Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť , (viz obrázek):
. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce , osou a svislými přímkami o rovnicích
,
S
a
b
Funkce Rozdělme interval
na stejných dílků. Položme
Z obrázku je zřejmé, že pro všechna
platí nerovnost
kde je součet obsahů menších obdélníků (které jsou schovány v šedé ploše), pokrývají), viz obrázek:
součet obsahů větších obdélníků (které naopak šedou plochu
S
x 0 =a x 1 x 2 x 3 ...
x n =b
Platí
Nyní se zajímáme o to, zda posloupnosti a konvergují, a pokud ano, zda konvergují ke stejnému číslu. Pokud je tato podmínka splněna, znamená to podle věty o limitě sevřené posloupnosti, že z nerovností plyne rovnost čísla společné hodnotě těchto dvou limit. Vypočítáme nejprve
Z této nulovosti vyplývá, že existujíli limity posloupností
Obě limity jsou rovny číslu není náhoda.
a
, jsou si rovny. Stačí tedy vypočítat pouze jednu z nich. Máme
, čemuž je roven i obsah . To, že primitivní funkce k
je rovna
2. Rozdělení intervalu Definice (Rozdělení intervalu). Rozdělením intervalu nazveme každou konečnou množinu
takovou, že
.
a rozdíl
,
Definice (Norma rozdělení). Nechť , kde normou rozdělení , značíme .
, je rozdělení intervalu
. Číslo
nazýváme
3. Definice integrálu Definice (Riemannův určitý integrál). Nechť
. Řekneme, že číslo
je Riemannovým určitým integrálem funkce od do (značíme
existuje tak, že pro všechna rozdělení každou množinu čísel , kde pro všechna
(Výrazu
intervalu je
) právě tehdy, když pro všechna
, kde , platí nerovnost
, splňující
říkáme integrální součet.) Pokud je uvedená podmínka splněna, říkáme též, že je na intervalu
integrovatelná (nebo též, že Riemannův integrál
a pro
(riemannovsky)
existuje).
Poznámka (Jednoznačnost integrálu). Existujeli číslo podle předchozí definice, je dáno jednoznačně. To opravňuje použité značení. (Důkaz je jednoduchý, podobný jako u pojmu limita posloupnosti či funkce.)
4. Základní lemma integrálního počtu Lemma (Základní lemma integrálního počtu). Nechť . Funkce je na riemannovsky integrovatelná právě tehdy, když pro každou posloupnost rozdělení takovou, že
, a pro libovolnou volbu čísel
tak, že
pro
intervalu
, kde
pro všechna
, existuje vlastní limita
Navíc, jeli podmínka výše splněna, limita je nezávisle na volbě posloupnosti Důkaz. : Nechť je integrovatelná na rozdělení intervalu všechna je
Zvolme libovolnou posloupnost
a libovolnou volbu čísel
.
, tj. existuje jednoznačně určené tak, že pro všechna existuje tak, že pro všechna , kde , splňující a pro každou množinu čísel , kde pro , platí nerovnost
říká, že
. Ukažme, že tato limita existuje a je rovna , tj. ukažme, že
Zvolme libovolné . K němu najděme čímž je implikace dokázána. : Předpokládejme, že limity
rovna číslu
tak, že
. Podmínka
Chceme ukázat, že existuje
a bodů
z podmínky
. Z podmínky
najděme k tomuto číslo
. Toto číslo již splňuje podmínku
existují a jsou konečné. Ukažme nejprve, že jsou všechny stejné, tj. nezávisí na volbě posloupnosti
Zvolme libovolné dvě posloupnosti
a
a volby
,
a čísel
. Sporem: předpokládejme, že by limity integrálních součtů příslušných k
posloupnostem a (a přísl. volbám ) byly různé. Sestrojme posloupnost , limita integrálních součtů příslušných k této posloupnosti musí podle předpokladu konvergovat, což je spor, neboť obsahuje dvě podposloupnosti s různými limitami. Označme jejich společnou hodnotu limit . Nyní dokážeme, že je integrovatelná na Pak platí
a hodnota
. Předpokládejme, že to není pravda.
, .
Dosaďme za postupně čísla pro a nalezněme z této podmínky příslušné . Pak posloupnost a tedy limita integrálních součtů příslusných k posloupnosti konverguje k , což je spor s
splňuje podmínku . ☐
5. BolzanovaCauchyova podmínka pro existenci Riemannova integrálu Věta (BolzanovaCauchyova podmínka pro Riemannův integrál). Nechť Pak je na integrovatelná právě tehdy, když pro každé , , a pro libovolnou volbu příslušných bodů , , kde pro všechna , platí
Důkaz.
: předpokládáme, že je na
intervalu
integrovatelná, tj. pro všechna
, kde , platí nerovnost
Chceme ukázat, že platí podmínka pro každá dvě rozdělení
,
, splňující
. Zvolme libovolné
taková, že
,
: Předpokládejme naopak, že platí podmínka intervalu takovou, že
a pro libovolnou volbu čísel
existuje
tak, že pro každá dvě rozdělení ,
,
existuje
tak, že
tak, že pro všechna rozdělení
a pro každou množinu čísel
. Klaďme
, ,
, kde pro všechna
a najděme příslušné z podmínky
, a pro libovolnou volbu příslušných bodů ,
. Položme
je
. Pak skutečně
, platí podle trojúhelníkové nerovnosti
. Použijeme základní lemma integrálního počtu: ukážeme, že pro každou posloupnost rozdělení
takovou, že
pro
, kde
pro všechna , existuje vlastní limita
kde
K tomu stačí ukázat dle BolzanovyCauchyovy podmínky, že
Zvolme
. K němu najděme z předpokladu
Najděme k z
příslušné
. Pak z
. Podmínka
je cauchyovská, tj. že
říká, že
dostaneme, že pro libovolné
je
, tedy
je cauchyovská posloupnost. ☐
6. Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce Lemma (Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce). Buď integrovatelná na . Pak je na omezená. Důkaz. Z integrovatelnosti plyne existence jednoznačně určeného takového, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu , kde , splňující a pro každou množinu čísel , kde pro všechna je , platí nerovnost
Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že není na omezená. Zvolme v podmínce libovolné rozdělení takové, aby . Pro něj pak bude platit
. Najděme k němu příslušné . Zvolme
Z neomezenosti plyne, že musí být neomezená alespoň na jednom z intervalů , že není omezená na . Z pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme nejprve
. Bez újmy na obecnosti předpokládejme,
a rozepíšemeli sumu
lze odhadnout první sčítanec takto:
odkud plyne
Nyní stačí volit vhodně tak, aby tato nerovnost nebyla splněna (což je díky neomezenosti možné) – spor. ☐
7. Integrovatelnost 7.1. Integrovatelnost spojité funkce Věta (O integrovatelnosti spojité funkce). Buď spojitá na . Pak je na integrovatelná. Důkaz. Využijeme Cantorovy věty, která říká, že je na
spojitá stejnoměrně, tedy
Ukážeme, že pro platí BolzanovaCauchyova podmínka pro existenci integrálu, tzn. pro každé , tak, že , , a pro libovolnou volbu příslušných bodů , , kde pro všechna , platí
existuje ,
Zvolme tedy libovolně a hledejme k němu příslušné . Pro libovolné , utvořme jejich sjednocení dělicí body z obou rozdělení. Je jistě i . Nechť , kde libovolně. Nejprve učiníme pomocí trojúhelníkové nerovnosti následující odhad:
Odhadněme nejprve první absolutní hodnotu ze součtu
V každém intervalu , body pro nějaké
tak, že pro každá dvě rozdělení , ,
, které bude obsahovat . Volme body , kde
, tj. výraz
atd. leží vždy obecně několik dělicích bodů . Předpokládejme, že například první interval
obsahuje
. a=x 0 = z0
z1 z2
z3
x 1 = zk
...
b
Pak
takže lze psát
Podobný odhad lze učinit se všemi intervaly
,
, ... a celý proces i s druhou absolutní hodnotou v
. Položímeli nyní v
a
, lze dále odhadnout
odkud plyne pro celý výraz
odhad
Pro druhou absolutní hodnotu v
dostaneme stejným způsobem také odhad , což dohromady dá požadovanou nerovnost
. ☐
7.2. Integrovatelnost monotónní funkce Věta (O integrovatelnosti monotónní funkce). Buď monotónní na . Pak je na integrovatelná. Důkaz. Důkaz je podobný jako u tvrzení o spojité funkci. ☐
8. Vlastnosti Riemannova určitého integrálu Definice (Definice Riemannova integrálu s opačně uspořádanými mezemi). 1. Buď integrovatelná na
. Pak klademe
2. Buď definovaná v bodě . Pak klademe
. .
8.1. Linearita Věta (Linearita Riemannova určitého integrálu). Nechť , jsou integrovatelné na , . Pak
je integrovatelná na
a platí
Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost ; označíme jako obvykle platí
, kde
takovou, že
(dělicí body
jsou voleny libovolně,
). Pak platí
přičemž limity vpravo existují, jsou konečné a jsou rovny platí pro něj vzorec
rozdělení intervalu
resp.
(opět dle zákl. lemmatu integrálního počtu). Proto integrál
existuje a
. ☐
8.2. Aditivita v mezích Lemma (Integrabilita na podintervalu). Nechť je integrovatelná na , nechť . Pak je integrovatelná na . Důkaz. Použijeme BolzanovuCauchyovu podmínku pro existenci Riemannova integrálu. Chceme ukázat, že pro každé každá dvě rozdělení , intervalu taková, že , , a pro libovolnou volbu příslušných bodů , , , pro všechna , platí
Zvolme libovolná dvě rozdělení , vznikla rozdělení a intervalu .
existuje , kde
intervalu . Tato rozdělení jdou vždy „doplnit“ stejnými dělicími body z doplňku , která budou obsahovat body , , budou splývat na a přitom
tak, že pro ,
tak, aby a
σ1
Provedemeli shodně i volbu bodů resp. neboť části sum odpovídajících doplňku
a na doplňku
c
se odečtou:
σ2 d b , rozdíl integrálních součtů zůstane stejný při přechodu od
a
k
,
,
Podmínka
pak plyne z BCP použité na interval
. ☐
Lemma (Integrabilita na sjednocení dvou sousedních intervalů). Nechť je integrabilní na a . Pak je integrabilní na . Důkaz. K důkazu využijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost takovou, že
. Body intervalu
Volme body
příslušné k
Protože je omezená na
intervalu
, kde
intervalu
,
a rozdělení
takto:
tak, aby splývaly s body
libovolně. Podobně volme body
Téměř všechny sčítance v
volme libovolně. Definujme rozdělení
příslušné k
na
kromě posledního (který leží v intervalu s hraničním bodem ), ten volme
tak, aby splývaly s body
na
kromě prvního bodu. Označme
se navzájem odečtou, až na tři: ze sum zůstanou ty členy, které odpovídají částečným intervalům obsahujícím bod , tj.
a
, existuje
tak, že
pro všechna
. Z vyjádření
plyne odhad
a tedy
Spolu s
dostaneme, že
Pravá strana je přitom podle zákl. lemmatu integrálního počtu rovna
Limita integrálních součtů
tedy existuje a je konečná a rovna
, odkud podle základního lemmatu integrálního počtu
☐
Věta (Aditivita Riemannova určitého integrálu v mezích). Buď , . Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: je integrovatelná na je integrovatelná na
a .
,
Pak platí
Důkaz. Pokud platí první podmínka, vše plyne z lemmatu výše. Pokud platí druhá podmínka, je podle lemmatu o integrabilitě na podintervalu integrabilní i na základního lemmatu integrálního počtu. Zvolme posloupnost rozdělení takovou, že . Definujme rozdělení intervalů
a
vztahy
a a
. Vzorec
dokážeme pomocí , kde
Nechť
,
. Body
odkud limitním přechodem
plyne
příslušné k
volme libovolně. Pak platí
. ☐
Věta (Zobecnění aditivity určitého integrálu). Buďte , nechť v následující rovnosti existují alespoň dva integrály. Pak existuje i ten třetí a platí
Důkaz. Jeli mezemi.
, plyne tvrzení z předchozí věty. Další případy jsou snadným důsledkem definice určitého integrálu s opačně uspořádanými ☐
8.3. Nerovnosti Věta (Nerovnosti mezi integrály). Nechť
jsou integrovatelné na
a
. Pak platí
Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost označíme jako obvykle
, kde
rozdělení intervalu
(dělicí body
takovou, že
;
jsou voleny libovolně, platí
). Pak platí pro všechna a
odkud
takže i
odkud konečně limitním přechodem
dostaneme
. ☐
8.4. Trojúhelníková nerovnost Věta (Trojúhelníková nerovnost pro Riemannův určitý integrál). Nechť je integrovatelná v . Pak je integrovatelná v a platí
Důkaz. Nejprve ukážeme, že je integrovatelná na . K důkazu použijeme BolzanovuCauchyovu podmínku. Zvolme aby pro každá dvě rozdělení , tak, že , , a pro libovolnou volbu příslušných bodů , , kde , , pro všechna , platilo
Z BCP použité na funkci je zřejmé, že existuje a
Zvolme
,
takové, že pro každé rozdělení
a libovolné volby
a
. Hledejme ,
, kde
, je
libovolně tak, že a . Postupujeme podobně jako v důkazu věty o integrabilitě spojité funkce: nechť je sjednocení těchto dvou rozdělení. Potom
,
tak,
kde
a
volíme z
tak, aby
a
Stejný postup provedeme i pro další sčítance. Nakonec tak celkem dostaneme
Vztah (
) dokážeme snadno ze zřejmých nerovností
s použitím věty o nerovnostech. ☐
8.5. Výjimky Věta (Integrovatelnost funkce rovnající se integrovatelné funkci až na konečný počet výjimek). Buď integrovatelná v . Nechť platí v celém intervalu až na konečný počet výjimek. Pak je integrovatelná a
Důkaz. Označme , intervalu
. Pak je nenulová pouze v konečně mnoha bodech intervalu . Zvolme libovolně. Pak pro každé rozdělení , pro které , a pro libovolně zvolená , kde , platí
proto přímo podle definice určitého integrálu je integrovatelná na
a je
. Tedy je na
. Označme , kde
integrovatelný i součet
a platí
. ☐
8.6. Integrál jako funkce meze Věta (O spojitosti a diferencovatelnosti určitého integrálu jako funkce meze). Nechť je integrovatelná na , tomto bodě diferencovatelná a Důkaz. je definovaná na celém v bodě , tj. že
. Pak funkce je spojitá na . Navíc, jeli bod bodem spojitosti , je v ; analogické tvrzení platí pro body zprava a zleva. , jak plyne z tvrzení o integrabilitě na podintervalu. Zvolme bod libovolně. Ukážeme, že je spojitá
Z integrovatelnosti funkce vyplývá, že je na omezená, tj. existuje libovolně. Pak s využitím trojúhelníkové nerovnosti
lze tedy volit Buď nyní
je
. , nechť je v bodě
Chceme ukázat, že
Zvolme
tak, že pro všechna
spojitá, tj.
, což je podle definice derivace ekvivalentní s podmínkou
libovolně, volme dále libovolně
a
. Pak pro
,
je
. Zvolme
☐
Věta (O existenci primitivní funkce). Buď spojitá na . Pak k ní na existuje primitivní funkce. Důkaz. Zvolme libovolně, položme pro . Pak podle předchozí věty je diferencovatelná na pro všechna . je tedy hledanou primitivní funkcí k .
a platí ☐
9. Výpočet Riemannova integrálu Věta (Newtonova formule). Nechť je integrovatelná na
, spojitá na
, nechť platí
Důkaz. Nechť nejprve vztah
platí všude na
. Nechť
, kde
kde čísla
pro všechna
bez výjimek. Nechť ,
až na konečný počet výjimek. Pak platí
je libovolná posloupnost rozdělení intervalu
,
jsme obdrželi z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce. Limitním přechodem
Nechť nyní vztah platí pro každé podle předchozího odstavce je
taková, že
, je
až na výjimky
v poslední nerovnosti dostaneme tvrzení věty:
, kde
. Označme
,
, pak
š
Sečtením těchto nerovností dostaneme podle věty o aditivitě integrálu v mezích tvrzení věty:
☐
Poznámka. Rozdíl
v tvrzení předchozí věty často značíme symbolem
.
Věta (Per partes pro určitý integrál). Nechť existují integrály
a
. Pak platí:
Důkaz. Z existence integrálů plyne diferencovatelnost funkcí součinu, tj.
pro všechna
Protože
. Odtud a z existence integrálů
je primitivní k
na
a spojitá na
a
a tedy i spojitost na
; z diferencovatelnosti plyne možnost použít větu o derivaci
plyne i existence integrálu
a jeho hodnota
, lze použít Newtonův vzorec a vypočítat
což spolu s předchozím vztahem dává tvrzení věty. ☐
Věta (Substituce v určitém integrálu). Nechť je spojitá na Důkaz. Předpokládejme, že
, nechť existuje integrál
. Pak existuje
a je mu roven.
. Z existence integrálu plyne spojitost a diferencovatelnost na
, takže
je uzavřený interval,
označme ho
. Ze spojitosti na
plyne existence integrálu
. Označme
(a uvažujme
a vztah platí na . je proto spojitá na a vztah (jednostranné) diferencovatelnosti v krajních bodech vztah funguje i uvnitř intervalu Dvakrát použitým Newtonovovým vzorcem dostaneme rovnosti
). Pak je spojitá na
platí pro (díky v bodech, kde by případně nabývala hodnot
).
☐
10. Věty o střední hodnotě Věta (První věta o střední hodnotě). Nechť
jsou integrovatelné v
a je v
nezáporná. Pak existuje
Důkaz. Z integrovatelnosti a na plyne, že také součin trojúhelníkové nerovnosti pro integrály. Pro všechna
kde je vhodná konstanta splňující a Vlastní tvrzení věty dokážeme takto: zřejmou nerovnost
platnou pro všechna
Jeli
vynásobíme
tak, že platí
je integrovatelný v je
pro všechna
. To lze ukázat pomocí BCP podobně jako v tvrzení o
(její existence plyne z omezenosti integrovatelných funkcí
).
(nezáporné číslo, nerovnosti se nezmění) a zintegrujeme od do . Tak dostaneme
, pak z uvedené nerovnosti plyne
a lze volit libovolně. Jeli
, pak nerovnost vydělíme:
Položímeli nyní rovno zlomku uprostřed, tvrzení je dokázáno. ☐
Příklad. Pomocí první věty o střední hodnotě odhadněme Riemannův integrál Řešení. Označme
,
.
. Je
Proto podle první věty o střední hodnotě je
kde
. Výsledek lze také zapsat v symetrickém tvaru
☐
Věta (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť je integrovatelná na , monotónní na
. Pak existuje
tak, že
Důkaz. Integrovatelnost plyne z její monotonie, integrovatelnost součinu viz důkaz první věty o střední hodnotě. Pokud je konstantní, lze volit libovolně a věta plyne z aditivity určitého integrálu v mezích. Předpokládejme proto, že není konstantní. Předpokládejme dále například, že je na klesající (pro rostoucí funkci by se postupovalo obdobně). Protože z tvrzení platného pro dvojici funkcí plyne platnost tvrzení pro dvojici , kde je libovolná konstanta, můžeme navíc předpokládat, že a (to lze vždy zajistit přičtením vhodné konstanty k funkci ). Máme tedy ukázat, že existuje takové, že
Protože funkce
je spojitá na
Zvolme libovolné rozdělení intervalu
nezáporným číslem
, nabývá na něm všech hodnot mezi
. Nechť
a
, kde
. Stačí tedy ukázat, že
. Vynásobíme zřejmou nerovnost
:
Sečtemeli tyto nerovnosti pro
, dostaneme
kde jsme označili
Přitom
jde upravit na tvar
Studujme, jak se poslední výraz liší od hodnoty všechna . Je
Uvažujme nyní posloupnost rozdělení
Limitním přechodem
intervalu
. Protože je integrovatelná, je na
, kde
omezená, tedy existuje
tak, že
pro
. Z předchozí nerovnosti plyne, že
v nerovnosti
získáme požadovanou nerovnost (
). ☐
Příklad (Integrál Buď
).
. Odhadněme pomocí druhé věty o střední hodnotě integrál
Řešení. Označme
,
. Předefinujme v bodě tak, že
. . Pak z druhé věty o střední hodnotě existuje
tak, že
takže
Získali jsme tedy odhad, který vůbec nezávisí na horní mezi integrálu . Pro srovnání, z první věty o střední hodnotě bychom získali horší odhad
který pro
roste nade všechny meze. ☐
