s²

Hukum newton hanya memberikan perumusan tentang bagaimana gaya mempengaruhi keadaan gerak suatu benda, yaitu melalui perubahan momentumnya. Sedangkan bagaimana perumusan gaya dinyatakan dalam variabelvariabel keadaan benda, harus dicari melalui pengamatan terhadap benda- benda penyebab gaya. Beberapa kasus sederhana perumusan tersebut akan diuraikan di bawah ini. Gaya berat. Untuk semua benda yang dekat permukaan bumi, percepatan gravitasi yang dialami benda dianggap sama, sehingga berat benda sebanding dengan massanya. Gaya berat pada sebuah benda yang dekat dengan permukaan bumi diberikan oleh

dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada permukaan bumi sekitar 9, 8 m/s² .

Gaya pegas. Sebuah pegas ideal bila diregangkan atau ditekan akan memberikan gaya yang sebanding dengan besar perubahan panjang pegas. Jadi gaya yang diberikan oleh pegas adalah

∆x adalah vektor besar perubahan panjang pegas dan tanda negatif pada persamaan di atas menunjukkan arah gayanya yang berlawanan dengan arah perubahan panjang pegas. Konstanta kesebandingan k disebut juga sebagai konstanta pegas. Gaya normal/Gaya kontak. Antara dua permukaan benda yang saling bersentuhan akan ada gaya dari permukaan benda yang satu ke permukaan benda yang kedua, dan sebaliknya. Arah gaya normal ini tegak lurus ter- hadap permukaan dan membentuk pasangan aksi-reaksi.

Gaya gesekan. Antara dua permukaan benda yang bersentuhan akan ada gaya yang mengarah tangensial terhadap permukaan sentuh. Gaya ini merupakan pasangan dari gaya normal/gaya kontak dan secara bersama mendeskripsikan total gaya yang bekerja antara dua benda yang bersentuhan.

Momentum satu benda Momentum adalah besaran yang merupakan perkalian massa dan kecepatan.

Mometum sistem benda Jika sistem kita amati terdiri dari sejumlah partikel benda, maka momentum total sistem adalah jumlah vektor dari momentum masing-masing partikel.

Contoh : 1. Sebuah mobil yang memiliki massa 1250 kg berpindah sebesar km dalam waktu setengah jam. Berapakah momentum rata-rata mobil tersebut? 2. Benda yang bermassa masing-masing 2 kg dan 3,5 kg bergerak masingmasing dengan kecepatan m/s dan m/s. Berapa momentum total sistem dua partikel tersebut? Jawab : 1.

2.

Tumbukan Dalam proses tumbukan antara dua benda, gaya yang terlibat, ketika kedua benda dilihat sebagai satu kesatuan, hanya gaya internal. Sehingga pada semua proses tumbukan, selama tidak ada gaya eksternal, total momentum sistem konstan. Ditinjau tumbukan antara partikel 1 dan 2, dengan massa m1 dan m2 , dan besar kecepatan awal v1 dan v2 . Ketika tumbukan terjadi, partikel 1 memberi gaya ke partikel 2 sebesar F21 , dan partikel 2 memberi gaya ke partikel 1 sebesar F12 .

Sehingga :

Besaran integral di ruas kiri persamaan di atas juga disebut sebagai impuls yang diberikan oleh gaya F12 . Untuk partikel kedua berlaku

Sehingga persamaan di atas menjadi :

Kita akan meninjau terlebih dulu kasus ekstrim, yaitu tumbukan elastik, di mana tidak ada energi sistem yang hilang (sebagai panas maupun bunyi), dan tumbukan total tak elastik, di mana kedua partikel atau benda menempel dan bergerak bersama-sama. Tumbukan Elastik Dalam tumbukan elastik, energi sistem sebelum dan sesudah tumbukan, tetap sama

Persamaan di atas dapat disederhanakan sebagai

Dengan membagi persamaan di atas dengan atau

Koefisien e disebut koefisien resistusi, dan untuk kasus tumbukan elastik nilai e = 1. Contoh : sebuah mobil box massa 3000 kg sedang melaju kekanan dgn kecepatan 10 m/s menabrak bobil sedan dengan massa 1000 kg yang sedang parkir. Setelah terjadi tabrakan mobil sedan bergerak ke kanan dengan kecepatan 15 m/s. berapa kecepatan mobil sekarang dan apakah tabrakan tersebut termasuk tumbukan sempurna?

tumbukan sempurna

Tumbukan tak elastik Tumbukan tak elastik adalah tumbukan yang mana setelah tumbukan kedua benda menyatu dan bergerak dengan kecepatan sama, sehingga :

Ini berarti pada tumbukan total tak elastik, nilai e = 0. Contoh : Seekor ikan besar 50 kg hendak menangkap ikan kecil 8 kg. ketika itu ikan besar berenang dengan kecepatan 6 m/s dan ikan kecil berenang dengan kecepatan 2 m/s ke arah ikan besar. Berapakah kecepatan ikan besar setelah berhasil melahap ikan kecil tersebut dan apakah termasuk leting sempurna? Dalam hal ini :

tumbukan tak elastik

Tumbukan elastik sebagian Tumbukan elastik sebagian yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukum kekekalan mekanik sebab energi sebagian diubah dalam bentuk lain, misal panas, bunyi, getaran, dll. Nilai e yaitu 0 ≤ e ≤ 1.

Contoh : Sebuah mobil kayu bergerak ke kanan dengan kecepatan 5 m/s menabrak mobil kayu lain 3 kg yang bergerak dengan arah yang sama dengan kecepatan 2 m/s. setelah terjadi tabrakan, mobil kayu 3 kg bergerak dengan kecepatan 4,2 m/s. berapa kecepatan mobil 2 kg setelah tabrakan dan apakah termasuk tumbukan sempurna?

Tumbukan elastik sebagian

Momen Inersia Momen inersia dari titik partikel tersebut dinyatakan sebagai hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak partikel ke sumbu putar (jari-jari). Dengan demikian momen inersia titik partikel dapat dinyatakan dengan:

Benda yang terjadi dari beberapa partikel yang berotasi pada sumbunya maka momen inersianya merupakan jumlah momen inersia dari partikelpartikel yang terkandung di dalam benda tersebut. Sehingga dapat dinyatakan dengan:

Benda-benda yang teratur bentuknya dan berotasi pada suatu sumbu tertentu mempunyai persamaan momen inersia tertentu seperti pada tabel berikut.

Keterangan: m = massa benda L = panjang benda R1 = jari-jari dalam R2 = jari-jari luar

Empat buah partikel dihubungkan oleh sebuah batang yang massanya diabaikan, ditunjukkan seperti gambar di bawah ini. Tentukan momen inersia sistem partikel bila : Diputar terhadap poros A Diputar terhadap poros B

Pembahasan : Diputar terhadap poros A I = ∑m.R² I = 2m (0) ² + 4m (r) ² + m (2r) ² + 2m (3r) ² I = 0 + 4m r² + 4m r² + 18m r² I = 26 m r² Diputar terhadap poros B I = ∑m.R² I = 2m (2r) ² + 4m (r) ² + m (0) ² + 2m (r) ² I = 8m r² + 4m r² + 0 + 2m r² I = 14 m r²

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputar melalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempel pada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder, maka hitunglah momen inersia sistem.

Pembahasan : I = I silinder + I lumpur I = ½ mR² + m.r² I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ² I = 0,01 + 0,0005 I = 0,0108 I = 1,05 x 10-2 kg m²

Dinamika Rotasi Momentum sudut Momentum sudut merupakan besaran vektor. Momentum sudut didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara vektor r dan momentum linearnya. Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukan dengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan. Jika keempat jari menyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakan arah momentum sudut. Pada gerak translasi benda memiliki momentum linier sedangkan pada gerak rotasi ada momentum sudut. Arah Momentum Sudut Arah momentum sudut L tegak lurus dengan arah r dan arah v. Arah momentum sudutsesuai dengan arah putaran sekrup tangan kanan yang ditunjukan gambar berikut :

Momentum sudut linear akan kekal bila total gaya yang bekerja pada sistem adalah nol. Bagaimana pada gerak rotasi? Pada gerak rotasi kita akan menemukan apa yang disebut sebagai mometum sudut. Dalam gerak rotasi, besaran yang analog dengan momentum linier adalah momentum sudut. Untuk benda yang berotasi di sekitar sumbu yang tetap, besarnya momentum sudut dinyatakan :

dengan: L = momentum sudut (kgm2/s) I = momen inersia (kgm2) ω = kecepatan sudut (rad/s) Jika benda bermassa m bergerak rotasi pada jarak r dari sumbu rotasi dengan kecepatan linier v, maka persamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Karena

dan

maka :

Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear pada gerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa sama dengan momen inersia. Hubungan Momentum Sudut Dengan Momen Gaya (Torka) Kita telah mengetahui bahwa impuls merupakan perubahan momentum dari benda.

Karena v = r . ω, maka :

Jadi, kedua ruas dikalikan dengan r, diperoleh:

Mengingat r . F = τ dan m . r2 = I, maka :

dengan I. ω adalah momentum sudut, sehingga :

Berdasarkan persamaan diatas dapat dinyatakan bahwa momen gaya merupakan turunan dari fungsi momentum sudut terhadap waktu.

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Dalam gerak linear kita telah mempelajari apabila tidak ada gaya dari luar sistem maka momentum sudut total sistem adalah kekal, atau tidak berubah. Dari Persamaan momentum sudut diatas tampak jika torsi pada suatu sistem adalah nol maka dL =0 atau perubahan momentum sudutnya nol, atau momentum sudutnya kekal. Apabila τ = 0 maka L konstan, merupakan hukum kekekalan momentum. Sebagai contoh seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut w, momen inersianya Im. Bila dia kemudian merentangkan kedua tangannya sehingga momen inersianya menjadi Ia, berapa kecepatan sudut penari sekarang? Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar maka tidak ada torsi dari luar, sehingga momentum sudut kekal :

Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadi bertambah. Ia > Im maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Prinsip ini juga dipakai pada peloncat indah. Saat peloncat meninggalkan papan memiliki laju sudut ωo, terhadap sumbu horizontal yang melalui pusat massanya, sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnya setengah lingkaran. Jika ia ingin membuat putaran 3 kali setengah putaran, maka ia harus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3 kali kelajuan sudut semula. Gaya yang bekerja pada peloncat berasal dari gravitasi, tetapi gaya gravitasi tidak menyumbang torsi terhadap pusat massanya, maka berlakukekekalan momentum sudut. Agar laju sudutnya bertambah maka dia harus memperkecil momen inersia menjadi 1/3 momen inersia mula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya ke arah pusat tubuhnya sehingga terbantu dengan adanya momentum sudut dari gerakannya.

Jika sebuah silinder pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,1 m diputar melalui sumbu silinder dan segumpal lumpur bermassa 0,2 kg menempel pada jarak 0,05 meter dari pinggir silinder diputar dengan kecepatan 2 rad/s selama 3 detik, maka hitunglah momen inersia sistem dan momentum sudutnya serta momen gayanya?.

Pembahasan : I = I silinder + I lumpur I = ½ mR² + m.r² I = ½ (2).(0,1) ² + 0,2 (0,05) ² I = 0,01 + 0,0005 I = 0,0108 I = 1,05 x 10-2 kg m²