R.H. te Velde. Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Windsurfen@speed R.H. te Velde

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Juni 2010

Windsurfen@speed Samenvatting Windsurfen@speed. Dit zal allerlei vragen oproepen. Hoe behaalt een windsurfer zijn maximale snelheid? Wat is deze maximale snelheid ongeveer? Hoe ziet de ideale windsurfer er dan uit? Dit gaan we onderzoeken door gebruik te maken van stromingsleer: hydro- en aerodynamica. Ook gebruiken we vleugeltheorie, want stromingen rond een zeil en zelfs rond een vin kunnen we modelleren met behulp van een vleugel. Uiteindelijk verkrijgen we met behulp van allerlei formules twee krachtenevenwichten: een snelheidsevenwicht van voorwaartse en weerstandskrachten in de vaarrichting en een stabiliteitsevenwicht in zijwaartse richting. Met deze twee evenwichten gaan we op zoek naar de maximale snelheid die een windsurfer kan halen. Het wereldrecord windsurfen ligt nog altijd onder de 50 knopen. Dit is ongeveer een snelheid van 91 km/h. De vraag is: welke snelheid krijgen wij uit ons model?

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Auteur: R.H. te Velde Begeleiders: A.E.P. Veldman, J.A. Helder Datum: Juni 2010 Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407 9700 AK Groningen

Inhoudsopgave 1 Introductie 1.1 Introductie . . . . . . 1.1.1 Vraagstelling . 1.2 Een voorbeeldsituatie 1.3 Mogelijke surfkoersen .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 3 3 4

2 Het mathematische model 2.1 Introductie van het model . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definities van de variabelen . . . . . . . 2.1.2 Vooruitblik . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Aerodynamische krachten . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Circulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: Fl 2.2.3 Eindige hoogte . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Tipwervels en downwash . . . . . . . . . 2.2.5 3D-potentiaaltheorie . . . . . . . . . . . 2.2.6 Uitdrukkingen voor Di , CDi en FL . . . 2.3 Hydrodynamische krachten . . . . . . . . . . . 2.3.1 Onze hydrodynamisch krachten . . . . . 2.3.2 Het getal van Reynolds . . . . . . . . . 2.3.3 Planeren en het getal van Froude . . . . 2.3.4 De uitdrukking voor FLf . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 9 9 9 11 11 13 14 16 17 17 17 19 20

3 Krachten & momenten 3.1 Het ontbinden van FL en FLf . . . . . . . . . 3.2 Het snelheidsevenwicht . . . . . . . . . . . . . 3.3 Het stabiliteitsevenwicht . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Het momentenevenwicht: de krachten 3.3.2 Het momentenevenwicht: de armen . . 3.3.3 Het krachtenevenwicht: drift . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

21 21 22 23 23 23 26

. . . .

29 29 31 32 32

4 De 4.1 4.2 4.3

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

numerieke uitwerking van het model Samenvattende formules . . . . . . . . . . . De uitwerking van ons model . . . . . . . . De Newton-methode . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 De werking van de Newton-methode iii

. . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

iv

INHOUDSOPGAVE

4.4

4.3.2 Een voorbeeld van de Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Onze Newton-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Een voorbeeld van de werking van ons model . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Parameterstudie 5.1 Variatie van het gewicht en de lengte van de surfer bij harde wind 5.2 Variatie van zeilgroottes bij harde wind . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Variatie van zeilgroottes bij een normaal persoon en normale wind 5.4 Variatie van zeilvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 33 34 39 39 41 45 47

6 Samenvatting en conclusie Rπ cos (θ) A Het bewijs van 0 cos (φ)−cos (θ) dθ = −π

53

B Het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil

55

C Ons C.1 C.2 C.3 C.4 C.5 C.6 C.7 C.8 C.9 C.10 C.11

programma SurfSimu Deel 1 . . . . . . . . . . Deel 2 . . . . . . . . . . Samengevat . . . . . . . Newton 1 . . . . . . . . Newton 2 . . . . . . . . Momentum . . . . . . . Afgeleide momentum . . Speed . . . . . . . . . . Afgeleide Speed . . . . . Circulation . . . . . . . Afgeleide circulation . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

51

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

57 57 60 63 64 65 66 67 68 69 69 69

Hoofdstuk 1

Introductie 1.1

Introductie

In het algemeen zijn surfers erg stoer en zien ze er goed uit. Ze houden er van om vrouwen te imponeren. Er zijn twee mogelijkheden waarmee ze dit kunnen bereiken. Ze kunnen de hoogste golven onder ogen zien of ze kunnen een zo hoog mogelijke snelheid behalen. Wij willen een kijkje nemen naar de snelheid. Geoefende surfers kunnen een dermate hoge snelheid bereiken dat ze gaan ”planeren”. Dit is te vergelijken met wat er gebeurt als je een platte steen vlak over het water gooit met een goede worp. Iedereen heeft dit vast wel eens gedaan. We gaan er in deze thesis vanuit dat een surfer een optimale surftechniek heeft en dat het gewicht van de surfer op een unieke manier de kracht bepaalt waarmee hij het zeil kan vasthouden. Het huidige wereldrecord werd gehaald met de volgende parameters en bijbehorende waarden: -

Een Een Een Een

surfboard van 220 cm vin van 28 cm zeil van 4 m2 surfer van 100 kg en 185 cm

Deze waarden voor het surfboard, de vin, het zeil en de surfer zijn ook gebruikt in een Duits onderzoek (zie [1]). Wij gaan deze waarden gebruiken, maar met hele andere formules, om tot een conclusie te komen. Het wereldrecord staat op dit moment op naam van een 36 jarige Fransman: Antoine Albeau. Hij behaalde in maart 2008 met bovenstaande parameters een snelheid van ongeveer 90.91 km/h. Albeau deed 19.8 seconden over 500 meter. Het was zwaar weer, koud, met soms windstoten tot 65 knopen. Albeau is 1.85 m lang en heeft een gewicht van 100 kg. De allerhoogste snelheid die tot nu toe door een windsurfer gehaald is, werd bereikt door een Nederlander in december 2007: Martin van Meurs. Hij haalde 94.67 km/h over 2 seconden. Helaas is dit geen officieel record, die worden alleen gehaald over 500 meter. Van Meurs was over 500 meter gezien langzamer dan Albeau. De jacht naar de magische grens van 50 knopen door een windsurfer over 500 meter is nog steeds gaande ([2]). Inmiddels is de 50-knopen barriërre al wel gebroken door kite-surfers (surfen met een soort parachute). Dit record staat nu op naam van een andere Fransman, Alex Caizergues, en is gesurft op 4 oktober 2008. Het record is 93.66 km/h. 1

2

HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE

Een hele interessante vraag die we ons kunnen stellen is de volgende: Onder welke omstandigheden hebben de windsurfers de records kunnen bereiken? Om extreem hoge snelheden te halen wordt er gesurft in een geul van ongeveer 30 meter breed en niet erg diep, waardoor er niet echt golven kunnen ontstaan. Verder doen windsurfers pas een recordpoging wanneer het zeer zwaar weer is, met harde windstoten. De surfers gebruikten allemaal ”slechts” een zeiltje van rond de 4 m2 omdat ze hem anders qua kracht niet kunnen houden. Als er niet zoveel wind staat wordt er meestal gesurft met grotere zeilen. Ze hebben wel allemaal een lichaamsgewicht van rond de 100 kilo, vooral dankzij hun grote spiermassa. De condities in deze geul zijn optimaal voor windsurfen@speed, en niet te vergelijken met de condities op open zee. Neem een kijkje naar de wereldrecordwaarden en denk aan het volgende feit: Hoe groter het surfboard, hoe stabieler, maar ook langzamer. Dit komt omdat grotere boards meer volume hebben zodat het geheel (inclusief surfer) niet zomaar om kan vallen. Dat een groter board langzamer gaat, komt doordat dit board meer wrijving met het water maakt. We komen nu tot de conclusie dat een surfer graag een board wil gebruiken dat zo klein mogelijk is, maar niet te klein, want hij wil nog wel op zijn surfplank blijven staan. We zien dat voor ons oude wereldrecord geldt dat de surfer een board van rond de 220 cm lengte nodig heeft voor zijn stabiliteit. Het is daarom dat buiten een geul een surfboard nog langer dan 220 cm moet zijn. Ook zien we dat er een surfer van rond de 100 kg voor nodig is om het wereldrecord te surfen. Dit betekent dat je een zwaar persoon nodig hebt om het zeil vast te houden. Natuurlijk heb je ook een groot zeil nodig om de maximale wind te vangen voor extra snelheid. Bij hoge windsnelheden blijkt dat er maar een zeil van rond de 4 m2 gebruikt kan worden, anders kan een zware windsurfer hem al niet meer houden. Er moet dus een tussenweg gevonden worden tussen een zo groot mogelijk zeil en een houdbaar zeil qua gewicht. Verder hebben we een optimale vin nodig om stabiliteit te krijgen en om het surfboard in de goede vaarrichting te laten gaan. Wat gebeurt er als er niet in een tunnel gesurft wordt? Als we kijken naar het surfen op open zee komen we tot de volgende conclusie: hier moeten surfers beginnen met een beginnersstart: het zeil optrekken vanaf de plank. Je kunt helaas niet starten met een droog zeil vanaf de kant op open zee. Zo’n soort start kun je wel maken vanaf de rand van een meer of in het bovengenoemde ondiepe geval: met het zeil in je hand stap je op het surfboard zonder dat je dit zeil uit het water hoeft te vissen. De verschillende soorten starts laten we verder in deze thesis buiten beschouwing. Wel zullen we gaan uitzoeken of de vorm van een zeil belangrijk is.

1.2. EEN VOORBEELDSITUATIE

1.1.1

3

Vraagstelling

Een surfer wil gaan planeren. Hier gaan we in deze thesis vanuit. Wat voor surfer, zeil, vin en board heb je daarbij nodig en wat is de hoogst haalbare snelheid ongeveer? Wat zijn de optimale windcondities? Dit soort vragen hopen we in deze thesis beantwoord te krijgen. We gaan deze vragen beantwoorden met de volgende variabelen: - De grootte en de vorm van het zeil. - De windkracht - Het gewicht en de lengte van de surfer. Uiteindelijk moeten we een model maken van de beweging van de surfer om zijn snelheid te berekenen bij gegeven waarden van deze 5 variabelen. Maar eerst bekijken we een voorbeeldsituatie en leggen het hoe en wat van het surfen uit aan de hand hiervan. Daarna gaan we door naar het mathematische model.

1.2

Een voorbeeldsituatie

Voordat we beginnen doen we eerst een aantal aannames. We gaan er van uit dat de variabelen in 1.1.1 zijn gegeven en gaan uit van de eerder genoemde surfer met een perfecte techniek. Als we naar de luchtstroom kijken, nemen we de volgende aannames: 1. De aankomende luchtstroom rond de surfer en het zeil blijft constant vanuit de zelfde richting stromen. 2. De lucht is onsamendrukbaar. 3. De lucht heeft geen viscositeit (stroperigheid). Nu gaan we kijken naar een voorbeeld situatie:

Figuur 1.1: Het voorbeeld

4


Figuur 1.1 is een surfplank met een zeil van bovenaf gezien met de daarbij behorende krachten op het zeil. In principe draait het allemaal om de F L : de zogeheten liftkracht die loodrecht op de aankomende windrichting staat. Deze liftkracht is de motor van het surfen, en ontstaat door de wind in het zeil. De surfplank in deze afbeelding zeilt bijna tegen de wind in. Zo behaal je nooit je maximum snelheid. We zullen later zien waarom. Naast liftkracht veroorzaakt de wind ook nog een weerstand genaamd F W . Zoals te zien in de afbeelding vormen de liftkracht en de weerstand van de wind gezamenlijk de resulterende kracht F Res . Dit is de totale kracht die in werkelijkheid op het zeil werkt. De krachten zijn getekend vanuit het aangrijpingspunt van het zeil. Als we nog eens een kijkje nemen naar figuur 1.1 zien we dat de resulterende kracht niet in de richting van de surfkoers gaat. Daarom delen we de resulterende kracht weer op in twee delen: de hellende kracht F H en de voorwaartse kracht F voorwaarts . Hierbij is de voorwaartse kracht de kracht die de surfer vooruit duwt en mag de hellende kracht niet zo groot zijn dat de surfer wordt omgegooid. Ook geldt dat een surfer niet helemaal in de richting gaat waar de plank naar toe wijst. Dit komt door de liftkracht die loodrecht op de aankomende windrichting staat en niet in de richting van de verplaatsing van onze surfplank. Hierdoor gaat een surfer in de richting van de koers in figuur 1.1 in plaats van in de richting van de punt van de surfplank. De hoek tussen beide richtingen heet de drifthoek (zie de γ in het model). De voorwaartse kracht (en dus de koers) worden, zoals we hebben gezien, uiteindelijk bepaald door de ligging van de surfplank, de snelheid die de surfer op dat moment heeft en de grootte en richting van de wind.

1.3

Mogelijke surfkoersen

Om te kunnen verklaren waarom je met de koers van de surfer in ons voorbeeld nooit je maximum snelheid haalt gaan we kijken naar de mogelijke koersen van windsurfers en boten. Je kunt boten onderverdelen in twee soorten: dwarsgetuigde boten en langsgetuigde boten. Dwarsgetuigd betekent dat de zeilen zijn bevestigd aan een ra (of spier) die dwarsscheeps aan de mast of steng zijn bevestigd. Langsgetuigd betekent dat de zeilen in de lengte zijn bevestigd aan de mast, al dan niet met behulp van bijvoorbeeld een giek. Een windsurfer kunnen we zien als een langsgetuigd bootje. We gaan kijken naar onze eerste koers, in de wind:

Figuur 1.2: In-de-windse koers

1.3. MOGELIJKE SURFKOERSEN

5

In de wind ligt een schip wanneer de wind (praktisch) recht van voren komt. Dit gebied beslaat voor langsgetuigde schepen ongeveer 30-45 graden van voren gezien. Geen enkel zeilschip haalt natuurlijk zo zijn maximum snelheid. Ieder schip moet een zig-zag koers varen om tegen de wind in te komen. De tweede koers is dan ook aan de wind:

Figuur 1.3: Aan-de-windse koers Met aan de wind wordt een koers aangeduid waarbij de wind niet recht van voren maar dwars inkomt. De lengte-as van de boot maakt dan met de windrichting een hoek tussen de 45 en 90 graden. Langsgetuigde schepen kunnen een hoek bereiken van circa 45 graden met de windrichting om nog vooruit te komen. Zo kunnen ze de zig-zag koers tegen de wind in varen. Dit is de koers die de surfer in figuur 1.1 surft en ook hiermee haalt hij niet zijn hoogste snelheid. Veel mensen denken dat een surfer zijn hoogste snelheid haalt als hij voor de wind surft. We zullen zien. Koers drie is voor de wind:

Figuur 1.4: Voor-de-windse koers Wanneer men voor de wind vaart, komt de wind van achteren binnen (tussen de 170 en 190 graden). Op de fiets zou het ”wind mee” heten. Voor langsgetuigde schepen is voor de wind varen lang niet de snelste van alle windkoersen. Dit komt vooral doordat de wind in dezelfde richting waait als de boot vaart. De relatieve windsnelheid (de windsnelheid gemeten vanaf de boot) is dan lager dan bij andere koersen en een snelheid groter dan die van de wind is onmogelijk. We gaan nu kijken naar ruime wind:

Figuur 1.5: Ruimwindse koers Bij een ruimwindse koers komt de wind schuin van achteren. De wind komt binnen met een hoek tussen ongeveer 100 en 170 graden met de lengteas van de boot, dit kan over beide boegen. Uit de praktijk blijkt dat voor dwarsgetuigde schepen de ruimwindse koers de meest optimale koers is, dan werd de hoogste snelheid gehaald. Als laatste werpen we een blik op halve wind varen:

6


Figuur 1.6: Halfwindse koers Bij een halfwindse koers komt de wind recht van opzij. De wind komt binnen met een hoek tussen de 80 en 100 graden op de lengteas van de boot. Voor veel langsgetuigde schepen blijkt uit de praktijk dat dit de snelste koers is die ze kunnen varen. We zullen gaan zien of dit voor een windsurfer ook geldt.

Hoofdstuk 2

Het mathematische model 2.1

Introductie van het model

Aan de hand van de voorbeeldsituatie in paragraaf 1.2 maken we een wiskundig model. Het uitgangspunt hierbij is figuur 1.1, maar om het voorbeeld te veralgemeniseren introduceren we in figuur 2.1 een aantal extra variabelen:

Figuur 2.1: Het mathematische model 7

8

2.1.1

HOOFDSTUK 2. HET MATHEMATISCHE MODEL

Definities van de variabelen

In het plaatje is een surfer te zien die diagonaal van de wind af surft. Zoals in de figuur te zien is, komt de echte wind Wo recht van beneden. Het zeil staat in de richting van de vector s en de windsurfer lijkt te surfen in de schijnbare richting Va . Dankzij de dwarscomponent van de wind surft de windsurfer niet helemaal in de schijnbare richting Va , maar door het driften in de richting van Vr met de in paragraaf 1.2 reeds ge¨ıntroduceerde drifthoek γ tussen Va en Vr . De schijnbare wind Wa krijgen we dan door de volgende formule, zie figuur 2.1: −*

−*

−*

Wa = Wo − V r Met de cosinusregel krijgen we het volgende: |Wa | =

p |Wo |2 + |Vr |2 − 2|Wo ||Vr | cos (180◦ − α − γ)

(2.1)

In het vervolg schrijven we de groottes van vectoren zonder absoluutstrepen. De schijnbare wind en de stand van het zeil maken een hoek δ met elkaar (de loslatingshoek van de wind in het zeil). α is de hoek die de lengte-as van de plank maakt met Wo (α geeft de surfrichting aan), β is de hoek tussen de plank en het zeil (β geeft de stand van het zeil aan), ligt tussen de echte bewegingsrichting en de echte wind ( = 180o − α − γ) en λ ligt tussen de echte bewegingsrichting en de schijnbare wind. Het algemene idee is nu om in dit hoofdstuk een uitdrukking te vinden voor alle relevante krachten, en deze in het volgende hoofdstuk te ontbinden in componenten evenwijdig aan de bewegingsrichting Vr (voor de snelheid) en componenten loodrecht op de bewegingsrichting (voor de stabiliteit). Hiermee gaan we een snelheids-evenwicht en een stabiliteits-evenwicht creëren. Dit doen we met potentiaaltheorie voor vliegtuigvleugels (Kutta-Joukowski). Hieronder volgt een samenvattende lijst met de variabelen uit het mathematisch model: Wo = echte wind Wa = schijnbare wind Va = schijnbare surfrichting Vr = echte surfrichting FL = liftkracht F// = component van de liftkracht evenwijdig aan de echte surfrichting F⊥ = component van de liftkracht loodrecht op de surfrichting s = richting van het zeil Fdb = wrijvingskracht op de plank Ff = kracht op de vin α = hoek tussen de echte wind en de schijnbare surfrichting β = hoek tussen het zeil en de plank δ = hoek tussen het zeil en de schijnbare wind γ = drifthoek (tussen de echte en de schijnbare surfrichting) De kracht op de vin gaan we later net als de liftkracht op het zeil ontbinden in een component evenwijdig aan de echte surfrichting en een component loodrecht op de surfrichting. Dit laten we in de figuur buiten beschouwing om het niet al te verwarrend te maken.

2.2. AERODYNAMISCHE KRACHTEN

2.1.2

9

Vooruitblik

We gaan met onze krachten een evenwicht creëren in voorwaartse en zijwaartse richting. We weten dat een surfer op snelheid is als de krachten in voorwaartse richting in evenwicht zijn met de weerstandskrachten. Ook weten we dat het geheel niet omvalt als de surfer in staat is om de krachten in zijwaartse richting te compenseren. We beginnen met het evenwicht in voorwaartse richting. We introduceren de aerodynamische krachten en vertellen daarna de nodige zaken over circulatie. Hierna gaan we een uitdrukking vinden voor de liftkracht zonder 3D-circulatie. De 3D-situatie gaan we onderzoeken in de paragrafen over 3D-effecten, tipwervels en downwash en 3D-potentiaaltheorie. Uiteindelijk komen we in de paragraaf 2.2 tot een uitdrukking voor onze 3D-kracht. Hierna gaan we de hydrodynamische krachten onder de loep nemen. Als toevoeging hebben we het nog over de twee belangrijkste dimensieloze getallen in de hydrodynamica: Het getal van Reynolds en het getal van Froude en zijn relatie tot planeren. We vinden een uitdrukking voor de weerstandskracht met behulp van het getal van Reynolds.

2.2

Aerodynamische krachten

We hebben een aerdynamische kracht van de wind op het zeil die (volgens een resultaat uit de potentiaaltheorie: Kutta-Joukowski) loodrecht op de schijnbare windrichting staat. Deze kracht noemen we FL . We gaan deze kracht uiteindelijk ontbinden in twee componenten: F// en F⊥ . We ontbinden FL zodanig dat de kracht F// evenwijdig loopt aan Vr (zie figuur 2.1 voor verduidelijking). Wat we nu eerst gaan doen is FL benaderen met 2D-potentiaaltheorie. Deze benadering noemen we Fl . Hiervoor beschouwen we de stroming om het zeil als potentiaalstroming om een vleugel onder een invalshoek met circulatie (zie [3]). Met de juiste transformatie volgt hieruit de kracht op een vleugel en uiteindelijk de kracht op ons zeil.

Figuur 2.2: Een zeil en een vleugel

2.2.1

Circulatie

Voordat we het over krachten gaan hebben gaan we kijken naar circulatie. Circulatie is namelijk van groot belang binnen de stromingsleer. Door de invalshoek van de wind ten opzichte van het zeil, stroomt er, als we net beginnen met surfen, meer lucht naar de loefzijde (de scheepszijde waar de wind in komt, de onderkant in de figuur), dan naar de lijzijde (zie figuur 2.3).

10


Figuur 2.3: Beginsituatie voor de circulatie Meer luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging. De wind bereikt aan de loefzijde sneller het achterste deel van het zeil dan aan de lijzijde. De wind krult hierdoor naar de lijzijde. Hierdoor moet de lucht als het ware een scherpe bocht nemen, wat nooit helemaal goed gaat. De lucht ”breekt af” en gaat aan de achterkant van het zeil rond bewegen. Dit veroorzaakt circulatie: wervelingen. Deze wervelingen draaien linksom (zie figuur 2.4).

Figuur 2.4: Wervelingen De aankomende luchtstroom zal door de wervelingen rechtsom worden afgewend. Dit kan gezien worden als twee in elkaar draaiende tandwielen. Hierbij geldt: de totale circulatie moet 0 blijven (afgeleid van de circulatiestelling van Kelvin). Het zorgt voor een potentiële rechtsdraaiende circulatie (zie figuur 2.5). Deze circulatie zorgt namelijk met de luchtstroom zelf voor de uiteindelijke reële luchtstroom.

Figuur 2.5: Snelheidsverandering van lucht door wervelingen


11

De potentiële rechtsdraaiende circulatie heeft gevolgen voor de formules in ons model. De circulerende luchtstroom zorgt voor een snelheidsverhoging van de lucht aan de lijzijde (met de circulatie mee) en voor een snelheidsverlaging van de lucht aan de loefzijde (tegen de circulatie in).

2.2.2

De uitdrukking voor de 2D-liftkracht: Fl

Noem de liftkracht Fl en de circulatie Γ, dan krijgen we de volgende formule voor Fl (volgens Kutta Joukowski, zie [3]): Fl = ρl Wa Γ met Γ = 4πaW sin (δ)

(2.2)

Hierin hebben we de volgende variabelen: -

ρl = De dichtheid van lucht W = De inkomende wind δ = De invalshoek tussen de inkomende wind en het zeil 4a = De koorde van het vleugelprofiel

In ons geval wordt de uitdrukking voor Fl door middel van potentiaaltheorie onder een invalshoek δ met circulatie de volgende: Fl = ρl Wa2 πB sin (δ) Met de breedte van een zeil gelijk aan B = 4a en onze schijnbare wind Wa . Opmerking: deze formule geldt alleen voor kleine δ (15 graden of kleiner, zie figuur 2.1). Uit de praktijk blijkt dat je bij een δ groter dan ongeveer 15 graden loslating van de wind in het zeil krijgt. Hier gaan we bij onze parameterstudie (hoofdstuk 5) rekening mee houden.

2.2.3

Eindige hoogte

De hierboven beschreven potentiaaltheorie is geldig voor een oneindig vleugelprofiel met constante breedte B. In ons geval hebben we echter een zeil met een eindige hoogte en de lengte van de koorde (in ons geval de breedte van het zeil) is afhankelijk van de hoogte. De circulatie zal dus gaan variëren in de hoogte. In dit geval kunnen we de liftkracht uitrekenen met behulp van de spiegelconditie op h = 0, zie [10]: Z Fl = ρl Wa

l

Γ(z)dz 0

Hierbij staat de z-richting in de hoogte en l is de hoogte van het zeil. Deze Γ(z) geeft de totale verdeling van de circulatie over een vleugelpaar. In de vleugeltheorie wordt een klassieke oplossing voor Γ(z) gegeven door een elliptische verdeling, Γ0 is hierbij de circulatieverdeling in het symmetrievlak (zie figuur 2.6).

12


Figuur 2.6: Circulatie Voor Γ(z) krijgen we nu: r z Γ(z) = Γ0 1 − ( )2 l Voor de totale liftkracht berekenen we eerst onze integraal: Z l Z l r Z lr z 2 z Γ(z)dz = Γ0 1 − ( ) dz = Γ0 1 − ( )2 dz l l 0 0 0 De laatste integraal geeft een kwart van de oppervlakte van een ellips weer, met de assen 1 en l. We krijgen nu: Z l Z lr z π·l·1 πl Γ(z)dz = Γ0 1 − ( )2 = Γ0 = Γ0 l 4 4 0 0 De totale draagkracht (liftkracht) op een vleugelhelft wordt nu gegeven door: Z Fl = ρl Wa

l

Γ(z)dz = 0

π ρl Wa lΓ0 4

(2.3)

Zonder circulatie hadden we: Fl = ρl Wa Γ0 l en met circulatie hebben we nu Fl = ρl Wa Γ0 l π4 . We zien dat de lifkracht met ”3D”-circulatie een factor π4 verschilt van de lifkracht met constante circulatie. Γ0 was de circulatieverdeling in het symmetrievlak. In ons geval is dat de circulatieverdeling ter hoogte van de plank i.e. de circulatie rond het onderlijk, met (2.2): Γ0 = πB0 Wa sin (δ)

(2.4)

Hierbij is B0 de breedte van het zeil op hoogte 0 (onderlijk). We krijgen nu voor Fl met behulp van (2.3) de uiteindelijke formule: Fl =

π2 ρl B0 Wa2 l sin (δ) 4

(2.5)


2.2.4

13

Tipwervels en downwash

Onder een vleugel heerst overdruk en boven de vleugel heerst onderdruk, daarom verplaatst de lucht zich van onder naar boven de vleugel. Hierdoor onstaan tipwervels (zie figuur 2.7). Het in stand houden van deze tipwervels kost energie die aan het vliegtuig wordt onttrokken. Er ontstaat een weerstand met als gevolg een verlies in snelheid. Hoe sterker de wervel, hoe groter de luchtweerstand. Bij een zeil werken tipwervels net zo: een surfer wil zo min mogelijk tipwervels, want door tipwervels krijgt hij een verlies aan snelheid. Als de surfer zo veel mogelijk kracht naar voren wil hebben, moet hij zoveel mogelijk de wind naar achteren ombuigen (zie figuur 2.8). Door toedoen van tipwervels wordt de stroming voor en achter een vliegtuig naar beneden geduwd. Dit wordt ”downwash” genoemd. Met betrekking tot windsurfen is het meer ”sidewash” dan downwash omdat een windsurfer zijn zeil verticaal heeft staan in tegenstelling tot een horizontale vleugel. We zullen dit verschijnsel verder wel downwash blijven noemen, want dit is de algemene benaming hiervoor. Nog even kort: downwash houdt in dat de stroming achter de vleugel naar beneden wordt gedrukt door het ontstaan van tipwervels aan de uiteinden van de vleugels. In afbeelding 2.9 is een schematische samenvatting hiervan weergegeven. We zien dat de wind met snelheid V bij de vleugel komt. De liftkracht staat hier loodrecht op. Door downwash wordt de aankomende stroming afgebogen (met Vdw de downwash snelheid). Hierdoor ontstaat een ge¨ınduceerde weerstand, want de uiteindelijke kracht op de vleugel staat loodrecht op de afgebogen stroming. In vergelijking met de 2D-potentiaaltheorie zorgt downwash voor een verandering van invalshoek. Noemen we de 2D-invalshoek nog steeds δ, dan volgt voor de 3D-invalshoek δ3D dat: δ3D = δ − δi Hierbij is δi de zogeheten ge¨ınduceerde hoek, veroorzaakt door de invloed van de tipwervels.

Figuur 2.7: Tipwervels

14


Figuur 2.8: Zeilstanden van een surfer

Figuur 2.9: Schematische samenvatting downwash

2.2.5

3D-potentiaaltheorie

Met behulp van (2.4), (2.5) en (2.6) krijgen we voor Γ0 en daarmee voor de liftkracht het volgende: Γ0 = πBo Wa sin (δ − δi )

Fl =

π2 ρl B0 Wa2 l sin (δ − δi ) 4

(2.6)

(2.7)

Hierin moeten we δi nog bepalen. Dit doen we met behulp van figuur 2.10 hieronder. Hierin zijn krachten en hoeken rond de inkomende wind op een vleugel te zien. De liftkracht staat naar boven toe. δi is de hoek tussen de lifkracht met en zonder ge¨ınduceerde weerstand, tevens is δi de hoek tussen de schijnbare wind met en zonder downwash.


15

Figuur 2.10: Vleugel-meetkunde In de figuur is te zien dat Fl evenwijdig is met Vdw . Hierdoor geldt: δi = tan−1 (

Vdw ) Wa

(2.8)

We moeten de downwash-snelheid nog bepalen. Voor de downwash-snelheid geldt het volgende (zie [7] en [8]): Z l Z l 1 dΓ(η) dη 1 −Γ η dη q 0 Vdw (z) = = 4π −l dη z − η 4π −l l2 1 − ( η )2 z − η l We kunnen nog een aantal termen naar voren halen zodat we krijgen: Z l η Γ0 q Vdw (z) = − dη 2 η 4πl −l 1 − ( )2 (z − η) l Met − zl = cos (τ ) en − ηl = cos (θ) volgen: 1 η 1 (1 − ( )2 )− 2 = l sin (θ)

en dη = −dl cos (θ) = l sin (θ)dθ zodat: Vdw (z) = Vdw(θ)

Γ0 =− 4πl2

Z 0

π

1 −l cos (θ)l sin (θ)dθ sin (θ) −l(cos (τ ) − cos (θ))

16


Dit wordt uiteindelijk (met

Rπ

cos (θ) 0 cos (τ )−cos (θ) dθ

Vdw (z) = −

Γ0 4πl

Z

π

0

= −π, bijlage A):

cos (θ) Γ0 dθ = cos (τ ) − cos (θ) 4l

Hiermee wordt δi met (2.8) het volgende: δi = tan−1 (

Γ0 ) 4lWa

(2.9)

Dit geeft een impliciete vergelijking, want δi zit ook al in Γ0 via vergelijking (2.6). De waarden van alle andere variabelen in δi en Γ0 zijn gegeven waarden. In ons model rekenen we hiermee uit wat Γ0 is met behulp van de Newton-methode. De vergelijking voor δi kunnen we invullen in de formule voor Γ0 (2.6) en Fl (2.7). Met de uitdrukking voor δi krijgen we nu δ3D : δ3D = δ − tan−1 (

Γ0 ) 4lWa

En voor de liftkracht Fl krijgen we uiteindelijk: Fl =

2.2.6

Γ0 π2 ρl B0 Wa2 l sin (δ − tan−1 ( )) 4 4lWa

(2.10)

Uitdrukkingen voor Di , CDi en FL

Met behulp van figuur 2.10 krijgen we de ge¨ınduceerde weerstand:

Di = Fl tan (δi ) =

ρl πΓ20 16 2

a We gebruiken de gebruikelijke formule voor lift: Fl = CL ρl W ınduceerde 2 A om de bijbehorende ge¨ weerstandscoëfficiënt te berekenen:

CDi = CL tan (δi ) =

Fl Γ0 4ρl Wa3 Al

(2.11)

Hierin is A de oppervlakte van het zeil en CL de lift-coëfficient. Voor de 3D-kracht inclusief ge¨ınduceerde weerstand hebben we Fl en Di nodig. De uitdrukkingen hiervoor zijn (2.10) en (2.11). We krijgen dan voor onze uiteindelijke 3D-kracht (met ge¨ınduceerde weerstand): FL =

q Fl2 + Di2

(2.12)

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN

2.3

Hydrodynamische krachten

2.3.1

Onze hydrodynamisch krachten

17

We hebben twee hydrodynamische krachten: de weerstand van het water langs de plank (Fdb ) en de weerstand van het water langs de vin (Ff // ). Hiermee gaan we later uitzoeken wanneer een surfer planeert. Wat betreft de weerstand op de vin: wat we weten is dat de hydrodynamische stroming recht vanuit de vaarrichting komt. Met potentiaaltheorie (Kutta-Jouwkowski) volgt dat de hydrodynamische kracht loodrecht op deze vaarrichting en de vin staat. Ook gelden dezelfde 3D-effecten als op het zeil, maar dan met betrekking tot de waterstroming in plaats van de luchtstroming: de hydrodynamische kracht staat niet precies loodrecht op de vaarrichting en de vin waardoor er een drifhoek en een bijbehorende drift in het spel is. Om deze reden moeten we deze kracht ook ontbinden in een component loodrecht op de vin en een component evenwijdig aan de vin. De component evenwijdig aan de vaarrichting zal niet zo heel groot zijn, omdat de drifthoek niet zo heel groot wordt. De weerstand door het water op de plank is gelijk aan (standaard formule voor drag, zie bijvoorbeeld [4]): 1 Fdb = ρw Vr2 Ab CD (2.13) 2 Met de volgende variabelen: -

ρw = De dichtheid van water Vr = De snelheid van de windsurfer (zie figuur 2.1) Ab = Het wrijvingsoppervlak van het surfboard (wij nemen Ab = 0.5m2 ) CD = De weerstandscoëfficient van de plank

Hierbij geldt voor CD de volgende, empirisch bepaalde formule: CD = 0.074(

1 ρw lb Vr − 1 ) 5 = 0.074Re− 5 µ

(2.14)

waarin µ de dynamische viscositeit van water en lb de lengte van het surfboard is. Hiervoor nemen wij lb = 1m. Deze formule is afgeleid van het Reynolds-getal Re (zie 2.3.2). De constante 0.074 en de − 51 staan in allerlei bronnen vermeld zoals in [9].

2.3.2

Het getal van Reynolds

Om bij het getal van Reynolds te komen gaan we eerst weer even in op weerstand. Om de weerstandskracht af te leiden wordt een zeer algemeen gebruikte formule voor weerstand gebruikt. Deze weerstand (drag) is een kracht in de vloeistof dynamica die een (vast) voorwerp ondervindt als hij zich voortbeweegt door, in ons geval, een vloeistof. Dit heet ook wel een viskeuze kracht. De weerstands-vergelijking bij hoge snelheid in turbulente stromen berekent de kracht als ons voorwerp zich bij hoge snelheid door de vloeistof beweegt. Dit betekent dat het Reynolds getal Re relatief groot is: Re > 1000. Zie hieronder voor een voorbeeld van weerstand. Dit laat een plaatje zien van een bol in een Stokes-stroming, dit betekent een laag Reynoldsgetal:

18


Figuur 2.11: Weerstand

Het Reynoldsgetal wordt gegeven door de volgende formule:

Re =

Vw L inertiaal krachten (ρw Vw 2 )/L ρw Vw L = = = 2 (µd Vw )/L µd νk viskeuze krachten

Met de volgende variabelen: -

Vw = Snelheid van het water L = Karakteristieke lengte µd = Dynamische water viscositeit νk = Kinematische water viscositeit ρw = Dichtheid van het water

We zien dat het Reynoldsgetal gaat over de ratio van inertiaal (traagheids) krachten (Vw ρw ) met viskeuze krachten (µd /L). Het laat zien hoe relatief belangrijk deze twee krachten zijn als er stromingscondities gegeven zijn. Hierbij is de inertie, ook wel traagheid genoemt, de naam voor het verschijnsel dat er kracht nodig is om een voorwerp een verandering in snelheid te geven. Hoe meer massa (dichtheid) het voorwerp heeft, hoe meer traagheid. De viscositeit is de ”dikte” van de vloeistof (de stroperigheid). Het getal van Reynolds wordt ook wel het belangrijkste dimensieloze getal genoemd in de vloeistof dynamica. In ons geval wordt het gebruikt om te identificeren of een stroming laminair of turbulent is. In het algemeen is een stroming laminair als het getal van Reynolds laag is, dus wanneer viskeuze krachten dominant zijn en turbulent wanneer het Reynoldsgetal hoog is, dus wanneer inertiaal krachten dominant zijn. Het Reynoldsgetal van een zeilboot rond zijn zeil van ongeveer 115 cm en een schijnbare wind van 18 km/hr is ongeveer 5 miljoen! Dit betekent dat er duidelijk turbulentie in het spel is. Helaas is het omslagpunt tussen laminair en turbulent voor elke geometrie anders, maar in het water is de stroming bij zeilboten ook turbulent. Een grote vis heeft al een Reynolds getal van boven de 50000 en in water treedt er vaak al turbulentie op onder de 4000. Onze weerstandsvergelijking (2.14) is een vergelijking die geldt voor turbulente stromingen langs een surfboard met een hoge snelheid zodat we een hoog Reynoldsgetal hebben. Hierbij geldt dat ieder object, dus ook iedere surfplank een andere weerstandscoëfficient heeft.

2.3. HYDRODYNAMISCHE KRACHTEN

2.3.3

19

Planeren en het getal van Froude

Er zijn twee soorten golven: golven met golflengte λ veel groter dan de diepte van het water, de zogeheten lange golven en golven met λ veel kleiner dan de diepte van het water, de korte golven. Rond een surfer bevinden zich kleine golven. In heel ondiep water zullen deze golven groter zijn dan de diepte van het water, maar op zee zullen deze golven veel kleiner zijn dan de diepte van het water. Golven rond een surfer zijn bijvoorbeeld golven op zee die ontstaan zijn door de windkracht of door hem zelf. De voortplantingssnelheid c van een korte golf hangt af van λ door middel van de volgende zeer goede benadering: (zie [5]) r g c= tanh (kd) k Met de volgende variabelen: - d = De diepte van het water - k = Het golfgetal van een golf - g = De zwaartekracht Het golfgetal k heeft de volgende formule: k=

2π λ

Nu krijgen we: r c= In diep water, waar d ≥ 12 λ, geldt:

2πd λ

gλ 2πd tanh ( ) 2π λ

≥ π, dus de tangens hyperbolicus nadert naar 1: r c=

gλ 2π

√ Dit betekent dat c ongeveer gelijk is aan 1.25 λ m/s met λ in m. Golven met verschillende golflengtes reizen dus met verschillende snelheden. De snelste golven zijn tevens de langste golven bij bijvoorbeeld een storm. Dit zijn de eerste golven die bij de kust arriveren. William Froude bedacht een formule voor zijn Froude getal Fn . Hiermee kun je de weerstand die een golf maakt op vaste voorwerpen met verschillende groottes en vormen zoals surfplanken en boten met elkaar vergelijken. Het getal van Froude wordt vaak na het getal van Reynolds genoemd als het op één na belangrijkste getal zonder dimensie in de vloeistofdynamica. De formule voor het getal ziet er als volgt uit: v Fr = √ gL waarin L de lengte en v de snelheid van de boot is. Als v >> c begint de boot met planeren: de boot komt over zijn eigen geproduceerde oppervlaktegolf heen. Dit kun je vergelijken met een supersonische vlucht van een vliegtuig, waarbij het vliegtuig sneller vliegt dan de geluidssnelheid. De langste golf die een boot en ook een windsurfer produceert is in lengte

20


maximaal gelijk aan het natte oppervlak (L = λ). Dit zorgt voor erg veel weerstand. We krijgen dan het volgende: (vul c in de plaats van v in, in de formule voor het Froude getal): 1 Fr = √ ≈ 0, 4 2π Dit is zeer belangrijk voor de scheepvaart en ook voor windsurfers, want rond dit getal is er een sterke stijging van de weerstand. Als een windsurfer wil planeren zal hij over zijn eigen golf heen moeten komen: λ moet groter zijn dan L. Er volgt ruim na Fr ≈ 0.4 een sterke daling van golfweerstand omdat de windsurfer gaat planeren (zie figuur 2.12).

Figuur 2.12: Grafiek Froude-getal en weerstand

2.3.4

De uitdrukking voor FLf

De uitdrukking voor de 2D-liftkracht op de vin ontstaat hetzelfde als de 2D-liftkracht op het zeil, maar dan met de waarden van het zeil (zie paragraaf 2.2): π Flf = ρw Vr lf Γ0f 4 Hierin is ρw de dichtheid van water, lf de lengte van de vin en Γ0f eenzelfde soort uitdrukking voor de circulatie als de Γ0 in paragraaf 2.2. De uitdrukking voor Γ0f is de volgende: Γ0f = πBf Vr sin (γ − γi ) Voor γi (ge¨ınduceerde drifthoek) hebben we eenzelfde soort uitdrukking als voor δi (zie vergelijking (2.9): Γ0f γi = tan−1 ( ) 4lf Vr De ge¨ınduceerde weerstand wordt de volgende: ρw πΓ0f 16 Met behulp van deze ge¨ınduceerde weerstand komen we tot onze 3D-kracht: q 2 FLf = Flf2 + Dif Dif =

Hoofdstuk 3

Krachten & momenten Bij het modelleren in het vorige hoofdstuk hebben we alle krachten gezien die we nodig hebben om onze evenwichten op te stellen. We willen een snelheidsevenwicht creëren: een evenwicht van alle krachten in voor- en achterwaartse richting en we willen een stabiliteitsevenwicht creëren: een evenwicht van alle krachten en momenten in de zijwaartse richtingen. Dit betekent dat we de krachten die niet in deze richtingen staan moeten gaan ontbinden zodat de ontbonden componenten van deze krachten wel in de goede richtingen staan. Als eerste gaan we de liftkracht op het zeil FL ontbinden in een component evenwijdig aan de vaarrichting en een component hier loodrecht op. Op eenzelfde manier splitsen we de krachten op het surfboard en de vin uiteindelijk ook op in een kracht evenwijdig aan en een kracht loodrecht op de vaarrichting. Zo krijgen we voor zowel ons snelheids- (op het zeil, op de plank en op de vin) als voor ons stabiliteitsevenwicht (op het zeil, op de vin en van de surfer) drie krachten.

3.1

Het ontbinden van FL en FLf

F// willen we gaan uitdrukken met behulp van de lifkrachtformule (2.12). Dit doen we als volgt: We introduceren een nieuwe hoek * als de hoek tussen F⊥ en FL . Zie figuur 3.1:

Figuur 3.1: Hoek *

21

22

HOOFDSTUK 3. KRACHTEN & MOMENTEN

Door middel van elementaire meetkunde met behulp van figuur 2.1 en de cosinus krijgen we dat hoek * gelijk is aan 90o − γ − β − δ3D . Tussen F// en F⊥ zit een rechte hoek. Met de cosinus krijgen we dus: F// = cos (90o − γ − β − δ3D )FL

(3.1)

En voor F⊥ krijgen we met behulp van de stelling van Pythagoras: F⊥ =

q 2 FL2 − F//

(3.2)

De kracht van vergelijking (2.12) kunnen we invullen in de formules voor F// en F⊥ . De kracht op de vin kunnen we ontbinden in Ff // en Ff ⊥ met behulp van de cosinus en de sinus:

3.2

Ff // = FLf sin (γi )

(3.3)

Ff ⊥ = FLf cos (γi )

(3.4)

Het snelheidsevenwicht

Als een surfer zijn maximale snelheid bereikt, betekent dit dat hij geen versnelling meer heeft. De som van alle krachten in voor- en achterwaartse richting is dan gelijk aan 0. In ons geval moet daarom het volgende gelden: F// + Fdb + Ff // = 0

(3.5)

Uitdrukkingen hiervoor vinden we in (3.1), (2.13) en (3.3). We hebben hier te maken met een impliciete vergelijking. Vr zit namelijk in Wa (zie (2.1)), die op zijn beurt weer in F// zit. Ook zit Vr in Fdb en in Ff // . In totaal hebben we gebruik gemaakt van vier hoeken: α, β, δ en γ. Kijk maar bij de samenvattende vergelijkingen van paragraaf 4.1. Hierin zijn alleen β, δ en γ te vinden. α zit in de vergelijking voor Wa (2.1). De rest van de hoeken is uit te drukken in deze vier hoeken. We willen uiteindelijk gaan rekenen met de vectoren, krachten en hoeken uit hoofdstuk 2 voor een snelheidsevenwicht. De hoeken die we gebruiken zijn zeer herkenbaar in de praktijk. We gebruiken hoek α die de vaarrichting aangeeft, hoek β die de zeilstand aangeeft, hoek δ die de loslatingshoek van de wind in het zeil aangeeft en de drifthoek γ. Zoals gezegd kunnen we alle andere hoeken terugbrengen tot deze vier. Zie ook figuur 2.1.

3.3. HET STABILITEITSEVENWICHT

3.3 3.3.1

23

Het stabiliteitsevenwicht Het momentenevenwicht: de krachten

Voor de stabiliteit van onze windsurfer kijken we naar de componenten van de krachten loodrecht op de vaarrichting. We weten dat de momenten die F⊥ op het zeil en Ff ⊥ op de vin met hun armen maken gecompenseerd moeten worden door de surfer. Hierdoor valt het geheel niet om. We hebben zodanig drie krachten: 1. Een aerodynamische component op het zeil: F⊥ . 2. Een effectieve hydrodynamische component op de vin: Ff ⊥ . 3. De kracht vanuit de surfer zelf: Fs . De surfer zelf moet de momenten die component 1 en 2 maken compenseren tot een stabiel geheel. Bij dit verhaal willen we natuurlijk weten wat het moment is dat de surfer zou moeten leveren kan worden in bepaalde gevallen. Natuurlijk gaan we er ook over nadenken wat het maximale moment is die een goede profsurfer kan creëren. Uitdrukkingen voor F⊥ en Ff ⊥ hebben wel: voor F⊥ hebben we vergelijking (3.2) en voor Ff ⊥ hebben we vergelijking (3.4). De kracht die de surfer levert is gelijk aan de zwaartekracht vermenigvuldigd met zijn gewicht in kilogram: Fs = g · surfermassa ≈ 9.81 · surfermassa

3.3.2

Het momentenevenwicht: de armen

Met behulp van figuur 3.2 zien we dat we naast krachten ook armen nodig hebben. De totale formule voor het stabiliteitsevenwicht inclusief armen wordt nu de volgende: Fs · arm(Fs ) = F⊥ · arm(F⊥ ) + Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ )

Figuur 3.2: De armen en krachten met daarnaast de werkelijkheid

(3.6)

24


De bijbehorende armen gaan we benaderen. We nemen aan dat het zwaartepunt van een mens ongeveer bij zijn/haar navel zit. Staand is dit ongeveer op 60% van de lichaamslengte. Een surfer neemt enigszins een zittende houding aan. Dus laten we zeggen dat het zwaartepunt in dat geval op 50% van de lichaamslengte ligt. In de praktijk blijkt dat een surfer geen kleinere hoek met het wateroppervlak kan maken dan ongeveer 25 graden om zijn maximale snelheid te halen. Kijk maar eens naar figuur 3.2. Deze surfer hangt ook met ongeveer 25 graden ten opzichte van het wateroppervlak boven het water. Met cos (25o ) ≈ 0.91 krijgen we de volgende arm voor een windsurfer: arm(Fs ) ≈ 0.91 · 0.5 · surferlengte = 0.455 · surferlengte Het totale moment van de surfer wordt dan: Fs · arm(Fs ) ≈ 4.46 · surfermassa · surferlengte

(3.7)

Een surfer met een massa van 100 kilogram en een lengte van 1,85 meter kan dus een totaal moment leveren van ongeveer 4.46 · 100 · 1.85 ≈ 825 N m. Arm(F⊥ ) is de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil. Om deze hoogte te benaderen hebben we eerst de mastlengte van het zeil nodig. De oppervlakte van het zeil As is gegeven. Als we hieruit de mastlengte van het zeil willen bepalen moeten we voldoen aan de praktijk. We gebruiken een praktijktabel met de oppervlakte van het zeil en de mastlengte van een surfwebsite (zie [6]). De waarden uit deze tabellen zien er als volgt uit: zeilgrootte (m2 ) 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.6 7.0 7.6 8.4 9.2 10.0 11.0 12.0

maximale mastlengte (m) 3.88 4.08 4.18 4.38 4.47 4.66 4.73 4.83 5.04 5.25 5.36 5.62 5.83

Een lineaire formule die ongeveer voldoet aan deze waarden is de volgende: 1 l = As + 3 4 Hiermee zitten we maximaal 7.1% af van de waarden uit de tabel. Een betere benadering kunnen we krijgen als we de functie polyfit(x, y, n) in matlab gebruiken. Deze functie zoekt een functie f van graad n waarvoor geldt f (x) = y met x en y in ons geval de waarden van As


25

en l. Het maakt gebruik van de kleinste kwadraten methode. Met behulp van matlab komen we zo op de volgende lineaire formule: l = 0.2570As + 2.8297 Met deze formule zitten we maximaal 3.9% af van de waarden uit de tabel. Zie de grafiek in figuur 3.3. Het eerste punt geeft de grootste afwijking.

Figuur 3.3: Grafiek met punten uit de tabel en de benaderingslijn We zouden betere benaderingen kunnen krijgen door een functie van hogere graad proberen te vinden, maar met deze 3.9% zijn we tevreden. De laatste formule voor l gebruiken we dus in ons model. Voor het bepalen van de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil hebben we ook nog een benadering voor de breedte aan het onderkant van het zeil B0 nodig als de taper ratio T R gegeven is. Dit doen we als volgt: Zij de taper ratio T R (lengteverhouding tussen de onderkant en de bovenkant van het zeil) ook gegeven, dan wordt de breedte B0 op hoogte h = 0 gelijk aan: B0 =

2 As 1 1 + TR l

As l

is de gemiddelde breedte van het zeil. Is de taper ratio 2, dan zijn de de breedtes van het het zeil op hoogte h = 0 en h = l respectievelijk 4/3e en 2/3e deel van het gemiddelde (verhouding 2:1) met onze formule. Voor taper ratio 3 is dit logischerwijs 6/4e en 2/4e deel van het gemiddelde met onze formule (verhouding 3:1). De hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil Arm(F⊥ ) gaan we nu benaderen met een 2D-voorstelling van het zeil. Hiervoor gebruiken we vier parameters die hierboven al zijn gegeven of uitgerekend, namelijk: de breedte op hoogte h = 0: B0 , de lengte van het zeil l, de oppervlakte van het zeil As en de taper ratio T R. We hebben te maken met het volgende figuur:

26


Figuur 3.4: 2D-zeil We willen een uitdrukking vinden voor de hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil. We gaan er vanuit dat de kracht uniform verdeeld is in de hoogte. Er moet dan gelden dat de oppervlakte van het zeil onder deze hoogte gelijk is aan de oppervlakte boven deze hoogte, namelijk de helft van de oppervlakte van het zeil: 12 As . Met deze informatie kunnen we door het gebruik van de abc-formule de gewenste uitdrukking vinden (zie bijlage B). Deze uitdrukking is de volgende: q 0 − Bl0 ) −2B0 + (4B02 + 4As ( TBRl Arm(F⊥ ) = 0 − Bl0 ) 2( TBRl Arm(F⊥ ) hangt dus af van het zeiloppervlak en de taper ratio van het zeil die we in ons model gaan invoeren. Met behulp van de breuken in onze formule zien we dat hoe kleiner de taper ratio, hoe groter de arm zal zijn. Als laatste nemen we arm(Ff ⊥ ) ≈ 0.21. Dit is ongeveer de afstand in meters tussen het aangrijpingspunt van de aankomende stroming op de vin en het draaipunt (zie figuur 3.2) bij de vin die wij gekozen hebben. We krijgen dus Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ ) ≈ 0.21 · Ff ⊥ . Onder bepaalde hoeken en windsnelheden zal de surfer een te grote kracht moeten leveren. De hoge snelheden die je bij deze hoeken en windsnelheden zou kunnen halen worden dus niet bereikt. Het idee van ons model is nu om de hoogste snelheden te vinden met als restrictie een niet te groot moment voor de surfer.

3.3.3

Het krachtenevenwicht: drift

In deze paragraaf gaan we nog even kort in op drift. De drifthoek γ hangt namelijk af van de richting van de wind, de windkracht en de snelheid van de windsurfer. De richting van de wind is gegeven door middel van de hoek α (zie figuur 2.1), de windkracht Wo is ook gegeven, maar de snelheid van de windsurfer Vr willen we juist bepalen. Dit willen we gaan doen met behulp van ons snelheidsevenwicht (3.5). Om de snelheid te bepalen zoeken we een nulpunt in ons snelheidsevenwicht. Helaas is het zo dat zowel de snelheid van de windsurfer Vr als de drifthoek γ in de formule voor ons snelheidsevenwicht zitten (zie paragraaf 4.1) en variabel zijn. Omdat de drifthoek zelf ook afhangt van Vr zal het rekenkracht gaan kosten om de juiste waarden voor deze variabelen te bepalen. We bepalen eerst de snelheid met een gok voor de drifthoek en met deze snelheid bepalen we de echte drifthoek. Dit doen we net zo lang tot we een juiste snelheid én drifthoek hebben gevonden die voldoen aan het nulpunt.


27

De uiteindelijke uitwerking van ons model wordt hierdoor wel aanzienlijk langzamer, want het kost behoorlijk wat rekenkracht. Wel wordt onze uitkomst veel preciezer. In de volgende paragraaf geven we een samenvatting met alle formules die belangrijk voor ons model zijn. Hierin kunt u goed zien in welke formules de snelheid en de drifthoek zitten en waarom er meerdere keren gebruik wordt gemaakt van dezelfde methode om een nulpunt te vinden. Waar komt de drift vandaan uit onze formules? In de afgelopen paragrafen over het stabiliteitsevenwicht hebben we kunnen zien dat het moment van de surfer de andere momenten moet compenseren. Als de momenten in balans zijn is er een resulterende kracht ontstaan. Hierin zorgt de drifthoek voor compensatie. De twee zijwaartse krachten F⊥ en Ff ⊥ uit figuur 3.2 stellen we aan elkaar gelijk en met behulp van de Newton-methode krijgen we onze drifthoek.

28


Hoofdstuk 4

De numerieke uitwerking van het model In dit hoofdstuk geven we een korte uitleg over de numerieke uitwerking van ons model. We beginnen met een paragraaf over alle belangrijke formules uit de voorgaande hoofdstukken.

4.1

Samenvattende formules

We zijn in paragraaf 2.1 begonnen met het introduceren van ons model. Hierin hebben we laten zien dat een uitdrukking voor de schijnbare wind wordt gegeven door: Wa =

p Wo2 + Vr2 − 2Wo Vr cos (180◦ − α − γ)

In paragraaf 2.2 hebben we de aerodynamische krachten onder de loep genomen. Eerst hebben we een vergelijking bepaald voor de circulatie rond het onderlijk van ons zeil en voor de 2D-liftkracht Fl . Door downwash moest in deze formules een ge¨ınduceerde hoek δi worden verwerkt. Voor onze circulatie Γ0 krijgen we dan: Γ0 Γ0 = πB0 Wa sin (δ − tan−1 ( 4lW )) a

Merk op dat Γ0 in zichzelf zit. Hier is al onze eerste Newton-methode voor nodig. Met behulp van Γ0 krijgen we een uitdrukking voor de 2D-liftkracht Fl : Fl =

π2 2 4 ρl B0 Wa l sin (δ

Γ0 − tan−1 ( 4lW )) a

In 3D hadden we ook nog te maken met een ge¨ınduceerde weerstand. Onze 3D-kracht wordt dan: q Γ0 FL = Fl2 (1 + tan2 (tan−1 ( 4lW ))) a Deze 3D-kracht hebben we in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aan en een component loodrecht op de vaarrichting: Γ0 F// = cos (90o − γ − β − (δ − tan−1 ( 4lW )))FL a

29

30 F⊥ =

HOOFDSTUK 4. DE NUMERIEKE UITWERKING VAN HET MODEL q 2 FL2 − F//

In paragraaf 2.3 kwamen we aan bij de hydrodynamische krachten. Door een empirisch bepaalde weerstands-coëfficient inclusief het getal van Reynolds in te vullen in de standaard formule voor weerstand van een nat oppervlak in water kwamen we op een formule voor de weerstand op de plank: 1

Fdb = 12 ρw Vr2 Ab 0.074( ρw µlb Vr )− 5 Op eenzelfde manier als de liftkracht op het zeil hebben we de liftkracht op de vin bepaald, maar dan met waarden van water in plaats van lucht. Voor Γ0f , Flf en FLf krijgen we dan: Γ

Γ0f = πBf Vr sin (γ − tan−1 4lf0fVr ) Flf = π4 ρw Vr lf Γ0f q Γ FLf = Flf2 (1 + tan2 (tan−1 ( 4lf0fVr ))) We zien dat deze Γ0f net als Γ0 in zichzelf zit. We maken weer gebruik van de Newtonmethode. Dit doen we met een gok voor de drifthoek γ, want ook die bepalen we later met de Newton-methode. Op dezelfde manier als de krachten op het zeil hebben we de de liftkracht in het water in paragraaf 3.1 ontbonden in een component evenwijdig aan en een component loodrecht op de vaarrrichting: Γ

Ff // = FLf sin (tan−1 ( 4lf0fVr )) Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ ) = 0.21 · Ff ⊥ Met deze formules kwamen we tot de volgende vergelijking voor on snelheidsevenwicht (3.5): F// + Fdb + Ff // = 0

(4.1)

In deze drie krachten zit de snelheid Vr die we willen bepalen. Dit doen we met behulp van de Newton-methode met nog steeds een gok voor de drifthoek γ. In paragraaf 3.4 hebben we de armen bepaald voor ons stabiliteitsevenwicht. Hiermee kregen we voor het moment van de surfer de volgende uitdrukking: Fs · arm(Fs ) = 4, 46 · surfermassa · surferlengte De zijwaartse momenten op het zeil en op de vin werden respectievelijk: F⊥ · arm(F⊥ ) = F⊥ ·

q B0 B −2B0 + (4B02 +4As ( T Rl − l0 ) B

Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ ) = 0.21 · Ff ⊥

0 − 2( T Rl

B0 ) l

Het moment dat de surfer moet compenseren moet gelijk zijn aan de andere zijwaartse momenten. We krijgen dan voor ons stabiliteitsevenwicht (3.6): Fs · arm(Fs ) = F⊥ · arm(F⊥ ) + Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ )

(4.2)

Dit lossen we niet op! We kijken alleen hoe groot F⊥ · arm(F⊥ ) + Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ ) is. Deze uitdrukking moet dus kleiner of gelijk zijn aan het moment dat de surfer kan leveren. Uit het

4.2. DE UITWERKING VAN ONS MODEL

31

resulterende krachtenevenwicht in de dwarsrichting: F⊥ = Ff ⊥ volgt de drifthoek. Alweer met behulp van de Newton-methode. In totaal gebruiken we dus vier Newton-methodes voor Γ0 , Γ0f , γ en Vr . In de volgende paragrafen zullen we dieper ingaan op de werking hiervan.

4.2

De uitwerking van ons model

Ons model rekent met twee vergelijkingen: de eerste vergelijking heeft krachtcomponenten in voor- en achterwaartse richting (vergelijking (3.5), het snelheidsevenwicht):

F// + Fdb + Ff // = 0 Waarbij F// het krachtcomponent in voorwaartse richting van de 3D-kracht in het zeil is, Fdb is de weerstandskracht in achterwaartse richting van het surfboard en Ff // is de weerstandskracht in achterwaartse richting van de vin. Hoe deze krachtcomponenten eruit zien kunt u teruglezen in de voorgaande paragraaf. Ook hebben we een vergelijking in zijwaartse richting loodrecht op de voorwaartse richting (vergelijking (4.2), het stabiliteitsevenwicht):

Fs · arm(Fs ) = F⊥ · arm(F⊥ ) + Ff ⊥ · arm(Ff ⊥ ) Waarbij Fs de kracht is die de surfer levert, F⊥ is de krachtscomponent van de 3D-kracht op het zeil loodrecht op F en FLf is de liftkracht op de vin (die staat loodrecht op Ff // ). Uitdrukkingen voor deze krachten en armen zijn wederom te vinden in paragraaf 4.1. De vergelijkingen voor Γ0 , Γ0f en de vergelijking voor ons snelheidsevenwicht (4.1) uit paragraaf 4.1 zijn niet lineair. Daarom gebruiken we de Newton-methode om Γ0 en Γ0f te vinden en we gebruiken de Newton-methode om de drifthoek γ en de snelheid van de windsurfer Vr te vinden (zie paragraaf 3.5). Alle variabelen uit paragraaf 4.1 zijn bekend, behalve γ en Vr . We geven α’s (de hoek die de vaarrrichting aangeeft) en β’s (de hoek die de zeilstand aangeeft) aan ons model mee en de vergelijking (4.1) wordt voor alle α’s en β’s opgelost. Als γ en Vr eenmaal gevonden zijn kunnen we die invullen in de formule voor het stabiliteitsevenwicht (4.2) en onderzoeken of de momenten op het zeil en op de vin bij elkaar opgeteld gecompenseerd kunnen worden door het moment van de surfer. De snelheden waarbij de surfer de andere zijwaartse momenten niet kan compenseren kan de surfer natuurlijk niet halen. Dit kost teveel kracht. Als eerste letten we dus op de krachten bij de α’s, β 0 s en bijbehorende snelheden. Als tweede kijken we naar de loslatingshoek van de wind in het zeil: δ. Ook dit is belangrijk, want als δ veel groter dan 15 graden wordt krijgen we loslating. Snelheden waarbij δ veel groter is dan 15o worden dus ook niet gehaald. Als derde kijken we naar de snelheden voor alle α0 s en β’s zodat we kunnen zien wat voor snelheden we kunnen bereiken. Een uitleg met behulp van een voorbeeld hoe het allemaal in zijn werk gaat volgt later. We leggen eerst uit hoe de Newton-methode in het algemeen en in ons geval werkt en hoe we daarmee oplossingen voor onze vergelijking zoeken.

32

4.3 4.3.1

HOOFDSTUK 4. DE NUMERIEKE UITWERKING VAN HET MODEL

De Newton-methode De werking van de Newton-methode

De Newton-methode is een numeriek algoritme om nulpunten van een functie te bepalen (in ons geval willen we bijvoorbeeld weten wat de snelheid Vr wordt als we alle krachten met hun richtingen bij elkaar opgeteld gelijk stellen aan 0). Het algoritme convergeert kwadratisch. Dit betekent: de fout na iteratie n + 1 is evenredig met het kwadraat van de fout na iteratie n. Hierdoor convergeert het algoritme erg snel. Dit is erg nuttig voor ons programma aangezien we de Newton-methode meerdere keren binnen elkaar gebruiken. Helaas wordt er van het algoritme vaak gezegd dat het niet erg robuust is. In ons geval hoeft het algoritme geen hele moeilijke dingen te doen waardoor het uitstekend werkt. We hebben het algoritme nodig, omdat onze vergelijkingen van paragraaf 4.1 niet allemaal lineair zijn. De vergelijkingen voor Γ0 en Γ0f zijn impliciet en met de hand of simpel rekenwerk lastig oplosbaar. De Newton-methode gebruikt een functie en zijn afgeleide. Laten we deze f (x) en f 0 (x) noemen. Zoals gezegd willen we het nulpunt van die functie zoeken. We starten vanaf een beginwaarde x0 en zoeken een waarde x1 die dichter bij het nulpunt ligt. Dit doet de Newtonmethode als volgt: het berekent de raaklijn door f (x0 ) aan de kromme f (x). Het snijpunt van de raaklijn met de x-as wordt de nieuwe waarde x1 . Met de Newton-methode krijgen we dus: f (x0 ) x1 = x0 − 0 f (x0 ) We hebben dan de volgende situatie:

Figuur 4.1: Een eerste iteratie van de Newton-methode

Om verder te gaan gebruiken we nu de waarde x1 om een waarde x2 te vinden die dichter in het buurt van het nulpunt ligt. In het algemeen geldt dus: xn+1 = xn −

f (xn ) f 0 (xn )

Zo laten we de Newton-methode net zo lang doorgaan totdat we binnen een vooraf ingestelde foutmarge zitten. Voor de duidelijkheid behandelen we een voorbeeld:

4.3. DE NEWTON-METHODE

4.3.2

33

Een voorbeeld van de Newton-methode

2 − 2 met als beginwaarde x = 2. We willen dus oplossen We nemen de functie f (x) = x√ 0 f (x) = 0 met als uitkomst x = 2 ≈ 1.4142135623730951. Met de Newton-methode krijgen we:

xn+1 = xn −

x2n − 2 2xn

Dit resulteert in de volgende waarden: x0 x1 x2 x3

=2 = 1.5 met fout 8.6 · 10−2 = 1.41667 met fout 2.5 · 10−3 = 1.4142156862745099 met fout 2.1 · 10−6

Bij deze eenvoudige functie wordt al na drie iteraties een goede benadering gegeven. De fout wordt per iteratie snel kleiner (zoals gezegd kwadratisch). Bij moeilijkere (impliciete) functies zoals in deze thesis zijn er meer iteraties nodig. We proberen een zo klein mogelijke foutmarge te creëren en tegelijkertijd willen we de rekentijd ook niet te lang laten worden.

4.3.3

Onze Newton-methode

We gebruiken de Newton-methode zoals we deze ge¨ımplementeerd hebben, deze ziet er als volgt uit: (A, B) = Newton(functie, afgeleide van de functie, beginwaarde, tolerantie, aantal iteraties, alle iteraties nodig ja/nee) A en B zijn de variabelen die de Newton-methode teruggeeft. De methode berekent het nulpunt van de functie met behulp van zijn afgeleide. Deze afgeleide maken we in ons model als de functiewaarde in het punt x + 0.00001 - de functiewaarde in het punt x delen door de stapgrootte 0.00001. Deze benadering is goed genoeg voor ons doel. De beginwaarde maakt niet zo heel veel uit. Deze stellen we in afhankelijk van waar we de Newton-methode voor gebruiken (bijvoorbeeld 30, 0.5 of 1). De tolerantie stellen we in op 1e-1 of 1e-2, afhankelijk van hoe exact we de oplossing willen hebben. Het maximaal aantal iteraties stellen we in op 50 en we gebruiken een 0 om aan te geven dat we niet alle iteraties per sé nodig hebben. We roepen de Newton-methode aan met een functie. Deze functie gebruikt de formules uit paragraaf 4.1. Hiermee wordt Vr berekend. In deze functie staat nog een Newton-methode om de juiste drifthoek (γ) te vinden. Dit werkt op dezelfde manier. We gebruiken de Newtonmethode in totaal vier keer: voor de circulaties Γ en Γ0f , want de uitdrukkingen hiervoor zijn niet lineair, en voor de snelheid (Vr ) en de bijbehorende drifthoek (γ). Vandaar dat het programma er een tijd over doet, want deze vier Newton-methodes worden uitgevoerd voor alle α en β tussen de eerder aangegeven grenzen.

34

4.4


Een voorbeeld van de werking van ons model

In deze paragraaf geven we een voorbeeld ter illustratie van ons model. De invoer van ons model is als volgt: 1. Het zeiloppervlak (S) 2. De ”taper ratio” van het zeil (verhouding tussen de breedte aan de onderkant en aan de bovenkant van het zeil) 3. De lengte van de surfer 4. Het gewicht van de surfer 5. De windsnelheid 6. De minimale hoek α, deze hoek geeft de koers aan (zie figuur 2.1) 7. De maximale hoek α 8. De minimale hoek β, deze hoek geeft de stand van het zeil aan (zie figuur 2.1) 9. De maximale hoek β In ons voorbeeld gebruiken we waarden die ongeveer bij het wereldrecord horen. We hebben dan de volgende invoer: - Zeiloppervlakte (m2 ): 4.8 - Zeil ratio: 4 - Surfer lengte (cm): 185 - Surfer gewicht (kg): 100 - Ware windsnelheid (knopen): 40 -

Minimale windhoek (α in graden): 0 Maximale windhoek (α in graden): 170 Minimale zeilhoek (β in graden): 0 Maximale zeilhoek (β in graden): 90

We laten α lopen van 0 tot 170 graden. Een α van 0 graden houdt in dat de wind recht van voren komt en een α van 180 graden betekent dat de wind recht van achteren komt. Omdat er geen sprake meer is van lift als de wind recht van achteren komt en je dus hele rare waarden krijgt met ons model laten we α van 0 tot 170 graden lopen. De hoogste snelheid zal toch niet behaald worden met een α van 180 graden. Een β van 0 graden houdt in dat het zeil helemaal is dichtgetrokken (evenwijdig aan de plank) en een β van 90 graden betekent dat het zeil helemaal open is (haaks op de plank). In ons model zullen we α en β altijd tussen deze waarden laten lopen. Na de invoer kunnen we meteen de zeilen de surfereigenschappen zien en het programma begint met het rekenen aan de krachtenevenwichten. De zeilen surfereigenschappen zijn als volgt:

4.4. EEN VOORBEELD VAN DE WERKING VAN ONS MODEL

35

Zeil eigenschappen: Mast lengte: 3.93 m Hoogte van het zeil bij planeren: 3.54 m Breedte van het zeil op h = 0: 2.17 m Breedte van het zeil op h = l: 0.54 m Hoogte van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil: 1.28 m Hoogte van het ellipisch profiel van het zeil: 1.41 m Surfer eigenschappen Maximale moment van de surfer: 826 N m. Deze wordt door het model bepaald met behulp van vergelijking (3.7). Na ongeveer 20 minuten rekenen met een Q6600-processor @2.4 GHz is matlab klaar, en produceert het volgende plaatje:

Figuur 4.2: Zeil: 4.8 m2 , ratio 4, surfer van 1.85 m en 100 kg, windsnelheid: 40 knopen

36


In figuur 4.3 zien we nog een keer ons model met daarin de hoeken α, β en δ. Deze hoeken zijn belangrijk in de figuren uit ons model.

Figuur 4.3: Ons model

Een grafiek die uit ons model rolt is in ons geval een figuur met een x-as en een y-as die respectievelijk de α en β voorstellen uit ons model. Zoals ingevoerd loopt α van 0 tot 170 graden en β loopt van 0 tot 90 graden. In het figuur zijn een drietal verschillende soorten lijnen te zien: een dikke lijn voor het maximale moment van de surfer, dunne lijntjes voor snelheden en stippellijntjes voor de ”hoek van loslating” in ons model (δ). Laten we beginnen met het maximale moment: onder deze dikke lijn wordt hoek β kleiner. Dit betekent dat de surfer zijn zeil verder dicht trekt, wat meer moment dan het maximaal haalbare kost. We kunnen dus alleen snelheden halen die boven de dikke lijn liggen. Ook is de hoek van loslating δ belangrijk. Dit zijn de stippellijnen in de figuur. Deze hoek van loslating mag niet veel groter zijn dan een graad of 15 (de rode lijn), anders krijgen we loslating van de wind in ons zeil. De lijn van 15 graden hebben we rood gemaakt. We moeten dus niet ver onder de lijn van 15 graden blijven om realistische snelheden te halen. We zien dat de snelheden hoger worden naarmate we het zeil meer dicht trekken (β wordt kleiner). We willen dus vaak zo laag mogelijk kijken terwijl we nog wel aan onze randvoorwaarden voldoen voor een zo hoog mogelijke realistische snelheid. Deze hoogste snelheid zal meestal behaald worden rond het snijpunt van het maximale moment en de lijn van δ = 15 graden. Dit is niet altijd het geval. We zullen dit later gaan zien. In sommige gevallen is bijvoorbeeld het moment of de loslatingshoek helemaal niet belangrijk. Dan zal de hoogste snelheid op de andere lijn liggen die wel belangrijk is. Als het moment van belang is, dan wordt de hoogste snelheid gehaald in het raakpunt tussen de dikke lijn en de hoogste snelheidslijn waarvoor er nog een raakpunt is. Hiernaar kunnen we gaan kijken of we voldoen aan de loslatingshoek van 15 graden. Zo vinden we altijd de maximale snelheid. In dit voorbeeld ligt de hoogste snelheid op het snijpunt (in het vierkantje). Dit kun je

4.4. EEN VOORBEELD VAN DE WERKING VAN ONS MODEL

37

goed zien als je de dunne snelheidslijn van 26 m/s volgt en er vanuit gaat dat je boven de dikke lijn en links van de stippelijn van δ is 15 graden moet blijven. Dan kom je in het snijpunt van deze twee lijnen het dichtst bij 26 m/s in de buurt. Het snijpunt ligt ongeveer bij α = 110 graden en bij β = 31 graden. Deze waarden voeren we in: - Geef de windhoek (graden): 110 - Geef de zeilhoek (graden): 31 Hierna komt het volgende uit ons model: Characteristics Maximum velocity = 25.3 m/s (49.1 knt) Sail/board angle = 31 degrees Apparent wind velocity = 26 m/s (51 knt) Heading/apparent wind angle = 46.96 degrees Sail/apparent wind angle (δ) = 15.24 degrees Induced wind angle = 8.32 degrees Propellant air force = 470.73 Newton Perpendicular air force = 588.70 Newton Total lift force sail = 753.76 Newton Total drag force board = 390.49 Newton Fin/incoming water angle (γ) = 0.73 degrees Induced fin angle = 0.21 degrees Drag force fin = 2.21 Newton Perpendicular force fin = 588.77 Newton Total lift force fin = 588.78 Newton Total momentum sail + fin = 822.99 N m We zien dat hoek δ ongeveer 15 graden is en dat onze ”total momentum” rond de 825 N m ligt die we mochten halen. De surfer haalt in dit geval zijn hoogste snelheid (25.3 m/s) als hij surft onder een hoek van 110 graden en hij zijn zeil dichttrekt tot op 31 graden. We merken op dat we dicht bij de wereldrecordsnelheid in de buurt zitten. Het wereldrecord ligt namelijk op ongeveer 25.2 m/s. In onze paragraaf over mogelijk surfkoersen (paragraaf 1.3) trokken we de conclusie dat een langsgetuigd schip (dus ook een surfer) het snelst kon surfen op een halfwindse koers (α tussen de 80 en de 100 graden). Dit geldt bij koersen van boten. De snelste koers van een windsurfer bij een grote windkracht is meer een ruimwindse koers dan een half windse koers (in ons geval dus 110 graden). Dit komt doordat een windsurfer minder massa heeft dan een schip. Hierdoor wordt de drifthoek bij een half windse koers best wel groot ten opzichte van een ruimwindse koers. Bij een ruimwindse koers zal een surfer dus sneller gaan. Hoe meer een surfer planeert, hoe meer wind een surfer van achter nodig heeft om het planeren vol te

38 kunnen houden.


Hoofdstuk 5

Parameterstudie We gaan een parameterstudie doen waarbij we verschillende invoerwaarden variëren. We beginnen met het variëren van het gewicht en de lengte van een surfer, daarna gaan we zeilgroottes variëren (zowel bij harde wind als bij normale wind). Tot slot gaan we zeilvormen variëren. Hierbij vinden we door middel van onze plotjes steeds de maximale snelheden en de bijbehorende α’s en β’s. Deze α’s en β’s proberen we steeds te verklaren.

5.1

Variatie van het gewicht en de lengte van de surfer bij harde wind

In deze paragraaf variëren we het gewicht en de lengte van de surfer. Het zeiloppervlak houden we op 4.8 m2 , de taper ratio op 4 en de windsnelheid houden we op 40 knopen. Er ontstaat de volgende tabel: Het eerste geval is al uitgewerkt in het voorbeeld van het vorige figuur lengte(cm) gewicht(kg) α(o ) β(o ) max. snelheid (m/s) maximale moment (N m)

4.4 185 100 110 31 25.5 826

5.1 200 100 108 30 25.6 893

5.1 185 120 106 28 26.4 991

hoofdstuk. De figuren van de andere twee gevallen staan op de volgende pagina. We volgen weer de dunne snelheidslijn van 25 m/s en kijken hoe we daar het verst onder kunnen zitten als we boven de dikke lijn en links van de δ = 15 graden lijn moeten zitten. Hierdoor krijgen we de waarden voor α en β en uiteindelijk de snelheden. We zien dus het volgende: Hoe zwaarder en langer een surfer, des te sneller hij kan snelheidswindsurfen onder ideale omstandigheden. Hierbij zorgt een kleine verandering van gewicht voor een hogere snelheidsverhoging dan een kleine verandering van lengte. Ook zien we dat er een iets andere koers gevaren moet worden om de maximale snelheid te halen. Een langere en/of zwaardere surfer kan het zeil net iets verder dichttrekken waardoor we een hogere snelheid krijgen bij een lagere β. Ook surfen langere en/of zwaardere surfers iets meer tegen 39

40

HOOFDSTUK 5. PARAMETERSTUDIE

de wind in (natuurlijk hebben ze nog steeds de wind wel meer van achteren dan van voren) om een hogere snelheid te krijgen (hogere α). Dit kost ook meer kracht.



5.2. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ HARDE WIND

5.2

41

Variatie van zeilgroottes bij harde wind

Als we de groottes van het zeil gaan variëren bij harde wind blijven de rest van de variabelen hetzelfde. We houden de taper ratio op 4, de lengte van de surfer op 1m85, het gewicht van de surfer op 100 kg en de windsnelheid houden we op 40 knopen. Het maximale moment van de surfer is dan overal hetzelfde, namelijk de bij een surfer van 1m85 en 100 kg horende 826 N m van de vorige paragraaf. Er ontstaat de volgende tabel: figuur zeiloppervlak (m2 α(o ) β(o ) max. snelheid (m/s)

5.4 2 75 23 19.8

5.5 3.8 99 28 24.6

4.4 4.8 110 31 25.3

5.6 6.8 124 35 25.3

5.7 8.8 128 38 25.3

5.8 15 135 46 24.5

Op dezelfde manier als in de vorige paragraaf hebben we de α’s en β’s met hun bijbehorende maximale snelheden gevonden. De resultaten met een zeil van 4.8 m2 staan bij het voorbeeld uit het vorige hoofdstuk. We zien meteen dat de isolijnen van de snelheid liggen bij ieder zeil anders. Hoe groter het zeil, hoe hoger de snelheid ligt bij dezelfde α en β. Vergelijk bijvoorbeeld eens de figuren 5.4 en 5.8 met elkaar. Helaas zorgt een groter zeil voor meer moment dus de isolijnen van de surfer gaan ook omhoog in het α-β-plaatje. Resultaat: beide isolijnen gaan omhoog dus de hoeken α en β veranderen. Ook zien we dat bij zeilen van 4.8 m2 tot en met ongeveer 9 m2 ongeveer dezelfde maximale snelheden gehaald worden (25.3 m/s). Vanaf een zeilgrootte van 8.8 m2 begint de snelheid echt te dalen (zie de dikke lijn in figuur 5.3, de dunne lijn hoort bij de hoeken α). Een zeilgrootte onder de 4.8 m2 zorgt veel sneller voor een lagere maximale snelheid. Hoe kleiner een zeil, hoe makkelijker windsurfen is. Als windsurfer is het een stuk fijner om al hangend een kleiner zeil helemaal dicht te trekken dan moeite doen voor een groot zeil. Daarom kunnen windsurfers beter een kleiner zeil van rond de 4.8 m2 pakken om het snelheidsrecord te behalen.

Figuur 5.3: opp zeil en Vmax bij ratio 4, lsurfer 1m85, msurfer 100 kg en Wo 40 knopen We zien ook dat hoe kleiner het zeil, hoe verder we het zeil dicht kunnen trekken (β is kleiner als het zeil kleiner is, zie figuren 5.4, 5.5 en 4.4). Ook moeten we een significant andere

42


koers varen bij het variëren van groottes van zeilen (α). Hoe groter het zeil, hoe meer een windsurfer voor de wind moet gaan varen om zijn maximale snelheid te behalen. Als een surfer helemaal voor de wind vaart kan hij nooit sneller dan de wind zelf. Dit zal dus niet de gunstigste koers zijn om een maximale snelheid te behalen. Bovendien is een heel groot zeil bij variërende windstoten erg moeilijk te houden. In ons model zit er niet echt een onder- of bovengrens aan de grootte van het zeil. Wel is het zo dat plaatjes bij hele kleine zeilen (onder de 2 m2 ) niet echt realistisch meer zijn. De snelheden worden dan namelijk zo laag dat er geen sprake meer is van planeren. Iets waar wij wel vanuit gaan in ons model. Verder merken we op dat het moment er niet toe doet in het figuur bij een zeiloppervlak van 2 m2 (figuur 5.4). In dit geval hoeven we alleen maar rekening te houden met de loslatingshoek. Bij een zeil van 2 m2 surft een windsurfer redelijk tegen de wind in om met het dichttrekken van zijn zeil zoveel mogelijk liftkracht om te zetten in snelheid. Bij een zeil van 15 m2 (figuur 5.8) zien we dat een surfer zijn zeil totaal niet meer dicht kan krijgen (grote β), wel surft hij ongeveer net zo ver voor de wind als bij een zeil van 8.5 m2 (α). Ook zien we dat de maximale snelheid niet meer gehaald wordt in het snijpunt van de loslatingshoek en het moment, net zoals bij een zeil van 2 m2 , alleen de loslatingshoek is hier voor het behalen van de maximale snelheid niet belangrijk. Bij zeilen groter dan 15 m2 is β nog groter.


5.2. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ HARDE WIND



43

44




5.3. VARIATIE VAN ZEILGROOTTES BIJ EEN NORMAAL PERSOON EN NORMALE WIND45

5.3

Variatie van zeilgroottes bij een normaal persoon en normale wind

We gaan nu kijken wat er gebeurt als we de groottes van het zeil variëren bij een pittige windsnelheid voor een normale surfer. Hierbij stellen we de windsnelheid in op 20 knopen (windkracht 5). We gebruiken een normaal persoon van 1m80 en 75 kg. De taper ratio blijf 4: We hebben de figuren op de volgende pagina’s. Wat zien we nu? In het figuur 5.9 zien figuur zeiloppervlak (m2 α(o ) β(o ) max. snelheid (m/s)

5.9 4 80 20 12.3

5.10 7.5 105 21 15.6

5.11 15 123 31 15.4

we nog net een dikke lijn van het maximale moment van de surfer. In principe kan de surfer dus qua kracht het zeil helemaal dichttrekken onder bijna iedere hoek die hij surft. In ieder geval de hoeken die haalbaar zijn met betrekking tot de loslatingshoek. We hebben dus nog steeds te maken met de lijn van de loslatingshoek. De snelheid van de surfer is hiervan afhankelijk. Als we de lijn van δ = 15 graden volgen zien we dat de surfer een maximale snelheid kan halen van tussen de 10 en de 15 m/s. Hij komt het dichtste bij in α = 80 en β = 20 graden. Als we kijken naar een zeil van 7.5 m2 , dan zien we dat een surfer sneller kan gaan. In figuur 5.10 zien we dat het maximale moment al meer invloed begint te krijgen. Om de hoogste snelheid te meten hebben we dit keer het snijpunt nodig van het moment en de loslatingshoek. Door de grootte van het zeil liggen de snelheden in onze grafiek wel hoger waardoor we ook een hogere snelheid behalen (15.6 m/s). In figuur 5.11 is het moment zo belangrijk geworden dat de surfer het zeil niet meer kan houden onder bepaalde hoeken. Hij kan dus een iets minder hoge snelheid halen (15.4 m/s). Ook is het maar de vraag of een surfer zo’n groot zeil uit het water kan trekken. De grote verschillen per figuur zijn vooral de snelheidslijnen. Hoe groter een zeil, hoe hoger de snelheid die we onder dezelfde hoek kunnen halen. Wel is het zo dat de kracht die de surfer moet hebben om het zeil te houden ook mee omhoog gaat. Er komt dus eigenlijk een extra voorwaarde bij (het maximale moment) waaraan we moeten voldoen bij grotere zeilen. Zo zien we, dat bij een te groot zeil, we een minder hoge snelheid kunnen halen door het maximale moment dan bij een vergelijkbaar kleiner zeil. De conclusie is dat de grootte van het zeil die je wilt gebruiken om de hoogste snelheid te halen zeer afhankelijk is van de windsnelheid, je gewicht en je lengte. Voor iedere combinatie van surfer en windsnelheid zal er een ander ”perfect” snelheidszeil zijn. Ook is het gewicht en de lengte minder belangrijk bij een lagere snelheid. Een surfer heeft namelijk minder moment nodig om het zeil omhoog te houden. Als laatste geven we de opmerking dat een surfer onder windkracht 3 niet kan planeren. Dit geldt bij 7 tot 10 knopen. Ook wordt de situatie al heel anders in een race waarin bochten gemaakt moeten worden. Dan hebben de surfer vaak wel grote zeilen omdat de windkracht niet al te hoog ligt, maar een té groot zeil is niet handig. Laveren is namelijk erg zwaar met een heel groot zeil.

46




5.4. VARIATIE VAN ZEILVORM

47


5.4

Variatie van zeilvorm

Als laatste kijken we wat er gebeurt als we de vorm van het zeil aanpassen. We nemen een rechthoekig zeil (ratio 1.1), een normaal zeil (ratio 4) en een driehoekig zeil (ratio 1000). De andere variabelen houden we gelijk. We nemen een zeiloppervlak van 4.8 m2 , een surferlengte van 1m85, een surfergewicht van 100 kg en een ware windsnelheid van 40 knopen. We krijgen de volgende tabel: Met de bijbehorende figuren komen we al gauw tot de conclusie dat een figuur taper ratio α(o ) β(o ) max. snelheid (m/s)

5.13 1000 89 25 23.7

4.4 4 110 31 25.3

5.12 1.1 128 36 25.5

rechthoekig zeil beter is dan een driehoekig zeil. We zien zelfs dat we met een rechthoekig zeil een net iets hogere maximum snelheid halen dan met een zeil van taper ratio 4. Waarom gebruiken surfers dan geen rechthoekige zeilen? Dat heeft te maken met het materiaal. Het zeil moet ook bovenin goed strak blijven om de windkracht zo goed mogelijk te verdelen. Als we een rechthoekig zeil gebruiken is het erg moeilijk om het zeil aan de bovenkant strak te houden met behulp van het gebruikte materiaal. Daarom gebruiken windsurfers een niet helemaal rechthoekig zeil. Gelukkig wordt de kwaliteit van het materiaal steeds beter, waardoor windsurfers steeds meer naar een rechthoekiger zeil gaan om een hogere snelheid te halen. Verder zien we dat de verschillen in snelheden niet zo groot zijn als in de vorige paragra-

48


fen. Het gaat hier dus echt om het finetunen. Met beter materiaal kunnen surfers een rechthoekiger zeil gebruiken om een iets hogere snelheid te halen. Een driehoekig zeil moeten ze niet gebruiken. Verder zien we dat we ons zeil verder dicht moeten trekken naarmate we een driehoekiger zeil gebruiken. Ook zien we dat hoe rechthoekiger het zeil, hoe meer we voor de wind moeten gaan varen. Met een rechthoekig zeil maken surfers meer gebruik van hun kracht en de wind, wat resulteert in een hogere snelheid.

Figuur 5.12: Zeil: 4.8 m2 , ratio 1.1, surfer van 1.85 m en 100 kg, windsnelheid: 40 knopen

5.4. VARIATIE VAN ZEILVORM

49


50


Hoofdstuk 6

Samenvatting en conclusie De aanleiding van deze thesis was een klein Duits onderzoek naar het behalen van het wereldrecord bij windsurfen ([1]). We kwamen er achter dat het onderzoek naar het behalen van een zo hoog mogelijke windsurfsnelheid nauwkeuriger kon. Hierbij hebben we gebruik gemaakt van potentiaaltheorie, vleugeltheorie en ingenieursformules. We zijn begonnen met het nemen van een kijkje naar het echte wereldrecord surfen en de factoren die hierbij een rol spelen. Daarna hebben we een voorbeeldsituatie toegelicht waardoor het goed duidelijk werd welke krachten en hoeken er allemaal een belangrijke rol spelen binnen het windsurfen. Op grond van deze voorbeeldsituatie hebben we ons eigen mathematisch model gecreëerd. Voordat we dit deden hebben we gekeken welke surfkoersen er zijn en welke surfkoersen goed en minder goed zijn voor het behalen van een hoge topsnelheid bij schepen. Later kwamen we er achter welke koersen bij het windsurfen het beste zijn. Om hierover iets te concluderen is ons onderzoek als volgt gegaan: We begonnen met het definiëren van de variabelen in ons model waarna we een kijkje namen naar de aerodynamische krachten. Hierin speelt de circulatie een grote rol. We vonden een formule voor de 2D-liftkracht met behulp van circulatie, met in ons achterhoofd dat een zeil een eindige hoogte heeft. Uiteindelijk verkregen we een formule voor de 3D-kracht met behulp van het bekijken van tipwervels en downwash inclusief de bijbehorende 3D-potentiaaltheorie: er ontstond een ge¨ınduceerde hoek δi tussen de 2D en de 3D-kracht en een ge¨ınduceerde weerstand. Hierna konden we verder gaan met de hydrodynamische krachten. We gebruikten de standaardformule voor drag voor de wrijving op het surfboard waarin een (empirisch bepaalde) weerstandscoëfficient van de plank zit waar op zijn beurt het getal van Reynolds in zit. Dat is de reden dat we hierna een stukje over het getal van Reynolds en het getal van Froude schreven: de twee belangrijkste dimensieloze getallen uit de stromingsleer. Het getal van Reynolds wordt gebruikt om te bepalen of een stroming laminair is of turbulent. Het getal van Froude wordt gebruikt voor het beschrijven van het gedrag van vloeistofoppervlakken. We concludeerden de paragraaf over hydrodynamische krachten met een uitdrukking voor de 3D-liftkracht op de vin (dit is ongeveer dezelfde uitdrukking als de 3D-liftkracht op het zeil, maar dan met variabelen die betrekking hebben op de waterstroming in plaats van op de luchtstroming).

51

52

HOOFDSTUK 6. SAMENVATTING EN CONCLUSIE

Er begon een nieuw hoofdstuk over krachten en momenten. Hierin hebben we zowel de 3D-aerodynamische kracht en de 3D-hydrodynamische kracht ontbonden in een component evenwijdig aan de vaarrichting en een component hier loodrecht op waardoor we respectievelijk een snelheids en een stabiliteitsevenwicht verkregen. Bij het snelheidsevenwicht moet de som van alle krachten in voor- en achterwaartse richting (de krachten op het zeil, het board en de vin) gelijk zijn aan 0. Het stabiliteitsevenwicht is een momentenevenwicht met de krachten loodrecht op de vaarrichting en hun bijbehorende armen. Deze krachten moeten worden gecompenseerd door de kracht van de surfer en zijn arm. Aan het einde van dit hoofdstuk gingen we nog even kort in op de drift. Deze drift hangt namelijk af van de snelheid en wordt in ons programma bepaald met behulp van de Newton-methode. Nu kregen we een hoofdstuk over de numerieke uitwerking van ons model waarin we wat verder in gingen op deze Newton-methode. De formules voor de circulaties zijn niet lineair. Hier wordt de Newton-methode dus ook bij gebruikt. Verder gebruiken we de Newton-methode om zowel de snelheid als de drifthoek te bepalen zodanig dat we uiteindelijk tot een evenwicht komen. We begonnen dit hoofdstuk met alle samenvattende formules die we hiervoor nodig hadden en we eindigden dit hoofdstuk met de uitwerking van een voorbeeld van de werking van ons numerieke model. Hierna kon het hoofdstuk ”parameterstudie” beginnen. Met behulp van deze parameterstudie hebben we gezien dat er allerlei factoren een rol spelen om de maximale snelheid te halen bij het windsurfen. Hier gaat het alleen nog maar om hoge snelheden te halen als de windsurfer rechtdoor surft. Bij wedstrijden waarbij bochten gemaakt moeten worden zal de conclusie anders zijn. Hieronder volgt een korte samenvatting van de resultaten uit ons model met een kritische blik. We hebben gezien dat hoe groter en zwaarder de windsurfer, hoe hoger de snelheid is die de windsurfer kan halen. Hierbij hebben we geen rekening gehouden met het feit dat de wrijvingskracht van de plank groter wordt omdat de plank dieper in het water komt te liggen door de zwaardere en grotere surfer. Zelfs bij planeren zou dit een beetje verschil moeten maken. Ook hebben we gezien dat bij wereldrecord wind, we liever een niet zo groot zeil willen hebben om het wereldrecord te surfen, anders kan de windsurfer het zeil niet meer houden. Bij een normaal persoon en normale wind is dit heel anders. Dan heeft een groot zeil de voorkeur om veel wind te vangen voor het behalen van de hogere snelheid. De kracht die nodig is om het zeil overeind te houden is hier minder van belang. Als laatste hebben we gezien dat het ongunstigste zeil een driehoekig zeil is. Een rechthoekig zeil is het gunstigste zeil. Toch gebruiken windsurfers een wat minder rechthoekig zeil omdat het erg lastig blijkt om het zeil bovenaan strak te houden met het oog op de sterkte en de flexibiliteit van het materiaal.

Bijlage A

Rπ

cos (θ)

Het bewijs van 0 cos (φ)−cos (θ) dθ = −π We starten het bewijs met de linkerkant: Z π 0

cos (θ) dθ cos (φ) − cos (θ)

We halen een sin (φ) binnen de integraal en vermenigvuldigen daarom de integraal met zodat we krijgen: Z π 1 cos (θ) sin (φ) = dθ sin (φ) 0 cos (φ) − cos (θ) Met

sin (φ) cos (φ)−cos (θ)

1 sin (φ)

φ+θ = − 21 (cot ( φ−θ 2 ) + cot ( 2 )) door middel van goniometrie: de formules van

Simpson en cot (α) =

cos (α) sin (α)

krijgen we dan:

1 =− 2 sin (φ)

Z

π

cos (θ)(cot ( 0

φ−θ φ+θ ) + cot ( ))dθ 2 2

Dit is hetzelfde als de integraal van −π tot π met alleen de cot ( φ+θ 2 ): Z π 1 φ+θ =− cos (θ) cot ( )dθ 2 sin (φ) −π 2 Met een co¨ ordinatentransformatie x = φ + θ, dus θ = x − φ krijgen we: Z π x 1 =− cos (x − φ) cot ( )d(x − φ) 2 sin (φ) −π 2 d Met dx (x − φ) = 1, dus d(x − φ) = dx en cos (x − φ) = cos (x) cos (φ) + sin (x) sin (φ) krijgen we het volgende: Z π 1 x =− (cos (x) cos (φ) + sin (x) sin (φ)) cot ( )dx 2 sin (φ) −π 2

cos (φ) en sin (φ) buiten de integraal halen en de integraal splitsen geeft: Z π Z cos (φ) x 1 π x =− cos (x) cot ( )dx − sin (x) cot ( )dx 2 sin (φ) −π 2 2 −π 2 53

54

BIJLAGE A. HET BEWIJS VAN

Rπ

COS (θ) 0 COS (φ)−COS (θ) Dθ

= −π

f (x) = cos (x) cot ( x2 ) is een oneven functie. Dat wil zeggen: f (−x) = −f (x). Daarom is de integraal over deze functie van −a tot +a voor alle a gelijk aan 0. Zo krijgen we: Z 1 π x =− sin (x) cot ( )dx 2 −π 2 Met goniometrie: sin (2α) = 2 sin (α) cos (α) en de definitie van de cotangens krijgen we: Z x 1 π 2 cos2 ( )dx =− 2 −π 2 De goniometrie-regel cos2 (α) =

1+cos (2α) 2

geeft: Z 1 π 1 + cos (x)dx =− 2 −π

Als laatste rekenen we deze integraal uit: 1 = − · 2π = −π 2

Bijlage B

Het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil In deze bijlage bepalen we een uitdrukking voor de hoogte H van het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil bij de volgende vier gegeven waarden: -

De De De De

oppervlakte van het zeil As (area sail). taper-ratio van het zeil T R. breedte aan het onderkant van het zeil op hoogte h = 0: B0 . mastlengte van het zeil l (van lengte).

Hierbij hoort het volgende figuur (met het zeil in het zwart):

Figuur B.1: Een zeil met bijbehorende gegeven waarden We hebben aangenomen dat de kracht uniform verdeeld is over de hoogte. We moeten dus de hoogte H in dit figuur bepalen waarbij geldt dat oppervlakte(I) = oppervlakte(II) = A2s . Dit gaan we doen met behulp van oppervlakte II. Een uitdrukking voor oppervlakte II is als 55

56

BIJLAGE B. HET AANGRIJPINGSPUNT VAN DE WINDKRACHT OP HET ZEIL

volgt (zwarte + rode deel - rode deel = rechthoek - driehoek): 1 oppervlakte II = B0 H − x(H)H 2 Waarbij x(H) de lengte van x op hoogte H is. Nu hebben we nog een uitdrukking voor x nodig. Een uitdrukking voor x op hoogte h gaat als volgt: de schuine zijde van de driehoek is een rechte lijn. Onderaan heeft de driehoek breedte 0 en bovenaan is de driehoek B0 − TBR0 breed. Met andere woorden: x(0) = 0 en x(l) = B0 − TBR0 . We komen dan op de volgende uitdrukking voor x(h): B0 − TBR0 x(h) = h( ) l x(H) wordt dan vanzelfsprekend dezelfde uitdrukking maar dan met een H op de plaats van h. Ondertussen werken we de haakjes weg: x(H) =

B0 H B0 H − l T Rl

Deze vullen we in de uitdrukking voor oppervlakte II in: B0 H 1 B0 H − )H oppervlakte II = B0 H − ( 2 l T Rl Haakjes wegwerken geeft: oppervlakte II = B0 H −

1 B0 H 2 1 B0 H 2 + 2 l 2 T Rl

Gelijkstellen aan de helft van het oppervlakte van het zeil 12 As en het opvolgorde zetten van de termen voor de abc-formule geeft ons nu uiteindelijk: B0 2 1 1 B0 ( − )H + B0 H − As = 0 2 T Rl l 2 Na het vermenigvuldigen van alle termen met 2 gebruiken we de abc-formule (alleen de positieve kant): √ −b + b2 − 4ac H= 2a We hebben de volgende termen voor a, b en c: 0 − a = TBRl b = 2B0 c = −As

B0 l

We krijgen nu met de abc-formule tot slot: q 0 −2B0 + (4B02 + 4As ( TBRl − H= B0 B0 2 T Rl − l )

B0 l )

Bijlage C

Ons programma SurfSimu C.1

Deel 1

Hieronder is het eerste deel van ons programma weergegeven. clear all; % PARAMETERS MEDIA: 5

10

rho_l = 1.184; rho_w = 1000; mu = 0.001003; knoop = 0.51444; % PARAMETERS PLANK: A_b = 1*.5; l_b = 1;

15

% PARAMETERS FIN: l_f = 0.28; B_f = 0.15; fin_area = 0.035;

20

25

30

35

40

fprintf(’\n’) fprintf(’ ******************************************************\n’) %fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ * surf model variables: *\n’) %fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ ******************************************************\n’) fprintf(’\n’) sail_area = input(’ - enter sail area (m2) ratio = input(’ - enter sail taper ratio fprintf(’\n’) lengtesurfer = input(’ - enter surfer length (cm) gewichtsurfer = input(’ - enter surfer weight (kg) fprintf(’\n’) wo = input(’ - enter true windspeed (knts) fprintf(’\n’) amax = 180 - input(’ - enter min. true wind angle (dgr) amin = 180 - input(’ - enter max. true wind angle (dgr) fprintf(’\n’) bmin = input(’ - enter min. sail angle (dgr) bmax = input(’ - enter max. sail angle (dgr)

57

: :

’); ’);

: :

’); ’);

:

’);

: :

’); ’);

: :

’); ’);

58

BIJLAGE C. ONS PROGRAMMA SURFSIMU

Zoals u kunt zien is het eerste commando ’clear all’ zodat we iedere keer met een schone lei beginnen als we onze file aanroepen. Hierna definiëren we een aantal parameters met hun bijbehorende waarden zoals de dichtheid van lucht, de dichtheid van water, de lengte van het natte oppervlak van het surfboard, het uiterlijk van de vin etc. Na de vaste parameters volgt de input die een negental parameters beslaat: 1. Het zeiloppervlak (S). 2. De ”taper ratio” van het zeil. Dit is de verhouding tussen de breedte van de onderkant van het zeil en de breedte van de bovenkant van het zeil. Een ”taper ratio” van 4 betekent dat de onderkant van het zeil 4 keer zo breed is als de bovenkant. Met bovenstaande twee punten berekent het model ongeveer hoe het zeil eruit ziet. Bijvoorbeeld: Hoe lang het zeil is, hoe hoog het aangrijpingspunt van de windkracht op het zeil ligt en hoe het elliptisch ”vleugel”-profiel eruit ziet (We gebruiken immers de vleugeltheorie in onze berekeningen). 3. De lengte van de surfer. 4. Het gewicht van de surfer. Met deze twee punten berekent het model het maximale moment die de surfer kan leveren met zijn gewicht en lengte (met betrekking tot zijn zwaartepunt). 5. De ware windsnelheid. 6 en 7. De minimale en de maximale hoek die de koers van de surfer aangeeft ten opzichte van de ware wind (α). 8 en 9. De minimale en de maximale hoek tussen het zeil en de koers (β). Nu worden er wat eigenschappen uitgeprint: % PARAMETERS ZEIL:

5

lsail=(.2570*sail_area + 2.8297)*0.87; % 0.87 is ongeveer cos 30 graden B = (2/(1+1/ratio))*sail_area/lsail; % breedte op l=0. Gelijk aan 4a (Zie stromingsleer dictaat). COM_sail= (-2*B + sqrt(4*Bˆ2 + 4*sail_area*(B / (ratio * lsail) - B / lsail))) / (2*(B /(ratio * lsail) - B l=2*sail_area/(pi*B); % MAXIMALE DRAAIMOMENT SURFER:

10

15

% % % % % %

Zwaartepunt ligt ongeveer bij je navel (staand is dat op 60 % totale lengte). Surfend is enigszins zittend, dus zeg nu op 50 % totale lengte. Maximale hoek is ca 25 graden, cos(25 graden) = 0.9, dus bij een gewicht van 100 kg en lengte van 1.85 m is het maximale draaimoment: Fz*arm = 100*9.81*0.9*1.85*0.5 = 816 Newton

maxmoment=gewichtsurfer*9.81*0.91*lengtesurfer*0.5/100;

20

25

fprintf(’\n\n’) fprintf(’ ******************************************************\n’) fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ * sail characteristics: *\n’) fprintf(’ * ----------------------*\n’) fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ * mast length : %6.2f m *\n’,lsail/0.9)

C.1. DEEL 1

30

35

40

45

fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’

59

planing hight sail : %6.2f m * *\n’,lsail) sail width at h=0 : %6.2f m * *\n’,B) sail width at top : %6.2f m * *\n’,B/ratio) sail center of mass : %6.2f m * *\n’,COM_sail) sail hight elliptic profile : %6.2f m * *\n’,l) * *\n’) surfer characteristics: * *\n’) ------------------------* *\n’) * *\n’) maximum momentum surfer : %6.2f Nm * *\n’,maxmoment) * *\n’) ******************************************************\n\n’)

matrix1(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0; matrix2(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0; matrix3(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0; matrixdelta(1:bmax-bmin+1,1:amax-amin+1) = 0; W_o = wo * knoop; fprintf(’Calculating max. velocities for alpha and beta range... \n’) tic;

Zoals we hierboven kunnen zien zijn de eigenschappen van het zeil en het maximale moment van de surfer al bekend voordat het programma echt begint met rekenen. Deze formules zijn te vinden in hoofdstuk 3. Verder printen we de zeileigenschappen en het maximale moment van de surfer alvast uit zodat we daar een kijkje naar kunnen nemen als het programma aan het rekenen slaat. We stellen drie nulmatrices op, we rekenen Wo om van knopen naar m/s, we printen een regel zodat we kunnen zien dat matlab bezig is en we gebruiken het commando ”tic” die later met ”toc” wordt afgesloten om te zien hoe lang matlab over de rekenpartij doet. Hierna begint matlab met rekenen: for a = amin:amax for b = bmin:bmax %

GIVEN ANGLES

5

alpha = (a / 360) * 2 * pi; beta = (b / 360) * 2 * pi;

10

[g,V_r] = Newton2(@(x)func_momentum(x,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment), @(x)dfunc_momentum(x,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment), .5, 1e-1, 50, 0); gamma = g /(360) * 2*pi; %

15

DRAG BOARD

C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5)); F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2; %

APPARENT WIND SPEED AND ANGLES

20

W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma)); lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a); delta = lambda - gamma - beta; hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de ware wind.

25

if hoekster
30

% De hoek tussen de schijnbare wind en het zeil.

SAIL CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

60

35

40

45


Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l), @(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50, 0); F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0; D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16; delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a)); F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2); F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L; F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2); %

FIN CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), @(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, 1e-2, 50, 0) ; F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f; D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16; Gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r)); F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2); F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i); F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i);

50

%

FILL MATRICES FOR COUNTOUR PLOTS if delta >= 0 matrix1(b-bmin+1,a-amin+1) = V_r; matrix2(b-bmin+1,a-amin+1) = F_loodrecht; matrix3(b-bmin+1,a-amin+1) = F_f_loodrecht; end matrixdelta(b-bmin+1,a-amin+1) = delta/(2*pi)*360;

55

end 60

end

65

fprintf(’\n’) toc sound(sin(0:1:10000)) fprintf(’\n’)

We zien hierboven dat we α en β laten lopen van minimale naar maximale waarden. Hoe groter we deze waarden kiezen, hoe langer matlab logischerwijs moet rekenen. Voor matlab rekenen we de hoeken om naar radialen. Hierna roepen we de Newton-methode aan die een nulpunt zoekt die hoort bij ons krachtenevenwicht uit hoofdstuk 2 (F// +Fdb +Ff // = 0). Deze Newton-methode geeft een drifthoek γ en een snelheid Vr terug (horende bij de juiste α en β). Hier komen we zometeen op terug. Na de Newton-methode zien we alle belangrijke formules uit de voorgaande hoofdstukken voorbijkomen. Uiteindelijk vullen we de matrices die we eerst op 0 hadden gesteld met de waarden van Vr (matrix 1), F⊥ (matrix 2), FLf (matrix 3) en de hoek δ (matrix 4). In deze matrices staan dus de waarden van deze parameters voor alle α en β. Als laatste printen we de tijd uit die aangeeft hoe lang matlab er over heeft gedaan met het commando ”toc”. Ook krijgen we een geluid dat aangeeft dat matlab klaar is met rekenen.

C.2

Deel 2

Hieronder staat de rest van het programma. plotcolor = input(’ - enter plotcolor fprintf(’\n’) fprintf(’Making plot... \n’) fprintf(’\n’) 5

:’,’s’);

C.2. DEEL 2 %

61

CONTOUR PLOTS (TWICE)

figure(1); 10

15

[C1,h1] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrix1,[5 5;10 10;15 15;18 18;19 19;20 20;21 21;22 22;23 23;24 24;25 25;26 26;27 27;28 28;29 29;30 30; 35 35;40 40],plotcolor); text_handle = clabel(C1,h1); hold on grid on [C2,h2] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,COM_sail*matrix2+.12*matrix3, [maxmoment maxmoment],plotcolor,’LineWidth’,4);

20

25

[C3,h3] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrixdelta,[0 0;5 5;10 10;15 15;20 20;30 30;40 40],plotcolor,’LineStyle’,’:’,’LineWidth’,2); text_handle = clabel(C3,h3); xlabel(’Alpha’,’FontSize’,14); ylabel(’Beta’,’FontSize’,14); bla=legend(’surfer velocity’,’surfer momentum’,’sail angle of attack’); set(bla, ’FontSize’, 14) title([’@ true windspeed ’,num2str(wo),’ knots, max. mom. ’,num2str(maxmoment,’%5.1f’), ’ Nm, sail area ’,num2str(sail_area,’%3.1f’), ’ m2, taper ratio ’,num2str(ratio)],’Fontsize’,14)

30

figure(2);

35

[C1,h1] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrix1,[5 5;10 10;15 15;18 18;19 19;20 20;21 21;22 22;23 23;24 24;25 25;26 26;27 27;28 28;29 29;30 30; 35 35;40 40],plotcolor); text_handle = clabel(C1,h1); hold on grid on

40

45

50

[C2,h2] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,COM_sail*matrix2+.12*matrix3, [maxmoment maxmoment],plotcolor,’LineWidth’,4); [C3,h3] = contour(180-amin:-1:180-amax,bmin:bmax,matrixdelta,[0 0;5 5;10 10;15 15;20 20;30 30;40 40],plotcolor,’LineStyle’,’:’,’LineWidth’,2); text_handle = clabel(C3,h3); xlabel(’Alpha’,’FontSize’,14); ylabel(’Beta’,’FontSize’,14); bla=legend(’surfer velocity’,’surfer momentum’,’sail angle of attack’); set(bla, ’FontSize’, 14) title([’@ true windspeed ’,num2str(wo),’ knots, max. mom. ’,num2str(maxmoment,’%5.1f’), ’ Nm, sail area ’,num2str(sail_area,’%3.1f’), ’ m2, taper ratio ’,num2str(ratio)],’Fontsize’,14)

Zoals u ziet kunnen we een plotkleur opgeven (b voor blauw, g voor groen etc.). Daarna print het programma ’Making plot...’ en worden de contourplots gemaakt waar het allemaal om draait! In principe printen we twee keer hetzelfde, maar we kunnen dus de tweede contourplot naar eigen wens aanpassen. We krijgen twee α-β-plaatjes met daarin de volgende contourlijnen: snelheidslijnen (uit matrix 1), een dikke lijn die aangeeft wanneer F⊥ · arm(F⊥ ) + FLf · arm(FLf ) gelijk is aan het maximale moment van de surfer en hoek δlijnen die de loslatingshoek van de luchtstroom in het zeil aangeeft (deze mag niet groter zijn dan ongeveer 15 graden). Met de snelheidslijnen en de restricties kunnen we dan bepalen wat onze maximale snelheid bij de ingevoerde condities wordt. Aan het eind worden de plotjes netjes gelabeled. Om alle waarden bij de maximale snelheid uit te printen kun je hierna nog losse waarden voor α en β invoeren:

62


while 1˜=0

5

10

15

20

fprintf(’ ******************************************************\n’) %fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ * more info for specific alpha & beta (0 to stop): *\n’) %fprintf(’ * *\n’) fprintf(’ ******************************************************\n’) fprintf(’\n’) refa

=

180 - input(’

- enter true wind angle (dgr)

:

’);

if refa==0 fprintf(’\n’) fprintf(’Program terminated...\n’) fprintf(’\n’) break end refb = fprintf(’\n’)

input(’

- enter sail angle beta (dgr)

:

’);

for a = refa for b = refb

5

10

15

20

25

fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’ fprintf(’

******************************************************\n’) * *\n’) maximum velocity = %5.1f m/s (%5.1f knt) * *\n’,V_r,V_r/0.514444) ------------------------------------------* *\n’) * *\n’) = %7.2f degrees *\n’,b) * sail/board angle = %2.0f m/s (%2.0f knt) *\n’,W_a, W_a/0.514444) * apparent wind velocity * *\n’) = %7.2f degrees *\n’,(lambda)/(2*pi)*360) * heading/apprnt.wind angle = %7.2f degrees *\n’,(delta)/(2*pi)*360) * sail/apprnt.wind angle (delta) = %7.2f degrees *\n’,delta_i*360/(2*pi)) * induced wind angle * *\n’) = %7.2f Newton *\n’,F_evenwijdig) * propellant air force = %7.2f Newton *\n’,F_loodrecht) * perpendicular air force = %7.2f Newton *\n’,F_L) * total lift force sail * *\n’) = %7.2f Newton *\n’,F_w) * total drag force board * fin/incoming water angle (gamma) = %7.2f degrees *\n’,(gamma)/(2*pi)*360) = %7.2f degrees *\n’,gamma_i*360/(2*pi)) * induced fin angle = %7.2f Newton *\n’,F_f_evenwijdig) * drag force fin = %7.2f Newton *\n’,F_f_loodrecht) * perpendicular force fin = %7.2f Newton *\n’,F_Lf) * total lift force fin = %7.2f Nm * total momentum sail + fin *\n’,F_f_loodrecht*.12+F_loodrecht*COM_sail) * *\n’) ******************************************************\n\n’) end

end end

Hierboven kun je zien dat je een losse α en β in kan voeren. Als je een 0 invoert stopt het programma. Tussendoor worden alle formules uit de vorige hoofdstukken weer gebruikt en uiteindelijk krijgen we uitvoer.

C.3. SAMENGEVAT

C.3

63

Samengevat

De werking nog even kort samengevat: We geven onze standaardvariabelen een waarde en laten de gebruiker van het model de gegevens invoeren (grootte van het zeil, gewicht van de surfer etc.). De eigenschappen van het zeil en het maximale moment worden al berekend voordat matlab echt begint met rekenen. Hiervoor gebruiken we een aantal formules voor het berekenen van de breedte op h = 0 en bovenaan het zeil, de lengte van het zeil onder het planeren, de gewone lengte van het zeil en de hoogte van het elliptisch profiel waarmee we ons zeil simuleren (vleugeltheorie). Het maximale moment willen we later ook plotten in ons α-β-vlak zodat het zichtbaar is welke α0 s en welke β 0 s gecombineerd haalbaar zijn. We printen de eigenschappen van het zeil uit en matlab gaat beginnen met rekenen. Het idee is dat matlab grafieken gaat maken. De assen van deze grafieken zijn α en β. Voor iedere α en β gebruiken we een Newton-methode om een juiste drifthoek te vinden en een een Newton-methode om de juiste snelheid hier bij te vinden (Matlab gaat het nulpunt vinden van de voorwaartse kracht - de wrijvingskracht). Hierdoor kost het een paar minuten tijd om resultaten te behalen. Uiteindelijk maken we contourplotten van snelheden, krachten en loslatingshoeken in het α-β-vlak. Als matlab klaar is met rekenen krijgen we dus 3 soorten lijnen. Na het bestuderen van de plot kunnen we een α- en een β-waarde invullen om allerlei eigenschappen te verkijgen die bij deze waardes horen (We kunnen het punt van de maximale snelheid invullen, maar ook een willekeurig ander punt op de grafiek om te kijken wat er gebeurt). Eigenschappen zijn bijvoorbeeld windhoeken, drifthoeken, wrijvingskrachten, loslatingshoeken, liftkrachten en momenten. Vanaf de volgende pagina’s is de rest van de matlabcode te zien.

64


C.4

Newton 1

function r = newton(fun, funder, xinit, tol, nmax, verbose)

15

% newton % % % % Input: % % % % % % % % Output:

20

if tol < 3*eps % The tolerance is too small warning(sprintf(’the tolerance is too small\n’)); return; end

25

if verbose == 1 % Printing the headings fprintf([’\niters x x-xold’ ... ’ log_10(|x-xold|)\n\n’]); end

5

10

%

Uses Newton’s method to find a root of the equation fun(x) = 0 starting at xinit as an initial approximation fun = the function whose zero we are searching funder = the derivative of the function fun xinit = the value from which we start the search tol = x tolerance nmax = maximum number of iterations verbose = 1 in case all iterations are needed, 0 otherwise r = the root of fun(x) = 0 with the desired tolerance

The main part of the program starts here

xold = xinit; 30

for i = 1:nmax fx = feval(fun,xold); dfdx = feval(funder,xold);

% %

fx = fun(xold) dfdx = fun’(xold)

%

Main step in Newton’s method

35

x = xold - fx/dfdx;

40

if verbose == 1 % Printing all iterations fprintf(’%3d %18.14f %18.14f %10.5f\n’, ... i, x, x-xold,log(abs(x-xold))/log(10.) ); end if abs(x-xold) < tol r = x; return; end

%

We found the root

45

xold = x; end 50

%warning(sprintf(’root not found within tol after %d steps\n’,i)); r=0;

C.5. NEWTON 2

C.5

65

Newton 2

function [value1,value2] = newton2(fun, funder, xinit, tol, nmax, verbose)

15

% newton % % % % Input: % % % % % % % % Output:

20

if tol < 3*eps % The tolerance is too small warning(sprintf(’the tolerance is too small\n’)); return; end

25

if verbose == 1 % Printing the headings fprintf([’\niters x x-xold’ ... ’ log_10(|x-xold|)\n\n’]); end

5

10

%

Uses Newton’s method to find a root of the equation fun(x) = 0 starting at xinit as an initial approximation fun = the function whose zero we are searching funder = the derivative of the function fun xinit = the value from which we start the search tol = x tolerance nmax = maximum number of iterations verbose = 1 in case all iterations are needed, 0 otherwise r = the root of fun(x) = 0 with the desired tolerance

The main part of the program starts here

xold = xinit; 30

for i = 1:nmax [fx,fx2] = feval(fun,xold); dfdx = feval(funder,xold); % 35

x = xold - fx/dfdx;

40

if verbose == 1 % Printing all iterations fprintf(’%3d %18.14f %18.14f %10.5f\n’, ... i, x, x-xold,log(abs(x-xold))/log(10.) ); end

45

%

% fx = fun(xold) dfdx = fun’(xold) Main step in Newton’s method

if abs(x-xold) < tol || abs(fx) < tol value1 = x; value2 = fx2; % fprintf(’******** i = %6d return; % We found the root end

********\n’,i)

xold = x; 50

end

55

%warning(sprintf(’root not found within tol after %d steps\n’,i)); value1=0; value2=fx2;

66


C.6

Momentum

function [resulting_momentum,V_r] = func_momentum(g,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment) % 5

10

PARAMETERS:

rho_l = 1.184; rho_w = 1000; mu = 0.001003; knoop = 0.51444; A_b = 1*.6; l_b = 1;

% % % %

Dichtheid lucht. Dichtheid water. Dynamische viscositeit van water. 1 knoop = 0.51444 m/s.

% Wrijvingsoppervlak Surfboard. % Lengte board.

l_f = 0.28; B_f = 0.15;

% Lengte van de vin. % Gemiddelde breedte van de vin.

15

W_o = wo * knoop;

20

% Originele windsnelheid.

alpha = (a / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de originele windsnelheid en de plank. beta = (b / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de plank en het zeil. gamma = (g / 360) * 2 * pi; % Drifthoek. V_r = 1000;

25

30

V_rhulp = Newton(@(x)func_speed(x,a,b,wo,g,COM_sail,sail_area,ratio,l,B), @(x)dfunc_speed(x,a,b,wo,g,COM_sail,sail_area,ratio,l,B), 30, 1e-1, 50, 0); if (imag(V_rhulp) == 0 && V_rhulp ˜= 0 ) V_r = V_rhulp; end if V_r==1000 %warning(sprintf(’\n No maximum velocity found for beta = %2d degrees: %V_r set to zero.. \n’,b)); V_r=0; resulting_momentum = 0;

35

else % 40

C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5)); F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2; %

45

50

DRAG BOARD

APPARENT WIND SPEED AND ANGLES

W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma)); lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a); delta = lambda - gamma - beta; hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); %Hoek schijnbare wind, ware wind if hoekster
SAIL CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

55

Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l), @(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50, 0); F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0; 60

D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16; delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a));

C.7. AFGELEIDE MOMENTUM

65

F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2); F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L; F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2);

70

%

FIN CIRCULATION, INDUCED DRAG, LIFT AND FORCES

Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), @(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, 1e-3, 50, 0) ; 75

F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f; D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16; 80

gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r)); F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2); F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i);

85

F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i); resulting_momentum = F_f_loodrecht-F_loodrecht; 90

end

C.7

Afgeleide momentum

function dfunc_value = dfunc_momentum(r,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment) [value1,bla]=func_momentum(r+0.00001,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment); [value2,bla]=func_momentum(r,a,b,wo,COM_sail,sail_area,ratio,l,B,maxmoment); 5

dfunc_value = (value1-value2)/0.00001;

67

68


C.8

Speed

function func_value = func_speed(V_r,getal1,getal2,getal3,getal4,COM_sail,sail_area,ratio,l,B)

5

10

% PARAMETERS: rho_l = 1.184; rho_w = 1000; mu = 0.001003; knoop = 0.51444;

% % % %

A_b = 1*.6; l_b = 1;

% Wrijvingsoppervlak Surfboard. % Lengte board.

Dichtheid lucht. Dichtheid water. Dynamische viscositeit van water. 1 knoop = 0.51444 m/s.

l_f = 0.28; B_f = 0.15; 15

W_o = getal3 * knoop;

% Lengte van de vin. % Gemiddelde breedte van de vin. % Originele windsnelheid.

alpha = (getal1 / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de originele windsnelheid en de plank. beta = (getal2 / 360) * 2 * pi; % Hoek tussen de plank en het zeil. gamma = (getal4 / 360) * 2 * pi; % Drifthoek. 20

% WEERSTAND PLANK: C_d = 0.074 * ((rho_w * l_b * V_r) / mu)ˆ(-(1/5)); F_w = (1 / 2) * rho_w * C_d * A_b * V_rˆ2; 25

% De wrijvingskracht.

% HOEKEN: W_a = sqrt(W_oˆ2 + V_rˆ2 - 2 * W_o * V_r * cos(alpha - gamma)); % De schijnbare wind. lambda = asin((W_o * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de sn delta = lambda - gamma - beta; % De hoek tussen de schijnbare wind en het z hoekster=asin((V_r * sin(alpha - gamma))/W_a); % De hoek tussen de schijnbare wind en de wa

30

if

hoekster < lambda delta = pi-hoekster-alpha-beta;

% De hoek tussen de schijnbare wind en h

end 35

40

45

50

55

60

% KRACHTEN ZEIL: Gamma_0 = Newton(@(x)func_circulation(x,B,W_a,delta,l), @(x)dfunc_circulation(x,B,W_a,delta,l), 10, 1e-1, 50 F_l = (pi / 4) * rho_l * W_a * l * Gamma_0; D_i = rho_l * pi * Gamma_0ˆ2 / 16; delta_i = atan(Gamma_0/(4 * l * W_a)); F_L = sqrt(F_lˆ2 + D_iˆ2); F_evenwijdig = cos((1 / 2) * pi - gamma - beta - delta + delta_i) * F_L; F_loodrecht = sqrt(F_Lˆ2 - F_evenwijdigˆ2); % KRACHTEN FIN: Gamma_0f = Newton(@(x)func_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), @(x)dfunc_circulation(x,B_f,V_r,gamma,l_f), 1, F_lf = (pi / 4) * rho_w * V_r * l_f * Gamma_0f; D_i2 = rho_w * pi * Gamma_0fˆ2 / 16; gamma_i = atan(Gamma_0f/(4 * l_f * V_r)); F_Lf = sqrt(F_lfˆ2 + D_i2ˆ2); F_f_evenwijdig = F_Lf * sin(gamma_i); F_f_loodrecht = F_Lf * cos(gamma_i); % UITKOMST FUNCTIE: if delta-delta_i >= 0 func_value = F_evenwijdig - F_w - F_f_evenwijdig; else func_value =-F_evenwijdig - F_w - F_f_evenwijdig; end

C.9. AFGELEIDE SPEED

C.9

Afgeleide Speed

function dfunc_value = dfunc_speed(r,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B) dfunc_value = (func_speed(r+0.00001,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B) -func_speed(r,a,b,c,d,COM_sail,sail_area,ratio,l,B))/0.00001;

C.10

Circulation

function func_value = func_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l) func_value=waardegamma0-pi*B*Wa*sin(delta-atan(waardegamma0/(4*l*Wa)));

C.11

Afgeleide circulation

function dfunc_value = dfunc_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l) dfunc_value = (func_circulation(waardegamma0+0.00001,B,Wa,delta,l) -func_circulation(waardegamma0,B,Wa,delta,l))/0.00001;

69

70


Bibliografie [1] Kunoth A., Schlichtenmayer M., Schneider C. Speed windsurfing: modeling and numerics, International journal of numerical analysis and modeling, volume 4, number 3-4, pages 548-558: 2007. [2] http://www.50-knots.com [3] http://www.math.rug.nl/∼veldman/Colleges/stromingsleer/Stromingsleer.pdf [4] http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/drageq.html [5] Holthuijsen, L.H., Waves in oceanic and coastal waters, Cambridge University Press, Cambridge, 2007 [6] http://www.mauisails.com [7] Richard Von Mises, Theory of flight, Peter Smith Publisher, Incorporated, 1979 [8] Louis Melville Milne-Thomson, Theoretical Aerodynamics, Dover publications Inc, 1973 [9] David W. Taylor, Naval hydrodynamics, United States Office of Naval Research, 1976 [10] Czeslaw A. Marchaj, Aero-hydrodynamics of sailing, Tiller, 2001 [11] Odd M. Faltinsen, Hydrodynamics of high-speed marine vehicles, Cambridge University Press, Cambridge, 2005 [12] Piere Gutelle, Design of sailing yachts, Warsash Publishing, 1979

71

R.H. te Velde. Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Recommend Documents