Seandainya Orang Yunani sudah Belajar Origami -Sebuah Solusi Problem Geometri Klasik dengan Lipat Kertas. Oleh: Jakim Wiyoto
“Alkisah, pada zaman dahulu kala dunia manusia terserang wabah penyakit yang sangat
mematikan. Dunia terasa gelap, karena berbalut jubah Dewa Kematian. Kematian terjadi di mana-mana begitu cepat menerkam siapa saja. Pagi orang masih segar-bugar, menjelang siang terserang penyakit, sorenya dipastikan ajal sudah menjemput. Tak ada satupun obat yang mampu mengatasi wabah tersebut. Dukun paling sakti, tabib paling jago tak mampu memberikan kesembuhan. Sampai suatu saat Dewa memberikan pertolongan dengan membawa sebuah kubus. Apabila manusia mampu membuat kubus yang volumenya dua kali lipat kubus yang diberikan dewa tersebut, maka wabah akan segera hilang dari muka Bumi ...” Sebuah dongeng/mite dari Yunani yang kurang lebih inti ceritanya seperti di atas merupakan salah satu dongeng yang berisi salah satu masalah Geometri yang tidak dapat diselesaikan oleh matematikawan Yunani kala itu, yaitu masalah membuat kubus yang volumenya dua kali lipat. lipat Masalah Geometri lainnya yang tidak terselesaikan adalah membagi sudut menjadi tiga bagian yang sama besar, dan membuat persego yang luasnya sama dengan sebuah lingkaran. Ketiganya tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan jangka dan penggaris tanpa skala.
Problem mengkonstruksi kubus ini dapat disederhanakan dengan ilustrasi berikut. Misalkan kubus mula-mula mempunyai panjang sisi 1 satuan, maka agar kubus kedua mempunyai volume dua kali lipat kubus pertama, kubus kedua harus mempunyai panjang sisi Mencari panjang
3
3
2 satuan.
2 satuan dapat dipecahkan dengan teknik lipat kertas (origami). Berikut ini
salah satu solusi dari problem di atas. Solusi ini dipublikasikan oleh Peter Messer pada tahun 1986. Solusi lainnya merupakan solusi dari Koshiro Hatori tidak dipaparkan pada tulisan ini.
Sebelum diberikan solusi dari Peter Messer, terlebih dahulu diberikan prosedur membagi ruas garis menjadi tiga bagian. Prosedur membagi garis menjadi dua, empat, delapan dan seterusnya tidak dipaparkan secara khusus karena cukup mudah dilakukan.
Membagi ruas garis menjadi tiga bagian sama panjang. Membagi ruas garis menjadi tiga sama panjang dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini. a. Siapkan selembar kertas berbentuk persegi. Sebut saja persegi ABCD . D
C
A
B
b. Lipat kertas sehingga sisinya menjadi dua bagian yang sama panjang, sehingga lipatannya akan membagi kertas tersebut menjadi dua persegi panjang. Terbentuk persegi panjang EBCF dan AEFD . D
F
C
A
E
B
c. Lipat kertas persegi secara diagonal sehingga terbentuk AC . D
F
C
A
E
B
d. Lipat menurut salah satu diagonal persegi panjang BF , sehingga diperoleh sebuah titik G yang merupakan titik potong BF dengan AC . D
F
C
G
A
B
E
e. Buat lipatan melalui titik G dan sejajar sisi BC . Lipatan tersebut merupakan sepertiga bagian dari panjang sisi persegi. HB = 13 AB D
F
I
C
G
A
E
H
B
f. Langkah terakhir adalah melipat B ke arah A dengan lipatan tepat di H . Bukti
ABCD persegi, misalkan dengan panjang sisi 1, dan titik A di ( 0,0 ) . Titik G terletak di ( x , y ) .
Perhatikan bahwa ∆ABC sebangun dengan ∆AHG . Jadi berlaku GH : CB = AH : AB y :1 = x :1 y = x ..............(i )
Perhatikan bahwa ∆FEB sebangun dengan ∆GEH . Jadi berlaku GH : FE = BH : BE y :1 = (1 − x ) :
1 2
Dengan mengingat (i), diperoleh 1 2 1 x :1 = (1 − x ) : 2 1 x = (1 − x ) 2 x = 2 − 2x y :1 = (1 − x ) :
x=
2 3
1 3
Jadi HB = AB .
Solusi Peter Messer Prosedur a. Ambil selembar kertas berbentuk persegi b. Bagi menjadi tiga bagian dengan cara seperti di atas D
C
G
H
E
F
A
B
c. Lipat kertas sehingga titik F berimpit dengan salah satu titik di garis GH dan titik B berimpit dengan salah satu titik di garis AD . Sebut saja titik-titik tersebut T1 dan T2 .
Titik T2 membagi AD dengan perbandingan 3 2 :1 . Dengan kata lain AT2 : T2 D = 1: 3 2 . Bukti. J
D x
G T2 E
y =1 A
T1 (x+1)/3 x + 1- d d
I
Misalkan y = 1 . Artinya panjang sisi persegi ABCD = x + 1 . Misalkan panjang AI = 1 , maka panjang IT2 = x + 1 − d . Dengan Teorema Pythagoras yang diberlakukan pada ∆AIT2 diperoleh 2
( x + 1 − d ) = 12 + d 2 2 ( x + 1) − 2 ( x + 1) d + d 2 = 12 + d 2 x 2 + 2x + 1 − 2 ( x + 1 ) d + d 2 = 1 + d 2 2 ( x + 1 ) d = x 2 + 2x d=
x 2 + 2x . 2x + 2
Dengan mengingat panjang sisi perseginya adalah x + 1 , diperoleh GT2 = DT2 − DG GT2 = x −
( x + 1)
3 2x − 1 GT2 = . 3
Perhatikan kesebangunan segitiga-segitiga pada gambar berikut ini.
J
D
α T1
G T2 β Eα
β A
I
Segitiga AIT2 , DT2 J , dan GT2T1 sebangun. Jadi dengan kesebangunan segitiga-segitiga di atas, diperoleh
AI GT2 = T2I T2T1 2x − 1 x 2 + 2x 2x + 2 = 3 x 2 + 2x + 2 x + 1 3 2x + 2 2 x + 2x 2x − 1 = 2 x + 2x + 2 x + 1
(x
2
)
(
+ 2x ( x + 1) = ( 2x − 1) x 2 + 2x + 2
)
x 3 + 3x 2 + 2x = 2x 3 + 3x 2 + 2x − 2 x3 = 2 x = 3 2. Jadi apabila dibuat kubus dengan sisi sepanjang x , maka kubus tersebut mempunyai volume 2 satuan.
Daftar Referensi Alperin, C. Roger, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York Journal of Mathematics 6 (2000) 119-113. Sastry, V. S.S, Origami Fun & Mathematics, Vigyan Prasar Published. http://math.uttyler.edu/nathan/classes/senior-seminar/JaemaKrier.pdf http://www.arvindguptatoys.com/arvindgupta/sastrymath.pdf http://www.caprichos-ingenieros.com/papiromat_files/pdfmaths.pdf http://www.paperfolding.com/math/ http://www.math.washington.edu/~morrow/336_09/papers/Sheri.pdf http://www.appliedmathematician.net/pdf/news/579.pdf
