Bab 16
RUANG DEMENSI TIGA
1. IRISAN BANGUN RUANG Yang dimaksud dengan irisan suatu bidang dengan bangun ruang adalah daerah yang dibatasi oleh garis potong-garis potong antara bidang tersebut dengan semua sisi bangun ruang yang terpotong oleh bidang tersebut. Konsep irisan dilandasi dengan pengertian : a. Dua garis dikatakan sejajar atau berpotongan jika dan hanya jika terletak pada satu bidang b. Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat dibuat suatu bidang c. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut dapat dibuat suatu bidang d. Suatu garis dapat ditarik datri dua titik jika dan hanya jika terletak pada satu bidang Menggambar irisan bidang dapat dilakukan dengan : A. Bantuan sumbu afinitas Sumbu afinitas adalah garis yang dibentuk oleh perpotongan antara bidang irisan dan bidang alas. T S
R
P Z
Q D
C Sumbu Afinitas
A
B Y
B. Perpotongan bidang diagonal T S
R
P D
Q C
A
P
B
2. Garis Tegak lurus Bidang : Garis l tegak lurus bidang V jika dab hanya jika garis l tegak lurus pada dua garis yang melalui titik potong garis l dengan bidabngV , maka l tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang V
Matematika SMA 115
P’
V
l
Proyeksi titik pada bidang a. Proyeksi titik P pada bidang V diperoleh dengan menarik garis tegak lurus P ke V b. Proyeksi garis l pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat titik yang terletak pada l ke V l c. B A
l’ B’
A’
3.Jarak a. Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tsb b. Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis c. Jarak suatu titik dg. suatu bidang adalah jarak tegak lurus dari titik itu ke bidang itu. d. Jarak antara dua garis yang bersilangan adalah panjang ruas garis yang terhadap kedua garis tsb e. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang terhadap garis dan bidang dimana salah satu garis pada bidang tersebut f. Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurud terhadap dua bidang tersebut Contoh : Panjang rusuk ABCD.EFGH adalah 2 a 2 . Jarak titik H ke bidang DEG adalah … A. 23 a B. 13 a 6 C. 23 a 6 D. 23 a 2 E. a Cara biasa : H
G
E
Jarak yg. dimaksud adalah HP 4
F
P
F
H P
2 2
D C
A
BD = diagonal sisi = 2 a 2 . 2 HB = diagonal ruang = 2 a 2 . 3 co s
B
D
B
Cara cerdik :
4a
HP
2a 6
1
BP
BD
3 1
BD
HP
3
Matematika SMA 116
HB .2 a 6
2 3
a 6
E
G
BP
4a
4a
2a 6
BP
16 a
2
a 6
2a 6
HP = HB – BP F 2a 6
D
A
I
H
C
B
4
a 6
3
2
a 6
3
Jarak antara setiap rusuk yang bersilangan pada bidang empat beraturan dengan rusuk a adalah : 1
a 2
2
2. Sudut antara Garis dengan bidang Sudut antara garis dengan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis itu pada bidang Sudut antara garis AB dengan bidang U adalah sudut BAB’
= sudut antara garis AB dan bidang U B U
B’ A
Contoh : Kubus ABCD EFGH dengan rusuk a cm. Besar sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah … Jawab :
H E
G F
Proyeksi AH pada bidang BDHF adalah HH’ Pada segitiga AHH’ sin
AH ' AH
D A
C B
3. Sudut antara Dua garis yang bersilangan
Matematika SMA 117
1 2
a 2
a 2
1 2
Sudut antara garis g dan garis l adalah sudut yang dibentuk oleh garis l dan g’ ( g’ sejajar g ) g’
g
Contoh : Kubus ABCD EFGH dengan rusuk a cm. Tentukan besar sudut antara garis HF dan garis BG. Jawab : H G E
F
D A
C
adalah sudut antara garis HF dengan garis BG Pada AHF : HF
cos
2
AH
2
2 AH . HF
=
B
AF
2
1 2
2
1 2
2 2.
1 2
2
2 .
1 2
60
0
4. Sudut antara Dua Bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis , satu pada setiap bidang; dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis perpotongan kedua bidang itu,dan berpotongan pada satu titik di garis perpotongan kedua bidang itu. ABCD berpotongan dengan ABFE dengan garis perpotongan AB maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang itu adalah sudut GHI Contoh : Diketahui T.ABCD bidang enpat beraturan dengan rusuk 2 cm. Tentukan Cosinus sudut antara budang TBC dan bidang ABC.
Matematika SMA 118
1 2
2 1 2
2
2
2
Bidang TBC dan bidang ABC berpotongan pada garis BC . TD BC dan AD BC. Sudut ADT adalah sudut antara bidang TBC dan bidang ABC. Pada segitiga ADT :
T
AD
cos
2
DT
2
AT
2
2
2 . AD . DT
=
E
2
3
3
2
2
2 3. 3
1 3
D
A B
SOAL LATIHAN.
1. Kubus ABCD EFGH berusuk a cm. P,Q,R adalah titik-titik tengah dari AD,AB dan BF. Penampang PQR dengan kubus berupa : a. bujur sangkar b. segitiga sama kaki c. segilima beraturan d. trapezium sama kaki e. segi enam beraturan 2. Dalam ruang diketahui bahwa garis g sejajar dengan bidang V dan garis h terletak pada V, maka …. a. garis g sejajar h b. g tidak mungkin sejajar h c. g tidak mungkin h d. g tidak mungkin memotong h e. g mungkin berimpit h 3. Kubus ABCD EFGH . AB = a 2 . Jarak H ke bidang DEG adalah … a.
2a
b.
3
a 3
6
c.
2a
6
3
d.
2a
3
3
e. a
4. Jika ABCD adalah empat persegi panjang , TAB sama kaki dengan alas AB. TAB tegak lurus pada ABCD . Jika AB = 12 , AD = 7 dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah … a.
1
2111
2
b. 6 15
c. 15 6
d. 17
e.
612
5. Diketahui balok ABCD.EFGH. adalah sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCD. Dan t adalah jarak D ke AC. Jarak D ke bidang ACH adalah …. 1
a. sin t
1
b. co s t
1
c. tg
d. t sin
t
e. t tg
6. Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku sama kaki; sudut BAC = 90 0 . E proyeksi D pada bidang ABC tepat jatuh ditengah-tengah BC. Jika AB = AC = p ; DE = 2p. Maka AD sama dengan … a.
3
p
2
b.
3 2
p 2
c.
3
p 3
2
d.
2 3
p 6
e.
2
p 11
3
7. Bidang V // bidang H jika …. a. semua garis dibidang V // bidang H b. ada satu garis dibidang V // bidang H c. ada satu garis dibidang V yang bidang H d. ada satu garis dibidang V yang menyilang satu garis dibidang H e. ada satu garis dibidang V yang // dibidang H 8. Panjang rusuk tetrahedron T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, maka PQ sama dengan … a. 8 2 b. 8 3 c. 8 6 d. 12 2 e. 12 3 9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P ditengah-tengah AE. Jika panjang rusuk kubus adalah a, maka jarak titik A kebidang BPD adalah … Matematika SMA 119
a.
1
1
b.
a 6
8
c.
a 6
6
1
d.
a 6
3
1
e.
a 6
2
2
a 6
3
10. Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a. maka PQ = … a. a 5 b. 2 a 2 c. 4a d. 3a e. a 7 11. Apabila kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 3, maka jarak titik A ke geris HB adalah …. a.
1
b.
6
3
1
c.
6
2
3
d.
6
4
e. 2 2
6
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika BDE. Maka cos = …. a.
2
b.
2
3
2
c.
2
5
2
2
d.
2
7
sudut antara CE dan bidang e.
3
3
2
3
5
’
13. Bidang empat T.ABC , TA =TB=5 ; TC = 2 CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika antara TC dan bidang TAB. Maka nilai cos adalah … a.
b.
11
c.
16
13
d.
16
15
e.
16
sudut
16 17
14. D.ABCD adalah limas sisi tiga dengan alas berupa segitiga siku-siku di B dan CD bidang ABC. Besar sudut ABD adalah …. a. 30 o b. 45 o c. 60 o d. 90 o e. salah semua 15. Pada bangun D.ABC, diketahui bahwa segitiga ABC sama sisi, DC bidang ABC, o panajang DC = 1 dan sudut DBC = 30 . Bila sudut antara bidang DAB dengan CBA maka tg = …. a.
3
b.
3
c.
3
2 3
d.
3
2
e.
3
3 2
16. Titik P,Q,R masing-masing terletak pada rusuk-rusuk BC,FG dan EH sebuah kubus ABCD.EFGH. Jika 3BP = Bc , 3FQ = 2FG dan 3ER=2EH maka perbandingan luas irisan bidang melalui P,Q dan R dan luas permukaan kubus adalah … a. 1 : 6 b. 8 :6 c. 10 : 6 d. 8 : 18 e. 10 : 18 17. Titik P terletak pada perpanjangan DA dari sebuah kubus ABCD.EFGH. Jika AP=2DA dan AD=2 cm, maka luas irisan bidang melalui P,G,dan H dengan kubus adalah … a.
40 9
cm
2
b.
10 9
cm
2
c.
10 9
10
cm
2
d.
4 3
10
cm
2
e. 4 10 cm
2
18. Pada gambar terlihat limas T.ABCD. Dari limas ini diketahui bahwa PA=PT . QB= QT dan RT = 2 RC, maka Volume T.PQR : Vol. TABC = … T a. 3 : 7 b. 1 : 11 Q c. 1 : 4 P R d. 3 : 8 e. 5 : 14 C A
B
Matematika SMA 120
8 3
19. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi panjang pada bidang vertical. Panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm dan Ce = 7 cm. Jika dan berturut-turut sudut antara BE dan bidang ABCD serta ADEF, maka tg . tg = … 3
a.
b.
35
4
c.
35
5
d.
35
4 21
e.
5 21
20. Jika ABCD adalah empat persegi panjang , TAB sama kaki dengan alas AB. TAB tegak lurus pada ABCD . Jika AB = 12 , AD = 7 dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah … A.
1
B. 6 15
2111
2
C. 15 6
D. 17
E.
612
1.) Pada kubus PQRS.TUVW denagn panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volum bola B1 dan B2 adalah ….. Pembahasan: PA= jari-jari bola luar r1 r1= 12 a 3 AD= jari-jari bola dalam = r2 =
2 a
1 2
V B1 : V B2 4 3
r1
3
πr1 = 3
4 3
= πr2
πr2
3
3
3
( 12 a 3 ) : ( 12 a) 1 8
3
a .3 3 :
1 8
a
3
3
3 3 :1 Jawaban :A 2.) Dari kubus ABCD.EFGH diketahui: I. CE tegak lurus AH II. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH III. FC dan BG bersilangan IV. Bidang AFH dan EBG berpotongan Pernyataan yang benar adalah…. Pembahasan: I. CE tidak tegak lurus AH II. Bidang AFH tegak lurus bidang CFH III. FC dan BG bersilangan IV. Bidang AFH dan EBG tidak berpotongan Jawaban : C 3.) Diketahui kubus ABCD-EFGH titik P. Q, dan R masing-masing terletak pada pertengahan rusuk BC dan CG. Irisan bidang yang melalui P, Q dan R dengan kubus terbentuk ….. Matematika SMA 121
Pembahasan : Melukis garis melalui titik-titik pada kubus ABCD.EFGH 1. Hubungkan titik Pdan Q dengan sebuah garis sehingga memotong perpanjangan FE di T dan perpanjangan FB di U 2. Hubungkan titik U dan R dengan garis sehingga memotong BC di W dan memotong perpanjangan FG di V 3. Hubungkan titik U dan T dengan garis sehingga memotong GH di X dan memotong EH di Y 4. Hubungkan : - titik Q dengan W - titik R dengan X - titik P dengan Y Bidang PQWRXY merupakan segienam beraturan Jawaban : tidak ada 3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1
4.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm. Jarak A pada BT adalah ….cm. Pembahasan : 1
BT =
2
( 12
2)
2
=
1
2
=
1 3
6
2 4
=
3 2
PF sin α = 1 sin α =
1 PF
1
=
3 4
=
3
Jawaban :E 6.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah….cm. Pembahasan : AO= x berarti OG= AG-GO= 6
2 -x 2
Δ BOG siku-siku di O sehingga berlaku BO = AB
2
- AO
2
2
2
BO = 6 - x 2
BO = 36 - x
2 2
Δ AOG 2
2
BO = AG + AO 2 2
BO = (6
2)
2
2
BO = 72 – 72 + 12 2
BO = 12
2 x-x
2
2 x-x
2 x-x
36
= 12
2x
x
=3 2 2
2 2
2
36 - x = 12
BO = 72- x
2 -x)
- (6
2
2
2
BO = 72-(3
2 )2
2
BO = 72 – 18 BO = 3 6 Jawaban : A 11.) Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 3 cm. Jarak bidang ACH dab EGB adalah…cm. Pembahasan : Matematika SMA 122
PB//HQ dan HP//QB, oleh karena itu BQHP adalah jajarganjang dengan alas HQ dan tinggi RP. RP merupakan jarak bidang ACH dan EGB. LuasBQHP
RP = panjangHQ DB adalah diagonal sisi kubus, sehingga DB=( 6 3 ) DQ=
1 2
2 =6 6 1 2
DB=
6 6 =3 6
Luas ΔHDQ= 12 x DQ x DH= 12 x 3 6 x 6 3 =27 Luas ΔBFP= Luas ΔHDQ Luas BQHP = luas BDHF.2. Luas ΔHDQ =(6 3 x 6 6 ) – 2(27 =108
2 - 54
=54 2
HQ = ( 6 3 ) = 162
2
2)
2
2 cm 2
+ (3 6 )
2
2
HQ = 9 RP =
2 cm
54
2
9
=6
2
Jawaban :D 13.) Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dab bidang ABD adalah… Pembahasan : 2 CD = CE +DE – 2. CE. DE cos < CED 2
2
2
8 = (4 3 ) +(4 3 ).2(4 3 )(4 3 )cos
cos
1 3
Jawaban : A 14.) Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α, nilai tan α=… Pembahasan : 2
4
RS=
( 2)
18 = 3
= DR= =
4
2
2 (2 2)
2
24 = 2 6 (3
2)
2
(3
SD’ =
2)
2 .3
= 18 618 2 24
(3 2 )
BD’=
BD DD ' BD '
2
(2
2
6)
2
2
12 6
DD’=
tan α =
2
2
2
2
2
( 2) ( DD ' )
4 4
2
18
2
4
2
(4 2)
4
2
32
1
Matematika SMA 123
16
4
Jawaban ; tidak ada 16.) Pada kubus ABCD.EFGH , α adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Nilai cos α =… Pembahasan : 2 2 2 HT = ET +EH 2
HT
2
=
1 2
a 2
HT
2
=
1 2
a
2
HT
2
=
3 2
a
2
HT = a
3
2
a
a
2
2
BT
cos < ETH =cos α = FT 1 2
cos α =
a
2 3
a
2
cos α = 13 3 Jawaban : B 18.) Pada kubus ABCD.EFGH , α adalah sudut antara bidang ACGE dan ACF. Nilai sin α = ….. Pembahasan : PF = 1
2
2
( 12
2)
1
3 2
2 4
PF sin α =1 1 sin α = PF
2
1 3 2
3
1 3
6 Jawaban : E
19.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, Jika α adalah sudut antara bidang BEG dan BF. Nilai sin α = …
Pembahasan : BO
2
2
2
= (4 2)
(2 2)
BO = 24 =2 6 2
2
2
BF = (2 6 )
(2 2)
BF = 16 = 4 sin α = 22
2
2
6
6
1 3
3 Jawaban : C
5.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. M adalah titik tengah rusuk BC. Jarak titik M ke EG adalah…. cm. Pembahasan : MG=
MC
MG=
4
MG=
80
2
TM= TG
2
CG 8
2
2
2
MG
2
Matematika SMA 124
TM= ( 4 2 ) 32
TM=
2
( 80 )
2
80
TM= 4 7 Jawaban :tidak ada 7.) Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH adalah… Pembahasan : TH =
DH
TH =
(8 )
TH =
82
sin T =
DH TH 8
DX =
2
2 DX 3
24
DX =
(3 2 )
2
3
=
2
2
2
DX
sin T = 8
DF
8
sin T =
8
2
2
2
41 . 2 24 41
41
x
41
41
Jawaban : B 8.) Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegak 12 A ke TC adalah…cm. Pembahasan : 2
TS =
AC
TS =
(12 2 )
TS =
216
AS
2 cm. Jarak
2
2
2
(6 2)
TS = 6 6 TS TC
sin C = sin C =
6
6
12
2
1 2
sin C =
3 AS
sin C = AC 1 2
3 =
AS 12
2
AS = 6 6 Jawaban : C 9.) Diketahui bidang empat T. ABC dengan AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jika panjang AB=AC=AT=5cm, maka jarak titik A kebidang TBC adalah…cm. Pembahasan : AK=
AB
AK= ( 5 ) AK=
25
2
2
BK
( 52
2
2
2)
25 2
Matematika SMA 125
25 2
AK= 5 2
AK=
2 2
TK=
AB
TK=
(5)
TK=
37 . 5
2
AZ=
TK
2
AZ=
( 52
AZ=
200 16
AZ=
50 16
AZ= 54
2)
5 2
6
1 2
2
( 52
. 52
ZK=
2
AK
6
5 4
6 2
ZK
2)
2
( 54
6)
2
150 16
2 Jawaban : tidak ada
10.) Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 3 . Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah… Pembahasan : EG =
(6)
EG =
72
2
(6)
2
EG = 6 2 jadi jarak DH, AS : =
1 2
=3
x6 2
2 Jawaban : C
12.) Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDHF adalah… Pembahasan : panjang GP = 1 2
Jadi GP = sin α =
GE, dengan GE diagonal sisi = a
2
2
GP GB 1` a 2
sin α =
a
sin α = α = 30
a
1 2
2 2
1 2
0
Jawaban : D 15.) Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan tinggi TAD dan alas adalah… Pembahasan : 3
tan Z = tan Z = 13 Z = 30
1 2
.6
3
0
Matematika SMA 126
3 cm dan panjang AB = 6 cm. Besar sudut antara
Jawaban : A 17.) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, maka tangen sudut (CG, AFH ) =… Pembahasan : AC =
AB
AG =
(6)
CB
2
6
72
AG = AT =
2
1 2
2
2
6 2
AG
AT = 12 x 6 2 = 3 tan α =
AT 6
tan α =
3
α=
2
1 2
2
2 6
Jawaban : D 20.) Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm . Nilai sinus sudut antara bidangTAB dan bidang ABC adalah… Pembahasan : TZ =
TB
2
ZB
2
TZ =
(9 )
2
(3)
2
TZ =
72
2
TZ = 6 CZ =
BC
CZ =
(6)
CZ =
27
2
2
BZ
2
(3)
2
XZ
2
CZ = 3 3 TX =
TZ
TX =
(6 2)
TX =
261 4
2
2
TX =
1 2
( 32
3)
2
261
sin TAB, ABC =
1 2
TX TZ
261 6
2
1 24
522
Jawaban : tidak ada 21.) Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD panjang rusuk tegak
2 cm. Sudut antara bidang TBC adalah x, maka cos x = Pembahasan : TZ = TC TZ =
2
( 11 )
ZC
2
2
( 2)
2
TZ = 9 TZ = 3 TX =
TZ
2
XZ
2
Matematika SMA 127
11 cm dan panjang rusuk alas 2
TX =
(3)
TX =
7
cos
1
2
( 2)
TX TZ
x=
2
2
7
=
→ cos x =
2
7
3
3
Jawaban : tidak ada 22.) Diketahui limas beraturan PQRST. Besar sudut antara PT dan alas QRST adalah.. Pembahasan : QS =
a
QS = a
2
a
2
2
Karena QS = a 2 maka, ΔPQS = Δ sama sisi maka
0
Jawaban : B 23.) Gambar dibawah ini adalah bidang empat T.ABC yang mempunyai alas segitiga sama sisi. Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan ABC, maka tan α =.. Pembahasan : AX =
AB
2
XB
AX =
(4)
2
(2)
AX =
12
2
2
AX = 2 3 AT
tan α = AX tan x =
2
3
2
3
tan x = 1 Jawaban : C 24.) Prisma segi empat beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH adalah… Pembahasan : TH =
DH
TH =
(8 )
TH =
82
sin T =
DH TH 8
2
DX = DX =
2
(3 2 )
2
2
DX
sin T = 8
2
DF
8
sin T =
8
2
3
= 24
2 DX 3 2
41 . 2 24 41
2
x
41 41
41
Jawaban : D
Matematika SMA 128
