Penyelesaian Persaamaan Non Linier 1
• Metode Iterasi Sederhan na • Metode Newton Raphson • Permasalahan Titik Kritiss pada Newton Raphson • Metode Secant
Iterasi/NewtonRaphson/Secant
Metode Numerik
- Metode Iterrasi Sederhana SederhanaMetode iterasi sederhana adalah metode m yang memisahkan x dengan sebagian b i x yang llain i sehingga hi di dipe eroleh l h : x = g(x). ( ) x Contoh : y=x-ex diubah menjadi : g(x)=e g g(x) inilah yang menjadi dasar itera asi pada metode iterasi sederhana Metode iterasi sederhana secara grafis g dijelaskan sebagai berikut : Y y=x
y=g(x)
x1 x3
x2
x0
X
G fik Metode Grafik M t d Iterasi It i Se Sederhana d h y=x,g=ex 2
Contoh Penyelesaian y Metode Iterasi Sederhana 3
Selesaikan x +ex = 0 Jawab : Persamaan diubah menjadi g(x) = -ex Ambil titik awal di x0 = -1 , maka Iterasi 1 : x = -e-1= -0.3679 F(x) ( ) = 0,3243 , => x + ex Iterasi 2 : x = -e-0,3679 = -0,6922 F(x) = -0,19173 -0 6922 = -0,50047 Iterasi 3 : x = -e e-0,6922 0 50047 F(x) = 0,10577 Iterasi 4 : x = -e-0,50047 = -0,60624 F(x) = -0,06085 Iterasi 5 = x = -e-0,60624 = -0,5454 F(x) = 0,034217 0 034217
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0,56843 dan F(x) = 0,034217.
Algoritma Metode Iterasi Sederhana 4
1. Definisikan F(x) dan g(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3 Tentukan pendekatan awal x 3. 4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau u F(x) > e Xi = g(x ( i-1) Hitung F(xi) 5. Akar adalah x terakhir yang g diperoleh.
Metode Newtton Raphson p 5
Metode Newton Raphson adalah m metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya m dengan memperhatikan slope atau gradien n pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan n sebagai berikut :
F ( xn ) xn +1 = xn − 1 F ( xn )
x2 x1
X x0
Gambar Metode Newto on Raphson
Contoh Penyelesaian y M Metode Newton Raphson p Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan d titik pendekatan awal x0 =0 f(x) = x - e-x Æ f’(x)=1+e-x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f’(x0) = 1 + e-0 = 2
f (x0 ) −1 = 0 − = 0,5 1 f ( x0 ) 2 f(x1) = -0,106631 0 106631 dan f’(x1) = 1 1,60653 60653 x1 = x0 −
x2 = x1 −
Toleransi error : 0 0.000001 000001
f (x1 ) − 0,106531 0 , 5 = − = 0,566 6311 1 f (x1 ) 1,60653
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 = x2 −
− 0,001304 451 f ( x2 ) 0 , 566311 = 0,567143 = − 1 1,56762 f ( x2 )
f(x3) = -1,96.10 1,96.10-7. Suatu bilangan yang sa angat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
Algoritma Metodee Newton Raphson 7
1. Definisikan fungsi F(x) dan n F1(x) 2 Tentukan toleransi error (e 2. e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan n awal x0 4 Hitung 4. Hit F( F(x0) dan d F1(x ( 0) 5. Untuk iterasi i = 1 s/d n ata au |f(xi)| > e x i +1 = x i −
F (x n ) F 1 (x n )
Hitung f(xi+1) dan d f1(xi+1) 6. Akar persamaan adalah nilai xi+1 yang terakhir diperoleh.
Permasalahan Meto ode NewtonRaphson 8
Metode ini tidak dapat p digunakan g k ketika titik p pendekatannya y berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F ( x ) = nol, secara grafis dapat dilihat F 1 (x ) sebagai berikut :
titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya l j t akan k b berada d di tak berhingga.
akar ppersamaan
Grafik Pendekatan Newton Raphson, dg. Titik Pendekatan ada di Titik Puncak
Permasalahan Metode NewtonRaphson p 9
Metode ini menjadi j sulit atau lama mendapatkan p p penyelesaian y ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Titik pendekatan
akar persamaan
titik puncak
Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi) (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik i ik puncak k atau arah h pendekatannya berbeda.
Gra afik Pendekatan Newton Raphson, dg. Titik k pendekatan berada diantara 2 titik puncak
Penyelesaian Permasalahan Metode M Newton Raphson Untuk dapat menyelesaikan kedua p permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode ne ewton raphson perlu dimodifikasi dengan : 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi ± δ dimana δ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F 1 ( xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk 2 U t k menghindari hi d i titik titik-titik titik pend dekatan k t yang b berada d jjauh, h sebaiknya b ik pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga gg dapat p di jjamin konvergens g i dari metode newton raphson. p
10
Contoh Penyelesaian Perrmasalahan Metode d Newton Raphson h 11
Selesaikan persamaan : x . e-x + co os(2x) = 0 Jawab : Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281 f(x) = x . e-x + cos(2x) f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) Sehingga f(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,0 000015
Grafik y=x.e-x+cos(2x) x0
akar persamaan
Pendekatan awal x0=0.5 iterasi dari metode Newton Raphson:
Iterasi menggunakan metode Newton Raphson :
Iterasi iterasi
x
f(x)
f'(x)
x
f(x)
f'(x)
0
0,5
0,843568
-1,37967664
-1,608732696 1 608732696
1
1,111424 ,
-0,24106 ,
-1,626349133 ,
-0,10227
-1,989513691
2
0,963203
0,019463
-1,86082504
71365,2
0,00036
-1,99999987
3
0,973662
5,61E-05
-1,849946271
4
71365,2
-2,9E-11 2,9E 11
-2 2
4
0,973692
4,98E-10
-1,849913417
5
71365,2
3,13E-13
-2
6
71365,2
3,13E-13
-2
5
0,973692
0
-1,849913417
6
0,973692
0
-1,849913417
0
0,17628
1,086282
-1,52216E-05
1
71364 89 71364,89
0 594134 0,594134
2
71365,26
3
Akar yang ditemukan x=71365
Akar yang ditemukan adalah x=0.973692
12
Algoritma Metodee Newton Raphson d M d difik i Tabel T b l dengan Mod difikasi 13 1. 2. 3. 4 4.
Definisikan fungsi F(x) Ambil range nilai x = [a, b] denga an jumlah pembagi n Masukkan torelansi error (e) dan n masukkan iterasi n G k algoritma l it ttabel b l di leh h titik pendekatan d k t awall x0 0 dari d i: Gunakan diperole F(xk) . F(xk+1)<0 maka x0 = xkk 5. Hitung F(x0) dan F1(x0) 6 Bila F abs F 1 ( x0 ) < e maka pen 6. ndekatan awal x0 digeser sebesar dx (dimasukkan) x0 = x0 + dx hitung F(x0) dan F1(x0) 7. Untuk iterasi i= 1 s/d n atau |F(xii)| ≥ e F (x ) xi = xi −1 − 1 i −1 F ( xi −1 ) hitung F(xi) dan F1(xi) bila |F1(xi)| < e maka xi = xi + dx hitung F(xi) dan F1(xi)) 8.Akar persamaan adalah x terakhir yang y diperoleh.
[ (
)]
Metode Seca ant Metode Secant merupakan perbaiikan dari metode regula-falsi dan Newton Raphson, dimana kem miringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.
y − y 0 = m ( x − x 0) Di Dimana m diperoleh di l hd darii
( f ( xn ) − f ( xn −1 ) ) mn = (xn − xn−1 )
Jika yy=F(x), ( ), ny dan xn diketahui,, maka m titik ke n+1 adalah :
yn +1 − yn = mn ( xn +1 − xn )
Bila titik xn+1 dianggap sebagai aka ar persamaan maka yn+1 = 0 sehingga (x − x )
xn +1 = xn − yn
n
n +1
yn − yn +1 14
Contoh Penyelesaian Meto ode Secant Selesaikan persamaan x 2 − ( x + +11). ) e− x Jawab : Berdasarkan gambar grafik didapatkan akar a terletak pada range [0.8, 0.9], maka x0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga : y0 = F(x0) = -0.16879 y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Metode Secant adalah sbb : Iterasi 1 : x1 − x0
x2 = x1 − y1
y1 − y0
= 0.88181 15
y2 = 0.00153
It Iterasi i2:
x2 − x1 x3 = x2 − y2 = 0.882528 y2 − y1
y3 = 1.3 x10 −5
x3 − x2 x4 = x3 − y3 = 0.882534 4 y3 − y 2
y4 = 4.91x10 −9
Iterasi 3 :
Diperoleh akar x = 0.882534 15
2 ) e− x Grafik fungsi y = x − ( x + 1).
16
untuk range [-1,1]
Algoritma Metode Secant g 1. 1 Definisikan fungsi F(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan d iterasi maksimum (n) 3. Masukkan dua nilai pendeka atan awal, dimana diantaranya terdapat akar (x0 dan x1), gunakan metode tabel atau grafis ndekatan untuk mendapatkan titik pen 4. Hitung F(x0) dan F(x1) seba agai y0 dan y1 5 Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(xi)| > e 5.
xi − xi −1 xi +1 = xi − yi yi − yi −1 Hitung yi+1=f(xi+11)
6. Akar p persamaan adalah nilai x yyang g terakhir diperoleh. p 17
