Rendementskarakteristieken en diversi catievoordelen van technische handelsregels Koen Huisman, 195397
maart 2005
Masterscriptie
Erasmus Universiteit Rotterdam Faculteit der Economische Wetenschappen Capaciteitsgroep Bedrijfseconomie Sectie Finance
Scriptiebegeleider: Prof. dr. C. G. de Vries
Abstract Technische handelsregels worden door beleggers gebruikt om posities in beleggingsobjecten in te nemen.
In dit onderzoek wordt een dergelijke
regel gebruikt om dikstaartigheid van rendementen en de invloed van deze non-normaliteit op de diversi catievoordelen te analyseren.
Empiri-
sche ondersteuning wordt gevonden voor de hogere diversi catiesnelheid van Value-at-Risk ten opzichte van standaarddeviatie, en van de hogere diversi catiesnelheid van dikstaartige verdelingen vergeleken met normaliteit. Uit de rendementen van de handelsregel volgt dat er geen samenhang is met de marktfactor (S&P-500). Wel blijkt er sprake te zijn van een gemeenschappelijke factor in het rendementsgenererende proces, welke leidt tot lagere diversi catievoordelen.
Inhoudsopgave 1 Inleiding
2
2 Literatuur
5
2.1
2.2
2.3
Technische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
E ciënte Markt Hypothese
. . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Soorten technische analyse . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.3
Soorten technische handelsregels
2.1.4
Aannames in onderzoek naar handelsregels
2.1.5
Resultaten onderzoeken
2.1.6
Data snooping
2.1.7
Conclusie
. . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Extreme Value Theory (EVT) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.1
Non-normaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.2
Dikstaartigheid en reguliere variatie
. . . . . . . . . .
17
2.2.3
Semi-parametrische benadering . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.4
Toepassing van tail-index
. . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Diversi catie 2.3.1
Value-at-Risk (VaR)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2
Toepassing Extreme Value Theory
2.3.3
Diversi catiesnelheid onder dikstaartigheid
. . . . . .
32
2.3.4
Diversi catiesnelheid onder normaliteit . . . . . . . . .
33
2.3.5
Value-at-Risk over langere horizons . . . . . . . . . . .
34
2.3.6
Systematisch risico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.7
Vergelijking Value-at-Risk en variantie . . . . . . . . .
37
2.3.8
Tail-index normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . .
3 Empirisch onderzoek 3.1
10
. . . . . .
29 31
39
Handelsregel en data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Rendementsreeksen originele data . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3
Rendementsreeksen technische handelsregel
. . . . . . . . . .
43
3.4
Dikstaartigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.5
Diversi catievoordelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.5.1
Simulatie normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.5.2
Empirische data
55
3.5.3
VaR diversi catiesnelheid
. . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.5.4
Diversi catiesnelheid van het risico niveau . . . . . . .
58
3.5.5
Vergelijking eerder onderzoek . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5.6
Gemeenschappelijke factor . . . . . . . . . . . . . . . .
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Conclusie
63
5 Bijlage
66 1
1
Inleiding
Harry M. Markowitz beschreef al in de jaren '50 van de vorige eeuw hoe in een portefeuille van beleggingsobjecten een afweging gemaakt kon worden tussen risico en rendement. Sinds die tijd is diversi catie over meerdere beleggingsobjecten een belangrijk onderwerp binnen de economische wetenschap. Door het spreiden van een portefuille over meerdere beleggingsobjecten kan namelijk het risico verlaagd worden zonder dat het rendement daar onder lijdt. Zeer veel artikelen zijn in de loop der tijd verschenen over de voordelen van het spreiden binnen een beleggingsportefeuille. Zowel aangaande het spreiden over diverse beleggingscategorieën zoals bijvoorbeeld aandelen en obligaties, als de voordelen hiervan binnen een dergelijke categorie. Algemeen is er overeenstemming dat diversi catie onmiskenbaar tot voordelen leidt en noodzakelijk is wanneer men een e ciënte portefeuille wil creëren. Dit houdt in dat het kapitaal van een beleggingsportefeuille dusdanig verdeeld wordt over een aantal beleggingsobjecten, dat het niet mogelijk is om met gelijkblijvend risico een hoger rendement te halen, of een gelijk rendement met een lager risico. Waar de wetenschappelijke studies zich op richten, is de grootte van deze voordelen, en het optimale aantal beleggingsobjecten waarover gespreid dient te worden.
Hierbij is namelijk zowel van belang welke aannames er
gemaakt worden op het gebied van de onderlinge afhankelijkheid van de in de portefeuille opgenomen beleggingsobjecten, als de vraag in welke mate er bijvoorbeeld rekening gehouden dient te worden met additionele transactiekosten. Tevens blijkt de rendementsverdeling van de opgenomen beleggingsobjecten van invloed te zijn op de gebruikte risicomaatstaf, en de kwaliteit ervan. Dit kenmerk speelt ook in dit onderzoek een rol. Eerdere onderzoeken hebben zich voor het overgrote deel gericht op por-
2
tefeuilles met aandelen en obligaties.
Een onderwerp waarnaar voor zover
bekend geen onderzoek verricht is, betreft de voordelen van diversi catie wanneer gekeken wordt naar het handelen volgens een technische handelsregel. Deze handelsregels zijn vaak relatief eenvoudige lterregels, die aangeven wanneer een belegger een bepaalde positie in een beleggingsobject moet innemen. Deze beleggingsmethodiek levert uiteraard net als een normale positie in een beleggingsobject een rendementsreeks op. Ook over technische handelsregels bestaat een uitgebreide literatuur, maar deze richt zich vooral op de vraag of deze regels een belegger kunnen helpen om tot een buitengewoon rendement te komen, en in hoeverre er op basis hiervan vraagtekens gezet kunnen worden bij de e ciënte markt hypothese. Een belangrijk aspect dat samenhangt met het gebruik van technische handelsregels en diversi catievoordelen is de verdeling van de rendementen. Vaak wordt aangenomen dat de rendementen van nanciële markten normaal verdeeld zijn, terwijl de praktijk uitwijst dat dit niet het geval is.
Recent
onderzoek heeft uitgewezen dat de snelheid waarmee diversi eerbaar risico afneemt, gerelateerd is aan de verdeling die de rendementen volgen. Hier zal uitgebreid op ingegaan worden. Dit onderzoek zal voortbouwen op deze drie deelgebeiden, te weten technische handelsregels, dikstaartigheid van rendementsverdelingen en de voordelen van diversi catie. Hiertoe zal de bestaande theorie over dikstaartigheid en de gevolgen hiervan voor diversi catie toegepast worden op een portefeuille die opgebouwd is uit rendementsreeksen van een technisch handelssysteem. Is er bij deze rendementsreeksen bijvoorbeeld ook sprake van dergelijke dikke staarten? Om de voordelen van en invloeden op de diversi catie te beoordelen zal de technische handelsregel toegepast worden op diverse nanciële markten, zoals de valutamarkt, de goederenmarkt, de rentemarkt en de
3
aandelenmarkt. Op deze manier kan bekeken worden met welke zaken een belegger die werkt met technische handelsregels rekening dient te houden bij het bepalen van zijn risico, en in welke mate het nut heeft deze portefeuille te diversi ceren. Het analyseren van de invloeden op de diversi catievoordelen heeft betrekking op het onderscheid dat gemaakt kan worden in het gebruik van de risicomaatstaf. In hoeverre is er sprake van een verschil in diversi catiesnelheid (het aantal beleggingsobjecten waarover gespreid dient te worden om tot een e ciënte portefeuille te komen) wanneer de variantie
1
van de rendementen als risicomaatstaf genomen wordt, of wanneer er gekozen wordt voor een risicomaatstaf die betrekking heeft op het neerwaartse risico (zoals bijvoorbeeld de Value-at-Risk methodiek)? En wat is de invloed van de vraag of de rendementreeksen van de technische handelsregel normaal verdeeld zijn op dit alles?
Dit onderzoek zal trachten op deze vragen een
passend antwoord te vinden. Allereerst zullen hiertoe diverse technische handelsregels toegelicht worden, net als de bestaande literatuur over dit onderwerp. Tevens zal uiteengezet worden wat de huidige stand is van het onderzoek naar dikstaartigheid van rendementsverdelingen, en welke consequenties deze eigenschap met zich meebrengt. Aandacht zal besteed worden aan hoe deze dikke staarten het beste gemeten kunnen worden, wat we theoretisch kunnen zeggen over de invloed hiervan op zowel het combineren van beleggingsobjecten als het kijken naar langere periodes, en wat de invloed hiervan is op risicomaatstaven. De bestaande literatuur over dit onderwerp wordt vaak beschouwd onder de
1
In dit onderzoek zullen de maatstaven variantie en standaarddeviatie beide gebruikt worden, terwijl de standaarddeviatie simpelweg de wortel van de variantie is. De reden hiervoor is dat voor sommige analyses het in de literatuur standaard is om speci ek bijvoorbeeld naar variantie te verwijzen. In het empirische gedeelte zal alleen met standaarddeviatie gewerkt worden, omdat dit tot een logischere vergelijking met de neerwaartse risicomaatstaf leidt. In het algemeen geldt echter dat overal voor standaarddeviatie variantie gelezen kan worden, en vice versa.
4
noemer Extreme Value Theory (EVT). Vervolgens zal kort toegelicht worden welke data er in dit onderzoek gebruikt is, en waarom hiervoor gekozen is. Ook worden de methodes beschreven die gebruikt zijn om tot de diverse resultaten te komen, zowel op het gebied van de mate van dikstaartigheid als het onderzoek naar de invloeden op de diversi catievoordelen.
Vervolgens
zullen deze resultaten beschreven worden en zal er gekeken worden in hoeverre deze overeenkomen met eerdere onderzoeken. Tot slot zullen conclusies getrokken worden met betrekking tot het combineren van meerdere markten binnen een portefeuille op basis van een technische handelsregel.
2
Literatuur
Zoals vermeld zal in dit onderzoek een brug geslagen worden tussen de bestaande kennis over verdelingen met dikke staarten en de implicaties hiervan, en een portefeuille bestaande uit rendementreeksen voortkomend uit het toepassen van een technische handelsregel op diverse nanciële markten. Allereerst zal gekeken worden wat er bekend is over technische analyse en het gebruik van technische handelsregels in de wetenschappelijke literatuur. Vervolgens zal uitgebreid aandacht besteed worden aan Extreme Value Theory (EVT) om zo tot een theoretische basis te komen voor het empirische onderzoek naar de dikstaartigheid en de consequenties hiervan. Tot slot zullen de voordelen van diversi catie bekeken worden, met daarbij de nadruk op de invloed van de rendementsverdeling op deze voordelen, de risicomaatstaven variantie en Value-at-Risk (VaR) en het gevolg voor het diversi catieproces.
2.1 Technische Analyse Technische analyse is binnen de economische wetenschap altijd een zeer ter discussie staand onderwerp geweest, en zal dat waarschijnlijk ook altijd blijven. De belangrijkste oorzaak hiervoor moet gevonden worden in het feit dat
5
het onmogelijk is om wetenschappelijk aan te tonen dat technische analyse toegevoegde waarde heeft, maar dat het tegelijkertijd ook niet mogelijk is om direct bewijs te leveren dat de toegepaste technieken slechts door toeval op bepaalde momenten abnormale positieve of negatieve rendementen lijken op te leveren. Dit alles is ook van belang voor de vraag in hoeverre er sprake is van een e ciënte markt. Volgens de E ciënte Markt Hypothese (EMH) zijn alle beleggingsobjecten juist geprijsd, en kan er dus geen sprake zijn van het behalen van buitengewone rendementen.
In een e ciënte markt geldt
overigens niet alleen dat technische analyse niet zorgt voor extra voordelen, maar dat het ook niet leidt tot nadelen wanneer alle beleggingsobjecten juist geprijsd zijn. Hier is echter alleen sprake van waneer niet gecorrigeerd wordt voor transactiekosten en risico. Uiteengezet wordt welke vormen van de EMH er bestaan, en hoe we hier mee om moeten gaan wanneer er gekeken wordt naar technische analyse. Een belangrijk gevaar wat meespeelt bij de beoordeling van technische analyse in wetenschappelijke context is dat van "data-snooping": bepaalde resultaten in een onderzoek ontstaan niet door werkelijke abnormale rendementen , maar slechts doordat op (ongeveer) dezelfde dataset meerdere onderzoeken uitgevoerd worden. Aandacht zal besteed worden aan wat de invloeden hiervan kunnen zijn, en hoe er rekening mee gehouden kan worden binnen een onderzoek naar de waarde van technische analyse. Aan de andere kant moet geconstateerd worden dat het gebruik van technische analyse in de dagelijkse praktijk van het beleggen in en verhandelen van beleggingsobjecten niet meer weg te denken is. Vrijwel alle grote banken en beleggingsmaatschappijen maken op de één of andere manier gebruik van technische analyse, of verspreiden het in ieder geval als bron van informatie voor de geïnteresseerde belegger. Dit gebeurt op eenzelfde manier als waarop men fundamentele in-
6
formatie verschaft aan het publiek. Belangrijk om nu al op te merken is het feit dat er in dit onderzoek geen oordeel geveld wordt over de vraag in hoeverre technische analyse toegevoegde waarde heeft en in hoeverre de EMH al dan niet op zou gaan. Het empirisch onderzoek zal zich volledig richten op de statistische verdeling van de rendementreeksen die technische handelsregels met zich meebrengen, en de invloed hiervan op diversi catie binnen een portefeuille wanneer gewerkt wordt met verschillende risicomaatstaven. Brock, Lakonishok, en LeBaron (1992) stellen dat technische analyse gezien kan worden als de eerste vorm van beleggingsanalyse, welke dateert uit het begin van de 19e eeuw. De reden hiervoor is dat er in die tijd nauwelijks nanciële informatie vrijgegeven werd door bedrijven, waardoor het doen van een fundamentele analyse vrijwel onmogelijk was. Charles Dow (wiens naam ook verbonden is met de belangrijkste beursindex ter wereld, de Dow-Jones index) wordt gezien als de grondlegger van technische handelsregels. Al aan het einde van de 19e eeuw beschreef hij hoe trends er uit zien en wat voor soort marktsituaties te herkennen zijn.
2.1.1 E ciënte Markt Hypothese Zoals eerder genoemd hangt de eventuele toegevoegde waarde van technische analyse sterk samen met de vraag hoe e ciënt nanciële markten zijn. De E ciënte Markt Hypothese (EMH) kent drie vormen: De zwakke variant stelt dat het niet mogelijk is om met behulp van historische informatie zoals koersdata buitengewone rendementen te behalen.
Al deze informatie is in
de koersen verwerkt en technische analyse kan dus geen toegevoegde waarde leveren. De semi-sterke variant voegt hieraan toe dat ook fundamentele analyse zoals het waarderen van een onderneming op basis van bijvoorbeeld winstgevendheid geen buitengewone rendementen zal opleveren, omdat alle publieke informatie in de beurskoers verwerkt is. De sterkte variant van de
7
EMH tot slot stelt dat zelfs wanneer men kan beschikken over private informatie ook dit niet leidt tot het behalen van buitengewone rendementen, alle informatie is namelijk al in de koers opgenomen. Dat technische analyse toegevoegde waarde zou hebben wordt door alle drie de varianten verworpen, wanneer dit echter wel het geval zou zijn, zou hiermee de zwakke vorm verworpen kunnen worden.
Eerder werd echter al gesteld dat het vrijwel
onmogelijk is dit te bewijzen, dan wel te verwerpen. Studies die de EMH in twijfel trekken hebben vaak betrekking op de eecten van de grootte van een onderneming en de verhouding tussen boekwaarde en marktwaarde op het rendement van een dergelijke onderneming. Uitgebreide literatuur bestaat over de voorspellende waarde van deze factoren op het te behalen rendement. Een ander bekend verschijnsel zijn over- en onderreacties in de nanciële markten. Zo vinden bijvoorbeeld De Bondt en Thaler (1985) aanwijzingen voor zowel het bestaan van momentum op de korte termijn (beleggingsobjecten die het de laatste maanden beter dan gemiddeld gedaan hebben zullen dat in de komende maanden ook doen) als het feit dat dit eect ongedaan gemaakt lijkt te worden in de periode erna (beleggingsobjecten die het laatste jaar beter dan gemiddeld gepresteerd hebben zullen het komende jaar slechter dan gemiddeld presteren).
Voor deze verschijnselen wordt als be-
langrijkste verklaring gegeven dat er onvoldoende rekening gehouden is met het extra risico wat blijkbaar bestaat wanneer op een dergelijke manier belegd wordt. Probleem bij het testen hiervan is echter het gelijktijdig toetsen van hypotheses: men toetst namelijk op hetzelfde moment of de markt e ciënt is en of het gebruikte evenwichtsmodel wel een juiste beschrijving geeft van het rendementsgenerende proces. Gevolg hiervan is dat het niet mogelijk is om een van de twee direct te verwerpen.
8
2.1.2 Soorten technische analyse Het volgende onderscheid kan gemaakt worden wanneer gekeken wordt naar de manieren waarop technische analyse in de praktijk gebruikt kan worden. Allereerst zijn er de lterregels. Hierbij maakt men gebruik van (vaak relatief simpele) wiskundige formules om te bepalen of een belegger een long-, short- of neutrale positie in het beleggingsobject zou moeten hebben. Een voorbeeld hiervan is het gebruik van een prijskanaal om te bepalen wanneer een bepaald beleggingsobject gekocht dan wel verkocht dient te worden. Deze mechanische handelsregels zijn eenvoudig te testen op een dataset met koersinformatie, waardoor wetenschappelijke onderzoeken naar de waarde van technische analyse zich vooral hierop gericht hebben. De andere toepassing van technische analyse is namelijk de visuele beoordeling van gra eken en allerlei indicatoren die naast de koersontwikkeling afgebeeld kunnen worden. Vaak wordt gewerkt met trendlijnen en voortschrijdende gemiddelden. De technisch analist die hiermee werkt zal dus vanuit zijn ervaring deze zaken moet combineren en interpreteren om tot een oordeel te komen over de verwachte prijsontwikkeling van het beleggingsobject.
Probleem hierbij is
dat het nauwelijks mogelijk is om op enigerlei wijze een statistisch oordeel te vellen over de waarde van dergelijke oordelen, omdat deze puur afhangen van het oordeel van de technisch analist. Waar wel wetenschappelijk onderzoek naar gedaan is, is het voorkomen van bepaalde patronen zoals bijvoorbeeld het bekende "Kop-Schouder-patroon". Hier komt echter een hoop subjectiviteit kijken bij het identi ceren van dergelijke patronen. Degelijk onderzoek hiernaar is hierdoor dus erg lastig.
9
2.1.3 Soorten technische handelsregels Wanneer een belegger kiest voor het gebruik van technische handelsregels als hulpmiddel bij het inrichten van zijn beleggingsportefeuille moet allereerst een keuze gemaakt worden tussen een aantal strategieën. Leppers (1997) bespreekt de algemeen gangbare indeling. Hij geeft aan dat de meest gebruikte methodes in drie categorieën ingedeeld kunnen worden:
•
Prijskanalen:
Bij het gebruik van dit soort regels wordt een koop-
of verkoopsignaal gegeven wanneer de koers van het beleggingsobject een bepaald koersniveau doorbreekt. De bekendste vorm hiervan is de zogenaamde Channel Rule, waarbij een koop (verkoop) signaal ontstaat wanneer de koers boven (onder) de hoogste (laagste) koers over een bepaald aantal dagen komt.
•
Voortschrijdende gemiddelden: Een voortschrijdend gemiddelde is simpelweg het gemiddelde van de koers over de laatste bepaald aantal dagen, waarbij geldt dat een dag later het rendement van die dag erbij geteld wordt, en het rendement van de oudste dag er af gehaald wordt, vandaar de toevoeging "voortschrijdend".
Systemen die hier-
mee werken kunnen signalen geven wanneer de koers door een dergelijk voortschrijdend gemiddelde breekt (zowel omhoog als omlaag), of wanneer twee voortschrijdende gemiddelden van verschillende lengtes elkaar kruisen.
•
Filtersystemen: Een signaal wordt gegeven wanneer een bepaald (procentuele) koersverandering heeft plaatsgevonden. Zo kan bijvoorbeeld een koopsignaal gegeven worden wanneer de koers van het beleggingsobject 2% stijgt vanaf het laatste dieptepunt, en een verkoopsignaal wanneer de koers meer dan 2% zakt vanaf het laatste hoogtepunt.
10
Een volgende stap is het vaststellen van de parameters voor een of meerdere handelsregels.
Zoals in het voorbeeld van het ltersysteem moet een
keuze gemaakt worden voor een bepaald percentage wat gezien wordt als verandering van trend, of bijvoorbeeld voor het aantal dagen waarop een voorschrijdend gemiddelde gekozen wordt. Lukac, Brorsen en Irwin (1989) tonen aan dat het geen nut heeft om de parameterselectie te baseren op historische koersdata: er is geen verband tussen de keuze van parameters die het in het verleden goed gedaan hebben en welke abnormale rendementen deze in de toekomst gaan opleveren.
2.1.4 Aannames in onderzoek naar handelsregels Voor het bepalen van rendementen en testen van dergelijke regels zoals uitgevoerd in onderzoeken van bijvoorbeeld Sweeney (1986), LeBaron (1996) en Brock, Lakonishok en LeBaron (1992) dienen een aantal aannames gemaakt te worden.
De belangrijkste hiervan is waarschijnlijk de vraag of
transactiekosten in beschouwing genomen dienen te worden, aangezien deze er voor kunnen zorgen dat systemen die op papier een buitengewoon rendement zouden kunnen opleveren dat in de praktijk niet zullen doen, aangezien de belegger meer kwijt is aan transactiekosten dan bij verdient op basis van de handelsregels. De meeste auteurs verwijzen echter wel naar de aanwezigheid van transactiekosten en de invloed ervan, maar nemen deze kosten niet direct mee in de berekening van de gerealiseerde rendementen. De belangrijkste redenen hiervoor zijn dat deze kosten voor iedere belegger waarschijnlijk zullen verschillen, en dat deze in de loop der tijd aanzienlijk veel kleiner zijn geworden door de evolutie van nanciële markten; een proces wat nog altijd gaande is. Vaak wordt er daarom dus voor gekozen de bruto rendementen te vermelden, zodat ook direct gezien kan worden bij welk niveau van transactiekosten een dergelijke strategie nog abnormale rendementen zou hebben
11
opgeleverd. Een ander aandachtspunt is de keuze voor het opnemen van shortposities in het bepalen van de rendementen van een strategie. Dit aangezien het in de praktijk niet altijd mogelijk zal zijn om dergelijke shortposities in te nemen. Sweeney (1986) gebruikt daarom dan ook alleen long posities in zijn onderzoek, terwijl bijvoorbeeld Brock, Lakonishok en LeBaron (1992) zowel long als shortposities meenemen. Een andere keuze is het al dan niet in acht nemen van het verschil tussen de binnenlandse en buitenlandse rentestand wanneer men rendementen van valutaparen berekent. Zowel Sweeney (1986) als LeBaron (1996) vinden dat deze zogenaamde ïnterest rate dierential" geen invloed heeft op het bepalen van rendementen per dag, aangezien dit renteverschil op jaarbasis meerdere procenten kan bedragen, maar op dagbasis zo gering is dat de resultaten niet daadwerkelijk veranderen. Opgemerkt dient nog te worden de meeste studies de resultaten van de handelsregels vergelijken met die van een buy-and-hold strategie, oftewel een strategie waarbij voortdurend een long positie in het beleggingsobject aangehouden wordt. Dit om te corrigeren voor eventuele winsten van handelsregels die slechts het gevolg zijn van het feit dat de markt in een bepaalde mate gestegen is. Tot slot is het van belang dat naast het eerder vermelde aspect van transactiekosten, er gecorrigeerd wordt voor risico. De extra rendementen die een bepaalde handelsregel genereert kunnen namelijk veroorzaakt worden door het feit dat de belegger meer risico loopt wanneer op een dergelijke manier posities ingenomen worden. Probleem hierbij is wel dat we niet weten welke risicofactoren meegenomen dienen te worden, en het daarom zeer lastig is te testen of het extra rendement een compensatie voor extra risico is. Tevens kan er sprake zijn van door de tijd heen variërende risicopremies, die in dit geval dus zelfs op zeer korte termijn zouden variëren. Sweeney (1986) cor-
12
rigeert voor de invloed van risico, en vindt dat er nog steeds sprake is van abnormale rendementen. Vaak blijkt echter dat na correctie voor transactiekosten en risico er geen sprake meer is van een buitengewoon rendement.
2.1.5 Resultaten onderzoeken Vrijwel alle onderzoeken vinden dat simpele technische handelsregels een bepaalde mate van voorspelbaarheid hebben voor toekomstige bewegingen van nanciële markten.
De meeste van deze onderzoeken richten zich op
valutamarkten, omdat daar de sterkste eecten gevonden worden. Zo toont Sweeney (1986) het bestaan aan van abnormale rendementen gegenereerd door het gebruik van de lterstrategie waarbij hij resultaten rapporteert voor 7 verschillende waardes van de benodigde parameter. Alleen voor de grootste waarde van deze parameter (10% in zijn onderzoek) vindt hij dat de handelsregel niet beter werkt dan de buy-and-hold strategie. Alle andere waardes zorgen voor een abnormaal rendement, al dient aangemerkt te worden dat alleen de twee kleinste lters signi cante resultaten genereren. Ook LeBaron (1996) voert zijn onderzoek uit op de valutamarkt, hij werkt echter met een strategie met een voortschrijdend gemiddelde, waarbij hij de parameter 150 gebruikt voor dagkoersen en 30 voor weekkoersen.
Uit het
onderzoek blijkt dat er sprake is van signi cante abnormale rendementen. Verder onderzoek wijst echter uit dat deze sterk samenhangen met periodes waarin de Centrale Bank actief is met interventies op de valutamarkt. Wanneer deze periodes verwijderd worden blijkt de voorspelbaarheid van de valutakoersen dramatisch lager. Dit zou er op kunnen wijzen dat de Centrale Bank per saldo geld verliest aan handelaren omdat er andere belangen (zoals bijvoorbeeld het voorkomen van een handelsoorlog) spelen die opwegen tegen deze verliezen. LeBaron merkt echter wel op dat ander onderzoek heeft uitgewezen dat de Centrale Bank geld verdient op valuta-interventies,
13
waardoor bovenstaande redenering niet op zou gaan. Ook merkt hij op dat de samenhang tussen interventies en de activiteit van de Centrale Bank veroorzaakt kan worden door een gemeenschappelijke oorzaak, en er dus slechts sprake van correlatie zou zijn. Het vinden van een dergelijke factor zal echter erg lastig zijn. Leppers (1997) vindt op zowel de goederen markt, de valuta markt als de rentemarkt dat technische handelsregels beter presteren dan een buy-and-hold strategie. Voor de aandelen markt wordt echter gevonden dat het hier niet mogelijk is om tot een buitengewoon rendement te komen: het rendement van de handelsregels is hier lager dan dat van een buy-and-hold strategie.
2.1.6 Data snooping Ondanks het feit dat het gros van de onderzoeken naar de voorspelbaarheid van nanciële markten vindt dat er sprake is van een mate van voorspelbaarheid van rendementen, kan niet geconcludeerd worden dat er dus sprake is van een schending van de EMH. Ook betekent dit dus niet dat het werken met dergelijke handelsregels buitengewone rendementen zal gaan opleveren. Zo zou gesteld kunnen worden dat het extra rendement wat gehaald wordt, verklaard kan worden door extra risico (zie ook 2.1.4) wat gelopen wordt wanneer men een dergelijke strategie uitvoert.
De extra rendementen die
gegenereerd worden zijn dan slechts een premie voor het extra risico wat gelopen wordt. De belangrijkste reden waardoor onderzoeken zoals eerder beschreven kanttekeningen nodig hebben is het feit dat de getoonde winsten het resultaat kunnen zijn van zogenaamde data-snooping.
Data-snooping heeft
betrekking op het feit dat bepaalde data (zoals bijvoorbeeld de rendementen van valutamarkten over de laatste 30 jaar) door meerdere wetenschappers gebruikt zijn, en voor meerdere doelen. Hierdoor ontstaat het risico dat be-
14
vredigende resultaten van een onderzoek slechts ontstaan doordat kenmerken die per toeval in die dataset zitten al bekend waren voor het onderzoek, en het onderzoek (al dan niet bewust) hier rekening mee gehouden heeft. Sullivan, Timmermann en White (1999) geven aan dat dit al kan ontstaan doordat een handelsregel die goede resultaten geeft op bijvoorbeeld de koersdata van valutamarkten over de laatste 30 jaar eenvoudig weg meer aandacht krijgt in onderzoek dan een regel waarvoor geen enkel abnormaal rendement gevonden is. Wanneer een nieuw onderzoek zich dan slechts baseert op algemeen bekende regels (wat waarschijnlijk ook de meer succesvolle zullen zijn) en hiermee opnieuw op soortgelijke data qua markt en periode test, is de kans groot dat opnieuw goede resultaten gevonden zullen worden. In dat geval is er dus sprake van data-snooping, omdat deze resultaten volledig veroorzaakt kunnen worden door toevalligheden in deze dataset, die niets met het rendementgenererende proces te maken hebben. Sullivan, Timmermann en White (1999) testen het onderzoek van Brock, Lakonishok en LeBaron (1992) op de invloed van data-snooping, en vinden dat zelfs na correctie hiervoor er nog steeds sprake is van abnormale rendementen. Wel melden ze dat hier geen sprake meer van is wanneer hetzelfde onderzoek uitgevoerd wordt op koersdata van future-contracten, die in tegenstelling tot de indexkoersen waarop het originele onderzoek uitgevoerd is direct verhandelbaar zijn. Ook worden er bij het gebruik van out-of-sample data geen buitengewone rendementen gevonden.
2.1.7 Conclusie Geconcludeerd kan worden dat door problemen als data-snooping en onbekende en tijdsvariërende risicopremies het vrijwel onmogelijk is om tot een oordeel te komen over de toegevoegde waarde van technische handelsregels. In dit onderzoek zal zoals eerder vermeld dan ook niet gekeken worden
15
naar de vraag of deze methoden abnormale rendementen genereren, maar zal de aandacht volledig liggen op de rendementsverdeling van de diverse beleggingsobjecten van een belegger die posities inneemt op basis van een bepaalde handelsregel.
2.2 Extreme Value Theory (EVT) 2.2.1 Non-normaliteit Een bekend probleem bij bijvoorbeeld het optimaliseren van portefeuilles, het vaststellen van de performance van managers van fondsen en het bepalen van het risicopro el van een portefeuille is de vraag welke risicomaatstaf geschikt is. De belangrijkste oorzaak die het gebruik van 1 standaard risicomaatstaf in de weg staat heeft betrekking op het niet normaal verdeeld zijn van rendementen van beleggingsobjecten. Hier zal uitgebreid op terug gekomen worden. Allereerst zal de bestaande theorie over kansverdelingen, dikstaartigheid van verdelingen, en de implicaties hiervan besproken worden. Vervolgens zal aandacht geschonken worden aan de risicomaatstaf Value-atRisk (VaR) en de traditionele variantie, de diversi catievoordelen onder zowel normaliteit als dikstaartigheid, en het onderscheid in de analyse wanneer gebruik gemaakt wordt van VaR of variantie. Het standaard mean-variance framework wat door Markowitz ontwikkeld werd en later de basis werd voor het Capital-Asset-Pricing-Model (CAPM) wordt vaak gezien als de grondslag van de huidige nancieringsliteratuur. Een van de belangrijkste aannames hierbij is echter de veronderstelling dat de rendementen van de in de portefeuille opgenomen beleggingsobjecten normaal verdeeld zijn.
Onderzoek heeft echter uitgewezen dat dit zeker niet
geldt voor objecten met een niet-lineaire uitbetaling, zoals bijvoorbeeld opties, maar dat voor standaard beleggingen zoals aandelen en obligaties hier ook sterke vraagtekens bij gezet kunnen worden.
16
Een relatief eenvoudige
maatstaf voor het vaststellen of rendementen normaal verdeeld zijn is de
2
Jarque-Bera test .
2.2.2 Dikstaartigheid en reguliere variatie De voor het inschatten van risico's belangrijkste afwijking ten opzichte van de normale verdeling van veel nanciële rendementen is dikstaartigheid. Dit betekent dat de kans op een extreem rendement aanzienlijk groter is dan de normale verdeling voorschrijft. Een duidelijk voorbeeld van het niet-normaal verdeeld zijn van aandelenrendementen is de crash van oktober 1987.
De
daling die toen plaats vond in een enkele handelsdag had een grootte van ongeveer 22 maal de standaarddeviatie van het rendement.
Wanneer dit
onderliggende rendement normaal verdeeld zou zijn zou een dergelijke daling slechts eens per
10160 jaar voorkomen.
Wanneer we hierbij bedenken dat eind
jaren 20 van de vorige eeuw dergelijke dalingen ook al eens plaatsvonden bestaat er geen twijfel dat het rendement op de aandelenmarkt niet normaal verdeeld is. De eerste aanwijzing dat rendementen dikstaartigheid vertonen kan gevonden worden in een te hoge waarde voor de kurtosis van een verdeling. Dit duidt op een teveel aan kansmassa in de staarten van een verdeling. Hyung en de Vries (2002) beschrijven echter dat kurtosis een te algemene benadering is, omdat gevonden wordt dat niet alleen het derde moment (kurtosis) van een verdeling hoger is dan bij een normale verdeling, maar dat dit voor alle hogere momenten geldt.
Hierbij is er zelfs sprake van
dat de waarde van hogere momenten niet eindig is, en dus niet bestaat. Zij de niëren dikstaartigheid dan ook als alle verdelingen die eenzelfde vorm in de staart hebben als de Pareto verdeling, en dus te maken hebben
2 In de Jarque-Bera test wordt rekening gehouden met het derde moment (scheefheid) en vierde moment (kurtosis) van een verdeling.
17
met een machtsfunctie in dichtheid. geschonken worden.
Verderop zal hier meer aandacht aan
Hiermee samenhangend beschrijven Jansen, Koedijk
en de Vries (2000) de eigenschappen van dikstaartige verdelingen.
Deze
hebben als gemeenschappelijk kenmerk reguliere variatie. Een cumulatieve verdelingsfunctie wordt regulier variërend genoemd wanneer aan de volgende voorwaarde wordt voldaan:
lim t → ∞
Waarbij
x
F (−tx) = x−α F (−t)
(1)
een log-koersrendement voorstelt, en F staat voor de cumu-
latieve verdelingsfunctie. Hieruit blijkt dus direct dat er sprake is van een verdeling met de kenmerken van een machtsfunctie. Huisman, Koedijk, Kool en Palm (1998) melden dat vele onderzoeken hebben uitgewezen dat zeer veel rendementen van beleggingsobjecten aan deze eigenschap voldoen. De hyperbolische coe ciënt
α
uit deze formule wordt tail-index ge-
noemd, en is een directe maatstaf voor de mate van dikstaartigheid. Deze tail-index geeft aan hoe snel de staart van een bepaalde verdeling afneemt. Een hogere waarde impliceert een dunnere staart. direct dat voor
x→∞
Uit deze formule volgt
geldt:
F (−x) = Ax−α
(2)
Waarin alpha zoals gezegd de tail-index is, en de A een schaalparameter. Beide kunnen met empirische data geschat worden, een schattingsmethode wordt later besproken. Hieruit blijkt dat er bij dergelijke verdelingen zoals eerder vermeld sprake is van verdelingen die een machtsfunctie volgen in de
18
staart van de verdeling, soortgelijk aan die van de Pareto-verdeling. Binnen de Extreme Value Theory (EVT) impliceert de waarde van deze tail-index een aantal zaken.
Zo correspondeert het aantal begrensde
momenten van een verdeling 1-op-1 met de waarde van de tail-index (zie Jansen en de Vries (1991).
De staart van een verdeling neemt namelijk
exponentieel (zoals bijvoorbeeld de normale verdeling) af, of met een macht (verdelingen die voldoen aan de voorwaarde van reguliere variatie).
Voor
exponentiele verdelingen geldt dat deze staart zodanig snel afneemt dat alle momenten van de verdeling een eindige waarde hebben. Wanneer de staart echter volgens een machtsfunctie afneemt, hangt het af van deze macht hoeveel momenten eindig zijn.
Kijken we naar verdelingen waarbij sprake
is van dikstaartigheid, dan kunnen we uit (2) a eiden dat de dichtheid van een dergelijke verdeling er in de staart als volgt uit zal zien:
f (−x) = αAx−α−1
(3)
Vergelijken we dit met de exponentiële verdeling dan geldt de volgende dichtheid:
f (−x) = e−x
(4)
Duidelijk is dat de exponentiële verdeling altijd sneller naar nul zal gaan in de staart dan de Pareto-verdeling (x
→ ∞).
Op basis van (3) kan gesteld worden dat de dichtheid van de Pareto verdeling afneemt met snelheid waarbij
xm
m>α
x−α−1 .
Dit impliceert dat er voor momenten
geen eindige waarde zal bestaan, aangezien de explosie van
veel sterker zal zijn dan de afname van de dichtheid.
19
Stel bijvoorbeeld dat we kijken naar een standaard Pareto verdeling met de volgende kansdichtheidsfunctie en cumulatieve kansdichtheidsfunctie:
f (x) = Ax−α−1
(5)
F (x) = 1 − x−α
(6)
Uit de nities 4.4 en 4.12 van Wackerly (2002) lezen we af dat voor het
m-de
moment rond het gemiddelde geldt:
µm = E(X − µ)m
(7)
en dat de verwachting van een continue variabele X als volgt bepaald wordt:
Z
∞
E(X) =
xf (x)dx
(8)
−∞ Nemen we nu voor het gemak voor het gemiddelde nul, dan geldt voor het
m-de
moment:
µm = E(X m ) = α
Z
∞
X m X −α−1 dx = α
1 Als we nu vervolgens voor
α
Z
∞
X m−α−1 dx
1
bijvoorbeeld 2 nemen, dan zal uit het volgende
duidelijk zijn dat het derde moment niet bestaat:
Z
µ3 = 2
∞
h i∞
1dx = x 1
1
Voor een exponentiele verdeling geldt echter dat de dichtheid afneemt met een snelheid van
xm .
e−x
(zie (4)), welke altijd groter zal zijn dan de toename
Hierdoor zijn dus alle momenten eindig. Een gelijksoortig argument
20
geldt ook voor de normale verdeling, waardoor ook hiervoor geldt dat alle momenten eindig zijn.
2.2.3 Semi-parametrische benadering Wanneer we geïnteresseerd zijn in het gedrag van verdelingen in de staarten om zo tot betere neerwaartse risicomaatstaven te komen, is een bovenstaande methode op basis van de tail-index en een schaalfactor (semiparametrisch) te prefereren boven een volledig parametrische benadering of een niet-parametrische benadering.
Zo zal een semi-parametrische aanpak
een veel lagere bias hebben dan een volledig parametrische benadering, omdat laatstgenoemde niet alleen de staarten van de verdeling dient te re ecteren, maar ook de karakteristieken van het centrum van de verdeling moet weergeven.
Het voordeel ten opzichte van een niet-parametrische benade-
ring ligt in het feit dat met behulp van de tail-index en schaalparameter ook schattingen gegeven kunnen worden voor extreme rendementen die buiten het bereik van de gebruikte dataset liggen. Aangezien namelijk de vorm van de staart bekend is, kan op basis hiervan bepaald worden met welke waarschijnlijkheid een speci eke uitslag ver in de staart zal voorkomen. Ook als die uitslag groter is dan de grootste uitslag in de dataset. Dit construeren van zogenaamde out-of-sample gegevens zal verderop beschreven worden.
Met
een niet-parametrische aanpak is het niet mogelijk om iets te zeggen over out-of-sample data. Voor het bepalen van de tail-index en schaalparameter kan gebruik gemaakt worden van de formule van Hill (1975):
1/ˆ α = 1/m
m h X
log X(n+1−i) /X(n−m)
i
(9)
i=1
Waarin
α ˆ
staat voor de schatter van de tail-index, en de
21
Xi
de rendementen
in oplopende volgorde (beginnend met het meest negatieve rendement) zijn.
n
tenslotte staat voor het totaal aantal waarnemingen. Probleem hierbij is
echter het bepalen van de waarde van
m,
oftewel het aantal waarnemingen
(gesorteerd beginnend bij het meest negatieve rendement) wat geacht wordt tot de staart van de verdeling te horen. Danielsson en de Vries (1997) beschrijven namelijk dat wanneer gekozen wordt voor een lage waarde van
m
de variantie van de schatting van de tail-index groot is. Aan de andere kant zal het opnemen van een groot aantal waarnemingen leiden tot een bias in de waarde van de tail-index, omdat dan niet alleen de staart van de verdeling, maar ook een stuk van het centrum meegenomen wordt in de analyse. Om dit probleem op te lossen is er dus een trade-o nodig tussen variantie en bias.
Danielsson en de Vries (1997) bieden hiervoor een oplossing, net
als Huisman, Koedijk, Kool en Palm (1998) die een andere aanpak kiezen. Gezien de complexiteit van deze methodes, zal in deze scriptie visueel een waarde voor de tail-index gekozen worden door. Het is namelijk ook mogelijk in een gra ek waarin de waarde van
m
en de bijbehorende waarde voor de
Hill-schatter afgebeeld staan een afweging te maken tussen variantie en bias. Jansen en de Vries (1991) vinden in hun onderzoek naar de dikstaartigheid van aandelenrendementen dat de tail-index over tijd robuust blijkt te zijn, ondanks institutionele veranderingen op nanciële markten. Aangezien rendementen op nanciële markten zowel extreme uitschieters in positieve als negatieve zin bezitten, kan zowel voor de linker als voor de rechter staart van een verdeling een tail-index met bijbehorende schaalparameter geschat worden. Huisman, Koedijk, Kool en Palm (1998) bepalen in hun onderzoek tail-indices voor valutamarkten, en vinden dat er signi cante verschillen bestaan tussen de diktes van de linker en rechter staart. Hartmann, Straetmans en de Vries (2001) vinden voor aandelenbeurzen echter
22
dat er slechts op bepaalde markten signi cante verschillen bestaan tussen beide staarten.
Aangezien in deze scriptie slechts gekeken wordt naar het
neerwaarts risico zal wanneer gesproken wordt over tail-index verder gerefereerd worden aan de tail-index van de linker staart. Voor het schatten van de schaalparameter A uit (2) kan de volgende formule gebruikt worden:
m Aˆ = (Xm+1) )αˆ n
(10)
Vervolgens kan met behulp van de geschatte tail-index een kwantielschatter bepaald worden. Deze schatter geeft aan welk (negatief ) rendement hoort bij een bepaalde kans
qp
p, en kan op de volgende manier bepaald worden:
qˆp = X(m)
m np
!1/α (11)
Hiermee is een methode gecreëerd om tot een bepaling van de Valueat-Risk risicomaatstaf van een bepaalde rendementreeks te komen.
Deze
maatstaf wordt later besproken. Een manier om te kijken of deze kwantielschatter accuraat is, is deze eenvoudigweg te vergelijken met de empirische observatie met kans
m/n
(waarbij
n
de steekproef grootte is, en
m
de
m-de
waarneming wanneer deze gesorteerd worden).
2.2.4 Toepassing van tail-index Koedijk, Stork en de Vries (1992) gebruiken de tail-index om een vergelijking te maken tussen rendementen van valuta die begin jaren 90 in het
23
EMS opgenomen waren (en dus binnen een bandbreedte als vast gezien werden), en valuta die vrij konden uctueren.
Met behulp van de tail-index
is het namelijk mogelijk om diktes van staarten van rendementsverdelingen te vergelijken, waardoor een uitspraak gedaan kan worden over de invloed van bijvoorbeeld het EMS. Zo vinden zij dat het EMS niet geslaagd is in de doelstelling om forse bewegingen van valutakoersen te voorkomen:
de
EMS-valuta blijken dikkere staarten te hebben dan niet-EMS-valuta. Ook Huisman, Koedijk, Kool en Palm (1998) komen tot deze conclusies wanneer ze vaste en exibele wisselkoersen vergelijken. Tevens vinden zij dat vaste wisselkoersen scheefheid naar rechts vertonen, terwijl er bij exibele koersen zo goed als geen sprake is van scheefheid in hun rendementen. Dit betekent dat een exibel regime er voor zorgt dat de valutakoersen zich meer gelijkmatig aanpassen, dan in een systeem van vaste wisselkoersen, waar veel meer schokken aanwezig zijn. Een andere toepassing van de tail-index kan gevonden worden in het genereren van out-of-sample data. met
een
empirische
Wanneer er namelijk gewerkt wordt
rendementsverdeling
met
n
waarnemingen,
is
het
uiteraard niet zomaar mogelijk uitspraken te doen over situaties die zich voordoen met een kans kleiner dan 1/n.
Wanneer er echter sprake is van
een staart van een rendementsverdeling die behoort tot de categorie van regulier variërende verdelingen (zie (1)), weten we doordat we beschikken over de tail-index hoe de staart van een speci eke verdeling eruit ziet. Aan de hand hiervan kunnen we tot schattingen komen hoe groot het (negatieve) rendement zal zijn dat bijvoorbeeld slechts met een kans van 1/(2n) voorkomt. Dacorogna, Müller, Pictet en de Vries (2001) beschrijven hoe tot een dergelijke out-of-sample schatting gekomen kan worden. dat
Xp
en
Xt
Stel
kwantielen zijn met bijbehorende kansen op dit verlies
24
p
van
en
verdeling ligt.
t.
Verder geldt dat
die
we
tot
onze
p
< 1/n <
beschikking
ligt dus in de empirische
hebben,
terwijl
Voor de staart van de (dikstaartige) verdeling waar
(−α)
p = AXp
geldt dat de Pareto-term overheerst: manier voor
t).
Hieruit volgt dat
de dataset ligt kunnen we
m/n.
t, X t
t
Xp p
en
daarbuiten
t
bijhoren
(Dit geldt op dezelfde
Xp ≈ Xt (t/p)(1/α)
Aangezien
in
vervangen door de empirische tegenhanger
Op deze manier wordt de schatter voor het out-of-sample kwantiel
m nt
Xp = Xm
Invullen van een bepaalde kans
t
Xp :
1/α (12)
p leidt op deze manier direct tot een schatter
voor het bijbehorende kwantiel. Een ander voordeel van het bestaan van een enkele tail-index waarmee de gehele staart van een regulier variërende verdeling beschreven kan worden is de eenvoud waarmee data opgeteld kan worden om zo tot een langere horizon te komen. Jansen, Koedijk en de Vries (2000) beschrijven
3
dat met behulp van Feller's theorema , voor het optellen van om zo tot een
k -periode
P (Ri < −x) = AX −α
k
periodes
rendement te komen het volgende geldt:
voor
x→∞
Als
(Het overheersen van de Pareto term in
de staart) dan volgt:
(
P
k X
)
Ri ≤ −x
≈ kAx−α
(13)
i=1
Waar
Ri
staat voor het rendement van beleggingsobject i. Het blijkt dus dat
het optellen van rendementen over in de tail-index.
k periodes niet zorgt voor een verandering
Wel wordt de schaalfactor een factor
3
k
groter.
Deze
k
Zie: Feller, W. 1971. An introduction to probability theory and its applications. Vol ii. 2nd. ed. New York: Wiley, hoofdstuk 8. 25
die hier het aantal periodes vertegenwoordigt, kan ook gebruikt worden als het aantal beleggingsobjecten dat in een portefeuille opgenomen is. In dat geval moet wel gelden dat de rendementen van de verschillende objecten onafhankelijk van elkaar zijn. Tevens geven Jansen, Koedijk en de Vries (2000) aan dat voor portefeuilles bestaande uit beleggingsobjecten met verschillende tail-indexen geldt dat de tail-index van de portefeuille gelijk is aan die van het beleggingsobject met de hoogste tail-index. Deze waarde kan dan dus gebruikt worden om uitspraken te doen over bijvoorbeeld het neerwaarts risico van de gehele portefeuille. Dacorogna, Müller, Pictet en de Vries (2001) hebben de beschikking over zogenaamde high-frequency valutakoersen, namelijk alle valuta quotes gepubliceerd op Reuters over een periode van 7 jaar.
Het gebruik van deze
high-frequency data leidt tot een aantal voordelen. Zo zijn er door de enorme hoeveelheid data simpelweg erg veel waarnemingen in de staart van de verdeling beschikbaar, terwijl normaal gesproken hier juist zeer weinig data voorkomt.
Hierdoor is het mogelijk om een tot een veel betrouwbaardere
schatting te komen van de kansmassa die ver in de staart ligt, en zullen er nauwkeurigere Value-at-Risk niveaus gevonden worden. Tevens kan tot een betrouwbaardere schatting gekomen worden van
m,
het aantal gesorteerde
rendementen wat geacht wordt tot de staart te behoren en daarom meegenomen wordt in de bepaling van de tail-index. Zoals eerder beschreven zal de tail-index van high-frequency data gelijk zijn aan die van een
k -maal zo lange
periode, op basis van Feller's theorema. De waardes voor de tail-indices die gevonden worden voor de Reuters data kunnen dus gebruikt worden voor een analyse van de dikstaartigheid van de valuta rendementen op bijvoorbeeld dagbasis. Het feit dat deze schattingen echter veel betrouwbaarder zijn dan
26
wanneer met dagdata gewerkt zou zijn komt tot uiting in de veel kleinere betrouwbaarheidsintervallen rondom de schatting van de tail-index.
2.3 Diversi catie In een wereld waarin elke belegger zou beleggen volgens het mean-variance framework van Markowitz zou ieder van hen het meest optimale punt op de e ciënte grenslijn kiezen (in theorie de marktportefeuille met daarin wereldwijd alle beleggingscategorieën vertegenwoordigd).
Vervolgens zou al naar
gelang van de mate van risico-aversiteit geld geleend worden om in deze positie te beleggen, of juist een deel van het beschikbare kapitaal uitgeleend worden. De praktijk heeft echter uitgewezen dat naast het feit dat het vrijwel onmogelijk is om in een portefeuille te beleggen waarin alle beleggingsmogelijkheden wereldwijd vertegenwoordigd zijn, beleggers sowieso vaak portefeuilles aanhouden die niet optimaal gediversi eerd zijn. Het gevolg hiervan is dat de portefeuille te maken heeft met niet-systematisch, aandeel-speci ek risico (ook wel idiosyncratisch risico genoemd). Dit risico kan bij een betere spreiding van het kapitaal over verschillende beleggingsobjecten weg gediversi eerd kan worden. Xu (2003) beschrijft dat vooral de laatste jaren de aandeel-speci eke risico's toegenomen zijn, terwijl de markt als geheel relatief kalm bewogen heeft. De noodzaak van een goed gediversi eerde portefeuille is dus alleen maar toegenomen. Tevens geeft hij aan dat dit probleem groter is in emerging-markets dan in ontwikkelde markten, aangezien de aandelen in emerging-markets veel meer aandeel-speci ek risico in zich dragen dan in ontwikkelde markten. Onderzoek is gedaan naar hoeveel beleggingsobjecten een portefeuille zou moeten bevatten om dit zogenoemde idiosyncratische risico te elimineren.
Xu
vindt voor de Chinese aandelenmarkt dat spreiding over 20 aandelen al leidt tot een verlaging van dit niet-systematische risico met 90%. In een klassieke
27
studie zetten Archer en Evans (1968) het onsystematisch risico uit tegen het aantal in de portefeuille opgenomen beleggingsobjecten, en stellen dat vanaf 10 aandelen een portefeuille manager de extra voordelen van een hogere diversi catiegraad zou moeten afwegen tegen de extra kosten. Statman (1987) toont echter aan dat het altijd voordeliger is om niet met een vuistregel van bijvoorbeeld 10 of 15 aandelen te werken, maar dat de originele theorie gevolgd zou moeten worden wat betreft het beleggen in de marktporteuille. In zijn onderzoek wordt de S&P-500 gebruikt als marktindex waarin belegd wordt, waarbij een deel van het beschikbare kapitaal wordt uitgeleend, of er extra wordt bijgeleend om in de marktindex te beleggen. Hij vergelijkt het risico van beleggen in een beperkt aantal aandelen met dat van beleggen in de marktindex (waarin 500 aandelen opgenomen zijn). Vervolgens leent hij een dergelijk bedrag bij om ook te investeren in de marktindex zodat het risico van de belegging in de marktindex plus lening gelijk is aan dat van de portefeuille van bijvoorbeeld 10 aandelen.
Hij vindt dat de 1e benadering
een extra rendement geeft van 1.502% in vergelijking tot een belegging in 10 aandelen, bij zoals vermeld hetzelfde risico. Rekening houdend met kosten die verbonden zijn aan het spreiden over extra aandelen komt hij tot de conclusie dat een optimale portefeuille ten minste 30 aandelen zou moeten bevatten. Vanaf dit punt is het namelijk niet langer aantrekkelijker om een belegging in de marktindex te combineren met lenen/uitlenen dan in een beperkt aantal aandelen te beleggen. Opgemerkt dient echter te worden dat wanneer men gebruikt maakt van de mean-variance benadering van Markowitz dit impliciet de aanname van normaliteit van de rendementsverdeling van de gebruikte beleggingsobjecten met zich meebrengt. In 2.2.2 is echter al beschreven dat rendementen op nanciële markten vrijwel nooit normaal verdeeld zijn, en er dus vraag-
28
tekens gezet kunnen worden bij het gebruik van het CAPM voor het bepalen van optimale portefeuilles.
Zo beschrijft bijvoorbeeld Leland (1998)
de tekortkomingen van het CAPM, en de maatstaf variantie. Variantie als risicomaatstaf is namelijk alleen een juiste benadering wanneer de rendementen normaal verdeeld zijn, aangezien dan met behulp van gemiddelde en variantie de totale verdeling beschreven kan worden. Zijn de rendementen echter niet normaal verdeeld, dan zal er sprake zijn van afwijkende derde en vierde momenten van de verdelingen, welke niet tot uitdrukking komen in de variantie. Tevens geldt zoals beschreven in 2.2.2 dat wanneer er sprake is van een tail-index lager dan 2 de variantie niet eens een eindige waarde heeft. Wanneer echter wel van deze CAPM aanpak gebruikt gemaakt wordt, wordt dientengevolge ook het voordeel van diversi catie en het aantal in een e ciënte portefeuille op te nemen beleggingsobjecten niet juist bepaald.
2.3.1 Value-at-Risk (VaR) Een veelvuldig gebruikte risicomaatstaf die deze problemen minder kent is de Value-at-Risk methodologie. Deze door JP-Morgan ontwikkelde standaard geeft met een vooraf te bepalen zekerheid weer welk verlies men over een bepaalde periode maximaal kan leiden met een speci eke positie of portefeuille. Daníelsson en de Vries (1998) beschrijven de twee belangrijkste varianten van deze maatstaf, namelijk de Risk-metrics benadering en de historische simulatie. De Risk-metrics methode is een parametrische benadering waarin een bepaalde verdeling gebruikt wordt om uitspraken te kunnen doen over het risico op een bepaald verlies. De standaard methode gaat uit van normaliteit van de rendementsverdelingen, terwijl dit in de praktijk vaak niet geldt. Dit leidt in dat geval tot een sterke onderschatting van extreme gebeurtenissen. Een oplossing hiervoor is het gebruik van bijvoorbeeld speci ekere verdelingen, zoals de Student-t verdeling, die meer kansmassa in de staart kunnen
29
uitdrukken dan de normale verdeling. Dergelijke modellen zijn echter vaak moeilijk te schatten. De historische methode daarentegen is een non-parametrische benadering waarin historische rendementen gebruikt worden om toekomstige rendementen te voorspellen. Een dergelijke methode is dus niet afhankelijk van een te bepalen verdeling.
De belangrijkste aanname hierbij is echter wel dat
de rendementsverdeling door de tijd heen constant is. Problemen ontstaan doordat het niet mogelijk is iets te zeggen over verliezen groter dan die in de dataset voorkomen. Tevens geldt dat de waarnemingen diep in de staart van de verdeling niet altijd betrouwbaar zijn, aangezien hier slechts zeer weinig waarnemingen te vinden zijn. Daníelsson en de Vries (1998) beschrijven een derde methode om tot een VaR schatting te komen, namelijk het gebruik van de tail-index.
De-
ze methodologie valt in de categorie semi-parametrisch aangezien er slechts uitspraken gedaan worden over de staart van de verdeling. Aangezien een VaR benadering juist uitspraken doet over gebeurtenissen ver in de staart van de verdeling, is de tail-index methode in staat betrouwbaardere schattingen te geven van extreme gebeurtenissen. Tevens is het op deze manier mogelijk om uitspraken te doen over potentiële verliezen die groter zijn dan die voorkomen in de beschikbare dataset, iets wat dus met de historische methode niet mogelijk was. Wat tot slot een groot voordeel is van het feit dat de rendementen onder dikstaartigheid voldoen aan de voorwaarde van reguliere variatie is de additiviteit. Zoals beschreven in 2.2.4 is het op basis van Feller's theorema zeer eenvoudig om tot schattingen te komen van VaR over langere periodes. Wanneer men beschikt over een VaR schatting op bijvoorbeeld dagbasis kan eenvoudig gekomen worden tot een VaR niveau over een 10-daagse periode wanneer bekend is wat de tail-index van de positie of
30
portefeuille is. Verderop zal de benadering hiervoor besproken worden. Daníelsson en de Vries (1998) tonen aan dat de VaR gebaseerd op de tailindex betere schattingen geeft voor gebeurtenissen ver in de staart dan zowel de historische simulatie als de risk-metrics methode. In hun onderzoek blijkt dat alleen voor het 5%-niveau risk-metrics tot nauwkeurigere schattingen komt dan historische simulatie en de tail-index methode. De reden hiervoor ligt in het feit dat dergelijke punten zodanig ver richting het centrum van de verdeling liggen dat hier de parametrische benadering beter werkt dan de semi-parametrische methode. Dit is niet vreemd aangezien de tail-index slechts een beschrijving is van de vorm van de staarten van de verdeling, en geen maatstaf voor het centrum van de verdeling.
Wanneer we echter
alleen geïnteresseerd zijn in gebeurtenissen in de staart blijkt de methode dus duidelijk betere resultaten te geven aangezien juist alleen staart van de verdeling geanalyseerd wordt.
2.3.2 Toepassing Extreme Value Theory Met behulp van Extreme Value Theory kunnen we vervolgens nagaan in hoeverre non-normaliteit van invloed is op de voordelen van diversi catie. Zoals eerder besproken wordt de invloed van diversi catie namelijk vaak in een mean-variance benadering bekeken, terwijl er aan het gebruik van variantie als risicomaatstaf meerdere nadelen kleven (zie 2.3). Aangezien er nog zeer weinig literatuur is over het verschil in diversi catiesnelheid tussen normale en dikstaartige verdelingen, en wanneer gekeken wordt naar VaR en variantie, zal de focus liggen op de bevindingen van Hyung en de Vries (2001) en Hyung en de Vries (2005). Belangrijk om op voorhand te vermelden is het verschil tussen twee manieren waarop gekeken kan worden naar de invloed van het toevoegen van extra beleggingsobjecten aan een portefeuille, op de risicomaatstaf Value-at-
31
Risk.
Zo kan de analyse gedaan worden met het constant houden van de
kans op een negatief rendement en daarbij dan de invloed van diversi catie op het te verliezen bedrag (VaR niveau) meten.
De snelheid waarmee
dit VaR niveau afneemt wordt VaR diversi catie snelheid genoemd. Aan de andere kant kan men ook dit VaR niveau constant houden, en de invloed onderzoeken van spreiding over meerdere beleggingsobjecten op de kans dat een dergelijk negatief scenario zich voordoet. Bij deze methodiek wordt de diversi catie snelheid van het risico niveau bekeken.
2.3.3 Diversi catiesnelheid onder dikstaartigheid Allereerst bespreken Hyung en de Vries de situatie waarin de rendementen van de beleggingsobjecten in de portefeuille onafhankelijk van elkaar zijn;
er is dus geen sprake van een markt factor.
In het geval
van dikstaartigheid van de rendementsverdeling kan, op basis van (13), afgeleid worden dat voor een portefeuille waarin de beleggingsobjecten gelijk gewogen worden het diversi catievoordeel als volgt weergegeven kan worden:
k 1X P Ri ≤ −x k i=1
(
)
≈k
−α
k X
!
Ai x−α
(14)
i=1
Hieruit kan afgeleid worden dat wanneer er sprake is van dikstaartigheid de diversi catie snelheid van het risico niveau als volgt afhangt van het aantal opgenomen beleggingsobjecten:
dlnP '1−α dlnk
Voor de VaR diversi catie snelheid geldt:
32
(15)
dlnq 1 = −1 + dlnk α
(16)
2.3.4 Diversi catiesnelheid onder normaliteit Vergelijken we dit met de situatie waarin de rendementen normaal verdeeld zijn, dan wordt de kansdichtheid als volgt gede nieerd:
P {Ri ≤ −x} =
1 1 1 √ exp(− x2 ) 2 x 2π
voor
x→∞
(17)
Het diversi catievoordeel blijkt dan uit:
k 1X P Ri ≤ −x k i=1
(
)
)
(
1 = P √ Ri ≤ −x k
1 1 1 ' √ √ exp(− kx2 ) 2 x k 2π
(18)
Hieruit kan afgeleid worden dat in geval van normaliteit de diversi catie snelheid van het risico niveau als volgt afhangt van het aantal opgenomen beleggingsobject:
dlnP 1 1 ' − − x2 k dlnk 2 2
(19)
In dit geval ziet de VaR diversi catie snelheid er als volgt uit:
1 dlnq =− dlnk 2
33
(20)
Als eerste kijken we op basis van het voorgaande naar de snelheid waarmee de kans op een vooraf gespeci ceerd negatief rendement (diversi catie snelheid van het risico niveau) verkleind wordt door het opnemen van extra beleggingsobjecten. Hierbij houden we dus het verlies niveau (VaR niveau) constant, en kijken we hoe de kans op een dergelijk verlies verandert wanneer meer objecten toegevoegd worden. De snelheid waarmee deze kans afneemt blijkt voor de normale verdeling groter te zijn dan voor de dikstaartige verdeling, wanneer
k
groot genoeg is. Met andere woorden: wanneer gekeken
wordt naar de kans op een vooraf vastgesteld negatief rendement, zal onder normaliteit over minder beleggingsobjecten gespreid hoeven worden dan wanneer er sprake is van dikstaartigheid.
De reden hiervoor is dat onder
normaliteit deze kans sneller verkleind wordt door diversi catie. Vervolgens kijken we naar de invloed van diversi catie op de grootte van het VaR niveau bij een constante kans (VaR diversi catie snelheid). In dit geval wordt dus de kans op een negatief rendement constant gehouden, en wordt er gekeken naar de invloed van het toevoegen van beleggingsobjecten op de grootte van het verlies niveau (VaR niveau). In dat geval geldt juist dat dit niveau sneller kleiner wordt onder dikstaartigheid dan onder normaliteit,
4
wanneer alpha groter dan 2 is . In dit geval zal dus onder dikstaartigheid over minder beleggingsobjecten gespreid hoeven worden dan onder normaliteit van de rendementen.
2.3.5 Value-at-Risk over langere horizons Bekend is dat onder normaliteit geldt dat een 1-daags VaR niveau eenvoudigweg vermenigvuldigd kan worden met rule) om tot een
k -daags
k 1/2
(de zogenaamde square-root
VaR niveau te komen. Dacorogna, Müller, Pictet
4 Dit geldt voor de meeste rendementen van beleggingsobjecten, zie bijvoorbeeld Danielsson en de Vries (1997), Huisman en Huurman (2003) en Koedijk, Schafgans en de Vries (1990).
34
en de Vries (2001) bepalen het
k -daags
VaR niveau voor de situatie van dik-
staartigheid in de rendementsverdeling, en vinden analoog aan (20) en (16) dat er hier sprake is van een "alpha-root rule": het 1-daags VaR niveau dient met een factor
k 1/α
vermenigvuldigd te worden. Wanneer alpha groter dan
2 is geldt dat de aanname van normaliteit leidt tot een overschatting van het VaR niveau voor de meerdaags periode. In het algemeen kan dus gesteld worden dat het normale model of niet voorzichtig genoeg is met betrekking tot neerwaarts risico, of juist te hoge risico's weergeeft, afhankelijk van de gekozen tijdshorizon.
Dit resultaat is in lijn met wat gevonden werd voor
de VaR diversi catie snelheid, aangezien ook daar met een factor
k
gewerkt
wordt (k staat dan echter voor het aantal beleggingsobjecten). Aangezien hier met een gelijkgewogen portefeuille gewerkt werd, komt deze analyse op hetzelfde neer als het kijken naar een VaR niveau over een
k -daagse periode,
waarbij voor wat betreft de diversi catievoordelen gedeeld wordt door het aantal beleggingsobjecten bij een
k -daagse
k.
Het feit dat het VaR niveau onder normaliteit
periode sterker toeneemt onder normaliteit dan onder dik-
staartigheid, is dus overeenkomstig met het feit dat onder dikstaartigheid er sprake is van een e ciëntere diversi catie.
2.3.6 Systematisch risico Vervolgens nemen we in acht dat niet al het risico van een beleggingsportefeuille weg gediversi eerd kan worden aangezien er sprake is van systematisch risico: het marktrendement. Rendementen van de individuele beleggingsobjecten zijn hier lineair afhankelijk van, waarbij
β
de maatstaf is voor het
niveau van de samenhang. Verder stellen we dat het overblijvende idiosyncratische risico per de nitie onafhankelijk is van de marktfactor.
Ri = βi R + Qi
35
(21)
Met in achtneming van de marktfactor wordt het diversi catievoordeel als volgt:
k 1X P Ri ≤ −x k i=1
(
k X
)
≈k
−α
!
Ai x−α + β¯α Ar x−α
(22)
i=1
Aangezien deze marktfactor niet diversi eerbaar is en er voor zorgt dat rendementen van verschillende individuele beleggingsobjecten niet langer onafhankelijk van elkaar zijn, leidt dit ertoe dat de voordelen van diversi catie kleiner zijn dan wanneer alle rendementen volledig onafhankelijk zouden zijn.
In die theoretische situatie zou namelijk in een portefeuille
met een oneindig aantal beleggingsobjecten het risico nihil zijn.
Wanneer
rekening gehouden wordt met de marktfactor blijkt dan ook dat bij een grote waarde van
k
al het risico voorkomt uit deze marktfactor:
k 1X P Ri ≤ −x k i=1
(
)
¯ α Ar x−α ≈B
(23)
Het feit dat deze factor niet diversi eerbaar is blijkt al uit (22), aangezien er geen invloed is van heeft op
¯. B
k
op het gedeelte van de vergelijking wat betrekking
Hyung en de Vries (2004) vinden echter dat zelfs na het toe-
voegen van de marktfactor de residuen (Qi ) niet onafhankelijk van elkaar zijn. Blijkbaar is er nog een gemeenschappelijke, niet diversi eerbare factor in het rendementsgenererende proces, waar nog geen verklaring voor is op dit moment. Ook deze factor zorgt net als de marktfactor voor een verkleining van de diversi catievoordelen.
36
2.3.7 Vergelijking Value-at-Risk en variantie Bovenstaand is ruim aandacht besteed aan de invloed van het al dan niet normaal verdeeld zijn van de onderliggende rendementsverdelingen binnen een portefeuille op de risicomaatstaf Value-at-Risk.
Tevens is onderscheid
gemaakt tussen de VaR diversi catie snelheid en de diversi catie snelheid van het risico niveau. Variantie is echter ook een veel gebruikelijke maatstaf voor het risico van een bepaalde belegging.
Eerder is al melding gemaakt
van de problemen met variantie wanneer rendementen niet normaal verdeeld zijn. Interessant is het dan ook om eventuele verschillen te bepalen tussen de diversi catiesnelheid van VaR en variantie.
Ook hier geldt opnieuw de
onderverdeling in situaties waarin de onderliggende rendementen normaal verdeeld zijn, en wanneer er sprake is van dikstaartigheid. Jansen, Koedijk en de Vries (2000) beschrijven de zogenaamde "safety rst investor", wat kortweg staat voor een belegger die zijn rendement optimaliseert onder de restrictie van een maximaal neerwaartse risico, waar vaak Value-at Risk voor genomen wordt.
Beschreven wordt dat wanneer
er sprake is van normaliteit van de rendementsverdeling, een "safety- rst" analyse overeenkomt met een mean-variance benadering.
In een dergelijk
geval zullen dus ook de risicomaatstaven Value-at Risk en variantie overeen moeten komen qua diversi catiesnelheid, aangezien het rendement van een portefeuille een gewogen gemiddelde van de individuele rendementen is, en dus per de nitie gelijk zal zijn onder zowel een safety- rst analyse als mean-variance. Wanneer er echter sprake is van dikstaartigheid, geldt dat de diversi catie snelheid van het risico niveau veel hoger is dan de snelheid waarmee de idiosyncratische component van de variantie afneemt, zo vinden Hyung en de Vries (2004). Als de rendementen dus dikstaartigheid vertonen, leidt
37
het gebruik van variantie als risicomaatstaf tot een sterke overschatting van het aantal beleggingsobjecten wat nodig is om het niet-systematische risico weg te diversi ëren. Gevonden wordt dat een portefeuille al bij het opnemen van slechts 7 beleggingsobjecten vrijwel geen idiosyncratisch risico meer bevat wanneer gekeken wordt naar de kans op een vooraf vastgesteld negatief rendement, terwijl een variantie benadering zou leiden tot het opnemen van ruwweg 2 maal zoveel beleggingsobjecten. Deze bevindingen hebben praktische implicaties, aangezien het voor het aantal beleggingsobjecten binnen een goed gediversi eerde portefeuille voor de Value-at Risk benadering dus verschil blijkt te maken of de rendementen van de beleggingsobjecten normaal verdeeld zijn of niet.
Dit terwijl het
aantal benodigde beleggingsobjecten bepaald met behulp van de variantie niet verschilt onder normaliteit of dikstaartigheid.
2.3.8 Tail-index normale verdeling Een interessante overdenking tenslotte is de vraag wat de tail-index van de normale verdeling zou moeten zijn.
Uiteraard dient opgemerkt te worden
dat hier niet geldt dat de tail-index gelijk is aan de alpha uit de formule voor reguliere variatie, aangezien de normale verdeling niet voldoet aan de voorwaarde hiervoor. Wanneer we toch een vergelijking proberen te maken kan enerzijds gesteld worden dat de normale verdeling een oneindige tailindex zou moeten hebben, aangezien alle momenten eindig zijn.
In 2.2.2
werd namelijk al gesteld dat het aantal begrensde momenten gelijk is aan de tail-index.
Anderzijds geldt dat wanneer we kijken naar de alpha-root
rule uit 2.3.5 voor het bepalen van rendementen over een periode, we voor
α
k -maal
zo lange
een waarde van 2 zouden moeten nemen om de verme-
nigvuldigingsterm van de normale verdeling te verkrijgen (te weten,
38
k 1/2 ).
3
Empirisch onderzoek
Voor het bepalen van de rendementskarakteristieken en diversi catie voordelen van het toepassen van technische handelsregels zullen een groot aantal internationale nanciële markten gebruikt worden. Allereerst zal aandacht geschonken worden aan welke markten in het onderzoek meegenomen zijn, met bijbehorende beschrijvende statistieken zoals de eerste 4 momenten en onderlinge correlaties. Vervolgens zullen deze uitkomsten vergeleken worden met de rendementen die het technische handelssysteem genereert.
Tevens
wordt de tail-index bepaald voor de diverse rendementsseries, waardoor een indicatie ontstaat voor de mate van dikstaartigheid.
Hierna zullen de in-
dividuele markten in portefeuilles opgenomen worden, om zo uitspraken te kunnen doen over de diversi catievoordelen bij het gebruik van de technische handelsregel. Tot slot zal bekeken worden in hoever deze resultaten aansluiten bij de bestaande theorie, en welke conclusies hieruit getrokken kunnen worden.
3.1 Handelsregel en data Allereerst dient echter bepaald te worden met welke handelsregel in het verdere onderzoek gewerkt wordt. Aangezien zoals eerder gesteld dit onderzoek zich puur richt op de rendementskarakteristieken en niet op de mate van winstgevendheid van de handelsregel is gekozen voor de eenvoudige Channel Rule (zie 2.1.3). Hierbij is gekozen voor een parameter van 20 dagen, wat ongeveer overeenkomt met 1 handelsmaand. Beide keuzes zijn willekeurig. In de praktijk komt dit er dus op neer dat er een koopsignaal gegenereerd wordt wanneer de koers op een hoger punt sluit dan het hoogste slot van de afgelopen 20 handelsdagen.
Een verkoopsignaal ontstaat wanneer het slot
lager is dan het laagste slot van de laatste 20 handelsdagen. Wanneer het
39
laatste signaal een longsignaal is geweest (en het systeem dus een longpositie aanhoudt) wordt er gewacht tot het moment dat er een shortsignaal gegeven wordt voordat er weer een transactie plaats vindt. Andersom geldt dat in geval van een shortpositie er gewacht wordt tot een longsignaal voordat de positie veranderd wordt. Aangezien dit de enige mogelijke transacties zijn heeft het systeem altijd of een longpositie of een shortpositie in de markt. Om tot een rendementsreeks van een dergelijke handelsregel te komen kan dus volstaan worden met het simpelweg vermenigvuldigen van het rendement van het beleggingsobject met een waarde +1 wanneer er sprake is van een longpositie, en -1 in het geval het systeem een shortpositie aanhoudt. Een belegger die een dergelijke strategie zou volgen zou namelijk met deze rendementen geconfronteerd worden. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van koersdata van aandelenbeurzen, valutamarkten, goederenmarkten en rentemarkten. De volgende beleggingsobjecten zijn hierbij onderscheiden (tussen haakjes indien van toepassing de in dit onderzoek gebruikte afkorting, en het land waar de index betrekking op heeft):
•
Aandelenbeurs: Nikkei-225 (Japan), S&P-500 (VS), Ftse-100 (GB).
•
Rentemarkt: 10-jarige Amerikaanse staatsobligatie (10-jaar), 30-jarige Amerikaanse staatsobligatie (30-jaar).
•
Valutamarkt: Euro-Dollar (Eur-Usd), Dollar-Yen (Usd-Jpy), DollarZwitserse Franc (Usd-Chf ).
•
Goederenmarkt:
Gasoline, Crude oil, Katoen, Maïs, Goud, Zilver,
Tarwe.
Er is gebruik gemaakt van dagkoersen van de diverse markten om de analyse op uit te voeren. De periode waarop dit gedaan is van 1 juli 1986
40
tot en met 17 december 2004: een totaal van 4488 waarnemingen in ruim 18 jaar koersdata. Voor de koersdata van de valutamarkten is gebruik ge-
5
maakt van de website van de Federal Reserve , en voor de olieprijzen die van
6
het Amerikaanse Energy Information Agency . De overige koersen zijn via Datastream verkregen. Aangezien het niet mogelijk bleek om zogenaamde "continuous con-
7 data van futurecontracten te verkrijgen is besloten om met spot data8
tract"
te werken. Sweeney (1986) toont aan dat voor het bepalen van resultaten van een technisch handelssysteem op data van valutamarkten er geen grote verschillen bestaan tussen het gebruik van future data of spot data. Een volgende keuze is het al dan niet corrigeren van de rendementen voor de risicovrije rentevoet. Wanneer men kijkt naar bijvoorbeeld het rendement van een aandelenbelegging is het uiteraard noodzakelijk om hier voor aan te passen, omdat dit het rendement is wat een belegger sowieso risicovrij had ontvangen. Het rendement boven dit niveau dient dus geanalyseerd te worden. Onderzoeken we echter futurecontracten dan is dit niet nodig, omdat het rendement op futurecontracten bestaat uit de risicopremie (dus het rendement bovenop de risicovrije rentevoet). Ook voor valutarendementen zou niet voor een risicovrije component gecorrigeerd hoeven te worden, aangezien er dan sprake is van het lenen van een bepaald bedrag in een munteenheid, en dit tegelijkertijd uitlenen in een andere munteenheid. In zo'n geval zou alleen gelet dienen te worden op de zogenaamde interest-rate dierential (zie 2.1.4) en een eventueel verschil tussen de rente waartegen in bijvoorbeeld dollars
5
http://www.federalreserve.gov/releases/h10/ http://www.eia.doe.gov/ 7 Aangezien futurecontracten slechts een beperkte looptijd hebben dienen de koersen hiervan zodanig aangepast te worden voor onderzoek dat er een contract ontstaat dat wel continu doorloopt. 8 Met spot data wordt de prijs van het goed op dit moment bedoeld. Het gaat dan dus om directe, fysieke levering. 6
41
geleend kan worden, en waartegen uitgeleend kan worden. Dit laatste valt echter meer onder de categorie transactiekosten.
Aangezien in het onder-
zoek van deze scriptie slechts gekeken wordt naar de rendementsverdeling en er zowel gewerkt wordt met valutamarkten, goederenmarkten, rentemarkten als aandelenbeurzen is er voor gekozen verder niet te corrigeren voor de risicovrije rentevoet.
3.2 Rendementsreeksen originele data In tabel 1 zijn allereerst voor de 17 verschillende beleggingsobjecten een aantal statistische kenmerken weergegeven. De rendementen waar deze resultaten betrekking op hebben zijn van de originele beleggingsobjecten, dus nog zonder gebruik van de handelsregel. Alle waardes zijn op dagbasis. Allereerst zijn de eerste 4 momenten (gemiddelde, standaarddeviatie, scheefheid en kurtosis ) weergegeven. Te zien valt dat de meeste rendementen positief zijn, waarbij geldt dat het rendement op de S&P-500 het grootst is.
Op-
vallend is dat het rendement van de Nikkei-225 echter slechts net positief is.
Verder zijn de rendementen op de oliemarkten duidelijk positief.
Een
reden hiervoor is dat het onderzoek data gebruikt tot en met eind 2004; een moment waarop de olieprijzen historisch gezien zeer hoog stonden. De valutamarkten hebben de laagste rendementen. Hierbij dient echter op gemerkt te worden dat alle gebruikte valutaparen ten opzichte van de dollar gemeten zijn, waarbij sommige paren standaard in bijvoorbeeld het aantal yen per dollar genoteerd zijn en andere in aantal dollar per euro. Uiteraard bepaald de manier waarop dit genoteerd wordt of het rendement positief of negatief is geweest. Voor de Euro-Dollar koersen dient vermeld te worden dat er voor de periode van voor de introductie gebruikt gemaakt is van de wegingen die de diverse munten in de ECU hadden. De goederenmarkten blijken de hoogste volatiliteit te kennen, zowel gemeten in standaarddeviatie als wanneer
42
naar het maximale en minimale rendement gekeken wordt, gevolgd door de aandelenmarkten. De standaarddeviatie voor de obligatiemarkten is laag, net als voor de valutamarkten. Het meest opvallende is echter dat er voor alle beleggingsobjecten sprake is van een zeer hoge kurtosis, wat wijst op dikstaartigheid. Gebruiken we de Jarque-Bera test (zie tabel 1) om te onderzoeken of de rendementen normaal verdeeld zijn dan blijkt dat dit in alle gevallen zeer overtuigend verworpen kan worden. In de laatste kolom is de mate van samenhang met de marktindex weergegeven. Als marktindex is gekozen voor de S&P-500. Te zien valt dat de Ftse-100 een relatief hoge beta heeft, terwijl de beta van de Nikkei-225 slechts 0.11 bedraagt.
Verder is er bij een
redelijk aantal valuta- en goederenmarkten sprake van een licht negatieve beta.
Tabel 2 geeft een overzicht van de onderlinge correlaties tussen de
verschillende markten.
Correlaties groter dan 0.2 of kleiner dan -0.20 be-
schouwen we als hoog en zijn met een * gemarkeerd. De diverse oliemarkten hebben uiteraard een relatief hoge correlatie met elkaar, net als de edelmetalen onderling, de valutaparen en de aandelenmarkten. Verder blijkt er een duidelijke samenhang te zijn tussen de goudprijs en de prijs van de Dollar.
3.3 Rendementsreeksen technische handelsregel Vervolgens is de technische handelsregel toegepast en is bovenstaande analyse nogmaals uitgevoerd. In tabel 3 zijn de beschrijvende statistieken te vinden van de verschillende rendementreeksen wanneer gewerkt zou zijn met de Channel Rule met parameter 20. De meeste rendementreeksen gegenereerd door de handelsregel hebben een licht positief gemiddelde, terwijl Crude oil, zilver en tarwe fors negatieve gemiddelden laten zien.
Standaarddeviaties
zijn uiteraard vrijwel gelijk aan die van de originele data, aangezien het gemiddelde van de series ongeveer nul is. Wanneer dan slechts voor een deel
43
Tabel 1: Karakteristieken rendementen originele data
µ1
µ2
µ3
µ4
min
max
10-jaar
0.009%
0.42%
0.10
8.01
-2.36%
4.76%
30-jaar
0.014%
0.65%
0.21
8.20
-3.36%
7.25%
Crude oil
0.047%
2.49%
-0.40
16.79
-33.40%
21.11% 4.83%
Eur-Usd
0.007%
0.65%
0.03
5.67
-4.63%
Ftse-100
0.019%
1.06%
-0.45
10.39
-12.22%
7.89%
Gasoline
0.033%
2.53%
-0.10
7.18
-26.02%
14.24%
Goud
0.008%
0.84%
0.20
10.32
-5.96%
7.26%
Nikkei-225
0.002%
1.47%
-0.14
11.65
-14.90%
13.23%
S&P-500
0.040%
1.10%
-1.47
33.86
-20.46%
9.10%
Zilver
0.025%
1.66%
0.02
19.59
-22.70%
19.56%
Usd-Chf
-0.004%
0.73%
-0.05
4.31
-3.82%
3.16%
Usd-Jpy
-0.007%
0.69%
-0.36
6.78
-5.47%
3.42%
Tarwe
0.022%
1.75%
0.07
10.85
-13.38%
14.29%
Maïs
0.004%
1.59%
-0.26
7.94
-11.58%
9.33%
Katoen
0.024%
1.64%
0.30
6.25
-8.32%
13.79%
JB
p-value
Beta
10-jaar
4692
0.0000
0.03
30-jaar
5077
0.0000
0.07
Crude oil
35602
0.0000
-0.12
Eur-Usd
1325
0.0000
-0.06
Ftse-100
10349
0.0000
0.40
Gasoline
3260
0.0000
-0.05
Goud
10028
0.0000
-0.07
Nikkei-225
13959
0.0000
0.11
S&P-500
179304
0.0000
1.00
Zilver
51345
0.0000
-0.07
Usd-Chf
321
0.0000
0.09
Usd-Jpy
2759
0.0000
0.04
Tarwe
11485
0.0000
0.04
Maïs
4597
0.0000
0.04
Katoen
2034
0.0000
0.07
Er is gebruik gemaakt van 4488 dagrendementen van 15 verschillende markten om tot bovenstaande gegevens te komen. De eerste 4 kolommen geven de eerste vier momenten weer, te weten gemiddelde, standaarddeviatie, scheefheid en kurtosis. Min en Max staan voor het maximale en minimale rendement in de dataset. Het onderste deel van de tabel vermeldt de testwaarde voor de Jarque-Bera test op normaliteit en de p-value die hierbij gevonden wordt, welke de kans aangeeft dat de gevonden rendementen normaal verdeeld zijn. Tot slot is met behulp van een regressie de samenhang met de marktindex bepaald (β ). Alle waardes zijn op dagbasis. 44
45
0.04
-0.01
-0.02
-0.03
12
13
14
15
-0.02
-0.01
-0.01
0.06
-0.03
-0.04
-0.07
-0.04
0.01
0.04
0.01
-0.01
-0.01
0.02
-0.05
-0.01
0.07
0.65*
-0.02
-0.01
1.00
-0.06
-0.06
3
0.00
0.01
0.03
-0.41*
-0.81*
0.12
-0.10
-0.01
0.20*
-0.02
-0.20
1.00
-0.01
0.06
0.09
4
0.03
0.00
-0.02
0.11
0.25*
-0.04
0.42*
0.23*
-0.10
0.01
1.00
-0.20
-0.02*
-0.02
-0.04
5
0.03
0.03
-0.01
-0.02
0.01
0.02
-0.02
0.00
0.05
1.00
0.01
-0.02
0.65*
-0.04
-0.03
6
-0.02
0.02
-0.01
-0.17
-0.21*
0.52*
-0.09
-0.01
1.00
0.05
-0.10
0.20*
0.07
-0.07
-0.05
7
0.00
0.02
0.00
-0.03
0.05
0.01
0.08
1.00
-0.01
0.00
0.23*
-0.01
-0.01
-0.04
-0.05
8
0.04
0.03
0.02
0.06
0.13
-0.04
1.00
0.08
-0.09
-0.02
0.42*
-0.10
-0.05
0.12
0.09
9
-0.01
0.00
-0.03
-0.10
-0.10
1.00
-0.04
0.01
0.52*
0.02
-0.04
0.12
0.02
-0.04
-0.03
10
0.00
-0.01
-0.02
0.51*
1.00
-0.10
0.13
0.05
-0.21
0.01
0.25*
-0.81*
-0.01
-0.03
-0.06
11
0.01
-0.03
-0.02
1.00
0.51*
-0.10
0.06
-0.03
-0.17
-0.02
0.11
-0.41*
-0.01
0.06
0.04
12
0.02
0.29*
1.00
-0.02
-0.02
-0.03
0.02
0.00
-0.01
-0.01
-0.02
0.03
0.01
-0.01
-0.01
13
0.08
1.00
0.29*
-0.03
-0.01
0.00
0.03
0.02
0.02
0.03
0.00
0.01
0.04
-0.01
-0.02
14
1.00
0.08
0.02
0.01
0.00
-0.01
0.04
0.00
-0.02
0.03
0.03
0.00
0.01
-0.02
-0.03
15
Vermeld staan de correlaties tussen de originele rendementen van de diverse beleggingsobjecten. Correlaties groter dan 0.20 of kleiner dan -0.20 beschouwen we als hoog en zijn met * gemarkeerd. De volgorde van de beleggingsobjecten is als volgt: 1. 10-jaar 2. 30-jaar 3. Crude oil 4. Eur-Usd 5. Ftse-100 6. Gasoline 7. Goud 8. Nikkei-225 9. S&P-500 10. Zilver 11. Usd-Chf 12. Usd-Jpy 13. Tarwe 14. Maïs 15. Katoen
-0.06
11
0.12
0.09
-0.03
-0.05
8
9
-0.05
7
10
-0.04
-0.03
6
0.06
-0.02
0.09
-0.06
-0.04
3
1.00
0.93*
5
-0.06
2
2
4
1.00
0.93*
1
1
Tabel 2: Correlaties originele data
Tabel 3: Karakteristieken rendementen technische handelsregel
µ1
µ2
µ3
µ4
min
max
10-jaar
0.00%
0.42%
-0.21
8.01
-4.76%
2.35%
30-jaar
0.00%
0.65%
-0.18
8.21
-7.25%
4.82%
Crude oil
-0.04%
2.49%
-0.64
16.72
-33.39%
20.77%
Eur-Usd
0.01%
0.65%
-0.25
5.76
-4.82%
2.91%
Ftse-100
0.01%
1.06%
0.34
10.35
-7.89%
12.22%
Gasoline
0.01%
2.53%
-0.17
7.17
-26.02%
14.24%
Goud
0.01%
0.84%
0.46
10.36
-5.95%
7.25%
Nikkei-225
-0.01%
1.42%
-0.57
10.38
-14.90%
7.83%
S&P-500
-0.01%
1.10%
1.19
33.63
-9.10%
20.46%
Zilver
-0.03%
1.66%
0.15
19.75
-22.70%
19.56%
Usd-Chf
0.01%
0.73%
-0.09
4.32
-3.17%
3.82%
Usd-Jpy
0.01%
0.69%
0.04
6.78
-4.43%
5.47%
Tarwe
-0.06%
1.75%
-0.27
10.83
-14.30%
11.87%
Maïs
0.03%
1.58%
-0.30
7.95
-11.58%
9.70%
Katoen
0.00%
1.64%
0.09
6.26
-9.28%
13.79%
JB
p-value
Beta
JB
p-waarde
Beta
10-jaar
4710
0.0000
-0.06
30-jaar
5079
0.0000
-0.08
Crude oil
35404
0.0000
-0.01
Eur-Usd
1473
0.0000
-0.03
Ftse-100
10168
0.0000
-0.09
Gasoline
3267
0.0000
0.03
Goud
10256
0.0000
-0.06
Nikkei-225
10396
0.0000
-0.03
S&P-500
176063
0.0000
-0.24
Zilver
52383
0.0000
-0.04
Usd-Chf
328
0.0000
-0.02
Usd-Jpy
2668
0.0000
-0.01
Tarwe
11493
0.0000
0.02
Maïs
4653
0.0000
0.00
Katoen
1990
0.0000
0.06
Bovenstaande gegevens zijn gebaseerd op de door de technische handelsregel gegenereerde rendementen. De eerste 4 kolommen geven de eerste vier momenten weer, te weten gemiddelde, standaarddeviatie, scheefheid en kurtosis. Min en Max staan voor het maximale en minimale rendement in de dataset. Het onderste deel van de tabel vermeldt de testwaarde voor de Jarque-Bera test op normaliteit en de p-value die gevonden wordt, welke de kans aangeeft dat de gevonden rendementen normaal verdeeld zijn. Tot slot is met behulp van een regressie de samenhang met de marktindex bepaald (β ). Alle waardes zijn op dagbasis. 46
van de rendementen het teken veranderd worden (zie 3.1) is de standaarddeviatie slechts verschillend wanneer naar een groot aantal decimalen gekeken wordt. Ditzelfde geldt voor de kurtosis (aangezien dit net als de standaarddeviatie een even moment is maakt het teken bij een gemiddelde van nul geen verschil. Het rendement wordt namelijk tot de macht van het moment genomen). De scheefheid van de verdelingen verandert wel, hier valt echter geen eenduidigheid waar te nemen. Met betrekking tot de beta nemen we waar dat deze nu voor vrijwel alle markten zeer licht negatief is geworden. Over het algemeen kan echter gesteld worden dat de beta vrijwel gelijk aan nul is; er is geen samenhang tussen de resultaten van de handelsregel en het rendement op de marktindex. In veel bestaande literatuur over technische handelsregels wordt vrijwel geen aandacht geschonken aan de samenhang van de rendementen van een technische handelsregel met de marktindex. Uit dit onderzoek blijkt echter dat een dergelijke regel er voor kan zorgen dat de beta sterk verminderd wordt, wat kan leiden tot diversi catievoordelen. De correlaties tussen de rendementreeksen gegenereerd door de technische handelsregel zijn vermeld in tabel 4. Wanneer we deze vergelijken met die van tabel 2 valt op dat alle (grote) negatieve correlaties verdwenen zijn. De reden hiervoor is dat de negatieve relatie tussen bijvoorbeeld Pond-Dollar en Dollar-Yen ontstond door het feit dat het ene valutapaar gemeten wordt in de "buitenlandse" munt per dollar, terwijl dit bij de andere in dollar per "buitenlandse" munt is. Het technische handelssysteem neemt echter posities in op basis van trends, en zal dus bij een bepaalde trend van de dollar in het voorbeeld van bovenstaande munten long gaan in het ene valutapaar en short in de andere. Verder zien we dat wanneer we alle correlaties in ogenschouw nemen de correlaties tussen veruit de meeste beleggingsobjecten nu positief zijn, terwijl dit in de originele dataset zeker niet het geval was.
47
De mate
48
1.00
0.04
0.13
-0.01
0.04
0.04
0.14
0.02
0.06
0.02
0.01
0.00
0.01
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.06
3
-0.03
0.00
-0.01
0.02
-0.01
0.03
0.02
0.04
0.04
0.43*
-0.01
0.01
1.00
0.01
0.01
4
-0.01
0.00
-0.04
0.19
0.64*
0.07
0.07
0.03
0.12
0.00
0.10
1.00
0.01
0.06
0.06
5
0.01
0.03
0.00
0.06
0.13
0.00
0.29*
0.04
0.03
0.00
1.00
0.10
-0.01
0.05
0.05
6
0.00
-0.02
-0.01
-0.01
-0.01
-0.01
0.01
0.04
0.01
1.00
0.00
0.00
0.43*
0.01
-0.01
7
0.02
0.01
-0.01
0.13
0.12
0.30*
0.08
0.04
1.00
0.01
0.03
0.12
0.04
0.04
0.04
8
0.00
-0.01
0.02
0.03
0.03
0.02
0.07
1.00
0.04
0.04
0.04
0.03
0.04
0.04
0.04
9
0.04
0.00
0.01
0.03
0.07
0.03
1.00
0.07
0.08
0.01
0.29*
0.07
0.02
0.13
0.14
10
0.01
-0.01
0.00
0.05
0.07
1.00
0.03
0.02
0.30*
-0.01
0.00
0.07
0.03
0.02
0.02
11
0.00
0.00
-0.03
0.23*
1.00
0.07
0.07
0.03
0.12
-0.01
0.13
0.64*
-0.01
0.05
0.06
12
-0.01
-0.01
-0.02
1.00
0.23*
0.05
0.03
0.03
0.13
-0.01
0.06
0.19
0.02
0.03
0.02
13
0.02
0.10
1.00
-0.02
-0.03
0.00
0.01
0.02
-0.01
-0.01
0.00
-0.04
-0.01
0.00
0.01
14
0.02
1.00
0.10
-0.01
0.00
-0.01
0.00
-0.01
0.01
-0.02
0.03
0.00
0.00
-0.01
0.00
15
1.00
0.02
0.02
-0.01
0.00
0.01
0.04
0.00
0.02
0.00
0.01
-0.01
-0.03
0.01
0.01
Vermeld staan de correlaties tussen de door de handelsregel gegenereerde rendementen van de diverse beleggingsobjecten. Correlaties groter dan 0.20 of kleiner dan -0.20 beschouwen we als hoog en zijn met * gemarkeerd. De volgorde van de beleggingsobjecten is als volgt: 1. 10-jaar 2. 30-jaar 3. Crude oil 4. Eur-Usd 5. Ftse-100 6. Gasoline 7. Goud 8. Nikkei-225 9. S&P-500 10. Zilver 11. Usd-Chf 12. Usd-Jpy 13. Tarwe 14. Maïs 15. Katoen
0.01
-0.01
0.00
0.03
0.05
0.02
0.04
0.01
0.05
0.06
0.05
0.01
4
0.01
2
0.78*
5
0.78*
2
3
1
1.00
1
Tabel 4: Correlaties rendementen technische handelsregel
waarin het systeem positieve dan wel negatieve rendementen genereert blijkt dus met elkaar samen te hangen over de zeer uiteenlopende markten. Hier zal later op teruggekomen worden.
3.4 Dikstaartigheid Zoals beschreven in het literatuur gedeelte volgt de staart van een verdeling waar sprake is van reguliere variatie de vorm van een Pareto verdeling. Tevens werd gemeld dat dit voor vrijwel alle nanciële rendementsreeksen geldt. Op basis hiervan is het dus mogelijk om met enkel de tail-index en een schaalparameter de kansmassa in de staart van een dergelijke verdeling te beschrijven. Aanwijzingen dat de rendementen van de in dit onderzoek gebruikte markten te maken hebben met dikstaartigheid vinden we in de zeer hoge waarde van de kurtosis. Deze dikstaartigheid zal nu verder bekeken worden door het bepalen van de tail-index voor zowel de originele data als de door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen. Het onderzoek zal zich richten op de linkerstaart waar de verliezen zich bevinden. In de berekening van de maatstaf kurtosis worden zowel opwaartse als neerwaartse bewegingen mee genomen. Tabel 5 vermeldt voor alle beleggingsobjecten een schatter voor de tail-index
α,
de schaalparameter (A) en het aantal in de berekening meege-
nomen waarnemingen (m). De waarde voor de schaalparameter A is voor de leesbaarheid vermenigvuldigd met een factor
106 .
Het eerste gedeelte van de
tabel heeft betrekking op de originele data, het tweede gedeelte op de rendementen gegenereerd door het technische handelssysteem. Zoals vermeld in het literatuurgedeelte moet er voor het bepalen van
m een afweging gemaakt
worden tussen de bias die ontstaat wanneer waarnemingen te ver uit de staart meegenomen worden, en een hogere onzekerheid over de waarde van de tail-index wanneer naar te weinig waarnemingen gekeken wordt. In dit
49
onderzoek is de waarde van
m
bepaald door het visueel uitzetten van
m
te-
gen de waarde van de tail-index. Op deze manier is het toch mogelijk om op een relatief eenvoudig wijze tot een redelijk betrouwbare schatting te komen.
Tabel 5: Tail-index schatters Origineel
Tail-index
A
m
Handelsregel
Tail
A
m
10-jaar
3.2
0.01
152
10yr
3.4
0.00
132
30-jaar
3.4
0.01
182
30yr
3.8
0.00
127
Crude oil
2.7
6.52
198
Crude oil
2.7
6.66
201
Eur-Usd
2.7
0.21
386
eur-usd
3.2
0.02
237
Ftse-100
2.8
0.49
185
ftse-100
3.0
0.21
117
Gasoline
3.4
0.83
310
gasoline
3.7
0.32
155
Goud
2.9
0.14
232
gold
3.0
0.11
215
Nikkei-225
3.4
0.12
163
Nikkei-225
2.7
1.23
317
S&P-500
3.1
0.13
231
SP
2.9
0.35
154
Zilver
2.4
4.91
336
Silver
2.9
1.02
183
Usd-Chf
3.5
0.01
201
usd-chf
3.8
0.00
178
Usd-Jpy
3.4
0.01
131
usd-jpy
2.9
0.08
154
Tarwe
2.8
1.98
138
Wheat
2.8
2.06
176
Maïs
2.9
1.29
167
Corn
3.1
0.64
64
Katoen
3.8
0.03
168
Cotton
3.8
0.05
201
Weergegeven zijn voor zowel de originele als de door de handelsregel gegenereerde rendementen schatters voor de tail-index en de schaalparameter A. Deze laatste waardes zijn voor de overzichtelijkheid vermenigvuldigd met een factor 106 . Tot slot zijn de visueel bepaalde waardes voor het aantal (m) meegenomen staartrendementen gegeven. Deze waarde is van belang voor het vaststellen van de tail-index en schaalparameter A.
Uit de tabel blijkt dat de meeste waardes voor de tail-index rond drie liggen. Het gemiddelde van de tail-index ligt op 3.2 Dit komt overeen met wat eerdere onderzoeken vonden op valuta- en aandelenmarkten.
Zie bij-
voorbeeld Danielsson en de Vries (1997) en Koedijk, Schafgans en de Vries (1990). Net als in andere onderzoeken geldt ook hier dat de waardes van de tail-index vrij dicht bij elkaar liggen, terwijl de schaalparameter A zeer grote verschillen laat zien.
Voor wat betreft de vergelijking tussen de originele
data en de door het handelssysteem gegenereerde rendementreeksen merken
50
we op dat er slechts sprake is van geringe veranderingen in de waarde van de tail-index. De rendementen van de handelsregel lijken over het algemeen een licht hogere tail-index te hebben (en dus een dunnere staart).
Echter
door de visuele manier van vaststellen is het niet mogelijk hier statistische uitspraken over te doen. Voor de schaalparameters geldt dat hoewel er soms redelijk grote individuele verschillen te zien zijn, het gemiddelde vrijwel niet verandert. We kunnen dus concluderen dat er bij zowel de originele data als de gegenereerde data sprake is van duidelijk dikstaartigheid en non-normaliteit. De Jarque-Bera test verwerpt al zeer overtuigend de hypothese van normaliteit voor alle rendementreeksen.
Verder biedt de kurtosis een duidelijke
aanwijzing voor dikstaartigheid, en geeft de tail-index hier verder inzicht in. Op basis hiervan kan zelfs gesteld worden dat het niet zeker is dat in de populatie van de onderliggende rendementen het 4e moment wel een eindige waarde heeft.
3.5 Diversi catievoordelen De theoretische diversi catie voordelen onder zowel normaliteit als dikstaartigheid zijn beschreven in 2.3.3 en 2.3.4. In dit gedeelte zal nagegaan worden in hoeverre de genoemde diversi catiesnelheden ook in de empirische data gevonden worden.
Portefeuilles op basis van de eerder beschreven beleg-
gingsobjecten zullen gevormd worden om de analyse op uit te voeren. Er zal gebruik gemaakt worden van gelijkgewogen portefeuilles wat inhoudt dat in een portefeuille van
k
beleggingsobjecten ieder object een gewicht van
zal hebben.
51
1/k
Figuur 1:
Standaarddeviatie van een portefeuille bestaande uit oplopend
1 tot en met 15 beleggingsobjecten.
De objecten zijn geconstrueerd door
het 15 maal simuleren van 4488 onafhankelijke trekkingen uit een normale verdeling met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1.
3.5.1 Simulatie normale verdeling Allereerst zal ter vergelijking en illustratie een simulatie gedaan worden waarin 15 maal 4488 trekkingen uit een normale verdeling met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1 gedaan worden.
Deze trekkingen zien we als rende-
menten van 15 verschillende beleggingsobjecten, waarvoor geldt dat de rendementen bij constructie normaal verdeeld en onafhankelijk zijn. Figuur 1 toont de standaarddeviatie van portefeuilles met bij
k
k beleggingsobjecten, waar-
loopt van 1 tot en met 15. Aangetoond kan worden dat geldt dat de
standaarddeviatie voor onafhankelijke rendementen afneemt met een factor
k 1/2 ,
wat ook blijkt uit de gra ek. Aangezien voor normaal verdeelde ren-
dementen geldt dat de gehele verdeling beschreven kan worden met behulp van gemiddelde en standaarddeviatie, is de standaarddeviatie een correcte maatstaf om het risico van een dergelijke verdeling weer te geven.
52
Wanneer
Figuur 2: VaR diversi catiesnelheid van een portefeuille bestaande uit de 15 gesimuleerde beleggingsobjecten. De gra ek toont het VaR niveau bij een constante kans van 5%.
vervolgens gekeken wordt naar de afname van het VaR-niveau bij een gelijkblijvende kans (VaR diversi catiesnelheid) is het dan ook niet verwonderlijk dat dit eenzelfde diversi catiesnelheid oplevert als de standaarddeviatie:
k 1/2
(afgebeeld in guur 2). Deze snelheid is onafhankelijk van de vastgestelde, constante kans (zie formule (20)). Voor de snelheid waarmee de kans op een bepaald verlies afneemt (diversi catiesnelheid van het risiconiveau) ligt dit iets complexer. Hier kan er namelijk niet gesproken worden van één diversi catiesnelheid, omdat deze zoals besproken in formule het gekozen risiconiveau.
(19) afhangt van
Figuren 3 en 4 tonen dit duidelijk aan: bij een
hoger gekozen VaR niveau geldt dat de kans op een dergelijk verlies harder afneemt wanneer meer beleggingsobjecten opgenomen worden dan wanneer voor een lager VaR niveau gekozen zou zijn.
53
Figuur 3:
Diversi catiesnelheid van het risico niveau van een portefeuille
bestaande uit de 15 gesimuleerde beleggingsobjecten.
De gra ek toont de
kans op een verlies van 1.0
Figuur 4:
Diversi catiesnelheid van het risico niveau van een portefeuille
bestaande uit de 15 gesimuleerde beleggingsobjecten. kans op een verlies van 1.5
54
De gra ek toont de
3.5.2 Empirische data Zoals eerder vermeld is de samenhang tussen de rendementen gegenereerd door de technische handelsregel en de marktindex (S&P-500) voor vrijwel alle beleggingsobjecten zeer laag.
Gebleken is dat voor dergelijke waardes
van beta de marktfactor een verwaarloosbaar kleine rol speelt in het bepalen van het totale risico.
Er is er dan ook voor gekozen deze factor buiten
beschouwing te laten. Eerder in dit onderzoek werd namelijk al gevonden dat het gebruik van een dergelijke handelsregel er voor zorgt dat de rendementen niet afhankelijk zijn van de marktindex. Een interessante toevoeging op het artikel van Hyung en de Vries (2005) is dat het direct toepassen van formule (22) in eerste instantie tot een probleem leidt wanneer er sprake is van een negatieve waarde van de gemiddelde beta.
Het verheen van een negatief
getal tot een gebroken macht is uiteraard niet mogelijk. Derhalve dient in het geval de gemiddelde beta negatief is hier de absolute waarde van genomen te worden, aangezien de invloed van de marktindex bij een negatieve beta eenzelfde rol speelt als bij een positieve beta voor wat betreft het veroorzaken van extreme rendementen. Een ander probleem bij het empirische onderzoek naar de diversi catiesnelheid is de vraag in welke volgorde de in de analyse meegenomen beleggingsobjecten in de portefeuille opgenomen dienen te worden. Dit speelt een rol bij het bepalen van de empirische risicomaatstaven; wanneer naar het idiosyncratische risico gekeken wordt (waarbij uitgegaan wordt van onafhankelijkheid tussen de beleggingsobjecten) is hier geen sprake van. In Hyung en de Vries (2005) speelt dit probleem slechts een geringe rol aangezien de verschillende beleggingsobjecten sterk op elkaar lijken en waarschijnlijk onderlinge correlaties zullen hebben die slechts in beperkte mate zullen verschillen. In dit onderzoek echter is er sprake van zeer grote verschillen in onderlinge
55
samenhang en individuele risiconiveaus (zie tabel 3 en 4).
Dit zorgt er-
voor dat wanneer bijvoorbeeld als eerste de beleggingsobjecten opgenomen worden die slechts een beperkte volatiliteit en neerwaarts risico hebben en vervolgens diegene met veel risico, diversi catie een negatieve invloed op de portefeuille zal hebben.
Wat echter de grootste rol speelt is de onderlin-
ge correlatie tussen de objecten. Zo zal het toevoegen van de Euro-Dollar aan een portefeuille bestaande uit alleen Dollar-Zwitserse Franc veel minder diversi catievoordeel opleveren dan wanneer bijvoorbeeld de Nikkei-225 toegevoegd wordt. Om dit probleem bij het bepalen van de empirische risicomaatstaven tegen te gaan is er voor gekozen om in de portefeuilles allereerst relatief onafhankelijk beleggingsobjecten op te nemen, en later pas de meer gecorreleerde.
Op deze manier ontstaat er toch een zinvolle analyse van
het diversi catievoordeel wanneer naar het empirische risiconiveau gekeken wordt. Zoals vermeld geldt dit probleem voor de theoretische risiconiveaus
9
veel minder (aangezien dan onafhankelijkheid verondersteld wordt ). In de guren 5 tot en met 8 zijn telkens twee lijnen zichtbaar. De bovenste, lichte lijn heeft betrekking op de waarde van de betreende risicomaatstaf wanneer gekeken wordt naar de empirische kansverdeling. Dit houdt in dat simpelweg aan de hand van de beschikbare rendementsreeks bepaald is wat de hoogte van de risicomaatstaf is. Zoals bekend zijn deze rendementreeksen echter niet onafhankelijk. De tweede lijn geeft het niveau van de risicomaatstaf weer wanneer verondersteld wordt dat de rendementreeksen wel onafhankelijk van elkaar zijn (Het niet-systematische, idiosyncratisch risico).
Benadrukt moet worden dat het hier gaat om de onafhankelijkheid
tussen rendementen op verschillende beleggingsobjecten op hetzelfde tijdstip, en niet om de onafhankelijkheid binnen de rendementreeks van een
9
Het enige aspect wat hier wel speelt met betrekking tot de volgorde van het opnemen van beleggingsobjecten is de invloed van de waarde van de schaalparameter A per object.
56
Figuur 5: Standaarddeviatie van een portefeuille bestaande uit 15 door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen. Zie bijlage 1 voor de volgorde van opname. De bovenste lijn heeft betrekking op de empirische kansverdeling, de onderste geeft het idiosyncratische risico weer.
individueel beleggingsobject. Het is nu mogelijk om onderscheid te maken tussen het diversi catievoordeel als ware de rendementreeksen onafhankelijk, en de praktijk waarin dit niet het geval blijkt te zijn. Voor het bepalen van dit idiosyncratisch risico is gesteld dat de tail-index van de verschillende beleggingsobjecten gelijk is. Als waarde hiervoor is het gemiddelde van de gevonden individuele tail-indices genomen, te weten 3.1.
3.5.3 VaR diversi catiesnelheid Met betrekking tot het idiosyncratisch risico van de standaarddeviatie en het VaR-niveau met een kans van 5% ( guur 5 en 6) valt op dat er relatief weinig verschil in diversi catiesnelheid te zien is tussen deze twee maatstaven. We zouden namelijk verwachten dat de standaarddeviatie afneemt met een factor
k 0.5
en het VaR-niveau met
k (1−1/α) = k 0.68 .
In dit geval blijkt echter
dat de standaarddeviatie sneller afneemt. De oorzaak hiervan zal liggen in
57
Figuur 6: VaR diversi catiesnelheid van een portefeuille bestaande uit 15 door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen. De gra ek toont het VaR niveau bij een constante kans van 5%.
de volgorde waarin de beleggingsobjecten opgenomen zijn.
De combinatie
van verschillende correlaties en verschillende individuele standaarddeviaties speelt blijkbaar een rol. Deze invloed lijkt niet te gelden voor het idiosyncratisch risico van het VaR-niveau: deze neemt wel met de te verwachten snelheid af (de VaR diversi catiesnelheid). Zowel theoretisch als met behulp van de simulatie van een normale verdeling werd aangetoond dat geldt dat het idiosyncratische risico onder normaliteit met een factor
k 1/2 )
afneemt.
Er kan daardoor wel gesteld worden dat ook empirisch gevonden wordt dat de VaR diversi catiesnelheid onder dikstaartigheid hoger is dan onder normaliteit.
3.5.4 Diversi catiesnelheid van het risico niveau Wanneer we deze resultaten afzetten tegen het constant houden van het VaR-niveau en het laten variëren van het risico op een dergelijk verlies (di-
58
versi catiesnelheid van het risico niveau) dan blijkt uit guur 7 en 8 dat het zoals theoretisch verwacht geen verschil maakt naar welk VaR-niveau gekeken wordt voor wat betreft het idiosyncratisch risico.
Zowel voor een
verlies niveau van 1.5% als 10% geldt dat vrijwel al het idiosyncratische risico verdwenen is wanneer er 7 beleggingsobjecten in de portefeuille opgenomen worden. Dit blijkt vrijwel exact overeen te komen met de theoretische afleiding dat dit risico met
k (1−α)
afneemt. Wanneer dus gekeken wordt naar
de kans op een bepaald verlies geldt dat in geval van dikstaartigheid een portefeuille van ongeveer 7 beleggingsobjecten voldoende is om het nietsystematische risico weg te diversi ëren.
Dit in tegenstelling tot normaal
verdeelde rendementen, waarvoor geldt dat de diversi catiesnelheid van het risico-niveau afhangt van het gekozen VaR niveau. Bij een hoge waarde van het aantal opgenomen beleggingsobjecten
k
of een hoog verlies niveau zal
de diversi catiesnelheid onder normaliteit groter zijn dan onder dikstaartigheid. Vergelijken we deze diversi catiesnelheid van het risico niveau met de mate waarin de standaarddeviatie afneemt, dan blijkt dat voor ieder willekeurig VaR niveau geldt dat de kans op een dergelijk verlies vele malen harder afneemt dan de standaarddeviatie.
3.5.5 Vergelijking eerder onderzoek Vergelijken we deze uitkomsten vergelijken met Hyung en de Vries (2005) dan valt op dat wanneer gekeken wordt naar het idiosyncratisch risico van het VaR niveau (bij een vastgestelde, constante kans) dit al na 7 beleggingsobjecten vrijwel geheel verdwenen is, terwijl guur 6 toont dat er zelfs bij het opnemen van 15 objecten nog sprake is van een aanzienlijke hoeveelheid risico.
Vreemd is dat op basis van hun data er gevonden wordt dat zowel
voor de mate waarin het VaR-niveau afneemt bij een constante kans (VaR diversi catiesnelheid) als de afname van de kans op een bepaald verlies (di-
59
Figuur 7:
Diversi catiesnelheid van het risico niveau van een portefeuille
bestaande uit 15 door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen. De gra ek toont de kans op een verlies van 1.5%.
Figuur 8:
Diversi catiesnelheid van het risico niveau van een portefeuille
bestaande uit 15 door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen. De gra ek toont de kans op een verlies van 10%.
60
versi catiesnelheid van het risico niveau) er bij het opnemen van ongeveer 7 beleggingsobjecten vrijwel geen idiosyncratisch risico meer aanwezig is. Uiteraard speelt ook hier de volgorde van opname van de beleggingsobjecten een rol. Desondanks is het moeilijk te verklaren dat voor beide risicomaatstaven een gelijke diversi catiesnelheid gevonden wordt. Theoretisch wordt namelijk aangetoond dat voor de eerst genoemde risicomaatstaf geldt dat deze afneemt met
k (−1+1/α)
en de tweede met
k (1−α) .
Met de door hen ge-
vonden waarde van 3.3 voor de tail-index (α) zou de eerste risicomaatstaf dus veel langzamer af moeten nemen (zoals in dit onderzoek uit guur 6 blijkt wanneer deze vergeleken wordt met guur 7 en 8).
3.5.6 Gemeenschappelijke factor Kijken we tenslotte naar het verschil tussen de waardes die volgen uit de empirische kansverdeling en die uit het theoretische model (waarbij onafhankelijkheid wordt aangenomen) dan blijkt dat voor alle risicomaatstaven geldt dat er sprake is van een gemeenschappelijke factor in de rendementen die niet diversi eerbaar is (vergelijkbaar met de invloed van het systematische risico van de marktfactor). Ook Hyung en de Vries (2005) vinden in hun onderzoek naar aandelen uit de S&P-500 een dergelijke gemeenschappelijke factor, waar nog geen verklaring voor bestaat. Het bestaan van zo'n factor leidt tot lagere diversi catievoordelen (zie formule (22)). In dit onderzoek zijn echter wel een aantal oorzaken voor het bestaan van gemeenschappelijke factoren aan te wijzen, welke in twee categorieën ingedeeld kunnen worden. Allereerst is er sprake van duidelijke samenhang tussen de door de technische handelsregel gegenereerde rendementreeksen van verschillende beleggingsobjecten, door het feit dat er soortgelijke markten in de dataset voorkomen. Zo zal het rendement van de handelsregel op de Euro-Dollar overeenkomsten vertonen met dat van de Dollar-Zwitserse franc aangezien beide valutaparen
61
ten opzichte van de dollar gemeten worden.
Ook het rendement van bij-
voorbeeld de handelsregel op Goud en Zilver hangt in bepaalde mate samen, doordat de onderliggende markten duidelijke correlaties vertonen. De correlaties tussen zowel de door de handelsregel gegenereerde rendementen als de rendementen van de onderliggende markten staan vermeld in tabel 2 en 4. Verder valt op dat vrijwel alle correlaties van de handelsregel rendementen positief zijn, terwijl dit voor de onderliggende markten niet geldt. Het is dus aannemelijk dat er buiten de samenhang tussen gelijksoortige beleggingsobjecten ook sprake is van samenhang in de mate waarin de handelsregel winsten en verliezen genereert. Zo is bijvoorbeeld het rendement van de handelsregel op de 30-jarige staatsobligatie positief gecorreleerd met 13 van de 14 andere beleggingsobjecten, terwijl dit voor het rendement van de onderliggende markt (dus zonder de handelsregel) slechts met 5 van de 14 objecten het geval was. Blijkbaar hangen de periodes waarin de handelsregel op een bepaalde markt goede of slechte resultaten boekt samen met die van andere markten. Aangezien het resultaat van de handelsregel sterk afhangt van de trendmatigheid in een markt, is er waarschijnlijk samenhang tussen de mate van trendmatigheid tussen de verschillende markten. Het gevolg hiervan is dus dat de rendementsreeksen van de handelsregel gecorreleerd zijn, en het diversi catievoordeel daardoor minder groot is dan wanneer deze wel volledig onafhankelijk zouden zijn.
62
4
Conclusie
In dit onderzoek is getracht een brug te slaan tussen de volgende drie deelonderwerpen: Technische handelsregels, dikstaartigheid van rendementsverdelingen en het verschil in diversi catiesnelheid tussen normaal verdeelde rendementen en dikstaartige verdelingen. Gevonden wordt dat het toepassen van een Channel Rule met parameter 20 weinig invloed heeft op de mate van dikstaartigheid van de rendementsverdeling. Wel blijkt dat zelfs tussen zeer verschillende markten door de handelsregel positieve correlatie ontstaat, waar dit in de originele dataset niet het geval was. De samenhang met de marktindex (S&P-500) blijkt echter geheel te verdwijnen, waardoor dit marktrendement verder geen rol meer speelt.
Uit de analyse van de
diversi catievoordelen blijkt duidelijk dat de rendementen inderdaad niet onafhankelijk zijn, ook al is er geen sprake meer van een marktfactor. De oorzaken hiervan liggen zowel in de correlatie tussen bepaalde markten zoals bijvoorbeeld de verschillende valutamarkten, als in de samenhang tussen hoe goed de handelsregel in een bepaalde periode werkt op de diverse markten. Dit laatste zorgt er voor dat de mate waarin de handelsregel winsten dan wel verliezen genereert gecorreleerd is over de markten. Deze gemeenschappelijke factor in het rendementsgenererende proces zorgt ervoor dat de voordelen van diversi catie kleiner zijn dan wanneer de rendementen onafhankelijk zouden zijn. Interessant zou het dan ook zijn om verder te onderzoeken in hoeverre dit nog steeds een rol speelt wanneer verschillende soorten handelsregels en verschillende markten gecombineerd worden.
In dit onderzoek is namelijk
slechts van 1 handelsregel gebruik gemaakt voor alle markten. Theoretisch is vervolgens uiteengezet wat de invloed is van de onderliggende rendementsverdeling op de diversi catiesnelheid.
Dit is de snelheid
waarmee het niet-systematische, idiosyncratische risico verdwijnt wanneer
63
meer beleggingsobjecten in de portefeuille opgenomen worden. In de analyse is zowel gekeken naar de standaarddeviatie als het neerwaartse risico (gemeten als Value-at-Risk).
Beschreven is wat de nadelen van het gebruik van
standaarddeviatie zijn wanneer er sprake is van dikstaartigheid. Belangrijk is verder om onderscheid te maken tussen twee manieren waarop VaR gemeten kan worden. Allereerst kan een vooraf vastgestelde kans constant gehouden worden (bijvoorbeeld 5%), waarna gekeken wordt hoe het te verwachten verlies afneemt wanneer meer beleggingsobjecten in de portefeuille opgenomen worden (VaR diversi catiesnelheid).
Hiervoor wordt gevonden dat onder
dikstaartigheid dit verlies niveau sneller afneemt dan onder normaliteit, al is het verschil slechts gering. Theoretisch gezien zou deze snelheid ook hoger moeten zijn dan de mate waarin standaarddeviatie afneemt. worden empirisch geen aanwijzingen gevonden.
Hiervoor
Een oorzaak hiervoor kan
de volgorde van opname van de verschillende beleggingsobjecten zijn. Vervolgonderzoek zou zich kunnen richten op de invloed van deze volgorde van opname, welke een belangrijke rol lijkt te spelen in empirisch onderzoek in deze richting. Vervolgens is het verlies niveau (VaR niveau) constant gehouden worden, en de invloed op de kans waarmee dit verlies voorkomt bepaald. Voor de empirische, dikstaartige verdeling wordt gevonden dat het idiosyncratische risico na ongeveer 7 beleggingsobjecten vrijwel geheel verdwenen is. Dit geldt voor elk willekeurig VaR niveau. Onder normaliteit blijkt echter dat deze snelheid afhangt van het aantal opgenomen beleggingsobjecten, en de keuze van het constante VaR niveau. Duidelijk is echter wel dat wanneer gekeken wordt naar de kans op een bepaald verlies niveau, deze kans vele malen sneller afneemt dan de standaarddeviatie van de in de portefeuille opgenomen beleggingsobjecten. Wanneer met een dergelijke risicomaatstaf gewerkt zou worden hoeft dus over veel minder objecten gespreid te worden
64
om het idiosyncratische risico te elimineren, dan in het geval van standaarddeviatie. Over het algemeen kan echter gesteld worden dat het essentieel is voor een belegger om te bepalen welke risicomaatstaf in zijn persoonlijke situatie het belangrijkst is om rekening mee te houden. Pas dan kan een uitspraak gedaan worden over de vraag hoeveel verschillende beleggingsobjecten de belegger op zou moeten nemen om tot een e ciënte portefeuille te komen.
65
5
Bijlage
De volgorde van opname van de beleggingsobjecten in het empirische onderzoek is als volgt: 1. Gasoline 2. S&P-500 3. Zilver 4. Tarwe 5. 10-jarige Amerikaanse staatslening 6. Euro-Dollar 7. Maïs 8. Katoen 9. Nikkei-225 10. 30-jarige Amerikaanse staatslening 11. Dollar-Yen 12. Goud 13. Crude oil 14. Ftse-100 15. Dollar-Zwitserse Franc
66
Referenties [1] Amin, G., & H. Kat. 2001. Hedge fund performance 1990-2000. Do the money machines really add value?, working paper, University of Reading.
[2] Archer, S. H. & J.L. Evans. 1968. Diversi cation and the Reduction of Dispersion: An Empirical Analysis, Journal of Finance, 23 761-767.
[3] Bacmann, J. C. & G. Gawron. 2004. Fat Tail Risk in Portfolios of Hedge Funds and Traditional Investments, EFMA 2004 Basel Meetings Paper.
[4] Becker, K. G., J. E. Finnerty & M. Gupta. 1990. The intertemporal relation between the US and Japanese stock markets, Journal of Finance 45, 1297-1306.
[5] Bodie, Z. & V. I. Rosansky. 1980. Risk and Return in Commodity Futures, Financial Analysts Journal, May/June 1980, pp. 27-38.
[6] Brock, W., J. Lakonishok & B. LeBaron. 1992. Simple Technical Trading Rules and the stochastic properties of Stock Returns, Journal of Finance, 47: 1731-1764.
[7] Brooks, C & H. M. Kat. 2001. The Statistical Properties of Hedge Fund Index Returns and Their Implications for Investors, Journal of Alternative Investments, Fall, pp. 26-44.
[8] Brorsen, B.W., S.H. Irwin & L. P. Lukac. 1989. The usefulness of historical data in selecting parameters for technical trading systems ,Journal of Futures Markets, 9, 55-65.
67
[9] Chan, I. & K. Tan. 2003. Stress testing using VaR approach-a case for Asian currencies, Journal of International Financial Markets, Institutions and Money, Elsevier, vol. 13(1), pages 39-55, 2.
[10] Dacorogna, M.M., U.A. Müller, O.V. Pictet & C.G. de Vries. 2001. Extremal forex returns in extremely large data sets, Extremes 4, 105127.
[11] Daníelsson, J. & C. G. de Vries. 1998. Value-at-Risk and Extreme Returns, Tinbergen Institute Discussion Papers 98-017/2, Tinbergen Institute.
[12] Daníelsson, J., & C. G. de Vries. 1997. Tail index and quantile estimation with very high frequency data, Journal of Empirical Finance 4: 241-257.
[13] Daníelsson, J., L. de Haan, L. Peng, & C.G. de Vries. 2000. Using a bootstrap method to choose the sample fraction in tail index estimation, Journal of Multivariate Analysis 76, 226-248.
[14] De Bondt, W. F. M. & R. Thaler 1985. Does the Stock Market Overreact?, Journal of Finance, pp. 793-805.
[15] Elton, E. J. & M. J. Gruber. 1977. Risk Reduction and Portfolio Size: An Analytical Solution, The Journal of Business, Vol. 50, No. 4., pp. 415-437.
[16] Fabozzi, F. & S. Focardi. 2003. Fat tails, scaling and stable laws, Journal of Risk Finance 5(1).
[17] Hartmann, P., S. Straetmans, & C. G. de Vries. 2001. Asset Market Linkages in Crisis Periods, CEPR Discussion Papers 2916.
68
[18] Huisman, R. & C. Huurman. 2003. Fat Tails in Power Prices. ERIM Report Series Reference No. ERS-2003-059-F&A.
[19] Huisman, R., K. G. Koedijk, C. J. M. Kool & F. C. Palm. 1998. The Fat-Tailedness of FX Returns, LIFE working paper, WP98-53, 1998.
[20] Huisman, R., K. G. Koedijk, C. J. M. Kool & F. C. Palm. 2002. The tail-fatness of FX returns reconsidered, De Economist, 150, no. 3, September, 299-312.
[21] Hyung, N. & C. G. de Vries. 2005. Portfolio Diversi cation Eects of Downside Risk, Journal of Financial Econometrics 2005 3 (1): 107-125.
[22] Hyung, N. & C.G. de Vries. 2002. Portfolio Diversi cation Eects and Regular Variation in Financial Data, Allgemeines Statistisches Archiv/Journal of the German Statistical Society 86, 69-82.
[23] Jansen, D. W.& C.G. De Vries. 1991. On the frequency of large stock returns: Putting booms and busts into perspective. Review of Economics and Statistics, 73, 18-24.
[24] Jansen, D. W., K. G. Koedijk & C. G. de Vries. 2000. Portfolio selection with limited downside risk, Journal of Empirical Finance, Elsevier, vol. 7(3), pages 247-269, 11.
[25] Koedijk K. G., M. M. A. Schafgans, & C. G. De Vries. 1990. The tail index of exchange rate returns, Journal of International Economics, 29, 93108.
[26] Koedijk, K. G., P. Stork & C. G. de Vries. 1992. Foreign exchange rate regime dierences viewed from the tails, Journal of International Money and Finance 11, 1992, 462-473.
69
[27] LeBaron, B. 1996. Technical Trading Rule Pro tability and Foreign Exchange Intervention, NBER Working Papers 5505, National Bureau of Economic Research, Inc.
[28] Leland, H. E. 1998. Beyond Mean-Variance:
Risk and Performance
Measurement in a Nonsymmetrical World, Financial Analysts Journal, January-February 1998, 27-36.
[29] Leppers, B. 1997. Speculatie op termijnmarkten met technische trading systemen:
empirisch onderzoek en theoretische onderbouwing, afstu-
deerscriptie KUB.
[30] Mendenhall III, W., R. L. Schaeer & D. D. Wackerly. 2002. Mathematical Statistics with Applications, 6th Edition, Duxbury Advanced Series.
[31] Neely, C. 1997. Technical Analysis in the Foreign Exchange Market: A layman's guide, Federal Reserve Bank of St. Louis Review.
[32] Statman, M. 1987. How Many Stocks Make a Diversi ed Portfolio?, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, 353-363.
[33] Sullivan R., A. Timmermann & H. White. 1999. Data-Snooping, Technical Trading Rule Performance, and the Bootstrap Method, Journal of Finance, Vol. 54, No. 5., pp. 1647-1691.
[34] Sweeney, R.J. 1986. Beating the Foreign Exchange Market, Journal of Finance, 41, 163- 182.
[35] Xu, Y. 2003. Diversi cation in the Chinese Stock Market, Working Paper, School of Management, The University of Texas at Dallas.
70
