Reziduovaná zobrazení

Reziduovan´ a zobrazen´ı Irina Perfilieva [email protected]

1. bˇrezna 2015

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Outline

1

Reziduovan´ e zobrazen´ı

2

Uz´ avˇ ery

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Izot´ onn´ı/Antit´ onn´ı zobrazen´ı Definice Necht’ A, B jsou uspoˇr´adan´e mnoˇziny. Zobrazen´ı f : A → B se naz´yv´a izot´ onn´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ A

x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y ).

Zobrazen´ı f : A → B se naz´yv´a antit´ onn´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ A

x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y ).

Pˇr´ıklad E 6= ∅, A ⊆ E . Zobrazen´ı f : P(E ) → P(E ) takov´e, ˇze f (X ) = X ∩ A je izot´onn´ı. Zobrazen´ı g : P(E ) → P(E ) takov´e, ˇze g (X ) = X 0 ∩ A, kde X 0 = E \ X je antit´ onn´ı. c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Izot´ onn´ı/Antit´ onn´ı zobrazen´ı Definice Necht’ A, B jsou uspoˇr´adan´e mnoˇziny. Zobrazen´ı f : A → B se naz´yv´a izot´ onn´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ A

x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y ).

Zobrazen´ı f : A → B se naz´yv´a antit´ onn´ı, jestliˇze ∀x, y ∈ A

x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y ).

Pˇr´ıklad E 6= ∅, A ⊆ E . Zobrazen´ı f : P(E ) → P(E ) takov´e, ˇze f (X ) = X ∩ A je izot´onn´ı. Zobrazen´ı g : P(E ) → P(E ) takov´e, ˇze g (X ) = X 0 ∩ A, kde X 0 = E \ X je antit´ onn´ı. c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Obrazy mnoˇ zin

Necht’ A, B, C , D jsou mnoˇziny, B ⊆ A, D ⊆ C , f : A → C je zobrazen´ı. Obraz f (B) mnoˇziny B: f (B) = {y | (∃b)(b ∈ B & y = f (b))}. Inverzn´ı obraz f ← (D) mnoˇziny D: f ← (D) = {x | (∃d)(d ∈ D & d = f (x))}.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Outline

1

Reziduovan´ e zobrazen´ı

2

Uz´ avˇ ery

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Doln´ı mnoˇ ziny Necht’ (A, ≤) je uspoˇr´adan´a mnoˇzina, B ⊆ A. Definice doln´ı mnoˇ ziny B je doln´ı mnoˇzina, jestliˇze plat´ı: x ∈ B & y ≤ x ⇒ y ∈ B. Dle domluvy, ∅ je doln´ı mnoˇzina. Doln´ı mnoˇzina ve tvaru x ↓ = {y ∈ A | y ≤ x} se naz´yv´a hlavn´ı.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Pˇr´ıklad Doln´ı Mnoˇ ziny

Doln´ı nehlavn´ı mnoˇ zina + Necht’ Q je mnoˇzina kladn´ych racion´aln´ıch ˇc´ısel. Pak {q ∈ Q + | q 2 ≤ 2} je doln´ı mnoˇzina, kter´a nen´ı hlavn´ı.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Horn´ı mnoˇ ziny Necht’ (A, ≤) je uspoˇr´adan´a mnoˇzina, B ⊆ A. Definice horn´ı mnoˇ ziny B je horn´ı mnoˇzina, jestliˇze plat´ı: x ∈ B & y ≥ x ⇒ y ∈ B. Dle domluvy, ∅ je horn´ı mnoˇzina. Horn´ı mnoˇzina ve tvaru x ↑ = {y ∈ A | y ≥ x} se naz´yv´a hlavn´ı.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ eta o izot´ onn´ım zobrazen´ı

Vˇ eta Necht’ (A, ≤), (B, ≤) jsou uspoˇr´adan´e mnoˇziny, f : A → B. Pak n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: 1

f je izot´onn´ı,

2

Inverzn´ı obraz kaˇzd´e hlavn´ı doln´ı mnoˇziny v B je doln´ı mnoˇzina v A,

3

Inverzn´ı obraz kaˇzd´e hlavn´ı horn´ı mnoˇziny v B je horn´ı mnoˇzina v A,

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

D˚ ukaz Vˇ ety o izot´ onn´ım zobrazen´ı

1⇒ 2 Necht’ f je izot´onn´ı, y ∈ B a f ← (y ↓ ) = D, D 6= ∅. Necht’ z ∈ D, tj. f (z) ≤ y . Pak pro kaˇzd´e t ≤ z plat´ı: t ≤ z ⇒ f (t) ≤ f (z) ≤ y , odkud f (t) ≤ y , tj. t ∈ D a t´ım p´adem, D je doln´ı mnoˇzina v A.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

D˚ ukaz Vˇ ety o izot´ onn´ım zobrazen´ı

2⇒ 1 Pro kaˇzd´e x ∈ A plat´ı: x ∈ f ← (f (x)↓ ). Dle pˇredpokladu, f ← (f (x)↓ ) je doln´ı mnoˇzina v A. Odsud pro t ≤ x plat´ı: t ∈ f ← (f (x)↓ ), tj. f (t) ≤ f (x). To znamen´a, ˇze f je izot´onn´ı. 1⇔ 3 D˚ ukaz vypl´yv´a z pˇredchoz´ıho a principu duality.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

D˚ ukaz Vˇ ety o izot´ onn´ım zobrazen´ı

2⇒ 1 Pro kaˇzd´e x ∈ A plat´ı: x ∈ f ← (f (x)↓ ). Dle pˇredpokladu, f ← (f (x)↓ ) je doln´ı mnoˇzina v A. Odsud pro t ≤ x plat´ı: t ∈ f ← (f (x)↓ ), tj. f (t) ≤ f (x). To znamen´a, ˇze f je izot´onn´ı. 1⇔ 3 D˚ ukaz vypl´yv´a z pˇredchoz´ıho a principu duality.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ eta o reziduovan´ em zobrazen´ı

Vˇ eta Necht’ (A, ≤), (B, ≤) jsou uspoˇr´adan´e mnoˇziny, f : A → B. Pak n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: Inverzn´ı obraz kaˇzd´e hlavn´ı doln´ı mnoˇziny v B je hlavn´ı doln´ı mnoˇzina v A, tj. (∀y ∈ B)((∃x ∈ A)(f ← (y ↓ ) = x ↓ ) f je izot´onn´ı a existuje izot´ onn´ı zobrazen´ı g : B → A, ˇze g ◦ f ≥ idA ,

f ◦ g ≤ idB .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

D˚ ukaz Vˇ ety o Reziduovan´ em zobrazen´ı 1⇒ 2 Podle Vˇety o izot´onn´ım zobrazen´ı f je izot´ onn´ı. Tvrzen´ı 1 form´alnˇe: (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(f ← (y ↓ ) = x ↓ ), pˇriˇcemˇz x je definovan jednoznaˇcnˇe. Odsud lze definovat g : B → A tak, ˇze g (y ) = x. Protoˇze f ← je izot´ onn´ı, pak g je izot´onn´ı takteˇz. Pro y ∈ B, g (y ) ∈ g (y )↓ = x ↓ = f ← (y ↓ ) ⇒ f (g (y )) ≤ y ⇔ f ◦ g ≤ idB . Pro x ∈ A,

x ∈ f ← (f (x)↓ ) = g (f (x))↓ ⇒ x ≤ g (f (x)) ⇔ idA ≤ g ◦c:/localtexmf/tex/Vilem f.

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

D˚ ukaz Vˇ ety o Reziduovan´ em zobrazen´ı

2⇒ 1 Na jedn´e stranˇe, f (x) ≤ y ⇒ g (f (x)) ≤ g (y ) ⇒ x ≤ g (f (x)) ≤ g (y ). Na druh´e stranˇe, x ≤ g (y ) ⇒ f (x) ≤ f (g (y )) ⇒ f (x) ≤ f (g (y )) ≤ y . Odsud, f (x) ≤ y tehdy a jen tehdy, kdy x ≤ g (y ), coˇz znamen´a, ˇze x ∈ f ← (y ↓ ) ⇔ x ∈ (g (y )↓ ), tj. f ← (y ↓ ) = g (y )↓ .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Definice Zobrazen´ı f : A → B, kter´e splˇ nuje jednu ze dvou ekvivalentn´ıch vlastnost´ı uveden´ych ve Vˇetˇe o Reziduovan´em zobrazen´ı se naz´yv´a reziduovan´e. Pozn´ amka (Cviˇ cen´ı) Je-li f : A → B reziduovan´e, pak izot´ onn´ı zobrazen´ı g : B → A (z definice v´yˇse) je jednoznaˇcnˇe urˇceno. Oznaˇ cen´ı. g = f + a se naz´yv´a reziduum f .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Definice Zobrazen´ı f : A → B, kter´e splˇ nuje jednu ze dvou ekvivalentn´ıch vlastnost´ı uveden´ych ve Vˇetˇe o Reziduovan´em zobrazen´ı se naz´yv´a reziduovan´e. Pozn´ amka (Cviˇ cen´ı) Je-li f : A → B reziduovan´e, pak izot´ onn´ı zobrazen´ı g : B → A (z definice v´yˇse) je jednoznaˇcnˇe urˇceno. Oznaˇ cen´ı. g = f + a se naz´yv´a reziduum f .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Charakterizace rezidua. Pˇr´ıklady Vyj´ adˇren´ı rezidua f : A → B je reziduovan´e, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e y ∈ B plat´ı: f + (y ) = max f ← (y ↓ ) = max{x ∈ A|f (x) ≤ y }. Pˇr´ıklady (Cviˇcen´ı) Je-li f : N → 2N, pˇriˇcemˇz f (n) = 2n, pak f je reziduovan´e s reziduem f + (2m) = max{n ∈ N|2n ≤ 2m} = m. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∩ E je reziduovan´e s reziduem

λ+ E 0. c:/localtexmf/tex/Vilem E (Y ) = max{X ⊆ A|λE (X ) = X ∩ E ≤ Y } = Y ∪

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Charakterizace rezidua. Pˇr´ıklady Vyj´ adˇren´ı rezidua f : A → B je reziduovan´e, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e y ∈ B plat´ı: f + (y ) = max f ← (y ↓ ) = max{x ∈ A|f (x) ≤ y }. Pˇr´ıklady (Cviˇcen´ı) Je-li f : N → 2N, pˇriˇcemˇz f (n) = 2n, pak f je reziduovan´e s reziduem f + (2m) = max{n ∈ N|2n ≤ 2m} = m. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∩ E je reziduovan´e s reziduem

λ+ E 0. c:/localtexmf/tex/Vilem E (Y ) = max{X ⊆ A|λE (X ) = X ∩ E ≤ Y } = Y ∪

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Charakterizace rezidua. Pˇr´ıklady Vyj´ adˇren´ı rezidua f : A → B je reziduovan´e, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e y ∈ B plat´ı: f + (y ) = max f ← (y ↓ ) = max{x ∈ A|f (x) ≤ y }. Pˇr´ıklady (Cviˇcen´ı) Je-li f : N → 2N, pˇriˇcemˇz f (n) = 2n, pak f je reziduovan´e s reziduem f + (2m) = max{n ∈ N|2n ≤ 2m} = m. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∩ E je reziduovan´e s reziduem

λ+ E 0. c:/localtexmf/tex/Vilem E (Y ) = max{X ⊆ A|λE (X ) = X ∩ E ≤ Y } = Y ∪

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ ety o kompozic´ıch 1.Vˇ eta o kompozic´ıch Je-li f : A → B reziduovan´e, pak f ◦f+◦f =f,

f + ◦ f ◦ f + = f +.

D˚ ukaz. f je izot´onn´ı a f + ◦ f ≥ idA , jedn´e stranˇe,

f ◦ f + ≤ idB . Pak na

f ◦ f + ◦ f = f ◦ (f + ◦ f ) ≥ f ◦ idA = f . Na druh´e stranˇe f ◦ f + ◦ f = (f ◦ f + ) ◦ f ≤ idB ◦ f = f .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ ety o kompozic´ıch 1.Vˇ eta o kompozic´ıch Je-li f : A → B reziduovan´e, pak f ◦f+◦f =f,

f + ◦ f ◦ f + = f +.

D˚ ukaz. f je izot´onn´ı a f + ◦ f ≥ idA , jedn´e stranˇe,

f ◦ f + ≤ idB . Pak na

f ◦ f + ◦ f = f ◦ (f + ◦ f ) ≥ f ◦ idA = f . Na druh´e stranˇe f ◦ f + ◦ f = (f ◦ f + ) ◦ f ≤ idB ◦ f = f .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ ety o kompozic´ıch

2.Vˇ eta o kompozic´ıch Jsou-li f : A → B a g : B → C reziduovan´a, pak (g ◦ f ) : A → C je reziduovan´e a (g ◦ f )+ = f + ◦ g + . D˚ ukaz. g ◦ f a f + ◦ g + jsou izot´ onn´ı. Pak na jedn´e stranˇe, (f + ◦ g + ) ◦ (g ◦ f ) ≥ f + ◦ idA ◦ f = f + ◦ f ≥ idA . Na druh´e stranˇe (g ◦ f ) ◦ (f + ◦ g + ) ≤ g ◦ idB ◦ g + = g ◦ g + ≤ idB .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Vˇ ety o kompozic´ıch

2.Vˇ eta o kompozic´ıch Jsou-li f : A → B a g : B → C reziduovan´a, pak (g ◦ f ) : A → C je reziduovan´e a (g ◦ f )+ = f + ◦ g + . D˚ ukaz. g ◦ f a f + ◦ g + jsou izot´ onn´ı. Pak na jedn´e stranˇe, (f + ◦ g + ) ◦ (g ◦ f ) ≥ f + ◦ idA ◦ f = f + ◦ f ≥ idA . Na druh´e stranˇe (g ◦ f ) ◦ (f + ◦ g + ) ≤ g ◦ idB ◦ g + = g ◦ g + ≤ idB .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Pologrupa reziduovan´ ych zobrazen´ı

Mnoˇzina Res A reziduovan´ych zobrazen´ı f : A → A tvoˇr´ı pologrupu, stejnˇe jako mnoˇzina Res + A reziduovan´ych zobrazen´ı f + : A → A.

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Outline

1

Reziduovan´ e zobrazen´ı

2

Uz´ avˇ ery

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Uz´ avˇ er a du´ aln´ı uz´ avˇ er

Definice Izot´onn´ı zobrazen´ı f : A → A je uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≥ idA , du´aln´ım uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≤ idA , Pˇr´ıklady Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). µE : P(A) → P(A) kde µE (X ) = X ∩ E je du´aln´ı uz´avˇer na P(A).

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Uz´ avˇ er a du´ aln´ı uz´ avˇ er

Definice Izot´onn´ı zobrazen´ı f : A → A je uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≥ idA , du´aln´ım uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≤ idA , Pˇr´ıklady Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). µE : P(A) → P(A) kde µE (X ) = X ∩ E je du´aln´ı uz´avˇer na P(A).

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Uz´ avˇ er a du´ aln´ı uz´ avˇ er

Definice Izot´onn´ı zobrazen´ı f : A → A je uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≥ idA , du´aln´ım uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≤ idA , Pˇr´ıklady Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). µE : P(A) → P(A) kde µE (X ) = X ∩ E je du´aln´ı uz´avˇer na P(A).

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Uz´ avˇ er a du´ aln´ı uz´ avˇ er

Definice Izot´onn´ı zobrazen´ı f : A → A je uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≥ idA , du´aln´ım uz´avˇerem na A, jestliˇze f = f 2 ≤ idA , Pˇr´ıklady Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE : P(A) → P(A) kde λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). µE : P(A) → P(A) kde µE (X ) = X ∩ E je du´aln´ı uz´avˇer na P(A).

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Reprezentace uz´ avˇ eru Vˇ eta o reprezentaci Je-li A je uspoˇr´adan´a mnoˇzina, pak f : A → A je uz´avˇer, pr´avˇe kdyˇz existuje uspoˇr´adan´a mnoˇzina B a reziduovan´e zobrazen´ı g : A → B takov´e, ˇze f = g + ◦ g . Cviˇ cen´ı. Dok´azat postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku. Pevn´ e body Je-li f : A → A je uz´avˇer a x ∈ Im f , pak x = f (y ) pro nˇejak´e y ∈ A. D´ale, f (x) = f 2 (y ) = f (y ) = x. Odsud, kaˇzd´e x ∈ Im f je pevn´ym bodem f . Pˇr´ıklad. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). Kaˇzd´a mnoˇzina X ∈ P(A) takov´a, ˇze E ⊆ X , je pevn´ym bodem λE .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Reprezentace uz´ avˇ eru Vˇ eta o reprezentaci Je-li A je uspoˇr´adan´a mnoˇzina, pak f : A → A je uz´avˇer, pr´avˇe kdyˇz existuje uspoˇr´adan´a mnoˇzina B a reziduovan´e zobrazen´ı g : A → B takov´e, ˇze f = g + ◦ g . Cviˇ cen´ı. Dok´azat postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku. Pevn´ e body Je-li f : A → A je uz´avˇer a x ∈ Im f , pak x = f (y ) pro nˇejak´e y ∈ A. D´ale, f (x) = f 2 (y ) = f (y ) = x. Odsud, kaˇzd´e x ∈ Im f je pevn´ym bodem f . Pˇr´ıklad. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). Kaˇzd´a mnoˇzina X ∈ P(A) takov´a, ˇze E ⊆ X , je pevn´ym bodem λE .

c:/localtexmf/tex/Vilem

Reziduovan´ e zobrazen´ı

Uz´ avˇ ery

Reprezentace uz´ avˇ eru Vˇ eta o reprezentaci Je-li A je uspoˇr´adan´a mnoˇzina, pak f : A → A je uz´avˇer, pr´avˇe kdyˇz existuje uspoˇr´adan´a mnoˇzina B a reziduovan´e zobrazen´ı g : A → B takov´e, ˇze f = g + ◦ g . Cviˇ cen´ı. Dok´azat postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku. Pevn´ e body Je-li f : A → A je uz´avˇer a x ∈ Im f , pak x = f (y ) pro nˇejak´e y ∈ A. D´ale, f (x) = f 2 (y ) = f (y ) = x. Odsud, kaˇzd´e x ∈ Im f je pevn´ym bodem f . Pˇr´ıklad. Je-li A mnoˇzina a E ⊆ A, pak λE (X ) = X ∪ E je uz´avˇer na P(A). Kaˇzd´a mnoˇzina X ∈ P(A) takov´a, ˇze E ⊆ X , je pevn´ym bodem λE .

c:/localtexmf/tex/Vilem