekarang kita akan memasuki materi utama yaitu program linier. Sering kita jumpai banyak sekali permasalahan sehari-hari dalam bidang industri, perdagangan, pertanian dan sejenisnya yang memiliki hubungan yang sangat erat dengan sistem pertidaksamaan linier. Kita dapat menggunakan penerapan dari sistem pertidaksamaan linier untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Penerapan dari penyelesaian sistem pertidaksamaan linier inilah yang disebut dengan program linier.

Definisi Program linier adalah suatu program untuk menyeleseikan permasalahan yang batasan-batasannya berbentuk pertidaksamaan linier.

Sebagai contoh permasalahan program linier adalah, dalam produksi, suatu perusahan dengan jumlah bahan yang terbatas dapat menentukan variasi produk apa saja yang akan diproduksi untuk menghasilkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Batasan-batasan yang terdapat dalam permasalahan program linier diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam bentuk bahasa matematika yang disebut model matematika. Dengan model matematika, kita dapat menentukan penyelesaian dengan mencari nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier tersebut. Oleh karena itu, pada LKS ini kamu akan belajar membuat model matematika dari permasalahan program linier. Agar lebih memahami cara membuat model matematika, perhatikan masalah 3.1 kemudian kerjakanlah aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8! Masalah 3.1 Suatu mesin produksi A menghasilkan 100 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih dari 2.600 unit barang. Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam. Misalkan x = jam kerja mesin A dan y = jam kerja mesin B. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

24


Alternatif penyelesaian: Persoalan di atas dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut. Jenis Mesin

Jam kerja (jam)

Produksi (unit)

Mesin A

x

100x

Mesin B

y

150y

≤ 20

≤ 2.600

Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, kamu harus merubah data tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan, sebagaimana berikut. 

 

Kapasitas produksi barang tidak lebih dari 2.600 unit sementara Mesin A dan mesin B masing-masing dapat memproduksi barang sebesar 100 unit dan 150 unit, maka dapat dinyatakan menjadi 100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600. … . (1) Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam, maka dapat dinyatakan menjadi 𝑥 + 𝑦 ≤ 20. … . (2) x dan y menyatakan banyaknya mesin, sehingga nilainya tidak mungkin negatif, maka dapat dinyatakan menjadi 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. … . (3)

Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di atas adalah: 100𝑥 + 150𝑦 ≤ 2.600; 𝑥 + 𝑦 ≤ 20; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

25


Aktivitas Kelas 3.1. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.1 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pedagang sepatu berencana membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu wanita. Tiap sepatu terdiri atas 2 merk, merk A dan merk B. Harga beli sepatu ditampilkan pada tabel berikut. Ia akan membelanjakan uangnya paling banyak Rp2.000.000,00 untuk sepatu merk A dan Rp1.800.000,00 untuk sepatu merk B. Merk A B

Harga (Rp) Modal (Rp) Sepatu Pria Sepatu Wanita 200.000 160.000 2.000.000 150.000 200.000 1.800.000

Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk A adalah 200.000 : 160.000 Modal untuk membeli sepatu merk A paling banyak adalah 2.000.000 Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk B adalah 150.000 : 200.000 Modal untuk membeli sepatu merk B paling banyak adalah 1.800.000 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

26


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Harga sepatu pria dan y = Harga sepatu wanita Model matematikanya adalah: 200.000x + 160.000y ≤ 2.000.000 150.000x + 200.000y ≤ 1.800.000 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 200.000x + 160.000y = 2.000.000 X

0

10

Y

12,5 0

150.000x + 200.000y = 1.800.000 X

0

12

Y

9

0

27


Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Jawab: 

Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya.


28


Aktivitas Kelas 3.2. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.2 Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis mesin diesel, mesin A dan mesin B. Dalam membuat mesin A dibutuhkan 1 kg besi super dan 2 kg besi biasa. Sedangkan untuk membuat mesin B dibutuhkan 2 kg besi super dan 1 kg besi biasa seperti yang tertera pada tabel berikut. Persediaan masing-masing besi super dan besi biasa adalah 12 Kg dan 8 Kg. Jenis Besi (Kg)

Jenis Mesin

A B Super 1 2 Biasa 2 1 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan:

Persediaan (kg) 12 8

Perbandingan besi super yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah 1 : 2. Persediaan besi super sebesar 12 kg Perbandingan besi biasa yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah 2 : 1. Persediaan besi biasa sebesar 8 kg Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

29


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Mesin A dan y = Mesin B Model matematikanya adalah: x + 2y ≤ 12 2x + y ≤ 8 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model0.matematika yang kamu dapatkan! Jawab: x + 2y = 12 X

0

12

Y

6

0

2x + y = 8 X

0

4

Y

8

0

30





31


Aktivitas Kelas 3.3. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.3 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Sekolah akan menerima kiriman buku dari Pemkot Semarang sebanyak 900 buku. Buku yang nantinya diterima memiliki ukuran yang sama. Buku-buku tersebut rencananya akan ditaruh di rak buku besar dan rak buku kecil. Satu rak buku besar mampu menampung buku sebanyak 300 buku, sedangkan rak buku kecil mampu menampung buku sebanyak 100 buku. Perpustakaan tidak akan memuat lebih dari 5 rak buku besar dan kecil karena alasan kenyamanan pengunjung perpustakaan. Jenis Rak Buku (buah) Rak (buah)

Rak Besar 300 x

Rak Kecil 100 y

Kapasitas 900 5

Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300 : 100. Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil. Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y. Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

32


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil Model matematikanya adalah: 300x + 100y ≤ 900 x+y≤5 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 300x + 100y = 900 X

0

3

Y

9

0

x+y=5 X

0

5

Y

5

0

33





34


Aktivitas Kelas 3.4. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.4 Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan 2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Jenis Campuran Bahan cat Persediaan (kg) (kg) A B Merah 1 2 8 Biru 2 2 10 Hijau 3 2 12 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 1 : 2. Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 2 : 2. Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 3 : 2. Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

35


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Campuran A dan y = Campuran B Model matematikanya adalah: x + 2y ≤ 8

3x + 2y ≤ 12

2x + 2y ≤ 10 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: x + 2y = 8 X

0

8

Y

4

0

3x + 2y = 12 X

0

4

Y

6

0

2x + 2y = 10 X

0

5

Y

5

0

36





37


Aktivitas Kelas 3.5. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.5 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jenis Tablet Vitamin B C

I (unit) 3 2

II (unit) 2 3


Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

38


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II. Model matematikanya adalah: 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 3𝑥 + 2𝑦 = 18 X

0

6

Y

9

0

2𝑥 + 3𝑦 = 17 X

0

Y

17 3

17 2 0

39





40


Aktivitas Kelas 3.6. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.6 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt dengan jumlah yang diangkut minimum 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan colt 8 karung. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Jenis Jumlah kendaraan kendaraan (unit)

Kapasitas muatan (karung)

Truk

x

14x

Colt

y

8y

≥ 25

≥ 224

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan permisalan jumlah Truk dan Colt adalah x : y. Jumlah minimal kendaraan yang dibutuhkan 25 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 14x : 8y. Jumlah minimal barang yang perlu diangkut 224 karung. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

41


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = jumlah truk dan y = jumlah colt. Model matematikanya adalah: 𝑥 + 𝑦 ≥ 25 14𝑥 + 8𝑦 ≥ 224 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 𝑥 + 𝑦 = 25 X

0

25

Y

25

0

14𝑥 + 8𝑦 = 224 X

0

16

Y

28

0

42





43


Aktivitas Kelas 3.7. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.7 Mengamati Seorang peternak mengahadapi suatu masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan N dan M diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan N mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan M mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Jenis Makanan N (satuan)

M (satuan)

Kebutuhan (satuan)

A

3

1

27

B

1

1

21

C

1

2

30

Nutrisi

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan nutrisi A pada makanan N dan M adalah 3 : 1. Kandungan vitamin A yang dibutuhkan paling sedikit 27 satuan. Perbandingan nutrisi B pada makanan N dan M adalah 1 : 1. Kandungan vitamin B yang dibutuhkan paling sedikit 21 satuan. Perbandingan nutrisi C pada makanan N dan M adalah 1 : 2. Kandungan vitamin C yang dibutuhkan paling sedikit 30 satuan. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

44


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = makanan N dan y = makanan M Model matematikanya adalah: 3𝑥 + 𝑦 ≥ 27 𝑥 + 𝑦 ≥ 21 𝑥 + 2𝑦 ≥ 30 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 3𝑥 + 𝑦 = 27 X

0

9

Y

27

0

𝑥 + 𝑦 = 21 X

0

21

Y

21

0

𝑥 + 2𝑦 = 30 X

0

30

Y

15

0

45





46


Aktivitas Kelas 3.8. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.8 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya membutuhkan paling sedikit 12 kg unsur A, 1 kg unsur B dan 40 gram unsur C. Bila di pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 0,6 kg unsur A, 0,02 kg unsur B, dan 0,001 kg unsur C. Sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya mengandung 0,2 kg unsur A, 0,05 unsur B, dan 0,005 kg unsur C. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Jenis Makanan Unsur I (gram)

Kebutuhan (gram) II (gram)

A

600

200

12000

B

20

50

1000

C

1

5

40

Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan unsur A pada makanan I dan II adalah 600 : 200. Kandungan unsur A yang dibutuhkan paling sedikit 12000 gram. Perbandingan unsur B pada makanan I dan II adalah 20 : 50. Kandungan unsur B yang dibutuhkan paling sedikit 1000 gram. Perbandingan unsur C pada makanan I dan II adalah 1 : 5. Kandungan unsur C yang dibutuhkan paling sedikit 40 gram. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut?

47


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = makanan I dan y = makanan II Model matematikanya adalah: 600𝑥 + 200𝑦 ≥ 12000 20𝑥 + 50𝑦 ≥ 1000 𝑥 + 5𝑦 ≥ 40 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! Jawab: 600𝑥 + 200𝑦 = 12000 X

0

20

Y

60

0

20𝑥 + 50𝑦 = 1000 X

0

50

Y

20

0

𝑥 + 5𝑦 = 40 X

0

40

Y

8

0

48





49


Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8. Apa yang kamu ketahui mengenai model matematika? Bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika?

Latihan 3 Buatlah model matematika dan grafik daerah penyelesaian dari permasalahan berikut. 1. Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel sebesar Rp10.000,00 per Kg dan pisang sebesar Rp4.000,00 per Kg. Modal yang tersedia tidak lebih dari Rp2.500.000,00. Sedangkan muatan gerobaknya tidak lebih dari 400 Kg. 2. Suatu mesin produksi A menghasilkan 120 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih dari 3.300 unit barang, sedangkan jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 25 jam.

Ringkasan 



Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari permasalahan program linier. a. Buatlah model matematika/ sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan program linier b. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda peridaksamaan (<, >, ≤, ≥) menjadi sama dengan “=”. c. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. d. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. e. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. f. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut.

50


Kerjakanlah soal-soal berikut ini! 1. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp1.600.000,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 8 lembar papan. Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masingmasing adalah Rp80.000,00 dan Rp40.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya! 2. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 300 kendaraan yang terdiri dari sedan dan bus. Jika luas rata-rata Sedan 5 m2 dan Bus 15 m2, sedangkan luas tempat parkir adalah 3.750 m2. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya!

51


52


Nilai Optimum D

Kompetensi Dasar • Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.

Indikator • Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal • Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok.

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui titik pojok.


53


D. NILAI OPTIMUM Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari secara rinci tentang daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dan menentukan model matematika dari permasalahan program linier. Hal ini merupakan syarat mutlak dalam penentuan nilai optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier. Menentukan nilai optimum fungsi objektif secara grafik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode titik pojok dan metode garis selidik. Sekarang, kamu akan belajar menentukan nilai optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier menggunakan metode titik pojok.

Definisi Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier.

Masalah 4.1 Seorang pedagang membeli melon dan jeruk dari seorang petani dengan harga Rp 10.000,00 untuk 1 kg melon dan Rp 4.000,00 untuk 1 kg jeruk. Modal yang dimiliki pedagang tersebut tidak lebih dari Rp 2.500.000,00. Buah tersebut akan diletakkan di toko yang hanya dapat menampung tidak lebih dari 400 Kg. Jika keuntungan yang didapatkan dari menjual melon dan jeruk masing-masing adalah Rp2.000,00 tiap kg dan Rp1.000,00 tiap kg, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut? Alternatif penyelesaian: Pertama, ingatlah kembali tentang permodelan matematika yang sudah kamu pelajari. Misal x = banyaknya melon dan y = banyaknya jeruk, permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel sebagai berikut. Jumlah pembelian (kg) Harga (Rp) Keuntungan (Rp)

Melon (kg) x 10.000 2.000

Jeruk (kg) y 4.000 1.000

Kapasitas/Jumlah 400 2.500.000

Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah: 𝑥 + 𝑦 ≤ 400 10.000𝑥 + 4.000𝑦 ≤ 2.500.000 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Kedua, fungsi objektif dari permasalahan di atas dapat ditentukan dari keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut, sehingga fungsi objektif dari permasalahan diatas adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦.

54


Ketiga, tentukanlah daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut seperti pada gambar di bawah ini. Keempat, carilah titik-titik pojok dari daerah penyelesaian permasalahan tersebut. Titik pojok: 𝐴(0,400); 𝐵(0,0); 𝐶(250,0). Karena titik pojok D merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 400 dan 10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 400 dan 10.000𝑥 + 4000𝑦 = 2.500.000 10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 400000 → 10.000𝑥 + 10.000𝑦 = 4.000.000 { 10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000 →10.000𝑥 + 4.000𝑦 = 2.500.000 6.000𝑦 = 1.500.000 𝑦 = 250 Subtitusikan 𝑦 = 250 ke 𝑥 = 150. Jadi 𝐷(150,250).

persamaan

garis

𝑥 + 𝑦 = 400.

Kamu

dapatkan

Kelima, subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.000𝑥 + 1.000𝑦. 𝐴(0,400) 2.000(0) + 1.000(400) 𝐵(0,0) 2.000(0) + 1.000(0) 𝐶(250,0) 2.000(250) + 1.000(0) 𝐷(150,250) 2.000(150) + 1.000(250) Nilai optimum (maksimum) dari permasalahan tersebut adalah 𝐷(150,250).

Optimum 400.000 0 500.000 550.000 Rp 550.000,00 pada titik

Jadi, keuntungan maksimum dari permasalahan tersebut adalah sebesar Rp 550.000,00 dari penjualan 150 kg melon dan 250 kg jeruk. Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Kerjakanlah aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8 supaya kamu lebih memahami mengenai fungsi objektif dan langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan program linier.

55


Aktivitas Kelas 4.1. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.1 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut: Jenis Minuman Jumlah pembelian (buah) Harga Beli (Rp) Minuman A 𝑥 600 Minuman B 𝑦 300

Harga Jual (Rp) 750 400

Seorang pedagang memiliki uang sebesar RP60.000,00 dan ia bermaksud membeli kedua jenis minuman kotak tersebut, tetapi ia tidak mampu membeli lebih dari 150 buah karena keterbatasan tempat yang dimilikinya. Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan: Perbandingan harga beli minuman A dan minuman B adalah 600 : 300 Modal yang dimiliki sebesar 60.000 Perbandingan permisalan jumlah minuman A dan minuman B yang dibeli adalah x : y Kapasitas tempatnya adalah 150 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

56


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Banyaknya minuman A dan y = Banyaknya minuman B Model matematikanya adalah: 600𝑥 + 300𝑦 ≤ 60.000, 𝑥 + 𝑦 ≤ 150, 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) =150𝑥 +100𝑦 Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 X

0

100

Y

200

0

𝑥 + 𝑦 = 150 X

0

150

Y

150

0

57


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝑈(0,150); 𝑊(100,0); 𝑍(0,0); Karena titik pojok V merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 150 dan 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 150 dan 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 600𝑥 + 300𝑦 = 15000 →300𝑥 + 300𝑦 = 45.000 { 600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 →600𝑥 + 300𝑦 = 60.000 −300𝑥 = −15.000 𝑥 = 50 Subtitusikan 𝑥 = 50 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 150. Kamu dapatkan 𝑦 = 100. Jadi 𝑉(50,100). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 150𝑥 + 100𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 150𝑥 + 100𝑦. Optimum 𝑈(0,150) 150(0) + 100(150) 15.000 𝑊(100,0) 150(100) + 100(0) 15.000 𝑍(0,0) 150(0) + 100(0) 0 𝑉(50,100) 150(50) + 100(100) 17.500 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 17.500,00 pada titik V(50,100). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.


58


Aktivitas Kelas 4.2. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.2 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut: Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Jus Aberry dibuat dari 1 buah apel dan 2 buah strawberry sedangkan jus Apstra dibuat dari 2 buah apel dan 1 buah strawberry. Keuntungan dari penjualan Jus Aberry dan Jus Apstra masing-masing adalah Rp 500,00 dan Rp 400,00. Jika disajikan dalam bentuk tabel, maka menjadi seperti berikut. Jenis Jus Buah Jus Aberry Jus Apstra Apel (Kg) 1 2 Strawberry (Kg) 2 1 Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan:

Persediaan (Kg) 12 12

Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 1 : 2. Persediaan Apel sebanyak 12 kg. Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 2 : 1. Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

59


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra. Model matematikanya adalah: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 12, 2𝑥 + 𝑦 ≤ 12, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 400𝑦 Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 𝑥 + 2𝑦 = 12 X

0

12

Y

6

0

2𝑥 + 𝑦 = 12 X

0

6

Y

12

0

60


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝐴(0,6); C(6,0); D(0,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 12 dan 2𝑥 + 𝑦 = 12 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 2𝑥 + 𝑦 = 12 dan 𝑥 + 12𝑦 = 12 2𝑥 + 𝑦 = 12 → 4𝑥 + 2𝑦 = 24 { 𝑥 + 2𝑦 = 12 → 𝑥 + 2𝑦 = 12 3𝑥 = 12 𝑥=4 Subtitusikan 𝑥 = 4 ke persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 = 12. Kamu dapatkan 𝑦 = 4. Jadi 𝐵(4,4). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 400𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 500𝑥 + 400𝑦. Optimum 𝐴(0,6) 500(0) + 400(6) 2.400 𝐵(4,4) 500(4) + 400(4) 3.600 𝐶(6,0) 500(6) + 400(0) 3.000 𝐷(0,0) 500(0) + 400(0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.600,00 pada titik B(4,4). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.


61


Aktivitas Kelas 4.3. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.3 Mengamati Perhatikan tabel berikut! Jenis Rak Daya tampung buku (buah) Banyaknya rak (buah) Harga (Rp)

Kapasitas

Rak Besar

Rak Kecil

300

100

900

x

y

5

750.000

500.000

Tentukan banyaknya rak buku besar dan rak buku kecil dengan biaya seminimum mungkin namun buku-buku tetap dapat tertampung semua. Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300: 100. Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil. Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y. Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

62


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil. Model matematikanya adalah: 300𝑥 + 100𝑦 ≤ 900 𝑥 + 𝑦 ≤ 5 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. Fungsi Objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 750.000𝑥 + 500.000𝑦.

Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 300𝑥 + 100𝑦 = 900 X

0

3

Y

9

0

𝑥 + 𝑦 = 5 X

0

5

Y

5

0

63


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝑀(0,5); O(3,0); P(0,0); Karena titik pojok N merupakan titik potong antara persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 5 dan 300𝑥 + 100𝑦 = 900 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 𝑥 + 𝑦 = 5 dan 300𝑥 + 100𝑦 = 900 300𝑥 + 100𝑦 = 900 → 300𝑥 + 100𝑦 = 900 { 𝑥+ 𝑦=5 → 100𝑥 + 100𝑦 = 500 200𝑥 = 400 𝑥 =2 Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 5. Kamu dapatkan 𝑦 = 3. Jadi N(2,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 750.000𝑥 + 500.000𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 750.000𝑥 + 500.000𝑦. Optimum 𝑀(0,5) 750.000(0) + 500.000(5) 2.500.000 𝑁(2,3) 750.000(2) + 500.000(3) 3.000.000 𝑂(3,0) 750.000(3) + 500.000(0) 2.250.000 𝑃(0,0) 750.000(0) + 500.000(0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.000,00 pada titik N(2,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

64


Aktivitas Kelas 4.4. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.4 Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan 2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Siswa mampu menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Setelah dijual keuntungan penjualan campuran A dan B tersebut masing-masing adalah Rp30.000,00 dan Rp50.000,00 Jenis Campuran Persediaan (lt) A B Merah (lt) 1 2 8 Biru (lt) 2 2 10 Hijau (lt) 3 2 12 Keuntungan (Rp) 30.000 50.000 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 1 : 2. Bahan cat

Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 2 : 2. Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 3 : 2. Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12.

Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

65


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misal x = Campuran A dan y = Campuran B Model matematikanya adalah: 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8,

3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

2𝑥 + 2𝑦 ≤ 10

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0.

Fungsi Objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦.

Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 𝑥 + 2𝑦 = 8 X

0

8

Y

4

0

3𝑥 + 2𝑦 = 12 X

0

4

Y

6

0

2𝑥 + 2𝑦 = 10 X

0

5

Y

5

0

66


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝑄(0,4); S(3,0); T(0,0); Karena titik pojok R merupakan titik potong antara 3 persamaan garis, cukup pilih 2 yaitu 𝑥 + 2𝑦 = 8 dan 2𝑥 + 2𝑦 = 10 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 𝑥 + 2𝑦 = 8 dan 2𝑥 + 2𝑦 = 10 𝑥 + 2𝑦 = 8 { 2𝑥 + 2𝑦 = 10 −𝑥 = −2 𝑥=2 Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 𝑥 + 2𝑦 = 8. Kamu dapatkan 𝑦 = 3. Jadi R(2,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 30.000𝑥 + 50.000𝑦. Optimum 𝑄(0,4) 30.000(0) + 50.000(4) 200.000 𝑅(2,3) 30.000(2) + 50.000(3) 210.000 𝑆(3,0) 30.000(3) + 50.000(0) 90.000 𝑇(0,0) 30.000(0) + 50.000(0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 210.000,00 pada titik R(2,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

67


Aktivitas Kelas 4.5. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.5 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jika harga tablet pertama Rp 1.500,00 per biji dan harga tablet kedua Rp 1.200,00 per biji. Tentukan pengeluaran paling minimum untuk memenuhi kebutuhan Rinto! Jenis Tablet Vitamin B C

I (unit) 3 2

II (unit) 2 3


Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C minimum sebanyak 17 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

68


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II. Model matematikanya adalah: 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 17 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.500𝑥 + 1.200𝑦. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 3𝑥 + 2𝑦 = 18 X

0

6

Y

9

0

2𝑥 + 3𝑦 = 17 X

0

Y

17 3

17 2 0

69


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝐵(0,9); D(8,5 ,0); Karena titik pojok C merupakan titik potong antara persamaan garis 3𝑥 + 2𝑦 = 18 dan 2𝑥 + 3𝑦 = 17 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 3𝑥 + 2𝑦 = 18 dan 2𝑥 + 3𝑦 = 17 𝑥3𝑥 + 2𝑦 = 18 → 9𝑥 + 6𝑦 = 54 { 2𝑥 + 3𝑦 = 17 → 4𝑥 + 6𝑦 = 34 5𝑥 = 20 𝑥=4 Subtitusikan 𝑥 = 4 ke persamaan garis 3𝑥 + 2𝑦 = 18. Kamu dapatkan 𝑦 = 3. Jadi C(4,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.500𝑥 + 1.200𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.500𝑥 + 1.200𝑦. Optimum 𝐵(0,9) 1.500(0) + 1.200(9) 10.800 𝐶(4,3) 1.500(4) + 1.200(3) 9.600 𝐷(8,5 ,0) 1.500(8,5) + 1.200(0) 12.750 Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 9.600,00 pada titik C(4,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

70


Aktivitas Kelas 4.6. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.6 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi seperti tertera pada tabel berikut Makanan Unsur A (gram) B (gram) Protein 15 10 Lemak 2 4 Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein dan 4 gram lemak. Apabila harga makanan A Rp 15.000 per kg dan makanan B Rp 20.000 per 400 gram. Tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya! Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 15 : 10. Kebutuhan protein paling sedikit 15 gram. Perbandingan kandungan lemak pada makanan A dan makanan B adalah 2 : 4. Kebutuhan lemak paling sedikit 4 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

71


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B Model matematikanya adalah: 15𝑥 + 10𝑦 ≥ 15 2𝑥 + 4𝑦 ≥ 4 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 20.000𝑦. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 15𝑥 + 10𝑦 = 15 X

0

1

Y

1,5

0

2𝑥 + 4𝑦 = 4 X

0

2

Y

1

0

72


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝐴(0, 1,5); C(2 ,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 15𝑥 + 10𝑦 = 15 dan 2𝑥 + 4𝑦 = 4 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 15𝑥 + 10𝑦 = 15 dan 2𝑥 + 4𝑦 = 4 15𝑥 + 10𝑦 = 15 → 30𝑥 + 20𝑦 = 30 { 2𝑥 + 4𝑦 = 4 → 10𝑥 + 20𝑦 = 20 20𝑥 = 10 𝑥 = 0,5 Subtitusikan 𝑥 = 0,5 ke persamaan garis 2𝑥 + 4𝑦 = 4. Kamu dapatkan 𝑦 = 0,75. Jadi B(0,5, 0,75). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 12.000𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 12.000𝑦. Optimum 𝐴(0, 1,5) 15.000(0) + 12.000(1,5) 18.000 𝐵(0,5, 0,75) 15.000(0,5) + 12.000(0,75) 16.500 𝐶(2 ,0) 15.000(2) + 12.000(0) 30.000 Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 16.500,00 pada titik B(0,5, 0,75). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.

Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 73


Aktivitas Kelas 4.7. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.7 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan paling sedikit 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tablet pertama Rp 800,00 per butir dan tablet kedua Rp 400,00 per butir. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Jenis Tablet Vitamin I (unit) II (unit) A 5 10 B 3 1 Tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari!


Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin A pada tablet I dan tablet II adalah 5 : 10. Kebutuhan vitamin A minimum sebanyak 20 unit. Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 1. Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 5 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

74


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II Model matematikanya adalah: 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 20 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 800𝑥 + 400𝑦. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 5𝑥 + 10𝑦 = 20 X

0

4

Y

2

0

3𝑥 + 𝑦 = 5 X

0

Y

5

5 3 0

75


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝐴(0,5); C(4 ,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 5𝑥 + 10𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 = 5 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 5𝑥 + 10𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 = 5 5𝑥 + 10𝑦 = 20 → 5𝑥 + 10𝑦 = 20 { 3𝑥 + 10𝑦 = 50 → 30𝑥 + 10𝑦 = 50 −25𝑥 = −30 𝑥 = 1,2 Subtitusikan 𝑥 = 1,2 ke persamaan garis 5𝑥 + 10𝑦 = 20. Kamu dapatkan 𝑦 = 1,4. Jadi B(1,2, 1,4). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 800𝑥 + 400𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 800𝑥 + 400𝑦. Optimum 𝐴(0, 5) 800(0) + 400(5) 2.000 𝐵(1,2, 1,4) 800(1,2) + 400(1,4) 1.520 𝐶(4,0) 800(4) + 400(0) 3.200 Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 1.520,00 pada titik B(1,2, 1,4). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.


76


Aktivitas Kelas 4.8. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Aktivitas Kelas 4.8 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan sedikitnya 32 unit karbohidrat dan 12 unit protein. Makanan A mengandung 8 unit karbohidrat, dan 16 unit protein untuk setiap satu kg. Makanan B mengandung 4 unit karbohidrat dan 4 unit protein untuk setiap satu kg. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Nutrisi Karbohidrat Protein

Jenis makanan A (unit) B (unit) 8 16 4 4


Berapa jumlah masing-masing makanan yang harus dibeli setiap minggu agar kebutuhan terpenuhi tetapi dengan biaya seminimum mungkin apabila satu kg makanan A harganya Rp 34.000,00 dan satu kg makanan B harganya Rp 16.000,00. Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan karbohidrat pada makanan A dan makanan B adalah 8 : 16. Kebutuhan karbohidrat minimum sebanyak 32 unit. Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 4 : 4. Kebutuhan protein minimum sebanyak 12 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

77


Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B Model matematikanya adalah: 8𝑥 + 16𝑦 ≥ 32 4𝑥 + 4𝑦 ≥ 12 dan 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Fungsi objektifnya adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) = 34.000𝑥 + 16.000𝑦. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Jawab: 8𝑥 + 16𝑦 = 32 X

0

4

Y

2

0

4𝑥 + 4𝑦 = 12 X

0

3

Y

3

0

78


Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Titik pojok: 𝐴(0,3); C(4 ,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 8𝑥 + 16𝑦 = 32 dan 4𝑥 + 4𝑦 = 12 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 8𝑥 + 16𝑦 = 32 dan 4𝑥 + 4𝑦 = 12 8𝑥 + 16𝑦 = 32 → 8𝑥 + 16𝑦 = 32 { 4𝑥 + 4𝑦 = 1200 → 16𝑥 + 16𝑦 = 48 −8𝑥 = −16 𝑥 =2 Subtitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan garis 4𝑥 + 4𝑦 = 12. Kamu dapatkan 𝑦 = 1. Jadi B(2, 1). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 34.000𝑥 + 16.000𝑦. Titik pojok (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 34.000𝑥 + 16.000𝑦. Optimum 𝐴(0, 3) 34.000(0) + 16.000(3) 48.000 𝐵(2, 1) 34.000(2) + 16.000(1) 84.000 𝐶(4,0) 34.000(4) + 16.000(0) 106.000 Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 48.000,00 pada titik A(0, 3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

79


Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8. Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dan nilai optimum? Bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum atau nilai maksimum/minimum dari permasalahan program linier?

Latihan 4 Kerjakanlah permasalahan berikut dengan baik dan benar. 1. Dengan persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat dua model pakaian jadi. Model 1 memerlukan kain 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual setiap model 1 memperoleh untung Rp 15.000,00 dan model 2 memperoleh untung Rp 10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah ... 2. Suatu perusahaan ingin mengangkut barang-barang yang sedikitnya terdiri dari 480 kardus dan 352 peti dengan menyewa dua jenis kendaraan yaitu mobil bak kijang dan mobil truk kecil. Sewa mobil untuk mobil bak kijang Rp 200.000,00 dan untuk mobil truk kecil Rp 300.000,00. Jika mobil bak kijang dapat mengangkut sampai 40 kardus dan 16 peti dan untuk truk kecil dapat mengangkut sampai 30 kardus dan 32 peti, tentukan banyaknya mobil bak kijang dan truk kecil yang harus disewa agar biaya pengankutan dapat ditekan sekecil mungkin. Tentukan pula besar biasa minimum tersebut.

Ringkasan 



Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier. Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan.

80


Kerjakanlah soal-soal berikut ini! 1. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan satu unit barang B dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin M2 selama 4 menit, Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dari 8 jam, Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp250,00 dan tiap unit barang B adalah Rp500,00. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh industri tersebut. 2. Seorang peternak ayam setiap harinya membutuhkan dua jenis makanan ayam. Makanan jenis I dalam 1 Kg mengadung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan makanan jenis II dalam 1 Kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Jumlah makanan jenis I dan jenis II setiap harinya masing – masing minimal 5 Kg. Harga tiap kilogram makanan jenis I adalah Rp1.000,00 dan makanan jenis II adalah Rp2.000,00. Buatlah model matematika untuk permasalahan program linier tersebut, agar biaya makanan jenis I dan jenis II setiap harinya semurah-murahnya. Berapa kilogram kedua jenis makanan yang diperlukan ayam setiap harinya agar pengeluaran biaya sekecil mungkin? Tentukan besarnya biaya minimum setiap harinya.

81


82


Garis Selidik E

Kompetensi Dasar • Menerapkan garis selidik

Indikator • Garis selidik digambarkan dari fungsi objektif • Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik

Tujuan Pembelajaran • Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui garis selidik

Petunjuk Pembelajaran • Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. • Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. • Kerjakanlah LKS denga baik dan benar.

83


E. GARIS SELIDIK Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan nilai optimum dari permasalahan program liner menggunakan metode titik pojok. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari metode lain dalam menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier yaitu metode garis selidik.

Definisi Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau minimum.

Masalah 5.1 Perhatikan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut!

Fungsi objektif: 3𝑥 + 2𝑦

2𝑥 + 𝑦 = 12

Gambar 5.1

𝑥 + 2𝑦 = 18

Tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian di atas! Alternatif penyelesaian: Pertama, Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang diketahui: 3𝑥 + 2𝑦 Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut: 3𝑥 + 2𝑦 = 𝑘. Kedua, pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. Misal 𝑘 = 6 sehingga diperoleh garis 3𝑥 + 2𝑦 = 6. Ketiga, Lukislah garis selidik 3𝑥 + 2𝑦 = 6.

84


Keempat, tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal yaitu titik 𝐵(2,8) dan O(0,0). (Gunakan eliminasi dan subtitusi yang sudah kamu ketahui untuk mendapatkan titik B) Kelima, lukislah garis yang sejajar dengan 3𝑥 + 2𝑦 = 6 dan melalui titik paling jauh B(2,8) dan titik paling dekat O(0,0) seperti pada gambar dibawah ini.

3𝑥 + 2𝑦 = 0 3𝑥 + 2𝑦 = 6

2𝑥 + 𝑦 = 12

3𝑥 + 2𝑦 = 22

𝑥 + 2𝑦 = 18

Keenam, titik terjauh 𝐵(2,8) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 maksimum. Dan titik terdekat 𝑂(0,0) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 minimum. Nilai maksimum fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.2 + 2.8 = 22. Sedangkan nilai minimum fungsi objektif 3𝑥 + 2𝑦 adalah 3.0 + 2.0 = 0. Apa yang kamu ketahui mengenai garis selidik pada masalah 5.1 di atas? Bagaimana menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) menggunakan metode garis selidik? Kerjakan aktivitas 5.1 supaya kamu lebih memahami langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari permasalahan program linier menggunakan metode garis selidik.

85


Aktivitas Kelas 5.1. Garis Selidik. Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik. Aktivitas Kelas 5.1 Mengamati

Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping! Tentukan: Titik terjauh = G(3, 2) Titik terdekat = E(0,0) Garis selidik  x + 2y = 2

Fungsi objektif: 𝑥 + 2𝑦

𝑥 + 3𝑦 ≤ 9 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

.

86


Mencoba Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut! Jawab:

Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Jawab: Nilai maksimum: 3 + 2(2) = 0 Nilai Minimum: 0 + 2(0) = 0

87


Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut: a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui. Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘. b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. c. Lukislah garis selidik tersebut. d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal. e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik paling jauh dan titik paling dekat. f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas!

88


Aktivitas Kelas 5.2. Garis Selidik. Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik. Aktivitas Kelas 5.1 Mengamati

Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping! Tentukan: Titik terdekat = B(2,2) Garis selidik  5x + 7y = 35

Fungsi objektif: 5𝑥 + 7𝑦

𝑥+𝑦≥4

𝑥 + 2𝑦 ≥ 6

Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Jawab: Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?

.

89


Mencoba Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut! Jawab:

Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Jawab: Nilai minimum: 5(2) + 7(2) = 24

90


Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik! Jawab: Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut: a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui. Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘. b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. c. Lukislah garis selidik tersebut. d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal. e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik paling jauh dan titik paling dekat. f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.


91


Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 5.1 dan aktivitas kelas 5.2. Apa yang kamu ketahui mengenai garis selidik? Bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik?

Latihan 5 Tentukan nilai optimum dari permasalahan berikut menggunakan metode garis selidik! 1. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 6𝑦 dengan syarat: 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 60, 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 48, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ... 2. Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 3𝑦 dengan syarat: 𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 9, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 adalah ...

Ringkasan 



Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, dimana a, b > 0, k ∈ 𝑅. Garis selidik berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau minimum. Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 pada suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut: a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui. Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘. b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. c. Lukislah garis selidik tersebut. d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal. e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik paling jauh dan titik paling dekat. f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum.

92


Tentukan nilai optimum permasalahan berikut menggunakan garis selidik! a. b. c. d.

𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 5𝑦 ≤ 10; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, dengan fungsi objektif 100x + 150y 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12; 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 1000x + 3500y 𝑥 + 2𝑦 − 10 ≤ 0; 𝑥 + 𝑦 − 7 ≤ 0; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 30x + 70y 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 + 𝑦 ≥ 6; 𝑥 ≥ 0: 𝑦 ≥ 0. dengan fungsi objektif 20x + 15y

93


DAFTAR PUSTAKA

Heryadi, Dedi. (2007). Modul MATEMATIKA untuk SMK Kelas X. Jakarta: Yudhistira. Herynugroho, dkk. (2009). BILINGUAL MATHEMATICS For Senior High School Year XII Science Program. Jakarta: Yudhistira Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. (2014). Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester I. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Kuntarti, Sulistiyo, S. Kurnianingsih. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Penerbit Erlangga. Sukino. (2007). MATEMATIKA Jilid 3A untuk SMK Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga. Wirodikromo, Sartono. (2002). MATEMATIKA JILID 5 Untuk SMA Kelas XII SEMESTER 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

94

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k

Recommend Documents