@028
2. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému x z průniku definičních oborů, x Df Dg = Dh, přiřazuje součet funkčních hodnot h(x)=f(x)+g(x). Analogicky:
f: y = x, g: y = 3x2,
= 2, n = 4
součet h=f+g h(x)=f(x)+g(x) h: y = x + 3x2 rozdíl h=f-g h(x)=f(x)-g(x) h: y = x – 3x2 součin h=f.g h(x)=f(x).g(x) h: y = 3x3 podíl h=f/g h(x)=f(x)/g(x) h: y = 1/(3x) pozor nutno vyloučit čísla, která by vnesla do jmenovatele nulu násobek reálným číslem h= f h(x)= f(x) h: y = 2x umocnění h=fn h(x)=fn(x) h: y = x4 Úkol: Je zadáno f: y = x2 + 1, g: y = -2x, šest operací (viz výše). výsledky
= -5, n = 2. Definujte předpis funkce h pro všech
@428 Svižně derivujte následující funkce a(x) = 3x4 - 5x3 - 2x2 + 3x - 1 b(x) = (5x - 1)(x2 + 3) c(x) = (x - 1)(x - 2)
d ( x) 3x2 e( x )
(x
1 x
d '( x ) 6 x
1 )( x 2 1) x
f(x) = 2x3 – (x2 - x + 1)
g( x )
1 x
2 x2
roznásobit upravit
3 x3
Úkol: Vypočítejte derivaci funkce výsledek zpět
roznásobit roznásobit
a’(x) = 12x3 - 15x2 - 4x + 3 b‘(x) = 15x2 – 2x + 15 c‘(x) = 2x – 3
e' ( x ) 3 x 2
f’(x) = 6x2 - x + 1
g' ( x )
y
x 1 x 1
1 x2 1 x2
1 x2
4 x3
9 x4
@031 Dokažte, že pro derivaci mocniny funkce platí a)
(F2)' = 2F.F' (F2)' = (F.F)’ = (součin) = F'.F + F.F' = 2F.F'
b)
(F3)' = 3F2.F' (F3)' = (F2.F)’ = (součin) = (F2)'.F + F2.F' = (2F.F’)F + F2.F' = 3F2.F’
Poznámka: Analogický vzorec pro derivování mocniny funkce platí pro všechna přirozená čísla větší než 1: (Fn)' = nFn-1F'
n>1 - přirozené
Důkaz bychom snadno provedli matematickou indukcí. Místo důkazu, který si každý může udělat sám, si ukážeme k čemu je to dobré. Je zadána funkce G(x)=(2x3 + 1)7 a máme ji zderivovat. Podle dosavadních příkladů bychom nejprve museli funkční předpis upravit (umocnit) G(x) = 27x21 + 7.26x18 + 21.25x15 + 35.24x12 + 35.23x9 + 21.22x6 + 7.2x3 + 1 a teprve pak derivovat. Použijeme-li vzorec pro derivování mocniny funkce, půjde to rychleji. Musíme si jen uvědomit, že G(x) = (2x3 + 1)7 = F7(x) kde F(x) = (2x3 + 1) G’(x) = (F7(x))’ = 7F6(x).F’(x) = 7(2x3 + 1)6.6x2 = 42x2(2x3 + 1)6 Úpravu roznásobením bychom udělali jen tehdy, kdy to vyžadoval další postup příkladu. Úkol: Zderivujte a) G(x) = (x2 – 5x + 2)5 výsledek zpět
b) G ( x )
(
x 1 10 ) x 1
@031b
Dokažte, že pro každá čtyři reálná čísla a,b,c,d, pro která má předpis funkce y smysl (není ve jmenovateli nula) platí, že derivace má předpis y'
ax b cx d
ad bc . ( cx d ) 2
Jinými slovy, máme zadanou funkci derivovat. Jde o podíl, použijeme příslušný vzorec. Důkaz:
y'
( ax b )'( cx d ) ( ax b )(cx d )' ( cx d ) 2 ad bc ( cx d ) 2
a( cx d ) c ( ax b ) ( cx d ) 2
V kurzu Lineární rovnice a jejich soustavy definujeme pojem determinantu. Nyní se nám tento pojem hodí. Zopakujme: Definice: Determinantem 2.řádu rozumíme symbol
D
a b , kde a,b,c,d R c d
Hodnotou determinantu 2. řádu rozumíme číslo D = ad – bc Používáme rčení: „Vypočtěte determinant …“ a rozumíme tím vypočítat číslo ad-bc. Poznámka: Všimněte si, že hodnotu determinantu dostaneme rozdílem součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále, viz obrázek.
Příklady:
2 2
3 1
2.( 1) 3.2
1 5 4 1
8
1.1 5.( 4) 21
ad bc ax b je podle posledního důkazu y' , což cx d ( cx d ) 2 a b c d lze přepsat do tvaru y' ( cx d ) 2 Poznámka: Derivace funkce y
Příklad: Svižně derivujme
y
5x x 1
-->
y'
5 0 1 1 ( x 1) 2
( 5)( 1) 0.1 ( x 1) 2
5 ( x 1) 2
Determinant 2. řádu se počítá velmi jednoduše, proto ho dále již nebudu vypisovat.
y
2x 7 --> 3x 5
y'
2.5 ( 7 ).3 ( 3 x 5) 2
31 ( 3 x 5) 2
Úkol: Svižně derivujte – pozor na správné postavení hodnot a, b, c, d v determinantu
a( x )
2 3x x 2
d ( x) (2 x)
výsledek zpět
b( x ) 1
4
1 x x 2 3 e( x ) ( ) 2x 1
c( x )
2x 2 x
@028a Je zadáno f: y = x2 + 1, g: y = -2x, operací (viz výše). součet rozdíl součin podíl násobek umocnění
= -5, n = 2. Definujte předpis funkce h pro všech šest
h: y = x2 + 1 – 2x = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 h: y = x2 + 1 + 2x = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 h: y = (x2 + 1)(-2x) = -2x3 – 2x h: y = (x2 + 1)/(-2x) // též možno = -x/2 – 1/(2x) h: y = -5(x2 + 1) = -5x2 - 5 h: y = (x2 +1)2
h=f+g h=f-g h=f.g h=f/g h= f h=fn
Poznámka: V tak zvané vyšší matematice se studují funkce přímo pod mikroskopem. Zavádějí se tam další pojmy, které se složitě definují, a práce s nimi se dá často označit jako umění. Mezi nimi je však jedna operace, která je jednoduchá skoro jako malá násobilka, a která velice moc usnadňuje „malovaní“ grafů funkcí. Jmenuje se derivace. V této kapitole se s ní seznámíme v rozsahu, který nám umožní vytvářet grafy jednodušších funkcí. Nebudeme ji tedy probírat v plném rozsahu, to přenecháme nějakému dalšímu kurzu. Definice: Derivací rozumíme operaci, předpis, který jedné funkci F přiřadí jinou funkci, které říkáme derivace funkce F a značíme F' (čti F s čárkou). Operace derivace má tyto vlastnostmi: i) derivace součtu je součet derivací ii) derivace rozdílu je rozdíl derivací iii) reálné číslo derivace násobku je násobek derivace iv) derivace součinu v) derivace podílu vi) speciální případ derivace převrácené hodnoty
(F+G)' = F' + G' (F-G)' = F' - G' ( F)' = F' (F.G)' = F'.G + F.G'
F F 'G FG' ( )' G G2 1 F' ( )' F F2
vii) derivace mocniny (F(x)=xn pro celé n a n 0, n -1) (xn)’= nxn-1 viii) derivace konstanty (konstantní funkce F(x)= ) ( )’ = 0 Příklady: použijeme zkráceného zápisu bez pojmenování funkce y = f(x) y=0
y’ = 0
y=k
y’ = 0
nulová funkce konstatní funkce 1
1-1
0
y=x
y’ = (x )’= 1.x
y = x2
y’ = (x2)’= 2.x2-1 = 2.x
derivace mocniny
y = x5
y’ = (x5)’= 5.x5-1 = 5.x4
derivace mocniny
y = xn
y’ = (xn)’= n.xn-1
derivace mocniny
y = 3x8
y’ = (3x8)’ = 3(x8)‘ = = 3.8.x8-1 = 27x7
derivace násobku a mocniny
= 1.x = 1 derivace mocniny
y = kxn
y’ = (kxn)’ = k(xn)‘ = = k.n.xn-1
y = 2x + x3
derivace násobku a mocniny
y’ = (2x + x3)’ = (2x)’ + (x3)’ = 2 + 3x2
derivace součtu
derivace převrácené hodnoty y = 1/x
y'
y = 1/x2
y'
y = 1/xn
y'
( x )' x2 ( x 2 )' ( x 2 )2 ( x n )' ( x n )2
1 x2 2x x4 nx n 1 x 2n
2 x3 n xn
1
A teď si musíme derivování natrénovat, aby nám šlo hbitě a nezdržovalo nás, abychom pravidla dostali do krve podobně jako malou násobilku. Proč? No protože to je nástroj, který nám pomůže „snadno malovat“ grafy funkcí. pokračování zpět
@029
Vypočítejte derivaci funkce
y'
y
x 1 x 1
( x 1)'( x 1) ( x 1)( x 1)' ( x 1) 2
( x 1) ( x 1) ( x 1) 2
2 ( x 1) 2
Příklad: Procvičte si derivování podílu
A)
1 x2 y 1 x2 (1 x 2 )'(1 x 2 ) (1 x 2 )(1 x 2 )' y' (1 x 2 ) 2 2 x (1 x 2 ) (1 x 2 ) 2 x (1 x 2 ) 2
4x (1 x 2 ) 2
Teď trochu rychleji – vynecháme první krok, budeme rovnou psát příslušné derivace.
B)
y y'
x2 x 1 x2 x 1 ( 2 x 1)( x 2
x 1) ( x 2 x 1)( 2 x 1) ( x 2 x 1) 2
Úkol: Svižně derivujte
a( x ) b( x ) c( x )
výsledek zpět
2x2 5x 3 5 x 2 8 x 10 x2 2x 3 x2 x 2 3 x10 1 2 x10 7
2(1 x 2 ) ( x 2 x 1) 2
@031a
Derivujte a) G(x) = (x2 – 5x + 2)5
F(x) = x2 – 5x + 2
G’(x) = 5(x2 – 5x + 2)4(2x-5) b) G ( x )
(
x 1 10 ) x 1
F ( x)
x 1 9 2 G' ( x ) 10( ) x 1 ( x 1) 2
x 1 x 1 ( x 1)9 20 ( x 1)11
Úkol: Dokažte, že pro každá čtyři reálná čísla a,b,c,d, pro která má předpis funkce
ax b smysl (není ve jmenovateli nula) platí, že derivace má předpis cx d ad bc y' ( cx d ) 2 y
výsledek zpět
@427 Příklad: Určete derivaci 1) f(x) = x5 - x2 f '(x) = (x5 - x2)' = derivace rozdílu 5 2 = (x )' - (x )' = derivace mocniny = 5x4 - 2x1 = 5x4 - 2x 2) g(x) = (x - 2)2 g'(x) = [(x - 2)2]' = nejprve musíme roznásobit = [x2 - 4x + 4]' = derivace součtu, rozdílu = (x2)' - (4x)' + (4)' = mocniny, násobku, konstanty = 2x - 4 + 0 = 2x - 4 Předvedli jsme si derivování pomalu, krok za krokem. Odteď budeme derivovat rychleji (základní pravidla si přece již pamatujeme). 3) h(x) = 2x5 - 3x4 + 6x3 - x2 + 2x - 3 Všimněte si dobře koeficientů a exponentů funkce a derivace jednotlivých členů. h'(x) = 2.5x4 – 3.4x3 + 6.3x2 – 1.2x1 + 2.1 + 0 = = 10x4 – 12x3 + 18x2 – 2x + 2
1 má derivaci k' ( x ) x
4) Funkce nepřímá úměra k ( x )
Dokázat to můžeme dvěma způsoby: I) jako podíl (
1 )' F
F' F2
1 k' ( x ) ( )' x
( x )' x2
1 x2
II) jako mocnina (xn)’= nxn-1 k'(x) = (1/x)' = (x-1)' = -1.x-1-1 = -x-2 = -1/x2
Nyní procvičíme derivaci podílu (
F F 'G FG' )' G G2
1 x2
2 3x 2
5) l ( x )
l'( x ) (
jde o podíl F(x) = 2 a G(x) = 3x + 2
2 ( 2)'( 3 x 2) 2( 3 x 2)' )' 3x 2 ( 3 x 2) 2 5
6) m( x )
( 2 x 1)
2
0( 3 x 2) 2( 3) ( 3 x 2) 2
6 ( 3 x 2) 2
jde o podíl F(x) = 5 a G(x) = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
( 5)'( 2 x 1) 2 5( 4 x 2 m' ( x ) ( )' ( 2 x 1) 2 ( 2 x 1)4 5
0( 2 x 1) 2 5( 8 x 4) ( 2 x 1)4
40 x 20 ( 2 x 1)4
4 x 1)' 20( 2 x 1) ( 2 x 1)4
20 ( 2 x 1) 3
Kde musíme derivovat, tam jsme funkci G rozepsali (jinak to zderivovat neumíme), ale tam, kde šlo jen o mocnění resp. opsání funkce G, tam jsme použili sevřený tvar, jak byl zadán. Úkol: Svižně derivujte následující funkce a(x) = 3x4 - 5x3 - 2x2 + 3x - 1 b(x) = (5x - 1)(x2 + 3) c(x) = (x - 1)(x - 2)
d ( x) 3x2 e( x )
(x
1 x 1 )( x 2 1) x
f(x) = 2x3 – (x2 - x + 1)
g( x )
1 x
výsledek zpět
2 x2
3 x3
@030 Svižně derivujte
a( x )
2x2 5x 3 5 x 2 8 x 10
b( x )
x2 2x 3 x2 x 2
c( x )
3 x10 1 2 x10 7
a' ( x )
9 x 2 10 x 26 ( 5 x 2 8 x 10) 2
b' ( x )
x2 ( x2
c' ( x )
230 x 9 ( 2 x 10 7 ) 2
Úkol: Dokažte, že pro derivaci mocniny funkce platí a)
(F2)' = 2F.F'
b)
(F3)' = 3F2.F'
výsledek zpět
2x 1 x 2) 2
@033 Svižně derivujte – pozor na správné postavení hodnot a, b, c, d v determinantu
a( x )
b( x )
c( x )
2 3x x 2
a' ( x )
4
b' ( x )
1 x 2x 2 x
d ( x) (2 x)
c' ( x )
1
1 2 x
3 1 (x 0
2 2 2) 2 4
8 ( x 2) 2
1 1 (1 2 1 (2
2
x) 0 2 x )2
d '( x )
4 x) 2
(1 4 (2
1 2 ( 2 x )2
1 ( 2 x )2
x 2 3 ) pozor, jde o 3. mocninu funkce f ( x ) 2x 1 x 2 2 1.1 ( 2).2 ( x 2) 2 3( ) 15 2 x 1 ( 2 x 1) 2 ( 2 x 1)4
e( x ) ( e' ( x )
x )2 0 1
zpět KONEC LEKCE
x 2 2x 1
