ROVNOB
ŽNÍK
(2 HODINY) ? Co to vlastn rovnob žník je ? Na obrázku je dopravní zna ka, která íká, že vzdálenost k železni nímu p ejezdu je 160 m (dva pruhy, jeden pruh p edstavuje vzdálenost 80 m):
Pozorn si prohlédni ervené ty úhelníky uvnit dopravní zna ky nebo ern ozna ený železni ní p ejezd. Pokus se odpov d t na otázky: ? Co m žeš íci o prot jších stranách ty úhelníku ? Jsou rovnob žné ? Co m žeš íci o délkách prot jších stran ty úhelníku ? Jsou shodné Zapamatuj si:
Rovnob žník je ty úhelník, jehož každé dv rovnob žné a shodné
prot jší strany jsou
Úkol: Sestroj si rovnob žník dle následujícího postupu: 1. 2. 3. 4.
Narýsuj si libovolný trojúhelník ABD Sestroj st ed S strany BD S ( S ) : A C - ve st edové soum rnosti se st edem S sestroj bod C jako obraz bodu A M ením ov , zda jsi dostal rovnob žník ABCD
? Zm si úhlom rem velikosti úhl 1; 1. Co jsi zjistil ? Oba úhly jsou shodné ( 1 = 1) ? Jakou dvojici úhl tvo í úhly 1; 1 ? Jsou to úhly st ídavé ? Zm si úhlom rem velikosti úhl 2; 2. Co jsi zjistil ? Oba úhly jsou shodné ( 2 = 2) ? Jakou dvojici úhl tvo í úhly 2; 2 ? Jsou to úhly st ídavé ? Co platí pro velikosti vnit ních úhl p i vrcholech A, C ? Jsou shodné, protože 1 1; 2 2; 1 2 1 2 ? Ov si podobn , zda platí rovnost mezi vnit ními úhly p i vrcholech B, D ? Zapamatuj si:
Každé dva prot jší vnit ní úhly rovnob žníku jsou shodné Úkol: Ur i sou et velikostí všech vnit ních úhl rovnob žníku Na rtni si libovolný rovnob žník ABCD a vyzna v n m jednu úhlop í ku (nap . AC):
? Co platí pro sou et velikostí vnit ních úhl v trojúhelníku ACD ? Je roven 180 ˚ ( 2 180 ) 1 ? Co platí pro sou et velikostí vnit ních úhl v trojúhelníku ABC ? Je roven 180˚ ( 1 180 ) 2 ? Jaký je sou et vnit ních úhl rovnob žníku ABCD ? Je roven 360˚ ( 1 180 180 360 ) 2 1 2 Zapamatuj si:
Sou et velikostí všech vnit ních úhl rovnob žníku je 360˚ Úkol: Ur i velikosti dvou sousedních vnit ních úhl rovnob žníku ABCD
? Co platí pro velikosti úhl ´ a ? Jsou shodné, protože to jsou úhly souhlasné ( ´ = ) ? Co platí pro velikosti úhl a ´? Jsou to úhly vedlejší, jejich sou et je tedy 180˚ ( + ´ = 180˚) ? Co nakonec platí pro sou et velikosti dvou sousedních vnit ních úhl Jejich sou et je vždy 180˚, protože z p edchozích otázek plyne:
a ? ´ 180
Zapamatuj si:
Sou et velikostí sousedních úhl rovnob žníku je 180˚ Úkol: Narýsuj si libovolný rovnob žník ABCD a vyzna v n m ob úhlop í ky AC a BD (viz obr. v etn vnit ních úhl )
Odpovídej na otázky týkající se trojúhelník ASD a BSC:: ? Co platí pro délky stran AD a BD ? Jsou shodné, jsou to rovnob žné strany rovnob žníku ABCD ? Co platí pro velikosti vnit ních úhl 2 a 2 trojúhelník ASD a BSC ? Jsou shodné, protože se jedná o úhly st ídavé ? Co platí pro velikosti vnit ních úhl 1 a 1 trojúhelník ASD a BSC ? Jsou shodné, protože se jedná o úhly st ídavé ? Co m žeš íci o trojúhelnících ASD a BSC ? Jsou shodné podle v ty sus (oba se shodují v jedné stran a dvou úhlech ke stran p ilehlých) ? Co tedy platí pro strany AS a CS, respektive pro strany BS a DS trojúhelník ASD a BSC ? Jsou shodné, platí tedy: AS SC ; BS SD
Zapamatuj si:
Úhlop í ky v rovnob žníku se navzájem p lí (bod S je st edem obou úhlop í ek)
Výšky rovnob žníku Úkol: Ur i vzdálenost dvou rovnob žek, na kterých leží prot jší strany rovnob žníku Nejkratší vzdálenost dvou rovnob žek je kolmice vedená z jedné rovnob žky na druhou. Na obrázku jsou vyzna ené ty i kolmice:
Zapamatuj si:
va
va ´
výška rovnob žníku na stranu a (c)
vb
vb ´
výška rovnob žníku na stranu b (d)
Výška rovnob žníku udává vzdálenost rovnob žek, na kterých leží jeho prot jší strany. Existuje nekone n mnoho výšek na stranu rovnob žníku, všechny jsou navzájem rovnob žné a stejn dlouhé.
S H R N U T Í – Vlastnosti rovnob žníku
1. Každé dv prot jší strany rovnob žníku jsou rovnob žné AB // CD AD // BC 2. Prot jší strany rovnob žníku mají stejnou délku AB CD
BC
AD
3. Prot jší úhly rovnob žníku mají stejnou velikost
4. Sou et velikostí všech vnit ních úhl rovnob žníku je 360˚ 360 5. Sou et velikostí dvou sousedních vnit ních úhl rovnob žníku je 180˚ 180 6. Úhlop í ky rovnob žníku se navzájem p lí v bod S, který se nazývá pr se ík úhlop í ek AS SC
BS
SD
7. Rovnob žník je st edov soum rný útvar se st edem soum rnosti S (ve st edové soum rnosti se st edem S se rovnob žník zobrazí sám na sebe)
P íklad 1: Na obrázku je vyzna en rovnob žník ABCD. Odpovídej ANO – NE na níže položené otázky:
? Strana AD je stranou rovnob žníku ? Ano, stejn jako zbývající strany AB, BC a CD ? Strana DB je stranou rovnob žníku ? Ne, je to úhlop í ka rovnob žníku ? Strany AD a CD jsou sousedními stranami rovnob žníku ? Ano, stejn jako strany AB a BC; BC a CD; DA a AB ? Sou et velikostí dvou prot jších úhl je 180˚ ? Ne vždy, ale nap íklad u tverce nebo obdélníku Ano. Náš obrázek však ukazuje p ípad, kdy je ur it menší než 180˚) tomu tak není ( ? Dva sousední úhly mají vždy stejnou velikost ? Ne vždy, ale nap íklad u tverce a obdélníku Ano. V našem obrázku tomu však není, protože nap . sousední úhly (ostrý ) a (tupý ) mají r znou velikost ? Dva prot jší vnit ní úhly jsou v rovnob žníku shodné ? Ano, je to jedna ze základních vlastností rovnob žník ? Úhlop í ky rovnob žníku se na vzájemn p lí ? Ano, je to jedna ze základních vlastností rovnob žník ? Sousední strany rovnob žníku jsou rovnob žné ? Ne, prot jší strany rovnob žníku jsou navzájem kolmé, sousední musí být vždy r znob žné. P íklad 2: Je dán ty úhelník ABCD a bod S, který je pr se íkem úhlop í ek rovnob žníku. Zjist te, zda je daný ty úhelník rovnob žník, je-li dáno: a) AB 6cm; BC 4cm; CD 4cm; DA 6cm b) AB
0,05m; BC
0,5dm; CD
5cm; DA
50mm
c) AB
10cm; BC
150mm; CD
0,1m; DA
15dm
d ) AS
7cm; BS
5cm; CS
7cm; DS
5cm
e) AS
8cm; BS
6cm; CS
9cm; DS
7cm
f ) AS
7cm; AC
12cm; DS
4cm; DB
8cm
Rovnob žník je ty úhelník, jehož prot jší strany (AB a CD; BC a AD) jsou rovnob žné a mají stejnou délku. Proto musí platit: AB CD ; BC AD a) AB
CD ; BC
AD
b) AB
BC
CD
c) AB
CD
10cm; BC
nejedná se o rovnob žník
DA
jedná se o rovnob žník ( tverec ) AD
15cm
jedná se o rovnob žník
Úhlop í ky rovnob žníku se navzájem p lí v bod S (pr se ík úhlop í ek). Musí tedy platit: AS SC ; BS SD
d ) AS
SC ; BS
SD
jedná se o rovnob žník
e) AS
SC ; BS
SD
nejedná se o rovnob žník
f) Aby se jednalo o úhlop í ku rovnob žníku, musí platit: AS
SC ; AS
V našem p ípad tomu však není protože pokud AS
SC , pak AS
což se neshoduje se zadáním AC
7cm
SC
AC . SC
12cm . Nejedná se tedy o rovnob žník.
P íklad 3: Vypo ítejte všechny vnit ní úhly rovnob žníku ABCD, je-li dáno:
a) b)
60 85 22´
a)
Op t uplatníme vlastnosti vnit ních úhl rovnob žníku: 1. Prot jší vnit ní úhly ležící na úhlop í ce mají stejnou velikost:
60
14cm ,
2. Sou et sousedních vnit ních úhl je 180˚. Pro velikost vnit ních úhl tedy platí: 180
180 120
;
60
Na záv r si ov íme, že jsme po ítali správn : 360 120
60
120
60
360
120 ;
Velikosti vnit ních úhl rovnob žníku jsou
60
b) Již bez komentá e provedeme výpo ty zbývajících vnit ních úhl rovnob žníku:
85 22´ 180 85 22´ 179 60´ 85 22´ 94 38´ Velikosti vnit ních úhl rovnob žníku jsou
85 22´;
94 38´
P íklad 4: Vypo ítejte velikosti vnit ních úhl rovnob žníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnit ního úhlu je o 60˚ v tší než velikost druhého vnit ního úhlu. Protože v rovnob žníku jsou vnit ní úhly ležící na úhlop í ce shodné, je jeden ze dvou sousedních úhl o 60˚ v tší.
360 60 4
120
4
240 240 4
60 360
360 / - 120 /:4
60
Vnit ní úhly p i vrcholech A, C mají velikost 60˚, vnit ní úhly p i vrcholech B, D mají velikost 60 60 120 . Sou et všech vnit ních úhl je 60 120 60 120 360 , což jer jedna z vlastností rovnob žníku.
P íklad 5: Jedna strana rovnob žníku má délku 5 cm. Mohou mít úhlop í ky rovnob žníku velikost 6 cm a 16 cm? Na rtneme si rovnob žník ABCD a op t využijeme vlastnosti úhlop í ek – navzájem se p lí:
? Podívej se nyní na trojúhelník BSC. Co o n m m žeš íci ? Trojúhelník BSC (ale i DSA) nelze sestrojit, protože není spln na jedna z trojúhelníkových nerovností (5 + 3 není v tší než 8). Úhlop í ky rovnob žníku se stranou velikosti 5 cm nemohou mít délky 16 cm a 6 cm.
CVI
ENÍ
Nejprve si zkus sám spo ítat dané úkoly, poté si své výsledky, pop ípad s mým, které je uvedeno za zadáním cvi ení. Hodn zdaru!
Úloha 1: Na obrázku je vyzna en rovnob žník ABCD.
ešení zkontroluj
Vyhledej a ur i: a) b) c) d) e) f) g) h)
Strany sousední se stranou a Stranu prot jší ke stran b Dvojice shodných vnit ních úhl Dvojice úhl , jejichž sou et je 180˚ Úhly sousedící s úhlem Všechny dvojice sousedních stran Všechny dvojice sousedních vnit ních úhl Všechny úhlop í ky rovnob žníku
Úloha 2: Je dán ty úhelník ABCD a bod S, který je pr se íkem úhlop í ek rovnob žníku. Zjist te, zda je daný ty úhelník rovnob žník, je-li dáno:
a) AB
BC
b) AS
SC ; BS
c) AB
1,7 dm; BC
d) e) f)
50 ; 70 ; 120 ;
10cm; CD
DA
8cm
SD 15mm; CD
100 ; 110 ; 120 ;
50 ; 70 ; 60 ;
g ) AS
7,5cm; AC
14cm; BS
h) CS
4,5cm; CA
9cm; DS
17cm; DA
0,15dm
100 110 60 5cm; BD SB
10cm
5cm
Úloha 3: Vypo ítejte všechny vnit ní úhly rovnob žníku ABCD, je-li dáno:
a) b) c) d)
65 ; 115 72 45 15´ 82 44´
Úloha 4: Ur ete velikost úhlu v rovnob žníku ABCD, je-li dáno:
a) 96 54´ b) 114 45´ c) ´ 125 35´, kde kde vedlejší úhel k úhlu Úloha 5: Vypo t te velikosti vnit ních úhl obrázek:
rovnob žníku ABCD, je-li dán následující
Úloha 6: Vypo t te velikosti vnit ních úhl obrázek:
rovnob žníku ABCD, je-li dán následující
Úloha 7: Vypo ítejte velikosti vnit ních úhl rovnob žníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnit ního úhlu je o 45˚ menší než velikost druhého vnit ního úhlu. Úloha 8: Vypo ítejte velikosti vnit ních úhl rovnob žníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnit ního úhlu je 3krát v tší než velikost druhého vnit ního úhlu. Úloha 9: Jedna ze stran rovnob žníku má velikost 10 cm. Mohou mít úhlop í ky tohoto rovnob žníku velikosti:
a)14cm;12cm b)7cm;13cm Úloha 10: Vypo t te velikosti vnit ních úhl rovnob žníku ABCD na obrázku:
EŠENÍ ÚLOH, NÁPOV DA K ÚLOHÁM Úloha 1: Doplníme si ozna ení stran rovnob žníku a zakreslíme úhlop í ky s pr se íkem S
a) b) c) d) e) f) g) h)
b; d d dvojice shodných úhl jsou , a , dvojice úhl , ; , ; , ; ; ; a, b ; b, c ; c, d ; a, d , ; , ; , ; ; AC, BD
Úloha 2: a) b) c) d) e) f) g) h)
Ne (prot jší strany mají r znou velikost) Ne (bod S musí mít stejnou vzdálenost od vrchol B a D) Ano Ne (sou et vnit ních úhl není 360º) Ano Ne (úhly ležící naproti sob na úhlop í ce nemají stejnou velikost) Ne ( velikost úhlop í ky AC není rovna dvojnásobku délky AS) Ano
Úloha 3: a) b) c) d)
= = = =
= 65˚; = = 72˚; = = 45˚15´; = 82˚44´;
= 115˚ = 108˚ = = 134˚45´ = = 97˚16´
Úloha 4: a) b) c)
= 96˚54´ = 65˚15´ = 125˚35´ (využiješ poznatku o vedlejších úhlech: + ´=180˚ )
Úloha 5: Vnit ní úhel p i vrcholu B je vrcholový úhel k úhlu mající velikost 115˚47´ a má tedy stejnou velikost:
Vnit ní úhly mají velikost:
64 13´;
115 47´
Úloha 6: Nejprve si postupn dopo teme všechny možné úhly tak, aby se nám poda ilo ur it aspo jeden vnit ní úhel rovnob žníku:
70
Velikosti vnit ních úhl jsou:
40
110 ;
70
Úloha 7:
45
4 4
45 360 90 360 ................................ / 90 450 ......................................... / : 4 112,5
Vnit ní úhly mají velikost:
Úloha 8:
112,5 ;
45
112,5
45
67,5
3 8
3
360 .......................... / : 8 360 : 8
Vnit ní úhly mají velikost:
360
45 ;
45
3
135
Úloha 9: a) Rovnob žník lze sestrojit (podívej se na vzorový p íklad 5) b) Rovnob žník nelze sestrojit
Úloha 10: Všimni si nejd íve ty úhelníku AXCY na obrázku. Znáš v n m t i vnit ní úhly. Užiješ-li poznatku o sou tu vnit ních úhl ty úhelníku, získáš velikost vnit ního úhlu p i vrcholu A rovnob žníku ABCD:
360
(55
360
235
90
90 )
125
Vnit ní úhly mají velikost:
125 ;
55
