Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Rovinné nosníkové soustavy
Gerberův nosník •Spojitý nosník s vloženými klouby - Gerberův nosník
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Staticky neurčité konstrukce Spojitý nosník: Přímý staticky neurčitý nosník podepřený na více než dvou podporách, z nichž pouze jedna je pevná a ostatní posuvné
a
b
c
d
d
a b
c
Rám: a
b
c
2
Rovinné složené nosníkové soustavy Vzniknou vzájemným spojením tuhých desek (prutů) pomocí kloubů nebo táhel.
Spojitý nosník: a
b
c
d
a b
Rám:
d
c
a
b
c
3
Jednoduché klouby – vnitřní vazba dvojnásobná Klouby spojující dvě tuhé desky •zabraňují vzájemnému posunu konců připojených tuhých prutů v ose x a z. (→ dvě silové vazby = interakce) •klouby nezabraňují vzájemnému natočení konců prutů (moment = 0). Počet tuhých prutů spojených kloubem: np = 2
Složky interakcí ve vnitřní vazbě, spojující navzájem dva tuhé pruty
+x tuhý prut
Rcx Rcz
c
+z
Vnitřní kloub, spojující navzájem dva tuhé pruty
tuhý prut
vi= 2
Rcz
Rcx
nv = 3 ⋅ p = 3 ⋅ 2 = 6
4
Klouby spojující více než dvě tuhé desky +x
Kloub spojující tři tuhé pruty (np =3) ruší soustavě 4 stupně volnosti (4násobná vnitřní vazba)
tuhý prut +z c
tuhý prut
Vnitřní vazba, spojující navzájem tři tuhé pruty tuhý prut
Obecně: vi= 2.(np - 1)
S každým přidaným prutem přibývají soustavě dvě vnitřní silové vazby (nebo-li: přidáme soustavě jeden stupeň volnosti – moment)
5
VNĚJŠÍ VAZBY Název vazby
Násob nost vazby
VNITŘNÍ VAZBY
Označení vazby a reakce
Název Násob vazby nost vazby
Kyvný prut
1 Posuvná kloubová podpora Pevná kloubová podpora Posuvné vetknutí Dokonalé vetknutí
2
2
2
kloub
4
kloub
6
táhlo
1
Raz nebo
1
kloub
Označení vazby a reakce
Raz
Raz nebo
Rax Raz Ma
Rax Raz
Raz Ma
3
Rax
Raz
6
Stupeň statické neurčitosti složené soustavy v rovině Tuhá deska (prut) v rovině – 3° volnosti Soustava p tuhých desek navzájem spojených klouby → celkem p.3° volnosti Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině:
nv = 3. p
Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) Celkový počet vazeb = celkový počet odebraných stupňů volnosti soustavě: Stupeň statické neurčitosti
v = ve + vi s = v − nv s=0
nv = v
staticky i kinematicky určitá soustava
nv< v nv > v
staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava 7
Krajní pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu
Centrum pokročilých technologií, VŠB-TU Ostrava, realizace 2007 8
Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby
Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost 2.840 t, Ostrava - Svinov 9
Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby
Most přes řeku Ostravici, 3 pole, 2 vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava 10
Příklady – určete stupeň statické neurčitosti nv = 3. p
v = ve + vi s = v − nv
11
Základní typy rovinných staticky určitých nosníkových soustav a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerberův nosník)
Vložením kloubů do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky určitý→ Gerberův nosník. Vnitřní klouby nelze vkládat libovolně.
Heinrich Gerber (1832 - 1912) významný německý konstruktér ocelových mostů
(a)
b) Trojkloubový rám nebo oblouk (b)
Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav 12
Stupeň statické neurčitosti Gerberova nosníku v rovině
v = ve + vi vi = 2.nk ve = a1 + 2.a2 + 3.a3 v ... celkový počet vazeb soustavy
nv = 3. p
vi ... počet vnitřních vazeb soustavy nk ... počet kloubů spojujících 2 pruty ve ... počet vnějších vazeb soustavy
nv ... počet stupňů volnosti soustavy p ... počet prutů v soustavě
a1 ... počet jednonásobných vazeb a2 ... počet dvojnásobných vazeb a3 ... počet trojnásobných vazeb nv = v nv < v nv > v
staticky i kinematicky určitá soustava staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava
Stupeň statické neurčitosti
s = v − nv 13
Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti nv
ve
v = ve + vi
sečtěte vnější reakce
vi Rax
nv = 3. p
spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi
s = v − nv
spočtěte klouby a vynásobte dvěma
F1
a
e
nv =
F3
F2
f d c
b
Raz F1
Rbz
Rdz
Rcz F3
F2 d
a
F4 e
c
Rcx
b
a
Raz
Rbz
Rcz
ve = vi = v= Mcy
nv =
ve = vi = v= 14
Stupeň statické neurčitosti Gerberova nosníku v rovině F1 Rax
F2
F3
e
a
f d c
b
Raz
Rbz
p=3, a1=3, a2=1, nk=2
v = ve + vi = (a1 + 2.a2 ) + 2.nk = 5 + 4 = 9
F1
nv = 3. p = 9
s = v − n v = 0 ... s.urč .
F3
F2 d
Rdz
Rcz
F4 e
a
c
Mcy Rcx
b
a
Raz
Rbz
p=3, a1=2, a3=1, nk=2
v = ve + vi = (a1 + 3.a3 ) + 2.nk = 5 + 4 = 9 nv = 3. p = 9
Rcz
s = v − n v = 0 ... s.urč . 15
Správné rozvržení kloubů na spojitém nosníku Platí následující pravidla: a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí být nejvýše 1 kloub k1
a
b
c
k2 d
b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí být nejvýše 2 klouby k1
a
k2
k3 d
b k1
c
k2
k3
a b
d
c
16
Správné rozvržení kloubů na spojitém nosníku c) ve vnitřním poli smí být nejvýše 2 klouby a
b
k1
k2
c
d
d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub (nesmí sousedit 2 pole bez vložených kloubů) k1
a
b
k2
c
d
e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem, musí být alespoň 2 klouby k1
a
k2
k3 d
b k1
c
k2
k3
a b
d
c 17
Pohyblivý mechanismus – výjimkové případy Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část – pohyblivý mechanismus. Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel. a
k1
k2
b
a
b
a
b
c
k1
k3 k2
c
d
c
d
k1
k3 k2
d
Pohyblivý mechanizmus Obr. 9.3. / str. 146 18
Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s 2 klouby a
b
k1
k2
c
d
b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů a
k1
b
c
k2 d
c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu a
b
k1
c
k2
d
Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára). 19
Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) – dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků. Nesené nosníky (černá tenká čára) – podepřeny také konci nosníků nesoucích, bez nich není nosná funkce zaručena. Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce. (a) (b) (c) Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníku Obr. 9.4. / str. 147 20
Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby a) Nejdříve vyřešit osovou úlohu – veškeré vodorovné zatížení přebírá jediná vodorovná složka reakce v pevné podpoře. b) Rozdělit spojitý nosník na dílčí pole - nosníky nesoucí a nesené. (postup montáže x postup výpočtu reakcí). c) Odhadnout směry svislých vnějších reakcí v podporách a vnitřních interakcí v kloubech. e) Výpočet začít vždy na neseném nosníku. Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce v podporách a interakce v kloubech daného pole.
(a)
f) Přejít s výpočtem do dalšího pole (b) nosníku, nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků (silou stejně velkou a opačně orientovanou) a opět z podmínek rovnováhy určit reakce a interakce. 21 Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené - příčná úloha
Příklad 1 – ověření statické určitosti soustavy
Fz q = 5 kN m–1
F = 8 kN
a
b
k1
3
nv =
2
3
ve = vi = v=
Rbz
Rcx
k2
e
1
Raz
Mc
α = 70°
Fx d
M = 7 kN m
2
f 2
3
2 4
s=
c Rcz
Příklad - Výpočet vodorovné reakce Rcx a normálové síly Fx = F · cos α = 2,736 kN Fz = F · sin α = 7,518 kN Fz q = 5 kN m–1
F = 8 kN Fx
d
a
b
k1
1 3
2
3
α = 70°
Rcx
k2
e 2
M = 7 kN m
f 2
3
2 4
+2,736 [kN]
0
ΣFx = 0: –Fx + Rcx = 0 Rcx = Fx Rcx = 2,736 kN (→)
Průběh normálových sil:
N
c
(+)
Příklad – rozklad na nesoucí a nesené nosníky I d
II a
k1
III
b
k2
Mc
c
Raz
Rcz
Rbz
….. snažíme odhadnou správný směr reakcí d
a
Raz
k1
b
Rbz k2
Řešíme nejprve reakce nesených nosníků. Uplatní se 3. Newtonův zákon – akce a reakce.
Mc
c
Rcz
Příklad – výpočet zbývajících reakcí (příčná úloha) Reakce z podmínek rovnováhy oddělených nosníků
q = 5 kN m–1
I
d
31,25 kN = Raz 3
k1
a
Σ Mi,a = 0, Σ Mi,k1 = 0,
kontrola: ∑Fiz = 0
Rk1= 6,25 kN
2
q = 5 kN m–1
Fz = 7,518 kN
Σ Mi,b = 0,
b e
k1
II
k2
Σ Mi,k2 = 0,
kontrola: ∑Fiz = 0
Rbz =5,012 kN R k2 = 3,756 kN (↑)
Rk1 = 6,25 kN opačným směrem než reakce na I
1 3
2 3
M = 7 kN m
Mc= 22,023 kNm
Rk2 = 3,756 kN
III
Σ Mi,c = 0, Σ Mi,k2 = 0,
opačným směrem než reakce na II k2
f 2
kontrola: ∑Fiz = 0
c 2
4
Rcz= 3,756 kN
Příklad 1– posouvající síly a ohybové momenty (příčná úloha) Fz = 7,518 kN M = 7 kNm
q = 5 kN m–1
d
a k1 Raz = 31,25 kN 3
2
3
k2 b e Rbz = 5,012 kN 1 2 2 3
f
c
Rcz = 3,756 kN
2 4
Kontrola reakcí: nutná !!!: Ověřte rovnováhu sil ve svislém směru. ΣFiz = 0
+16,25 1°
+6,25
+
0
2°
V
n
+3,762 + –
–1,25 xn
– 1°
–15
Mc = 22,023 kNm
–3,756 xn = 1,225 m
–22,5
–22,023
Kontrola posouvajících sil: Ověřte, že hodnoty posouvajících sil v kloubech odpovídají interakcím Rk1 a Rk2.
–14,512 –8,75
2°
M
-5,625 0
–
–7,512
2°
3°
+
+4,771 +3,75
+7,512
– Kontrola ohyb. momentů: Ověřte, že hodnoty ohybových momentů v kloubech vyšly nulové.
Příklad 1 – výpočet M pod trojúhelníkovým zatížením – výpočet ze všech vnějších sil zprava - bez uvolnění prutu Fz
qx q = 5 kN m–1
F = 8 kN
Qx Fx
d
a
k1
x
b
M = 7 kN m
α = 70°
Rcx
k2
e
f
Mc
c
x/3 Raz 1 3
2
3
Rbz
2 3
2
2
Rcz
4
MxP = – Mc + Rcz · (7+x) +M – Fz ·(1+x)+ Rbz · x – Qx · (x / 3) Nebo =
– Mc + Rcz · (7+x) +M – Fz ·(1+x)+ Rbz · x – q · (x3 / 6·Ltrojúh)
Výpočet je hodně dlouhý, dochází k velkým nepřesnostem a častým chybám Tento postup nepoužívat !
27
Příklad 1 – výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením – výpočet ze všech vnějších sil zprava - bez uvolnění prutu Fz
qn = 2,042 kNm–1 q = 5 kN m–1
F = 8 kN
Qn = 1,25 kN Fx
d
a
k1
n
b
M = 7 kN m
α = 70°
Rcx
k2
e
f
Mc
c
xn / 3 Raz
3
xn 2
3
1 Rbz
2 3
2
2
Rcz
4
MnP = – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – Qn · (xn / 3) nebo – Mc + Rcz · (7+xn) +M – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn – q · (xn3 / 6·Ltrojúh) MnP = +4,771 kNm Výpočet je hodně dlouhý, dochází k velkým nepřesnostem a častým chybám Tento postup nepoužívat !
Příklad 1 – výpočet M pod trojúhelníkovým zatížením - jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2 qx q = 5 kNm–1 Fz = 7,518 kN
Qx
k1
x
x/3 x
b
k2
e 1 3
3
Mk2=0
Nk2 Vk2
Rbz =5,012 kN Směr šipek je podle konvence pro vnitřní síly (v tomto případě zprava).
29
Příklad 1 – výpočet M pod trojúhelníkovým zatížením - jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2 qx q = 5 kNm–1 Fz = 7,518 kN
Qx
k1
x
x/3 x
b
k2
e 1
Vk2
3
3 Rbz =5,012 kN
Směr šipek je podle konvence pro vnitřní síly (v tomto případě zprava).
MxP = – Vk2 · (3+x) – Fz ·(1+x)+ Rbz · x– Qx · (x / 3) nebo
– Vk2 · (3+x) – Fz ·(1+x)+ Rbz · x– q · (x3 / 6·3) 30
Příklad 1 – výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením - jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2 qn = 2,042 kNm–1 q = 5 kNm–1 Qn = 1,25 kN
k1
n
xn / 3 xn
Fz = 7,518 kN
b
k2
e 1
Nk2 Vk2
3
3
Mk2=0
Rbz =5,012 kN Směr šipek je podle konvence pro vnitřní síly (v tomto případě zprava).
MnP =– Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– Qn · (xn / 3) nebo – Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– q · (xn3 / 6·3) MnP = +4,771 kNm
Příklad 1 – výpočet V a M pod trojúhelníkovým zatížením - uvolnění části prutu se spojitým zatížením v bodě b q = 5 kNm–1 qX
x
k1
Hodnoty pro x=1m: x qx = q = 1, 66kN / m l 1 x x2 Q = qx . x x . = q. = 0,833kN Mb x 2 2.l
QX
x/3 x=1
Nb
b Vbk1
Pozor – Vb není Rbz !!!
3
VxP = +Vbk1+ QX = +Vbk1+ q · (x2 / 2·3) = -0,417 kN MxP = +Mb – Vbk1 · x – Qx · (x / 3) nebo
+Mb – Vbk1 · x – q · (x3 / 6· 3)
MnP = +3,75 – (–1,25) · 1,0 – 0,833 · (1,0 / 3) MnP = +4,722 kNm
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Podmínka statické určitosti spojitého nosníku s vloženými klouby 2. Způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníku 3. Výpočet spojitého nosníku s vloženými klouby
33
