1
Uitwerkingen Hertentamen E.K.T., 21 november 2000 1. We berekenen eerst het volume van de gas es: V = 1:00 0:062 = 0:011 m3. Bij aanvang is de es gevuld tot een druk van 1:40 106 Pa bij een temperatuur van 293 K. We berekenen het aantal mol N bij aanvang: N = p V=(R T ) = 1:40 106 0:011=(8:31 293) = 6:50. Aan het einde van de barbecue is de gastemperatuur T = 308 K en de gasdruk p = 3:50 105 Pa. Ook nu berekenen we het aantal mol gas in de es: N 0 = p V=(R T ) = 3:5 105 0:011=(8:31 308) = 1:55. De hoeveelheid gas die is gebruikt is dus gelijk aan: N ; N 0 = 4:95 mol. Vermenigvuldigen met de molaire massa levert de massa van het verbruikte propaan: M = 4:95 0:0441 = 0:22 kg. 2. 3=2 2! 1 m 2 2 mv f (v)dv = 4 2 k T v exp ; kT dv (a) De verdeling is genormeerd. Dit betekent dat de totale kans gelijk is aan 1: R1 f (v) dv = 1. 0
vgem
vα
f(v)
vrms
0
500
1000
1500
v (m/s)
(b) 0.0020 vα
vβ
f(v)
0.0015
0.0010
0.0005
0 0
500
1000 v (m/s)
(c)
1500
2 (d)
v2
= = = =
p
= q
Z1 0 Z1
v2 f (v) dv !
3=2 2 1 m 4 exp ; 2 m v v dv 4 2 k T kT 0 ! 3=2 Z1 1 m v2 m 4 2 4 v exp ; kT dv 2kT 0 s 3=2 3 m 8 (m=2kT )5 4 2 k T 3k T m
Dan geldt v2 = 3k T=m. (e) De gemiddelde kinetische energie van een deeltje = 21 m v2 = 12 m (3 k T=m) = 3=2kT . 3. Een drieniveau systeem met equidistante niveau's en geen ontaarding. (a)
exp ; kT1 1 = f1 = 2 3 1 exp ; kT + exp ; kT + exp ; kT 1 + exp ; kT + exp ; 2 kT 2 exp ; kT 1 = f2 = 2 3 1 exp ; kT + exp ; kT + exp ; kT exp kT + 1 + exp ; kT exp ; kT3 1 = f3 = + exp kT + 1 exp ; kT1 + exp ; kT2 + exp ; kT3 exp 2 kT (b) f1 + f2 + f3 = 1 voor alle temperaturen (normering). (c) Als T ! 0 geldt 1=kT ! 1. Dan geldt exp ; kT ! 0 en exp kT ! 1. Dan geldt: f1 ! 1, f2 ! 0, f3 ! 0. Als T ! 1 geldt 1=kT ! 0. Dan geldt exp ; kT = exp kT ! 1. In dat geval geldt f1 = f2 = f3 ! 1=3. (d) We hebben net gezien dat bij heel lage temperaturen alle deeltjes in de grondtoestand zijn (f1 = 1). De totale energie van N deeltjes is dan E = N1 . Bij heel hoge temperaturen zijn de deeltjes gelijkelijk verdeeld over de drie toestanden (f1 = f2 = f3). De energie is dan E = 31 N (1 + 2 + 3 ) = N 1 (1 + + 2). i
i
i
i
3 1.0 0.8 f1
fi
0.6 0.4
f2
0.2 f3 0 0
1
2
3
4
5
4. Om de aard van de stroming te kunnen bepalen moeten we eerst de gemiddelde vrije p weglengte in het gas bepalen: ` = [ 2 n d2];1 . We moeten dan eerst de dichtheid van het gas in het vaatje bepalen: n = p=(kT ) = 35:0=(1:38 10p;23 300) = 8p:45 1021 m;3. De gemiddelde vrije weglengte wordt dan: ` = [ 2 n d2];1 = [ 2 8:45 1021 9 10;20];1 = 0:3 mm. (a) Voor het kleine gaatje geldt dat de diameter aanzienlijk kleiner is dan de gemiddelde vrije weglengte; hier zal dus Knudsen stroming optreden. Voor de buis geldt dat de afmetingen er van veel groter zijn dan de gemiddelde vrije weglengte; daar treedt dan Poiseuille stroming op. (b) We moeten niet vergeten dat ook buiten het vaatje stikstof gas aanwezig is. De Knudsen stroom wordt dus bepaald door het dichtheidsverschil! Bij de Poiseuille stroom is daar al rekening mee gehouden! IKnudsen = 41 n v R12 4 2 p IPoiseuille = n R 8L , met n het dichtheidsverschil tussen binnen en buiten. (c) We berekenen eerst de Knudsen stroom; daarvoor moeten we de gemiddelde q q snelheid in het gas uitrekenen: v = 8 R T=( M ) = 8 8:31 300=( 0:028) = 476 m/s. Het dichtheidsverschil tussen binnen en buiten: n=n = p=p = 1=35. Het dichtheidsverschil is dus 1/35 maal de dichtheid binnen. IKnudsen = (1=4) (8:45 1021=35) 476 (5 10;5)2 = 2:26 1014 s;1 . Om de Poiseuille stroom uit te rekenen moeten we eerst de viscositeit uitrekenen: = 31 n m ` v = 13 8:45 1021 (0:028=6:02 1023) 0:0003 476 = 1:85 10;5 Pa.s. De Poiseuille stroom is IPoiseuille = (n R24 p)=(8 L) = (8:45 1021 10;12)=(8 1:85 10;5 L) = 1:79 1014 =L s;1 . Gelijke Knudsen en Poiseuille stroming gebeurt dan als L = 0:79 m. 5. (a) Voor gasvormig Argon geldt dat, bij alle temperaturen Cv = 3=2 R. dit is een atomair gas met slechts drie vrijheidsgraden per deeltje. Voor gasvormig O2 geldt het volgende: bij lage temperatuur geldt Cv = 5=2 R; translatie- en rotatie-vrijheidsgraden doen mee. Bij hogere temperatuur geldt
4
Cv = 7=2R; immers dan doen ook de vibratie-vrijheidsgraad me. Dit gebeurt bij een temperatuur van ongeveer 2500 K. 4
Cv (R)
3
2
1
0 0
1000
2000
3000
4000
T (K)
Cv
(b) De warmtecapaciteit bij constant volume wordt gegeven door Cv = dU=dT . Bij lage temperatuur (T < T1 ) geldt dan: Cv / T , bij iets hogere temperatuur (T1 < T < T2 ): Cv is constant, en voor T > T2 geldt: Cv = 0.
T (K)
6. Een 3.0 mm dik glazen raam met daaromheen 3.0 mm dikke stationaire lagen lucht. De temperatuur van het glas aan de binnenkant is T1 , die aan de buitenkant is T2 . (a) (b) Er staat een warmtestroom die overal even groot is. In de kamer geldt: j = lucht (Tkamer=dlucht. In de ruit geldt: j = glasTglas =dglas. In de buitenlucht geldt: j = lucht Tbuiten =dlucht. Uit de eerste en derde vergelijking volgt: Tkamer = Tbuiten . Uit de eerste en twede vergelijking volgt: Tkamer = ddlucht glas Tglas glas lucht = glas Tglas lucht = 20Tglas Voor het totale temperatuurverschil kunnen we nu schrijven: Tkamer ; Tbuiten = (2 + 0:05)Tglas. Hieruit volgt dat Tglas = 20=(2:05) = 9:76 0 C.
5 (c) Aangezien de warmtegeleidingscoecient van lucht 20 keer zo klein is als die van lucht moet het glas 20 keer zo dik zijn. De gewenste glasdikte is dus 60 mm. 7. (a) Als de kraan ver open staat zodat de gemiddelde vrije weglengte veel kleiner is dan de opening van de kraan zijn wij in het regime van vrije molekulaire stroming. Dan geldt dat er drukevenwicht wordt bereikt: pw = pk . De verhouding van de dichtheden volgt dan uit de ideale gas wet: n = p=kT . Dat geeft nw =nk = Tk =Tw = 1=4. (b) Bij heel kleine kraanopening zijn wij in het regime van Knudsen stroming. Dan krijgen we een thermomolekulair drukverschil omdat de deeltjesstromen gelijk p 1 1 zijn: 4 nw v w = 4 nk v k . Omschrijven resulteert in pw Tw =(k Tw ) = pk q p Tk =(k Tk ) oftewel pw =pk = Tw =Tk = 2.qDe dichtheden zijn dan omgekeerd evenredig aan de snelheden dus nw =nk = Tk =Tw = 12 . 8. (a) De nt wordt gegeven door D = 13 ` v . Berekenen we eerst v = q di usiecoecieq 8 R T=( M ) = 8 8:31 293=( 0:028) = 471 m/s. We moeten dan eerst de dichtheid van het gas in de kubus bepalen: n = p=(kT ) = 1:0 105=(1:38 10;23p 293) = 2:47p 1025 m;3. De gemiddelde vrije weglengte wordt dan: ` = [ 2 n d2];1 = [ 2 2:47 1025 9 10;20 ];1 = 0:10 m. De di usiecoecient is dus gelijk aan: D = 31 1:0 10;7 471 = 1:59 10;5 m2/s. (b) Nu maken we gebruik p van de resultaten over een dronkemanswandeling: de rms afstand L = N ` met N het aantal stappen. Voor ons geval geldt dan rms p N = Lrms=` = 1:0 107. Het aantal stappen is dus 1014. De gemiddelde tijd van een stap = ` =v = 1:0 10;7=471 = 2:12 10;10 s. Het kost dus 2:12 104 seconden om naar de andere kant van de kubus te di underen. Een andere manier om dit antwoord te verkrijgen gaat als volgt: In t seconden legt het deeltje een afstand v t af. Dit is gelijk aan het aantal stappen maal de gemiddelde vrije weglengte: v t = N ` . Dus in de p geldt N = v t=` . Invullen 2 uitdrukking voor de afstand geeft: Lrms = ` v t. Dan geldt t = Lrms=(` v ). (c) Als we de druk met een factor honderd verlagen neemt de deeltjesdichtheid met een factor honderd af. De gemiddelde vrije weglengte neemt dan ook met een factor 100 toe. Uit de laatste uitdrukking volgt dan dat de tijd met een factor 100 afneemt. Dit gaat goed zolang de gemiddelde vrije weglengte veel kleiner wordt dan de maat van de kubus. Bij p = 105 Pa is ` = 10;7 m. Bij p = 10;2 Pa is ` = 1 m. We kunnen dus zeggen dat de tijd steeds met een factor 10 afneemt totdat de druk ongeveer 10;2 Pa bedraagt. Daarna komen we in het Knudsen regime en wordt de reistijd bepaalt door het vrije vliegen: t = 1=v = 2:1 ms. Bij p = 103 Pa geldt t = 212 s. Bij p = 101 Pa geldt t = 2:12 s. Bij p = 10;1 Pa geldt t = 0:021 s.
6 Bij p = 10;3 Pa geldt t = 2:1 ms. Bij p = 10;5 Pa geldt t = 2:1 ms.
