Riemannův určitý integrál. Definice 1. Budiž a < b. Množinu D čísel x0, x1, . . ., xn, pro něž a = x0 < x1 < . . .<xn = b, nazveme rozdělením intervalu 〈 a , b 〉. Intervaly 〈 x0 , x1 〉, 〈 x1 , x2 〉, . . .,〈 xn-1 , xn 〉 budeme nazývat dílčími intervaly rozdělení D a jejich délky x1 - x0, x2 - x1, . . .,xn - xn-1 budeme značit po řadě ∆ x1, ∆ x2, . . ., ∆ xn Definice 2. Budiž D = { x0, x1, . . ., xn} libovolné rozdělení intervalu 〈 a , b 〉, v němž je definována omezená funkce ƒ. Označíme Mi = sup ƒ(x) a mi = inf ƒ (x) pro i = 1,2, . . ., n. x∈〈xi-1,xi〉 x∈〈xi-1,xi〉 Součet S(D) = M1 ∆ x1 + M2 ∆ x2 + . . .+Mn ∆ xn nazveme horním součtem funkce ƒ příslušným k rozdělení D a součet s(D) = m1 ∆ x1 + m2 ∆ x2 + . . .+ mn xn nazveme dolním součtem funkce ƒ příslušným k rozdělení D. Věta 1. Pro libovolné rozdělení S intervalu 〈 a , b 〉. je vždy s(D) ≤ S(D) tj. dolní součet příslušný libovolnému rozdělení D je vždy menší nebo roven hornímu součtu příslušnému témuž rozdělení. Definice 3. Rozdělení D´ nazveme zjemněním rozdělení D, jestliže D´ ⊃ D, tj. jestliže rozdělení D´ obsahuje všechny dělící body rozdělení D (a popř. i další dělicí body) Věta 2. Nechť rozdělení D´ intervalu 〈 a , b 〉 je zjemněním rozdělení D. Pak pro příslušné horní a dolní součty funkce ƒ, omezené v intervalu 〈 a , b 〉, platí s(D´) ≥ s(D), S(D´) ≤ S(D). Věta 3. Budiž ƒ funkce omezená v intervalu 〈 a , b 〉. Označme m = inf ƒ(x), M = sup ƒ(x) (pro x ⊂ a, b ). Buďtež D1 a D2 zcela libovolná rozdělení intervalu 〈 a , b 〉. Pak platí: m(b - a) ≤ s(D1) ≤ S(D1) ≤ M(b - a)
(1),
s(D1) ≤ S(D2)
(2).
Definice 4. a) Supremum množiny Md všech dolních součtů funkce ƒ v intervalu 〈 a , b 〉 b
nazýváme dolní integrál funkce ƒ od a do b. Značíme sup M d = ∫ ∫ ( x)dx . a
b) Infimum množiny Mh všech horních součtů funkce ƒ v intervalu 〈 a , b 〉 &b&&
nazýváme horní integrál funkce ƒ od a do b. Značíme inf M h = ∫ ∫ ( x)dx a
1
Definice 5. Jestliže dolní integrál funkce ƒ od a do b je roven integrálu hornímu, pak toto b
číslo nazýváme určitý (Riemannův) integrál funkce f od a do b a značíme je ∫ ƒ ( x)dx. a
Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez uvedených integrálů, funkce ƒ je integrovaná funkce neboli integrand, x je integrační proměnná. O funkci, která má určitý integrál od a do b, říkáme, že je integrace schopná v intervalu 〈 a , b 〉 nebo že je integrovatelná. b
Věta 4. Je-li funkce f(x) spojitá v intervalu 〈 a , b 〉, pak existuje určitý integrál ∫ ƒ ( x)dx a
Věta 5. Je-li funkce ƒ omezená v intervalu 〈 a , b 〉, je
b
&b&&
a
a
∫ ƒ( x)dx ≤ ∫ ƒ( x)dx
Věta 6. Jestliže pro všechna x z intervalu 〈 a , b 〉 platí pro dvě integrovatelné funkce nerovnice f ( x) ≤ g ( x) , pak
b
b
a
a
∫ ƒ ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx
Nevlastní integrály (Riemannův zobecněný integrál). Definice 6. Funkce definovaná a omezená v < a , b ) je integrovatelná v < a , b >, právě když t
pro t ∈ (a, b) existuje vlastní limita lim ∫ ƒ ( x)dx . Tuto limitu nazveme nevlastním integrálem t →b −
a
b
funkce ƒ od a do b a budeme ji značit rovněž ∫ ƒ ( x)dx . a
Definice 6a. Funkce definovaná a omezená v ( a , b > je integrovatelná v < a , b >, právě b
když pro t ∈ (a, b) existuje vlastní limita lim ∫ ƒ ( x)dx . Tuto limitu nazveme nevlastním t →a +
t
b
integrálem funkce ƒ od a do b a budeme ji značit rovněž ∫ ƒ ( x)dx . a
Definice 7. U funkce f(x), která není definovaná v bodě c ∈ (a, b) existuje zobecněný b
Riemannův integrál ∫ ƒ ( x)dx , právě když existují zobecněné integrály a
b
přitom platí ∫ ƒ ( x)dx = a
c
b
a
c
∫ ƒ( x)dx + ∫ ƒ( x)dx .
2
c
b
a
c
∫ ƒ( x)dx , ∫ ƒ( x)dx a
Definice 8. Nechť a je libovolné číslo. Existují-li nevlastní integrály
a
∞
−∞
a
∫ ƒ ( x)dx a ∫ ƒ( x)dx ,
( a ∈ R ),nazýváme jejich součet nevlastní integrál funkce ƒ od méně nekonečna do nekonečna a píšeme
a
∞
∞
−∞
a
−∞
∫ ƒ ( x)dx + ∫ ƒ( x)dx = ∫ ƒ ( x)dx .
Funkce více proměnných - základní pojmy. Úmluva 1: Množinu všech reálných čísel označíme E. Množinu všech reálných čísel kladných E+. Kartézský součin ExE označíme E2 a ExEx...xE, kde E se vyskytuje n-krát označíme En. Úmluva 2: Pro množinu M v definicích 1. až 4. platí M ⊂ E2. Definice 1: Reálná funkce f(x,y) dvou reálných proměnných x, y je zobrazení z množiny M do množiny E. Funkci obyčejně označujeme z = f(x,y). Definice 2: Množinu M z předchozí definice nazýváme definičním oborem funkce a označujeme často Df . Definice 3: Množinu Hf ⊂ E, která je obrazem množiny M v zobrazení z = f(x,y), nazýváme oborem hodnot funkce f . Definice 4: Grafem funkce z = f(x,y) definované na množině M je množina všech bodů [x,y,z] ∈ E3, kde [x,y] ∈ M a z = f(x,y). Úmluva 3: Pro množinu M definicích 5. až 8. platí M ⊂ En . Definice 5: Reálná funkce f(x1,x2,...xn) n reálných proměnných x1,x2,...xn je zobrazení z množiny M do množiny E. Funkci označujeme obyčejně y = f(x1,x2,...xn), případně y = f(X), u funkce dvou proměnných z = f(x,y) a pod. Definice 6: Množinu M z předchozí definice nazýváme definičním oborem funkce a označujeme často Df . Definice 7: Množinu Hf ⊂ E, která je obrazem množiny M v zobrazení y = f(X ), nazýváme oborem hodnot funkce f . Definice 8: Grafem funkce y = f(X ) definované na množině M je množina všech bodů [x1,x2,...xn ,y] ∈ En+1 , kde [x1,x2,...xn] ∈ M a y = f(X ).
3
Limita a spojitost funkce více proměnných. Definice 9: Funkce z = f(x,y) definovaná v M ⊂ E2 je spojitá v bodě [x0 , y0 ] ∈ M, právě když ke každému ε ∈ E + existuje δ ∈ E + tak, že platí, jestliže x ∈(x0 δ , x0 + δ ) a y ∈(y0 - δ , y0 + δ ) a [x,y] ∈ M, pak | f(x,y) - f(x0 ,y0 ) | < ε . Definice 10: Funkce z = f(x,y) definovaná v M ⊂ E2 má v bodě [x0 , y0 ] limitu a ∈ E , právě když ke každému ε ∈ E + existuje δ ∈ E + tak, že platí, jestliže x ∈(x0 - δ , x0 + δ ) , y ∈(y0 - δ , y0 + δ ), [x,y] ∈ M a [x,y] ≠ [x0 , y0 ], pak | f(x,y) - a ) | < ε . Definice 11: Funkce y = f(X ) definovaná v M ⊂ En je spojitá v bodě C = [ c1,c2,...cn ] ∈ M, právě když ke každému ε ∈ E + existuje δ ∈ E + tak, že platí, jestliže | X - C | < δ a X ∈ M, pak | f(X) - f(C ) | < ε . (| X - C | < δ značí soustavu |x1 - c1| < δ , | x2 - c2 | < δ , ..., | xn -cn | < δ ). Definice 12: Funkce y = f(X ) definovaná na M ⊂ En má v bodě C = [ c1,c2,...,cn ] limitu a ∈ E, právě když ke každému ε ∈ E + existuje δ ∈ E +, tak že platí, jestliže 0 < | X - C | < δ a X ∈ M, pak | f(X) - a | < ε . Věta 1: Funkce z = f(x,y) má v bodě [x0 , y0 ] ∈ E2 nejvýše jednu limitu. Věta 2: Funkce y = f(X ) má v bodě X0 ∈ En nejvýše jednu limitu. Věta 3: Funkce z = f(x,y) je spojitá v bodě [x0 , y0 ] ∈ E2, právě když se limita v tomto bodě rovná funkční hodnotě. Věta 4: Funkce y = f(X ) je spojitá bodě X0 ∈ En , právě když se limita v tomto bodě rovná funkční hodnotě. Poznámka 1: Při výpočtech limit můžeme použít vět analogických jako u funkce jedné proměnné ( pro součet, součin a podíl funkcí). Parciální derivace funkce více proměnných. Definice 13: Říkáme, že funkce z = f(x,y) má v bodě [x,y] parciální derivaci podle x existuje li vlastní limita f ( x + dx , y ) − f ( x , y ) ∂f lim = dx ∂x dx → 0 Definice 14: Říkáme, že funkce z = f(x,y) má v bodě [x,y] parciální derivaci podle y existuje li vlastní limita f ( x , y + dy ) − f ( x , y ) ∂f lim = ∂y dy dy → 0
4
Definice 15: Říkáme, že funkce y = f(X) má v bodě X = [x1,x2,...xn] parciální derivaci podle xi, existuje li vlastní limita f ( x1 , x 2 ,..., xi + dxi ,..., x n ) − f ( x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n ) lim dxi dxi → 0 Věta 5: Jsou-li druhé derivace f "xy a f "yx spojité v bodě [x0,y0], pak v tomto bodě platí, že f "xy = f "yx
5
Doporučené příklady k propočítání - MANA2. Brožková, A.: Cvičení z matem. analýzy 2. díl: C 1,7 všechny příklady C 2,7 všechny příklady C 3,7 všechny příklady C 4,7 všechny příklady C 5,7 všechny příklady C 6,7 všechny příklady C 7,7 všechny příklady C 8,7 všechny příklady C 9,7 všechny příklady C 10 , 7 všechny příklady C 11 , 7 všechny příklady C 12 , 7 všechny příklady C 13 , 7 a-h C 14 , 7 a-i C 15 , 7 a - g,k,l,m,n,o C 16 , 7 všechny mimo d C 17 , 7 a-f C 18 , 7 a, b, c, e, f,g,i C 20 , 7 a-e C 21 , 7 všechny příklady C 22 , 7 všechny příklady C 23 , 7 a, b C 24 , 7 všechny příklady C 25 , 7 a - e,h,i C 26 , 7 a,b C 28 , 7 a,c,d,f C 30 , 7 a-f C 32 , 7 a-e C 36 , 7 a, b C 40 , 7 a-f C 41 , 7 a-k C 42 , 7 a-e C 43 , 7 a-c C 44 , 7 a -c, f C 2,8 všechny příklady C 3,8 a - g,j,k C 4,8 a - d, f - i C 5,8 a-p C 9,8 a - c, e - i C 13 , 8 a, c, d, e, g, h C 14 , 8 e, g C 15 , 8 a
Votava, M.: Cvičení z matem. analýzy 3. díl: Cvičení 6.1 všechny příklady Cvičení 6.2 všechny příklady
Strana 1
Požadavky ke zkoušce z matematické analýzy II.
Během semestru bude jedna písemná práce v 7. cvičení (max. 10 bodů). Účast na této práci je povinná ve stanoveném termínu. Student, který se do 14 dnů neomluví, nebo jeho omluva nebude uznána, bude hodnocen 0 body. Zkouška bude mít písemnou a ústní část, každá max. 20 bodů. Účast na cvičení je povinná ze 75% (bez omluvy je možno chybět max. třikrát). Student, který bude mít větší neúčast než 50%, i omluvenou, musí předmět opakovat. Jen studenti, kteří předmět opakují a zúčastnili se cvičení již v minulých letech, mají v tomto roce účast nepovinnou. Podmínky vykonání zkoušky a udělení kreditů: 1. Aktivní účast na cvičeních. 2. Dosažení alespoň 25 bodů ze součtu: písemná práce během semestru + zkoušková písemná práce + ústní zkouška. 3. Dosažení alespoň 10 bodů ze zkouškové písemné práce. 4. Dosažení alespoň 10 bodů z ústní zkoušky. Výsledné hodnocení: 25 - 34 bodů dobře 35 - 44 bodů velmi dobře 45 - 50 bodů výborně Ústní a písemná zkouška se koná v jednom termínu a je možno ji dvakrát opakovat. Opakuje se jen ta část, ve které student neuspěl. Literatura: Matematická analýza II. Brožková, A.: Cvičení z matematické analýzy 2. díl, skripta OU 1995 Votava,M.: Cvičení z matematické analýzy 3 díl, Skripta OU 1998. Hrubý, D, - Kubát, J.: Matematika pro gymnázia - Diferenciální a integrální počet, Prometheus 1997 Bartsch,H.J.: Matematické vzorce, Praha 1983. Dlouhý Z. a kol.: Úvod do matematické analýzy, SPN Praha 1965 Zahradník,J.: Úvod do matematické analýzy, Hradec Králové 1976 Požadavky ke zkoušce – témata: 1. Neurčitý integrál, vlastnosti, zákl. vzorce, substituční metoda, metoda per partes, redukční (rekurentní) vzorce. 2. Integrace racionálních , iracionálních a goniometrických funkcí. 3. Určitý integrál - Riemannova definice. 4. Vlastnosti určitého integrálu. Metoda substituční a per partes pro určitý integrál. 5. Užití určitého integrálu. 6. Nevlastní integrály.
7. Diferenciální rovnice - základ. pojmy, dif. rov. 1. řádu, rovnice se separovanými a separovatelnými proměnnými, lineární dif. rovnice. 8. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konst. koeficienty. 10. Nekonečné číselné řady –základní pojmy. 11. Konvergence a divergence řad s kladnými a libovolnými členy 12. Funkce dvou proměnných.
