os t rp
yo
Business Administration / Bedrijfskunde
Schriftelijk tentamen - UITWERKINGEN
:
Vakcode Datum Docent(en)
: : :
Statistische Methoden en Technieken BKB0019t 29 juni 2009 dr J. van Dalen
Groep
:
niet van toepassing
Soort tentamen Tijd Aantal pagina’s (incl. voorblad)
: : :
gesloten boek 13.30 - 16.30 uur 9
op
Algemeen Vak
Opmerkingen
tc
• De uitwerkingen in dit formulier betreffen antwoordschetsen. Alternatieve formuleringen zijn niet bij voorbaat uitgesloten.
• De puntenverdeling die binnen de onderdelen wordt genoemd, is indicatief. Bij de precieze allocatie van punten wordt mee rekening gehouden met de kwaliteit van het gehele antwoord.
Do
no
• Schoonheidsfoutjes in de uitwerkingen zijn niet uitgesloten. Eventuele missers graag doorgeven. • Nadruk en verdere verspreiding verboden
1
os t
rp
Vraag 1: Promotiegerichtheid van bedrijfskundigen
(6 pnt) Gevraagd: berekening Cronbach’s alpha en korte beoordeling betrouwbaarheid schaal promotiegerichtheid.
(a)
• Berekening Cronbach’s alpha (4 pnt):
= = = =
∑K Var( Xk ) 1 − k =1 K Var(∑k=1 Xk )
!
4 1.0092 + .7092 + .7742 + .8702 1− 4−1 2.5392 4 2.877 1− 3 6.447 0.738
yo
α
K K−1
op
• In het algemeen worden uitkomsten van Cronbach’s alpha boven de 0.70 gezien als indicatie van een redelijk betrouwbare schaal (enigszins afhankelijk van de toepassing). in deze opvatting is de schaal voor promotiegerichtheid is dus betrouwbaar (2 pnt).
(6 pnt) Gevraagd: (i) berekenen z-score minimale promotiegerichtheid; en (ii) invloed weglaten ene respondent op steekproefgemiddelde.
(b)
tc
• (i) De gestandaardiseerde uitkomst of z-score van waarneming i is gedefinieerd als zi = ( xi − x¯ )/s. Uit de tabel blijkt dat het steekproefgemiddelde en de standaarddeviatie van promotiegerichtheid gelijk zijn aan x¯ = 15.176 en s = 2.539, en dat het minimum gelijk is aan 4 zodat de z-score volgt als (3 pnt): x − x¯ 4 − 15.176 = = −4.402 s 2.539 • (ii) Het gevolg van verwijderen van deze observatie is dat het steekproefgemiddelde daalt van 15.176 naar:
Do
no
z=
512 × 15.176 − 4 = 15.198 511 Het verschil tussen de steekproefgemiddelden is dus −0.022 (= 15.176 − 15.198), of −0.145% (= (−0.022/15.176) × 100%). Dit is een zeer gering effect. x¯ na =
2
os t
(6 pnt) Gevraagd: (i) formele uitdrukking H0 en H1 ; en (ii) berekenen grenswaarde acceptatiegebied voor linkseenzijdige toets op de veronderstelling (H0 ) dat de gemiddelde score promotiegerichtheid ten minste gelijk zou zijn aan 15.5; α = 1%, gebruik standaard normale tabel.
rp
(c)
• (i) De te toetsen hypothesen zijn: H0 : µ promo ≥ 15.5 en H1 : µ promo < 15.5 (2 pnt).
op
yo
• (ii) De grenswaarde van het (linkseenzijdige) kritieke gebied c L wordt gevonden als (4 pnt): s c L = µ0 − tn−1,α √ n s ≈ µ0 − z α √ n 2.539 = 15.5 − z0.01 √ 512 2.539 = 15.5 − 2.326 √ = 15.5 − 0.261 = 15.239 512
(6 pnt) Gevraagd: macht van de toets voor alternatieve hypothese dat de gemiddelde promotiegerichtheid ten hoogste gelijk is aan 15.0.
(d)
tc
• Macht van de toets, 1 − β: kans op het terecht verwerpen van de nulhypothese, kans op het verwerpen van de nulhypothese wanneer de alternatieve hypothese als uitgangspunt wordt genomen, kans dat het steekproefgemiddelde in het verwerpingsgebied ligt onder de alternatieve hypothese. • Berekening macht van de toets: 1−β
=
Do
no
=
=
P(Promo < c L | H1 : µ ≤ 15.0) c − 15.0 P( Z < L √ ) s/ n 15.239 − 15.0 √ P( Z < ) 2.539/ 512 P( Z < 2.130)
= = 1 − P( Z > 2.130) = 1 − 0.017 = 0.983
Voor de berekening is ervan uitgegaan dat de populatie-standaarddeviatie gelijk is aan de steekproef-standaarddeviatie: σ = s = 2.539.
3
os t rp
Vraag 2: Zero debts financiering
(6 pnt) Gevraagd: 95%-betrouwbaarheidsintervalschatting voor het aandeel bedrijven met een zero debt beleid.
(a)
yo
• De 95%-betrouwbaarheidsintervalschatting wordt gevonden als: s r 131 131 (1 − 1198 ) p S (1 − p S ) 131 pS ± zα/2 = ± z0.025 1198 n 1198 1198 r 0.109(1 − 0.109) = 0.109 ± z0.025 1198 = 0.109 ± 1.96 × 0.009
= 0.109 ± 0.018 ⇔ (0.092; 0.127)
(b)
op
Afronding getallen op laatste moment.
(6 pnt) χ2 -toetsgrootheid
Gevraagd: (i) voorwaarde toepassing Pearson voor onderzoek (on)afhankelijkheid; en (ii) nagaan of aan voorwaarde wordt voldaan.
tc
• (i) Voorwaarde voor toepassing van de Pearson χ2 -toetsgrootheid in onderzoek naar (on)afhankelijkheid is dat de steekproefomvang groot genoeg is. Voor ’groot genoeg’ wordt de vuistregel gehanteerd dat de minimale verwachte celfrequentie ten minste gelijk is aan 5. (3 pnt)
Do
no
• (ii) De minimaal verwachte celfrequentie wordt gevonden voor de zero debts gefinancierde ondernemingen in de bedrijfstak ’Other’ als: E31 = nzero × nother /n = 131 × 177/1198 = 19.356 > 5. Er wordt dus ruim aan de vuistregel voldaan. (3 pnt)
4
os t
(6 pnt) Gevraagd: berekenen waarde van de toetsgrootheid die wordt gebruikt voor onderzoek naar de samenhang tussen het voeren van een zero debt beleid en bedrijfstak. Waarde benodigde Pearson χ2 -toetsgrootheid:
=
=
(O11 − E11 )2 (O12 − E12 )2 (O21 − E21 )2 + + + E11 E12 E21 (O22 − E22 )2 (O31 − E31 )2 (O32 − E32 )2 + + E22 E31 E32 131×765 2 1067×765 2 ×256 )2 (61 − 1198 ) (704 − 1198 ) (56 − 1311198 + + + 131×765 1067×765 131×256 1198 1198 1198 1067×256 2 131×177 2 1067×177 2 ) ( 14 − ) ( 163 − 1198 1198 1198 ) + + 1067×256 131×177 1067×177 1198 1198 1198 (61 − 83.7)2 (704 − 681.3)2 (56 − 28.0)2
(200 −
=
+ + + 83.7 681.3 28.0 (200 − 228.0)2 (14 − 19.4)2 (163 − 157.6)2 + + 228.0 19.4 157.6 6.134 + 0.753 + 28.020 + 3.440 + 1.481 + 0.182 = 40.010
op
=
yo
Y
rp
(c)
(6 pnt) Gevraagd: toets onafhankelijkheid zero debt en bedrijfstak; α gelijk aan 5%.
(d)
tc
1. H0 : ZeroDebts en Industry onafhankelijk; H1 : ZeroDebts en Industry afhankelijk 2. Y = ∑ri=1 ∑cj=1
(Oij − Eij )2 Eij
3. Y ∼ χ2 ((r − 1)(c − 1)) = χ2 ((3 − 1)(2 − 1)) = χ2 (2)
4. Y >> 0
Do
no
5. α = 0.05
6. χ22,0.05 = 5.991
7. Yobs = 40.010 > 5.991 = χ22,0.05 ⇒ verwerp H0 : Zero debts beleid en bedrijfstak zijn afhankelijk verdeeld, uitgaande van een significantieniveau α gelijk aan 5%.
Gebruik van Yobs = 30 leidt tot een punt aftrek.
5
os t
rp
Vraag 3: Grote Depressie en kostprijs van staal
(6 pnt) Gevraagd: onderzoeken of eenheidstoename bezettingsgraad (Capacity) leidt tot een daling kostprijs staal met meer dan 0.1 $US/ton (H1 ); α gelijk aan 5%.
(a)
1. H0 : β Cap ≥ −0.1, H1 : β Cap < −0.1 2. T = ( βˆ Cap − β Cap )/S βˆ
Cap
= ( βˆ Cap − (−0.1))/S βˆ
5. α = 0.05 6. −t14,0.05 = −1.761
Cap
yo
3. T ∼ t(n − K − 1) = t(18 − 3 − 1) = t(14) 4. βˆ Cap << −0.1, Tobs << 0
op
7. Tobs = (−0.445 + 0.1)/0.150 = −2.300 < −1.761 ⇒ verwerp H0 op 5%: er is voldoende empirische ondersteuning voor de bewering dat een eenheidstoename van de bezettingsgraad leidt tot een daling van de kostprijs meer dan 0.1 $US/ton, uitgaande van een significantieniveau van 5%. Opmerking: een onjuiste behandeling van het veronderstelde effect leidt tot een standaard aftrek van twee punten. (6 pnt) Gevraagd: berekenen p-waarde toetsresultaat onderzoek naar bewering dat kostprijs van staal vanaf 1930 systematisch lager is dan ervoor (H1 ).
(b)
tc
• De zogenaamde p-waarde is de kans op een uitkomst van de toetsgrootheid die meer extreem is dan de waargenomen waarde van de grootheid, gegeven de nul- en alternatieve hypothesen.
• Nul- en alternatieve hypothesen: H0 : β Crisis ≥ 0, H1 : β Crisis < 0. Uitkomst toetsgrootheid: Tobs = (−12.733 − 0)/6.313 = −2.017 • Berekening p-waarde:
= ≈
Do
no
p
P( T < −2.017 | H0 : β Crisis ≥ 0)
P( Z < −2.017) = 0.022
6
os t (6 pnt)
(c)
rp
R2
Gevraagd: (i) berekenen mate van verklaring en aangepaste mate 2 van verklaring R ; en (ii) uitleggen waarom rapportage in deze specifieke situatie toch zinvol is om de aangepaste mate van verklaring te rapporteren. 2
• (i) Berekening R2 en R (4 pnt): R2 2
=
SSR SSE 490.277 = 1− = 1− = 0.475 SST SST 934.158 SSE/(n − K − 1) 490.277/14 1− = 1− = 0.363 SST/(n − 1) 934.158/17
yo
R
=
op
• (ii) Het rapporteren van de aangepaste mate van verklaring is zinvol bij het vergelijken van de fit van geneste modellen (verschillend aantal 2 vrijheidsgraden). In dit geval is rapportage van R zinvol vanwege het geringe aantal observaties (18 jaar), waardoor de gewone R2 al snel een geflatteerd beeld van de verklaringskracht van het model geeft (2 pnt).
(6 pnt) Gevraagd: onderzoeken of gezamenlijke bijdrage bezettingsgraad, uurloon en crisisdummy aan verklaring jaarlijkse gemiddelde kostprijs van staal significant is; α gelijk aan 5%.
(d)
1. H0 : β Cap = β Eur = β dCrisis = 0; H1 : niet alle drie effecten gelijk aan nul SSR/K MSR = SSE/(n − K − 1) MSE
tc 2. F =
3. F ∼ F (K, n − K − 1) = F (3, 14) 4. F >> 1
5. α = 0.05
Do
no
6. F3,14,0.05 = 3.34
147.960 = 4.225 > 3.34 = F3,14,0.05 ⇒ verwerp H0 op α gelijk 35.020 aan 5%: de gezamenlijke bijdrage van bezettingsgraad, loonkosten en crisisdummy aan de verklaring van de kostprijs van staal is significant op 5%.
7. Fobs =
7
os t
rp
Vraag 4: Verkoopresultaten familiebedrijf
(6 pnt) Gevraagd: berekenen (geschatte) standaardfout van het verschil tussen de gemiddelde verkoopprestaties van laag- en hoogopgeleide vertegenwoordigers, uitgaande van de resultaten van de variantieanalyse zonder IQ.
(a)
yo
• De geschatte standaardfout van het verschil tussen beide steekproefgemiddelden, Verkoop L − Verkoop H is: s r √ √ 1 1 1 1 MSW + = 84.450 + = 9.190 × 0.276 = 2.539 nL nH 38 20
op
• Afronding op laatste moment.
(6 pnt) Gevraagd: toetsen veronderstelling dat verwachte verkoopprestaties voor drie typen vooropleiding gelijk zijn (H0 ); uitgaande analyse zonder IQ en α gelijk aan 2.5%.
(b)
1. H0 : µ L = µ H = µ I ; H1 : niet alle drie µ’s gelijk SSB/( a − 1) MSB = SSW/(n − a) MSW
tc 2. F =
3. F ∼ F ( a − 1, n − a) = F (2, 79)
4. F >> 1
5. α = 0.025
Do
no
6. F2,79,0.025 = 3.87 (tussen 3.83 en 3.88) 7. Fobs = 5.994 > 3.87 = F2,79,0.025 ⇒ verwerp H0 op α gelijk aan 2.5%: de verwachte verkoopprestaties verschillen significant tussen vertegenwoordigers met verschillende typen vooropleiding op significantieniveau 5%.
8
os t
(6 pnt) Gevraagd: Onderzoek of samenhang tussen verkoopprestaties (Verkoop) en type opleiding (Opleid) wordt doorkruist door intelligentie verkoopmedewerkers (IQ)
rp
(c)
• Vóór opschonen: de samenhang tussen verkoopprestaties (Verkoop) en opleiding (Opleid) is significant, Fobs = 5.994, p = 0.004. (2 pnt)
yo
• Na opschonen: controleren van de samenhang tussen verkoopprestaties (Verkoop) en opleiding (Opleid) voor de invloed van intelligentie (IQ) leidt tot uitkomst toetsgrootheid Fobs = 5.578, p = 0.005. De covariaat (IQ) heeft geen significante bijdrage Fobs = 0.877, p = 0.352. (2 pnt)
op
• Conclusie: de samenhang tussen verkoopprestaties en opleiding is vóór opschonen significant (Fobs = 5.994, p = 0.004) en na opschonen voor intelligentie (IQ) nog steeds (Fobs = 5.578, p = 0.005), terwijl de covariaat geen significant effect heeft (Fobs = 0.877, p = 0.352). Er is geen doorkruisendheid van betekenis; de samenhang tussen verkoopprestaties en opleiding heet autonoom. (2 pnt)
(6 pnt) Gevraagd: (i) specificeer populatieregressiemodel voor relatie tussen verkoopprestaties enerzijds en opleiding en intelligentie anderzijds; en (ii) bereken mate van verklaring voor dit regressiemodel.
tc
(d)
• (i) Voorafgaand aan de formulering worden dummyvariabelen voor de drie typen opleiding gedefinieerd als: dOpleid1 = (Opleid eq ’laag’), dOpleid2 = (Opleid eq ’hoog’), dOpleid3 = (Opleid eq ’intern’). Daarna wordt het model gespecificeerd als (3 pnt):
Do
no
Verkoop = α + β 1 dOpleid1 + β 2 dOpleid2 + β 3 IQ + e, e ∼ n(0, σ)
Een van de dummies wordt buiten de specificatie gehouden; hier is dit Opleid3.
• (ii) De mate van verklaring voor dit regressiemodel wordt met de informatie over de uitgebreide variantieanalyse berekend als: R2 =
SSB 1086.580 = = 0.141 SST 7684.000
9
