Daftar isi ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
ANALISIS KECEP ATAN KONVERGENSI PADA TEKNIK PENYELESAIAN GAUSS-SEIDEL DIKOMBINASI DENGAN EKSTRAPOLASI AITKEN DAN PENERAP ANNY A PADA RANG KAlAN RESISTIF Oleh: Entjie Mochamad Sobbich Puslit KIM-LIPI
ABSTRAK Salah satu kriteria yang sering digunakan teknik penyelesaian
untuk menyatakan
'baik-buruk'
yang iteratif adalah kecepatan konvergensi,
dari teknik-
yaitu kesegeraan dalam
mencapai (atau mendekati) jawaban eksak. Jadi, suatu teknik penyelesaian tidak baik jika untuk mencapai nilai solusi eksaknya diperlukan
akan dianggap
(misalnya)
300 iterasi
padahal teknik lainnya mampu mencapainya hanya setelah (anggaplah) 20 iterasi. Didalam makalah ini, sebuah contoh rangkaian resistif dicari penyelesaian simpulnya
secara analitis iteratif menggunakan
kombinasinya
dengan
teknik ekstrapolasi
untuk tegangan simpul-
teknik penyelesaian
Aitken
untuk percepatan
eksak. Hasilnya, sebuah proses iterasi yang konvergenitasnya
Gauss-Seidel, pencapaian
dan solusi
dicapai setelah 300 iterasi
dapat disegerakan menjadi hanya 20 iterasi. Kata-kunci : teknik Gauss-Seidel, esktrapolasi Aitken. konvergensi, tegangan simpul.
ABSTRACT One of criteria that is frequently used to define 'good-bad' is the convergence
of an iterative solution method
SPEED, i.e. the speed on achieving (or closes) the exact solution. So, a
solution method should assumed as not good when it reaches the exact solution after (for instance) 300 iterations, if the other method capable to reach it just after (let say it) 20 iteration. In this paper, an example of resistive circuit was found for the solution of their nodal
voltages
combination
by iterative
analytic
using
Gauss-Seidel
solution
with Aitken's extrapolation technique in order to make
method,
and the
short in reaching the
exact solution. The result, the problem of which can be solved at 300 iteration can be make short just in 20 iteration. Keywords:
Gauss-Seidel technique, Aitken extrapolation,
273
convergence,
nodal voltage.
Prosiding Serpong,
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Rekayasa
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
PENDAHULUAN Di dunia nyata, kita sering menghadapi
perosalan-persoalan
dalam kerumitan tertentu. Solusi menggunakan
dengan ukuran besar dan
cara manual dan analitis perlu mendapat
perhatian. Kekeliruan akan mudah terjadi, keraguan terhadap hasil-akhirpun
dapat timbul,
bahkan yang lebih penting dan pasti terjadi adalah waktu eksekusi yang pasti sangat lama sekali sebanding dengan ukuran serta kerumitan persoalan yang sedang dihadapi. Jaman sudah berubah, komputer sudah hadir. Kita manfaatkan melakukan pencarian solusi dari persoalan kita. Masalahnya dapat
dengan
'memasukkan'
sendirinya
melakukan
suatu jalan-pemikiran
suatu
proses,
komputer
agar mampu
: mesin hitung tersebut tidak
ia
harus
dijalankan
dengan
yang umum dikenal dengan algoritma atau teknik
penyelesaian. Didalam
makalah
ini diuraikan
teknik numerik
untuk menyelesaikan
rangkaian
yang
bersifat resistif.
TEORIDASAR Apabila terdapat sebuah rangkaian yang hanya berisi sumber pembangkit arus listrik serta resistor-resistor
didalamnya
maka analisis simpul-simpul
simultan yang linier dengan koefisien-koefisien dapat dituliskan hasil analisisnya sebagai berikut :
II = gllV1
+ gl2 V2 + gu
+
.
h = g21VI + g22 V2 + g23 V3 + h = g31VI + g32V2 + g33 V3 +
.
V3
.
(1)
274
akan menghasilkan
yang berharga
konstan.
persamaan
Secara umum
Prosiding Serpong,
Pertemuan I1miah Nasional 20 Nopember 2007
Yang mana bila direpresentasikan
..
Rekayasa
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
dalam bentuk matrik akan menjadi :
• .I,
........ ... . .. . g3n g211 gill V,gill/ = koefisien konstan gll3 I 11 VII V2 g22 g23 VI saran yang g32 g33 g12 gl3 111 besaran be diketahui dicari(konduktansi) (tegangan (arus dari padasumber satu simpul) tegangan). gll1: gn2 Vij Iij
(2)
gij
n
Persamaan
simultan
ataupun manual. memanfaatkan
diatas akan sulit diselesaikan
bila harus dilakukan
secara analitis
Oleh karena itu, satu-satunya cara yang dapat ditempuh adalah dengan
metoda numerik (umumnya berupa sebuah cara iteratit), dalam kasus ini
akan ditempuh
cara penyelesaian
menggunakan
algoritma
Gauss-Siedel.
Algoritma
ini
dipilih sebagai teknik penyelesaian karena berbagai kelebihan, yaitu : 1. Mudah untuk di-kode-kan 2. Bersifat sangat robust 3. Kesalahan
dapat direduksi sekecil mungkin berdasarkan kemampuan mesin penghitung
(komputer) 4. Banyaknya iterasi tidak bergantung pada dimensi (ukuran) jaringan.
Algoritma ini memerlukan
penduga-mula terhadap solusi vektor V (missal:
1, 2, ... ,n). Dengan penduga- awal tersebut dilakukan pertama,
lalu solusi vektor V I diperbarui (updating)
Selanjutnya demikian
lakukan penyelesaian seterusnya.
Lakukan
V2 dari persamaan
penyelesaian
menggunakan
Vj = untukj =
untuk persamaan nilailharga barunya.
kedua, V 3 dari persamaan
proses iterasi (pengulangan
yang terus-menerus)
ketiga yang
akhimya didapatkan harga vektor V yang konvergen menuju solusi sistem linier tersebut.
I
V(k)
=
L., g '/' gll [~ .1=1 .. V _I
I (k)
+ /=1+1 L., g If' ~
V
I (k-IJ;
275
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
dirnana
: y(O)
i
=0
= 1,2, ... , n k = 1,2, 3, ... Pertarna cara
kali rnembicarakan
mernbangun
(konduktansi sebagai
konvergensi
matrik
an tara
berarti
koefisien.
i
simpul
dan
kita perlu memperbincangkan
Dengan k) maka
memperhatikan diagonal
gii dapat
pada
bagairnana
konduktansi
diberikan
gik
[ormulasinya
: n
gji =
k:;t
Lg,k
i.
k=O
dirnana konduktansi
giO
CONTOH dengan
: Untuk
antara simpul
rangkaian
seperti
i dan
tanah (simpul
pada Gambar-I,
surnasi konduktansi-konduktansi
bermula
0).
elemen
dari simpul
diagonal
gl I adalah
sarna
I.
•i 4
'.Sl 91~ .>
ql" 1I 91"'• - ·~Vo/' ...I\.------~/Vv---
~)
I!
L
')
t..
•....•
c"
:~ g·o
l. .;:.,.
Gambar-I
: Contoh
[I
rangkaian
resistip.
Jadi :
Catat bahwajika Pada contoh
Matrik
dua simpul
tersebut
konduktansi
: g13 = g34 = g24 di
dari rangkaian
n
gj; ~ Lg,k
tidak ada brunch,
I'
==:>
maka konduktansi
O.
riil 1/
"
Lg'k ~ Lg'k
k=1
k=O
k=1
k,,;
k",
k",
==:>
g,o
+ Lg'k ~ Lg,k k=1 k 1'-1
276
II
k=1 k'#.i
mutual-nya
berharga
nol.
0 0,01 01
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan Ilmiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
Sederhananya
adalah,
kita dapatkan relasi giO 2: 0 yang selalu benar untuk bentuk
rangkaian apapun. Setidaknya, satu simpul harus terdapat konduktansi setidaknya,
satu relasi dipenuhi dengan
matrik adalah dominant sehingga
algoritma
menggunakan
lam bang ">".
menunjukkan
bahwasanya
diagonal
Gauss-Seidel
bersifat konvergen.
Berikut adalah cara kerja dengan
sebuah contoh.
Pada rangkaian
seperti
ditunjukkan
pada Gambar-2,
dengan 4 simpul yang hendak dicari tegangannya Pembangkit
Ini
"tentu" ke tanah,
arus mengalirkan
VI,
arus listrik ke simpul
diasumsikan V2, V3, V4•
I
sebesar
terdapat
rangkaian
Resistor dalam Ohm. 1 Amp. Tahanan
R
sebenarnya adalah sebuah nilai yang bisa parametris tetapi untuk keperluan memudahkan analisis secara manual, disini diambil bernilai
100 Ohm.
4
50
Gambar-2 : Rangkaian resistif yang hendak dicari tegangan simpul-simpulnya
Untuk sistem linier ini berlaku :
[G].V = 1 dengan
[G]
matrik konduktansi
V
vektor tegangan vektor arus
I
-0.0 -1 -1 0I I Kondukstansi [G] -0,01 1,025 -0,01 1,025 -0,0 0,04 Matrik
Arus (I)
0,03
1
o o o
277
Prosiding Serpong,
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
05025 025 0V4 9,5238 33,333 5,4422 V3 24,997 V2 48,446 44,853 49,996, 49,992 40,5916,65 VI 17,909 12,5 24,94\ 21,113 212,245 6,399 10,378 24,997 12,498 11,86 4,931 3,613 2,475 0,401 47,171 23,827 22,864 11,335 12,468
k
Berawal
dengan
vektor
(50, 25, 25, 12,5). terlihat
Rekayasa
bahwa
mencapai
Dengan
sesudah
sekitar
(0, 0, O. 0), algoritma mengamati
konvergen
hasil seperti
secara
cepat menghasilkan
ditunjukkan
hanya dalam 20 kali iterasi kesalahannya
I E-09 setelah
14 iterasi dan menjadi
pada Gambar-3 mencapai
kurang
dibawah
solusi berikut 0,1 %,
dari 1* E-14 hanya setelah
iterasi 60. 20 I}
60
JC
80
'1
0.G01 1E-O:':·
1E-[l7 1 E-09
1E-11
I
1E-'!
i Gambar-3
Namun parameter kecepatan
Error
diatas,
kondisi R
penurunan
konvergensi
ini tidak berlaku
=
I Ohm
konvergensi
........_.
E-1!5
: Kecepatan
Pada contoh
1
hasilnya
deviasi terhadap 'kebetulan'
nilai eksak pad a bertambahnya
didapatkan
dalam
umum untuk setiap jaringan. adalah
jauh lebih singkat
: Vektor dibandingkan
278
._.3
solusi
iterasi
yang sangat
Untuk penghitungan memang
tidak
yang sebelumnya.
berubah
iterasi cepat. dengan tetapi
1001
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
-I
-I 0I -0,01 -0,01 -0,0 -0,01 1,025 -0,01 1,025 ~:~~ Matrik
Kondukstansi [G]
Arus (I)
0,03
1
o o o ... 34.074 00,6425 5,7045 6,4408 07,3772 1,8714 11,7305 ,3252 ,5719 24,9893 7,6024 9,1106 5,4546 35,641 4,1464 3,5995 2,1705 2,7539 3,3224 49,9123 3,8763 ,4161 V3 V4 V2 37,384 38,625 39,199 39,744 38,02 3,2797 5,0043 4,1866 8,4802 9,3137 3,7449 4,6061 2,7898 8,2663 10,105 6,678 36,714 33,333 36,008 33,656 34,878 35,264 36,365 34,481 0,5556 0,8608 2,4624 3,0383 4,6792 0,2419 5,1985 2,2738 2,0057 1,2649 1,1582 1,4481 49,9927 24,9894 12,4947 VI 2,5351 4,9421 0,9575 '0 ••• .0. 0
k
Berawal dengan vektor (0, 0, 0, 0), algoritma mencapai keadaan konvergen dengan arnat larnban untuk mencapai soilisi (50, 25, 25,12,5). Setelah 20 iterasi hasilnya masih jallh dari solusi eksak, hasilnya baru (39,774; 9,9123; 10,105; 5,0043), sekitar separllh dari nilai eksaknya. Ternyata, iterasi untuk mencapai kesalahan sebesar kllrang dari
dibutuhkan
sekitar 300
I %.
Matrik Hill conditioned Alasan terjadinya
begitu ban yak perbedaan kecepatan konvergensi
pada algoritma yang
sarna adalah bahwa matrik dalam contoh ini tetap dominan tetapi lebih kecil dari yang pertarna. Pada kenyataannya.
bahwa elemen yang sama yang diluar diagonal dekat dalam
rnodul dengan elemen diagonal pada baris yang sama. Jadi : dan
279
ISSN 1693-3346
Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat Nuklir Serpong, 20 Nopember 2007
Sebaliknya, untuk yang konvergensi cepat terjadi keadaan : dan
a]21
a22 la231«1
«
I
Q33
Situasi dengan konvergensi
ini (matrik "hill-conditioned')
dapat dideteksi dengan mudah
dengan cara melakukan inspeksi langsung pad a jaringan itu sendiri.
Apabila rasio antara
resistor tertinggi dan terendah adalah tinggi maka berarti matrik terkait berada pada hill conditioned. Semakin tinggi rasionya, semakin lamban fitur konvergensinya. Pada rangkaian listrik umumnya terjadi nilai rasio sebesar 1000 atau bahkan lebih besar dan ini menunjukkan
bahwa algoritma ini tak dapat dipergunakan
(useless). Untungnya
masih ada metoda yang efisien dan mudah untuk meningkatkan
kecepatan konvergensi,
disebut
extrapolation)(Aitken's
: metoda
ekstrapolasi
kuadrat
delta
(delta
square
extrapolation). Definisikan:
~i
= Xi -
Xi-I
Formula ekstrapolasinya
~
X'= x n _
n ~11
-
2
~n-I
adalah : (
= ,. -
x -x 11
..-\./1
xn
-
2x"_1
)"
-
11-1
+ X,,_2
dimana aproksimasi terbaik dari tiga nilai terakhir
X'
Pad a contoh yang terakhir, ambillah iterasi terakhir
k 18
39,198749596983 39,474758153645 39,743713756203 VI
19 20
I ekstrpl I
49,999999999979
280
Xn.
x
n-h X n-2
18, 19,20 dari VI diperoleh :
Prosiding Serpong,
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Terjadi
percepatan
dengan
formula
Metoda
ini dapat diterapkan
percepatan Formula
ekstrapolasi
dengan
sedikit
formula
berbeda
dapat
pula untuk
V2
,
and
terakhir
kesalahan
lebih
V4
sangat
dari 20 iterasi,
kecil
dan akan didapatkan
halus pada saat jaringan
kajian agak lebih mendalam.
(tetapi
iterasi mempunyai
tiga iterasi
dicapai V3
ISSN 1693-3346
Nuklir
dari
IE-IO.
hasi\ dengan
yang sama.
bekerja
untuk melakukan
Perangkat
cepat menggunakan
ini telah
kecepatan
ekstrapolasi
Penting agak
yang sangat
Rekayasa
ekivalen)
bentuk
untuk
berikut
hill-conditional.
Disini akan diperoleh
ekstrapolasi
linier sebagai
berkondisi
Aitken.
(paling
bentuk
Diasumsikan
yang bahwa
sederhana)
(3)
Jadi, berawal
dari V 0 didapatkan
:
+ fJYo
VI
=
V2
= a + fJY1 = a + fJ(a + fJYo) = a + a.fJ + fJ2
a
V3 = a + fJY2
= a + fJ(a + afJ + fJ2
Y(J)
=
a
Yo
+ a.fJ + afJ2. + fJ3
Yo
Vn = a + fJV. ,,_I = a + a. fJ + a fJ2 . + a fJ3 . + ... + a fJ"-1 + fJnV 0
= a(1 + fJ + fJ2 + /I' + ...+ fJ"'I)+ yang dapat dituliskan
Vn = a
menjadi
I k=O
+ fJ".vo
fJk
Agar deret konvergen agar
113\
menuju
< I, mengingat
I, dengan
demikian
Urnv" ~ n->'" lirn[
11-><>0
fJ".vo
bahwa
==
a[
I- fJ"fJ I-
)
+ fJ"
Yo
suatu harga tertentu lim fJ" ,,~a)
I
a[ 1- (3" fJ ) + (3"Yo ) = -"'I - j3 -
maka dalam kasus ini diperlukan
= a jika ~ berupa pecahan sejati dibawah +1 atau-
:
J
(finite)
281
Prosiding Serpong,
Pertemuan IImiah Nasional 20 Nopember 2007
Rekayasa
Perangkat
ISSN 1693-3346
Nuklir
Solusi dapat diketahui jika kita mengetahui koefisien a dan ~. Keduaya dapat diperoleh V n-2, V n-!, V n dengan cara menyelesaikan
melalui tiga iterasi berurutan
sistem linier
berikut : =>
13
=
a = V" -
V" - V,,_I
Vn-I - I'I 11-2
j3.V,,_1
Substitusikan, solusi untuk V akan menjadi :
v
=~
_
1-13-
V" -V"_I
dimana
V" - j3'vII_1
1-13
13
= V0-1 -
(4)
Vn_2
Eliminasi ~ dengan cara substitusi, diperoleh :
v
=
Vn'vn_2
-
=V _
Vn_1 2
Vn-2 ,Vn-I +V
"V,V
n-2
(V" - V"_I Y II-I +V 11-2
11-2
Jadi, formula (4) adalah bentuk lain yang berbeda untuk ekstrapolasi kuadrat delta. Pada kenyataannya,
oleh karena
asumsi
awal (3) tidak eksak,
merupakan nilai perkiraan dari solusi eksak. Pengulangan lebih) iterasi memungkinkan
kita untuk mendapatkan
formula
berakibat
nilai "V"
dari setiap tiga (atau
solusi dengan perkiraan tertinggi
yang bisa terjadi. Untuk sistem dengan hill-conditioned, sekitar 0, I -:-0,01).
In i merupakan
dan praktis untuk dideteksi
parameter ~ :::::1 atau uj i yang tidak sekedar
untuk meningkatkan
I
I - ~
I
cuap-cuap
kecepatan konvergensi
ekstrapo las i. Untuk contoh ke-l dengan konvergensi cepat. didapatkan : V(IO)
13 =
V
(9)
_ V(9)
-V
10'
~
0,543
=>
I - 13 ~ 0,456
Sedangkan untuk contoh ke-2 yang konvergensinya V(IO)
fJ
_ V(9)
= V (9) -V
(8)
~
0,977
=>
1-
13 ~
0,022
282
lamban, didapatkan :
<
1>.
(Biasanya
(cheep)
E
belaka
dengan formula
Prosiding Serpong,
CATATAN.
Pertemuan I1miah Nasional 20 Nopember 2007
Parameter
Rekayasa
Perangkat
~ dapat dihitung dengan
ISSN 1693-3346
Nuklir
mengambil
3 iterasi berurutan
yang
manapun, dalam contoh diatas dilakukan pengambilan dari iterasi (8, 9, 10). Kita dapatkan hasil serupa bila mengambil dari iterasi (5,6. 7) ataupun (18, 19,20). Penggunaan
algoritma Gauss-Seidel
mampu merealisasikan
bersama dengan ekstrapolasi
metoda yang efisien untuk menyelesaikan
formula Aitken telah
suatu rangkaian resistif.
KESIMPULAN Obyektif
dari teknik
dekatnya
dengan
iterasi adalah
kecepatan
konvergensi
untuk mencapai
nilai eksak, yang juga berarti : tingkat efisiensi
sedekat-
iterasi itu sendiri.
Didalam makalah ini, telah dilakukan analisis terhadap implementasi metoda iterasi GaussSeidel terhadap jaringan
resistif seperti diberikan
pada Gambar-I.
Dengan mengambil
contoh numerik seperti Gambar-I, algoritma Gauss-Seidel ansich menghasilkan nilai eksak (dengan
kesalahan
didalam
I %) setelah
terjadi
melakukan kombinasi antara algoritma Gauss-Seidel kasus yang sarna hanya memerlukan
300-an
iterasi.
Dengan
mencoba
dan Aitken banyaknya iterasi untuk
20-an iterasi. suatu percepatan
konvergensi
yang
dapat dipandang sebagai sangat siknifikan.
DAFT AR PUST AKA 1. Floyd T.L., Electric CirclIit Fundamentals, Merrill Pub!. Co., Columbus, Ohio, 1987. 2. Van Valkenberg M.£., Nasution S.H .. Analisis Jaringan Listrik, Penerbit Erlangga, 1988. 3. James M.L., and Smith G.M., Applied Numerical Methodsfor 3rd Ed., Herfer
Digital Computers,
& Rows Pub!., New York. 1985.
4. Gerald C.F., Wheatley P.O., Applied Numerical Analysis, 6th Ed., Addison Wesley. 1999. 5. Kreyszig E.,Advanced Engineering Mathematics. 8th Ed.. Chapters I, 5, 8, 9, John Willey
& Sons Inc., New York, 1999.
283
