Relativita: Proč a jak?

KATEDRA DIDAKTIKY FYZIKY MFF UK

Relativita: Proč a jak? Matěj Ryston

Obsah Úvod.............................................................................................................................................................1 Něco málo z klasické mechaniky ..................................................................................................................2 Vztažná soustava.......................................................................................................................................3 Čas v klasické mechanice ...........................................................................................................................5 Modely ve fyzice, ideální hodiny a měřící tyče ...........................................................................................6 Transformace souřadnic ............................................................................................................................7 Posunutí soustavy...................................................................................................................................8 Různé úhly pohledu na stejnou věc ....................................................................................................... 10 Shrnutí první části ................................................................................................................................... 13 Příklady k první části ............................................................................................................................... 14 Relativita před Einsteinem ......................................................................................................................... 15 Inerciální nebo neinerciální ..................................................................................................................... 16 Galileiho transformace ............................................................................................................................ 17 Shrnutí druhé části .................................................................................................................................. 23 Příklady k druhé části .............................................................................................................................. 24 Speciální teorie relativity ........................................................................................................................... 25 Základní myšlenky STR ............................................................................................................................ 26 Relativistický vlak .................................................................................................................................... 27 Prostor + čas = prostoročas ..................................................................................................................... 29 Lorentzova transformace a její důsledky.................................................................................................. 31 Dilatace času ........................................................................................................................................ 31 Kontrakce délek .................................................................................................................................... 32 Relativita v malých rychlostech ............................................................................................................. 33 Relativistická atletika ............................................................................................................................ 34 Důkazy ve prospěch STR .......................................................................................................................... 36 Relativistické protony ........................................................................................................................... 36 Experiment potvrzující dilataci času ...................................................................................................... 37 Pythagorova věta v prostoročase ?! ........................................................................................................ 38 Skládání rychlostí v STR ........................................................................................................................... 41 Nadsvětelné rychlosti .............................................................................................................................. 43

Shrnutí třetí části .................................................................................................................................... 45 Příklady k třetí části ................................................................................................................................. 47 Obecná teorie relativity ............................................................................................................................. 48 Od speciální k obecnému ........................................................................................................................ 48 Proč právě gravitace? .............................................................................................................................. 49 Slabý princip ekvivalence ...................................................................................................................... 50 Lokální inerciální systémy ..................................................................................................................... 52 Silný princip ekvivalence ....................................................................................................................... 53 Einsteinův výtah a raketa ...................................................................................................................... 56 Prostoročas zrychleného pozorovatele .................................................................................................... 58 Zakřivená dráha volných částic i světla .................................................................................................. 59 Gravitační dilatace času a rudý posuv ................................................................................................... 60 Gravitace – síla nebo zakřivení prostoru?.............................................................................................. 63 Geometrická odbočka ............................................................................................................................. 66 Jak poznat, že je prostoročas zakřivený? ............................................................................................... 66 Sférický zeměpis ................................................................................................................................... 67 Geometrie prostoročasu ......................................................................................................................... 74 Ohyb světelných paprsků v gravitačním poli ............................................................................................ 76 Stačení oběžných drah planet.................................................................................................................. 77 Klasická mechanika vs. OTR ..................................................................................................................... 78 Shrnutí čtvrté části .................................................................................................................................. 80 Příklady ke čtvrté části ............................................................................................................................ 81 Dodatky...................................................................................................................................................... 82 Rotace soustavy zachovává vzdálenosti ................................................................................................... 82 Odvození Lorentzovy transformace ......................................................................................................... 83 Invariance prostoročasového intervalu ................................................................................................... 85 Volný pád jako efektivně inerciální pohyb ............................................................................................... 86 Smíšené členy v metrice .......................................................................................................................... 88 Odpovědi k příkladům ................................................................................................................................ 90 Použité a doporučené zdroje ...................................................................................................................... 92

Úvod Můžeme snad celkem bezpečně tvrdit, že naprostá většina lidí někdy slyšela název teorie relativity či jméno Alberta Einsteina. Budou-li ale dotázáni, čím se teorie relativity zabývá nebo k čemu je dobrá, patrně většina z nich nám nedokáže uspokojivě odpovědět. Není se také čemu divit, teorie relativity není koncepčně jednoduchá, její závěry jdou často proti našemu běžnému chápání světa a navíc se s ní dnes na středních školách potkáme spíše výjimečně. Přitom moderní teorie relativity, tak jak ji zformuloval Einstein, je na světě téměř sto let. Přesněji, speciální teorie relativity byla zformulována již roku 1905 a její následovník, obecná teorie relativity, přibližně o jedenáct let později. Tento text si klade za cíl poskytnout čtenáři základní odpověď na otázku, co relativita je, čím se zabývá a k čemu je dobrá. K úspěšnému pochopení stačí základní fyzikální znalosti ze středoškolské fyziky, speciálně mechaniky hmotných bodů, a mysl otevřená novým myšlenkám. Čtenáři budou připomenuty důležité pojmy z mechaniky, bez kterých bychom se při výkladu neobešli, projdeme nejdůležitější poznatky speciální relativity, teorie, která velmi ovlivnila průběh fyziky 20. století, a ze které přímo vychází náš hlavní cíl, obecná teorie relativity. Ta fascinuje lidi již pěknou řadu let a stala se i inspirací pro nejeden sci-fi příběh. Černé díry, červí díry, cestování časem, to vše nějak s relativitou souvisí. My se ale budeme držet více při zemi. Například jste možná slyšeli, že podle obecné relativity je prostoročas zakřivený. Co to ale znamená? Co je to prostoročas, jak se toto zakřivení projevuje a jak si ho vůbec můžeme představit? Pokud bychom něco chtěli nejvíce ukázat, tak je to skutečnost, že si fyzikové podobná tvrzení „nevycucali z prstu“, nýbrž je odvodili na základě pozorování, experimentů a logického uvažování. Chtěli bychom ukázat, že ačkoli se mohou moderní partie fyziky zdát složité, nejsou tím abstraktním a nepochopitelným strašákem, za kterého ho spousta lidí považuje. Žijeme v době, kdy se zájem jak vědců, tak zainteresované veřejnosti čím dál více upírá mimo naši planetu, ke vzdáleným hvězdám nebo k jiným planetám naší soustavy. Pokud se lidstvo bude chtít někdy podívat mimo Zemi a blízké okolí, budou lidé muset umět cestovat na mnohem delší vzdálenosti a většími rychlostmi, než jakými cestujeme po naší planetě, budou muset velmi přesně navigovat a komunikovat na velké vzdálenosti, což všechno s relativitou nějakým způsobem souvisí. Relativitu už využíváme ale i tady na Zemi. Uplatňuje se v jaderných elektrárnách, v systémech globální navigace a při časové synchronizaci napříč světem. Snad Vás tento text přesvědčí o tom, že k tomu všemu má relativita co říct, a že se proto vyplatí s ní být alespoň trochu obeznámen. Snad Vás i povzbudí i do dalšího samostudia této zajímavé partie fyziky, proto na konci textu naleznete odkazy na další knihy, psané česky nebo anglicky, které rozšiřují a doplňují vše, co si zde řekneme.

1

Část první – Něco málo z klasické mechaniky Ještě než se začneme zabývat základy relativity, zopakujeme některé základní (a pro naše další úvahy důležité) pojmy z klasické (někdy také nazývané Newtonovy) mechaniky. Co nejpřesnější zavedení pojmů je při vytváření nové teorie velmi důležité, abychom se o ně mohli v dalších úvahách opřít. Na druhou stranu, jak budeme dále při naší cestě objevovat a aplikovat nové poznatky, budeme občas nuceni staré pojmy rozšířit, zobecnit, či v některých případech zcela opustit. Pro některého čtenáře může být začátek této kapitoly čistě opakováním, přesto doporučuji alespoň její zběžné prohlédnutí. To co si tu řekneme, patrně nebude na první pohled souviset s relativitou, ale opravdu jen na první pohled. Se základy klasické mechaniky by měl být obeznámen každý, kdo si prošel fyzikou střední školy. I když se to některým studentům tak jevit nemusí, středoškolská mechanika je velmi přímočará. Pro člověka znamená většinou první setkání s matematickým popisem světa kolem nás a tím pádem je důležitá nejen sama o sobě, ale zároveň nás učí, jak obecně řešit problémy i v jiných oblastech fyziky. Mechanika se zabývá popisem mechanického pohybu, tedy přemisťováním různých předmětů v prostoru kolem nás. Způsobů, jak takový pohyb popsat, je celá řada. Protože ale chceme být jednoznační, musíme vždy stanovit, vůči čemu daný pohyb popisujeme. Podívejme se na následující příklad: Představme si, že stojíme ve vlaku. Do zastávky je daleko, takže vlak jede stále stejnou rychlostí po rovných kolejích. V ruce držíme kámen, který v jednu chvíli pustíme na zem. Každý, komu někdy něco upadlo v rovnoměrně přímočaře jedoucím dopravním prostředku, jistě bude díky své zkušenosti souhlasit s myšlenkou, že kámen poletí svisle dolů a dopadne na podlahu stejně, jako bychom stáli na pevné zemi (více si o tomto zajímavém fenoménu povíme později, prozatím to berme jako vyzkoušený fakt). Zároveň v tu chvíli stojí náhodný kolemjdoucí venku u kolejí a pozoruje vlak. Otázka zní: Vnímá venku stojící pozorovatel pohyb kamene stejně jako my, a pokud ne, tak jak? Musíme si uvědomit, že my se pohybujeme spolu s vlakem vůči pozorovateli venku, který je vzhledem k zemi a kolejím v klidu. Jestliže pro nás ve vlaku vykonává kámen jen pohyb směrem dolů, znamená to, že dopadne na podlahu přesně pod tím místem, z něhož jsme kámen pustili. Ale kámen padá nějakou konečnou dobu, po kterou vlak ujede kus cesty. Z pohledu venku stojícího tedy pustíme kámen z ruky nad určitým místem na kolejích a ten se dotkne podlahy vozu o kus dále, nad jinou částí kolejí. Osoba venku tedy určitě neuvidí pád přímo dolů. V čem je ten rozdíl? Jak my ve voze, tak člověk u kolejí vidíme pohyb dolů způsobený tíhovou silou Země. Venkovní pozorovatel ještě k tomu vnímá náš pohyb po kolejích díky vlaku. Tuto složku pohybu má i kámen, když ho držíme v ruce, a má ho i po té, co ho pustíme z ruky, protože (když si odmyslíme velice malý vliv tření vzduchu) není kolem nic, co by ho v tomto směru 2

omezilo. Je to právě zachování stejného pohybu vpřed u kamene, které způsobí, že z našeho pohledu padá jen směrem dolů. A konečně, ze střední školy víme, že předmět, který má nenulovou počáteční vodorovnou složku rychlosti a zároveň na něj působí tíhová síla, se bude pohybovat po parabole, dokud nenarazí na překážku nebo nedopadne na zem (opět si nekomplikujeme život třením vzduchu). Říká se tomu vodorovný vrh.

Obrázek 1.1 Nám ve vlaku připadá, že kámen padá pouze svisle dolů, protože ve vodorovném směru vůči nám nemění polohu. Nicméně vůči pozorovateli venku se pohybuje i vodorovně, takže ve výsledku se vůči němu kámen pohybuje po parabole.

Jak jsme viděli, to k čemu vztahujeme pohyb pozorovaného předmětu, ovlivňuje náš popis situace. Nikdy nevidíme přímo rychlost daného tělesa. To co pozorujeme, je změna vzdálenosti vztažená k jinému zvolenému předmětu (velmi často nám samotným) za čas, a na základě toho pak vyvozujeme závěry. Pro popsání pohybu potřebujeme tedy vědět, jak se změnila poloha předmětu v prostoru a za jaký čas. Nejlepším způsobem, jak popsat polohu předmětu v prostoru je tzv. vztažná soustava souřadnic.

Vztažná soustava Existuje nepřeberné množství vztažných soustav, ale pro všechny je společné, že pomocí několika číselných údajů popisují vzdálenost bodu od pevně zvoleného místa (například střed fotbalového hřiště) nebo tělesu (strom, pouliční lampa apod.). Když tedy budu chtít popsat polohu bodu na přímce, musím si pouze zvolit jeden konkrétní bod, od kterého budu vzdálenost měřit. Takovému bodu se nejčastěji říká počátek. Zároveň s počátkem si potřebuji určit význačné směry, v rovině dva, v prostoru tři, abych mohl plně popsat polohy různých bodů. Pak už stačí jen umět měřit vzdálenost. K tomu musíme říci, co je to vzdálenost jedna. Jednotka je nutnou součástí každé soustavy souřadnic. Mluvíme-li opravdu o vzdálenosti, nabízí se samozřejmě použít metry či příslušnou násobnou jednotku (milimetry, kilometry, nanometry, apod.). Stejně tak ale můžeme použít jako jednotku kus větve nebo délku našeho chodidla. Důležité je, abychom polohu každého bodu na přímce byli následně schopni vyjádřit v násobcích naší jednotky, tedy přidělit jí souřadnici. Počátku se velmi 3

často přiřazuje hodnota nula. Výhodou této volby je, že pak můžeme snadno rozlišovat body na jedné a druhé straně od počátku pomocí znaménka plus nebo mínus u souřadnice bodu. Dovolme si praktickou poznámku. Matematika pracuje se souřadnicemi bodu, jenže bod není reálný objekt, protože nemá žádné rozměry. Zkuste si udělat tužkou na papíře bod. Ať se budete snažit sebevíc, vždycky dostanete skvrnu konečného rozměru. Z dálky vám může připadat zanedbatelně malá, ale zblízka se nám už jako bod moc jevit nebude. A co teprve pod mikroskopem? I tu nejmenší tečku, kterou je člověk schopen vytvořit, tvoří nekonečně bodů. Proto si musíme při popisu reálných těles pomoci. Jednoduše si najdeme důležitá a snadno rozpoznatelná místa na daném předmětu, přiřadíme jim souřadnice a pak se díváme, jak se pohybují v čase. U tyče by nám to mohly stačit začátek a konec. U předmětů pravidelného tvaru, u kterých se můžeme spolehnout na to, že nebudou měnit svůj tvar (tj. jsou ideálně tuhé) nám stačí jen několik málo důležitých bodů pro popsání celého pohybu. Pro sledování pohybu kulečníkové koule po plátně stačí většinou sledovat jen její střed, pokud nám je jedno, jak se točí. Kámen padající v tíhovém poli Země nahrazujeme pohybem jeho těžiště. Musíme mít ale na paměti, že to je v pořádku jen tehdy, když reálné rozměry kamene nehrají důležitou roli (vzpomínáte na pojem hmotný bod?). Složitější situace si žádají složitější modely a tím složitější řešení problému. U přímky se můžeme pohybovat pouze v jednom nezávislém směru, proto nám také stačila jen jedna souřadnice. Pro popis bodů v rovině už potřebujeme souřadnice dvě. Nejčastějším, ale rozhodně ne jediným, způsobem je spojení dvou navzájem kolmých os, většinou je označujeme a . Jsme tak v situaci notoricky známé každému středoškolákovi. Udáním dvou souřadnic libovolného bodu pak říkáme, v kterých místech na příslušných osách sestrojíme kolmice. Kolmice sestrojíme a ejhle, jejich průsečík je náš hledaný bod. Zobecnění na trojrozměrný prostor, kde máme tři nezávislé směry, je již asi jasné. Místo dvou souřadnic máme tři a ke dvěma na sebe kolmým osám přidáme třetí. Námi sestrojená souřadná soustava má výsadní místo na poli matematiky a fyziky. Říká se ji kartézská, na počest slavného francouzského učence René Descarta. Pro použití takové souřadné soustavy nám stačí umět měřit vzdálenost a vhodně umístit počátek soustavy. Ať si představujeme, že náš počátek soustavy leží v rohu místnosti, uprostřed podlahy v autobusu nebo jsme jím my sami, vždy ho vztahujeme k určitému tělesu. Už náš první příklad s vlakem ukazuje, že soustava souřadnic se může obecně pohybovat nějakou rychlostí (konstantní či proměnnou v čase) a dokonce se může i otáčet. Vždy ale platí, že abychom mohli jakýkoli pohyb souřadné soustavy jako celku pozorovat, musíme ho vztáhnout k soustavě jiné (tj. soustava se pohybuje vůči něčemu).

4

Obrázek 1.2 Vytvoření kartézské souřadné soustavy od jednoho prostorového rozměru až po všechny tři. Povšimněte si, že druhý z obrázků vypadá, jako bychom se na ten třetí dívali shora. To není náhoda. Orientace os na třetím obrázku je zvolena záměrně tak, aby tvořily tzv. pravotočivý systém (alternativou by byl levotočivý), což je obecně preferovanější varianta.

Čas v klasické mechanice Pouhé udání polohy nějakého předmětu pro popis jeho pohybu jistě nestačí. Souřadnice jsou čísla a jejich udáním zafixujeme těleso na určitém místě, jako by se jednalo o fotografii. Stejně jako se film skládá z rychlého sledu jednotlivých fotografií, tak i my potřebujeme udat polohu sledovaného předmětu v konkrétních okamžicích. Jinými slovy, chceme vědět, jak se pohyb tělesa vyvíjí v čase. Můžeme si zvolit určitý časový interval (řekněme třeba 5 sekund) a vždy po uplynutí tohoto času změříme a zapíšeme souřadnice předmětu v naší předem určené souřadné soustavě. Takhle bude ale náš popis zjevně nespojitý (sekaný) a tomu opravdovému pohybu se bude podobat jen částečně. Chtěli bychom být přesnější, a tak musíme interval mezi měřeními zmenšit. Čím budou skoky mezi jednotlivými časy menší, tím přesnější bude náš popis (přesnější ve smyslu, že se bude více blížit skutečnosti). V principu můžeme, alespoň v našich úvahách, časový krok neomezeně zmenšovat až do chvíle, kdy se souřadnice stanou funkcí času. Opět si můžeme pomoci naší analogií s filmem. Budeme navyšovat počet a rychlost za sebou jdoucích fotografií, až jednotlivé snímky přestaneme vnímat a uvidíme již netrhaný pohyb typický pro film. Matematicky zdůrazňujeme závislost souřadnic na čase zápisem kde je tradiční písmeno pro značení času. Abychom se ale nadále vyhnuli neustálému opisování téhož, dohodněme se, že, pokud nebude řečeno jinak, budeme od této chvíle chápat souřadnice bodu obecně závislé na čase. Jako fyzikální pozorovatelé a experimentátoři musíme tedy k popsání jakéhokoli pohybu využívat nejen souřadnice (to znamená vzdálenosti), ale i čas. Měření vzdálenosti nám koncepčně nedělá příliš problém, už jsme o něm navíc stručně mluvili. Podobná situace nastává u měření času. Opět si 5

musíme definovat jednotku neboli jednotkový časový interval. Ve fyzice mu říkáme sekunda. Máme-li pak hodiny, které nám dokážou s využitím nějakého fyzikálního principu (kyvadlo, kmitání krystalku apod.) s dostatečnou přesností určit čas uplynulý od určitého okamžiku v naší zvolené jednotce (tedy kolik sekund uplynulo od okamžiku, kterému říkáme nula), říkáme, že umíme měřit čas. Newtonovská mechanika přistupuje k pojmu času velmi intuitivně. Je těžké říci, co čas skutečně je, ale každý dobře víme, o co jde. Klasické představy o čase vycházejí z naší každodenní zkušenosti. Připadá nám samozřejmé, že čas plyne pro každého stejně nezávisle na tom, kde se nacházíme nebo jak rychle se pohybujeme. Nedělá nám sebemenší problém říci, že se nějaké dvě události staly zároveň (tj. ve stejném čase). Čas podle těchto představ hraje pouze roli kulisy, před kterou se všechno dění odehrává. Později ale uvidíme, že toto chápání nemusí vždy souhlasit s fyzikální realitou a že chování času může být daleko zajímavější než bychom si mohli myslet.

Modely ve fyzice, ideální hodiny a měřící tyče Na světě není nic ideální. My lidé nejsme dokonalí a ani věci, které vyrábíme, nejsou nikdy přesně takové, jaké bychom je chtěli. Problém je právě ve slově „přesně.“ Může například stůl měřit na délku přesně dva metry? Když ho přeměříme pásovým metrem, jehož nejmenší dílek je jeden milimetr, tak pravděpodobně naměříme skutečně dva metry. Co když ale vezmeme mikrometr? Tím jsme schopni měřit s přesností na setinu milimetru (deset mikrometrů, chcete-li). Je nanejvýš pravděpodobné, že stůl, jehož délka je přesná v milimetrech, se pod přesnějším měřením ukáže být o trochu kratší nebo delší. Třeba jen v řádu mikrometrů, což je pro lidské oko naprosto nepostřehnutelné, ale přece. Můžete namítat, že tak malá nepřesnost není důležitá, že stůl plní svůj účel navzdory této skryté nedokonalosti, a budete mít samozřejmě pravdu. A i kdyby si nějaký výrobce stolů dal takovou práci, aby jeho výrobek byl na mikrometr přesně dlouhý dva metry, můžeme svá měření dále zpřesňovat. Nastává závod ve zpřesňování. Stolařova urputná snaha dosáhnout dokonalé přesnosti rozměrů stolu versus naše neoblomná touha ho vyvést z omylu. V tomto případě máme ale vítězství zaručeno. Protože přesnost výroby má svůj limit. Všechny reálné předměty, takže i stoly, se skládají z atomů. Ty mají průměr řádově metru. I kdyby zarputilý stolař sestavil svůj stůl pomocí obřího tunelovacího mikroskopu jeden atom po druhém, vyrovnal je k sobě nejlepším možným způsobem, my prostě jen zpřesníme své měření, zatímco on ke svému zklamání atomy menší neudělá. Pointou tohoto myšlenkového závodu ve zpřesňování je skutečnost, že nic na světě není absolutně přesné. Ať už měříme cokoli, vždy musíme počítat s nepřesností tohoto měření. Plány domů se nejčastěji navrhují v centimetrech (maximálně v milimetrech), protože to je přesnost, která zaručuje, že nám dům nespadne na hlavu. Stavět domy přesněji (to znamená používat přesněji tvarované cihly, všechno proměřovat daleko důkladněji apod.) se totiž zdá být jako ztráta času a peněz. Většinou by to vlastně ani nešlo. Navzdory této „nedokonalosti“ reálného světa ve fyzice často idealizujeme. Ze střední školy dobře známe pojmy jako ideální plyn, ideální tekutina, ideální cívka apod. O všech těchto věcech víme a otevřeně přiznáváme, že na světě neexistují, přesto jsou pro nás důležité, protože napodobují chování určitých reálných jevů a svou nepřesnost vyvažují poměrnou jednoduchostí. Takovým nápodobám říkáme modely (často fyzikální modely, ale můžou být i matematické, sociologické, ekonomické, atd., prostě podle daného oboru zkoumání). Příroda je obecně velmi složitá a skrývá 6

nepřeberné množství detailů, které člověk není schopen vnímat a pochopit všechny najednou. Modely nám pomáhají tím, že některé detaily ignorují nebo zanedbávají, abychom se mohli snadněji soustředit na to důležité. Vymyslet správný a věrohodný model není žádná legrace a spočívá v tom valná většina vědecké práce, ale když se to povede, jsme zase o krok blíž k pochopení té původní změti složitostí kolem nás. V teorii relativity se hodně mluví o měření času a rozdílech v naměřeném čase. Ve všech následujících úvahách se předpokládá použití tzv. ideálních hodin. To znamená hodin, jejichž vnitřní konstrukce (ať už je jakákoli) nezpůsobuje, že by se předbíhaly nebo zpožďovaly. Jsou přesné a ať se s nimi děje cokoli (i kdyby třeba letěly rychlostí blízkou rychlosti světla), dá se spolehnout na jejich měření. O kolik složitější by byly jakékoli novátorské úvahy a prostoru a času, které relativita přináší, kdybychom se museli zároveň zabývat nedokonalostí našich měřících přístrojů. To patří k řemeslu experimentální fyziky. Teorie odhlíží od nedokonalostí krabiček, kterými se díváme na svět, a zabývá se světem samotným. Podobně se mluví při měření vzdáleností o ideálních měřících tyčích, pomocí nichž měříme vzdálenost. Ideální v tom smyslu, že nemění svoje rozměry s teplotou (v praxi považujeme reálné měřící tyče za přibližně ideální, pokud mění své rozměry méně, než jsme schopni měřit) nebo se jinak nedeformují z jiných důvodů, které by se daly odstranit (jiný, vhodnější materiál, jiná konstrukce apod.). V knihách se často můžeme dočíst o jakýchsi trojrozměrných lešeních sestavených z těchto tyčí, konstrukcích, pomocí nichž měříme vzdálenosti v naší souřadné soustavě a tím ji vlastně definujeme. Nemusíme se ale hned děsit, že by si fyzikové stavěli konstrukce ze speciálních trubek kamkoli přijdou, aby si dokázali něco změřit. Tahle poměrně vtipná představa je vlastně velmi praktickou metaforou, která říká, že umíme vždy měřit vzdálenosti ve všech třech rozměrech s dostatečnou přesností nehledě na to, jestli stojím (vůči něčemu!) na místě nebo se naopak (opět vzhledem k něčemu) pohybuji. Ačkoli opravdová měření by byla prováděna nějakým sofistikovanějším způsobem, i my budeme dále mluvit (či alespoň předpokládat existenci) o lešení z ideálních měřících tyčí, protože nám tento model pomůže pochopit spoustu nového. Je sice pravda, že takové hodiny a tyče v reálu zatím nikdo nevyrobil a ani nikdy nevyrobí, nicméně našim úvahám to není na obtíž. Prakticky to jen znamená, že se nezatěžujeme jejich nepřesností, která u všech sofistikovaných fyzikálních experimentů bývá velice malá a velmi dobře kontrolována. Místo toho se budeme při budování teorie soustředit na fyzikální jevy, které se nedají odstranit lepší konstrukcí hodin či měřících tyčí, měly by proto být zakódovány do zákonů přírody jako takové. A to je právě to, co bychom chtěli poznat a pochopit.

Transformace souřadnic Už víme, že je možné stejnou fyzikální situaci popisovat pomocí více systémů souřadnic a že mezi těmito systémy můžeme volně přecházet. Matematický nástroj, který nám tento přechod umožňuje, se nazývá transformace souřadnic. Je to v podstatě matematické vyjádření souřadnic jedné soustavy pomocí souřadnic soustavy druhé (a naopak). Ukažme si tento princip na několika příkladech.

7

Posunutí soustavy Dva kamarádi se rozhodli vykolíkovat obdélníkovou zahradu kvůli stavbě domu. K tomu musí každému kolíku přiřadit souřadnice vzhledem ke zvolenému počátku. První z kamarádů se rozhodl měřit vše od prostředku zahrady, tam tedy zvolil počátek své soustavy souřadnic a určil si dvě na sebe kolmé osy a . Druhému kamarádovi přišlo lepší zvolit jeden roh zahrady jako počátek a usnadnil si práci tím, že jako souřadné osy a použil plot. Oba způsoby jsou stejně správné, i když ten druhý možná o něco šikovnější. Otázka ale zní, jaký je vztah mezi souřadnicemi, které oba pánové naměří? Jinými slovy, jak vyjádříme jedny souřadnice jako funkce druhých a naopak? Řekněme, že zahrada má obecně rozměry krát v metrech (viz obrázek 1.3). Jaké souřadnice má čárkovaný počátek v nečárkované soustavě (označme ji )? Stejně tak se můžeme ptát opačně, jaké souřadnice má nečárkovaný počátek v čárkované soustavě ( )? Souřadnice nějakého bodu jsou jeho kolmé vzdálenosti od počátku soustavy souřadnic. Jestliže počátek čárkované soustavy je v levém dolním rohu zahrady, tak ve směru osy (tj. na obrázku vodorovně) je od prostředku vzdálen doleva. Protože levou část osy tradičně volíme jako zápornou, bude x-ová souřadnice . Podobně ve směru osy je bod vzdálen směrem dolů (opět v záporném směru), takže rovnou můžeme napsat souřadnice bodu v soustavě , Kde se vzala ta nula konci? To je hodnota z-ové souřadnice, Obrázek 1.3 Dvě navzájem posunuté tedy reálná výška. Jestliže jsme si zvolili počátek v rovině soustavy, nečárkovaná a čárkovaná země, nutně má tato rovina třetí souřadnici nulovou. Protože se zajímáme zatím jen o plochou zahradu, nemuseli bychom vlastně vůbec třetí souřadnici vypisovat. Chceme ale být pořádní a zvyknout si už rovnou na používání tří souřadnic, protože to budeme brzo potřebovat. Stejný bod můžeme vyjádřit i v čárkované soustavě, což je ještě jednodušší. Bod je počátkem , proto v ní musí nutně mít souřadnice (pro přehlednost uvádíme u souřadnic bodu i danou soustavu, v případě, kdy bude z kontextu jasné, o kterou soustavu jde, budeme její označení u souřadnic vynechávat). Stejným způsobem bychom mohli najít souřadnice bodu v čárkované soustavě, dostáváme , a z definice Nás by ale víc zajímalo, jak vyjádřit souřadnice jiných bodů než počátků. Ideálně abychom chtěli vzorec, který nám umožní spočítat souřadnice bodu v jedné soustavě, když známe jeho souřadnice v jiné. V tomto případě bychom měli na takový vzorec celkem snadno přijít. Na obrázku 1.4 máme body a , které reprezentují kolíky zabodnuté v zemi. První z kamarádů, který měří od prostředku (a kterému jsme přiřadili nečárkovanou soustavu), si naměřil vzdálenosti ke svým osám a určil tak souřadnice bodů a Druhému kamarádu se vzdálenosti nechce měřit, tak radši využije měření svého kolegy. Uvažuje následovně:

8

Podle první nečárkované souřadnice bodu vím, že je ve směru osy vzdálen 6 metrů od počátku středové (nečárkované) soustavy a ten je vzdálen ještě metrů od mého počátku. Celkem je tedy bod L ve směru mé osy vzdálen o metrů.

Obrázek 1.4 Detailní, byť trochu technický, popis využívání dvou vůči sobě posunutých systémů souřadnic v rovině .

A protože by rád spočítal i souřadnice dalších bodů, zapíše si obecně:

(1.1)

což chápeme jako „x-ová souřadnice (libovolného bodu) v čárkované soustavě je rovna souřadnici v nečárkované soustavě plus (x-ová souřadnice nečárkovaného počátku).“ Snad si vzájemně ušetříme trochu námahy, když budeme místo toho říkat čárkované souřadnice a nečárkované souřadnice. Jen mějme na paměti, že se toto rozlišení týká soustav, ve kterých měříme. Podobně bude druhý z kamarádů postupovat i se souřadnicí . K původní nečárkované souřadnici musí přičíst ještě , protože je právě o tolik více vzdálen od prostředku. Pro úplnost si ještě uvědomí, že oba kamarádi pracují ve stejné výšce nad zemí (přesněji řečeno na zemi) a tak jsou jejich z-ové souřadnice stejné.

Spokojen se svou úvahou si může zapsat celou transformaci souřadnic z nečárkované soustavy do čárkované:

9

(1.2)

Tento přístup, kdy jeden z pracantů všechno odměří a druhý si jen dopočítá, co potřebuje, se ale nezdá být moc fér. Místo toho by bylo lepší najít i obrácený přechod, z čárkované do nečárkované soustavy, aby oba mohli měřit různé části pozemku a následně si během pauzy přepočítat chybějící souřadnice toho druhého. Zastánce nečárkované soustavy by mohl samozřejmě postupovat velmi podobně jako jeho kolega a odvodit transformaci z obrázku výše. Může být ale chytřejší a uvědomit si, že mu stačí vyjádřit své nečárkované souřadnice ze sady rovnic (1.2). Jednoduchou manipulací s rovnicemi dostává

(1.3)

No, a protože to, co chceme vypočítat, dáváme většinou nalevo, tak jen prohodí levou a pravou stranu rovnic

(1.4)

Různé úhly pohledu na stejnou věc Používání různých souřadných soustav může mít svoje výhody, ale neměli bychom nikdy zapomínat, že se tím nemění fyzikální podstata toho, co pozorujeme. Když přejdou pánové měřiči z červené souřadné soustavy do modré, změní se souřadnice kolíků (bodů), ale to neznamená, že by se kolíky jako takové někam přemístili. Nevytrhnou se ze země či nevyryjí brázdu ve snaze přizpůsobit se našemu matematickému popisu. Souřadnice bodů jsou tedy relativní v pravém smyslu slova, mění se podle toho, odkud se na ně díváme. Změní se vzájemná vzdálenost bodů přechodem do jiné souřadné soustavy? Určení vzdálenosti dvou bodů z jejich souřadnic je na střední škole běžná věc. Stačí k ní obrázek 1.5 a Pythagorova věta. Připomeňme souřadnice bodů v nečárkované (středové) soustavě: a Oba

10

body leží v jedné rovině, takže podle Pythagorovy věty s použitím souřadnic platí pro vzdálenost mezi body a (značíme většinou ):

(1.5) Dolní index tady používáme jako označení bodu, ke kterému souřadnice patří. Matematicky by řešením rovnice samozřejmě byla i odmocnina se znaménkem mínus, ale protože vzdálenost musí být vždycky kladná, toto řešení nás nezajímá. Po dosazení dostáváme

(1.6) Ne příliš kulaté číslo, ale taky je to číslo. Zkusme teď stejný proces pro čárkovanou soustavu:

(1.7)

Ve výpočtu jsme vlastně jen použili transformaci souřadnic (1.2). Výsledek nám potvrdil to, co asi každý čekal. Změnou souřadnic se nezmění fyzikální podstata problému. Jestliže se tedy nezmění reálné místo zatlučení kolíků v zemi, nemůžou se změnit ani jejich vzájemné vzdálenost. Říkáme, že vzdálenost bodů je při transformaci souřadnic invariantní (neměnná).

Obrázek 1.5 Výpočet vzdálenosti dvou bodů pomocí Pythagorovy věty.

Při počítání vzdálenosti bodů a jsme nehezky vynechali třetí souřadnice bodů. V tomto speciálním případě (oba body stejně vysoko) nám to ještě prošlo, ale obecně bychom nedostali 11

správný výsledek. Svět, ve kterém žijeme je trojrozměrný, a proto bychom měli umět počítat vzdálenost bodů, které jsou libovolně v prostoru umístěny. K tomu nám slouží zobecněná, či chcete-li trojrozměrná Pythagorova věta. Ta jednoduše vychází z té původní plošné verze (kterou má každý vrytou do paměti jako ) a pouze přidává do výpočtu z-ové souřadnice:1

(1.8) Tento příklad mluví o vzdálenosti bodů a . Rádi bychom ale nějaký obecnější zápis, který se neopírá o jména konkrétních bodů, a my bychom tak měli možnost volby. Označme rozdíly souřadnic pomocí řeckého písmene velké delta (ve fyzice často označuje změnu)

(1.9) a vzdálenost libovolných dvou bodů označíme jako Pythagorovu větu

Potom můžeme zapsat zobecněnou

(1.10)

1

Odvození trojrozměrné verze Pythagorovy věty není těžké, ale nechceme s ním tady překážet. Můžete si ho vyzkoušet sami jako cvičení na konci kapitoly.

12

Shrnutí první části 

Popis pohybu je relativní v tom smyslu, že různí pozorovatelé ho vnímají každý trochu jinak. Způsob, jakým daný jev pozorujeme, nemá na jeho průběh ale žádný reálný vliv.



Základem každého měření je určení jednotky (délka 1 metru, doba 1 sekundy, hmotnost 1 kilogramu, elektrický proud 1 ampéru atd.) a pak vyjádření naměřené veličiny v násobcích této jednotky ( kg, s, A, ...).



Teorie relativity mluví o měření vzdálenosti pomocí ideálních měřících tyčí a času pomocí ideálních hodin. Je to celkem užitečná metafora, která mimo jiné znamená, že odhlížíme od nepřesností způsobených reálným experimentem (aniž bychom na ně zapomněli) a soustředíme se pouze na teoretické úvahy.



Polohu reálných objektů matematicky popisujeme pomocí bodů a jejich souřadnic v daném souřadném systému (například kartézský systém ). Body můžeme vyjádřit pomocí různých druhů souřadnic a jejich soustav, nemění se tím ale fyzikální podstata. Například fyzická vzdálenost bodů je stále stejná. Je vůči transformaci souřadnic invariantní.



V trojrozměrném prostoru platí zobecněná Pythagorova věta:

13

Příklady k první části Zobecněná Pythagorova věta snadno a rychle: 1) S pomocí obrázku 1.6 dokažte platnost vzorce (1.10). Postupujte následovně: a) Rozepište dvourozměrnou Pythagorovu větu pro trojúhelník . b) Podobně postupujte v případě trojúhelníku ACE, dosaďte z první rovnice za c) Pokud jste obdrželi rovnici (1.10), pochvalte se za dobře vykonanou práci. 2) Vypočítejte vzdálenosti bodů zadaných souřadnicemi: a) b) c) d)

Obrázek 1.6 Odvození trojrozměrné Pythagorovy věty.

Pythagoras na kolotoči Další možnou a přitom elementární transformací souřadné soustavy je rotace kolem osy. Na obrázku 1.7 máme příklad takové rotace kolem osy o obecný úhel 1) Speciálním případem rotace je otočení o 90° . Při ní se prohodí osy, ale s opačným znaménkem u druhé souřadnice (viz obrázek). Transformace tedy nutně vypadá následovně:

Obrázek 1.7 Rotace kolem osy o úhel . Při ní zůstávají body ve stejné „výšce,“ takže Ověřte, že v tomto speciálním případě platí

pomocí výše popsané transformace (nezapomeňte, že rovnice platí pro každý bod zvlášť, tedy například a ). 2) Pro libovolný úhel

vypadá rotace kolem osy takto: 14

a) Ověřte, že pro úhel 90° přejdou rovnice na případ číslo 1. b) Napište transformace souřadnic při rotaci kolem osy o c) Lze ukázat, i když poněkud zdlouhavě, že i v případě obecné rotace souřadnic kolem osy se vzdálenost dvou libovolných bodů zachovává. Můžete si to zkusit rovnou sami nebo se můžete inspirovat postupem v Dodatku 1.

15

Část druhá – Relativita před Einsteinem Skoro každému se při zmínce o teorii relativity vybaví jméno Alberta Einsteina. Ten publikoval svoji Speciální teorii relativity (STR, anglicky Special Theory of Relativity) v roce 1905 a později v roce 1916 i Obecnou teorii relativity (OTR, anglicky General Relativity - GR), a tím se po právu nesmazatelně zapsal do historie vědy. Méně známým faktem je, že samotný pojem relativity a některé její základní myšlenky jsou výrazně starší a fyzika musela ujít dlouhou cestu, než mohl Albert Einstein svými teoriemi uchvátit fyziky na desítky let dopředu. Když o něčem řekneme, že je to relativní, znamená to, že vnímání dané věci závisí na našem úhlu pohledu. Říká se, že krása je relativní pojem, protože každý ji vnímá trochu jinak a pro každého znamená krása něco trochu jiného. Ve fyzice se pojem relativita poprvé objevuje v mechanice, tedy v nauce o pohybu. Hned v prvním příkladu na začátku první části jsme viděli, že pohyb předmětů je relativní, jinými slovy, různí lidé ho vnímají různě. Člověk jedoucí ve vlaku vnímá pohyb padajícího kamene jinak než člověk stojící na chodníku vůči zemi v klidu. Zcela jinak by pohyb kamene vnímal člověk jedoucí oproti vlaku v protisměru či astronaut na Mezinárodní vesmírné stanici na oběžné dráze kolem Země. Z každodenní zkušenosti víme, že to tak je, a v první části jsme si vysvětlili i proč to tak je. Každý pozorovatel má svůj pevný bod a osy, od kterých odečítá vzdálenosti. Tyto vztažné soustavy se pohybují spolu s pozorovateli, takže vlastně vůči sobě navzájem. Jiné měření vzdálenosti znamená jiné měření pohybu a rychlosti. Matematicky řečeno, každý pozorovatel má svůj vlastní souřadný systém. Samozřejmě, skupina lidí může mít stejný souřadný systém, pokud se vůči sobě nepohybují (například všichni se vezou stejným dopravním prostředkem). S tímto přístupem bychom se ale daleko nedostali. Jestliže každý vnímá pohyb jinak, jak můžeme vyvozovat nějaké obecné závěry? Vždyť fyzika by měla platit pro všechny stejně! Taky že ano a k tomu se nám budou hodit transformace souřadnic, které nám překládají popis děje v jedné soustavě souřadné na popis v soustavě jiné. Transformace souřadnic jsou tím slovníkem a tlumočníkem, který nám pomáhá se dorozumět, když se naše popisy na první pohled neshodují. Nejdříve ale malý výlet do historie. Galileo Galilei (1564-1642) toho vykonal pro fyziku (a nejenom fyziku) opravdu hodně. Zejména prováděl experimenty. Ve svých pracích se odvolával na zkušenosti s lodní dopravou. Představme si například, že bychom se zavřeli do vnitřku lodě a zařídili, aby loď plula stále stejným směrem se stále stejnou rychlostí (ponechme nyní stranou, jak se asi mohla tahle podmínka prakticky splnit). Všimli bychom si nejenom, že bez pohledu z okna nepoznáme, jestli loď opravdu pluje nebo ne, ale například že i oheň hoří stejně, jako by stál na pevné zemi, a kouř stoupá kolmo vzhůru (musíme samozřejmě zamezit průvanu). Dokonce hmyz v kabině létá stejně neuspořádaně sem a tam, jakoby loď stála na místě, a všechny mechanické experimenty, které bychom si s sebou přinesli (například kuličky na nakloněných rovinách) by dopadly stejně, jako na pevnině. Na druhou stranu, když by přišla nějaká větší vlna a loď rozkývala, určitě to ovlivní všechno dění v kajutě. Stejně tak pokud by loď zrychlovala nebo naopak zpomalovala, nezajištěné předměty by se posouvaly, zavěšené lampy kývaly a tak dále. Podobně by se projevilo i zatáčení, tedy změna směru. Více o Galileiho experimentech a životě se můžete dočíst v [2] (vizte seznam literatury na konci textu). 15

Na základě celé řady podobných experimentů došel Galileo k závěru, kterému dnes říkáme Galileiho či klasický princip relativity nebo také Galileiho relativita. Ta mluví, převedeno do dnešní terminologie, o inerciálních vztažných soustavách, proto bychom si měli připomenout, co že to vlastně inerciální soustava je.

Inerciální nebo neinerciální? Klasická mechanika se z velké části opírá o Newtonovy zákony. Nejsme tu od toho, abychom opakovali učivo střední školy, nicméně pro naše účely bude dobré si připomenout První Newtonův zákon, tak zvaný zákon o setrvačnosti. Když si otevřeme učebnici mechaniky pro střední školy (vizte seznam literatury, [3]), najdeme tam následující vyjádření:

To jistě dává dobrý smysl. Pokud na předmět nepůsobí vnější síly, nemá důvod nebýt v klidu, případně odchýlit se od rovnoměrného přímočarého pohybu. Této vlastnosti setrvávat ve stavu se stále stejnou rychlostí (velikostí i směrem!) říkáme „překvapivě“ setrvačnost. Od Prvního Newtonova zákona je jen krůček k inerciálním a neinerciálním systémům. Představte si libovolný dopravní prostředek, například vlak, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Cestující uvnitř prožívají a dělají věci naprosto stejně, jako by vlak stál na místě. Chodí tam a sem, stolují v jídelním voze, aniž by se jim oběd rozutíkal po celém vagóně, a tak podobně. Pokud bychom s vlakem spojili souřadný systém, nazvali bychom takový systém inerciální. Když v takovém systému je předmět v klidu, v klidu taky zůstane, dokud na něj nezapůsobí nějaká síla (tedy například hrnek s čajem se nevylije, dokud do něj někdo omylem nedrkne). Podobně kulička se bude po podlaze pohybovat (odmyslíme-li si tření) stále stejnou rychlostí a stejným směrem, dokud ji něco nezastaví. Podobně se budou chovat jakákoli jiná tělesa. Fyzikálně bychom řekli, že v inerciálních soustavách platí zákon setrvačnosti, což je také alternativní a často používaná definice inerciálních systémů. 1 Co se ale stane s cestujícími ve vlaku a jejich věcmi, když vlak začne náhle brzdit? Všechno sebou škubne, kdo se nedrží, může upadnout a ublížit si, hrnek s čajem má tendenci se převrhnout aniž by do něj někdo strčil. Kulička na podlaze se z klidu rozjede ve směru pohybu vlaku nebo již kutálející se kulička změní směr či rychlost v závislosti na tom, jakým směrem se původně ubírala. Prudké brzdění je obzvláště nebezpečné pro vybavení jídelního vozu. Prostě vše se najednou přestává chovat stejně jako by vlak stál a věci se začínají být, často nepříjemně, jinak. V našem rozboru možná zbytečně přeháníme. My přece všichni víme, proč se to děje. Brzděním se vlak přestal pohybovat rovnoměrně přímočaře. Přestal tím být inerciálním systémem, stal se tedy systémem neinerciálním. Typickým příkladem neinerciálního systému je točící se kolotoč. Zkuste se někdy v rámci experimentu jít zatočit, ať už v parku nebo na pouti. Zkuste se napít, sníst zmrzlinu (ale pozor na znečištění sebe nebo svého okolí) nebo se někam trefit míčkem za jízdy. Věci se najednou

1

Důležitou otázkou je, zda je Země inerciálním systémem. Čistě technicky vzato není, díky své rotaci a obíhání Slunce. Na druhou stranu, rozdíly oproti inerciální soustavě jsou tak malé, že ve většině běžných případů, můžeme Zemi za inerciální systém považovat, a s ní i všechny soustavy, které jsou vůči jejímu povrchu v klidu.

16

nechovají tak, jak jsme zvyklí. Dokonce ve fyzice potřebujeme zavést různé zdánlivé síly, abychom dokázali chování věcí v neinerciálních systémech vysvětlit. Vraťme se zpět k inerciálním soustavám. Nyní si můžeme připomenout Galileiho princip relativity. Ten nám říká, že

Empiricky zažíváme Galileiho princip relativity kdykoli se pohybujeme konstantní rychlostí (vlak, auto, autobus) a připadáme si naprosto stejně, jako by náš dopravní prostředek byl v klidu. V jedoucím vlaku můžeme hrát ping pong stejně dobře jako na pevné zemi, ovšem ve chvíli, kdy vlak začne brzdit, stane se neinerciálním systémem a pokazí nám hru. Podobně také jízda autem po dálnici je dobrý příklad cestování, kdy často jedeme stále stejným směrem stejnou rychlostí. V takovém případě sedíme v sedadle a vše v autě kolem nás funguje úplně stejně, jako bychom seděli doma v křesle. Můžeme si položit vedle sebe kelímek s pitím a ten se sám nevylije, dokud nenajedeme na hrbol, nezačneme brzdit nebo zatáčet. Zkuste si příště uvědomit rozdíl v tom, jak se cítíte (fyzicky, s emocemi Vám fyzika bohužel nepomůže), když auto vjíždí do větší zatáčky oproti tomu, když jedete přímo rovně bez zrychlování. Dostanete dobrý příklad změny inerciálního systému v neinerciální a naopak. K čemu nám je Galileiho relativita? V podstatě nám říká, že jakýmkoli mechanickým pokusem nemáme šanci rozlišit mezi inerciálními systémy souřadnic. Například, pokud bychom byli zvukotěsně zavřeni ve vagonu bez oken, nedokázali bychom poznat, zda vlak stojí nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Navíc, inerciální systémy jsou velice příjemné k počítání, protože mezi nimi můžeme (za pomoci vhodné transformace souřadnic, samozřejmě) přecházet, a náš popis fyzikálního problému bude pořád stejně platný. Jak tedy přecházet od jednoho inerciálního systému k druhému?

Galileiho transformace Mějme dva inerciální systémy a . Z definice plyne, že mají-li být oba systémy inerciální, musí se vůči sobě pohybovat rovnoměrně přímočaře, tedy jejich vzájemná rychlost se nemění a má stále stejný směr. Pro jednoduchost položme do směru této rychlosti osu a zároveň osu (dle obrázku 2.1). Představme si, že stojíme vůči systému v klidu, tím pádem čárkovaný počátek se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí o velikosti ve směru osy . Dovolíme si ještě jedno malé zjednodušení. Čas (který samozřejmě budeme potřebovat, protože věci se kolem nás pohybují) začneme Obrázek 2.1 Dvě inerciální souřadné počítat od okamžiku, kdy se počátky obou souřadnic soustavy se společnou osou x. překrývaly. Jinými slovy jsme v momentě, kdy počátky splývaly, zmáčkli stopky. Potom aplikací toho, co známe ze střední školy o rovnoměrném přímočarém pohybu, zjistíme, že pro dráhu, kterou čárkovaný počátek urazí za čas (a která je shodou okolností i jeho x-ová souřadnice) platí . Známe-li první souřadnici libovolného bodu v čárkované soustavě, , nečárkovanou souřadnici dostaneme sečtením vzdálenosti dvou počátků souřadnic a 17

čárkované souřadnice. Zároveň je i z obrázku patrné, že jelikož se vzájemný pohyb odehrává pouze ve směru x-ových os, ostatní souřadnice nemají důvod se lišit. Celkem dostáváme tak zvanou Galileiho transformaci

(2.1)

Samozřejmě bychom rádi také přecházeli z čárkovaného systému do nečárkovaného, opačnou transformaci najdeme snadno úpravou předchozích rovnic:

Z Galileiho transformace plyne mimo jiné hojně používané pravidlo o skládání rychlostí. Dejme tomu, že se pohybujeme určitou konstantní rychlostí (například jedeme autem) a hodíme před sebe balónek, který vůči nám bude mít rychlost . Všem nám připadá celkem rozumné tvrdit, že vzhledem k pozorovateli, který bude v klidu vůči zemi, se balónek bude pohybovat rychlostí Samozřejmě tu mluvíme o velikostech rychlostí. Rychlost je vektorová veličina, a skládání rychlostí musí platit i pro vektory jako takové:

.

Ukažme si, že pravidlo o skládání rychlostí plyne z Galileiho transformace. Souřadný systém pro nás bude reprezentovat pozorovatel v klidu vůči zemi. Systém bude jedoucí auto. Víme, že se pohybuje rovnoměrně přímočaře vůči rychlostí (tj. rychlost má pouze směr osy a její velikost je ). Protože se veškerý pohyb v tomto případě odehrává jen v jedné přímce, nemusíme nutně používat vektorový popis a vystačíme si jen s x-ovými složkami, u kterých zároveň zpřehlednění zápisu vynecháme označení složky. V čase vypustí osoba v autě míč rychlostí ve směru osy . V čárkované soustavě tedy pro souřadnici míče v libovolném pozdějším čase platí Pro přehlednost jsme si zavedli změnu času jako . Nás ale hlavně zajímá rychlost míče vůči systému S (pozorovatel na zemi). Vzpomeňme si na definici průměrné rychlosti

Průměrnou rychlost můžeme použít, protože všechny rychlosti v našem příkladu jsou konstantní. V nečárkovaném systému tedy musí platit

. Díky Galileiho transformaci umíme vyjádřit

změnu první nečárkované souřadnice jako naměří pozorovatel stojící na zemi, tedy platí

. Pro rychlost míče, kterou

18

(2.2)

Co kdybychom míč hodili dozadu, tedy opačně ke směru jízdy auta? V takovém případě má v souřadném systému auta míč vektor rychlosti směřující opačně než v prvním případě, pro jeho čárkovanou souřadnici platí a my tak následně dostaneme pro rychlost vůči stojícímu pozorovateli . Tedy odečítání rychlostí, které také běžně používáme.2 Ukažme si dále, co máme na mysli tvrzením, že zákony mechaniky mají ve všech inerciálních systémech stejný tvar (viz vyjádření Galileiho transformace). Asi nejdůležitějším fyzikálním zákonem mechaniky je druhý Newtonův zákon Síla se rovná hmotnost krát zrychlení. Když působí na těleso nějaká síla, uděluje mu zrychlení a zároveň platí mezi silou a zrychlením předmětu přímá úměra, jejíž konstantu nazýváme hmotnost. Mějme těleso, které se pohybuje v čárkované soustavě se zrychlením

. Nyní bychom chtěli ukázat,

že druhý Newtonův zákon (2. NZ) je platný i v čárkované inerciální soustavě, tedy

.

Galileiho relativita nám říká: Neexistuje důvod, proč by čárkovaná inerciální soustava měla být něčím výjimečná. Zákony mechaniky platí stejně ve všech inerciálních soustavách. Prakticky to znamená, že dva pozorovatelé, každý v různé inerciální soustavě (například jeden v klidu vůči zemi a druhý jedoucí ve vlaku s konstantním vektorem rychlosti), oba dojdou svými experimenty ke stejným závěrům. Jelikož matematicky vyjadřujeme fyzikální zákony pomocí rovnic, zároveň to znamená, že i tyto rovnice musí nabývat stejného tvaru ve všech inerciálních systémech. Klasická mechanika předpokládá, že hmotnost tělesa se nemění při přechodu do jiné inerciální soustavy, proto ji není třeba čárkovat (ve speciální relativitě toto obecně nepředpokládáme) a platí . Zamysleme se nyní nad silami. V mechanice známé převážně síly, které závisí na vzdálenostech (gravitační síla, elektrická síla, síla pružiny apod.). Transformací do jiné inerciální soustavy se ale vzdálenosti zachovávají, takže ani síly působící v inerciálních soustavách se Galileiho transformací nezmění. Aplikujme nyní Galileiho transformaci na zrychlení v čárkované soustavě. Opět si pro naši jednorozměrnou situaci dovolíme použít jen první složky vektorových veličin.

(2.3)

Zde jsme použili pouze pravidlo o sčítání rychlostí, které vychází přímo z Galileiho transformace, a definici zrychlení tělesa. Náš závěr tedy zní: Zrychlení tělesa v obou soustavách je stejné, což platí v klasické mechanice pro všechny inerciální vztažné systémy.

2

Velice zajímavým případem je situace, kdy Správně by tedy míč vyhozený směrem dozadu přesně stejnou rychlostí, jakou se pohybuje vozidlo, měl pro pozorovatele na zemi stát na místě (co se týče vodorovného pohybu, nijak nezabráníme tomu, aby padal svisle dolů díky přitažlivosti Země). Tento efekt například ověřil tým z populárně-vědeckého seriálu Mythbusters (v češtině Bořiči mýtů) a video s tímto experimentem si můžete prohlédnout na http://www.youtube.com/watch?v=BLuI118nhzc.

19

O vzorci, který nezmění svůj tvar, pokud provedeme transformaci souřadnic, říkáme, že je vůči této transformaci invariantní. Nyní tedy víme, že druhý Newtonův zákon, jeden z nejdůležitějších zákonů mechaniky, je invariantní vůči Galileově transformaci a splňuje tak Galileiho princip relativity, protože všechny tři veličiny, síla, hmotnost a zrychlení, které v něm vystupují, se při transformaci nemění. Naše úvahy se tedy zdají být zatím konzistentní, protože experimentátoři provádějící mechanické pokusy v různých inerciálních soustavách tak dojdou ke stejným výsledkům. To se nám jistě líbí, protože i při každodenním životě si připadáme stejně, ať už stojíme na zemi nebo se pohybujeme rovnoměrně přímočaře. Užitečnost Galileiho relativity si ilustrujeme na příkladu ze střední školy, který se objevuje při výkladu o rovnoměrně zrychleném (i když v tomto případě spíše zpomaleném) pohybu. Zadání zní následovně: Vinou dispečinku se dva vlaky jedoucí za sebou dostanou na stejnou kolej. První vlak jede rychlostí , a zezadu ho dohání druhý vlak rychlostí . Strojvedoucí rychlejšího vlaku si všimne přední vlakové soupravy, když jsou od sebe vzdáleny Začne okamžitě brzdit s maximálním možným zrychlením3 Strojvedoucí předního vlaku si ničeho nevšiml, takže jede beze změny dále. Stihne zadní vlak zabrzdit a zabránit tak srážce? Abychom byli precizní, uděláme si zápis zadaných veličin (vizte obrázek 2.2): (rychlost prvního vlaku) (rychlost druhého vlaku) (brzdné zrychlení druhého vlaku) (počáteční vzdálenost mezi vlaky) Protože musíme počítat v základních jednotkách, převedli jsme kilometry za hodinu na metry za sekundu (zápis pomocí zlomku je přesnější a užitečnější než desetinné číslo). Fyzikální úvaha je zde jednoduchá, nebezpečí srážky pomine ve chvíli, kdy se druhému vlaku podaří zpomalit alespoň na rychlost vlaku prvního. Stačí tedy zjistit, zda se to stane ještě dřív, než se vlaky srazí.

Čas potřebný k dostatečnému snížení rychlosti označíme a najdeme ho díky vztahu pro okamžitou rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu. V tomto případě

.

3

Na střední škole jsem se jako student i později jako učitel setkal se snahou ve výkladu rozlišovat mezi zrychleným a zpomaleným pohybem. Znamená to pak ale zbytečné pamatování si vzorečků navíc, protože například pro rovnoměrně zrychlený pohyb platí a pro rovnoměrně zpomalený . Osobně mi připadá jednodušší (a „matematičtější“) používat prostě vzorec s plusem a v případě zpomalování brát zrychlení se zápornou hodnotou. Tato volba navíc vyhovuje obecnějšímu vektorovému přístupu. Když už jsme v tom opakování vzorců, pro ujetou dráhu při rovnoměrně zpomaleném pohybu platí

20

Obrázek 2.2 Zadané veličiny v soustavě spojené se zemí.

Pro dráhu

, kterou bude vlak ke zpomalení potřebovat, platí

(2.4)

Zatím se zdá, že vlak tedy zpomalit nestihne, ale zapomněli jsme na jednu důležitou věc. Zatímco zadní vlak brzdí, co mu síly stačí, přední vlak stále pokračuje svojí rychlostí takže za dobu brzdění popojede dále o vzdálenost Ve skutečnosti má tedy brzdící souprava na zastavení celkem přibližně metrů, což podle (2.4) pro zastavení bohatě stačí. Existuje ale jednodušší způsob výpočtu. Všechny veličiny v příkladu jsou zadány tak, jak by člověk většinou čekal, vůči zemi. Takže kdybychom stáli poblíž kolejí v klidu, naměřili bychom velikosti zrychlení, rychlostí i vzdáleností podle zadání. V takovém případě ale musíme počítat s pohyby obou vlaků. Situace se nám zjednoduší, pokud se budeme na problém dívat z pohledu předního vlaku, jinými slovy, v jeho vztažné soustavě. To můžeme udělat, protože přední vlak jede rovnoměrným přímočarým pohybem, takže reprezentuje inerciální vztažnou soustavu. Výsledek v ní tedy musí být stejně platný jako v inerciální soustavě spojené se zemí. Ve své soustavě souřadnic přední vlak stojí na místě (počátek soustavy se pohybuje spolu s ním), má tedy i nulovou rychlost. Brzdící vlak se stále pohybuje, ale v této soustavě souřadnic pouze rozdílem rychlostí obou vlaků

Zrychlení brzdícího vlaku (vizte

invarianci 2. NZ) i vzdálenost na začátku brzdění mezi nimi zůstává stejná (vizte obrázek 2.3). V této situaci platí, že nebezpečí srážky pomine, když se brzdící vlak přestane přibližovat k přední soupravě. Musí tím pádem jeho rychlost klesnout alespoň na nulu:

21

Znaménko mínus je zde v pořádku, protože zrychlení je záporné, čas potřebný pro zabrzdění je stále kladný. Dráhu, kterou brzdící vlak ujede, než jeho rychlost v této soustavě klesne na nulu, je

(2.5)

Takže na stometrové vzdálenosti vlak stihne zastavit a my dostáváme stejnou odpověď jako v předchozím případě, ale rychleji.

Obrázek 2.3 Takto situaci vnímá pozorovatel v prvním vlaku.

22

Shrnutí druhé části



Relativita je fyzikální přístup, který se objevuje již v klasické mechanice a je daleko starší než modernější STR a OTR. Klade důraz na relativnost pohybu, kdy musím vždy specifikovat, vůči čemu (tj. v jaké vztažné soustavě) danou situaci popisuji.



Inerciální soustavy jsou takové, ve kterých platí 1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti). Všechny inerciální soustavy se vůči sobě navzájem pohybují rovnoměrně přímočaře. Galileiho relativita nám říká, že všechny mechanické pokusy dopadnou v inerciálních soustavách stejně, takže i fyzikální zákony musí nabývat stejného tvaru.



Pro přechod mezi dvěma inerciálními systémy a se používá tzv. Galileiho transformace, která má v té nejjednodušší a zároveň nejpoužívanější konfiguraci vztažných systémů tvar

kde je vzájemná rychlost vztažných soustav.



Z Galileiho transformace přímo vyplývá pravidlo o skládání rychlostí, které běžně používáme v každodenním životě.

23

Příklady k druhé části Auta na dálnici Po rovné dálnici jedou dvě auta, první auto má na tachometru stále rychlost druhé se drží na S každým autem ztotožníme jednu vztažnou soustavu, jejichž x-ové osy umístíme do směru jejich jízdy. 1) Určete transformaci, kterou můžeme přecházet mezi vztažnými soustavami aut. 2) Řidič rychlejšího z aut si všimne překážky na vozovce v momentě, kdy je překážka vzdálena . Začne okamžitě brzdit se zrychlením Stihne zastavit? Ověřte, že výpočet dopadne stejně v soustavách obou aut a v soustavě spojené se zemí.

24

Část třetí – Speciální teorie relativity I když byly první články o speciální teorii relativity publikovány Albertem Einsteinem v roce 1905, aby byl náš popis úplný, konkrétně, abychom odpověděli i na otázku Proč?, a ne jenom Jak?, musíme se podívat o něco dále do minulosti. Naše historická vsuvka bude ale velmi stručná, protože tento text nemá za cíl se zabývat historií vědy. Abychom ale uspokojili poznání chtivého čtenáře, uvádíme alespoň odkazy na doporučenou literaturu [1] a [2]. Když James Clerk Maxwell (1831 - 1879) předvedl světu své rovnice elektromagnetismu, mimo jiné z nich vyplynulo, že změny elektrického a magnetického pole se svázány dohromady šíří prostorem rychlostí světla. Pro mnohé to byl finální důkaz v mnohaletém sporu ohledně povahy světla. Ona totiž otázka „Co je světlo?“ hlodala lidem v hlavách již dlouho. Někdo tvrdil, že světlo je proud částic, jiní tvrdili, že světlo musí být vlna. A najednou Maxwellovy rovnice jasně ukazovaly, že světlo skutečně je vlna, a to vlna elektromagnetická. Celá situace byla samozřejmě složitější než těchto pár řádků. Více se můžete dočíst například v anglicky psané knize [i] . Jak už to tak bývá, po jedné odpovědi přišlo daleko více otázek. Ta patrně nejzásadnější by šla zformulovat takto: „Jestliže světlo je vlna, co se tedy doopravdy vlní? Když hodím kámen do vody, zvlní se vodní hladina, když mluvím, zvuk se šíří prostorem jako kmitání vzduchu.1 Co je tedy to médium, které se vlní, a dochází tak k přenosu světla?“

Obrázek 3.1 Ilustrace spektra elektromagnetického (EM) vlnění. Obrázek převzat ze stránky fyzweb.cz .

Hypotetická látka, která svým kmitáním umožňuje šíření světla prostorem, byla nazvána éter (z anglického ether nebo aether). Jestliže je vše průhledné vyplněno éterem (včetně vesmírného vakua) a Země obíhá kolem Slunce, zdá se být celkem logické, že bychom v různých směrech měli naměřit různou rychlost světla. Proč? Vraťme se opět k analogii s vodní hladinou. Pokud se budeme plavit na lodi a budeme pozorovat vlny, které k nám přicházejí, jejich rychlost vůči nám bude záviset na směru, ze kterého přicházejí. Vlnám ze směru přídě pojedeme naproti, proto i jejich rychlost vůči nám bude větší než oproti vlnám přicházejícím na záď, protože těm naopak ujíždíme. Opět se dostáváme

1

Ačkoli to možná v běžném jazyce nedodržujeme tak, jak bychom měli, ve fyzice je jasný rozdíl mezi kmitáním a vlněním. Mechanické kmitání je opakující se pohyb po stále stejné trajektorii (například závaží na pružině, kyvadlo apod.) Jako vlnění označujeme kmitavý pohyb, který se šíří nějakým prostředím. Takže například u vln na vodní hladině koná každý bod části hladiny kmitavý pohyb. Protože ale okolní částice na sebe působí vazebnými silami, toto kmitání se postupně šíří po hladině, takže i body, které byly předtím v klidu, začnou kmitat.

25

ke skládání rychlostí ve dvou inerciálních soustavách – vodní hladiny a rovnoměrně přímočaře se pohybující lodi. V této analogii je Země naše loď, na které se (hypoteticky) plavíme éterem (s tím rozdílem, že Země se striktně řečeno nepohybuje rovnoměrně přímočaře). Situace se světlem je o to komplikovanější, že na rozdíl od vody nemůžeme éter přímo pozorovat. Dokážeme změřit pouze rychlost světelných vln. Při pokusech s měřením rychlosti světla ve směru pohybu Země a kolmo na něj, s nimiž jsou nejvíc spojována jména pánů Alberta Abrahama Michelsona (1852 - 1931) a Edvarda Morleye (1838 - 1923), se nepodařilo najít rozdíly v rychlosti světla měřené v různých směrech. Tento výsledek začal podrývat některé základní principy fyziky. Člověk by čekal, v souhlasu s éterovou teorií a především s Galileiho transformací a z ní plynoucím skládáním rychlostí, že pokud se například auto pohybuje rychlostí vůči éteru a z jeho reflektorů vychází světlo rychlostí vůči éteru, tak se bude prostorem šířit vzhledem pozorovateli v autě rychlostí . Experimentálně se ale toto nepodařilo ověřit. Zdál se tu být tím pádem jistý rozpor mezi klasickou mechanikou a elektromagnetismem, kterým popisujeme mimo jiné i šíření světla. Bylo vytvořeno několik fyzikálních teorií, které se snažily toto chování přírody vysvětlit (vizte [i], rozsáhlý rozbor historie vzniku speciální relativity a konkurenčních teorií je uveden na anglické Wikipedii2), ale žádná nedosáhla obecnějšího uznání, případně neobstála při porovnání s experimenty. Až pak Einsteinův článek z roku 1905 přinesl počátek speciální teorie relativity, která na základě několika málo předpokladů dokázala vysvětlit zmíněné experimenty, a to přímočařeji a přirozeněji než jiné teorie. Ucelenější a detailnější popis historického vývoje vedoucího k formulaci STR lze nalézt v doporučené literatuře nebo, jak už bylo řečeno, na anglické Wikipedii (vizte poznámku níže). My se nyní podíváme na fyzikální aspekty speciální relativity.

Základní myšlenky STR V naprosté většině učebnic můžeme najít takzvané postuláty speciální teorie relativity. To není nic neobvyklého. Všechny fyzikální teorie (a obecně teorie jakéhokoli druhu) musí vycházet z nějakých základních faktů nebo alespoň tvrzení, která bereme jako daná a z nich odvozujeme další poznatky. Takovým východiskům říkáme postuláty. STR má dva, které jsou důležité proto, že ji odlišují od klasické mechaniky a dávají vzniknout překvapivým závěrům. Pojďme si je nyní uvést tak, jak jsou uvedeny ve středoškolské učebnici [4] a krátce okomentovat. Možných formulací těchto postulátů je samozřejmě mnoho. 1) Princip relativity – Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony.

2) Princip konstantní rychlosti světla - Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost, a to nezávisle na pohybu světelného zdroje. Rychlost světla v libovolné inerciální vztažné soustavě je ve všech směrech stejná.

2

http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_special_relativity

26

První postulát nám velice připomíná již zmíněný Galileiho princip relativity, je zde ovšem jeden zásadní rozdíl. Galileiho princip mluví striktně jen o mechanických jevech, nic neříká o jiných částech fyziky jako je optika, elektřina, jaderné reakce apod. Až do příchodu STR nebyl princip relativity rozšířen na další jevy, protože k tomu nebyl jednoznačný důvod. Nemechanické jevy musely být nejdříve dostatečně prozkoumány (což je v případě elektromagnetismu a optiky převážně záležitost devatenáctého století). Motivací k zahrnutí i dalších jevů pod princip relativity byla snaha vyhovět novým experimentům a zároveň (nejen) Einsteinova víra v univerzálnost fyziky a tím pádem i zákonů, kterými ji popisujeme. Jestliže Galilei původně tvrdil, že uzavřeni v dopravním prostředku nedokážeme jakýmkoli mechanickým experimentem poznat, zda prostředek stojí nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře, Einstein tvrdí, že to nedokážeme poznat ani žádným jiným typem experimentu. Druhý postulát, princip konstantní rychlosti světla, je přímým důsledkem experimentů provedených Michelsonem a spol. Namísto toho, aby se snažil tyto experimenty vyhodnotit v kontextu běžně uznávané fyziky, bere Einstein jejich podivný výsledek jako fakt (aniž by ho nějak vysvětlil) a ten zároveň používá jako odrazový můstek k fyzice nové. Navíc znamenal tento směr uvažování odklon od éteru jako fyzikální nutnosti. STR existenci éteru nijak nepředpokládá, ani nepotřebuje. Proto se dnes ve školách o žádném elektromagnetickém éteru nic nedozvíme. Byl opuštěn jako zbytečný koncept.3 Podívejme se, jaké důsledky z těchto postulátů plynou.

Relativistický vlak Předtím než dáme našim úvahám pevný matematický základ, ukážeme si na následujícím příkladu, který lze také nalézt ve většině dostupných učebnic, jak překvapivé mohou být naše závěry, pokud se rozhodneme držet základních předpokladů STR. Mějme libovolný dopravní prostředek (řekněme vlak), který se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí o velikosti vůči zemi, kterou považujeme za inerciální soustavu. Proto i soustava souřadnic spojená s vlakem bude inerciální. Náš kolega ve vlaku vyšle světelný signál ze zdroje u podlahy kolmo vzhůru, nechá ho odrazit zase zpátky od zrcátka ve vzdálenosti a bude měřit, za jak dlouho signál urazí dráhu tam a zpět. Naměří časový interval Nyní může určit rychlost světelného paprsku jako

(3.1) Protože je podle našeho původního předpokladu rychlost světla stejná ve všech inerciálních soustavách, píšeme rovnou namísto Jaká je situace v klidové soustavě země? Vlak se vůči zemi pohybuje zmíněnou rychlostí a stejně tak se pohybuje zdroj světelného signálu a zrcátko. Dráha signálu je 3

Dnešní pohled na věc říká, že elektromagnetické vlnění je šíření změny elektrické intenzity indukce , tj. vektorových veličin, kterými popisujeme elektrické a magnetické pole.

27

a magnetické

v soustavě země jiná než v soustavě vlaku, protože je ovlivněna jejich vzájemným pohybem (vizte obrázek 3.2).

Obrázek 3.2 Průběh světelného signálu ve dvou různých inerciálních soustavách. Modrá dráha (čárkovaná soustava) je pro přehlednost rozdělena na dva paprsky, které by ale správně měly splývat.

Dráha signálu v nečárkované soustavě musí být větší než jen . Základna velkého trojúhelníku je dráha, kterou vlak ujede po čas našeho měření, tedy Potom pro pravoúhlé trojúhelníky na obrázku podle Pythagorovy věty platí

(3.2)

a samozřejmě rychlost světelného paprsku v nečárkované soustavě spojené se zemí naměříme jako

Za vzdálenost dosadíme do rovnice (3.2). Naším cílem je získat vztah mezi naměřenými časovými intervaly. S pomocí několika úprav dostáváme

28

Abychom se zbavili délky a nahradili ji univerzální konstantou, dosadíme ještě do levé strany podle rovnice (3.1). Po odmocnění máme

(3.3) Lomený výraz s odmocninou se vyskytuje v STR tak často, že má své vlastní označení a bývá nazýván Lorentzův faktor nebo také gama faktor. Závisí čistě jen na relativní rychlosti dvou inerciálních soustav (když nepočítáme univerzální konstantu ). Všimněme si několika důležitých vlastností gama faktoru. Předně pro nadsvětelné rychlosti ( ) by nám vycházela odmocnina ze záporného čísla. Při použití tohoto vzorce je tedy nutno se omezit na podsvětelné rychlosti (téma rychlosti světla jako limitní rychlosti pro fyzikální děje si necháme na později). Za druhé, pokud se omezíme na rychlosti menší než rychlost světla, gama faktor je vždy větší než jedna. Pro libovolnou podsvětelnou rychlost nám tím pádem vychází Stejný optický jev – vyslání paprsku a jeho odražení zpět - v různých souřadných soustavách trval rozdílnou dobu. Z tohoto příkladu plyne jeden důležitý závěr pro naše další úvahy. Abychom vyhověli principu konstantnosti rychlosti světla, budeme pravděpodobně muset zavést některé změny oproti klasické mechanice týkající se času. Na podobný problém jsme narazili již při zmíněné představa auta jedoucího konstantní rychlostí . Jestliže pro nás, opodál stojící pozorovatele, se světlo z předních reflektorů auta šíří podle očekávání rychlostí , nevzdaluje se tím pádem od auta menší rychlostí díky samotnému pohybu auta? Člověku by se chtělo říci, že ano, ale experimenty říkají, že to tak není. Rychlost světla bude stejná pro nás, pro pasažéry v autě i pro kolem projíždějící rychlík, stačí jen, aby se také pohyboval rovnoměrně přímočaře. Je to zvláštní, ale zatím tomu vše nasvědčuje. To znamená, že v našich klasických úvahách je někde chyba, a ta je dána naším vnímáním prostoru a času.

Prostor + čas = prostoročas Dříve jsme viděli Galileiho transformaci, matematické vyjádření přechodu z jedné inerciální soustavy do druhé v řeči souřadnic, ze kterého plynuly všechny důležité závěry o klasické mechanice v čele s pravidlem o skládání rychlostí. To je ale v rozporu s principem konstantní rychlosti světla (také můžeme říci s invariancí rychlosti světla), proto, abychom vyhověli základním předpokladům STR, potřebujeme novou transformaci souřadnic, na jejímž základě vyvodíme nové důsledky. Předtím si ale vyjasněme naše předpoklady. V mechanice se zabýváme pohybem těles, proto potřebujeme popsat prostor pomocí jeho tří souřadnic. Každý bod prostoru je tak pro nás v dané souřadné soustavě reprezentován trojicí čísel Nezajímá nás jen poloha předmětů, ale i jejich 29

pohyb, to znamená změna polohy s časem. Čas je pro nás parametr, něco na čem všechny souřadnice obecně závisí, ale co se přímo neúčastní fyzikálních procesů. Tuto závislost většinou zdůrazňujeme zápisem což ale není nic jiného než vhodná zkratka za: V čase bylo těleso na souřadnicích , o sekundu později bylo v čase na souřadnicích a tak dále. To důležité ale je, že v klasické mechanice automaticky předpokládáme, že tento čas plyne pro všechna tělesa a pozorovatele stejně. Jestliže pro nás uběhne 10 sekund, přijde nám samozřejmé, že pro cestující v okolo jedoucím autobuse také uběhlo 10 sekund. Tato představa je podpořena naším každodenním vnímáním, ale každý, kdo někdy viděl optickou iluzi, ví, že naše vnímání nás může klamat. Ve snaze vyhovět principu konstantní rychlosti světla jsme si rozmysleli, že klasický přístup k měření času nebo délek nás velice snadno může dovést ke sporu. Budeme tedy nuceni ze svých předpokladů o čase slevit. Konkrétně připustíme možnost, že pro různé inerciální soustavy může plynout čas různě. Pokud se máme s posádkou letící rakety shodnout na velikosti rychlosti světla, což konec konců není nic jiného než určitá uražená vzdálenost lomená časem, budeme se muset lišit v měření těchto délek a časů. Prakticky řečeno, přidáme každé inerciální soustavě její vlastní parametr vyjadřující čas v dané soustavě. Každá soustava tak popisuje událostí pomocí svých souřadnic a k tomu svého konkrétního času , který není obecně stejný pro různé soustavy. Pracovat zvlášť s trojicí prostorových souřadnic a zvlášť s časem není příliš praktické. Jednak z hlediska zápisu, ale hlavně proto, že jsme viděli ve vzorci (3.3), jak relativní rychlost dvou soustav může způsobit rozdíly ve vzájemném plynutí času. To v podstatě znamená, že změna prostorových souřadnic za čas v jedné soustavě je propojena s časovou změnou v soustavě druhé. Ukazuje se proto být praktičtější používat namísto původní trojice souřadnic a času ubíhajícího někde v pozadí čtveřici . Tím jsme vlastně časový parametr povýšili (nebo degradovali, podle toho jak se to vezme) na úroveň souřadnice. 4 Díky tomu budeme moci například kompaktněji vyjádřit transformace mezi inerciálními soustavami. Ve speciální relativitě mluvíme o prostoročase (tj. spojujeme prostor a čas do jednoho celku), který popisujeme pomocí třech prostorových souřadnic a jedné časové. Podobně jako u roviny říkáme, že je dvourozměrná (potřebujeme k jejímu popisu dvě souřadnice) a prostor je trojrozměrný (tři souřadnice), říkáme o prostoročase, že je čtyřrozměrný. Zatímco v obyčejném prostoru každá trojice čísel určuje jednoznačně bod, v prostoročase každá uspořádaná čtveřice čísel určuje konkrétní událost (vyjádřenou přesným místem a časem). O událostech můžeme mluvit i v klasické mechanice. Pokud dvěma bouchnutím do stolu přiřknu polohy v souřadné soustavě a časy, kdy se odehrála, jistě je mohu nazvat událostmi. Z pohledu jiné soustavy budou mít tyto události obecně odlišné prostorové souřadnice (měříme vzdálenost od jiného místa), ale bude je dělit stejný čas (klasický přístup, podle kterého plyne čas pro všechny soustavy stejně). Naproti tomu ve speciální relativitě se může čas (rovnice 3.3) mezi dvěma událostmi lišit pro různé inerciální soustavy. Proto nám nestačí pracovat jen s prostorovými souřadnicemi. Ve speciální relativitě tak události popisujeme v dané soustavě pomocí čtveřice čísel .

4

Stejně tak bychom mohli časovou souřadnici zařadit na konec závorky (nebo v podstatě kamkoli, je ale dobré si ve věcech udržet pořádek). My budeme čas umisťovat na začátek výčtu souřadnic a mluvit o něm a označovat ho jako nultou souřadnici.

30

To mimo jiné znamená, že pokud chceme zkoumat nějaký relativistický problém, je vhodné ho vyjádřit pomocí jednotlivých událostí (například vyslání světelného signálu, bouchnutí do stolu) analogicky k situaci, kdy například krychli popisujeme pomocí souřadnic jejích vrcholů.

Lorentzova transformace a její důsledky Nyní bychom měli najít transformaci souřadnic, kterou budeme moci přecházet mezi nečárkovanou inerciální soustavou vyjádřenou pomocí a čárkovanou inerciální soustavou se souřadnicemi která se bude vůči pohybovat rovnoměrně přímočaře rychlostí ve směru osy . Pro jednoduchost si představme, že je naší klidovou soustavou (to znamená, že jsme vůči ní v klidu), a z ní se díváme na . Připomeňme, že chceme umět přecházet nejen mezi prostorovými souřadnicemi, ale i mezi časovými. S využitím základních postulátů STR lze odvodit (odvození najdete v Dodatku 2), že hledaná transformace má tvar

.

Připomeňme, že

, kde

(3.4)

je vzájemná rychlost dvou inerciálních soustav.

Tyto čtyři rovnice v transformaci nám říkají, jak od souřadnic v systému, který je vůči nám v klidu, přejít k souřadnicím pozorovatele, který se vůči nám pohybuje rovnoměrně přímočaře. Co když budeme chtít postupovat obráceně? K tomu potřebujeme inverzní (opačnou) transformaci, což můžeme udělat dvěma způsoby. Buďto se na první dvě rovnice budeme dívat jako na soustavu, ze které vyjádříme dvě neznámé a nebo využijeme principu relativity. Podle něj je stejně jako náš pohled platný i pohled pozorovatele z čárkované soustavy, který je vůči své soustavě v klidu, a my se pohybujeme vzhledem k němu rychlostí – . Mínus proto, že z pohledu soustavy se pohybujeme na opačnou stranu než soustava vůči nám. Takže transformace z čárkované soustavy do té naší musí mít stejný tvar jako (3.4), jen s opačným znaménkem u rychlosti:

.

(3.5)

Dilatace času Představme si nyní raketu (abychom si na chvilku odpočinuli od vlaků a autobusů), která kolem nás prolétá konstantní rychlostí . Do směru jejího letu umístíme osu naší souřadné soustavy, aby se nám dobře počítalo. Umíme měřit vzdálenosti v prostoru kolem sebe a umíme odměřovat čas na našich hodinkách (vzpomeňte na ideální měřící tyče a ideální hodiny z první části textu). Stejně tak lidé v raketě mají své měřící tyče a hodiny, takže i oni jsou schopni měřit. Mějme dvě události v naší nečárkované soustavě, a . Může jimi být tiknutí hodinek, úder zvonu, srážka dvou aut, cokoli co můžeme popsat pomocí změření kolmých 31

vzdáleností na osách naší soustavy souřadnic a odečtení času z našich hodinek. Obě události mohou proměřit i naši kolegové z rakety (přiřadíme jim čárkovanou soustavu), označí si je a . Prakticky zajímavé (a zároveň) důležité otázky se většinou netýkají souřadnic samotných, ale jejich rozdílů. Například, když víme, jak daleko od sebe jsou body a v naší soustavě nebo že mezi dvěma okamžiky pro nás uplynulo 10 sekund, budou s námi lidé v raketě souhlasit?

Z Lorentzovy transformace pro jednotlivé souřadnice (3.4) rovnou plynou vztahy mezi rozdíly souřadnic

.

(3.6)

Jako speciální případ si nyní vezměme dvě soumístné události (na stejném místě) v čárkované souřadné soustavě. Dělí je nějaký časový interval , ale Jaký časový a délkový rozdíl naměříme mezi těmito událostmi my v nečárkované soustavě? Z (3.6) plyne

(3.7) První rovnice nám udává vztah mezi časovými intervaly v obou soustavách podobně jako v příkladu se světelným paprskem v rovnici (3.3). Nyní jsme ji ale odvodili na základě soumístnosti dvou událostí. Jak už bylo řečeno, gama faktor je vždy větší než jedna (případně pro nulovou vzájemnou rychlost roven jedné). Znamená to tedy, že my naměříme časový rozdíl mezi těmito dvěma událostmi jako menší ( ). Protože jsme o dvojici soumístných událostí nic dalšího nepředpokládali, může se jednat o libovolné fyzikální procesy, zejména například i dvě po sobě jdoucí tiknutí hodin. Náš argument je stejně platný pro jednu sekundu jako pro celý den nebo rok. Jestliže libovolný časový interval na rovnoměrně přímočaře se pohybující raketě je oproti našemu měření času delší, docházíme nutně k závěru, že čas, jak ho chápeme a používáme, jde na palubě rakety pomaleji. Stačí si uvědomit, že zatímco našich „kratších“ sekund uběhne například šedesát, „delších“ sekund, jak je vnímá posádka rakety, uběhne méně. Tento jev se nazývá dilatace času a je jednou z mnoha překvapivých předpovědí STR. Ač se zdá být neuvěřitelné, že čas může v důsledku relativních rychlostí plynout jinak pro různé pozorovatele, byla tato teoretická předpověď experimentálně ověřena. Později si uvedeme příklad experimentu, který mluví ve prospěch dilatace času.

Kontrakce délek Podívejme se na opačnou situaci: dvě události, které posádka rakety naměří jako současné ale na různých místech (pro jednoduchost nechť leží obě události na ose ). V tomto případě platí a Z rovnic (3.6) plyne

(3.8)

32

Nyní zjišťujeme, že daná vzdálenost je v čárkované soustavě větší než jak ji naměříme my. Jinými slovy z našeho pohledu to vypadá, jako by se raketa a vše uvnitř částečně smrštilo ve směru jejího pohybu. Nazýváme to kontrakce délek. Z druhé rovnice ve (3.8) plyne další zajímavý závěr. Dvě události, které byly současné pro posádku rakety, již nejsou současné pro nás, protože mezi nimi naměříme nenulový časový rozdíl. Je tedy vidět, že stejně jako jsme byli nuceni opustit pojem absolutního času, který byl pro všechny společný, a zavést čas relativní, který se vztahuje vždy ke konkrétnímu pozorovateli (potažmo k jeho souřadné soustavě), přestává platit i absolutní současnost dvou událostí. Místo toho docházíme k tzv. relativitě současnosti (kterou bychom mohli vlastně vidět již z (3.4)), podle níž dvě události, které jsou současné pro jednoho inerciálního pozorovatele, nemusí již být současné pro jiné inerciální pozorovatele (to znamená v jiné inerciální soustavě). Nyní jsme se pro větší názornost zabývali hraničními případy. Lze ale snadno nahlédnout, že pokud by dvě dané události nebyly v soustavě rakety ani soumístné ani současné, výsledek našich měření (to jak uvidíme situaci my na „klidné“ Zemi) bude dán kombinací obou jevů.

Relativita v malých rychlostech Velice správná otázka by v tuto chvíli byla, proč tyto podivné efekty běžně nepozorujeme. Denně jezdíme dopravními prostředky tam a zpátky, přesto nevidíme žádné zkracování délek ani se nám nerozcházejí hodinky s ostatními. Vysvětlení je vcelku prosté. Všední rychlosti, kterými se pohybujeme na Zemi, jsou příliš malé na to, aby se relativistické efekty dostatečně projevily. Matematicky tato skutečnost vyplývá přímo z Lorentzovy transformace výše. Hlavním činitelem vystupujícím ve všech rovnicích je gama faktor

. Pro rychlosti

menší než je rychlost

světla bude výraz vždy menší než jedna a stejně tak jeho druhá mocnina. Ve vyšší matematice se mluví o tzv. Taylorových polynomech, což je způsob, jak přepsat obecně složité matematické výrazy jako nekonečnou řadu sčítanců. Taylorův polynom pro gama faktor vypadá takto

(3.9) kde místo tří teček pokračují členy s vyššími mocninami členu

První člen na pravé straně je

jednička, která by odpovídala nulové rychlosti, kdy k žádným kontrakcím délek ani dilataci času nedochází. Tím vlastně odpovídá i klasické fyzice, která dané efekty vůbec nepředpovídá. Vezměme si například automobil jedoucí po dálnici konstantní rychlostí Pak je a Vidíme tedy, že gama faktor se v takovém případě liší od jedničky nejvíce v řádu to znamená v řádu stobiliontin (0,000 000 000 000 01). Pokud budeme chtít v tomto případě spočítat přesnou hodnotu gama faktoru, i ta nejlepší příruční kalkulačka nám dá výsledek a další desetinná místa již nezvládne. Proto pro malé rychlosti bohatě vystačíme jen s prvními dvěma členy na pravé straně. Takže je vlastně celkem pochopitelné, že relativistické efekty na Zemi příliš nepozorujeme, protože jak my lidé, tak většina běžně dostupných přístrojů není schopná zachytit rozdíly v tak malých řádech. Je to řádově stejná situace, jako kdyby vám někdo podal třiceticentimetrové pravítko a řekl, že je ve

33

skutečnosti o jeden femtometr ( ) kratší.5 Vám to ale může být s klidným svědomím jedno, protože se tato nepřesnost nijak prakticky neprojeví. Ukažme si některé další příklady. V následující tabulce (3.1) je uvedeno několik vybraných rychlostí, konkrétně rychlost francouzského rychlovlaku TGV, komerčního tryskového letounu typu Airbus, vysokorychlostního náboje .204 Ruger používaný v loveckých puškách a následně sondy JUNO, která je v tuto chvíli (jaro 2014) na cestě k Jupiteru a je považována za nejrychleji se pohybující člověkem vyrobený objekt vůbec (uvedená rychlost je vzhledem k Zemi, vůči Slunci se pohybuje pomaleji). Tabulka 3.1 Gama faktory pro vybrané rychlosti 6

Rychlovlaky TGV Komerční tryskový letoun7 Náboj .204 Ruger8 Vesmírná sonda JUNO 9

v (km/hod) 300 955 4320 147600

v(m/s) 83 265 1200 41000

1.0000000000000383 1.0000000000003907 1.0000000000080111 1.0000000093518239

Z tabulky vidíme, že v našich podmínkách nízkých rychlostí nemáme vůbec možnost reálně relativistické efekty pozorovat. Jakých rychlostí bychom tedy museli dosáhnout? Snadný výpočet nám ukazuje, že abychom dosáhli gama faktoru alespoň , museli bychom vyvinout rychlost mírně převyšující 3 % rychlosti světla (cca - tj. kilometrů za sekundu). Pro gama faktor rovný třem polovinám by byla potřeba rychlost přibližně 75 % . Speciální teorii relativity je tedy třeba brát v potaz hlavně při vyšších rychlostech. Záleží samozřejmě na přesnosti, kterou od svých výpočtů vyžadujeme. Dobrým příkladem, kdy je již zcela nutné počítat v rámci STR a nikoli klasické mechaniky, je velký hadronový urychlovač (LHC – Large Hadron Collider) Evropské organizace pro jaderný výzkum (CERN), kde protony těsně před srážkou letí rychlostí 99,9999991 % rychlosti světla,10 což odpovídá gama faktoru přibližně 7500.

Relativistická atletika Ilustrujme si nyní na konkrétním příkladě použití základních poznatků speciální relativity. Problém je, že bychom rádi viděli relativistické efekty v praxi někde, kde je nám to dobře známo. Prakticky stejné argumenty by se daly uvést pro kosmickou loď putující polovinou rychlosti světla (kde by relativistické efekty byly dostatečně patrné), ale ačkoli každý jistě pochopí o čem je řeč, kosmické lodě jsou našim běžným životům natolik vzdálené (a navíc zatím žádné takto rychlé nemáme), že, alespoň zatím, nepatří mezi reálné aplikace. Aby se náš příklad zabýval jevem běžně dostupným na naší planetě, budeme se muset smířit s tím, že rozdíly oproti klasické fyzice budou zanedbatelně

5

Což je mimochodem řádově rozměr atomového jádra. http://cs.wikipedia.org/wiki/TGV 7 http://en.wikipedia.org/wiki/Transportation#Air 8 http://en.wikipedia.org/wiki/.204_Ruger 9 http://www.nasa.gov/mission_pages/juno/main/#.Uzmgo1d27YU 10 http://en.wikipedia.org/wiki/Large_Hadron_Collider 6

34

malé. Ostatně to je taky ten důvod, proč se bez speciální relativity v naprosté většině situací na Zemi obejdeme. Vžijme se na chvíli do role pedantního atletického rozhodčího. Po tom co jsme si přečetli o speciální relativitě a změnách, které přináší do našeho chápání času a prostoru, bychom rádi zjistili, jestli náhodou není třeba i v atletice začít používat STR. Nejrychleji se pohybují sprinteři na m, takže se v našem rozboru omezíme na tuto disciplínu. Světový rekord v běhu na m drží v tuto chvíli (2014) 11 Usain Bolt se svým výkonem 9,58 s z roku 2009 . Tyto údaje jsou samozřejmě naměřeny na stadionu, v soustavě spojené se zemí. V řeči STR, mezi dvěma událostmi (start závodu a proběhnutí cílem) uběhl v naší klidové soustavě čas Prostorově dělí události vzdálenost Dovolíme si na tomto místě malé zjednodušení a panu Boltovi přiřadíme jeho průměrnou rychlost12 . Protože ale předčasné zaokrouhlování škodí našim výpočtům, do vzorců budeme dosazovat za čas a vzdálenost, nikoli rovnou rychlost. Nyní dokážeme spočítat, jaký čas skutečně uplynul pro Bolta (v jeho klidové soustavě). Stejně tak si můžeme představit, že kdyby běžel s dostatečně přesnými hodinkami, zajímá nás, jaký čas budou ukazovat v okamžiku proběhnutí cílem. Použijeme první rovnici z (3.6). Zároveň víme, že z definice rychlosti platí v nečárkované soustavě

V posledním kroku jsme použili definici gama faktoru. Určitě nikoho nepřekvapí, že náš výsledek se po dosazení od původních 9,58 vteřin liší jen velmi málo. Liší se tak (po zaokrouhlení) jen o (5 biliardtin sekundy). Každého jistě napadne, že existují daleko markantnější vlivy na průběh závodu (například vítr nebo tlak vzduchu), takže náš závěr by nejspíš byl, že provádět relativistické korekce v atletice je zbytečné vzhledem k tomu, že typická přesnost v atletice je v setinách, maximálně tisícinách sekundy. Nicméně se můžeme utěšovat vědomím, že ačkoli jsou tyto rozdíly nepatrně malé, rozhodně jsou nenulové. Nabízí se nám ale ještě otázka. Jestliže pro Usaina Bolta uběhlo méně času od startu do cíle, znamená to, že běžel ve skutečnosti rychleji, než si myslíme? I na to umíme odpovědět. Podle principu relativity je sprinter běžící rychlostí (pohled klidové soustavy země) zcela ekvivalentní stojícímu sprinterovi a zemi pohybující se stejnou rychlostí na opačnou stranu (klidová soustava sprintera). To znamená, že rychlost musí být stejná pro nás i pro sprintera. Jak si to vysvětlujeme? Jednoduše kontrakcí délek. Z pohledu sprintera je on v klidu a země se pohybuje. Jako pohybující se soustavu ji atlet pozoruje kontrahovanou ve směru pohybu. V našem původním značení jsme přidělili atletovi čárkovanou soustavu, takže

11

http://en.wikipedia.org/wiki/100_metres I když je jasné, že ve skutečnosti neběží pořád stejně rychle, jelikož se musí dostat z nuly na svou maximální možnou rychlost. V článcích o sprintu na 100 m se ale můžeme dočíst, že cílem sprintera je dostat se na maximální možnou rychlost co nejdříve a udržet si ji do konce závodu, takže zas tak velké zjednodušení to není. 12

35

Důkazy ve prospěch STR Relativistické protony Jak už bylo řečeno, každá teorie musí být ověřena praxí. Už vlastně náš příklad s urychlovačem LHC nám napovídá, že na té relativitě asi něco pravdy bude. Celý projekt výstavby tohoto zařízení přišel na úctyhodných 5,2 mld. eur13 a spolupracovalo při něm několik tisíc vědců z celého světa, takže ho jen těžko někdo může brát na lehkou váhu. Přitom je v současné době asi největším důkazem, že speciální relativita správně popisuje reálné jevy při vysokých rychlostech. Jakým způsobem vstupuje relativita do experimentů na urychlovači? Předně si musíme říct, že dilatace času a kontrakce délek nejsou jediné nové jevy, které s sebou STR přináší. Dá se ukázat, že i hmotnost libovolné částice podléhá vlivu naší a její relativní rychlosti. Pokud má částice hmotnost , když je vzhledem k nám v klidu (mluvíme o tzv. klidové hmotnosti), bude její hmotnost vůči nám při vzájemné rychlosti

(3.10)

Z předchozího rozboru chování gama faktoru je opět patrné, proč žádné změny v hmotnosti nemůžeme při malých rychlostech pozorovat, ale při rychlostech blízkých se už bude jistě jednat o nezanedbatelný přírůstek. Konkrétně u protonů srážených v LHC jsme uvedli velikost gama faktoru 7454, z čehož plyne, že protony se chovají v naší klidové soustavě, jako by měly 7454 krát větší hmotnost. Na střední škole se učíme o síle působící na nabitou částici v magnetickém poli. Pokud částice vlétne do magnetického pole kolmo na indukční čáry, bude touto silou její trajektorie zakřivena do kružnice. Tímto způsobem se také zakřivuje dráha protonů v LHC. Ze známého poloměru dráhy , po které mají protony obíhat, můžeme určit potřebnou velikost magnetické indukce pole . Protože se magnetická síla rovná síle dostředivé (to je ta, co zakřivuje dráhu částice), platí 14

( je zde elektrický náboj protonu, který je velikostně stejný jako elementární náboj elektronu, je hmotnost protonu a jeho rychlost). I když už z tohoto klasického odvození vidíme závislost velikosti magnetického pole na rychlosti protonu (takže magnetické pole je nutno zvětšovat s rostoucí rychlostí částic, aby se zakřivovaly po stále stejné dráze), STR nám navíc přidává rychlostní závislost hmotnosti. Opravený vztah by tedy vypadal

13

http://cds.cern.ch/record/1165534/files/CERN-Brochure-2009-003-Eng.pdf Striktně řečeno zde používáme vztahy z klasické mechaniky, což není příliš konzistentní. Jsou nicméně názorné pro náš výklad a dá se ukázat, že při použití aparátu speciální relativity dostaneme obdobné rovnice. 14

36

a jak jsme viděli, může se pro vysoké rychlosti výrazně lišit od své klasické verze. Skutečnost, že se na urychlovačích po celém světě používají relativistické vzorce namísto klasických, je velkým argumentem ve prospěch STR.

Experiment potvrzující dilataci času To ale samozřejmě není vše. Muselo být provedeno mnoho experimentálních ověření, aby si STR od roku 1905 získala mezi vědci své stoupence a stala se uznávanou fyzikální disciplínou. Ukažme si, jakým způsobem je možné ověřit existenci dilatace času jako reálného fyzikálního jevu. Nepříhodnější k tomu jsou elementární částice. Důležitou vlastností každé částice je její poločas rozpadu. Rozpad částice se obecně nedá předpovědět přesně. I když nedokážeme říci, za jak dlouho se rozpadne každý jednotlivý radioaktivní atom nebo elementární částice, dokážeme vyjádřit pravděpodobnost tohoto rozpadu. Řekněme, že máme takových částic. Potom jejich poločas rozpadu je doba, po které jich zbude už jen polovina. Tak například pro radioaktivní izotop polonia je udáván poločas rozpadu přibližně 138 dní.15 To znamená, že pokud například začneme s jedním kilogramem tohoto izotopu, po uplynutí 138 dní ho zbude už jen půl kilogramu, zatímco zbytek se radioaktivně rozpadne na jiné prvky. Po dalších 138 dnech už bude jen čtvrt kilogramu (tedy polovina z půl kg) a tak dále. Vždy po uplynutí poločasu najdeme polovinu původního množství atomů. Stejný princip platí i pro elementární částice. Některé jsou velmi stabilní a jejich rozpad ještě nebyl pozorován (například protony) a některé se rozpadají na jiné částice ve zlomcích vteřiny po svém vzniku. Slavným příkladem jsou miony (částice podobné elektronu, ale mnohem těžší a méně stabilní). Miony mají podle laboratorních měření poločas rozpadu zhruba (miliontiny sekundy). Je známo, že hojně vznikají v naší atmosféře typicky ve výšce kolem 15 km nárazem kosmického záření do molekul vzduchu a posléze pronikají k povrchu planety rychlostí zhruba My je pak můžeme detekovat například ve velkých podzemních laboratořích. Překvapivě je ale detekováno mnohem víc těchto částic, než by se dalo na základě klasické mechaniky očekávat. Speciální relativita podala na tento problém odpověď. Miony urazí při své rychlosti vzdálenost 15 km za čas To odpovídá více jak 33 poločasům rozpadu. Předpokládejme, že v atmosféře vznikne za jednu vteřinu mionů. Pak bychom neměli na povrchu detekovat více než částic. STR nám ale říká, že pro mion plyne čas pomaleji. Jeho rychlost vůči nám odpovídá gama faktoru přibližně V klidové soustavě mionu proto během patnáctikilometrové cesty uplyne čas pouze

čemuž odpovídá necelých pět poločasů rozpadu. To znamená, že ve skutečnosti se rozpadne jenom o něco málo méně než , což je mnohonásobně méně, než jsme odhadli bez použití STR. 15

http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_polonium

37

Vlastně se zde opakuje myšlenka se sprinterem výše. Rychlost mionů vůči klidné Zemi je stejná jako rychlost Země v klidové soustavě částic. Z jejich pohledu neurazí námi vnímanou délku 15 km, ale díky kontrakci délek značně méně. Podobný experiment byl skutečně proveden v roce 1941 pány Rossim a Hallem ve Spojených státech. Ti proměřovali rozdíly v počtech mionů s výškovým rozdílem 2 km a jejich výsledky dobře odpovídaly předpovědím speciální relativity. Experimenty stejného typu byly od té doby provedeny i s jinými částicemi například i v CERNu a stále lépe potvrzují STR. Pro obsáhlý a podrobný rozbor mnoha experimentů ohledně speciální relativity v angličtině doporučuji [iv].

Pythagorova věta v prostoročase?! Ukázali jsme si, že měření času a prostoru se může pro různé inerciální soustavy lišit. Navíc jsme odvodili Lorentzovu transformaci, která je převodníkem mezi prostoročasovými souřadnicemi jednoho pozorovatele a souřadnicemi druhého. Přesto bychom rádi ukázali, že přece jen existuje něco, na čem se mohou oba inerciální pozorovatelé shodnout. Nějaký můstek, který nám usnadní přechod a orientaci mezi navzájem se pohybujícími inerciálními soustavami. Zkusme se inspirovat klasickou fyzikou, která popisuje svět jako trojrozměrný euklidovský prostor. To je ten, o kterém se učíme na základní a střední škole. Součet úhlů v trojúhelníku má v tomto prostoru přesně dvě rovnoběžné přímky se nikdy prakticky neprotnou a tak dále. Můžeme tu zavést kartézskou soustavu, která má tři osy (pro každý rozměr jednu) a na ní souřadnice. V první části jsme si ukázali, že ať použijeme jakoukoli kartézskou soustavu souřadnic, bez ohledu na posunutí či rotaci, vzdálenost mezi dvěma konkrétními body, řekněme a bude vždy stejná a platí

(3.11) Nyní jsme v situaci, kdy místo s body o třech prostorových souřadnicích pracujeme s událostmi a čtyřmi souřadnicemi, jednou časovou a třemi prostorovými. Chtěli bychom zkusit, zda nebude mezi libovolnými dvěma událostmi platit analogie k Pythagorově větě. Definujme si nyní prostoročasovou „vzdálenost“ mezi dvěma událostmi a podle vzoru výrazu (3.11) jako

(3.12) U rozdílu časových souřadnic předpokládáme výskyt nějaké konstanty , minimálně proto, že čas a vzdálenost mají jiné fyzikální jednotky a nechceme sčítat „jablka s hruškami“ (případně si můžete zkusit následující výpočet provést bez této konstanty a sami uvidíte, že vám nic rozumného nevyjde, to je taky celkem silný argument). Následující úvaha je vcelku podobná té v první části textu. Události a mají samozřejmě své souřadnice i v čárkované soustavě, která se, jak už jsme si zvykli, pohybuje vůči nečárkované soustavě rovnoměrně přímočaře rychlostí Aby byla prostoročasová „vzdálenost“ událostí stejná v libovolné inerciální soustavě, musí při použití Lorentzovy transformace (LT) platit

(3.13)

38

Splnění této rovnice je náš požadavek. Prostým dosazením LT bychom tak mohli dostat podmínku určující konstantu . Výpočet není nijak náročný, jen trochu zdlouhavý. Najdete ho v Dodatku 3. Plyne z něj ale jednoznačný závěr. Rovnice (3.12) bude splněna, pouze pokud bude platit což je skvělý výsledek z několika důvodů. Jednak není žádný složitý výraz na několik řádků, za což je člověk vždy vděčný, navíc v ní figuruje pouze rychlost světla jako univerzální konstanta (pomineme-li znaménko a druhou mocninu). A za další, vynásobení rychlostí na druhou dá výrazu , původně v sekundách na druhou, stejnou jednotku jako mají ostatní členy, tedy metr na druhou. Sčítáme tedy jablka s jablky, jak to má být. K tomuto závěru jsme došli pro libovolné dvě události, takže se můžeme oprostit i od jejich označení a podobně jako v první části zavedeme takzvaný prostoročasový interval (respektive jeho druhou mocninu)

(3.14) Takto definovaný interval je tedy vůči LT invariantní (neměnný). To znamená, že pokud v jakékoli inerciální soustavě změříme časový rozdíl mezi dvěma událostmi a rozdíly v jejich prostorových souřadnicích a zkombinujeme je podle rovnice (3.14)16, dostaneme vždy stejné číslo. Nehledě na tom, jak rozdílné je naše měření oproti jinému inerciálnímu pozorovateli vlivem naší vzájemné rychlosti, na hodnotě prostoročasového intervalu dvou daných událostí se vždy shodneme. Protože je konstanta, můžeme ho vnořit do rozdílu souřadnic: . To znamená, že člen se záporným znaménkem můžeme dívat jako na změnu souřadnice . Vskutku vyjádření souřadnice události jako namísto je oblíbené, protože všechny souřadnice pak mají stejnou jednotku. Konzistentně s tímto přístupem můžeme vynásobit rovnici pro časovou souřadnici v LT rychlostí světla a dostat

Používání souřadnice místo může vést k hezčím rovnicím a velmi praktické je při kreslení prostoročasových diagramů, kterým se zde ale věnovat nebudeme. Nicméně, fyzikálně se používáním souřadnice nic nemění. Fyzikálně důležitý je rozdíl ve znaménkách ve (3.14). Plyne z něj několik důležitých závěrů. Za prvé, kvadrát prostoročasového intervalu může nabývat kladné, nulové i záporné hodnoty. Představme si libovolnou částici, která se pohybuje konstantní rychlostí od jedné události k druhé (můžeme si je opět označit a , ale pro naše úvahy to není důležité). Označme vzdálenost, kterou částice uletí mezi událostmi jako Platí Začněme mezním případem, pokud se má interval mezi a rovnat nule, plyne z (3.14)

16

Nutno dodat, že jsme v odvozování invariantu mohli postupovat i jinak a konstantu vytknout před všechny prostorové souřadnice. Dostaly bychom podobný výsledek (pouze s ) a interval bychom měřili najednou v sekundách místo v metrech. I tento způsob by byl v pořádku, ale zdá se zbytečně komplikované mít tři konstanty místo jedné. Protože je pro naši definici invariantu důležitý rozdíl ve znaménkách u časové a prostorových souřadnic, naše celá úvaha by fungovala, i kdybychom (3.13) vynásobili mínus jedničkou. Prostoročasový invariant bychom pak definovali jako , což je alternativní způsob, který se používá například v částicové fyzice, protože vede k hezčím (nikoli pravdivějším či správnějším) vztahům s hybností částice. Toto zavedení je pouze věcí konvence podobně jako se kdysi zvolilo, že kladný směr otáčení je proti směru hodinových ručiček, a na fyzikální podstatě našich rovnic nic nemění.

39

Nulovost intervalu nastává pouze pro částice pohybující se rychlostí světla. Takové částici se říká světlupodobná (light-like), případně se o samotném nulovém intervalu hovoří jako o světlupodobném (někdy také světelném nebo jen prostě nulovém). Samozřejmě se může jednat o šíření světla samotného (které si můžeme představit jako šíření fotonů) nebo jakékoli jiné částice, která se podle předpokladu dokáže pohybovat rychlostí světla. Podle STR má taková částice nulovou klidovou hmotnost. Z logiky věci plyne, že pokud dvě události dělí světlupodobný interval, musí se každá částice, která byla přítomna oběma událostem, pohybovat rychlostí světla. Vezměme si další případ, kdy bude kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi kladný. Z jeho definice pak opět plyne podmínka na rychlost částice, aby mohla být přítomna oběma událostem.

Částice by nutně musela mít rychlost větší než je rychlost světla. Tento případ označujeme za prostorupodobný (space-like), případně mluvíme o prostorupodobném intervalu. To proto, že v tomto případě existuje inerciální systém, ve kterém jsou dané dvě události současné, a dělí je pouze prostorová vzdálenost. Dvě události, jejichž interval je v kvadrátu kladný, se nemohou navzájem ovlivnit ani signálem pohybujícím se rychlostí světla. Jako příklad si vezměme velice zjednodušenou představu naší sluneční soustavy jako inerciální soustavy. V čase (pro stručnost budeme u souřadnic vynechávat jednotky) dojde na Slunci k erupci. V čase minuta se na Zemi, téměř 150 miliónů km daleko, podíváme do hvězdářského dalekohledu zamířeného na Slunce (s patřičnými clonami bránící poškození zraku, samozřejmě). Je běžně známý fakt, že světlu trvá něco málo přes 8 minut doletět od Slunce k Zemi. Při začátku našeho pozorování tedy nebudeme o erupci vědět. Interval mezi těmito dvěma událostmi je prostorupodobný, nemohou se tedy reálně nijak ovlivnit. Nakonec sice erupci v dalekohledu uvidíme, ale až o dalších 7 minut později. A to už je jiný čas, tedy jiná událost (nehledě k tomu, že za 7 minut se Země pohne na své oběžné dráze, takže i prostorové souřadnice budou jiné). Pokud bychom chtěli spočítat interval mezi erupcí a počátkem našeho pozorování, dostaneme (pro jednoduchost položíme spojnici Slunce a Země do osy x a pro jejich vzdálenost si ponecháme přibližnou hodnotu sto padesáti miliónů kilometrů, pro naše účely je dostačující)

Jak už víme, na intervalu se shodnou všichni inerciální pozorovatelé, proto pokud je interval jakýchkoli dvou událostí prostorupodobný, bude takový ve všech inerciálních soustavách. Zbývá nám poslední možnost. Pokud je kvadrát prostoročasového intervalu dvou událostí záporný, pak se všechny částice (a tím máme na mysli i uvědomělé pozorovatele), které spojují obě události, pohybují pomaleji než světlo. Bleskové ověření výpočtem, které je až na otočení nerovnosti identické s rovnicí (3.16) to potvrzuje. Tento případ označujeme jako časupodobný (time-like), opět z důvodů, které pro nás nejsou důležité. Matematicky se nám může zdát časupodobný případ podezřelý. 40

Kvadrát nějaké veličiny je záporný? Přece nemůže ten nejpřirozenější případ pohybu podsvětelnou rychlostí vést ke komplexním číslům. Ne nutně. Znaménko mínus je důsledkem naší volby při definici kvadrátu intervalu (3.14). Jak bylo řečeno v poznámce výše, je skutečně na nás, kterou konvenci si vybereme, protože fyzikálně se situace nezmění. Obě varianty mají své výhody a nevýhody, a toto je nevýhoda naší volby. Časupodobný interval je vlastně (až na faktor ) čas v klidové soustavě částice, která spojuje příslušné události (příkladem takové „částice“ byl Usain Bolt výše). Tento čas získáme z rovnice (3.14) položením prostorových členů nule (soumístné události). Dostáváme

takže záporné znaménko u kvadrátu intervalu se vykompenzuje a výsledný čas je kladný. Dvě časupodobné události se tedy mohou navzájem ovlivnit. V našem příkladu s pozorováním sluneční erupce jsme určili mezi slunečním výtryskem a začátkem pozorování prostorupodobný interval. Z předchozího vyplývá, že mezi erupcí a jejím zaregistrováním na Zemi (tj. že světlo z erupce stihne doletět až k nám) je interval světlupodobný. Z námi použitých hodnot vyplývá, že světlu bude (z našeho pohledu, samozřejmě) cesta trvat 8 minut a 20 vteřin. Jakákoli událost, která se na Zemi odehraje po tomto čase (například astronom oznamující objev erupce veřejnosti), bude s erupcí spojena časupodobným intervalem. To znamená nejenom, že se lze teoreticky dostat od jedné události ke druhé podsvětelnou rychlostí, ale také že obě události mohou být takzvaně kauzálně spojeny (to znamená, že jedna způsobila druhou, neboli tvoří pár příčina-důsledek).

Skládání rychlostí v STR Z Lorentzovy transformace dokážeme také snadno odvodit nové pravidlo pro skládání rychlostí. Dříve jsme viděli, že klasický způsob skládání rychlostí je příjemně přímočarý. Pokud kovboj pojede na koni rychlostí vůči zemi a vystřelí kulku ze své „henryovky“, u níž je udávána 17 ve směru jízdy, bude se podle klasické typická rychlost náboje těsně po výstřelu jako fyziky náboj pohybovat rychlostí vůči zemi. Rychlosti shodného směru sčítáme, opačného směru odčítáme. Již jsme si ukázali, že tento postup by u světla nefungoval. Kdyby kovboj místo výstřelu z pušky posvítil z lucerny, bude se světlo z ní pohybovat rychlostí všemi směry nejen vůči kovbojovi, ale i vůči zemi. Tento nesoulad mezi chováním světla a hmotných předmětů stál u zrodu STR a nyní bychom si měli ukázat, jak byl touto teorií vyřešen. Ukazuje se, že běžné sčítání rychlostí, ač pro malé rychlosti oproti rychlosti světla celkem přesné, není tak docela správné.

Mějme dvě inerciální souřadné soustavy. Čárkovaná soustava (kovboj na koni) se pohybuje vůči nečárkované (země) rychlostí . V čárkované soustavě se určitý předmět (střela) pohybuje konstantní rychlostí ve směru osy . Chceme vědět, jakou rychlostí se bude pohybovat vůči

17

http://www.militaryfactory.com/smallarms/detail.asp?smallarms_id=364

41

nečárkované soustavě, označme ji V nečárkované soustavě bude platit této rovnice dosadit změny čárkovaných souřadnic pomocí inverzní LT (3.5):18

Protože v čárkovaných souřadnicích platí skládání rychlostí

Nyní stačí do

, získali jsme tak relativistický vzorec pro

(3.15) Abychom získali vzorec pro přechod od rychlosti k , můžeme buďto vyjádřit z rovnice (3.15) nebo opět využijeme principu relativity, který nám říká, že situace při pohledu z čárkované situace musí vypadat zcela stejně, pouze nečárkovaná soustava se pohybuje rychlostí Takže

(3.16) Vidíme, že relativistické vzorce mají „klasickou verzi“ skládání rychlostí v čitateli. Nově se nám objevil jmenovatel. Abychom si přiblížili chování této funkce pro malé rychlosti, pomůžeme si opět Taylorovým rozvojem této funkce (vizte podkapitolu o LT a nízkých rychlostech).

(3.17)

Třemi tečkami jsme zde nahradili pokračování členů s vyššími mocninami. V reálných situacích je vždy vzájemná rychlost soustav a rychlost zkoumaného předmětu v čárkované soustavě (v případě rovnosti se jedná například o světelný paprsek). Zlomky v rozvoji (3.17) tedy budou vždy menší než jedna a členy s vyššími mocninami budou rychle klesat k nule. Například v případě kovboje a náboje bude

a rychlost náboje v soustavě spojené se zemí vychází To je rozdíl o 13 biliontin metru za sekundu. Těžko tedy budeme tyto rozdíly pozorovat u běžných rychlostí v našich podmínkách na Zemi. Alespoň vidíme, že námi naměřená rychlost se má tendenci vlivem relativistických efektů jako dilatace času a kontrakce délek zmenšovat. 18

Do rovnic (3.5) nyní dosazujeme přírůstky souřadnic, což můžeme díky jejich linearitě.

42

Jak dopadne situace s kovbojem a lucernou? V takovém případě bude bude světlo pohybovat rychlostí

a z našeho pohledu se

což je přesně výsledek, který souhlasí s reálným chováním světla. Zároveň si můžeme ukázat, že pomocí tohoto skládání rychlostí nikdy nepřekročíme rychlost světla. Dejme tomu, že se kosmická sonda bude pohybovat vůči zemi rychlostí . Sonda změří ve směru svého pohybu rychlost nějaké částice na Jakou rychlost částice naměříme ze Země?

Nejenom, že rychlost částice vůči Zemi není očekávaných , ale je dokonce menší než rychlost světla samotná. „Pouze“ asi 93 %. Obecně sloučením libovolných podsvětelných rychlostí dostaneme opět podsvětelnou rychlost.

Nadsvětelné rychlosti Rychlost světla je až nepředstavitelně velká. Proti téměř třem stům tisícům kilometrům za vteřinu je jakákoli rychlost, kterou zažíváme na naší planetě, nicotná. Pokud se vydáte na výlet tryskovým letadlem, jedním z nejrychlejších dopravních prostředků kdy vytvořených, dosáhnete podle tabulky 3.1 necelých rychlosti světla. Technologie se ale pořád vyvíjí kupředu a minimálně při kosmických letech bychom měli dosahovat stále větších rychlostí. Můžeme ale někdy dosáhnout rychlosti světla? Všechny naše dosavadní závěry o speciální relativitě se zdají být namířeny proti této možnosti. Matematické argumenty proti plynou z Lorentzovy transformace, z níž jsme odvodili dilataci času a kontrakci délek. Reálný objekt pohybující se rychlostí světla by se nám jevil nekonečně zkrácený ve směru svého pohybu a jeho hodiny by se zastavily, čas by pro něj neexistoval. To není představa, se kterou bychom se dokázali u reálných hmotných objektů nějak lehce vyrovnat. Pro nadsvětelné rychlosti také nejde matematický aparát LT použít, protože dostáváme pod odmocninou záporné číslo. Nicméně, tomuto sporu se můžeme vyhnout tvrzením, že Lorentzova transformace je nástroj pro počítání pouze s podsvětelnými rychlostmi, respektive se vztažnými soustavami, které se pohybují pomaleji než světlo. Může být tedy pouze omezeným nebo nedokonalým nástrojem, a skutečnost, že neumí popsat nadsvětelné rychlosti, ještě neznamená, že nejsou možné. Potřebujeme tedy pádný fyzikální argument. Ten by mohl plynout například z rovnice (3.10). Hmotnost částice v naší soustavě s její rychlostí vůči nám roste. Mluvíme zde o setrvačné hmotnosti, jak je zavedena 2. Newtonovým zákonem (k němuž existuje v STR ekvivalent, ale to pro nás nyní není podstatné). Pokud budeme na částici působit silou, dodáme jí zrychlení a to zrychlení je přímo úměrné síle. Pokud se ale s rostoucí rychlostí částice bude zvětšovat její hmotnost, znamená to, že bychom museli zvyšovat působící sílu, abychom udrželi dané 43

zrychlení. Jinými slovy, jak se částice začne blížit k rychlosti světla, je stále těžší ji urychlovat. Vyžaduje si to čím dál tím větší sílu a tím pádem větší množství vynaložené energie. Při rychlosti světla by hmotná částice měla efektivně nekonečnou hmotnost a to je opět koncept, který nám dělá problémy. Taková situace naštěstí nastat nemůže, protože nemáme k dispozici nekonečné množství energie, abychom částice na rychlost světla urychlili. Nicméně, teoreticky se této hranici dokážeme přiblížit libovolně blízko. Co je důležitější, také jsme viděli, že ani skládáním podsvětelných rychlostí se nedostaneme nad rychlost světla. Rychlost objektu je relativní, závisí na inerciální soustavě, ze které ho pozorujeme. I když se nemusí jednotliví pozorovatelé na dané rychlosti shodnout, na základě principu relativity by všichni měli být schopni používat aparát speciální relativity, a tak, pokud se částice pohybuje podsvětelnou rychlostí v jedné inerciální soustavě, pohybuje se pomaleji než světlo ve všech takových soustavách. Pokud má STR pravdu (a zatím se zdá, že ano), není možné se dostat z podsvětelné rychlosti na rychlost světla nebo i dále. Zatím ale z žádného argumentu přímo nevyplývá, že by se něco (schválně se zde vyhýbáme slovu částice nebo předmět) nemohlo pohybovat pouze nadsvětelnými rychlostmi. Hlavním důvodem, proč se nám nezamlouvá pohyb nadsvětelnou rychlostí, je zachování kauzality. Kauzalita znamená vztah mezi příčinou a jejím důsledkem. Konkrétně nás zajímá pořadí, ve kterém je vnímáme. Nejdříve by se měla odehrát příčina a pak teprve nastat důsledek. Cestování nadsvětelnou rychlostí by mohlo narušit kauzalitu událostí, což je pádný argument proti jeho možnosti. Protože naším cílem je dostat se k základům obecné relativity, nebudeme zde více nadsvětelné rychlosti diskutovat. Poznamenejme pouze, že dosud nebyly objeveny žádné částice pohybující se rychleji než světlo.

44

Shrnutí třetí části



Speciální teorie relativity se zabývá inerciálními soustavami a vztahy mezi nimi. Je založena na dvou postulátech: o Princip relativity – Fyzikální zákony nabývají stejného tvaru pro všechny inerciální pozorovatele. o Princip konstantní rychlosti světla – Rychlost světla ve vakuu je pro všechny inerciální pozorovatele stejná v každém směru.



Transformace souřadnic, která splňuje základní postuláty, se nazývá Lorentzova a pro dvě soustavy navzájem se pohybující rychlostí ve směru svých x-ových os platí

kde je rychlost světla ve vakuu. 

Ve speciální relativitě je výhodné dívat se na prostor a čas jako na jeden celek, tzv. prostoročas. Popisujeme ho pomocí souřadnic . Každá taková čtveřice souřadnic určuje v dané inerciální soustavě událost.



Z LT plynou nové důsledky pro naše vnímání okolního světa. Pokud se bude vzhledem k nám někdo pohybovat nenulovou rychlostí, jeho čas bude oproti našemu zpomalen (dilatace času) a daná osoba nám bude připadat zkrácená ve směru pohybu (kontrakce délek). Jde ale o relativní efekty, které na sobě druhý pozorovatel sám nepociťuje, naopak pro něj budeme my ti s pomalejším časem a zkrácenými délkami.



Na čem se všichni inerciální pozorovatelé shodnou je prostoročasový interval mezi dvěma událostmi, jehož kvadrát je dán vztahem

Interval nazveme časupodobný pokud je jeho druhá mocnina menší než nula. Spojuje dvě události, mezi kterými je možné doputovat podsvětelnou rychlostí. Interval s kvadrátem větším než nula nazýváme prostorupodobný, spojuje události, které se nemohou navzájem reálně ovlivnit, protože by bylo potřeba nadsvětelné rychlosti. Mezní případ je nulový nebo světlupodobný interval, který odpovídá pohybu mezi událostmi rychlostí světla.

45



Na Zemi v běžných situacích efekty STR nepozorujeme, protože naše rychlosti jsou příliš malé v porovnání s rychlostí světla a relativistické efekty jsou zanedbatelně malé. Pro rychlosti blízké rychlosti světla, zejména v částicové fyzice, může docházet k velkým rozdílům oproti klasické fyzice.



Právě částicová fyzika je jedním z nejlepších způsobů, jak experimentálně prověřovat platnost STR. Aktuálním příkladem je Velký hadronový urychlovač (LHC). Již přes sto let nebyl zjištěn rozpor mezi reálným chováním přírody a speciální relativitou.



Klasické skládání rychlostí nevyhovuje postulátům STR. Z Lorentzovy transformace plyne nové pravidlo pro skládání rovnoběžných rychlostí

kde je rychlost předmětu, kterou má v čárkované soustavě, jež se proti nám pohybuje rychlostí . je pak rychlost předmětu, kterou naměříme my. Tímto způsobem nelze nikdy překročit rychlost světla, ani složením dvou rychlostí velmi blízkých .

 Hlavním důvodem, proč nepovažujeme nadsvětelné rychlosti za možné, je porušení kauzality, jasného určení dvou událostí jako příčiny a důsledku. Z pokusů a teorie vyplývá, že vše s nenulovou klidovou hmotností se může pohybovat pouze podsvětelnými rychlostmi a částice bez klidové hmotnosti se pohybují rychlostí světla.

46

Příklady k třetí části Cesta do sousední sluneční soustavy Nejbližší hvězdný systém je Alfa Centauri, vzdálený světelného roku.19 Vyšleme k němu raketu konstantní rychlostí vůči Zemi (počáteční zrychlení a konečné brzdění zanedbáme). Spočítejte, za jak dlouho pro nás na Zemi dorazí raketa ke svému cíli, kolik času uplyne pro posádku rakety a jak dlouhá se bude vzdálenost k cíli posádce jevit. Výsledky nám stačí v letech a světelných rocích, takže je zbytečné při výpočtu převádět na základní jednotky.

Vesmírná přestřelka Dvě znepřátelené vesmírné lodě se utkaly v bitvě. První z nich se pohybuje rychlostí vzhledem k protivníkovi a vypustí torpédo rychlostí . Druhá loď zaregistruje vystřelení torpéda na svých senzorech 5 sekund svého času po jeho vypuštění. K provedení úhybného manévru potřebuje druhá loď alespoň 10 sekund svého času. Za předpokladu, že začne manévr v momentě, kdy zaregistruje blížící se torpédo, stihne se mu vyhnout? Zkuste postupovat následujícím způsobem:20 a) Počítejte v klidové soustavě druhé lodi. Jak daleko od ní došlo k vypuštění torpéda, jestliže se k ní informace dostávala 5 sekund (předpokládáme, že její senzory zachycují elektromagnetické záření). b) Jakou rychlostí se přibližuje torpédo k druhé lodi? Jinými slovy, jakou má torpédo rychlost v soustavě spojené s uhýbající lodí? Namísto hrubého použití kalkulačky doporučuji trochu manipulace se zlomky. Obecně tak člověk dostane mnohem přesnější hodnoty a zaokrouhlení se tak nechá až na konec. c) Jakou vzdálenost urazilo torpédo za 5 sekund, než se o něm posádka lodi dozvěděla? Kolik mu tím pádem zbývá k cíli? d) Za jak dlouho urazí tuto zbývající vzdálenost?

Rozpad kaonu Kaon je elementární částicí s průměrnou dobou života , naměřeno v jeho klidové soustavě. V laboratoři jsou generovány kaony o rychlosti 99 % rychlosti světla. Jaký bude průměrný dolet kaonů? Proveďte klasický i relativistický výpočet a porovnejte.

19

Světelný rok (ly – z anglického light year) je definovaný jako vzdálenost, kterou světlo urazí za juliánský rok, ten má z definice 365,25 dne, takže celkem = 20

Je praktické zde zacházet s rychlostí jako s parametrem, tedy nedosazovat její konkrétní velikost, protože se na konci výpočtu zkrátí, a ušetřit si manipulaci s velkými čísly – například, vzdálenost Země – Slunce můžeme vyjádřit jako přibližně metrů, kde složené závorky značí číselnou hodnotu veličiny.

47

Část čtvrtá – Obecná teorie relativity V poslední části se dostáváme k základním myšlenkám obecné teorie relativity (OTR). Ukážeme si, proč se jí říká obecná, jak souvisí s tou speciální a proč se týká především gravitace. Pokusíme se ukázat, jak fyzika přešla od gravitační síly v klasické mechanice k zakřivenému prostoročasu. Samozřejmostí jsou nejdůležitější důsledky této teorie, díky kterým bylo možné ji experimentálně ověřit. Tato část bude nutně méně matematická než ty předcházející, protože naprostá většina matematického aparátu OTR spadá do vysokoškolské matematiky, zejména diferenciální geometrie a tenzorového počtu. Protože není naším úmyslem utopit čtenáře v nové matematice, která je jen těžko pochopitelná bez předchozího (často i několikaletého) studia matematické analýzy, budeme dávat větší důraz na fyzikální myšlenky.

Od speciálního k obecnému Vývoj novodobé teorie relativity připomíná výklad ve škole, kde učitel při probírání látky začne jednoduchým speciálním případem a následně ho použije jako odrazový můstek ke složitějšímu a obecnějšímu závěru. Stejným způsobem formuloval Einstein nejprve speciální teorii relativity, kde pracujeme s inerciálními vztažnými soustavami. Definici inerciální soustavy, kterou jsme si uvedli ve druhé části, lze přeformulovat takto. Pokud se každé těleso v naší soustavě, na které nepůsobí žádná síla (případně na které působí několik sil, jejichž výslednice je nulová), pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo zůstává v klidu, pak můžeme tuto soustavu prohlásit za inerciální. Takovým tělesům, na která celkově nepůsobí žádná síla, se říká volná. V případě částic hovoříme o volných částicích. Otázkou, kterou budeme mimo jiné řešit, je, zda vůbec v přírodě takové volné částice existují. Kdyby totiž reálně neexistovaly, inerciální vztažné systémy by ztratily smysl. V klasické fyzice byly před zkoumáním struktury jader atomů známy dvě základní fyzikální síly.1 Gravitační a elektromagnetická. Ačkoli jsou si tyto dvě síly v lecčems velmi podobné, je mezi nimi jeden fundamentální rozdíl. Elektrické a magnetické síly působí mezi dvěma druhy nábojů, říkáme jim kladný a záporný. Existuje tak například přitažlivá elektrická síla mezi odlišnými náboji a odpudivá elektrická síla mezi souhlasnými náboji. Zajímavým důsledkem toho je, že dokážeme v principu naše experimenty odstínit od vnějšího působení elektromagnetického pole. Stačí vše potřebné uzavřít do kovové klece (zkuste si vyhledat pojem Faradayova klec a poté zkuste chytit mobilní signál v kabině staršího kovového výtahu). Naproti tomu gravitační síla působící mezi hmotnými tělesy je vždy přitažlivá. Použijeme-li analogii s elektromagnetismem, známe pouze jeden gravitační náboj – hmotnost. Díky tomu gravitaci nemůžeme odstínit nějakou bariérou. Nejenže gravitační působení bariérou projde, 1

Základní v tom smyslu, že mohou působit kdekoli, včetně vakua. Například vztlakovou sílu v Archimédově zákoně bychom neoznačili za univerzální, protože je jednak omezena jen na určitá prostředí (tekutiny) a jednak je důsledkem gravitační síly. Podobně třecí síla se dá vysvětlit pomocí částic látek působících na sebe elektrickými silami. Dnes používáme obecnější pojem interakce. Kromě elektromagnetické a gravitační známe ještě další dvě, silnou a slabou jadernou interakci. Jsou specifické tím, že působí pouze na rozměrech srovnatelných s velikostí atomového jádra a na makroskopických rozměrech nepůsobí. Spadají proto to oblasti kvantové teorie pole a do našich relativistických úvah je nezahrnujeme.

48

sama hmotná bariéra ještě ke gravitačnímu působení přidá. Prakticky je ale gravitační síla v porovnání s tou elektromagnetickou velmi slabá (například je možné už na střední škole provést porovnání elektrické a gravitační síly mezi protonem a elektronem), takže často náš experiment neovlivní. Faktem ale zůstává, že (alespoň ve velkých měřítkách) se lze gravitačnímu působení jen těžko vyhnout. Proto se i my budeme snažit do našich úvah o volných částicích zahrnout gravitaci.2

Proč právě gravitace? Pokud bychom měli vystihnout obecnou teorii relativity několika slovy, řekli bychom, že je to teorie gravitace. Nestala se jí ale cíleně. Zabývá se gravitací jako důsledek snahy o zobecnění závěrů speciální relativity. Inerciální vztažné soustavy, které si STR vybírá k popisu světa kolem nás, jsou spjaty s dosti speciální třídou pozorovatelů. Pro ně byl postulován princip relativity i princip konstantní rychlosti světla ve vakuu. Zcela oprávněně bychom se mohli ptát, zda nejdou relativistické úvahy o různých pozorovatelích a jejich vztažných systémech zobecnit tak, aby zahrnovaly i neinerciální pozorovatele. Vždyť skutečnost, že se někdo pohybuje se zrychlením nebo jeho klidová soustava vůči té naší rotuje (například sedí na kolotoči), ještě neznamená, že je jeho popis méně platný než ten náš. Ještě než zodpovíme otázku ohledně souvislosti neinerciálních soustav a gravitace, měli bychom se podívat na důvody, proč nemluvíme o gravitaci již ve speciální relativitě. Klasická mechanika pohlíží na gravitaci jako na sílu, která se řídí Newtonovým gravitačním zákonem. Ze střední školy víme, že velikost gravitační síly mezi dvěma tělesy o hmotnosti a , která jsou od sebe vzdálena je3

(4.1)

kde je gravitační konstanta. Směr síly je vždy dán spojnicí dvou těles. Vzorec (4.1) velice dobře vysvětluje pohyb planet v naší sluneční soustavě a dodnes je používán v situacích, kdy není zapotřebí používat teorii relativity (například pro slabé gravitační pole). Nicméně je ale v zásadním rozporu s STR. Podle (4.1) na sebe působí tělesa na dálku gravitační silou, a pokud se například poloha jednoho z těles změní, změní se okamžitě síla působící na druhé těleso, i kdyby bylo stovky světelných let daleko. Informace o tělese se tedy šíří nekonečně rychle (to znamená okamžitě) a to se nám nelíbí díky úvaze o kauzalitě na konci třetí části textu. Uvažme, že s dostatečně citlivými přístroji bychom ovlivněním jednoho tělesa mohli v principu posílat informace „gravitační morseovkou“ přes obrovské vzdálenosti v okamžiku.

2

Nesnažíme se zde tvrdit, že by elektromagnetická síla byla méně důležitá. Z výše řečeného pouze plyne, že je gravitace v jistém slova smyslu pro naše úvahy o makroskopických objektech významnější, proto se jí budeme přednostně zabývat. V teorii relativity se běžně počítá i s elektromagnetismem, ale to už je nad rámec našeho první seznámí s touto teorií. Prozatím se spokojme s tvrzením, že elektromagnetismus nehraje takovou fundamentální roli v teorii relativity jako gravitace. Dále uvidíme proč. 3 Ve skutečnosti musí být uvažovaná tělesa malá v porovnání se vzdáleností nebo sféricky symetrická.

49

Zkusme následující myšlenkový pokus. Představme si, že by naše Slunce najednou zničehonic zmizelo. Podle klasické teorie by gravitační působení na Zemi obíhající po téměř kruhové dráze okamžitě přestalo a my nic netušící pozemšťané bychom sledovali (pokud bychom si toho stačili všimnout), jak naše planeta odlétá po tečně ke své původní trajektorii, jako když se točí závažím na šňůře, a ta se najednou utrhne. Mezitím by k nám stále ještě přicházelo světlo ze Slunce, takže by ani nebylo jasné, co vychýlení naší planety z orbity způsobilo. Na druhou stranu, podle speciální teorie relativity se veškeré informace šíří maximálně rychlostí světla. Takže po zmizení naší hvězdy by Země ještě něco málo přes osm minut klidně pokračovala po své normální dráze a teprve pak by se vydala vstříc mrazivé prázdnotě okolního vesmíru. Současně by k nám dolétly poslední sluneční paprsky vyslané před zmizením Slunce a tak bychom, tváří v tvář globální katastrofě, alespoň věděli, co je její příčinou. Morbiditu našeho příkladu stranou, je jasné, že chceme-li se držet našich úvah o relativitě, budeme muset pozměnit náš náhled na gravitaci. Nabízí se otázka, proč nevěřit spíše Newtonovu gravitačnímu zákonu než úvahám o kauzalitě, když tak dobře funguje pro pohyb planet naší soustavy nebo pohyb těles na Zemi. Odpovědí je, že i přes své nesporné úspěchy, neumí gravitační zákon (4.1) vysvětlit všechny jevy ve sluneční soustavě, konkrétně jistou anomálii v obíhání Merkuru – více se dozvíme později. Navíc teorie relativity předpovídá některé efekty (říkáme jim relativistické), které klasická fyzika nezná nebo neumí vysvětlit, ale zároveň je možné je experimentálně ověřit. Druhou možnou odpovědí je, že v nekonečně rychlém působení na dálku je něco, co se nám v souvislostech s dnešní fyzikou moc nezamlouvá. Například není jasné, proč by část fyziky měla být omezena rychlostí světla, zatímco jiná část by „fungovala“ bez tohoto omezení. Proto nám stojí za to alespoň se znovu zamyslet nad gravitací z relativistického hlediska.

Slabý princip ekvivalence Gravitace má na rozdíl od ostatních interakcí jednu zvláštní vlastnost, se kterou klasická fyzika, a spolu s ní i výklad na střední škole, pracuje, ale nijak ji nevysvětluje. Oproti například elektromagnetické síle působí gravitace na všechny předměty stejně. Obvyklá formulace zní, že všechno padá se stejným zrychlením. Možná jste viděli demonstrační pokus s padáním předmětů v trubicích s odčerpaným vzduchem (protože odpor vzduchu tuto univerzálnost narušuje) nebo video z povrchu Měsíce, kde astronaut najednou pustí ptačí pero a kladivo ze stejné výšky a oba předměty dopadnou ve stejný okamžik.4 Matematicky demonstrujeme tento jev tak, že podle 2. Newtonova zákona dáme do rovnosti hmotnost předmětu krát jeho zrychlení a působící sílu, v tomto případě gravitační. Velikostně je

je zde hmotnost zdroje gravitační síly (Země, případně Měsíc apod.). Z toho plyne, že všechny předměty, pokud jsou stejně daleko například od těžiště Země, padají se stejným zrychlením. Tato úvaha má ale jeden zásadní nedostatek. Pokud bychom chtěli být precizní, musíme správně předchozí rovnici napsat takto 4

https://www.youtube.com/watch?v=aCTHVhCQSQs

50

Na levé a pravé straně rovnice totiž vystupují hmotnosti ve zcela jiné souvislosti. 2. NZ mluví o setrvačné hmotnosti a je pro ni prakticky definičním vztahem. Je to konstanta úměrnosti mezi silou působící na těleso a zrychlením, které je tělesu udělováno. Čím větší je hmotnost předmětu, tím větší síla je třeba na to, abychom mu udělili dané zrychlení. Naproti tomu na pravé straně vystupuje hmotnost předmětu jako jeho „gravitační náboj“, konstanta, která nám říká, jak moc je dané těleso přitahováno a zároveň jak silně přitahuje ostatní hmotná tělesa. Máme tak dvě fyzikálně odlišné veličiny, a teprve naše experimenty nám mohou říci, zda se a rovnají a pokud ano, jestli tomu tak je pro všechny předměty či částice. Fakt, že se pro tělesa gravitační a setrvačná hmotnost rovnají, je experimentálně ověřován už od dob Galilea (také jemu je připisován výrok, že všechny věci padají k zemi se stejným zrychlením). Důmyslné mechanické experimenty s čím dál tím větší přesností potvrzují rovnost těchto dvou veličin, v případě pozemským experimentů až do řádu . To znamená, že pokud by se setrvačné a gravitační hmotnosti zkoumaných předmětů přece jen lišily, bylo by to o méně než jednu biliontinu. Byl také navržen experiment k provedení na oběžné dráze pomocí satelitu, který by tuto přesnost posunul až na

5

Tvrzení, že se gravitační a setrvačná hmotnost rovnají, říkáme slabý princip ekvivalence. Jedná se o důležitý předpoklad pro teorii relativity, a proto je se stále rostoucí přesností ověřován. Díky němu můžeme tvrdit, že všechna tělesa padají v gravitačním poli se stejným zrychlením. Jak už jsme naznačili, například pro elektrickou sílu to není pravda. Pokud máme zdroj elektrické síly, s nábojem , a od něj ve vakuu ve vzdálenosti jiné těleso s nábojem a hmotností , vypadá pohybová rovnice druhého tělesa (uvažujme opět pouze velikosti)

kde je permeabilita vakua. Vidíme, že zrychlení nabitého tělesa závisí na poměru jeho náboje a hmotnosti, speciálně závisí na jeho náboji, takže není pravda, že by všechna nabitá tělesa byla ovlivňována elektrickým polem stejně. Existuje ale třída sil, které se chovají podobně univerzálně jako gravitace. Jsou to tzv. nepravé síly (nazývány také zdánlivé nebo setrvačné). Zavádějí na škole většinou současně s neinerciálními systémy. Nazýváme je nepravé, protože nemají reálný fyzikální význam jako třeba elektrická síla. Jejich efekt pozorujeme, pokud se nacházíme ve zrychlené či rotující soustavě. Například vezeme-li se na kolotoči, cítíme působení odstředivé síly, která nás chce vytáhnout ven z kolotoče (působí směrem od středu otáčení). Zdánlivě ale na kolotoči nevidíme, co přesně tuto sílu způsobuje. Naproti tomu náš kamarád stojící na zemi vidí, že naše tělo má tendenci vypadnout z kolotoče a pokračovat po tečně k trajektorii otáčivého pohybu. Je to naše setrvačnost (tendence pohybovat se rovnoměrně přímočaře), který nás „vytrhává“ z kolotoče, a tím se nám zdá, že na nás působí nepravá (zdánlivá) odstředivá síla.6 Pro její velikost platí kde je úhlová rychlost otáčení a je vzdálenost 5

Více se o navrženém experimentu i o těch starších můžete dozvědět na http://einstein.stanford.edu/STEP/. Proto například když roztočíte závaží na provázku a najednou provázek pustíte, závaží díky své setrvačnosti odletí ve směru tečny k původní trajektorii kružnici, tedy po přímce. 6

51

od osy otáčení. Po dosazení této síly do 2. NZ dostaneme podobně jako výše tedy působení odstředivé síly je stejné na všechny předměty nezávisle na jejich hmotnosti. Podobný argument platí i pro další nepravé síly. Nabízí se tedy otázka, zda je vůbec gravitace pravá síla, jak to tvrdí klasická mechanika. Není možné, že nám gravitace připadá jako reálná síla jen proto, že na ni nahlížíme ze špatného úhlu pohledu? Pokud by to ale nebyla síla v pravém slova smyslu, tak co je to? K pochopení tohoto problému potřebujeme blíže prozkoumat účinky gravitace na svět kolem nás. Jak musíme pozměnit naše chápání prostoročasu zavedeného speciální relativitou v přítomnosti gravitace?

Lokální inerciální systémy Dosud jsme nezmínili jeden důležitý argument, proč STR a gravitace nejdou dobře dohromady. Ve speciální relativitě používáme inerciální systémy. Ty jsou definovány pomocí volných částic, tedy těch, na které nepůsobí žádná síla a vykonávají tak rovnoměrný přímočarý pohyb. V přítomnosti gravitace ale na všechny hmotné částice působí gravitační síla. Najednou nemáme jak realizovat inerciální systém. Anebo ano? Představme si na moment, že se pohybujeme vesmírným vzduchoprázdnem daleko od zdrojů silových působení. Nemáme jak změřit vzdálenosti k jiným objektům, protože je nevidíme. Jak zjistíme, jestli se pohybujeme rovnoměrně přímočaře nebo se zrychlením? Odpověď je snadná, vezměme jakýkoli předmět, co máme po kapsách našeho skafandru (řekněme tužku), a položme ho do prostoru tak, aby byl zpočátku v klidu. Pokud v klidu vůči nám zůstane, opravdu je náš pohyb rovnoměrně přímočarý a můžeme se hrdě prohlásit za inerciálního pozorovatele. Pokud se ale předmět od nás začne vzdalovat navzdory našemu opatrnému vypuštění z klidu, znamená to, že se pohybujeme se zrychlením a ani naše soustava nemůže být inerciální. Mohli byste namítnout, že kdyby na nás a tužku působila stejná síla, co do velikosti a směru, tak bychom stejně žádné vzdalování testovacího předmětu nepozorovali, protože se budeme pohybovat stejně nerovnoměrně. To je pravda, ale jen částečně. Velikost působící síly závisí na vzdálenosti od zdroje, takže i když bude vzdálenost mezi tužkou a zdrojem síly jen o málo jiná než mezi námi a zdrojem (viz obrázek 4.1a), dříve nebo později se ten rozdíl projeví. Druhý možný případ je, že vzdálenost bude stejná. Pak je ale z obrázku 4.1b patrné, že spojnice zdroje a pozorovatele (ZP) nemůže být totožná se spojnicí zdroje a tužky (ZT). To znamená, že i směr působících sil bude různý a díky tomu se bude měnit vzdálenost PT. Samozřejmě, pro velké vzdálenosti budou rozdíly tak malé, že po omezenou dobu nebo na určitém omezeném prostoru budeme moci tvrdit, že je naše soustava inerciální. V takovém případě bychom mluvili o lokální inerciální soustavě. Lokální proto, že v závislosti na přesnosti našeho měření bude inercialita soustavy platit jen na omezeném prostoru a po omezenou dobu. V řeči relativity, pouze v lokální oblasti prostoročasu.7 Tyto úvahy by byly obecně platné pro jakoukoli sílu, přitažlivou či odpudivou, která by klesala se vzdáleností. Speciálně i pro tu gravitační. 7

Druhou možností je, že by silové pole bylo homogenní (mělo stejnou velikost i směr v každém bodě). Už na střední škole se setkáváme s homogenním elektrickým polem (v deskovém kondenzátoru), magnetickým polem (uvnitř dlouhé cívky) nebo tíhovým polem Země. To je považováno za homogenní, v každém bodě popsáno stejným vektorem tíhového zrychlení . Nesmíme ale zapomínat, že ve skutečnosti tíhové pole Země není homogenní, tíhové zrychlení se mění s výškou nad povrchem a dokonce i v závislosti na zeměpisné šířce. Homogenní tíhové pole je pouze přiblížení, které můžeme používat pro malé oblasti, kde se mění jen velmi málo (například v místnosti nebo při malých změnách výšky v porovnání s poloměrem Země a podobně).

52

Pokud tedy chceme zkoumat gravitaci v pojmech, které už známe (STR) nemůžeme to dělat stejně jako předtím, kdy naše vztažné inerciální soustavy byly neomezeně velké (mluvíme o globálních inerciálních systémech). Nyní jsme vlivem gravitace omezeni jen na lokální prostředí, dostatečně malé, abychom vlivy gravitace mohli při dané přesnosti měření zanedbat. Souřadnicové osy táhnoucí se jako přímky do nekonečna ztrácí smysl a tím musíme omezit i naše měřící tyče. Neexistenci libovolně dlouhých rovných měřících tyčí si můžeme představit i tak, že pokud bychom je chtěli nějak realizovat, dříve nebo později opustíme hranice naší lokální inerciální soustavy. Abychom mohli pokračovat v realizaci přímého směru, potřebujeme znovu zavést lokální inerciální systém (LIS), ale pozor, ten se může obecně pohybovat zrychleně vůči tomu původnímu. To demonstrují obrázky 4.1a a 4.1b. Stačí, když si místo pozorovatele a tužky představíme dva lokální inerciální systémy. Buďto se dva dané LIS pohybují vůči sobě zrychleně nebo je toto zrychlení pro nás neměřitelné, ale potom oba systému můžeme sloučit do jednoho. Jistě ale nemůžeme tohoto slučování provádět do nekonečna, protože dřív nebo později se účinky gravitace projeví. Obecně se tedy v gravitačním poli každé dva LIS pohybují vůči sobě zrychleně a je pouze na přesnosti našeho měření, nakolik to dokážeme rozeznat.

Obrázek 4.1a a 4.1b Gravitační působení zdroje (Z) na pozorovatele (P) a jeho testovací předmět (T) pro dva klíčové případy. V prvním případě rozdíl působících sil způsobí vzájemné zrychlení mezi pozorovatelem a předmětem, takže se jejich vzdálenost dříve nebo později začne viditelně měnit. Ve druhém případě je vzájemné zrychlení způsobeno (na obrázku vodorovnými) silami a Měřítko je silně přehnáno pro lepší přehlednost.

Silný princip ekvivalence Naše úvahy shrnuje (a dále rozšiřuje) tzv. silný princip ekvivalence, který (podle [5]) říká, že V každém bodě prostoročasu existuje lokální inerciální systém, v němž platí stejné zákony jako ve speciální teorii relativity. Víme také, jak takový LIS vytvořit. Protože nedokážeme gravitaci odstínit, potřebujeme zařídit, aby na všechny předměty v naší soustavě působila stejně. Díky slabému principu ekvivalence víme, že všechny předměty v gravitačním poli padají stejně. Aby naše soustava byla lokálně inerciální, musí v gravitačním poli volně padat. V takovém případě budou (lokálně) platit zákony speciální relativity a my se budeme při zkoumání gravitace moci opřít o fyziku, kterou známe.

53

Představa padání volným pádem je pro člověka silně nepřirozená (a nejen díky vědomí, že na jeho konci nás čeká něco velmi nepříjemného). Z fyzikálního hlediska je ale volný pád velmi přirozený. Aniž byste nutně hned skákali z okna, představte si, že volně padáte. Přitom zopakujeme svůj původní test inerciality naší soustavy vypuštěním tužky z klidu. Jak se bude pohybovat vzhledem k vám? Zůstane na místě. Zapomeňte na svištící vzduch kolem a jeho tření, které nám zbytečně komplikuje situaci. Zapomeňte na okolní budovy nebo zemi kdesi daleko pod vámi, která vám tvrdí, že se tužka pohybuje. Vzhledem k zemi ano, ale vzhledem k vám? Ne. Před chvíli jsme si sice řekli, že to není zcela přesné, protože vždy dochází k rozdílnému působení Země na vás a tužku, ale teď, v tuto chvíli, kdy máte tužku půl metru od sebe a padáte sotva pár vteřin, je vzájemný pohyb vás a tužky nicotně zanedbatelný. Prakticky nepozorovatelný. Pro všechny praktické účely je vaše klidová soustava inerciální (i když stále držíme na paměti, že jen lokálně). Abychom jen tak metaforicky nemávali rukama, v Dodatku 4 si naše tvrzení ověříme rychlým výpočtem pomocí klasické mechaniky. Hezkým příkladem lokálního inerciálního systému je Mezinárodní vesmírná stanice (International Space Station - ISS). Ve skutečnosti je jím jakékoli plavidlo na oběžné dráze naší planety, ale zůstaňme u ISS. Videa ze stanice jsou běžně dostupná na internetu. Ať už jde o videotelefonní hovory s astronauty, kdy odpovídají na otázky veřejnosti, přímý přenos některých experimentů na palubě nebo hudební klip,8 snadno se můžeme přesvědčit o tom, jak se věci na palubě vesmírné stanice chovají. Předměty se vznáší, poletují kolem bez tíže, voda tvoří kulové kapky, astronauti nespí vleže, ale zavěšeni do spacáků. Na první pohled to vypadá, že ve vesmíru není gravitace (a bohužel se najdou tací, kteří si to opravdu myslí). To je ale omyl. I když se vzdáleností gravitační působení Země slábne, na orbitě ISS musí zcela jistě gravitace existovat, protože Měsíc, který je mnohem dál od Země než ISS, je naší gravitací přitahován. Stejný argument můžeme použít pro gravitační působení mezi Zemí a Sluncem atd. Proč jsou tedy astronauti a vše na mezinárodní stanici ve stavu beztíže? Protože padají, i když ne v běžném slova smyslu. Obrázek 4.2 Velmi schematický náčrtek orbity Mezinárodní vesmírné stanice. Trajektorií je elipsa, která je velice blízká kružnici. Její zakřivení je způsobeno kombinací dvou vlivů, gravitačního zrychlení způsobujícího volný pád ( ) a tečné rychlosti ( ). Poloměr trajektorie stanice je oproti Zemi mnohonásobně zvětšen pro větší přehlednost.

Tradičně se pohyb na orbitě vysvětluje pomocí rovnosti gravitační a odstředivé síly. Existuje ještě jiné možné (alternativní) vysvětlení. Stanice pod sebou nemá žádnou podpěru, ani nemá permanentně zažehnuté motory, takže je prakticky ve volném pádu směrem k Zemi. Jako taková se tedy chová velice dobře jako lokální inerciální soustava. Samozřejmě to nemůže být celá pravda, protože jinak by již dávno narazila do povrchu planety. Zásadní je její složka pohybu tečná k oběžné dráze, která v kombinaci s volným pádem způsobuje, že stanice padá šikmo, podobně jako těleso při vodorovném vrhu. Tato tečná (nebo chcete-li

8

Mimořádně populární se stala videa kanadského astronauta Chrise Hadfielda, který je také prvním člověkem, který natočil hudební klip mimo naši planetu. Zájemci stačí napsat astronautovo jméno do vyhledavače a objeví mnoho zajímavých videí, včetně ukázky, jak se ve vesmíru čistí zuby. Mimochodem, zmíněný hudební klip se jmenuje Space Oddity, pokud jste na něj ještě nenarazili. Bohužel v polovině května 2014 vypršelo povolení Davida Bowieho, autora písně Space Oddity, k jejímu užívání, a tak byl klip stažen z oficiálních medií.

54

vodorovná) rychlost je přesně tak velká (kolem 27 600 km za hodinu), že na rozdíl od letadla při parabolickém letu, obíhá mezinárodní stanice kolem Země po elipse velice blízké kružnici. Stanice tak vykonává vlastně dva pohyby. Rovnoměrný přímočarý pohyb ve směru tečny k trajektorii udržuje stanici na orbitě, zatímco volný pád směrem ke středu planety způsobuje na palubě stav beztíže. 9 Mimochodem, to samé platí i pro Měsíc a všechny další oběžnice v naší soustavě (takže i pro Zemi vzhledem ke Slunci). Zde už ale vstupují do hry velké rozměry objektů a gravitace jich samotných, což naše předchozí úvahy o inerciálních soustavách narušuje. Jeden malý experiment si můžete zkusit i sami doma, ale buďte při něm, prosím, opatrní. Stoupněte si na židli, pohovku nebo menší stůl a seskočte na zem. Protože v tomto případě volný pád trvá velice krátce, budete pravděpodobně pokus muset opakovat víckrát (případně si můžete celou situaci nahrát na kameru). Pokud si v pádu pustíte před očima tužku, bude padat stejně s vámi, a proto bude z vašeho pohledu chvíli „viset ve vzduchu“ jako při stavu beztíže. Jinou možností je použití akcelerometrů. Těmi jsou vybaveny například některé moderní verze tabletů nebo chytrých telefonů. Pokud držíte v ruce v klidu správně kalibrovaný akcelerometr, bude ukazovat hodnotu zrychlení přibližně , což je používaná hodnota pro běžné tíhové zrychlení. Při nerovnoměrném pohybu rukou nahoru ukazuje přístroj vyšší tíhové zrychlení. To proto, že svým pohybem mu udělujeme zrychlení směrem vzhůru. V reakci na to se k pravému tíhovému zrychlení přidá ještě setrvačné zrychlení směřující dolů. Ve skutečnosti tedy akcelerometr měří zrychlení o velikosti V opačném případě, pokud půjdeme rukou zrychleně dolů, bude mít setrvačné zrychlení směr nahoru a celkové naměřené zrychlení bude velikostně , tedy menší. Pokud takový akcelerometr necháme volně padat, bude mít jeho setrvačné zrychlení přesně hodnotu tíhového zrychlení, ve výsledku naměříme nulové zrychlení, jako u rovnoměrného přímočarého pohybu. Alternativně tedy můžeme silný princip ekvivalence formulovat takto (opět podle [5]): Gravitační pole je lokálně ekvivalentní zrychlenému systému. Až díky oběma principům ekvivalence, které plynou z experimentů a úvah o gravitaci, dokážeme dát správně do souvislosti zrychlené (neinerciální) systémy a gravitační působení. Oklikou jsme se tak dostali zpět na začátek, kdy jsme mluvili o obecné relativitě jako rozšíření speciální relativity o zrychlené systémy. Díky principu ekvivalence docházíme k závěru, že tato cesta vede přes gravitaci. Chceme-li tedy zkoumat rozdíly mezi zákony speciální relativity a těmi platnými v gravitačním poli, budeme se muset dívat na stejné situace ze dvou pohledů. Jednou z lokální inerciální soustavy volně padající v gravitačním poli Země (například) a jednou očima pozorovatele, který je vůči Zemi v klidu, ale jehož soustava není lokálně inerciální.

9

Abychom byli zcela přesní, astronauti na stanici jsou vystaveni takzvané mikrogravitaci. Působí na ně zhruba miliontina našeho tíhového zrychlení, což je způsobeno nesymetriemi v dráze a rozměry stanice. Dále je zajímavé, že i v průměrné výšce 423 km nad povrchem stále dochází k tření o zbytky atmosféry, takže stanice ztratí ze své výšky v souhrnu asi 2 km za měsíc a musí být občas „popostrčena“ svými motory. Názornou demonstraci efektu, který má zážeh motorů na vnitřek stanice, si můžete prohlédnout například zde: http://youtu.be/u4ggQdkTcLo.

55

Einsteinův výtah a raketa Zůstaňme ještě chvíli u principu ekvivalence, protože se jedná o zásadní koncept pro OTR. Skoro při každém výkladu o teorii relativity narazí člověk na použití vlaků a výtahů. V Einsteinově době šlo o nejvhodnější dopravní prostředky pro výklad inerciálních soustav (vlak) a provázání zrychlení a gravitace (výtah). I dnes jsou nám tyto dva dopravní prostředky natolik blízké, že není důvod je v našem výkladu nahrazovat něčím jiným. Asi všichni, kdo jsme kdy jeli výtahem (obzvláště staršího typu) známe ten pocit při rozjezdu nahoru, kdy se na okamžik cítíme těžší. Na malou chvíli musí naše kosti a svaly vynaložit víc námahy, aby nás udržely vzpřímené. Určitě nás napadne, proč se to děje. Když se výtah dává do pohybu směrem nahoru, má (a s ním i my uvnitř) nenulové zrychlení, soustava výtahu se stává neinerciální (z pohledu například okolní budovy nebo země). Protože máme jako těleso tendenci zůstat na původním místě, v reakci na zrychlení výtahu na nás začne působit setrvačná (nepravá) síla. Dejme tomu, že si s sebou do výtahu vezmeme akcelerometr, o kterém jsme mluvili výše. Co bude akcelerometr ukazovat při rozjíždění výtahu? Jak se projeví setrvačná síla? Už víme, že jak gravitační, tak setrvačná síla udělují předmětům zrychlení nezávisle na jejich hmotnosti. Pro libovolný předmět ve výtahu je velikost celkového zrychlení rovna součtu velikostí tíhového zrychlení a setrvačného zrychlení , jak snadno zjistíme výpočtem na jeden řádek:

První rovnost plyne z 2. Newtonova zákona, následně jsme celkovou sílu působící na těleso napsali jako součet dvou působících sil, protože působí ve stejném směru (obrázek 4.3). Při rozjíždění výtahu vzhůru tedy akcelerometr naměří větší zrychlení. I my cítíme toto navýšení, na okamžik nám připadá, že jsme těžší, jinými slovy, že se tíhové zrychlení zvětšilo. Náš pocit ale netrvá dlouho, protože výtah velmi rychle dosáhne své cestovní rychlosti, dále pokračuje rovnoměrně přímočaře, takže setrvačná síla zaniká a jak naše efektivní tíha, tak měření akcelerometru se vrací k normálu. Obrázek 4.3 Skládání sil působících na těleso (akcelerometr) ve zrychlujícím výtahu. V levém případě výtah zrychluje směrem nahoru, což způsobuje setrvačnou sílu působící směrem dolů. Ta se složí s přítomnou gravitační silou a celková síla je větší (a tím i zrychlení naměřené akcelerometrem). V pravém případě výtah zrychluje směrem dolů, setrvačná síla je opačná oproti gravitační a celková síla vzniklá jejich složení je tím pádem menší. Pokud se setrvačná síla rovnala té gravitační, je ve druhém případě celková síla působící na těleso nulová. To nastane, když bude výtah volně padat. Znázorněné síly jsou pro větší přehlednost vykresleny vedle sebe, ve skutečnosti by měly všechny vycházet z těžiště tělesa.

Když dorazíme do námi zvoleného patra, výtah musí zabrzdit. To znamená brzdné zrychlení směřující tentokrát dolů a tím pádem setrvačná síla, která má tendenci nás udržet v pohybu nahoru, efektivně zmenšuje naší tíhu. Připadáme si lehčí, žaludek nám poskočí nahoru a akcelerometr na okamžik ukáže 56

zrychlení nižší než , protože analogickým výpočtem jako v prvním případě bychom dostali Celkové zrychlení, které na nás působí, se tedy zmenší oproti situaci, kdy je výtah v klidu. Rozhodně se ale nezmenší tolik, jako kdyby náhle praskla všechna bezpečnostní lana výtahu a ten se s námi začal řítit do hlubin. Co bychom teoreticky viděli? Pokud bychom v nastalé panice měli čas na nějaké fyzikální zkoumání, všimli bychom si nejdříve, jak veškerá naše tíha je pryč a my se můžeme „odlepit“ od podlahy. Výtah s námi padá volným pádem. I akcelerometr přijde o svoji tíhu a na displeji ukazuje nulové zrychlení. Stejně jako naše testovací tužka, která nám vypadla z kapsy. Bohužel, tato fascinující exkurze do inerciálního systému by velice rychle skončila nepříjemným koncem, protože dřív nebo později se nám do cesty postaví zem. Mimochodem, v reálu stejně beztíže v padajícím výtahu člověk nedosáhne, protože díky tření výtah nepadá nikdy volným pádem, nýbrž pomaleji. Co je ale důležitější, výtahy mají standardně nouzové brzdy, které se svým třením postarají o to, abychom neskončili na dně výtahové šachty. Buďme tedy za tření rádi, a přenechejme stav beztíže radši astronautům na Mezinárodní vesmírné stanici nebo pasažérům při parabolickém letu. Jestliže zrychlení výtahu umí takto zajímavě simulovat gravitaci, nabízí se otázka, zda tato iluze nejde dohnat do dokonalosti. Abychom se vyhnuli potížím s narážením do planety a třením ve výtahové šachtě, přenesme se nyní na raketu putující vesmírem dostatečně daleko od veškerého gravitačního působení. Raketa má vypnuté motory a pohybuje se konstantní rychlostí. Uvnitř nepozorujeme gravitační působení, pouze stav beztíže.10 Když zapneme motory, udělíme raketě zrychlení (dejme tomu, že konstantní, ale není to nezbytně nutné). Podobně jako jsme ve zrychlujícím autě přimáčknuti do sedačky, bude posádka na palubě rakety spolu s veškerým vybavením vystavena setrvačnému zrychlení dozadu (bráno z pohledu ve směru letu) – vizte obrázek 4.3. A toto konstantní zrychlení působí na všechny předměty stejně, nehledě na jejich hmotnost. Připadá vám to povědomé? Mělo by. Stejnou vlastnost má i gravitace. Už kdysi Galileo Galilei prohlásil, že bez přítomnosti tření vzduchu padají všechny předměty se stejným zrychlením (výše jsme ukázali, že to platí pouze v dostatečně malém prostoru, což naše raketa ale je). Pro astronauty na palubě se tedy vše chová, jako by byli v gravitačním poli, včetně jejich experimentálních zařízení. Co kdyby ale nevěděli, že motory běží? Dejme tomu, že by se kvůli našemu experimentu zavřeli do místnosti bez oken a možnosti kontrolovat pohonný systém lodi. Měli by však vhodnou sadu přístrojů pro provádění fyzikálních měření. Došli by k jasnému závěru ohledně toho, jestli na ně působí gravitační síla nebo tah motorů způsobuje setrvačné zrychlení? Obecná teorie relativity říká, že ne. Pro dostatečně malou loď a po omezenou dobu (tj. v lokální části prostoročasu) obecně nedokážeme rozlišit mezi gravitací a pohybem s konstantním zrychlením. Pravděpodobně si říkáte, že to nemůže být zcela pravda, protože zrychlení na kolotoči nebo v autě zcela zjevně nemá s gravitací nic společného. A to skutečně nemá. Náš argument to také netvrdí. Pouze říkáme, že bez možnosti podívat se z okna či nějak jinak se dozvědět nějakou informaci „zvenčí“, nemůžeme lokálně gravitaci a zrychlení rozlišit (slovo lokálně je zde důležité, obecně se mohou projevit rozdílné účinky gravitace na různých místech – jak ilustruje obrázek 4.1). 10

Což ověříme například testem s vypuštěním předmětu z klidu jako výše. Dostatečně daleko od zdrojů vnějších sil bude naše soustava inerciální, protože vzájemné přitahování předmětů na palubě je zanedbatelně malé. Po dosazení do Newtonova gravitačního zákona zjistíme, že dva kilogramové předměty se při vzdálenosti jednoho metru přitahují velikostí přibližně (což je vlastně definice gravitační konstanty G) a udělují si tak navzájem zrychlení stejné hodnoty. Hrubým odhadem by trvalo přes hodinu, než by se předměty pohnuly směrem k sobě o 1 mm.

57

Obrázek 4.4 V raketě s vypnutými motory (nahoře) bez vnějšího silového působení je posádka i všechny věci na palubě ve stavu beztíže. Raketa odpovídá definici inerciální soustavy. V dolním případě jsou motory zapnuty. Silou vypuzují palivo a lodi je tak v reakci uděleno zrychlení v opačném směru. Setrvačnost předmětů uvnitř rakety (včetně posádky) způsobí, že se vše zdá být přitahováno k podlaze. Pokud obrázek otočíte o 90 ° doleva, situace se nebude nijak lišit od přitažlivého působení gravitace. Pokud bychom zařídili, aby se zrychlení lodi rovnalo tíhovému zrychlení v našich běžných podmínkách, astronaut by si připadal jako na pevné zemi.11

Shrňme si naše dosavadní úvahy. V přítomnosti gravitace nejsme schopni zavést globální IS jako ve speciální relativitě, nicméně lokálně jsme schopni gravitaci „obejít“ tak, že budeme uvažovat volně padající soustavy. Ty jsou lokálně inerciální a platí v nich zákony STR. Podle silného principu ekvivalence jsou si gravitace a zrychlený pohyb lokálně ekvivalentní, to znamená, že v dostatečně malém prostoru a po omezenou dobu (v závislosti na přesnosti našich přístrojů) je nedokážeme rozlišit. Docházíme k závěru, že pokud má OTR rozšířit speciální relativitu o zrychlené pozorovatele a jejich neinerciální soustavy, musí být zároveň teorií gravitace, protože pokud dokážeme popsat, jak gravitace ovlivňuje svět kolem nás (tj. naše fyzikální měření), zároveň tím zjistíme (alespoň lokálně), jak je ovlivněno měření zrychleného pozorovatele.

Prostoročas zrychleného pozorovatele Před tím, než se ponoříme do obtížnějších konceptů jako již zmíněné zakřivení prostoročasu, začneme přece jen něčím přímočařejším. Ovlivňuje gravitace (potažmo zrychlený pohyb) naše měření vzdáleností a času? Víme totiž, že ačkoli dokážeme v každém místě definovat lokálně inerciální systém, jeho platnost je omezená. Abychom popsali celé gravitační pole, o které se zajímáme (například v okolí naší planety), museli bychom ustanovit velké množství takových LIS. Jak víme, ty se obecně vůči sobě pohybují zrychleně. Už speciální relativita nám říká, že v různých inerciálních

11

Za nápisem na krabici nemusíte hledat žádný fyzikální význam. Neznalé odkazuji na animované příběhy ptáka Uličníka (Road Runner) a kojota Wildy (Wile E. Coyote) z dílny Warner Brothers.

58

soustavách, které se vůči sobě pohybují, se liší měření času a vzdáleností. Dá se tedy předpokládat, že gravitace způsobí rozdíly v měření mezi jednotlivými LIS.

Zakřivená dráha volných částic i světla Vraťme se nyní k zpět k cestování výtahem, protože se jedná o příhodný model pro náš LIS. Na stěny výtahu umístíme vysílač, který bude střílet částice, a přímo naproti přijímač (obrázek 4.5). Nejprve vystřelíme částici, když je výtah v klidu vůči zemi. V tomto případě dokážeme předem odhadnout, že částice vlivem gravitace ztrácí svou výšku, její dráha se zakřiví do části paraboly a mine detektor na druhé straně výtahu. Nyní budeme sledovat, co se s vystřelenou částicí děje, když necháme výtah volně padat. Aby byl pád výtahu opravdu volný, zajistíme, aby nedocházelo k žádnému tření, a zároveň vyřadíme jakýkoli brzdný systém. Padající výtah, jakožto lokálně inerciální soustava, je hracím polem speciální relativity. Podle ní se vystřelená částice bude pohybovat rovnoměrně přímočaře. Pro pozorovatele uvnitř výtahu tím pádem poletí částice konstantní rychlostí po přímce až do přijímače. Jak bude stejná situace vypadat z hlediska pozorovatele, který stojí mimo výtah, tedy v klidu vůči zemi? Předně, mají-li být všechny vztažné soustavy stejně fyzikálně platné, nemůže nastat, že by se v jedné soustavě částice dostala do přijímače a ve druhé ne. Jen proto, že se díváme odněkud jinud, neznamená, že se změní výsledek našeho experimentu. Částice tak nutně do detektoru dorazí i vzhledem k pozorovateli venku. Z jeho hlediska se tím pádem nic nezmění oproti předchozí situaci, kdy výtah nepadal. Náš první závěr tedy není nijak překvapivý, volné částice se bez přítomnosti gravitace pohybují po přímce, zatímco v přítomnosti gravitace obecně opisují zakřivené trajektorie.12 13 Obrázek 4.5 Ve výtahu v klidu vůči zemi (vlevo) vystřelená částice opisuje zakřivenou trajektorii, protože ztrácí výšku působením gravitace. Vpravo necháme výtah volně padat. Pro pozorovatele uvnitř padajícího výtahu lokálně neexistuje působení gravitace, takže částice proletí po přímce do přijímače. Doražení částice do přijímače je fyzikální fakt, který musí platit v obou soustavách, z čehož soudíme, že vzhledem k pozorovateli v klidu vůči zemi opisuje částice stejnou trajektorii jako případě na levém obrázku. Pokud místo částic budeme vysílat světelný signál, docházíme k závěru (vizte text), že se vlivem gravitace dráha světla zakřivuje.

12

Dříve jsme definovali volné částice jako takové, na které (celkově) nepůsobí žádná síla. Protože nyní zkoumáme účinek gravitace na volné částice, a zároveň je naším cílem ukázat, že gravitace není pravá síla, mluvíme o volných částicích v gravitačním poli, což jsou takové, na které sice působí gravitace, ale nejsou pod dalším vlivem sil (např. elektrických, magnetických, třecích apod.). 13 Video (v angličtině) s reálným pokusem s vystřelováním míčků a padajícím výtahem si můžete prohlédnout na https://www.youtube.com/watch?v=sbSxxsb30_E.

59

K novému poznatku dorazíme, pokud budeme místo hmotných částic uvažovat o světelném signálu. Nechť náš vysílač namísto částic produkuje světelný paprsek. V LIS padajícího výtahu se bude světlo pohybovat po přímce konstantní rychlostí v souladu s postulátem STR, takže dopadne do přijímače. Opět tvrdíme, že není možné, aby v jedné ze soustav přijímač zaznamenal dopad (v tomto případě světla) a ve druhé ne. Světlo je sice hodně rychlé, ale přece jen konečně rychlé, proto mu určitou chvíli trvá, než se z vysílače dostane k přijímači, tj. než přejde šířku výtahu. Za tu dobu, označme ji , se pohne výtah směrem dolů o vzdálenost , předpokládáme-li konstantní gravitační zrychlení po celou dobu pádu. To znamená, že světelný signál musí pro pozorovatele venku, toho, který pociťuje gravitaci, zakřivit svoji dráhu podobně jako hmotné částice (na obrázku 4.5 si stačí namísto jednotlivých částic představit jednolitý paprsek, či případně můžeme o světle přemýšlet jako o proudu fotonů). Není to v rozporu s předpokladem speciální relativity, podle kterého se světlo vždy pohybuje po přímce konstantní rychlostí? Není, protože pozorovatel venku není v inerciální soustavě (předměty mu padají z ruky). Mluvíme tu sice o volně padajících výtazích (LIS) v blízkosti Země, stejné argumenty ale samozřejmě platí pro libovolné těleso vyvolávající gravitační pole. Ve výsledku docházíme k závěru, že gravitace zakřivuje světelné paprsky. Později si ukážeme experiment, který tento (teoretický) závěr ověřil v praxi.

Gravitační dilatace času a rudý posuv Chování světla v gravitačním poli nám pomůže odhalit ještě jeden zajímavý poznatek o gravitaci. Tentokrát přijímač a vysílač světelného signálu umístíme svisle (to znamená ve směru působení gravitace) a jejich polohu zafixujeme vůči zemi. To bychom mohli například zařídit tak, že přístroje umístíme u paty a na vrchol sloupu (obrázek 4.6). Předpokládejme, že výška sloupu je natolik malá, abychom tíhové zrychlení mohli všude kolem považovat za konstantní (což je dobře splnitelný předpoklad většinou i pro velké budovy). Z vysílače dole vyšleme v čase světelný signál o frekvenci Zajímá nás, jakou frekvenci naměří přijímač na vrcholu sloupu po dopadu světla v čase . Bude stejná nebo na ni bude mít gravitace účinek?

Obrázek 4.6 Pohled na gravitační posuv z LIS. Měřicí přístroje vzhledem k této soustavě vykonávají zrychlený pohyb směrem vzhůru, čímž dochází ke změně frekvence (Dopplerově jevu).

Opět se opřeme o výsledky speciální relativity přechodem do lokální inerciální soustavy volně padající v gravitačním poli, čímž z naší soustavy lokálně odstraníme působení gravitace. Vzhledem k padající LIS se předměty pevně spojené se zemí, tedy i přijímač, pohybují vzhůru se zrychlením . Světelný signál do něj dorazí za čas od vypuštění. Za tuto krátkou, ale nenulovou dobu bude rychlost přijímače větší o oproti rychlosti v čase Z fyziky vlnění víme, že pokud se přijímač pohybuje směrem od zdroje vlnění nenulovou rychlostí, naměří vlnění nižší frekvence, než s jakou ji zdroj 60

vysílá.14 Protože se světlo šíří rychlostí , pak pro změnu frekvence

v našem přiblížení platí

Přijímač tedy naměří obecně nenulovou změnu frekvence světelného signálu. S použitím principu ekvivalence tak docházíme k závěru, že se při vysílání světla proti působení gravitace frekvence zmenšuje, světlo se tím pádem posouvá blíže k červené části spektra (vzpomeňte na obrázek 3.1). Tomuto jevu, kdy světlo (ale obecně se může jednat o libovolný druh elektromagnetického záření) „stoupáním“ v gravitačním poli snižuje svou frekvenci, se říká názorně gravitační rudý posuv (gravitational redshift). Symetrickou úvahou bychom došli k závěru, že při opačném šíření světla, „klesání“ v gravitačním poli, dochází ke zvyšování frekvence a posuvu směrem k modré části spektra (blueshift). Velikost tohoto efektu je samozřejmě závislá na síle gravitačního pole, takže na Zemi se projevuje relativně slabě. Přesto byl pomocí důmyslných experimentů gravitační rudý posuv prověřen i blízko povrchu naší planety, například pány Poundem a Rebkou v roce 1959, kteří umístili vysílač a přijímač elektromagnetického záření od sebe do svislé vzdálenosti přibližně .15 Tento test je označován za jeden z tzv. klasických testů obecné relativity. Gravitační změna frekvence byla nejen naměřena, ale v rámci chyby měření i souhlasila s předpovědí OTR (my zde samozřejmě o relativistických efektech mluvíme pouze kvalitativně, OTR dává zároveň matematický aparát k tomu, aby bylo možné spočítat i velikost těchto efektů). Z chování světla v gravitačním poli můžeme vyvodit ještě obecnější a pro obecnou relativitu závažnější důsledky. Frekvence libovolného vlnění není ve své podstatě nic jiného než počet vrcholků vlny, které zachytíme za jednu sekundu. Když slyšíme zvuk o frekvenci , znamená to, že na náš ušní bubínek naráží rozkmitaný vzduch stokrát za sekundu. Střídavé napětí v zásuvkách kmitá s frekvencí , takže padesátkrát za sekundu dosáhne svého maxima. I světlo je vlnění, takže pokud říkáme, že vysílač vyšle signál o frekvenci , máme tím na mysli, že krát za sekundu nastane „hřbet“ světelné vlny. Cestou k přijímači se ale tyto „hřbety“ nemají kam ztratit. Po cestě není žádná překážka, která by ovlivnila průběh samotné vlny. Jestliže přijímač naměří nižší frekvenci, to znamená méně vrcholů vlny za sekundu, znamená to, že má kratší sekundu. Jak jinak si tento úbytek frekvence vysvětlit. Kratší sekunda znamená rychleji plynoucí čas (zatímco někde jinde uplyne 60 sekund, zde uplyne už 70), takže z našich úvah vyplývá, že v místě se slabší gravitací (přijímač na špičce sloupu) plyne čas rychleji než za přítomnosti silnější gravitace (přijímač u paty) a naopak. V naší úvaze jsme nijak nemluvili o způsobu měření času, není závislá na konstrukci našich měřících přístrojů a platí tedy obecně pro mechanické hodiny nebo biologické i fyzikální děje. Gravitace zpomaluje čas bez ohledu na to, jakým způsobem ho měříme. V místě s větším gravitačním potenciálem (například ve větší výšce nad zemí) plyne čas rychleji než v místě s nižším potenciálem (blíže k zemi). 14

Této změně frekvence se říká Dopplerův jev. Obecně se demonstruje na příkladu zvuku sirény nebo motoru. Frekvence zvuku se zvyšuje s tím, jak se k nám zdroj (například ambulance) blíží, a hned jak kolem nás přejede a začne se vzdalovat, začne frekvence zvuku, který k nám přichází, klesat. Dopplerův jev se obecně projevuje u všech druhů vlnění, speciálně tedy i u světla. 15 Více informací, včetně odkazů na další literaturu najdete na http://en.wikipedia.org/wiki/Pound%E2%80%93Rebka_experiment .

61

Tvrdit, že gravitace zpomaluje čas na základě těchto vcelku elementárních úvah, je jistě odvážné. Experimenty v tomto ohledu ale s OTR opět souhlasí. V jednom ze starších experimentů (Hafele a Keating, 197116) byly čtyři cesiové atomové hodiny naloženy do letadel a následně absolvovaly doslova cestu kolem světa. Když byly posléze hodiny porovnány s těmi, které zůstaly na zemi, byl mezi nimi rozdíl, který v rámci přesnosti souhlasil s relativistickou předpovědí. Nutno poznamenat, že v tomto případě hrála roli i speciálně relativistická dilatace času způsobená vzájemným pohybem hodin. Modernějšími měřeními se může pochlubit americký Národní institut standardů a technologie (National Institute of Standards and Technology - NIST). V roce 2010 se rozšířila zpráva, že tamní vědci pomocí nové generace atomových hodin naměřili rozchod mezi párem předem synchronizovaných hodin, které od sebe byly vertikálně vzdáleny 33 centimetrů. Naměřený rozdíl v chodu hodin byl v řádu Největším argumentem ve prospěch gravitačního zpomalování času a vůbec nejlepší odpovědí na otázku, k čemu je obecná teorie relativity dobrá v našem běžném životě, je naváděcí systém GPS (Global Positioning System)17. Dnes je jím vybavena většina nových mobilních zařízení, běžně na něj spoléháme při osobní i komerční dopravě. Jak tento systém, pomocí kterého dokážeme velmi přesně určit svou polohu na Zemi včetně správného času, vlastně funguje? Na oběžné dráze kolem Země, ve výšce přibližně dvaceti tisíc kilometrů nad povrchem, obíhá 32 satelitů, které nesou na palubě velmi přesné atomové hodiny. Orbity satelitů byly navrženy tak, aby z každého místa na Zemi byly vidět alespoň čtyři satelity (dnes už je to díky nedávným vylepšením v systému devět). Satelity jsou v podstatě vysílače, které v pravidelných intervalech vysílají elektromagnetický signál se zprávou o své poloze a přesném čase. Tyto signály jsou zachyceny našimi přístroji na povrchu, které umí na základě časového zpoždění a znalosti rychlosti světla spočítat vzdálenost od satelitu. Abychom určili naši polohu v prostoru, potřebovali bychom tak v principu signál ze tří satelitů (obrázek 4.7). V praxi se používají alespoň čtyři, protože přesnost hodin v běžně dostupných přijímačích GPS není tak vysoká jako u satelitů na orbitě. Čím více signálů ze satelitů zachytíme, tím se přesnost určení naší polohy zvyšuje.

Obrázek 4.7 Určení polohy v prostoru pomocí navigačního systému vyžaduje v ideálním případě signál ze tří satelitů. Kvůli nepřesnostem měřících přístrojů je zapotřebí více.

Zde přichází na řadu OTR. Satelity obíhají ve výšce přes dvacet tisíc kilometrů, kde je gravitace slabší než na povrchu planety. Podle obecné relativity tam čas plyne rychleji než tady dole, takže hodiny na palubách satelitů se musí rozcházet s našimi hodinami na zemi. Časový rozdíl činí asi tři mikrosekundy 16

http://en.wikipedia.org/wiki/Hafele%E2%80%93Keating_experiment Je zajímavé, že na světě existuje několik nezávislých naváděcích systémů, z nichž americký GPS byl první a jeho název se začal používat v obecnějším významu. Příklady dalších systémů, které pracují na podobném principu, jsou ruský GLONASS nebo evropský Galileo, jehož ústředí je umístěno v Praze a jehož všech 30 satelitů by mělo být vypuštěno na oběžnou dráhu do roku 2019. 17

62

( ) za den. To se nezdá moc, ale uvědomme si, že abychom dokázali změřit vzdálenost k satelitu alespoň s přesností , potřebujeme umět měřit čas s přesností minimálně Navíc, rozchod hodin je kumulativní efekt, takže je postupem času čím dál tím větší. Systémy globálních navigací používají relativistické korekce (ve skutečnosti je třeba zahrnout i speciálně relativistické korekce kvůli oběžné rychlosti satelitů), aby těmto nepřesnostem zabránily. Skutečnost, že díky relativitě můžeme pomocí GPS a dalších systémů s dobrou (a čím dál tím větší) přesností určovat svou polohu na povrchu Země je velmi silným argumentem ve prospěch OTR.

Gravitace – síla nebo zakřivení prostoročasu? Shrňme si naše dosavadní poznatky o gravitaci. V její přítomnosti nedokážeme realizovat globální (neomezeně velké) inerciální systémy, jako v STR. Díky slabému principu ekvivalence umíme pomocí volného pádu zavést lokální inerciální systémy, platné pouze v určitém omezeném prostoru a čase (lokálním prostoročase). LIS nám pomáhají nahlížet na gravitační problémy z jednoduššího pohledu inerciálních soustav a tak dojít k závěrům ohledně gravitace samotné. Odvodili jsme, že gravitace zakřivuje nejen trajektorii předmětů, ale i světla. Navíc způsobuje zpomalování času. Jinými slovy, různé LIS se liší v časových měřeních, což není tolik překvapivé, když si vzpomene na dilataci času ze speciální relativity. Zdá se být rozumné předpokládat, že když se liší v časových měřeních, budou se jednotlivé LIS (a tím podle principu ekvivalence i různá místa prostoročasu kolem gravitačně působících těles) lišit také v měření vzdáleností. Například si měření vzdálenosti můžeme představit jako současné události přiložení měřidla ke zkoumanému objektu (objektům). Pro různé LIS ale nejsou dvě události pokaždé současné (vzpomeňme na relativitu současnosti z STR). Dokonce víme, že ani světelný paprsek není (v principu, tj. na dlouhé vzdálenosti mezi různými LIS) vhodný nástroj pro měření vzdáleností, protože v přítomnosti gravitace dochází k jeho zakřivení. Dále budeme tedy předpokládat, že kromě rozdílů v měření času způsobuje gravitace i rozdíly v měření vzdálenosti mezi různými místy gravitačního pole. Měření vzdáleností je způsob, kterým získáváme informace o prostoru kolem sebe. Pokud chce například geodet proměřit náměstí, měří vzdálenosti mezi jednotlivými zvolenými referenčními body. Na základě výčtu všech těchto vzdáleností dokáže pak popsat tvar náměstí. Nejenom, zda tvoří například čtverec, ale dokáže rozlišit, zda je náměstí ploché či ne. Demonstrujme naše tvrzení na jednoduchém jednorozměrném příkladu. Na obrázku 4.8 máme průřez rovinnou náměstí. Horní případ zobrazuje zcela ploché náměstí, na které byla geodety umístěna síť pomocných ekvidistantních (stejně vzdálených) bodů. Pokud by se kupříkladu část dlažby náměstí mírně propadla (prostřední možnost), zjistili bychom to díky změně některých vzdáleností mezi zvolenými body (na obrázku vyznačeno červeně). Jiná možnost by byla, že geodeti proměřují náměstí až po propadu dlažby, o které předem neví (spodní případ). Opět kladou referenční body na dlažbu ve stejných vzdálenostech od sebe, ale to nakonec vede k nesouladu. Narazí na místo, kde již nejsou schopni umístit bod ve stejných vzdálenostech od obou sousedních. Protože nelze položit ekvidistantní síť bodů jako v prvním (rovném) případě, geodeti dojdou k závěru, že proměřovaná plocha je zakřivená (což je to samé, jako říci, že není rovná). Proměřováním vzdáleností zvolených referenčních bodů

63

jsme získali informaci o geometrii plochy. Níže budeme mluvit více o geometrii ploch a následně zobecňovat naše úvahy i na trojrozměrný prostor.

Obrázek 4.8 Jednorozměrný model sítě referenčních bodů použité v příkladu s geodety. Podrobný popis obrázku naleznete v textu výše.

Když k měření vzdáleností v prostoru přidáme ještě měření času, můžeme mluvit o geometrii prostoročasu. Jestliže jsme z principu ekvivalence došli k závěru, že v přítomnosti gravitace se liší časová a prostorová měření v závislosti na tom, kde tato měření provádíme, vyvozujeme závěr, že v přítomnosti gravitace se bude geometrie prostoročasu lišit od STR, kde jsme měli k dispozici přímé rovné směry, neomezené roviny a podobně a v principu jsme mohli prostoročas pokrýt sítí ekvidistantních událostí (připomeňme, že v prostoročase pracujeme s událostmi namísto s body a že jejich prostoročasová „vzdálenost“ je definována intervalem (3.14)). Vzhledem k tomu, že v přítomnosti gravitace nemáme pro popsání okolního prostoročasu jako celku jinou možnost než přecházet z jednoho LIS do druhého, které se obecně liší svým časem a délkami, tvrdíme, že je prostoročas v přítomnosti gravitace zakřivený. Občas nám dělá problém si představit složitější zakřivenou plochu, zakřivený prostor či prostoročas je pro naše chápání už silně komplikovaný. Dále se tedy pokusíme tuto bariéru lidské představivosti překonat a lépe si rozmyslet, co to zakřivený prostoročas znamená a jaké má důsledky pro naše měření vzdáleností a času. Ještě než se pustíme do geometrie samotné, zmíníme jednu myšlenku, která velmi dobře vystihuje problematiku gravitace, konkrétně dva přístupy, které k ní máme. Tím máme na mysli klasický přístup síly působící na dálku a obecně-relativistický přístup, kdy gravitaci považujeme za zakřivení prostoročasu. Tento příklad je s malými úpravami převzat ze skvělé anglické knihy [ii]. Mějme dva pozemské cestovatele. Oba stojí na rovníku v určité nenulové vzdálenosti od sebe. Jsou vybaveni kompasem a vždy dokážou určit, jak jsou od sebe daleko. V předem domluvený čas se oba vydají na sever. Jak se blíží k severu, všimnou si, že jejich vzájemná vzdálenost se zmenšuje, i když oba drží stejný směr. My zatím sedíme na vesmírné stanici na oběžné dráze Země a pozorujeme 64

Obrázek 4.9 Cestovatelé na povrchu přisuzují své vzájemné přibližování neznámé síle , nicméně vnější pozorovatel na oběžné dráze jasně vidí, že je způsobeno zakřivením povrchu planety.

situaci z výšky. Není tak pro nás záhadou, proč se k sobě cestovatelé přibližují. Země je kulatá a cesty vedoucí přímo na sever se k sobě přibližují čistě jen v důsledku zakřivení planety (obrázek 4.9). Co kdyby si tohoto faktu nebyli ale vědomi naši dva cestovatelé? Dejme tomu, že předem neznají tvar Země, nejsou si vědomi jejího zakřivení, nicméně chtějí vysvětlit své vzájemné přibližování. Mohlo by je napadnout, že na ně působící jakási vnější síla, která je tlačí k sobě. Přitom se zdá, že libovolné další dvojice cestovatelů se k sobě přibližují stejně bez ohledu na jejich hmotnost. Bez možnosti dozvědět se něco o tvaru planety, například z naší perspektivy vysoko na oběžné dráze, nejsou cestovatelé schopni podat jiné vysvětlení. Tyto objevy se rozšíří mezi ostatní obyvatele planety, tajemná síla se pro všechny stane běžnou, normální věcí, i když nikdo neví, proč vlastně existuje. Až o pár století později možná dojde poznání fyziky a geometrie místních obyvatel na takovou úroveň, aby se někdo nad původem této síly zamyslel hlouběji a navrhnul, že by nemusela existovat žádná taková síla, ale že planeta je ve skutečnosti zakřivená. Zpočátku nikdo této teorie nevěnuje moc pozornosti, ale postupem času si získá své stoupence a jsou navrženy experimenty, jak zjistit reálný tvar planety a tuto podivnou teorii tak potvrdit nebo vyvrátit. Čtenář by mohl mít k nabízené analogii několik námitek. Za prvé, cestovatelé by se k sobě přibližovali stejně, kdyby vyrazili na jih. To plyne ze symetrie koule, kterou jsme si vybrali k našemu příkladu. Klidně bychom se v něm mohli omezit jen na jednu polokouli, čímž bychom zachovali analogii s gravitací, kdy se její působení zvětšuje pouze směrem k hmotným objektům a nikoli i ve směru opačném. Za druhé, pokud cestovatelé stojí, žádná „síla“ na ně nepůsobí, zatímco gravitace působí i na předměty v klidu (respektive předměty v klidu uvede do pohybu). To je zcela jistě nedostatek tohoto příkladu, kterého se nelze snadno zbavit. Na druhou stranu, svou nedokonalost příklad nahrazuje názorností, a proto jsme ochotni nad jistými nepřesnostmi přivřít oko. Účelem tohoto příkladu není zesměšňovat klasickou fyziku a její „silový“ přístup ke gravitaci, zároveň jsme si vědomi některých rozdílných vlastností mezi gravitací a „tajemnou silou“ působící na cestovatele. Chceme pouze ilustrovat, proč poměrně dlouho trvalo, než obecná teorie vznikla a stala se součástí moderní vědy. Proč se nám její závěry a předpovědi mohou zdát podivné a proti veškeré naší intuici. Prostě proto, že si její pochopení vyžaduje odhlédnutí od toho, co považujeme za normální. Hlavní myšlenka obecné relativity je, že neexistuje žádná „tajemná síla,“ které říkáme gravitace. Existuje ale zakřivení toho jeviště, na kterém se všechno odehrává, prostoročasu. Proto například gravitace zakřivuje dráhu předmětů i světla, v zakřiveném prostoročase nemají částice na výběr. Navíc, trajektorie v prostoročase všech těles jsou zakřivovány stejně, bez ohledu na jejich hmotnost. Abychom mohli více nahlédnout do obecné teorie relativity, potřebujeme začít přemýšlet v pojmech geometrie a křivosti.

65

Geometrická odbočka Jak poznat, že je prostoročas zakřivený? Co to znamená, když je něco zakřivené? Zjednodušeně řečeno, být zakřivený znamená nebýt rovný. Protože lidem se dobře chápou dimenze nižší než tři, začněme právě zde. Co je přímka, se učíme na základní škole. Svou základní vlastnost má již ve svém názvu, je přímá, rovná, ubíhá stále stejným směrem. Jakoukoli jinou čáru, která není přímka nebo její část, nazýváme křivka. Opět je nápověda již v názvu. Křivka není rovná (například kružnice). Striktně řečeno, abychom mohli běžně znázornit, že nějaká obecná křivka liší od přímky, musíme ji umístit do roviny (například nakreslit na papír) nebo prostoru. Tím že se na křivky díváme z pohledu vyšší dimenze, mluvíme o tzv. vnější křivosti, o které se ještě zmíníme. Nicméně protože jednorozměrné objekty nejsou zas tak zajímavé, člověk u nich většinou nestráví moc času. Pojďme výše. Naprostá většina geometrie, kterou se člověk na základní a střední škole zabývá, se odehrává v rovině. V rovině platí Pythagorova věta, trojúhelníky mají součet vnitřních úhlů 180 °, přímky mohou být pouze rovnoběžné nebo různoběžné. V rovině umíme uvažovat dobře. Odehrává se zde většina eukleidovské geometrie, na kterou jsme zvyklí. Popisujeme ji ideálně pomocí dvou kolmých os, stačí nám tak dvě souřadnice pro určení každého jejího bodu. Rovina je speciální případ plochy. Ale existují i plochy, které nejsou tak hezky rovné. Oblíbeným příkladem, který se nám dobře chápe, je povrch koule. Pořád se jedná o plochu, protože se nyní nestaráme o to, jestli je něco uvnitř koule nebo ne. Případně si můžete představovat, že máme pouze kulovou slupku. Otázka zní, jak takovou plochu popsat? Určitě ne pomocí dvou kartézských os. Povrch koule není rovný, i kdybychom v nějakém jeho bodě umístili počátek eukleidovské roviny, rovina nám okamžitě z povrchu koule uteče, i když si toho třeba díky omezené přesnosti našich měření nemusíme hned všimnout. Stojíme zhruba před stejným problémem, jako student, který chce pomocí neuvařené špagety změřit obvod pomeranče (zkuste schválně sami).18 Jen s rovnými čarami u povrchu koule neuspějeme. Mohlo by nás napadnout, že když nám nestačí rovina, pomůžeme si třetím rozměrem. Přece jen koule je trojrozměrný objekt, tak třeba k popisu jejího povrchu potřebujeme také tři rozměry. Kouli o poloměru umístíme do trojrozměrné kartézské soustavy s osami a pak už můžeme popsat povrch koule snadno. Pokud střed koule ztotožníme s počátkem souřadné soustavy, pak každý bod na jejím povrchu získá trojici souřadnic (obrázek 4.10), mezi kterými platí vztah

(4.2) což lze snadno dokázat pomocí trojrozměrné Pythagorovy věty. Vlastně to znamená, že jakmile zvolíme dvě souřadnice, třetí už je dána automaticky rovnicí (4.2). Prakticky máme tedy volnost jen ve dvou souřadnicích stejně jako v rovině.

18

Bystré hlavy by jistě napadlo, že pomeranč je možné po špagetě kutálet a tím v podstatě proměřit povrch pomeranče pomocí rovného měřidla. To je jistě elegantní řešení problému špagety a pomeranče, nicméně funguje pouze pro omezenou třídu zakřivených povrchů. Například vnitřek pneumatiky takto válet po rovném měřítku nejde, čili vnitřní obvod bychom změřit nedokázali.

66

Nicméně, tento postup se zdá být trochu podvod. Abychom dokázali dobře popsat dvourozměrný útvar (plochu), museli jsme přejít o dimenzi výše. V tomto případě nám to jde snadno, protože ve třech rozměrech jsme jako doma. Jenomže silně narazíme, pokud se stejný postup pokusíme aplikovat při odpovídání na naší původní otázku, co je to zakřivený prostor. Nikdo si neumí představit čtvrtý prostorový rozměr, takže ženeme sami sebe do slepé uličky. Protože sami nedokážeme vystoupit z našich třech prostorových rozměrů, musíme se vžít do role ploché bytosti, která žije na povrchu koule. Neví co to je výška (třetí souřadnice), nedokáže se na svou rodnou plochu podívat z našeho pohledu. Přesto by ráda věděla, jestli žije na zakřivené ploše nebo v rovině. Plošné bytosti také rády cestují, tak potřebují způsob, jakým svůj svět popsat. Potřebují souřadnice.

Obrázek 4.10 Popis povrchu koule pomocí třech kartézských souřadnic, jejich rozsahu a dodatečné podmínky, která zmenšuje počet nezávislých souřadnic na dvě, takže povrch koule je skutečně dvourozměrný, jak bychom čekali. Uvedené podmínky pro rozsah souřadnic plynou z poslední rovnice.

Sférický zeměpis My lidé jsme plošným bytostem v mnohém podobní. Žijeme na obrovské kouli, a i když jsme trojrozměrní a chápeme, co je výška, jsme oproti naší planetě tak titěrní, až nám vlastně připadá, jako bychom žili na placce. Až s pomocí chytrých výpočtů a strojů jsme zjistili, že je Země kulatá. Dokonce si dáváme tu práci, abychom povrch Země vyobrazili na plochý papír ve formě map. Mapy s malým měřítkem není prakticky nutné nějak upravovat, ale pokud si otevřete atlas s mapou celého zemského povrchu, je hned jasné, že tady už muselo dojít k velkému zkreslení a překroucení, abychom dostali zemský povrch v rovině. Zkuste například oloupat pomeranč tak, abyste dostali kúru pokud možno v jednou kuse. Následně ji zkuste rozvinout do plochy. Zcela jistě se vám to nepodaří bez jejího dalšího potrhání. Rovinné mapy nám sice neukazují povrch Země potrhaný, ale při jejich vytváření jsou použity chytré matematické transformace, které na správných místech upraví skutečné rozměry tak, aby vše fungovalo. Příkladem toho jsou čáry konstantní zeměpisné šířky, které se na obdélníkových mapách směrem na jih a na sever zhušťují a mění svůj tvar. Ani my při popisu polohy na naší planetě nepoužíváme kartézské souřadnice, protože prakticky je komplikované vést kolmé osy středem Země. Místo toho používáme zeměpisnou šířku (tradičně v matematice značena - řecké písmeno ) a zeměpisnou délku ( – ). Nadmořskou výšku v našich plošných úvahách vynecháme. Zeměpisná šířka jde od jižní zeměpisné šířky (jižní pól), přes (rovník) až po severní zeměpisné šířky (severní pól). Matematičtěji bychom řekli, že tato souřadnice jde od (jih) do . Podobně zeměpisná délka jde od (západní směr) do (východní směr), 67

Obrázek 4.11 Ilustrace použití dvou úhlů pro popis povrchu koule mající daný poloměr Každému bodu na ploše (s výjimkou samotných pólů, kde se situace trochu komplikuje) tím přiřadíme souřadnice

což je ve skutečnosti úhel odečítaný na rovníku s počátkem zvoleným na poledníku procházejícím anglickým Greenwichem. Zeměpisná šířka je pak úhel odečítaný na hlavní půlkružnici kolmé na rovník a protínající ho na dané zeměpisné délce. Stačí nám jen rozsah , protože druhá půlkružnice už odpovídá opačné zeměpisné délce. Například Praha se rozkládá přibližně na severní šířky a východní délky. Máme tedy dvě úhlové souřadnice pro popis této konkrétní zakřivené plochy. Jak ale pomocí těchto souřadnic určovat vzdálenosti? Předně si musíme uvědomit, jak měříme vzdálenost v kartézské rovině. Tradičně volíme dvě na sebe kolmé osy a každá rovnoběžka s osou je poté přímka o konstantní souřadnici (například libovolná rovnoběžka s osou vyznačuje konkrétní neměnící se hodnotu souřadnice kdekoli na této přímce). Jednotlivé body jsou pak průsečíky rovnoběžek odpovídajících konkrétním souřadnicím (vzpomeňte na obrázek 1.2). Podobně i na povrchu koule můžeme určit křivky o konstantní hodnotě jedné souřadnice (obrázek 4.12). V analogii s geografií bychom je mohli nazvat poledníky (konstantní zeměpisná délka - ) a rovnoběžky (v zeměpisném slova smyslu, tedy konstantní zeměpisná šířka - ). Druhý z názvů není náhodou, protože na povrchu koule se skutečně jedná o rovnoběžné křivky v tom smyslu, že se nikdy neprotnou a neustále od sebe zůstávají na stejnou vzdálenost. Poledníky sice nejsou rovnoběžné ani v zakřiveném slova smyslu, protože se protínají a mění vzájemnou vzdálenost, zato jsou v každém místě kolmé na rovnoběžky, což nám výrazně ulehčuje situaci.19

Obrázek 4.12 Křivky konstantní hodnoty souřadnic a . Vlevo pohled zboku, vpravo pohled shora. Kdekoli mimo póly jsou tyto křivky analogií ke kartézským osám a rovnoběžkám, pomocí kterých na nich určujeme vzdálenosti.

Proč vlastně nemůžeme použít starou dobrou eukleidovskou vzdálenost v kartézských souřadnicích

(4.3) Jednak proto, že jsme si řekli, že kartézské souřadnice používat nebudeme, protože v případě našeho trojrozměrného prostoru také neumíme povyskočit o rozměr výše. Hlavně ale z toho důvodu, že vzorec (4.3) nerespektuje zadanou plochu a dává nám nejkratší možnou vzdálenost ve třech rozměrech, tedy napříč vnitřkem koule samotné (obrázek 4.13).

19

Co to znamená, že dvě křivky jsou v nějakém bodě navzájem kolmé? Na rozdíl od křivek dobře chápeme kolmost u přímých čar, takže kolmost křivek definujeme pomocí kolmosti příslušných tečen v daném bodě.

68

Vzorec (4.3) nám ale poskytne vodítko, jak počítat vzdálenost bodů v zakřivené ploše. Jednotlivé členy na pravé straně rovnice jsou pouze rozdíly v souřadnicích odečítaných na daných osách v kartézské soustavě. Tu zde sice použít nemůžeme, ale za to máme jinou pravoúhlou soustavu, rovnoběžky a poledníky. Začneme tedy tím, že na jednotlivých osách odečteme rozdíly našich úhlových souřadnic. Na obrázku 4.14 vidíme, že například rozdíl souřadnic bodů a je prostě jen , protože jejich souřadnice je stejná. Stále zde trochu podvádíme, protože naše zavedení úhlů vychází z trojrozměrné situace. Bytosti na ploše rozhodně nemají jak tyto úhly měřit, protože nemohou vést přímky středem koule. Co ale měřit dokážou, jsou vzdálenosti. Nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na povrchu koule je vždy část obvodu hlavní kružnice (ty mají střed i poloměr totožný s koulí), která body prochází. I to si můžete snadno ověřit sami. Nakreslete si fixem kamkoli na pomeranč (pokud možno kulatý) dva body a natáhněte mezi nimi provázek.20 Neomezujte se jen na oblouk mezi body, nýbrž pokračujte po celém obvodu dokola, co nejpříměji dovedete. Dostanete hlavní kružnici. Kdybyste pomeranč rozřízli podle této kružnice, zjistíte, že řez vede přímo jeho středem. V eukleidovské rovině (ale i prostoru) je nejkratší vzdálenost mezi body částí přímky procházející oběma body. Tím pádem jsou hlavní kružnice na kouli analogií k přímkám v rovině.

Obrázek 4.13 Trojrozměrná kartézská vzdálenost dvou bodů umístěných na kulové ploše vypočítaná vzorcem (4.3), na obrázku vyznačena jako , nerespektuje zadanou plochu. Při pohybu na povrchu koule se nemůžeme provrtat napříč jejím povrchem, proto musíme najít způsob, jak spočítat sférickou vzdálenost

Mějme na povrchu čtyři body, a podle obrázku 4.14. Hlavní kružnice procházející body a má délku (obvod kruhu o poloměru ). Všimněme si, že pro obvod kružnice (což je v podstatě uzavřený oblouk) platí

takže chceme-li dostat délku částečného oblouku při menším úhlu, stačí vynásobit tento úhel poloměrem. Správně tedy spočítáme vzdálenost mezi body a jako

(4.4) Díky symetrii platí to samé i pro vzdálenost mezi body

a

Vzdálenost bodů na společné rovnoběžce se chová trochu jinak. Délky oblouků a se liší, i když jejich body dělí stejný úhlový rozdíl ve Závisí na rovnoběžce, na které se nachází, tím pádem i na příslušné hodnotě souřadnice . Například pro vyšší (kladné) hodnoty se nacházíme na kružnici bližší k (severnímu) pólu, což znamená kratší oblouk mezi dvěma body na rovnoběžce. „Vodorovná vzdálenost“ mezi body o stejné souřadnici je maximální na rovníku ( ) a nulová na pólech ( ), což je chování odpovídající funkci kosinus. Délka oblouku na rovníku by opět byla jen , jak můžeme vidět z pravé části obrázku 4.14. Pokud tuto délku vynásobíme , dostáváme přesně to chování, které od vzdáleností na rovnoběžkách vyžadujeme: 20

Případně můžete vzít špagetu z odstavce výše a uvařit ji.

69

Obrázek 4.14 Vzdálenosti na povrchu koule mezi různými body při konstantní souřadnici (červeně), konstantní souřadnici (zeleně) a v obecné situaci (modře). Pro lepší přehlednost opět uvádíme opět pohled zepředu (vlevo) a shora.

(4.5)

Máme-li shrnout naše výsledky, zatím máme jednoduché vzorce pro vzdálenosti mezi body v případě, že oba body mají shodnou jednu ze souřadnic:

(4.6)

Ne vždy ale vystačíme s body s jednou shodnou souřadnicí, proto potřebujeme způsob jak spočítat vzdálenost dvou obecných bodů, například a na obrázku 4.14. V kartézské soustavě by nám to šlo jednoduše, jakmile máme rozdíly v souřadnicích a , aplikací Pythagorovy věty bychom vzdálenost bodů dostali prostě jen vzorcem (4.3) ve dvourozměrném případě. Podobný postup nemůžeme použít v našem případě. Nebo ano? Naše planeta je přibližně koule. Má zakřivený povrch, proto pokud spojíme dva různé body na povrchu, dostaneme nutně oblouk. Přesto se Pythagorova věta používá běžně například ve stavebnictví. Na druhou stranu zcela určitě nejde použít v námořní nebo letecké dopravě přes půl světa (vzpomeňte na obrázek 4.13). V čem je rozdíl? Ve vzdálenostech. Na malé vzdálenosti (zahrada, staveniště, louka, dokonce i části měst) používáme Pythagorovu větu bez větších potíží, protože v takovém případě se zakřivený povrch koule nedá dobře rozlišit od roviny. To je taky hlavní důvod, proč nám bez výletu k moři nebo cestování letadlem připadá Země plochá a trvalo tisíce let, než lidé přišli na to, že není. Názorné příklady jak graficky, tak početně vidíme na obrázku 4.15. 70

Obrázek 4.15 Srovnání kruhových oblouků o různých poloměrech s částí přímky o délce 60 metrů. Tabulka vpravo ukazuje příslušný poloměr kružnice v metrech, absolutní chybu měření v metrech, které bychom se dopustili, kdybychom místo délky oblouku použili délku úsečky (prakticky se jedná o rozdíl délky úsečky a oblouku). Poslední sloupec ukazuje stejnou chybu, ale relativně vztaženou k délce úsečky. Jasně vidíme, že s rostoucím poloměrem se délka dostatečně malé části oblouku stává nerozeznatelnou od délky úsečky. V případě poloměru Země bychom dostali absolutní chybu , což odpovídá relativní chybě Můžeme tím pádem vcelku bez obav používat Pythagorovu větu v běžných situacích i na povrchu naší planety, když se omezíme na malé vzdálenosti. Jak malé? Pokud bychom tolerovali relativní chybu rychlý výpočet nám řekne, že na povrchu naší planety bychom mohli za přímé považovat vzdálenosti až do 990 km (pro představu, z Prahy do Říma je to vzdušnou čarou asi 924 km), přičemž bychom se dopustili chyby jen mírně menší než kilometr. Prakticky se tyto odhady hodí spíše pro leteckou dopravu, protože nepočítají s terénními nerovnostmi, kterým se při cestování po zemi nevyhneme.

Připusťme nyní, že pro malé vzdálenosti, to znamená dva body blízko sebe na povrchu koule, bychom mohli použít Pythagorovu větu. Prakticky to znamená, že oba členy ve (4.6) umocníme na druhou a sečteme je. Tento součet pak bude kvadrát hledané vzdálenosti:

(blízké body).

(4.7)

Otázkou je, jakou souřadnici dosadit do vzorce (4.7). V přiblížení dvou blízkých bodů obvykle dosazujeme průměrnou hodnotu jejich souřadnic . Abychom si nemuseli neustále poznamenávat, že rovnice (4.7) lze použít jen pro blízké body,21 zavedeme si notaci hojně používanou jak v matematice, tak ve fyzice, kdy se velmi malé změny namísto řeckého písmene označují malým latinským :

(4.8) V matematice se takové malé změny nazývají diferenciály a jsou to základní pojmy moderní matematické analýzy. Na otázku jak velký je diferenciál, by matematik odpověděl, že nekonečně malý, což je pro člověka neznalého limit, derivací a podobně, dost matoucí odpověď.22 Technické detaily nejsou pro náš výklad podstatné, pro lepší představu si můžeme říct, že ať už si vymyslíte 21

Jak blízké? To záleží na přesnosti, kterou od svých výpočtů požadujeme. Čím chceme být přesnější, tím bližší k sobě musí tyto body být. Příklady konkrétních čísel jsou uvedeny v komentáři k obrázku 4.15. 22 Samozřejmě diferenciál v matematice není definován slovně, nýbrž velmi technicky a rigorózně. Nám zde jde ale o názornost a ne o abstraktní matematiku věci.

71

jakkoli malé číslo, diferenciál nějaké veličiny (v tomto případě souřadnic nebo vzdáleností) bude vždy menší. Fyzik by patrně odpověděl, že diferenciál je tak malá veličina, jak je potřeba. Možná se Vám tento postup zdá být jako podvod a navíc prakticky k ničemu, protože nekonečně malé veličiny nám nedají smysluplný výsledek. Nicméně, použití nekonečně malých veličin nám umožnilo dát dohromady příjemně jednoduchou rovnici (4.8). Tento postup lze vidět v matematice a fyzice velmi často. V našem případě máme snadný zápis vzdálenosti mezi dvěma nekonečně blízkými body (to znamená, že jejich vzdálenost je menší, než jakkoli malé číslo) a pokud chceme povrchovou vzdálenost mezi dvěma libovolnými body (jako a na obrázku 4.14), musíme posčítat intervaly od jednoho bodu k druhému. Je to v podstatě stejné, jako bychom měřili délku libovolné křivky postupným přikládáním rovného, ale velice malého pravítka. Tento postup nám demonstruje obrázek 4.16, kde se snažíme změřit obvod kruhu přikládáním stále menšího pravítka (což je stejný problém, jako kdybychom se ptali, jak se bude lišit obvod kruhu a vepsaného n-úhelníku). Obrázek 4.16 Čím kratší používáme pravítko pro změření obvodu kruhu, tím víckrát ho musíme přiložit. To znamená, že přesněji aproximujeme kružnici núhelníkem. Pro malé není přiblížení moc dobré, ale už dvacetiúhelník se kružnici velmi podobá. Je zřejmé, že pro v řádu stovek nebo tisíců se bude jednat již o prakticky stejné útvary. Pro se obvod vepsaného čtverce se liší od obvodu kružnice o téměř . Pro je to V posledním vyobrazeném případě činí rozdíl už jen necelých délky kružnice.

Cenou za zjednodušené počítání s nekonečně malými veličinami je, že je nemůžeme jednoduše posčítat stejně jako obyčejná čísla. Většinou ve čtvrtém ročníku na střední škole nebo v prvním ročníku na (matematicky zaměřené) vysoké škole se člověk dozví, že správně k takovému nekonečnému součtu musíme použít integraci. Přesnou povrchovou vzdálenost mezi body a z obrázku 4.14 tak získáme jako integrál

(4.9)

kde integrujeme po hlavní kružnici. To už ale hodně zabíháme nad rámec tohoto textu. Pokud vám integrály nic neříkají, soustřeďte se více na fyzikální podstatu věci. Pojďme si ji nyní zopakovat. Snažili jsme se najít způsob, jak přesně vypočítat vzdálenost dvou bodů na zakřivené ploše. Jako příklad jsme si vzali povrch koule. Díky křivosti plochy nelze obecně použít výpočet vzdálenosti pomocí kartézských souřadnic, protože rovné osy kartézské soustavy „vybočují“ z naší zakřivené plochy a dávají tak špatný výsledek. Ukázali jsme si, že pokud se omezíme na dostatečně krátké vzdálenosti v závislosti na lokálním zakřivení dané plochy, můžeme s danou přesností použít variaci na Pythagorovu větu (4.8). Používáme ale souřadnice, které danou plochu vhodně popisují a respektují. V případě kulového povrchu to jsou dva úhly (zeměpisná šířka a délka). V podstatě vše, co potřebujeme vědět o vnitřní geometrii plochy, je obsaženo ve vzorci (4.8). Vnitřní geometrii v tom 72

smyslu, že uvažujeme pouze body na ploše a vzdálenosti mezi nimi, nedíváme se na globální tvar plochy z hlediska trojrozměrného prostoru. Vzpomínáte na dva kamarády z první části, kteří vyměřovali zahradu? Měli dvě možnosti jak popisovat jednotlivé zaměřovací kolíky. Buďto přiřadit každému z nich souřadnice vzhledem ke svému zvolenému počátku anebo pro každou dvojici sousedních kolíků zapsat jejich vzdálenost. Oba způsoby jsou dostačující k tomu, aby mohli svá měření přesně napodobit. V případě zakřivené plochy sice dokážeme každému bodu přiřadit tři kartézské souřadnice, a mluvit tak o celkové (vnější) geometrii. Abychom ale mohli proměřovat vzdálenosti na ploše, musíme se soustředit pouze na plochu samotnou, její vnitřní geometrii. Všechny tyto úvahy úzce souvisí s naším výkladem o obecné relativitě. Ve výsledku chceme způsob, jakým popsat zakřivení prostoročasu. My ale neumíme vystoupit o rozměr výše, jsme limitování našimi třemi prostorovými a jedním časovým rozměrem. Proto je vnitřní geometrie tou správnou cestou. Rovnici (4.8) jsme odvodili na základě přiblížení, kdy jsme malé okolí na zakřivené ploše považovali za natolik podobné rovině, abychom tam mohli přibližně použít Pythagorovu větu (do které jsme ale dosadili vhodnější souřadnice). Tento postup je v mnohém analogický našemu zavedení lokálních inerciálních systémů, které jsou platné také jen na omezeném prostoru, a následnému opírání se o známé zákony speciální relativity (teorie, kde pracujeme s rovinami a nezakřiveným prostorem). Abychom ale mohli naše geometrické závěry o ploše propojit s OTR a myšlenkou zakřiveného prostoročasu, musíme je nejdříve zobecnit do více rozměrů. Povrch koule byl jen jeden příklad zakřivené plochy. Všechny naše úvahy platí obecněji. Pro obecnou zakřivenou plochu můžeme zvolit dvě souřadnice, které budou respektovat její zakřivení. Označme si je a . To je běžný způsob značení souřadnic v relativitě (včetně indexů nahoře) a nemá nic společného s x-ovou kartézskou souřadnicí nebo umocňováním. Pro zmíněný povrch koule jsme například použili Obecněji by pak rovnice (4.9) vypadala

(4.10) Třetí, smíšený člen bychom obecně získali, kdyby na sebe naše křivočaré souřadnicové osy nebyly kolmé (na povrchu koule jsme je kolmé vytvořili). Jednoduchou ilustraci tohoto najdete v dodatku 5. Vidíme, že v rovnici (4.10) vystupují funkce souřadnic a , které udávají, jakým způsobem se plocha zakřivuje. Srovnejte (4.10) s rovnicí (4.8). Hned zjistíte, že pro povrch koule je a Také si povšimněte, že například výraz znamená diferenciál druhé souřadnice na druhou, nikoli diferenciál z veličiny . Zpočátku možná trochu matoucí konvence, ale ve složitějších partiích relativity vcelku užitečná. Předcházející rovnice je silný nástroj k popisu libovolné spojité plochy. Ale protože matematika se nerada omezuje na nějaký konkrétní počet dimenzí, stejný postup se dá aplikovat i na jejich vyšší počet. Fyzikálně je pro nás důležité číslo 3. Zakřivený trojrozměrný prostor si nedokáže náš mozek představit, ale to nás nezastaví v tom, abychom ho matematicky popsali. Když zobecníme rovnici (4.10) na tři dimenze, tedy tři křivočaré souřadnice , dostáváme už o něco delší výraz

73

(4.11)

což můžeme daleko úsporněji napsat pomocí sum jako

(4.12)

Takto definovaný vztah bývá obecně (to znamená nejenom pro tři dimenze) nazýván metrika. Lze ukázat, že pokud zadáte metriku nějakého prostoru, získáte všechny potřebné informace o jeho vnitřní geometrii. Například metrika nám známého eukleidovského prostoru by v našem novém značení byla . Stačí místo dosadit klasické a rovnou dostaneme zobecněnou Pythagorovu větu stejně jako v první části textu. Už jsme zmínili, že vzdálenost dvou bodů nemůže záviset na použitých souřadnicích, proto i když popíšeme stejný prostor různými souřadnicemi a dostaneme tak různé metriky, obě povedou ke stejnému výsledku (příklady je možnost nalézt v dodatku 1 a 5).

Geometrie prostoročasu Zakřivení prostoru (případně jeho plochost) je tedy vyjádřeno jeho metrikou. Relativita se ale nezabývá pouze prostorem, nýbrž prostoročasem, což znamená, že ke třem prostorovým souřadnicím přidáváme čtvrtou, časovou. Ve třetí části jsme mluvili o speciální relativitě a jejím pohledu na prostoročas. Bez jakýchkoli geometrických představ jsme zavedli

(4.13) Tento prostoročasový interval, jak jsme ho nazvali, je zároveň metrikou prostoročasu ve speciální relativitě. Určuje prostoročasovou vzdálenost mezi body (událostmi) a pro různé inerciální soustavy dává stejné výsledky. Nyní už vidíme, že tento prostoročas je z definice plochý (nezakřivený), protože odpovídá kartézské soustavě s přidaným časovým členem (jeho odlišné znaménko a konstantu jsme odvodili z Lorenzovy transformace). V trojrozměrném prostoru můžeme při použití kartézských souřadnic libovolně přecházet mezi a protože při již zmíněné integraci konstanty nehrají roli. Stejně tak to můžeme udělat i v případě (4.13), protože se u kvadrátů změn souřadnic vyskytují pouze konstanty. V diferenciální notaci je tedy metrika speciálně relativistického prostoročasu (často nazývaného Minkowského prostoročas)

(4.14) Z plochosti prostoročasu plynou důsledky, jako například, že volná tělesa (tedy tělesa, na něž nepůsobí žádná síla) se pohybují po přímkách. Stejně tak se po přímce pohybuje i světlo.

74

Jak jsme viděli výše, v přítomnosti gravitace se naše měření času a vzdáleností liší od případu bez gravitace. Náš prostoročas se začne lišit od plochého prostoročasu. Jinými slovy, prostoročas se zakřivuje, a toto zakřivení vyjadřujeme pomocí dané metriky.23 Abychom zobecnili metriku (4.12) pro případ prostoročasu, přidáme ještě čtvrtý, časový rozměr, takže počet souřadnic se zvýší na čtyři . Mohli bychom samozřejmě označit souřadnice čísly jedna až čtyři, to už je pouze otázka konvence a v některých (zejména starších) učebnicích se s číslováním od jedničky můžeme setkat. My se přidržíme konvence označující časovou souřadnici jako nultou. Na příkladu s povrchem koule jsme si ukázali, že i když se na zakřiveném povrchu snažíme jít co nejrovněji, vždy se budeme nakonec pohybovat po křivce (opět z pohledu vnější geometrie). Stejná situace nastává v prostoročase. Ačkoli mají všechny předměty a světlo samotné tendenci se pohybovat rovně po přímce, okolní zakřivený prostoročas způsobí, že jejich trajektorie bude ve skutečnosti křivočará. Například naše planeta obíhá Slunce podobně, jako kulička běhá dokola v ruletě. Když popostrčíte kuličku po rovném stole, pojede rovně po přímce, protože ji to umožňuje rovina stolu. Pokud stejnou kuličku vypustíte do rulety, začne kroužit dokola, protože ji k tomu nutí zakřivení plochy pod ní. V této analogii je speciální relativita rovný stůl (plochý prostoročas) a ruleta odpovídá zakřivenému prostoročasu v okolí masivního tělesa, například našeho Slunce. Na podobné analogie si ovšem musíme dávat pozor. Hlavní nedostatek připodobnění pohybu planet (a dalších těles) zakřiveným prostoročasem ke kuličce v ruletě spočívá v tom, že kulička je ovlivněna zakřivením rulety a zároveň gravitací samotnou (kdyby nebyla, vznášela by se beztížně v prostoru a rulety by se vůbec nedotýkala). Možná jste se setkali s podobnou analogií, kdy je prostoročas přirovnáván k rovné gumové plachtě, a například hvězda pak odpovídá závaží položenému na tuto plachtu. Závaží ve svém okolí plachtu prohne a mírně zdeformuje, čímž způsobí změnu dráhy menších kuliček, které po plachtě posíláme.24 Oba použité modely nejen že se snaží ilustrovat gravitaci, zatímco na ně gravitace působí, ale také zjednodušují situaci převedením čtyřrozměrného prostoročasu na plochu. Zmenšování počtu dimenzí za účelem názornosti je samozřejmě běžný postup a redukce tří prostorových dimenzí na dvě nebo někdy i na jednu (například v STR jsme se omezili v úvahách na vzájemné pohyby jen v ose , protože se jednalo o pohyby po přímce) je často dobrá a názorná pomůcka, která nám pomáhá pochopit podstatu složitějších jevů. Nicméně zmíněné analogie vynechávají časovou dimenzi, která je pro relativitu stejně podstatná jako ty prostorové (ale je bohužel těžší ji názorně vyobrazit). Tato a obdobná připodobnění musíme proto brát s rezervou, raději pouze jako názorné modelování situace než reálný popis obecné relativity. Pravá podstata OTR (a v podstatě každé fyzikální teorie) spočívá v rovnicích. Konkrétně v matematickém vyjádření zakřivení prostoročasu v okolí gravitačně působícího tělesa (hvězdy, planety apod.) a následných pohybových rovnicích pro částice. Analogie jsou jistě potřebné, protože čistě formulace a řešení rovnic je velmi abstraktní přístup a zejména při prvním (či spíše prvních několika) setkání s teorií může být velmi matoucí.25 Na druhou stranu je v konečném důsledku tím fyzikálně správným přístupem a žádná analogie ho nemůže nahradit. 23

Metrika není určena jednoznačně. Je pouze naším matematickým popisem fyzikální situace (mluvíme-li o prostoročase). Obecně existuje více vhodných souřadnic, při kterých může metrika nabývat odlišného tvaru. Vždy ale existuje transformace souřadnic, kterou můžeme od jedné metriky přecházet k druhé. Použití různých souřadnic tak nemůže mít vliv na fyzikální měření. 24 Praktickou ukázku této analogie najdete například na https://www.youtube.com/watch?v=MTY1Kje0yLg. 25 http://xkcd.com/895/

75

Jak už bylo řečeno, matematická stránka OTR je převážně nad možnosti matematiky střední školy, a proto se jí zde nebudeme věnovat. Místo toho si uvedeme praktické příklady dalších jevů (zatím jsme narazili na rudý posuv), pomocí kterých bylo možné ověřit platnost obecné relativity.

Ohyb světelných paprsků v gravitačním poli Jestliže v blízkosti hvězd je prostoročas zakřiven a všechno se zde v důsledku pohybuje po zakřivených drahách, musí to samé platit i pro světlo samotné. Obecná relativita předpovídá, že když bude světlo z cizí hvězdy procházet poblíž našeho Slunce, kde je jeho gravitace nejsilnější, bude trajektorie světla zakřivena (ohnuta) namísto toho, aby šlo čistě po přímce, jak jsme zvyklí. Jak ale toto ověřit? Bylo velmi příznivou shodou okolností, že v květnu roku 1919, několik málo let po uveřejnění obecné teorie relativity, mělo dojít k úplnému zatmění Slunce, přičemž sluneční kotouč se měl v té době zároveň nacházet na obloze v okolí většího počtu hvězd. Tím pádem šlo o vhodné podmínky pro ověření, zda Slunce skutečně zakřivuje světlo procházející v jeho blízkosti. Na obrázku 4.17 vidíme, jak se změní část hvězdné oblohy v přítomnosti a nepřítomnosti Slunce. Experiment, který měl ověřit či vyvrátit ohyb světla, spočíval v proměření polohy hvězd na nebi za přítomnosti Slunce. Normálně díky jeho jasnosti nemáme šanci okolní hvězdy zpozorovat. Proto je tak důležité úplné zatmění Slunce, kdy dojde k zastínění slunečního kotouče a okolní hvězdy je možné spatřit. Srovnáním s měřením polohy hvězd v čase, kdy je Slunce na obloze dostatečně daleko, můžeme určit, zda k zakřivení paprsků skutečně dochází a pokud ano, zda jeho velikost souhlasí s předpovědí obecné relativity. Odkaz na původní článek popisující expedici je uveden v doporučené literatuře (vizte [v]). Je nutné zdůraznit, že samotná existence ohybu paprsků ještě není rozhodný důkaz ve prospěch OTR. I klasická mechanika dokáže předpovědět ohyb trajektorie částic světla – fotonů – v přítomnosti Slunce (a samozřejmě i jiných těles), ovšem pouze za předpokladu, že fotonům přiřadíme jakousi efektivní hmotnost pomocí Einsteinova vztahu Nicméně je trochu zvláštní používat vztah ze speciální relativity pro záchranu teorie, která je s STR v mnohém v rozporu (vizte třetí část textu). To důležité je, že klasická mechanika tímto způsobem předpovídá jinak velký ohyb než OTR. V rámci OTR lze odvodit26 přibližný vztah pro úhel , o který by se měl paprsek ze vzdálené hvězdy procházející v těsné blízkosti Slunce ohnout:

(4.15) kde je hmotnost Slunce, je vzdálenost paprsku od středu Slunce, je gravitační konstanta a rychlost světla. Hmotnost Slunce činí přibližně .27 Po dosazení dostáváme pro

26

Příslušné odvození naleznete s anglickým komentářem například zde: http://www.lacosmo.com/DeflectionOfLight/ . 27 http://en.wikipedia.org/wiki/Sun

76

paprsek procházející v těsné blízkosti Slunce mechanika předpovídá pouze poloviční hodnotu úhlu.

(úhlových sekund). Klasická

Obrázek 4.17 Ilustrace ohybu světelných paprsků procházejících v blízkosti Slunce. V části a) situace na hvězdné obloze bez přítomnosti Slunce. Vpravo následně viditelná změna polohy hvězd způsobená přítomností Slunce. Proč se hvězdy zdánlivě oddálí od středu kotouče, vysvětlují dolní obrázky. Na obrázku c) je pohled shora na paprsky přicházející na naši planetu ze vzdálené hvězdy bez přítomnosti Slunce. Polohu hvězdy na nebi určujeme díky paprsku, který k nám dopadá. Vpravo pak vidíme situaci při průchodu paprsků poblíž Slunce. Paprsek, který k nám původně dopadal je zastíněn Sluncem, zatímco my zachytíme paprsek, který šel dříve mimo nás. Jenže naše vnímání prostoru není na zakřivené paprsky připraveno. Protože zaregistrujeme paprsek přicházející z jiného směru, naměříme polohu hvězdy na nebi dále od slunečního kotouče.

Když pak v roce 1919 astronomové proměřili při zatmění Slunce ohyb světelných paprsků procházejících v blízkosti Slunce, dospěli k výsledku (podle původního článku [v]). Nejenom že ohyb byl naměřen, ale jeho velikost souhlasila v rámci přesnosti měření s předpovědí obecné relativity. To byl první velký důkaz v její prospěch a díky tomu ji také většina vědecké společnosti začala brát vážněji.28

Stáčení oběžných drah planet Další novou předpovědí obecné relativity je stáčení oběžných drah. Klasická mechanika díky Newtonovu gravitačnímu zákonu dokáže velmi dobře vysvětlit a předpovědět pohyby planet v naší sluneční soustavě, proto se také dočkala takového uznání a obliby mezi fyziky. Konkrétně, pro každou planetu (ale také Obrázek 4.18 Stáčení perihélia planety o úhel za jeden oběh. Pohyb například komety a podobná zůstává stále ve stejné rovině. Úhel je obecně velmi malý, proto se tělesa) obíhající Slunce nejčastěji uvádí celková hodnota nahromaděného úhlu za jedno století. předpovídá trajektorii ve tvaru elipsy, v jejímž jednom ohnisku 28

Více se o experimentu a následných měřeních můžete dočíst například v článku Jiřího Grygara zde: http://www.astronom.cz/grygar/clanky/Otr_sun.htm

77

sedí naše hvězda. Pokud do výpočtů zahrneme pouze Slunce a jednu planetu, je tato oběžná dráha pevná v prostoru, neotáčí se, nemění svojí polohu. Nicméně, gravitačním vlivem dalších planet dochází k ovlivnění této elipsy. Planety blízko Slunce, speciálně i Merkur, vykonávají zvláštní pohyb, při kterém elipsa oběžné dráhy sice zůstává stále ve stejné rovině, ale pomalu se otáčí dokola jako na obrázku 4.18. Tento efekt, nazývaný stáčení perihélia (perihélium je bod na oběžné dráze, kdy je těleso Slunci nejblíže), byl nejdříve vysvětlován gravitačním působením ostatních planet. Ačkoli jsou ostatní planety naší soustavy proti Slunci velmi malé, mohou přispívat svou troškou do mlýna a svojí přítomností ovlivnit dráhu Merkuru. Na druhou stranu, obecná relativita rovnou předpovídá stáčení perihélia i v případě, kdy počítáme pouze se Sluncem a jedinou planetou. V případě Merkuru bylo změřeno, že jeho eliptická dráha se stáčí o úhel přibližně za století.29 Většina z toho, mírně přes , bylo vysvětleno podrobnými výpočty v klasické mechanice, které zahrnovaly pohyby a vlivy ostatních planet. Zbylých už newtonovská gravitace vysvětlit nedokázala. Když propočítáme dráhu Merkuru kolem Slunce pomocí obecné relativity (což je bohužel nad rámec matematické náročnosti tohoto textu), zjistíme, že hned dostáváme posun perihélia v přibližné hodnotě za století. Podobnému stáčení jsou podrobeny i všechny ostatní planety, ovšem v daleko menší míře, což je způsobeno větší vzdáleností od Slunce a tím pádem slabší gravitací. Proto byl také tento jev první objeven právě u Merkuru.

Klasická mechanika vs. OTR Ohyb světelných paprsků, stáčení perihélia planet a rudý posuv jsou tři z takzvaných klasických testů obecné relativity, které jsme schopni vykonat v rámci naší sluneční soustavy.30 Všemi těmito testy a mnoha dalšími relativita zatím prošla. Zejména v porovnání s klasickou mechanikou se ukázala být správnější teorií (za cenu větší koncepční i matematické náročnosti). Zdaleka ale není pravda, že by klasická mechanika byla nyní úplně zbytečnou (ostatně taky proto se ji stále učíme na školách). Pořád nám v mnoha situacích, kdy hrají roli slabá gravitační pole, dává velice dobré výsledky a její rozdíl oproti obecné relativitě je zanedbatelně malý. Většina mechanických problémů v našich podmínkách je dobře popsatelná klasickou mechanikou a ta nám dává správné výsledky, čistě proto, že rozdíly mezi jejími výsledky a výsledky OTR jsou neměřitelně malé. Jsou to, až na výjimky, silná gravitační pole, kdy se OTR a klasická mechanika od sebe odlišují a, jak víme, je to OTR, která dává správné výsledky. Člověk musí předem uvážit, který přístup je pro danou situaci vhodný, jestli jednodušší a méně přesný přístup Newtonovy mechaniky nebo přesnější, ale o mnoho složitější přístup relativity. Proto nadále existují (a existovat budou) desítky oborů jako stavitelství, meteorologie či strojírenství, kde můžeme bez obav používat nerelativistickou fyziku. Pořád má smysl se klasickou mechanikou zabývat, ve škole i profesně, protože stála u zrodu moderní fyziky a stále nám má mnoho co nabídnout. Podobně, bychom mohli argumentovat i v případě speciální relativity. Mohlo by se zdát, že i v případech vysokých rychlostí, pro něž je STR správnější teorií než klasická mechanika, je STR 29

http://en.wikipedia.org/wiki/Tests_of_general_relativity Většina dalších pak zahrnuje daleko silnější zdroje gravitačního působení jako masivní hvězdy, celé galaxie nebo vesmír jako celek. Proto také relativistická fyzika spoléhá převážně na astronomii a astrofyziku, aby jí přinesla nové aplikace a zároveň možnosti znovu prokázat svoji platnost. 30

78

v našich podmínkách stěží prakticky použitelná, protože přítomnost gravitačního pole její platnost narušuje. Nicméně pokud je vliv gravitace na náš experiment zanedbatelný (příkladem jsou srážky elementárních částic v LHC), můžeme se klidně omezit na přístup speciální relativity a nekomplikovat si situaci tou obecnou. Zájem lidí se čím dál tím více obrací do vesmíru. Například, pokud někdy budeme chtít cestovat mimo naší sluneční soustavu, budeme muset umět dosáhnout daleko větších rychlostí, než jsme schopni nyní. Zde přichází ke slovu speciální relativita. Ta obecná nám zase pomáhá studovat vysoce hmotná tělesa jako hvězdy a černé díry. Problémy vesmírného měřítka, včetně kosmologie samotné, tedy povětšinou spadají do oblasti relativistické fyziky. Na závěr poznamenejme, že naše seznámení s obecnou relativitou není zcela jistě úplné. Neřekli jsme si, jak vypadají pohybové rovnice obecné relativity, kterými se řídí pohyb částic, jakým způsobem do nich vstupuje metrika (4.12) a co je nejdůležitější, jakým způsobem OTR odvozuje konkrétní metriku na základě známého rozložení hmoty a energie. To vše je pro celistvost a správnost této fyzikální teorie velmi podstatné. Jak už ale bylo řečeno, většina matematického aparátu OTR spadá do pozdějších partií vysokoškolské matematiky a jeho výklad zde by zhoršil pochopitelnost textu zájemcům z řad středoškoláků a absolventů středních škol, kterým je ostatně tento text primárně určen.

79

Shrnutí čtvrté části



Obecná teorie relativity je relativistická teorie gravitace. Zobecňuje speciální teorii relativity pro případy, kdy nemůžeme vliv gravitace zanedbat.



V přítomnosti gravitace nemůžeme realizovat globální inerciální systém, tak jako v STR, protože nemáme volné částice v pravém slova smyslu. Pomocí slabého principu ekvivalence, který říká, že gravitace působí na všechny předměty a částice stejně (což je experimentálně ověřovaný fakt), zavádíme volně padající lokální inerciální systémy (LIS), ve kterých jsou účinky gravitace lokálně odstraněny a my tak dokážeme odvozovat poznatky o gravitaci pomocí již známých zákonů ze speciální relativity.



Podle silného principu ekvivalence je zrychlená soustava lokálně ekvivalentní soustavě vystavené gravitačnímu působení. Proto je OTR především teorií gravitace.



Novými efekty, které OTR předpovídá, jsou ohyb světelných paprsků, gravitační rudý posuv (změna frekvence světla při stoupání v gravitačním poli), z čehož dále plyne gravitační zpomalování času.



OTR interpretuje gravitaci, jako zakřivení prostoročasu, které v řeči souřadnic popisujeme pomocí tzv. metriky

což je analogie k intervalu ze speciální relativity, nyní ovšem pro zakřivený prostoročas. Obvyklou konvencí je číslovat souřadnice 0,1,2,3. 

Mezi klasické testy obecné relativity patří gravitační rudý posuv, ohyb světelných paprsků při průchodu kolem Slunce a stáčení perihelia Merkuru. Všechny tyto experimenty, i jejich modernější verze, zatím potvrzují platnost OTR.



Ačkoli považujeme OTR za správnější teorii než Newtonovskou mechaniku, existuje celá řada situací, kdy se jejich předpovědi díky slabému gravitačnímu poli prakticky neliší, proto je výhodnější používat jednodušší Newtonovu mechaniku. Například gravitační pole naší planety je natolik slabé v porovnání například s polem v blízkosti Slunce, že rozdíly mezi klasickou mechanikou a OTR jsou zde nepozorovatelné. Výjimku tvoří jevy, které klasická mechanika nezná nebo neuvažuje (gravitační dilatace času apod.).

80

Příklady ke čtvrté části Rozjíždějící se tramvaj Když nastoupíme do zadní části tramvaje (nebo samozřejmě jakéhokoli jiného dostatečně prostorného dopravního prostředku) můžeme zcela normálně projít vnitřkem tramvaje dopředu. Pokud se ale v tu chvíli začne tramvaj rozjíždět, naše chůze kupředu se stane zjevně náročnější, skoro jako bychom šli do mírného kopce, i když tramvaj je celou dobu v rovině. Vysvětlete tento jev. Jak souvisí s chůzí do kopce? (Nakreslete si při řešení obrázek mírné nakloněné roviny.) Vypočítejte úhel stoupání, který odpovídá situaci, kdy se tramvaj rozjíždí se zrychlením

Ohyb světelných paprsků podruhé S pomocí vzorce (4.15) spočítejte velikost úhlu, o který se ohne dráha světla ze vzdálené hvězdy procházející v těsné blízkosti Měsíce. Jeho poloměr je přibližně a hmotnost Výsledný úhel převeďte na úhlové vteřiny.

81

Dodatky Dodatek 1 – Rotace soustavy zachovává vzdálenosti Rotace souřadnic kolem osy vypadá následovně:

Tímto způsobem otočíme souřadné osy a o úhel čímž přiřadíme každému bodu o původních nové hodnoty souřadnic podle uvedených rovnic. Je logické, že se souřadnice nemění, stejně jako se nemění výška určitého bodu na točícím se kolotoči. Proto ji v našem dalším výpočtu vynecháme. To, že bodům přiřadíme jiné souřadnice, nijak neovlivňuje jejich reálnou polohu. Zdá se být tedy Obrázek D1.1 Vzdálenost bodů při rotaci soustavy souřadnic. celkem přirozeným požadavkem, aby se vzdálenosti libovolných bodů od sebe rotací nezměnily. Nyní ověříme, že naše transformace souřadnic tuto vlastnost opravdu má. Označme vzdálenost bodů a a souřadnice bodů budeme rozlišovat podle obrázku. Prostorová Pythagorova věta nám říká, že pro vzdálenost bodů platí:

a stejně tak v čárkované soustavě:

Chceme ukázat, že Protože vzdálenost je vždycky kladná veličina, stačí nám ukázat, že se rovnají druhé mocniny. K tomu si můžeme všimnout, že transformační vztahy výše platí i pro přírůstky souřadnic:

Tyto přírůstky dosadíme do rovnice pro kvadrát čárkované vzdálenosti.

82

Tím je náš důkaz přímým výpočtem hotov.

Dodatek 2 – Odvození Lorentzovy transformace Mějme, stejně jako u Galileovy transformace, nečárkovanou inerciální soustavu souřadnic S, která pro nás bude v klidu, a čárkovanou inerciální soustavu , jež se vůči té nečárkované pohybuje rychlostí . Do směru vzájemného pohybu soustav umístíme jak osu tak osu Dále budeme předpokládat následující:   

V obou inerciálních soustavách naměří pozorovatelé stejnou hodnotu rychlosti světla ve vakuu. (Vizte postuláty Speciální teorie relativity výše.) Žádná ze soustav není preferována. Z hlediska fyziky jsou rovnocenné a tuto vlastnost by měla respektovat i transformace souřadnic. Dá se ukázat, že když se vzájemný pohyb odehrává pouze ve směru x-ových os, zůstanou souřadnice a nezměněny. Tento závěr v našem případě použijeme jako předpoklad. Na rozdíl od klasické mechaniky také nyní předpokládáme, že se bude měnit časová souřadnice.

Transformaci souřadnic mezi dvěma inerciálními pozorovateli, která by těmto podmínkám vyhovovala, budeme hledat ve tvaru

(D2.1) Proč právě takto? Proč vystupují v rovnicích (D2.1) nečárkované souřadnice pouze v první mocnině namísto mocnin většího řádu nebo složitějších matematických funkcí? Důvodem je náš požadavek, aby popis v obou souřadných systémech odpovídal fyzikální realitě. Představme si například, že by se v jedné ze soustav nacházely tři předměty na třech od sebe stejně vzdálených místech (kupříkladu ). Ačkoli dovolujeme, aby jednotlivé vzdálenosti byly jinak veliké v druhé soustavě (to znamená, že pohybující se pozorovatel naměří odlišné délky), kdyby souřadnice vystupovala v (D2.1) v jiné než první mocnině, vyšlo by nám, že v čárkované soustavě jsou předměty různě daleko od sebe (např. pro bychom měli ). Jelikož výsledek, že v jedné soustavě souřadnic jsou předměty pravidelně rozloženy a v jiné ne, se zdá být silně nefyzikální, dostáváme požadavek, aby se prostorové souřadnice transformovala lineárně (první mocniny). Stejný argument platí i pro časovou souřadnici a několik okamžiků pravidelně rozložených v čase. Vycházíme tedy ze dvou rovnic (D2.1). Nejprve se zaměříme na počátky jednotlivých systémů souřadnic. Pro čárkovaný počátek z definice platí Zároveň se pohybuje rychlostí ve směru osy takže pro jeho nečárkovanou prostorovou souřadnici platí Když tyto podmínky dosadíme do transformace, dostáváme

83

Podobnou úvahu můžeme aplikovat i pro nečárkovaný počátek. Pro něj samozřejmě platí

a

z pohledu čárkované soustavy se pohybuje rychlostí – (mínus, protože v opačném směru). V čárkovaných souřadnicích pro něj tedy platí Opět dosadíme do první transformační rovnice a zároveň použijeme i druhou pro

Počet neznámých konstant se nám tedy snížil na dvě, vypadají takto

a . Transformační rovnice v tuto chvíli

V našem popisu je nečárkovaná soustava v klidu a čárkovaná se pohybuje. Princip relativity nám ale říká, že na celou můžeme nahlížet obráceně. Pokud čárkovanou soustavu budeme brát jako v klidu, tak nečárkovaná se vůči ní pohybuje rychlostí ( ) (vizte výše). Transformace ale musí nabývat stejný tvar. Z této úvahy vyvodíme, že pro nečárkovanou souřadnici musí platit Dále použijeme základní postulát, podle kterého je rychlost světla v obou soustavách stejná. Vyšleme-li paprsek z nečárkovaného počátku v kladném směru osy , bude se šířit podle rovnice Stejně tak paprsek světla vyslaný z čárkovaného počátku v kladném směru osy musí splňovat Dosadíme tyto podmínky do rovnic pro souřadnice a

Tyto dvě rovnice vynásobíme mezi sebou.

Konstanta se ve STR vyskytuje velmi často. Natolik, že má své vlastní jméno. Říká se jí Lorentzův faktor a značí se malé řecké (gama). Odtud také plyne často používané označení gama-faktor. I my ji budeme nadále značit Zbývá nám určit ještě konstantu . Tu dostaneme jednoduše dosazením podmínek pro světelný paprsek v obou soustavách a do první transformační rovnice.

84

Tím dostáváme rovnou transformační rovnici pro čárkovanou časovou souřadnici, kde vidíme, že na místě konstanty se objevil člen . Dostali jsme tak kompletní podobu Lorentzovy transformace, která je v souladu s postuláty STR jako

Dodatek 3 – Invariance prostoročasového intervalu Nyní odvodíme konstantu K vystupující v (prostoročasovém) intervalu

(D3.1) z podmínky jeho invariance vůči Lorentzově transformaci. Protože se v ní nemění souřadnice y a z, při našem výpočtu je vynecháme. Členů ve vzorci budeme mít i tak dost. Začneme intervalem mezi dvěma událostmi v čárkované soustavě standardnímu nastavení inerciálních soustav, při kterém splývají osy souřadnice beze změny, takže je z výpočtu můžeme vynechat.

a

a Díky , budou y-ové a z-ové

Nyní použijeme Lorentzovu transformaci, kde si podobně jako v Dodatku 1 pro jednoduchost vyjádříme rovnou přírůstky souřadnic.

Po dosazení dostáváme

Dáme k sobě členy se stejnými přírůstky souřadnic a vytkneme.

Celý mnohočlen se nám hezky rozdělil na tři části. Můžeme ho porovnat se čtyřintervalem v nečárkovaných souřadnicích (D3.1), který chceme dostat. Aby se oba vzorce rovnaly, musí být splněny tři podmínky:

85

Když dosadíme do první a druhé podmínky definici gama faktoru také vedou ke stejnému výsledku jako třetí. To znamená, že interval trasformaci invariantní, pokud bude mít tvar

, zjistíme, že bude vůči Lorentzově

Dodatek 4 – Volný pád jako efektivně inerciální pohyb Vyjdeme z obrázku 4.1b, který si jen trochu vhodněji a detailněji popíšeme (obrázek D4.1).

Chceme určit, jak se mění vzdálenost tužky a pozorovatele ve vodorovném směru. Z rozložení gravitačních sil vidíme,

Obrázek D4.1 Pozorovatel a jeho testovací předmět padají v gravitačním poli Země, čímž se k sobě přibližují.

že je k sobě přibližují síly a tím, že jim udělují zrychlení podle 2. Newtonova zákona. Označme hmotnost tužky a hmotnost pozorovatele Pro obě tělesa platí (protože se zabýváme jen vodorovnou složkou sil, stačí nám uvažovat velikosti). Abychom vyjádřili síly, které předměty přibližují k sobě, pomocí té gravitační, pomůžeme si trochou goniometrie. Z pravoúhlých trojúhelníků plyne pro velikosti sil a zároveň Pak zrychlení obou těles můžeme spočítat jako

(D4.1)

kde přitahování, v případě Země je

je gravitační konstanta a je hmotnost zdroje gravitačního Vidíme, že zrychlení, která k sobě předměty přibližují, 86

nejsou závislá na hmotnostech těles, pouze na jejich vzájemné vzdálenosti a vzdálenosti od středu Země . Je také zajímavé si všimnout, že na rozdíl od samotné gravitační síly, ubývá zrychlení se třetí mocninou vzdálenosti. V našem případě, kdy uvažujeme člověka padajícího volným pádem v gravitačním poli Země, můžeme za vzdálenost například dosadit 6379 km, čímž předpokládáme, že k volnému pádu dochází kilometr nad povrchem. Vzdálenost pozorovatele a jeho testovacího předmětu předpokládáme být půl metru. Poslední důležitá úvaha nám řekne, že když jsou dvě nalezená zrychlení stejná a míří k sobě (tj. spolupracují na zmenšení vzdálenosti), námi hledané celkové vodorovné zrychlení bude dvojnásobkem velikosti (D4.1):

(D4.2)

Co náš výsledek znamená? Předpokládejme na chvíli, že při našem volném pádu urazíme dráhu . Dále předpokládejme, že se vodorovné zrychlení za tuto dráhu nezmění (rychlý výpočet ukazuje, že se změní až v řádu ). Potom podle klasické fyziky platí kde je gravitační zrychlení. Takže čas, po který pozorovatel padá je Protože vodorovný pohyb tužky a pozorovatele považujeme za rovnoměrně zrychlený, můžeme najít změnu jejich vzájemné vzdálenosti jako

(D4.3)

Po pětisetmetrovém pádu vůči zemskému povrchu by se vzdálenost mezi pozorovatelem a testovacím předmětem změnila pouze o přibližně 39 mikrometrů.1 Každý pozorovatel by svou klidovou soustavu v takové situaci s největší pravděpodobností prohlásil za inerciální. A i kdyby byly jeho přístroje dostatečně přesné, znamená to pouze, že by svou soustavu mohl považovat za inerciální po kratší dobu. Obecně tedy přesnost, kterou vyžadujeme od našich měření, ovlivňuje, jak daleko můžeme zajít se zjednodušením, že je naše klidová soustava inerciální.

1

Alternativně jsme mohli k výsledku dojít geometrickou úvahou využívající podobnost trojúhelníků.

87

Dodatek 5 – Smíšené členy v metrice Připomeňme si metriku euklidovské roviny:

(D5.1) V podstatě je (D5.1) důsledkem Pythagorovy věty a našeho zavedení souřadné soustavy jako dvou na sebe kolmých kartézských os jako na obrázku (1.2). Kolmé osy nám nabízejí nejjednodušší způsob popisu plochy, ale to není jediná možnost. Můžeme například zvolit osy, které na sebe nejsou kolmé, ale svírají nějaký obecný úhel jako na obrázku D5.1. V rovině si zvolíme dva body a budeme chtít obecně najít jejich vzdálenost. Čáry konstantní souřadnice jsou rovnoběžky s osami určující jednotlivé souřadnice našich bodů. Společně tvoří rovnoběžník, jehož úhlopříčka je hledaná vzdálenost. Podle obrázku obsahuje rovnoběžník dvakrát úhel a dvakrát úhel Protože součet všech jeho vnitřních úhlů se rovná platí pro oba úhly: Vzdálenost určíme podle kosinové věty aplikované na kterýkoli z trojúhelníků:

Pro funkci kosinus platí . Po dosazení dostáváme metriku v našich „šikmých“ souřadnicích

Obrázek D5.1 Použití os svírajících obecný úhel a k nim rovnoběžných přímek po popis roviny. Každý bod tak má opět jednoznačně přiřazeny dvě souřadnice, ale ne stejné jako v případě kolmých os.

(D5.2) Najednou tak dostáváme ve vyjádření vzdálenosti dvou bodů třetí křížový člen. Toto je obecný jev, kdy křížové členy v metrice vznikají, pokud používáme souřadnice, jejichž osy na sebe nejsou kolmé.

Možná by vás mohlo zarazit, že najednou máme dva různé vzorce (D5.1) a (D5.2) pro popis stejné roviny. To je pouze důsledek použitých souřadnic. Jak už jsme viděli, změnou souřadnic se nemění reálné vzdálenosti mezi body. Proto musí oba vzorce dávat stejné výsledky, což si můžeme snadno demonstrovat. Vezměme například body jednotkách je

a

v kartézských souřadnicích. Potom jejich vzdálenost v daných 2

2

Abychom ověřili shodnost vzdáleností v obou

Velice příjemnou vlastností euklidovského prostoru a potažmo i roviny je, že v příslušné metrice vystupují na místech funkcí souřadnic pouze konstanty. Pro kolmé osy to jsou dokonce jedničky. Díky tomu nemusíme používat diferenciály jako ve čtvrté kapitole, ale můžeme místo nich rovnou počítat s reálnými vzdálenostmi.

88

soustavách, potřebujeme nejdřív určit souřadnice v šikmé soustavě. Po chvilce geometrický úvah člověk odhalí, že šikmé souřadnice jsou s těmi kartézskými propojeny transformací

(D5.3)

Zvolme například

Potom platí

a

Dva zvolené body mají tedy souřadnice

a . Nové souřadnice jsme označili čárkou, abychom je rozlišili od předchozích. Když dosadíme do (D5.2) máme

Přesně jak jsme čekali. Samozřejmě stejně bychom mohli dokázat obecně, bez konkrétních čísel, pouze s použitím transformace (D5.3), že shodnost bude platit pro jakékoli souřadnice.

89

Odpovědi k příkladům Zobecněná Pythagorova věta 2a) 2b) 2c) 2d)

Pythagoras na kolotoči 2b)

Auta na dálnici 1) K sepsání Galileiho transformace mezi oběma soustavami potřebujeme jejich vzájemnou rychlost. Ta je podle zadání Označme vztažnou soustavu pomalejšího ze dvou aut jako nečárkovanou a rychlejšího jako čárkovanou. Pro x-ové souřadnice soustav platí podle (2.1) , alternativně Druhé dvě souřadnice zůstávají beze změny. 2) Začněme výpočtem vůči zemi. Rychlost auta v této soustavě je přímo hodnota odečítaná na tachometru, tedy překážka se vůči zemi nehýbe. V textu již máme odvozen vzorec (2.5) pro dráhu, která je potřeba k zastavení. Dosazením ve správných jednotkách dostáváme, že vůz zastaví na dráze necelých Téměř okamžitě dostaneme výsledek v klidové soustavě brzdícího auta. V ní má auto nulovou rychlost i nulové zrychlení, zatímco překážka se blíží nejprve původní rychlostí velikosti a následně po začátku brzdění získá zrychlení Náš výpočet tedy musí díky symetrii dopadnout stejně. V klidové soustavě pomalejšího auta má rychlejší auto rychlost a překážka rychlost o velikosti a opačného směru. Dohromady se tedy k sobě rychlejší auto a překážka blíží opět rychlostí Jaké je zrychlení brzdícího auta v této nečárkované soustavě? Podle vztahu (2.3) z textu bude stejné, protože zrychlení je invariantní při přechodu mezi dvěma inerciálními soustavami (tj. při přechodu Galileiho transformací). I v tomto případě dostáváme podle očekávání brzdnou dráhu

Cesta do sousední sluneční soustavy Z pohledu Země bude cesta trvat roku, pro posádku rakety pouze přibližně k Alfa Centauri se zároveň vzhledem k posádce zkrátí na asi světelného roku.

90

roku. Vzdálenost

Vesmírná přestřelka K vypuštění torpéda došlo ve vzdálenosti To se blíží k lodi rychlostí zhruba (vidíme, že rychlosti ještě nejsou tak velké, aby relativistické skládání rychlostí dalo dost odlišný výsledek od klasického). Za dobu pěti sekund tak urazilo torpédo vzdálenost K cíli mu tím pádem zbývá což svou rychlostí urazí za . Vesmírná loď tedy nestihne provést úhybný manévr včas.

Rozpad kaonu Klasicky vzato, průměrná dráha doletu kaonů bude čistě násobek jejich rychlosti a doby života. Vychází Podle speciální relativity bude čas kaonů oproti laboratorní soustavě dilatovaný, do výpočtu musíme zahrnout ještě příslušný gama faktor. Po dosazení dostáváme Tento markantní rozdíl je snadno měřitelný a podobné experimenty s částicemi jsou prováděny již desítky let.

Rozjíždějící se tramvaj Tramvaj se rozjíždí se zrychlením, stává se neinerciální soustavou. Při tom na nás působí setrvačná síla směřující dozadu z pohledu tramvaje (obrazně řečeno, setrvačná síla se nás snaží udržet na původním místě vzhledem k zemi). Při chůzi skrz rozjíždějící se tramvaj nás tedy táhne dozadu setrvačná síla. Stejná síla, kvůli které se všichni kolem nás drží tyčí, aby neupadli na podlahu. Situace je prakticky podobná chůzi do kopce kdy nás tíhová síla tahá zpět, což Obrázek A – Rozložení sil při pohybu po můžeme nejlépe demonstrovat obrázkem. Kopec pro nás nakloněné rovině. bude nakloněná rovina. Působící tíhovou sílu (na obrázku červeně) pak rozložíme do směru kolmého k šikmému povrchu (modře - tato složka je vykompenzována zemí) a směru rovnoběžného s povrchem (zeleně). Na nakloněné rovině z našeho pohledu zeleně vyznačená šipka směřuje dozadu, tvrdíme tedy, že nás tíhová síla tahá dozadu a tím ztěžuje náš výstup do kopce. Díky silnému principu ekvivalence víme, že to je ekvivalentní situaci, kdy na nás směrem dozadu působí setrvačná síla, přesně jako v rozjíždějící se tramvaji. Velikost setrvačné síly je rovna podle 2. Newtonova zákona kde je naše hmotnost a zrychlení tramvaje. Chceme-li vypočítat úhel nakloněné roviny, na které by síla táhnoucí nás zpět byla rovna setrvačné síle ve zrychlující tramvaji, stačí si vyjádřit z obrázku:

Ohyb světelných paprsků podruhé Očekávaný úhel je přibližně úhlové sekundy (zhruba sedm miliardtin stupně). Tento úhel je příliš malý, aby mohl být spolehlivě změřen. Proto se s experimenty zkoumajícími ohyb světla musíme obracet k dostatečně hmotným tělesům.

91

Použité a doporučené zdroje V češtině: [1] BÜHRKE, Thomas. Převratné objevy fyziky. Praha: Academia, 1999. ISBN 80-200-0743-1. [2] ŠTOLL, Ivan. Dějiny fyziky. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 978-80-7196-375-2. [3] BEDNAŘÍK, Milan a Miroslava ŠIROKÁ. Fyzika pro gymnázia: Mechanika. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 978-80-7196-382-0. [4] BARTUŠKA, Karel. Fyzika pro gymnázia: Speciální teorie relativity. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-209-0. [5] DVOŘÁK, Leoš. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1984, 412 s. V angličtině: [i] GIULINI, Domenico. DEPARTMENT OF PHYSICS, University of Freiburg. Special Relativity: A First Encounter. New York: Oxford University Press, 2005. ISBN 0-19-856746-4. [ii] TAYLOR, Edwin F. a John Archibald WHEELER. Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity; Second Edition. New York: W. H. Freeman and Company, 1992. ISBN 0-7167-2327-1. [iii] EINSTEIN, Albert, Robert W LAWSON, Robert GEROCH a David C CASSIDY. Relativity: The Special and General Theory. The masterpiece science ed. New York: Pi Press, c2005, xxvi, 259 p. ISBN 01-318-6261-8. [iv] ROBERTS, Tom. Experimental Basis of Special Relativity. University of California, Riverside [online]. 2007 [cit. 2014-04-05]. Dostupné z: http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/experiments.html [v] DYSON, F. W., A. S. EDDINGTON a C. DAVIDSON. A Determination of the Deflection of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1920-01-01, vol. 220, 571-581, s. 291-333. DOI: 10.1098/rsta.1920.0009. Dostupné z: http://rsta.royalsocietypublishing.org/cgi/doi/10.1098/rsta.1920.0009 [vi] TAYLOR, Edwin F a John Archibald WHEELER. Spacetime physics: introduction to special relativity. 2nd ed. New York: W.H. Freeman, c1992, vii, 312 p. ISBN 07-167-2327-1. [vii] TAYLOR, Edwin F a John Archibald WHEELER. Exploring black holes: introduction to general relativity. 2nd ed. San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000, 1 v. in various paging. ISBN 02-0138423-X.

92

Webové stránky věnující se relativitě: http://astronuklfyzika.cz/strana3.htm http://martin184.webpark.cz/ http://radek.jandora.sweb.cz/f21.htm http://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_relativity (anglicky)

Záznam přednášek ze stanfordské univerzity na Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=BAurgxtOdxY (STR) https://www.youtube.com/watch?v=hbmf0bB38h0 (OTR)

93