Fyzikální laboratoře – FLM
Protokol o provedeném měření Název úlohy: Studium harmonického pohybu na pružině Číslo úlohy: A Jméno a příjmení: Viktor Dlouhý
Datum měření: 8. 3. 2010 Fakulta mechatroniky TU, I. ročník
Hodnocení
1. Pracovní úkol 1) Stanovte tuhost kp pružiny statickou metodu, tj. z naměřených hodnot G a u. 2) Změřte závislost doby kmitu na T na hmotnosti m zavěšeného tělesa pro tutéž pružinu. 3) Vypočtěte tuhost kp z hodnot naměřených dynamickou metodou. 4) Výsledky zpracujte do dvou grafů (u=f(G), T=f( m ) ). 5) Proveďte vyhodnocení a. platnosti vztahu (2) pro dobu kmitu. b. stanovení tuhosti pružin a jejich přesnosti.
2. Seznam potřeb 1) 2) 3) 4)
Sada pružin a závaží Stojan Měřítko Stopky
3. Obecná část Předpokládejme, že vztah mezi protažením u[m] zavěšené pružiny a velikostí tíhy G[N] a závaží hmotností m[kg], které na visící pružinu zavěsíme je lineární. G = k p .u ,
u=
G m.g = , kp kp
Kde „kp[Nm-1]“ je tuhost pružiny, o níž předpokládáme, že je pro danou pružinu konstantní. Doba kmitu „T [s]“ při harmonickém netlumeném pohybu tělesa hmotnosti „m[kg]“, kmitajícího na pružině o tuhosti „kp“, je dána vztahem:
T = 2π
m 2π = kp kp
m
4. Pracovní postup 4.1.Měření statické tuhosti 1) Upevníme pružinu a měřítko na stojan. 2) Z měřítka odečteme počáteční délku pružiny „l0“. 3) Přidáváme postupně závaží a měříme délku pružiny „l“, prodloužení „u“ získáme tak, že od „l“ odečteme „l0“. 4) Metodou lineární regrese získáme z naměřených hodnot statický koeficient tuhosti „kp“. 5) Z naměřených hodnot dále vytvoříme graf závislosti „u =f1(G)“.
4.2.Měření doby kmitu 1) Upevníme pružinu na stojan a zavěsíme na ni 6 závaží. 2) Rozkmitáme pružinu tím, že ji vychýlíme z rovnovážné polohy o 1 cm, a měříme dobu 50 kmitů „T“. 3) Postupně odebíráme po jednom závaží a opakujeme krok 2). 4) Hodnoty zaznamenáme do tabulky a vypočteme dobu jednoho kmitu „“. 5) Vytvoříme graf závislosti T = f2(√).
2/7
5. Naměřené hodnoty 5.1.Měření statické tuhosti Tabulka č.1 č. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
hmotnost celková závaží hmotnost M[kg] m[kg] 0,2387 0,2402 0,2407 0,2417 0,2420 0,2415
0,2387 0,4789 0,7196 0,9613 1,2033 1,4448
pružina 51 pružina 50 pružina 53 tíha G[N] délka prodloužení délka prodloužení délka prodloužení l[cm] l[cm] l[cm] u[cm] u[cm] u[cm] 11,5 9 12,8 2,3416 13,5 2 10 1 15,2 2,4 4,6980 16 4,5 11,3 2,3 17,7 4,9 7,0592 18,5 7 12,5 3,5 20,2 7,4 9,4303 21 9,5 13,5 4,5 22,8 10 11,8043 23,3 11,8 14,5 5,5 25,3 12,5 14,1733 25,6 14,1 15,5 6,5 27,8 15
5.2. Měření doby kmitu Tabulka č.2 celková č. hmotnost m[kg] 6 5 4 3 2
1,4448 1,2033 0,9613 0,7196 0,4789
odmocnina z hmotnosti √m[kg
1/2
] 1,2020 1,0970 0,9805 0,8483 0,6920
doba 50 kmitů 50T1[s]
doba 50 kmitů 50T2[s]
37,70 34,20 32,88 29,37 26,17
doba 50 kmitů 50T3[s]
37,93 34,10 32,82 29,40 26,99
37,85 34,10 32,82 29,40 26,99
doba 1 kmitu T[s] 0,76 0,68 0,66 0,59 0,53
6. Zpracování – příklady výpočtů Určení tíhy G (pro m = 0,2387kg): . 0,2387. 9,8099 2,3416 N *pro výpočet bylo použito g = 9,8099 m/s2 Určení prodloužení u (pro l = 13,5cm): 13,5 11,5 2 Určení doby kmitu T (m = 1,4448kg):
50 ∑ 50! " 50# " 50$ % 37,70 " 37,93 " 37,85 0,76 & 50 150 150
3/7
Zjištění tuhosti pružiny kps ze směrnice rovnice lineární regrese grafu u = f1(G):
Regresní rovnice přímky pružiny 53 je u 0,010G " 0,127 (viz Graf č1), obecný tvar rovnice přímky je ) *+ " ,, kde k je směrnice a q je úsek. Z toho tedy vyplývá, že směrnice je k je 0,010. Vztah odpovídající fyzikální popisu pružiny je , je jasné že kps je ./0
převrácená hodnota směrnice k, tedy kps=100.
Výpočet výběrové směrodatné odchylky tuhosti pružinu: Vzorec je v obecném tvaru; yi = ui, xi = Gi, q = 0,127, k = 0,010 pro pružinu 53. &.4
5 1 ∑ 67! )6 # , ∑ 67! )6 * ∑ 67! )6 +6 % 2
0,003 ;
8∑ 67! 9+6
∑ 67! +6
:
5 1 0,2420 0,1297 0,1091% 62 298,05560
Zjištění tuhosti pružiny kpd ze směrnice rovnice lineární regrese grafu T=f2(√m):
Regresní rovnice přímky při měření závislosti jednoho kmitu T a hmotnosti m je #1 0,422√ " 0,236(viz Graf č.2), směrnice k je 0,422. Ze vztahu * určíme tuhost 2./3
pružiny kpd. Kpd je 221 a platí pro pružinu 50.
4/7
6.1.
Graf závislosti u = f1(G) Graf č.1
0,3 u = 0,010G + 0,127 R² = 1 0,25 u= 0,010G + 0,111 R² = 0,999
0,2
pružina 51
u[m]
pružina 50 pružina 53
0,15
Lineární (pružina 51) Lineární (pružina 50) Lineární (pružina 53)
u= 0,004G + 0,090 R² = 0,996
0,1
0,05
0 0
2
4
6
8
10
G[N]
5/7
12
14
16
6.2.
Graf závislosti T=f2(√m) Graf č.2
0,85
0,8
0,75 T = 0,422√m + 0,236 R² = 0,980
T[s]
0,7
pružina 50 0,65
Lineární (pružina 50)
0,6
0,55
0,5 0,6
0,7
0,8
0,9
1
√m[kg1/2]
6/7
1,1
1,2
1,3
7. Konečné výsledky Pružina č.
51
50
53
kps [Nm-1]
100,000±0,003
250,000±0,004
100,000±0,004
r(R2)
0,990
0,996
1
kpd [Nm-1]
221,00±0,04
r(R2)
0,98
*směrodatné odchylky jsou zaokrouhleny nahoru na jednu platnou cifru
8. Zhodnocení měření
-
V měření jsme ověřili vztah pro výpočet tuhosti pružiny *= > , závislost prodloužení u a tíhy G je opravdu lineární. Měřit se nám podařilo s opravdu malou chybou, směrodatná odchylka tuhosti pružiny se pohybuje v tisícinách Nm-1. Naopak dynamické měření tuhosti pružiny, kde jsme ověřovali závislost
#1
2?/./
, bylo
poznamenáno mnohem větší chybou, ale to je zřejmé již ze samotného postupu měření. Projevili se tam chyby zaviněné reakcí člověka na stopky, a ne vždy přesným počítáním 50 kmitů pružiny. A však i tak lze říci, že vztah je ověřen, i když s trochu větší chybou měření. Zajímavé je porovnání dynamické tuhosti a statické tuhosti u pružiny č. 50, které se liší až o 29 Nm-1. Také jsme zjistili, že v boxu s pružinami byly 2 se stejnou tuhostí, pružina č. 51 a č.53 mají shodný koeficient kp = 100 Nm-1.
9. Literatura Herodes FEL, Chyby měření [online],2010, [cit. 13.3.2010],
*web aplikace pro kontrolu výpočtů chyb měření
7/7
