PROSES PEMBARUAN BERHADIAH DAN SELANG- SELING SERTA PENERAPANNYA
Oleh : Lutfi Roehanah G54102008
PROGAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
PROSES PEMBARUAN BERHADIAH DAN SELANG- SELING SERTA PENERAPANNYA
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Pada Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Istitut Pertanian Bogor
Oleh : Lutfi Roehanah G54102008
PROGAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
Judul : Proses Pembaruan Berhadiah dan Selang-seling serta Penerapannya Nama: Lutfi Roehanah NRP : G54102008
Mengetahui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc NIP : 131 633 020
Drs. Siswandi, MS NIP : 131 957 320
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M S NIP : 131 473 999
Tanggal Lulus :
“ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Ibu, Bapak, kakakku tercinta dan semua orang yang kusayangi”
RINGKASAN LUTFI ROEHANAH. Proses Pembaruan Berhadiah dan Selang-seling serta Penerapannya. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan S ISWANDI. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu proses pembaruan. Sebagai contoh suatu mesin yang digunakan selama waktu tertentu akan mengalami kerusakan sehingga perlu adanya penggantian mesin yang baru. Dalam karya ilmiah ini dikaji sifat-sifat statistika dari proses pembaruan seperti Teorema Dasar Pembaruan, fungsi sebaran, nilai harapan dan ragam. Selain itu juga dikaji penerapan dari proses pembaruan yaitu proses pembaruan berhadiah dan proses pembaruan selang-seling. Jika setiap pembaruan terjadi, ada hadiah atau tambahan nilai tertentu maka proses pembaruannya disebut dengan proses pembaruan berhadiah. Sedangkan suatu sistem yang keadaannya bisa salah satu dari dua keadaan yaitu hidup (on) dan mati (off) serta mula-mula sistem itu hidup selama waktu tertentu, kemudian mati selama waktu tertentu, kemudian hidup lagi, mati lagi dan seterusnya maka proses ini disebut dengan proses pembaruan selang-seling. Dalam proses pembaruan berhadiah, dibahas penerapan berupa penentuan rataan hadiah yang diterima dalam jangka panjang. Pada proses pembaruan selangseling dibahas penerapan berupa penentuan peluang sistem hidup (on) dan sistem mati (off ) pada waktu tertentu.
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Ciamis 28 Oktober 1983 sebagai anak ke dua dari dua bersaudara, anak dari pasangan H. Nasikun dan Alfiah. Tahun 2002 penulis lulus dari SMUN 1 Ciamis dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi Asisten PR Matematika Dasar (2003/2004), Staf Pengajar Bimbel Bintang Pelajar (2003/2004), Asisten Dosen Kalkulus II (2004/2005), Staf Pengajar Bimbel Matematics Study Club (MSC). Penulis juga aktif dalam organisasi kampus yaitu DKM Al-Hurriyyah dept Birena (2002/2003), Gumatika dept Keputrian (2003/2004) dan Yayasan Husen Ibrahim (2004/2005).
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat, taufik serta hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ” Proses Pembaruan Berhadiah dan Selang-seling serta Penerapannya ”. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dengan tulus kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, MSc. sebagai pembimbing I atas bimbingan, koreksi,saran, dan kesabarannya selama ini. 2. Bapak Drs. Siswandi MS. sebagai pembimbing II atas bimbingan, koreksi, saran,dan kesabarannya selama ini. 3. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai moderator dan dosen penguji atas arahan dan kesabarannya. 4. Ibu, Bapak, dan Aang yang kusayangi atas cinta, kasih sayang, bimbingan, doa, motivasi dan dukunganya. 5. Nita, Merdina, Riswan atas kesediannya menjadi pembahas dalam seminar. 6. Nurrahmi dan Lia temen satu perjuangan dan sebimbingan atas motivasi, doa, semangat dan dukungannya serta bantuannya. 7. Sahabat -sahabatku yang kusayangi Azhari, Desi, Elis, Era, Lia, Moza, Nurrahmi, atas kasih sayang dan kesediannya mendengarkan keluh kesahku, serta doa, motivasi, dukungan dan dorongannya selama ini, semoga kita selalu kompak. 8. Kakak-kakak terbaikku di Raihana Mba Ricka, Mba Free, Mba Nafis, Mba Ike, Mba Rully, Mba Zaki, Mba Mimil, Mba Dina, Mba Heni, Mba Da, Mba Rina atas cinta, kasih sayang, bantuan, doa dan dukungannya. 9. Adik-adik Raihana yang kusayangi Adis, Diah, Erni, Uwai, Mega, Rika, Riska atas kasih sayang, doa dan dukungannya. 10.Saudara-saudaraku yang kusayangi karena-Nya (Rian, Jayu, Febri, Rangga, Dwi, Yuda, Uli, Walida, Maryam, Nidia, Syifa ), Semoga tetap istiqomah dijalan-Nya. 11.Kakak-kakak Mtk yang kusayangi (Teh Liah, Teh Ika, Teh Awang, Teh Evi, Teh Lilis, Teh Yana, Teh Hawa, Teh Atin,Teh Eva) atas motivasi, doa dan dukungannya. 12.Keluarga kecilku atas ilmu, bimbingan, arahan, kebersamaan, cinta dan kasih sayangnya 13.Semua Staf MSC (Ka Taufik, Ka Syam .....) atas kepercayaan, doa, motivasi, dorongan dan dukungannya. 14.Teman-teman terbaikku (Wini, Fitri, Mba Wiwit, Ang Suryo, Mas Ihwan, Mas Agus) atas kasih sayang, kepercayaan, doa, motivasi dan dukunganya, semoga tetap semangat, dan ceria. 15.Teman-teman matematika 39. 16.Seluruh Dosen, pegawai Departemen Matematika dan FMIPA. 17.Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai bidang minat yang sama dengan materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.
Bogor, Januari 2005
Lutfi Roehanah .
.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN............................................................................................................................vi PENDAHULUAN Latar Belakang ...........................................................................................................................................1 Tujuan...........................................................................................................................................................1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang...................................................................................................1 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ............................................................................................................2 Nilai Harapan dan Ragam .........................................................................................................................3 Proses Stokastik. ......................................................................................................................................... 3 Beberapa Definisi dan Lema Teknis .......................................................................................................4 PEMBAHASAN Pengertian Proses Pembaruan ..................................................................................................................5 Sifat -sifat Statistika pada Proses Pembaruan........................................................................................ 5 Penerapan dari Proses Pembaruan ........................................................................................................... 9 SIMPULAN .............................................................................................................................................13 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................................14 LAMPIRAN ..............................................................................................................................................15
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Bukti Teorema 1 ......................................................................................................................................15 Bukti Teorema 2 ......................................................................................................................................16 Bukti Teorema 6 .......................................................................................................................................17 Bukti Teorema 7 .......................................................................................................................................18 Bukti Lema 2 ...........................................................................................................................................18 Bukti Teorema 8 .......................................................................................................................................19
PENDAHULUAN Latar belakang Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak hal yang merupakan proses stokastik. Proses stokastik menggambarkan suatu keadaan atau kejadian dari proses yang tidak pasti pada waktu tertentu. Sebagai contoh, suatu mesin yang digunakan selama waktu tertentu akan mengalami kerusakan sehingga perlu adanya penggantian mesin yang baru. Kasus tersebut dapat dimodelkan dalam proses stokastik yang dikenal dengan proses pembaruan. Proses pembaruan menyatakan jumlah mesin yang telah mengalami kerusakan kemudian diganti dengan yang baru, sampai mencapai waktu tertentu. Jika setiap pembaruan atau penggantian mesin tersebut terjadi suatu penambahan nilai tertentu, maka proses ini dinamakan proses pembaruan berhadiah. Seseorang dapat menentukan rataan dari hadiah yang diterima dalam jangka panjang sehingga dapat ditentukan pula waktu yang optimal dalam mengganti mesin tersebut. Penerapan yang lain dari proses pembaruan adalah suatu mesin yang bekerja selama waktu tertentu, kemudian rusak dan diperbaiki selama waktu tertentu, kemudian
dapat bekerja lagi, rusak dan diperbaiki dan seterusnya. Kasus ini dinamakan proses pembaruan selang–seling. Dari kasus ini dapat ditentukan peluang dari mesin bekerja pada waktu tertentu, dan peluang dari mesin tidak bekerja atau sedang diperbaiki pada waktu tertentu. Dalam tulisan ini dikaji sifat -sifat statistika yaitu fungsi sebaran, nilai harapan dan ragam dari proses pembaruan. Selain itu juga dikaji penerapan dari proses pembaruan yaitu proses pembaruan berhadiah dan proses pembaruan selang-seling. Tujuan Tujuan dari tulisan ini adalah mempelajari beberapa hal berikut : 1. Sifat -sifat statistika dari proses pembaruan seperti fungsi sebaran, nilai harapan dan ragam. 2. Penerapan dari proses pembaruan yaitu menentukan rataan hadiah yang diterima pada jangka panjang dalam proses pembaruan berhadiah, dan menentukan peluang sistem bekerja dan sistem tidak bekerja pada waktu tertentu pada proses pembaruan selang-seling.
LANDASAN TEORI Landasan teori yang digunakan untuk mendukung pembahasan pada karya ilmiah ini adalah sebagai berikut :
Definisi 2 (Kejadian) Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh. [Grimmet dan Stirz aker, 1992]
Ruang Contoh , Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali perlu dilakukan pengulangan, yang harus dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama seperti ini, disebut percobaan acak. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 1 ( Ruang Contoh ) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
Definisi 3 ( Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas semua himpunan bagian ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut : 1. φ ∈ F ∞
2.
Jika A1 , A2 , K ∈ F maka ∪ Ai ∈ F.
3.
Jika A ∈ F maka A c ∈ F. [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
i =1
Definisi 4 ( Ukuran Peluang ) Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → [0. 1] pada ( Ω , F ) yang memenuhi : 1. 2.
P (φ ) = 0 , P ( Ω ) = 1 Jika adalah A1 , A2 , K∈ F himpunan –himpunan yang saling lepas,
yaitu
Ai ∩ A j = φ
untuk
setiap
pasangan i ≠ j , maka
∞ ∞ P Ai = P ( Ai ) . i =1 i =1 Pasangan (Ω , F, P ) disebut ruang peluang. [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
∑
U
Definisi 5 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P( A ∩ B) = P( A) P( B). Secara umum, jika I adalah himpunan indeks, himpunan kejadian {Ai , i ∈ I } dikatakan saling bebas jika P Ai = P ( Ai ) , i∈J i∈ J untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
∏
I
Definisi 6 (Peluang Bersyarat) Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi, dinotasikan dengan P ( B | A) , didefinisikan sebagai berikut
P ( B | A) =
P( A ∩ B) . P( A)
[Trindade dan Tobias, 1995] Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 ( Peubah Acak ) Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa untuk setiap x ∈ R {ω ∈ Ω ; X (ω) ≤ x}∈ F . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X , Y , Z . Sedangkan nilai dari peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y , z. Definisi 8 (Fungsi S ebaran ) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi yang FX : R → [0,1] didefinisikan oleh FX ( x ) = P( X ≤ x ) [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 9 (Peubah Acak Diskret) Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan yang dapat
dicacah, maka diskret.
X
disebut
peubah
acak
[Bain dan Engelhardt, 1992] Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu) Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai x
FX ( x) =
∫f
X
(u )du
−∞
x ∈ R, dengan
f : R → [ 0, ∞) adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 11 ( Peubah Acak Bebas ) Peubah acak diskret X dan Y disebut bebas jika kejadian {X = x} dan {Y = y } adalah bebas untuk setiap x, y ∈ R . Peubah acak kontinu X dan Y disebut bebas jika kejadian {X ≤ x} dan {Y ≤ y } adalah bebas untuk setiap
x, y ∈ R .
[Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 12 ( Peubah Acak Seragam ) Suatu peubah acak X disebut menyebar seragam pada selang [a, b] jika X memiliki fungsi kepekatan peluang s ebagai berikut
1 jika a ≤ x ≤ b f ( x) = b − a 0 selainnya [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 1 3 ( Peubah Acak Eksponensial ) Suatu peubah acak X disebut menyebar eksponensial dengan parameter λ , jika X memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut λe −λx jika 0 < x < ∞ f X ( x) = 0 selainnya [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 14 (Konvolusi Fungsi Sebaran) Konvolusi dari dua fungsi sebaran adalah sebagai berikut : misalkan X dan Y adalah dua peubah acak kontinu yang saling bebas dengan fungsi sebaran berturut –turut F X dan
FY . Maka fungsi sebaran dari X + Y adalah konvolusi dari FX dan FY , ditulis FX ∗ FY yang diberikan oleh FX ∗ FY = P(X +Y ≤ t)
∞
∫
= P( X + Y ≤ t | Y = y)dFY (y) −∞ ∞
∫
= P(X ≤t − y)dFY ( y) −∞ ∞
∫
= FX (t − y)dFY ( y) . −∞
[Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 15 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak X adalah fungsi p : R →[0,1] yang diberikan oleh p X ( x) = P( X = x) . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
Definisi 19 (Proses S tokastik ) Proses stokastik {X (t ), t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state s . [Ross,1996] Definisi 20 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {N ( t ) , t ≥ 0}disebut proses pencacahan jika N (t ) menyatakan banyaknya kejadian yang telah tejadi sampai waktu t , yang memenuhi syarat–syarat sebagai berikut 1. N (t ) ≥ 0 untuk semua t ∈ [ 0, ∞ ) 2. Nilai N (t ) adalah integer (bilangan bulat) 3. Jika s
Nilai Harapan dan Ragam Definisi 16 ( Nilai Harapan ) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X (x ) maka nilai harapan dari X adalah
E[ X ] =
∑ xp
X
( x)
x
dengan syarat jumlah diatas konvergen. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X (x) , maka nilai harapan dari X adalah ∞
E[ X ] =
∫ xf
X
( x )dx
−∞
dengan syarat integral di atas konvergen mutlak. [Bain dan Engelhardt,1992] Definisi 17 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut
[
]
Var( X ) = E ( X − E ( X )) . . [Bain dan Engelhardt,1992] 2
Proses Stokastik Definisi 18 (Ruang State) Himpunan state s disebut ruang state jika s memuat semua kemungkinan state dalam suatu sistem. [Billigsley,1995]
s, t ∈ [ 0, ∞) Untuk s < t maka N (t ) − N (s) , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang ( s, t ] . [Ross,1996]
Definisi 21 (Proses Pencacahan dengan Inkremen Bebas) Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih adalah kejadian bebas. [Ross,1996] Definisi 22 (Proses Pencacahan dengan Inkremen Stationer) Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stationer jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari pangjang selang tersebut. [Ross,1996] Definisi 23 (Proses Poiss on) Suatu proses pencacahan (counting pross es) {N ( t) , t ≥ 0} disebut Proses Poisson (Poisson Proses) dengan laju λ , λ > 0 , jika dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut : 1. N (0) = 0 . 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas dan inkremen stationer. 3. P ( N ( h) = 1) = λ h + o( h), 4. P( N ( h) ≥ 2 ) = o( h), jika h → 0 . [Ross,1996]
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 24 (Fungsi Terintegralkan Riemann Langsung) Fungsi h yang didefinisikan pada [0, ∞) , dikatakan terintegralkan Riemann ∞
langsung,
∑ m ( a) ,
jika
menyatakan
n
n =1
∞
suprimum
h (t )
dari
∑ m ( a)
dan
n
n =1
menyatakan infrimum dari h (t ) pada interval ( n − 1)a ≤ t ≤ na , bernilai terhingga untuk semua
a ≥ 0 , dan ∞
lim a
a →0
∑
∞
∑m
mn (a ) = lim a a →0
n =1
n ( a)
∞
0
0
∫
∫
.
Sehingga Tansformasi Laplace dari fungsi kepekatan sama dengan Tansformasi LaplaceStielt jes dari fungsi sebaran yang bersesuaian. [Cooper, 1981] Definisi 27 (Kekonvergenan Peubah Acak dengan Peluang1) Misalkan X 1 , X 2 , K adalah peubah acak pada ruang peluang (Ω , F, P). Kita sebut : X n → X hampir pasti (konvergen dengan a .s
jika Xn →X , { ω ∈ Ω : X n (ω ) → X (ω ) ketika n → ∞ } adalah suatu kejadian dengan peluang 1. peluang
1),
ditulis
n =1
Fungsi h terintegralkan Rieman n langsung mempunyai syarat cukup 1. h (t ) ≥ 0 untuk semua t ≥ 0 2. h (t ) adalah fungsi tak naik ∞
3.
∞
φ ( s) = e −st dF (t ) = e − st f (t ) dt , s ≥ 0 .
∫ h (t)dt < ∞ .
Lema 1 (Ketaksaman Markov) Jika X adalah peubah acak dengan E( X ) terbatas dan t > 0 , maka EX P( X ≥ t) ≤ . t [Helm s, 1996]
0
[Ross,1996] Definisi 25 (Deret Geometri ) ∞
Misalkan
∑ ar
n −1
= a + ar + ar + L 2
n =1
Deret di atas disebut sebagai deret geometri. Deret geometri konvergen jika r < 1 dan divergen jika r ≥ 1 . Jika ∞
adalah
∑
ar n −1 =
n =1
r < 1 , jumlahnya a . 1− r
Bukti : Misalkan
A = { X ≥ t } maka
dengan I A adalah fungís indikator dari A, yaitu 1 jika X ≥ t . IA = 0 jika X < t Jika kita tentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh
E X ≥ E(tI A ) = tEI A
= t P( X ≥ t )
↔ P( X ≥ t ) ≤
[Stewart,2003] Definisi 26 (Transformasi Laplace -Stieltjes) Transformasi Laplace-Stieltjes suatu fungsi sebaran F (t ) dari peubah acak yang non negatif ( F (t ) = 0 untuk t < 0) didefinisikan sebagai berikut : ∞
∫
φ ( s) = e −st dF (t ) , s ≥ 0 . 0
F (t ) dapat diturunkan, F ' (t ) = f (t ) , maka φ (s) adalah Tansformasi Laplace dari f (t ) , yaitu Jika
X ≥ tI A ,
EX t
.
Lema 2 (Lema Borel-Cantelli) Misalkan {An } adalah sembarang kejadian yang saling bebas, jika ∞
∑ P( A ) < ∞ n
n =1
maka P ( A n terjadi se banyak tak hingga ka li ) = 0 . [Durret, 1996]
PEMBAHASAN Pengertian Proses Pembaruan
yang dapat ditulis secara rekursif yaitu
Pada subbab ini dibahas salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu proses pembaruan. Pengertian dari proses pembaruan yaitu dalam definisi sebagai berikut : Definisi 28 (Proses Pembaruan) Misalkan {N (t ), t ≥ 0}adalah suatu proses pencacahan, dan misalkan pula X n , n = 1 , 2 , L menyatakan waktu antar kedatangan kejadi an ke ( n − 1 ) dan kejadian
ke- n . Proses {N (t ), t ≥ 0} disebut proses pembaruan jika {X n } adalah barisan peubah acak tak negatif dan iid (bebas stokastik identik). Jadi {N (t ), t ≥ 0} menyatakan banyaknya kejadian atau pembaruan yang telah terjadi pada waktu t dengan waktu antar kedatangan adalah barisan peubah acak tak negatif dan iid (bebas stokastik identik). Pada tulisan ini digunakan istilah kejadian dan pembaruan untuk pengert ian yang sama. Sifat-sifat yang perlu dipelajari dari waktu antar kedatangan s uatu proses pembaruan adalah fungs i sebaran dan nilai harapannya. Fungsi sebaran dari waktu antar kedatangan adalah fungsi sebaran X n , n = 1, 2 ,L sembarang. Misalkan F adalah fungsi sebaran dari X n , yaitu
FX n ( t ) = P( X n < t ) .
(1)
F (n ) ( t ) = F ∗ F (n −1) ( t )
= P (Tn ≤ t ) = P X n + = P 0 t
∞
µ = EXn =
∫
x dF ( x ) .
(2)
0
Kuantitas lain yang perlu dikaji dari proses pembaruan adalah waktu kedatangan dari kejadian ke n atau disebut juga waktu tunggu sampai terjadinya kejadian ke n . Jika waktu kedatangan dari kejadian ke n dinotasikan dengan Tn , maka n
Tn =
∑X
i
dan T0 = 0 . Sehingga fungsi
i =1
sebaran dari berikut :
Tn dapat diperoleh sebagai
P ( Tn ≤ t ) = F ( n) ( t ) = F ∗ F ∗ L F ( t )
i =1
n −1
∫ ∑X i =1
i
i
≤ t
+ X n ≤ t | X n = x dF ( x )
n −1 = P X i ≤ t − x dF ( x ) 0 i =1 t
∫ ∑ t
∫
= F ( n −1) (t − x )dF ( x ) .
(3)
0
Jadi, F (n ) ( t ) merupakan konvolusi ganda- n dari fungsi sebaran waktu antar kedatangan F ( t ). Teorema yang berhubungan dengan waktu dari kejadian ke n atau Tn yaitu H ukum Kuat Bilangan Bes ar. Teorema ini digunakan untuk membuktikan T eorema Dasar Pembaruan yang menyatakan kecepat an dari {N (t ), t ≥ 0}. Bunyi dari Hukum Kuat Bilangan Bes ar adalah sebagai berikut : Teorema 1 (Hukum Kuat Bilangan Besar) Misalkan X 1 , X 2 L X n adalah peubah acak bebas, stokastik dan identik dengan rataan µ . Maka
X + X 2 L+ Xn P lim 1 = µ = 1 n → ∞ n
Selanjutnya untuk menyingkat penulisan F X n (t ) dinotasikan dengan F (t ) . Sedangkan nilai harapan dari waktu antar kedatangan adalah
n −1
∑X
atau
Tn →µ , n
(4)
dengan peluang 1 jika n → ∞ , dengan Tn n menyatakan rataan dari waktu tunggu sampai terjadinya kejadian ke n. [Ross, 1996] Bukti : Lihat Lampiran 1 Sifat-sifat S tatistika pada Proses Pembaruan Sifat-sifat statistika yang dibahas pada subbab ini adalah T eorema Dasar Pembaruan, fungsi sebaran, nilai harapan, dan ragam dari proses pembaruan.
Teorema 2 (Teorema Dasar Pembaruan 1) Dengan menggunakan Hukum Kuat Bilangan Besar, diperoleh N (t ) 1 (5) → t µ
t → ∞ , dengan N (t ) t menyatakan kecepatan dari N (t ) untuk t → ∞ dan µ = EX n adalah nilai harapan dari waktu antar kedatangan pembaruan. [Ross, 1996] dengan peluang 1 jika
Bukti : Untuk menentukan N (t ) t , maka perhatikan peubah acak TN (t ) yaitu waktu dari pembaruan terakhir sebelum atau pada waktu t dan peubah acak TN ( t )+1 yaitu waktu pembaruan pertama setelah berlaku
t . Sehingga
TN (t ) ≤ t < TN (t )+1 yamg berimplikasi dengan TN (t ) TN (t )+1 t ≤ ≤ . N (t ) N (t ) N (t ) Maka 1. TN (t ) N (t ) adalah rataan dari waktu tunggu sampai terjadinya kejadian ke n. Berdas arkan Hukum Kuat Bilangan Besar diperoleh, dengan peluang 1, TN (t ) → µ , jika t → ∞ N (t ) 2.
T N (t )+ 1 N ( t ) + 1 = , N (t ) N (t ) + 1 N (t ) TN (t )+1 N (t ) + 1 adalah rataan dari T N (t )+ 1
waktu tunggu sampai terjadinya kejadian ke n + 1 . Berdasarkan Hukum Kuat Bilangan Besar diperoleh, dengan TN (t )+1 peluang 1, → µ jika t → ∞ N (t ) + 1 N (t ) + 1 1 =1+ → 1 , jika dan N (t ) N( t) t → ∞ . Sehingga dengan peluang TN (t )+1 1, → µ , jika t → ∞ . N (t )
Fungsi Sebaran dari N (t ) Untuk dapat menentukan sebaran dari N (t ) maka perhatikan pernyataan berikut : kejadian ke n terjadi sebelum atau pada waktu t jika dan hanya jika banyaknya kejadian sampai waktu t paling sedikit n . Sehingga diperoleh hubungan kesetaraan sebagai berikut N (t ) ≥ n ↔ Tn ≤ t yang berimplikasi P( N (t ) ≥ n ) = P(Tn ≤ t ) = F (n ) (t ) . Sehingga P( N(t ) = n) = P( N(t ) ≥ n) − P( N(t ) ≥ n +1)
= P(Tn ≤ t ) − P(Tn +1 ≤ t )
(6) = F (n ) (t ) − F (n +1) (t ) . Dalam transformasi Laplace-Stieltjes, diperoleh hasil berikut. Teorema 3 Misalkan P ( N (t ) = n ) = Pn ∗ (t ) , ∞
* −s t F (n ) ( t ) = F ∗ ( n ) ( t ) , F (s) = e dF(t )
∫ 0
dan z ≤ 1 , s ≥ 0 . Maka ∞
∑
zn Pn∗ ( s) =
n =0
1 − F ∗ ( s) 1 − zF∗ (s)
(7)
[Heyman dan Sobel,1982] Bukti : Lihat Lampiran 2 Nilai Harapan N (t ) Nilai harapan dari peubah acak N (t ) , dinotasikan dengan m(t ) = E N (t ) , disebut fungsi pembaruan. Jadi fungsi pembaruan adalah nilai harapan dari banyaknya pembaruan yang telah terjadi sampai waktu t. Fungsi pembaruan ini dapat ditentukan sebagai berikut :
m (t ) = EN (t ) =
∞
∑ kP( N (t) = k ) k =1
= =
∞
k
∑∑ P( N(t) = k) k =1 n=1 ∞ ∞
∑∑ P( N( t) = k ) n =1 n = k
Dari 1 dan 2 terbukti bahwa N (t ) 1 → dengan peluang 1 t µ jika t → ∞
.
=
∞
∑ P(N (t ) ≥ n ) n=1
=
∞
∑ P(T
n
Dalam
≤ t)
transformasi
n=1
F*(s) = e−s tdF(t )
∫
dengan
∞
= ∑ F (n ) (t ) .
∫
m∗ (s) = e −st dm(t ) ,
Jadi fungsi pembaruan adalah suatu deret dari konvolusi ganda n dari fungsi sebaran
F (t ) .
m(t ) =
∑F
m* (s) =
∑nP (s) ∗
n
∂ znPn* (s) Z →1 ∂z n =1
∑F *F (
] [
]
−2
= 1 − F ∗(s) lim 1− zF∗(s) F ∗ (s)
n
∞
∑
[
∑ F ( ) (t) n −1)
=
(t )
n= 2
Z→1
F *( s)
. (10) 1− F *( s) [Heyman dan Sobel,1982]
∞
∑ F ( ) (t ) n
n =1
= F (t ) + F * m(t ) = F (t ) + P( X +
∞
n
∑∑ X
i
≤ t)
n =1 i =1
∞ = F (t ) + P 0 n =1
i =1
∞ = F (t ) + P 0 n=1
X i ≤ t − x dF ( x ) i=1
t
n
∫ ∑∑ X + X ≤ t | X = x dF( x) t
Teorema yang berhubungan dengan nilai harapan dari proses pembaruan disebut Teorema D asar Pembaruan 2. Untuk dapat membuktikan Teorema Dasar Pembaruan 2 diperlukan definisi waktu penghentian dan Persamaan Wald. Oleh karena itu di bawah ini dibahas waktu penghentian dan Persamaan Wald secara ringkas.
i
n
∫ ∑∑
t ∞ = F (t ) + P Tn ≤ t − x dF ( x ) 0 n =1
∫ ∑
Definisi 29 (Waktu Penghentian) Suatu peubah acak bernilai integer N disebut waktu penghentian dari barisan peubah acak X 1 , X 2 , K jika kejadian {N = n} adalah bebas terhadap X n +1 , X n+ 2 , K [Ross, 1996]
t
Teorema 4 (Persamaan Wald) Jika X 1 , X 2 , K adalah peubah acak bebas
t
stokastik identik yang memiliki nilai harapan terhingga, dan jika N adalah waktu penghentian dari X 1 , X 2 , K sedemikian
∞ n = F (t ) + F (t − x ) dF ( x ) 0 n =1
∫∑
= F (t ) + m(t − x )d F (x ) .
∫
(9)
sehingga E(N ) < ∞ , maka
0
Jadi
N E X n = E( N )E ( X 1 ) . (11) n =1 [Ross, 1996]
∑
t
m(t ) = F (t ) + m(t − x )dF ( x ) .
∫ 0
Persamaan (9) disebut persamaan pembaruan, yang merupakan persamaan integral dengan F t diketahui sedangkan m t tidak diketahui.
( )
∞
= lim
∞
= F (t ) + F *
dapat
∞
(t)
n= 2
= F(t ) +
(9)
n =1
n =1
= F (t ) +
persamaan
dituliskan sebagai berikut :
Dari persamaan (8), m(t ) dapat diuraikan secara rekursif sebagai berikut (n )
dan
0
(8)
n =1
∞
Laplace-Stieltjes,
∞
()
Bukti : Misalkan
jika N ≥ n jika N < n
1 In = 0
maka ∞
N
∑X n =1
n
= ∑ XnIn . n =1
Sehingga
N ∞ E X n = E X n In = n=1 n =1
∑
∑
∞
∑E[X I ]. (12) n n
n =1
I n = 1 jika dan hanya jika tidak dapat memberhentikan setelah pengamatan pada X 1 , X 2 K X n −1 . Jadi I n dihitung dengan X 1 , X 2 K X n −1 dan tidak tergantung pada X n . Sehingga dari persamaan (12) N ∞ E X n = E X n E[I n ] n =1 n =1
∑
∑
∞
∑ E[I
= E[ X 1 ]
n
]
X n jika X n ≤ M Xn = M jika X n > M dengan n = 1 , 2 , K dan M suatu konstanta. Jadi X n ≤ X n . n
{
∞
∑ P{N ≥ n} n=1
= E[ X 1 ]E[N ] Jika waktu penghentian untuk barisan peubah acak X 1 , X 2 , K adalah N + 1 maka berdasarkan P ersamaan Wald berlaku hal berikut . Akibat 1 Jika E (N ) < ∞ , diperoleh bahwa
E( X1 + K + X N (t )+1 ) = E( X1 ) E( N (t ) +1) (13) atau ekuivalen dengan Jika µ = E ( X 1 ) < ∞ maka E (T N (t )+1 ) = µ (m( t ) + 1) dengan
m(t ) = E( N (t )) . Teorema 5 (Teorema Dasar Pembaruan 2) Harapan rata-rata dari fungsi pembaruan adalah m(t ) 1 → jika t → ∞ . (14) t µ [Ross, 1996] Bukti Misalkan
µ < ∞ dan TN (T ) +1 > t , maka berdasarkan Akibat 1 diperoleh m(t ) 1 1 µ (m(t ) + 1) > t ⇔ > − . (15) t µ t m(t ) Untuk menentukan batas atas bagi t didefinisikan proses pembaruan berikut
}
∑X
i
dan
i =1
N = maks n : Tn ≤ t . Karena X n ≤ M maka TN (t )+1 ≤ t + M . Jadi berdasarkan A kibat 1 diperoleh µ M (m (t ) +1) ≤ t + M dengan µ M = E( X n )
⇔ m (t ) + 1 ≤
n =1
= E[ X1 ]
Tn =
Misalkan
t+M t +M ⇔ m (t ) ≤ −1 µM µM
m (t ) 1 M 1 ≤ + − . t µ M µM t t Karena X n ≤ X n maka T n ≤ T n → N (t ) ≥ N ( t ) dan m (t ) ≥ m (t ) . Jadi m(t ) 1 M 1 (16) ≤ + − . t µM µM t t Dengan memilih M → ∞ lebih lambat dari t → ∞ diperoleh m(t ) 1 1 ≤ + o (1) − jika t → ∞ . t µ t Maka µ M → µ jika M → ∞ . Sehingga , dari persamaan (15) dan (16) diperoleh 1 1 m(t ) 1 1 − < ≤ + o (1) − µ t t µ t yang berimplikasi m( t ) 1 lim = . t →∞ t µ Dari T eorema Dasar P embaruan dapat disimpulkan bahwa kecepatan dari N (t ) dan nilai harapan rata-rata dari m (t ) adalah ⇔
konvergen ke
1 , dengan µ adalah rataan µ
dari X n . Ragam dari N (t ) Sifat statistika yang lain dari proses pembaruan adalah ragam. Ragam dari N (t ) dapat ditentukan berdasarkan rumus sebagai berikut (17) Var (N (t )) = E(N (t ))2 − [E(N (t ))]2 dengan
∞
∑k
E(N (t ))2 =
2
P(N (t ) = k )
k =1
k ( k + 1) − k P (N (t ) = k ) 2 k =1 ∞
∑ 2
=
∞
∞
k
∑∑nP(N (t ) = k ) − ∑ kP(N (t ) = k )
=2
k =1 n =1
k =1
∞
k
∑n∑P(N(t ) = k ) − m(t)
=2
n =1 k =n
Rataan Hadiah yang diterima dalam Jangka Panjang Diasumsikan bahwa R n , n ≥ 1, maka
∞
∑ nP(N(t ) ≥ n) − m(t)
=2
n=1 ∞
∑nP(T
=2
n
≤ t ) − m(t )
n =1
Transformasikan kedua ruas persamaan di atas dengan transformasi Laplace-Stielt jes ke dalam persamaan (18) sehingga diperoleh
∫
∞
∑n(F (s )) − m (s)
e−s t dE( N(t ))2 = 2
*
n=1
0
=2
=2
n
*
(F ∗(s)) ∗
−
(1 − (F (s ))
( F ∗ (s))
2
(F∗(s)) (1 − F∗ (s))
+ F ∗( s)) − ( F ∗( s))
2
(1 − F ∗(s ))2
(
)
F * (s ) = 2 1 − F * (s)
(
(
)
F *(s ) = 2 1 − F* (s)
(
)
)
(
−
( F ∗( s)) (1 − F ∗( s))
)
(
2
(
)
(
)
(
)
)
F *( s) + 1 − F* (s) 2
(
∞
∑R
n,
n =1
dengan R(t ) menyatakan jumlah keseluruhan hadiah yang diterima, selama waktu t . Misalkan E(R) = E(Rn ), E( X ) = E( X n ) dan E(R) <∞, E(X) <∞ . Maka dengan peluang 1, rataan hadiah dalam jangka panjang dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut. R (t ) E( R ) lim = , (20) t →∞ t E( X ) dengan R(t ) t menyatakan rataan hadiah yang diterima dalam jangka panjang . Bukti
* * + 2 F (s ) − F (s ) 1 − F * (s) 1 − F * (s) 2
R(t ) =
(18)
dan E ( N (t ) = m(t ) yaitu nilai harapan dari N (t ) .
∞
Misalkan proses pembaruan {N (t ), t ≥ 0}, dengan waktu antar kedatangan X n , n ≥ 1. Misalkan juga setiap pembaruan terjadi, ada hadiah. Besarnya hadiah yang diterima untuk pembaruan yang ke n , Rn , n ≥ 1 , menyatakan peubah acak yang bebas stokastik identik. Dari proses pembaruan berhadiah ini dapat ditentukan rataan hadiah yang diterima dalam jangka panjang.
)
jadi
(19) E ( N (t )) = 2 m * m (t ) + m (t ) , dengan mensubsitusikan persamaan (19) ke dalam persamaan (17) akan diperoleh ragam dari N (t ) yaitu 2
Var(N (t )) = 2m* m(t ) + m(t ) − [m(t )]2
Penerapan dari Proses Pembaruan Pada subbab ini dibahas penerapan dari proses pembaruan yaitu proses pembaruan berhadiah dan proses pembaruan selangseling. Proses Pembaruan Berhadiah Proses pembaruan berhadiah merupakan kasus khusus dari proses pembaruan.
∞
R(t ) = t
∑R
n
n =1
t ∞ R n =1 n = N (t )
N (t ) t 1 → E ( R) , E( X ) dengan peluang 1, jika t → ∞ . Sehingga
∑
E(R ) . E( X ) Jika selang waktu antar kedatangan tiap pembaruan kita pandang sebagai satu siklus, maka persamaan (20) menyatakan bahwa dalam jangka panjang rataan hadiah adalah nilai harapan dari hadiah yang diperoleh dalam satu siklus dibagi nilai harapan panjang siklusnya. →
Contoh Kasus Pembaruan Berhadiah Contoh 1 Contoh kasus yang dimodelkan dalam proses pembaruan berhadiah adalah model pembelian mobil. Misalkan waktu hidup sebuah mobil adalah peubah acak kontinu yang mempunyai fungsi sebaran H dan fungsi kepekatan peluang h . Misalkan kebijakan seseorang bahwa dia akan segera membeli mobil baru jika mobil yang lama rusak atau umurnya telah mencapai waktu T tahun. Misalkan bahwa harga sebuah mobil baru adalah c1 dan tambahan biaya sebesar c 2 , ketika mengalami rusak sebelum mencapai waktu T . Maka biaya rata–rata jangka panjang dapat ditentukan berdasarkan proses pembaruan berhadiah yaitu sebagai berikut. R(t) E(R) = , t E( X ) dengan E(R) adalah besarnya harapan biaya yang dikeluarkan dalam satu siklus dan E(x ) adalah nilai harapan lamanya waktu hidup mobil selama satu siklus. Misalkan X menyatakan lamanya waktu hidup sebuah mobil selama satu siklus, maka biaya yang dikeluarkan selama satu siklus adalah c1 , jika X >T . c1 + c 2 jika X ≤T Maka rataan biaya yang dikeluarkan selama satu siklus, yaitu E (R) , adalah sebagai
berikut c1P{X > T} +(c1 +c2)P{X ≤T} = c1 + c2H(T) dan lamanya waktu dalam satu siklus yaitu X , jika X ≤ T . T , jika X > T Sehingga dapat diperoleh nilai harapan dari lamanya waktu mobil dalam satu sikl us yaitu E(X ) sebagai berikut T
∫
∞
T
T
0
xh ( x )dx + Th( x)dx = xh ( x )dx + T [1 − H (T )]
∫
0
∫
Jadi rataan biaya dalam jangka panjang adalah R(t ) E ( R) lim = t →∞ t E( X )
=
c1 + c 2 H (T ) T
. (21)
∫ xh ( x)dx + T (1 − H (T )) 0
Misalkan waktu hidup pada sebuah mobil (dalam tahun) menyebar seragam, yaitu U ≈ (0,10 ) , dan misalkan harga mobil adalah
c1 = 3 , dan tambahan biaya yang dikeluarkan jika mobil yang lama rusak adalah c 2 = 0.5 . Maka nilai T optimal pada rataan biaya dalam jangka panjang, dapat dihitung. Untuk menentukan waktu yang optimal seseorang mengganti mobilnya, yaitu dengan cara berikut : substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan (21) sehingga diperoleh 3 +0.5 ( T / 10) 3 +T / 20 = 2 T T / 20+ ( 10T −T2 ) / 10 ( x/ 10)dx+T ( 1−T /10 )
∫ 0
=
60+T
. 20T −T2 Karena akan dit entukan nilai T yang optimal maka, 60 + T misalkan g (T ) = . Sehingga 20T − T 2 g ' (T ) = 0 , atau
g ' (T ) =
(20T − T ) − (60 − 2T ) = 0 atau (20T − T ) 2
2 2
20T − T 2 = ( 60 + T ) ( 20 − 2T ) atau T 2 + 120T − 1200 = 0 . Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh penyelesaian dari T yaitu T ≈ 9.25 dan T ≈ −129 . 25 . Karena T ≤ 10 , dari sebaran seragam, maka waktu yang optimal yang harus diambil oleh seseorang untuk mengganti mobil yang lama yaitu ketik a mobil yang lama telah mancapai umur selama 9.25 tahun. [Ross,1996]
Proses PembaruanS elang -seling Penerapan yang lain dari proses pembaruan adalah proses pembaruan selangseling. Dari proses pembaruan selang-seling ini dapat dit entukan peluang ketika sistem bekerja dan peluang sistem tidak bekerja pada waktu tertentu. Untuk dapat menentukan peluang ini digunakan T eorema Pembaruan Kunci. Sebelum membahas Teorema Pembaruan Kunci kita bahas terlebih dahulu definisi lattice dan Teorema Blackwell. Definisi 30 (Lattice) Suatu peubah acak X dan fungsi sebaran F(t ) disebut lattice ( kekisi ) jika ada bilangan bulat tak negatif τ sehingga
∞
∑ P( X = nτ ) = 1 ,
dan
τ
disebut periode
m( x ) =
∞
∑ F ( x) n
n=1
n =1
∞
dari X dan F(t ) . [Ross, 1996]
∫
∫
µ = (1 − F (t )) dt = H (t ) dt 0
Teorema 6 ( Blackwell) 1. Jika F bukan lattice maka, untuk a ∀a ≥ 0 , m( t + a ) − m(t ) → , jika µ
t→∞
2.
Jika F adalah lattice dengan periode τ ,maka τ E(banyaknya pembaruan nτ ) → µ jika n → ∞ [Ross, 1996] Bukti : Lihat Lampiran 3 Jadi, Teorema Blackwell menyatakan bahwa jika F bukan lattice, maka nilai harapan dari banyaknya pembaruan yang terjadi pada suatu selang dengan panjang a , jauh dari titik asal, a mendekati . Jika F adalah lattice dengan µ periode τ , maka pembaruan hanya terjadi pada tempat yang merupakan kelipatan dari τ , sehingga nilai harapan dari banyaknya pembaruan pada suatu interval yang jauh dari titik asal, tidak tergantung dari panjang interval, akan tetapi tergantung dari banyaknya titik dari n τ , n ≥ 0 yang dimiliki oleh interval tersebut. Oleh karena itu berdasarkan Teorema Dasar Pembaruan maka τ nilai harapannya haruslah . µ Teorema 7 (Teorema Pembaruan Kunci) Teorema Pembaruan Kunci digunakan untuk menentukan nilai limit dari suatu fungsi f (t ) , yaitu suatu peluang, pada waktu t pada proses pembaruan selang-seling. Teorema Pembaruan K unci berbunyi sebagai berikut : Jika F (t ) bukan lattice dan h (t ) adalah fungsi yang terintegralkan Riemann langsung, maka t
lim
t →∞
dengan
∞
∫ h(t − x)dm ( x) = µ ∫ h(t) dt 0
1
0
(22)
.
∞
0
m (x) menyatakan fungsi pembaruan dan µ adalah nilai harapan kedatangan pembaruan .
dari
waktu
antar
[Ross, 1996] Bukti : Lihat Lampiran 4 Untuk menentukan nilai suatu limit fungsi
f (t ) atau peluang, mula- mula mensyaratkan pada waktu dari pembaruan terakhir sebelum atau pada waktu t , maka diperoleh persamaan sebagai berikut t
∫
f (t ) = h(t ) + h(t − x )dm( x ) .
(23)
0
[Ross, 1996] Berdasarkan persamaan (23) maka dapat ditentukan sebaran dari TN (t ) , yaitu waktu dari pembaruan terakhir sebelum atau pada waktu t sebagai berikut . Lema 3 s
P (TN (t ) ≤ s) = F (t ) +
∫ F (t − y) dmy
(24)
0
[Ross, 1996] dengan 0 ≤ s ≤ t , dan F (t ) = 1 − F (t ) , F(t ) adalah sebaran dari waktu antar kedatangan proses pembaruan. Bukti : Lihat Lampiran 5 Akibat 2 Akibat dari Lema 3 adalah P (T N (t ) = 0) = F (t )
dF TN (t ) ( y ) = F (t − y )dmy,
0< y<∞
(25)
Contoh Kasus Proses Pembaruan Selangseling Perhatikan suatu sistem yang keadaannya bisa salah satu dari dua keadaan yaitu hidup (on) dan mati (off). Mula-mula sistem itu hidup selama waktu Z 1 , kemudian mati selama waktu Y1 , kemudian hidup lagi selama waktu Z 2 , mati lagi selama waktu Y2 dan seterusnya.
Misalkan bahwa vektor acak ( Z n , Yn ) ,
n ≥ 1 adalah bebas stokastik identik, tetapi kita membolehkan Z n dan Yn tidak bebas. Dengan kata lain, pada setiap waktu proses tidak bergantung masa lalu, kecuali jika sistem tersebut mati, maka lamanya sistem mati boleh bergantung dari lamanya sistem hidup pada tahap sebelumnya. Misalkan H adalah fungsi sebaran dari Z n , G adalah fungsi sebaran dari Yn , dan F adalah fungsi sebaran dari Z n + Yn , n ≥ 1 . Selanjutnya misalkan . P(t ) = P( sistem hidup pada waktu t )
Teorema 8 Jika E( Z n + Yn ) < ∞ dan F bukan lattice, maka E( Z n ) lim P(t ) = . (26) t →∞ E ( Z n ) + E(Yn ) Misalkan Q (t ) = P ( sistem mati pada waktu t ) = 1 − P (t ). Maka E (Yn ) Q (t ) = . (27) E ( Z n ) + E(Yn ) [Ross, 1996] Bukti: Lihat Lampiran 6. Contoh 2 Misalkan mesin bekerja selam a waktu Z1 , kemudian rusak dan diperbaiki selama waktu Y1 , kemudian dapat bekerja lagi selama waktu Z 2 , dan rusak lagi kemudian diperbaiki lagi selama waktu Y2 dan seterusnya. Jika dimisalkan proses dimulai lagi setelah diperbaiki, maka proses tersebut merupakan proses selang-seling. Dengan demikian dapat ditentukan peluang mesin bekerja pada waktu t, yaitu P (t ) dengan menggunakan Teorema 8. Jika diketahui nilai harapan dari waktu bekerja yaitu Z n dan nilai harapan dari waktu tidak bekerja atau rusak adalah Yn maka
P (t ) =
E( Z n ) E ( Z n ) + E(Yn )
dan
Q (t ) = 1 − P (t ),
dengan P(t ) = P (me sin be ker ja pada waktu t ) Q(t ) = P(mesin tidak beker ja pada waktu t) . Contoh 3 Pada perusahaan asuransi tertentu mewajibkan pemegang polisnya untuk membayar setoran yang berkisar antara r0 dan r1 . Pada pemegang polis yang baru pada awalnya diwajibkan membayar setoran sebesar r1 setiap satuan waktu. Saat pemegang polis membayar setoran sebesar r1 pada satuan waktu s dan tidak membuat tuntutan maka setorannya menjadi r0 setiap satuan waktu.. Setoran akan tetap berada pada r0 sampai ada tuntutan dibuat. Pada saat tersebut setoran akan berubah menjadi r1 . Misalkan ada pemegang polis hidup selamanya dan membuat tuntutan pada waktu yang dipilih berdasarkan proses Poisson dengan rataan λ , maka tentukan 1. p i peluang waktu ketika pemegang polis membayar pada setoran ri i = 0, 1 . 2. Jumlah rataan jangka panjang yang dibayarkan setiap satuan waktu. Jawab Jika kita katakan sistem ”on” ketika pemegang polis membayar setoran sebesar r1 dan sistem ”off” ketika membayar setoran sebesar r0 . Maka sistem on-off adalah proses pembaruan selang-seling dengan perputaran baru dimulai ketika adanya tuntutan. Jika X adalah waktu di antara tuntutan yang dibuat, maka waktu ”on” dalam siklik adalah lebih kecil dari s dan X ( catatan jika X < s , maka waktu ”off” dalam siklik adalah 0). Karena X adalah menyebar eksponensial 1 dengan rataan , maka diperoleh λ E [waktu on dalam siklik]=E[min,(X,s) ] s
∫
= xλe −λx dx + se−λs 0
Dengan menggunakan pengintegralan parsial
u = x , du = dx dv = λe −λx dx , v = −e −λx maka diperoleh
E (min( X , s ) = − xe −λx
s 0
s
∫
+ e −λx dx + se−λs 0
− 1 −λx = −se −λs + e λ
+ se−λs 0
1 1 = − e −λs − λ λ 1 = 1 − e −λs . λ Karena X adalah menyebar eksponensial 1 1 dengan rataan atau E( X ) = , sehingga λ λ diperoleh p i sebagai berikut
(
1. p1 =
= 1 − e − λs
s
)
dan p 0 = 1 − p1
. = e −λs 2 . Jumlah rataan jangka panjang yang dibayarkan setiap satuan waktu adalah r0p 0 + r1 p1 = r1 − (r1 − r0 ) e−λs .
E (waktu on dalam siklik ) E(X )
SIMPULAN Dari hasil dan pembahasan yang telah dipaparkan sebelumnya dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Fungsi sebaran dari proses pembaruan dapat diperoleh berdasarkan hubungan kesetaraan berikut N (t ) ≥ n ↔ Tn ≤ t yang berimplikasi P( N (t ) ≥ n ) = P(Tn ≤ t ) = F (n ) (t ) . 2.
Nilai harapan dari proses pembaruan
m (t ) = EN (t ) =
∞
∑F
( n)
(t ) ,
n=1
merupakan deret dari konvolusi ganda n dari fungsi sebaran waktu antar kedatangan.
3.
Ragam dari proses pembaruan adalah
4.
Nilai harapan rata–rata dalam jangka panjang dari proses pembaruan berhadiah adalah nilai harapan dari hadiah yang diterima dibagi dengan nilai harapan dari waktu antar pembaruan . Peluang dari lamanya waktu suatu sistem bekerja (on) adalah nilai harapan dari lamanya waktu bekerja dibagi dengan nilai harapan seluruhnya, yaitu nilai harapan ketika bekerja (on) ditambah nilai harapan ketika tidak bekerja (off). Sedangkan Peluang dari lamanya waktu suatu sistem tidak bekerja o( ff) adalah nilai harapan dari lamanya waktu tidak bekerja dibagi dengan nilai harapan seluruhnya.
5.
2 Var(N(t)) = 2m* m(t ) + m(t) −[m(t)] .
DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J. dan M. Engelhardt. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Ed. ke-2. University of Missouri-Rolla, Boston.
Heyman, J. A. dan Sobel, W. A. 1982 Stochastic Model in Operation Research. Mc Gram -hill Book Company, New York.
Billingsley, P. 1995. Probability and Measure. Ed. ke-3. John Wiley & Sons. New York.
Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.
Cooper, R. B. 1981. Introduction to Queueing Theory. Ed. ke-2. Elsevier North Holland. Durret, R. 1996. Probability: Theory and Examples . Ed. ke-2. Duxbury Press. New York. Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helms, L. L. 1996. Introduction to ProbabilityTheory:W ith Contemporary Application. W. H. Freeman & Company. New York.
Ross, S. M. 1996 . Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Ross, S. M. 2000 . Introduction to Probability model. Ed. ke-7. Academic Press. San Diego. Stewart, J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta Trin dade, D.C. dan Tobias, P. C. 1995. Applied Reliability. Ed. ke-2. Chapman & Hall. New York.
LAMPIRAN Lampiran 1 (Bukti Teorema 1) n
Kita misalkan bahwa E[ X i 4 ] = k < ∞ , misalkan pula µ = 0 , Tn =
∑X
i
maka
i =1
[ ]
E Tn 4 = E[( X 1 + X 2 + L X n )( X 1 + X 2 + L X n )( X 1 + X 2 + L X n )( X 1 + X 2 + L X n )] . kombinasi ruas kanan dari persamaan di atas yaitu
X i 4 , X i 3 X j , Xi 2 X j 2 , X i 2 X j X k , X i X j X k X l dengan i , j , k , l adalah berbeda. Karena µ = E ( X i ) = 0 dan bebas , maka
[ E[X
] [ ][ ] X ] = E[X ]E [X ]E[X
E X i X j = E X i3 E X j = 0
[
2 i Xj
2
k
]
i
j
k
]= 0
E X i X j X k Xk = 0 . 4 Untuk sepasang i dan j akan diperoleh = 6 kombinasi, yaitu perluasan dari X i X j . 2 n Jadi E Tn 4 = nE X i 4 + 6 E X i 2 X j 2 2
[ ]
[ ]
[
] = nk + 3n (n − 1)E[X ]E [X ]. Misalkan 0 ≤ var (X ) = E[X ] − (E[X ]) sehingga (E[X ]) ≤ E [X ] = k 2
2
i
2
i
2 2
4
i
j
2 2
i
4
i
i
Jadi
[ ]
T 4 k k E Tn 4 ≤ nk + 3n( n − 1)k berimplikasi E n4 ≤ 4 + 3 2 , n n n ∞ Tn 4 E = 4 n=1 n
∑
sehingga
T 4 E n4 ≤ ∞ . n n=1 ∞
∑
(28)
T 4 Dengan ∈> 0 dengan Ketaksamaan Markov diperoleh P n4 >∈ ≤ n Maka berdasarkan persamaan (28) diperoleh ∞ T 4 P n4 >∈ < ∞ . n =1 n
T 4 E n4 n ∈
.
∑
Persamaan tersebut, dengan Lema Borel-Cantelli, berimplikasi dengan peluang 1,
adalah kejadian yang terjadi sebanyak bilangan berhingga . Sehingga diperoleh lim
n →∞
4
4
T = n menuju 0 dan dengan peluang 1, n n Ketika µ ≠ 0 maka diperoleh peubah acak X i Tn
4
lim
n →∞
n =1
n
dengan peluang 1
Tn 4 = 0 atau n4
Tn → 0 jika n → ∞ . n − µ dengan peluang 1, sehingga
∞
∑ ( Xi − µ )
Tn 4 4 >∈ n
∞
= 0 atau ekuivalen dengan peluang 1 lim
n →∞
Tn → µ , jika n → ∞ . n
∑X n =1
n
i
= µ , sehingga terbukti bahwa
Lampiran 2 (Bukti Teorema 2) * Diberikan P ( N (t ) = n ) = Pn (t ) , F (n ) (t ) = F ∗ ( n ) ( t ) , F ∗
∞
(s) = ∫ e−s t dF(t )
dan
0
maka
Pn ∗ ( s ) = F ∗ = F Dengan mengalikan
(n)
∗(n)
(s) − F ∗
( n +1 )
[
( s)
]
( s ) 1 − F ∗ ( s) .
Z n dan dijumlahkan sampai ke n maka diperoleh ∞
∑z
n
∞
∑z
∗
Pn ( s ) =
n =1
=
n =1 ∞
n
F ∗ ( n ) ( s ) 1 − F ∗ ( n ) ( s )
∑ [zF
∗
(s)
n =1
] [1 − F n
sehingga dip eroleh deret geometri dengan a = 1 − F ∗ ( s) dan ∞
∑ n=0
z n Pn∗ (s) =
∗
(s)
]
,
r = zF ∗ (s) , maka
1− F∗ (s) 1 − zF∗ (s)
.
[z] ≤ 1 , s ≥ 0 ,
Lampiran 3 (Bukti Teorema 6) Misalkan g ( a) = lim [m (t + a ) − m(t )] . t →∞
Akan dibuktikan g ( a) =
a . P erhatikan µ
g ( a + b ) = lim [ m(t + a +b ) − m( t )] t→∞
= lim [ m(t + a +b ) − m (t + a) + m (t + a) − m(t )] t→ ∞
= g (b ) + g (a ) .
Satu-satunya solusi menaik dari
g ( a + b) = g (b) + g (a ) adalah g ( a) = ca ; a > 0 untuk suatu
konstanta c . Oleh karena itu akan dibuktikan bahwa c =
1 sedemikian sehingga Teorema µ
Blackwell terbukti. Didefinisikan
x1 = m(1) − m(0) x2 = m(2) − m(1) x1 = m(3) − m (2) M xn = m( n) − m( n − 1) maka
lim x n = g (1) = c
n →∞
yang berimplikasi
x1 + x 2 + L x n = c atau n m ( n) lim = c. n →∞ n m(t ) 1 1 Berdasarkan Teorema Dasar P embaruan maka → , jadi c = . Dengan demikian terbukti t µ µ bahwa lim
n →∞
g ( a) =
a . µ
Lampiran 4 (Bukti Teorema 7) Untuk memperoleh bukti dari Teorema P embaruan Kunci yaitu dengan menggunakan Teorema Blackwell. a lim [ m(t − a) − m(t ) ] = t→∞ µ m (t − a) − m(t )] 1 [ limlim = , a → 0 t →∞ a µ sehingga
limlim
[m (t − a) − m(t )]
a → 0 t →∞
Jika
a
=
1 . µ
[ m(t − a) − m(t) ] = dm(t )
lim t→ ∞
a
dt
maka
lim a→ 0
dm(t ) 1 = . d (t ) µ
Sehingga t
lim ∫ h(t − x ) dm( x ) = lim t→ ∞
a→ 0
0
dm(t ) t 1∞ h(t − x )dx = ∫ h (t d) t . ∫ d (t ) 0 µ 0
Lampiran 5 (Bukti Lema 2)
(
∞
) ∑ P (T N (t) ≤ s, T N (t) +1 > s )
P T N (t ) ≤ s =
n =0
= F (t ) +
∞
∑ P(T
N (t )
≤ s, TN (t )+1 > t
n =1 ∞
= F (t ) +
s
∑ ∫ P(T
N (t )
n =1 0
= F (t ) + = F (t ) + = F (t ) +
∞
s
)
≤ s, T N (t ) +1 > t | T N (t ) = y dF ( n) ( y )
N
∑ ∫ P ∑ X n =1 0 ∞ s
∑ ∫ P(T
i
≤ s,
i =1
N (t )
∑X i =1
N (t ) +1
)
(n )
( y)
∞ = F (t ) + F (t − y )d Fn ( y ) n =1 0
= F (t ) +
s
∑
∫ F (t − y) dmy . 0
N
∑X
i
i =1
> t − y dF (n ) ( y )
∞ s
∫
>t|
)
∑ ∫ F (t − y) dF n=1 0 s
i
= y dF (n ) ( y )
+ X N (t ) +1 > t | T N (t ) = y dF (n ) ( y )
n=1 0 ∞ s
∑ ∫ P( X
N +1
n =1 0
= F (t ) +
)
Lampiran 6 ( Bukti Teorema 8) Bukti Misalkan kita katakan pembaruan terjadi jika sistem berubah dari keadaan mati menjadi hidup. Bersyaratkan waktu terjadinya pembaruan terakhir sebelum t atau pada waktu t , maka diperoleh P ( t ) = P ( sistem
hidup
pada t | T N ( t ) = 0 ) P ( T N ( t ) = 0 )
t
+
∫ P ( sistem
hidup
pada
t | T N ( t ) = y ) dF T n ( y )
0
maka, P( sistem hidup pada t | T N (t ) = 0 ) = P( Z1 > t | Z 1 + Y1 > t )
P( Z 1 > t ) H (t ) 1 − H (t ) = = P( Z1 + Y1 > t ) F (t ) 1 − F (t ) Untuk sembarang y < t , =
.
P(sistemhidup pada t | TN(t) = y ) = P(Z1 >t − y | Z1 + Y1 > t − y) =
P(Z1 > t − y) H(t − y) 1− H(t − y) . = = P(Z1 +Y1 > t − y) F (t − y) 1 − F(t − y)
Dari Lema 3, diperoleh
P(Tn ( t ) = 0) = F (t ) dan
dF (Tn (t ) = y ) = F ( t − y ) dm( y ),
sehingga diperoleh t
∫
P (t ) = H (t ) + H (t − y ) dm( y ) , 0
dengan m( y ) =
∞
∑ F ( y) = EN ( y) . n
n =1
t
Karena
∫ H (t) dt = EZ < ∞ , maka
H (t ) → 0 jika t → ∞ . H (t ) juga tak negatif dan tak naik.
0
Jadi H (t ) adalah fungsi yang terintegralkan, dengan demikian Teorema Pembaruan Kunci dapat digunakan sehingga diperoleh t
∫
H (t − y ) dm( y ) →
0
1 µF
∞
∫ H (t) dt , 0
jadi t
∫
H (t − y )dm ( y ) →
0
P (t ) →
1 µF
∞
1 µF
∞
∫ H (t )dt , 0
∫ H (t )dt = E ( Z 0
E( Z n ) n
) + E(Yn )
.
