Prázdný
Prázdný
Prázdný
Stavební statika, 1.ro ník bakalá ského studia
Rovinné nosníkové soustavy II • Trojkloubový rám (nosník) • Trojkloubový oblouk (nosník) • Trojkloubový rám s táhlem • Trojkloubový oblouk s táhlem Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Trojkoubový rám nebo oblouk (nosník)
Stupe statické neur itosti trojkloubového nosníku v rovin
Základní typy nosníkových soustav - viz minulá p ednáška
v = ve + vi vi = 2.nk
Vložením kloub do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky ur itý Gerber v nosník. Vnit ní klouby nelze vkládat libovoln .
a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerber v nosník)
v ... celkový po et vazeb soustavy vi ... po et vnit ních vazeb soustavy nk ... po et kloub spojujících 2 pruty
(a)
b) Trojkloubový rám nebo oblouk
ve ... po et vn jších vazeb soustavy
Staticky neur itý rovinn lomený nebo zak ivený nosník v rovinné úloze se dv ma kloubovými vodorovn i svisle neposuvnými (pevnými) podporami dvojkloubový rám nebo oblouk.
(b)
nv = v
Základní typy kinematicky ur itých rovinných kloubových soustav
F2
Stupe statické neur itosti
p ... po et prut v soustav
6
Výpo et ty složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka M cL = M cP = 0
F3
Postup: 1.
c
M ia = 0
2. M = 0 P c
M ib = 0
4. M = 0 L c
p=2, a2=2, nk=1
s = v − nv
Postup p i výpo tu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku
3.
b
Rbx , Rbz
Rax , Raz
Kontrola: 5.
Fix = 0
6.
Fiz = 0
Složky interakce ve vnit ních vazbách kloubu Rcx, Rcz z podmínek rovnováhy levé nebo pravé ásti rámu (oblouku). (Vysv tleno u p íkladu 1 p i ešení S,H sil oblouku – viz minulá p ednáška)
Rbx Rbz
Raz nv = 2. p = 6
volnosti soustavy
staticky i kinematicky ur itá soustava staticky neur itá, kinematicky p eur itá soustava staticky p eur itá, kinematicky neur itá soustava
nv < v nv > v
5
Stupe statické neur itosti trojkloubového nosníku v rovin
a
nv ... po et stup
a2 ... po et dvojnásobných vazeb
Klouby nesmí být v jedné p ímce!
Rax
nv = 3. p
a1 ... po et jednonásobných vazeb
Vložením 1 kloubu vznikne staticky ur itý trojkloubový rám nebo oblouk.
F1
ve = a1 + 2.a2
v = ve + vi = 2.a2 + 2.nk = 4 + 2 = 6
s = v − n v = 0 ... s.ur . 7
(a) Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu
(b) 8
P íklad 1 - reakce Q1 = 4kN
P íklad 1 - normálové síly 1. M cP = 0 :
Q2 = 8kN
q = 2kN/m d
3
P = 2kN
Mi,b = 0 : Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1 – Raz .4 – P.1 = 0
b
1
Q1 .5 + Q2 . 2 – Rax. 3 – Raz .4 = 0
d
c
0,5
P = 2kN
a
Raz = 8,625kN
1
b
U trojkloubových rám nutné 2 kontrolní rovnice
d
3 f
Fi, x = 0 :
N
q = 2kN/m
e
Rax = 0,5kN
Raz = 8,625kN
Fi , z = 0 :
Kontrola:
Rbx
Rbz
4
2
4. M cL = 0 :
Rax = 0,5kN,
f
Raz
Q2 = 8kN
Rbx = 1,5kN, Rbz = 3,375kN
3.
a
Q1 = 4kN
Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1 + Rbz .4 = 0
M i ,a = 0 :
2.
c
e
Rax
Rbx . 4 – P.3 = 0
0,5
e
c
a
f -8,625
Rbx = 1,5kN
ešení vede na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.
Rbz
4
2
= 3,375kN
b
-3,375
Konstrukce tohoto trojkloubového nosníku umož uje výhodn jší ešení. D vodem je uložení kloubu na nositelce jedné ze složek reakcí (tady Rbz), tudíž z prvních dvou podmínek rovnováhy spo ítáme reakce Rbx a Rbz p ímo a druhou soustavu sestavíme v po adí:
3.
Fi,x = 0 → Rax
4.
Mi,b = 0 → Raz
L Kontrola tedy bude: M c = 0
9
Fi, z = 0
P íklad 1 - posouvající síly Q1 = 4kN
d
Rax = 0,5kN
a
P íklad 1 - ohybové momenty
f b
d
1
4
Rbz = 3,375kN
0,5
a
b
f
-0,5 b
2
4
xn = 2,312 m
2° d
-2,5
e
Vn = 0 Vce + q.xn´ = 0 xn´= 1,688 m
Vec = 4,625
Mec = -Q1 .1 + Rax . 3
n c 2°
M
2,85
Rbx
Rbz
Mc =0 n
f
-1,5
b
xn´=1,688
-2,5 = Mec
11
2,5
Med = -Q1 .1 Mea = Rax . 3
xn´=1,688
1,5
1
Uvoln ný prut ec (p í ná úloha): xn =2,312
Vn = 0 Vec - q.xn = 0
-4
3
a 1,5
e
1,5 xn =2,312
f
Raz
4
q = 2kN/m
P = 2kN
Rax
c -3,375
e -4
kontrola moment v trojném sty níku e:
c
e
a
n
Rbx = 1,5kN 2
d 4,625
3
P = 2kN
Q2 = 8kN
xn´
xn
q = 2kN/m c
Raz = 8,625kN
Q1 = 4kN
V
Q2 = 8kN
e
10
Vce = -3,375
Momenty v polovinách úsek :
MmaxL = Vec . xn + Mec – q.xn2/2 MmaxP = - Vce . x´n + Mc – q.x´n2/2 M0,5ec = 2,75kNm,
M0,5ed = -1kNm
12
Klenbový ú inek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení p sobícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar st ednice oblouku, p i n mž zatížení vyvolá v oblouku jen záporné normálové síly (tlak), zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoda: menší rozm ry pr ezu
(a) (b) (c)
Klenbový ú inek v trojkloubovém oblouku vznikne tehdy, je-li st ednice oblouku (a) geometricky podobná k ivce popisující pr b h ohybových moment (c) na prostém nosníku (b), který je vodorovným pr m tem oblouku (a) a je zatížen týmž svislým zatížením (udaným na jednotku délky vodorovného pr m tu) jako oblouk (a).
(d)
D kaz: využití principu superpozice:
(e)
M (x) = M
zat (x)
+M
H (x)
2 M (zat x ) = Raz ⋅ x − q ⋅ x / 2
M
H (x)
Klenbový ú inek v historických objektech
= − Rax ⋅ ( f − z ) = − Rax ⋅ z
M zat moment od svislých sil (c.) M H moment od horizontálních sil (e)
Kamenný klenbový most
13
Ukázky trojkloubového oblouku
14
Trojkloubový rám a oblouk s táhlem U trojkloubového rámu nebo oblouku vznikají vodorovné složky reakcí. ( ím nižší oblouk, tím v tší reakce) Zachycení je n kdy obtížné – oblouk bývá uložen na zdech nebo štíhlých sloupech.
ešení: použití táhla. Táhlo slouží k odstran ní velkých vodorovných složek reakcí. Malom ický most z roku 1928, 3 oblouky o rozp tí 33 m s pr ezem 1 m2, mezilehlá mostovka, Brno
15
Táhlo je jednonásobná vnit ní vazba proti vzájemnému posunu spojovaných bod (p enáší pouze N síly) .
16
Ukázka oblouku s táhlem
Stupe statické neur itosti trojkloubového rámu s táhlem
v = ve + vi
Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava
vi = 2.nk + t
ve = a1 + 2.a2
v ... celkový po et vazeb soustavy vi ... po et vnit ních vazeb soustavy nk ... po et kloub spojujících 2 pruty t ... táhlo jednonásobná vnit ní vazba ve ... po et vn jších vazeb soustavy
nv = 3. p nv ... po et stup
a1 ... po et jednonásobných vazeb
volnosti soustavy
p ... po et prut v soustav
a2 ... po et dvojnásobných vazeb nv = v nv < v nv > v
Využití v praxi: P enáší pouze kladné osové síly m že být tenký prut (nedochází ke ztrát stability prutu – více v p edm tu Pružnost a plasticita)
staticky i kinematicky ur itá soustava staticky neur itá, kinematicky p eur itá soustava staticky p eur itá, kinematicky neur itá soustava
Stupe statické neur itosti 17
Stupe statické neur itosti trojkloubového rámu s táhlem F2 F1
Rax
Vnit ní vazba (Nt v táhle): odstranit táhlo a nahradit jej interakcí v kladném sm ru (táhlo tažené). Velikost Nt z momentové podmínky:
kyvný prut - táhlo
M cL = M cP = 0
b
p=2, a2=1, a2=1, nk=1, nt =1
v = ve + vi = (a1 + 2a2 ) + (2nk + t ) = 3 + 3 = 6
Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Vn jší vazby (reakce): statické podmínky rovnováhy.
a
18
Postup výpo tu:
c
Raz nv = 2. p = 6
F3
s = v − nv
Rbz
s = v − n v = 0 ... s.ur . 19
(p sobí v tší Nt) Vnit ní síly: další postup shodný jako u rámu(oblouku) bez táhla. Do výpo tu je nutno zahrnout p sobení Nt .
(a)
(b)
(c)
Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 20
P íklad 2 - zadání, reakce
P íklad 2 – normálová síla v táhle
Pozn.: Z podmínek rovnováhy odd lených ástí možno spo ítat také interakce v kloubu c:
Porovnejte hodnoty Rcx a Rcz s Nc a Vc (viz další snímek)
21
P íklad 2 - normálové a posouvající síly
22
P íklad 2 - ohybové momenty Mc=0 xnc
Svislé pruty
Momenty na prutu hf (zleva):
=Mfh Momenty na prutu ig (zprava): Momenty na prutu fc (zleva): =Mgi
VcL = V fc − q.3 = −8kN VcP = Vgc + q.2 = −28 + 20 = −8kN Vc = − Rcz = −8kN xnc = Vc / q = 0,8m
=Mfc
Momenty na prutu gc (zprava): =Mgc
23
=Mc
=Mc
24
P íklad 2 - ohybové momenty – uvoln ní prutu fc
Kontrola statické ur itosti nosníku s táhlem
xnc
F2
F1
Rax
xn´ =2,8
n Vcf = -8
Vfc = 22
MmaxL = Vfc . xn´ + Mfc – q.xn´2/2
nv = 3. p = 9
24
F2
Rax
p=3, a2=2, a2=1, nk=2, nt =1
Rbz
Rcz
v = ve + vi = (a1 + 2a2 ) + (2nk + t ) = 4 + 5 = 9
s = v − n v = 0 → s. ur . 26
Okruhy problém k ústní ásti zkoušky
Kontrola statické ur itosti nosníku s táhlem
F1
c
b
a
-(-8) .0,8 + 0 – 10.0,82/2 = 3,2kNm
Mc =0
-21 = Mfc
c
Raz
MmaxP = - Vcf . xnc+ Mc – q.xnc2/2
Xnc =0,8
F3
F3 c
b
a
Raz
nv = 3. p = 9
c
p=3, a2=1, a2=2, nk=2, nt =1
Rbz
v = ve + vi = (a1 + 2a2 ) + (2nk + t ) = 5 + 5 = 10
Rcx Rcz
•
Výpo et trojkloubového rámu a oblouku
•
Podmínka statické ur itosti trojkloubového rámu a oblouku
•
Výpo et trojkloubového rámu s táhlem a oblouku s táhlem
•
Klenbový ú inek v trojkloubovém oblouku
•
Podmínka statické ur itosti trojkloubového rámu s táhlem a trojkloubového oblouku s táhlem
s = v − nv = 1 → 1 x staticky neur . 27
28
