Segédanyagok a Mikroökonómia (N_ak05) címő tárgyhoz

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM NEMZETKÖZI ÉS ELMÉLETI GAZDASÁGTAN TANSZÉK

Mikroökonómia segédletek 2010/2011. tanév, ıszi félév

Segédanyagok a Mikroökonómia (N_ak05) címő tárgyhoz 2010/2011. tanév, ıszi félév

Összeállította: Farkas Péter

Gyır, 2010. szeptember 13.

Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.

Frissítve: 2010.09.13. 1/51 oldal

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

Mikroökonómia segédletek

NEMZETKÖZI ÉS ELMÉLETI GAZDASÁGTAN TANSZÉK

2010/2011. tanév, ıszi félév

Frissítések: Ssz. 1.

Dátum 2010.09.13


Frissítés tartalma Az anyag elsı változatának közzététele






Kedves hallgatók! Kérem figyelmesen olvassák el ezt a bevezetıt, mielıtt hozzáfognak a feladatok megoldásához! Ezek az anyagok azzal a céllal készültek, hogy a Mikroökonómia c. tárgy szemináriumi foglalkozásain megbeszélt anyaghoz további segítséget nyújtsanak az Önök számára. Az órákon hivatkozott, otthoni feldolgozásra ajánlott feladatokat is itt tudják majd megtekinteni. Az anyagot folyamatosan bıvíteni fogom, a frissítések idıpontját a dokumentum második oldala fogja tartalmazni. Kérem Önöket, hogy kövessék figyelemmel az új részek megjelenését. A javasolt feladatok megoldását nem minden esetben fogom közölni, ezek kiszámítása „házi feladat”. Az eredményeket csoporttársaikkal meg tudják beszélni, s ha egyforma jön ki sokuknak, valószínőleg jól számoltak. Fontos tudni, hogy az anyag elsı változata a 2008/2009-es tanévben készült. Ha esetleg valamilyen, a dolgozatok konkrét összetételére, idıpontokra, stb. vonatkozó utalás a szövegben benne maradt volna, akkor azokat hagyják figyelmen kívül! A 2010/2011. tanévben ebben az anyagban ilyen jellegő információk (szándékom szerint legalábbis már) nem szerepelnek. Pár fontos gondolat a tantárgy tanulásával kapcsolatban: − Az anyag gyorsan bıvül, mélyül, így a röpdolgozatok elıtti kapkodásban nem lehet megfelelıen elsajátítani az ismereteket! Haladjanak folyamatosan együtt az elıadások és a szemináriumok anyagával, nézzék át otthon a tanultakat! − Használják ki az oktatók konzultációs lehetıségét! Kereshetik az elıadásokat tartó, valamint a szemináriumot vezetı kollégákat is! Nézzék meg a honlapokon a konzultációs idıpontokat, s éljenek a lehetıséggel! Sokkal praktikusabb még a dolgozat elıtt megkérdezni a nem teljesen világos részeket, mint utólag próbálni egyegy pontért kuncsorogni! − Tilos az anyagot magolni! Ez teljesen értelmetlen, nagyon rövid ideig tart csak az így megszerzett tudás! Ennél a tárgynál az anyagot megérteni kell! S bár ez elsı körben hosszabb ideig is tarthat a magolásnál, viszont többet nem kell újra megtanulni, csekély ismétléssel szinten tartható az ismeretanyag! − Minden egyes függvényt értelmezzenek! Gondolják végig, hogy milyen változó szerepel a tengelyeken, milyen mértékegységgel tudjuk ezeket mérni. Gondolják végig azt is, hogy a változók közötti kapcsolatnak mi a normális iránya (azonos irányú kapcsolat – pozitív meredekségő függvénygörbe, negatív irányú kapcsolat – negatív lejtéső függvénygöbe, stb.) Ezek nagyon sokat segítenek az anyag megértésében. − Ha az ábrához függvény (vagy a függvényhez ábra) is kapcsolódik, nézzék meg, hogy következetes-e a dolog: a függvény tényleg ilyen alakot vesz-e fel, illetve az adott függvénygörbe tényleg leírható-e egy ilyen típusú egyenlettel. − Mindig gondolja végig, hogy mit is kérdez az adott feladat! Írja le magának, hogy mi a kívánt végeredmény! Egy szám? Egy képlet? Egy ábra? Gondolja meg, hogy tud-e valamilyen tartományt megadni a végeredményre (ha pl. tudja, hogy 0 és 500 Ft/db közötti ár lehet csak a megoldás, akkor egy 670 Ft/db-os végeredményt nem fog elfogadni és tovább fog keresgélni, hogy hol hibázott a számítás közben). Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




− Értelmezzék a kapott eredményeket! Ha megoldottak egy feladatot MINDIG írják le a megoldást kerek, értelmes mondatokban! Ez nagyban segít abban, hogy meg tudja fogalmazni, hogy mi is az, amit kiszámolt. − És végül talán a legfontosabb: a józan ész. Nagyon sokszor az egyszerő logikával ugyanúgy megoldható egy feladat, mint bonyolultabb módon. Ehhez viszont át kell látni az adott feladat, illetve témakört! Munkájukhoz sok sikert kívánok! Gyır, 2010. szeptember 13. Farkas Péter






Az elsı és második tanulmányi héthez kapcsolódó anyagok 1. feladat: a deriválás használata Határozza meg a következı függvények deriváltjának alakját! Ezután vegyen ki pár függvény-értéket (x értéket), majd adja meg a függvény hozzá tartozó értékét, illetve azt, hogy ezekben a pontokban milyen meredek a függvény (mekkora a derivált nagysága). f ( x) = 12 ; f ( x) = 12 ⋅ x ; f ( x) = 12 ⋅ x ; f ( x) = 12 ⋅ x 2

2

2

1 2

2

f ( x) = 8 ⋅ x 3 ; f ( x) = 10 + 8 ⋅ x 3 ; f ( x) = 10 ⋅ x + 8 ⋅ x 3 1

f ( x) = 20 ⋅ x − 5 ⋅ x 4 ; f ( x) = 50 ⋅ x − 0,25 ⋅ x 2

A szemináriumi foglalkozásokon megbeszéltek szerint a konstans függvény és a lineáris függvény esetén a derivált értéke ábrázolva is nagyon könnyen követhetı! Az ilyen típusú függvényeket ábrázolják is és a már ismert módon mutassák meg grafikusan is a meredekséget (rajzolják be)! Technikai megjegyzés Az elızı feladatban lévı hasznossági függvényeket az MS Word program egyenletszerkesztıjével készítettem. A gazdálkodási képzésben nagyon gyakran fognak képletekkel találkozni. Alapvetı elvárás, hogy amikor egy beadandó anyagot (majd késıbb TDK-dolgozatot, illetve szakdolgozatot) készítenek, akkor igényes külalakkal készítsék el azt. Még mindig sokszor találkozni a hagyományos szövegszerkesztıi alkalmazásokból felépített törtekkel (elsı sor: számláló, második sorban aláhúzásból kialakított törtvonal, harmadik sor nevezı). Ez egyrészt nagyon csúnya, másrészt eléggé igénytelen is. Ezért kérem Önöket, hogy nézzék meg a Word beszúrás menüpontját, abban találni fognak egy „Objektum” kapcsológombot, s az ezután feltőnı menüben pedig megtalálják az Egyenletszerkesztı, vagy Equation néven elérhetı alkalmazást. Ennek használata nagyon egyszerő, pár perc alatt elsajátítható, s egy kis gyakorlás után egész gyorsan fel lehet vele építeni bármilyen bonyolult képletet is. n

Például álljon itt egy képlet statisztikából: σ =

∑ (x − x ) i =1

2

i

. n −1 Ezt például képtelenség lenne máshogy elkészíteni, ennek az eszköznek a segítségével viszont semmilyen gondot nem okozott az megszerkesztése.

2. feladat. A teljes haszon függvény használata. Zoltán szeret kiállításra járni. Jelölje x1 a havonta meglátogatott kiállítások számát. Ebben az esetben Zoltán hasznosságát (ezt U-val jelöljük) a megtekintett kiállítások függvényében a következı összefüggéssel írhatjuk le: U = 1,5 ⋅ x1 − 0,25 ⋅ x12 a) Ábrázolja Zoltán hasznossági függvényét! b) Adja meg Zoltán határhaszon függvényének egyenletét! c) Ábrázolja Zoltán határhaszon görbéjét! d) Határozza meg, hogy hány kiállítást fog megnézni Zoltán egy héten, ha szeretné maximalizálni az ebbıl fakadó összhasznát?





3. feladat: a feltételes szélsıérték megkeresése Egy fogyasztó 8.000 Ft-ot szán két termékre, x-re és y-ra. Az x termék ára 80 Ft, az y termék ára 40 Ft. A fogyasztó számára a hasznosságot leíró függvény alakja a következı: U ( x, y ) = x ⋅ y . a) Írja fel a fogyasztó lehetıségeit korlátozó egyenletet a szemináriumi órán látott módon! b) Adja meg az elızı egyenletet rendezett függvényalakban (y-ra rendezve) c) Határozza meg, hogy mekkora lesz a fogyasztó vásárlása x és y termékbıl, ha célja a maximális haszon elérése! d) Mekkora az elérhetı maximális haszon nagysága? e) Mutassa meg, hogy ha bármely tetszıleges másik, a fogyasztó jövedelmébıl elérhetı kombinációt választott volna, akkor az kisebb hasznosságot jelentene számára, mint a d) pontban adott megoldás! Miután ezt a példát megoldotta, változtassa a fogyasztó jövedelmét, valamint a termékek árait. Ezzel tetszıleges számú példát tud saját maga számára, gyakorlásra elıállítani. Csináljon is meg jópárat ezek közül!

4. feladat: a termelési lehetıségek határát megadó egyenletek A következıkben három vállalat termelési lehetıségek határait leíró összefüggést lát. Mindegyik vállalat ugyanazokat a termékeket (x és y) 1. vállalat: y = 100 − 2 ⋅ x 2. vállalat: y = 200 − 2 x 2 3. vállalat: y = 80 − 0,5 x

a) A megadott egyenletek alapján határozza meg, hogy maximálisan mennyit tudnak termelni az egyes vállalatok a két termékbıl, ha csak az egyik, vagy csak a másikra használják fel összes erıforrásukat! (Mekkora a függvények tengelymetszeteinek értéke?) b) Mindegyik függvénynek határozza meg néhány pontját! c) Vizsgálja meg, hogyan alakul az x termék költsége y-ban kifejezve! (Ugyanakkora mennyiséggel növelve x termelését, mennyivel csökken y termelése? Mindig ugyanannyival? Gyorsulva? Lassulva?) Értelmezze a függvények meredekségének alakulását! d) A megadott egyenletek alapján ábrázolja a három esetet!

5. feladat: a keresleti függvény kezelése Egy termék piacán a vevık 800 Ft-os ár esetén már egyetlen darabot sem vásárolnak. Tudjuk, hogy ha az ár 10 forinttal csökken, akkor a kereslet mindig 50 darabbal emelkedik meg. a) Határozza meg, hogy maximálisan mennyit igényelnének a vevık a termékbıl? (Mennyi lenne a kereslet, ha ingyen juthatnának a termékhez?) b) Ábrázolja a szöveges információk alapján a keresleti görbét! c) Adja meg a keresleti görbe egyenletét mindkét formában: Q-ra rendezett (normál) és P-re rendezett (inverz) alakban





d) A keresleti függvény egyenlete alapján határozza meg a kereslet nagyságát a P=750 Ft/db, P=700 Ft/db, P=400 Ft/db, P=300 Ft/db és P=120 Ft/db esetére! e) A keresleti függvény egyenlete alapján határozza meg, hogy milyen ár esetén lesz a kereslet nagysága 100 db, 200 db, 400 db, illetve 600 db! (Vegye észre, hogy az elızı pontban feltett kérdésre a keresleti görbe Q-ra, erre a kérdésre pedig a keresleti görbe P-re rendezett alakjából kiindulva kapható meg egyszerőbben a válasz).

6. feladat: a kínálati függvény kezelése Egy vállalat 1500 Ft-os ár esetén hajlandó a piacra lépni, ennél olcsóbb ár esetén nem jelenik meg kínálattal. Minden egy forintos áremelkedés esetén 100 db-bal emeli az eladni szándékozott mennyiséget. a) Ábrázolja a kínálati függvényt! b) Írja fel a kínálati függvény egyenletét! c) Határozza meg a kínálatot a következı árak esetén: P=1400 Ft/db, P=1500 Ft/db, P=1600 Ft/db, P=2000 Ft/db, P=3842 Ft/db d) Milyen árak esetén lesz a kínálat S=100 db, S=1500 db, S=10000 db, S=20000 db?

7. feladat: a Marshall-kereszt használata Egy termék piacát a következı függvények írják le: Q = 0,1 ⋅ P − 100 és Q = 2400 − 0,3P a) Döntse el, hogy a két egyenlet közül melyik adja meg a keresleti és melyik a kínálati függvény! Állítását támassza alá! b) Határozza meg, hogy mennyi terméket igényelnek a fogyasztók, ha ingyen juthatnak hozzá a termékekhez! c) Mekkora az az ár, ahol a fogyasztók már nem vásárolnak terméket? d) Milyen ár alatt nem lépnek ki a cégek a piacra? e) Ábrázolja az elızıeket bemutató összefüggéseket a megszokott koordinátarendszerben! Jelölje a tengelyeken lévı változókat, mértékegységeket! Jelölje a tengelymetszéspontok koordinátáit. f) Határozza meg, hogy milyen ár mellett kerül egyensúlyba a piac! g) Mekkora termékmennyiség cserél gazdát az egyensúlyi ár esetén? h) Igaz-e, hogy ha a piac egyensúlyban van, akkor senki sincs a piacon, aki szeretne terméket venni, de az adott áron végül mégsem vásárol? i) Vizsgálja meg a piac helyzetét P=5000 Ft/db és P = 6800 Ft/db-os áron! Mutassa meg az egyensúlytalanság mértékén az ábrán! (Jelölje be a kereslet és a kínálat eltérését ezeknél az árszinteknél!) Kedves hallgatók! Most már bonyolódnak a példák, a megoldáson túl most már az értelmezésre is nagyon oda kell figyelni! Hiszen csak akkor fogják tudni megoldani jól a feladatokat, ha pontosan tudják, hogy mit miért csinálnak! A szemináriumokon sokszor elmondtam, most ismét kiemelem, hogy nem megtanulnunk kell a megoldást, hanem megértenünk!!! Ehhez sok gyakorlásra van szükség! A feladatgyőjteménybıl oldják meg az összes olyan feladatot, amelyeknek a témakörét már megnéztük a szemináriumon! Fontos, hogy ne csak a számítási és ábrázolási példákat nézzék meg, hanem a feladatgyőjtemény elméleti kérdéseit is nézzék végig, s keressék is meg ezekhez a megoldást! Gyır, 2008. szeptember 18.





8. feladat: hasznossági függvények alakjának vizsgálata Döntse el, hogy a következı egyenletek közül melyek írhatják le az elıadáson látott helyzetet a jóléti hasznossági függvény kapcsán! (Elıször gondolja végig, hogy milyen a „normális” kapcsolat a függvény változói és a függvény által felvett érték (a hasznosság nagysága között!) Döntéséhez vizsgálja meg, hogyan változik a fogyasztó hasznossága (jóléte) ha a két változó (fogyasztás és munkaidı) mennyisége változik. Magyarázza meg, hogy miért viselkedik, vagy miért nem viselkedik normálisan az adott függvény! a) U = 6 X − L2 b) U = − X 2 + 6 L c) U = 6 X + L2 d) U = X 2 + 6 L 5X e) U = 2 6L 6 L2 f) U = 5X

9. feladat: hasznossági függvények értelmezése, használata Egy fogyasztó jóléti hasznossági függvényét az U = 4 ⋅ X − L3 egyenlet adja meg. A fogyasztó órabére 1920 Ft, az átlagos fogyasztás értéke 40 Ft-ba kerül. a) Írja fel a fogyasztó korlátját megadó költségvetési egyenest X(L) alakban! b) Az a)-ban meghatározott összefüggés alapján adja meg az alábbi táblázat második oszlopának értékeit! c) Adja meg a hasznossági függvény alapján a hasznosság értékét a táblázatban látható X-L kombinációkhoz! L X U Számítás: 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




9,5 10,0 d) A táblázat kitöltése után döntse el, hogy melyik lenne a fogyasztó számár az optimális munkaidı? (Mennyit dolgozzon, hogy a legnagyobb jóléti szintet érhesse el?) e) Írja fel a d)-pontban meghatározott optimális helyzetet tartalmazó jóléti közömbösségi görbe egyenletét a szemináriumon látott módon! f) Ábrázolja az adott közömbösségi görbét! Ehhez határozza meg a görbe több pontját, s ezeket rajzolja is be az ábrába! g) A d) pont nem precíz megoldási módot használt. Hiszen mindössze annyit kellett tennie, hogy a c)-ben elkészített táblázat adatai közül megnézte, melyik esetben legnagyobb a hasznosság (U) értéke. Tudjuk, hogy ha bonyolult a példa, ha nem kerek a megoldás, vagy ha nincs mód az összes elképzelhetı lehetıség kiszámítására, más megoldást kellene találnunk. Határozza meg az optimális fogyasztói döntést a szemináriumon látott módon! Ehhez fejezze ki az L értékét az a)-ban meghatározott költségvetési korlátból az L értékét, helyettesítse be a hasznossági függvénybe, majd keresse meg ennek a függvénynek a szélsı értékét! Ha jól dolgozott, ugyanakkora munkamennyiség (L) esetén kell a legnagyobb hasznosságot kapnia, mint amit a táblázatból le is tudott olvasni. (Ennek a feladatnak az értelme az, hogy lássa: mit is keresünk valójában. A dolgozatban – valószínőleg – nem lesz táblázat, hanem pusztán az egyenletek alapján kell majd tudnia megadni a végeredményt. A táblázat abban segít, hogy lássa mit is keresünk – egy kicsit precízebb módszerrel.)

10. feladat: hasznossági függvények alakjának vizsgálata Mutassa meg, hogy az U = X − L hasznossági függvény miért nem ad olyan „kellemes” optimumot az elıbb látott problématípusnál, mint a korábban látottak? Segítség a megoldáshoz: ábrázolja a közömbösségi görbék alakját, s nézze meg, hogy a jólét maximális értéke hogy érhetı el adott költségvetési korlát esetén!

11. feladat: Marshall-kereszt Ez a feladat a korábbi órákon látott egyszerő piacmodell gyakorlására szolgál. Ha szükséges, vegye elı a korábbi jegyzeteit az ismeretek felfrissítésére! Az egyetem egyik büféjében a büfét üzemeltetı vállalkozó 100 Ft-os ár alatt nem hajlandó melegszendvicset árulni. Magasabb ár mellett nagyobb mennyiséget hajlandó készíteni, minden 10 Ft-os áremelkedés esetén 50 db-bal hajlandó növelni napi termelését. Az egyetemisták körében készített felmérés alapján senki sem adna 460 Ft-nál többet egy melegszendvicsért. Ismert még az is, hogy ha az ár 10 Ft-tal emelkedik, 25 db-bal kevesebb szendvics fogyna egy adott napon. a) Rajzolja meg a melegszendvics piacát bemutató Marshall-keresztet! Rajzolja be a keresleti és kínálati függvényt, a függvényeket és tengelyeket lássa el a megfelelı jelölésekkel! (A változók, mértékegységek jelölése nem maradhat el!) b) Határozza meg a tengelymetszéspontok nagyságát! c) Kerek, egész mondatokban fogalmazza meg a tengelymetszéspontok jelentését! d) Írja fel a keresleti függvény Q(P) típusú egyenletét! e) Írja fel a keresleti függvény P(Q) típusú egyenletét! f) Írja fel a kínálati függvény Q(P) típusú egyenletét! g) Írja fel a kínálati függvény P(Q) típusú egyenletét! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




h) i) j) k) l) m)

Határozza meg a piacon kialakuló egyensúlyi ár nagyságát! Határozza meg, hogy hány szendvics fogyna az egyensúlyi ár esetén egy nap alatt! Mekkora bevételre tenne szert a büfé így egy napon? Határozza meg, hogy milyen helyzet alakul ki a piacon P=180 Ft-os ár esetén! Határozza meg, hogy milyen helyzet alakul ki a piacon P=300 Ft-os ár esetén! Adja meg, hogy mekkora keresleti és kínálati ár tartozik a Q=800 db-os mennyiséghez? n) Milyen ár esetén lesz 180 db-os túlkínálat a piacon! Ellenırizze is a kapott eredményt!

12. feladat: a költségvetési egyenes tulajdonságai Egy fogyasztó költségvetési egyenesének függıleges tengelymetszete 100, míg vízszintes tengelymetszete 200 egységnél van. a) Rajzolja fel a költségvetési egyenest! b) Lássa el a szükséges jelölésekkel (változók, mértékegységek) c) Mit tudunk az ismert adatokból a két termék árára vonatkozóan? d) Adja meg a költségvetési egyenes egyenletét x2 ( x1 ) alakban! e) Adjon meg olyan jövedelem-ár kombinációkat, amelyek ezt a költségvetési egyenest eredményezhetik! (Minden jövedelemhez két árat kell hozzárendelnie, s tetszıleges számú jövedelembıl elérhetı ez, így akár mindenkinél más megoldás alakulhat ki!) Legalább három ilyen egyenletet írjon fel a kiinduló alakban, vagyis az I = p x1 ⋅ x1 + p x2 ⋅ x2 formulában. f) Válasszon ki egy tetszıleges költségvetési egyenest az elızı ponthoz készítettek közül, s adjon meg legalább tíz olyan kombinációt, amely ezen az egyenesen van! g) Mit jelent az egyenes meredeksége? Hogyan értelmezhetı ennek segítségével az elızı pontban látható kombinációk közötti mozgás? h) Hogyan változik az e) pontban megadott egyenletek közül az elsı, ha a fogyasztó jövedelme megduplázódik, az árak viszont változatlanok? Írja fel az új egyenletet az alapformulával, valamint függvényalakban is, továbbá ábrázolja is a változást! i) Hogyan változik az e) pontban megadott egyenletek közül az elsı, ha az elsı termék (x1) ára 25%-kal megemelkedik? Írja fel az új egyenletet a kiinduló alakban, majd függvényként is, végül ábrázolja az új helyzetet! j) Hogyan változik az e) pontban megadott egyenletek közül az elsı, ha a második termék (x2) ára 20%-kal csökken? Írja fel az új egyenletet a kiinduló alakban, majd függvényként is, végül ábrázolja az új helyzetet!

13. feladat: a közömbösségi görbék

Egy fogyasztó preferenciarendszerét az U ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 alakú hasznossági függvény adja meg. a) Adja meg a következı táblázatban látható fogyasztó kosarak által biztosított hasznosság nagyságát! x1 x2 U 0 0 1 0 0 1 1 1 1 4 2 3 3 3 Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.





4 3 5 5 5 8 10 8 20 0 b) Írjon fel olyan kombinációkat, amelyek a táblázat kivastagított kombinációjával azonos hasznosságot eredményeznek! Helyezze ezeket el úgy a következı táblázatban, hogy a táblázatban jobbra haladva az x1 termék mennyisége folyamatosan emelkedjen. x1 x2 c) Adja meg a táblázatban található pontokat (és az összes többi, ezzel azonos hasznossági szintet jelentı kombinációt tartalmazó) közömbösségi görbe egyenletét! d) Ábrázolja a c)-ben meghatározott közömbösségi görbét az alábbi ábrában! x2

x1

e) Mutassa meg, hogy a közömbösségi görbén kifelé haladva (az x1 termék mennyiségét növelve) a fogyasztó egyre kevesebb x2-rıl hajlandó lemondani egy-egy újabb x1 termékért! (Tehát ki kell számolnia a helyettesítési rátát a görbe megadott pontjai között. A helyettesítési rátát RS-sel jelöljük, ne tévessze össze a precízebb módszert jelentı MRS-sel, ami a helyettesítési határráta!) f) Adja meg a közömbösségi görbe meredekségét jelentı MRS alakját! (Ne feledje: az MRS a termékek határhasznainak hányadosaként kapható meg, a határhaszon pedig a hasznossági függvénybıl kapható meg parciális deriválással.) g) Az f)-ben kapott MRS-alak ismeretében adja meg a b) pontban kitöltött táblázat (közömbösségi görbe) minden pontjában a görbe meredekségét! (Ne feledje, a görbe meredekségének egyre kisebbnek kell lennie, ahogy x1 mennyisége növekszik, hiszen a görbe egyre laposodik!) h) Oldja meg a feladat a-g pontjait akkor is, ha a preferenciarendszer az U ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 alakot veszi fel!







14. feladat: Az MRS meghatározása kicsit bonyolultabb preferenciák esetén Adja meg a helyettesítési határráta (MRS) alakját a következı preferencia-rendszerek esetére! a) U ( x1 , x2 ) = x1 2 ⋅ x2 2 1

1

b) U ( x1 , x2 ) = x1 4 ⋅ x2 4 1

3

c) U ( x1 , x2 ) = x1 3 ⋅ x2 3 2

1

d) U ( x1 , x2 ) = x110 ⋅ x2 10 2

8

15. feladat: optimalizálás Egy fogyasztó 10.000 Ft-ot szán két termékre (x1 és x2). Az elsı termék ára 50 Ft, a második termék ára 40 Ft. A fogyasztó preferenciarendszerét az U ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 formula adja meg. a) adja meg a költségvetési egyenes egyenletét a kiinduló alakban, valamint a szokásos függvényalakban is! b) Válasszon ki legalább öt, a költségvetési egyenesen található termékkombinációt, majd ezeket jegyezze fel az alábbi táblázatban, végül pedig határozza meg az ezekhez tartozó hasznossági szintet is! x1 x2 U

c) Írja fel az elsı kombináción keresztülhaladó közömbösségi görbe egyenletét! Az egyenlet alapján adja meg ennek a közömbösségi görbének öt másik pontját az alábbi táblázatban. Számolja ki, hogy mennyibe kerülnek ezek a kombinációk! x1

x2

U

A kombináció költsége

Számítás

Figyelje meg, hogy a költségvetési egyenes tulajdonsága, hogy annak minden pontja ugyanannyiba kerül, viszont minden egyes pontjában eltérı az elérhetı hasznossági szint, ugyanakkor a közömbösségi görbe minden pontjában ugyanakkor hasznosságot biztosít a fogyasztó számára, viszont minden ilyen kombináció eltérı pénzösszegbe kerül! d) Írja fel az optimális döntés feltételét a tanult összefüggés alapján! Ehhez elıször határozza meg az MRS képletét (ami mint tudjuk a közömbösségi görbe meredekségét Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




adja meg), majd tegye egyenlıvé a két termék árának hányadosával (ez pedig mint ismert, a költségvetési egyenes meredekségét adja). e) Határozza meg, hogy az optimális döntés d)-pontban megadott feltételét megtartva mely kombinációt vásárolja meg a fogyasztó! (Mi lesz az optimális döntés?) f) Adja meg, hogy az optimális döntés esetén mekkora hasznosságot ért el a fogyasztó! g) Mutassa meg, hogy ha más, elérhetı (tehát a költségvetési egyenesen rajta lévı) kombinációkat választott volna, akkor az f)-ben számítottnál kisebb hasznosságot ért volna el a fogyasztó! h) Vizsgálja meg b) ponthoz készített táblázatot! Ha jól dolgozott, akkor az f)-ben számított hasznosságnak nagyobbnak kell lennie, a táblázat összes hasznosságadatánál. (Elıfordulhat, hogy véletlenül a legjobb kombinációt is tartalmazza az Ön által készített táblázat, de nagyobb U-érték semmilyen esetben sem lehet a táblázatban, mint amit az optimalizációs módszerrel megkapott!) i) Adja meg az optimumhoz tartozó közömbösségi görbe egyenletét, majd adja meg ennek a görbének legalább 5 pontját a következı táblázatban! x1

x2

U

j) Készítse el a fogyasztó lehetıségeit, illetve optimális döntését tartalmazó ábrát! Az ábrán szerepeljen a fogyasztó költségvetési egyenese, valamint rajzolja be az optimumhoz tartozó közömbösségi görbét is!

16. feladat: optimalizálás Egy fogyasztó x1 és x2 t terméket vásárol, s ezekre havonta 15.000 Ft-ot szán két termékre. Az elsı termék 80 Ft, a második termék pedig 50 Ft-ba kerül A fogyasztó hasznossági görbéjét az U ( x1 , x2 ) = x1 4 ⋅ x2 4 formula adja meg. 1

3

a) Határozza meg a fogyasztó által elérhetı legmagasabb hasznossági szint nagyságát! b) Határozza meg a fogyasztó választását, ha az elsı termék ára 25%-kal megemelkedik! Mekkora lesz így a maximálisan elérhetı hasznossági szint? c) Határozza meg a fogyasztó választását, ha (a kiinduló helyzethez képest) a második termék ára duplájára emelkedik! Mekkora hasznosságot érhet el így? d) Mi lesz a fogyasztó döntése, ha mindkét termék ára 25%-kal emelkedik, s közben jövedelme is ugyanilyen mértékben változik? e) Mi lenne a legjobb választás a fogyasztó részérıl, ha az induló helyzetben az U ( x1 , x2 ) = x1 3 ⋅ x2 3 preferenciarendszer lett volna jellemzı rá? 2

1





17. feladat: bemelegítés a kamatszámításhoz Oldja meg a következı feladatokat! a) Egy fogyasztó jövedelmébıl 200.000 Ft-ot nem költ el az idei évben, hanem leköti 1 éves futamidıre. A bank erre az idıtartamra 9%-os kamatláb mellett fogadja be a betétet. Mekkora összeg lesz a bankszámlán a futamidı lejártakor? b) Mekkora összeget kellett volna elhelyezni ahhoz, hogy egy év múlva 490.500 Ft legyen a bankszámlán? c) Hitelt veszünk fel a banktól. A bank most kifizeti az összeget, s nekünk egy év múlva kell majd visszafizetnünk a hitelt, s annak egy év alatt felhalmozódott kamatait egy összegben. A felvett hitel nagysága 200.000 Ft, s a bank 9%-os kamatláb mellett folyósítja a hitel összegét. Mennyit kell majd fizetnünk egy év múlva? Vegye észre, hogy ez a feladat azonos az a)-ban lévıvel, csak a szerepek megfordultak. Az a) részben a bank játszotta azt a szerepet, amit a c)-ben a fogyasztó. Az a)-ban a fogyasztó „hitelezte meg” 1 évig a bankot, hiszen a bank használta a fogyasztó pénzét, míg a c)-nél már fordítva történik: a fogyasztó használja egy évig a kamat fejében a bank pénzeszközeit. d) Jövıre 376.250 Ft-ot fogunk kapni egy már most ismert szerzıdés alapján. A pénz megérkezésére garancia van, s – mivel türelmetlen típusok vagyunk – szeretnénk már most elıre elkölteni. A bank 7,5%-os kamatláb mellett hajlandó hitelt adni. Milyen összegő hitelt vehetünk fel, ha a jövı évi 376.250 Ft-ból szeretnénk visszafizetni a felvett hitelt a kamatokkal együtt? (Most is olyan konstrukciót feltételezünk, amikor a futamidı végén egyösszegben kell kifizetni a tartozást és a felhalmozódott kamatot.)

18. feladat: az intertemporális költségvetési egyenes tulajdonságai Egy fogyasztó jövedelme 2008-ban 3.500.000 Ft. A 2009-es jövedelem (várható) nagysága 4.047.000 Ft. A 2008-ra és 2009-re érvényes kamatláb a fogyasztó bankjában 6,5%. (Tegyük fel, hogy a bank ilyen hosszú futamidıre rögzítette, valamint nem különbözteti meg a betéti és a hitelkamatláb nagyságát. Egyébként – ahogy nyilván érzi is – ez nagyon életszerőtlen feltevés, hiszen a bank haszna az alacsony költséggel megszerzett források [betétek] magasabb áron történı kihelyezésébıl [hitelnyújtásból] származik.) a) Mennyit költhet 2009-ben a fogyasztó, ha 2008-ban 3.200.000 Ft-ot költ? Adja meg az eredményt, majd értelmezze a szituációt! b) Mennyi lehet a 2009-es költekezés nagysága, ha 2008-ban 3.700.000 Ft-ot költ? Adja meg az eredményt, majd értelmezze a szituációt! c) Mennyi lehetne a 2009-es költekezés elvi maximális értéke? (szemináriumon: C2max) d) Mennyi lehetne a 2008-as költekezés elvi maximális értéke? (szemináriumon: C1max) e) Mennyit költhet 2008-ban a fogyasztó, ha 2009-es költekezése 3.109.800 Ft? f) Ábrázolja a fogyasztó tıkepiaci egyenesét, jelölje a tengelyeken szereplı változókat, azok mértékegységét, valamint az a), b), c), d) és e) pontokat is! g) Adja meg az egyenes meredekségének nagyságát! Értelmezze a meredekséget! h) Adja meg a fogyasztó tıkepiaci egyenesének egyenletét!

19. feladat: az intertemporális költségvetési egyenes változásai Az elızı példában szereplı bank döntése nyomán emelkedik a kamatláb: a korábbi 6,5%-os érték helyett 8%-ra változik. a) Adja meg a fogyasztó tıkepiaci egyenesének új egyenletét! b) Adja meg az új egyenes tengelymetszéspontjait! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






c) Ábrázolja egy új ábrában az elızı példa f) pontjában már ábrázolt egyenest és ennek a példának az a) pontjában meghatározott egyenest! d) A bank ezután (különbözı piaci események hatására) úgy dönt, hogy csökkenti a kamatláb nagyságát, méghozzá az induló szint alá, s 5,25%-on rögzíti a kamatláb nagyságát. Írja fel az új egyenes egyenletét! e) Rajzolja be ezt az egyenest is az ábrába az elızı kettıhöz! f) Melyik pont közös a három egyenesen? g) Vonjon le következtetést arra vonatkozóan, hogyan változik a tıkepiaci egyenes alakja a kamatláb emelkedésekor és csökkenésekor!

20. feladat: az intertemporális közömbösségi görbék Egy fogyasztó intertemporális közömbösségi görbéit az U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C2 alakkal tudjuk megadni. a) Adja meg a következı kombinációk által biztosított hasznossági szintek nagyságát: C1 C2 U 0 0 1000 0 0 1000 1000 1000 1000 2000 2000 3000 4000 3000 4000 4000 4000 5000 5000 8000 6000 8000 8000 4000 b) Írjon fel olyan kombinációkat, amelyek a táblázat kivastagított kombinációjával azonos hasznosságot eredményeznek! Helyezze ezeket el úgy a következı táblázatban, hogy a táblázatban jobbra haladva az x1 termék mennyisége folyamatosan emelkedjen. C1 C2 c) Adja meg a táblázatban található pontokat (és az összes többi, ezzel azonos hasznossági szintet jelentı kombinációt tartalmazó) intertemporális közömbösségi görbe egyenletét! d) Ábrázolja a c)-ben meghatározott közömbösségi görbét az alábbi ábrában!






C2

C1

e) Hogy alakul a közömbösségi görbe meredeksége, ha az egyre nagyobb idei fogyasztás felé mozdulunk el? (Idei év alatt az elsı évet, jövı év alatt a második évet értjük ebben a példában). Állítását grafikusan igazolja! f) Adja meg a közömbösségi görbe meredekségét jelentı MRS alakját! (Ne feledje: az MRS a parciális deriváltak hányadosaként kapható meg, ahogy a fogyasztói optimalizálásnál a határhaszon esetében már gyakoroltuk!) g) Az f)-ben kapott MRS-alak ismeretében adja meg a b) pontban kitöltött táblázat (közömbösségi görbe) minden pontjában a görbe meredekségét! (Ne feledje, a görbe meredekségének egyre kisebbnek kell lennie, ahogy C1 értéke növekszik, hiszen a görbe egyre laposodik!) h) Oldja meg a feladat a-g pontjait akkor is, ha a preferenciarendszer az U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C2 alakot veszi fel!

21. feladat: az intertemporális optimalizálás elıkészítése Adja meg az MRS alakját a következı intertemporális hasznossági függvények esetében! a) U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C2 b) U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C2 1

3

3

1

1 3

2 3

2 5

3 5

c) U (C1 , C2 ) = C14 ⋅ C 24 d) U (C1 , C2 ) = C14 ⋅ C 24 e) U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C 2

f) U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C 2 7

3

g) U (C1 , C2 ) = C110 ⋅ C 210







22. feladat: az intertemporális optimalizálás Egy fogyasztó idei jövedelme 2.000.000 Ft, jövı évi jövedelme pedig 2.310.000 Ft. A bank 5,00%-os kamatlábbal dolgozik. A fogyasztó preferenciarendszerét megadó intertemporális 1

3

hasznossági függvény egyenlete: U (C1 , C2 ) = C14 ⋅ C 24 . a) Írja fel a fogyasztó tıkepiaci egyenesének egyenletét! b) Adja meg az MRS képletét! c) Írja fel az optimum feltételét! (Amit fel kell írnia: a görbe meredeksége egyenlı kell, hogy legyen az egyenes meredekségével. A görbe meredekségét az MRS adja meg, az egyenes meredeksége pedig a korábbi példákban látott módon az [1+i] formulával adható meg, ahol i a kamatláb nagysága.) Rendezze a kapott összefüggést C2-re! d) Adja meg a fogyasztó költekezésének optimális idıbeli megoszlását! (Mennyit költsön idén és jövıre, hogy a legmagasabb hasznosságot érje el?) e) Adja meg, hogy mekkora az így elérhetı legmagasabb hasznossági szint? f) Írja fel az optimális kombinációt tartalmazó intertemporális közömbösségi görbe egyenletét! g) Ábrázolja a feladatot!

23. feladat: az intertemporális optimum változásai Az elızı feladatot oldja meg a következı változásokkal: a) A fogyasztó jövedelme az elsı évben 10%-kal emelkedik. b) A fogyasztó jövedelme a második évben 10%-kal emelkedik. c) A fogyasztó jövedelme az elsı és a második évben egyaránt 10%-kal emelkedik! d) A kamatláb nagysága 1%-kal emelkedik. e) A kamatláb nagysága 2%-kal emelkedik. f) A kamatláb nagysága 1%-kal csökken. g) A kamatláb nagysága 2%-kal emelkedik! A változásokat mindig a kiinduló helyzethez (vagyis az elızı példában megadott jövedelmekhez és kamatlábhoz) képest értelmezze! Minden pont esetében készítsen egy ábrát, amelyben berajzolja az elızı példa költségvetési egyenesét és optimális választását (a közömbösségi görbét is!), illetve a változás utáni tıkepiaci egyenest és optimális választást (természetesen most sem csak az optimumot, hanem az ezt tartalmazó közömbösségi görbét is). 1 2

1 2

A fogyasztó preferenciái változnak, az új helyzetben a U (C1 , C2 ) = C1 ⋅ C 2 függvény írja le a fogyasztó preferenciáit. h) Adja meg a fogyasztó optimális választását ebben a helyzetben! (A tıkepiaci egyenes nem változik, tehát lehetıségei azonosak, csak a preferenciák módosulása miatt változik a legjobb választás). i) Hogyan változhatott a fogyasztó kockázathoz való viszonya, ha így módosult a preferenciarendszer (s emiatt az optimum is)?

24. feladat: paraméteres optimum-meghatározás Ez a feladat jóval nehezebb, mint amilyenre lehet számítani a dolgozatban, ugyanakkor kis odafigyeléssel bárki meg tudja oldani, aki az eddigi anyagokat megfelelıen feldolgozta és megértette.





Ilyen nehézségi szintő példa a dolgozatban egészen biztosan nem lesz. Ha valaki érdemi megoldást hoz ki rá, akkor azt vissza tudja ellenırizni azoknál a feladatoknál, amelyeknél a preferenciarendszer megfelel ennek a típusnak. Ehhez mindössze be kell helyettesíteni a most kapott képletbe a korábbi példák indulóadatait. A feladat tehát: Határozza meg, hogy mekkora lesz a fogyasztó optimális fogyasztása az elsı és a második évben (C1 és C2), ha a fogyasztó I1 és I2 jövedelemmel rendelkezik, a kamatláb nagysága i, s a preferenciarendszert az U = A ⋅ C1a ⋅ C21−a alakot veszi fel!

25. feladat: ICC és Engel-görbe Egy fogyasztó jövedelmét két termékre, x1-re és x2-re költi el. Az x1 termék ára 200 Ft, az x2 termék 300 Ft-ba kerül. A fogyasztó preferenciáit a két termék vonatkozásában az U ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 preferenciarendszer írja le. a) b) c) d) e)

Adja meg az x1 termék vonatkozásában az ICC-görbe egyenletét! Ábrázolja az ICC-görbét! Írja fel az x1 termékre az Engel-görbe egyenletét! Ábrázolja az Engel-görbét! Határozza meg a fogyasztó optimális vásárlását az Engel-görbe segítségével az x1 termékbıl, ha a fogyasztó jövedelme 4000/10000/25000/60000 Ft. f) Ábrázolja ezeket a pontokat az Engel-görbén!

26. feladat: ICC és Engel-görbe Hajtsa végre az elızı feladatban látott utasításokat az x2 termékre vonatkozóan is!

27. feladat: ICC-görbék a korábbi feladatokban. Nézze meg az optimális termékszerkezetre vonatkozó korábbi feladatokat! Vegye észre, hogy az összes ilyen példában ki kellett már számítania az ICC-görbét! Amikor az „optimumfeltétel” felirat szerepel a példáknál, akkor tulajdonképpen mindig az ICC-t számoltuk ki! Nézze át az összes korábbi ilyen példát és jelölje meg, hogy mely egyenletek voltak az ICC-görbék azokban a példákban!

28. feladat: ICC és Engel-görbe összetett jószág esetén Egy fogyasztó jövedelmét két termékre, x1-re és x2-re költi el. Az x1 termék ára 200 Ft, az x2 termék összetett jószág. A fogyasztó preferenciáit a két termék vonatkozásában az U ( x1 , x2 ) = ( x1 )40 ⋅ ( x2 )40 preferenciarendszer írja le. 1

a) b) c) d) e)

39

Adja meg az x1 termék vonatkozásában az ICC-görbe egyenletét! Ábrázolja az ICC-görbét! Írja fel az x1 termékre az Engel-görbe egyenletét! Ábrázolja az Engel-görbét! Határozza meg az x1 termék keresletét, az Engel-görbe segítségével, ha a fogyasztó jövedelme 16000/40000/60000 Ft





f) Ábrázolja a kiszámított értékeket az Engel-görbén!

29. feladat: PCC és egyéni keresleti görbe Egy fogyasztó havi jövedelmébıl 40.000 Ft-ot két termékre, x1-re és x2-re költ. Tudjuk, hogy az x2 termék 120 Ft-ba kerül. A fogyasztó preferenciáit a két termék vonatkozásában az U ( x1 , x2 ) = (x1 )3 ⋅ ( x2 )3 preferenciarendszer írja le. 1

2

a) Adja meg az x1 termék vonatkozásában az PCC-görbe egyenletét! b) Ábrázolja az PCC-görbét! c) Írja fel az x1 termékre az egyéni keresleti görbe egyenletét logikai úton a PCC-görbe alakjának felhasználásával (ahogy azt a szemináriumon is csináltuk)! d) Vezesse le az egyéni keresleti görbe egyenletét! e) Ábrázolja az egyéni keresleti görbét! f) Határozza meg a fogyasztó optimális vásárlását az x1 termékbıl az egyéni keresleti görbe segítségével, ha annak ára 80Ft/100Ft/200Ft/250Ft! g) Ábrázolja ezeket a pontokat az egyéni keresleti görbén!

30. feladat: PCC és egyéni keresleti görbe Oldja meg az elızı feladatot az x2 termékre vonatkozóan is!

31. feladat: PCC és egyéni keresleti görbe összetett jószág esetén Egy fogyasztó havi jövedelmébıl 60.000 Ft-ot két termékre, x1-re és x2-re költ. Tudjuk, hogy az x2 termék összetett jószág. A fogyasztó preferenciáit a két termék vonatkozásában az U ( x1 , x2 ) = ( x1 )25 ⋅ ( x2 )25 preferenciarendszer írja le. 2

23

a) Adja meg az x1 termék vonatkozásában az PCC-görbe egyenletét! b) Ábrázolja az PCC-görbét! c) Írja fel az x1 termékre az egyéni keresleti görbe egyenletét logikai úton a PCC-görbe alakjának felhasználásával (ahogy azt a szemináriumon is csináltuk)! d) Vezesse le az egyéni keresleti görbe egyenletét! e) Ábrázolja az egyéni keresleti görbét! f) Határozza meg a fogyasztó optimális vásárlását az x1 termékbıl az egyéni keresleti görbe segítségével, ha annak ára 50Ft/100Ft/240Ft/480Ft! g) Ábrázolja ezeket a pontokat az egyéni keresleti görbén!

32. feladat: egyéni és piaci keresleti függvény azonos – optimalizálási feladatból származtatott – preferenciák esetén Vegye az elızı feladatban meghatározott egyéni keresleti függvényt! Tegyük fel, hogy a termék piacán 5000, teljesen egyforma preferenciákkal és jövedelmi helyzettel rendelkezı vevı van. (Ez tehát azt jelenti, hogy mindegyiküknek azonos lesz az egyéni keresleti függvénye az x1 termékre vonatkozóan!) a) Adja meg a piaci keresleti függvény egyenletét! b) Ábrázolja a piaci keresleti függvényt!

33. feladat: egyéni és piaci keresleti függvény azonos, lineáris egyéni keresleti függvények esetén Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




Egy piacon 500, teljesen azonos keresleti függvénnyel rendelkezı vásárló van. Egy szereplı keresleti függvényének alakja a termékre vonatkozóan: P = 500 − 2 ⋅ Q . a) Határozza meg egy adott fogyasztó keresleti görbéjének mindkét tengelymetszetét! b) Ábrázolja az egyéni keresleti görbét! c) Grafikusan rajzolja be, hogyan fog kinézni az 500 szereplıre vonatkozó piaci keresleti görbe! Ehhez gondolja végig az alábbiakat! a. El fog-e térni a piac egészére vonatkozó rezervációs ár a feladat elsı pontjában meghatározott, egy adott szereplıre vonatkozó rezervációs ártól, ha a szereplık mindannyian egyformák? b. Honnan fog akkor indulni a P tengelyen a piaci keresleti függvény? c. Mekkora egy fogyasztó maximális kereslete a termékbıl? d. Mekkora lesz ebbıl adódóan az 500 fogyasztó együttes kereslete a termék piacán? e. Hol lesz tehát a piaci keresleti függvény vízszintes tengelymetszépontja? d) Adja meg a piaci keresleti görbe egyenletét! Vegye figyelembe a következıket! a. A piaci kereslet a példában az egyéni kereslet 500-szorosa lesz. Ehhez tehát a függvény egyenletét is 500-zal kell szoroznia. b. Mennyiségeket akar szorozni, így az egyenletnek is ezt kell tükröznie! Figyelem!!!! A feladat P-re rendezett alakkal indított, így ahhoz, hogy mennyiségeket tudjon leolvasni, elıször Q-ra kell átrendeznie! c. A Q-ra rendezett alaknál már végrehajthatja az 500-zal való szorzást!

34. feladat: egyéni és piaci keresleti függvény eltérı, lineáris egyéni keresleti függvények esetén kétszereplıs (két vevıvel rendelkezı) piacon Egy termék piacán két vevı van. Keresleti függvényeik a termékre vonatkozóan a következı egyenletekkel adhatóak meg:

D1 : P = 500 − 0,8 ⋅ Q D2 : P = 400 − Q a) Határozza meg a két szereplı keresleti görbéinek tengelymetszeteit! b) Ábrázolja ezek alapján a két keresleti görbét egy közös koordináta-rendszerben! c) Rajzolja be kettejük együttes keresleti görbéjét (ami itt egyben a piaci keresletet adja meg) a következık szerint: a. Döntse el, melyik szereplınek magasabb a rezervációs ára. Amikor az ár efölött van, akkor egyikük sem jelenik meg a piacon, a kereslet nulla. b. Amikor az ár már alacsonyabb, mint a magasabb rezervációs árral rendelkezı szereplı rezervációs ára, de még magasabb, mint a másik szereplı rezervációs ára, akkor csak az elıbb említett szereplı lesz a piacon (utóbbinak még túl drága a termék). Ebben az esetben a piaci keresleti görbe a magasabb rezervációs árral rendelkezı szereplı keresleti görbéjével azonos. c. Ha az ár alacsonyabb a kisebb rezervációs árral jellemezhetı szereplı saját rezervációs áránál, akkor már mindkét szereplı vásárol, így az összesített kereslet kettejük keresletének összege lesz. d. A piaci keresleti görbe tehát megtörik ott, ahol belép a második szereplı is. A vízszintes tengelymetszéspont egyszerően kalkulálható: a két fogyasztó maximális keresleteinek összegébıl adódik. (Egyéni keresleti függvényeik vízszintes tengelymetszeteit kell mindössze összeadnunk). Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




d) A rajz alapján határozza meg tehát, hogy mely árnál fog megtörni a keresleti görbe! Ezután adja meg a görbe (illetve ebben, a lineáris keresleti görbékkel megadott példák esetén egyenes) egyenletét a két szakasz segítségével! Ne feledje, itt is csak akkor adhat össze keresleteket, ha a függvények Q-ra rendezett alakban szerepelnek! Ha nem így adja meg ıket a példa (például most sem ilyenek), akkor elıször át kell ıket rendezni!

35. feladat: egyéni és piaci keresleti függvény eltérı, lineáris egyéni keresleti függvények esetén három szereplıs piacon Ezt a példát ugyanúgy kell megoldania, mint az elızıt, a különbség annyi, hogy most három szereplı lesz, s ehhez három külön rezervációs ár tartozik. (Elképzelhetı lenne, hogy mindhárom szereplınek azonos a rezervációs ára, keresleti görbéik mégis eltérnek, mert más az árra való érzékenységük). Az, hogy három szereplı és három rezervációs ár van, azt jelenti, hogy két helyen fog törni a piaci keresleti görbe, s így három lineáris szakaszból fog állni. Az összesített kereslet megadásához elıször mindig a töréspontok koordinátáit (P és Q érték) számolja ki, ez alapján könnyen tudja ábrázolni a példát, ami sokat segít aztán az egyenletek meghatározásában is! A feladat tehát a következı: Egy piacon három szereplı van. Keresleti függvényeik: Q1 = 5.000 − 20 ⋅ P Q2 = 10.000 − 50 ⋅ P Q3 = 8.000 − 25 ⋅ P Adja meg a három szereplıbıl álló piac összesített keresleti függvényét! A megoldáshoz kövesse az alábbi lépéseket! a) határozza meg az egyéni keresleti függvények tengelymetszeteit! b) A tengelymetszetek alapján ábrázolja méretarányosan a három függvényt! (Az ábránál figyeljen arra, hogy a vízszintes tengelyen ki kell férnie a három tengelymetszéspont összegének!) c) Rajzolja meg a piaci összesített keresleti függvényt! a. A függvény a legmagasabb rezervációs árból indul ki, s egészen addig megegyezik a legmagasabb rezervációs árral rendelkezı szereplı egyéni keresleti függvényével, amíg el nem érjük a második szereplı rezervációs árát. b. Amíg a harmadik (a legalacsonyabb rezervációs árral rendelkezı) szereplı rezervációs ára fölött, de már a középsı rezervációs árral rendelkezı szereplı rezervációs ára alatt vagyunk, akkor már két szereplı összesített függvényével dolgozunk. c. A második töréspont ott lesz, ahol a harmadik (a legalacsonyabb rezervációs árral rendelkezı) szereplı is belép. Ezen az áron a kereslet a két magasabb rezervációs árral rendelkezı szereplı ehhez az árhoz tartozó keresleteinek összege lesz. d. Ezután már csak a függvény végpontját kell megrajzolnunk, ami egyben az összesített függvény vízszintes tengelymetszéspontja lesz. Itt pedig egyszerően össze kell adnunk a három egyéni tengelymetszéspontot, ezek összege adja a





piaci kereslet maximális értékét (vagyis a nulla árhoz tartozó összesített keresletet). d) A rajz logikáját követve írja fel egyenlettel is az összesített keresleti függvényt! Figyeljen rá, hogy a függvény (most, ebben a példában) három szakaszból fog állni: a. Az elsı szakaszon csak egy szereplı keresleti függvényébıl áll b. Majd a két magasabb rezervációs árral rendelkezı szereplı függvényét kell összeadnia c. Mindhárom szereplı keresletét kell összegeznie, ha már a legalacsonyabb rezervációs árral jellemezhetı szereplı is belép a piacra (ha már elég alacsony ehhez az ár). d. Fontos, hogy ehhez az összegzéshez csak és kizárólag a keresleti függvények Q(P ) alakja használható! A feladat így adta meg a függvényeket, így nincs külön tennivaló, az összeadások gond nélkül elvégezhetıek. Ha egy példa inverz, vagyis P(Q ) alakban adná meg a függvényeket, akkor viszont elıször át kellene rendeznünk ıket a normál alakra!

36. feladat: A rugalmassági mutatók felépítése Írja fel általánosságban, hogy adható meg egy tetszıleges, A változó B változóra vonatkozó rugalmassága a legegyszerőbb képlet segítségével! Ne feledje: a rugalmassági mutató azt adja meg, hogy egy változó 1%-os változása mekkora (hány százalékos) módosulást eredményez egy másik változóban. Így mindig a változást kiváltó tényezı (vagyis az ok) egységnyi változására kell vetíteni a következményt (vagyis a másik változó módosulását). Ez pedig azt jelenti, hogy a nevezıben mindig annak kell majd szerepelnie, ami a változást elindította! a) Adja meg a rugalmassági képletet ívrugalmassági formulával (tehát két pont közötti változásra vonatkozóan) b) Rendezze úgy át a képletet, hogy a pontrugalmassági formula alakjára is következtetni lehessen belıle! c) Adja meg ezután a pontrugalmassági formula képletét az A és B mutatók vonatkozásában!

37. feladat: A rugalmassági mutatók képlete Az elızı feladatban látott logika alapján írja fel a tanult három kereslet-rugalmassági mutató képletét mindkét módszerrel, illetve válaszoljon az egyéb kérdésekre! A képleteknél a keresletet Q, az árakat P jelöléssel lássa el (ahogy az a piaci függvényekben látható), majd írja fel úgy, hogy x és p szerepel (ahogyan az egyéni optimalizálásból kapott függvényeknél szerepelne). Eszerint tehát minden feladatra két megoldást kell adnia a két jelölésnek megfelelıen a)

Adja meg a kereslet saját-árrugalmasságának képletét ívrugalmassági formulával!

b)

Adja meg a kereslet saját-árrugalmasságának képletét pontrugalmassági formulával!







c)

Adja meg a kereslet kereszt-árrugalmasságának képletét ívrugalmassági formulával!

d)

Adja meg a kereslet kereszt-árrugalmasságának képletét pontrugalmassági formulával!

e)

Adja meg a kereslet jövedelem-rugalmasságának képletét ívrugalmassági formulával!

f)

Adja meg a kereslet formulával!

g)

Gondolja végig, hogy melyik rugalmassági mutatót milyen függvényekbıl számíthatjuk! (Tehát milyen függvényt [vagy annak pontjait] kell ismernünk ahhoz, hogy például saját-, vagy kereszt-árrugalmasságot számíthassunk? Milyen függvénybıl nyerhetık ki pl. a jövedelem-rugalmassághoz szükséges adatok?) Vegye észre, hogy a szükséges függvények a korábbi órákon látottak lesznek (pl. Engelgörbe, egyéni keresleti görbe)!

jövedelem-rugalmasságának

képletét

pontrugalmassági

38. feladat: A rugalmassági mutatók elıjelének, nagyságának értelmezése Válaszoljon a következı kérdésekre! A válaszhoz gondolja végig, hogy épül fel a rugalmassági mutató (általános alakja, tehát függetlenül attól, hogy a három közül épp melyikkel dolgozunk). a) Mit jelent a rugalmassági mutató elıjele? Mikor lesz negatív a mutató? Mikor kapunk pozitív eredményt? b) Mikor lesz nulla egy rugalmassági mutató értéke? Most tegye félre az elıjel kérdését! A továbbiaknál a mutató abszolút értékére vonatkozóan dolgozzon, tehát a -0,83 és a +0,83 értékek azonosak lesznek a vizsgálat szempontjából! De ne feledje az elıjel fontos információkat hordoz, miután ezeket kinyertük, már a mutató értékére koncentrálhatunk, ekkor pedig az elıjelet már nem kell néznünk. c) Mikor lesz pontosan egy a mutató értéke? Mit jelent ez? d) Mikor kapunk egynél nagyobb eredményt egy rugalmassági mutatóra? Mit jelent ez? e) Mikor lesz egy rugalmassági mutató értéke egynél kisebb? Mit jelent ez? f) Használja tudatosan a „rugalmas”, „rugalmatlan”, „egységnyi rugalmasságú” kifejezéseket, s ezek segítségével fogalmazza újra a c), d) és e) kérdésekre adott válaszait! (persze elıször el kell döntenie, hogy melyik kifejezés melyik esethez használható!) Írja le kerek, egész mondatokkal, hogy mit tud kiolvasni a rugalmassági mutatók következı értékeibıl! (Még mindig úgy dolgozzon, hogy nem adjuk meg, hogy konkrétan melyik mutatóról van szó, általános megfogalmazást várok!) a) ε = +0,23 b) ε = +1 c) ε = +1,85 d) ε = +4,3 e) ε = 0 Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




f) ε = −0,45 g) ε = −1 h) ε = −2,93 i)

ε = −7,21

39. feladat: A saját-árrugalmasság elıjelének, értékének értelmezése Válaszoljon a következı kérdésekre! Válaszát már kifejezetten a saját-árrugalmasságra vonatkozóan adja meg a) Mit jelent, ha a saját-árrugalmasság elıjele negatív? Mennyire tőnik elfogadhatónak ez? Milyen termékek esetében fordulhat ez elı? b) Mit jelent, ha a saját-árrugalmasság elıjele pozitív? Mennyire tőnik elfogadhatónak ez? Milyen termékek esetében fordulhat ez elı? c) Mit jelent, ha a saját-árrugalmasság értéke nulla? Mennyire tőnik elfogadhatónak ez? Milyen termékek esetében fordulhat ez elı? Adja meg szövegesen a saját-árrugalmassági mutató következı értékeinek jelentését: d) ε Q ,P = −1,5

e) ε Q ,P = −4,5 f) ε Q ,P = −1 g) ε Q ,P = −0,47 h) ε Q ,P = −0,29 i) ε Q ,P = 0 j) ε Q ,P = +0,41 k) ε Q ,P = +2,83

40. feladat: A kereszt-árrugalmasság elıjelének, értékének értelmezése Válaszoljon a következı kérdésekre! Válaszát már kifejezetten a kereszt-árrugalmasságra vonatkozóan adja meg! Ne feledje, a kereszt-árrugalmasságnál két termék adataival kell dolgoznia!!! a) Mit jelent, ha a kereszt-árrugalmasság elıjele negatív? Milyen termékek esetében jöhet ki ilyen eredmény? b) Írjon konkrét példákat ilyen termékekre! c) Mit jelent, ha a saját-árrugalmasság elıjele pozitív? Milyen termékek esetében jöhet ki ilyen eredmény? d) Írjon konkrét példákat ilyen termékekre! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






e) Mit jelent, ha a saját-árrugalmasság értéke nulla Milyen termékek esetében jöhet ki ilyen eredmény? f) Írjon konkrét példákat ilyen termékekre! Adja meg szövegesen az kereszt-árrugalmassági mutató következı értékeinek jelentését: g)

εQ

h)

X

, PY

= −1,5

εQ

X

, PY

= −3,29

i)

εQ

X

, PY

= −1

j)

εQ

X

, PY

= −0,72

k)

εQ

X

, PY

=0

l)

εQ

X

, PY

= +0,86

m)

εQ

X

, PY

= +2,42

41. feladat: Saját-árrugalmasság számítása lineáris keresleti görbébıl Egy termék piacán a keresleti függvény Q = 5000 − 2 ⋅ P . a) Adja meg a termék keresletének saját-árrugalmasságát ívrugalmassági formulával, ha a termék ára 500-ról 1000 Ft-ra emelkedik! b) Adja meg ugyanezt, ha az ár 1000 Ft-ról 1500 Ft-ra emelkedik! c) Mekkora a mutató értéke (ugyanilyen módszerrel számítva) ha az ár 1500-ról 2000 Ftra módosul? d) Határozza meg a saját-árrugalmasság képletét az a) b) és c) pontokban szereplı valamennyi értékre és az értékeket írja be a következı táblázatba. Határozza meg a táblázatban szereplı egyéb értékekre is a rugalmassági mutató értékét. Majd ez alapján vonjon le következtetéseket arra, hogyan változik az árrugalmasság egy lineáris keresleti görbén! (Nézze meg, hogy van-e tendencia a mutató értékének alakulásában, ahogy a görbén haladunk valamelyik irányban!) Termék ára

Kereslet

ε Q,P

0 250 500 750 1000 1250 1500 2000 2500







42. feladat: Saját-árrugalmasság számítása optimalizálás után kapott egyéni keresleti görbébıl Egy fogyasztó preferenciáit az U ( x1 , x2 ) = x1 8 ⋅ x2 8 hasznossági függvény adja meg, ahol x1 az egy hónap alatt vásárolt könyvek darabszámát jelöli, míg a második termék összetett jószág. A fogyasztó 160.000 Ft elköltésérıl dönt. 1

7

a) Írja fel a fogyasztó keresleti görbéjének egyenletét a könyvekre vonatkozóan! b) Adja meg a fogyasztó keresletének árrugalmasságát a könyvekre vonatkozóan, ha az ár 1000 Ft-ról 2000 Ft-ra emelkedik! (Természetesen ívrugalmassági formulát használjon, hiszen két pont közötti változásról van szó.) c) Adja meg az árrugalmasság értékét, ha az ár tovább emelkedik 3000 Ft-ról 4000 Ft-ra! d) Adja meg, hogy mekkora az árrugalmasság értéke pontrugalmassági formulával, ha az ár nagysága a táblázatban látható értékeket veszi fel! Az eredményeket írja be a táblázatba! Termék ára

Kereslet

ε Q,P

0 1000 2000 3000 4000 e) Értelmezze a táblázat adatait! Vonjon le belılük következtetést az optimalizálás után, az egyéni haszonmaximalizálás feltételeit tartalmazó keresleti görbékbıl számított árrugalmassági mutató értékére vonatozóan!

43. feladat: Jövedelem-rugalmasság számítása megadott Engel-görbébıl I 4 Adja meg a kereslet jövedelem-rugalmasságának nagyságát, ha a jövedelem nagysága 10.000 egységrıl 14.400 egységre változik! Értelmezze a kapott adatot! Adja meg a kereslet jövedelem-rugalmasságának nagyságát, ha a jövedelem nagysága 12.100 egységrıl 9025 egységre csökken! Értelmezze a kapott adatot! Adja meg a kereslet jövedelem-rugalmasságának értékét az elızı pontokban említett minden jövedelem-nagyság esetére a pontrugalmassági formula segítségével! Az eredményeket írja be a táblázatba!

Egy termék Engel-görbéje a következı alakot veszi fel: Q = 200 + a) b) c) d) e)

Jövedelem

Kereslet

ε Q, I

9.025 10.000 12.100 14.400







44. feladat: Jövedelem-rugalmasság számítása optimalizálásból kapott Engel-görbébıl Az elızı példában egy kívülrıl adott (ún. exogén) Engel-görbével dolgoztunk. Az Engelgörbe azonban adódhat egy optimalizálás eredményeként is. Ez a példa ilyen feladatot tartalmaz az elızı, könyvvásárló szereplıre. Egy fogyasztó preferenciáit az U ( x1 , x2 ) = x1 8 ⋅ x2 8 hasznossági függvény adja meg, ahol x1 az egy hónap alatt vásárolt könyvek darabszámát jelöli, míg a második termék összetett jószág. A könyvek átlagos ára 4.000 Ft. 1

7

a) Írja fel a fogyasztó Engel-görbéjének egyenletét a könyvekre vonatkozóan! b) Adja meg a fogyasztó keresletének jövedelem-rugalmasságát a könyvekre vonatkozóan, ha a fogyasztó jövedelme 140.000 Ft-ról 160.000 Ft-ra emelkedik! (Természetesen ívrugalmassági formulát használjon, hiszen két pont közötti változásról van szó.) c) Adja meg az árrugalmasság értékét, ha a jövedelem 120.000 Ft-ról 100.000 Ft-ra csökken d) Adja meg, hogy mekkora a jövedelem-rugalmasság értéke pontrugalmassági formulával, ha a jövedelem nagysága a táblázatban látható értékeket veszi fel! Az eredményeket írja be a táblázatba! Jövedelem

Kereslet

ε Q, I

100.000 120.000 140.000 160.000 e) Értelmezze a táblázat adatait! Vonjon le belılük következtetést az optimalizálás után, az egyéni haszonmaximalizálás feltételeit tartalmazó Engel-görbébıl számított árrugalmassági mutató értékére vonatozóan!

45. feladat: kereszt-árrugalmasság számítása (speciálisan erre felírt függvénybıl) Két termék viszonyáról a következı összefüggést mutatták ki a piac felmérése alapján: Q( x1 ) = 1.000 + 20 ⋅ Px2 Töltse ki a következı táblázatot!

2. termék ára

1. termék kereslete

10.000 Ft 22.500 Ft 90.000 Ft 160.000 Ft a) Adja meg az 1. termék keresletének a második termék árára vonatkozó keresztárrugalmasságát a táblázat különbözı pontjai között! (Tehát három rugalmassági értéket kell számolnia, s mindegyiket ívrugalmassági módszerrel.) Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






b) Adja meg az 1. termék keresletének a második termék árára vonatkozó keresztárrugalmasságát a táblázat pontjaiban! (Itt pedig pontrugalmassági módszerrel kell számolnia) c) Milyen viszonyban van egymással a két termék?

46. feladat: kereszt-árrugalmasság számítása (speciálisan erre felírt függvénybıl) Két termék viszonyáról a következı összefüggést mutatták ki a piac felmérése 50.000 . alapján: Q( x1 ) = 3500 + Px2 Töltse ki a következı táblázatot!

2. termék ára

1. termék kereslete

10.000 Ft 15.625 Ft 25.600 Ft 40.000 Ft d) Adja meg az 1. termék keresletének a második termék árára vonatkozó keresztárrugalmasságát a táblázat különbözı pontjai között! (Tehát három rugalmassági értéket kell számolnia, s mindegyiket ívrugalmassági módszerrel.) e) Adja meg az 1. termék keresletének a második termék árára vonatkozó keresztárrugalmasságát a táblázat pontjaiban! (Itt pedig pontrugalmassági módszerrel kell számolnia) f) Milyen viszonyban van egymással a két termék?

47. feladat: általános (többváltozós) keresleti görbébıl különbözı típusú rugalmassági mutatók számítása Piackutatóink felmérték egy adott termék keresletét, s három fontos magyarázó tényezıt (változót) találtak vizsgálataik során. Ezek alapján egy becslést készítettek arra vonatkozóan, hogyan függ ezektıl a termék kereslete. Az általuk felírt matematikai formula a következı 2 I 2500 + + 20 ⋅ Px2 3 , ahol: alakot öltötte: Q( x1 ) = 2.000 + 4.000 p x1

Q( x1 ) I p x1

A termék kereslete darabban kifejezve Az átlagos fogyasztó jövedelme a piacon A termék ára

p x2

Egy másik termék ára, amely befolyással van a vizsgált termék keresletére

a) Vizsgálja meg, hogyan hat az egyes változók alakulása a termék keresletére! Ez alapján jellemezze, hogy ez a termék normálisan viselkedik-e az ár és a jövedelem







változásakor, valamint minısítse, hogy milyen viszonyban van egymással a két termék! b) Adja meg a három már látott rugalmassági számításhoz használandó egyenlet alakját úgy, hogy a vizsgálat során rögzítendı másik két változó értékének valamilyen konkrét értéket ad! (Az eredmény tehát három képlet kell, hogy legyen) c) Ábrázolja is a három függvényt három külön koordináta-rendszerben! d) Ezután válasszon ki mindegyik rugalmassági mutatóhoz egy megfelelı értéket a vizsgált változóból és határozza meg a rugalmassági mutatónak az ehhez az értékhez (pl. 100.000 egységnyi jövedelemhez) tartozó nagyságát! e) Értelmezze a kapott adatokat!

Kedves hallgatók! Ezzel a fogyasztói magatartást vizsgáló témakörök végéhez értünk. Megvizsgáltuk az optimalizálás alapesetét, majd megnéztük, hogy egyes tényezık változása hogyan módosítja a fogyasztó döntését. Három típusú optimális döntést vizsgáltunk: -

a fogyasztó jóléti optimalizálása (munkaórákról való döntés)

-

tıkepiaci optimalizálás (intertemporális optimum: hitelfelvétel, vagy betételhelyezés)

-

termékpiaci optimalizálás (az optimális termékszerkezet kialakítása)

A három döntés egy rendszert alkot, hiszen az elsı döntéstıl függ az, hogy majd mekkora jövedelembıl vásárolhatunk. De az elkölthetı pénzmennyiség nagyságát a munkavállalási döntésen (majd az ebbıl származó jövedelmen) kívül módosítja a tıkepiaci aktivitásunk is: hitelt vehetünk fel, ha többet szeretnénk költeni, mint amennyivel adott pillanatban rendelkezünk, de megtakaríthatunk, ha nem szándékozunk minden jövedelmünket elkölteni. Döntéseinket a feltételek változása módosítja, s ezeket a változásokat függvényekbe foglalva kaphatjuk meg pl. a keresleti görbét, vagy az Engel-görbét. Késıbb aztán ezek segítségével számítottunk rugalmassági mutatókat. A vállalati döntések vizsgálatára való áttérés elıtt végül készítettem egy komplex, a fogyasztói döntések szinte összes feladattípusát átfogó feladatot, dolgozzák fel ezt is!

48. Témakörzáró, komplex fogyasztói példa Egy fogyasztó preferenciáit a munkavállalásra és a munkabérbıl eredı jólét vonatkozásában a következı függvény adja meg: U ( X , L ) = 20 ⋅ X − 0,25 ⋅ L2 . A képletben szereplı L az egy hónapban vállalt munkaórák nagyságát jelenti. A piacon elérhetı (nettó) órabér nagysága 800 Ft, egy átlagos termék ára 200 Ft. a) Határozza meg, hogy havonta hány munkaóra vállalásával tudja maximalizálni jólétét a vizsgált fogyasztó! b) Mekkora lesz így a heti és a napi munkaideje? (Négy munkahéttel, öt munkanappal számoljon.) c) Adja meg a maximálisan elérhetı hasznosság nagyságát! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




d) Bizonyítsa be, hogy akár több, akár kevesebb lenne a havonta vállalt munkaidı nagysága, alacsonyabb hasznosságot érne el a szereplı! e) Ábrázolja a fogyasztó optimalizálását a tanult koordináta-rendszerben! Tüntesse fel a tengelyeken lévı változókat és azok mértékegységét, valamint az optimum koordinátáit is! A fogyasztó elgondolkozik, hogy az elızı döntése folytán adódó havi jövedelmébıl kalkulálható éves (nettó) jövedelme, valamint jövı évi várható fizetése ismeretében milyen pozíciót vegyen fel a tıkepiacon.1 A döntéskor érvényes aktuális egy éves kamatláb nagysága 11,5%. f) Adja meg a fogyasztó maximális fogyasztási lehetıségét az elsı és a második évre vonatkozóan! g) Adja meg a fogyasztó tıkepiaci egyenesének egyenletét a szokásos, C 2 (C1 ) alakban! A fizetés a második évben az elsı évhez képest emelkedni fog. Az emelés mértékét várakozásai szerint az inflációt meghaladóan emelik. A Magyar Nemzeti Bank becslése alapján 3,5%-os inflációt valószínősít a következı évre, s a Pénzügyminisztériumnak a következı évre vonatkozó költségvetési törvény tervezetének vitája kapcsán 1,1%-os reálbéremelésrıl hallott híreket.2 h) Adja meg, hogy milyen éves bérrel számol a fogyasztó a következı évre! A fogyasztó aktívan figyeli a híreket, s a bizonytalan pénzpiaci helyzet hatására óvatosabbá vált, korábbi kockázatvállalási hajlandóságát átértékelte, s az aktuális helyzethez igazított intertemporális hasznossági függvénye a következı alakot veszi fel: U (C1 , C 2 ) = C1 5 ⋅ C 2 5 2

3

i) Adja meg a fogyasztó helyettesítési határrátáját a tıkepiaci döntésre vonatkozóan! j) Írja fel az optimalizáló döntés feltételét! k) Határozza meg, hogy mennyit költ a haszonmaximalizáló fogyasztó az elsı és második évben! l) Értékelje, hogy ezzel a döntéssel milyen pozíciót vesz fel bankjával szemben, vagyis mekkora lesz a megtakarítása, illetve a hitelfelvétele! A számítások alapján 1000 Ft-ra kerekítve adja meg az eredményt! m) Ábrázolja a fogyasztó optimális tıkepiaci döntését! Az ábrán jelölje fel az optimumhoz tartozó hitelfelvétel, vagy megtakarítás nagyságát! A fogyasztó tehát döntött arról, hogy mennyi munkát vállal havonta, majd arról is, hogy éves jövedelmébıl mennyit takarít meg, vagy mennyi hitelt vesz fel. Ez alapján kalkulálható, hogy mekkora havi pénzösszegbıl gazdálkodhat. A továbbiakban már ezt a döntést vizsgáljuk, tehát arra keressük a választ, hogy az elızı döntésekbıl adódó havi pénzösszeget (nevezzük ezt most már jövedelemnek és jelöljük a továbbiakban I-vel) hogyan költse el a különbözı termékekre. Áttérünk tehát a termékpiaci optimalizációra. n) Mekkora havi jövedelembıl gazdálkodik a fogyasztó? (Kerekítse 1000 Ft-ra a kapott eredményt.)

1

Ezt igazából inkább pénzpiacnak kellene, hogy hívjuk, de az elméleti részben így tárgyalták, ezért én is így hagyom a feladatban. 2 Még nem tanulták, de most itt alkalmazni fogjuk: a nominális béremelés ebben az esetben az infláció és a reálbér-emelkedés összegéként kapható meg, tehát 3,5%+1,1%=4,6%. Ez a képlet pontatlan, de erre a célra jó lesz, késıbb ennél pontosabb, a statisztikai elvárásoknak is megfelelı számítási módot is meg fognak ismerni. Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.





Az n)-ben számolt jövedelmébıl a fogyasztó ásványvizet vásárol. Tudjuk, hogy az általa kedvelt márka ára 100 Ft palackonként. A termékre vonatkozó preferenciarendszer a 1

19

következı alakot ölti: U = x1 20 ⋅ x2 20 . A második termék összetett termék. o) Írja fel a fogyasztó költségvetési egyenesének egyenletét! p) Határozza meg az MRS képletét! q) Írja fel az optimumfeltételt! r) Határozza meg, hogy havonta hány flakon ásványvizet fog vásárolni a szereplı? s) Adja meg a maximálisan elérhetı hasznossági szint nagyságát! t) Adja meg a szereplı ICC-görbéjének és Engel-görbéjének egyenletét az ásványvíz keresletére vonatkozóan! u) Adja meg a szereplı PCC-görbéjének és egyéni keresleti görbéjének egyenletét az ásványvíz keresletére vonatkozóan! v) Adja meg az ásványvíz keresletének saját-árrugalmasságát az optimumban! Értelmezze a kapott adatot! w) Adja meg az ásványvíz keresletének jövedelem-rugalmasságát az optimumban! Értelmezze a kapott adatot! A piacon mőködı egyik marketingkutató cég felmérése alapján szereplınk átlagos vevınek mondható. Így vele modellezhetı a piac egésze. Azt mérte a cég, hogy a piacon 10.000 fogyasztó van. x) Adja meg a piaci keresleti függvényt, ha feltételezzük, hogy a vizsgált fogyasztónk tényleg átlagos vásárló, tehát a piac úgy viselkedik, mint ha ebbıl a szereplıbıl 10.000 vevı alkotná a keresletet! (Az eredmények értékelésekor ne feledje, hogy havi mennyiségekrıl van szó!) Tudjuk, hogy a terméket elıállító vállalat (amely sok más cég mellett gyárt ásványvizet, tehát versenyez a vevıkért) kínálati függvénye a következı alakot veszi fel: Q = 5.250 ⋅ P y) Mutassa meg, hogy ez a piac ténylegesen a vevı által észlelt árat eredményezi! z) Ábrázolja a piaci egyensúlyt a szokásos Marshall-kereszttel!

49. feladat: A termelési függvény kezelése Egy vállalat termelési függvényének egyenlete Q(K , L ) = 2 ⋅ K ⋅ L , ahol K a termelésben felhasznált tıke mennyisége, L pedig a termelés során felhasznált munka nagyságát mutatja. Töltse ki az alábbi táblázatot!

Munkaállomány (L) nagysága

Tıkeállomány (K) nagysága 0


5

10

15

20

25





0 10 20 30 40 50 a) A táblázat adatai alapján mutassa meg, hogyan hat a kibocsátásra, ha a vállalat csak a munkaállomány nagyságát növeli meg! (A tıkeállomány nagysága pedig rögzített.) b) Hogyan alakul a termelés, ha rögzített munkamennyiség mellett a vállalat egyre nagyobb tıkeállományt használ fel a termelés során? c) Gyorsabban, vagy lassabban változik-e a termelés, ha a vállalat egyszerre növeli a munka és a tıke állományát is? d) Talál-e olyan termelési szintet, amely több munka-tıke kombinációban is elérhetı? e) Ha igen, akkor el lehet-e dönteni, hogy az azonos mennyiséget produkáló kombinációk közül melyik hatékonyabb?

50. feladat: A Cobb-Douglas-típusú termelési függvény alakja 1 2

1 2

Egy vállalati termelési függvény alakja Q(K , L ) = 2 ⋅ K ⋅ L . Adja meg a termelési nagyságát a következı K,L kombinációkhoz, majd számolja ki mind a munka, mind a tıke átlagtermékekét! K

1

1

4

4

4

9

16

16

25

25

L

1

4

1

4

9

16

16

25

25

36

Q APL APK

51. feladat: Az izokvant görbe egyenlete 1

1

Egy vállalat termelési függvényének alakja Q(K , L ) = K 2 ⋅ L2 . Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.





a) Mekkora termelés érhetı el a K=100, L =225 kombinációval? b) Adjon meg egy másik olyan K,L kombinációt is, amellyel ugyanez a mennyiség termelhetı meg! c) Adja meg az ilyen kombinációk mindegyikét tartalmazó izokvant görbe egyenletét! d) Ábrázolja az izokvant görbét a következı koordináta-rendszerben: K

L

e) Válasszon ki három pontot az izokvant görbén, s írja fel koordinátáikat a következı táblázatba! A kombinációkat úgy helyezze el a táblázatban, hogy a táblázat oszlopaiban kifelé haladva egyre nagyobb munkafelhasználás legyen (ahogyan az izokvanton is egyre nagyon L értékéket találunk jobbra haladva). Kombináció

A

B

C

K értéke L értéke f) Miután kitöltötte a táblázatot, határozza meg, hogy mennyi tıkével lehetett 1 egységnyi munkát kiváltani az A-ból a B kombinációba elmozdulva! (Ne feledje a számított érték egyben az A-ból a B pontba húzott egyenes meredeksége is lesz! A meredekséget – ahogy ezt nyilván tudja is – a két tengelyen mért elmozdulás hányadosával lehet megadni. Itt arra vagyunk kíváncsiak, hogy a munkaállomány növekedése milyen tıkeállomány-csökkenés esetén képes szinten tartani a termelést. Tehát az egységnyi munkanövekményre jutó tıkeváltozást (csökkenést) kell ∆K kiszámolnunk. Ezért a használandó formula a alakban adható meg.) ∆L g) Számítsa ki ugyanezt a B-bıl a C kombinációba történı elmozdulásra! h) Milyen következtetést lehet levonni a tıke-munka helyettesítésre vonatkozóan? (Ne feledje: itt is segítenek a korábbi ismeretek, hiszen ugyanazzal a problémával kerülünk szembe, mint a fogyasztói döntésnél. Akkor a csökkenı helyettesítési ráta volt a felfedezendı összefüggés. Itt azonban nem helyettesítési ráta van, hanem technikai helyettesítési ráta, a logika azonban semmit sem változik). i) Végül adja meg az izokvant görbe egyenletét ugyanúgy, ahogy a c) pontban tette, de most nem egy konkrét termelési értékre vonatkozóan, hanem általános K(L) alakban! (Tehát a Q értéke ismeretlen marad, a termelési függvényt kell valamelyik termelési tényezıre [jellemzıen K-ra] rendeznie.) Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






52. feladat: Az izokvant görbe egyenletének begyakorlása Adja meg az izokvant görbék K(L) típusú egyenletét a következı termelési függvények esetében! Elıször mindegyik termelési függvény esetében a Q=100 egységnyi termelési szinthez tartozó egyenletet adja meg, majd pedig adja meg általános alakban (tehát a Q értékét az egyenletben változóként meghagyva) is az egyenleteket! a) Q = K ⋅ L b) Q = K ⋅ L c) Q = K 2 ⋅ L4 1 4

3 4

1 8

3 8

d) Q = K ⋅ L e) Q = K ⋅ L

f) Ábrázolja a Q=100-hoz tartozó izokvantot a b) pontban található egyenletre vonatkozóan! Figyelje meg, hogyan változik az izokvant meredeksége, ha a görbén nagyobb L mennyiségek felé mozdulunk el!

53. feladat: Az izokvant görbe meredeksége A második feladatban már számítottuk az izokvant görbe két pontja közötti meredekséget. Most a görbe adott pontjában felvett meredekségét határozzuk meg. Ahogy tudjuk, ezt a görbe adott pontjához húzható érintı meredeksége adja meg. Ez tehát egy olyan egyenes meredeksége, amelyik úgy ér hozzá az adott pontban a függvénygörbéhez, hogy más pontban nem találkozik a görbével. Az érintı egyenes ilyenkor az érintési pontban pontosan olyan meredek, mint a görbe, amelyet érint. A meredekség meghatározásához a deriváltat használtuk a közömbösségi görbéknél, ezt tesszük most is. A közömbösségi görbéknél a következı összefüggést írtuk fel a görbe két pontja közötti elmozdulás esetére: ∆TU ( x, y ) = MU x1 ⋅ ∆x1 + MU x 2 ⋅ ∆x1 = 0 vagyis MU x1 ⋅ ∆x1 = − MU x 2 ⋅ ∆x 2 A két pont közötti elmozdulást a kifejezve kapjuk, hogy

∆x2 hányados adja meg, ezt pedig az elızı összefüggésbıl ∆x1

MU x1 ∆x 2 = = RS . ∆x1 MU x 2

Ebbıl kaptuk aztán a közömbösségi görbe adott pontjának a meredekségét, ha a két pont közötti távolságot egyre csökkentettük, amíg a delták értéke nulla nem lett. Ekkor viszont már nem lehetett a fenti képletet különbségekkel (kivonással) meghatározni, a delták szerepét a deriválás vette át. (Az ábrán pedig a görbe két pontja közötti szelı egyenes egyre inkább hasonlóvá vált egy érintıhöz, ahogy a görbén a két pont közelített egymáshoz, s majd ahogy a delta nullává vált, a szelıbıl érintı lett). A fenti képletben szereplı helyettesítési rátából (RS) így kaptuk meg annak határértékét, ami a helyettesítési határráta, vagyis az MRS. Ennek képlete:

MRS = lim ∆x1→0

MU x1 ∆x 2 = ∆x1 MU x 2






A kulcs tehát az, hogy meg tudjuk határozni a határhasznokat. Ezek pedig azt mutatják, hogy változik a fogyasztó hasznossága, ha valamelyik termékbıl egységnyivel növeli a fogyasztását. A határhaszon deriválással volt megkapható, mégpedig a következı módon: MU x1 =

∂U ( x1 , x2 ) ∂x1

MU x 2 =

∂U ( x1 , x2 ) ∂x2

Ebbıl pedig az MRS képletére a következı adódott:

MRS =

MU x1 MU x 2

∂U ( x1 , x2 ) ∂x1 = ∂U ( x1 , x2 ) ∂x2

Ugyanezt kell alkalmaznunk most a termelési függvényre. Ami a hasznosság (U) volt a fogyasztói modellben, az lesz most a termelés (Q). Ami ott az x1 és az x2 termék volt, azok lesznek most a termelési tényezık (L és K). Ott MUx1 és MUx2 szerepeltek, itt MPL és MPK. Ott az MRS, itt az MRTS értéke adta a megfelelı görbe (közömbösségi görbe a fogyasztói feladatnál, izokvant görbe a termelési feladatnál) meredekségét. Kiindulva a fogyasztóknál látott összefüggésbıl, de azt az izokvant görbére alkalmazva:

∆Q(L, K ) = MPL ⋅ ∆L + MPK ⋅ ∆K = 0 . Ezt rendezve:

∆K MPL = = RTS ∆L MPK A két pont közötti meredekségbıl a pontbeli meredekségre váltva (RTS-bıl MRTS-t alkotva) pedig:

∂Q( K , L) MPL ∂L MRTS = = ∂ Q ( K , L) MPK ∂k Az izokvant meredekségének meghatározásához tehát a munka határtermékét kell osztanunk a tıke határtermékével. A határtermékek pedig a termelési függvény megfelelı változó szerinti deriváltjaként kaphatók meg. a) A hosszúra nyúlt elméleti bevezetı után az átismételt információk segítségével adja meg az MRTS értékét a következı termelési függvényre vonatkozóan: Q = K ⋅ L . b) Ezután adja meg a Q=10 egységnyi termeléshez tartozó izokvant görbe egyenletét, majd töltse ki a következı táblázatban a görbe hiányzó pontjait! Az a) pontban kapott MRTS képlettel végül adja meg az adott pontban az izokvant görbe meredekségét! K

1

2

10

20

50

100

L Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






MRTS c) Az MRTS alakulásával bizonyítsa be, hogy az izokvant görbe egyre laposodik, ahogy egyre nagyobb munkamennyiséget használ fel a vállalat!

54. feladat: Az izokvant görbe meredeksége – további példák Adja meg az alábbi termelési függvények megadott termelési kombinációjához tartozó izokvant görbe meredekségét! a) Termelési függvény: Q = K ⋅ L Tényezıkombináció: K=20 L=5 b) Termelési függvény: Q = K 2 ⋅ L4 Tényezıkombináció: K=10 L=40 1

3

c) Termelési függvény: Q = K 4 ⋅ L4 Tényezıkombináció: K=50 L=100 1

9

d) Termelési függvény: Q = K 10 ⋅ L10 Tényezıkombináció: K=8 L=16

55. feladat: Az isocost egyenes Egy kisvállalat havonta 6.000.000 Ft-ból gazdálkodik. Munkát (L) és tıkét (K) használ fel termeléséhez. A munka egységára (a bért terhelı járulékokkal együtt) 1200 Ft/óra, míg a tıke egységára 10.000 Ft. a) Maximálisan mennyi munkát és tıkét tudna vásárolni a vállalat? b) Mennyit fog tudni venni munkából és tıkébıl, ha mindkettıre a rendelkezésre álló keret felét költi? c) Ábrázolja a vállalat lehetıségeit tartalmazó isocost egyenest, s jelölje is be rajta a három kiszámított kombinációt! (A két tengelymetszéspontot, valamint a felezıpontot!) d) Határozza meg az isocost egyenes meredekségét! Vegye észre, hogy a feladat tökéletesen azonos a költségvetési egyenes egyenletének megadásával, csak az ottani I helyett most TC (teljes költség), míg a két termék (x1 és x2) helyett a két termelési tényezı (L és K) szerepel. e) Hogy változik az isocost egyenes egyenlete, ha a munka ára 20%-kal megemelkedik? Adja meg az új egyenletet és rajzolja is be az új függvényt a c)-hez készített ábrába!

56. feladat: Optimális tényezıfelhasználás hosszú távon Egy vállalat termelési függvénye a Q = K ⋅ L alakot veszi fel. A vállalat vezetısége a tulajdonosok döntése alapján havonta 1.000.000 Ft-ot fordíthat termelésre. A tıke után 10% kamatot kell fizetni (i=0,1) míg a munka egységára 2000 Ft. a) Adja meg a vállalat isocost egyenesének egyenletét! b) Határozza meg az isocost egyenes meredekségét! c) Adja meg a vállalat termelési függvényének felhasználásával a munka határtermékének képletét! d) Adja meg a tıke határtermékének képletét! e) Adja meg az MRTS képletét (amely mint tudjuk, a határtermékek hányadosaként kapható meg)!







f) Adja meg a vállalat számára optimális tıke-munka kombinációkat! (Vagyis írja fel az optimumfeltételt). Ahogy már láttuk: ez nem más, mint: MRTS = PL/PK g) Helyettesítse vissza az f)-ben kapott feltételt az isocost egyenesbe, s adja meg, mekkora lesz a vállalat optimális tıke- és munkafelhasználása. h) Mennyit fog tudni ennyi K és L felhasználásával a cég? i) Adja meg az optimumhoz tartozó izokvant görbe egyenletét!

57. feladat: Optimális tényezıfelhasználás változásai A következı feladatok az elızı példában szereplı vállalatra, s mindig az abban megfogalmazott kiinduló helyzetre vonatkoznak. a) A vállalat vezetıségének sikerül elérnie a tulajdonosoknál, hogy másfélszeresére növeljék a havonta felhasználható pénzmennyiséget. Adja meg az új helyzetben érvényes optimális tıke- és munkafelhasználást, valamint a maximális termelés mennyiség! b) Megváltoznak a munkapiaci feltételek, s a nagyobb munkanélküliség miatt a vállalat olcsóbban is munkához juthat. Az új bér 1500 forint. Adja meg az optimumhoz tartozó értékeket! (K, L, Q) 1 4

3 4

c) A vállalat új technológiát használ, s a termelési függvény a Q = K ⋅ L alakra módosul. A vállalati költségszint és a tényezık ára az elızı példában lévıvel azonos. Adja meg a változás után érvényes optimális tényezıfelhasználás, valamint az ezzel elérhetı maximális termelési nagyságát!

58. feladat: A skálahozadék Döntse el a szemináriumon látott módon következı hosszú távú termelési függvényekrıl, hogy azok skálahozadéka állandó, növekvı, vagy csökkenı! Mindegyik függvény esetében végezze el a feladatot konkrét K és L érték, illetve a tényezıfelhasználás adott növekedési ütem segítségével (behelyettesítéssel), valamint paraméteresen is! a) Q = K ⋅ L b) Q = K ⋅ L c) Q = K 2 ⋅ L4 1 4

3 4

1 8

3 8

d) Q = K ⋅ L e) Q = K ⋅ L

Segítségül az a)-hoz pl. választhatja azt, hogy K helyére 20-at, L helyére 10-et ír, majd kiszámítja Q értékét. Ezután mindkét tényezı (K és L) felhasználását mondjuk 1,8-szorosára növeli, s kiszámolja az új Q értéket. Majd megnézi, hogy a Q értéke hányszorosára növekedett. Ha az is pontosan 1,8-szorosára, akkor állandó a skálahozadék. Ha ennél nagyobb mértékben, akkor a hozadék növekvı, ha ennél kisebb mértékben, akkor a hozadék csökkenı. Természetesen nem az 1,8-as érték a választóvonal, hanem mindig az, hogy a termelés növekedése eléri-e a tényezıfelhasználás növekedését. Kétszeres tényezıfelhasználásnál a Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




kétszeres növekedés jelent állandó skálahozadékot, 1,2-szeres tényezınövelés esetén pedig a Q 1,2-szeres növekedésekor lesz állandó a hozadék. A paraméteres megoldáshoz vegye mind K, mind L esetében azok pl. α-szorosát. Majd az egyenlet jobb oldalán próbálja meg kifejezni az induló képletet (pl. a K ⋅ L alakot úgy, hogy az α-kat kiemeli az egyenlet jobb oldalának elejére. Ha ez sikerült, azt kell megnéznie, hogy a kiemelés után az eredeti alak (példánkban a K ⋅ L elıtt milyen szorzótényezı szerepel). Ha ott puszán az α látható, akkor a kibocsátás is olyan ütemben nıtt, mint a tényezıfelhasználás. Ha ennél nagyobb (pl. 2α, α2, stb.), akkor növekvı a hozadék. Ha ennél kisebb, (pl. 0,5α, α0,5, stb.), akkor pedig csökkenı a hozadék.

59. feladat: A termelési rugalmasság Határozza meg a munka termelési rugalmasságát az alábbi termelési függvények mindegyikére a K=200, L=100 tényezıkombinációra vonatkozóan! ∆A% Mint tudjuk, a rugalmassági mutató általános alakja ε A, B = , ahol A megváltozott ∆B % tényezıt, míg B a változást kiváltó tényezıt jelenti. Az árrugalmasság esetében pl. az A volt a termék kereslete (amit Q-val jelölhettünk), míg B a termék ára (ezt pedig P-vel jelötük). A rugalmasság képlete a korábban már látott módon itt is alkalmazható lesz: ∆Q% ε Q,L = . ∆L% Ezt továbbfejtve kapjuk, hogy: ∆Q ∆L ∆Q L ∆Q L ε Q,L = = ⋅ = ⋅ Q L Q ∆L ∆L Q ∆Q A képlet elsı része nem más, mint a határtermék MPL = . A második része pedig a ∆L Q határtermék reciproka. APL = . L Ebbıl pedig az adódik, hogy a munka termelési rugalmassága megkapható a határtermék és az átlagtermék hányadosaként, vagyis: MPL ε Q,L = APL A feladat tehát ismét: Határozza meg a munka termelési rugalmasságát az alábbi termelési függvények mindegyikére a K=256, L=100 tényezıkombinációra vonatkozóan! a) Q = K ⋅ L b) Q = K ⋅ L c) Q = K 2 ⋅ L4 1 4

3 4

1 8

3 8

d) Q = K ⋅ L e) Q = K ⋅ L

A feladatot megoldhatja úgy is, hogy a K értékét változóként hagyja az egyenletben, de úgy is, hogy egybıl behelyettesítı a megadott K értéket a függvénybe. Az L értékét azonban nem Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.





írhatja be, hiszen akkor nem tudna L szerint deriválni! (Pontosabban konstans lenne a képlet értéke, annak a deriváltja pedig nulla lenne.) De értelme sincs az L beírásának, hiszen pontosan arra vagyunk kíváncsiak, hogy az L változása hogy változatja a termelés értékét. * Kiegészítés a feladattípushoz: ∆Q L Az ε Q , L = ⋅ képletben ugyanúgy tudjuk csökkenteni a delta nagyságát, mint bármelyik ∆L Q rugalmassági képletben. Ahogyan pl. a kereslet árrugalmasságát a keresleti függvény egymáshoz egyre közelebb lévı pontjai között tudjuk számítani, így ugyanez megtehetı a termelési függvény esetében is. Ilyenkor a ∆L egyre kisebb lesz. Ha a rugalmasságot egy adott pontban szeretnénk meghatározni, akkor a delták használata természetesen már nem megoldható. Ekkor – az árrugalmasságnál látott módon – átváltunk a deltákról a deriválás használatára, s a következı képletet használhatjuk: ∂Q L ε Q,L = ⋅ . ∂L Q Azonban ezzel sem mondtunk semmi újat, hiszen az elsı tag nem más, mint a határtermék, s az elıbb már ugyanerre a következtetésre jutottunk. Ugyanakkor pontosan láthattuk, hogy a korábban már megismert rugalmassági mutatók logikája pontosan ugyanúgy mőködik a termelési rugalmasság esetében is.

60. feladat: Az idıtávok, a parciális termelési függvény 1 6

5 6

Egy vállalat termelési függvényének alakja Q = 10 ⋅ K ⋅ L . A cég számára a tıkeállomány nagysága rövid távon rögzített, 64 egység. a) Írja fel a vállalat rövid távú, parciális termelési függvényének egyenletét! b) Határozza meg a függvény pár pontjának koordinátáit! c) Ábrázolja a függvényt! d) Határozza meg a határtermék-függvény képletét! e) Határozza meg az átlagtermék-függvény képletét! f) Adja meg a b)-ben már használt L értékekhez tartozó MPL és APL értékeket! g) Ezek segítségével ábrázolja is a d) és e) pontokban kiszámított függvényeket!

61. feladat: a befektetés megtérülése (NPV és IRR számítása) Egy vállalat 2.000.000 Ft-os beruházás megvalósításán gondolkozik: egy új gépet vásárolna üzemébe. Ha megveszi a gépet, akkor az két évig fog tudni mőködni, utána le kell selejteznie. A géppel elérhetı tiszta nyereség az elsı évben 1.000.000 Ft, a második évben pedig 1.300.000 Ft. a) Határozza meg a gép által megtermelt hozamok jelenértékét, ha a vizsgált idıszakra vonatkozóan 6%-os az átlagos banki kamatláb nagysága! b) Határozza meg a beruházás nettó jelenértékét 6%-os kamatláb esetén! c) Érdemes-e megvalósítani a beruházást? Válaszát indokolja! d) Határozza meg a nettó jelenérték (NPV) nagyságát 4%-os és 8%-os kamatláb esetére is.





e) A három NPV érték (és természetesen a számításokhoz használt kamatlábak) alapján vonjon le következtetést, arra vonatkozóan, hogyan befolyásolja a kamatláb a beruházások megtérülését! f) Számolja ki újra a nettó jelenértéket, de most 10%-os kamatláb esetére! g) Határozza meg, hogy mekkora banki kamatláb esetén lenne nulla a beruházás nettó jelenértéke! Az elızıekbıl már tudnunk kell, hogy milyen határok között kell a kamatlábnak lennie! Hiszen az b) és d) pontoknál még pozitív, az e)-nél pedig már negatív értékeket kaptunk. Valahol a legmagasabb, még pozitív nettó jelenértéket produkáló kamatláb (vagyis 8%) és a már negatív eredményt adó 10% közötti kamatlábnak kell kijönnie. Jegyezze meg, hogy a g)-ben kapott eredmény nem más, mint a beruházás belsı megtérülési rátája, vagyis az IRR! Gondolja végig újra, hogy számoljuk a nettó jelenérték (NPV) értékét, s látni fogja, hogy teljesülnek a következık: ha IRR > i, akkor NPV > 0 ha IRR = i, akkor NPV = 0 ha IRR < i, akkor NPV < 0 Vagyis amíg a cég (illetve egy adott projekt) hozama nagyobb, mint amit a bank kínál, addig pozitív a beruházás nettó jelenértéke, ha azonban a hozam a banki kamat alá esik, akkor a nettó jelenérték negatívvá válik. Ez pedig azt jelenti, hogy jobban megérné a bankban tartani a pénzt. Abszolút értelemben ettıl még lehet nyereséges egy beruházás, pl. hozhat tisztán 1.000.000 Ft-ot, de ez a bankhoz képest lehet rossz is, ha az adott pénzt a bankban lekötve pl. 1.200.000 Ft-hoz jutottunk volna. Ebben az esetben tehát a banki hozamnál gyengébben teljesített a vállalt (ilyenkor kapunk negatív eredményt a nettó jelenértékre).

62. feladat: A költségfüggvények származtatása a termelési függvénybıl Egy vállalat termelési függvénye q = K ⋅ L , ahol q a vállalat által gyártott termékek száma, K a felhasznált tıke mennyisége (Ft-ban), L pedig a vállalat által alkalmazott munkaerı nagysága (fıben). A vállalat rövid távon rögzített tıkeállománnyal dolgozik, amelynek nagysága 10.000.000 Ft. A tıke ára (vagyis a kamatláb) nagysága 5%. (i=0,05). A munkaerı ára pedig 200.000 Ft/fı. a) Határozza meg a vállalat fix költségének nagyságát! b) Adja meg a változó költség függvény egyenletét! c) Írja fel a vállalat teljes költség függvényének egyenletét! d) Adja meg az AFC(q), AVC(q) és AC(q) függvények egyenletét! e) Határozza meg az MC(q) függvény egyenletét! f) Ábrázolja a FC, VC(q) és TC(q) függvényeket közös koordináta rendszerben! g) Ábrázolja az AFC(q), AVC(q), AC(q) és MC(q) függvényeket egy közös koordináta rendszerben! (Figyeljen oda, hogy az elızı feladatrészben készített ábrába ezek már nem rajzolhatóak be, hiszen amíg ott a függılegesen tengelyen az adott termelési nagyság esetén érvényes összes költség jelenik meg, addig itt a tengelyen az egy termékhez kapcsolódó költségeket kell ábrázolnunk. Így a két ábrán a függıleges tengely mértékegysége is eltér: az elızınél Ft, ez utóbbinál pedig Ft/db a tengely mértékegysége.) Figyeljen rá, hogy mindkét ábrán a függvények alakja tükrözze az egyenleteket! Nem Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






rajzolhatja be tehát mechanikusan a tankönyvben lévı függvényalakokat, hiszen elıtte meg kell vizsgálnia, hogy a kapott függvények egyáltalán olyan alakot vesznek-e fel!

63. feladat: A függvények értelmezése és a költségfüggvények közötti összefüggések. Egy vállalat költségfüggvényei közül a következıket ismerjük: 40.000 AFC (q ) = , MC (q ) = 100 + 2q , ahol q a termelés nagyságát jelenti darabban, a q költségeket pedig forintban mérjük. a) Írja fel a vállalat hiányzó rövid távú költségfüggvényeinek egyenletét! b) Töltse ki a következı táblázatot: q 0 10 20 40 100 150 220 300

FC

VC(q)

TC(q)

AFC(q)

AVC(q)

AC(q)

MC(q)

c) Milyen termelési nagyságnál lesz az egy termékre jutó fix költség nagysága 100 forint? d) Milyen termelési szint esetén lesz az egy termékre jutó változó költség nagysága 300 egység? e) Hányadik termék határköltsége lesz 150 pénzegység? f) Mekkora a termék lehetséges legkisebb gyártási költsége? (Itt tehát az AC minimális értékét kell meghatároznia. Elıször keresse meg azt a termelési nagyságot, ahol ez teljesül, majd számítsa ki az ide tartozó AC értéket. Az AC minimuma – mint minden függvény szélsı értéke – a függvény deriválásával kapható meg: ott van a minimumpont, ahol a derivált zérus). g) Bizonyítsa be, hogy az MC(q) függvény az AC(q) függvényt az AC(q) függvény minimumpontjában metszi!

64. feladat: Az árbevétel jelentése – konstans ár Egy termék piacán a keresleti függvényt a P = 6000 − 0,003 ⋅ Q összefüggés adja meg, míg a kínálat a P = 800 + 0,001 ⋅ Q alakkal írható le. a) Adja meg a piacon érvényes egyensúlyi ár nagyságát! b) A piac kínálati oldalát sok kisvállalat alkotja. A vállalatok árelfogadóak, tehát alkalmazkodniuk kell a piacon kialakult árhoz. Adja meg egyenlettel, hogy alakul egy vállalat árbevétele (TR) az eladott mennyiség függvényében! A mennyiséget q-val jelölje. c) Ábrázolja a vállalat bevételi függvényét! d) Határozza meg a vállalat határbevételi függvényének egyenletét! e) Ábrázolja a határbevételi függvényt! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




f) A vevık magatartása megváltozik, az új keresleti függvény alakja P = 6000 − 0,007 ⋅ Q lesz. Adja meg a változás után érvényes új egyensúlyi árat, a vállalat új teljes- és határbevételi függvényét, majd ábrázolja a TR(q) és MR(q) függvényeket!

65. feladat: Az árbevétel jelentése – változó ár Egy termék piacán a keresleti függvény alakja P = 800 − 0,2 ⋅ Q . A terméket egyetlen vállalat kínálja, így a vevık csak tıle vásárolhatnak. A vállalat az árat a vevık magatartásához (fizetési hajlandóságához) igazítja, így ha a 1000 db-ot szeretne eladni, akkor olyan árat fog megszabni, amely mellett a vevık pontosan ezt a mennyiséget igényelnék. Ha többet szeretne értékesíteni (pl. 1500 db-ot), akkor ehhez igazítottan kisebb árat fog diktálni, azonban ha például 800 db eladásával is megelégszik, akkor magasabb árat fog meghatározni. a) Adja meg, hogy milyen árat kérhet a vállalat, ha 1000 db-ot szeretne értékesíteni? Milyen ár esetén tudna a cég 1500 db-ot értékesíteni? b) Milyen áron tudna 800 db-ot eladni a cég a termékbıll? c) Adja meg, hogy mekkora bevételre tenne szert a cég az elızı három esetben? d) Adja meg, hogy mekkora lenne a cég árbevétele 2000 db-os értékesítés esetén! e) Az elızı pontok logikája alapján számítsa ki a következı táblázat hiányzó adatait majd töltse ki a táblázatot! Q P TR MR 0 800 1000 1500 2000 2500 3000 4000 f) Milyen kapcsolat van a határbevétel és a teljes bevétel között?

66. feladat: Az árbevétel jelentése – változó ár Egy termék piacán a keresleti függvény alakja P = 800 − 0,2 ⋅ Q . A terméket egyetlen vállalat kínálja, így a vevık csak tıle vásárolhatnak. a) Írja fel a vállalat teljes bevételi függvényének egyenletét! Segédlet: A teljes bevétel (TR) az ár (P) és a mennyiség (Q) szorzataként kapható meg. Az ár (P) azonban itt most nem egy konstans, hanem maga is függ a mennyiségtıl: nagyobb mennyiséget csak olcsón, kisebb mennyiséget drágábban is el lehet adni. Így a szorzat maga is egy függvény marad, ezért a TR(Q) függvényben a Q változóként benne fog maradni. A TR(Q) egy négyzetes függvény lesz, egy fejrefordított parabolához fog hasonlítani. b) Írja fel a vállalat határbevételi függvényének egyenletét! Segédlet: a határbevétel (MR) a teljes bevétel deriváltjaként kapható meg. A TR(Q) függvényt kell tehát Q szerint deriválnia. c) Adja meg, hogy milyen termelési nagyság esetén lesz maximális a cég árbevétele!





Segédlet: A teljes bevétel akkor maximális, amikor a határbevétel nulla. Az elıbb a deriválás után megkapta a határbevétel egyenletét, tegye ezt most egyenlıvé nullára, majd oldja meg Q-ra. d) Ábrázolja egymás alatt a TR(Q) és MR(Q) függvényeket! Az ábrákon tükrözıdjenek a függvények közötti kapcsolatok! Segédlet: ahol a TR maximális, ott kell az MR-nek nullának lennie. Az MR függıleges tengelymetszéspontjának igazodnia kell az egyenletben szereplı értékhez. Az MR addig pozitív értékeket vesz fel, amíg a TR emelkedik (illetve: amíg az MR pozitív, addig a TR emelkedik). Amikor az MR negatív lesz, a TR már csökken.

67. feladat: MR-bıl TR: tökéletes verseny Egy vállalat tökéletesen versenyzı iparágban mőködik. A termék piacán a határbevétel 200 Ft/db. a) Adja meg a termék piaci árát! b) Adja meg a TR(q) függvény egyenletét!

68. feladat: MR-bıl TR: monopólium Egy monopólium határbevételi függvényének alakja MR = 2000 − 5Q . a) Adja meg a vállalat teljes bevételi függvényének alakját! Segédlet: Az MR, mint tudja, a TR deriváltja. Meg kell tehát keresnie, hogy melyik függvény az, amelyet deriválva a példában megadott MR-alakot kapjuk. Ez lesz a keresett TR(Q) függvény. b) Adja meg a vállalat termékére érvényes keresleti függvény alakját! Segédlet: Az a)-ban megkapott TR(Q) nem más, mint az ár és a mennyiség szorzata. Az ár azonban nem egy konstans, hanem a P(Q) függvény (vagyis a keresleti függvény) tartalmazza azt. Így a TR(Q ) = P(Q ) ⋅ Q szorzatból kell visszafelé megkapnia a P(Q) alakját. Ez pedig úgy kapható meg, hogy a teljes bevételi függvény egyenletét elosztja Qval. c) Adja meg a vállalat által elérhetı maximális árbevétel nagyságát! Segédlet: A TR ott maximális, ahol az MR nulla. Keresse meg az MR zérushelyét jelentı Q értéket, majd ezt írja vissza a TR egyenletébe.

69. feladat: P(Q) és MR(Q) kapcsolata Monopólium esetén, ha a piaci keresletet lineáris összefüggéssel tudjuk leírni, a keresleti és a határbevételi függvények nagyon könnyen meghatározhatóak egymásból. Ha a keresleti görbe alakja P = a − b ⋅ Q , akkor a teljes bevétel a következı: TR(Q ) = P(Q ) ⋅ Q

TR(Q ) = (a − b ⋅ Q ) ⋅ Q TR(Q ) = a ⋅ Q − b ⋅ Q 2

A határbevétel a teljes bevétel deriváltja. Ez alapján:

∂TR(Q ) = a − 2 ⋅ b ⋅ Q 2−1 ∂Q MR(Q ) = a − 2b ⋅ Q

MR(Q ) =

Nézzük meg most együtt a két függvényt: Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




P (Q ) = a − b ⋅ Q

MR(Q ) = a − 2b ⋅ Q Az alakjuk csak annyiban különbözik, hogy a határbevételi függvény meredeksége kétszerese a keresleti függvény meredekségének. Az összefüggés felhasználásával határozza meg a következı függvényekhez a másikat! (Ha tehát a P(Q) adott, akkor az MR(Q) egyenletét, ha pedig az MR(Q) ismert, akkor a P(Q) alakját kell megadnia) a) P = 800 − 0,2 ⋅ Q b) P = 500 − 2 ⋅ Q c) P = 2000 − 0,001 ⋅ Q d) MR = 2000 − 5Q e) MR = 400 − Q f) Q = 1600 − 5 ⋅ P g) Q = 200 − 0,1 ⋅ P Figyeljen oda, hogy milyen alakban adottak a függvények! Ha a keresleti függvény P(Q) alakja ismert, akkor a meredekség duplázásával megkapja az MR függvényt. (Így dolgozhat a példa a, b és c pontjával). Ugyanakkor ha a keresleti függvény Q(P) típusban adott, akkor azt elıször át kell rendeznie a P(Q) alakra, csak ezután duplázhatja a függvény meredekségét! Amíg a keresleti függvényt mindkét (P(Q) és Q(P)) alakban is használjuk, addig a határbevételt rendszerint csak az MR(Q) alakban alkalmazzuk. Így az MR(Q) függvény egyenletébıl a P(Q) a függvény meredekségének felezésével kapható meg, ahogy ezt a példa d és e pontjában is alkalmaznia kellett.

70. feladat: Profitszámítás tökéletesen versenyzı vállalat esetén Egy kisvállalat termékének piacán az egyensúlyi ár 500 Ft. A vállalat teljes költségének alakulását a TC (q ) = 5.000 + 50 ⋅ q + 4,5 ⋅ q 2 egyenlet adja meg. a) Töltse ki a táblázatot! q P TR MR FC VC TC AFC AVC AC MC Π 0 10 25 45 60

Segédlet: A vállalat tökéletesen versenyzı, tehát az ár minden termelési szintnél azonos. A TR értéke az ár és a mennyiség szorzatából adódik. Az MR itt (mivel nem függvénnyel dolgozunk) ∆TR(q ) a deltás képlettel kapható meg a következı módon: MR = . ∆q Vegye észre, hogy az MR változása mindig a q változásából képzıdik, hiszen a TR szorzatában szereplı két tag közül az egyik (az ár) konstans. Ezért a hányados is konstans ∆TR(q ) ∆(P ⋅ q ) P ⋅ ∆q lesz, mert MR = = = =P. ∆q ∆q ∆q Vagyis az ár és a határbevétel azonos, így MR = P (ahogy azt már korábban használtuk is). Az FC és VC oszlopokba tartozó értékeket a TC két részre bontásával kaphatjuk meg. A TC egyenlete adott, annak q=0-hoz tartozó értéke lesz az FC (hiszen ha nincs termelés, vagyis a q=0, akkor csak a fix költségek merülnek fel). Az FC értéke minden sorban azonos lesz. Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




A VC értéke sorról sorra változni fog, a VC(q) egyenlete megkapható a TC(q)-ból, ha abból elhagyja az FC értékét. A VC(q) képletében a q helyére az adott sorhoz tartozó q értéket helyettesítve megkapjuk megfelelı értékeket. A TC(q) értéke vagy az adott sorban lévı FC és VC(q) érték összegeként kapható meg, vagy pedig az adott sorban szereplı q-t kell a TC(q) függvényben a q helyére behelyettesíteni. Az AFC(q), AVC(q) és AC(q) függvények rendre megkaphatók az FC, VC(q) és TC(q) értékek q-val való osztásával. Az MC itt (mivel a példa táblázatos) az elıbb az MR-nél látott deltás képlettel adható meg, ∆TC (q ) kiszámítása így: MC = . ∆q b) Válassza ki a táblázatban lévı termelési nagyságok közül a legmagasabb profitot biztosító esetet! Segédlet: egyszerően keresse meg, hogy melyik sorban lesz a legnagyobb a profit nagysága.

71. feladat: Optimális termelési nagyság tökéletesen versenyzı vállalatnál. Egy tökéletesen versenyzı vállalat 500 Ft-os áron tudja értékesíteni termékeit a piacon. A vállalat költségeit a TC (q ) = 5.000 + 50 ⋅ q + 4,5 ⋅ q 2 függvény írja le. a) b) c) d) e)

Adja meg a vállalat összes rövid távú költségfüggvényének egyenletét! Adja meg a vállalat optimális termelési nagyságát! Adja meg a vállalat által elérhetı maximális profit értékét! Mekkora az egy termékre jutó profit a cégnél? Ábrázolja a helyzetet mind a teljes, mind a fajlagos költségeket tartalmazó ábrán! A két ábra kapcsolódjon egymáshoz!

Megjegyzés: Ha megfigyelte, a példa indulóadatai azonosak az elızı feladatban adottakkal. Azonban ott csak kiválasztottunk pár lehetséges termelési nagyságot, azokat rendeztük egy táblázatba, s azok közül próbáltuk meg kiválasztani a legjobb megoldást. Azonban a táblázat egyértelmően korlátozza a lehetséges változatok számát, sok termelési nagyság kimaradt belıle. Így elképzelhetı, hogy a valójában legmagasabb profitot biztosító kombinációt sem tartalmazta. Így van ez ennek a példának az esetében is, amikor ugyan ki tudja választani, hogy az elızı táblázatban szereplı q értékek közül melyiknél lesz a legmagasabb a profit, de ennél magasabb profit is elérhetı egy, a táblázatban nem szereplı termelési szint (q) esetén. A táblázatos feladatok ilyen hibáit küszöböli ki ha nem táblázattal, hanem egyenletekkel dolgozunk. Ekkor azonban a határfüggvényeknél (MR és MC) is módosítanunk kell az ∆TR(q ) ∆TC (q ) alkalmazott módszereket, az MR = és MC = alakok helyett (amelyek a ∆q ∆q függvények két pontja közötti meredekség alapján adják meg az MR és az MC értékét) a ∂TR(q ) ∂TC (q ) precízebb formulákat kell használnunk. Az MR = és az MC = formulák már ∂q ∂q a függvények adott pontbeli meredekségével számolnak, így most is ezeket kell használnunk. Az MR itt (tökéletes versenyrıl lévén szó) nagyon egyszerő lesz, hiszen ilyenkor MR=P lesz. Monopóliumnál viszont az MR is egy egyenletet fog adni, ahogy itt pl. az MC esetén láthatjuk majd.

72. feladat: Tökéletes versenyzıi optimalizálás: vállalat és piac





Egy tökéletesen versenyzı vállalat olyan piacon van jelen, ahol a keresleti és a kínálati összefüggések a következı függvényekkel írhatók le: P = 600 + 0,0003 ⋅ Q és P= 5.000 − 0,0002 ⋅ Q . A vállalat fix költsége 900.000 Ft, a változó költséget pedig a VC = 200 ⋅ q + 2,5 ⋅ q 2 összefüggés adja meg. a) Milyen ár alakul ki a piacon? b) Igazodva a piaci árhoz, mennyit fog termelni a vállalat? c) Mekkora profitot elérni a vállalat? d) Határozza meg az egy terméken elért nyereség nagyágát! e) Ha a piacon az összes cég egyforma (azonos méretőek, azonos költségekkel dolgoznak), akkor hány vállalat van az iparágban? Segédlet: ehhez azt kell tudnunk, hogy az iparág egésze mennyit termel. Ha például egy piacon 10.000 terméket 10 vállalat gyárt, akkor minden vállalat 1.000 db terméket gyárt (feltéve, hogy egyformák a cégek). A b) feladatrész megadta, hogy egy cég mennyit termel, a példában megadott piaci kereslet és kínálat pedig lehetıvé teszi, hogy a piaci összes értékesítés (Q) mennyiségét is meghatározzuk. E kettı hányadosából kapjuk meg a vállalatok számát.

73. feladat: A fedezeti pont Egy vállalat tökéletesen versenyzı iparágban van jelen. A cég által elfogadott piaci ár jelenleg 4.200 Ft/db. A vállalat határköltség-függvényének egyenlete MC = 200 + 5 ⋅ q , fix költsége pedig 900.000 Ft. A vállalat ebben a helyzetben pozitív gazdasági profitot ér el. (Ennek nagyságát most nem kérdezi a feladat, de könnyen ki is számolhatja). a) A 4.200 Ft/db-os árhoz képes milyen (alacsonyabb, vagy magasabb) ár mellett lenne a fedezeti pontban a vállalat? Indokolja válaszát! b) Határozza meg a fedezeti ponthoz tartozó ár nagyságát! c) Bizonyítsa be, hogy tényleg sikerült a megfelelı árat kiszámítania!

Segédlet: a fedezeti pontban az ár megegyezik a termék átlagköltségével, vagyis P=AC. A tökéletes versenyzı vállalat mindig annyit termel, hogy a legjobb eredményt érje el, vagyis mindig az optimális q értéket próbálja elérni. A legjobb profitot akkor tudja biztosítani a cég, ha teljesül az optimumfeltétel, vagyis az MR=MC összefüggés. Mivel a vállalat tökéletesen versenyzı, ezért az ár konstans, vagyis MR = P. Ebbıl összerakható az AC = P = MR = MC négyes összefüggés. Ennek bal oldala (AC=P) a fedezeti pont lényegét adja meg. A jobb oldala (MR = MC) a vállalati profitmaximum. A középsı összefüggés (P = MR) pedig kifejezetten csak a tökéletesen versenyzı vállalatra teljesülı kapcsolat. Az összefüggés két szélét kiragadva: AC = MC. Eszerint a vállalat akkor fog olyan áron termelni, amelyik egyezik az átlagköltségével, amikor az AC egyben az MC-vel is megegyezik. Ilyenkor a profit nulla lesz. Fel kell tehát írnia az AC egyletét, ezt egyenlıvé kell tennie az MC-vel, majd felírja az AC = MC összefüggést. Ebbıl kap egy q értéket, ezt ezután akár az AC(q), akár az MC(q) egyenletbe visszaírhatja, s ebbıl megkapja a keresett árat (ami azonos az AC-vel és az MC-vel is). Egy másik módon is megkeresheti a fedezeti pontot: a fedezeti pont az AC minimumpontja. Adja meg az AC(q) alakot, majd keresse meg ennek minimumpontját. Ahogy azt korábban már használtuk: az AC(q)-nak akkor van minimumpontja, amikor az elsı deriváltja nulla. Ha ezt a módszert használja, ugyanazt a q értéket kell kapnia, mint amit az elızı (AC=MC) módon kapott. Számolja ki ezzel a módszerrel is, hogy mindkét módot gyakorolja! Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




74. feladat: A monopólium optimalizálása: táblázatos feladat

Egy monopólium által gyártott termék keresleti függvényének alakja: Q = 5000 − 0,5 ⋅ P . A

vállalat fix költsége 525.000 Ft, a változó költség egyenlete VC (Q ) = 2000 ⋅ Q + 1,5 ⋅ Q 2 . a) Töltse ki a táblázatot! q P TR MR FC VC TC AFC AVC AC MC Π 0 100 200 400 600 800 c) Válassza ki a táblázatban lévı termelési nagyságok közül a legmagasabb profitot biztosító esetet! Segédlet: A tizedik héthez feltöltött elsı példánál lévı segédlet javarészt itt is érvényes. A különbség annyi, hogy ebben a példában az MR nem konstans, hiszen itt (ellentétben a tökéletes versennyel, ahol minden terméket ugyanannyiért lehet adni) a nagyobb mennyiség csak kisebb áron lesz eladható. Ezért a határbevétel a mennyiség növekedésével csökken. A teljes bevételi függvény emiatt nem lesz lineáris, egy darabig emelkedik, majd csökkenésnek indul (ahogy ezt korábban a TR(Q) függvény kapcsán már láttuk a monopóliumra vonatkozóan).

75. feladat: A monopólium optimalizálása: táblázatos feladat Vegyük az elızı példában látott vállalatot. Bizonyítsa be, hogy a táblázatban nem volt benne a vállalat által elérhetı maximális profit nagysága! Segédlet: Ne a táblázatot használja, hanem az MR(Q) = MC (Q) összefüggés segítségével adja meg az optimumot. Ehhez elıször írja fel az MR(Q) függvényt, majd az MC(Q) függvényt. Ezután tegye egyenlıvé egymással a két egyenletet, ebbıl megkapja a termelés nagyságát. Ezután pedig már ki tudja számolni a teljes bevételt és a teljes költséget is, ebbıl pedig a profitot. Ha ez magasabb, mint a táblázatban látható legmagasabb profit-érték, akkor sikerrel járt a bizonyítás. (Vigyázzon: A keresleti függvény Q(P) alakban van! Nézze meg újra a kilencedik héthez feltöltött hatos feladatot, nehogy hibázzon! A feladat utolsó két pontja lesz különösen fontos!)

76. feladat: A monopólium optimalizálása: függvények használata

Egy monopólium által gyártott termék keresleti függvényének alakja: Q= 10.000 − 0,1 ⋅ P . A vállalat fix költsége 900.000 Ft, a változó költséget pedig a VC = 1.000 ⋅ Q + 2 ⋅ Q 2 összefüggés adja meg. a) Adja meg a vállalat határbevételi függvényét! b) Adja meg a vállalat termelésének nagyságát! c) Milyen árat fog alkalmazni a monopólium? d) Mekkora profitot elérni a cég? e) Mutassa meg, hogy akár kisebb, akár nagyobb árat használt volna a cég, a profit nem érte volna el a d)-ben számított értéket!

77. feladat: Monopolista optimalizálás





Egy monopóliumról tudjuk, hogy határköltségét az MC = 4Q összefüggés adja meg. Tudjuk azt is, hogy a vállalat termékének piacán a rezervációs ár 2000 Ft. Ismert továbbá még az is, hogy a vállalat 250 db-os termelés esetén éri el a maximális profitot. a) Adja meg a vállalat piacán érvényes keresleti függvény alakját! b) Adja meg a termék keresletének árrugalmasságát a vállalat által alkalmazott árra vonatkozóan! c) Lehet-e a termék kereslete árrugalmatlan monopólium esetén az optimális termelési nagyságnál? (Segédlet: emlékezzen rá, hogy lineáris keresleti görbe esetén az árrugalmasság a keresleti görbe minden pontjában más és más. Tudjuk, hogy a keresleti függvény felezıpontjában lesz a rugalmassági mutató értéke -1, felette rugalmas (tehát egynél nagyobb), alatta rugalmatlan (tehát egynél kisebb) rugalmassági értékeket kapunk.)

78. feladat: A két vállalatból álló piac – a keresleti és az ár kapcsolata. Egy piacot két vállalat lát el termékekkel. A két termék egyforma, így azokat a piac csak azonos áron hajlandó felvenni. A piac keresleti görbéje a P = 2000 − 0,1 ⋅ Q egyenlettel írható le. a) Töltse ki az alábbi táblázatot! Elsı cég Második termelése cég termelése q1 q2 1000 3000 2000 3000 5000 5000 6000 2000 6000 3000 6000 4000

Iparág teljes Ár (amelyen az termelése adott mennyiség eladható) Q P

Elsı cég Második cég bevétele bevétele

TR1=q1*P

TR2=q2*P

b) A táblázat utolsó három sora alapján nézze meg, hogyan változik az 1. cég árbevétele, ha az 1. vállalat változatlan termelése mellett a második cég növeli a piacra vitt termékmennyiséget!

79. feladat: Kétszereplıs piac, az egyik cég profit-egyenletének felírása Egy piacon két vállalat termel, a két cég a vevık szempontjából azonosnak értékelhetı terméket gyárt. A piacon a keresletet a P = 2000 − 0,1 ⋅ Q összefüggéssel adhatjuk meg. A piac egyik vállalatának ismerjük a költségeit: TC1 = 5.000 + 200 ⋅ q1 a) Írja fel az elsı vállalat profitjának egyenletét!

Segédlet: Π1 = P(Q) ⋅ q1 − TC1 Π1 = P(q1 + q2 ) ⋅ q1 − TC1 Vegye észre, hogy az egyenlet kétváltozós lesz! A P(Q) helyére a keresleti függvény egyenletét kell behelyettesítenie, majd abban a Q helyére kell beírnia a két cég termelésének összegét (q1+q2) Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.






b) A korábbi piacszerkezeteknél (tökéletes verseny, monopólium) módon adja meg a vállalat számára legjobb helyzetet jelentı megoldást! Segédlet: Most is az MR = MC összefüggést kell alkalmaznunk, ami a profitfüggvény deriválását igényli. A kapott alakot nullával kell egyenlıvé tennünk, majd azt q1-re rendeznünk. Mivel az a)-ban kapott függvény kétváltozós, ezért most a deriválás után is két változó marad az egyenletben. Ezért a végeredmény nem egy adott mennyiség lesz, hanem egy függvény, amely a q1 (q2 ) alakban adható meg. c) A b)-ben kapott összefüggés felhasználásával adja meg az elsı cég termelését, a két cég össztermelését, valamint a piacon kialakult árat, ha a második vállalat termelése az alábbi táblázatban látható mennyiségek szerint alakul: q2

q1

Q

P

0 1.000 2.000 5.000 10.000 18.000 d) Milyen piacszerkezetet eredményez a táblázat elsı sora? e) Számolja ki a q2=5000 nagyságú termelés esetére (illetve az ehhez meghatározott többi paraméter alapján) az elsı vállalat profitját!

80. feladat: Cournot-duopólium, a reakciógörbék

Egy piacon két vállalat termel. A piacon a keresleti görbe alakja: P = 5000 − Q . A piacon két vállalat van. Az elsı vállalat költségfüggvényének alakja TC (q1 ) = 1.500.000 + 100 ⋅ q1 . A második cég költségeinek alakulását a TC (q2 ) = 1.200.000 + 300 ⋅ q2 összefüggés írja le. a) Írja fel az elsı vállalat profitfüggvényét! b) Írja fel a második vállalat profitfüggvényét! c) Adja meg a két vállalat reakciógörbéinek egyenletét! d) Számolja ki és értelmezze az elsı vállalat reakciógörbéjének tengelymetszeteit! e) Ábrázolja egy ábrában az elsı vállalat reakciógörbéjét! f) Számolja ki és értelmezze az második vállalat reakciógörbéjének tengelymetszeteit! g) Ábrázolja egy újabb ábrában az második vállalat reakciógörbéjét! h) Ábrázolja egy közös ábrán a két reakciógörbét! Jelölje be a Cournot-féle egyensúlyi pontot! i) Adja meg az iparág Cournot-egyensúlyi pontjához tartozó vállalati termeléseket számszerő nagyságát! j) Mennyit termel összesen az iparág? k) Mekkora lesz a piacon az ár? l) Mekkora lesz az egyes cégek által elért profit? m) Mekkora lesz a fogyasztói többlet nagysága?

81. feladat: Cournot-duopólium Oldja meg az elızı feladatot a következı adatokkal is: Piaci kereslet:: P = 1.4000 − 0,5 ⋅ Q . Összeállította: Farkas Péter, egyetemi adjunktus.




Költségfüggvények: TC (q1 ) = 160.000 + 250 ⋅ q1 , valamint TC (q2 ) = 200.000 + 150 ⋅ q2

82. feladat: A két vállalatból álló piac – az egyik cég termelése konstans. Tegyük fel, hogy az elsı példában szereplı piacon, ahol a keresletet továbbra is a P = 2000 − 0,1 ⋅ Q egyenlet adja meg, a második vállalat lerögzíti termelését 2.000 db-os mennyiségen. Az elsı vállalat ezt ismerve szeretné maximalizálni az elért profitot. Saját költségeinek alakulását a TC (q1 ) = 4.000.000 + 300 ⋅ q1 egyenlet adja meg. a) Írja fel az elsı vállalat profitfüggvényét! b) Írja fel a második vállalat profitfüggvényét! c) Adja meg az elsı cég termelését, a piac termelését és az árat! d) Adja meg az elsı cég által elérhetı profit nagyságát!

83. feladat: A Stackelberg-duopólium Egy piacon két vállalat van jelen. Az elsı vállalat ismeri a másik magatartását (reakciógörbéjét), a második azonban nem ismeri az elsı cég reakciógörbéjét, így az iparág Stackelberg-duopóliumnak minısíthetı. A piac keresleti görbéjének egyenlete P = 1000 − 0,2Q . Az elsı vállalat határköltsége konstans, 200 egység, a második cég határköltsége szintén konstans, nagysága 400 egység. A két vállalat fix költsége 840.000 Ft (1. vállalat), illetve 12.500 Ft (2. vállalat). a) Írja fel az elsı vállalat profitfüggvényét! b) Írja fel a második vállalat profitfüggvényét! c) Adja meg a második (vagyis a követı) vállalat reakciógörbéjének egyenletét! d) Építse be ezt az elsı vállalt profitfüggvényébe! e) Hajtsa végre ezután az elsı vállalat esetében a profitmaximalizáló döntés meghatározásához szükséges szokásos lépéseket! Mennyit termel az elsı vállalat? f) Mennyit termel a második cég? g) Mennyi az iparág össztermelése? h) Milyen ár alakul ki a piacon? i) Adja meg a két cég által elérhetı profit nagyságát!

84. feladat: A különbözı piacszerkezetek termelési mennyiségeinek összehasonlítása azonos költségviszonyok esetén Egy termék piaci keresleti görbéjének egyenlete P = 4.000 − 0,75Q . Az iparág határköltsége konstans, 1.000 pénzegység. a) Adja meg, hogy mennyi terméket és milyen áron fognak értékesíteni a piacon, ha a vevıket egy tökéletesen versenyzı iparág szolgálja ki! b) Mennyi lenne az eladott termékek száma, s milyen ár alakulna ki, ha – változatlan költségviszonyok mellett – egy monopólium venné át az iparágat! c) Mennyit termelne a piacon létrejövı Cournot-duopólium? d) Milyen áron és mennyi termék kerülne piacra, ha két cég jelenne meg a piacon, s azok a Stackelberg-duopólium feltételeinek felelnének meg? Segédlet: Mindegyik feladatrész megoldható az adott iparágra érvényes összefüggések alkalmazásával. Így például a tökéletes verseny esetén a P=MC, vagy monopólium esetén az MR=MC egyenlet felírása után könnyen megkapható a megoldás. A Cournot-, illetve a Stackelberg-duopólium esetében szintén alkalmazhatók az eddig látott módszerek. Azonban vannak egyszerősítı képleteink is.





AZ EGYSZERŐSÍTİ KÉPLETEK KIZÁRÓLAG AZÉRT HASZNÁLHATÓAK, MERT A KÉT DUOPÓLIUM-TÍPUS ESETÉBEN A KÉT VÁLLALAT AZONOS, RÁADÁSUL KONTSTANS HATÁRKÖLTSÉGGEL DOLGOZIK! HA A KÉT CÉG ELTÉRİ HATÁRKÖLTSÉGGEL RENDELKEZIK (MÉG HA AZOK KONSTANSAK IS), VAGY A KÉT CÉG HATÁRKÖLTSÉGE NEM KONSTANS, AKKOR MÁR NEM HASZNÁLHATÓK A MEGISMERT KÉPLETEK! Emlékeztetıként ezek a képletek: a − MC QTV = b a − MC 1 a − MC 1 QMON = = ⋅ = ⋅ QTV 2b 2 b 2 a − MC 1 a − MC 1 = ⋅ = ⋅ QTV q1,COURNOT = 3b 3 b 3 a − MC 1 a − MC 1 = ⋅ = ⋅ QTV q2,COURNOT = 3b 3 b 3 2 a − MC 2 QCOURNOT = q1,COURNOT + q2,COURNOT = ⋅ = ⋅ QTV 3 b 3 a − MC 1 a − MC 1 = ⋅ = ⋅ QTV = QMON q1,STACK = 2b 2 b 2 a − MC 1 a − MC 1 q2,STACK = = ⋅ = ⋅ QTV 4b 4 b 4 1 a − MC 1 a − MC 3 a − MC 3 QSTACK = q1,STACK + q2,STACK = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ QTV 2 b 4 b 4 b 4 A képletekben szereplı paraméterek a hagyományos jelöléseknek felelnek meg, vagyis az „a” paraméter az inverz keresleti függvény konstans tagja (függıleges tengelymetszéspont, rezervációs ár), míg a „b” paraméter az inverz keresleti függvény meredeksége. A példában az „a” értéke 4000, míg a „b” értéke 0,75.

Ami még lesz a folytatásban: -

tényezıpiacok piaci kudarcok externáliák



Segédanyagok a Mikroökonómia (N_ak05) címő tárgyhoz

Recommend Documents