Typ u´lohy: A - IS pro stˇredn´ı hodnotu 1. Pˇredpokl´adejme, ˇze v´ yˇska chlapc˚ u ve vˇeku 9,5 aˇz 10 rok˚ u m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı N(µ; σ 2 )s nezn´amou stˇredn´ı hodnotou a rozptylem rovn´ ym 39,112. Zmˇeˇrili jsme v´ yˇsku 15 chlapc˚ u a vypoˇc´ıtali pr˚ umˇer 139,13. Urˇcete: a) 99% dvojstrann´ y IS pro skuteˇcnou v´ yˇsku chlapc˚ u, b) 95 % interval spolehlivosti pro doln´ı odhad v´ yˇsky chlapc˚ u. 2. Pˇresnost metody anal´ yzy na obsah v´apn´ıku je σ = 0, 12. Provedli jsme 6 experiment˚ u a zjistili pr˚ umˇernou hodnotu 32,56% v´apn´ıku. Urˇcete 95% IS pro odhad doln´ı hranice obsahu v´apn´ıku za pˇredpokladu normality. 3. Mˇeˇrili jsme pr˚ umˇer klikov´e hˇr´ıdele na 250 souˇca´stk´ach. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze namˇeˇren´ı veliˇciny maj´ı rozdˇelen´ı N(µ; σ 2 ). Z v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı jsme vypoˇcetli pr˚ umˇernou hodnotu 995,6 a rozptyl 2 s =134,7. Urˇcete 95% oboustrann´ y IS pro nezn´amou stˇredn´ı hodnotu. 4. Sledovali jsme spotˇrebu oleje pro n´atˇerov´e hmoty. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze tato spotˇreba m´a rozdˇelen´ı N(µ; σ 2 )s nezn´am´ ymi parametry. Na dvan´acti vzorc´ıch jsme spotˇrebu zmˇeˇrili a vypoˇcetli pr˚ umˇer 14,306 a variabilitu s2 =0,327. Urˇcete 95% IS pro stˇredn´ı hodnotu spotˇreby oleje. 5. Pro 25 v´ yrobk˚ u jsme zjiˇst’ovali spotˇrebu materi´alu. Ze zjiˇstˇen´ ych hodnot jsme vypoˇcetli pr˚ umˇer 150 a promˇenlivost s2 =15,84. Za pˇredpokladu normality rozdˇelen´ı sestrojte oboustrann´ y interval, ve kter´em bude leˇzet skuteˇcn´a spotˇreba materi´alu s pravdˇepodobnost´ı 0,95.
Typ u´lohy: B - IS pro rozptyl 1. Pro zjiˇst’ov´an´ı pˇresnosti metody pro stanoven´ı obsahu manganu v oceli byla provedena 4 nez´avisl´a mˇeˇren´ı vzork˚ u. Chceme stanovit hranici, pro n´ıˇz plat´ı, ˇze rozptyl vˇetˇs´ı neˇz tato hranice se bude objevovat jen v 5% pokus˚ u. V´ ysledky mˇeˇren´ı jsou: 0,31; 0,30; 0,29; 0,32. 2. Na 100 stroj´ıch jsme zmˇeˇrili pr˚ umˇer hˇr´ıdele. Velikost pr˚ umˇeru hˇr´ıdele m´a rozdˇelen´ı N(µ; σ 2 ). Z namˇeˇren´ ych hodnot jsme vypoˇc´ıtali jejich variabilitu s2 =134,7. Urˇcete: a) interval hd; hi, ve kter´em bude leˇzet nezn´am´ y rozptyl s pravdˇepodobnost´ı 0,99; 2 b) hranici m, pro kterou plat´ı P (σ ≥ m) = 0, 95. 3. Ovˇeˇrovali jsme koncentraci chemick´e l´atky v roztoku. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı, ale jeho parametry nezn´ame. Provedli jsme 5 anal´ yz s v´ ysledky: 17, 12, 15, 16, 11 %. Urˇcete ˇc´ıslo h takov´e, ˇze hodnoty rozptyl˚ u vˇetˇs´ı neˇz h budou m´ıt pravdˇepodobnost jen 0,05.
Typ u´lohy: C - IS pro rozd´ıl dvou stˇredn´ıch hodnot 1. Sledovali jsme u ´ˇcinek dvou protikorozn´ıch l´atek. Prvn´ı jsme pouˇzili ve 20 pˇr´ıpadech, druhou v 25 pˇr´ıpadech. Po stanoven´e dobˇe jsme zjistili stupeˇ n poˇskozen´ı s v´ ysledky: 1
x1 = 82, 4 s21 = 12 x2 = 80 s22 = 10 Urˇcete 95% IS pro shodu stˇredn´ıch hodnot obou test˚ u za pˇredpokladu normality obou rozdˇelen´ı. 2. Na kaˇzd´em ze dvou vzork˚ u v´ yfukov´ ych plyn˚ u jsme provedli 4kr´at anal´ yzu obsahu olova. Metoda anal´ yzy m´a pˇresnost σ = 0, 12%. Na z´akladˇe v´ ysledk˚ u anal´ yz jsme vypoˇc´ıtali pr˚ umˇery 36,82% a 36,45%. Najdˇete 99% oboustrann´ y IS pro shodu tˇechto test˚ u.
Typ u´lohy: D - IS pro pod´ıl 1. V jak´em intervalu lze s pravdˇepodobnost´ı 0,99 oˇcek´avat pod´ıl nekvalitn´ıch v´ yrobk˚ u, jestliˇze v n´ahodn´em v´ ybˇeru o rozsahu 1000 ks. bylo zjiˇstˇeno 15 nekvalitn´ıch v´ yrobk˚ u? 2. Pro urˇcitou u ´zemn´ı oblast byl uˇcinˇen telefonick´ y pr˚ uzkum, zjiˇst’uj´ıc´ı kolik dom´acnost´ı je vybaveno osobn´ım poˇc´ıtaˇcem. Pˇri pr˚ uzkumu nebyla volan´a ˇc´ısla zaznamen´av´ana, takˇze proveden´ y v´ ybˇer lze povaˇzovat za nez´avisl´ y (proˇc?). Celkem bylo dot´az´ano 100 dom´acnost´ı a zjiˇstˇeno, ˇze 60 dom´acnost´ı z dot´azan´ ych poˇc´ıtaˇc vlastn´ı. Urˇcete 95% interval spolehlivosti pro pod´ıl dom´acnost´ı vybaven´ ych PC.
Typ u´lohy: E - IS dalˇs´ı pˇr´ıklady 1. Smˇerodatn´a odchylka v´ yˇskomˇeru je σ = 15m. Kolik v´ yˇskomˇer˚ u mus´ı m´ıt letadlo, aby s pravdˇepodobnost´ı 0,99 byl v´ ysledn´ yu ´daj v´ yˇsky vˇetˇs´ı neˇz pr˚ umˇern´a hodnota minus 30m, jestliˇze chyby v´ yˇskomˇer˚ u maj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı a pracuj´ı bez systematick´ ych chyb. 2. V z´asilce velk´eho rozsahu (desetitis´ıce ks) jsou 2% nekvalitn´ıch v´ yrobk˚ u. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze v n´ahodn´em v´ ybˇeru o rozsahu 1000 ks bude nejm´enˇe 10 a nejv´ yˇse 30 nekvalitn´ıch v´ yrobk˚ u.
Typ u´lohy: F - test stˇredn´ı hodnoty 1. Standardn´ım zp˚ usobem byl vyroben 1 000 000 obrazovek se stˇredn´ı ˇzivotnost´ı 1 200 h a smˇerodatnou odchylkou 300 h. Pot´e byla zavedena nov´a technologie a vyzkouˇseno 100 ob˙ razovek. Jejich pr˚ umˇern´a ˇzivotnost byla 1265. a) Na hladinˇe 0,05 testujte hypot´ezu, kter´a tvrd´ı ”nic se nezmˇenilo” proti alternativˇe, ˇr´ıkaj´ıc´ı ”nov´a technologie je lepˇs´ı” (tj. obrazovky maj´ı delˇs´ı ˇzivotnost). b) Urˇcete p-hodnotu pro novou technologii. 2. Firma, vyr´abˇej´ıc´ı kuliˇcky do loˇzisek tvrd´ı, ˇze kuliˇcky maj´ı pr˚ umˇer 12,5 mm s maxim´aln´ım 2 rozptylem 0,05 mm . Namˇeˇrili jsme n´asleduj´ıc´ı data 12,8 13,6 11,8 12,4 12,6 12,7 Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte tvrzen´ı firmy. (Oddˇelenˇe proved’te dva testy 1. pro pr˚ umˇern´e hodnoty, 2. pro rozpt´ ylenost.) 2
3. Ze souboru ocelov´ ych nosn´ık˚ u stejn´e nomin´aln´ı d´elky 6.5 m jsme n´ahodnˇe vybrali 6 ks. V´ yrobce se zaruˇcuje, ˇze rozptyl d´elek nosn´ık˚ u je menˇs´ı neˇz 0,1 m. Namˇeˇrili jsme n´asleduj´ıc´ı data 6,2 7,5 6,9 8,9 6,4 7,1 Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,1 testujte tvrzen´ı v´ yrobce. (Oddˇelenˇe proved’te dva testy 1. pro pr˚ umˇern´e hodnoty, 2. pro rozpt´ ylenost.) 4. V´ yrobce garantuje u sv´eho v´ yrobku dobu ˇzivotnosti nejm´enˇe 1 000 h. Z pˇredchoz´ıch mˇeˇren´ı v´ıme, ˇze rozptyl doby ˇzivotnosti v´ yrobk˚ u je 100 h2 . Vybrali jsme 25 v´ yrobk˚ u a testovali je. Jejich pr˚ umˇern´a doba ˇzivotnosti byla 970 h. Je moˇzno ˇr´ıci, ˇze v´ yrobky nesplˇ nuj´ı z´aruky v´ yrobce? Testujte na hladinˇe a) 0,1; b) 0,001. 5. Ze souboru odpor˚ u stejn´e nomin´aln´ı hodnoty jsme n´ahodnˇe vybrali 16 ks, zmˇeˇrily a vypoˇcetli pr˚ umˇer 9,3 kΩ. Oboustrann´ ym testem na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 testujte hypot´ezu, ˇze soubor odpor˚ u m´a nomin´aln´ı hodnotu 10 kΩ, je-li 2 a) σ = 4kΩ2 b) σ nezn´ame, s2 = 6, 25kΩ2 . 6. Pro kontrolu spr´avnosti pˇr´ıstroje bylo provedeno 10 nez´avisl´ ych mˇeˇren´ı: 15,23 15,21 15,19 15,16 15,26 15,22 15,23 15,26 15,23 15,29. Lze povaˇzovat odchylky od spr´avn´e hodnoty µ0 = 15, 2 za n´ahodn´e, nebo je d˚ uvod k podezˇren´ı na pˇr´ıtomnost systematick´e chyby? Testujte na hladinˇe 0,05.
Typ u´lohy: G - test rozptylu 1. Nov´a metoda mˇeˇren´ı d´elky souˇca´stek byla ovˇeˇrov´ana na etalonu. Disperze, urˇcen´a z 10 mˇeˇren´ı byla 100 µm2 . Je tento v´ ysledek ve shodˇe s tvrzen´ım, ˇze disperze nov´e metody nen´ı vˇetˇs´ı neˇz 2 50 µm ? Volte α = 0, 05. 2. Pˇresnost nastaven´ı automatick´eho obr´abˇec´ıho stroje se zjist´ı z rozptylu d´elky vyr´abˇen´ ych souˇca´stek. Je-li jeho hodnota vˇetˇs´ı neˇz 380 µm2 , je tˇreba stroj znovu nastavit. Vybrali jsme 15 souˇca´stek a jejich v´ ybˇerov´ y rozptyl byl 680 µm2 . Testujte tvrzen´ı ”stroj je dostateˇcnˇe pˇresn´ y” proti tvrzen´ı ”stroj je tˇreba znovu nastavit”, a to na hladinˇe a) 0,01; b) 0,05. 3. Pˇri mˇeˇren´ı koeficientu tepeln´e vodivosti stejn´eho izolaˇcn´ıho materi´alu jsme namˇeˇrili tyto hodnoty 0,62 0,64 0,57 0,61 0,59 0,57 0,62 0,59. V´ yrobce materi´alu zaruˇcuje relativn´ı st´alost tepeln´e vodivosti materi´alu s maxim´aln´ım rozptylem 0,003. a) Testujte tvrzen´ı v´ yrobce na hladinˇe 0,05. b) Testujte (na stejn´e hladinˇe), zda v´ yrobce nen´ı pˇr´ıliˇs opatrn´ y a skuteˇcn´a variabilita jeho materi´al˚ u nen´ı ve skuteˇcnosti menˇs´ı. 3
4. Pro bavlnˇenou pˇr´ızi je pˇredeps´ana horn´ı mez variability pevnosti, jinak vznikaj´ı pot´ıˇze pˇri tkan´ı. Poˇzaduje se, aby smˇerodatn´a odchylka nepˇrekroˇcila hodnotu 0,6. Rozdˇelen´ı hodnot pevnosti pˇr´ıze je pˇribliˇznˇe norm´aln´ı. Pˇri ovˇeˇren´ı byly namˇeˇreny hodnoty 2,22 3,54 2,37 1,66 4,74 4,82 3,21 5,44 3,23 4,79 4,85 4,05 3,48 3,89 4,90 5,37 Je d˚ uvod k podezˇren´ı na vˇetˇs´ı variabilitu pevnosti pˇri hladinˇe v´ yznamnosti 0,05?
Typ u´lohy: H - test dvou stˇredn´ıch hodnot (nez´avisl´e v´ybˇery) 1. Metodami A a B je ovˇeˇrov´ana pevnost l´atek. Stejn´ y materi´al byl pokusnˇe podroben pˇeti zkouˇsk´am metodou A a ˇsesti zkouˇsk´am metodou B. Byla z´ısk´ana data
metoda A 20,1 19,6 20,0 19,9 20,1 metoda B 20,9 20,1 20,6 20,5 20,7 20,5 Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 ovˇeˇrte shodnost obou metod. (Metody povaˇzujeme za shodn´e, vykazuj´ı-li pro stejn´e materi´aly v pr˚ umˇeru stejn´e hodnoty. Variabilitu pˇredpokl´ad´ame shodnou.) 2. Ne dvou soustruz´ıch se vyr´abˇej´ı stejn´e souˇc´astky, u nichˇz se kontroluje vnitˇrn´ı pr˚ umˇer. Z prvn´ıho soustruhu bylo n´ahodnˇe vybr´ano 16 a z druh´eho 25 souˇc´astek a byly vypoˇcteny pr˚ umˇery z namˇeˇren´ ych hodnot: prvn´ı 37,5 a druh´ y 36,8. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 ovˇeˇrte hypot´ezu o tom, ˇze jednotliv´e soustruhy produkuj´ı souˇc´astky se stejn´ ym vnitˇrn´ım pr˚ umˇerem, jestliˇze a) σ12 = σ22 = 1.21mm2 ; b) σ1 , σ2 nezn´ame a v´ ybˇerov´e rozptyly jsou s21 = 1, 21 a s22 = 1, 44? 3. Je tˇreba porovnat dva technologick´e postupy A a B. Proto je 7 v´ yrobk˚ u zhotoveno technologi´ı A a 6 technologi´ı B. Po promˇeˇren´ı stejn´e charakteristiky na vˇsech v´ yrobc´ıch m´ame porovnat kvalitu obou technologi´ı (kter´a je d´ana pr˚ umˇernou hodnotou mˇeˇren´e charakteristiky). Testujte na hladinˇe 0,1 a za pˇredpokladu stejn´ ych rozptyl˚ u v´ ysledk˚ u obou postup˚ u. Namˇeˇren´e u ´daje jsou: A 62 54 55 60 53 58 57 B 52 52 49 50 51 52
Typ u´lohy: I - test dvou stˇredn´ıch hodnot (p´arov´e v´ybˇery) 1. Osm vzork˚ u chemick´e l´atky jsme postupnˇe analyzovali titraˇcn´ı metodou a polarograficky. V´ ysledky jsou v tabulce Vzorek 1 2 3 4 5 6 7 8 Polarografick´a metoda 18,6 27,6 27,5 25,0 24,5 26,8 29,7 26,5 Titraˇcn´ı metoda 18,58 27,37 27,27 24,64 24,10 26,33 29,33 26,63 4
Zjistˇete, zda pˇri hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 d´avaj´ı obˇe metody v pr˚ umˇeru podobn´e v´ ysledky. 2. M´ame rozhodnout, zda se automobilu sj´ıˇzdˇej´ı pneumatiky pˇri seˇr´ızen´e geometrii na obou stran´ach stejnˇe. bylo vybr´ano 5 voz˚ u a po ujet´ı stejn´eho poˇctu kilometr˚ u bylo zjiˇstˇeno n´asleduj´ıc´ı sjet´ı (v mm) Automobil 1 2 3 4 5 Prav´a pneumatika 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 Lev´a pneumatika 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 Na hladinˇe 0,05 testujte shodnost sjet´ı pneumatik na obou stran´ach vozu. 3. V jazykov´e ˇskole, kter´a se specializuje na v´ yuku dvou jazyk˚ u (francouzˇstinu F a angliˇctinu A) byl vyps´an srovn´avac´ı test z tˇechto jazyk˚ u (prvn´ı polovina testu byla F, druh´a A). Ihned po naps´an´ı bylo n´ahodnˇe vybr´ano a opraveno 6 test˚ u. Bodov´e v´ ysledky testu jsou v tabulce Test 1 2 3 4 5 6 F 65 12 82 38 70 56 A 81 5 69 95 71 92 Jsou tato data v rozporu s tvrzen´ım, ˇze v´ ysledky ˇskoly jsou lepˇs´ı v angliˇctinˇe? Testujte na hladinˇe α = 0, 05.
Typ u´lohy: J - test pod´ılu 1. Ve v´ ybˇeru z v´ yrobk˚ u o rozsahu 100 bylo nalezeno 12 vadn´ ych. Je tato skuteˇcnost v souladu s tvrzen´ım, ˇze v produkci je nejv´ yˇse 5% vadn´ ych v´ yrobk˚ u? Testujte na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05. 2. Dotazem 60 student˚ u bylo zjiˇstˇeno, ˇze v naps´an´ı testu z nich neuspˇelo 38. Je toto zjiˇstˇen´ı v rozporu s pˇredpokladem, ˇze u ´spˇeˇsnost testu bude minim´alnˇe 50%? Testujte jednostrann´ ym testem na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05.
Typ u´lohy: K - test alternativn´ıho rozdˇelen´ı 1. Soubor v´ yrobk˚ u obsahuje pod´ıl π zmetk˚ u. Dodavatel tvrd´ı, ˇze π = 0, 05, odbˇeratel je ochoten tolerovat i π = 0, 1. N´ahodnˇe bylo vybr´ano 10 v´ yrobk˚ u. N´akup se uskuteˇcn´ı, pokud mezi vybran´ ymi v´ yrobky bude nejv´ yˇse jeden zmetek. Na hladinˇe 0,05 testujte hypot´ezu ”n´akup se uskuteˇcn´ı” proti alternativˇe ”n´akup se neuskuteˇcn´ı”. a) Poˇc´ıtejte s binomick´ ym rozdˇelen´ım poˇctu (nebo pod´ılu) vadn´ ych v´ yrobk˚ u. ˇ b) Reˇste s aproximac´ı binomick´eho rozdˇelen´ı pomoc´ı rozdˇelen´ı norm´aln´ıho. 2. Dlouhodob´ ym sledov´an´ım v´ yrobn´ıho procesu je zjiˇstˇeno, ˇze pˇri ust´alen´ ych v´ yrobn´ıch podm´ınk´ach vznik´a pˇribliˇznˇe 1,5% vadn´ ych v´ yrobk˚ u. Za u ´ˇcelem kontroly, zda se podm´ınky nezhorˇsily, se odeb´ıraj´ı vzorky po 10 v´ yrobc´ıch. Na z´akladˇe poˇctu vadn´ ych v´ yrobk˚ u ve vzorku se odhaduje skuteˇcn´ y aktu´aln´ı stav (procento zmetk˚ u). Pokud toto procento pˇrekroˇc´ı hodnotu 1,9%, je tˇreba stroj znovu nastavit. Na hladinˇe 0,05 testujte ”dobr´ y stav stroje” (tj. stroj nen´ı tˇreba nastavovat), jestliˇze ve v´ ybˇeru bylo 5 zmetk˚ u? 5
Typ u´lohy: Dopravn´ı pˇr´ıklady 1. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 72 73 65 z Prahy 76 76 75
136 78
72 73 66 73 73 72 82 78 77 78 81 77
78
77
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Ve smˇeru do Prahy urˇcete a) bodov´ y a 95% intervalov´ y (oboustrann´ y) odhad rychlosti automobil˚ u; b) interval rychlost´ı, kter´ ymi jezd´ı 5% nejrychlejˇs´ıch ˇridiˇc˚ u. 2. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 72 73 65 z Prahy 76 76 75
136 78
72 73 66 73 73 72 82 78 77 78 81 77
78
77
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı s rozptylem 100 (km/h)2 . Ve smˇeru do Prahy urˇcete a) bodov´ y a 95% intervalov´ y (oboustrann´ y) odhad rychlosti automobil˚ u; b) interval rychlost´ı, kter´ ymi jezd´ı 5% nejrychlejˇs´ıch ˇridiˇc˚ u. 3. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 72 73 65 z Prahy 76 76 75
136 78
72 73 66 73 73 72 82 78 77 78 81 77
78
77
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Ve smˇeru do Prahy (pomoc´ı intervalu spolehlivosti) zjistˇete, je-li pravdˇepodobnost j´ızdy rychlost´ı vˇetˇs´ı neˇz 90 km/h nebo menˇs´ı neˇz 65 km/h vˇetˇs´ı neˇz 5% jestliˇze a) skuteˇcn´ y rozptyl rychlost´ı j´ızdy nezn´ame; b) skuteˇcn´ y rozptyl rychlost´ı j´ızdy je z dlouhodob´ ych mˇeˇren´ı zn´am a rovn´a se 100 (km/h)2 . Intervaly spolehlivosti napiˇste. 4. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 72 73 65 z Prahy 76 76 75
136 78
72 73 66 73 73 72 82 78 77 78 81 77
78
77
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. a) Urˇcete v´ ybˇerov´e rozptyly rychlost´ı v obou smˇerech. b) Urˇcete 95% oboustrann´ y interval spolehlivosti pro rozd´ıl rychlost´ı. Skuteˇcn´e rozptyly rychlost´ı nezn´ame a o jejich vz´ajemn´em vztahu rozhodujeme na z´akladˇe v´ ybˇeru. 6
5. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 72 73 65 z Prahy 76 76 75
136 78
72 73 66 73 73 72 82 78 77 78 81 77
78
77
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Pro data ve smˇeru z Prahy, a) uved’te 95% levostrann´ y interval, ve kter´em leˇz´ı rozptyl rychlost´ı ˇridiˇc˚ u; b) pomoc´ı intervalu spolehlivosti testujte tvrzen´ı, je jen m´enˇe neˇz 5% ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı se od doporuˇcen´e rychlosti odch´ yl´ı o v´ıce neˇz 5 km/h. 6. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje rychlost (km/h)
78 76 65 72 83 82 85 76 42 82 69 72 75 81 76 76 79 76 77 76 75 76 76 78 76 77 76 76 86 76
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. V jak´em intervalu je moˇzno s pravdˇepodobnost´ı 0,95 oˇcek´avat a) skuteˇcn´ y pod´ıl ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı nepˇrekroˇc´ı doporuˇcenou rychlost? b) skuteˇcn´ y pod´ıl ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı se od doporuˇcen´e rychlosti neodch´ yl´ı v´ıce neˇz o 2 km/h? 7. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. V kaˇzd´em smˇeru jsme zaznamenali 250 hodnot. Z nich ve smˇeru do Prahy pˇrekroˇcilo doporuˇcenou rychlost 43 a z Prahy 58 vozidel. a) Urˇcete 95% oboustrann´ y interval spolehlivosti pro rozd´ıl pod´ıl˚ u ˇridiˇc˚ u pˇrekraˇcuj´ıc´ıch doporuˇcenou rychlost ve smˇeru do Prahy a z Prahy. b) Na z´akladˇe v´ ysledku a) odhadnˇete a zd˚ uvodnˇete, zda je moˇzno tvrdit, ˇze s pravdˇepodobnost´ı 0,95 pˇrekraˇcuj´ı ˇridiˇci doporuˇcenou rychlost v obou smˇerech stejnˇe. Ovˇeˇrte testem hypot´ezy (uved’te p-hodnotu). 8. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 82 83 77 z Prahy 82 82 83
106 76
84 82 75 75 88 86 78 76 79 86 88 88
87
88
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Ovˇeˇrte tvrzen´ı (uved’te p-hodnotu), ˇze a) 95% ˇridiˇc˚ u jedouc´ıch do Prahy nepˇrekroˇc´ı doporuˇcenou rychlost; b) 95% ˇridiˇc˚ u jedouc´ıch do Prahy dodrˇz´ı doporuˇcenou rychlost. 9. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje 7
rychlost (km/h)
78 76 65 72 83 82 85 76 42 82 69 72 75 81 76 76 79 76 77 76 75 76 76 78 76 77 76 76 86 76
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti 0,05 ovˇeˇrte tvrzen´ı (uved’te p-hodnotu), ˇze a) skuteˇcn´ y pod´ıl ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı pˇrekroˇc´ı doporuˇcenou rychlost je menˇs´ı neˇz 0,1; b) skuteˇcn´ y pod´ıl ˇridiˇc˚ u, kteˇr´ı nedodrˇz´ı doporuˇcenou rychlost o v´ıce neˇz 2 km/h je menˇs´ı neˇz 0,1. 10. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje (v km/h) do Prahy 82 83 77 z Prahy 82 82 83
106 76
84 82 75 75 88 86 78 76 79 86 88 88
87
88
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze rozdˇelen´ı rychlost´ı jedouc´ıch vozidel je moˇzno povaˇzovat za norm´aln´ı. Na hladinˇe 0,05 ovˇeˇrte hypot´ezu (uved’te p-hodnotu), ˇze a) z Prahy jezd´ı auta rychleji; b) z Prahy i do Prahy jezd´ı auta stejnˇe rychle. 11. Na magistr´ale s doporuˇcenou rychlost´ı 80 km/h jsme kontrolovali rychlost vozidel ve smˇeru do Prahy a z Prahy. V kaˇzd´em smˇeru jsme zaznamenali 250 hodnot. Z nich ve smˇeru do Prahy pˇrekroˇcilo doporuˇcenou rychlost 43 a z Prahy 58 vozidel. Na hladinˇe 0,05 testujte hypot´ezy (uved’te p-hodnotu) a) pod´ıl ˇridiˇc˚ u, pˇrekraˇcuj´ıc´ı doporuˇcenou rychlost je ve smˇeru do Prahy vˇetˇs´ı; b) pod´ıl ˇridiˇc˚ u, pˇrekraˇcuj´ıc´ı doporuˇcenou rychlost je ve smˇeru z Prahy i do Prahy je stejn´ y. 12. V chr´anˇen´e lokalitˇe jsme opakovanˇe zjiˇst’ovali poˇcet pr˚ ujezd˚ u n´akladn´ıch vozidel za dobu jedn´e hodiny. Z´ıskali jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje ˇcetnost (poˇcet/h) 2 0 6 3 4 5 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 2 3 2 7 1 1 4 2 0 0 1 5 1 1 Ovˇeˇrte, a) zda uveden´e hodnoty je moˇzno povaˇzovat za realizace n´ahodn´e veliˇciny s Poissonov´ ym rozdˇelen´ım s intenzitou 2 (uved’te p-hodnotu tvrzen´ı); b) je moˇzno tyto hodnoty aproximovat norm´aln´ım rozdˇelen´ım (urˇcete jeho parametry a p-hodnotu tvrzen´ı). 13. Na kriˇzovatce jsme opakovanˇe zaznamen´avali poˇcty vozidel jedouc´ıch pˇr´ımo a odboˇcuj´ıc´ıch vlevo nebo vpravo. Zjistili jsme n´asleduj´ıc´ı u ´daje ˇc.mˇeˇren´ı 1 2 pˇr´ımo 22 19 vlevo 5 8 vpravo 12 9 8
3 4 5 30 26 24 2 9 8 7 14 11
Ovˇeˇrte tvrzen´ı (uved’te p-hodnotu) a) pod´ıl vozidel odboˇcuj´ıc´ıch vlevo (vztaˇzen´ y ke vˇsem vozidl˚ um, kter´a kˇriˇzovatkou projela) je na hladinˇe 0,05 stejn´ y jako tˇech, kteˇr´ı odboˇcuj´ı vpravo; b) pr˚ umˇern´ y poˇcet vozidel odboˇcuj´ıc´ıch vlevo je na hladinˇe 0,05 stejn´ y jako tˇech, kteˇr´ı odboˇcuj´ı vpravo. 14. V r´amci mˇes´ıce bezpeˇcnosti byla proveden´a nam´atkov´a kontrola seˇr´ızen´ı svˇetel osobn´ıch automobil˚ u. Zaznamenan´e u ´daje jsou v centimetrech – pod povolenou u ´rovn´ı a + nad povolenou u ´rovn´ı. U kaˇzd´eho kontrolovan´eho vozidla byl zmˇeˇren jak lev´ y, tak i prav´ y reflektor s v´ ysledky ˇc.mˇeˇren´ı 1 lev´ y -3 prav´ y -5
2 3 5 16 -12 22
4 9 -3
5 -8 -9
6 -2 1
7 8 9 23 5 -6 -1 2 -13
10 -3 -5
Na hladinˇe 0,05 testujte tvrzen´ı (uved’te hodnotu testov´e statisiky a kritick´ y obor) a) lev´e i prav´e reflektory jsou seˇr´ızeny stejnˇe; b) svˇetla lev´ ych reflektor˚ u jsou v´ıce sklopen´a, neˇz svˇetla prav´ ych.
9
